高考数学(文科)习题 第十一章 概率与统计 11-1-3 word版含答案

1．在区间上随机取两个数x ，y ，记p 1为事件“x ＋y ≥12”的概率，p 2为事件“|x －y |≤1
2”
的概率，p 3为事件“xy ≤1
2
”的概率，则( )
A ．p 1<p 2<p 3
B ．p 2<p 3<p 1
C ．p 3<p 1<p 2
D ．p 3<p 2<p 1
答案 B
解析 x ，y ∈，事件“x ＋y ≥12”表示的区域如图(1)中阴影部分S 1，事件“|x －y |≤1
2”
表示的区域如图(2)中阴影部分S 2，事件“xy ≤1
2”表示的区域如图(3)中阴影部分S 3.由图
知，阴影部分的面积S 2<S 3<S 1，正方形的面积为1×1＝1.根据几何概型的概率计算公式，可得p 2<p 3<p 1.
2.设复数z ＝(x －1)＋y i(x ，y ∈R )，若|z |≤1，则y ≥x 的概率为( ) A.34＋1
2π
B.14－12π
C.1
2－1
π D.12＋1π
答案 B
解析 ∵|z |≤1，∴(x －1)2＋y 2
≤1，表示以M (1,0)为圆心，1为半径的圆及其内部，该圆的面积为π.易知直线y ＝x 与圆(x －1)2
＋y 2
＝1相交于O (0,0)，A (1,1)两点，作图如下：
∵∠OMA ＝90°，∴S 阴影＝π4－12×1×1＝π4－1
2.
故所求的概率P ＝S 阴影⊙M ＝π4－
12＝1－1
.
3．由不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≤0，y ≥0，
y －x －2≤0
确定的平面区域记为Ω1，不等式组⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＋y ≤1，
x ＋y ≥－2 确
定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为( )
A.1
8 B.14 C.34 D.78
答案 D
解析 如图，由题意知平面区域Ω1的面积SΩ1＝S △AOM ＝1
2
×2×2＝2.
Ω1
与Ω2的公共区域为阴影部分，面积S 阴＝SΩ1－S △ABC ＝2－1
2×1×12＝74
.
由几何概型得该点恰好落在Ω2内的概率P ＝S 阴SΩ1＝742＝7
8
.故选D.
4. 如图，矩形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标为(1,0)，且点C 与点D 在函数f (x )
＝⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋1，x ≥0，－1
2
x ＋1，x <0的图象上．若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概
率等于( )
A.16
B.14
C.38
D.12
答案 B
解析 依题意得，点
C 的坐标为(1,2)，所以点
D 的坐标为(－2,2)，所以矩形ABCD 的面积S 矩形ABCD ＝3×2＝6，阴影部分的面积S 阴影＝12×3×1＝3
2，根据几何概型的概率求解公式，
得所求的概率P ＝S 阴影S 矩形ABCD ＝3
26＝1
4
，故选B.
5．某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为________．(用数字作答)
答案
932
解析 设小张与小王的到校时间分别为7：00后第x 分钟，第y 分钟，根据题意可画出图形，如图所示，则总事件所占的面积为(50－30)2
＝400.小张比小王至少早5分钟到校表示的事件A ＝{(x ，y )|y －x ≥5,30≤x ≤50,30≤y ≤50}，如图中阴影部分所示，阴影部分所占的面积为12×15×15＝2252，所以小张比小王至少早5分钟到校的概率为P (A )＝2252400＝9
32
.
6.在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD －
A 1
B 1
C 1
D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．
答案 1－π12
解析 如图，与点O 距离等于1的点的轨迹是一个半球面，其体积为V 1＝12×43
π×1
3
＝2π3
.
事件“点P 与点O 距离大于1的概率”对应的区域体积为23
－2π3
，
根据几何概型概率公式得，点P 与点O 距离大于1的概率P ＝23
－
2π323
＝1－π
12. 7．若在区间上随机地取一个数x ，则满足|x |≤3的概率为________． 答案 5
6
解析 由|x |≤3，所以－3≤x ≤3.所以在区间上随机地取一个数x ，满足|x |≤3的区间为，故所求概率为3－－24－－2＝56.。