九年级数学上册第四章图形的相似7相似三角形的性质相似三角形中的开放性问题素材北师大版教案

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[推荐学习]2018-2019学年九年级数学上册-第四章-图形的相似《相似三角形的性质及应用》知识讲

[推荐学习]2018-2019学年九年级数学上册-第四章-图形的相似《相似三角形的性质及应用》知识讲相似三角形的性质及应用--知识讲解【学习目标】1、探索相似三角形的性质，能运用性质进行有关计算；2、通过典型实例认识现实生活中物体的相似，能运用图形相似的知识解决一些简单的实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）. 【要点梳理】要点一、相似三角形的应用1.测量高度测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决.要点诠释：测量旗杆的高度的几种方法：平面镜测量法影子测量法手臂测量法标杆测量法2. 相似三角形中的重要线段的比等于相似比.相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.要点诠释：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段. 3. 相似三角形周长的比等于相似比.∽，则由比例性质可得：4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方.∽，则分别作出与的高和，则21122=1122ABC A B C BC AD k B C k A D S k S B C A D B C A D '''''''⋅⋅⋅⋅=='''''''''⋅⋅△△要点诠释：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的.【典型例题】类型一、相似三角形的应用1. 在斜坡的顶部有一铁塔AB，B是CD的中点，CD是水平的，在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上。

已知铁塔底座宽CD=12m，塔影长DE=18m，小明和小华的身高都是 1.6m，同一时刻，小明站在点E处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m和1m，那么塔高AB为（）A.24mB.22mC.20mD.18m【答案】 A.【解析】过点D做DN⊥CD交光线AE于点N，则1.60.82DN DE ==,DN=14.4，又∵AM:MN=1.6:1，∴AM=1.6MN=1.6BD=1.6×6=9.6(m).∴塔高AB=AM+DN=14.4+9.6=24(m)，所以选A.【总结升华】解决本题的难点是把塔高的影长分为在平地和斜坡上两部分；关键是利用平地和斜坡上的物高与影长的比得到相应的部分塔高的长度．举一反三：【变式】已知：如图，阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下1.5m 宽的亮区DE.亮区一边到窗下的墙脚距离CE=1.2m ，窗口高AB=1.8m，求窗口底边离地面的高度BC.【答案】作EF⊥DC交AD于F.∵AD∥BE，∴又∵，∴，∴.∵AB∥EF，AD∥BE，∴四边形ABEF是平行四边形，∴EF=AB=1.8m.∴m.2. 如图，直立在B处的标杆AB=2.4m，直立在F处的观测者从E处看到标杆顶A、树顶C在同一条直线上（点F，B，D也在同一条直线上）．已知BD=8m，FB=2.5m，人高EF=1.5m，求树高CD．【答案与解析】解：过E 作EH⊥CD 交CD 于H 点，交AB 于点G ，如下图所示：由已知得，EF⊥FD，AB⊥FD，CD⊥FD， ∵EH⊥CD，EH⊥AB， ∴四边形EFDH 为矩形，∴EF=GB=DH=1.5米，EG=FB=2.5米，GH=BD=8米， ∴AG=AB﹣GB=2.4﹣1.5=0.9米， ∵EH⊥CD，EH⊥AB， ∴AG∥CH， ∴△AEG∽△CEH，∴EHEG CH AG，解得：CH=3.78米，∴DC=CH+DH=3.78+1.5=5.28米．答：故树高DC 为5.2米．【总结升华】本题考查了相似三角形在实际问题中的运用，关键是正确作出辅助线，构造出相似三角形．类型二、相似三角形的性质3.如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8，按如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则S△BCE：S△BDE等于（）.A. 2：5B．14:25C．16:25 D. 4:21【思路点拨】相似三角形的面积比等于相似比的平方，但是一定要注意两个三角形是否相似. 【答案】B.【解析】由已知可得AB=10，AD=BD=5，设AE=BE=x, 则CE=8-x,在Rt△BCE中，x2-(8-x)2=62,x=,由△ADE∽△ACB得，S△BCE：S△BDE=（64-25-25）：25=14:25，所以选B.【总结升华】关键是要确定哪两个是相似三角形.举一反三【变式】在锐角△ABC 中，AD,CE 分别为BC,AB 边上的高，△ABC 和△BDE 的面积分别等于18和2，DE=2,求AC 边上的高.【答案】过点B 做BF⊥AC,垂足为点F ，∵AD,CE 分别为BC,AB 边上的高， ∴∠ADB=∠CEB=90°，又∵∠B=∠B， ∴Rt△ADB∽Rt△CEB, ∴,BD AB BD BEBE CB AB CB==即,且∠B=∠B， ∴△EBD∽△CBA,∴221189BED BCADE AC S S⎛⎫=== ⎪⎝⎭△△,∴13DE AC =,又∵DE=2， ∴AC=6， ∴11862ABC AC BF S =⋅=∴△，BF=.4. 如图，正方形ABCB1中，AB=1．AB与直线l的夹角为30°，延长CB1交直线l于点A1，作正方形A1B1C1B2，延长C1B2交直线l于点A2，作正方形A2B2C2B3，延长C2B3交直线l于点A3，作正方形A3B3C3B4，…，依此规律，则A2014A2015= ．【思路点拨】本题考查相似三角形的判定与性质以及正方形的性质，根据已知条件得到A1B1=3，AA1=2，同理：A2A3=2（3）2，A3A4=2（3）3，从而找出规律答案即可求出．【答案与解析】2（3）2014解：∵四边形ABCB1是正方形，∴AB=AB1，AB∥CB1，∴AB∥A1C，∴∠CA1A=30°，∴A1B1=3，AA1=2，∴A1B2=A1B1=3，∴A1A2=23，同理：A2A3=2（3）2，A3A4=2（3）3，…∴An An+1=2（3）n，∴A2014A2015=2（3）2014，故答案为：2（3）2014．【总结升华】本题是相似性质的运用与找规律相结合的一道题，要注意从特殊到一般形式的变换规律.举一反三：【变式】如图，已知中，，，，，点在上， (与点不重合)，点在上.(1)当的面积与四边形的面积相等时，求的长.(2)当的周长与四边形的周长相等时，求的长.【答案】(1)∵，.,∽....(2)∵的周长与四边形的周长相等.,=6.,∽..,, .。

