高考数学总复习 专题03 导数分项练习(含解析)理1

专题03 导数

一．基础题组

1. 【2010新课标，理3】曲线y ＝

2

x +x

在点(－1，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝2x ＋1 B ．y ＝2x －1 C ．y ＝－2x －3 D ．y ＝－2x －2 【答案】A

2. 【2008全国1，理6】若函数(1)y f x =-的图像与函数ln 1y =的图像关于直线y x

=对称，则()f x =（ ） A ．21x e -

B ．2x e

C ．21x e +

D ．22x e +

【答案】B.

【解析】由()

()()

()212121,1,y x x y x e

f x e

f x e --=⇒=-==.

3. 【2012全国，理21】已知函数f (x )满足f (x )＝f ′(1)e x －1

－f (0)x ＋

12

x 2

． (1)求f (x )的解析式及单调区间； (2)若f (x )≥

12

x 2

＋ax ＋b ，求(a ＋1)b 的最大值． 【解析】(1)由已知得f ′(x )＝f ′(1)e x －1

－f (0)＋x .

所以f ′(1)＝f ′(1)－f (0)＋1，即f (0)＝1. 又f (0)＝f ′(1)e －1

，所以f ′(1)＝e. 从而f (x )＝e x

－x ＋

12

x 2

. 由于f ′(x )＝e x －1＋x ，

故当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )＜0； 当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＞0.

从而，f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增． (2)由已知条件得e x

－(a ＋1)x ≥b .①

(ⅰ)若a ＋1＜0，则对任意常数b ，当x ＜0，且11

b x a -<+时，可得e x

－(a ＋1)x ＜b ，因此①式不成立．

(ⅱ)若a ＋1＝0，则(a ＋1)b ＝0.

所以f (x )≥

12

x 2

＋ax ＋b 等价于 b ≤a ＋1－(a ＋1)ln(a ＋1)．②

因此(a ＋1)b ≤(a ＋1)2

－(a ＋1)2

ln(a ＋1)． 设h (a )＝(a ＋1)2

－(a ＋1)2

ln(a ＋1)， 则h ′(a )＝(a ＋1)(1－2ln(a ＋1))．

所以h (a )在(－1，12

e 1-)上单调递增，在(12

e 1-，＋∞)上单调递减， 故h (a )在12

=e 1a -处取得最大值． 从而e ()2h a ≤

，即(a ＋1)b ≤e 2

. 当12

=e 1a -，12

e

2

b =时，②式成立， 故f (x )≥

12

x 2

＋ax ＋b . 综合得，(a ＋1)b 的最大值为

e 2

. 4. 【2009全国卷Ⅰ，理22】

设函数)(x f =x 3

+3bx 2

+3cx 有两个极值点x 1、x 2，且x 1∈－1，0］，x 2∈1,2］.

（Ⅰ）求b 、c 满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点（b ， c ）的区域；

(Ⅱ)证明：－10≤f(x 2)≤2

1-

.

满足这些条件的点（b,c)的区域为图中阴影部分.

（Ⅱ）由题设知f′(x 2)=3x 22

+6bx 2+3c=0,故c x bx 2

121222--=. 于是f(x 2)=x 22

+3bx 22

+3cx 2=2322

321x c

x +-

. 由于x 2∈1,2］,而由（Ⅰ）知c≤0,故 -4+3c≤f(x 2)≤c 2

3

21+-

. 又由（Ⅰ）知-2≤c≤0,

所以-10≤f(x 2)≤2

1-

. 5. 【2008全国1，理19】（本小题满分12分） 已知函数3

2

()1f x x ax x =+++，a ∈R ． （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调区间；

（Ⅱ）设函数()f x 在区间2

133⎛⎫

--

⎪⎝⎭

，内是减函数，求的取值范围．

（2

）2

331

3

a ⎧--⎪⎪-≤，且23a >解得：7

4

a ≥

二．能力题组

1. 【2011全国新课标，理9】

由曲线y =直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为( )

A ．

10

3

B ． 4

C ．

16

3

D ． 6

【答案】C 【解析】

2. 【2011全国，理8】曲线y ＝e －2x

＋1在点(0，2)处的切线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角

形的面积为( ) A.

13 B ．12 C ．2

3

D ．1 【答案】：A

【解析】：200|(2)|2x x x y e -=='=-=-，故曲线21x

y e

-=+在点（0,2）处的切线方程为

22y x =-+，易得切线与直线0y =和y x =围成的三角形的面积为13

。

3. 【2009全国卷Ⅰ，理9】已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切，则a 的值为（ ） A.1 B.2 C.-1 D.-2 【答案】B

4. 【2008全国1，理7】设曲线1

1

x y x +=-在点(32)，处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a =（ ） A ．2

B ．

12

C ．12

-

D ．2-

【答案】D.

【解析】由()

32

1221

1,','|,2,21121x x y y y a a x x x =+=

=+=-=--==----. 5. 【2014课标Ⅰ，理21】（12分）设函数1

()ln x x

be f x ae x x

-=+，曲线()y f x =在点(1,(1))

f 处的切线方程为(1) 2.y e x =-+ （I ）求,;a b

（II ）证明：() 1.f x >

【答案】（I ）1,2a b ==；（II ）详见解析.