正弦余弦练习题2

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初三正弦余弦练习题及答案

初三正弦余弦练习题及答案正文：在初三数学学习中，正弦和余弦是重要的概念，理解和掌握它们的概念和计算方法对于解决相关题目至关重要。

下面将为大家提供一些关于正弦和余弦的练习题及答案，以帮助大家巩固知识和提高解题能力。

练习题一：已知直角三角形ABC，角A为90°，AC=5cm，BC=4cm，求角B 的正弦值和余弦值。

解答：在直角三角形ABC中，根据正弦的定义，正弦值等于对边与斜边的比值。

而余弦的定义是邻边与斜边的比值。

首先，我们需要确定直角三角形中的对边和邻边。

根据题目中所给的数据，AC=5cm，BC=4cm，因此，对边为BC，邻边为AC。

根据正弦和余弦的定义可得：正弦值 sinB = 对边/斜边 = BC/AC = 4/5余弦值 cosB = 邻边/斜边 = AC/AC = 5/5 = 1所以，角B的正弦值为4/5，余弦值为1。

练习题二：已知角A的正弦值为1/2，角A为锐角，求角A的余弦值。

解答：根据正弦的定义，正弦值等于对边与斜边的比值。

而余弦的定义是邻边与斜边的比值。

设角A的对边为a，斜边为h。

已知角A的正弦值为1/2，即a/h=1/2。

根据勾股定理得：a^2 + h^2 = c^2由题意可知，角A是锐角，即a是直角三角形的最短边，h是斜边。

根据这些条件，可以列方程：a^2 + h^2 = c^2a/h = 1/2解方程组，将a代入第一个方程：(1/2h)^2 + h^2 = c^21/4h^2 + h^2 = c^25/4h^2 = c^2h^2 = (4/5)c^2由于角A是锐角，c为斜边，c > a，即c^2 > h^2。

因此，(4/5)c^2 > (4/5)c^2得到c^2 > h^2，即c > h由此，我们可以得出结论：角A的余弦值一定小于1，因为余弦值等于邻边与斜边的比值。

所以，角A的余弦值小于1。

练习题三：计算三角形ABC中角A的正弦值、余弦值和切线值。

初三数学家庭作业正弦、余弦(2)

初三数学家庭作业第七章锐角三角函数7.2 正弦、余弦（2）一、知识要点如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝＿＿＿＿，cosA＝＿＿＿＿＿，sinB ＝＿＿＿＿，cosB ＝＿＿＿＿＿，则sinA＿＿＿＿＿cosB ，cosA ＿＿＿＿＿sinB （填“＞”、“＜”或“＝”）二、基础训练1、在等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝10，BC ＝12，则sinB ＝＿＿＿＿，cosB ＝＿＿＿＿2、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，cosA ＝31，则sinA ＝＿＿＿＿，tanA ＝＿＿＿＿＿ 3、如图，某飞机于空中A 处探测到地平面目标B ，此时从飞机上看目标B 的俯角α＝ 30°，飞行高度AC ＝1200米，则飞机到目标B 的距离AB 为（）4、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，AC ＝22，AB ＝23，设∠BCD ＝α，则cos α的值是（）第3题第4题第5题第6题5、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，AC ＝5，BC ＝2，那么 sin ∠ACD ＝（）6、如图是一台54英寸的大背投彩电放置在墙角的俯视图，设∠DAO ＝α，彩电后背AD 平行于前沿BC ，且与BC 的距离为60cm ，若AO ＝100cm ，则墙角O 到前沿BC 的距离OE 是（）A 、（60＋100sin α）cmB 、（60＋100cos α）cmC 、（60＋100tan α）cmD 、以上答案都不对7、如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （3，0）和点B（0，－4），则cos∠OAB等于（）8、如图，从帐篷竖直的支撑竿AB的顶部A向地面拉一根绳子AC固定帐篷，若地面固定点C到帐篷支撑竿底部B的距离是4.5米，∠ACB＝35°，求帐篷支撑竿AB的高（精确到0.1米）（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）9、如图，灯塔A在港口O的北偏东55°方向上，且与港口的距离为80海里，一艘船上午9时从港口O出发向正东方向航行，上午11时到达B处，看到灯塔A在它的正北方向.试求这艘船航行的速度（精确到0.01海里/小时）（供选用数据：sin55°＝0.8192，cos55°＝0.5736，tan55°＝1.4281）三、能力提升1、如图，菱形ABCD的边长为5，AC、BD相交于点O，AC＝6，若∠ABD＝α，则下列式子正确的是（）2、如图，在△ABC中，已知∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AC＝63，BD＝3.（1）请根据下面求cosA的解答过程，在横线上填上适当的结论，使解答正确完整.∵CD⊥AB，∠ACB＝90°∴AC ＝＿＿＿cosA ，＿＿＿＿＿＝ACcosA由己知AC ＝63，BD ＝3，∴63＝ABcosA＝（AD ＋BD ）cosA＝（63cosA ＋3）cosA设t ＝cosA ，则t ＞0，且上式可化为23t 2＋＿＿＿＿＝0.由此解得，cosA ＝t ＝23. （2）求BC 的长及△ABC 的面积.3、（1）如图，点C 与建筑物AB 底部B 的水平距离BC ＝15米，从点A 测得点C 的俯角α＝60°，求建筑物AB 的高；（结果保留根号）（2）为了测量建筑物AB 的高度，若选择在点C 测点A 的仰角，测角器的高度为h 米，请画出测量AB 高度的示意图（标上适当的字母）★4、如图①，一栋旧楼房由于防火设施较差，需要在侧面墙外修建简易外部楼梯，由地面到二楼，再由二楼到三楼，共两段（图②中AB 、BC 两段），其中BB ’＝3.2m ，BC ’＝4.3m ，结合图中所给的信息，求两段楼梯AB 与BC 的长度之和.（结果精确到0.1m ）（参考数据：sin30°＝0.50，cos30°≈0.87，sin35°≈0.57，cos35°≈0.82）四、预习感知1、阅读课本P46-472、求下列各式的值.3、求满足下列条件的锐角α.。

正弦余弦定理练习题

正弦余弦定理练习题正弦余弦定理练习题正弦余弦定理是解决三角形相关问题的重要工具。

通过运用这些定理，我们可以计算三角形的边长、角度以及面积等。

在这篇文章中，我们将通过一些练习题来巩固对正弦余弦定理的理解和运用。

练习题一：已知一个三角形的两边长和夹角，求第三边长。

假设一个三角形ABC，已知边AB=5cm，AC=7cm，夹角BAC=60°，我们需要求边BC的长度。

根据余弦定理，我们可以得到：BC² = AB² + AC² - 2 * AB * AC * cos(BAC)BC² = 5² + 7² - 2 * 5 * 7 * cos(60°)BC² = 25 + 49 - 70 * 0.5BC² = 25 + 49 - 35BC² = 39BC ≈ √39 ≈ 6.24 cm因此，三角形ABC的第三边BC的长度约为6.24 cm。

练习题二：已知一个三角形的两边长和一个角度，求另外两个角度。

假设一个三角形DEF，已知边DE=8cm，DF=10cm，角EDF=45°，我们需要求角EFD和角DEF的度数。

根据正弦定理，我们可以得到：sin(EFD) / DE = sin(DEF) / DFsin(EFD) = DE * sin(DEF) / DFsin(EFD) = 8 * sin(DEF) / 10sin(EFD) = 4 * sin(DEF) / 5因为角EDF=45°，我们可以得到：sin(EFD) = sin(45°) = √2 / 2将上述两个等式联立，我们可以得到：4 * sin(DEF) /5 = √2 / 2sin(DEF) = (√2 / 2) * (5 / 4)sin(DEF) = √10 / 4通过查表或计算，我们可以得到角DEF的度数为26.57°。

