(完整word)高中数学平面向量基础练习及答案

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平面向量专题练习(带答案详解)

平面向量专题练习(带答案详解) 平面向量专题练（附答案详解）一、单选题1.已知向量 $a=(-1,2)$，$b=(1,1)$，则 $a\cdot b$ 等于（）A。

3 B。

2 C。

1 D。

02.已知向量 $a=(1,-2)$，$b=(2,x)$，若 $a//b$，则 $x$ 的值是（）A。

-4 B。

-1 C。

1 D。

43.已知向量 $a=(1,1,0)$，$b=(-1,0,2)$，且 $ka+b$ 与 $2a-b$ 互相垂直，则 $k$ 的值是（）A。

1 B。

5/3 C。

3/5 D。

7/54.等腰直角三角形 $ABC$ 中，$\angle ACB=\frac{\pi}{2}$，$AC=BC=2$，点 $P$ 是斜边 $AB$ 上一点，且 $BP=2PA$，那么 $CP\cdot CA+CP\cdot CB$ 等于（）A。

-4 B。

-2 C。

2 D。

45.设 $a,b$ 是非零向量，则 $a=2b$ 是成立的（）A。

充分必要条件 B。

必要不充分条件 C。

充分不必要条件 D。

既不充分也不必要条件6.在 $\triangle ABC$ 中 $A=\frac{\pi}{3}$，$b+c=4$，$E,F$ 为边 $BC$ 的三等分点，则 $AE\cdot AF$ 的最小值为（）A。

$\frac{8}{3}$ B。

$\frac{26}{9}$ C。

$\frac{2}{3}$ D。

$3$7.若 $a=2$，$b=2$，且 $a-b\perp a$，则 $a$ 与 $b$ 的夹角是（）A。

$\frac{\pi}{6}$ B。

$\frac{\pi}{4}$ C。

$\frac{\pi}{3}$ D。

$\frac{\pi}{2}$8.已知非零向量 $a,b$ 满足 $|a|=6|b|$，$a,b$ 的夹角的余弦值为 $\frac{1}{3}$，且 $a\perp (a-kb)$，则实数 $k$ 的值为（）A。

18 B。

高中数学平面向量经典练习题(附答案)

D、m= -2+2 3，n= 2 +2 3
12、已知向量a与b， 3a + b = 6，a − 3b = 8，若则a ⊥ b，则 + 的值是（）
A、2
B、9
C、 6
D、 10
13、在△APD 中，AC=CD，AB=2BC，点 E 在 PA 上，H 在 PD 上，F 是 EH 的中
点，G 是 PC 与 EH 的交点，则 =（
3 23
2
解得：a=2b
已知 C 是 AD 的中点，设 = n ,
所以
=
2
+2
设 S = t KS,
-----------------------------------------⑤
得：
= 2tb
+（1-t） b
-----------------------⑦
由⑤、⑦式中对应系数相等，2tb = 2 （1 − t） b = 2
（ + ）·（ + ）=0 ------------------------⑨
由⑦，⑧，⑨，得：
cos（ + ， + ）= （ + ）·（3 + ）
+ ∙3 +
=0 所以：向量 + ， + 的夹角为 90°
故答案为：C
第 18 题解：已知 2 − 3 = 7 等号两边同时平方，得： 4 2- 12 ∙ +9 2 = 7 将 = 2， · =3 代入上式， 4·22-12·3+9 2 = 7 化简得： = 3
则
=
。
=（3，2）
8、已知向量，满足 = 3 ， ⊥（2 + 3 ），则向量与的夹角

平面向量经典练习题(含答案)

高中平面向量经典练习题【编著】黄勇权一、填空题1、向量a=（2，4），b=（-1，-3），则向量3a-2b的坐标是。

2、已知向量a与b的夹角为60°，a=（3，4），|b | =1，则|a+5b | = 。

3、已知点A（1，2），B（2，1），若→AP=（3，4），则→BP= 。

4、已知A（-1，2），B（1，3），C（2，0），D（x，1），若AB与CD共线，则|BD|的值等于________。

5、向量a、b满足|a|=1，|b|= 2 ，(a+b)⊥(2a-b)，则向量a与b的夹角为________。

6、设向量a，b满足|a＋b|＝ 10，|a－b|＝ 6 ，则a·b＝。

7、已知a、b是非零向量且满足(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，则a与b的夹角是。

8、在△ABC中，D为AB边上一点，→AD =12→DB，→CD =23→CA + m→CB，则m= 。

9、已知非零向量a，b满足|b|=4|a|，a⊥（2a+b），则a与b的夹角是。

10、在三角形ABC中，已知A（-3，1），B（4，-2），点P（1，-1）在中线AD上，且→AP= 2→PD，则点C的坐标是（）。

二、选择题1、设向量→OA=（6，2），→OB=（-2，4），向量→OC垂直于向量→OB，向量→BC平行于→OA，若→OD +→OA=→OC，则→OD坐标=（）。

A、（11，6）B、（22，12）C、（28，14）D、（14，7）2、把A（3,4）按向量a（1,-2）平移到A',则点A'的坐标（）A、（4 , 2）B、（3，1）C、（2，1）D、（1，0）3、已知向量a，b，若a为单位向量, 且 | a| = | 2b| ,则（2a+ b）⊥（a-2b），则向量a与b的夹角是（）。

A、90°B、60°C、30°D、0°4、已知向量ab的夹角60°，| a|= 2，b=（-1，0），则| 2a-3b|=（）A、 15B、 14C、 13D、 115、在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，|2·→0C ＋→CD|＝4，则,|→BC+→CD|＝______.A、12B、8C、4D、26题、7题、8、若向量a＝(3,4)，向量b＝(2,1)，则a在b方向上的投影为________．A、2B、4C、8D、169题、10、已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则→AE·→BD＝.A、-1B、1C、-2D、2三、解答题1、在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，求→AB·→AC的值。

高中数学-平面向量(含详细答案)

＝
－
２３
→ＡＢ
Ｄ.Ａ→Ｑ＝Ｂ→Ｐ
２. 答案Ｄ
３.( 教材习题改编) 如图ꎬＤꎬＥꎬＦ分别是△ＡＢＣ各边的中点ꎬ则下
列结论错误的是
( )
Ａ.Ｅ→Ｆ＝Ｃ→Ｄ
Ｂ.→ＡＢ与Ｄ→Ｅ共线
Ｃ.Ｂ→Ｄ与Ｃ→Ｄ是相反向量
Ｄ.→ＡＥ＝
１２
｜ →ＡＣ｜
３. 答案Ｄ根据向量的有关概念可知ꎬＥ→Ｆ＝Ｃ→Ｄꎬ→ＡＢ∥Ｄ→ＥꎬＢ→Ｄ
(２) ①是错误的ꎬ两个向量起点相同ꎬ终点相同ꎬ则两个向量
相等ꎻ但两个向量相等ꎬ不一定有相同的起点和终点. ②是错误的ꎬ ｜ａ｜＝｜ｂ｜ ꎬ但ａꎬｂ方向不确定ꎬ所以ａꎬｂ的方向
不一定相等或相反.
③是正确的ꎬ因为→ＡＢ＝Ｄ→Ｃꎬ所以｜ →ＡＢ｜＝｜Ｄ→Ｃ｜且→ＡＢ∥Ｄ→Ｃꎻ又
( )
( ２) 零向量与任意向量平行.
( )
(３) 若ａ∥ｂꎬｂ∥ｃꎬ则ａ∥ｃ.
( )
(４) 若向量→ＡＢ与向量Ｃ→Ｄ是共线向量ꎬ则ＡꎬＢꎬＣꎬＤ四点在一条
直线上.
( )
(５) 当两个非零向量ａꎬｂ共线时ꎬ一定有ｂ＝ λａꎬ反之成立.
( )
(６) 在△ＡＢＣ
①若两个向量相等ꎬ则它们的起点相同ꎬ终点相同ꎻ ②若｜ａ｜＝｜ｂ｜ ꎬ则ａ＝ｂ或ａ＝－ｂꎻ
③若ＡꎬＢꎬＣꎬＤ是不共线的四点ꎬ且→ＡＢ＝Ｄ→Ｃꎬ则ＡＢＣＤ为平
行四边形ꎻ ④ａ＝ｂ的充要条件是｜ａ｜＝｜ｂ｜且ａ∥ｂꎻ ⑤已知 λꎬμ 为实数ꎬ若 λａ＝ μｂꎬ则ａ与ｂ共线. 其中真命题的序号是 . 答案 (１)Ｄ (２)③

(完整word)高一数学必修四平面向量基础练习题及答案

(0, ),OQ i 。若用来表示 OP 与 OQ 的夹角，则等于（） 2
A、
B、
C、
D、
2
2
8、设 0
2 ，已知两个向量 OP1 cos , sin ， OP2 2 sin , 2 cos ，则向
量 P1P2 长度的最大值是（
）
A、 2
二、填空题
B、 3
C、 3 2
D、
9、已知点 A(2 ，0) ，B(4 ，0)，动点 P 在抛物线 y2＝－ 4x 运动，则使 AP BP 取得最小值的点
（）
3 10 10
A、e (
,)
B、 e
3 10 10 3 10
(
, )或 (
,
10 )
10 10
10 10
10 10
C、 e ( 6,2)
D、 e ( 6,2)或(6,2)
3、已知 a (1,2), b ( 3,2), ka b与a 3b垂直时 k 值为
A 、17 B 、 18 C、 19 D、20
（ 2）当 k 2 时，求 | AP BP | 的最大值和最小值、
参考答案
一、选择题 1、 B； 2、 B； 3、 C； 4、 B； 5、D ； 6、 B； 7、 D ；8、 C 二、填空题 9、 (0， 0)
5 10、 m
6
11、 4 三、解答题
12、解：设 A/ （ｘ，ｙ），则有
3x 2 5y 2
| AP BP | 2 x2 y 2 2 5 4cos
∴当 cos 1时， | AP BP | 的最大值为 6 ，当 cos
1时，最小值为 2 。
（）
4、已知向量 OP =(2 ， 1)，是直线 OP 上的一点 (O 为坐标

