例谈整体代入法解题

抓住整体巧妙代入

◎赵军(特级教师）在学习代数式的时候，我们经常会遇到求代数式的值的一类题H 。

如果我们能善于观察，抓住整体，必要时通过适当的变形，就可以使求值过程大大简化。

请看下面几种不同类型的整体代入，希望对大家的学习有所帮助：一、直接代入例 14口果 + />=5，那么（a + 6)2 — 4(a +b)=___________〇【简析】抓住整体(《+/，），将(a +/))2-4(a +/>)中的U +/0换成5，其结果为5:-4x 5=5，简洁明了，无需走先化简、后代入的常规思路。

二、转化已知式后再代入例 2已知 a 2-a -4=0，求 2 ( a2-a + 3 ) -j (a 2-a -l )的值:【简析】仔细观察，我们可以发现，在条件和所求结论中均有U 2-a )这个整体，只要抓住这个整体的值代入即可顺利求解。

由《2-«-4=〇得:a 2-«=4,所以 2(a 2 - a +3))=2(4+3)4(4-。

=*。

三、转化所求式后再代入例 3 若 x --3-r =6，则 6a ~2.v -=________〇【简析】本题的思路应先从所求代数式6.r -2P 人手，若将其部分分解因式，提取V 前面的系数，就会使解题思路豁然开朗。

即:心-2V =-2U 2-3；v ),然后将条件中的.r 2-3；t =6代入即可得出答案。

四、转化已知式和所求式，寻找共同式例4 已知1 =0，试求代数式2019的值【简析】从所求式_.*3+2.t +2009来看，其中含有需要考虑如何降次。

从条件V -.r -l =0 来看，通过移项有J 1种变式:〇V =.t +1,②1，③x =.t 2_ 1,唯独没有厶怎样才会出现？？唯一的办法就是将等式的两边同时乘L 比如，将①式两边同时乘*得:并将其代入所求式得：i 3+2* + 2019=-(*2+*)+2c + 2019=-*2+*+2019,再将②两边同日寸乘-丨后代入即可得到其结果为2018在整体思想和转化思想的指引下，求代数式的值应该先观察所求代数式的特征和已知条件的特征：我们希望在这两者之间能够找到一个共同的“东西”，在方法上可以尝试利用等式的性质对它们进行变形，让两者面对面地 “展开对话”，以寻求“共同的利益”，而不是一拿到题目首先想着先化简，后代入。

代入法之整体代入法洋葱数学七年级下册

代入法之整体代入法洋葱数学七年级下册
洋葱数学七年级下册中的整体代入法是指在解决问题时，将数据整体代入，而不是逐个代入。

这种方法可以简化计算过程，提高解题效率。

在某些问题中，给定一些数据，我们需要对这些数据进行计算或者进行某些操作。

如果我们逐个代入数据进行计算，往往会比较繁琐。

而使用整体代入法，我们可以将给定的数据整体代入，从而减少计算步骤。

例如，假设题目给出了一组数列（1，2，3，4，5），要求计算这组数列所有数的和。

使用整体代入法时，我们可以将这组数列整体代入求和的公式中：
和 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
这样，我们只需要一步就得到了结果，而不需要逐个数进行累加。

整体代入法在解决数学问题时非常实用，可以简化计算过程，节省时间。

在洋葱数学七年级下册的学习中，我们可以运用整体代入法解决一些实际问题，提高解题效率。

整体代入法整理.doc

“整体代入法”在数学求值中的妙用整体思想，就是在研究和解决有关数学问题时，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题方法．从整体上去认识问题、思考问题，常常能化繁为简、变难为易，同时又能培养学生思维的灵活性、敏捷性．整体思想的主要表现形式有：整体代入、整体加减、整体代换、整体联想、整体补形、整体改造等等．在初中数学中的数与式、方程与不等式、函数与图象、几何与图形等方面，整体思想都有很好的应用，因此，每年的中考中涌现了许多别具创意、独特新颖的涉及整体思想的问题，尤其在考查高层次思维能力和创新意识方面具有独特的作用．一．数与式中的整体思想( 一 ) 整式求值：2 4 6【例 1】已知代数式 x x )3x 2－ 4x+6 的值为 9，则 3 的值为 (A ． 18B ． 12C ． 9D ． 7 相应练习：1. （ 2011 盐城， 4， 3 分）已知 a ﹣b=1 ，则代数式 2a ﹣ 2b ﹣3 的值是（）A. ﹣1B. 1C. ﹣ 5 D . 52、若代数式 4x 2 2x 5 的值为 7，那么代数式 2x 2 x 1的值等于（）． A ． 2 B ．3 C ．－ 2 D ．43、若 3a 2-a-2=0, 则 5+2a-6a 2=4、当 x=1 时，代数式 x 3+bx+7 的值为 4，则当 x= － l 时，代数式 x 3+bx+7 的值为（）A ． 7B ． 10C ． 11D ． 12（二）分式求值： a 2 a 1 a 4 例 2：先化简，再求值 a 2 2a a 2 4a 4a 2 ，其中 a 满足 a 2－ 2a －1=0．相应练习：1、当时，求代数式的值．2．先化简，再求值： a 2 4 1 2 ，其中 a 是方程 2x 2+6x+2=0 的根a 2 4a 4 2 a a 2 2a1。

