平面曲线弧长的概念(精)
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平面曲线的弧长
• M n −1 •
的长度为 | M i −1 M i |, i = 1,2,L, n, 令λ = max | M i −1 M i | .
时 如果当分点无限增加, 如果当分点无限增加 且λ → 0时, 折线长度的极限
lim ∑ | M i −1 M i | 存在, 则称此极限为曲线弧 AB的 则称此极限 此极限为曲线弧 的
θ 为参数的 x = r cosθ x = r (θ ) cosθ = (α ≤ θ ≤ β ) 参数方程 y = r sinθ y = r (θ ) sin θ
′ 2 (θ )dθ 弧长元素为 弧长元素为 ds = (dx ) + (dy ) = r (θ ) + r
2 2
2
λ →0
n i =1
1≤ i ≤ n
弧长(长度). 光滑曲线弧是可求长. 弧长(长度). 光滑曲线弧是可求长
2
7.4 平面曲线的弧长
二、直角坐标情形
设曲线弧为y 设曲线弧为 = f (x) (a ≤ x ≤ b), 其中 (xwk.baidu.com在 其中f 在 [a, b]上有一阶连续导数 上有一阶连续导数 上有一阶连续导数.
=∫
3π
0
θ θ 2 a sin + a sin 3 3
6 2
4
θ cos dθ 3
高等数学(上)02-62.2 平面曲线的弧长
rr2(6>) d<9
= ^a1O2+a1
=oJl + "2 dO :.s = a[2\ll + 02d0 (P349 公式 39)
Jo?Jl + din<9 + Jl + 屮 I
2
2
2/r
I
0
=。兀』1 + 4兀2 + ；m(27T + J]+ 4/ )
因此所求弧长
S=
(6>) + /2(6>) 60
例7.求连续曲线段 "L应如d，的孤长. 解：
•/ cosx> 0, /. s=E
2
<x<^
‘2 dx
二2』2 + (Vcosx)2 dx
例8.计算摆线
x = a(t-smt)(口＞0)一 拱(0M〈2m) y = a(l- cos t)
的弧长.
y\
解：ds = ^?+（翌）2“
X
(72(1-COS/)2+(72 sin2 / dt
=oj2(l_C0S，) d t
=2^sin-d/ 2
s=「2心—泊一金_"2。-2海；& Jo 2
0 =Sa
例9.求阿基米德螺线r = a3 （口＞0）相
应于0M從2〃 一段的弓瓜长・
= ^a1O2+a1
=oJl + "2 dO :.s = a[2\ll + 02d0 (P349 公式 39)
Jo?Jl + din<9 + Jl + 屮 I
2
2
2/r
I
0
=。兀』1 + 4兀2 + ；m(27T + J]+ 4/ )
因此所求弧长
S=
(6>) + /2(6>) 60
例7.求连续曲线段 "L应如d，的孤长. 解：
•/ cosx> 0, /. s=E
2
<x<^
‘2 dx
二2』2 + (Vcosx)2 dx
例8.计算摆线
x = a(t-smt)(口＞0)一 拱(0M〈2m) y = a(l- cos t)
的弧长.
y\
解：ds = ^?+（翌）2“
X
(72(1-COS/)2+(72 sin2 / dt
=oj2(l_C0S，) d t
=2^sin-d/ 2
s=「2心—泊一金_"2。-2海；& Jo 2
0 =Sa
例9.求阿基米德螺线r = a3 （口＞0）相
应于0M從2〃 一段的弓瓜长・
6.4平面曲线的弧长
平面曲线的弧长
一、平面曲线弧长的概念 二、平面曲线弧长的计算
一、平面曲线弧长的概念
设A、B是曲线弧上的
两个端点, 在弧上插入分点 A M0 , M1 ,Mi ,
y
M2
M1
M n1 B Mn
, M n1 , M n B,
A M0
o
x
并依次连接相邻分点得一内接折线,当分点的数目无
限增加且每个小弧段都缩向一点时,
)4
(cos
)2d
0
3
3
3
a 3π (sin )2 d 3 πa.