九年级上册第四章图形的相似重点题型归纳

九年级上册第四章图形的相似重点题型归纳图形的相似是初中数学中的一个重要概念，它在解决图形变换和比例问题中起到关键作用。

在九年级上册的第四章中，我们学习了图形的相似性质及其相关的题型。

本文将对这些重点题型进行归纳总结，帮助同学们理解和掌握。

1. 相似三角形的判定和性质相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。

我们可以利用以下条件判定两个三角形是否相似：- AA判定法：如果两个三角形的对应角相等，那么它们是相似三角形。

- SSS判定法：如果两个三角形的对应边成比例，那么它们是相似三角形。

- SAS判定法：如果两个三角形的两对边成比例且夹角相等，那么它们是相似三角形。

相似三角形的性质：- 对应角相等：相似三角形对应角相等，即它们的内角相等。

- 对应边成比例：相似三角形的对应边成比例，即它们的对应边的长度比相等。

2. 相似三角形的应用相似三角形的应用涉及到长度、面积、坐标等方面的计算和问题求解。

以下是常见的相似三角形的应用题型：- 根据已知条件求解未知长度：利用相似三角形的性质，我们可以根据已知条件的比例关系计算未知长度。

- 根据已知条件求解面积：相似三角形的面积比等于对应边的长度比的平方。

- 坐标变换问题：当一个图形通过平移、旋转或缩放而变换时，我们可以利用相似三角形的性质求解坐标的变换关系。

3. 黄金分割黄金分割是指将一条线段分成两部分，使整体线段与较长部分之比等于较长部分与较短部分之比。

黄金分割具有以下特点：- 黄金分割比例是1：（√5+1）/2，约等于1：1.618。

- 黄金分割线段具有美学上的完美比例，被广泛应用在建筑、绘画等领域。

- 黄金矩形具有一些特殊性质，例如，它的长边和短边的比例等于整个矩形和长边之比。

4. 相似图形的比例尺比例尺用于表示实际对象与图形之间的比例关系。

当我们绘制地图、建筑设计等图形时，需要确定适当的比例尺。

常见的比例尺形式包括文字比例尺和线性比例尺。

- 文字比例尺：用文字描述实际距离与图形上距离的比例关系，例如，“1cm表示10公里”。

九年级数学上册第4章图形的相似 4.7 相似三角形的性质课件上册数学课件

6.如图4-7-2,在平行四边形ABCD中,点E在CD上,若DE∶CE=1∶2,则 △CEF与△ABF的周长比为 ( )
A.1∶2
B.1∶3
图4-7-2 C.2∶3 D.4∶9
答案 C ∵四边形ABCD是平行四边形,∴DC∥AB,CD=AB.∴△CEF ∽△ABF,∵DE∶EC=1∶2,∴EC∶DC=CE∶AB=2∶3,∴C△CEF∶C△ABF= 2∶3.故选C.
4
与△DEF对应中线的比为 3 ,故选A.
4
,∴△ABC
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2.已知△ABC∽△DEF,且相似比为4∶3,若△ABC中BC边上的中线AM=
8,则△DEF中EF边上的中线DN=
.
答案 6
解析由相似三角形对应线段的比等于相似比,得 A M = 4 ,∵AM=8,
DN 3
∴DN=6.
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(2)∵DE∥BC,∴∠EDC=∠BCD,∠DEG=∠CBG,
∴△GED∽△GBC,∴ GE=D的=周长. D E 1
GBC的周长 B C 2
∵△ADE∽△ABC,∴ S =A D E
S ABC
=D
B
E C
2
=
1 2
.
2
1 4
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知识点三相似多边形的性质
相似多边形性质
边、角
S甲
4
S甲 4
29
答案 60;24
点拨根据相似多边形的周长比、面积比与相似比的关系列出比例式,
用比例的性质列方程解题.
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题型一利用相似三角形的性质计算线段的长
例1 如图4-7-4所示,在△ABC中,E、F都是BC上的点, D、G分别是AB、AC上的点,四边形DEFG是矩形,AH是 BC边上的高,AH与DG相交于点K.若BC=12,矩形DEF的面积与△ADG的面积相等,求DG的长.

九年级数学上册第四章图形的相似4.7相似三角形的性质

2
又 B B'
结论：相似三角形对
A B E ∽ A 'B 'E '
AA1'2EE/11' /2021
A A'
B B
'
k
应(duìyìng)角的角平分线的比等于相似比.
B′
EC
A′
C′
E′
第十一页，共二十六页。
相似(xiānɡ sì)三角形的性质
问题：两个(liǎnɡ ɡè)相似三角形的周长比
第三页，共二十六页。
一个三角形有三条重要(zhòngyào)线段：
高_、_中__线__(zh_ōng_xià_n)、__角_平__分__线
如果两个三角形相似，那么这些对应线段(xiànduàn)有什么关系呢？
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第四页，共二十六页。
探究
A
（1）
ABC∽ ABC
B
相似比为1 2
DC
A′
对应高的比
AD 1 2 A D __________ _
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B′
第五页，共二十六页。
D
C′
A
（2）
ABC∽ ABC
B
D
相似比为1 2
C A′
对应中线的比
AD 1 2 A D __________ _
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B′
第六页，共二十六页。
D
C′
ABC∽ ABC
相似比为1
第二十二页，共二十六页。
5.已知两个等边三角形的边长之比为2 ：3，且它们(tā men)的面积之和为26cm2，则较小的等边三角
形的面积为多少？

九年级数学上册第四章图形的相似 7 相似三角形的性质重点解读其道理何在素材 (新版)北师大版

1 其道理何在在耳熟能详的电视连续剧《亮剑》的一集中，八路军129师386旅新一团团长李云龙，要从敌人的阵地正面突围时，发现了鬼子的指挥所.于是，命令掷弹筒手王承柱打掉鬼子的指挥所.只见王承柱接到命令后，伸直右臂，大拇指竖起，闭上左眼，用右眼瞄了瞄，说“距离太远，不在射程之内”，并要求向前推进500米，结果用仅剩的两发炮弹将鬼子的指挥所摧毁.在发射炮弹之前，王承柱将上述动作又重复了一次.想来大家已看明白，掷弹筒手这是在测量其所在地与鬼子指挥所之间的距离.这是战场上一种简单的手指测距方法.那么，其道理何在？因为剧中对测量过程只是一带而过，并不完整，所以，这里将测量过程介绍得再详细一点.具体方法如下：将右臂向前伸直，竖起拇指，闭左眼，使右眼的视线沿拇指一侧对准目标左侧（基准点），头和手保持不动，现闭右眼，使左眼视线通过拇指的同一侧，并记住视线对准的实地某一点，然后目测目标左侧（基准点）至该点的宽度，将此宽度乘以10，即为站立点至目标的距离.不难看出，这里利用了三角形相似的知识.如右图所示，A ，B 分别表示人的两眼，C ，D 分别表示目标左侧（基准点）和实地某一点，O 为拇指的位置.两次分别从基准点和实地某一点射入人眼的光线COA 和DOB 、人的两眼的连线AB 以及基准点和实地某一点的连线CD ，构成两个三角形△OAB 和△OCD.很显然，△OAB ∽△OCD ，故有CD AB AC OA =，即OC ＝ABCD OA ⋅.而人的手臂的长度OA 大约是人的两瞳孔的间隔AB 的10倍，所以OC ＝10CD.并且在实际测量中，OC 远大于OA ，所以AC ≈OC ≈10CD.这种方法简便实用，据说是由我军炮兵战士在战争年代发明的，这充分显示了我军战士的聪明才智，也证实了“实践出真知”的哲理.。

