2016高三数学苏教版必修4课件：2.3.2 平面向量的坐标运算(一)
江苏省南通市北城中学高中数学必修四课件：2.3.2平面向量的坐标运算(1)
例 3 已知▱ABCD 的顶点 A(－1，－2)，B(3，－1)， C(5,6)，求顶点 D 的坐标．
解 设 D(x，y)．则A→B＝(4,1)， D→C＝(5－x,6－y)，
由A→B＝D→C得56－－xy＝＝41 ，∴xy＝＝15 . ∴顶点 D 的坐标为(1,5)．
跟踪训练 已知平行四边形的三个顶点的坐标分别 为(3,7)，(4,6)，(1，－2)，求第四个顶点的坐标．
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)； a－b＝(x1－x2，y1－y2)； λa＝(λx1，λy1)；
两个向量和与差的坐标分别等于这两向量对 应坐标的和与差；
实数与向量的积的坐标等于这个实数乘原来 的向量的相应坐标．
平面向量的坐标运算 2.若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A→B＝_(_x_2_－__x_1，__y_2_－__y_1_) _．
2.3.2 平面向量的坐标运算(一)
学习目标 1．了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示. 2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则. 3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的 坐标区分开来．
平面向量的坐标表示
向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与 x
轴、y 轴方向相同的两个_单___位__向___量_i，j 作为基底，
解 不妨设 A(3,7)，B(4,6)，C(1，－2)．第四个顶点为 D(x， y)．则 A、B、C、D 四点构成平行四边形有以下三种情形． (1)当平行四边形为 ABCD 时，A→B＝D→C， 设点 D 的坐标为(x，y)， ∴(4,6)－(3,7)＝(1，－2)－(x，y)，
∴1－－2x－＝y1＝，－1， ∴D(0，－1)；
解 ∵A(2，－4)，B(0,6)，C(－8,10)．
苏教版高中数学必修42.3.2 平面向量的坐标运算(一).docx
2．3.2 平面向量的坐标运算(一)课时目标1．理解平面向量坐标的概念，会写出给定向量的坐标，会作出已知坐标表示的向量．2．掌握平面向量的坐标运算，能准确运用向量的加法、减法、数乘的坐标运算法则进行有关的运算．1．平面向量的坐标表示(1)向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个________________i ，j 作为基底，对于平面上的向量a ，有且只有一对有序实数x ，y 使得a ＝________，则____________________叫作向量a 的坐标，记作________．(2)向量坐标的求法：在平面直角坐标系中，若A (x ，y )，则OA →＝________，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝________________. 2．平面向量的坐标运算(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝________________，即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和．(2)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a －b ＝________________，即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差．(3)若a ＝(x ，y )，λ∈R ，则λa ＝________，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．一、填空题1．已知平面向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，则向量12a －32b ＝________.2．已知a －12b ＝(1,2)，a ＋b ＝(4，－10)，则a ＝______.3．已知平面上三点A (2，－4)，B (0,6)，C (－8,10)，则12AC →－14BC →的坐标是________．4．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，c ＝(3,4)，且c ＝λ1a ＋λ2b ，则λ1，λ2的值分别为________．5．已知M (3，－2)，N (－5，－1)且MP →＝12MN →，则点P 的坐标为________．6．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线．若AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则BD →＝________. 7．已知四边形ABCD 为平行四边形，其中A (5，－1)，B (－1，7)，C (1,2)，则顶点D 的坐标为________．8．