0
3
2
例 8 求阿基米德螺线r a (a 0) 上相应于
从 0 到 2π 的弧长. 解 因为r a,
所以 s r 2 ( ) r2 ( )d
2
a 2 2 a 2d
0
2
a 0
2 1d
a 2 1 42 ln( 2 1 42 ) . 2
弧长s r 2 ( ) r2 ( )d .
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例 7 求极坐标系下曲线 r a(sin )3 的长,
3
其中a 0, 0 3π.
解
因为r
3a(sin )2 cos
1
a(sin )2
cos
,
3
33
3
3
一、平面曲线弧长的概念 二、平面曲线弧长的计算
一、平面曲线弧长的概念
设A、B是曲线弧上的
两个端点, 在弧上插入分点 A M0 , M1 ,Mi ,
y
M2
M1
M n1 B Mn
, M n1 , M n B,
A M0
o
x
并依次连接相邻分点得一内接折线,当分点的数目无
限增加且每个小弧段都缩向一点时,
)4
(cos
)2d
0
3
3
3
a 3π (sin )2 d 3 πa.
0
3
2
例 8 求阿基米德螺线r a (a 0) 上相应于
从 0 到 2π 的弧长. 解 因为r a,
所以 s r 2 ( ) r2 ( )d
2
a 2 2 a 2d
0
2
a 0
2 1d
a 2 1 42 ln( 2 1 42 ) . 2
弧长s r 2 ( ) r2 ( )d .
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例 7 求极坐标系下曲线 r a(sin )3 的长,
3
其中a 0, 0 3π.
解
因为r
3a(sin )2 cos
1
a(sin )2
cos
,
3
33
3
3
平面曲线的弧长
yi y( t i ) y(t i 1 ) y (i )t i ,i i .
'
从而曲线C 得内接折线总长为
sT xi2 yi2 x '2 ( i ) y '2 (i )t i .
i 1 i 1 n n
又因为 C 为光滑曲线 , 当 x' (t ) 0 时 , 在 t 得某 领域内 x x ( t ) 有连续得反函数 ,故当 x 0 时 t 0 ;
由于 x'2 ( t ) y'2 ( t ) 在[ , ] 上连续从而可积 , 因此根据定义 1,只需证明:
lim sT lim x '2 ( i ) y '2 ( i )t i ,
T 0 T 0 i 1 n
而后者即为
为此记
x '2 ( t ) y '2 ( t )dt .
y f ( x ), x [a , b]
表示,把它看作参数方程时,即为
x x , y f ( x ) , x [ a , b ].
所以当 f ( x) 在[ a, b] 上连续可微时,此曲线 即为一光滑曲线.这时弧长公式为
s
b
a
1 f ( x )dx .
'2
e x e x 例 2 求悬链线 y 从 x 0 到 x a (a 0 ) 2 那一段弧长. x x x x 2 e e ( e e ) ' '2 ,1 y , 解 y 2 4 由弧长公式得
7-2平面曲线的弧长及旋转体的侧面积
= r (θ ) + r ′ (θ )dθ ,
2 2
故弧长 s = ∫α r (θ ) + r ′ (θ )dθ .
β
2 2
例 4 求阿基米德螺线 r = aθ (a > 0)上相应
的弧长. 于 θ 从 0 到 2π 的弧长. 解Q
r′ = a,
β α
2π
∴ s=∫
′ 2 (θ )dθ r (θ ) + r
π
2 2 0
2
例6(980208) 设有曲线 y = x − 1, 过原点作其切线 求由此曲线、切线及 x 轴围成的平面 求由此曲线、 图形绕 x 轴旋转一周所得的旋转体 的表面积 解 设切点的横坐标为 x , 则切点为
0
( x0 , x0 − 1),
曲线 y = x − 1 在此点的切线
0
斜率为
练习题答案
a 2 1 3 5 3 2、 3、 一、1、1 + ln ； 2、 π ； 3、 + ln . 2 2 12 2 2 3 8 5 二、 [( ) 2 − 1]. 9 2 三、6a . 四、8a .
