周期信号的单边频谱及其特点
周期信号的频谱解读
X
第
3.3.2 周期矩形脉冲信号的频谱
本小节以周期矩形脉冲信号为例进行分析
7 页
主要讨论：频谱的特点，频谱结构，
频带宽度，能量分布。
X
第
一．频谱结构
f (t ) E
8 页
脉宽为 脉冲高度为E
T1
t
T1
O 2 2
周期为T1
1. 三角函数形式的谱系数 2. 指数函数形式的谱系数 3. 频谱特点
2
0
2
n 1
X
不变， T1改变
E 2π T1 幅度 , 谱线 间隔1 T1 T1
f (t )
2π 第一个过零点频率 不变
第 13 页
当ET1 ，时， 1 0， 为无限小， T1 f t 由周期信号 非周期信号。 4
T1 2T1
T1 5E
Fn
2π
O 1 2 1
第一个零点集中了信号绝大部分能量（平均功率）
由频谱的收敛性可知，信号的功率集中在低频段。
X
第
周期矩形脉冲信号的功率
1 P T
16 页
T
0
f 2 ( t )dt
n
Fn
2
n
F ( n1 )
2
1 1 以 s, T1 s为例，取前5 次谐波 20 4
X
1 2 1
第
4．讨论
2π 谱 线 间 隔1 不变 T1不变， 改变 T1 E 2π 幅 度 , 第 一个 过零 点 T1
f (t ) E
12 页
4.3 周期信号的频谱及特点
4.3
周期信号的频谱及特点
2）、周期矩形脉冲的频谱
有一幅度为E，脉冲宽度为τ的周期矩 形脉冲，其周期为T，如图所示。求 频谱。 T τ
−
τ
2
τ
2
Fn =
1 T
∫
2
T − 2
f (t ) e
− jnΩt
E e− jnΩt = T − jnΩ
τ
2 −
τ
2
E 2 − jnΩt dt = dt τ e ∫ − T 2 nΩτ sin( ) Eτ sin nΩτ 2E 2 2 = = T nΩτ T nΩ
1）、定义
依据复傅立叶系数Fn随nΩ的变化关系所画的图称为 双边频谱图，简称双边谱； |Fn|~ nΩ为双边幅度谱，见图4.3-1（b）；其 以纵轴对称。 θn~ nΩ为双边相位谱。见图4.3-1（d）图。其 以原点对称。
第 第23 23-8 8页 页
■
©西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 电子教案 电子教案
, n = 0,1,2,..., φ0 = 0.
Fn ~ nΩ
θ n ~ nΩ
周期信号的频谱是指周期信号中各次谐波幅值、相位随 频率的变化关系。
第 第23 23-3 3页 页
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©西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 电子教案 电子教案
4.3
A0 f (t ) = + 2
∞
周期信号的频谱及特点
ω1
T τ = = 2π Ω τ T
2π
见课本P131 页图4.3-4。
增多。
(b)、 τ 一定，T增大，谱线间隔 Ω 减小，频谱谱 线密度增大。谐波幅度减小：
信号简答题答案
答：非周期信号的频谱与周期信号的频谱相比相同点是非周期信号的频谱与周期信号的频谱的包络线有相同的形状、相同的有效频带宽度；不同点是非周期信号的频谱是连续的、幅度为无穷小的频谱，周期信号的频谱是离散的、幅度为有限值的频谱。
3.4 傅里叶变换的时频展缩特性对信号处理有什么重要意义？
时域抽样定理的实际应用主要体现在其第一部分，它告诉我们由模拟信号向数字信号转换最基本的要求，否则其转换是无实际意义的
3.8 定义信号的有效频带宽度有什么实际意义？
答：因为系统的带宽要适应信号的带宽，系统的带宽如果小于信号的带宽，那么经这个系统处理的信号就会失真，如果系统的带宽比信号的带宽大的多，那么就会造成很大的浪费，所以只有确定了信号的带宽，才能既能够不失真的处理信号，又不至于投资浪费。
3.1 周期信号的频谱有什么特点？
答：有三个特点：第一，离散性：周期信号的频谱是离散频谱（二根谱线间的距离是（角频率）或（频率），可见与信号周期成反比）；第二，谐波性：在处，对应着不同振幅的不同谐波（其频谱的各次谐波的振幅与信号的幅度A、信号的持续时间τ成正比，而与信号的周期T成反比）；第三，收敛性：随着频率的增加，周
期信号频谱的总的趋势是下降的（从而可以定义出信号的有效频带宽度，其与信号的持续时间成反比）。
