【高一数学学习精品课件】高一人教A版数学必修一课件：1-3-2函数的最大(小)值
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人教A版高一数学必修一《1.3.2函数的最大、最小值》精品课件
解析： 原函数变为 y＝|x－2| ＋|x＋1|＝
－2x＋1 3 2x－1
x≤－1 －1＜x≤2 x＞2
其图象如下图所示，显然函数值 y≥3，所以函 数有最小值 3，无最大值．
必修1 第一章
集合与函数的概念
栏目导引
利用函数单调性求最值 x 求函数 f(x)＝ 在区间[2,5]上的最大 x－1 值与最小值．
第2课时
函数的最大值、最小值
必修1 第一章
集合与函数的概念
栏目导引
1.理解函数的最大(小) 值及其几何意义. 2.会求一些简单函数的 最大值或最小值.
1.利用函数单调性求函 数最值．(重点) 2.体会数形结合思想的 运用．(难点)
必修1 第一章
集合与函数的概念
栏目导引
1．从函数f(x)＝x2的图象上还可看出，当x＝0 最小值 ．而对于f(x) 时，y＝0是所有函数值中_______ ＝－x2来说，x＝0时，y＝0是所有函数值中 最大值 ． _______
2x＋6 2． 函数 f(x)＝ x＋7
x∈[1，2] ， 则 f(x) x∈[－1，1] 的最大值、最小值为( ) A．10,6 B．10,8 C．8,6 D．以上都不对
必修1 第一章
集合与函数的概念
栏目导引
解析： 本题为分段函数最值问题，其最大值 为各段上最大值中的最大值，最小值为各段上 最小值中的最小值． 当1≤x≤2时，8≤2x＋6≤10， 当－1≤x≤1时，6≤x＋7≤8. ∴f(x)min＝f(－1)＝6，f(x)max＝f(2)＝10. 答案： A
必修1 第一章
集合与函数的概念
栏目导引
[题后感悟] (1)实际问题．要理解题意，建立 数学模型转化成数学问题解决． (2)分清各种数据之间的关系是正确构造函数关 系式的关键.
－2x＋1 3 2x－1
x≤－1 －1＜x≤2 x＞2
其图象如下图所示，显然函数值 y≥3，所以函 数有最小值 3，无最大值．
必修1 第一章
集合与函数的概念
栏目导引
利用函数单调性求最值 x 求函数 f(x)＝ 在区间[2,5]上的最大 x－1 值与最小值．
第2课时
函数的最大值、最小值
必修1 第一章
集合与函数的概念
栏目导引
1.理解函数的最大(小) 值及其几何意义. 2.会求一些简单函数的 最大值或最小值.
1.利用函数单调性求函 数最值．(重点) 2.体会数形结合思想的 运用．(难点)
必修1 第一章
集合与函数的概念
栏目导引
1．从函数f(x)＝x2的图象上还可看出，当x＝0 最小值 ．而对于f(x) 时，y＝0是所有函数值中_______ ＝－x2来说，x＝0时，y＝0是所有函数值中 最大值 ． _______
2x＋6 2． 函数 f(x)＝ x＋7
x∈[1，2] ， 则 f(x) x∈[－1，1] 的最大值、最小值为( ) A．10,6 B．10,8 C．8,6 D．以上都不对
必修1 第一章
集合与函数的概念
栏目导引
解析： 本题为分段函数最值问题，其最大值 为各段上最大值中的最大值，最小值为各段上 最小值中的最小值． 当1≤x≤2时，8≤2x＋6≤10， 当－1≤x≤1时，6≤x＋7≤8. ∴f(x)min＝f(－1)＝6，f(x)max＝f(2)＝10. 答案： A
必修1 第一章
集合与函数的概念
栏目导引
[题后感悟] (1)实际问题．要理解题意，建立 数学模型转化成数学问题解决． (2)分清各种数据之间的关系是正确构造函数关 系式的关键.