已知A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2,0)，D (x ，y )，且AC →＝2BD →，则x ＋y ＝________.9．若向量a ＝(x ＋3，x 2－3x －4)与AB →相等，其中A (1,2)，B (3，2)，则x ＝________.10．函数y ＝x 2＋2x ＋2按向量a 平移所得图象的解析式为y ＝x 2，则向量a 的坐标是 ________． 二、解答题11．已知a ＝(－2,3)，b ＝(3,1)，c ＝(10，－4)，试用a ，b 表示c .12．已知平面上三个点坐标为A (3,7)，B (4,6)，C (1，－2)，求点D 的坐标，使得这四个 点为构成平行四边形的四个顶点．能力提升13．已知P＝{a|a＝(1,0)＋m(0,1)，m∈R}，Q＝{b|b＝(1,1)＋n(－1,1)，n∈R}是两个向量集合，则P∩Q＝________.14.在直角坐标系xOy中，向量a，b，c的方向和长度如图所示，分别求它们的坐标．1．在平面直角坐标系中，平面内的点、以原点为起点的向量、有序实数对三者之间建立一一对应关系．关系图如图所示：2．向量的坐标和这个向量的终点的坐标不一定相同．当且仅当向量的起点在原点时，向量的坐标才和这个终点的坐标相同．2．3.2 平面向量的坐标运算(一)知识梳理1．(1)单位向量 x i ＋y j 有序实数对(x ，y ) a ＝(x ，y ) (2)(x ，y ) (x 2－x 1，y 2－y 1)2．(1)(x 1＋x 2，y 1＋y 2) (2)(x 1－x 2，y 1－y 2) (3)(λx ，λy ) 作业设计1．(－1,2) 2.(2，－2) 3.(－3,6) 4．－1,2解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ λ1＋2λ2＝3，2λ1＋3λ2＝4.解得⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝－1，λ2＝2.5.⎝⎛⎭⎪⎫－1，－32 解析 设P (x ，y )，由(x －3，y ＋2)＝12×(－8,1)，∴x ＝－1，y ＝－32.6．(－3，－5)解析 ∵AC →＝AB →＋AD →， ∴AD →＝AC →－AB →＝(－1，－1)． ∴BD →＝AD →－AB →＝(－3，－5)． 7．(7，－6)解析 设D (x ，y )，由AD →＝BC →， ∴(x －5，y ＋1)＝(2，－5)． ∴x ＝7，y ＝－6. 8.112解析 ∵AC →＝(－2,0)－(－1，－2)＝(－1,2)， BD →＝(x ，y )－(2,3)＝(x －2，y －3)，又2BD →＝AC →，即(2x －4,2y －6)＝(－1,2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －4＝－1，2y －6＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝4，∴x ＋y ＝112.9．－1解析 ∵A (1,2)，B (3,2)， ∴AB →＝(2,0)．又∵a ＝AB →，它们的坐标一定相等．∴(x ＋3，x 2－3x －4)＝(2,0)． ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3＝2，x 2－3x －4＝0， ∴x ＝－1. 10．(1，－1)解析 函数y ＝x 2＋2x ＋2＝(x ＋1)2＋1的顶点坐标为(－1,1)，函数y ＝x 2的顶点坐标为(0,0)，则a ＝(0,0)－(－1,1)＝(1，－1)． 11．解 设c ＝x a ＋y b ，则(10，－4)＝x (－2,3)＋y (3,1) ＝(－2x ＋3y,3x ＋y )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧10＝－2x ＋3y ，－4＝3x ＋y ，解得x ＝－2，y ＝2，∴c ＝－2a ＋2b .12．解 (1)当平行四边形为ABCD 时，AB →＝DC →， 设点D 的坐标为(x ，y )．∴(4,6)－(3,7)＝(1，－2)－(x ，y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＝1，－2－y ＝－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－1.∴D (0，－1)；(2)当平行四边形为ABDC 时，仿(1)可得D (2，－3)；(3)当平行四边形为ADBC 时，仿(1)可得D (6,15)． 综上可知点D 可能为(0，－1)，(2，－3)或(6,15)． 13．{(1,1)}解析 设a ＝(x ，y )，则P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝m ， ∴集合P 是直线x ＝1上的点的集合．同理集合Q 是直线x ＋y ＝2上的点的集合，即P ＝{(x ，y )|x ＝1}，Q ＝{(x ，y )|x ＋y －2＝0}． ∴P ∩Q ＝{(1,1)}．故选A.14．解 设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，c ＝(c 1，c 2)，则a 1＝|a |cos 45°＝2×22＝2，a 2＝|a |sin 45°＝2×22＝2； b 1＝|b |cos 120°＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－32， b 2＝|b |sin 120°＝3×32＝332； c 1＝|c |cos(－30°)＝4×32＝23， c 2＝|c |sin(－30°)＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－2. 因此a ＝(2，2)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，332，c ＝(23，－2)．。