正弦定理与余弦定理的应用练习题

正弦定理与余弦定理的应用练习题在数学中，正弦定理和余弦定理是解决三角形相关问题的重要工具。

它们可以帮助我们计算三角形的边长或角度，解决实际生活中的测量和定位问题。

本文将通过一些应用练习题来展示正弦定理与余弦定理的实际运用。

练习题1：已知一个三角形的两边和夹角，计算第三边的长度。

假设三角形ABC中，已知边AB的长度为3，边AC的长度为4，夹角BAC的度数为60°。

我们需要计算边BC的长度。

解题思路：根据正弦定理，我们可以得到以下公式：sinA / a = sinB / b = sinC / c其中，A、B、C分别代表三角形ABC的角度，a、b、c分别代表三角形的边长。

根据已知信息：A = 60°，a = 4，b = 3。

代入公式，我们可以求得：sin60° / 4 = sinB / 3。

通过单位圆表格或计算器，我们可以得到sin60°的值为√3/2。

将该值代入公式，我们可以求得：√3 / 2 / 4 = sinB / 3。

通过简单的变形，我们可以得到：sinB = （3 * √3）/ 8。

通过计算器计算sinB的反函数（即B的值），我们得到B约等于30.96°。

因为三角形的内角和为180°，所以C = 180° - 60° - 30.96° ≈ 89.04°。

现在我们已经得到了三个角的度数，可以使用余弦定理来计算边BC的长度。

根据余弦定理的公式：c² = a² + b² - 2ab * cosC代入已知信息，我们可以得到：BC² = 3² + 4² - 2 * 3 * 4 * cos89.04°。

通过计算器计算cos89.04°的值，我们得到其约等于0.0175。

代入计算式，我们可以得到：BC² ≈ 9 + 16 - 24 * 0.0175。

正弦与余弦定理练习题及答案

国庆作业（一）正弦定理和余弦定理练习题一．选择题1．在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，a＝2，则b等于( )A. 6B. 2C. 3 D．2 62A3．在△( ) A．4A5．在△( ) A6A7A.32B.34C.32或 3 D.34或328．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若c＝2，b＝6，B＝120°，则a等于( )A. 6 B．2 C. 3 D. 2二、填空题9．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a＝1，c＝3，C＝π3，则A＝________.10．在△ABC中，已知a＝433，b＝4，A＝30°，则sin B＝________.11．在△ABC中，已知∠A＝30°，∠B＝120°，b＝12，则a＋c＝________.12．在△ABC中，a＝2b cos C，则△ABC的形状为________．13，c＝14151617灯塔Asin C 218cos C 2＝19．(2009年高考四川卷)在△ABC中，A、B为锐角，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且cos 2A＝35，sin B＝1010.(1)求A＋B的值；(2)若a－b＝2－1，求a，b，c的值．20．△ABC中，ab＝603，sin B＝sin C，△ABC的面积为153，求边b的长．21．已知△ABC的周长为2＋1，且sin A＋sin B＝2sin C.(1)求边AB的长；(2)若△ABC的面积为16sin C，求角C的度数．23．在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝3，sin C ＝2sin A .(1)求AB 的值；(2)求sin(2A －π4)的值．余弦定理练习题1．在△ABC 中，如果BC ＝6，AB ＝4，cos B ＝13，那么AC 等于( )A 2．在3．在A 4．在＝3ac ，则∠B 5．在 )A 6( )A7．已知锐角三角形ABC 中，|AB →|＝4，|AC →|＝1，△ABC 的面积为3，则AB →·AC→的值为( )A ．2B ．－2C ．4D ．－48．在△ABC 中，b ＝3，c ＝3，B ＝30°，则a 为( )A. 3 B ．2 3 C.3或2 3 D ．29．已知△ABC 的三个内角满足2B ＝A ＋C ，且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 的长为________．10．△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝(3－1)∶(3＋1)∶10，求最大角的度数．11．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，S 是△ABC 的面积，若a ＝4，b ＝5，S ＝53，则边c 的值为________．12．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，则cos A ∶cos B ∶cos C ＝________.1314．．15．16．172cos(A ＋B )＝18(2)若△ABC 19A －π4)20．在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，确定△ABC 的形状．正弦定理1．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝2，则b 等于( )A.6B. 2C. 3 D ．2 6解析：选A.应用正弦定理得：a sin A ＝b sin B ，求得b ＝a sin B sin A ＝ 6.2．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( )A ．4 2B ．4 3C ．4 6 D.323解析：选C.A ＝45°，由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝4 6.3．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则角B 为( )A<60°，∴B ＝4．在A C 5．在b ＝2，则c ＝A 1.6．在A 角形7．已知△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC 的面积为( )A.32B.34C.32或 3D.34或32解析：选D.AB sin C ＝AC sin B ，求出sin C ＝32，∵AB ＞AC ，∴∠C 有两解，即∠C ＝60°或120°，∴∠A ＝90°或30°.再由S △ABC ＝12AB ·AC sin A 可求面积．8．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( ) A. 6 B ．2C. 3D. 2解析：选D.由正弦定理得6sin120°＝2sin C ，∴sin C ＝12. 9．在＝π3，则A ＝1011．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，则a ＋c ＝________.解析：C ＝180°－120°－30°＝30°，∴a ＝c ，由a sin A ＝b sin B 得，a ＝12×sin30°sin120°＝43，∴a ＋c ＝8 3.答案：8 312．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则△ABC 的形状为________．解析：由正弦定理，得a ＝2R ·sin A ，b ＝2R ·sin B ，代入式子a ＝2b cos C ，得2R sin A ＝2·2R ·sin B ·cos C ，所以sin A ＝2sin B ·cos C ，即sin B ·cos C ＋cos B ·sin C ＝2sin B ·cos C ，化简，整理，得sin(B －C )＝0.∵0°＜B ＜180°，0°＜C ＜180°，∴－180°＜B －C ＜180°，∴B －C ＝0°，B ＝C .答案：等腰三角形13∴12×1415解得b ＝2 3.答案：2 316．在△ABC 中，b ＝43，C ＝30°，c ＝2，则此三角形有________组解．解析：∵b sin C ＝43×12＝23且c ＝2，∴c <b sin C ，∴此三角形无解．答案：017．如图所示，货轮在海上以40 km/h 的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°，航行半小时后船到达C 点，观测灯塔A 的方位角是65°，则货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是多少？解：在△ABC 中，BC ＝40×12＝20，∠ABC ＝140°－110°＝30°，∠ACB ＝(180°－140°)＋65°＝105°，所以∠A ＝180°－(30°＋105°)＝45°，由正弦定理得＝BC ·sin ∠ABC 18＝14，sin B sin C A ＝2π3.由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，得b ＝c ＝a sin B sin A ＝23×1232＝2. 故A ＝2π3，B ＝π6，b ＝c ＝2.19．(2009年高考四川卷)在△ABC 中，A 、B 为锐角，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，且cos 2A ＝35，sin B ＝1010.(1)求A ＋B 的值；(2)若a －b ＝2－1，求a ，b ，c 的值．解：(1)∵A 、B 为锐角，sin B ＝1010，∴cos B ＝1－sin 2B ＝31010. 又cos 2A ＝1－2sin 2A ＝35，∴sin A ＝55，cos A ＝255，20故边b 的长为215.余弦定理1．在△ABC 中，如果BC ＝6，AB ＝4，cos B ＝13，那么AC 等于( )A ．6B ．2 6C ．3 6D ．4 6解析：选A.由余弦定理，得AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B＝ 42＋62－2×4×6×13＝6.2．在△ABC 中，a ＝2，b ＝3－1，C ＝30°，则c 等于( )A. 3B. 2C. 5 D ．2 解析：选B.由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C＝22＋(3－1)2－2×2×(3－1)cos30°＝2，3A C 4B ＝3ac 5( )A C 6．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．由增加的长度决定解析：选A.设三边长分别为a ，b ，c 且a 2＋b 2＝c 2.设增加的长度为m ，则c ＋m ＞a ＋m ，c ＋m ＞b ＋m ，又(a ＋m )2＋(b ＋m )2＝a 2＋b 2＋2(a ＋b )m ＋2m 2＞c 2＋2cm ＋m 2＝(c ＋m )2， ∴三角形各角均为锐角，即新三角形为锐角三角形．7．已知锐角三角形ABC 中，|AB →|＝4，|AC →|＝1，△ABC 的面积为3，则AB →·AC→的值为( )A ．2B ．－2C ．4D ．－4解析：选A.S △ABC ＝3＝12|AB →|·|AC →|·sin A＝12×4×1×sin A ，∴sin A ＝32，又∵△ABC 为锐角三角形，89－33a ，9上的中线AD ∴a ∶b ∶c ＝(3－1)∶(3＋1)∶10.设a ＝(3－1)k ，b ＝(3＋1)k ，c ＝10k (k ＞0)，∴c 边最长，即角C 最大．由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，又C ∈(0°，180°)，∴C ＝120°.11．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，S 是△ABC 的面积，若a ＝4，b ＝5，S ＝53，则边c 的值为________．解析：S ＝12ab sin C ，sin C ＝32，∴C ＝60°或120°.∴cos C ＝±12，又∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， ∴c 2＝21或61，∴c ＝21或61.答案：21或6112．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，则cos A ∶cos B ∶cos C ＝________.解析：由正弦定理a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，设a ＝2k (k ＞0)，则b ＝3k ，c ＝4k ，的值为＝2×7×5＝1935，∴AB →·BC →＝|AB →|·|BC→|·cos(π－B ) ＝7×5×(－1935)＝－19.答案：－1915．已知△ABC 的三边长分别是a 、b 、c ，且面积S ＝a 2＋b 2－c 24，则角C ＝________. 解析：12ab sin C ＝S ＝a 2＋b 2－c 24＝a 2＋b 2－c 22ab ·ab 2 ＝12ab cos C ，∴sin C ＝cos C ，∴tan C ＝1，∴C ＝45°.答案：45°16．(2011年广州调研)三角形的三边为连续的自然数，且最大角为钝角，则最小角的余弦值为________．解析：设三边长为k －1，k ，k ＋1(k ≥2，k ∈N )，172cos(A＋B )＝18(1)求边AB 的长；(2)若△ABC 的面积为16sin C ，求角C 的度数．解：(1)由题意及正弦定理得AB ＋BC ＋AC ＝2＋1，BC ＋AC ＝2AB ，两式相减，得AB ＝1.(2)由△ABC 的面积12BC ·AC ·sin C ＝16sin C ，得BC ·AC ＝13，由余弦定理得cos C＝AC2＋BC2－AB2 2AC·BC＝?AC＋BC?2－2AC·BC－AB22AC·BC＝12，所以C＝60°.19．在△ABC中，BC＝5，AC＝3，sin C＝2sin A.(1)求AB的值；(2)求sin(2A－π4)的值．中，由正弦定理AB＝BC，20△ABC＝2bc，所以c2b＝2bc，即c2＝b2＋c2－a2，所以a＝b.又因为(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，所以(a＋b)2－c2＝3ab，所以4b2－c2＝3b2，所以b＝c，所以a＝b＝c，因此△ABC为等边三角形．。