北师大版数学九年级上册4.7《相似三角形的性质》第二课时优秀教学案例

3.小组合作学习：采用小组合作的学习方式，培养学生的合作能力和团队精神。学生分组讨论，分享观点和例子，互相交流和学习，共同解决问题。教师进行巡回指导，解答学生的问题，提供必要的帮助和引导。
4.总结归纳与知识应用：在总结归纳环节，让学生回顾学习内容，总结相似三角形的性质和判定方法，形成系统的知识体系。同时，强调相似三角形性质在几何证明和实际问题解决中的应用，提高学生的知识应用能力。
五、案例亮点
1.生活情境的引入：通过引入实际问题和生活情境，激发学生的学习兴趣和积极性。例如，计算建筑物面积或解决角度问题等，使学生感受到相似三角形性质在实际生活中的应用，提高学习的贴切性和实际意义。
2.问题导向与学生主动探究：以问题为导向，引导学生主动探究和发现相似三角形的性质。提出引导性问题激发学生思考，通过观察、操作和归纳等方法，发现和总结相似三角形的性质，培养学生的问题解决能力和科学探究精神。
二、教学目标
（一）知识与技能
1.学生能够理解相似三角形的性质，包括对应边成比例、对应角相等。
2.学生能够运用相似三角形的性质解决实际问题，如计算面积、解决角度问题等。
3.学生能够熟练运用相似三角形的判定方法，判断两个三角形是否相似。
4.学生能够掌握相似三角形的性质在几何证明中的应用，提高证明能力。
（二）过程与方法
5.作业小结与反馈指导：布置有关相似三角形性质的练习题，巩固所学知识。要求学生在作业中运用相似三角形的性质解决实际问题，培养学生的应用能力。在批改作业过程中，及时给予反馈和指导，帮助学生纠正错误和提高解题能力。
情境的方式，让学生思考和讨论实际问题。例如，展示一张图片，图片中有一个矩形和一个相似的平行四边形，让学生计算它们的面积。通过这个问题，引导学生思考相似形的性质，从而引出本节课的主题——相似三角形的性质。

秋学期九年级数学上册第四章图形的相似4.7相似三角形的性质第2课时相似三角形中周长和面积之比备课(北师大)

第四章图形的相似7 相似三角形的性质第2课时相似三角形中的周长和面积之比素材一新课导入设计置疑导入归纳导入类比导入趣如图4－7－29，在比例尺为1∶500的地图上，测得一个三角形地块的周长为12 cm ，面积为6 cm 2，求这个地块的实际周长及面积．图4－7－29问题1 在这个情境中，地图上的三角形地块与实际地块是什么关系？1∶500表示什么含义？问题2 要解决这个问题，需要什么知识？问题3 你能对这个地块的实际周长与面积作出估计吗？问题4 如何说明你的猜想是否正确呢？ [说明与建议] 说明：学生们在一个开放的环境中思考生活中遇到的实际问题，亲身经历和感受数学知识来源于生活中的过程．建议：小组交流、总结，学生可能会得到周长之比等于比例尺，面积之比等于比例尺的平方的猜想，通过小组合作，初步验证猜想，引出新知．复习比例线段的性质(基本性质、合比性质、等比性质)： ①如果a b ＝43，那么a ＋b b ＝__73__，a －b b ＝__13__；②如果a b ＝c d ＝e f ＝57，那么a ＋c ＋e b ＋d ＋f ＝__57__；③在四边形ABCD 和四边形EFGH 中，已知AB EF ＝BC FG ＝CD GH ＝DA HE ＝23，四边形ABCD 的周长是60cm ，求四边形EFGH 的周长．[说明与建议] 说明：通过复习比例的性质，尤其是等比性质，让学生感受多边形的周长比与相似比的关系．引导学生思考问题，自然地过渡到新课的学习上来．建议：重点是让学生动手、动脑，探究相似形周长之比与相似比之间的关系．某城区施工队在道路拓宽施工时遇到这样一个问题：马路旁边原有一个面积为100平方米、周长为80米的三角形绿化地，由于马路拓宽，绿化地被削去了一个角，变成了一个梯形，如图4－7－30，原绿化地一边AB的长由原来的20米缩短成12米．则被削去的部分面积有多大？它的周长是多少？图4－7－30[说明与建议] 说明：联系生活实际，提出问题，引发学生探究的积极性，设置悬念，从而激发学生的求知欲．通过思考，让学生带着问题学习新课，同时教师引出新课．建议：在学生操作时，教师要引导学生进行思考、分析，为进一步学习积累数学活动经验．素材二教材母题挖掘110页例2如图4－7－31，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF，△ABC与△DEF重叠部分(图中阴影部分)的面积是△ABC的面积的一半．已知BC＝2，求△ABC平移的距离．图4－7－31【模型建立】根据相似三角形的性质——相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，可以解决图形中的周长与面积问题，简化计算与证明过程．对学生的要求是能准确找出相似的两个三角形，再利用性质求解．【变式变形】1．如图4－7－32，△ABC∽△A′B′C′，它们的周长分别为60 cm和72 cm，且AB＝15 cm，B′C′＝24 cm，求BC，AC，A′B′，A′C′的长．图4－7－32[答案：BC＝20 cm，AC＝25 cm，A′B′＝18 cm，A′C′＝30 cm]2．如图4－7－33，在△ABC和△DEF中，AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D，△ABC的周长是24，面积是48，求△DEF的周长和面积．图4－7－33[答案：△DEF 的周长为12，面积为12]3．如图4－7－34所示，在ABCD 中，AE ∶EB ＝1∶2，且S △AEF ＝6 cm 2. (1)求△AEF 与△CDF 的周长比； (2)求△CDF 的面积．图4－7－34[答案：(1)1∶3 (2)54 cm 2]4．如图4－7－35，在△ABC 中，∠C ＝90°，D 是AC 上一点，DE ⊥AB 于点E.若AB ＝10，BC ＝6，DE ＝2，求四边形DEBC 的面积．图4－7－35[答案：643]素材三考情考向分析[命题角度1] 利用相似三角形的性质求周长比相似三角形的周长比等于相似比，有了边长的关系，就可以求出周长比．例 [湘西中考] 如图4－7－36，在ABCD 中，E 是AD 边上的中点，连接BE ，并延长BE 交CD 的延长线于点F ，则△EDF 与△BCF 的周长比是(A )图4－7－36A ．1∶2B ．1∶3C ．1∶4D ．1∶5[命题角度2] 利用相似三角形的性质求面积比灵活运用相似三角形的面积比等于相似比的平方进行解题．例 [南京中考] 若△ABC∽△A′B′C′，相似比为1∶2，则△ABC 与△A′B′C′的面积比为(C )A ．1∶2B ．2∶1C ．1∶4D ．4∶1[命题角度3] 利用相似三角形的性质求相似比相似三角形的面积之比等于相似比的平方．反过来，当已知两个相似三角形面积之间的关系时，也可以求出相似比．例 [滨州中考] 如图4－7－37，平行于BC 的直线DE 把△ABC 分成的两部分面积相等，则ADAB的值是多少？