高中数学 2.3.2平面向量的坐标运算课件 苏教版必修4
的坐标为(－10，10)，则 5 秒后点 P 的坐标为( )
栏
A．(－2，4)
B．(－30，25)
目 链
C．(10，－5)
D．(5，－10)
接
解析：由已知O→P＝(－10，10)，设运动后到点 Q，则P→Q＝5(4， －3)＝(20，－15)，那么点 Q 的坐标为(20－10，10－15)＝(10，－5)．接Biblioteka C．2，－1 D．－1，2
解析：∵c＝λ1a＋λ2b，
∴(3，4)＝λ1(1，2)＋λ2(2，3)＝(λ1＋2λ2，2λ1＋3λ2)． ∴λ2λ1＋1＋2λ32λ＝2＝3，4，即λλ12＝＝－2. 1，
答案：D 方法指导：本题实际上就是平面向量基本定理的坐标表示的一种 展示，解决问题的方法通常采用待定系数法．
2．3.2 平面向量的坐标运算
栏 目 链 接
1．理解平面向量的坐标表示． 2．掌握平面向量的加、减、数乘运算的坐标表示．
典例剖析
栏 目 链 接
利用向量的坐标表示求点的坐标
点 P 在平面上做匀速直线运动，速度向量 v＝(4，－3)(即点 P 的
运动方向与 v 相同，且每秒移动的距离为|v|个单位)．设开始时点 P
答案：C
变式训练
1．已知A→B＝(5，－3)，C(－1，3)，C→D＝2A→B，则点 D 的坐标
为( )
栏 目
A．(11，9) B．(4，0)
链 接
C．(9，3) D．(9，－3)
解析：设 D(x，y)，∵C(－1，3)，
∴C→D＝(x＋1，y－3)．
又∵A→B＝(5，－3)，C→D＝2A→B，
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苏教版高中数学必修四课件2.3.2平面向量的坐标运算(1)
学生活动
【提出问题】：在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对实
数表(x示, y，) 那么，每一个向量可否也用一对实数来表示？
建构数学
1.平面向量的坐标表示．
在直角坐标系内，我们分别取与x轴方向,y轴方向相同的两个单位向量、作i j
为基底.任作一个向量，由a 平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，
2．由向量运算的结合律、分配律及数乘的运算律可得：
（1）两个向量的和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）；
（2）实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标；
（3）一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标．
3．向量的坐标计算公式：
已知向量，AB且点，，A求(x的1, y坐1) 标B．(x2 , y2 )
4．已知点 A(，1,请2)以, B(2,1),C(为3,2一), D组(基2,底3)来表示 AB，AC
AD
+
BD
+
CD
x y ____
回顾反思
1．正确理解平面向量的坐标意义；
2．掌握平面向量的坐标运算；（向量加法运算、减法运算、实数与 向量的积的坐标表示）． 3．能用平面向量的坐标及其运算解决一些实际问题．
；
（4）从原点引出的向量的OA坐标就是(点x, 的y)坐标． A
【问题】 已知，a ，(你x1,能y1)得出b ，(x，2, y的2 ) 坐标吗？ a b a b a
A(x1, y1)
y
B(x2 , y2 )
x O
【结论】两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差．
OA OB AO CD
苏教版高中数学必修4教学课件第二章 2.3.2 平面向量的坐标运算(1)
我们把 (x, y) 叫做向量 a 的（直角）坐标，记作 a (x, y) , 其中x叫做 a 在x轴上的坐标，y叫做 a 在y轴上的坐标．
【说明】
（1）对于 a ，有且只有一对实数(x, y)与之对应；
（2）相等向量的坐标也相同；
（3）i (1,0) j (0,1) 0 (0,0)
AB
=
OB
-
OA
= (x2,y2)(x1, y1) (x2x1,y2y1)
【结论】向量的坐标等于表示它的有向线段的终点坐标减去始点坐
4．实数与向量的积的坐标：
已知 a(x,y)和实数 ，则 a ( x i y j ) x i y j ( x ,y )
，OB
，AO
，CD
的
例3 已知 a(2,1) ,b(3,4) ，求 a b , a b , 3a4b的坐标．
例４ 已知平行四边形ABCD的三个顶点A，B，C的坐标分别为
( 1, 3 ) ，( 3 , 4 )，求顶点D的坐标．
，
巩固深化，反馈矫正
1．已知向量
CM
3
CA
，CN
2
CB
，
求点M，N和 MN 的坐标；
