第二章2(接张超的)
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前面的章节讨论了平稳时间序列的 AR(p)、MA(q)、ARMA(p,q)模型，下面我们介绍非平稳条 件下的几类模型 ARIMA 季节模型 带确定时间趋势的过程 长记忆模型 2.7 单位根非平稳性 前面我们讨论了可写成形如
yt i t i ( L) t
i 0
t 1
T
(1/ T )(1/ 5) E ( t2 2 ) 2 0
得证 由定理 7.8， (1/
L T ) (t / T ) t N (0, 2 / 3) t 1 T
最后考察两个元素的联合分布。 元素的任意线性组合形如 (1/ T ) [1 2 (t / T )] t ， 该序
i 1, i
任何过去的扰动对
pt 的影响不随时间衰减：强记忆性
特征根在单位圆内的情况 一阶自回归模型
(1 B)rt at
当 | | 1 时，模型是平稳的。考虑 2 时的情况
可以看到，a 的作用对未来部分几乎不产生影响。 2.7.2 描述同质性非平稳过程的一般模型（差分的意义） 随机游动模型可以看成是 AR(1)模型存在单位根的状况。 到目前为止我们已经看到，若特征根在单位圆外，ARMA 平稳。若根在单位圆内，过程呈现 爆炸性的非平稳特征。对我们来说，可供选择的唯一情形就是特征根在单位圆上了，由此而 得出的模型对于描述同质非平稳时间序列是及其重要的。
t t
1 2 T 1/2 0 T 1 T t 2 2 3/2 3 2 0 T T t T t
1 1 1 {rT [ X t X t ']rT } Q, Q t 1 1 2
{rT 1[ X t X t ']rT 1}1{rT 1[ X t t ]}
t 1 t 1
T
T
考察第一项
1/2 0 1 T {rT [ X t X t ']rT } 3/2 0 T t 1 t 1 T 1
E ( yt s | yt , yt 1 ,...) 收敛于无条件均值：
lim yt s|t
s
对于很多在实践中碰到的经济和金融时间序列，这些假设是没有吸引力的。例：
所以我们必须寻找新的模型进行拟合、预测。 2.7.1 非平稳的一阶回归过程 随机游动 若时间序列 { pt } 满足
pt pt 1 at
其中
p0 是一个实数，表示这个过程的起始值， {at } 是一个白噪声序列，则称 { pt } 为一个随
机游动。如果我们把随机游动模型看成一个特殊的 AR(1)模型，那么
pt 1 的系数是
1，不满
足平稳性条件。从而，随机游动序列不是弱平稳的，称之为单位根非平稳序列。 随机游动的性质： 不是可预测的或均值回转的，强记忆性 随机游动模型的 MA 表示为
2.7.3 含确定性时间趋势的过程 图 15.1 显示的是美国自二战以来的名义国民生产总值的水平。这一序列具有向上的时间趋 势，任何关于这一序列的预测都须考虑这一向上的趋势。 为此，我们须引入时间趋势 模型一：带漂移的随机游动
pt pt 1 at
可以看到， 表示了序列的时间趋势。为了说明这一点，假设初始价格为
t 1
T
OLS 估计 aT ， T 具有不同的渐近收敛率。为了得到非退化的极限分布， aT 须乘以 T ，
T 须乘以 T 3/2 。考虑如下调整，将误差向量左乘矩阵 rT
T 0 ，结果得 3/2 0 T
T T T T T (aT a) 1 1 1 3/2 rT [ X t X t '] [ X t t ] rT [ X t X t '] rT rT [ X t t ] t 1 t 1 t 1 t 1 T (T )
yt a t t ，其中 t 为白噪声（不一定为高斯白噪声） ，零均值，方差为 2 ，四阶矩有
限 写成标准回归模型形式
yt X t ' t
其中 X t '(1*2) 1, t ， (2*1)
a
令 bT 表示 基于容量 T 的样本的 OLS 估计
T
1 2 1 3
考察第二项
T T 1/2 0 t (1/ T ) t rT 1[ X t t ] 3/2 t 0 T t 1 (1/ T ) ( t / T ) t t
由此我们看到，上述模型相当于假定序列经 d 阶差分后能表示为平稳可逆的 ARMA 过程。 另一方面，当 d
