14-15版：2.1 算法的基本思想(一)(创新设计)
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预习导学 高中数学 · 必修3· 北师版
1
算法的基本思想
第二章
算法初步
§1 算法的基本思想
预习导学
课堂讲义
当堂检测
预习导学
1
算法的基本思想
[学习目标 ]
1．初步感受算法的思想，理解算法的含义． 2．体会设计算法的基本思路． 3．明确算法的特征． [知识链接]
代入法 解二元一次方程组 (1)初中时，可以通过_______
(10)由于f(0.75)· f(0.875)<0，可得新的有解区间[0.75，
0.875]，0.875－0.75＝0.125>0.1； (11)取[0.75，0.875]的区间中点0.812 5；
(12)计算f(0.812 5)＝0.196 533 203 125；
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答案 (2)计算总分 D＝A＋B＋C D (3)计算平均分 E＝ 3
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1
算法的基本思想
1．算法的特点：有限性、确定性、可行性、不唯一性、普遍 性．
2．算法设计的要求：
(1)写出的算法必须能够解决一类问题(如判断一个整数是否为 质数，求任意一个方程的近似解等)，并且能够重复使用．
的步骤操作，输出确定结果．
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1
算法的基本思想
5．已知一个学生的语文成绩为89，数学成绩为96，外语成绩 为99，求它的总分和平均分的一个算法如下，请将其补充 完整：
(1)取A＝89，B＝96，C＝99.
(2)______________________________________________． (3)______________________________________________． (4)输出计算结果．
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1
算法的基本思想
跟踪演练3 解
设计一个算法，求98与63的最大公因数．
算法步骤如下：
(1)先将98进行素因数分解：98＝2×72；
(2)然后将63进行素因数分解：63＝32×7； (3)确定它们的公共素因数：7； (4)确定公共素因数的指数：公共素因数的指数是1； (5)最大公因数为7.
④3x>x＋1；
⑤求所有能被3整除的正数，即3，6，9，12，…. 能称为算法的有________． 答案 ①②③
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1
算法的基本思想
解析
根据算法的含义和特征：①②③都是算法；④⑤不是
算法．其中④，3x>x＋1不是一个明确的步骤，不符合明确 性；⑤的步骤是无穷的，与算法的有限性矛盾．
1．算法的概念
在解决某些问题时，需要设计出一系列可操作或可计算的 这一系 步骤，通过实施这一系列步骤来解决问题，我们把______ 列步骤 称为解决这个问题的一个算法． _______
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2．算法的性质
1
算法的基本思想
确定性 、 有限性 、 _______ 一个算法应具备的五个重要特征是_______ 可行性 、 _________ 不唯一性 、 _______ 普遍性 ． _______ 3．算法的作用
1
算法的基本思想
例3
解
求方程x3＋x2－1＝0在[0，1]上的近似解，精度为0.1.
设f(x)＝x3＋x2－1， (1)因为f(0)＝－1，f(1)＝1，f(0)· f(1)<0，则区间[0，1]为有 解区间；
Fra Baidu bibliotek
(2)取[0，1]的区间中点0.5；
(3)计算f(0.5)＝－0.625； (4)由于f(0.5)· f(1)<0，可得新的有解区间[0.5，1]，1－0.5
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1
算法的基本思想
4．计算下列各式中的S值，能设计算法求解的是
(
)
①S＝1＋2＋3＋…＋100；②S＝1＋2＋3＋…＋100＋…；
③S＝1＋2＋3＋…＋n(n≥1，n∈N)．
A．①② 答案 解析 B 由算法的有限性知②不正确，而①③都可通过有限 B．①③ C．②③ D．①②③
＝0.5>0.1；
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(5)取[0.5，1]的区间中点0.75；
1
算法的基本思想
(6)计算f(0.75)＝－0.015 625；
(7)由于f(0.75)· f(1)<0，可得新的有解区间[0.75，1]，1－0.75 ＝0.25>0.1； (8)取[0.75，1]的区间中点0.875； (9)计算f(0.875)＝0.435 546 875；
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1
算法的基本思想
解
由于算法具有有穷性、确定性、输出性等特点，因而②
1.算法实际上是解决问题的一种程序性方法，它
③④正确，而解决某类问题的算法不一定唯一，从而①错． 规律方法 通常解决某一个或一类问题，在用算法解决问题时，显然体 现了特殊与一般的数学思想．
2．算法的特点有：①有限性，②确定性，③顺序性与正确
程序 ，只要按照 步骤 或_____ (1)算法是解决某类问题的一系列_____ 这些步骤执行，都能使问题得到解决．一般来说，“用算
法解决问题”都是可以利用计算机 _______帮助完成的．
代替人 完成某些工 (2)现代算法的作用之一是使计算机能_______ 作，这是学习算法的重要原因之一．
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要点二 例2 算法的设计
1
算法的基本思想
(1)设计一个算法，判断7是否为质数．
(2)设计一个算法，判断35是否为质数．
解
(1)①用2除7，得到余数1，所以2不能整除7.