图4－7－37[答案：22]素材四教材习题答案P110随堂练习判断正误：(1)如果把一个三角形三边的长同时扩大为原来的10倍，那么它的周长也扩大为原来的10倍；( )(2)如果把一个三角形的面积扩大为原来的9倍，那么它三边的长都扩大为原来的9倍．( )[答案] (1)√(2)×P110习题4.121．如图，在方格纸上有△A1B1C1和△A2B2C2，这两个三角形是否相似？如果相似，△A1B1C1与△A2B2C2的周长比和面积比分别是多少？解：相似，周长比为2∶1 ；面积比为4∶1.2．如图，在△ABC和△DEF中，G，H分别是边BC和EF的中点，已知AB＝2DE，AC＝2DF，∠BAC＝∠EDF.(1)中线AG与DH的比是多少？(2)△ABC与△DEF的面积比是多少？解：(1)2∶1 (2)4∶1.3．如图，Rt△ABC∽Rt△EFG，EF＝2AB，BD和FH分别是它们的中线，△BDC与△FHG是否相似？如果相似，试确定其周长比和面积比．解：相似；周长比为1∶2，面积比为1∶4. 4．一块三角形土地的一边长为120 m ，在地图上量得它的对应边长为0.06 m ，这边上的高为0.04 m ，求这块地的实际面积．解：4800 m 2.5．小明同学把一幅矩形图放大欣赏，经测量其中一条边由10 cm 变成了40 cm ，那么这次放大的比例是多少？这幅画的面积发生了怎样的变化？解：放大的比例是1∶4，这幅画的面积变为原来的16倍．6．一个小风筝与一个大风筝形状相同，它们的形状如图所示，其中对角线AC ⊥BD .已知它们的对应边之比为1∶3，小风筝两条对角线的长分别为12 cm 和14 cm.(1)小风筝的面积是多少？(2)如果在大风筝内装设一个连接对角顶点的十字交叉形的支撑架，那么至少需要多长的材料？(不计损耗)(3)大风筝要用彩色纸覆盖，而彩色纸是从一张刚好覆盖整个风筝的矩形彩色纸(如图中虚线所示)裁剪下来的，那么从四个角裁剪下来废弃不用的彩色纸的面积是多少？解：(1) 设AC 和BD 的交点是O ，风筝面积＝△ABD 的面积＋△BCD 的面积＝12 × BD ×AO ＋ 12×BD ×CO ＝12×BD ×(AO ＋CO )＝ 12×BD ×AC ＝12×12×14＝84(cm 2)．(2) 3× (AC ＋BD )＝3×(12＋14)＝78(cm)．(3) 彩纸面积＝12×14×3×3，容易看出裁下的面积是彩纸的一半，故废弃部分面积＝3×3×12×14×12＝756(cm 2)．7．如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB 和AC 上，且DE ∥BC . (1)若AD ∶DB ＝1∶1，则S △ADE ∶S 四边形DBCE 等于多少？(2)若S △ADE ＝S 四边形DBCE ，则DE ∶BC ，AD ∶DB 各等于多少？解：(1)1∶3.(2)DE ∶BC ＝1∶2，AD ∶DB ＝1∶(2－1)．素材五图书增值练习专题一相似三角形性质的综合运用1．已知两个相似三角形对应高的比为3∶10，且这两个三角形的周长差为560 cm，求它们的周长．2．如图，Rt△ABC到Rt△DEF是一个相似变换，AC与DF的长度之比是3∶2．（1）DE与AB的长度之比是多少？（2）已知Rt△ABC的周长是12 cm，面积是6 cm2，求Rt△DEF的周长与面积．3．如图所示，已知平行四边形ABCD中，E是AB延长线上一点，DE交BC于点F，BE∶AB＝2∶3，S△BEF＝4，求S△CDF．专题二相似多边形的性质4．如图，一般书本的纸张是在原纸张多次对开得到．矩形ABCD沿EF对开后，再把矩形EFCD 沿MN对开，依此类推．若各种开本的矩形都相似，那么AB∶AD等于．5．已知两个相似多边形的周长比为1∶2，它们的面积和为25，则较大多边形的面积是．6．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB上的一点，EF∥BC，并且EF将梯形ABCD分成的两个梯形AEFD、EBCF相似，若AD＝4，BC＝9，求AE∶EB．【知识要点】1．相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比，都等于相似比． 2．相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方． 3．相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．【温馨提示】1．应用性质时，抓住关键词“对应”，找准对应边． 2．不要误认为相似三角形面积的比等于相似比．3．由线段的比求面积的比，或由面积的比求线段的比时，应分两种情况：（1）两个图形是否相似，若是相似图形，则面积比等于相似比的平方；（2）两个图形不相似时，常会出现底在同一条直线上，有同一条高，那么两个三角形面积比等于对应底的比．【方法技巧】1．利用相似三角形性质是求线段长度，角的度数，周长，面积及线段的比等问题的依据． 2．等底等高的两三角形面积相等，这个规律在求三角形面积中经常用到．3．应用相似三角形（多边形）的性质，常与三角形（多边形）相似的判定相结合． 4．相似多边形的定义是判定多边形相似的主要依据，也是多边形相似的重要性质．参考答案： 1．解：设一个三角形周长为 C cm ，则另一个三角形周长为（C ＋560）cm ，则C ∶（C ＋560）＝3∶10，∴C ＝240，C ＋560＝800，即它们的周长分别为240 cm ，800 cm ． 2．解：（1）由相似变换可得：DE∶AB ＝DF∶AC ＝2∶3；（2）∵AC∶DF＝3∶2，∴△DEF 的周长∶△ABC 的周长＝2∶3，S △DEF ：S △ABC ＝4∶9．∵直角三角形ABC 的周长是12 cm ，面积是6 cm 2，∴△DEF 的周长为8 cm ，S △DEF ＝38 cm 2． 3．解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AE∥DC， ∴△BEF∽△CDF ．∵AB＝DC ，BE∶AB ＝2∶3，∴BE∶DC＝2∶3，∴S △DCF ＝（23）2•S △BEF ＝49×4＝9． 4．22[解析] ∵矩形ABCD∽矩形BFEA ， ∴AB∶BF ＝AD∶AB ，∴AD•BF＝AB•AB．又∵BF＝21AD ，∴21AD 2＝AB 2，则AD AB ＝21＝22．5．20 [解析] 根据相似多边形周长的比等于相似比，而面积的比等于相似比的平方，即可求得面积的比值，依据面积和为25，就可求得两个多边形的面积．设两个多边形中较小的多边形的面积是x ，则较大的面积是4x ．根据题意得：x ＋4x ＝25，解得x ＝5．因而较大多边形的面积20．6．解：∵梯形AEFD∽梯形EBCF ，∴EF AD又∵AD＝4AD•BC＝4×9＝36．∵EF＞0，∴EF＝6【知识要点】1.几种特殊四边形的性质和判定：（1）特殊平行四边形具有一般平行四边形的一切性质，需要注重各自图形的特殊性质.（2）判别菱形：①说明是平行四边形+邻边相等; ②说明是平行四边形+对角线垂直；③四条边相等。