整体代入法

“整体代入法”在数学求值中的妙用整体思想，就是在研究和解决相关数学识题时，经过研究问题的整体形式、整体构造、整体特点，进而对问题进行整体办理的解题方法．从整体上去认识问题、思虑问题，经常能化繁为简、变难为易，同时又能培育学生思想的灵巧性、矫捷性．整体思想的主要表现形式有：整体代入、整体加减、整体代换、整体联想、整体补形、整体改造等等．在初中数学中的数与式、方程与不等式、函数与图象、几何与图形等方面，整体思想都有很好的应用，因此，每年的中考取浮现了很多别具创意、独到新奇的波及整体思想的问题，特别在考察高层次思想能力和创新意识方面拥有独到的作用．一．数与式中的整体思想( 一 ) 整式求值：246【例 1】已知代数式xx)3x 2－ 4x+6 的值为 9，则 3 的值为 ( A ． 18 B ． 12 C ． 9 D． 7 相应练习：1. （ 2011 盐城， 4， 3 分）已知 a ﹣b=1 ，则代数式 2a ﹣ 2b ﹣3 的值是（） A. ﹣1B. 1C. ﹣ 5D . 5 2、若代数式 4x 22x5 的值为 7，那么代数式 2x 2 x 1的值等于（）．A ． 2B ．3C ．－ 2D ．43、若 3a 2-a-2=0, 则 5+2a-6a 2=4、当 x=1 时，代数式 x 3+bx+7 的值为 4，则当 x= － l 时，代数式x 3+bx+7 的值为（）A ． 7B ． 10C ． 11D ． 12（二）分式求值：a 2 a 1 a 4例 2：先化简，再求值a22aa24a4a2，此中 a 知足 a2－ 2a －1=0．相应练习：1、当时，求代数式的值．2．先化简，再求值：a 2 4 1 2 ，此中 a 是方程 2x 2+6x+2=0 的根 a 2 4a 4 2 aa 2 2a3．已知 a 2 +2a=4，求的值．4. 已知 x 2－ 2x － 1=0 ，且 x<0 ，则=__________．5、已知，则代数式的值为 _________．二、方程 ( 组 ) 与不等式（组）中的整体思想x 2y 4k 1 x y 3 ，则 k 的取值范围是【例 3】已知y k，且 02x2相应练习：1．假如 ( a 2+b 2) 2 － 2( a 2 +b 2) － 3=0，那么 a 2+b 2=___．2．用换元法解方程 (x 2+x) 2 +2(x 2+x) －1=0，若设 y=x 2+x ，则原方程可变形为( )A ． y 2+2y+1=0B ． y 2－ 2y+1=0 C． y 2+2y － 1=0 D ． y 2－ 2y － 1=03x ay 5 x 5 3、已知对于 x ， y 的二元一次方程组 by的解为y，那么对于 x ， y 的二元x 1163(x y) a(x y) 5一次方程组的解为为x y b( x y) 114．解方程2x 2 3x 42x 2 5 3x5、已知是方程一个根，求的值 .6、已知 m 是方程 x 2x 2 0 的一个实数根，求代数式 ( m2m)( m 2 1) 的值m1 22+x ﹣ 1=0 的两个根，则x 12+x 22=．7、若 x ， x是方程 x8、已知对于 x 的方程 x 22( a 1)x a 2 7a 4 0 的两根为 x 1 、 x 2 ，且知足 x 1 x 23x 1 3x 22 0 .求 (1a 4 4 ) a 2的值。

求代数式的值整体代入法技巧

求代数式的值整体代入法技巧
求代数式的值是数学中的基本问题之一，而整体代入法是一种常用的技巧，可以帮助我们更快速地求出代数式的值。

本文将介绍整体代入法的基本原理和应用方法。

整体代入法的基本原理是将代数式中的变量全部替换为一个具体的数值，然后计算出代数式的值。

这种方法可以避免我们逐个计算每个变量的值，从而节省时间和精力。

例如，假设我们要求解以下代数式的值：
3x^2 + 2xy + y^2，当x=2，y=3时，该代数式的值为多少？
使用整体代入法，我们可以将x和y分别替换为2和3，得到：
3(2)^2 + 2(2)(3) + (3)^2 = 12 + 12 + 9 = 33
因此，当x=2，y=3时，该代数式的值为33。