(完整版)高中数学平面向量习题及答案

第二章平面向量一、选择题1．在△ABC 中，AB ＝AC ，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，则( )． A ．AB 与AC 共线 B ．DE 与CB 共线 C ．AD 与AE 相等D ．AD 与BD 相等2．下列命题正确的是( )． A ．向量AB 与BA 是两平行向量 B ．若a ，b 都是单位向量，则a ＝bC ．若AB ＝DC ，则A ，B ，C ，D 四点构成平行四边形 D ．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同3．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A (3，1)，B (－1，3)，若点C 满足OC ＝α OA ＋β OB ，其中 α，β∈R ，且α＋β＝1，则点C 的轨迹方程为( )．A ．3x ＋2y －11＝0B ．(x －1)2＋(y －1)2＝5C ．2x －y ＝0D ．x ＋2y －5＝0 4．已知a 、b 是非零向量且满足(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，则a 与b 的夹角是( )． A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π 5．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上(不包括端点A ，C )，则AP ＝( )． A ．λ(AB ＋AD )，λ∈(0，1) B ．λ(AB ＋BC )，λ∈(0，22) C ．λ(AB －AD )，λ∈(0，1)D ．λ(AB －BC )，λ∈(0，22) 6．△ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，AC 的中点，则DF ＝( )． A ．EF ＋EDB ．EF －DEC ．EF ＋ADD ．EF ＋AF7．若平面向量a 与b 的夹角为60°，|b |＝4，(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，则向量a 的模为( )．(第1题)A．2 B．4 C．6 D．128．点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足OA·OB ＝OB·OC＝OC·OA，则点O是△ABC的()．A．三个内角的角平分线的交点B．三条边的垂直平分线的交点C．三条中线的交点D．三条高的交点9．在四边形ABCD中，AB＝a＋2b，BC＝－4a－b，DC＝－5a－3b，其中a，b不共线，则四边形ABCD为()．A．平行四边形B．矩形C．梯形D．菱形10．如图，梯形ABCD中，|AD|＝|BC|，EF∥AB∥CD则相等向量是()．A．AD与BC B．OA与OBC．AC与BD D．EO与OF(第10题)二、填空题11．已知向量OA＝(k，12)，OB＝(4，5)，OC＝(－k，10)，且A，B，C三点共线，则k＝．12．已知向量a＝(x＋3，x2－3x－4)与MN相等，其中M(－1，3)，N(1，3)，则x ＝．13．已知平面上三点A，B，C满足|AB|＝3，|BC|＝4，|CA|＝5，则AB·BC＋BC·CA＋CA·AB的值等于．14．给定两个向量a＝(3，4)，b＝(2，－1)，且(a＋m b)⊥(a－b)，则实数m等于．15．已知A，B，C三点不共线，O是△ABC内的一点，若OA＋OB＋OC＝0，则O 是△ABC的．16．设平面内有四边形ABCD和点O，OA＝a，OB＝b，OC＝c, OD＝d，若a＋c ＝b＋d，则四边形ABCD的形状是．三、解答题17．已知点A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)，若点P满足AP＝AB＋λAC(λ∈R)，试求λ为何值时，点P在第三象限内？18．如图，已知△ABC，A(7，8)，B(3，5)，C(4，3)，M，N，D分别是AB，AC，BC的中点，且MN与AD交于F，求DF．(第18题)19．如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，求证：AF⊥DE(利用向量证明)．(第19题) 20．已知向量a＝(cos θ，sin θ)，向量b＝(3，－1)，则|2a－b|的最大值．参考答案一、选择题 1．B解析：如图，AB 与AC ，AD 与AE 不平行，AD 与BD 共线反向．2．A解析：两个单位向量可能方向不同，故B 不对．若AB ＝DC ，可能A ，B ，C ，D 四点共线，故C 不对．两向量相等的充要条件是大小相等，方向相同，故D 也不对．3．D解析：提示：设OC ＝(x ，y )，OA ＝(3，1)，OB ＝(－1，3)，α OA ＝(3α，α)，β OB ＝(－β，3β)，又αOA ＋β OB ＝(3α－β，α＋3β)，∴ (x ，y )＝(3α－β，α＋3β)，∴⎩⎨⎧βαβα33＋＝－＝y x ，又α＋β＝1，由此得到答案为D ．4．B解析：∵(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，∴(a －2b )·a ＝a 2－2a ·b ＝0，(b －2a )·b ＝b 2－2a ·b ＝0，∴ a 2＝b 2，即|a |＝|b |．∴|a |2＝2|a ||b |cos θ＝2|a |2cos θ．解得cos θ＝21． ∴ a 与b 的夹角是3π． 5．A解析：由平行四边形法则，AB ＋AD ＝AC ，又AB ＋BC ＝AC ，由 λ的范围和向量数乘的长度，λ∈(0，1)．6．D解析：如图，∵AF ＝DE ， ∴ DF ＝DE ＋EF ＝EF ＋AF ．(第6题)(第1题)7．C解析：由(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，得a 2－a ·b －6b 2＝－72．而|b |＝4，a ·b ＝|a ||b |cos 60°＝2|a |， ∴ |a |2－2|a |－96＝－72，解得|a |＝6． 8．D解析：由 OA ·OB ＝OB ·OC ＝OC ·OA ，得OA ·OB ＝OC ·OA , 即OA ·(OC －OB )＝0，故BC ·OA ＝0，BC ⊥OA ，同理可证AC ⊥OB ， ∴ O 是△ABC 的三条高的交点． 9．C解析：∵AD ＝AB ＋BC ＋D C ＝－8a －2b ＝2BC ，∴AD ∥BC 且|AD |≠|BC |． ∴ 四边形ABCD 为梯形． 10．D解析：AD 与BC ，AC 与BD ，OA 与OB 方向都不相同，不是相等向量．二、填空题 11．－32．解析：A ，B ，C 三点共线等价于AB ，BC 共线，AB ＝OB －OA ＝(4，5)－(k ，12)＝(4－k ，－7)，BC ＝OC －OB ＝(－k ，10)－(4，5)＝(－k －4，5)，又 A ，B ，C 三点共线，∴ 5(4－k )＝－7(－k －4)，∴ k ＝－32． 12．－1．解析：∵ M (－1，3)，N (1，3)， ∴ MN ＝(2，0)，又a ＝MN ，∴ ⎩⎨⎧0＝4－3－2＝3＋2x x x 解得⎩⎨⎧4＝1＝－1＝－x x x 或∴ x ＝－1． 13．－25．解析：思路1：∵ AB ＝3，BC ＝4，CA ＝5，∴ △ABC 为直角三角形且∠ABC ＝90°，即AB ⊥BC ，∴AB ·BC ＝0， ∴ AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB ＝BC ·CA ＋CA ·AB ＝CA ·(BC ＋AB ) ＝－(CA )2 ＝－2CA ＝－25．思路2：∵ AB ＝3，BC ＝4，CA ＝5，∴∠ABC ＝90°， ∴ cos ∠CAB ＝CA AB＝53，cos ∠BCA ＝CABC＝54．根据数积定义，结合图(右图)知AB ·BC ＝0， BC ·CA ＝BC ·CA cos ∠ACE ＝4×5×(－54)＝－16， CA ·AB ＝CA ·AB cos ∠BAD ＝3×5×(－53)＝－9． ∴ AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB ＝0―16―9＝－25． 14．323．解析：a ＋m b ＝(3＋2m ，4－m )，a －b ＝(1，5)． ∵ (a ＋m b )⊥(a －b )，∴ (a ＋m b )·(a －b )＝(3＋2m )×1＋(4－m )×5＝0 m ＝323． 15．答案：重心．解析：如图，以OA ，OC 为邻边作□AOCF 交AC 于D(第13题)点E ，则OF ＝OA ＋OC ，又 OA ＋OC ＝－OB ，∴ OF ＝2OE ＝－OB ．O 是△ABC 的重心． 16．答案：平行四边形．解析：∵ a ＋c ＝b ＋d ，∴ a －b ＝d －c ，∴BA ＝CD ． ∴ 四边形ABCD 为平行四边形．三、解答题 17．λ＜－1．解析：设点P 的坐标为(x ，y )，则AP ＝(x ，y )－(2，3)＝(x －2，y －3)． AB ＋λAC ＝(5，4)－(2，3)＋λ［(7，10)－(2，3)］＝(3，１)＋λ(5，7) ＝(3＋5λ，１＋7λ)．∵ AP ＝AB ＋λAC ，∴ (x －2，y －3)＝(3＋5λ，1＋7λ)． ∴ ⎩⎨⎧+=-+=-λλ713532y x 即⎩⎨⎧+=+=λλ7455y x要使点P 在第三象限内，只需⎩⎨⎧<+<+074055λλ 解得 λ＜－1．18．DF ＝(47，2)．解析：∵ A (7，8)，B (3，5)，C (4，3)， AB ＝(－4，－3)，AC ＝(－3，－5)．又 D 是BC 的中点， ∴ AD ＝21(AB ＋AC )＝21(－4－3，－3－5) ＝21(－7，－8)＝(－27，－4)．又 M ，N 分别是AB ，AC 的中点， ∴ F 是AD 的中点， ∴ DF ＝－FD ＝－21AD ＝－21(－27，－4)＝(47，2)． (第18题)19．证明：设AB ＝a ，AD ＝b ，则AF ＝a ＋21b ，ED ＝b －21a ． ∴ AF ·ED ＝(a ＋21b )·(b －21a )＝21b 2－21a 2＋43a ·b ．又AB ⊥AD ，且AB ＝AD ，∴ a 2＝b 2，a ·b ＝0． ∴ AF ·ED ＝0，∴AF ⊥ED ．本题也可以建平面直角坐标系后进行证明．20．分析：思路1：2a －b ＝(2cos θ－3，2sin θ＋1)，∴ |2a －b |2＝(2cos θ－3)2＋(2sin θ＋1)2＝8＋4sin θ－43cos θ．又4sin θ－43cos θ＝8(sin θcos3π－cos θsin 3π)＝8sin (θ－3π)，最大值为8， ∴ |2a －b |2的最大值为16，∴|2a －b |的最大值为4．思路2：将向量2a ，b 平移，使它们的起点与原点重合，则|2a －b |表示2a ，b 终点间的距离．|2a |＝2，所以2a 的终点是以原点为圆心，2为半径的圆上的动点P ，b 的终点是该圆上的一个定点Q ，由圆的知识可知，|PQ |的最大值为直径的长为4．(第19题)。

平面向量练习题及答案

平面向量练习题及答案平面向量练习题及答案在数学学科中，平面向量是一个非常重要的概念。

它不仅在几何学中有广泛的应用，还在物理学、工程学等领域中发挥着重要的作用。

掌握平面向量的基本概念和运算法则对于解决各种实际问题具有重要意义。

本文将为大家提供一些平面向量练习题及答案，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一概念。

1. 题目：已知向量a = (3, -2)和向量b = (-1, 4)，求向量a + b的结果。

解答：向量a + b的结果可以通过将向量a和向量b的对应分量相加得到。

所以，向量a + b = (3 + (-1), -2 + 4) = (2, 2)。

2. 题目：已知向量a = (2, -5)和向量b = (4, 3)，求向量a - b的结果。

解答：向量a - b的结果可以通过将向量a和向量b的对应分量相减得到。

所以，向量a - b = (2 - 4, -5 - 3) = (-2, -8)。

3. 题目：已知向量a = (3, -2)和向量b = (-1, 4)，求向量a与向量b的数量积。

解答：向量a与向量b的数量积可以通过将向量a和向量b的对应分量相乘，并将结果相加得到。

所以，向量a与向量b的数量积为3*(-1) + (-2)*4 = -3 - 8 = -11。

4. 题目：已知向量a = (2, -5)，求向量a的模长。

解答：向量a的模长可以通过计算向量a的坐标分量的平方和的平方根得到。

所以，向量a的模长为√(2^2 + (-5)^2) = √(4 + 25) = √29。

5. 题目：已知向量a = (3, -2)和向量b = (-1, 4)，求向量a与向量b的夹角的余弦值。

解答：向量a与向量b的夹角的余弦值可以通过计算向量a与向量b的数量积与向量a和向量b的模长的乘积的商得到。

所以，向量a与向量b的夹角的余弦值为(-11) / (√(3^2 + (-2)^2) * √((-1)^2 + 4^2)) = -11 / (√13 * √17)。

平面向量经典练习题(含答案)

高中平面向量经典练习题【编著】黄勇权一、填空题1、向量a=（2，4），b=（-1，-3），则向量3a-2b的坐标是。

2、已知向量a与b的夹角为60°，a=（3，4），|b | =1，则|a+5b | = 。

3、已知点A（1，2），B（2，1），若→AP=（3，4），则→BP= 。

4、已知A（-1，2），B（1，3），C（2，0），D（x，1），若AB与CD共线，则|BD|的值等于________。

5、向量a、b满足|a|=1，|b|= 2 ，(a+b)⊥(2a-b)，则向量a与b的夹角为________。

6、设向量a，b满足|a＋b|＝ 10，|a－b|＝ 6 ，则a·b＝。

7、已知a、b是非零向量且满足(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，则a与b的夹角是。

8、在△ABC中，D为AB边上一点，→AD =12→DB，→CD =23→CA + m→CB，则m= 。

9、已知非零向量a，b满足|b|=4|a|，a⊥（2a+b），则a与b的夹角是。

10、在三角形ABC中，已知A（-3，1），B（4，-2），点P（1，-1）在中线AD上，且→AP= 2→PD，则点C的坐标是（）。

二、选择题1、设向量→OA=（6，2），→OB=（-2，4），向量→OC垂直于向量→OB，向量→BC平行于→OA，若→OD +→OA=→OC，则→OD坐标=（）。