7.2正弦余弦(2)

你看过别人荡秋千吗？同学们荡过秋千吗？
如果知道秋千链子的长度为2.5m，你能提出什么问题？
实际应用如图:一个小孩荡秋千,秋千链子的长度为 2.5m,当秋千向两边摆动时,摆角恰好为600,且两边摆动的角度相同,求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差。 O 将实际问题数学化.
2.5

2
30°
A
小结：
3
B ： 2： 3 1 1 问题1：请说出 BC:AB:AC= . C 问题2：若设BC=1,则AB= 2.AC= 3 . 问题3:你能求sin30° 、cos30°、 tan30 °吗？ 1 3 3
sin30°= 2 tan30°=
cos302 °= 。
3
做一做若∠A =45°，你能求出sin45°、cos45°、 tan45°吗？ B
（3）tanα=
1 ，则sinα=______,cosα=______, 2
如图,在△ABC中, ∠C=90º ,D是BC的中点, 且∠ADC=45º ,AD=2,求tanB的值.
A
C
D
B
5 2.在Rt△ABC中, ∠C=90º , AB=26,sinB= 13 1
D是BC上的一点,BD= 求出tan∠DAC的值.
3 ，分别求出△ABC、
△ACD、△BCD中各锐角。
C
A
D
练一练1 比较大小: sin30º ________cos45º sin22.5º ________cos67.5º sin55º ________ cos45º
练一练2
已知α为锐角:
1 （1） sin α= 2 ，则cosα=______,tanα=______, 1 （2） cosα= 2 ，则sinα=______,tanα=______,