3.1函数的概念1函数的概念及表示课件【新教材】人教A版(2019)高一数学必修第一册
2001 37.9
3.1 函 数 的 概 念
新课导入
（1）实例1、2、3有什么不同点？ 变量间的对应方式不同，1是关系式，2是图像，3是表格 （2）以上3个实例有什么共同点？
（1）都有两个非空数集. （2）两个数集之间都有一种确定的对应关系.
3.1 函 数 的 概 念
函数的到300 kmh后保持匀速运行半小时． 这段时间内，列车行进的路程S（单位：km）与运行时间t （单位：h）的关系可以表示为
S=300t． 这里，t和S是两个变量，而且对于t的每一个确定的值，S 都有唯一确定的值与之对应，所以S是t的函数．
3.1 函 数 的 概 念
新课导入
问题2
叫做函数的值域。
3.1 函 数 的 概 念
函数的定义
知识点一 函数的定义
注意
（1）A,B为非空数集 （2）任意——唯一 （3）一对一，多对一（不能一对多） （4）对应关系可以有解析式，图像，表 格
3.1 函 数 的 概 念
函数的定义
知识点一 函数的定义 (1)函数符号y=f(x)表示“y是x的函数”。 (2)定义中与x对应的数用f(x)表示,f(x)不是f与x 的乘积， 表示的是x经f变化后对应的函数值。所以若对应关系用g、 G、F 等表示，则函数就可用g(x)、F(x)、G(x)等 表示。 (3)集合A、B与f一起称A到B的函数，而非对应关系f或集合 A、B叫函数。 (4)函数的三要素，定义域，对应关系f，值域。
那么a的值是( A )
A.1
B.0
C.-1
D.2
解：∵f(x)=ax2-1, ∴f(-1)=a-1,f(f(-1))=f(a-1)=a·(a-1)2-1=-1, ∴a(a-1)2=0. 又∵a为正数, ∴a=1.
高一数学必修1第一章1-3-1-2
第一章
1.3
1.3.1 第2课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修1
(5)函数的最大(小)值，实际上是函数图象的最高(低)点的 纵坐标，因而借助函数图象的直观性，可得出函数的最值．
第一章
1.3
1.3.1 第2课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修1
通过以上所学，完成下列练习． (1)函数 y＝2x－1 在[－2,3]上的最小值为________，最大 值为________． 1 (2)函数 y＝ x 在[2,3]上的最小值为________，最大值为 ________；在[－3，－2]上的最小值为________，最大值为 ________．
第一章
1.3
1.3.1 第2课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修1
自主预习 问题 1：观察下图所示的函数图象，有何特征？
第一章
1.3
1.3.1 第2课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修1
第一章
1.3
1.3.1 第2课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修1
探究：图(1)函数 y＝－x2－2x 的图象有最高点 A，没有最 低点；图(2)函数 y＝－2x＋1，x∈(－1，＋∞)的图象没有最高 点，也没有最低点；图(3)函数 y＝x2，x∈(－1,1)的图象无最 1 高点，有最低点；图(4)函数 y＝ x的图象没有最高点，也没有 最低点；图(5)函数 y＝x2－2x，x∈[0,4]的图象有最高点 E，最 低点 D.
命题方向 1 利用图象法求函数最值
利用图象法求函数最值的方法 (1)利用函数图象求函数最值是求函数最值的常用方 法．这种方法以函数最值的几何意义为依据，对图象易作出 的函数求最值较常用．
【课件】函数的概念(2)课件人教A版(2019)高中数学必修第一册
（2）已知f (2x+1)的定义域为[3, 5]，求f (x)的定义域；
（3）已知f (2x+3)的定义域为(2 ,4)，求f (x-1)的定义域.