除了上述的简单例子，整体代入法还可以应用于更复杂的代数式中。

例如，假设我们要求解以下代数式的值：
(x^2 + 2x + 1)/(x + 1)，当x=3时，该代数式的值为多少？
使用整体代入法，我们可以将x+1替换为4，得到：
(x^2 + 2x + 1)/(x + 1) = (x^2 + 2x + 1)/4
然后，我们将x替换为3，得到：
(3^2 + 2(3) + 1)/4 = 16/4 = 4
因此，当x=3时，该代数式的值为4。

需要注意的是，整体代入法只适用于代数式中的变量都有具体的数值。

如果代数式中的变量没有具体的数值，我们就需要使用其他方法来求解。

整体代入法是一种简单而实用的技巧，可以帮助我们更快速地求解代数式的值。

在实际应用中，我们可以根据具体情况选择是否使用整体代入法，以提高计算效率。

整体代入法例题

整体代入法例题整体代入法是一种解决问题的方法，它通过将一个整体代替为若干个部分，从而简化问题的求解过程。

以下是三个使用整体代入法的例题：1. 问题：某商场有100个员工，其中男性员工和女性员工的比例为3:2。

如果每个员工的月工资平均为5000元，那么商场的月工资总额是多少？解法：我们可以使用整体代入法来解决这个问题。

假设商场的男性员工有3x个，女性员工有2x个。

那么男性员工的月工资总额为3x * 5000元，女性员工的月工资总额为2x * 5000元。

根据题目条件可知，总共有100个员工，所以3x + 2x = 100，解得x = 20。

将x = 20代入计算，男性员工的月工资总额为3 * 20 * 5000 = 300000元，女性员工的月工资总额为2 * 20 * 5000 = 200000元。

所以商场的月工资总额为300000元 + 200000元 = 500000元。

2. 问题：一个长方形的长是宽的2倍，如果长方形的周长是24米，那么长方形的面积是多少平方米？解法：我们可以使用整体代入法来解决这个问题。

设长方形的宽为x米，那么长方形的长为2x米。

根据周长的定义可知，2 * (2x + x) = 24，解得3x = 12，所以x = 4。

将x = 4代入计算，长方形的面积为(2x) * x = 8 * 4 = 32平方米。

3. 问题：一家超市原价销售商品，后来降价20%。

如果现在商品的售价是320元，那么原价是多少元？解法：我们可以使用整体代入法来解决这个问题。

设原价为x元，根据题目条件可知，商品的售价为0.8x元。

根据题目条件可知，0.8x = 320，解得x = 400。

所以商品的原价为400元。

整体代入求值五例

探索篇•方法展示整体思想是数学教学中的一种重要的数学思想。

整体代入可以解决一些复杂的代入求值问题。

整体代入求值大致可分为，直接整体代入、取相反数之后整体代入、变形后整体代入、多次整体代入和幂的运算有关的整体带入等几种常见情况。

一、直接整体代入这种情况是指一些比较简单的代入求值问题，对已知条件不需要处理便可以直接代入计算。

例如：已知x-y =7，求代数式x-y -3的值。

解析：此题只要把x-y 当做整体即可。

即：x-y -3=7-3=4二、取相反数后整体代入这种题型是表面上看起来已知条件和要求值的代数式没有明显关系，其实是已知条件和代数式的部分项是互为相反数关系。

例如：已知x-y =7，求代数式3-x+y 的值。

解析：从题目上看出x-y 与-x+y 互为相反数。

因为x 原y =7所以-x+y =-7所以原式=3-7=-4三、变形后整体代入这种题型虽然比上面两种情况稍复杂一些，但是利用等式性质对已知条件进行一些简单变形后就可以整体代入顺利求出原代数式的值。

例1.已知4x 2-2y +5=7，求2x 2-y +1的值。

解析：由4x 2-2y +5=7两边同时减5可得：4x 2-2y =2两边同时除以2得：2x 2-y =1把2x 2-y =1整体代入得：2x 2-y +1=1+1=2例2.已知1x -1y =3，求2x +3xy -2y x -2xy-y 的值。

解析：因为1x -1y=3两边同时乘以xy 得：y-x =3xy 两边同时乘-1得：x-y =-3xy原式=2x -2y +3xy x-y -2xy =2（x -y ）+3xy （x-y ）-2xy把x-y =-3xy 作为整体代入得：原式=2（-3xy ）+3xy -3xy -2xy =-6xy +3xy -5xy =-3xy -5xy =35四、变形后多次整体代入这种题型表面上看，已知条件和所要求值的代数式没有明显的关系，只要我们仔细观察，对已知条件和所要求值的代数式适当变形，就可以发现它们之间的关系。