数学人教B必修5同步练习：正弦定理和余弦定理2余弦定理含解析

1.1.2 余弦定理1．若三角形的三条边长分别为4,5,7，则这个三角形是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．钝角或锐角三角形2．在△ABC 中，(a ＋b －c)(a ＋b ＋c)＝ab ，则∠C 为( )A ．60°B ．90°C ．120°D ．150°3．如果将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状是__________．4．在△ABC 中，若sinA ∶sinB ∶sinC ＝5∶7∶8，则∠B 的大小为__________．答案：1．C 设长为7的边对应的角为α，则由余弦定理得72＝42＋52－2×4×5cos α，∴cos α＝－15<0.∴角α为钝角．2．C 由已知，得(a ＋b)2－c2＝ab ，∴c2＝a2＋b2＋ab ＝a2＋b2－2abcosC.∴cosC ＝－12.∵∠C ∈(0，π)，∴∠C ＝120°.3．锐角三角形设三边为a ，b ，c ，其中c 为斜边，各边增加的长度为x ，则三角形的最大内角的余弦cosC ＝(a ＋x)2＋(b ＋x)2－(c ＋x)22(a ＋x)(b ＋x)＝2(a ＋b －c)x ＋x22(a ＋x)(c ＋x)>0， ∴∠C 为锐角．∴新三角形为锐角三角形．4.π3 由sinA ∶sinB ∶sinC ＝5∶7∶8，得a ∶b ∶c ＝5∶7∶8.设a ＝5k ，b ＝7k ，c ＝8k ，由余弦定理可得∠B ＝π3.课堂巩固1．在△ABC 中，若2cosBsinA ＝sinC ，则△ABC 的形状是( )A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形2．在不等边三角形中，a 是最大的边，若a2<b2＋c2，则∠A 的取值范围是( )A ．(π2，π)B ．(π4，π2)C ．(π3，π2)D ．(0，π2)3．在△ABC 中，有一个内角为60°，它的对边长为7，面积为103，则另两边长分别为________．4．在△ABC 中，∠B ＝60°，b2＝ac ，则△ABC 的形状是__________．5．在△ABC 中，已知∠A>∠B>∠C ，且∠A ＝2∠C ，b ＝4，a ＋c ＝8，求a ，c 的长．6．(2009全国高考卷Ⅰ，理17)在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，已知a2－c2＝2b ，且sinAcosC ＝3cosAsinC ，求b.答案：1．C 由正弦定理和余弦定理得2·a2＋c2－b22ac·a ＝c ，整理，得a2－b2＝0，即a ＝b.∴△ABC 为等腰三角形．2．C ∵a 是最大边，∴∠A>π3.又a2<b2＋c2，由余弦定理，得cosA ＝b2＋c2－a22bc>0， ∴∠A<π2.∴π3<∠A<π2.3．8和5 设两边长分别为a 、b ，则⎩⎨⎧a2＋b2－722ab ＝12，12absin60°＝10 3. 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8，b ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝5，b ＝8. 4．等边三角形由余弦定理cosB ＝a2＋c2－b22ac和∠B ＝60°，得a2＋c2－b2＝ac. 又b2＝ac ，∴a2＋c2－2ac ＝0，即(a －c)2＝0.∴a ＝c.又∠B ＝60°，∴三角形为等边三角形．5．解：由正弦定理，得a sinA ＝c sinC .∵∠A ＝2∠C ，∴a sin2C ＝c sinC .∴a ＝2ccosC.又a ＋c ＝8，∴cosC ＝8－c 2c .①又由余弦定理及a ＋c ＝8，得cosC ＝a2＋b2－c22ab ＝a2＋42－c28a＝(8－c)2＋42－c28(8－c)＝10－2c 8－c.② 由①②，知8－c 2c ＝10－2c 8－c，整理得5c2－36c ＋64＝0.∴c ＝165或c ＝4.∵∠A ＞∠B ＞∠C ，∴a ＞b ＞c.∴c ≠4.∴a ＝8－c ＝245.故a ＝245，c ＝165.6．解：由余弦定理得a2－c2＝b2－2bccosA.又a2－c2＝2b ，b ≠0，所以b ＝2ccosA ＋2.①又sinAcosC ＝3cosAsinC ，sinAcosC ＋cosAsinC ＝4cosAsinC.sin(A ＋C)＝4cosAsinC ，sinB ＝4sinCcosA.由正弦定理得sinB ＝b c sinC.故b ＝4ccosA.②由①②解得b ＝4.1．已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，设向量p ＝(a ＋c ，b)，q ＝(b －a ，c －a)，若p ∥q ，则角C 的大小为( )A.π3B.π6C.2π3D.5π61．答案：A 由p ∥q 可得(a ＋c)(c －a)－b(b －a)＝0，即a2＋b2－c2＝ab ，∴cosC ＝a2＋b2－c22ab＝12. 又0<∠C<π，∴∠C ＝π3.2．在△ABC 中，∠A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sinB sinC 的值为( )A.85B.58C.53D.352．答案：D 由余弦定理BC2＝AB2＋AC2－2AB ·AC ·cosA 得49＝25＋AC2－2×5·AC ·cos120°，解得AC ＝3，由正弦定理得sinB sinC ＝AC AB ＝35.3．在△ABC 中，∠A ＝60°，且最大边长和最小边长是方程x2－7x ＋11＝0的两个根，则第三边的长为( )A ．2B ．3C ．4D ．53．答案：C 设△ABC 的最大边长和最小边长分别为a ，b ，第三边长为c.∵a ，b 是方程x2－7x ＋11＝0的两根，∴a ＋b ＝7，ab ＝11.由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos60°＝a2＋b2－ab ＝(a ＋b)2－3ab ＝72－3×11＝16， ∴c ＝4.4．(江南十校联考)已知△ABC 的外接圆半径为R ，且2R(sin2A －sin2C)＝(2a －b)sinB(其中a 、b 分别是∠A 、∠B 的对边)，那么∠C 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°4．答案：B 根据正弦定理a sinA ＝b sinB ＝c sinC ＝2R ，得sinA ＝a 2R ，sinB ＝b 2R ，sinC ＝c 2R ，代入已知式，得2R[a2(2R)2－c2(2R)2]＝(2a －b)·b 2R ，化简，得a2＋b2－c2＝2ab ，即a2＋b2－c2ab ＝ 2. 由余弦定理，得cosC ＝a2＋b2－c22ab ＝22，∴∠C ＝45°.5．已知钝角三角形ABC 三边a ＝k ，b ＝k ＋2，c ＝k ＋4，则k 的取值范围为__________．5．答案：2<k<6 ∵c>b>a ，∴角C 为钝角．∴cosC ＝a2＋b2－c22ab<0，即a2＋b2－c2<0.整理，得k2－4k －12<0，即－2<k<6.又k ＋(k ＋2)>k ＋4，∴k>2.∴2<k<6.6．在△ABC 中，tanB ＝1，tanC ＝2，b ＝100，则a ＝__________.6．答案：605 ∵tanB ＝1，∴sinB ＝22.∵tanC ＝2，∴sinC ＝255.由正弦定理c sinC ＝b sinB ，得c ＝10022·255＝4010，又cosA ＝－cos(B ＋C)＝－cosBcosC ＋sinBsinC ＝1010，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA ＝18 000，∴a ＝60 5.7．在△ABC 中，a ＋b ＝10，cosC 是方程2x2－3x －2＝0的一个根，则△ABC 周长的最小值为__________．7．答案：10＋53 ∵cosC 是方程2x2－3x －2＝0的一个根，解得x ＝－12或2，∴cosC ＝－12.又c2＝a2＋b2－2abcosC＝a2＋b2＋ab ＝(a ＋b)2－ab＝100－ab ＝100－a(10－a)＝(a －5)2＋75，∴当a ＝5时，c 最小为5 3.∴△ABC 周长的最小值为10＋5 3.8.(2009浙江高考，文18)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足cos A 2＝255，A B ·A C ＝3. (1)求△ABC 的面积；(2)若c ＝1，求a 的值．8．答案：解：(1)因为cos A 2＝255，所以cosA ＝2cos2A 2－1＝35，sinA ＝45.又由A ·A ＝3，得bccosA ＝3，所以bc ＝5.因此S △ABC ＝12bcsinA ＝2.(2)由(1)知，bc ＝5，又c ＝1，所以b ＝5.由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA ＝20，所以a ＝2 5.9．已知△ABC 的周长为2＋1，且sinA ＋sinB ＝2sinC.(1)求边AB 的长；(2)若△ABC 的面积为16sinC ，求角C 的度数．9. 答案：解：(1)由题意及正弦定理，得AB ＋BC ＋AC ＝2＋1，BC ＋AC ＝2AB ，两式相减，得AB ＝1. (2)由△ABC 的面积12BC ·AC ·sinC ＝16sinC ，得BC ·AC ＝13，由余弦定理，得cosC ＝AC2＋BC2－AB22AC ·BC ＝(AC ＋BC)2－2AC ·BC －AB22AC ·BC＝12，所以∠C ＝60°.10．(2009天津高考，文17)在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝3，sinC ＝2sinA.(1)求AB 的值； (2)求sin(2A －π4)的值．10．答案：解：(1)在△ABC 中，根据正弦定理，AB sinC ＝BC sinA .于是AB ＝sinC sinA BC ＝2BC ＝2 5.(2)在△ABC 中，根据余弦定理，得cosA ＝AB2＋AC2－BC22AB ·AC ＝255. 于是sinA ＝1－cos2A ＝55.从而sin2A ＝2sinAcosA ＝45，cos2A ＝cos2A －sin2A ＝35.所以sin(2A －π4)＝sin2Acos π4－cos2Asin π4＝210.。