解:(1) (1 ,9 ) (2) [7, 11] (3) , 12)
二.求函数值域 1.观察法
例3.求下列函数的值域：
（1）y 2x 3 （ x 1,2,3,4,5 ）
课堂小结：
一.求函数的定义域
1.已知原函数的定义域，求复合函数的定义域 2.已知复合函数的定义域，求原函数的定义域
二.求函数值域
1.观察法 2.配方法 3. 换元法 4.分离常数法
y
ax b cx d
ac
0,
ad
bc
的函数
（1）求函数 y 3x 2 的值域.
x 1
解： y 3x 2 3(x 1) 1 3 1 ,
x 1
x 1
x 1
1 0, x 1
所以 y 3
函数的值域为y | y 3 ,3 3,
（2）求函数 y 3x 2 , x 1,2 的值域.
x 1
求f(x)的值域.
（1）解：f(x)=x2-4x-2=(x-2)2-6
当x [1,4]时，
由图可得， x=2，f(X)取到最小值-6; x=4, f(X)取到最大值-2
所以f(x)的值域为 y | 6 y 2
(2) y | 5 y 3
3. 换元法——形如 y ax b cx d a 0的函数
解：（1）因为函数 f(x＋2)的定义域为[0，3]， 所以由 0≤x≤3，得到 2≤x＋2≤5. 所以函数 f(x)的定义域是[2，5]．
解：（2）因为函数 f(3-2x)的定义域为[0，3]， 所以由 0≤x≤3，得到-3≤3-2x≤3. 所以函数 f(x)的定义域是[-3，3]．
（3）已知f (2x+3)的定义域为(2 ,4)，求f (x-1)的定义域.
解:(1) (1 ,9 ) (2) [7, 11] (3) , 12)
二.求函数值域 1.观察法
例3.求下列函数的值域：
（1）y 2x 3 （ x 1,2,3,4,5 ）
课堂小结：
一.求函数的定义域
1.已知原函数的定义域，求复合函数的定义域 2.已知复合函数的定义域，求原函数的定义域
二.求函数值域
1.观察法 2.配方法 3. 换元法 4.分离常数法
y
ax b cx d
ac
0,
ad
bc
的函数
（1）求函数 y 3x 2 的值域.
x 1
解： y 3x 2 3(x 1) 1 3 1 ,
x 1
x 1
x 1
1 0, x 1
所以 y 3
函数的值域为y | y 3 ,3 3,
（2）求函数 y 3x 2 , x 1,2 的值域.
x 1
求f(x)的值域.
（1）解：f(x)=x2-4x-2=(x-2)2-6
当x [1,4]时，
由图可得， x=2，f(X)取到最小值-6; x=4, f(X)取到最大值-2
所以f(x)的值域为 y | 6 y 2
(2) y | 5 y 3
3. 换元法——形如 y ax b cx d a 0的函数
解：（1）因为函数 f(x＋2)的定义域为[0，3]， 所以由 0≤x≤3，得到 2≤x＋2≤5. 所以函数 f(x)的定义域是[2，5]．
解：（2）因为函数 f(3-2x)的定义域为[0，3]， 所以由 0≤x≤3，得到-3≤3-2x≤3. 所以函数 f(x)的定义域是[-3，3]．
人教A版(老课标)数学必修1--第一章 集合与函数概念2 第2课时 函数的最大值、最小值
逻辑推理， 数学运算
数学建模， 数学运算
第一章 集合与函数概念
问题导学 预习课本 P30－32，思考以下问题： (1)函数最大(小)值的定义是什么？ (2)从函数图象可以看出，函数最大(小)值的几何意义是什么？
栏目 导引
第一章 集合与函数概念
最大值和最小值
最大值
最小值
一般地，设函数 y＝f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M
栏目 导引
第一章 集合与函数概念
(2019·福州高一检测)已知函数 f(x)＝x2＋x 1 . (1)判断函数 f(x)在[－3，－1]上的单调性，并用定义法证明； (2)求函数 f(x)在[－3，－1]上的最大值．
栏目 导引
第一章 集合与函数概念
解：(1)函数 f(x)在[－3，－1]上为增函数． 理由：设－3≤x1＜x2≤－1， f(x1)－f(x2)＝x1＋x11－x2＋x12 ＝(x1－x2)＋x2x－2x1x1 ＝(x1－x2)x1xx12x－2 1， 由－3≤x1＜x2≤－1 可得 x1－x2＜0，x1x2＞1， 即有 f(x1)－f(x2)＜0，即 f(x1)＜f(x2)， 可得 f(x)在[－3，－1]上为增函数． (2)因为函数 f(x)在[－3，－1]上递增， 所以 f(x)的最大值为 f(－1)，即为－2.