4．已知点 A ( 1 , 2 )B ( ,2 ,1 )C , ( 3 ,2 )D ,( 2 ,3 ) ，请以AB ，AC 为一组基底来
AD
+
BD
+
CD
回顾反思
；
（4）从原点引出的向量OA 的坐标 ( x, y)就是点 A的坐标．
2015-2016学年高一数学苏教版必修4课件：2.3.2平面向量的坐标运算1
第2章平面向量2. 3. 2平面向量的坐标运算平面向量的坐标表示1.在平面内有点A和点B,向量怎样孫表示?2.平面向量基本定理的内容？什么叫基底？3.分别与％轴、y轴方向相同的两单位向量八/能否作为基底?—向量。
，用这组基底可表示为有且只有一对实、”户▲/ I • Xr~t••— . _y ______________数X、％使得a=xi +刃. ‘(X, y)叫做向量a的坐标，记作.a=xi + yj ------O 那么1= (1,0) ) J =( 0 H ) 0 = ( (0,0))X概念理解以原点O为起点作OA = " ,点A的位置由谁确定?由“唯一确定y2.点A的坐标与向量a的坐标的关系?向量C5 对应■出标（X , J）两者相同3.两个向量相等的充要条件，利用坐标如何表示?a = 〃O 兀1 = x2= y2X例1.如图，用基底i, /分别表示向量 求它们的坐标. 解：由图可知a = AA { + AA 2 = 2i+ 3 j :.a = (2,3)同理，b = —2i + 3/ = (—2,3)c = —2i — 3j = (-2,-3)d = 2i-3j =⑵一 3)〃、方、c 、d ，并 y A 2 _5 4 3 21.J-~A'| A 123 4x1.已知"=（"，X）, b = （x2, y2）,求“+b, a-b, 解：a+b=（ x r i + y x j） + （£，+ yj）=（"+ 兀2）'+（儿+儿）/2.已知ACWl），S>2*2）・求解：AB = OB-OA=（坷』1）一（兀2』2）=（兀2 一刁*2一％）一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标.例2.已知a= (2, 1) , b= (-3, 4),求a+b, a-b, 3a+4b 的坐标.解：a+b= (2, 1) + (-3, 4) = (-1, 5)；a-b= (2, 1) - (-3, 4) = (5, -3)；3a+4b=3 (2, 1) +4 (-3, 4)=(6, 3) + (-12, 16) =(-6, 19)例3.已知ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为 (一2, 1)、( -1, 3)、(3, 4),求顶点D的坐标•解：设顶点D的坐标为&，V)0 AB = (-1-(-2) ,3 -1) = (1,2)DC = (3 ——y)由血=风得(l,2) = (3-x,4-j).片3-兀A P = 2…[2 = 4-j 1丁 = 2顶点D的坐标为(2,2)向量平行的坐标表示2. 如何用坐标表示向量平行（共线）的充要条件? 会得到什么样的重要结论？设"=（坷,X ）,力=（兀2，儿）/渤 p 即兀2，儿中，至少有一个不为0 ,则由"二加得兀』2-3 =0这就是说：£//伉怎的充要条件是 1・向量鵬非零向量 只有一个实数2 ,充要条件是有且兀』2一31 =°3.向量平行(共线)充要条件的两种形式：(1)£//后畀bo弘広n P 0 p p P (2)a//b(a = (x p yj,b = (x2, y2)^ 丰 0)0兀』2-兀2必=°所以,O ?=1（OP ?+O K ）=（- ； J 点P 的坐标是(卫尹 加+阳 2 -■ 设点p 是线段巴p 上的一点・Pl.巴的坐标分别是(工］,$1几$丄 (1)当点P 是线段PA 的中点时,求点卩的坐标； (2)当点P 是线段P,P_的"个三等分点吋.求点P 的 坐标. 解：(1)如图2.3-14,曲向址的线性运算可知V+⑵ 如图2.3 15・当点P是线段戸耳的一个三等分点时*有两种悄况,副强或gm•讥;c那么3 3 /'即点P的坐标是（也护，纽护）•同理.如杲嚴=2.那么点P的坐标是。
高中数学第二章平面向量2.3.2平面向量的坐标运算(1)课件苏教版必修4
知识点三 思考 1
平面向量的坐标运算
设i、j 是与x轴、y轴同向的两个单位向量，若设a ＝(x1 ，y1) ，b
＝(x2，y2)，则a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，根据向量的线性运算性质，向 量a＋b，a－b，λa(λ∈R)如何分别用基底i、j表示？
答 a＋b＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j，
第2章 §2.3 向量的坐标表示
2.3.2 平面向量的坐标运算(一)
学习目标
1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示. 2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则. 3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来.
问题导学
题型探究
达标检测
问题导学
知识点一 平面向量的正交分解
则(－1,2)＝λ1(1,2)＋λ2(－2,3)＝(λ1－2λ2，2λ1＋3λ2)，
λ ＝1， 1 7 －1＝λ1－2λ2， ∴ 解得 4 2＝2λ1＋3λ2， λ＝ . 2 7
1 4 ∴a＝7e1＋7e2.