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相似三角形的性质及应用【学习目标】1、探索相似三角形的性质，能运用性质进行有关计算；2、通过典型实例认识现实生活中物体的相似，能运用图形相似的知识解决一些简单的实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）【要点梳理】要点一、相似三角形的性质1 •相似三角形的对应角相等，对应边的比相等2. 相似三角形中的重要线段的比等于相似比相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比3. 相似三角形周长的比等于相似比JP CA则匚m厂•AB+BC^CA kA'B^^^+k^A1由比例性质可得：4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方曲BC CA.詡,「，则分别作出「二'与沁丁的高1 1BC AD k BC k ADS亠和」l ,则石注二屮27 =k2S AABZ丄BC AD2要点诠释：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的•要点二、相似三角形的应用1. 测量高度测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决.要点诠释：测量旗杆的高度的几种方法：平面镜测量法影子测量法手臂测量法标杆测量法2. 测量距离测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。

1如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC BD CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长.2 .如乙图所示，可先测AC DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB 的长.要点诠释：1 •比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺=图上距离/实际距离；2•太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线•在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比；3 •视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）；4•仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角.【典型例题】类型一、相似三角形的性质△ ABB A DEF若厶ABC的边长分别为5cm 6cm 7cm,而4。

九年级数学上册第四章图形的相似 7 相似三角形的性质课件上册数学课件

的比等于相似比；
_平__方___．
2．相似三角形周长的比等于_相__似__比___，面积的比等于相似比的
注意：运用相似三角形的上述性质时，一定要注意“对应”二字的作
用．
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归类探究
类型之一相似三角形的性质 (1)已知△ABC∽△DEF，且相似比为 4∶3，若△ABC 中 BC 边上的中
第四章图形(túxíng)的相似
4.7 相似(xiānɡ sì)三角形的性质
学习指南知识管理归类探究当堂测评分层作业
第一页，共二十四页。
学习指南
教学目标掌握相似三角形中，对应线段比、周长比、面积比与相似比的关系．
第二页，共二十四页。
知识管理
定理：1.相似三角形_对__应_(_d_u_ìy_ìn的g)高比、对应_角__平__分_线____的比、对应_中__线__(z_hōngxiàn
线 AM＝8，则△DEF 中 EF 边上的中线 DN＝__6__； (2)如果两个相似三角形对应角平分线的比是 2∶3，那么它们对应高的比是
_2_∶__3__. 【点悟】相似三角形对应中线的比、对应的比、对应角平分线的比等于相似
比．
第四页，共二十四页。
如图，已知△ABC∽△DEF，BG，EH 分别是△ABC 和△DEF 的角平分线，BC＝6 cm，EF＝4 cm，BG＝4.8 cm.求 EH 的长．
接 AE 交 BD 于点 F，则△DEF 的面积与△BAF 的面积之比为( B )
A．3∶4
B．9∶16
C．9∶1 D．3∶1
第十三页，共二十四页。
4．已知△ABC∽△DEF，DABE＝23，△ABC 的周长是 12 cm，面积是 30 cm2. (1)求△DEF 的周长； (2)求△DEF 的面积．解：(1)∵DABE＝23，∴△DEF 的周长＝12×32＝8(cm)． (2)∵DABE＝32，∴△DEF 的面积＝30×232＝1313(cm2)．

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相似三角形错解分析相似三角形具有对边成比例,对角相等,相似三角形对应高的比等于相似比，相似三角形的周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方等性质.在利用相似三角形解决问题,一定注意结合图形,正确利用相似三角形的性质解决实际问题,不要出现下列一些错误.例1 如图1,在△AＢC 中，AB=10cm,B Ｃ＝20ｃm ，点P 从点Ａ开始沿ＡB 边向B 点以2ｃm/s 的速度移动，点Ｑ从点B 开始沿ＢC 边向点C ，以4ｃm ／s 的速度移动,如果点P ,Q 分别从Ａ、B 同时出发,问经过几秒钟,△PBQ 与△ABC 相似。

错解:设经过ｔs 时,△ＰBQ 与△ＡBC 相似，则A Ｐ=2ｔ,B Ｑ=４t ，BP=1０-2t,当△PBQ∽△A ＢC 时,有BC BQ AB BP =,即20410210t t =-,所以t=2。

５. 分析：本题错解考虑问题不完整，出现漏解，本题除了△PBQ∽△A BC 外，在实际运动中还可能出现△ＱBP∽△ＡBC.所以两种情况都要考虑到．正解:设经过t ｓ时,△ＰBQ 与△ABC 相似，则A Ｐ=２t ，BQ=4t,ＢＰ＝1０—2t,(1)如图1, 当△PBQ∽△ABC 时，有BC BQ AB BP =，即20410210t t =-,所以t=2。

九年级数学相似三角形知识点总结及例题讲解

1. 平行线分线段成比例定理
例.
已知 l 1∥ l 2∥ l 3,
A Dl
B El
: 三条平行线截两条直线
1 2
, 所得的对应线段成比 .
C
Fl
可得 AB
DE AB 或
DE 等.
BC EF AC DF
2. 推论 : 平行于三角形一边的直线截其它两边
3
( 或两边的延长线 ) 所得的对应线段成比例 .
注意：(1) 此性质的证明运用了“设 k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法．
(2) 应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．
(3)
可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．
知识点三：黄金分割
1）定义：在线段 AB 上，点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC（AC＞BC ），如果 AC AB
ad bc
（两外项的积等于两内项积）
2. 反比性质：
ac bd
bd a c ( 把比的前项、后项交换 )
3. 更比性质 ( 交换比例的内项或外项 ) ：
ac bd
a b ，(交换内项 ) cd d c ，(交换外项 ) ba d b ．(同时交换内外项 ) ca
4. 合比性质
a
：
c
bd
ab b
cd （分子加（减）分母 , 分母不变）
例 4、矩形 ABCD 中， BC=3AB ， E、F，是 BC 边的三等分点，连结 AE 、 AF 、AC ，问图中是否存在非全等的相似三角形？请证明你的结论。
二、如何应用相似三角形证明比例式和乘积式
例 5、△ ABC 中，在 AC 上截取 AD ，在 CB 延长线上截取 BE ，使 AD=BE ，求证： DF AC=BC FE