2 3 3 )a, a ) . 六、(( π − 3 2 2
S1= ∫ 2π y 1 + y′ dx = π ∫ 4 x − 3dx = (5 5 − 1). 6 1 由直线段 y = 2 x(0 ≤ x ≤ 2) 绕 x 轴旋转一
2 2
故弧长 s = ∫α r (θ ) + r ′ (θ )dθ .
β
2 2
例 4 求阿基米德螺线 r = aθ (a > 0)上相应
的弧长. 于 θ 从 0 到 2π 的弧长. 解Q
r′ = a,
β α
2π
∴ s=∫
′ 2 (θ )dθ r (θ ) + r
π
2 2 0
2
例6(980208) 设有曲线 y = x − 1, 过原点作其切线 求由此曲线、切线及 x 轴围成的平面 求由此曲线、 图形绕 x 轴旋转一周所得的旋转体 的表面积 解 设切点的横坐标为 x , 则切点为
0
( x0 , x0 − 1),
曲线 y = x − 1 在此点的切线
0
斜率为
练习题答案
a 2 1 3 5 3 2、 3、 一、1、1 + ln ； 2、 π ； 3、 + ln . 2 2 12 2 2 3 8 5 二、 [( ) 2 − 1]. 9 2 三、6a . 四、8a .
2 3 3 )a, a ) . 六、(( π − 3 2 2
S1= ∫ 2π y 1 + y′ dx = π ∫ 4 x − 3dx = (5 5 − 1). 6 1 由直线段 y = 2 x(0 ≤ x ≤ 2) 绕 x 轴旋转一
高数讲义第二节平面曲线的弧长
y a
x a cos3 t
s1
y
a
sin3
t
(0 t 2)
a
o
ax
根据对称性
a
s 4s1
第一象限部分的弧长
4 2 x2 y2dt 0
4 2 3a sin t cos tdt 6a. 0
（4）、极坐标情形
设曲线弧的方程为 r r( ) ( ) 其中 r ( ) 在[ , ]上具有连续导数.
解 r a,
s
r 2( ) r2( )d
2
2
0
a2 2 a2d a 0
2 1d
a 2 1 4 2 ln(2 1 4 2 ) . 2
x2 a2d x x 2
x2 a2 a2 ln(x 2
x2 a2 ) C ,
(a 0)
作业
习题6 2（P286 ）：22; 25; 27 ; 30
其中 f ( x)在[a, b]上有一阶连续导数
y
取积分变量为 x，x [a, b]
y f (x)
在 [a, b] 上任取小区间[ x, x dx]，
以对应小切线段的长代替小弧段的长
dy
dx
s (dx)2 (dy)2 1 y2dx o a x x dx b x
故弧长元素 ds (dx)2 (dy)2 或 ds 1பைடு நூலகம் y2dx
高数上第六章-弧长
弧长元素 ds 1 y2dx 弧长 s b 1 y2dx. a
例1
计算曲线
y
2
x
3 2
上相应于
x 从a 到b 的一
3
段弧的长度.
解
y
1
x2,
ds
1
(
x
1 2
)2
dx
1 xdx,
所求弧长为
a
b
s
b
1
xdx
2
[(1
3
b)2
(1
3
a)2 ].
a
3
x
例2. 求连续曲线段 y
cos t dt 的弧长.
四、极坐标情形
曲线弧为 r r( ) ( )
其中 ( )在[ , ]上具有连续导数.
x y
r( r(
)cos )sin
( )
ds (dx)2 (dy)2 r 2( ) r2( )d ,
弧长 s r 2( ) r2( )d .
例 5 求阿基米德螺线r a (a 0)上相应于 从0到2的弧长.