整体代入求值五例

整体代入求值五例作者：陆敬雨来源：《新课程·下旬》2018年第11期整体思想是数学教学中的一种重要的数学思想。

整体代入可以解决一些复杂的代入求值问题。

整体代入求值大致可分为，直接整体代入、取相反数之后整体代入、变形后整体代入、多次整体代入和幂的运算有关的整体带入等几种常见情况。

一、直接整体代入这种情况是指一些比较简单的代入求值问题，对已知条件不需要处理便可以直接代入计算。

例如：已知x-y=7，求代数式x-y-3的值。

解析：此题只要把x-y当做整体即可。

即：x-y-3=7-3=4二、取相反数后整体代入这种题型是表面上看起来已知条件和要求值的代数式没有明显关系，其实是已知条件和代数式的部分项是互为相反数关系。

例如：已知x-y=7，求代数式3-x+y的值。

解析：从题目上看出x-y与-x+y互为相反数。

因为x-y=7所以-x+y=-7所以原式=3-7=-4三、变形后整体代入这种题型虽然比上面两种情况稍复杂一些，但是利用等式性质对已知条件进行一些简单变形后就可以整体代入顺利求出原代数式的值。

例1.已知4x2-2y+5=7，求2x2-y+1的值。

解析：由4x2-2y+5=7两边同时减5可得：4x2-2y=2两边同时除以2得：2x2-y=1把2x2-y=1整体代入得：2x2-y+1=1+1=2例2.已知=3，求的值。

解析：因为=3两边同时乘以xy得：y-x=3xy两边同时乘-1得：x-y=-3xy原式=把x-y=-3xy作为整体代入得：原式=四、变形后多次整体代入这种题型表面上看，已知条件和所要求值的代数式没有明显的关系，只要我们仔细观察，对已知条件和所要求值的代数式适当变形，就可以发现它们之间的关系。

例1.已知x2+x-1=0，求x3+2x2+2013的值。

解析：因为x2+x-1=0所以x3+x2-x=0所以x3+x2=x所以x3+2x2+2013=x3+x2+x2+2013把x3+x2=x整体代入得：原式=x+x2+2013又因为x2+x-1=0所以x2+x=1所以原式=1+2013 （x2+x=1整体代入）=2014例2.已知a-b=2，b-c=1，求a（a-b）-2c（b-c）的值。

二年级整体代入法例题

二年级整体代入法例题在这个阳光明媚的早晨，咱们的小朋友们又要开始新一轮的数学冒险了！今天的任务是什么呢？没错，就是整体代入法。

这听起来是不是有点儿高大上？别怕，咱们把它拆开说说。

整体代入法就像咱们吃冰淇淋，先看看整个冰淇淋的样子，再慢慢享受每一口的滋味，明白了吗？咱们一起来把这个数学难题变成一块美味的蛋糕！想象一下，小明和小红这对好朋友，今天他们要去游乐园。

哇，游乐园可热闹了，游乐设施一个接一个，简直是乐不思蜀！不过，问题来了，他们需要买票才能进去。

假设每张票要10块钱，小明身上有50块，小红只有30块。

咱们先把这两个人的钱加起来，哦哦，这可是一笔不小的数目，50加30，嘿，正好是80块！这时候，有些小朋友可能会觉得：“哎呀，这80块能买几张票呀？”你说得没错，我们就得把这80块钱平均分给每张票，那就得用80除以10，咱们来算算，哇，这样算来，他们可以买8张票！太棒了吧，正好够他们和小伙伴们一起玩个痛快！他们一群小伙伴在游乐园里尽情玩耍，笑声、尖叫声交织在一起，仿佛整个世界都在欢快的旋律中舞动。

可是，玩累了总得休息吧？小明想：“我们可以去吃冰淇淋啊！不过，我们的钱够吗？”嗯，让我们再用整体代入法来算一下。

他们刚刚买票剩下的钱还有多少呢？用80减去他们买票花掉的60块，嘿嘿，剩下的20块可是足够再买个冰淇淋的。

小红一边舔着冰淇淋，一边对小明说：“这真是太美味了，简直是人间美味！”这时候，整体代入法就显得特别重要了，因为他们不仅算出了买票的费用，还知道了剩下的钱能做些什么，简直是划算到家了！说到这里，小朋友们有没有觉得，数学其实是生活的一部分呢？就像那句老话说的：“生活就像一盒巧克力，你永远不知道下一块是什么味道。