解析答案
1
2
3
4
5
→ 1→ 4.已知两点 M(3,2)，N(－5，－5)，MP＝2MN，则点 P
返回
题型探究
类型一 求向量的坐标
例1 如图，在直角坐标系xOy中，OA
重点难点 个个击破
＝ 4 ， AB ＝ 3 ， ∠AOx ＝ 45°， ∠OAB → → ＝105°， OA ＝a， AB ＝b.四边形 OABC为平行四边形. (1)求向量a，b的坐标；
解析答案
→ (2)求向量BA的坐标；
解
解析 因为点 P 在 MN 的延长线上，|MP|＝2|PN|，
→ → 又MN＝(0,5)－(2，－1)＝(－2,6)，所以MP＝(－4,12)，
高中数学必修四(苏教版)2.3《向量的坐标表示》ppt课件
向量的坐标运算
a (x1, y1),b (x2 , y2 ) 则：a b (x1 x2 , y1 y2 ) a b (x1 x2 , y1 y2 )
a (x1, y1)
练习，已知a (2,1),b (3, 4), 求a b, a b,3a 4b的坐标。
以下三个特殊向量的坐标是：
Y
i = (1,0) j= (0,1) 0= (0,0)
那若每么两个起个向点向量不量都在相有原等唯点则一的这的向两坐量个标的向.坐量标的是
什对么应呢坐？标每也个相向等量;反有之几对个应坐坐标标呢?
相等的两个向量一定是相等向量. j
O
a
X
每个向量都有唯一的坐标. i
如果a (x1, y1),b (x2, y2 ),
探索2:
在平面直角坐标系内，起点不在坐标 原点O的向量如何用坐标来表示?
解决方案:
可通过向量的平移， 将向量的起点移到坐 标的原点O处,其终点 的坐标（x，y）称为 a的（直角）坐标， 记a=（x，y）。
yA a
a
ox
归纳总结
在平面直角坐标系内，若分别取与X轴、Y轴正方向
相同的两个单位向量 i , j作为基底，任作一向量a， 由平面向量基本定理知，有且仅有一对实数 x , y , 使得 a=x i+y j.
那么a b x1 x2 ,且y1 y2
探索2:
在平面直角坐标系内，起点不在坐标 原点O的向量如何用坐标来表示?
y
a
o
x
已知 A(x1, y1), B(x2, y2 ) ，求 AB 的坐标.
从向量运算的角度
AB OB OA
高一数学苏教版必修4(江苏专用)课件2.3.2 平面向量的坐标运算
当堂检测
(1)在平面直角坐标系中,以原点为起点的向量������������=a,点 A 的位置被 向量 a 唯一确定,此时点 A 的坐标与向量 a 的坐标统一为(x,y). (2)向量的坐标只与始点和终点的相对位置有关,而与它们的具体 位置无关. (3)将平面图形放置在直角坐标系中,必须说明“以点×为坐标原点, 以××所在的直线为 x 轴,建立直角坐标系”,当坐标系建立的方法不同时, 各点坐标也有所不同,但不影响最终结论的成立.
问题导学
当堂检测
2.已知向量 a 与 x 轴的正方向成 60° 角,且|a|=2,求 a 的坐标. 解:设������������=a,坐标为(x,y). 如图,若 a 在第一象限, 则∠POP'=60° ,|������������|=2, 则 x=|������������|cos 60° =2× =1,y=|������������|sin 60° =2×
,c=(2 3,-2).
问题导学
当堂检测
迁移与应用 1.点 P 在平面上做匀速直线运动,速度向量 v=(4,-3)(即点 P 的运动 方向与 v 相同,且每秒移动的距离为|v|个单位).设开始时点 P 的坐标为 (-10,10),则 5 秒后点 P 的坐标为 答案:(10,-5) .
解析:由速度向量 v=(4,-3)可知点 P 的运动方向,每秒移动的距离为 42 + (-3)2 =5 个单位,如图所示,结合图象易知 P(10,-5).
问题导学
当堂检测
二、平面向量的坐标运算
活动与探究 (1)设向量 a,b 的坐标分别是(-1,2),(3,-5),求 a+b,a-b,3a,2a+3b 的坐 标; (2)已知三点 A(2,-1),B(3,4),C(-2,0),试求向量 3������������ + ������������; ������������ -2������������ . 思路分析:题目(1)中分别给出了两向量的坐标,欲求 a,b 的和,差或 数乘向量的坐标,可根据向量的直角坐标运算法则进行.题目(2)中给出 了点的坐标,可运用终点坐标减去起点坐标得到相应向量的坐标 ,然后 再进行运算.
高中数学 2.3.2平面向量的坐标运算课件 苏教版必修4
栏 目
链
3 ． 实 数 与 向 量 积 的 坐 标 分 别 等 于接
_这__个__实__数__乘__原__来__向__量__(x__ià_n__g_li_à_n__g_)_的，相即 a＝(x1，y1)，λ∈R， 则应λ坐a标＝(λ_x__1，__λ_y__1).