3.2 周期信号的周期T、持续时间τ及幅度A对该信号的频谱都有什么影响？
答：周期T的变化会改变谱线间的距离（反比）、谐波的幅度（反比），持续时间τ的变化会改变谐波的幅度（正比）、信号的有效频带宽度（反比），幅度A的变化会改变谐波的幅度（正比）。
3.9 若信号的最高频率是300Hz，求如下信号的最高频率，如果对其进行无失真的抽样，那么最小抽样频率是多少，对应的抽样ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ隔是多少？
周期信号的频谱
第
1．三角形式的谱系数
f (t ) E
9 页
T1
f t 是个偶函数
bn 0, 只有a0 , an
O 2 2
T1
t
X
第
2．指数形式的谱系数
1 Fn T1
10 页
1 = T1
T1 2 T 1 2
f ( t )e jn1t d t
2
E 1 jn 1 t 2 Ee dt e jn1t 2 T1 jn 1
P5 n F 0 F 1 F 2 1 F 3 1 F 4 1
2 2 2 2
2
F 1 F 2 1 F 3 1 F 4 1
2 2 2
2
0.181E 2 1 T1 2 f ( t )dt 0.2 E 2 而总功率 T1 0 P5 n 二者比值 90.5% P
jn 1 jn1 2 e e 2
2
E jn 1T1
2E sin n 1 n 1T1 2 sin n 1 E 2 E Sa n 1 T1 T1 2 n 1
X
3．频谱及其特点
n)
E
f (t )
E 2E 1 f (t ) [sin(1 t ) sin(31 t ) 2 3 1 1 sin(51 t ) sin(n1 t ) ] 5 n
T1
T1 2
0
T1 2
T1
t
n 1,3,5,
E 2E 2E f (t ) cos(1 t ) cos(31 t ) 2 2 3 2 2E 2E cos(51 t ) cos(71 t ) 5 2 7 2
4.2周期信号的频谱
2A ( n 1, 3, 5,) n 90o ( n 1,3,5,) n o ( n 1, 3, 5,) 90 Fn
信号与系统
周期矩形脉冲信号的频谱
对于周期矩形脉冲，在一个周期内为
A t t
4.2-5
f (t )
0
2 2
4A (n 1,3,5,...) nπ
矩形波：
图1
n 90o (n 1,3,5,...)
谱 线
相位值 振幅 图2 角频率
信号与系统
4.2
周期信号的频谱
4.2-3
4.2.1 周期信号频谱的特点
频谱特点：
•
离散性：每根谱线代表一个谐波分量， 称为离散谱线。 谐波性：基波1的整数倍频率 收敛性：高次谐波幅度渐小，当谐波次 数无限增多时，谐波分量的振幅趋于无 穷小。
4.2 周期信号的频谱
信号与系统
4.2-1
4.2.1 周期信号频谱的特点
将周期信号分解为傅里叶级数(简称傅氏级数)，为在频域 中认识信号特征提供了重要的手段。由于在时域内给出的 不同信号，不易简明地比较它们各自的特征，而当周期信 号分解为傅氏级数后，得到的是直流分量和无穷多正弦分 量的和，从而可在频域内方便地予以比较。为了直观地反 映周期信号中各频率分量的分布情形，可将其各频率分量 的振幅和相位随频率变化的关系用图形表示出来，这就是 信号的“频谱图”。频谱图包括振幅频谱和相位频谱。前 者表示谐波分量的振幅An随频率变化的关系；后者表示谐 波分量的相位φn 随频率变化的关系。习惯上常将振幅频谱 简称为频谱。
奇谐函数
偶谐函数
注：指交流分量
信号与系统
周期信号频谱的特点
周期信号频谱的特点
1、周期信号频谱的特点
(1)周期信号频谱是指周期信号的函数X（t）的傅里叶变换结果。
它由若干不同的频率的正弦波组成，这些正弦波的频率正是信号的基本频率。
正弦波的幅值与其相应的频率乘积成正比，而每种频度的信号都有一个相应的幅值谱和一个同频率相等的相位谱。
(2)对小波周期信号出现的情况而言，它的频谱具有带状分布特点。
假设一个小波信号X（t）的基本频率为F0，它的频谱X（f）的分布范围接近[F0, 2F0]之间，其中最大的幅值在F0处，幅值谱有一个主峰，而且相位谱空间分布也同样有一个主峰。
(3)小波周期信号具有连续宏观理论谱线的特点，实际谱线与理论谱线相比会有一个谷底，其图形模型会形成一回带状，理论上谷底深度接近0.