以函数 f(x)＝4x2－mx＋1 的对称轴方程为 x＝m8 ＝－2，即 m＝ －16. 又[1，2]⊆[－2，＋∞)，且 f(x)在[－2，＋∞)上递增． 所以 f(x)在[1，2]上递增， 所以当 x＝1 时，f(x)取得最小值 f(1)＝4－m＋1＝21； 当 x＝2 时，f(x)取得最大值 f(2)＝16－2m＋1＝49. 所以 f(x)在[1，2]上的值域为[21，49]．
数学建模， 数学运算
第一章 集合与函数概念
问题导学 预习课本 P30－32，思考以下问题： (1)函数最大(小)值的定义是什么？ (2)从函数图象可以看出，函数最大(小)值的几何意义是什么？
栏目 导引
第一章 集合与函数概念
最大值和最小值
最大值
最小值
一般地，设函数 y＝f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M
栏目 导引
第一章 集合与函数概念
(2019·福州高一检测)已知函数 f(x)＝x2＋x 1 . (1)判断函数 f(x)在[－3，－1]上的单调性，并用定义法证明； (2)求函数 f(x)在[－3，－1]上的最大值．
栏目 导引
第一章 集合与函数概念
解：(1)函数 f(x)在[－3，－1]上为增函数． 理由：设－3≤x1＜x2≤－1， f(x1)－f(x2)＝x1＋x11－x2＋x12 ＝(x1－x2)＋x2x－2x1x1 ＝(x1－x2)x1xx12x－2 1， 由－3≤x1＜x2≤－1 可得 x1－x2＜0，x1x2＞1， 即有 f(x1)－f(x2)＜0，即 f(x1)＜f(x2)， 可得 f(x)在[－3，－1]上为增函数． (2)因为函数 f(x)在[－3，－1]上递增， 所以 f(x)的最大值为 f(－1)，即为－2.
以函数 f(x)＝4x2－mx＋1 的对称轴方程为 x＝m8 ＝－2，即 m＝ －16. 又[1，2]⊆[－2，＋∞)，且 f(x)在[－2，＋∞)上递增． 所以 f(x)在[1，2]上递增， 所以当 x＝1 时，f(x)取得最小值 f(1)＝4－m＋1＝21； 当 x＝2 时，f(x)取得最大值 f(2)＝16－2m＋1＝49. 所以 f(x)在[1，2]上的值域为[21，49]．
人教A版高中同步学案数学必修第一册精品课件 第三章 函数的概念与性质 第2课时 函数的最大(小)值
（5）若函数有最值,则最值一定是其值域中的一个元素.
( √ )
（6）若函数的值域是确定的,则它一定有最值.
(× )
[−1, +∞)
2.() = 2 2 + 4 + 1的值域为__________.
2
3.函数() = −3 2 + 2在区间[−1,2]上的最大值为___.
[解析]函数() = − + 图象的对称轴为直线 = ,开口向下,又 ∈ [−, ],
2 − 400 + 37 500 = 0,解得 = 250或 = 150,
所以商场要获取最大利润的75%，每件标价应为250元或150元.
1.知识清单：
（1）利用图象法、单调性求函数的最值.
（2）与最值有关的恒成立问题.
（3）与最值有关的实际应用问题.
