新北师大版初中九年级数学上册第二章综合练习1强化练习

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北师大版九年级数学上册第二章一元二次方程专题复习练习题

北师大版九年级数学上册第二章一元二次方程专题复习练习题专题一、一元二次方程的解法1、用直接开平方法解方程：（1）x2﹣＝0；（2）2x2+3＝﹣2x2+4；（3）（2x﹣1）2﹣121＝0；（4）（2x+3）2 =（x﹣1）2．2、用配方法解方程：（1）x2﹣4x＝7；（2）2x2﹣4x-1＝0.（3）（4x﹣1）（3﹣x）＝5x+1．3、用因式分解法解方程：（1）2x2﹣5x=0；（2）（x﹣2）2＝3x﹣6；（3）4x2+1=-4x；（4）（x﹣1）（x+3）＝12．4、用公式法解方程：（1）x2x﹣14=0；（2）3x2＝4x+2．5、当x取何值时，代数式3x2+6x﹣8的值与1﹣2x2的值互为相反数？专题二、一元二次方程的应用：增长率及利润问题1、某旅游景区今年5月份游客人数比4月份增加了44%，6月份游客人数比5月份增加了21%，求5月、6月游客人数的平均增长率．2、去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%．（1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；（2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率．3、某种病毒传播非常快，如果一个人被感染，经过两轮感染后就会有81个人被感染．（1）请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一个人会感染几个人？（2）若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的人会不会超过700人？4、阿里巴巴电商扶贫对某贫困地区一种特色农产品进行网上销售，按原价每件300元出售，一个月可卖出100件，通过市场调查发现，单价每降低10元，月销售件数增加20件．已知该农产品的成本是每件200元，在保持月利润不变的情况下，尽快销售完毕，则售价应定为多少元？5、适逢中高考期间，某文具店平均每天可卖出30支2B铅笔，卖出1支铅笔的利润是1元，经调查发现，零售单价每降0.1元，每天可多卖出10支铅笔，为了使每天获取的利润更多，该文具店决定把零售单价下降x元（0＜x＜1）．（1）当x为多少时，才能使该文具店每天卖2B铅笔获取的利润为40元？（2）该文具店每天卖2B铅笔获取的利润可以达到50元吗？如果能，请求出x的值；如果不能，请说明理由．6、某科技公司为提高经济效益，近期研发一种新型设备，每台设备成本价为2万元．经过市场调研发现，该设备的月销售量y（台）和销售单价x（万元）对应的点（x，y）在函数y ＝kx+b的图象上，如图．（1）求y与x的函数关系式；（2）根据相关规定，此设备的销售单价不高于5万元，若该公司要获得80万元的月利润，则该设备的销售单价是多少万元？专题三、一元二次方程的应用：面积问题1、如图，有一块宽为16 m的矩形荒地，某公园计划将其分为A、B、C三部分，分别种植不同的植物．若已知A、B地块为正方形，C地块的面积比B地块的面积少40 m2，试求该矩形荒地的长．2、如图，幼儿园某教室矩形地面的长为8m，宽为5m，现准备在地面正中间铺设一块面积为18m2的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，求四周未铺地毯的条形区域的宽度是多少米.3、在某校园建设过程中，规划将一块长18米，宽10米的矩形场地建设成绿化广场，如图，内部修建三条宽相等的小路，其中一条路与广场的长平行，另两条路与广场的宽平行，其余区域种植绿化，使绿化区域的面积为广场总面积的80%，求广场中间小路的宽．4、如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料做了宽为1米的两扇小门．若花圃的面积刚好为45平方米，则此时花圃的AB段长为多少？5、如图①，有一张长40cm，宽20cm的长方形硬纸片，裁去角上2个小正方形和2个小长方形（图中阴影部分）之后，恰好折成如图②的有盖纸盒．（1）若纸盒的高是3cm，求纸盒底面长方形的长和宽；（2）若纸盒的底面积是150cm2，求纸盒的高．图①图②6、如图所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发，沿AB 边以1cm/s的速度向点B移动；点Q从点B出发，沿BC边以2cm/s的速度向点C移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，问：（1）经过几秒后，△PBQ的面积等于8cm2？（2）经过几秒后，P，Q两点间的距离是cm？专题1参考答案1.解：（1）x1＝，x2＝﹣．（2）x1＝，x2＝﹣．（3）x1＝6，x2＝﹣5．（4）x1=﹣4，x2=﹣2．解：（1）x1＝x2＝2．（2）x1＝1+，x2＝1﹣．（3）x1＝x2＝1．3．解：（1）x1＝0，x2＝52．（2）x1＝2，x2＝5．（3）x1＝x2＝-．（4）x1＝3，x2＝﹣5．4．解：（1）x1＝，x2＝．（2）x1＝，x2＝．5．解：根据题意，得3x2+6x﹣8+1﹣2x2＝0，整理，得x2+6x﹣7＝0，则（x+7）（x﹣1）＝0，∴x+7＝0或x﹣1＝0，解得x1＝﹣7，x2＝1．∴当x取﹣7或1时，代数式3x2+6x﹣8的值与1﹣2x2的值互为相反数．专题2答案：1．解：设5月、6月游客人数的平均增长率是x，依题意有（1+x）2＝（1+44%）×（1+21%），解得：x1＝32%，x2＝﹣2.32（舍去）．答：5月、6月游客人数的平均增长率是32%．2．解：（1）450+450×12%＝504（万元）．答：该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为504万元（2）设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为x，依题意，得：350（1+x）2＝504，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．答：该商店去年8、9月份营业额的月增长率为20%．3．解：（1）设每轮感染中平均一个人会感染x个人，依题意，得：1+x+x（1+x）＝81，解得：x1＝8，x2＝﹣10（不合题意，舍去）．答：每轮感染中平均一个人会感染8个人．（2）81×（1+8）＝729（人），729＞700．