北师大版九年级数学上册第四章图形的相似 4.7相似三角形的性质

7 第1课时相似三角形中特殊线段的性质知识点对应高、对应角平分线、对应中线的比1．已知△ABC ∽△DEF ，若△ABC 与△DEF 的相似比为34，则△ABC 与△DEF 对应角平分线的比为( )A.34B.43C.916D.1692．如图4－7－1，△ABC ∽△A ′B ′C ′，AD ，BE 分别是△ABC 的高和中线，A ′D ′，B ′E ′分别是△A ′B ′C ′的高和中线，且AD ＝4，A ′D ′＝3，BE ＝6，则B ′E ′的长为( )图4－7－1A.32B.52C.72D.923．已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，AD 和A ′D ′是它们的对应角平分线，已知AD ＝8 cm ，A ′D ′＝3 cm ，则△ABC 与△A ′B ′C ′的对应高的比为________．4．已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，BD 和B ′D ′是它们的对应中线，已知AC A ′C ′＝32，B ′D ′＝4，则BD 的长是________．5．如图4－7－2是一个照相机成像的示意图，如果底片AB 宽40 mm ，焦距是60 mm ，求所拍摄的2 m 外景物的宽CD .图4－7－26．已知△ABC ∽△A ′B ′C ′且相似比为13，△A ′B ′C ′∽△A ″B ″C ″且相似比为43，则△ABC 与△A ″B ″C ″的相似比为( )A.14B.94C.49D.94或497．如图4－7－3所示，某校宣传栏后面2 m 处种了一排树，每隔2 m 一棵，共种了6棵，小勇站在距宣传栏中间位置的垂直距离3 m 处，正好看到这排树两端的树干，其余的4棵树均被挡住，那么宣传栏的长为________m ．(不计宣传栏的厚度)4－7－3 4－7－48．[2016·安顺] 如图4－7－4，矩形EFGH 内接于△ABC，且边FG 落在BC 上，若AD⊥BC，BC ＝3，AD ＝2，EF ＝23EH ，则EH 的长为________．9．某高中学校为高一新生设计的学生板凳的正面示意图如图4－7－5所示．其中BA ＝CD ，BC ＝20 cm ，BC ，EF 平行于地面AD 且到地面AD 的距离分别为40 cm ，8 cm ，为使板凳两腿底端A ，D 之间的距离为50 cm ，那么横梁EF 应为多长？(材质及其厚度等暂忽略不计)图4－7－510．如图4－7－6，△ABC 是一张锐角三角形的硬纸片，AD 是边BC 上的高，BC ＝40 cm ，AD ＝30 cm ，从这张硬纸片上剪下一个长HG 是宽HE 的2倍的矩形EFGH ，使它的一边EF 在BC 上，顶点G ，H 分别在AC ，AB 上，AD 与HG 的交点为M.(1)求证：AM AD ＝HG BC ；(2)求矩形EFGH 的周长．图4－7－611．如图4－7－7所示，有一侦察员在距敌方200 m 的A 处发现敌人的一座建筑物DE ，但不知其高度，又不能靠近建筑物测量，机灵的侦察员将食指竖直举在右眼前，闭上左眼，并将食指前后移动，使食指恰好能将建筑物遮住．若此时眼睛到食指的距离约为40 cm ，食指的长约为8 cm ，你能根据上述条件计算出敌方建筑物DE 的高度吗？请写出你的推理过程．图4－7－712．一块三角板的一条直角边AB的长为1.5 m，面积为1.5 m2，要把它加工成一个面积尽可能大的正方形桌面，甲、乙两名同学的加工方法如图4－7－8①②所示，请你用学过的知识说明哪名同学的加工方法更好．(加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保留)图4－7－813．从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．(1)如图4－7－9①，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°，求证：CD 是△ABC的完美分割线；(2)如图②，在△ABC中，AC＝2，BC＝2，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD 为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．图4－7－9详解1．A2．D [解析] ∵△ABC ∽△A ′B ′C ′，AD ，BE 分别是△ABC 的高和中线，A ′D ′，B ′E ′分别是△A ′B ′C ′的高和中线，∴AD A ′D ′＝BE B ′E ′.∵AD ＝4，A ′D ′＝3，BE ＝6，∴43＝6B ′E ′，解得B ′E ′＝92. 3.834.6 5．解：由题意，可知△ABE ∽△DCE ， ∴0.04CD ＝0.062，解得CD ＝43. 答：所拍摄的2 m 外景物的宽CD 为43m.6．C [解析] 设△ABC ，△A ′B ′C ′，△A ″B ″C ″的一组对应边的长分别为x ，y ，z .∵△ABC ∽△A ′B ′C ′且相似比为13，△A ′B ′C ′∽△A ″B ″C ″且相似比为43，∴x y ＝13，y z ＝43，即x ＝y 3，z ＝3y 4， ∴x z ＝49，即△ABC 与△A ″B ″C ″的相似比为49.故选C. 7．6 8．329．解：如图，过点C 作CM ∥BA ，分别交EF ，AD 于点N ，M ，过点C 作CP ⊥AD ，分别交EF ，AD 于点Q ，P .由题意，得四边形ABCM 是平行四边形， ∴EN ＝AM ＝BC ＝20 cm ，∴MD ＝AD －AM ＝50－20＝30(cm)．由题意知CP ＝40 cm ，PQ ＝8 cm ， ∴CQ ＝32 cm.∵EF ∥AD ，∴△CNF ∽△CMD ，∴NF MD ＝CQ CP ，即NF 30＝3240，解得NF ＝24(cm)．∴EF ＝EN ＋NF ＝20＋24＝44(cm)．答：横梁EF 应为44 cm.10．解：(1)证明：(证法一)∵四边形EFGH 为矩形，∴EF ∥GH ，∴△AHG ∽△ABC . ∵AD ⊥BC ，EF ∥GH ，∴AM ⊥HG ， ∴AM AD ＝HG BC；(证法二)∵四边形EFGH 为矩形， ∴EF ∥GH ，∴△AHG ∽△ABC ，△AHM ∽△ABD ， ∴HG BC ＝AH AB ，AM AD ＝AH AB ，∴AM AD ＝HGBC.(2)由(1)得AM AD ＝HGBC.设HE ＝x cm ，则HG ＝2x cm ， ∵AD ⊥BC ，∴DM ＝HE ，∴AM ＝AD －DM ＝AD －HE ＝(30－x )cm.可得30－x 30＝2x 40，解得x ＝12，2x ＝24.故矩形EFGH 的周长为2×(12＋24)＝72(cm)．11．解：如图，过点A 作AG ⊥BC 于点G ，并延长交DE 于点F .∵BC ∥DE ，∴AF ⊥DE ，∠D ＝∠ABC ，∠AED ＝∠ACB ， ∴△ADE ∽△ABC ，∴DE BC ＝AFAG，∴DE ＝AF ·BC AG ＝200×0.080.4＝40(m)．答：敌方建筑物DE 的高度为40 m.12．解：由AB ＝1.5 m ，S △ABC ＝1.5 m 2，得BC ＝2 m. 在题图①中，设甲同学加工的正方形桌面的边长为x m. ∵DE ∥AB ，∴Rt △CDE ∽Rt △CBA ， ∴CD CB ＝DE BA，即2－x 2＝x 1.5，解得x ＝67；如图，在题图②中，过点B 作BH ⊥AC ，交AC 于点H ，交DE 于点P .AC ＝AB 2＋BC 2＝ 1.52＋22＝2.5(m)， BH ＝AB ·BC AC ＝1.5×22.5＝1.2(m)．设乙同学加工的正方形桌面的边长为y m.∵DE ∥AC ， ∴△BDE ∽△BAC ， ∴DE AC ＝BP BH ，即y2.5＝1.2－y 1.2，解得y ＝3037. ∵67＝3035>3037，即x >y ， ∴x 2>y 2，∴甲同学的加工方法更好．13．解：(1)证明：∵∠A ＝40°，∠B ＝60°， ∴∠ACB ＝80°，∴△ABC 不是等腰三角形． ∵CD 平分∠ACB ，∴∠ACD ＝∠BCD ＝12∠ACB ＝40°，∴∠ACD ＝∠A ＝40°， ∴△ACD 是等腰三角形．∵∠BCD ＝∠A ＝40°，∠CBD ＝∠ABC ， ∴△BCD ∽△BAC ，∴CD 是△ABC 的完美分割线． (2)由题意得△BCD ∽△BAC ， ∴BC BA ＝BD BC.∵AC ＝AD ＝2，BC ＝2，设BD ＝x ，则AB ＝x ＋2，∴2x ＋2＝x 2，解得x ＝－1±3， ∵x ＞0，∴BD ＝x ＝3－1. ∵△BCD ∽△BAC ，∴CD AC ＝BDBC. ∵AC ＝2，BC ＝2，BD ＝3－1，∴CD ＝BD ·AC BC ＝3－12×2＝6－ 2.。

北师大版数学九年级上册第四章图形的相似知识点归纳及例题

北师大版九年级上册第四章图形的相似知识点归纳及例题【学习目标】1、了解比例的基本性质，线段的比、成比例线段；2、通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，理解相似多边形对应角相等、对应边成比例、周长的比等于相似比、面积的比等于相似比的平方；3、探索并掌握相似三角形的判定方法，并能利用这些性质和判定方法解决生活中的一些实际问题；4、了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小，在同一直角坐标系中，感受位似变换后点的坐标变化；5、结合相似图形性质和判定方法的探索和证明，进一步培养推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力，以及综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力.【知识点网络】【知识点梳理】要点一、相似图形及比例线段1．相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures). 知识点诠释：(1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；(2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形全等； 2.相似多边形如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多形．知识点诠释：（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质．（2）相似多边形对应边的比称为相似比.3. 比例线段：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a :b =c :d ，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．知识点诠释：（1）若a :b =c :d ，则ad=bc ；（d 也叫第四比例项）（2）若a :b=b :c ，则 =ac （b 称为a 、c 的比例中项）． 4.平行线分线段成比例：基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例. 知识点二、相似三角形 1. 相似三角形的判定:判定方法（一）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似.判定方法（二）：两角分别相等的两个三角形相似. 知识点诠释：要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似. 判定方法（三）：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.2b知识点诠释：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必须是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.判定方法（四）：三边成比例的两个三角形相似.2.相似三角形的性质：（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；（2）相似三角形中的重要线段的比等于相似比；相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.知识点诠释：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.(3) 相似三角形周长的比等于相似比；（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。

