平面曲线弧长的概念(精)

| sT x 2 ( i ) y 2 ( i ) t i | ,
i 1
n
即 lim ST lim ||T || 0
||T || 0
i 1
n
x 2 ( i ) y 2 ( i ) t i

ds


x 2 ( t ) y 2 ( t )dt .
x( t ), y( t )在[， ]有连续导数，且 x( t ), y( t )不同时为0，
则称C是一条光滑曲线。
定理1
x x( t ) 设平面曲线C : , t , y y( t )
且C是光滑曲线， 则C是可求长的，且弧长为
s
证：


x 2 ( t ) y 2 ( t )dt .
记 i
n i 1
x 2 ( i ) y 2 (i ) x 2 ( i ) y 2 ( i )
则sT [ x 2 ( i ) y 2 ( i ) i ]t i
由三角不等式，有
y(i )
y( i ) x( i )
i || y(i ) | | y( i ) ||
——参数方程下弧长的计算公式。
即证：
s lim ST lim
||T || 0
||T || 0
i 1
n
x 2 ( i ) y 2 ( i ) t i
T是曲线 C的任意分割，T 是[， ]的任意分割，
对C作任意的分割T={P0, P1,… Pn},
设 P0对应t , Pn对应t , 且
| y(i ) y( i ) |,
y( t )在[ , ]上连续，从而一致连续 ，
0, 0,当 || T || , 只要 i ,i i , 有
| y(i ) | y( i ) |
n

,
从而 | i |

i 1 i 1
n
n
C光滑，当x( t ) 0时，x x( t )有连续的反函数
当x 0时，有t 0,
同理，当y( t ) 0时， 由y 0，有t 0,
故当 | Pi 1 Pi | xi2 yi2 0, 必有t i 0.
反之，当ti 0，显然有 | Pi 1 Pi | 0.
xi x( ti ) x( ti 1 ) x( i )ti , i i , yi y( ti ) y( ti 1 ) y(i )ti , i i ,
故
ST xi2 yi2 x 2 ( i ) y 2 (i ) t i .
,
由 sT [ x 2 ( i ) y 2 ( i ) i ]t i
i 1
得 | sT x 2 ( i ) y 2 ( i ) t i | | i t i |
i 1 i 1
n
n
| i | t i .
i 1
n
证毕。
x 2 ( t ) y 2 ( t )dt
s


2 2 x ( t ) y ( t )dt .
例 1 求星形线 x 2 / 3 y 2 / 3 a 2 / 3 (a 0) 的全长.
解 星形线的参数方程为
y
x a cos 3 t 3 y a sin t
(0 t 2)
a
o
a x
根据对称性 第一象限部分的弧长
s 4s1
4
2 0
x
2
y dt 4 3a sin t cos tdt 6a .
2Fra Baidu bibliotek
2 0
二、直角坐标情形
设曲线弧为 y f ( x ) ( a x b ) ，其中 f ( x ) 在[a , b]上有一阶连续导数
§3、 平面曲线的弧长
一、平面曲线弧长的概念
设 A、 B 是曲线弧 C 上的两 个端点，在弧上插入分点
y
M1
M2
M n1
B Mn
A M 0 , M 1 , M i , , M n 1 , M n B
A M0
o
x
它们成为C的一个分割，记为T,
并依次连接相邻分点得一内接折线，
1 i n
当C光滑时， || T || 0等价于 || T || 0.
x 2 ( t ) y 2 ( t )在[ , ]连续，从而可积，
要证
lim ST lim ||T || 0
||T || 0
i 1
n
x 2 ( i ) y 2 ( i ) t i
Pi ( xi , yi ) ( x( ti ), y( ti )), i 1,2,n 1,
则与T对应地得到 [， ]的一个分割：
T : t0 t1 t n .
则曲线C的内接折线总长为：
ST xi2 yi2
i 1
n
在T 所属的每个小区间 i [ti 1 , ti ]上，由微分中值定理，
(


x 2 ( t ) y 2 ( t )dt ).
要证 lim ST lim
||T || 0
||T || 0
i 1
n
x 2 ( i ) y 2 ( i ) t i
x 2 ( i ) y 2 (i )
2 2 2 2 2 2 x ( i ) y ( i ) x ( i ) y (i ) x ( i ) y ( i )
记 || T || max | M i 1 M i |, ST |M i 1 M i |,
i 1
n
最长弦的长度
折线的总长度
定义1
对于曲线C,无论怎样的分割T,如果
||T || 0
lim ST s ,
则称曲线C是可求长的，并把s定义为曲线的长度。
定义2
x x( t ) 设平面曲线C : , t , y y( t )