(4)周期信号频谱中有定向性，主要表现在除脉冲信号以外的其他周期信号中。
针对某一个方向发射信号，其谱仍然会有以频率以F0作为中心呈现梯度变化和微小平移的特点。
如果从不同方向发射信号，最终得到的谱会有一定的差异，但其趋势仍然相同。
2、周期信号频谱的作用
(1)周期信号频谱是信号分析的基础，它包括了信号的基本指标，包括信号的频率、幅值谱和相位谱，可用于分析信号的特性和特征。
(2)有了周期信号频谱，可以更准确地测量一个周期信号的实际频率，利用其中的相位谱可以判断信号之间是否存在某些相关性。
(3)频谱可以用于检测信号中的杂波，如果周期信号频谱发现不属于原有频率的有害信号，则说明信号中出现了一些杂波，可以使用滤波等方法对这部分信号进行处理，从而提高信号的有效性。
(4)同时，周期信号频谱也可以用来研究信号强度分布情况，可以查看赋予信号的频率和相位，从而进行有效的信号处理。
第四章(2)周期信号的频谱
周期性矩形脉冲信号的频谱还有自己的特点 周期性矩形脉冲信号的频谱还有自己的特点 : 1、各谱线的幅度按包络线 T 、
ωτ
= m π ( m = ±1, ± 2,...)
τ
Sa (
ωτ
2
) 的规律变化。 的规律变化。
各处， 的各处， 在 2 各处，即 的各处， τ 包络为零，其相应的谱线， 包络为零，其相应的谱线，亦即相应的频谱分量也等 于零。 于零。 2、周期矩形脉冲信号包含无限多条谱线，也就是说， 、周期矩形脉冲信号包含无限多条谱线，也就是说， 它可分解为无限多个频率分量。 它可分解为无限多个频率分量。 通常把频率范围 0 ≤ f ≤ τ (0 ≤ ω ≤ τ ) 称为周期矩形脉冲 带宽， 表示， 信号的带宽 信号的带宽，用符号 ∆F 表示，即周期矩形脉冲信 1 号的频带宽度为 ∆F = 。 τ
Fn F ( jω ) = lim = lim FnT T →∞ 1 / T T →∞
为频谱密度函数。 称 F ( jω )为频谱密度函数。
Fn lim = lim FnT 如何求频谱密度函数？ 如何求频谱密度函数？ F ( jω ) = T →∞ 1 / T T →∞
由式 f ( t ) =
n = −∞
T 2T f (t) T=8τ
0
3T
4T t
0 1/ 8
T f (t) T=16τ
0
2T
t
0 1/16
0
T
t
0
f (t) T→∞ τ/T
0 t 0
图4.3-5 周期与频谱的关系
思考： 思考：
1 1 1 f (t ) = [sin(Ωt ) + sin(3Ωt ) + sin(5Ωt ) + .... + sin(nΩt ) + ...] 3 5 n π 4
§3.2 周期信号的频谱和功率谱
不变，T增大，谱线间隔
1
2 T
减小，谱线逐渐密集，幅度
A T
பைடு நூலகம்
减
小
当 T
1 0
A 0 T
非周期信号连续频谱
非周期信号 n1 连续频率
2.当T不变， 减小时
T不变
1
2 间隔不变
T
A 振幅为0的谐波频率
T
2
,
4
,......
信号与系统
练习：周期信号的频谱描绘
不改变 不改变 不改变
Fn
2 T
2
f (t)dt
T
2 A
2
Adt
2
T
信号与系统
练习：周期信号的频谱描绘
a 2 nT
T
2 T
2
f (t) cos n1tdt
2A sin n n T
2 A
T
sin n
T
n
2A Sa(n )
T
T
T
f (t)
A
T
2 A
T
n 1
Sa( n
T
)
cos(n1t )
A 2A
TT
S a(
立叶展开式并画出其频谱图。
1
解: f(t) 在一个周期内可写为如下形式
Tt
f (t) 2 t T t T
T
22
f(t) 是奇函数，故 an 0
信号与系统
4
bn T
T 2 0
f (t) sin n1tdt
4 T
T 2 0
2t T
sin
n1tdt
(1
2
T
)
An &n 2
周期信号频谱的特点
周期信号频谱的特点
1.频谱中存在基波和谐波：周期信号的频谱中不仅包含了基波分量，还包括了各个谐波分量。
基波分量对应信号的基本周期，而谐波分量则是基波频率的整数倍。
基波和谐波分量在周期信号频谱中呈现出一定的规律性，即谐波分量的幅值逐渐减小，但频率却逐渐增大。
2.频谱具有离散特性：周期信号频谱中的频率值是离散的，即频谱中只有一系列离散的频率分量。
这是因为周期信号具有固定的周期，其频谱中的各个频率值与基波频率和谐波频率有关。
3.频谱对称性：周期信号频谱在频率轴上具有对称性。