1 时将差分过程逆转得出
zt S d wt
其中 S 是由下式定义的无穷和算子
t
Sxt
故S
h
x
h
(1 B B 2 ...) xt (1 B) 1 xt 1 xt
T T aT bT [ X t X t ']1[ X t yt ] t 1 T t 1
OLS 估计距真实值的偏离可表示作
(bT ) [ X t X t ']1[ X t t ]
t 1 t 1
T
T
按照通常的 OLS 回归参数分布估计的方法
( B)( zt c) ( B) zt , c
( B) 1 ( B)(1 B) 1 ( B)
我们要求的同质性排除了 wt
zt 呈爆炸性增长的可能， 意味着 1 ( B) 是平稳时间序列算子，
或 1 ( B) 2 ( B)(1 B) 。对后一种情况，同样的讨论又可用于二阶差分，如此等等。
p0 ，我们有
p1 p0 a1 p2 p1 a2 2 p0 a2 a1 ... pt t p0 at i
i 0 t 1
模型二：带趋势项的时间序列
pt 0 1t rt ， rt 平稳，例如平稳 AR(p)序列
模型的区别： 模型一 E ( pt )
t 1 t 1
T
E ((1/ T ) [(t / T ) t ] (1/ T ) (t / T ) 2 2 ) 2
2 t 1 T t 1
T
T
E[(1/ T ) (t / T ) 2 ( t 2 2 )]2
t 1
(1/ T )(1/ T ) (t / T ) 4 E ( t2 2 ) 2
考虑模型
( B) zt ( B)at
其中 ( B) 0 有 d 个单位根，其余的根都在单位圆外，模型可以表示成
( B) zt ( B)(1 B)d zt ( B)at
设 1 B 是差分算子，我们可以将模型写为
( B)wt ( B)at 及 wt d zt
由中心极限定理
L (1/ T ) t N (0, 2 ) t 1 T
为求第二个元素的分布，在这里给出定理 7.8（鞅差分序列的中心极限定理） 定理 7.8 令 {Y }
T
t t 1 为一个鞅差分序列， T
Y (1/ T ) Yt 。假定（a） E (Yt 2 ) t 2 0 ，且
t 2 E[(t / T ) t ]2 2 (t 2 / T 2 )
(1/ T ) t2 2 (1/ T 3 ) t 2 2 / 3
t 1 t 1 T T
下面证明 (1/ T )
T
[(t / T ) ]
t 1 t
T
2
p 2 / 3
E ((1/ T ) [(t / T ) t ]2 (1/ T ) t2 ) 2
的单元时间序列模型，其中
|
j 0
j
| ， ( z ) 0 的根全落在单位圆之外，{ t } 是一个白
噪声序列，其均值为零，方差为 2 。这里重复一下这个过程的两个特征。首先，这个变量 的无条件期望是个常数，独立于观察值的时期：
E ( yt )
第二，当人们想预测未来时，预测 yt s|t
T
v 1
) t v 1/ (v 1)
t 1
T
在这里，
X X
t 1 t
1 ' t t
t t
T 2 T (T 1) / 2
T (T 1)(2T 1) / 6
T (T 1) / 2
(1/ T ) X t X t ' 发散，无法求逆，须采取与平稳情形不同的方法
L N (0, 2Q )，即有 T (bT ) N (0, 2Q1 )
而在这里
aT a 1 T t
t t
t 2 t t
1
为了将来引证，注意到 (1/ T
T (bT ) [(1/ T ) X t X t ']1[(1/ T ) X t t ]
t 1 t 1
T
T
通 常 假 设 (1 /T
) X t X t '收 敛 于 一 个 非 奇 异 矩 阵 Q 而 (1/ T ) X t t 依 分 布 收 敛 于
t 1
T
T
t 1
pt at i p0
i 0
t 1
故有
ph (l ) ph
eh (l ) ah i 对所有的步长，点预测都是序列在预测原点的值：不是均值回转的
i 1
l
2 Var[eh (l )] l a , l
随着预测步长的的增大，预测区间的长度将趋于无穷，点预测变得没有用处，再次说明了不 可预测性。
(1 B)1 1
算子 S 2 可类似的定义为
S 2 xt Sxt Sxt 1 Sxt 2 ...