4 ．一 个向 量的坐 标等 于表 示此 有向线 段的终__点__的__坐_标___ 减去 _始__点__的__坐_标____．
例2 已知向量 a＝(1,2)，b＝(2,3)，c＝(3,4)，且 c＝λ1a＋λ
2b，则λ1，λ2 的值分别为( )
A．－2,1 C．2，－1
B．1，－2
栏
目
链
D．－1,2
接
第十八页，共25页。
解析：∵c＝λ1a＋λ2b， ∴(3,4)＝λ1(1,2)＋λ2(2,3)＝(λ1＋2λ2,2λ1＋3λ2)，
链 接
方法指导：两向量平行条件的两种形式在解题时可根据情况适 当选用．
第二十四页，共25页。
变式 训练
3．已知向量O→A＝(k,12)，O→B＝(4,5)，O→C＝(－k,10)，且 A、B、
C 三点共线，则 k＝________.
栏
解析：由已知可求得B→A＝(k－4,7)，C→A＝(2k,2)．由
第五页，共25页。
5．将一个向量的始点平移到坐标原点，则向量的坐标和平移后
向量的__坐__标___(z_u是ò相b同iā的o)．
6．若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段 AB 的中点为 M(x0，y0)，则 x0
＝________，y0＝________.
7．P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P(x，y)，当P→1P＝λP→P2(λ≠－1)时，
高中数学 第2章 平面向量 2.32.3.2 平面向量的坐标运算课件 苏教版必修4
3．向量平行的坐标表示． 设向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(a≠0)，如果 a∥b， 那么 x1y2－x2y1＝0；反过来，如果 x1y2－x2y1＝0，那么 a∥b.
一、平面向量的坐标表示
对于向量 a，当它的起点移至原点 O 时，其终点的坐 标(x，y)称为向量 a 的(直角)坐标，记作 a＝(x，y)．
1．平面向量的坐标表示． (1)基底：在平面直角坐标系中，分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量 i，j 作为基底． (2)坐标：对于平面内的一个向量 a，有且仅有一对实 数 x，y，使得 a＝xj＋y i，则有序实数对(x，y)叫作向量 a 的坐标．记作 a＝(x，y)．
2．平面向量的坐标运算． (1)已知向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)和实数 λ，那么： ①a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，②a－b＝(x1－x2，y1－y2)， ③λ a＝(λx1，λ y1)． (2)已知 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A→B＝O→B－O→A＝(x2 －x1，y2－y1)． 这就是说，一个向量的坐标等于该向量终点的坐标 减去起点的坐标．
第2章 平面向量
2.3 向量的坐标表示 2．3.2 平面向量的坐标运算
[情景导入] 我们知道，在直角坐标平面内，每一个 点都可用一对有序实数(即它的坐标)表示，如点 A(x，y) 等．
思考：对于每一个向量如何表示？若知道平面向量的 坐标，应如何进行运算？
[学习目标] 1.掌握平面向量的坐标表示，理解平面 向量与坐标之间的对应关系． 2.掌握平面向量的坐标运 算，能准确运用向量的加法、减法、实数与向量的积的坐 标运算法则进行有关的运算． 3.理解平面向量共线的坐 标表示，并能利用平面向量的坐标解决向量共线问题．
苏教版必修4高中数学2.3.2《平面向量的坐标运算(一)》ppt课件1
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、 语文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题，有的要求回答，有的则是自问自答。一般来说，老师在课堂上提出的 问题都是学习中的关键，若能抓住老师提出的问题深入思考，就可以抓住老师的思路。
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知 识逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
4
得到b 向量 （，则2 ，3 2 ）的坐标为（
）.