答：若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的人会超过700人．4．解：当售价为300元时月利润为（300﹣200）×100＝10000（元）．设售价应定为x元，则每件的利润为（x﹣200）元，月销售量为100+＝（700﹣2x）件，依题意，得：（x﹣200）（700﹣2x）＝10000，整理，得：x2﹣550x+75000＝0，解得：x1＝250，x2＝300（舍去）．答：售价应定为250元．5．解：（1）根据题意得：（1﹣x）（100x+30）＝40，整理得：10x2﹣7x+1＝0，解得：x1＝0.2，x2＝0.5．答：当x为0.2或0.5时，才能使该文具店每天卖2B铅笔获取的利润为40元．（2）根据题意得：（1﹣x）（100x+30）＝50，整理得10x2﹣7x+2＝0，＝b2﹣4ac＝（﹣7）2﹣4×10×2＝﹣31＜0．答：该文具店每天卖2B铅笔获取的利润不可以达到50元．6．解：（1）依题意有，解得．故y与x的函数关系式是y＝﹣10x+80．（2）设该设备的销售单价为x万元/台，依题意有（x﹣2）（﹣10x+80）＝80，整理方程，得x2﹣10x+24＝0．解得x1＝4，x2＝6．∵此设备的销售单价不高于5万元，∴x2＝6（舍去），∴x＝4．答：该设备的销售单价是4万元．专题3答案：1．解：设B地块的边长为x m，根据题意得：x2﹣x（16﹣x）＝40，解得：x1＝10，x2＝﹣2（不符题意，舍去），∴10+16＝26 m．答：矩形荒地的长为26 m．2．解：设四周未铺地毯的条形区域的宽度是x m，依题意，得：（8﹣2x）（5﹣2x）＝18，整理，得2x2﹣13x+11＝0，解得x1＝1，x2＝．又∵5﹣2x＞0，∴x＜，∴x＝1．答：四周未铺地毯的条形区域的宽度是1 m．3．解：设广场中间小路的宽为x米，依题意，得：（18﹣2x）（10﹣x）＝18×10×80%，整理，得：x2﹣19x+18＝0，解得：x1＝1，x2＝18．又∵18﹣2x＞0，∴x＜9，∴x＝1．答：广场中间小路的宽为1米4．解：设AB＝x米，则BC＝（22﹣3x+2）米，依题意，得：x（22﹣3x+2）＝45，整理，得：x2﹣8x+15＝0，解得：x1＝3，x2＝5．当x＝3时，22﹣3x+2＝15＞14，不合题意，舍去；当x＝5时，22﹣3x+2＝9，符合题意．答：若花圃的面积刚好为45平方米，则此时花圃的AB段长为5米．5．解：（1）纸盒底面长方形的长为（40﹣2×3）÷2＝17（cm），纸盒底面长方形的宽为20﹣2×3＝14（cm）．答：纸盒底面长方形的长为17cm，宽为14cm．（2）设当纸盒的高为x cm时，纸盒的底面积是150cm2，依题意，得×（20﹣2x）＝150，化简，得：x2﹣30x+125＝0，解得x1＝5，x2＝25．当x＝5时，20﹣2x＝10＞0，符合题意；当x＝25时，20﹣2x＝﹣30＜0，不符合题意，舍去．答：若纸盒的底面积是150 cm2，则纸盒的高为5 cm．6．解：（1）设经过x秒后，△PBQ的面积等于8 cm2，则BP＝（6﹣x）cm，BQ＝2x cm，依题意，得（6﹣x）×2x＝8，化简，得x2﹣6x+8＝0，解得x1＝2，x2＝4．答：经过2秒或4秒后，△PBQ的面积等于8 cm2．（2）设经过y秒后，P，Q两点间距离是cm，则BP＝（6﹣y）cm，BQ＝2y cm，依题意，得：（6﹣y）2+（2y）2＝（）2，化简，得：5y2﹣12y﹣17＝0，解得：y1＝，y2＝﹣1（不合题意，舍去）．答：经过秒后，P，Q两点间的距离是cm．。

北师大版九年级数学上册第二章一元二次方程综合测试卷(含答案)

北师版九年级数学上册第二章一元二次方程综合测试卷(时间90分钟，满分120分)一、选择题（共10小题，3*10=30）1．用公式法解方程x 2＋3x ＝1时，先求出a ，b ，c 的值，则a ，b ，c 的值依次为( ) A ．1，3，1B ．1，3，－1C ．－1，－3，－1D ．－1，3，12．关于x 的一元二次方程(a －1)x 2＋x ＋|a|－1＝0的一个根为0，则实数a 的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．－1或1 3．用配方法解下列方程，配方错误的是( ) A ．x 2＋2x －99＝0，化为(x ＋1)2＝100 B ．t 2－7t －4＝0，化为(t －72)2＝654C ．2x 2－4x －3＝0，化为(x －1)2＝12D ．3x 2－4x －2＝0，化为(x －23)2＝1094．方程(x ＋1)2＝0的根是( ) A ．x 1＝x 2＝1 B ．x 1＝x 2＝－1 C ．x 1＝－1，x 2＝1 D ．无实根5．已知x 1，x 2是关于x 的方程x 2＋bx －3＝0的两根，且满足x 1＋x 2－3x 1x 2＝5，那么b 的值为( ) A ．4 B ．－4 C ．3 D ．－36. 在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手10次，设有x 人参加这次聚会，则列出方程正确的是( ) A ．x(x －1)＝10 B ．x x －12＝10 C ．x(x ＋1)＝10D ．x x ＋12＝10 7．设x 1，x 2是方程x 2－4x ＋m ＝0的两个根，且x 1＋x 2－x 1x 2＝1，那么m 的值为( ) A ．2 B ．－3 C ．3D ．－28．已知菱形ABCD 的边长是5，两条对角线AC ，BD 相交于点O ，且AO ，BO 的长恰好是关于x 的方程x 2＋(2m －1)x ＋m 2＋3＝0的两根，则m 的值为( )9．如图，矩形ABCD 是由三个矩形拼接成的，如果AB ＝8，阴影部分的面积是24，另外两个小矩形全等，那么小矩形的长为( )A ．2B ．3C ．4D ．610．若关于x 的方程ax 2＋(a ＋2)x ＋14a ＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2，且x 1＜1＜x 2，那么实数a的取值范围是( )A ．a ＜－1B ．－1＜a ＜0C ．a ＞－89D ．－89＜a ＜0二．填空题（共8小题，3*8=24）11．方程(x －10)(x ＋1)＝－3x 2＋2的二次项系数是，一次项系数是，常数项是.12. 已知关于x 的一元二次方程x 2＋kx －6＝0有一个根为－3，则方程的另一个根为.13．直角三角形两条直角边的长的比是5∶12，斜边的长为130 cm ，则这个直角三角形的面积是cm 2.14．方程x 2－4x ＋3＝0的解是 .15．有一人患了流感，经过两轮传染共有169人患了流感，每轮传染中平均一人传染了人． 16．如果1与3是方程x 2＋px ＋q ＝0的两个根，那么p ＝，q ＝ .17．