平面向量习题及答案

平面向量习题及答案平面向量习题及答案引言：平面向量是高中数学中的重要内容之一，它在几何、代数和物理等领域中都有广泛的应用。

通过解决平面向量习题，我们可以加深对平面向量的理解，提高解题能力。

本文将介绍几个常见的平面向量习题，并给出详细的解答过程。

一、向量的加法和减法1. 已知向量a=2i+3j，b=4i-5j，求a+b和a-b。

解答：a+b=(2+4)i+(3-5)j=6i-2ja-b=(2-4)i+(3+5)j=-2i+8j2. 已知向量a=3i+2j，b=-i+4j，求2a-3b。

解答：2a-3b=2(3i+2j)-3(-i+4j)=6i+4j+3i-12j=9i-8j二、向量的数量积和向量积1. 已知向量a=2i+3j，b=-i+4j，求a·b和|a×b|。

解答：a·b=(2)(-1)+(3)(4)=-2+12=10|a×b|=|(2)(4)-(3)(-1)|=|8+3|=112. 已知向量a=3i+2j，b=4i-5j，求a×b的模长和方向角。

解答：a×b=(3)(-5)-(2)(4)=-15-8=-23|a×b|=|-23|=23设a×b与x轴正向的夹角为θ，则cosθ=(4)/√(4^2+(-23)^2)=4/√545θ≈84.3°三、向量的共线与垂直1. 已知向量a=2i+3j，b=-4i-6j，判断a和b是否共线。

解答：若a和b共线，则存在实数k，使得a=kb。

2i+3j=k(-4i-6j)2i+3j=-4ki-6kj2=-4k，3=-6k解得k=-1/2所以，a和b共线。

2. 已知向量a=2i+3j，b=-4i-6j，判断a和b是否垂直。

解答：若a和b垂直，则a·b=0。

a·b=(2)(-4)+(3)(-6)=-8-18=-26-26≠0所以，a和b不垂直。

结论：通过解答上述平面向量习题，我们可以巩固向量的加法、减法、数量积、向量积等基本概念和运算规则。

（完整版）《平面向量》测试题及答案

（完整版）《平面向量》测试题及答案《平面向量》测试题一、选择题1.若三点P （1，1），A （2，-4），B （x,-9）共线，则（）A.x=-1B.x=3C.x=29D.x=512.与向量a=(-5,4)平行的向量是（）A.（-5k,4k ）B.(-k 5,-k 4)C.(-10,2)D.(5k,4k) 3.若点P 分所成的比为43，则A 分所成的比是（）A.73B. 37C.- 37D.-73 4.已知向量a 、b ，a ·b=-40，|a|=10,|b|=8，则向量a 与b 的夹角为（） A.60° B.-60° C.120° D.-120° 5.若|a-b|=32041-,|a|=4,|b|=5，则向量a ·b=（） A.103B.-103C.102D.106．(浙江)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝( )A.? ????79，73B.? ????－73，－79C.? ????73，79D.? ????－79，－737.已知向量a=(3,4),b=(2,-1)，如果向量（a+x ）·b 与b 垂直，则x 的值为（） A.323B.233C.2D.-52 8.设点P 分有向线段21P P 的比是λ，且点P 在有向线段21P P 的延长线上，则λ的取值范围是（） A.(-∞,-1) B.(-1,0) C.(-∞,0) D.(-∞,-21) 9.设四边形ABCD 中，有DC =21，且||=|BC |，则这个四边形是（） A.平行四边形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形10.将y=x+2的图像C 按a=(6,-2)平移后得C ′的解析式为（）A.y=x+10B.y=x-6C.y=x+6D.y=x-1011.将函数y=x 2+4x+5的图像按向量a 经过一次平移后，得到y=x 2的图像，则a 等于（） A.(2,-1) B.(-2,1) C.(-2,-1) D.(2,1)12.已知平行四边形的3个顶点为A(a,b),B(-b,a),C(0,0)，则它的第4个顶点D 的坐标是（） A.(2a,b) B.(a-b,a+b) C.(a+b,b-a) D.(a-b,b-a) 二、填空题13.设向量a=(2,-1)，向量b 与a 共线且b 与a 同向，b 的模为25，则b= 。

平面向量 Word版(含答案)

广东省2013届高三最新理科试题精选（37套含13大市区的二模）分类汇编4：平面向量一、选择题1 ．（广东省汕头一中2013年高三4月模拟考试数学理试题）已知,,O A B 是平面上的三个点,直线AB 上有一点C ,满足20AC CB += ,则OC =（）A ．2OA OB - B ．2OA OB -+C ．2133OA OB -D ．1233OA OB -+【答案】A2 ．（广东省珠海一中等六校2013届高三第一次联考数学（理）试题）已知向量a =(x ,1),b=(3,6),a ⊥b ,则实数x 的值为（）A ．12B ．2-C ．2D ．21-【答案】B3 ．（广东省珠海一中等六校2013届高三第二次联考数学（理）试题）在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,点(3,4)A ,将向量OA 绕点O 按逆时针方向旋转23π后得向量OB ,则点B 的坐标是3.(22A -+--3.(22B ---+3.(22C -+-+ .(4,3)D -【答案】B4 ．（广东省珠海一中等六校2013届高三第二次联考数学（理）试题）OAB ∆,点P 在边AB 上,3AB AP = ,设,OA a OB b ==,则OP =12.33A a b + 21.33B a b + .C 1233a b - .D 2133a b -PBA【答案】B5 ．（广东省肇庆市2013届高三上学期期末统一检测数学（理）试题）定义空间两个向量的一种运算sin ,⊗=⋅<>a b a b a b ,则关于空间向量上述运算的以下结论中,①⊗=⊗a b b a ,②()()λλ⊗=⊗a b a b ,③()()()+⊗=⊗+⊗a b c a c b c , ④若1122(,),(,)x y x y ==a b ,则1221x y x y ⊗=-a b . 恒成立的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B 解析: ①恒成立; ② ()λ⊗=a b sin ,λ⋅<>a b a b ,()λ⊗=a b sin ,λ⋅<>a b a b ,当0<λ时,()()λλ⊗=⊗a b a b 不成立;③当,,a b c 不共面时,()()()+⊗=⊗+⊗a b c a c b c 不成立,例如取,,a b c 为两两垂直的单位向量,易得()+⊗=a b c ()()2⊗+⊗=a c b c ;④由sin ,⊗=⋅<>a b a b a b ,cos ,=⋅<>a b a b a b ,可知2222()()⊗+=⋅ a b a b a b,2()⊗=a b 222222222112212121221()()()()()x y x y x x y y x y x y ⋅-=++-+=- a b a b ,故1221x y x y ⊗=-a b 恒成立.6 ．（广东省肇庆市2013届高三上学期期末统一检测数学（理）试题）已知向量(1,cos ),(1,2cos )θθ=-=a b 且⊥a b ,则cos 2θ等于（）A ．1-B ．0C ．12D ．2【答案】B 解析:212cos 0cos 20θθ⊥⇔-+=⇔=a b .7 ．（广东省汕头市东山中学2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题（详解））在平行四边形ABCD 中,AE →=13AB →,AF →=14AD →,CE 与BF 相交于G 点.若AB →=a ,AD →=b ,则 AG →=（）A ．27a +17bB ．27a +37bC ．37a +17bD ．47a +27b【答案】C8 ．（广东省汕头市第四中学2013届高三阶段性联合考试数学（理）试题）已知平面向量a ,b 的夹角为60°,=a ,||1=b ,则|2|+=a b（）A ．2B C ．D ．【答案】C9 ．（广东省汕头市2013届高三上学期期末统一质量检测数学（理）试题）若向量)1,1(),0,2(==b a ,则下列结论正确的是（）A ．1=⋅B ．||||b a =C ．⊥-)(D ．//【答案】C10．（广东省广州市2013届高三3月毕业班综合测试试题（一）数学（理）试题）如图2,一条河的两岸平行,河的宽度600d =m,一艘客船从码头A 出发匀速驶往河对岸的码头B .已知AB =1km,水流速度为2km/h, 若客船行驶完航程所用最短时间为6分钟,则客船在静水中的速度大小为（）A ．8 km/hB ．C ．km/hD．10km/h二、填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分. 【答案】B11．（广东省潮州市2013届高三上学期期末教学质量检测数学（理）试题）平面四边形ABCD 中0AB CD += ,()0AB AD AC -=⋅,则四边形ABCD 是（）A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．梯形【答案】B 由0AB CD += ,得AB CD DC =-=,故平面四边形ABCD 是平行四边形,又()0AB AD AC -=⋅ ,故0DB AC =⋅,所以DB AC ⊥,即对角线互相垂直.12．（2013年广东省佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数学（理）试题）已知(1,2)=a ,(0,1)=b ,(,2)k =-c ,若(2)+⊥a b c ,则k =（）A ．2B ．8C ．2-D ．8-【答案】B13．（广东省肇庆市2013届高三4月第二次模拟数学（理）试题）在ABC ∆中,已知||||||2AB BC CA ===,则向量AB BC =（）A ．2B ．2-C ．D ．-【答案】B 解析:1cos 22232AB BC AB BC ππ⎛⎫⎛⎫=⋅-=⨯⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭14．（广东省茂名市2013届高三4月第二次高考模拟数学理试题（WORD 版））向量(2,0),(,)a b x y == ,若b 与b a - 的夹角等于6π,则|b |的最大值为（）A ．4B ．C ．2 D【答案】A15．（广东省揭阳市2013年高中毕业班第二次高考模拟考试理科数学试题）已知点A (1,5)-和向量a =(2,3),若3AB a =,则点B 的坐标为（）A ．(7,4)B ．(7,14)C ．(5,4)D ．(5,14) 【答案】设(,)B x y ,由3AB a = 得1659x y +=⎧⎨-=⎩,所以选D ．16．（广东省惠州市2013届高三4月模拟考试数学理试题（WORD 版））已知向量(1,1)a =- ,(3,)b m = ,//()a a b +,则m =（）A ．2B ．2-C ．3-D ．3【答案】【解析】向量(1,1)a =- ,(3,)b m = ,()(2,1)a b m +=+,因为//()a a b +∴(1)2m -+=,3m =-故选C .17．（广东省广州市2013届高三4月综合测试（二）数学理试题（WORD 版））对于任意向量a 、b 、c ,下列命题中正确的是（）A ．=a b a b B ．+=+a b a b C．()()= a b c a b cD ．2= a a a【答案】D18．（广东省潮州市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）设向量12(,)a a a = ,12(,)b b b = ,定义一运算:12121122(,)(,)(,)a b a a b b a b a b ⊗=⊗=,已知1(,2)2m = ,11(,sin )n x x = .点Q 在()y f x =的图像上运动,且满足OQ m n =⊗(其中O 为坐标原点),则()y f x =的最大值及最小正周期分别是（）A ．1,2π B ．1,42π C ．2,π D ．2,4π(一)必做题:第9至13题为必做题,每道试题考生都必须作答. 【答案】C二、填空题19．（广东省汕头市东厦中学2013届高三第三次质量检测数学（理）试题）已知向量,的夹角为60,12==,_________=+;向量与向量2+的夹角的大小为_________.【答案】632π20．（广东省珠海一中等六校2013届高三第二次联考数学（理）试题）如图,在边长为2的菱形ABCD 中,60BAD ∠=,E 为CD 的中点,则___________.AE BD ⋅=BAEDC【答案】121．（广东省湛江一中等“十校”2013届高三下学期联考数学（理）试题）在ABC ∆中90C ∠=o ,BC =2 则=⋅BC AB ________ .【答案】-422．（广东省汕头市东山中学2013届高三下学期入学摸底考试数学（理）试题）若向量a 、b 满足2||||==,与b 的夹角为︒60,则=+||_______【答案】32;23．（广东省汕头市2013届高三3月教学质量测评数学（理）试题）已知在三角形ABC中,AB=2,AC=3,∠BAC=θ,若D 为BC 的三等分点〔靠近点B 一侧).则的取值范围为____.【答案】⎪⎭⎫⎝⎛-37,3524．（广东省华附、省实、深中、广雅四校2013届高三上学期期末联考数学（理）试题）已知e 1、e 2、e 3为不共面向量,若a =e 1+e 2+e 3,b =e 1-e 2+e 3,c =e 1+e 2-e 3,d =e 1+2e 2+3e 3,且d =xa +yb +zc ,则x 、y 、z 分别为_*****_.【答案】答案:52 ,-12,-1解:由d =xa +yb +zc 得e 1+2e 2+3e 3=(x +y +z )e 1+(x -y +z )e 2+ (x +y -z )e 3,∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝1，x －y ＋z ＝2，x ＋y －z ＝3，解得:⎩⎪⎨⎪⎧x ＝52，y ＝－12，z ＝－1.故x 、y 、z 分别为52,-12,-1.25．（广东省韶关市2013届高三4月第二次调研测试数学理试题）已知平面向量a2,)(b a a -⊥;则><b a ,cos 的值是_______.【答案】21; 26．（广东省汕头市2013年普通高中高三教学质量测试试题(二)理科数学试卷）已知正方形ABCD 的边长为1,点E 是AB 边上的点,则DE CB ⋅的值为____________.【答案】127．（广东省江门佛山两市2013届高三4月教学质量检测（佛山二模）数学理试题）已知向量,a b, ()-⊥a b a , 向量a 与b 的夹角为________.【答案】4π三、解答题28．（广东省珠海一中等六校2013届高三第二次联考数学（理）试题）已知(s i n ,c o sa θθ= 、b =(1)若//a b,求tan θ的值;(2)若()f a b θ=+, ABC ∆的三个内角,,A B C 对应的三条边分别为a 、b 、c ,且(0)a f =,()6b f π=-,()3c f π=,求AB AC ⋅.【答案】解:(1)//,sin 0a b θθ∴=sin tan θθθ∴⇒(2)(sin 1)a b θθ+=+a b ∴+===(0)a f ∴===()6b f π∴=-==()33c f π∴===由余弦定理可知:222cos 230b c a A bc +-==7cos cos 2AB AC AB AC A bc A ∴⋅=== (其它方法酌情给分)。