具体而言，当周期信号是实值信号时，其频谱是共轭对称的，即频谱图中的正频率部分与负频率部分关于频率轴对称。
当周期信号是复值信号时，其频谱是共轭对称的，即频谱图中的正频率部分与负频率部分关于频率轴对称。
4.频谱幅度递减：周期信号频谱中各个频率分量的幅度递减性质。
基波分量的幅度最大，而谐波分量的幅度逐渐减小。
如果周期信号中存在无穷多个谐波分量且每个谐波分量的幅度适当，则可以近似地表示任意的周期信号。
5.频谱包含整个频率范围：周期信号频谱中包含了整个频率范围，即从直流成分到无限大频率。
直流成分对应于基波分量，而高频成分对应于谐波分量。
因此，周期信号的频谱图是一个连续的、无缺口的频率分布。
总之，周期信号频谱的特点可以概括为：包含基波和谐波分量，具有离散特性，具有对称性，谐波分量幅度递减，频率范围包含整个频域。
通过对周期信号频谱的分析，可以了解信号的频率分布情况，从而更好地理解和处理周期信号。
§3.3周期信号的频谱
实函数f(t)分解成虚指数须有共轭对 e jnΩt 和
双边相位谱
e -jnΩt，才能保证f(t)的实函数的性质不变。
©南昌航空大学电子信息工程学院电子工程系
▲
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第 6页
或B
f
1 ，带宽与脉宽成反比。
系统的通频带 > 信号的带宽，才能不失真
语音信号 频率大约为
300~3400Hz，
音乐信号
50~15,000Hz，
扩音器与扬声器 有效带宽约为 15~20,000Hz。
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信号与系统 电子教案
作业2：
▲
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第 10 页
信号2与、系谱统 线电子结教案构与波形参数关系
Fn
T
Sa( n )
T
＝ 2π T
2π 0
周期T、 脉宽
T 不变
减小
不变
T 增大
谱线 幅度 减小
减小
谱线 密度
不变
零点 频率0
增大
零点间谱线数 0/=T/ 增多
加密 不变
增多
T
周期信号的离散频谱过渡到
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信号与系统 电子教案 1、周期信号频谱特点
(1)离散性: 频谱由频率离散而不连续的谱线组 成, 谱线间隔为频率Ω ；
(2)谐波性：各次谐波分量(各谱线)的频率都 是基波频率Ω的整数倍；
4-2 信号的频域分析-周期信号频域分析
分析问题使用的数学工具为傅里叶级数 最重要概念：频谱函数 要点
1. 频谱的定义、物理意义 2. 频谱的特点 (离散，衰减) 3. 频谱的性质，应用性质分析复杂信号的频谱 4. 功率谱的概念及在工程中的应用
17
离散Fourier级数（DFS）
DFS的定义 常用离散周期序列的频谱分析 周期单位脉冲序列d N[k] 正弦型序列 周期矩形波序列 DFS的性质
0 2π / T
n 0
3
例2 已知连续周期信号的频谱如图，试写出 信号的Fourier级数表示式。
Cn
4 3 2 1 3 2 1 1 3 2
0
1
2
3
n
解： 由图可知 C 0 4
f (t ) C n e jn 0 t
n
C 1 3
C 2 1
三、周期信号的频谱及其特点
1. 频谱的概念
周期信号f(t)可以分解为不同频率虚指数信号之和
f (t ) C n e j n 0 t
n =
不同的时域信号，只是傅里叶级数的系数Cn不同， 因此通过研究傅里叶级数的系数来研究信号的特性。 Cn是频率的函数，它反映了组成信号各次谐波 的幅度和相位随频率变化的规律，称频谱函数。
10
例3 试求周期矩形脉冲信号在其有效带宽(0~2 /)内
谐波分量所具有的平均功率占整个信号平均功率 的百分比。其中A=1，T=1/4，=1/20。
f (t )
A
T
2
2
T
t
解： 周期矩形脉冲的傅里叶系数为
Cn A T Sa ( n 0 2 )
将A=1，T=1/4， = 1/20，0= 2/T = 8 代入上式
周期信号的单边频谱及其特点
周期信号的单边频谱
f
(t
)
1
1
cos
t
1
cos
t
2
2 4 3 4 3 3
f(t)的单边幅度频谱图、相位频谱图如下：
Ak
k
A0
周期信号频谱的特点
离散性：频谱由不连续的线条组成，每个线 条代表一个正弦分量，因此这样的频谱称为 离散频谱；
谐波性：离散频谱的每条谱线，都出现在基