若关于x 的一元二次方程(k －1)x2＋4x ＋1＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是_________________.18．将4个数a ，b ，c ，d 排成2行2列，两边各加一条竖直线记成⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ，定义⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，上述记号叫做2阶行列式．若⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1 －32 x －1＝7，则x ＝ .三．解答题（共7小题， 66分） 19．(8分) 用恰当的方法解方程： (1)(x ＋1)2＝3(x ＋1); (2)(x －3)(x ＋2)＝6.20．(8分) 现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．据调查，某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，求该快递公司投递快递总件数的月平均增长率．21．(8分) 关于x的方程2x2－(a2－4)x－a＋1＝0.(1)a为何值时，方程的一根为0?(2)a为何值时，两根互为相反数？22．(10分) 如图，一块长和宽分别为40厘米和25厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体纸盒，使它的底面积为450平方厘米．那么纸盒的高是多少？23．(10分)一个矩形周长为56厘米．(1)当矩形面积为180平方厘米时，长，宽分别为多少？(2)能围成面积为200平方厘米的矩形吗？请说明理由．24．(10分)设m是不小于－1的实数，使得关于x的方程x2＋2(m－2)x＋m2－3m＋3＝0有两个不相等的实数根x1，x2.(1)若1x1＋1x2＝1，求13－2m的值；(2)求mx11－x1＋mx21－x2－m2的最大值．25．(12分) 如图，AO＝BO＝50 cm，OC是一条射线，OC⊥AB于点O，一只蚂蚁由点A以2 cm/s 的速度向B爬行，同时另一只蚂蚁由点O以3 cm/s的速度沿OC方向爬行，是否存在这样的时刻，使两只蚂蚁与点O组成的三角形的面积为450 cm2？若存在，请说明在什么时刻；若不存在，请说明理由．参考答案1-5 BACBA 6-10BCADD11. 4，-9，-1212. 213. 300014. x＝1或x＝315. 1216. -4，317. k＜5且k≠118. 0或219. 解：(1)原方程可化为x＋1x＋1－3＝0，即x＋1x－2＝0，∴x＋1＝0或x－2＝0.解得x1＝－1，x2＝2.(2)原方程可化为x2－x－12＝0，即x＋3x－4＝0，∴x＋3＝0或x－4＝0.解得x1＝－3，x2＝4.20. 解：设该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为x，根据题意，得10(1＋x)2＝12.1，解得x1＝0.1，x2＝－2.1(不合题意，舍去)．∴该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为10%21. 解：(1)由方程的一根为0可得－a＋1＝0，∴a＝1(2)设方程的两根分别为x1，x2，∵两根互为相反数，∴x1＋x2＝0.∴a2－42＝0.∴a＝±2.∵当a＝－2时，方程2x2－(a2－4)x－a＋1＝0无解，∴a＝222. 解：设纸盒的高是x厘米，则长方体底面的长和宽分别是(40－2x)厘米和(25－2x)厘米．由题意，得(40－2x)(25－2x)＝450，即2x2－65x＋275＝0，解得x 1＝5，x 2＝552(不合题意舍去)．答：纸盒的高是5厘米．23. 解：(1)设矩形的长为x 厘米，则宽为(28－x)厘米，依题意，有x(28－x)＝180，解得x 1＝10(舍去)，x 2＝18. 则28－x ＝28－18＝10，∴矩形的长和宽分别为18厘米，10厘米 (2)设矩形的长为y 厘米，则宽为(28－y)厘米，依题意，有y(28－y)＝200，化简，得y 2－28y ＋200＝0，∴Δ＝282－4×200＝784－800＝－16＜0， ∴原方程无实数根．故不能围成一个面积为200平方厘米的矩形 24. 解：(1)∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ＝b 2－4ac ＝4(m －2)2－4(m 2－3m ＋3)＝－4m ＋4＞0， ∴m ＜1.结合题意知－1≤m ＜1.由根与系数的关系可知x 1＋x 2＝－2(m －2)，x 1x 2＝m 2－3m ＋3. (1)1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝－2（m －2）m 2－3m ＋3＝1，解得m 1＝1－52，m 2＝1＋52(不合题意，舍去)，∴13－2m＝5－2 (2)mx 11－x 1＋mx 21－x 2－m 2＝m （x 1＋x 2）－2mx 1x 21－（x 1＋x 2）＋x 1x 2－m 2＝－2(m －1)－m 2 ＝－(m ＋1)2＋3≤3， ∴最大值为325. 解：存在．有两种情况：(1)如图①，当蚂蚁在AO 上运动时，设x s 后两只蚂蚁与O 点组成的三角形面积为450 cm 2，由题意，得12×3x×(50－2x)＝450，整理，得x 2－25x ＋150＝0，解得x 1＝15，x 2＝10(2)如图②，当蚂蚁在OB 上运动时，设x s 后，两只蚂蚁与O 点组成的三角形面积为450 cm 2，由题意，得12×3x(2x －50)＝450，整理，得x 2－25x －150＝0，解得x 1＝30，x 2＝－5(舍去)．答：在15 s 或10 s 或30 s 时，两蚂蚁与点O 组成的三角形的面积均为450 cm 2。