高中数学6.2.2《平面向量的运算》基础过关练习题(含答案)

第六章 6.2 6.2.2A 级——基础过关练1．(多选)如图，在平行四边形ABCD 中，下列结论正确的是( )A ．AB →＝DC → B ．AD →＋AB →＝AC → C ．AB →－AD →＝BD → D ．AD →＋CB →＝0【答案】ABD 【解析】A 项显然正确；由平行四边形法则知B 正确；C 项中AB →－AD →＝DB →，故C 错误；D 项中AD →＋CB →＝AD →＋DA →＝0.故选ABD ．2．化简以下各式：①AB →＋BC →＋CA →；②AB →－AC →＋BD →－CD →；③OA →－OD →＋AD →；④NQ →＋QP →＋MN →－MP →.结果为零向量的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D 【解析】①AB →＋BC →＋CA →＝AC →＋CA →＝AC →－AC →＝0； ②AB →－AC →＋BD →－CD →＝(AB →＋BD →)－(AC →＋CD →)＝AD →－AD →＝0； ③OA →－OD →＋AD →＝(OA →＋AD →)－OD →＝OD →－OD →＝0； ④NQ →＋QP →＋MN →－MP →＝NP →＋PM →＋MN →＝NM →－NM →＝0. 3．(2020年北京期末)如图，向量a －b 等于( )A ．3e 1－e 2B ．e 1－3e 2C ．－3e 1＋e 2D ．－e 1＋3e 2【答案】B 【解析】如图，设a －b ＝AB →＝e 1－3e 2，∴a －b ＝e 1－3e 2.故选B ．4．对于菱形ABCD ，给出下列各式：①AB →＝BC →；②|AB →|＝|BC →|；③|AB →－CD →|＝|AD →＋BC →|；④|AD →＋CD →|＝|CD →－CB →|. 其中正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4【答案】C 【解析】由菱形的图形，可知向量AB →与BC →的方向是不同的，但它们的模是相等的，所以②正确，①错误；因为|AB →－CD →|＝|AB →＋DC →|＝2|AB →|，|AD →＋BC →|＝2|BC →|，且|AB →|＝|BC →|，所以|AB →－CD →|＝|AD →＋BC →|，即③正确；因为|AD →＋CD →|＝|BC →＋CD →|＝|BD →|，|CD →－CB →|＝|CD →＋BC →|＝|BD →|，所以④正确．综上所述，正确的个数为3.故选C ．5．若|AB →|＝8，|AC →|＝5，则|BC →|的取值范围是( ) A ．[3,8] B ．(3,8) C ．[3,13]D ．(3,13)【答案】C 【解析】由于BC →＝AC →－AB →，则有|AB →|－|AC →|≤|BC →|≤|AB →|＋|AC →|，即3≤|BC →|≤13.6．若非零向量a 与b 互为相反向量，给出下列结论：①a ∥b ；②a ≠b ；③|a|≠|b|；④b ＝－a.其中所有正确命题的序号为________．【答案】①②④ 【解析】非零向量a ，b 互为相反向量时，模一定相等，因此③不正确．7．若a ，b 为相反向量，且|a|＝1，|b|＝1，则|a ＋b|＝________，|a －b|＝________. 【答案】0 2 【解析】若a ，b 为相反向量，则a ＋b ＝0，所以|a ＋b|＝0.又a ＝－b ，所以|a|＝|－b|＝1.因为a 与－b 共线，所以|a －b|＝2.8．如图，已知向量a 和向量b ，用三角形法则作出a －b ＋a .解：如图所示，作向量OA →＝a ，向量OB →＝b ，则向量BA →＝a －b ；作向量AC →＝a ，则BC →＝a －b ＋a .9．如图，已知OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，OF →＝f ，试用a ，b ，c ，d ，f 表示以下向量：AC →，AD →，AD →－AB →，AB →＋CF →，BF →－BD →. 解：AC →＝OC →－OA →＝c －a . AD →＝AO →＋OD →＝OD →－OA →＝d －a . AD →－AB →＝BD →＝OD →－OB →＝d －b .AB →＋CF →＝OB →－OA →＋OF →－OC →＝b －a ＋f －c . BF →－BD →＝OF →－OB →－(OD →－OB →)＝OF →－OD →＝f －d .10．如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，且|AB →|＝|AD →|＝1，OA →＋OC →＝OB →＋OD →＝0，cos ∠DAB ＝12，求|DC →＋BC →|与|CD →＋BC →|.解：∵OA →＋OC →＝OB →＋OD →＝0， ∴OA →＝CO →，OB →＝DO →.∴四边形ABCD 为平行四边形．又|AB →|＝|AD →|＝1，∴▱ABCD 为菱形． ∵cos ∠DAB ＝12，∠DAB ∈(0，π)，∴∠DAB ＝π3，∴△ABD 为正三角形．∴|DC →＋BC →|＝|AB →＋BC →|＝|AC →|＝2|AO →|＝3，|CD →＋BC →|＝|BD →|＝|AB →|＝1.B 级——能力提升练11．在平面上有A ，B ，C 三点，设m ＝AB →＋BC →，n ＝AB →－BC →，若m 与n 的长度恰好相等，则有( )A ．A ，B ，C 三点必在一条直线上 B ．△ABC 必为等腰三角形且∠B 为顶角 C ．△ABC 必为直角三角形且∠B 为直角D ．△ABC 必为等腰直角三角形【答案】C 【解析】以BA →，BC →为邻边作平行四边形ABCD ，则m ＝AB →＋BC →＝AC →，n ＝AB →－BC →＝AB →－AD →＝DB →，由m ，n 的长度相等可知，两对角线相等，因此平行四边形一定是矩形．故选C ．12．平面内有四边形ABCD 和点O ，若OA →＋OC →＝OB →＋OD →，则四边形ABCD 的形状是( )A ．梯形B ．平行四边形C ．矩形D ．菱形【答案】B 【解析】因为OA →＋OC →＝OB →＋OD →，所以OA →－OB →＝OD →－OC →，即BA →＝CD →.所以AB CD ．故四边形ABCD 是平行四边形．13．平面上有一个△ABC 和一点O ，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c .又OA →，BC →的中点分别为D ，E ，则向量DE →等于( )A ．12(a ＋b ＋c )B ．12(－a ＋b ＋c )C ．12(a －b ＋c )D ．12(a ＋b －c )【答案】B 【解析】DE →＝DO →＋OE →＝－12a ＋12(b ＋c )＝12(－a ＋b ＋c )．14．如图，在正六边形ABCDEF 中，与OA →－OC →＋CD →相等的向量有________．①CF →；②AD →；③DA →；④BE →；⑤CE →＋BC →；⑥CA →－CD →；⑦AB →＋AE →.【答案】① 【解析】OA →－OC →＋CD →＝CA →＋CD →＝CF →；CE →＋BC →＝BC →＋CE →＝BE →≠CF →；CA →－CD →＝DA →≠CF →；AB →＋AE →＝AD →≠CF →.15．已知|a|＝7，|b|＝2，且a ∥b ，则|a －b|的值为________．【答案】5或9 【解析】当a 与b 方向相同时，|a －b|＝||a|－|b||＝7－2＝5；当a 与b 方向相反时，|a －b|＝|a|＋|b|＝7＋2＝9.16．如图所示，点O 是四边形ABCD 内任一点，试根据图中给出的向量，确定a ，b ，c ，d 的方向(用箭头表示)，使a ＋b ＝BA →，c －d ＝DC →，并画出b －c 和a ＋d .解：因为a ＋b ＝BA →，c －d ＝DC →，所以a ＝OA →，b ＝BO →，c ＝OC →，d ＝OD →.如图所示，作平行四边形OBEC ，平行四边形ODF A ．根据平行四边形法则可得，b －c ＝EO →，a ＋d ＝OF →.17．如图所示，O 是平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 的交点，若AB →＝a ，DA →＝b ，OC →＝c ，试证明：b ＋c －a ＝OA →.证明：(方法一)因为b ＋c ＝DA →＋OC →＝OC →＋CB →＝OB →，OA →＋a ＝OA →＋AB →＝OB →，所以b ＋c ＝OA →＋a ，即b ＋c －a ＝OA →.(方法二)OA →＝OC →＋CA →＝OC →＋CB →＋CD →＝c ＋DA →＋BA →＝b ＋c －AB →＝b ＋c －a .(方法三)因为c －a ＝OC →－AB →＝OC →－DC →＝OC →＋CD →＝OD →＝OA →＋AD →＝OA →－DA →＝OA →－b ，所以b ＋c －a ＝OA →.C 级——探索创新练18．已知|a |＝8，|b |＝15. (1)求|a －b |的取值范围；(2)若|a －b |＝17，则表示a ，b 的有向线段所在的直线所成的角是多少？解：(1)由向量三角不等式||a |－|b ||≤|a －b |≤|a |＋|b |，得7≤|a －b |≤23. 当a ，b 同向时，不等式左边取等号，当a ，b 反向时，不等式右边取等号． (2)易知|a |2＋|b |2＝82＋152＝172＝|a －b |2. 作OA →＝a ，OB →＝b ，则|BA →|＝|a －b |＝17，所以△OAB 是直角三角形，其中∠AOB ＝90°. 所以表示a ，b 的有向线段所在的直线成90°角．。

高考数学平面向量专题练习、参考答案

高考数学平面向量专题练习考试要求：1、理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。

2、掌握向量的加法和减法。

3、掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件。

4、了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。

5、掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直问题，掌握向量垂直的条件。

6、掌握平面两点间的距离公式，以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用，掌握平移公式。

1、已知向量b a 与不共线，且0||||≠=b a ，则下列结论中正确的是 A ．向量b a b a -+与垂直 B ．向量b a -与a 垂直C ．向量b a +与a 垂直D ．向量b a b a -+与共线2．已知在△ABC 中，OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅，则O 为△ABC 的A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心3．在△ABC 中设a AB =，b AC =，点D 在线段BC 上，且3BD DC =，则AD 用b a ,表示为。