2a
si
n
d
0
2
8a.
2
2
2
例 4 求星形线 x 3 y 3 a 3 (a 0)的全长.
解 星形线的参数方程为
x a cos3 t
高等数学6.3平面曲线的弧长
且每个小段Mi1Mi都缩向一点时， 如果此折线的长 |Mi1Mi|的 极限存在， 则称此极限为曲线弧AB的弧长， 并称此曲线弧AB B Mn 是可求长的．
n i 1
定理 光滑曲线弧是可求长的．
A M0
Mn1
M1
M2
)
二、直角坐标情形
设曲线弧由直角坐标方程 yf(x) (axb) 给出，其中f(x)在区间[a，b]上具有一阶连续导数． 曲线yf(x)上相应于 x 点的弧长增量近似为， s ( dx) 2 ( dy) 2 1 y2 dx ， y 弧长元素(即弧微分)为 ds 1 y dx ，
b
b a
2 [(1 b)3 / 2 (1 a)3 / 2 ] ， 3
x 例2 计算悬链线 y cch 上介于xb与xb之间一段弧的 c 长度． x sh ，从而弧长元素为 解 y c y x 2 x ds 1 sh dx ch dx ． x c c y cch c 因此，所求弧长为 b b x x c s ch dx 2 ch dx b 0 c c x b 2c[ch ]b 2csh ． 0 c c -b b x O
§6．3 平面曲线的弧长
一、平面曲线的弧长的概念 二、直角坐标情形 三、参数方程情形
四、极坐标情形
一、平面曲线的弧长的概念
设A，B 是曲线弧的两个端点．在弧AB上任取分点 AM0，M1，M2，· ，Mi1，Mi，· ，Mn1，MnB ， · · · · )
n i 1
定理 光滑曲线弧是可求长的．
A M0
Mn1
M1
M2
)
二、直角坐标情形
设曲线弧由直角坐标方程 yf(x) (axb) 给出，其中f(x)在区间[a，b]上具有一阶连续导数． 曲线yf(x)上相应于 x 点的弧长增量近似为， s ( dx) 2 ( dy) 2 1 y2 dx ， y 弧长元素(即弧微分)为 ds 1 y dx ，
b
b a
2 [(1 b)3 / 2 (1 a)3 / 2 ] ， 3
x 例2 计算悬链线 y cch 上介于xb与xb之间一段弧的 c 长度． x sh ，从而弧长元素为 解 y c y x 2 x ds 1 sh dx ch dx ． x c c y cch c 因此，所求弧长为 b b x x c s ch dx 2 ch dx b 0 c c x b 2c[ch ]b 2csh ． 0 c c -b b x O
§6．3 平面曲线的弧长
一、平面曲线的弧长的概念 二、直角坐标情形 三、参数方程情形
四、极坐标情形
一、平面曲线的弧长的概念
设A，B 是曲线弧的两个端点．在弧AB上任取分点 AM0，M1，M2，· ，Mi1，Mi，· ，Mn1，MnB ， · · · · )
6-4平面曲线弧长
cos
3
2
d
a
3 0
sin
3
2
d
3 a. 2
例 6 求阿基米德螺线r a (a 0) 上相应于 从0 到2的弧长.
解 r a,
s
r 2( ) r2( )d
2
2
0
a2 2 a2d a 0
i 1
曲线弧AB 的弧长.
二、直角坐标情形
设曲线弧为 y f ( x) y (a x b)，其中 f ( x)
在[a, b]上有一阶连续导数
取积分变量为x ，在[a,b]
dy
上任取小区间[ x, x dx]，
o a x x dx b x
以对应小切线段的长代替小弧段的长
小切线段的长 (dx)2 (dy)2 1 y2dx
sin
t 2
2
cos
t 2
2
2
sin
t 2
cos
t dt 2
n
sin 0
t 2
cos
t 2
dt
4n.