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【最新整理，下载后即可编辑】北师大版九年级上册数学第二章一元二次方程练习题一、选择题（每小题3分，共36分）1.用配方法解方程x 2+8x+9=0时，应将方程变形为 ( )A.(x+4)2=7B.(x+4)2=－9C.(x+4)2=25D.(x+4)2=－72.已知m 是方程x 2-x-1=0的一个根，则代数式m 2-m 的值等于（）A.-1B.0C.1D.23.若α、β是方程x 2+2x-2005=0的两个实数根，则α2+3α+β的值为（）A.2005B.2003C.-2005D.40104.关于x 的方程kx 2+3x-1=0有实数根，则k 的取值范围是（）A.k ≤-49B.k ≥-49且k ≠0C.k ≥-49D.k ＞-49且k ≠05.在某次同学聚会上，每两人都互赠了一件礼物，所有人共送了210份礼物，设有x 人参加这次聚会，则列出方程正确的是（） A .210)1(=-x x B .2102)1(=-x x C . 210)1(=+x x D . 2102)1(=+x x 6.已知关于x 的方程x 2-（2k-1）x+k 2=0有两个不相等的实根，那么k 的最大整数值是（）A.-2B.-1C.0D.17.某城2004年底已有绿化面积300公顷，经过两年绿化，绿化面积逐年增加，到2006年底增加到363公顷，设绿化面积平均每年的增长率为x ，由题意所列方程正确的是（）A.300（1+x ）=363B.300（1+x ）2=363C.300（1+2x ）=363D.363（1-x ）2=3008.方程x 2=3x 的根是（）A.x=3B.x=0C.x 1=-3，x 2=0D.x 1=3，x 2=09.如果一元二次方程3x 2-2x =0的两根为x 1，x 2，则x 1·x 2的值等于（）A.0B.2C.32D.32-10.关于x 的方程2(3)210a x x a -++-=是一元二次方程的条件是（）A.0a ≠ B.3a ≠ C.a ≠ D.3a ≠-11.甲、乙两个同学分别解一道一元二次方程，甲因把一次项系数看错了，而解得方程两根为-3和5，乙把常数项看错了，解得两根为2+6和2-6，则原方程是（）A.x 2+4x-15=0B.x 2-4x+15=0C.x 2+4x+15=0D.x 2-4x-15=012.方程x 2-9x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（）A.12B.12或15C.15D.不能确定二、填空题（每小题3分，共30分）12.若关于x 的方程2x 2-3x+c=0的一个根是1，则另一个根是．13.已知1x =-是方程260x ax -+=的一个根，则a=_______，另一个根为______.14.方程(m 2－1)x 2+(m －1)x+1=0，当m ____时，是一元二次方程；当m 时，是一元一次方程.15.若的值为则的解为方程10522++=-+a a ，x x a .16.已知m 是方程022=--x x 的一个根，则代数式m m -2的值等于 .17.当m 时，关于x 的方程(m －1)12+m x +5+mx=0是一元二次方程.．18.如果（2a+2b+1）（2a+2b-1）=63，那么a+b 的值是． 19.等腰△ABC 中，BC=8，AB 、AC 的长是关于x 的方程x 2-10x+m=0的两根，则m 的值是．20.关于x 的一元二次方程0322=+++m m x mx 有一个根为零，那m 的值等于 .21.某化工厂今年一月份生产化工原料15万吨，通过优化管理，产量逐月上升，第一季度共生产化工原料60万吨，设一、二月份平均增长的百分率相同，均为x ，可列出方程为_____________ .三、解答题（共84分）22.解方程（每小题4分，共24分）（1）（x-5）2=16 （2）x 2-4x+1=0（3）42)2)(1(+=++x x x （4）3x 2–4x –1=0（5）()()752652x x x +=+ （6）x 2+5x-24=023.（7分）已知：x 1、x 2是关于x 的方程x 2+（2a-1）x+a 2=0的两个实数根，且（x 1+2）（x 2+2）=11，求a 的值．24.（8分）已知：关于x 的方程x 2-2（m+1）x+m 2=0（1）当m 取何值时，方程有两个实数根？（2）为m 选取一个合适的整数，使方程有两个不相等的实数根，并求这两个根．25.（8分）如下图，某小区规划在长32米，宽20米的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的3条小路，使其中两条与AD平行，一条与AB平行，其余部分种草，若使草坪的面积为570米2，问小路应为多宽？26.（8分）已知a、b、c分别是△ABC中∠A、∠B、∠C所对的边，且关于x的方程（c-b）x2+2（b-a）x+（a-b）=0有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状．27.（8分）如图1，有一面积为150m2的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18m），另三边用竹篱笆围成，如果竹篱笆的长为35m，求鸡场的长与宽各为多少米？28.（8分）某省为解决农村饮用水问题，省财政部门共投资20亿元对各市的农村饮用水的“改水工程”予以一定比例的补助,2008年，A市在省财政补助的基础上投入600万元用于“改水工程”，计划以后每年以相同的增长率投资，2010年该市计划投资“改水工程”1176万元。

新北师大版九年级数学上册：第二章一元二次方程同步练习(含答案)

第二章一元二次方程1认识一元二次方程第1课时一元二次方程01基础题知识点1一元二次方程的概念1．下列方程中，关于x的一元二次方程是(D)A．ax2＋bx＋c＝0 B.2x2＋x＝2C．x2＋2x＝x2＋1 D．2＋x2＝02．若关于x的方程(m＋1)x2＋2mx－3＝0是一元二次方程，则m的取值范围是(C)A．任意实数B．m≠1C．m≠－1 D．m＞1知识点2一元二次方程的一般形式3．一个关于x的一元二次方程，它的二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为－5，则这个一元二次方程是2x2＋3x－5＝0.4知识点35．某校准备修建一个面积为180平方米的矩形活动场地，它的长比宽多11米，设场地的宽为x米，则可列方程为(C)A．x(x－11)＝180 B．2x＋2(x－11)＝180C．x(x＋11)＝180 D．2x＋2(x＋11)＝1806．(教材P32习题T1(2)变式)两个连续偶数的平方和是100，求这两个数．若设最小的数为x，则可列方程为x2＋(x ＋2)2＝100．易错点1确定各项时未化为一般形式而出错7．若一元二次方程2x2－(m＋1)x＋1＝x的一次项系数为－3，则m的值为1．易错点2忽视二次项系数不为0的条件而致错8．已知(m－2)x|m|＋x＝1是关于x的一元二次方程，则m的值是－2．02中档题9．若将关于x的一元二次方程3x2＋x－2＝ax(x－2)化成一般形式后，其二次项系数为1，常数项为－2，则该方程中的一次项系数为(A)A．5 B．3C．－5 D．－310．(教材P31引例变式)为宣传“扫黑除恶”专项行动，社区准备制作一幅宣传版面，喷绘时为了美观，要在矩形图案四周外围增加一圈等宽的白边，已知图案的长为2米，宽为1米，图案面积占整幅宣传版面面积的90%.