②用3除7，得到余数1，所以3不能整除7. ③用4除7，得到余数3，所以4不能整除7. ④用5除7，得到余数2，所以5不能整除7. ⑤用6除7，得到余数1，所以6不能整除7. 因此，7是质数．
x－2y＝－1， 2x＋y＝1.
① ②
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1
算法的基本思想
1 和_____ 本身 整除的大于1的整数叫质数． (2)只能够被__ f(a)· f(b)<0的函数f(x)，通 (3)对于区间[a，b]上连续不断且_________ 过不断把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的 两个端点逐渐逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做 二分法 ． _______ [预习导引]
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1
算法的基本思想
要点一 例1
算法的概念 ( )
下列关于算法的说法，正确的个数有
①求解某一类问题的算法是唯一的；
②算法必须在有限步操作之后停止； ③算法的每一步操作必须是明确的，不能有歧义或模糊； ④算法执行后一定产生确定的结果． A．1 B．2 C．3 D．4
答案
C
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算法的基本思想
2．下列四种自然语言叙述中，能称作算法的是
A．在家里一般是妈妈做饭 B．做米饭需要刷锅、淘米、添水、加热这些步骤 C．在野外做饭叫野炊 D．做饭必须要有米
(
)
答案
解析
B
算法是做一件事情或解决一个问题等的程序或步
骤，故选B.
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1
算法的基本思想
(2)①用2除35，得到余数1，所以2不能整除35. ②用3除35，得到余数2，所以3不能整除35. ③用4除35，得到余数3，所以4不能整除35. ④用5除35，得到余数0，所以5能整除35. 因此，35不是质数． 规律方法 设计一个具体问题的算法，通常按以下步骤：
(2)要使算法尽量简单，步骤尽量少．
(3)要保证算法正确，且算法步骤能够一步一步执行，每一步 执行的操作必须确切，不能含混不清，而且在有限步后能得 到结果．
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1
算法的基本思想
再见
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(1)认真分析问题，找出解决此题的一般数学方法；
(2)借助有关变量或参数对算法加以表述； (3)将解决问题的过程划分为若干步骤； (4)用简练的语言将这个步骤表示出来．
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跟踪演练2 何设计？ 解 第一步，给定一个大于2的整数n.
1
算法的基本思想
判断一个大于2的整数是否为质数的算法步骤如
1
算法的基本思想
(13)由于f(0.75)· f(0.812 5)<0，可得新的有解区间[0.75，0.812 5]，0.812 5－0.75＝0.062 5<0.1.
所以，区间[0.75，0.812 5]中的任一数值，都可以作为方程的
近似解． 规律方法 二分法求方程近似解的基本思想：逐渐缩小有解 区间的长度，直到满足精度的要求．这种方法可以应用于求 一元非线性方程的近似解．
(1)令i＝2.
(2)用i除n，得到余数r. (3)判断“r＝0”是否成立．若是，则n不是质数，结束算法；
否则，将i的值增加1，仍用i表示．
(4)判断“i>n－1”是否成立．若是，则n是质数，结束算法； 否则，返回第3步．
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要点三 算法的应用 通过下列步骤求得方程的近似解：
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算法的基本思想
1．下列关于算法的描述正确的是 A．算法与求解一个问题的方法相同
(
)
B．算法只能解决一个问题，不能重复使用
C．算法过程要一步一步执行 D．有的算法执行完以后，可能没有结果 答案 解析 C 算法与求解一个问题的方法既有区别又有联系，故
A不对．算法能够重复使用，故B不对．每一个算法执行 完以后，必须有结果，故D不对．
性，④不唯一性，⑤普遍性．解答有关算法的概念判断题应 根据算法的这五大特点．
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跟踪演练1 下列叙述中，
1
算法的基本思想
①植树需要运苗、挖坑、栽苗、浇水这些步骤； ②按顺序进行下列运算：1＋1＝2，2＋1＝3，3＋1＝4，…， 99＋1＝100； ③从青岛乘动车到济南，再从济南乘飞机到沈阳观看全运会 开幕式；
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1
算法的基本思想
3．在用二分法求方程零点的算法中，下列说法正确的是(
A．这个算法可以求所有的零点 B．这个算法可以求任何方程的零点 C．这个算法能求所有零点的近似解 D．这个算法可以求变号零点近似解
)
答案
解析
D
二分法的理论依据是函数的零点存在定理．它解决
的是求变号零点的问题，并不能求所有零点的近似值．
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第二章
算法初步
§1 算法的基本思想
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算法的基本思想
[学习目标 ]
1．初步感受算法的思想，理解算法的含义． 2．体会设计算法的基本思路． 3．明确算法的特征． [知识链接]
代入法 解二元一次方程组 (1)初中时，可以通过_______
(10)由于f(0.75)· f(0.875)<0，可得新的有解区间[0.75，
0.875]，0.875－0.75＝0.125>0.1； (11)取[0.75，0.875]的区间中点0.812 5；
(12)计算f(0.812 5)＝0.196 533 203 125；
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答案 (2)计算总分 D＝A＋B＋C D (3)计算平均分 E＝ 3
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算法的基本思想
1．算法的特点：有限性、确定性、可行性、不唯一性、普遍 性．
2．算法设计的要求：
(1)写出的算法必须能够解决一类问题(如判断一个整数是否为 质数，求任意一个方程的近似解等)，并且能够重复使用．
的步骤操作，输出确定结果．
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算法的基本思想
5．已知一个学生的语文成绩为89，数学成绩为96，外语成绩 为99，求它的总分和平均分的一个算法如下，请将其补充 完整：
(1)取A＝89，B＝96，C＝99.