i h
x
t
i
h
(1 2 B 3B 2 ...) xt
对高阶 d 可以定义同样的运算。故原过程可以通过差分后的平稳过程作 d 重求和得到。 因此，我们称该过程为求和自回归滑动平均（ARIMA 过程） 。 自回归算子 ( B) 是 p 阶， 差分次数取为 d， 滑动平均算子 ( B) 是 q 阶， 我们便称之为(p,d,q) 阶的 ARIMA 模型，或简称 ARIMA(p,d,q)过程 ARIMA 过程的解释 同质性：序列的一部分和其他部分非常相似，只是在垂直方向上位置不同。 如果我们要采用一种模型，以使过程的特性与其水平无关，那么必须选择回归算子 ( B) 使 得
2 p0 t , Var ( pt ) t a
模型二 E ( pt ) 0 1t , Var ( pt ) Var (rt ) 下面我们重点讨论带趋势项的时间序列 2.8 含确定时间趋势的过程 含单位根或确定性时间趋势的回归模型的系数一般都用最小二乘法来估计， 但是， 系数估计 的渐近分布不能用与含平稳变量的回归模型同样的方法来计算。 其他困难之一是不同参数的 估计一般地具有不同的渐近收敛率。 2.8.1 简单时间趋势模型的 OLS 估计的渐近分布 本节考察一个简单时间趋势的参数的 OLS 估计
t 1
T
(1/ T ) t 2 2 0 ，（ b ） E | Yt |r 关 于 一 些 r 2 及 全 部 t 成 立 ， （c）
t 1
p L (1/ T ) Yt 2 2 。则 TYt N (0, 2 ) t 1
T
下面证明 {(t / T ) t } 满足定理条件
yt i t i ( L) t
i 0
t 1
T
(1/ T )(1/ 5) E ( t2 2 ) 2 0
得证 由定理 7.8， (1/
L T ) (t / T ) t N (0, 2 / 3) t 1 T
最后考察两个元素的联合分布。 元素的任意线性组合形如 (1/ T ) [1 2 (t / T )] t ， 该序
i 1, i
任何过去的扰动对
pt 的影响不随时间衰减：强记忆性
特征根在单位圆内的情况 一阶自回归模型
(1 B)rt at
当 | | 1 时，模型是平稳的。考虑 2 时的情况
可以看到，a 的作用对未来部分几乎不产生影响。 2.7.2 描述同质性非平稳过程的一般模型（差分的意义） 随机游动模型可以看成是 AR(1)模型存在单位根的状况。 到目前为止我们已经看到，若特征根在单位圆外，ARMA 平稳。若根在单位圆内，过程呈现 爆炸性的非平稳特征。对我们来说，可供选择的唯一情形就是特征根在单位圆上了，由此而 得出的模型对于描述同质非平稳时间序列是及其重要的。
t t
1 2 T 1/2 0 T 1 T t 2 2 3/2 3 2 0 T T t T t
1 1 1 {rT [ X t X t ']rT } Q, Q t 1 1 2
{rT 1[ X t X t ']rT 1}1{rT 1[ X t t ]}
t 1 t 1
T
T
考察第一项
1/2 0 1 T {rT [ X t X t ']rT } 3/2 0 T t 1 t 1 T 1
E ( yt s | yt , yt 1 ,...) 收敛于无条件均值：
lim yt s|t
s
对于很多在实践中碰到的经济和金融时间序列，这些假设是没有吸引力的。例：
所以我们必须寻找新的模型进行拟合、预测。 2.7.1 非平稳的一阶回归过程 随机游动 若时间序列 { pt } 满足
pt pt 1 at
其中
p0 是一个实数，表示这个过程的起始值， {at } 是一个白噪声序列，则称 { pt } 为一个随
机游动。如果我们把随机游动模型看成一个特殊的 AR(1)模型，那么
pt 1 的系数是
1，不满