22
课堂总结
向量的坐标表示是一种向量与坐标的对应关系， 它使得向量具有代数意标就是向量的坐标. 在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底时，会
为我们研究问题带来方便。
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
2019/8/27
最新中小学教学课件
19
第二章 平面 向量
2.3.2 平面向量的坐标运算(一)
高中数学必修4·同步课件
学习要求
1．理解平面向量的正交分解 2. 学会平面向量的坐标表示
自学导引
【精编】苏教版高中数学必修四课件2.3.2平面向量的坐标运算(1)-精心整理
同理，
平面向量的坐标运算
No Image
No Image
两个向量和与差的坐标分别等于这两向量对应坐 标的和与差； 实数与向量的积的坐标等于这个实数乘原来的向 量的相应坐标．
平面向量的坐标运算
No Image
y
O
x
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点 的坐标减去起点的坐标．
练习2．已知a=（2，1），b=（-3，4），求
a+b，a-b，3a+4b的坐标．
解：a+b=（2，1）+（-3，4）=（-1，5）； a-b=（2，1）-（-3，4）=（5，-3）； 3a+4b=3（2，1）+4（-3，4） =（6，3）+（-12，16） =（-6，19）
平面向量的坐标运算
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制作不易 尽请参考
2.3.2 平面向量的坐标运算(一)
No Image
No单位向量
Image y a
j
那么i=（，10） j=（，01） 0=（，00） Oi
x
概念理解
一一对应 向量a
y
a
A(x,y)
坐标（x，y） a
j
Oi
x
2．两个向量相等，利用坐标如何表示？
练习1．如图，用基底i，j分别表示向量a、b、c、 d，并求它们的坐标．
《2.3.2平面向量的坐标运算》课件5-优质公开课-苏教必修4精品
填一填·知识要点、记下疑难点
2.3.2（一）
(3)向量坐标的求法：在平面直角坐标系中，若 A(x，y)，
则O→A＝ (x，y) ，若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A→B＝ (x2－x1，y2－y1) ．
本 2．平面向量的坐标运算
课 时
(1)若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，
2.3.2（一）
跟踪训练 3 已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为(3,7)， (4,6)，(1，－2)，求第四个顶点的坐标．
解 不妨设 A(3,7)，B(4,6)，C(1，－2)，第四个顶点为 D(x，
y)．则 A、B、C、D 四点构成平行四边形有以下三种情形．
本 课
(1)当平行四边形为 ABCD 时，A→B＝D→C，
时 ∴(4,6)－(3,7)＝(1，－2)－(x，y)，
栏
目 开 关
∴1－－2x－＝y1＝，－1，
∴xy＝＝0－，1.
∴D(0，－1)；
(2)当平行四边形为 ABDC 时，仿(1)可得 D(2，－3)；
(3)当平行四边形为 ADBC 时，仿(1)可得 D(6,15)．
综上所述，第四个顶点的坐标可能为(0，－1)，(2，－3)或(6,15).
本 课
请把下列坐标系中的向量的始点移到原点，并标出向量 a，
时 栏
b，c，d 所对应的点 A，B，C，D.
目
开
关
研一研·问题探究、课堂更高效
答
2.3.2（一）
本
课
时
栏
目
开 关
其中 a＝O→A＝(1,3)；b＝O→B＝(－5，－2)；c＝O→C＝(－2，
高中数学第2章2.3.2平面向量的坐标运算精品课件苏教必修4.ppt
【解】 由 A(2，－4)，B(0,6)，C(－8,10)，得 A→B＝(－2,10)，B→C＝(－8,4)，A→C＝(－10,14)，
∴A→B＋ 2B→C － 12 A→C ＝ (－2,10)＋2(－ 8,4)－12 ( － 10,14)＝(－2,10)＋(－16,8)－(－5,7)＝(－18,18) －(－5,7)＝(－13,11)．
【规范解答】 (1)∵a＝mb＋nc， ∴(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1) ＝(－m＋4n,2m＋n)，4 分
∴－ 2mm＋＋n4＝n＝2，3，
解得
m＝59， n＝89.
7分
(2)∵(a＋kc)∥(2b－a)， 且 a＋kc＝(3＋4k,2＋k)， 2b－a＝(－5,2)，10 分 ∴－5(2＋k)＝2(3＋4k)，13 分
课堂互动讲练
考点突破 考点一 平面向量的坐标运算
在进行平面向量的坐标运算时，应先将平面向量 用坐标的形式表示出来，再根据向量的直角坐标 运算规则进行计算．在求一个向量时，可以首先 求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终 点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．
例1 已知点 A、B、C 的坐标分别为 A(2， －4)、B(0,6)、C(－8,10)，求向量A→B＋2B→C－12A→C 的坐标． 【思路点拨】 由点 A、B、C 的坐标，求出A→B、
2．若A→B＝C→D，则两向量的坐标相同吗？两向 量的具体位置呢？