九年级数学相似三角形的性质及应用(教师版)知识点+典型例题+详细答案

相似三角形的性质及应用【学习目标】1、探索相似三角形的性质，能运用性质进行有关计算；2、通过典型实例认识现实生活中物体的相似，能运用图形相似的知识解决一些简单的实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）.【要点梳理】要点一、相似三角形的性质1．相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.2. 相似三角形中的重要线段的比等于相似比.相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.3. 相似三角形周长的比等于相似比∽，则由比例性质可得：4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方∽，则分别作出与的高和，则2 1122=1122ABCA B CBC AD k B C k A DSk S B C A D B C A D '''''''⋅⋅⋅⋅=='''''''''⋅⋅△△要点诠释：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的.要点二、相似三角形的应用1.测量高度测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决.要点诠释：测量旗杆的高度的几种方法：平面镜测量法影子测量法手臂测量法标杆测量法2.测量距离测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。

　1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长.2．如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长. 要点诠释：　1．比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际距离; 2．太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比; 3．视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）;4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角．【典型例题】类型一、相似三角形的性质1. △ABC∽△DEF，若△ABC的边长分别为5cm、6cm、7cm，而4cm是△DEF中一边的长度，你能求出△DEF的另外两边的长度吗？试说明理由.【答案】设另两边长是xcm，ycm，且x＜y. (1)当△DEF中长4cm线段与△ABC中长5cm线段是对应边时，有，从而x=cm，y=cm. (2)当△DEF中长4cm线段与△ABC中长6cm线段是对应边时，有，从而x=cm，y=cm. (3)当△DEF中长4cm线段与△ABC中长7cm线段是对应边时，有，从而x=cm，y=cm. 综上所述，△DEF的另外两边的长度应是cm,cm或cm，cm或cm，cm三种可能.2.如图所示，已知△ABC中，AD是高，矩形EFGH内接于△ABC中，且长边FG在BC上，矩形相邻两边的比为1：2，若BC=30cm，AD=10cm.求矩形EFGH的面积.【答案】∵四边形EFGH是矩形，∴EH∥BC，∴△AEH∽△ABC.∵AD⊥BC，∴AD⊥EH，MD=EF.∵矩形两邻边之比为1：2，设EF=xcm，则EH=2xcm.由相似三角形对应高的比等于相似比，得，∴，∴，∴.∴ EF=6cm，EH=12cm.∴举一反三1、如图，在和中，，，，的周长是24，面积是48，求的周长和面积.【答案】在和中，， . 又∵∽，相似比为. 的周长为，的面积是.2、有同一三角形地块的甲、乙两地图，比例尺分别为1∶200和1∶500，求：甲地图与乙地图的相似比和面积比.【答案】设原地块为△ABC，地块在甲图上为△A1B1C1，在乙图上为△A2B2C2. ∴△ABC∽△A1B1C1∽△A2B2C2 且，， ∴， ∴.3、如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8，按如图那样折叠，使点A与点B 重合，折痕为DE，则S△BCE：S△BDE等于（） A. 2：5 B．14:25 C．16:25 D. 4:21【答案】B.【解析】由已知可得AB=10，AD=BD=5，设AE=BE=x, 则CE=8-x, 在Rt△BCE中，x2-(8-x)2=62,x=, 由△ADE∽△ACB得， S△BCE：S△BDE=（64-25-25）：25=14:25，所以选B.4、在锐角△ABC中，AD,CE分别为BC,AB边上的高，△ABC和△BDE的面积分别等于18和2，DE=2,求AC 边上的高.【答案】过点B 做BF⊥AC,垂足为点F ，∵AD,CE 分别为BC,AB 边上的高，∴∠ADB=∠CEB=90°，又∵∠B=∠B，∴Rt△ADB∽Rt△CEB,∴,BD AB BD BEBE CBAB CB ==即,且∠B=∠B，∴△EBD∽△CBA,∴221189BED BCADE AC SS⎛⎫=== ⎪⎝⎭△△,∴13DE AC =,又∵DE=2，∴AC=6，∴11862ABC AC BF S =⋅=∴△，B F=.5、已知：如图，在△ABC 与△CAD 中，DA∥BC，CD 与AB 相交于E 点，且AE︰EB=1︰2，EF∥BC 交AC 于F 点，△ADE 的面积为1，求△BCE 和△AEF 的面积．【答案】∵DA∥BC， ∴△ADE∽△BCE． ∴S △ADE :S △BCE =AE 2:BE 2． ∵AE︰BE=1:2， ∴S △ADE :S △BCE =1:4． ∵S △ADE =1， ∴S △BCE =4． ∵S△ABC:S△BCE=AB:BE=3:2，∴S△ABC=6． ∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC． ∵AE:AB=1:3，∴S△AEF:S△ABC=AE2:AB2=1:9．∴S△AEF==．6、如图，已知中，，，，，点在上，(与点不重合)，点在上.(1)当的面积与四边形的面积相等时，求的长. (2)当的周长与四边形的周长相等时，求的长.【答案】(1)∵，∽. (2)∵的周长与四边形的周长相等.=6，∽.类型二、相似三角形的应用3. 如图，我们想要测量河两岸相对应两点A、B之间的距离(即河宽) ，你有什么方法？【答案】如上图，先从B点出发与AB成90°角方向走50m到O处立一标杆，然后方向不变，继续向前走10m到C处，在C处转90°，沿CD方向再走17m到达D处，使得A、O、D在同一条直线上．那么A、B之间的距离是多少？ ∵AB⊥BC，CD⊥BC ∴∠ABO=∠DCO=90° 又∵∠AOB=∠DOC ∴△AOB∽△DOC. ∴ ∵BO=50m，CO=10m，CD=17m ∴AB=85m 即河宽为85m．4. 如图：小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他距离该塔18 m，已知小明的身高是1.6 m，他的影长是2 m．(1)图中△ABC与△ADE是否相似?为什么?(2)求古塔的高度．【答案】(1)△ABC∽△ADE．∵BC⊥AE，DE⊥AE，∴∠ACB=∠AED=90°∵∠A=∠A，∴△ABC∽△ADE(2)由(1)得△ABC∽△ADE∴∵AC=2m，AE=2+18=20m，BC=1.6m，∴∴DE=16m即古塔的高度为16m。

九年级数学上册第四章图形的相似 7 相似三角形的性质相似三角形中的开放性问题素材北师大版(

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图1ABCDE相似三角形中的开放性问题相似三角形是初中数学中的一个非常重要的知识点，由于相似三角形中对应顶点的不确定性，导致了在很多问题中出现多解的情况,即答案不是唯一确定的,下面举几例简单加以说明,希望能对同学们有所帮助。