（1）商场要获取最大利润,羊毛衫的标价应定为每件多少元?
解 设购买人数为( ∈ ∗ )，羊毛衫的标价为每件元，利润为元,则 ∈
(100,300], = + ( < 0),∵ 0 = 300 + ,即 = −300 ,∴ = ( − 300),
∴利润 = ( − 100)( − 300) = ( − 200)2 − 10 000 ( ∈ (100,300]).
4
1 − 2 +
1
4
−
2
= (1 − 2 )(1
4
−
)
1 2
=
(1 −2 )(1 2 −4)
.
1 2
∵ 1 < 2 ,∴ 1 − 2 < 0,当1 ≤ 1 < 2 ≤ 2时,1 2 > 0,1 2 − 4 < 0,
高中数学必修1课件全册(人教A版)
若一个元素m在集合A中，则说 m∈A，读作“元素m属于集合A”
否则，称为mA,读作“元素m不属于集合A。
例如：1 N， -5 Z,
Q
∈
∈
2、集合与元素的关系（属于∈或不属于 ）
1.5 N
四、集合的表示方法
1、列举法
就是将集合中的元素一一列举出来并放在大括号内表示集合的方法
因此，函数就是表达了两个变量之间变化关系的一个表达式。其准确定义如下： 设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为集合A到集合B的一个函数（function），记作y=f(x)，x∈A。 其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值（因变量），函数值的集合{f(x)|x ∈A}叫做函数的值域。而对应的关系f则成为对应法则，则上面两个例子中，对应法则分别是“乘以10再加20”和“平方后乘以4.9”
观察下面几个例子，你能发现两个集合之间的关系吗？
⑴ A={1,2,3} , B={1,2,3,4,5};
⑵设A为新华中学高一(2)班女生的全体组成的集合, B为这个班学生的全体组成的集合;
⑶ 设C＝{x|x是两条边相等的三角形}，D={x|x是等腰三角形}.
一、子集和真子集的概念
1、子集：一般地，对于两个集合A、B， 如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集.
2,3
-2
-1,1
A
B
C
交集的运算性质：
思考题：如何用集合语言描述？
2、并集
一般地，由所有属于集合A或者属于集合B的所构成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B，即 A∪B = {x|x∈A，或x∈B} A∪B可用右图中的阴影部分来表示
否则，称为mA,读作“元素m不属于集合A。
例如：1 N， -5 Z,
Q
∈
∈
2、集合与元素的关系（属于∈或不属于 ）
1.5 N
四、集合的表示方法
1、列举法
就是将集合中的元素一一列举出来并放在大括号内表示集合的方法
因此，函数就是表达了两个变量之间变化关系的一个表达式。其准确定义如下： 设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为集合A到集合B的一个函数（function），记作y=f(x)，x∈A。 其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值（因变量），函数值的集合{f(x)|x ∈A}叫做函数的值域。而对应的关系f则成为对应法则，则上面两个例子中，对应法则分别是“乘以10再加20”和“平方后乘以4.9”
观察下面几个例子，你能发现两个集合之间的关系吗？
⑴ A={1,2,3} , B={1,2,3,4,5};
⑵设A为新华中学高一(2)班女生的全体组成的集合, B为这个班学生的全体组成的集合;
⑶ 设C＝{x|x是两条边相等的三角形}，D={x|x是等腰三角形}.
一、子集和真子集的概念
1、子集：一般地，对于两个集合A、B， 如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集.