(2)______________________________________________． (3)______________________________________________． (4)输出计算结果．
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算法的基本思想
跟踪演练3 解
设计一个算法，求98与63的最大公因数．
算法步骤如下：
(1)先将98进行素因数分解：98＝2×72；
(2)然后将63进行素因数分解：63＝32×7； (3)确定它们的公共素因数：7； (4)确定公共素因数的指数：公共素因数的指数是1； (5)最大公因数为7.
④3x>x＋1；
⑤求所有能被3整除的正数，即3，6，9，12，…. 能称为算法的有________． 答案 ①②③
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算法的基本思想
解析
根据算法的含义和特征：①②③都是算法；④⑤不是
算法．其中④，3x>x＋1不是一个明确的步骤，不符合明确 性；⑤的步骤是无穷的，与算法的有限性矛盾．
1．算法的概念
在解决某些问题时，需要设计出一系列可操作或可计算的 这一系 步骤，通过实施这一系列步骤来解决问题，我们把______ 列步骤 称为解决这个问题的一个算法． _______
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2．算法的性质
1
算法的基本思想
确定性 、 有限性 、 _______ 一个算法应具备的五个重要特征是_______ 可行性 、 _________ 不唯一性 、 _______ 普遍性 ． _______ 3．算法的作用
1
算法的基本思想
例3
解
求方程x3＋x2－1＝0在[0，1]上的近似解，精度为0.1.
设f(x)＝x3＋x2－1， (1)因为f(0)＝－1，f(1)＝1，f(0)· f(1)<0，则区间[0，1]为有 解区间；
Fra Baidu bibliotek
(2)取[0，1]的区间中点0.5；
(3)计算f(0.5)＝－0.625； (4)由于f(0.5)· f(1)<0，可得新的有解区间[0.5，1]，1－0.5
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算法的基本思想
4．计算下列各式中的S值，能设计算法求解的是
(
)
①S＝1＋2＋3＋…＋100；②S＝1＋2＋3＋…＋100＋…；
③S＝1＋2＋3＋…＋n(n≥1，n∈N)．
A．①② 答案 解析 B 由算法的有限性知②不正确，而①③都可通过有限 B．①③ C．②③ D．①②③
＝0.5>0.1；
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(5)取[0.5，1]的区间中点0.75；
1
算法的基本思想
(6)计算f(0.75)＝－0.015 625；
(7)由于f(0.75)· f(1)<0，可得新的有解区间[0.75，1]，1－0.75 ＝0.25>0.1； (8)取[0.75，1]的区间中点0.875； (9)计算f(0.875)＝0.435 546 875；
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解
由于算法具有有穷性、确定性、输出性等特点，因而②
1.算法实际上是解决问题的一种程序性方法，它
③④正确，而解决某类问题的算法不一定唯一，从而①错． 规律方法 通常解决某一个或一类问题，在用算法解决问题时，显然体 现了特殊与一般的数学思想．
2．算法的特点有：①有限性，②确定性，③顺序性与正确
程序 ，只要按照 步骤 或_____ (1)算法是解决某类问题的一系列_____ 这些步骤执行，都能使问题得到解决．一般来说，“用算
法解决问题”都是可以利用计算机 _______帮助完成的．
代替人 完成某些工 (2)现代算法的作用之一是使计算机能_______ 作，这是学习算法的重要原因之一．
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要点二 例2 算法的设计
1
算法的基本思想
(1)设计一个算法，判断7是否为质数．
(2)设计一个算法，判断35是否为质数．
解
(1)①用2除7，得到余数1，所以2不能整除7.
