数学分析与高等代数考研真题详解--中科院卷

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博士家园考研丛书 （2010 版）
全国重点名校数学专业考研真题及解答
数学分析与高等代数 考研真题详解
中国科学院数学专卷 博士家园 编著
博士家园系列内部资料
《 博士家园数学专业考研丛书》
编委会
这是一本很多数学考研人期待已久的参考书，对于任何一个想通过考取重点院校的研究
生来进一步深造的同学来说，历年的各个院校的真题的重要性是显而易见的。为了帮助广大
校教师，硕博研究生报名参与本丛书的编写工作，他们在工作学习的过程中挤时间，编写审
稿严肃认真，不辞辛苦，这使我们看到了中国数学的推广和科研的进步，离不开这些默默无
闻的广大数学工作者，我们向他们表示最崇高的敬意！
国际数学大师陈省身先生提出：“要把中国建成 21 世纪的数学大国。”每年有上万名数
学专业的学生为了更好的深造而努力考研，但是过程是艰难的。我们为了给广大师生提供更
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数学分析与高等代数考研真题详解
中国科学院考研数学专卷
目录
中国科学院考研数学专卷...............................................................................................................3 2000 年招收硕士研究生入学考试《数学分析》试题 ..................................................................3 2000 年招收硕士研究生入学考试《数学分析》试题解答 ..........................................................4 2000 年招收硕士研究生入学考试《线代解几》试题 ..................................................................6 2000 年招收硕士研究生入学考试《线代解几》解答 ..................................................................7 2001 年中科院数学与系统科学研究所《高等代数》试题及解答 ............................................10 2002 年招收硕士研究生入学考试《高等代数》试题 ................................................................16 2003 年招收硕士研究生入学考试《数学分析》试题 ................................................................17 2003 年招收硕士研究生入学考试《数学分析》试题解答 ........................................................18 2003 年招收硕士研究生入学考试《高等代数》试题 ................................................................24 2003 年招收硕士研究生入学考试《高等代数》试题解答 ........................................................25 2004 年招收硕士研究生入学考试《数学分析》试题 ................................................................28 2004 年招收硕士研究生入学考试《数学分析》试题解答 ........................................................29 2004 年招收硕士研究生入学考试《高等代数》试题 ................................................................32 2004 年招收硕士研究生入学考试《高等代数》试题解答 ........................................................33 2005 年招收硕士研究生入学考试《数学分析》试题及解答 ....................................................37 2005 年招收硕士研究生入学考试《高等代数》试题 ................................................................41 2005 年招收硕士研究生入学考试《高等代数》试题解答 ........................................................43 2006 年招收硕士研究生入学考试《数学分析》试题 ................................................................51 2006 年招收硕士研究生入学考试《数学分析》试题解答 ........................................................52 2006 年招收硕士研究生入学考试《高等代数》试题 ................................................................55 2006 年招收硕士研究生入学考试《高等代数》试题解答 ........................................................57 2007 年招收硕士研究生入学考试《数学分析》试题及解答 ....................................................64 2007 年招收硕士研究生入学考试《高等代数》试题及解答 ....................................................69 2008 年招收硕士研究生入学考试《数学分析》部分试题及解答 ............................................75 2009 年招收硕士研究生入学考试《高等代数》两试题及解答 ................................................78 2010 年招收硕士研究生入学考试《高等代数》试题及解答 ....................................................80 2010 年招收硕士研究生入学考试《数学分析》试题及解答 ....................................................86 中科院数学所复试时遇到的题目.................................................................................................96
没有编配解答，很多同学感到复习时没有参照标准，所以本丛书挑选了重点名校数学专业的
试题，由众多编委共同编辑整理成书。在此感谢每一位提供试题的老师，同时感谢各个院校
的教师参与解答。以后我们会继续更新丛书，编入更新的试题及解答，希望您继续关注我们
的丛书系列。也欢迎您到博士家园数学专业网站参加学术讨论，了解考研考博，下载最新试
Δx , Δy →0
Δx2 + Δy2
= lim Δx , Δy →0
−ΔxΔy2 (Δx2 + Δy2 )3
=
lim
r→0
−r
3
cos t r3
sin
2
t
= − lim cos t sin2 t , r→0
显然可以
知道这个极限和 t 有关, 即极限和路径有关, 所以极限不存在, 从而由定义可知是不可微
同学节约时间进行复习，为了使辅导教师手头有更加详尽的辅导材料，我们从 2004 年开始
大量收集数学专业的考研真题，其中数学分析和高等代数两门专业基础课最为重要。有些试
题还很难收集或者购买，我们通过全新的写作模式，通过博士家园(),
这个互联网平台，征集到了最新最全面的专业试题，更为令人兴奋和鼓舞的是，有很多的高
的．■
2．(i)证 对 fn (x) 求导 fn '(x) = nxn−1 ln x + xn−1 = nfn−1(x) + xn−1 , 再对等式两边 n −1次导,
分)设
f
(x)
=
∞ n=0
x
1 + 2n
, x ∈[0, +∞)
．证明：
(i) f (x) 在[0, +∞) 上连续；
(ii) lim f (x) = 0 ； x→+∞
(iii)对一切 x ∈ (0, +∞) 有 0 < f (x) − ln(1+ x) < 1 ． x ln 2 1+ x
6．(10 分)设 f (x) 在[−a, a] 上有连续的导数, 证明:
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中国科学院考研数学专卷
2000 年招收硕士研究生入学考试《数学分析》试题
1．（15 分）定义函数
f
(x,
y)
=
⎧ ⎪ ⎨
x2
x3 +
y2
,
x2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
+
y2
>
0
,
⎪⎩ 0, x = y = 0
证明函数 f (x, y) 在 (0, 0) 处连续但是不可微．
2．(20 分)设 fn (x) = xn ln x , n 是自然数：
∫ ∫ lim a 1− cos λ x f (x)dx = a f (x) − f (−x) dx ．
λ→∞ −a
x
0
x
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2000 年招收硕士研究生入学考试《数学分析》试题解答 ∗
1． 证 对于任意的 ε > 0 , 当 x2 + y2 = r2 < ε 2 时, 假设 x = r cos t, y = r sin t , 则有
∫∫∫ 算积分 I = ex+y+zdxdydz ． D
4．(15
⎛ 分)定义向量场 F (x, y) = ⎜⎜⎝
xe x2 + y2 ,
x2 + y2
ye
x2 + y2
⎞ ⎟, x2 + y2 > 0
x2 + y2 ⎟⎠
证明 F (x, y) 是有势
场, 并求出 F (x, y) 的一个势函数．
∑ 5．(25
(i)证明
fn(n) (x) =
f (n−1) n−1
(x)
+
1
,
n
=
1,
2,...
n! (n −1)! n
(ii)计算极限 lim
f (n) n
(
1 n
)
．
n→∞ n!
3．(15 分)在 R3 中, 由下列平面 y = 1, y = −x, x = 0, z = 0, z = −x 围成的闭区域记为 D , 计
f (x, y) −
f (0, 0)
=
r3 cos3 t r2
−0
=
r cos3 t
≤| r |< ε
不妨假设 δ = ε , 当 x2 + y2 < δ 时, 便有 | f (x, y) − f (0, 0) |< ε , 所以根据定义, 连
续性获得证明．
求偏导数
fx (0, 0)
=
lim
Δx→0
f
(Δx, 0) − Δx
f
(0, 0)
=1
,
f y (0, 0)
=
lim
Δy →0
f
(0, Δy) − Δy
f
(0, 0)
=0
考虑极限(利用坐标变换 Δx = r cos t, Δy = r sin t )
lim f (Δx, Δy) − f (0, 0) − fx (0, 0)Δx − fy (0, 0)Δy
题：
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博士家园 二零一零年二月