波频率0的整数倍上；
)
2
1 2
cos(2
0t
)
2
Ak
1 3
cos(3 0t
2
)
1 4
cos(4
0t
)
2
]
E
幅度频谱
0 20 3 40 50 0 0 相位频谱
k200源自305020
40
2
周期信号的单边频谱
周期锯齿波的傅里叶级数展开式为
f
(t)
A 2
A[cos(1t
2
)
1 2
cos(21t
)
2
1 3
cos(31t
1为该信号的直流分量。
1 cos t
2 4 3
周期为8；
1 4
cos
3
t
2
3
周期为6；
周期信号的单边频谱
解： 所以，f(t)的周期T=24，基波频率0=2/T = /12
1
cos
t
2 4 3
是f(t)的3次谐波分量；
1 cos t 2 是f(t)的4次谐波分量。
4 3 3
)
2
1 4
cos(41t
)
周期信号的频谱的特点
周期信号的频谱的特点对于周期信号，其频谱特点主要有以下几个方面：1.频谱呈现出离散的频率分量：周期信号的频谱是由一系列离散的频率分量组成的，这些频率分量可以看作是正弦波的谐波。
具体来说，周期信号的基波频率对应着信号的周期，而高次谐波频率对应着信号的周期的整数倍。
因此，周期信号的频谱呈现出离散的频率分量。
2.频率分量的幅值逐渐衰减：对于周期信号的频谱，随着频率的增大，各个频率分量的幅值逐渐衰减。
这是因为周期信号的频谱是由一系列频率为整数倍的正弦波叠加而成的，而高次谐波频率对应着幅度较小的频率分量。
因此，随着频率的增大，高次谐波频率分量的幅值逐渐变小，频谱呈现出幅度逐渐衰减的特点。
3.频谱具有对称性：对于实信号的周期信号，其频谱具有对称性。
具体来说，周期信号的频谱关于零频率轴对称。
这是因为周期信号的频谱是由实信号频谱叠加而成的，而实信号频谱及其傅里叶变换的共轭都是对称的，因此周期信号的频谱具有对称的特点。
4.频谱的带宽与周期信号的周期有关：对于周期信号，其频谱的带宽与信号的周期有关。
具体来说，频谱的带宽在理论上等于周期的倒数。
这是因为在频谱中，由于频率分量的间隔等于周期的倒数，频谱的带宽也等于周期的倒数。
5.频谱的相位对称性：对于周期信号，它的频谱在幅度谱的基础上还有相位谱。
频谱的相位是随着频率变化的，由于周期信号的频率分量是正弦波，而正弦波的相位是以周期为单位的，所以频谱的相位也具有周期性。
具体来说，频谱的相位存在对称性，即频率分量的相位和其对称频率分量的相位相差180度。
这是由于正弦波的周期性特点决定的。
综上所述，周期信号的频谱特点包括频谱呈现出离散的频率分量、频率分量的幅值逐渐衰减、频谱具有对称性、频谱的带宽与周期信号的周期有关，以及频谱的相位对称性等。
这些特点在信号处理和通信系统中具有重要的理论和实际意义，为信号的分析、处理和传输提供了基础。
周期信号的频谱
(17-3)
2
实验原理与说明
2 T 2 bn = ∫ T f (t) sin nt dt T 2
∞
n = 1, 2,
(17-4)
若将(17-1)式中同频率项加以合并，可以写成另一种形式 式中同频率项加以合并， 若将 式中同频率项加以合并
周期信号的频谱
1
实验原理与说明
周期信号的分解与合成
周期为T的周期信号 f (t)，满足狄里赫利（Dirichlet）条 周期为 的周期信号 满足狄里赫利（ ） 实际中遇到的所有周期信号都符合该条件）， ），便可 件（实际中遇到的所有周期信号都符合该条件），便可 以展开为傅里叶级数的三角形式， 以展开为傅里叶级数的三角形式，即:
2 T2 2 T 2 cos nt bn = ∫ sin ndt ∫ sin ndt = T 0 T T2
1
T 2
T
t
图17-1
T2
cos nt + n 0
T2
T
将 = 2π 代入上式，并且对所有的n有 cos nπ =1 ，可得 T 2 bn = (1 cos nπ ) nπ
4
实验原理与说明
周期信号频谱和特点