三、参数方程情形
曲线弧为
10.03平面曲线的弧长与曲率
x
当点 M (x , y) 沿曲线
曲线 C 称为曲线 G 的渐伸线 . 曲率中心公式可看成渐 屈线的参数方程(参数为x).
移动时, 相应的曲率中心
的轨迹 G 称为曲线 C 的渐屈线 ,
点击图中任意点动画开始或暂停
数学分析
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19
例6. 设一工件内表面的截痕为一椭圆, 现要用砂轮磨 削其内表面 , 问选择多大的砂轮比较合适? 解: 设椭圆方程为 由例3可知, 椭圆在 处曲率最大 ,
i 1
n
t
i i 1 n
n
i
i ti
i 1
数学分析
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6
也就是
s lim sT lim
T T
i 1
n
xi (i ) yi (i ) ti
2 2
x (t ) y (t )dt
2 2
若曲线由直角坐标方程
则弧长为
s
b a
给出:
b
1 y d x
2
a
2 ( x) d x 1 f
曲线弧由极坐标方程 则弧长为
s
数学分析
给出:
2 ( ) d r ( ) r
2
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几何应用(平面曲线的弧长-立体体积)
t t n sin cos dt 4n. 0 2 2
3、参数方程情形
x (t ) , 曲线弧为 y (t )
( t )
其中 ( t ), ( t ) 在[ , ] 上具有连续导数.
ds (dx )2 (dy )2 [ 2 ( t ) 2 ( t )](dt )2
解
3a sin cos a sin cos , 3 3 3 3 3
2
3
2
1
s
2 ( ) 2 ( )d
6 4
3
0
3
2 a2 sin a sin 3 3
y
dy
o a x x dx b
x
以对应小切线段的长代替小弧段的长
小切线段的长 (dx )2 (dy )2 1 y 2 dx
弧长元素 ds 1 y dx 弧长 s a
2
b 2 1 y dx.
2 3 例 7 计算曲线 y x 2 上相应于 x 从 a 到 3 b 的一段弧的长度.
2
cos d 3
2
3 a sin d a . 0 3 2
例 11
求阿基米德螺线 a (a 0) 上相应
平面曲线弧长的概念
n 0
sin
t 2
2
cos
t 2
2
2
sin
t 2
cos
t dt 2
n
sin 0
t 2
cos
t 2
dt
4n.
三、参数方程情形
曲线弧为
x y
(t) ,
(t)
( t )
其中 (t ), (t )在[ , ]上具有连续导数.
ds (dx)2 (dy)2 [ 2(t ) 2(t )](dt )2
设椭圆的周长为s2
s2
2 0
x2 y2dt,
根据椭圆的对称性知
s2 2 0
sin t2 1 a2 cos t2dt
2
1 a2 cos2 tdt
0
2 0
1 a2 cos2 xdx s1,
故原结论成立.
四、极坐标情形
曲线弧为 r r( ) ( )
其中 ( )在[ , ]上具有连续导数.
无限增加且每个小弧段都缩向一点时，
n
此折线的长 | M i1M i |的极限存在，则称此极限为
i 1
曲线弧AB 的弧长.
二、直角坐标情形
设曲线弧为 y f ( x) y (a x b)，其中 f ( x)
在[a, b]上有一阶连续导数
取积分变量为x ，在[a,b]
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| sT x 2 ( i ) y 2 ( i ) t i | ,
i 1
n
即 lim ST lim ||T || 0
||T || 0
i 1
n
x 2 ( i ) y 2 ( i ) t i
ds
x 2 ( t ) y 2 ( t )dt .
x( t ), y( t )在[， ]有连续导数，且 x( t ), y( t )不同时为0，
则称C是一条光滑曲线。
定理1
x x( t ) 设平面曲线C : , t , y y( t )
且C是光滑曲线， 则C是可求长的，且弧长为
s
证：
x 2 ( t ) y 2 ( t )dt .
