苏科版数学九年级上册第二章《直线与圆的位置关系》专题解析

《直线与圆的位置关系》专题解析

【考点图解】

【技法透析】

1．判定直线与圆的位置关系的方法有两种：一是从直线与圆的公共交点的个数来进行判断，另一种是根据圆心到直线的距离与圆的半径之间的大小关系来判断．2．切线的判定方法有三种：一是根据定义，直线与圆只有一个公共点；二是圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线；三是切线的判定定理，当已知条件中明确指出圆与直线有公共点时，常用“连半径证垂直”的方法，当已知条件中没有指出圆与直线有公共点时，常用“作垂直证半径”的方法．

3．切线的性质定理有：①切线与圆只有唯一的公共点；②切线和圆心的距离等于圆的半径；③切线垂直于过切点的半径；④经过圆心垂直于切线的直线必过切点；⑤经过切点垂直于切线的直线必过圆心．

4．涉及切线的重要性质还有切线长定理和弦切角定理，其中切线长定理及其对应的基本图形、以及圆的外切三角形、外切四边形所存在的线段之间的关系也是解决问题常用的依据租方法，弦切角定理更是转化圆中相关角的重要定理．

5．和圆有关的比例线段定理包括相交弦定理、切割线定理及其推论，统称圆幂定理，它揭示了直线与圆相交后所存在的线段间的比例关系．利用这些定理，可直接进行线段的等积式的变换，或比例线段的转化．

【名题精讲】

考点1直线与圆的位置关系

例1 如图10－1，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，O为AB上一点，OB＝

m ，⊙O 的半径为r ＝12

，当m 在什么范围内取值时，BC 与⊙O 相离、相切、相交？ 【切题技巧】 要判断OB ＝m 在什么范围内取值时，BC 与⊙O 相离、相切、相交，就是要判断圆心O 到BC 的距离d 与⊙O 的半径r 之间的大小关系．

【切题技巧】 作OD ⊥BC 于点Ｄ

【借题发挥】 判断直线与圆的位置关系，根据圆心到直线的距离与圆的半径的大小确定：①若dr ，直线与圆相离．

【同类拓展】 1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°；BC ＝4cm ，以2cm 的长为半径作圆，则⊙C 与AB 的位置关系是( )

A ．相离

B ．相切

C ．相交

D ．相切或相交

2．如图10－2，已知⊙O 是以数轴的原点O 为圆心，半径为1的圆，∠AOB ＝45°，点P 在数轴上运动，若过点P 且与OA 平行的直线与⊙O 有公共点，设OP ＝x ，则x 的取

值范围是( )

A ．－1≤x ≤1

B ≤x

C ．0≤x

D ． 考点2 直线与圆相切的综合问题

例2 如图10－3，已知AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，过点C 的直线与AB 的延长线交于点P ，AC ＝PC ，∠COB ＝2∠PCB ．

(1)求证：PC 是⊙O 的切线

(2)求证：BC ＝12

AB (3)点M 是

AB 的中点，CM 交AB 于点N ，若AB ＝4， 求MN ·MC 的值．

【切题技巧】 (1)证∠OCP ＝∠ACB ＝90°即可得PC 是⊙O 的切线，(2)证∠CBO ＝∠COB 得BC ＝OC ，从而有BC ＝12

AB ，(3)连MA ，MB ，先证△BMN ∽△CMB 得MN ·MC ＝BM 2，再在Rt △ABM 中求出BM 长即可求值．

【规范解答】

【借题发挥】切线的证明有两种方法：一种是已知切点，连接圆心和切点证垂直；另一种是不知切点，过圆心向已知直线作垂线，证垂线段长等于半径．

【同类拓展】3．如图10－4，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的半圆O交BC 于D，交AC于点E，连接AD，BE交于点M，过点D作DF⊥AC于点F，DH⊥AB于点H，交BE于点G，则以下正确的结论是_______（填序号）①BD＝CD ②DF是⊙O

的切线③∠DAC＝∠BDH ④DG＝1

2

BM

4．如图10－5，已知Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以直角边AB为直径作⊙O，交斜边AC于点D，连接BD．

(1)若AD＝3，BD＝4，求边BC的长；

(2)取BC的中点E，连接ED，试证明ED与⊙O相切．

考点3线段相等的证明

例3 如图10－6，已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，延长BC至D，使CD ＝BC，CE⊥AD，垂足为E，BE交⊙O于F，AF交CE于P，求证：PE＝PC 【切题技巧】由切割线定理得PC2＝PF·PA，要证明PE＝PC，只需证明PE2＝PF·PA，这样通过圆幂定理把线段相等问题转化为线段等积式的证明，由三角形相似可完成，【规范解答】延长DA交⊙O于K，连结BK，OC．

【借题发挥】证比例式或平方法是圆中证线段相等的重要方法，证比例式常通过相似三角形或平行线性质得到，当要证相等的线段中有一条是圆的切线时，常采用平方法，而线段的平方常由切割线定理，相似三角形的性质来证，值得注意的是，几何图形中有直径这一条件，常添加辅助线，构成直径上的圆周角是直角，使其杓成直角三角形．【同类拓展】5．如图10－7，AB是半圆的直径，AC⊥AB，在半圆上任取一点D，过点D作DE⊥CD，交直径AB于点E，BF⊥AB，交线段AD的延长线于点F，问图中除了AB＝AC外，是否还有其它两条线段相等，如果有，指出这两条相等的线段，并给出证明：如果没有，也要说明理由．

6．如图10－8，四边形ABCD为正方形，00过正方形的顶点A和对角线的交点P，分别交AB、AD于点F、E．

(1)求证：DE＝AF；

(2)若⊙O，AB1，求AE

ED

的值．

考点4多边形的切圆问题

例4 如图10－9，有一个⊙O和两个正六边形T1，T2．T1的6个顶点都在圆周上，T2的6条边都和⊙O相切（我们称T1，T2分别为⊙O的内接正六边形和外切正六边形）．