若设白边的宽为x米，则根据题意可列出方程(B)A．90%×(2＋x)(1＋x)＝2×1B．90%×(2＋2x)(1＋2x)＝2×1C．90%×(2－2x)(1－2x)＝2×1D．(2＋2x)(1＋2x)＝2×1×90%11．【易错】若关于x的一元二次方程(2a－4)x2＋(a2－4)x＋a－8＝0没有一次项，则a的值为－2.12．已知关于x的方程为(k2－1)x2＋(k＋1)x－2＝0.(1)当k取何值时，此方程为一元一次方程？并求出此方程的根；(2)当k取何值时，此方程为一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项．解：(1)k＝1，x＝1.(2)k≠±1，二次项系数为k2－1，一次项系数为k＋1，常数项为－2.第2课时一元二次方程的解的估算01基础题知识点1一元二次方程的解1．下列各数中，是方程x2＝4x－3的解的是(C)A．－1 B．0 C．1 D．22．(盐城中考)已知一元二次方程x 2＋kx －3＝0有一个根为1，则k 的值为(B)A ．－2B ．2C ．－4D ．4 3．【整体思想】若a 是方程2x 2－x －3＝0的一个解，则2a 2－a 的值为(A)A ．3B ．－3C ．9D ．－9 4．写出一个根为x ＝－1的一元二次方程，它可以是x 2－1＝0(答案不唯一)．知识点2 估计一元二次方程的近似解 5．根据下表：确定方程x 2－3x －5＝0A ．－3＜x ＜－2或4＜x ＜5 B ．－2＜x ＜－1或5＜x ＜6 C ．－3＜x ＜－2或5＜x ＜6 D ．－2＜x ＜－1或4＜x ＜562x ＝－2或x ＝4．02 中档题7．(宁夏中考)若2－3是方程x 2－4x ＋c ＝0的一个根，则c 的值是(A)A ．1B ．3－ 3C ．1＋ 3D ．2＋ 38．(本课时T3变式)若关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋5＝0(a ≠0)的一个根为x ＝1，则2 019－a －b 的值是(D)A ．2 019B ．2 022C ．2 023D ．2 0249．(南充中考)若2n(n ≠0)是关于x 的方程x 2－2mx ＋2n ＝0的根，则m －n 的值为12．10(1)x 1＝2，x 2＝3；(2)根据上表可知方程x 2－4x ＋2＝0的根x 的值介于0与1、3与4之间．11．小颖在做作业时，一不小心，一个方程3x 2－■x －5＝0的一次项系数被墨水盖住了，但从题目的条件中，她知道方程的解为x ＝5，请你帮助她求出被覆盖的数是多少．解：设被覆盖的数是a ，将x ＝5代入原方程，得 3×52－5a －5＝0. 解得a ＝14.∴被覆盖的数是14.12．(教材P35习题T3变式)对于向上抛出的物体，在没有空气阻力的条件下，有如下关系：h ＝vt －12gt 2，其中h是离抛出点所在平面的高度，v 是初速度，g 是重力加速度(g ＝10 m/s 2)，t 是抛出后所经过的时间．如果将一物体以25 m/s 的初速度向上抛出，几秒钟后它在离抛出点20 m 高的地方？解：由题意，得25t －5t 2＝20，列表略，估算，当t ＝1 s 和t ＝4 s 时，物体在离抛出点20 m 高的地方．03 综合题13．【整体思想】已知关于m 的一元二次方程7nm 2－n 2m －2＝0的一个根为2，求n 2＋n －2的值．解：把m ＝2代入方程，得47n －2n 2－2＝0.两边同时除以－2n ，得－27＋n ＋n －1＝0.即n ＋n －1＝27.两边平方，得n 2＋n －2＋2＝28.∴n 2＋n －2＝26.2 用配方法求解一元二次方程第1课时用配方法解简单的一元二次方程01 基础题知识点1 直接开平方法 1．方程x 2－9＝0的解是(A)A ．x 1＝3，x 2＝－3B ．x ＝0C ．x 1＝x 2＝3D ．x 1＝x 2＝－32．若关于x 的方程x 2＝a 没有实数根，则实数a 的取值范围是a ＜0． 3．解方程： (1)3x 2＝243；解：x 2＝81. x ＝±9.∴x 1＝9，x 2＝－9.(2)(x －3)2－9＝0；解：(x －3)2＝9. x －3＝±3.∴x 1＝0，x 2＝6.(3)4(x －1)2＝25.解：(x －1)2＝254.x －1＝±52.∴x 1＝72，x 2＝－32.知识点2 用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程 4．用配方法解方程：x 2＋2x －1＝0. 解：移项，得x 2＋2x ＝1．配方，得x 2＋2x ＋1＝1＋1，即(x ＋1)2＝2．两边开平方，得x ＋1＝即x ＋1＝＋1＝－所以x 1x 25．(临沂中考)一元二次方程y 2－y －34＝0配方后可化为(B)A ．(y ＋12)2＝1B ．(y －12)2＝1C ．(y ＋12)2＝34D ．(y －12)2＝346．若将方程x 2＋6x ＝7化为(x ＋m)2＝16，则m ＝3.7．已知方程x 2－6x ＋q ＝0可转化为x －3＝±7，则q ＝2. 8．解方程： (1)x 2＋4x ＝2；解：配方，得x 2＋4x ＋4＝6. 即(x ＋2)2＝6.两边开平方，得x ＋2＝±6. ∴x 1＝－2＋6，x 2＝－2－ 6.(2)x 2－2x －24＝0；解：移项，得x 2－2x ＝24.配方，得x 2－2x ＋1＝24＋1，即(x －1)2＝25. 两边开平方，得x －1＝±5. ∴x 1＝6，x 2＝－4.(3)x 2＋3x －4＝0；解：移项，得x 2＋3x ＝4.配方，得x 2＋3x ＋(32)2＝4＋(32)2，即(x ＋32)2＝254.两边开平方，得x ＋32＝±52.∴x 1＝1，x 2＝－4.(4)x 2－6x －4＝0.解：移项，得x 2－6x ＝4. 配方，得x 2－6x ＋9＝4＋9. 即(x －3)2＝13.两边开平方，得x －3＝±13. ∴x 1＝3＋13，x 2＝3－13.02 中档题9．下列方程一定有解的是(A)A ．(x ＋5)2＝a 2＋1B ．(x －3)2＋1＝0C ．(x ＋a)2＝bD ．(ax ＋3)2＋a 2＝010．若一元二次方程x 2－8x ＝48可表示成(x －a)2＝48＋b 的形式，则a ＋b 的值为(A)A ．20B ．12C ．－12D ．－2011．如图是一个简单的数值运算程序，则输入x 的值为(B)输入x ―→（x －1）2―→×（－3）―→输出－27A ．3或－3B ．4或－2C ．1或3D ．2712．【整体思想】若(x 2＋y 2－5)2＝64，则x 2＋y 2等于(A)A ．13B ．13或－3C ．－3D ．以上都不对13．