高中数学：正弦函数、余弦函数的性质(二)练习

高中数学：正弦函数、余弦函数的性质(二)练习(25分钟60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.(·北京高一检测)已知函数y=sinx和y=cosx在区间M上都是增函数，那么区间M可以是( )A. B.C. D.【解析】选D.y=sinx在和上是增函数，y=cosx在(π，2π)上是增函数，所以区间M可以是.【补偿训练】下列函数中，周期为π，且在上为减函数的是( )A.y=sinB.y=cosC.y=sinD.y=cos【解析】选A.对于A，y=sin=cos2x，周期为π，在上为减函数，故A正确，对于B，y=cos=-sin2x，周期为π，在上为增函数，故B错误，对于C，D，两个函数的周期为2π，故C，D错误.2.当-≤x≤时，函数f(x)=2sin有( )A.最大值为1，最小值为-1B.最大值为1，最小值为-C.最大值为2，最小值为-2D.最大值为2，最小值为-1【解析】选D.因为-≤x≤，所以-≤x+≤，所以-≤sin≤1，所以-1≤2sin≤2，即f(x)的最大值为2，最小值为-1.【补偿训练】y=2sin在[π，2π]上的最小值是( ) A.2 B.1 C.-1 D.-2 【解析】选C.因为x∈[π，2π]，所以+∈，所以当+=时y min=2×=-1.3.下列关系式中正确的是( )A.sin11°<cos10°<sin168°B.sin168°<sin11°<cos10°C.sin11°<sin168°<cos10°D.sin168°<cos10°<sin11°【解析】选C.cos10°=sin80°，sin168°=sin12°，因为0°<11°<12°<80°<90°，且y=sinx在上为增函数，所以sin 11°<sin 12°<sin 80°，即sin 11°<sin 168°<cos 10°.4.(·衡阳高一检测)函数y=-cos的单调递增区间是( )A.(k∈Z)B.(k∈Z)C.(k∈Z)D.(k∈Z)【解析】选D.转化为求函数y=cos的单调递减区间，由2kπ≤-≤2kπ+π，解得4kπ+≤x≤4kπ+，k∈Z.所以函数y=-cos的单调递增区间是，k∈Z.5.(·泉州高一检测)函数y=sin2x-sinx+2的最大值是( )A.2B.3C.4D.5【解析】选C.y=sin2x-sinx+2=+由x∈R知sinx∈[-1，1]，所以当sinx=-1时y max=(-1)2-(-1)+2=4.二、填空题(每小题5分，共15分)6.函数y=sin的值域是________.【解析】因为∈[0，+∞)，所以sin∈[-1，1].函数y=sin的值域是[-1，1].答案：[-1，1]7.(·宜昌高一检测)函数y=2sin，x∈[0，π]的单调递减区间是________.【解题指南】先求y=2sin的单调递减区间，再与[0，π]求交集.【解析】由2kπ+≤x+≤2kπ+，得2kπ+≤x≤2kπ+，k∈Z.设A=[0，π]，B=，则A∩B=，所以y=2sin，x∈[0，π]的单调递减区间为.答案：8.(·三明高一检测)函数y=sin取最大值时自变量的取值集合是________.【解析】当-=2kπ+，即x=4kπ+，k∈Z时y max=1，所以函数y=sin取最大值时自变量的取值集合为.答案：三、解答题(每小题10分，共20分)9.比较下列各组数的大小：(1)sin250°与sin260°.(2)cos与cos.【解析】(1)因为函数y=sinx在[90°，270°]上单调递减，且90°<250°<260°<270°，所以sin 250°>sin 260°.(2)cos=cos=cos，cos=cos=cos.因为函数y=cosx在[0，π]上单调递减，且0<<<π，所以cos>cos，所以cos>cos.10.(·张家界高一检测)已知函数f(x)=sin(2x+)+1，x∈R.(1)写出函数f(x)的最小正周期.(2)当x∈时，求函数f(x)的最大值.【解析】(1)因为=π，所以函数f(x)的最小正周期为π.(2)当x∈时，2x+∈，所以当2x+=，即x=时，sin取得最大值，值为1，所以，函数f(x)的最大值为2. 【延伸探究】本题条件下(1)求f(x)的最小值及单调递减区间.(2)求使f(x)=时x的取值集合.【解析】(1)当2x+=2kπ-，即x=kπ-，k∈Z时[f(x)]min=-1+1=0.由2kπ+≤2x+≤2kπ+，得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，所以f(x)=sin+1的单调递减区间为，k∈Z.(2)由f(x)=得sin=，所以2x+=2kπ+或2kπ+，即x=kπ或x=kπ+，k∈Z.所以使f(x)=时x的取值集合为.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1.函数y=-2cos在区间上是单调函数，则实数a的最大值为( )A. B.6π C. D.【解析】选D.x∈得t=+∈(，+]，则必有y=-2cost在上单调.由于=3π+∈[3π，4π]，y=-2cost在[3π，4π]上为减函数，所以⊆[3π，4π]，所以+≤4π，故a≤.所以a的最大值为.2.(·天水高一检测)若f(x)=3sin(2x+φ)+a，对任意实数x都有f=f，且f()=-4.则实数a的值等于( )A.-1B.-7或-1C.7或1D.±7【解析】选B.因为对任意实数x都有f=f，所以直线x=是函数f(x)图象的一条对称轴.当x=时，f(x)取得最大值或最小值.所以f=3+a或-3+a.由3+a=-4得a=-7；由-3+a=-4得a=-1.【拓展延伸】正弦曲线与余弦曲线的对称性探究(1)正弦曲线、余弦曲线的对称轴分别过曲线的最高点或最低点，正弦曲线的对称轴是直线x=kπ+(k∈Z)，余弦曲线的对称轴是直线x=kπ(k∈Z).(2)正弦曲线、余弦曲线的对称中心分别是正弦曲线、余弦曲线与x轴的交点，正弦曲线的对称中心是(k π，0)(k∈Z)，余弦曲线的对称中心是(k∈Z).二、填空题(每小题5分，共10分)3.(·泰安高一检测)如果函数f(x)=sin(x+)++a在区间上的最小值为，则a的值为________.【解析】由x∈得x+∈.当x+=时，[f(x)]min=-++a=，所以a=.答案：4.(·唐山高一检测)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)=f(x+2)，当x∈[3，4]时，f(x)=x-2，则有下面三个式子：①f<f；②f<f；③f(sin1)<f(cos1)；其中一定成立的是________.【解题指南】先用周期性求x∈[-1，0]时的解析式，再求[0，1]上的解析式，分析f(x)在[0，1]上的单调性，借助三角函数线比较sin与cos，sin与cos，sin1与cos1的大小.最后判断三个式子是否成立.【解析】当x∈[-1，0]时，x+4∈[3，4]，所以f(x+4)=x+4-2=x+2.因为f(x)=f(x+2)，所以f(x)是周期为2的函数，所以f(x)=f(x+4)=x+2.当x∈[0，1]时，-x∈[-1，0]，f(-x)=-x+2，又f(x)为偶函数，所以f(x)=f(-x)=-x+2，所以f(x)在[0，1]上为减函数.因为<<1<<，所以0<sin<cos<1，1>sin>cos>0，1>sin1>cos1>0，所以f>f，f<f，f(sin1)<f(cos1).答案：②③三、解答题(每小题10分，共20分)5.求函数y=1-2cos2x+5sinx的最大值和最小值.【解析】y=1-2cos2x+5sinx=2sin2x+5sinx-1=2-.令sinx=t，则t∈[-1，1]，则y=2-.因为函数y=2t2+5t-1在[-1，1]上是增函数，所以当t=sinx=-1时，函数取得最小值-4，当t=sinx=1时，函数取得最大值6.【补偿训练】求函数y=2sin2x+2sinx-1的值域.【解析】将函数配方得y=2-.因为-1≤sinx≤1，所以当sinx=-时，y min=-；当sinx=1时，y max=3.所以函数的值域为.6.已知f(x)=log a cos(其中a>0且a≠1).(1)求f(x)的单调区间.(2)试确定f(x)的奇偶性和周期性.【解析】(1)当a>1时，函数f(x)的增区间为，k∈Z.函数f(x)的减区间为，k∈Z.当0<a<1时，函数f(x)的增区间为(kπ+，kπ+)，k∈Z函数f(x)的减区间为，k∈Z.(2)函数f(x)的定义域不关于原点对称，函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数.函数f(x)的最小正周期是π.。