”在数学的世界里，有时候问题就像巧克力盒子里的每一块，都需要我们去探究，去尝试。

咱们用整体代入法，就像在找到巧克力盒子里的隐藏宝藏，越找越开心。

整体代入法还有个有趣的地方，它能让复杂的事情变简单。

整体代入法解二元一次方程组

整体代入法解二元一次方程组说到解决二元一次方程组，整体代入法可是个绝招。

想象一下，这就像在解谜，拼图的感觉，找到每个碎片的确切位置。

你可能会想，听起来有点复杂，其实嘛，没那么难，放轻松，我们来一步步捋清楚。

先说说二元一次方程组，顾名思义，有两个未知数和两个方程。

这就像两位主角在舞台上跳舞，必须协调好动作，才能跳得漂亮。

举个例子，假设我们有方程 ( x + y = 10 ) 和 ( 2x y = 3 )。

这就像一场双人舞，要有默契，才能找到正确的配合。

整体代入法呢，就是把一个方程中的一个未知数用另一个未知数的表达式替代，这样一来，整个舞台就变得简单多了。

先从第一个方程开始，咱们可以轻松地把 ( y ) 表达出来，( y = 10 x )。

嘿，这个步骤就像把一个歌手的高音换成低音，听起来不一样，但依然美妙。

把这个表达式带入第二个方程。

就像你把一张纸上的小画圈圈，变成另一幅画的线索，结果变成 ( 2x (10 x) = 3 )。

一会儿你就能发现，事情变得越来越清晰了。

好了，这时把方程整理一下，得出 ( 2x + x 10 = 3 )。

看到了吗？这就像在整理一堆乱七八糟的东西，把有用的留下，没用的扔掉。

把方程再化简一下，得出 ( 3x 10 = 3 )。

嘿，搞定了！再加上10，得出 ( 3x = 13 )，这时候，我们就要算算 ( x ) 的值了，嘿嘿，除以3就得 ( x = frac{13{3 )，这就像在一次购物中，发现了个好折扣，心里美滋滋。

这时候，咱们又回到最初的 ( y ) 的方程，带入这个 ( x ) 的值。

真是不可思议，神奇的事情就要发生了！( y = 10 frac{13{3 )，这一算出来，恰好是 ( y = frac{17{3 )。

太神奇了，这俩数就像一对冤家，刚开始互相看不顺眼，最后却发现彼此是最佳拍档。

别以为就到此为止哦，这里还有个关键的地方，检查一下，确保这俩数真的能同时满足原来的方程。

整体代入

整体代入，巧妙求值整式求值问题是中考的一个重要题型.当整式中字母的值求出比较麻烦甚至无法求出时，往往比较困难.在这种情况下要把注意力和着眼点放在问题的整体结构上，把联系紧密的量作为一个整体来处理，运用“整体思想”可以使问题简单化.常见的解法汇总如下：一、扩大代入法例1、若222x x -=，那么2243x x -+的值为（）A. 7B. —2C. 5D. —3分析：从整体上观察可以看出，已知条件中22x x -与所求问题中224x x -存在着倍比关系，可以用整体代入的思想求解.解：因为222x x -=，所以222432(2)32237x x x x -+=-+=⨯+=，所以选A二、变形代入法例2、已知32x y +=，则 3(2)2(2)______x y y x ---=.分析:对比已知和求值的式子不能直接用整体代入的方法，这里需要把32x y +=进行两个变形处理，23x y -=-，23y x -=.解：据32x y +=，可得23x y -=-， 23y x -=，将两式整体代入得：3(2)2(2)3(3)2315x y y x ---=⨯--⨯=-三、拆分代入法例3、已知22437,x y -=223219x y +=，求代数式22142x y -的值．分析：仔细观察对应字母系数间的关系：2x 项在已知条件中的系数分别为4和3，而求值式子中系数为14，可以发现142(43)=⨯+;2y 项在已知条件中的系数分别为3-和2-，而求值式子中的系数为2-，可以发现22(32)-=⨯-+.也就是说应考虑如何将代数式22142x y -通过变形构造成含2243x y -和2232x y +的式子．解：22142x y -=222(7)x y -=2()()22224332x y x y ⎡⎤-++⎣⎦∵22437,x y -=223219x y +=，∴原式=2（7＋19）=52．[例4]：已知：x2+5xy=76，3y2+2xy=51,求代数式x2+9xy+6y2的值.[分析]：已知的两个代数式用直接代入的方法，难以与所求建立等量关系，这里首先应设法用x2+5xy 和3y2+2xy 来表示x2+9xy+6y2，需把9xy 写成5xy+4xy 即可达到目的. 把x2+9xy+6y2拆分成x2+5xy 、2(3y2+2xy)的和的形式，即可与已知建立对应关系.解：x2+9xy+6y2=x2+5xy+6y2+4xy=(x2+5xy)+2(3y2+2xy)=76+2×51=178可见，运用整体代入法，有时需要先对代数式进行适当的变形，然后再整体代入求值.从以上四例可以较为直观地见证运用整体代入法给代数式求值计算带来的便捷，在实际的求值运算中22(32)-=⨯-+我们除了要善于从整体上把握已知条件与所求代数式在字母和数字之间系外，代入时还要注意运算符号之间的对应关系，使计算前后呼应，有理有序，浑然一体.。