将x 2＋6x ＋4进行配方变形后，可得该多项式的最小值为－5. 14．(益阳中考)规定：＝(a ＋b)b ，如：＝(2＋3)×3＝15.若＝3，则x ＝1或－3．15．若一元二次方程x 2－2x －3 599＝0的两根为a ，b ，且a ＞b ，则2a －b 的值为181. 16．解方程：(1)x 2－2x ＝2x ＋1；解：移项，得x 2－4x ＝1，配方，得x 2－4x ＋4＝1＋4，即(x －2)2＝5.两边开平方，得x －2＝±5， ∴x 1＝2＋5，x 2＝2－ 5.(2)x 2－53x －23＝0；解：移项，得x 2－53x ＝23，配方，得x 2－53x ＋(56)2＝23＋(56)2，两边开平方，得x －56＝±76，∴x 1＝－13，x 2＝2.(3)x 2－22x －3＝0.解：配方，得x 2－22x ＋(2)2－(2)2－3＝0，即(x －2)2＝5.两边开平方，得x －2＝5或x －2＝－5， ∴x 1＝2＋5，x 2＝2－ 5.17．我们把⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d 称作二阶行列式，规定⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，例如：⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 21 5＝8，运算，得5x －2＝8，x ＝2.按照这种运算的规定，若⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2x 2 x ＝5，求x 的值．解：∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2x 2 x ＝5，∴x 2－4x ＝5. 配方，得x 2－4x ＋4＝5＋4，即(x －2)2＝9.两边开平方，得x －2＝±3. ∴x 1＝－1，x 2＝5.03 综合题18．【关注数学文化】(舟山中考)欧几里得的《原本》记载，形如x 2＋ax ＝b 2的方程的图解法是：画Rt △ABC ，使∠ACB ＝90°，BC ＝a 2，AC ＝b ，再在斜边AB 上截取BD ＝a2，则该方程的一个正根是(B)A ．AC 的长B ．AD 的长C ．BC 的长D ．CD 的长提示：将x 2＋ax ＝b 2配方，得(x ＋a 2)2＝(a2)2＋b 2，在Rt △ABC 中，由勾股定理，得b 2＋(a 2)2＝(AD ＋a2)2.所以AD 的长即为方程的一个正根．第2课时用配方法解较复杂的一元二次方程01 基础题知识点用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程 1．下列对方程2x 2－7x －1＝0的变形，正确的是(B)A ．(x ＋74)2＝5716B ．(x －74)2＝5716C ．(x －74)2＝4116D ．(x ＋74)2＝41162．用配方法解方程： 2x 2－3x －2＝0.解：二次项系数化为1，移项，得x 2－32x ＝1．配方，得x 2－32x ＋916＝2516．方程两边同时开平方，得 x －34＝±54． ∴x 1＝2，x 2＝－12．3．用配方法解方程2x 2－x ＝4，配方后方程可化为(x －14)2＝3316．4．解方程：(1)3x 2＋6x －1＝0；解：x 1＝－1＋233，x 2＝－1－233.(2)4x 2－7x ＋2＝0.解：x 1＝78＋178，x 2＝78－178.02 中档题5．如果一个一元二次方程的二次项是2x 2，经过配方整理得(x －12)2＝1，那么它的一次项和常数项分别是(C)A ．－x ，－34B ．－2x ，－12C ．－2x ，－32D ．x ，－326．多项式x 2＋y 2－4x ＋6y ＋12的最小值是(B)A ．－2B ．－1C ．0D ．12 7．解方程： (1)23x 2＋13x －2＝0；解：x 1＝32，x 2＝－2.(2)2x 2－22x ＋1＝0. 解：(2x －1)2＝0， 2x －1＝0，∴x 1＝x 2＝22.03 综合题8．已知代数式A ＝2m 2＋3m ＋7，代数式B ＝m 2＋5m ＋5，试比较A 与B 的大小．解：A －B ＝2m 2＋3m ＋7－m 2－5m －5 ＝m 2－2m ＋2 ＝(m －1)2＋1.∵(m －1)2≥0，∴(m －1)2＋1>0. ∴A －B>0，即A>B.利用配方法求最值【方法指导】用配方法求二次三项式的最值，需要把二次三项式配方成a(x ＋h)2＋k 的形式，当a ＜0，x ＝－h 时，该二次三项式有最大值k ；当a ＞0，x ＝－h 时，该二次三项式有最小值k. 当x ＝3时，代数式x 2－6x ＋10有最小(填“大”或“小”)值，是1．【变式1】当x ＝2时，代数式2x 2＋8x －3有最小值(填“大”或“小”)，是－11．【变式2】当x ＝－4时，代数式－12x 2－4x ＋7的最大值是15．3 用公式法求解一元二次方程第1课时公式法01 基础题知识点1 一元二次方程的求根公式1．利用求根公式求方程3x 2＋4＝5x 的根时，将方程化为一般形式，得3x 2－5x ＋4＝0．所以a ＝3，b ＝－5，又因为求根公式x 2a所以代入a ，b ，c 的值得x 知识点2 用公式法解一元二次方程 2．一元二次方程x 2－x －1＝0的根是(B)A ．x 1＝－1＋52，x 2＝－1－52B ．x 1＝1＋52，x 2＝1－52C ．x 1＝1＋32，x 2＝1－32D ．没有实数根3．用公式法解方程x 2－4x ＋3＝0，其中b 2－4ac ＝4，x 1＝1，x 2＝3． 4．解方程：(1)x 2＋4x －1＝0；解：∵a ＝1，b ＝4，c ＝－1， ∴b 2－4ac ＝42－4×1×(－1)＝20.∴x ＝－4±202×1.∴x 1＝－2＋5，x 2＝－2－ 5.(2)x 2－5x ＋3＝0；解：∵a ＝1，b ＝－5，c ＝3， ∴b 2－4ac ＝(－5)2－4×1×3＝13.∴x ＝－（－5）±132×1.∴x 1＝5＋132，x 2＝5－132.(3)3x 2＋2x ＋1＝0；解：∵a ＝3，b ＝2，c ＝1，∴b 2－4ac ＝4－4×3×1＝－8<0. ∴原方程没有实数根．(4)2x 2－1＝3x.解：∵a ＝2，b ＝－3，c ＝－1，∴b 2－4ac ＝(－3)2－4×2×(－1)＝17.∴x ＝－（－3）±172×2.∴x 1＝3＋174，x 2＝3－174.知识点3 一元二次方程根的判别式5．(滨州中考)一元二次方程x 2－2x ＝0根的判别式的值为(A)A ．4B ．2C ．0D ．－4 6．(河南中考)下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是(B)A ．