足平稳性条件。从而，随机游动序列不是弱平稳的，称之为单位根非平稳序列。 随机游动的性质： 不是可预测的或均值回转的，强记忆性 随机游动模型的 MA 表示为
2.7.3 含确定性时间趋势的过程 图 15.1 显示的是美国自二战以来的名义国民生产总值的水平。这一序列具有向上的时间趋 势，任何关于这一序列的预测都须考虑这一向上的趋势。 为此，我们须引入时间趋势 模型一：带漂移的随机游动
pt pt 1 at
可以看到， 表示了序列的时间趋势。为了说明这一点，假设初始价格为
t 1
T
OLS 估计 aT ， T 具有不同的渐近收敛率。为了得到非退化的极限分布， aT 须乘以 T ，
T 须乘以 T 3/2 。考虑如下调整，将误差向量左乘矩阵 rT
T 0 ，结果得 3/2 0 T
T T T T T (aT a) 1 1 1 3/2 rT [ X t X t '] [ X t t ] rT [ X t X t '] rT rT [ X t t ] t 1 t 1 t 1 t 1 T (T )
yt a t t ，其中 t 为白噪声（不一定为高斯白噪声） ，零均值，方差为 2 ，四阶矩有
限 写成标准回归模型形式
yt X t ' t
其中 X t '(1*2) 1, t ， (2*1)
a
令 bT 表示 基于容量 T 的样本的 OLS 估计
T
1 2 1 3
考察第二项
T T 1/2 0 t (1/ T ) t rT 1[ X t t ] 3/2 t 0 T t 1 (1/ T ) ( t / T ) t t
由此我们看到，上述模型相当于假定序列经 d 阶差分后能表示为平稳可逆的 ARMA 过程。 另一方面，当 d
1 时将差分过程逆转得出
zt S d wt
其中 S 是由下式定义的无穷和算子
t
Sxt
故S
h
x
h
(1 B B 2 ...) xt (1 B) 1 xt 1 xt
T T aT bT [ X t X t ']1[ X t yt ] t 1 T t 1
OLS 估计距真实值的偏离可表示作
(bT ) [ X t X t ']1[ X t t ]
t 1 t 1
T
T
按照通常的 OLS 回归参数分布估计的方法
( B)( zt c) ( B) zt , c
( B) 1 ( B)(1 B) 1 ( B)
我们要求的同质性排除了 wt
zt 呈爆炸性增长的可能， 意味着 1 ( B) 是平稳时间序列算子，
或 1 ( B) 2 ( B)(1 B) 。对后一种情况，同样的讨论又可用于二阶差分，如此等等。
p0 ，我们有
p1 p0 a1 p2 p1 a2 2 p0 a2 a1 ... pt t p0 at i
i 0 t 1
模型二：带趋势项的时间序列
pt 0 1t rt ， rt 平稳，例如平稳 AR(p)序列
模型的区别： 模型一 E ( pt )
t 1 t 1
T
E ((1/ T ) [(t / T ) t ] (1/ T ) (t / T ) 2 2 ) 2
2 t 1 T t 1
T
T
E[(1/ T ) (t / T ) 2 ( t 2 2 )]2
t 1
(1/ T )(1/ T ) (t / T ) 4 E ( t2 2 ) 2
考虑模型
( B) zt ( B)at
其中 ( B) 0 有 d 个单位根，其余的根都在单位圆外，模型可以表示成
( B) zt ( B)(1 B)d zt ( B)at
设 1 B 是差分算子，我们可以将模型写为
( B)wt ( B)at 及 wt d zt
由中心极限定理
L (1/ T ) t N (0, 2 ) t 1 T
为求第二个元素的分布，在这里给出定理 7.8（鞅差分序列的中心极限定理） 定理 7.8 令 {Y }
T
t t 1 为一个鞅差分序列， T
Y (1/ T ) Yt 。假定（a） E (Yt 2 ) t 2 0 ，且