4、已知21,e e 是两个不共线的向量，而→→→→→→+=-+=2121232)251(e e b e k e k a 与是两个共线向量，则实数k = .5、设→i 、→j 是平面直角坐标系内分别与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量，且→→+=j i OA 24，→→+=j i OB 43，则△OAB 的面积等于：A ．15B ．10C ．7.5D ．56、已知向量OB OA OC OB OA +==--=),3,2(),1,3(，则向量OC 的坐标是，将向量OC 按逆时针方向旋转90°得到向量OD ，则向量OD 的坐标是 . 7、已知)3,2(),1,(==AC k AB ，则下列k 值中能使△ABC 是直角三角形的值是A ．23B ．21-C ．－5D ．31-8、在锐角三角形ABC 中，已知ABC AC AB ∆==,1||,4||的面积为3，则=∠BAC ，AC AB ⋅的值为 .9、已知四点A ( – 2，1)、B (1，2)、C ( – 1，0)、D (2，1)，则向量AB 与CD 的位置关系是 A. 平行B. 垂直C. 相交但不垂直D. 无法判断10、已知向量OB OA CA OC OB 与则),sin 2,cos 2(),2,2(),0,2(αα===夹角的范围是：A ．]4,0[π B ．]125,4[ππ C ．]125,12[ππ D ．]2,125[ππ 11、若,4,,2||,3||π夹角为且b a b a ==则||b a +等于：A ．5B ．52C ．21D ．1712、已知→a =（6，2），→b =)21,4(-，直线l 过点A )1,3(-，且与向量→→+b a 2垂直，则直线l 的一般方程是 . 13、设]2,[,),()()(ππ--∈-+=R x x f x f x F 是函数)(x F 的单调递增区间，将)(x F 的图象按)0,(π=a 平移得到一个新的函数)(x G 的图象，则)(x G 的单调递减区间必是：A ．]0,2[π-B ．],2[ππC ．]23,[ππ D ．]2,23[ππ14、把函数3)2(log 2+-=x y 的图象按向量a 平移，得到函数1)1(log 2-+=x y 的图象，则a 为（）A ．（3，－4）B ．（3，4）C ．（－3，4）D ．（－3，－4）15、如果把圆)1,(02:22-==-+m a y y x C 沿向量平移后得到圆C ′，且C ′与直线043=-y x 相切，则m 的值为 .16、已知P 是抛物线122-=x y 上的动点，定点A （0，-1），若点M 分PA 所成的比为2，则点M 的轨迹方程是_____，它的焦点坐标是_________．17、若D 点在三角形的BC 边上，且4CD DB r AB sAC ==+，则3r s +的值为:A. 165B. 125C. 85D. 4518、若向量),sin ,(cos ),sin ,(cos ββb a ==αα则b a与一定满足:A.b a 与的夹角等于βα-B.)()(b a b a -⊥+C. b a //D.b a ⊥19、已知A （3，0），B （0，3），C （cos α，sin α）.（1）若BC AC ⋅=－1，求sin2α的值；（2）若13||=+OC OA ，且α∈（0，π），求OB 与OC 的夹角.20、已知O 为坐标原点，a R a R x a x OB x OA ,,)(2sin 3,1(),1,cos 2(2∈∈+==是常数），若.OB OA y ⋅=（Ⅰ）求y 关于x 的函数解析式);(x f （Ⅱ）若]2,0[π∈x 时，)(x f 的最大值为2，求a 的值并指出)(x f 的单调区间.21、已知A （－2，0）、B （2，0），点C 、点D 满足).(21,2||AC AB AD AC +== （1）求点D 的轨迹方程；（2）过点A 作直线l 交以A 、B 为焦点的椭圆于M 、N 两点，线段MN 的中点到y 轴的距离为54，且直线l 与点D 的轨迹相切，求该椭圆的方程. 22、如图，已知△OFQ 的面积为S ，且 1=⋅FQ OF . （1）若21＜S ＜2，求向量OF 与FQ 的夹角θ的取值范围；（2）设|OF | = c （c ≥2），S =c 43，若以O 为中心，F 为焦点的椭圆经过点Q ，当|OQ |取得最小值时，求此椭圆的方程.参考答案1、A ；2、D ；3、→→+b a 4341；4、231或；5、D ；6、)2,1(-，)1,2(--；7、D ；8、3π, 2；9、A ；10、C ；11、D ；12、0932=--y x ；13、D ；14、D ；15、35±；16、)0(162≠-=x x y ,)21,0(；17、C ；18、B19（1）解：(cos 3,sin )AC αα=-，(cos ,sin 3)BC αα=-∴BC AC ⋅=－1⇒cos (cos 3)sin (sin 3)1αααα-+-=- ∴2cos sin 3αα+=，∴224cos sin 2sin cos 9αααα++= ∴5sin 29α=- （2）∵(3cos ,sin )OA OC αα+=+=化简得1cos 2α=， ∵(0,)απ∈，∴sin 2α=∴3sin cos ,sin 3||||OB OC OB OC OB OC αα⋅<>====2 ∴OB 与OC 的夹角为6π20．（1）,2sin 3cos 22a x x OB OA y ++=⋅=).](32,6[:).](6,3[:)(.1,23,3)(,]6,0[6,262.1)62sin(2)()2(.12sin 32cos )(Z k k kx Z k k kx x f a a a x f x x a x x f a x x x f ∈+-∈+--==++∈==+∴+++=+++=∴πππππππππππ单调减区间是的单调增区间是可解得函数解得由取最大值时解得 21．解：（I ）设C 、D 点的坐标分别为C （),00y x ，D ),(y x ，则00,2(y x AC +=），)0,4(=AB则),6(00y x AC AB +=+，故)2,32()(2100y x AC AB AD +=+=又解得故⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=++=.2,232),,2(00y y x x y x AD ⎩⎨⎧=-=.2,2200y y x x 代入2)2(||2020=++=y x AC 得122=+y x ，即为所求点D 的轨迹方程.（II ）易知直线l 与x 轴不垂直，设直线l 的方程为)2(+=x k y ①.又设椭圆方程为)4(1422222>=-+a a y a x ②. 因为直线l 与圆122=+y x 相切.故11|2|2=+k k ，解得.312=k将①代入②整理得，0444)4(2422222222=+-++-+a a k a x k a x a k a ，而313=k ，即0443)3(24222=+-+-a a x a x a ，设M （),11y x ，N （),22y x ，则32221--=+a a x x ，由题意有)3(5423222>⨯=-a a a ，求得82=a .经检验，此时.0>∆ 故所求的椭圆方程为.14822=+y x 22．解：（1）由已知，得.2tan 1cos ||||)sin(||||21S FQ OF SFQ OF =⇒⎪⎩⎪⎨⎧==-⋅θθθπ ∵21＜S ＜2，∴2＜tan θ＜4，则4π＜θ＜arctan4. （2）以O 为原点，OF 所在直线为x 轴建立直角坐标系，设椭圆方程为12222=+by a x （a ＞0，b ＞0），Q 的坐标为（x 1，y 1），则FQ =（x 1－c ，y 1）,∵△OFQ 的面积为,43||211c y OF =⋅∴y 1 =23又由OF ·FQ =（c ，0）·⎪⎭⎫ ⎝⎛-23 ,1c x =（x 1－c ）c = 1，得x 1 =491|| ,122121+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=+c c y x OQ c c （c ≥2）.当且仅当c = 2时|OQ |最小，此时Q 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛23 ,25，由此可得⎪⎩⎪⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=+6104149425222222b a b a b a ，故椭圆方程为161022=+y x .。