提示：若A→B＝C→D，则两向量的坐标必相同， 因为相等向量的坐标相等；但两向量的具体位 置不一定相同，结合相等向量的定义易知这一 点．
3．如果两个非零向量共线，你能通过它们的坐 标判断它们同向还是反向吗？ 提示：当两个向量的对应坐标同号或同为零时， 同向．当两个向量的对应坐标异号或同为零时， 反向．例如：向量(1,2)与(－1，－2)反向；向量 (1,0)与(3,0)同向；向量(－1,2)与(－3,6)同向；向 量(－1,0)与(3,0)反向等．
高中数学 2.3.2 平面向量的坐标运算配套课件 苏教版必修4
教 学
于平面上的向量 a，由平面向量基本定理知，有__且__只__有__一对
当 堂
方
双
案 设
有序实数 x，y，使得 a＝xi＋yj，则把有序实数对_(_x_，__y_) __
基 达
计
标
称为向量 a 的(直角)坐标，记作 a＝(x，y)．
课
前 自
(2)平面向量的坐标运算
课 时
主
作
导 学
①已知向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)和实数 λ，那么 a 业
双 基 达
计
标
课 －O→A＝_(_x_2，__y_2_)－__(_x_1_，__y_1)___＝__(x_2_－__x_1_，__y_2－__y_1_)__，即一个
导 学
点)
业
课
教
堂
师
互
备
动
课
探
资
究
源
菜单
SJ·数学 必修4
教
易
学 教
平面向量的坐标表示及坐标运算
错 易
法
误
分 析
【问题导思】
辨 析
教
1．在平面直角坐标系中，分别取与 x 轴、y 轴方向相同 当
学
堂
方 案 设
的两个单位向量 i，j 作为基底，任作一向量O→A.根据平面向
双 基 达
计
标
课 前
量基本定理，O→A＝xi＋yj，那么(x，y)与 A 点的坐标相同吗？
SJ·数学 必修4
教
易
学
错
教
易
法
误
分
辨
析
析
1.理解平面向量的坐标的概念，会写给定向量的
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B、(x+2,y-1)
D、(x+2,y+1)
要点阐释
若两个不共线向量互相垂直时
λ2 a 2
把一个向量分解为两个互相垂直的向量 , 叫做 把 向 量 正 交 分 解
F1
G F2
a
λ1a1
正交分解
要点阐释
y
向量a、b有什么关系?
Hale Waihona Puke a＝byj yjj O i xi xi a b 能说出向量b的坐标吗?
第二章 平面 向量
2.3.2 平面向量的坐标运算(一)
学习要求
1．理解平面向量的正交分解
2. 学会平面向量的坐标表示
自学导引
复习 (1)我们把不共线向量 、e2叫做表示这一平面内所有 a= λ1 e1+ λ2 ee 21
向量的一组基底；
(2)基底不唯一，关键是不共线；
(3)由定理可将任一向量a在给出基底e1、e2的条件下进
b=( x,y )
x
相等的向量坐标相同
要点阐释
如图，在直角坐标平面内，以原
y y a 点O为起点作OA=a，则点A的位
A(x,y)
置由 a唯一确定。 设OA=xi+yj ，则向量OA的坐标
（x,y)就是点A的坐标； x 反过来，点A的坐标 （x,y)也就是向量OA的
j O i x
坐标。 因此，在平面直角坐标系内，每一个平 面向量都可以用一对实数唯一表示。
典例剖析
已知B的坐 标是（m，n）， AB
的坐标为A A、(m-i,n-j)
的坐标为(i,j),则点 A
B、(i-m,j-n)
C、(m+i,n+j)
D、(m+n,i+j)
典例剖析
已知点A(8,2)，点B(3,5) ，将 沿x轴向左平移5个单位得到向量 ，则
AB
CD
(-5， 3) CD ________.
时，会为我们研究问题带来方便。
再见
预习测评
（B） 若向量a （x - 2， 3 ）与向量b （， 1 y 2）相等，那么 A、x=1,y=3 C、x=1,y=-3 B、x=3,y=1 D、x=5,y=-1
预习测评
（C） 已知AB （x，y），B的坐标是（- 2， 1），那么OA的坐标为
A、(x-2,y+1)
C、(-2-x,1-y)
自主探究
y yj a 分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位 向量i、j作为基底.
j 任作一个向量a,由平面向量基本定理知, O i xi x 有且只有一对实数x、 y, 使得a= x i+y j 把(x,y)叫做向量a的坐标，记作a = ( x, y ) 其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y 轴上的坐标
典例剖析
a （2， 1） 若将向量 围绕原点按逆时针方向旋转 b 4 2 3 2 的坐标为（ 得到向量 ，则 ）. b （ ， ）
2 2
课堂总结
向量的坐标表示是一种向量与坐标的对应
关系，它使得向量具有代数意义.将向量的起点平
移到坐标原点，则平移后向量的终点坐标就是向量
的坐标.
在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底
行分解；
(4)基底给定时，分解形式唯一. λ1,λ2是被 a ,e1、e2唯一
确定的数量。
自学导引
复习 平面向量基本定理
如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向
量，那么对于这一平面内的任一向量a，有
且只有一对实数λ1，λ2
使a= λ1 e1+ λ2 e2
自主探究
我们知道，在平面直角坐标系，每一个点都可用 一对有序实数（即它的坐标）表示，对直角坐标 平面内的每一个向量，如何表示？