1、周期信号的频谱由不连续的线条组成，每一条线代表一个正弦量， 周期信号的频谱由不连续的线条组成，每一条线代表一个正弦量， 故称为离散频谱； 故称为离散频谱； 2、周期信号频谱的每条谱线只能出现在基波频率的整数倍频率上。 周期信号频谱的每条谱线只能出现在基波频率的整数倍频率上。 这就是周期信号频谱的谐波性； 这就是周期信号频谱的谐波性； 3、各次谐波的振幅，总的趋势是随着谐波次数的增高而逐渐减小。 各次谐波的振幅，总的趋势是随着谐波次数的增高而逐渐减小。 所以，周期信号的频谱具有收敛性。 所以，周期信号的频谱具有收敛性。 以上就是周期信号频谱的三个特点：离散性、谐波性、收敛性。 以上就是周期信号频谱的三个特点：离散性、谐波性、收敛性。这 是所有周期信号共有的特点。 是所有周期信号共有的特点。 4、离散频谱与连续频谱 当周期信号的周期T增大，其频谱中的谱线也相应地渐趋密集， 当周期信号的周期T增大，其频谱中的谱线也相应地渐趋密集，频 谱的幅度也相应的渐趋减小。当 频谱线无限密集， 谱的幅度也相应的渐趋减小。T →∞ 时，频谱线无限密集，频谱 幅度无限趋小。这时，离散频谱就变成连续频谱。 幅度无限趋小。这时，离散频谱就变成连续频谱。
一文看懂周期信号的频谱特点
一文看懂周期信号的频谱特点周期信号概念是周期信号瞬时幅值随时间重复变化的信号。
常见的周期信号有：正弦信号、脉冲信号以及它们的整流、微分、积分等。
这类可称为简单信号。
它们的特点是在一个周期内的极值点不会超过两个且周期性特征明显。
对于这类已明确具有周期特性的信号，周期与否的判别相对简单，周期测量的方法也很成熟完善，如：过零检测法，脉冲整形法等。
x（t）=x（t+kT），k=1，2.。
式中t表示时间，T表示周期。
频谱的概念频谱是频率谱密度的简称，是频率的分布曲线。
复杂振荡分解为振幅不同和频率不同的谐振荡，这些谐振荡的幅值按频率排列的图形叫做频谱。
频谱广泛应用于声学、光学和无线电技术等方面。
频谱将对信号的研究从时域引入到频域，从而带来更直观的认识。
把复杂的机械振动分解成的频谱称为机械振动谱，把声振动分解成的频谱称为声谱，把光振动分解成的频谱称为光谱，把电磁振动分解成的频谱称为电磁波谱，一般常把光谱包括在电磁波谱的范围之内。
分析各种振动的频谱就能了解该复杂振动的许多基本性质，因此频谱分析已经成为分析各种复杂振动的一项基本方法。
周期信号频谱的特点（1）离散性：频谱谱线是离散的。
（2）收敛性：谐波幅值总的趋势随谐波次数的增加而降低。
（3）谐波性：谱线只出现在基频整数倍的频率处。
周期信号的有效频谱宽度在周期信号的频谱分析中，周期矩形脉冲信号的频谱具有典型的意义，得到广泛的应用。
下面以图3-8所示的周期矩形脉冲信号为例，进一步研究其频谱宽度与脉冲宽度之间的图3-8关系。
图3-8所示信号）（tf的脉冲宽度为，脉冲幅度为E，重复周期为T，重复角频率为若将）（tf展开为式（3-17）傅里叶级数，则由式（3-18）可得。
§3.3 周期信号的频谱
(3).系统的通频带>信号的带宽, (3).系统的通频带>信号的带宽,才能不失真 系统的通频带
300~3400Hz， 语音信号 频率大约为 ， 50~15,000Hz， 音乐信号 ， 扩大器与扬声器 有效带宽约为 15~20,000Hz。 。
3.3.2 fT(t)的功率 的功率
为实信号在1欧姆电阻上消耗的平均功率为 设fT(t)为实信号在 欧姆电阻上消耗的平均功率为 为实信号在 欧姆电阻上消耗的平均功率为:
Eτ 当 1 →∞， ， 1 →0 T 时 Ω ， 为 限 ， 无 小 T 1 f (t ) 周 信 由 期 号→非 期 号 周 信 。
矩形脉冲的频谱说明了周期信号频谱的特点： 矩形脉冲的频谱说明了周期信号频谱的特点：
离散性，谐波性，收敛性 离散性，谐波性，
3．频带宽度
(1).问题提出
Eτ
Fn
T1
|F n| 2 1.5 1 0.4 0.2 0.2
π
2π 3π 4π 5π 6π
1.5 1 1 0.4
－ 6π－ 5π － 4π － 3π－ 2π － π o
(a)
ω
ϕ
45° 30°
n
45° 30° 20°
15°
10°
π
－ 6π－ 5π － 4π－ 3π － 2π － π
o
2π
3π
4π
5π
6π
ω
－10° －20° －30° －45°
Eτ
τ Eτ SanΩ1 F = n 2 T 1
F ( nΩ1 )
T1
Ω1 =
2π T1
2π
O
Ω1 2Ω1
τ
ω
Eτ 包络线形状： (1)包络线形状：抽样函数 (2)其最大值在n = 0处，为 。 2π T1 4 第一个零点坐标： 离散谱(谐波性,收敛性) (3)离散谱(谐波性,收敛性) （ )第一个零点坐标：
周期信号频谱3特点
1-1 周期信号频谱3特点离散性，谐波性，收敛性1-2 信号的分哪几类以及特点是什么？⑴、 按信号随时间的变化规律分为确定性信号和分确定性信号，确定信号分为周期信号（包括谐波信号和一般周期信号）和非周期信号（准周期信号和以便非周期信号）；非确定性信号包括平稳随机信号（包括各态历经信号和非各态历经信号）和非平稳随机信号。