高中平面向量测试题及答案

高中平面向量测试题及答案(总8页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--平面向量一、选择题1．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，x )，若a ＋b 与4b －2a 平行，则实数x 的值为( )A ．－2B ．0C ．1D ．22．已知点A (－1,0)，B (1,3)，向量a ＝(2k －1,2)，若AB →⊥a ，则实数k 的值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．23．如果向量a ＝(k,1)与b ＝(6，k ＋1)共线且方向相反，那么k 的值为( )A ．－3B ．2C ．－174．在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，DE 交AF 于H ，记AB →、BC →分别为a 、b ，则AH →＝( ) a －45b a ＋45b C ．－25a ＋45b D ．－25a －45b 5．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，n )，若|a ＋b |＝a ·b ，则n ＝( )A ．－3B ．－1C ．1D ．36．已知P 是边长为2的正△ABC 边BC 上的动点，则AP →·(AB →＋AC →)( )A ．最大值为8B ．是定值6C ．最小值为2D ．与P 的位置有关7．设a ，b 都是非零向量，那么命题“a 与b 共线”是命题“|a ＋b |＝|a |＋|b |”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件 8.已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5，若(a ＋b )·c ＝52，则a 与c 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°9．设O 为坐标原点，点A (1,1)，若点B (x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2x －2y ＋1≥0，1≤x ≤2，1≤y ≤2，则OA →·OB →取得最大值时，点B 的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．无数10．a ，b 是不共线的向量，若AB →＝λ1a ＋b ，AC →＝a ＋λ2b (λ1，λ2∈R )，则A 、B 、C 三点共线的充要条件为( )A ．λ1＝λ2＝－1B ．λ1＝λ2＝1C ．λ1·λ2＋1＝0D ．λ1λ2－1＝011．如图，在矩形OACB 中，E 和F 分别是边AC 和BC 的点，满足AC ＝3AE ，BC ＝3BF ，若OC →＝λOE →＋μOF →其中λ，μ∈R ，则λ＋μ是( )D ．112．已知非零向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝－12，则△ABC 的形状为( )A ．等腰非等边三角形B ．等边三角形C ．三边均不相等的三角形D ．直角三角形第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题13．平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________.14．已知a ＝(2＋λ，1)，b ＝(3，λ)，若〈a ，b 〉为钝角，则λ的取值范围是________． 15．已知二次函数y ＝f (x )的图像为开口向下的抛物线，且对任意x ∈R 都有f (1＋x )＝f (1－x )．若向量a ＝(m ，－1)，b ＝(m ，－2)，则满足不等式f (a ·b )>f (－1)的m 的取值范围为________．16.已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫sin θ，14，b ＝(cos θ，1)，c ＝(2，m )满足a ⊥b 且(a ＋b )∥c ，则实数m ＝________. 三、解答题17．已知向量a ＝(－cos x ，sin x )，b ＝(cos x ，3cos x )，函数f (x )＝a ·b ，x ∈[0，π]．(1)求函数f (x )的最大值；(2)当函数f (x )取得最大值时，求向量a 与b 夹角的大小．18．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1、F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)．(1)求双曲线方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证MF 1→·MF 2→＝0.19．△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，向量m ＝(2sin B,2－cos2B )，n ＝(2sin 2(π4＋B2)，－1)，m ⊥n .(1)求角B 的大小；(2)若a ＝3，b ＝1，求c 的值．20．已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫cos 3x 2，sin 3x 2，b ＝⎝⎛⎭⎫cos x 2，－sin x 2，且x ∈[π2，π]．(1)求a ·b 及|a ＋b |； (2)求函数f (x )＝a ·b ＋|a ＋b |的最大值，并求使函数取得最大值时x 的值．21．已知OA →＝(2a sin 2x ，a )，OB →＝(－1,23sin x cos x ＋1)，O 为坐标原点，a ≠0，设f (x )＝OA →·OB →＋b ，b >a . (1)若a >0，写出函数y ＝f (x )的单调递增区间；(2)若函数y ＝f (x )的定义域为[π2，π]，值域为[2,5]，求实数a 与b 的值．22．已知点M (4,0)，N (1,0)，若动点P 满足MN →·MP →＝6|PN →|.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)设过点N 的直线l 交轨迹C 于A ，B 两点，若－187≤NA →·NB →≤－125，求直线l 的斜率的取值范围．平面向量答案1.[解 a ＋b ＝(3，x ＋1)，4b －2a ＝(6,4x －2)，∵a ＋b 与4b －2a 平行，∴36＝x ＋14x －2，∴x ＝2，故选D.2.[解AB →＝(2,3)，∵AB →⊥a ，∴2(2k －1)＋3×2＝0，∴k ＝－1，∴选B.3.[解由条件知，存在实数λ<0，使a ＝λb ，∴(k,1)＝(6λ，(k ＋1)λ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝6λ(k ＋1)λ＝1，∴k ＝－3，故选A.4.[解析] AF →＝b ＋12a ，DE →＝a －12b ，设DH →＝λDE →，则DH →＝λa －12λb ，∴AH →＝AD →＋DH →＝λa＋⎝⎛⎭⎫1－12λb ，∵AH →与AF →共线且a 、b 不共线，∴λ12＝1－12λ1，∴λ＝25，∴AH →＝25a ＋45b . 5.[解析] ∵a ＋b ＝(3,1＋n )，∴|a ＋b |＝9＋(n ＋1)2＝n 2＋2n ＋10，又a ·b ＝2＋n ，∵|a ＋b |＝a ·b ，∴n 2＋2n ＋10＝n ＋2，解之得n ＝3，故选D.6.[解析]设BC 边中点为D ，则AP →·(AB →＋AC →)＝AP →·(2AD →) ＝2|AP →|·|AD →|·cos ∠P AD ＝2|AD →|2＝6.7.[解析] |a ＋b |＝|a |＋|b |⇔a 与b 方向相同，或a 、b 至少有一个为0；而a 与b 共线包括a 与b 方向相反的情形，∵a 、b 都是非零向量，故选B.8.[解析] 由条件知|a |＝5，|b |＝25，a ＋b ＝(－1，－2)，∴|a ＋b |＝5，∵(a ＋b )·c ＝52，∴5×5·cos θ＝52，其中θ为a ＋b 与c 的夹角，∴θ＝60°.∵a ＋b ＝－a ，∴a ＋b 与a 方向相反，∴a 与c 的夹角为120°.9.[解析] x 2＋y 2－2x －2y ＋1≥0，即(x －1)2＋(y －1)2≥1，画出不等式组表示的平面区域如图，OA →·OB →＝x ＋y ，设x ＋y ＝t ，则当直线y ＝－x 平移到经过点C 时，t 取最大值，故这样的点B 有1个，即C 点．10.[解析] ∵A 、B 、C 共线，∴AC →，AB →共线，根据向量共线的条件知存在实数λ使得AC →＝λAB →，即a ＋λ2b ＝λ(λ1a ＋b )，由于a ，b 不共线，根据平面向量基本定理得⎩⎪⎨⎪⎧1＝λλ1λ2＝λ，消去λ得λ1λ2＝1.11.[解析] OF →＝OB →＋BF →＝OB →＋13OA →，OE →＝OA →＋AE →＝OA →＋13OB →，相加得OE →＋OF →＝43(OA →＋OB →)＝43OC →，∴OC →＝34OE →＋34OF →，∴λ＋μ＝34＋34＝32.12.[解析] 根据⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0知，角A 的内角平分线与BC 边垂直，说明三角形是等腰三角形，根据数量积的定义及AB →|AB →|·AC →|AC →|＝－12可知A ＝120°.故三角形是等腰非等边的三角形．13.[解析] a ·b ＝|a |·|b |cos60°＝2×1×12＝1，|a ＋2b |2＝|a |2＋4|b |2＋4a ·b ＝4＋4＋4×1＝12，∴|a ＋2b |＝2 3.14.[解析] ∵〈a ，b 〉为钝角，∴a ·b ＝3(2＋λ)＋λ＝4λ＋6<0，∴λ<－32，当a 与b 方向相反时，λ＝－3，∴λ<－32且λ≠－3.15.[解析] 由条件知f (x )的图象关于直线x ＝1对称，∴f (－1)＝f (3)，∵m ≥0，∴a ·b ＝m ＋2≥2，由f (a ·b )>f (－1)得f (m ＋2)>f (3)，∵f (x )在[1，＋∞)上为减函数，∴m ＋2<3，∴m <1，∵m ≥0，∴0≤m <1.16.[解析] ∵a ⊥b ，∴sin θcos θ＋14＝0，∴sin2θ＝－12，又∵a ＋b ＝⎝⎛⎭⎫sin θ＋cos θ，54，(a ＋b )∥c ，∴m (sin θ＋cos θ)－52＝0，∴m ＝52(sin θ＋cos θ)，∵(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin2θ＝12，∴sin θ＋cos θ＝±22，∴m ＝±522.17.[解析] (1)f (x )＝a ·b ＝－cos 2x ＋3sin x cos x ＝32sin2x －12cos2x －12＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－12. ∵x ∈[0，π]，∴当x ＝π3时，f (x )max ＝1－12＝12.(2)由(1)知x ＝π3，a ＝⎝⎛⎭⎫－12，32，b ＝⎝⎛⎭⎫12，32，设向量a 与b 夹角为α，则cos α＝a ·b |a |·|b |＝121×1＝12，∴α＝π3.因此，两向量a 与b 的夹角为π3.18.[解析] (1)解：∵e ＝2，∴可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ，∵过(4，－10)点，∴16－10＝λ，即λ＝6，∴双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)证明：F 1(－23，0)，F 2(23，0)，MF 1→＝(－3－23，－m )，MF 2→＝(－3＋23，－m )，∴MF 1→·MF 2→＝－3＋m 2，又∵M 点在双曲线上，∴9－m 2＝6，即m 2－3＝0，∴MF 1→·MF 2→＝0，即MF 1→⊥MF 2→.19.[解析] (1)∵m ⊥n ，∴m ·n ＝0，∴4sin B ·sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋B 2＋cos2B －2＝0，∴2sin B [1－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋B ]＋cos2B －2＝0，∴2sin B ＋2sin 2B ＋1－2sin 2B －2＝0， ∴sin B ＝12，∵0<B <π，∴B ＝π6或56π.(2)∵a ＝3，b ＝1，∴a >b ，∴此时B ＝π6，方法一：由余弦定理得：b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，∴c 2－3c ＋2＝0，∴c ＝2或c ＝1. 方法二：由正弦定理得b sin B ＝a sin A ，∴112＝3sin A ，∴sin A ＝32，∵0<A <π，∴A ＝π3或23π，若A ＝π3，因为B ＝π6，所以角C ＝π2，∴边c ＝2；若A ＝23π，则角C ＝π－23π－π6＝π6，∴边c ＝b ，∴c ＝1.综上c ＝2或c ＝1. 20.[解析](1)a ·b ＝cos3x 2cos x 2－sin 3x 2sin x2＝cos2x ，|a ＋b |＝⎝⎛⎭⎫cos 3x 2＋cos x 22＋⎝⎛⎭⎫sin 3x 2－sin x 22＝2＋2⎝⎛⎭⎫cos 3x 2cos x 2－sin 3x 2sin x2＝2＋2cos2x ＝2|cos x |，∵x ∈[π2，π]，∴cos x <0，∴|a ＋b |＝－2cos x .(2)f (x )＝a ·b ＋|a ＋b |＝cos2x －2cos x ＝2cos 2x －2cos x －1＝2⎝⎛⎭⎫cos x －122－32 ∵x ∈[π2，π]，∴－1≤cos x ≤0，∴当cos x ＝－1，即x ＝π时f max (x )＝3.21.[解析] (1)f (x )＝－2a sin 2x ＋23a sin x cos x ＋a ＋b ＝2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋b ， ∵a >0，∴由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2得，k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z .∴函数y ＝f (x )的单调递增区间是[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z )(2)x ∈[π2，π]时，2x ＋π6∈[7π6，13π6]，sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈[－1，12]当a >0时，f (x )∈[－2a ＋b ，a ＋b ] ∴⎩⎪⎨⎪⎧ －2a ＋b ＝2a ＋b ＝5，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝4，当a <0时，f (x )∈[a ＋b ，－2a ＋b ] ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2－2a ＋b ＝5，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝3综上知，⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝4 22.[解析] 设动点P (x ，y )，则MP →＝(x －4，y )，MN →＝(－3,0)，PN →＝(1－x ，－y )．由已知得－3(x －4)＝6(1－x )2＋(－y )2，化简得3x 2＋4y 2＝12，得x 24＋y 23＝1. 所以点P 的轨迹C 是椭圆，C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题意知，直线l 的斜率必存在，不妨设过N 的直线l 的方程为y ＝k (x －1)，设A ，B 两点的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 24＋y 23＝1消去y 得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0. 因为N 在椭圆内，所以Δ>0.所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2.因为NA →·NB →＝(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝(1＋k 2)(x 1－1)(x 2－1)＝(1＋k 2)[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]＝(1＋k 2)4k 2－12－8k 2＋3＋4k 23＋4k 2＝－9(1＋k 2)3＋4k 2，所以－187≤－9(1＋k 2)3＋4k2≤－125.解得1≤k 2≤3.所以－3≤k ≤－1或1≤k ≤ 3.。

(完整版)平面向量专项训练(含答案)