②用3除7，得到余数1，所以3不能整除7. ③用4除7，得到余数3，所以4不能整除7. ④用5除7，得到余数2，所以5不能整除7. ⑤用6除7，得到余数1，所以6不能整除7. 因此，7是质数．
x－2y＝－1， 2x＋y＝1.
① ②
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1 和_____ 本身 整除的大于1的整数叫质数． (2)只能够被__ f(a)· f(b)<0的函数f(x)，通 (3)对于区间[a，b]上连续不断且_________ 过不断把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的 两个端点逐渐逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做 二分法 ． _______ [预习导引]
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要点一 例1
算法的概念 ( )
下列关于算法的说法，正确的个数有
①求解某一类问题的算法是唯一的；
②算法必须在有限步操作之后停止； ③算法的每一步操作必须是明确的，不能有歧义或模糊； ④算法执行后一定产生确定的结果． A．1 B．2 C．3 D．4
答案
C
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1
算法的基本思想
2．下列四种自然语言叙述中，能称作算法的是
A．在家里一般是妈妈做饭 B．做米饭需要刷锅、淘米、添水、加热这些步骤 C．在野外做饭叫野炊 D．做饭必须要有米
(
)
答案
解析
B
算法是做一件事情或解决一个问题等的程序或步
骤，故选B.
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1
算法的基本思想
(2)①用2除35，得到余数1，所以2不能整除35. ②用3除35，得到余数2，所以3不能整除35. ③用4除35，得到余数3，所以4不能整除35. ④用5除35，得到余数0，所以5能整除35. 因此，35不是质数． 规律方法 设计一个具体问题的算法，通常按以下步骤：
(2)要使算法尽量简单，步骤尽量少．
(3)要保证算法正确，且算法步骤能够一步一步执行，每一步 执行的操作必须确切，不能含混不清，而且在有限步后能得 到结果．
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算法的基本思想
再见
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(1)认真分析问题，找出解决此题的一般数学方法；
(2)借助有关变量或参数对算法加以表述； (3)将解决问题的过程划分为若干步骤； (4)用简练的语言将这个步骤表示出来．
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跟踪演练2 何设计？ 解 第一步，给定一个大于2的整数n.
1
算法的基本思想
判断一个大于2的整数是否为质数的算法步骤如
1
算法的基本思想
(13)由于f(0.75)· f(0.812 5)<0，可得新的有解区间[0.75，0.812 5]，0.812 5－0.75＝0.062 5<0.1.
所以，区间[0.75，0.812 5]中的任一数值，都可以作为方程的
近似解． 规律方法 二分法求方程近似解的基本思想：逐渐缩小有解 区间的长度，直到满足精度的要求．这种方法可以应用于求 一元非线性方程的近似解．
(1)令i＝2.
(2)用i除n，得到余数r. (3)判断“r＝0”是否成立．若是，则n不是质数，结束算法；
否则，将i的值增加1，仍用i表示．
(4)判断“i>n－1”是否成立．若是，则n是质数，结束算法； 否则，返回第3步．
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要点三 算法的应用 通过下列步骤求得方程的近似解：
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算法的基本思想
1．下列关于算法的描述正确的是 A．算法与求解一个问题的方法相同
(
)
B．算法只能解决一个问题，不能重复使用
C．算法过程要一步一步执行 D．有的算法执行完以后，可能没有结果 答案 解析 C 算法与求解一个问题的方法既有区别又有联系，故
A不对．算法能够重复使用，故B不对．每一个算法执行 完以后，必须有结果，故D不对．
性，④不唯一性，⑤普遍性．解答有关算法的概念判断题应 根据算法的这五大特点．
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跟踪演练1 下列叙述中，
1
算法的基本思想
①植树需要运苗、挖坑、栽苗、浇水这些步骤； ②按顺序进行下列运算：1＋1＝2，2＋1＝3，3＋1＝4，…， 99＋1＝100； ③从青岛乘动车到济南，再从济南乘飞机到沈阳观看全运会 开幕式；
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1
算法的基本思想
3．在用二分法求方程零点的算法中，下列说法正确的是(
A．这个算法可以求所有的零点 B．这个算法可以求任何方程的零点 C．这个算法能求所有零点的近似解 D．这个算法可以求变号零点近似解
)
答案
解析
D
二分法的理论依据是函数的零点存在定理．它解决
的是求变号零点的问题，并不能求所有零点的近似值．