t 2 E[(t / T ) t ]2 2 (t 2 / T 2 )
(1/ T ) t2 2 (1/ T 3 ) t 2 2 / 3
t 1 t 1 T T
下面证明 (1/ T )
T
[(t / T ) ]
t 1 t
T
2
p 2 / 3
E ((1/ T ) [(t / T ) t ]2 (1/ T ) t2 ) 2
的单元时间序列模型，其中
|
j 0
j
| ， ( z ) 0 的根全落在单位圆之外，{ t } 是一个白
噪声序列，其均值为零，方差为 2 。这里重复一下这个过程的两个特征。首先，这个变量 的无条件期望是个常数，独立于观察值的时期：
E ( yt )
第二，当人们想预测未来时，预测 yt s|t
T
v 1
) t v 1/ (v 1)
t 1
T
在这里，
X X
t 1 t
1 ' t t
t t
T 2 T (T 1) / 2
T (T 1)(2T 1) / 6
T (T 1) / 2
(1/ T ) X t X t ' 发散，无法求逆，须采取与平稳情形不同的方法
L N (0, 2Q )，即有 T (bT ) N (0, 2Q1 )
而在这里
aT a 1 T t
t t
t 2 t t
1
为了将来引证，注意到 (1/ T
T (bT ) [(1/ T ) X t X t ']1[(1/ T ) X t t ]
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T
T
通 常 假 设 (1 /T
) X t X t '收 敛 于 一 个 非 奇 异 矩 阵 Q 而 (1/ T ) X t t 依 分 布 收 敛 于
t 1
T
T
t 1
pt at i p0
i 0
t 1
故有
ph (l ) ph
eh (l ) ah i 对所有的步长，点预测都是序列在预测原点的值：不是均值回转的
i 1
l
2 Var[eh (l )] l a , l
随着预测步长的的增大，预测区间的长度将趋于无穷，点预测变得没有用处，再次说明了不 可预测性。
(1 B)1 1
算子 S 2 可类似的定义为
S 2 xt Sxt Sxt 1 Sxt 2 ...
i h
x
t
i
h
(1 2 B 3B 2 ...) xt
对高阶 d 可以定义同样的运算。故原过程可以通过差分后的平稳过程作 d 重求和得到。 因此，我们称该过程为求和自回归滑动平均（ARIMA 过程） 。 自回归算子 ( B) 是 p 阶， 差分次数取为 d， 滑动平均算子 ( B) 是 q 阶， 我们便称之为(p,d,q) 阶的 ARIMA 模型，或简称 ARIMA(p,d,q)过程 ARIMA 过程的解释 同质性：序列的一部分和其他部分非常相似，只是在垂直方向上位置不同。 如果我们要采用一种模型，以使过程的特性与其水平无关，那么必须选择回归算子 ( B) 使 得
2 p0 t , Var ( pt ) t a
模型二 E ( pt ) 0 1t , Var ( pt ) Var (rt ) 下面我们重点讨论带趋势项的时间序列 2.8 含确定时间趋势的过程 含单位根或确定性时间趋势的回归模型的系数一般都用最小二乘法来估计， 但是， 系数估计 的渐近分布不能用与含平稳变量的回归模型同样的方法来计算。 其他困难之一是不同参数的 估计一般地具有不同的渐近收敛率。 2.8.1 简单时间趋势模型的 OLS 估计的渐近分布 本节考察一个简单时间趋势的参数的 OLS 估计
t 1
T
(1/ T ) t 2 2 0 ，（ b ） E | Yt |r 关 于 一 些 r 2 及 全 部 t 成 立 ， （c）
t 1
p L (1/ T ) Yt 2 2 。则 TYt N (0, 2 ) t 1
T
下面证明 {(t / T ) t } 满足定理条件