(文章)整体思想在解题中的运用

整体思想在解题中的运用在解方程组时,有些方程组直接用代入法或加减法求解比较烦琐, 若从整体入手,就会显得非常简捷. 下面举例说明之.一. 整体代入例1.解方程组②①⎩⎨⎧-=+=+242123y x y x分析：方程组中y 的系数成倍数关系，把x y 312-=看作一个整体代入②，可直接消去y .解：由①得：x y 312-= ③把③代入②，得：2)31(22-=-+x x ，解之，得1=x . 把1=x 代入③得：1-=y∴⎩⎨⎧-==11y x 二. 整体相加例2.解方程组200320042002200420032005x y x y +=⎧⎨+=⎩①②分析：本例两个方程中相同未知数的系数和等于常数的和,可把它们整体相加,再同除以这个相同的系数和,则可以求得x y +的值,然后再用整体代入法就容易求解. 解：①+②，得：400740074007x y +=,两边同时除以4077得, 即1x y += ③再由①,得2003200420032003x y x y y +=++,即2003()2002x y y ++= ④把③代入④得, 200312002y ⨯+=. 解得, 1y =-.把1y =-代入③得, 2x =∴21x y =⎧⎨=-⎩三. 整体相减例3.解方程组②①⎩⎨⎧=+-=+123854y x y x分析：本例中未知数系数相差1，可考虑整体相减后，再用代入法消元.解：①－②，得：,93-=+y x 即③y x 39--=将③代入①，得：4-=y 将4-=y 代入③，得3=x ∴⎩⎨⎧-==43y x四. 整体换元例4.解方程组②①⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++=-++82323327332432y x y x y x y x分析：本例中的方程若按常规方法去处理，则要进行去分母,去括号等一系列的化简整理,之后方可求解.观察到方程组中的分子分别相同，可考虑使用换元法进行妙解.解：设B y x A y x =-=+32,32，则原方程可化为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+823734B A B A 解这个方程组，得：⎩⎨⎧-==2460B A ，也就是说④③⎩⎨⎧-=-=+24326032y x y x ③+④，得：9=x ，将9=x 代入③，得：14=y∴⎩⎨⎧==149y x。

整体代入的思想解二元一次方程

整体代入的思想解二元一次方程组
学习目标：
1、进一步熟练代入消元法解二元一次方程组的步骤。

2、体会整体代入的思想方法。

学习过程：
复习：解方程组：观察本题特点，能不能有其它的方法去解方程呢？3x=13-2y ①解：
3x-2y=5 ②
解：
变式练习：解方程组3x-y=2 ①
3x+2y=11 ②
例1、解方程组y-3=2x ①
2(y-3)+2x=6 ②
观察这个方程有什么特点？可以怎样去代入？
变式练习：
1、2x+3y=7 ①x-2y=3 ①
②2x-4y=9-3x ②
例2、先观察再解方程组
1、4y+7x=12 ①4x-3y=18 ①
②2x-y=8 ②
请同学们观察两个未知数的系数，看看它们有怎样的关系？
想一想：这类能用整体代入法解二元一次方程组的特点是什么？1、
2、
变式练习：
1、2x+3y=4 ①
2、6x-8y=33 ①
②2x-y=6 ②
检测与反馈：
解下列方程组3m+4n=5 ①
9m+15n=3②。