记 i
n i 1
x 2 ( i ) y 2 (i ) x 2 ( i ) y 2 ( i )
则sT [ x 2 ( i ) y 2 ( i ) i ]t i
由三角不等式，有
y(i )
y( i ) x( i )
i || y(i ) | | y( i ) ||
——参数方程下弧长的计算公式。
即证：
s lim ST lim
||T || 0
||T || 0
i 1
n
x 2 ( i ) y 2 ( i ) t i
T是曲线 C的任意分割，T 是[， ]的任意分割，
对C作任意的分割T={P0, P1,… Pn},
设 P0对应t , Pn对应t , 且
| y(i ) y( i ) |,
y( t )在[ , ]上连续，从而一致连续 ，
0, 0,当 || T || , 只要 i ,i i , 有
| y(i ) | y( i ) |
n
,
从而 | i |
i 1 i 1
n
n
C光滑，当x( t ) 0时，x x( t )有连续的反函数
当x 0时，有t 0,
同理，当y( t ) 0时， 由y 0，有t 0,
故当 | Pi 1 Pi | xi2 yi2 0, 必有t i 0.
反之，当ti 0，显然有 | Pi 1 Pi | 0.
xi x( ti ) x( ti 1 ) x( i )ti , i i , yi y( ti ) y( ti 1 ) y(i )ti , i i ,
故
ST xi2 yi2 x 2 ( i ) y 2 (i ) t i .
,
由 sT [ x 2 ( i ) y 2 ( i ) i ]t i
i 1
得 | sT x 2 ( i ) y 2 ( i ) t i | | i t i |
i 1 i 1
n
n
| i | t i .
i 1
n
证毕。
x 2 ( t ) y 2 ( t )dt
s
2 2 x ( t ) y ( t )dt .
例 1 求星形线 x 2 / 3 y 2 / 3 a 2 / 3 (a 0) 的全长.
解 星形线的参数方程为
y
x a cos 3 t 3 y a sin t
(0 t 2)
a
o
a x
根据对称性 第一象限部分的弧长
s 4s1
4
2 0
x
2
y dt 4 3a sin t cos tdt 6a .
2Fra Baidu bibliotek
2 0
二、直角坐标情形
设曲线弧为 y f ( x ) ( a x b ) ，其中 f ( x ) 在[a , b]上有一阶连续导数
§3、 平面曲线的弧长
一、平面曲线弧长的概念
设 A、 B 是曲线弧 C 上的两 个端点，在弧上插入分点
y
M1
M2
M n1
B Mn
A M 0 , M 1 , M i , , M n 1 , M n B
A M0
o
x
它们成为C的一个分割，记为T,
并依次连接相邻分点得一内接折线，
1 i n
当C光滑时， || T || 0等价于 || T || 0.
x 2 ( t ) y 2 ( t )在[ , ]连续，从而可积，
要证
lim ST lim ||T || 0
||T || 0
i 1
n
x 2 ( i ) y 2 ( i ) t i
Pi ( xi , yi ) ( x( ti ), y( ti )), i 1,2,n 1,
则与T对应地得到 [， ]的一个分割：
T : t0 t1 t n .
则曲线C的内接折线总长为：
ST xi2 yi2
i 1
n
在T 所属的每个小区间 i [ti 1 , ti ]上，由微分中值定理，
(
x 2 ( t ) y 2 ( t )dt ).
要证 lim ST lim
||T || 0
||T || 0
i 1
n
x 2 ( i ) y 2 ( i ) t i
x 2 ( i ) y 2 (i )
2 2 2 2 2 2 x ( i ) y ( i ) x ( i ) y (i ) x ( i ) y ( i )
记 || T || max | M i 1 M i |, ST |M i 1 M i |,
i 1
n
最长弦的长度
折线的总长度
定义1
对于曲线C,无论怎样的分割T,如果
||T || 0
lim ST s ,
则称曲线C是可求长的，并把s定义为曲线的长度。
定义2
x x( t ) 设平面曲线C : , t , y y( t )