⑵、 按信号幅值随时间变化的连续性分类，信号包括连续信号和离散信号，其中连续信号包括模拟信号和一般模拟信号，离散信号包括一般离散信号和数字信号。
（3）按信号的能量特征分类，信号包括能量有限信号和功率有限信号。
1-2 什么是单位脉冲函数)(t δ？它有什么特性？如何求其频谱？⑴单位脉冲函数的定义在ε时间内矩形脉冲()εδt （或三角形脉冲及其他形状脉冲）的面积为1，当0ε→时，()εδt 的极限()0lim εεδt →，称为δ函数。
⑵()δt 函数的性质①积分筛选特性。
②冲击函数是偶函数，即()()δt δt =-。
③乘积（抽样）特性：④卷积特性：⑶单位脉冲信号的傅立叶变换等于1，其频谱如下图所示，这一结果表明，在时域持续时间无限短，幅度为无限大的单位冲击信号，在频域却分解为无限宽度频率范围内幅度均匀的指数分量。
2-1.线性系统主要性质及为什么理想测量系统是线性系统?（1）线性系统的主要性质：叠加性，比例特性微分特性，微分特性，积分特性，频率保持特性(2)这是因为目前处理线性系统及其问题的数学理论较为完善，而对于动态测试中的非线性校正还比较困难。
虽然实际的测试系统不是一种完全的线性系统，但在一定的工作频段上和一定的误差允许范围内均可视为线性系统，因此研究线性系统具有普遍性。
2-2．测量系统的静态特性及动态特性答： 测量系统静态特性的主要参数有灵敏度、线性度、回程误差、量程、精确度、分辨力、重复性、漂移、稳定性等。
测量系统的动态特性指输入量随着时间变化时，其输出随着输入而变化的关系。
4.2周期信号的频谱
矩形波：
图1
n 90o (n 1,3,5,...)
谱 线
相位值 振幅 图2 角频率
频谱
4.2-3
4.2.1 周期信号频谱的特点
频谱特点：
•
离散性：每根谱线代表一个谐波分量， 称为离散谱线。 谐波性：基波1的整数倍频率 收敛性：高次谐波幅度渐小，当谐波次 数无限增多时，谐波分量的振幅趋于无 穷小。
图5
信号与系统
4.2-7
f( t ) 的双边谱
Sa( t ) ：
Fn ：
图6
信号与系统
f( t ) 的幅度谱和相位谱
4.2-8
？
图7
？
信号与系统
4.2-9
周期 T 和脉冲宽度τ与频谱的关系
从上述周期信号的频谱图可以看出，信号能量主要部 分集中在 0 2π 的低频分量上，那些次数较高的频率 2π 0 分量实际上可以忽略不计。因此，常把 这段频率 范围称为矩形信号的有效带宽，或称为 “频带宽度”， 简称带宽，即
则复系数
则f(t)的指数形式的傅里叶级数为
A f (t ) T
n1 sin( ) 1 2 jn1t A n1 A 2 Fn Ae dt Sa ( ) n1 T 2 T T 2 ( ) 2
1 2 A F0 a0 Adt T 2 T
当n 1,3,5时
当n 2,4,6时
an bn 0
4 an f ( t ) cosn 1t d t T1 T1 4 2 bn f ( t ) sinn 1t d t T1 0
T1 2 0
奇谐函数
周期信号的频谱的特点
图 3-10 给出了脉冲宽度 相同而周期 T 不同的周期矩形脉冲信号的频谱。 由 图可见， 这时频谱包络线的零点所在位置不变， 而当周期 T 增大时， 频谱线变密， 即在信号占有频带内谐波分量增多，同时振幅减小。当周期无限增大时， f (t ) 变 为非周期信号，相邻谱线间隔趋近于零。相应振幅趋于无穷小量，从而周期信号 的离散频谱过渡到非周期信号的连续频谱，这将在下一节中讨论。
故
PB 0.1806 0.9 P 0.2
从上式可以看出，在所给出的周期矩形脉冲情况下，包含在有效频谱宽度内 的信号平均功率约占整个信号平均功率的 90%。
关系图形反映，如图 3-7 所示。
Fn
0.25
7 5 - 4 - 3 - 0
ͼ 3 - 7
3
5 7
3 图 3-7 反映了周期矩形信号 f (t ) 频谱的一些性质，实际上它也是所有周期信 号频谱的普遍性质，这就是： (1) 离散性。指频谱由频率离散而不连续的谱线组成，这种频谱称为离散频 谱或线谱。
T 8
£® £® £®
-T
0 Fn
T
t
E / T 2 / 2 / 0
ͼ 3 - 10
w
如果保持周期矩形信号的周期 T 不变，而改变脉冲宽度 ，则可知此时谱线
间隔不变。若减小 ，则信号频谱中的第一个零分量频率
2
增大，即信号
的频谱宽度增大， 同时出现零分量频率的次数减小，相邻两个零分量频率间所含 的谐波分量增大。并且各次谐波的振幅减小，即振幅收敛速度变慢。若 增大， 则反之。 四、 周期信号的功率谱 周期信号 f (t ) 的平均功率可定义为在 1 电阻上消耗的平均功率，即