完整版)正弦定理与余弦定理练习题

完整版)正弦定理与余弦定理练习题1.已知三角形ABC中，a=4，b=43，A=30°，求角B的大小。

解：根据正弦定理，有XXX，即sinB=43/4×sin30°=21.5/4.由此可知B的大小为30°或150°，故选B。

2.已知锐角三角形ABC的面积为33，BC=4，CA=3，求角C的大小。

解：根据面积公式，有33=1/2×4×3×sinC，即sinC=22/3.由此可知C的大小为arcsin(22/3)≈75°，故选A。

3.已知三角形ABC中，a,b,c分别是角A,B,C所对的边，且(2a+c)cosB+bcosC=0，求角B的大小。

解：根据余弦定理，有c^2=a^2+b^2-2abcosC，即cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)。

代入已知式中，得(2a+c)cosB-b(a^2+b^2-c^2)/(2ab)=0，化简得(4a^2+2ac-b^2)cosB=2abc。

由此可知cosB=(2abc)/(4a^2+2ac-b^2)。

代入cosine double angle formula，得cos2B=(4a^2b^2c^2)/(4a^2b^2+2a^2c^2-2ab^3+2abc^2-2b^2c^2-b^4)。

由于cos2B≤1，可列出不等式4a^2b^2+2a^2c^2-2ab^3+2abc^2-2b^2c^2-b^4≥4a^2b^2c^2，即b^4-2ab^3+(2ac-2c^2-4a^2)b+6a^2c^2-5a^2b^2≤0.考虑b的取值，当b=0时，不等式显然成立；当b>0时，由于a,b,c均为正数，不等式两边同除以b^4后，得到一个关于x=ac/b^2的一元二次不等式6x^2-5x-2≤0.解得x∈[2/3,1]，即ac/b^2∈[2/3,1]。

由此可知cosB的取值范围为[1/2,√3/2]，故角B的大小为arccos(1/2)≈60°或arccos(√3/2)≈30°，故选B。

正弦定理余弦定理练习题

第七节正弦定理和余弦定理【知识回顾】【课前演练】1. 在△ABC 中, 若∠A ＝60°, ∠B ＝45°, BC ＝3 , 则AC ＝( ) A. 4 B. 2 C.D.2．（余弦定理）在△ABC 中, a ＝ , b ＝1, c ＝2, 则A 等于( ) A. 30°B. 45°C. 60°D. 75°[例1](2012·浙江高考)在△ABC中, 内角A, B, C的对边分别为a, b, c, 且bsin A＝acos B.(1)求角B的大小；(2)若b＝3, sin C＝2sin A, 求a, c的值.变式训练一:△ABC的三个内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, asin Asin B＋bcos2A＝ a.(1)求b a；(2)若c2＝b2＋a2, 求B.[例2]在△ABC中a, b, c分别为内角A, B, C的对边, 且2asi.A＝(2b＋c)si.B＋(2c＋b)si.C.求A的大小；【变式训练二】: 已知△ABC的三个内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 向量m＝(4, －1), n＝, 且m·n＝.(1)求角A的大小；(2)若b＋c＝2a＝2 , 试判断△ABC的形状.[例3](2012·新课标全国卷)已知a, b, c分别为△ABC三个内角A, B, C的对边, acos C ＋asin C－b－c＝0.(1)求A；(2)若a＝2, △ABC的面积为, 求b, c.【变式训练三】: . (2012·江西重点中学联考)在△ABC中, cos 2A＝cos2A－cos A.(1)求角A的大小；(2)若a＝3, sin B＝2sin C, 求S△ABC.1. 在△ABC中, a, b, c分别是角A, B, C所对的边. 若A＝, b＝1, △ABC的面积为, 则a的值为() A. 1 B. 2 C. D.2．在△ABC中, 角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 已知a＝2 , c＝2 , 1＋＝, 则C ＝()A. 30°B. 45°C. 45°或135°D. 60°3．在△ABC中, 角A, B, C所对边的长分别为a, b, c, 若a2＋b2＝2c2, 则cos C的最小值为()A. B. C. D. －4．在△ABC中, 若sin2 A＋sin2B<sin2C, 则△ABC的形状是()A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定5. 在△ABC中, 角A.B.C所对的边分别是a、b、c.若b＝2asin B, 则角A的大小为6. 在△ABC中, 若a＝3, b＝, A＝, 则C的大小为________.7. 在△ABC中, 若a＝2, b＋c＝7, cos B＝－, 则b＝________.8．△ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c, asin A＋csin C－asin C＝bsin B.(1)求B；(2)若A＝75°, b＝2, 求a, c.9. 在锐角三角形ABC中, a, b, c分别为内角A, B, C所对的边, 且满足a－2bsin A＝0.(1)求角B的大小；(2)若a＋c＝5, 且a>c, b＝, 求·的值.。

正弦定理与余弦定理练习题共3套(附答案)