x 2＋6x ＋9＝0B ．x 2＝xC ．x 2＋3＝2xD ．(x －1)2＋1＝07．若关于x 的方程x 2＋2x ＋a ＝0不存在实数根，则a 的取值范围是(B)A ．a ＜1B ．a ＞1C ．a ≤1D ．a ≥18．(安徽中考)若关于x 的一元二次方程x(x ＋1)＋ax ＝0有两个相等的实数根，则实数a 的值为(A)A ．－1B ．1C ．－2或2D ．－3或19．(宁夏中考)关于x 的方程2x 2－3x ＋c ＝0有两个不相等的实数根，则c 的取值范围是c<98．易错点概念不清10．若关于x 的方程kx 2－2x －1＝0有实数根，则实数k 的取值范围是k ≥－1．【变式】 (菏泽中考)关于x 的一元二次方程(k ＋1)x 2－2x ＋1＝0有两个实数根，则k 的取值范围是k ≤0且k ≠－1． 02 中档题11．下列选项中，能使关于x 的一元二次方程ax 2－4x ＋c ＝0一定有实数根的是(D)A ．a>0B ．a ＝0C ．c>0D ．c ＝012．已知a ，b ，c 为常数，点P(a ，c)在第二象限，则关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根的情况是(B)A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．没有实数根D ．无法判断13．(包头中考)已知关于x 的一元二次方程x 2＋2x ＋m －2＝0有两个实数根，m 为正整数，且该方程的根都是整数，则符合条件的所有正整数m 的和为(B)A ．6B ．5C ．4D ．314．在实数范围内定义一种运算“*”，使a*b ＝(a ＋1)2－ab ，则方程(x ＋2)*5＝0的解为x 1＝2，x 2＝215．用公式法解方程：(x －1)(1＋2x)＝2. 解：方程化为一般形式，得2x 2－x －3＝0. x ＝－（－1）±（－1）2－4×2×（－3）2×2，x 1＝－1，x 2＝32.16．已知关于x 的一元二次方程kx 2－2x －1＝0. (1)若方程有实数根，求k 的取值范围；(2)选取一个你喜欢的正整数值作为k 的值，使方程有实数根，并解方程．解：(1)∵关于x 的一元二次方程kx 2－2x －1＝0有实数根， ∴⎩⎪⎨⎪⎧k ≠0，Δ＝（－2）2－4×k ×（－1）≥0. 解得k ≥－1且k ≠0.(2)取k ＝3，此时原方程为3x 2－2x －1＝0，解得x 1＝－13，x 2＝1.(答案不唯一，k 取值为k ≥－1且k ≠0的正整数即可)．03 综合题17．【易错】等腰三角形的腰长和底边长是方程x 2－22x ＋1＝0的两根，则它的周长是根据一元二次方程根的情况求字母系数的取值(范围)【方法指导】关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有实数根，注意对a 分类讨论． (1)当a ＝0，且b ≠0时，方程为一元一次方程，必有实数根；(2)当a ≠0时，方程为一元二次方程：①当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；③当Δ<0时，方程没有实数根．已知关于x 的一元二次方程m 2x 2＋(2m ＋1)x ＋1＝0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是m>－14且m ≠0．【变式1】若该一元二次方程有两个相等的实数根，则m 的值为－14．【变式2】若该一元二次方程没有实数根，则m 的取值范围是m ＜－14．【变式3】若该一元二次方程有实数根，则m 的取值范围是m ≥－14且m ≠0．【变式4】若方程m 2x 2＋(2m ＋1)x ＋1＝0有解，则m 的取值范围是m ≥－14．第2课时公式法的应用01 基础题知识点公式法的应用1．从一块正方形木板上锯掉3 m 宽的长方形木条，剩下的面积是54 m 2，则原来这块木板的面积是(C)A ．9 m 2B ．64 m 2C ．81 m 2D ．121 m 22．如图，小明家有一块长1.50 m ，宽1 m 的矩形地毯，为了使地毯美观，小明请来工匠在地毯的四周镶上宽度相同的花色地毯，镶完后地毯的面积是原地毯面积的2倍，则花色地毯的宽为0.25m.3．(深圳中考)一个矩形周长为56 cm.(1)当矩形面积为180 cm 2时，长、宽分别为多少？ (2)能围成面积为200 cm 2的矩形吗？请说明理由．解：(1)设矩形的长为x cm ，则宽为(28－x)cm ，依题意，得 x(28－x)＝180.解得x 1＝10(舍去)，x 2＝18. 则28－x ＝28－18＝10.答：长为18 cm ，宽为10 cm.(2)设矩形的长为x cm ，则宽为(28－x)cm ，依题意，得 x(28－x)＝200.化简，得x 2－28x ＋200＝0.∴Δ＝282－4×200＝784－800＝－16＜0. ∴原方程无实数根．故不能围成一个面积为200 cm 2的矩形．02 中档题4．【关注数学文化】中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》有这么一道题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？经过计算，你的结论是：长比宽多(A)A ．12步B ．24步C ．36步D ．48步5．如图，要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，则羊圈的边长AB 为20米．6．(教材P44随堂练习变式)(白银中考改编)如图，某小区计划在一块长为32 m ，宽为20 m 的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植成草坪，使草坪的面积为570 m 2.求道路的宽．解：设道路的宽为x m ．根据题意，得 (32－2x)(20－x)＝570. 整理，得x 2－36x ＋35＝0.解得x 1＝1，x 2＝35(不合题意，舍去)．答：道路的宽为1 m.7．在一块长16 m ，宽12 m 的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园面积是荒地面积的一半，如图所示分别是小华与小芳的设计方案．同学们都认为小华的方案是正确的，但对小芳方案是否符合条件有不同意见，你认为小芳的方案符合条件吗？若不符合，请你依照小芳的方案设计小路的宽度．解：不符合．设小路的宽度均为x 米，则花园的长为(16－2x)米，宽为(12－2x)米，根据题意，得(16－2x)(12－2x)＝12×16×12.解得x 1＝2，x 2＝12(舍去)．