１．寻找三角形相似的条件例1．如图1,D E ，分别是ABC △的边AB AC ，上的点,请你添加一个条件,使ABC △与AED △相似,你添加的条件是．分析:在△A ＤＥ与△ＡBC 中，有一个公共角∠Ａ,根据三角形相似的判定定理，要使△ADE ∽△ABC ，只要两个三角形中另有一组角对应相等或∠A 的夹边对应成比例就可以了．解：只需添加条件：∠Ｂ=∠AED 或∠Ｃ＝∠AD Ｅ或ADACAE AB =等等．说明:本题添加的条件不唯一,是一道典型的条件开放题．本题添加的条件还可以是上面所写条件的等价形式，如ADAEAC AB =，AC •A Ｅ=A Ｂ•AD . 2.寻找相似三角形例2. 已知：如图2, △ABC 中,点D 、E 分别在边AB 、AC 上,连结D Ｅ并延长交BC 的延长线于点F ,连结D Ｃ、B Ｅ．若∠BDE＋∠BCE ＝18０°．(１）写出图中三对相似三角形(注意：不得加字母和线）；(2）请在你所找出的相似三角形中选取一对,说明他们相似的理由.分析：在一对角相等的条件下,如果有另一对角相等,那么两个三角形相似,或相等角的对应边成比例,也可得到两个三角形相似.∵∠BDE +∠B ＣE =18０°, ∠BDE +∠ADE =180°, ∴∠ＡDE =∠AC Ｂ, ∵∠A =∠A , ∴△ＡＤE ∽△ACB ﻩ．图2∴ABAEAC AD =又∵∠A ＝∠A ， ∴△AE Ｂ∽△ＡDC . ∵∠ＢD Ｅ+∠BCE =18０°，∠BC Ｅ＋∠ECF =１80°， ∴∠ECF =∠BD Ｅ, ∴△CEF ∽△DBF ． ∴FDFCFB FE =又∵∠F =∠Ｆ, ∴△F ＥＢ∽△ＦCD ．由此得到四对相似三角形,只要写出其中三个即可．解答:（1)△ＡDE ∽△ACB ， △AE Ｂ∽△A ＤC , △CEF ∽△DBF ， △F ＥＢ∽△F ＣD 中任意三对即可.(2）证明略.说明：本题是一道结论开放题,要找出相似三角形,应从相似三角形的判定条件入手进行分析,先考虑是否有两对角对应相等的三角形,再分析两边对应成比例且夹角相等的三角形． 3．构造格阵中的相似三角形例3. 如图3,已知格点ABC △,请在图２中分别画出与ABC △相似的格点111A B C △和格点222A B C △,并使111A B C △与ABC △的相似比等于２,而222A B C △与ABC △(说明：顶点都在网格线交点处的三角形叫做格点三角形.友情提示:请在画出的三角形的顶点处标上相对应的字母!)分析：ABC △各边的长分别为１,2,5，111A B C △与ABC △的相似比等于2,因此111A B C △各5，10，5.边的长分别为２，22，52,222A B C △各边的长分别为解:如图4（所作图形只需符合题意即可）说明：当相似比确定后,△A １B １C 1的形状就确定了,但△A 1B 1Ｃ1可以有多个不同的位置．而设定不同的相似比,又可以得到不同的相似三角形.另外,本题也可以利用“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”的判定定理求解，从题目条件可知∠ACB ＝1３５°，故只需把A Ｂ、BC 的长求出，然后再设相似比即可求解．A BC 图3ABC 1B1A1C2C2A2B 图44．分割相似三角形例4。

九年级数学上册第四章图形的相似7相似三角形的性质三角形相似的“基本图形”素材北师大版

三角形相似的“基本图形”几何图形大都由基本图形复合而成，因此熟悉三角形相似的基本图形,有助于快速准确地识别相似三角形，从而顺利找到解题思路和方法。

一、平行线型如图1、图2，若DE∥BC,则△ADE∽△ABC，形象地说图1为“A”型，图2为“X"型，故称之为平行线型的基本图形.例1 如图3,在平行四边形ABCD 中，E 是AB 延长线上一点,连结DE 交AC 于G ，交BC 于F,则图中相似三角形（不含全等三角形)共有____对.二、相交线型如图5、图6，若∠AED=∠B,则△ADE∽△ABC,称之为相交线型的基本图形.例2 如图7，D 、E 分别为△ABC 的边AC 、AB 上一点，BD,CE 交于点O ，且CODOBO EO ，试问△ADE 与△ABC 相似吗？如果是,请说明理由。

三、母子型D C G F A BE 图3D C D C D D C G F FG A F A B E B E A E(1) (2) (3) (4) 图4A E D D E ABC B C 图5 图6A A DB C(E) BC 图8 图9D1AE将图5中的DE 向下平移至点C ，则得图8,有△ACD∽△ABC,称之为“子母”型的基本图形.特别地，令∠ACB= 90，CD 则为斜边上高（如图9）, 则有△ACD∽△ABC∽△CBD。

例3 如图10,在△ABC 中,P 为AB 上一点，要使△APC∽△ACB,还需具备的一个条件是________. 四、旋转型将图5中的△ADE 绕点A 旋转一定角度，则得图11,称之为旋转型的基本图形。

例4 如图12， ∠1=∠2，∠3=∠4,试说明△ABC∽△DBE.P AB C 图10A D EBC 图11 A 13 D 5 B4 2 CE图126参考答案例1:析解：本题图中有两组平行线,故存在平行线型的基本图形，把它们一一分离出来,如图 4(1）—（4).但由于△ADE∽△BFE∽△ CFD ，故共有5对相似三角形。

九年级数学上册第四章图形的相似 3 相似多边形思路点拨相似三角形的性质用处多素材 (新版)北师大版

相似三角形的性质用处多学完了相似三角形后，同学们都知道，若两个三角形相似，则这两个三角形的对应边成比例、对应角相等.根据相似三角形的这两个性质，我们可以解决许多数学问题，现举例说明如下．一、说明两个角相等例1 如图，BD ，CE 是△ABC 的高，试说明：∠AED=∠ACB.分析：要说明∠AED=∠ACB，而∠AED 和∠ACB 分别在△ADE 和△ABC 中，从而可以考虑说明△ADE∽△ABC.因为∠A=∠A，则需要说明AC AB AE AD =，要得到这个条件只需说明△ABD∽△ACE 即可.解：由已知可得∠ADB=∠AEC=90°，∠A=∠A，所以△ABD∽△ACE. 所以AC AB AE AD =，即ACAE AB AD =，又∠A=∠A，所以△ADE∽△ABC.所以∠AED=∠ACB.跟踪训练1 如图，△ABC 中，E ，F 分别是AB ，AC 边上的两点，且AE ＝1 cm ，AF=2 cm ，EB=2 cm ，FC=4 cm ，试说明：∠AFE=∠C.二、说明线段的积相等例2 如图，在平行四边形ABCD 中，E 是CB 延长线上一点，DE 交AB 于F ，试说明：AD·AB=AF·CE.分析：要说明AD·AB=AF·CE，即说明ADCE AF AB =，这时由?荀ABCD 的对边相等，对边平行，既可以寻找到相似三角形，又可以找到等线段的代换，从而问题得以解决.解：在 ABCD 中，因为AB//DC ，所以∠CDE=∠BFE=∠AFD.又∠A=∠C，所以△ECD∽△DAF.所以AD CE AF CD =.又CD=AB ，所以ADCE AF AB =.所以AD·AB=AF·CE. 跟踪训练2 如图，∠ABC＝∠ADE，试说明：AB·AE＝AC·AD．答案1.解：因为31=AB AE ，3162==AC AF ，所以ACAF AB AE =.又因为∠EAF=∠BAC，所以△AEF∽△AB C.所以∠AFE=∠C. 2．解：因为∠ABC=∠ADE，∠A 是公共角，所以△ABC∽△ADE.所以AE AC AD AB =.所以AB·AE＝AC·AD.。