正弦定理与余弦定理练习第一套正弦定理（一）●作业导航掌握正弦定理，会利用正弦定理求已知两角和任意一边或两边和一边对角的三角形问题．一、选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．已知△ABC 中，a ＝4，b ＝43，∠A ＝30°，则∠B 等于()A ．30°B ．30°或150°C ．60°D ．60°或120°2．已知△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∠B ＝120°，则△ABC 的面积为()A ．9B ．18C ．93D ．1833．已知△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶3∶2，则A ∶B ∶C 等于()A ．1∶2∶3B ．2∶3∶1C ．1∶3∶2D ．3∶1∶24．已知△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝k ∶(k ＋1)∶2k (k≠0)，则k 的取值范围为()A ．(2，＋∞)B ．(-∞，0)C ．(-21，0)D ．(21，＋∞) 5．在△ABC 中，sin A ＞sin B 是A ＞B 的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．在△ABC 中，若∠B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，则△ABC 的面积是________．2．在△ABC 中，若b ＝2c sin B ，则∠C ＝________．3．设△ABC 的外接圆半径为R ，且已知AB ＝4，∠C ＝45°，则R ＝________．4．已知△ABC 的面积为23，且b ＝2，c ＝3，则∠A ＝________．5．在△ABC 中，∠B ＝45°，∠C ＝60°，a ＝2(3＋1)，那么△ABC 的面积为________．三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)1．在△ABC 中，∠C ＝60°，BC ＝a ，AC ＝b ，a ＋b ＝16．(1)试写出△ABC 的面积S 与边长a 的函数关系式．(2)当a 等于多少时，S 有最大值？并求出这个最大值．2．在△ABC 中，已知a 2-a ＝2(b ＋c )，a ＋2b ＝2c -3，若sin C ∶sin A ＝4∶13，求a ，b ，c ．3．在△ABC 中，求证2tan 2tanBA BA b a b a +-=+-．4．△ABC 中，A 、B 、C 成等差数列，b ＝1，求证：1＜a ＋c ≤2．5．在一个三角形中，若有一个内角不小于120°，求证：最长边与最短边之比不小于3．参考答案一、选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．D 分析：由正弦定理得，B bA a sin sin =，∴sin B ＝23sin =aA b ，∴∠B ＝60°或∠B ＝120°．2．C 分析：∵∠A ＝30°，∠B ＝120°，∴∠C ＝30°，∴BA ＝BC ＝6，∴S △ABC ＝21×BA ×BC ×sin B ＝21×6×6×23＝93．3．A 分析：由正弦定理得，C cB b A a sin sin sin ==，∴sin A ∶sin B ∶sin C ＝1∶3∶2＝21∶23∶1，∴A ∶B ∶C ＝30°∶60°∶90°＝1∶2∶3．4．D 分析：利用正弦定理及三角形两边之和大于第三边．5．C 分析：A ＞B ⇔a ＞b ⇔2Rsin A ＞2Rsin B ⇔sin A ＞sin B ．二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．23或3分析：sin C ＝23230sin 32=︒，于是，∠C ＝60°或120°，故∠A ＝90°或30°，由S △ABC ＝21×AB ×AC ×sin A ，可得S △ABC ＝23或S △ABC ＝3．2．30°或150°分析：由b ＝2c sin B 及正弦定理C cB B c Cc B b sin sin sin 2sin sin ==得，∴sin C ＝21，∴∠C ＝30°或150°．3．22分析：∵c ＝2R sin C ，∴R ＝22sin 2=C c．4．60°或120°分析：∵S △ABC ＝21bc sin A ，∴23＝21×2×3sin A ，∴sin A＝23，∴∠A ＝60°或120°．5．6＋23分析：∵B bA a sin sin =，∴︒=︒-︒-︒+45sin )6045180sin()13(2b，∴b ＝4．∴S △ABC ＝21ab sin C ＝6＋23．三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)1．解：(1)∵a ＋b ＝16，∴b ＝16-aS ＝21ab sin C ＝21a (16-a )sin60°＝43(16a -a 2)＝-43(a -8)2＋163（0＜a ＜16)(2)由(1)知，当a ＝8时，S 有最大值163．2．解：∵sin C ∶sin A ＝4∶13∴c ∶a ＝4∶13设c ＝4k ，a ＝13k ，则⎪⎩⎪⎨⎧-=++=-38213)4(213132k b k k b kk∵k ＝133时b ＜0，故舍去．∴k ＝1，此时a ＝13，b ＝2135-，c ＝4．3．证明：由正弦定理，知a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B2tan2tan2cos 2sin 22cos 2sin 2)22sin(22sin()22sin()22sin(sin sin sin sin sin 2sin 2sin 2sin 2B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A BA BA B R A R B R A R b a b a +-=-++-=--++-++--+--++=+-=+-=+-∴4．证明：∵A 、B 、C 成等差数列，∴2B ＝A ＋C ，又A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝3π，A ＋C ＝32π．∵b ＝1，设△ABC 的外接圆半径为R ，∴b ＝2R sin 3π∴1＝2R ·23，∴3R ＝1．∴a ＋c ＝2R sin A ＋2R sin C ＝2R (sin A ＋sin C )＝2R ［sin(32π-C )＋sin C ］＝2R (23cos C ＋23sin C )＝23R (21cos C ＋23sin C )＝23R sin(C ＋6π)＝2sin(C ＋6π)∵A ＋C ＝32π，∴0＜C ＜32π∴6π＜C ＋6π＜65π∴21＜sin(C ＋6π)≤1∴1＜2sin(C ＋6π)≤2 ∴1＜a ＋c ≤2．5．证明：在△ABC 中，设C ≥120°，则c 最长，令最短边为a ，由正弦定理得A B A A C a c sin )sin(sin sin +==∵A ≤B∴2A ≤A ＋B ≤180°-C ≤60°∵正弦函数在(0，3π)上是增函数，∴sin(A ＋B )≥sin2A ＞0∴A B A a c sin )sin(+=≥A A A A A sin cos sin 2sin 2sin =＝2cos A ∴a c≥2cos A ∵2A ≤60° ∴0°＜A ≤30°∴cos A ≥cos30°＝23∴a c ≥2·23∴a c≥3∴最长边与最短边之比不小于第二套正弦定理练习（二）1．在ABC ∆中，已知角04345,2,,3B c b ===则角A 的值是（）A．15°B．75°C．105°D．75°或15°2．ABC ∆中，bsinA<a<b,则此三角形有（）A．一解B．两解C．无解D．不确定3．若sin cos cos ,A B CABC a b c==∆则是（）A．等边三角形B．有一内角是30°C．等腰直角三角形D．有一内角是30°的等腰三角形4．在ABC ∆中，已知0060,45,8,B C BC AD BC ===⊥于D,则AD 长为（）A.4(31)- B.4(3+1)3+3)D.4(33)5．在ABC ∆中，A>B 是sinA>sinB 的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．在ABC ∆中，060,6,14B b a ===，则A=7．在ABC ∆ABC ∆中，已知cos 2cos 21sin 2sin cos ,cos sin B C A B C C B +=+==求证：b=c 且A=900。

正弦余弦定理练习题

正弦余弦定理练习题正弦和余弦定理是解决三角形相关问题的重要工具。

通过熟练掌握这两个定理的使用方法，可以在解题过程中得到准确的结果。

下面将介绍一些关于正弦余弦定理的练习题，帮助你加深对这两个定理的理解和运用。

练习题一：已知三角形ABC，边长分别为a=8cm，b=10cm，c=12cm，求∠C 的大小。

解析：根据余弦定理，我们可以得到如下公式：c² = a² + b² - 2ab·cosC将已知数据带入公式，我们可以得到：12² = 8² + 10² - 2·8·10·cosC144 = 64 + 100 - 160·cosC144 = 164 - 160·cosC160·cosC = 164 - 144160·cosC = 20cosC = 20/160cosC = 1/8根据余弦值表，我们可以得到cosC ≈ 0.125，查表可得∠C ≈ 82.23°。

练习题二：已知三角形DEF，边长分别为d=4cm，e=5cm，f=6cm，求∠E 的大小。

解析：根据正弦定理，我们可以得到如下公式：e/sinE = f/sinF将已知数据带入公式，我们可以得到：5/sinE = 6/sinF根据正弦值表，我们可以得到sinE ≈ 0.5736，sinF ≈ 0.866。

代入公式，我们可以得到：5/0.5736 = 6/0.8668.7155 = 6.9282显然等式不成立，所以无法用正弦定理求解。

练习题三：已知三角形GHI，边长分别为g=5cm，h=7cm，i=10cm，求∠H 的大小。

解析：根据余弦定理，我们可以得到如下公式：h² = g² + i² - 2gi·cosH将已知数据带入公式，我们可以得到：7² = 5² + 10² - 2·5·10·cosH49 = 25 + 100 - 100·cosH49 = 125 - 100·cosH100·cosH = 125 - 49100·cosH = 76cosH = 76/100cosH = 0.76根据余弦值表，我们可以得到cosH ≈ 0.76，查表可得∠H ≈ 41.41°。