平面向量专题训练知识点回顾1．向量的三种线性运算及运算的三种形式。

向量的加减法，实数与向量的乘积，两个向量的数量积都称为向量的线性运算，前两者的结果是向量，两个向量数量积的结果是数量。

每一种运算都可以有三种表现形式：图形、符号、坐标语言。

主要内容列表如下：运算图形语言符号语言坐标语言加法与减法→--OA +→--OB =→--OC→--OB -→--OA =→--AB记→--OA =(x 1,y 1)，→--OB =(x 1,y 2) 则→--OA +→--OB =(x 1+x 2,y 1+y 2)AB OB --→=u u u r -→--OA =（x 2-x 1,y 2-y 1）→--OA +→--AB =→--OB实数与向量的乘积→--AB =λ→aλ∈R记→a =(x,y) 则λ→a =(λx,λy)两个向量的数量积→a ·→b =|→a ||→b | cos<→a ,→b >记→a =(x 1,y 1), →b =(x 2,y 2) 则→a ·→b =x 1x 2+y 1y 2（3）两个向量平行：设a =（x 1,y 1），b =(x 2,y 2)，则a ∥b ⇔a b λ=r r⇔x 1y 2-x 2y 1=0（4）两个向量垂直：设→a =(x 1,y 1), →b =(x 2,y 2)，则→a ⊥→b⇔a 0b •=r r ⇔x 1x 2+y 1y 2=0 课堂精练一、选择题1. 已知平面向量a =,1x （），b =2,x x （－），则向量+a b ( )A 平行于x 轴 B.平行于第一、三象限的角平分线C.平行于y 轴D.平行于第二、四象限的角平分线2. 已知向量(1,2)=a ，(2,3)=-b ．若向量c 满足()//+c a b ，()⊥+c a b ，则c =（） A ．77(,)93 B ．77(,)39-- C ．77(,)39 D ．77(,)93--ECBA 3.已知向量(1,0),(0,1),(),a b c ka b k R d a b ===+∈=-，如果//c d 那么 ( ) A ．1k =且c 与d 同向B ．1k =且c 与d 反向C ．1k =-且c 与d 同向D ．1k =-且c 与d 反向 4已知平面向量(11)(11)==-，，，a b ，则向量1322-=a b （）Ａ．(21)--，Ｂ．(21)-，Ｃ．(10)-，Ｄ．(12)，5.设P 是△ABC 所在平面内的一点，2BC BA BP +=u u u r u u u r u u u r，则（）A.0PA PB +=u u u r u u u r rB.0PC PA +=u u u r u u u r rC.0PB PC +=u u u r u u u r rD.0PA PB PC ++=u u u r u u u r u u u r r6.已知向量a = (2,1)，a ·b = 10，︱a + b ︱=b ︱=（） 7.设a 、b 、c 是单位向量，且a ·b ＝0，则()()a c bc -•-的最小值为( )A.2-2C.1-D.18已知向量(1)(1)n n ==-，，，a b ，若2-a b 与b 垂直，则=a（）A ．1BC ．2D ．49平面向量a 与b 的夹角为060，(2,0)a =，1b= 则2ab +=( )B.10.若向量a=（1，1），b=（-1,1），c=（4，2），则c=( )A.3a+bB. 3a-bC.-a+3bD. a+3b11.如图1， D ，E ，F 分别是∆ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则 ( )A ．0AD BE CF ++=u u u r u u u r u u u r rB ．0BD CF DF -+=u u u r u u u r u u u r rC ．0AD CE CF +-=u u u r u u u r u u u r rD ．0BD BE FC --=u u u r u u u r u u u r r12.已知O 是ABC △所在平面内一点,D 为BC 边中点,且2OA OB OC ++=0u u u r u u u r u u u r，那么（）Ａ．AO OD =u u u r u u u rＢ．2AO OD =u u u r u u u rＣ．3AO OD =u u u r u u u rＤ．2AO OD =u u u r u u u r13.设非零向量a 、b 、c 满足c b a c b a =+==|,|||||，则>=<b a ,( )A ．150° B.120° C.60° D.30°14.已知()()3,2,1,0a b =-=-，向量a b λ+与2a b -垂直，则实数λ的值为( )A.17-B.17C.16-D.1615.已知1,6,()2==-=g a b a b a ，则向量a 与向量b 的夹角是（）A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π16.已知向量(1,1),(2,),x ==a b 若a +b 与-4b 2a 平行，则实数x 的值是（） A ．-2B ．0C ．1D ．217.在ABC △中，AB =u u u r c ，AC =u u u r b ．若点D 满足2BD DC =u u u r u u u r ，则AD =u u u r （）A ．2133+b cB ．5233-c bC ．2133-b c D ．1233+b c 18.在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若(2,4)AB =u u u r ，(1,3)AC =u u u r ,则BD =u u u r （）A ．（－2，－4）B ．（－3，－5）C ．（3，5）D ．（2，4）19.设)2,1(-=,)4,3(-=,)2,3(=则=⋅+)2( （）A.(15,12)-B.0C.3-D.11- 二、填空题1.若向量a r ，b r 满足12a b ==r r ，且a r 与b r 的夹角为3π，则a b +=r r ．2.设向量(12)(23)==，，，a b ，若向量λ+a b 与向量(47)=--，c 共线，则=λ3.已知向量a 与b 的夹角为120o，且4==a b ，那么(2)+gb a b 的值为4.已知平面向量(2,4)a =r ，(1,2)b =-r ．若()c a a b b =-⋅r r r r r ，则||c =r____________．5.a r ，b r 的夹角为120︒，1a =r，3b =r 则5a b -=r r ．6.已知向量2411()()，，，a =b =．若向量()λ⊥b a +b ，则实数λ的值是7.若向量a 、b 满足b a b a 与,1==的夹角为120°，则b a b a ··+＝8.已知向量(3,1)a =r ，(1,3)b =r ， (,2)c k =r ，若()a c b -⊥r r r则k = ．9.已知向量(3,1)a =r ，(1,3)b =r ，(,7)c k =r ，若()a c -r r∥b r ，则k = ．10.在平面直角坐标系xoy 中，四边形ABCD 的边AB ∥DC,AD ∥BC,已知点A(－2，0)，B （6，8），C(8,6),则D 点的坐标为__________.平面向量专题训练答案：一选择题1 C2 D3 D 4Ｄ 5 B 6 C 7 D 8 Ｃ 9 B 10 B11 A 12 Ａ 13 B 14 A 15 C 16 D 17 A 18 B 19 C 二填空题2 23 0 _4 285 76 -37 -18 09 5 10_（0，－2）。

(完整word版)高中数学平面向量习题及答案

第二章平面向量一、选择题1．在△ABC 中，AB ＝AC ，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，则( )． A ．AB 与AC 共线 B ．DE 与CB 共线 C ．AD 与AE 相等D ．AD 与BD 相等2．下列命题正确的是( )． A ．向量AB 与BA 是两平行向量 B ．若a ，b 都是单位向量，则a ＝bC ．若AB ＝DC ，则A ，B ，C ，D 四点构成平行四边形 D ．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同3．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A (3，1)，B (－1，3)，若点C 满足OC ＝α OA ＋β OB ，其中 α，β∈R ，且α＋β＝1，则点C 的轨迹方程为( )．A ．3x ＋2y －11＝0B ．(x －1)2＋(y －1)2＝5C ．2x －y ＝0D ．x ＋2y －5＝0 4．已知a 、b 是非零向量且满足(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，则a 与b 的夹角是( )． A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π 5．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上(不包括端点A ，C )，则AP ＝( )． A ．λ(AB ＋AD )，λ∈(0，1) B ．λ(AB ＋BC )，λ∈(0，22) C ．λ(AB －AD )，λ∈(0，1)D ．λ(AB －BC )，λ∈(0，22) 6．△ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，AC 的中点，则DF ＝( )． A ．EF ＋EDB ．EF －DEC ．EF ＋ADD ．EF ＋AF7．若平面向量a 与b 的夹角为60°，|b |＝4，(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，则向量a 的模为( )．(第1题)A．2 B．4 C．6 D．128．点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足OA·OB ＝OB·OC＝OC·OA，则点O是△ABC的()．A．三个内角的角平分线的交点B．三条边的垂直平分线的交点C．三条中线的交点D．三条高的交点9．在四边形ABCD中，AB＝a＋2b，BC＝－4a－b，DC＝－5a－3b，其中a，b不共线，则四边形ABCD为()．A．平行四边形B．矩形C．梯形D．菱形10．如图，梯形ABCD中，|AD|＝|BC|，EF∥AB∥CD则相等向量是()．A．AD与BC B．OA与OBC．AC与BD D．EO与OF(第10题)二、填空题11．已知向量OA＝(k，12)，OB＝(4，5)，OC＝(－k，10)，且A，B，C三点共线，则k＝．12．已知向量a＝(x＋3，x2－3x－4)与MN相等，其中M(－1，3)，N(1，3)，则x ＝．13．已知平面上三点A，B，C满足|AB|＝3，|BC|＝4，|CA|＝5，则AB·BC＋BC·CA＋CA·AB的值等于．14．给定两个向量a＝(3，4)，b＝(2，－1)，且(a＋m b)⊥(a－b)，则实数m等于．15．已知A，B，C三点不共线，O是△ABC内的一点，若OA＋OB＋OC＝0，则O 是△ABC的．16．设平面内有四边形ABCD和点O，OA＝a，OB＝b，OC＝c, OD＝d，若a＋c ＝b＋d，则四边形ABCD的形状是．三、解答题17．已知点A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)，若点P满足AP＝AB＋λAC(λ∈R)，试求λ为何值时，点P在第三象限内？18．如图，已知△ABC，A(7，8)，B(3，5)，C(4，3)，M，N，D分别是AB，AC，BC的中点，且MN与AD交于F，求DF．(第18题)19．如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，求证：AF⊥DE(利用向量证明)．(第19题) 20．已知向量a＝(cos θ，sin θ)，向量b＝(3，－1)，则|2a－b|的最大值．参考答案一、选择题 1．B解析：如图，AB 与AC ，AD 与AE 不平行，AD 与BD 共线反向．2．A解析：两个单位向量可能方向不同，故B 不对．若AB ＝DC ，可能A ，B ，C ，D 四点共线，故C 不对．两向量相等的充要条件是大小相等，方向相同，故D 也不对．3．D解析：提示：设OC ＝(x ，y )，OA ＝(3，1)，OB ＝(－1，3)，α OA ＝(3α，α)，β OB ＝(－β，3β)，又αOA ＋β OB ＝(3α－β，α＋3β)，∴ (x ，y )＝(3α－β，α＋3β)，∴⎩⎨⎧βαβα33＋＝－＝y x ，又α＋β＝1，由此得到答案为D ．4．B解析：∵(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，∴(a －2b )·a ＝a 2－2a ·b ＝0，(b －2a )·b ＝b 2－2a ·b ＝0，∴ a 2＝b 2，即|a |＝|b |．∴|a |2＝2|a ||b |cos θ＝2|a |2cos θ．解得cos θ＝21． ∴ a 与b 的夹角是3π． 5．A解析：由平行四边形法则，AB ＋AD ＝AC ，又AB ＋BC ＝AC ，由 λ的范围和向量数乘的长度，λ∈(0，1)．6．D解析：如图，∵AF ＝DE ， ∴ DF ＝DE ＋EF ＝EF ＋AF ．(第6题)(第1题)7．C解析：由(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，得a 2－a ·b －6b 2＝－72．而|b |＝4，a ·b ＝|a ||b |cos 60°＝2|a |， ∴ |a |2－2|a |－96＝－72，解得|a |＝6． 8．D解析：由 OA ·OB ＝OB ·OC ＝OC ·OA ，得OA ·OB ＝OC ·OA , 即OA ·(OC －OB )＝0，故BC ·OA ＝0，BC ⊥OA ，同理可证AC ⊥OB ， ∴ O 是△ABC 的三条高的交点． 9．C解析：∵AD ＝＋＋C ＝－8a －2b ＝2BC ，∴AD ∥BC 且|AD |≠|BC |． ∴ 四边形ABCD 为梯形． 10．D解析：AD 与BC ，AC 与BD ，OA 与OB 方向都不相同，不是相等向量．二、填空题 11．－32．解析：A ，B ，C 三点共线等价于，共线，Θ＝OB －OA ＝(4，5)－(k ，12)＝(4－k ，－7)，BC ＝OC －OB ＝(－k ，10)－(4，5)＝(－k －4，5)，又 A ，B ，C 三点共线，∴ 5(4－k )＝－7(－k －4)，∴ k ＝－32． 12．－1．解析：∵ M (－1，3)，N (1，3)， ∴ MN ＝(2，0)，又a ＝MN ，∴ ⎩⎨⎧0＝4－3－2＝3＋2x x x 解得⎩⎨⎧4＝1＝－1＝－x x x 或∴ x ＝－1． 13．－25．解析：思路1：∵ AB ＝3，BC ＝4，CA ＝5，∴ △ABC 为直角三角形且∠ABC ＝90°，即AB ⊥BC ，∴AB ·BC ＝0， ∴ AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB ＝BC ·CA ＋CA ·AB ＝CA ·(BC ＋AB ) ＝－(CA )2 ＝－2CA ＝－25．思路2：∵ AB ＝3，BC ＝4，CA ＝5，∴∠ABC ＝90°， ∴ cos ∠CAB ＝CA AB＝53，cos ∠BCA ＝CABC＝54．根据数积定义，结合图(右图)知AB ·BC ＝0， BC ·CA ＝BC ·CA cos ∠ACE ＝4×5×(－54)＝－16， CA ·AB ＝CA ·AB cos ∠BAD ＝3×5×(－53)＝－9． ∴ AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB ＝0―16―9＝－25． 14．323．解析：a ＋m b ＝(3＋2m ，4－m )，a －b ＝(1，5)． ∵ (a ＋m b )⊥(a －b )，∴ (a ＋m b )·(a －b )＝(3＋2m )×1＋(4－m )×5＝0 m ＝323． 15．答案：重心．解析：如图，以OA ，OC 为邻边作□AOCF 交AC 于D(第13题)点E ，则OF ＝OA ＋OC ，又 OA ＋OC ＝－OB ，∴ OF ＝2OE ＝－OB ．O 是△ABC 的重心． 16．答案：平行四边形．解析：∵ a ＋c ＝b ＋d ，∴ a －b ＝d －c ，∴BA ＝CD ． ∴ 四边形ABCD 为平行四边形．三、解答题 17．λ＜－1．解析：设点P 的坐标为(x ，y )，则AP ＝(x ，y )－(2，3)＝(x －2，y －3)． AB ＋λAC ＝(5，4)－(2，3)＋λ［(7，10)－(2，3)］＝(3，１)＋λ(5，7) ＝(3＋5λ，１＋7λ)．∵ AP ＝AB ＋λAC ，∴ (x －2，y －3)＝(3＋5λ，1＋7λ)． ∴ ⎩⎨⎧+=-+=-λλ713532y x 即⎩⎨⎧+=+=λλ7455y x要使点P 在第三象限内，只需⎩⎨⎧<+<+074055λλ 解得 λ＜－1．18．DF ＝(47，2)．解析：∵ A (7，8)，B (3，5)，C (4，3)， AB ＝(－4，－3)，AC ＝(－3，－5)．又 D 是BC 的中点， ∴ AD ＝21(AB ＋AC )＝21(－4－3，－3－5) ＝21(－7，－8)＝(－27，－4)．又 M ，N 分别是AB ，AC 的中点， ∴ F 是AD 的中点， ∴ DF ＝－FD ＝－21AD ＝－21(－27，－4)＝(47，2)． (第18题)19．证明：设AB ＝a ，AD ＝b ，则AF ＝a ＋21b ，ED ＝b －21a ． ∴ AF ·ED ＝(a ＋21b )·(b －21a )＝21b 2－21a 2＋43a ·b ．又AB ⊥AD ，且AB ＝AD ，∴ a 2＝b 2，a ·b ＝0． ∴ AF ·ED ＝0，∴AF ⊥ED ．本题也可以建平面直角坐标系后进行证明．20．分析：思路1：2a －b ＝(2cos θ－3，2sin θ＋1)，∴ |2a －b |2＝(2cos θ－3)2＋(2sin θ＋1)2＝8＋4sin θ－43cos θ．又4sin θ－43cos θ＝8(sin θcos3π－cos θsin 3π)＝8sin (θ－3π)，最大值为8， ∴ |2a －b |2的最大值为16，∴|2a －b |的最大值为4．思路2：将向量2a ，b 平移，使它们的起点与原点重合，则|2a －b |表示2a ，b 终点间的距离．|2a |＝2，所以2a 的终点是以原点为圆心，2为半径的圆上的动点P ，b 的终点是该圆上的一个定点Q ，由圆的知识可知，|PQ |的最大值为直径的长为4．(第19题)。