2,3
-2
-1,1
A
B
C
交集的运算性质：
思考题：如何用集合语言描述？
2、并集
一般地，由所有属于集合A或者属于集合B的所构成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B，即 A∪B = {x|x∈A，或x∈B} A∪B可用右图中的阴影部分来表示
2019-2020学年高中人教A版数学必修1课件：1-3-1-1 函数的单调性
期日：点 十二分。
(3)一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不 能用“∪”连接，而应该用“和”或“，”连接，如函数 y ＝1x(x≠0)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数，不能 认为 y＝1x(x≠0)的单调减区间为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
第十三页，编辑于星期日：点 十二分。
象是上升的还是下降的：_上__升__的___. ②在区间__(－__∞__，__＋__∞__)__上，随着 x 的增大，f(x)的值
__增__大____，在此区间上函数是增函数还是减函数：_增___函__数__.
第九页，编辑于星期日：点 十二分。
(3)已知函数 f(x)＝－2x＋1 的图象如图 2 所示，①从左
由图象知函数的单调区间为(－∞，－3]，[3，＋∞)． 其中，单调减区间为(－∞，－3]，单调增区间为[3，＋ ∞)．
第二十一页，编辑于星期日：点 十二分。
拓展提升 常用画图象求单调区间
(1)对于初等函数y＝kx＋b，y＝ax2＋bx＋c，y＝kx单调 区间的确定，常借助于函数图象直接写出．
(2)对于含有绝对值的函数，往往转化成分段函数去处 理其图象，借助于图象的变化趋势分析相应函数的单调性 (区间)．
第三十八页，编辑于星期日：点 十二分。
3．函数 y＝f(x)在 R 上为增函数，且 f(2m)>f(－m＋9)，
则实数 m 的取值范围是( )
A．(－∞，－3) B．(0，＋∞)
C．(3，＋∞)
D．(－∞，－3)∪(3，＋∞)
(2)∵f(x)＝x2－2(1－a)x＋2 ＝[x－(1－a)]2＋2－(1－a)2， ∴f(x)的减区间是(－∞，1－a]． 又∵已知 f(x)在(－∞，4]上是减函数， ∴1－a≥4，即 a≤－3. ∴所求实数 a 的取值范围是(－∞，－3]．
(3)一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不 能用“∪”连接，而应该用“和”或“，”连接，如函数 y ＝1x(x≠0)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数，不能 认为 y＝1x(x≠0)的单调减区间为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
第十三页，编辑于星期日：点 十二分。
象是上升的还是下降的：_上__升__的___. ②在区间__(－__∞__，__＋__∞__)__上，随着 x 的增大，f(x)的值
__增__大____，在此区间上函数是增函数还是减函数：_增___函__数__.
第九页，编辑于星期日：点 十二分。
(3)已知函数 f(x)＝－2x＋1 的图象如图 2 所示，①从左
由图象知函数的单调区间为(－∞，－3]，[3，＋∞)． 其中，单调减区间为(－∞，－3]，单调增区间为[3，＋ ∞)．
第二十一页，编辑于星期日：点 十二分。
拓展提升 常用画图象求单调区间
(1)对于初等函数y＝kx＋b，y＝ax2＋bx＋c，y＝kx单调 区间的确定，常借助于函数图象直接写出．
(2)对于含有绝对值的函数，往往转化成分段函数去处 理其图象，借助于图象的变化趋势分析相应函数的单调性 (区间)．
第三十八页，编辑于星期日：点 十二分。
3．函数 y＝f(x)在 R 上为增函数，且 f(2m)>f(－m＋9)，
则实数 m 的取值范围是( )
A．(－∞，－3) B．(0，＋∞)
C．(3，＋∞)
D．(－∞，－3)∪(3，＋∞)
(2)∵f(x)＝x2－2(1－a)x＋2 ＝[x－(1－a)]2＋2－(1－a)2， ∴f(x)的减区间是(－∞，1－a]． 又∵已知 f(x)在(－∞，4]上是减函数， ∴1－a≥4，即 a≤－3. ∴所求实数 a 的取值范围是(－∞，－3]．
人教A版高中同步学案数学必修第一册精品作业课件 第3章 函数的概念与性质 第2课时函数的最大(小)值
2 12
f(x1)-f(x2)=
1 +1
−
2 22
2 +1
所以f(x1)<f(x2),
所以函数f(x)在区间[0,1]上单调递增,
则f(x)min=f(0)=0,f(x)max=f(1)=1,
所以函数在x∈[0,1]上的值域是[0,1].