利用整体思想解题

利用整体思想解题一、整体代入一类求代数式值的问题，若利用常规方法计算往往很复杂，甚至有时求不出具体的数值，这时若将条件和结论从一个整体的角度去分析，挖掘已知式子和待求式子的整体结构特征，将已知条件进行适当的变形，或把已知关系式作为整体代入，便可能使得求值问题变得“柳暗花明”．例1 已知a 是方程x 2－2014x ＋1＝0的一个根，试求a 2－2013a ＋220141a +的值．解由已知得a 2－2014a ＋1＝0．则得a 2－2013a ＝a －1，a 2＋1＝2014a ．显然a ≠0，所以两边同除以d ，得 a ＋12014a=， ∴a 2－2013a ＋220141a + ＝a －1＋20142014a＝a ＋1120141a -=-，＝2013．评析当已知方程的解时，通常把解代入方程，然后再对等式进行移项、因式分解、配方等变形，构造出待求式子的部分或整体．二、整体约减整体约减思想包含整体相减和整体约分两种，在利用整体思想变形时，须掌握一些变形公式．例2 观察下列等式：第1个等式：111111323a ⎛⎫==⨯- ⎪⨯⎝⎭；第2个等式：21111 35235a⎛⎫==⨯-⎪⨯⎝⎭；第3个等式：31111 57257a⎛⎫==⨯-⎪⨯⎝⎭；第4个等式：41111 79279a⎛⎫==⨯-⎪⨯⎝⎭；……请回答下列问题：(1)按以上规律列出第5个等式：a5＝_______；(2)用含n的代数式表示第n个等式：a n＝_______＝_______；(3)求a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a100的值．评析本题是一道规律探究题，考查学生的观察能力、计算能力、由特殊到一般的数学思想等，解决问题的关键是发现等式中变化的数与序数的对应规律．三、整体换元整体换元思想是指将题目中的条件或结论看作一个整体，并用一个新量去替代，使问题转化为对这个新量的研究，从而起到化繁为简、化难为易的作用．例3 计算：11111111111232014232013232014⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⨯++++-++++⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭111232013⎛⎫+++ ⎪⎝⎭．解仔细观察式子，发现四个括号中的式子都含有式子111232013+++．不妨令a ＝111232013+++，则评析把111232013+++看成一个整体，并用一个新字母a 来代替，使待求的式子变成一个含有字母a 的代数式，大大地简化了运算，起到了化繁为简的作用．四、整体补形整体补形思想是指根据已知图形的特点，将不规则或不完整的图形，通过简单的拼接，补充成规则的或完整的图形，再进行求解．例4 如图1，六边形ABCDEF 的六个角都相等，若AB ＝1，BC ＝CD ＝3，DE ＝2，则这个六边形的周长等于_______．解分别作线段AB 、CD 、EF 的延长线和反向延长线，使它们交于点G 、H 、P ，如图2．∵六边形ABCDEF 的六个角都等于120°，∴六边形ABCDEF 的每一个外角的度数都是60°，∴△AHF 、△BGC 、△DPE 、△GHP 都是等边三角形．∴GC ＝BC ＝3，DP ＝DE ＝2，GH ＝GP ＝GC ＋CD ＋DP＝3＋3＋2＝8．F A＝HA＝GH－AB－BG＝8－1－3＝4．EF＝PH－HF－EP＝8－4－2＝2．所以，六边形的周长为：1＋3＋3＋2＋2＋4＝15．评析对于不规则的图形，我们常用割补法，将其转化为规则图形加以解决．五、整体改造当所求的式子不易入手时，可对已知或结论进行整体改造（如因式分解、配方等），寻求它们之间的联系，当图形比较复杂时，可对图形进行分解、平移、旋转、翻折、相似变换等．利用整体改造思想时，常用的改造途径有：数向形的改造，代数式结构的改造，条件和结论的改造，特殊和一般的改造，动和静、正和反的改造等．例5 如图3，AB⊥BC，AB＝BC＝2cm，弧OA与弧OC关于点O成中心对称，则AB、BC、弧CO、弧OA所围成的面积是_______cm2．解连结AC，因为弧OA与弧OC关于点O成中心对称，所以点O为AC的中点．所以，AB、BC、弧CO、弧OA所围成的面积为S△ABC＝12×2×2＝2(cm2)．评析本题根据中心对称的性质，把所求的不规则图形通过中心对称变换改造为规则图形，即△ABC的面积，这是问题解决的关键．六、整体合并解答代数问题时，有时代数式、方程或不等式进行合并，合并之后往往能凑整、消元等，这样的解题思想叫整体合并．应用整体合并思想应根据题目的特征，合理地进行合并，常用的合并方法有首尾合并、错位合并、配方合并、根据数字特征合并等．例6 已知x，y满足方程组2100821005x yx y+=⎧⎨+=-⎩，则x2－y2的值为_______．解由于x2－y2＝（x＋y）(x－y)，因此只要求出x＋y、x－y这两个整体的值即可．将两个方程相减，得x－y＝2013；将两个方程相加整理，得3x＋3y＝3，化简得x＋y＝1．∴x2－y2＝（x＋y）（x－y）＝2013．评析若直接解方程组求出x，y的值，再代入代数式进行计算，则计算量很大．这里采用整体合并的思想，取得了事半功倍的效果．七、整体操作整体操作是指从操作性问题的整体性质出发，注重对问题整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，把某些对象看做一个整体，从而有慝的地整体处理．解答操作性问题，关键是要善于运用“集成”的眼光，进行有意识的整体操作，解决这类问题一般要经历观察、思考、想象、交流、推理、操作、反思等活动过程，需要利用已有的生活经验和感知发现结论，从而解决问题．例7 有七只茶杯，杯口朝上放在桌子上，请你把它们全部转成杯口朝下，现在要求每一次同时翻转四只茶杯，使得杯口与杯底相反．问能否经过有限次翻转后，使得所有茶杯的杯口向下？给出你的结论并加以证明．解这是不可能做到的，我们用赋值法加以证明．把杯口朝上的茶杯记为＋1，把杯口朝下的茶杯记为－1．这样，问题就变为＋1，＋1，＋1，＋1，＋1，＋1，＋1七个数，每次翻动，就是改变其中四个数的符号，看能否经过有限次的翻动，把它们全部改为－1．改变一个数的符号，也就是把这个数乘以－1．在一次翻动中，有四个数乘以－1，七个数的乘积经过一次翻动后，应当乘以(－1)4．所以七个数的乘积经过翻动，仍然保持不变，原来的七个数的乘积是＋1，不管经过多少次翻动，七个数的乘积始终是＋1，而七个－1的乘积是－1，不可能把七个数都变成－1．评析此题若进行逐一尝试，是难以完成的，采用了赋值法——把杯口朝上的茶杯记为＋1，把杯口朝下的茶杯记为－1，从奇偶性方面做出判断，便能使问题快速得到解决．本题如果把杯子的个数改为偶数，或者每次翻动奇数个杯子，也可以用这种方法加以解决．整体化思想是解决数学问题的一种思维方法，掌握整体化思想方法有利于培养学生的直觉思维能力和发展学生的思维品质，在教学过程中，教师应该培养学生的整体化思想，寻求潜在规律，用整体化思想去解决数学问题．。