平面向量练习题(附答案)

平面向量练习题(附答案)平面向量练题一．填空题。

1.XXX等于0.2.若向量a=(3,2)，b=(-1,1)，则向量2b-a的坐标是(-7,-3)。

3.平面上有三个点A(1,3)，B(2,2)，C(7,x)，若∠ABC=90°，则x的值为-16.4.向量a、b满足|a|=1,|b|=2,(a+b)⊥(2a-b)，则向量a与b的夹角为90°。

5.已知向量a=(1,2)，b=(3,1)，那么向量2a-1b的坐标是(1,3)。

6.已知A(-1,2)，B(2,4)，C(4,-3)，D(x,1)，若AB与CD共线，则|BD|的值等于5.7.将点A(2,4)按向量a=(-5,-2)平移后，所得到的对应点A'的坐标是(-3,2)。

8.已知a=(1,-2),b=(1,x)，若a⊥b，则x等于-1.9.已知向量a,b的夹角为120°，且|a|=2,|b|=5，则(2a-b)·a=-6.10.设a=(2,-3),b=(x,2x)，且3a·b=4，则x等于-2/3.11.已知AB=(6,1),BC=(x,y),CD=(-2,-3)，且BC∥DA，则x+2y的值为-5.12.已知向量a+3b,a-4b分别与7a-5b,7a-2b垂直，且|a|≠0,|b|≠0，则a与b的夹角为60°。

13.在△ABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM=2，则OAOB+OC的最小值是5.14.将圆x+y=2按向量v=(2,1)平移后，与直线x+y+λ相切，则λ的值为-1.二．解答题。

15.设平面三点A(1,0)，B(0,1)，C(2,5)。

1）向量2AB+AC=(3,4)，其模为5.2）向量AB=(1,-1)，向量AC=(1,5)，则它们的夹角为arccos[(1*(-1)+5*1)/(sqrt(2)*sqrt(26))]≈69.4°。

3）向量BC=(2,4)，与向量(-4,2)垂直，故与向量(1,-1)垂直的单位向量为(1/sqrt(2),1/sqrt(2))。

平面向量练习题大全及答案

平面向量练习题大全及答案平面向量练习题大全及答案平面向量是数学中的重要概念，广泛应用于几何、物理等领域。

通过练习平面向量的题目，可以帮助我们巩固和深化对平面向量的理解。

本文将为大家提供一些平面向量的练习题，并给出详细的答案解析。

一、基础练习题1. 已知向量a = (2, 3)和向量b = (-1, 4)，求向量a与向量b的和。

解析：向量的和等于对应分量相加，所以a + b = (2 + (-1), 3 + 4) = (1, 7)。

2. 已知向量a = (3, -2)和向量b = (5, 1)，求向量a与向量b的差。

解析：向量的差等于对应分量相减，所以a - b = (3 - 5, -2 - 1) = (-2, -3)。

3. 已知向量a = (4, 5)，求向量a的模长。

解析：向量的模长等于各分量平方和的平方根，所以|a| = √(4^2 + 5^2) =√(16 + 25) = √41。

4. 已知向量a = (3, -2)，求向量a的单位向量。

解析：向量的单位向量等于将向量除以其模长，所以a的单位向量为a/|a| = (3/√41, -2/√41)。

二、综合练习题1. 已知向量a = (2, 3)和向量b = (-1, 4)，求向量a与向量b的数量积。

解析：向量的数量积等于对应分量相乘再相加，所以a·b = 2*(-1) + 3*4 = -2 + 12 = 10。

2. 已知向量a = (3, -2)和向量b = (5, 1)，求向量a与向量b的向量积。

解析：向量的向量积等于两个向量的模长乘以它们夹角的正弦值，所以a×b =|a|*|b|*sinθ，其中θ为a和b的夹角。

首先计算|a|和|b|：|a| = √(3^2 + (-2)^2) = √(9 + 4) = √13，|b| = √(5^2 +1^2) = √(25 + 1) = √26。

然后计算夹角θ的正弦值：sinθ = |a×b|/(|a|*|b|)，其中|a×b|为向量a×b的模长。

平面向量练习题(附答案)

平面向量练习题一．填空题。

1． BA CD DB AC +++等于________．2．若向量＝（3，2），＝（0，－1），则向量2－的坐标是________．3．平面上有三个点A （1，3），B （2，2），C （7，x ），若∠ABC ＝90°，则x 的值为________．4.向量a 、b 满足|a |=1,|b |=2,(a +b )⊥(2a -b ),则向量a 与b 的夹角为________．5．已知向量＝（1，2），＝（3，1），那么向量2－21的坐标是_________． 6．已知A （－1，2），B （2，4），C （4，－3），D （x ，1），若与共线，则||的值等于________．7．将点A （2，4）按向量a ＝（－5，－2）平移后，所得到的对应点A ′的坐标是______．8. 已知a=(1,－2),b=(1,x),若a ⊥b,则x 等于______9. 已知向量a,b 的夹角为 120，且|a|=2,|b|=5,则（2a-b ）·a=______10. 设a=(2,－3),b=(x,2x),且3a ·b=4,则x 等于_____11. 已知BC CD y x BC AB 且),3,2(),,(),1,6(--===∥，则x+2y 的值为_____ 12. 已知向量a+3b,a-4b 分别与7a-5b,7a-2b 垂直，且|a|≠0,|b|≠0，则a 与b 的夹角为____13．在△ABC 中，O 为中线AM 上的一个动点，若AM=2，则()OA OB OC +的最小值是 .14．将圆222=+y x 按向量v =（2，1）平移后，与直线0=++λy x 相切，则λ的值为 . 二．解答题。

1．设平面三点A （1，0），B （0，1），C （2，5）．（1）试求向量2AB ＋的模；（2）试求向量AB 与的夹角；（3）试求与垂直的单位向量的坐标．2.已知向量a =(θθcos ,sin )（R ∈θ）,b =(3,3)（1）当θ为何值时，向量a 、b 不能作为平面向量的一组基底（2）求|a －b |的取值范围3．已知向量a 、b 是两个非零向量，当a +t b (t ∈R)的模取最小值时，（1）求t 的值（2）已知a 、b 共线同向时，求证b 与a +t b 垂直4. 设向量)2,1(),1,3(-==，向量OC 垂直于向量OB ，向量BC 平行于OA ，试求OD OC OA OD ,时=+的坐标.5.将函数y=－x 2进行平移，使得到的图形与函数y=x 2－x －2的图象的两个交点关于原点对称.(如图)求平移向量a 及平移后的函数解析式.6.已知平面向量).23,21(),1,3(=-=若存在不同时为零的实数k 和t,使 .,,)3(2y x b t a k y b t a x ⊥+-=-+=且（1）试求函数关系式k =f （t ）（2）求使f （t ）>0的t 的取值范围.参考答案 1.2.（－3，－4）3.74.90° （21，321）． 6.73．7.（－3，2）．8.－29.12 10.31-11.012. 90°13.2-14.51--或（1）∵ ＝（0－1，1－0）＝（－1，1），＝（2－1，5－0）＝（1，5）．∴ 2＋＝2（－1，1）＋（1，5）＝（－1，7）．∴ |2＋|＝227)1(+-＝50．（2）∵ ||＝221)1(+-＝2．|AC |＝2251+＝26，AB ·AC ＝（－1）×1＋1×5＝4． ∴ cos θ ＝＝2624⋅＝13132．（3）设所求向量为m ＝（x ，y ），则x 2＋y 2＝1． ①又＝（2－0，5－1）＝（2，4），由⊥，得2 x ＋4 y ＝0． ② 由①、②，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==．55552y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==．－55552y x ∴ （552，－55）或（－552，55）即为所求．13．【解】（1）要使向量a 、b 不能作为平面向量的一组基底，则向量a 、b 共线 ∴ 33tan 0cos 3sin 3=⇒=-θθθ 故)(6Z k k ∈+=ππθ，即当)(6Z k k ∈+=ππθ时，向量a 、b 不能作为平面向量的一组基底（2）)cos 3sin 3(213)3(cos )3(sin ||22θθθθ+-=-+-=-b a 而32cos 3sin 332≤+≤-θθ∴ 132||132+≤-≤-b a14．【解】（1）由2222||2||)(a bt a t b tb a +⋅+=+ 当的夹角）与是b a b a b b a t αα(cos ||||||222-=⋅-=时a+tb(t ∈R)的模取最小值（2）当a 、b 共线同向时，则0=α，此时||||b a t -= ∴0||||||||||||)(2=-=-⋅=+⋅=+⋅b a a b b a a b tb a b tb a b∴b ⊥(a +t b )18．解：设020),,(=-=⋅∴⊥=x y y x ① 又0)1()2(3)2,1(,//=+---+=x y y x BC OA BC 即：73=-x y ②联立①、②得⎩⎨⎧==7,14y x ………10分 )6,11(),7,14(=-==∴OA OC OD OC 于是.19．解法一：设平移公式为⎩⎨⎧-'=-'=k y y h x x 代入2x y -=，得到k h hx x y h x k y +-+-=-'-=-'2222.)(即，把它与22--=x x y 联立，得⎪⎩⎪⎨⎧--=+-+-=22222x x y k h hx x y设图形的交点为（x 1，y 1），（x 2，y 2），由已知它们关于原点对称，即有：⎩⎨⎧-=-=2121y y x x 由方程组消去y 得：02)21(222=++-+-k h x h x . 由.2102212121-==++=+h x x h x x 得且又将（11,y x ），),(22y x 分别代入①②两式并相加，得：.22221222121-+--++-=+k h x hx x x y y241)())((0211212-+-+-+-=∴k x x x x x x . 解得)49,21(.49-==a k .平移公式为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-'=+'=4921y y x x 代入2x y -=得：22+--=x x y .解法二：由题意和平移后的图形与22--=x x y 交点关于原点对称，可知该图形上所有点都可以找到关于原点的对称点在另一图形上，因此只要找到特征点即可.22--=x x y 的顶点为)49,21(-，它关于原点的对称点为（49,21-），即是新图形的顶点.由于新图形由2x y -=平移得到，所以平移向量为49049,21021=-=-=--=k h 以下同解法一.20．解：（1）.0)(])3[(.0,2=+-⋅-+=⋅∴⊥t k t 即).3(41,0)3(4,1,4,02222-==-+-∴===⋅t t k t t k 即（2）由f (t )>0,得.303,0)3()3(,0)3(412><<-->+>-t t t t t t t 或则即。