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
8
8.[探究点二·2024江苏高一期末]函数f(x)=x+ (x∈[2,8])的值域为 [4 2,9] .
解析 由对勾函数的单调性可知,
8
f(x)=x+ 在区间[2,2
2]上单调递减,在区间[2 2,8]上单调递增,
8
所以当 x=2 2时,函数有最小值 f(2 2)=2 2 + 2 2=4 2,又 f(2)=6,f(8)=9,
A级
必备知识基础练
1.[探究点一]函数y=f(x)(-2≤x≤2)的图象如图所示,则函数的最大值、最小
值分别为( C )
A.f(2),f(-2)
1
B.f(2),f(-1)
1
3
C.f( ),f(- )
2
2
1
D.f( ),f(0)
2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
14.若
2 2
f(x)= ,则函数在
+1
解析
2 2
f(x)=+1
=
[0,1]
x∈[0,1]上的值域是
人教A版高中学案数学必修第一册精品课件 第三章 函数的概念与性质 函数的概念-第2课时函数概念的应用
− > ,
[解析]由ቊ
得 > ,且 ≠ .故选C.
− ≠ ,
2.函数() =
1
(
2 +1
∈ )的值域是() B
A.(−∞, 1]B.(0,1]C.[0,1)D.[0,1]
[解析]因为
(, ].故选B.
+ ≥ ,所以 <
+
≤ ,故函数() =
为函数 = − 2 + 4 + 1的图象开口向下,对称轴方程为 = 2 ∈ [0, +∞),所以当 = 2时,
函数 = − 2 + 4 + 1取到最大值,max = 5,所以原函数的值域为(−∞, 5].
1.知识清单：（1）求函数的定义域.
（2）求简单函数的值域.
2.方法归纳:配方法、换元法、基本不等式法、数形结合、转化与化归.
=
=2+
,
−3
−3
−3
7
7
2 +1
∵
≠ 0,∴ 2 +
≠ 2,∴ =
的值域为(−∞, 2)
−3
−3
−3
∪ (2, +∞).
（4） = 2 − − 1.
1
4
解 令 − 1 = ,则 ≥ 0且 = 2 + 1,∴ = 2( 2 + 1) − = 2 2 − + 2 = 2( − )2 +
1
4
则当 = 时,min =
15
,∴
8
15
, +∞).
8
= 2 − − 1的值域为[
15
,
[解析]由ቊ
得 > ,且 ≠ .故选C.
− ≠ ,
2.函数() =
1
(
2 +1
∈ )的值域是() B
A.(−∞, 1]B.(0,1]C.[0,1)D.[0,1]
[解析]因为
(, ].故选B.
+ ≥ ,所以 <
+
≤ ,故函数() =
为函数 = − 2 + 4 + 1的图象开口向下,对称轴方程为 = 2 ∈ [0, +∞),所以当 = 2时,
函数 = − 2 + 4 + 1取到最大值,max = 5,所以原函数的值域为(−∞, 5].
1.知识清单：（1）求函数的定义域.
（2）求简单函数的值域.
2.方法归纳:配方法、换元法、基本不等式法、数形结合、转化与化归.
=
=2+
,
−3
−3
−3
7
7
2 +1
∵
≠ 0,∴ 2 +
≠ 2,∴ =
的值域为(−∞, 2)
−3
−3
−3
∪ (2, +∞).
（4） = 2 − − 1.
1
4
解 令 − 1 = ,则 ≥ 0且 = 2 + 1,∴ = 2( 2 + 1) − = 2 2 − + 2 = 2( − )2 +
1
4
则当 = 时,min =
15
,∴
8
15
, +∞).