初中数学整体思想——整体代入

整体思想——整体代入
整体的思想
用整体思想法解数学题，就是把一些看似彼此独立而实质是紧密相联的量看成一个整体去设元、列式、变形、求值等.这样做，不仅可以摆脱固定模式的束缚，使复杂的问题变得简单，陌生的问题变得熟悉，还往往可以解决按常规方法解决不了的一些问题.
整体代入
例题已知x 2-5x+1=0，且x≠0，求441x x
+的值。

思路导航：由x 2-5x+1=0，先构造求出1x x +的值，然后整体代入441x x +变形的式子中求值即可。

答案：∵x 2-5x+1=0，且x≠0，
∴x 2+1=5x ， ∴15x x
+=， ∴24222422111()22x x x x x x ⎛⎫+=+⋅⋅+- ⎪⎝⎭
=222
1()2x x +- =22211(22)2x x x x
+⋅+-- =()22221()22522527x x ⎡⎤+--=--=⎢⎥⎣⎦。

点评：构造求出1x x +的值，搭建关于1x x
+的整体代入的模型，是解决本题的关键所在。

跟踪训练 1. （湖南衡阳中考）已知a +b =2，ab=1，则a 2b +ab 2的值为
2. （北京中考）已知0142=--x x ，求代数式2
2))(()32(y y x y x x --+--的值。

参考答案：
1. 2 解析：a 2b +ab 2=ab （a +b ）=2
2. 解：22))(()32(y y x y x x --+-- =22224129x x x y y -+-+-
=3x 2－12x ＋9
=3（x 2－4x ＋3）
∵0142=--x x
∴ x 2 －4x ＝1
∴原式＝1243)31(3=⨯=+⨯。

谈谈整式求值中的代入方法

教师寄语春来春去，燕离燕归，枝条吐出点点新绿，红花朵朵含苞欲放，杨柳依依书写无悔年华，白云点点唱响人生奋斗的凯歌，微冷的春风淡去了烟尘与伤痛，沉淀在内心的却是缤纷的梦想以及那收获前的耕耘与奋斗。

谈谈整式求值中的代入方法已知字母的值，求与之相关的整式的值是是整式运算中的一个重要内容。

求整式的值一个重要步骤就是代入，而代入是有技巧的，不同的代入方法直接影响求解的顺利与否。

下面就向同学们介绍几种适用的代入方法。

供同学们参考。

一、直接代入求值例1 求当a=－3，b=23时，代数式a2+ab+3b2的值分析：用字母数值代替代数式中的字母，按代数式指明的运算，计算出结果。

解：当a=3，b=23时，原式=（－3）2+（－3）×23+3×（23）2=9－2+3×49=325。

评注：1、相应数字均应代人相应字母，不能错位，特别是有两个或两个以上字母时，切不要代错；2、代人时，除按已知给定的数值，将相应的字母换成相应的数字外，其他的运算符号，运算顺序，原来的数值都不改变；4、代数式中省去的“×”号或“·”号，代人具体数后应恢复原来的“×”号，遇到字母取值是分数或者负数时，应根据实际情况添上括号．5、代入时一定要书写规范，如当a=－3时，a2=（－3）2，而不是a2= －32，（23）2不等于322等，只有书写规范，才能反映出代数式所隐含的运算顺序。

二、先化简，再代入求值例2、当x=19，y=－18时，求代数式（5x－3y）－（2x－y）+（3x－2x）的值分析：直接代入，项数太多，运算量较大；如果先化简，然后代入，则较简便。

解：原式=5x －3y －2x+y+3y －2x=x+y ，当x=19，y=－18时，原式=－172评注：化简时，一定要注意去括号和合并同类项的正确。

三、整体代入求值例3、已知a 2-a-4=0，求a 2-2(a 2-a+3)-21(a 2-a-4)-a 的值. 分析：仔细观察已知式所求式，它们当中都含有a 2-a ，可以将a 2-a-4=0转化为a 2-a=4，再把a 2-a 的值直接代入所求式即可。