正弦定理余弦定理综合练习题

正弦定理、余弦定理习题课（2）知识点：1、正弦定理：在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ∆AB 的外接圆的半径，则有2sin sin sin a b cR C===A B ． 2、正弦定理的变形公式：①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =；②sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2cC R=；③::sin :sin :sin a b c C =A B ；④sin sin sin sin sin sin a b c a b cC C++===A +B +A B ． 3、三角形面积公式：111sin sin sin 222C S bc ab C ac ∆AB =A ==B ．4、余弦定理：在C ∆AB 中，有2222cos a b c bc =+-A ，2222cos b a c ac =+-B ，2222cos c a b ab C =+-．5、余弦定理的推论：222cos 2b c a bc +-A =，222cos 2a c b ac +-B =，222cos 2a b c C ab+-=．6、设a 、b 、c 是C ∆AB 的角A 、B 、C 的对边，则：①若222a b c +=，则90C =； ②若222a b c +>，则90C <；③若222a b c +<，则90C >．典型综合练习：1、(09广东)已知△ABC 中，A B C ∠∠∠，，的对边分别为a,b,c.若26+==c a ，且A ∠＝75，则b ＝A ．2B ．4＋C ． 4－D 2、（09湖南）在锐角ABC ∆中，1,2BC B A ==则cos ACA 的值等于，AC 的取值范围为。

3、（09北京）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,,3a b c B π=，4cos ,5A b ==. （Ⅰ）求sin C 的值；（Ⅱ）求ABC ∆的面积.4、（08辽宁）在ABC ∆中，内角A ，B,C 对边的边长分别是a,b,c ,已知c =2,C =3π.(Ⅰ)若ABC ∆a,b ；(Ⅱ)若sin sin()2sin 2C B A A +-=，求ABC ∆的面积.5、（09浙江）在ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，且满足cos2A =255, ABAC =3.（Ⅰ）求ABC 的面积；（Ⅱ）若b+c=6,求a 的值。

初三正弦和余弦练习题

初三正弦和余弦练习题1. 已知一个直角三角形的斜边长为10cm，其中一个锐角的正弦值为0.6，求该锐角的余弦值。

解析：根据正弦值可以求出该锐角的弧度值，再通过余弦函数求出余弦值。

设锐角为θ，根据正弦函数的定义：sinθ = 对边 / 斜边，可以得到：0.6 = 对边 / 10解得：对边 = 0.6 * 10 = 6再利用勾股定理求出另一直角边的长度：假设另一直角边为x，则有：x² + 6² = 10²解得：x² = 100 - 36 = 64解得：x = √64 = 8根据余弦函数的定义：cosθ = 临边 / 斜边，可以得到：cosθ = x / 10 = 8 / 10 = 0.8所以该锐角的余弦值为0.8。

2. 在直角三角形ABC中，已知∠C = 90°，sinA = 0.5，cosB = 0.8，求∠A和∠B。

解析：已知sinA = 0.5，可以得到线段BC与斜边AB的比值，而cosB = 0.8，可以得到线段AC与斜边AB的比值。

由于ABC是直角三角形，所以角A和角B的角度之和为90°。

设∠A = α，∠B = β，则有：sinα = 0.5 （已知）cosβ = 0.8 （已知）α + β = 90° （直角三角形特性）根据第一个已知条件，我们可以求出角α的角度：α = arcsin(0.5)根据第二个已知条件，我们可以求出角β的角度：β = arccos(0.8)最后，根据第三个条件，我们可以得到：α + β = 90°将求得的角度数代入进行验证，如果等式成立，则结果正确。

3. 化简下列各式，并求其值：(1) sin²θ + cos²θ化简过程：根据三角恒等式sin²θ + cos²θ = 1，得到最简式为1。

(2) (1 + tan²θ) / sec²θ化简过程：secθ = 1 / cosθ （定义）tanθ = sinθ / cosθ （定义）将以上定义代入：(1 + sin²θ / cos²θ) / (1 / cos²θ)= 1 + sin²θ （化简）最后，根据具体角度的取值，可以求得该式的具体数值。

高中余弦正弦定理练习题及讲解

高中余弦正弦定理练习题及讲解### 练习题一：余弦定理的应用在三角形ABC中，已知AB=7cm，AC=9cm，BC=10cm。

求角A的大小。

解答：首先，我们可以使用余弦定理来解决这个问题。

余弦定理公式为：\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(C) \]其中，a、b、c 分别是三角形的三边，C 是夹角。

在本题中，我们有：- a = AB = 7cm- b = AC = 9cm- c = BC = 10cm- C = A（我们要求的角）将已知值代入公式，我们得到：\[ 10^2 = 7^2 + 9^2 - 2 \cdot 7 \cdot 9 \cdot \cos(A) \]\[ 100 = 49 + 81 - 126 \cdot \cos(A) \]\[ \cos(A) = \frac{49 + 81 - 100}{126} \]\[ \cos(A) = \frac{30}{126} \]\[ \cos(A) = \frac{5}{21} \]然后，我们可以通过反余弦函数求得角A的大小：\[ A = \arccos\left(\frac{5}{21}\right) \]### 练习题二：正弦定理的应用在三角形DEF中，已知DE=8cm，DF=6cm，角E=45°。

求角D的大小。

解答：正弦定理公式为：\[ \frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)} \]其中，a、b、c 分别是三角形的三边，A、B、C 分别是对应角。

在本题中，我们有：- a = DE = 8cm- b = DF = 6cm- B = E = 45°- 我们需要求角D，即角C。

根据正弦定理，我们可以得到：\[ \frac{8}{\sin(45°)} = \frac{6}{\sin(D)} \]\[ \sin(D) = \frac{6 \cdot \sin(45°)}{8} \]\[ \sin(D) = \frac{6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{8} \]\[ \sin(D) = \frac{3\sqrt{2}}{8} \]然后，我们可以通过正弦函数的反函数求得角D的大小：\[ D = \arcsin\left(\frac{3\sqrt{2}}{8}\right) \]### 练习题三：余弦定理与正弦定理的结合在三角形GHI中，已知GH=5cm，HI=6cm，角G=60°。

初三正弦余弦基础练习题及答案

初三正弦余弦基础练习题及答案一、选择题1. 已知角θ的终边落在单位圆上的点M的坐标是(-1/2, √3/2)，则θ的终边与x轴正半轴的夹角为：A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°答案：C2. 若sinθ = 1/2，且θ为锐角，则θ所在的象限为：A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限答案：A3. 设sinα = 3/5，且α为第二象限的角，则cosα的值为：A. 1/5B. -3/5C. -4/5D. -√2/5答案：C4. 如果tanβ = -2，且β所在的象限为第三象限，则β的正弦值为：A. -2/√5B. -√5/2C. 1/2D. √5/2答案：A5. 设θ是一个锐角，sinθ = cos(90° - θ)的解为：A. 0°B. 30°C. 45°D. 60°答案：C二、填空题1. 已知sinθ = 4/5，且θ为锐角，则cosθ的值为 _______。

答案：3/52. 若cosα = -1/3，且α为第三象限的角，则sinα的值为 _______。

答案：-2√2/33. 设tanβ = 2/3，且β所在的象限为第四象限，则cosβ的值为_______。

答案：-3/√134. 如果cotγ = -√3，且γ为第二象限的角，则sinγ的值为 _______。

答案：-√4/√75. 设sinθ = 1/2，且θ为锐角，则tanθ的值为 ______。

答案：1/√3三、计算题1. 运用三角函数关系，求解sin75°的精确值。

解答：利用三角函数的和角公式sin(A+B) = sinAcosB + cosAsinB，我们可以将75°拆分成45°和30°，即75° = 45° + 30°。

sin75° = sin(45° + 30°) = sin45°cos30° + cos45°sin30°= (√2/2)(√3/2) + (√2/2)(1/2)= (√6 + √2)/4 ≈ 0.96592. 根据已知条件，求解cos120°的精确值。

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