8
= 2 − − 1的值域为[
15
,
【金版教程】高一数学必修一课件：1-3-1-2函数的最大(小)值
提示：当x＝0时f(0)是函数中的最大值．因为f(x)在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上是减 函数，从而对于x∈R，f(x)≤f(0)都成立，所以f(0)最大．
思考2 函数f(x)对于定义域内的任意元素，都有f(x)≥M，则M是否就是函数的最小值？
提示：不一定，若存在f(x0)＝M，则是，否则，不是．
例1 已知函数f(x)＝|x＋1|＋|x－1|. (1)画出f(x)的图象； (2)根据图象写出f(x)的最小值．
[典例示法]
1.如何去掉绝对值将f(x)写成分段函数？2.由函数图象观察f(x)有最小值吗？最小值是多 少？
提示：1.利用零点区间讨论法分三段去绝对值将f(x)写成分段函数.2.由图象观察f(x)有最小值等于2.
例2 已知函数f(x)＝x＋1x. (1)求证：f(x)在[1，＋∞)上是增函数； (2)求f(x)在[1,4]上的最大值及最小值．
[典例示法]
如何证明f(x)在[1，＋∞)上的单调性？[1,4]与[1，＋∞)具有怎样的关系？f(x)在[1,4]上 的单调性是怎样的？最值在何处取得？
提示：用定义法证明f(x)在[1，＋∞)上的单调性．[1,4] [1，＋∞)，f(x)在[1,4]上是增函数，最小值当x ＝1时取得，最大值当x＝4时取得．
(1)定义：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： ①对于任意的x∈I，都有 f(x)≥M ； ②存在x0∈I，使得 f(x0)＝M . 那么，称M是函数y＝f(x)的最小值． (2)几何意义：函数y＝f(x)的最小值是图象 最低点 的纵坐标．
[自我小测] 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任何函数都有最大值或最小值．( × ) (2)函数的最小值一定比最大值小．( × ) (3)函数f(x)＝－x在[2,3)上的最大值为－2，无最小值．( √ ) 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)函数f(x)＝x2在[0,1]上的最大值是____1____．
思考2 函数f(x)对于定义域内的任意元素，都有f(x)≥M，则M是否就是函数的最小值？
提示：不一定，若存在f(x0)＝M，则是，否则，不是．
例1 已知函数f(x)＝|x＋1|＋|x－1|. (1)画出f(x)的图象； (2)根据图象写出f(x)的最小值．
[典例示法]
1.如何去掉绝对值将f(x)写成分段函数？2.由函数图象观察f(x)有最小值吗？最小值是多 少？
提示：1.利用零点区间讨论法分三段去绝对值将f(x)写成分段函数.2.由图象观察f(x)有最小值等于2.
例2 已知函数f(x)＝x＋1x. (1)求证：f(x)在[1，＋∞)上是增函数； (2)求f(x)在[1,4]上的最大值及最小值．
[典例示法]
如何证明f(x)在[1，＋∞)上的单调性？[1,4]与[1，＋∞)具有怎样的关系？f(x)在[1,4]上 的单调性是怎样的？最值在何处取得？
提示：用定义法证明f(x)在[1，＋∞)上的单调性．[1,4] [1，＋∞)，f(x)在[1,4]上是增函数，最小值当x ＝1时取得，最大值当x＝4时取得．
(1)定义：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： ①对于任意的x∈I，都有 f(x)≥M ； ②存在x0∈I，使得 f(x0)＝M . 那么，称M是函数y＝f(x)的最小值． (2)几何意义：函数y＝f(x)的最小值是图象 最低点 的纵坐标．
[自我小测] 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任何函数都有最大值或最小值．( × ) (2)函数的最小值一定比最大值小．( × ) (3)函数f(x)＝－x在[2,3)上的最大值为－2，无最小值．( √ ) 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)函数f(x)＝x2在[0,1]上的最大值是____1____．
函数的最大值、最小值【新教材】人教A版高中数学必修第一册优秀课件
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