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周期信号的单边频谱
f (t) 1 1 cos t 1 cos t 2 2 4 3 4 3 3
f(t)的单边幅度频谱图、相位频谱图如下：
Ak
k
A0
周期信号频谱的特点
离散性：频谱由不连续的线条组成，每个线 条代表一个正弦分量，因此这样的频谱称为 离散频谱；
谐波性：离散频谱的每条谱线，都出现在基 波频率0的整数倍上；
信号与系统
第 12 讲 周期信号的单边频谱及其特点
周期信号从时域到频域的表示
•周期信号只要满足狄里赫利条件，都可分解为一系 列谐波分量之和。而一个余弦分量由振幅、频率和 相位确定，即一个余弦分量波形由这三个参数完全 决定。 这样，就可以不必画出周期信号所含有的各次谐波 的波形，而只用所含各次谐波的振幅、频率和相位 来描述周期信号。
2 4 3 3 6 2
1为该信号的直流分量。
1 cos t 2 4 3
周期为8；
1 cos t 2 4 3 3
周期为6；
周期信号的单边频谱
解： 所以，f(t)的周期T=24，基波频率0=2/T = /12
1 cos t 2 4 3
是f(t)的3次谐波分量；
1 cos t 2 是f(t)的4次谐波分量。
0
0
20 30 40 50
0.15
周期信号的单边频谱
已知周期信号
f (t) 1 1 cos t 2 1 sin t 2 4 3 4 3 6
求其基波周期T，基波角频率0，画出它的单边频谱图。
解：将f(t)改写为： f (t) 1 1 cos t 2 1 cos t
f
(t )
E
[cos ( 0 t
)
2
1 2
cos
(2
0
t
)
2
Ak
1 3
cos (3 0 t
2
)
1 4
cos (4 0 t
2
)
]
E
幅度频谱
0 0 20 30 40 50 相位频谱
k
2
0
0
30
50
20
40
2
周期信号的单边频谱
周期锯齿波的傅里叶级数展开式为
f
(t)
A 2
A
[cos(1t
) 2
1 2
周期信号从时域到频域的表示
周期信号频谱的概念
为方便和明确地表示一个周期信号所含有 的频率分量以及各频率分量所占的比重， 常画出周期信号各次谐波的分布图形，这 种图形称为信号的频谱图。
周期信号频谱的概念
一个信号的频谱图包括幅度频谱图和相位频谱图。 幅度频谱图描述各次谐波的幅度与频率的关系。 相位频谱图描述各次谐波的相位与频率的关系。 根据周期信号展开成傅里叶级数的不同形式，频谱
4A
(sin 1t
1 3
sin
31t
1 5
sin
51t
1 7
sin
71t
L
)
4A
[cos(1t
2
)
1 3
cos(31t
2
)
1 5
cos(51t
2
)
1 7
cos(71t
2
)
L
]
周期锯齿脉冲信号的频谱
由于f(t)为奇函数，a0=ak=0
f(t)
E
2
2
bk T
T
2 T
f (t)sin(k0t)dt
cos(21t
) 2
1 3
cos(31t
) 2
1 4
cos(41t
)L 2
]
周期信号的单边频谱
画出周期信号 f(t) 的振幅频谱和相位频谱。
f (t)
f (t)
1
si
n0
t
2
cos
0t
cos(20
t
4
)
1
5
cos(0t
0.15
)
cos
20t
4
Ak 5
k
0.25
1
1
0 0 20 30 40 50
收敛性：各条谱线的高度，即各次谐波的振 幅，随着谐波次数的增高而逐渐减小。
思考与练习
1 单边频谱中的谱线代表什么？
2 周期信号的频谱具有（ ）、（ ）、（ ） 的特点。
图又分为单边频谱图和双边频谱图。
周期信号的单边频谱
周期信号 f (t) 的三角函数形式的傅里叶级数展开式为
f (t) A0 An cos(n1t n ) n1
An 与 n1 的关系称为单边幅度频谱；
n 与 n1 的关系称为单边相位频谱
周期信号的单边频谱
对称方波的傅里叶级数展开式为
f
(t)
E (1)k 1
k
T
T 2
0
T 2
E
T
t
2
2
f
(t)
E
si n(0t )
1 2
si n(20t )
1 3
si n(30t )
1 4
si n(40t )
E
cos ( 0 t
2
)
1 2
cos (2 0 t
)
2
1 3
cos (3
0t
)
2
1 4
cos (4 0 t
)
2
周期锯齿脉冲信号的频谱