∴小芳的方案不符合条件，小路的宽度应为2米． 03 综合题8．准备在一块长为30米，宽为24米的长方形花圃内修建四条宽度相等，且与各边垂直的小路(如图所示)，四条小路围成的中间部分恰好是一个正方形，且边长是小路宽度的4倍，若四条小路的面积为80平方米，求小路的宽度．解：设小路的宽度为x 米，则小正方形的边长为4x 米，依题意，得 (30＋4x ＋24＋4x)x ＝80.整理，得4x 2＋27x －40＝0，解得x 1＝－8(舍去)，x 2＝54.答：小路的宽度为54米．4 用因式分解法求解一元二次方程01 基础题知识点1 用因式分解法求解一元二次方程1．方程(x －1)(x ＋2)＝0的两根分别为(D)A ．x 1＝－1，x 2＝2B ．x 1＝1，x 2＝2C ．x 1＝－1，x 2＝－2D ．x 1＝1，x 2＝－22．用因式分解法解方程，下列方法中正确的是(A)A ．(2x －2)(3x －4)＝0，∴2x －2＝0或3x －4＝0B ．(x ＋3)(x －1)＝1，∴x ＋3＝0或x －1＝1C ．(x －2)(x －3)＝2×3，∴x －2＝2或x －3＝3D ．x(x ＋2)＝0，∴x ＋2＝03．(淮安中考)一元二次方程x 2－x ＝0的根是x 1＝0，x 2＝1．4．解方程：2x(x －1)＋x －1＝0.解：因式分解，得(x －1)·(2x ＋1)＝0.∴2x ＋1＝0或x －1＝0，∴x 1＝－12，x 2＝1． 5．利用因式分解法求解下列方程：(1)2x 2－3x ＝0；解：x(2x －3)＝0，∴x ＝0或2x －3＝0.∴x 1＝0，x 2＝32.(2)4x 2－121＝0；解：(2x ＋11)(2x －11)＝0，∴2x ＋11＝0或2x －11＝0.∴x 1＝－112，x 2＝112.(3)x(x －2)＝x.解：x(x －2)－x ＝0，∴x(x －3)＝0.∴x ＝0或x －3＝0.∴x 1＝0，x 2＝3.知识点2 用适当的方法求解一元二次方程6．已知下列方程，请把它们的序号填在相应最适当的解法后的横线上．①2(x －1)2＝6; ②(x －2)2＋x 2＝4；③(x －2)(x －3)＝3; ④x 2－2x －1＝0；⑤x 2－5x ＋14＝0; ⑥x 2－2x －98＝0. (1)直接开平方法：①；(2)配方法：④⑥；(3)公式法：③⑤；(4)因式分解法：②．7．用适当的方法解方程：(1)9x 2－25＝0；解：(3x ＋5)(3x －5)＝0，∴3x ＋5＝0或3x －5＝0.∴x 1＝－53，x 2＝53.(2)5x 2＝2x ；解：5x 2－2x ＝0，x(5x －2)＝0.∴5x －2＝0或x ＝0.∴x 1＝0，x 2＝25.(3)x 2－4x ＋1＝0.解：∵b 2－4ac ＝(－4)2－4×1×1＝12，∴x ＝2±3.∴x 1＝2＋3，x 2＝2－ 3.易错点1 在方程两边同时除以含有未知数的式子，导致失根8．解方程：(x ＋2)(x －3)＝x ＋2.解：将方程两边约去(x ＋2)，得x －3＝1.①所以x ＝4.②以上解答错在第①步，正确的答案是x 1＝__－2，x 2＝4．9．方程3x(x －2)＝x －2的解是x 1＝13，x 2＝2．易错点2 用因式分解法解一元二次方程时，忽略了方程右边应该为010．解方程：(x －1)(x ＋3)＝12.解：x 2＋2x －15＝0.∴(x ＋5)(x －3)＝0.∴x 1＝－5，x 2＝3.02 中档题11．一元二次方程x(x －3)＋3－x ＝0的根是(C)A ．1B ．3C ．1和3D ．1和212．(安顺中考)一个等腰三角形的两条边长分别是方程x 2－7x ＋10＝0的两根，则该等腰三角形的周长是(A)A ．12B ．9C ．13D ．12或913．如果x 2－x －1＝(x ＋1)0，那么x 的值为(C)A ．2或－1B ．0或1C ．2D ．－114．若分式x 2＋5x ＋6x ＋2的值为0，则x 的值为－3． 15．【整体思想】若(2m ＋n)2＋2(2m ＋n)＋1＝0，则2m ＋n 的值是－1．16．解方程：(1)2x 2－22x －5＝0；解：(2x －1)2＝6， 2x －1＝±6，x ＝1±62. ∴x 1＝2＋232，x 2＝2－232.(2)2(t －1)2＋t ＝1；解：2(t －1)2＋(t －1)＝0，(t －1)(2t －1)＝0，∴t －1＝0或2t －1＝0.∴t 1＝1，t 2＝12.(3)(3x －1)2－4(2x ＋3)2＝0；解：(3x －1)2－[2(2x ＋3)]2＝0，(3x －1＋4x ＋6)(3x －1－4x －6)＝0，(7x ＋5)(－x －7)＝0，∴x 1＝－57，x 2＝－7.(4)(x ＋1)(x －1)＋2(x ＋3)＝13；解：原方程可化为x 2＋2x －8＝0，(x ＋4)(x －2)＝0.∴x 1＝2，x 2＝－4.(5)2(x －3)2＝x 2－9.解：2(x －3)2＝(x ＋3)(x －3)，2(x －3)2－(x ＋3)(x －3)＝0，(x －3)[2(x －3)－(x ＋3)]＝0，(x －3)(x －9)＝0.∴x －3＝0或x －9＝0.∴x 1＝3，x 2＝9.17．如图，把小圆形场地的半径增加5 m 得到大圆形场地，场地面积扩大了一倍，求小圆形场地的半径．解：设小圆的半径为x m ，则大圆的半径为(x ＋5)m.根据题意，得π(x ＋5)2＝2πx 2，解得x ＝5＋52或x ＝5－52(不合题意，舍去)．答：小圆形场地的半径为(5＋52)m.运用十字相乘法分解因式解一元二次方程阅读下列材料： (1)将x 2＋2x －35分解因式，我们可以按下面的方法解答：解：步骤：①竖分二次项与常数项：x 2＝x·x ，－35＝(－5)×(＋7)．②交叉相乘，验中项：⇒7x ＋(－5)x ＝2x.③横向写出两因式：x 2＋2x －35＝(x ＋7)(x －5)．我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法．(2)根据乘法原理：若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0.试用上述方法和原理解下列方程：①x 2－10x ＋21＝0； ②x 2－5x －6＝0； ③3x 2－2x －1＝0； ④2x 2＋x －6＝0.解：x 1＝3，x 2＝7. 解：x 1＝－1，x 2＝6. 解：x 1＝1，x 2＝－13. 解：x 1＝－2，x 2＝32.小专题7 一元二次方程的解法类型1 直接开平方法形如x 2＝p(p ≥0)或(mx ＋n)2＝p(p ≥0)的方程，用直接开平方法求解．1．用直接开平方法解下列方程：(1)3x 2－27＝0；解：3x 2＝27.x 2＝9.x ＝±3.∴x 1＝3，x 2＝－3.(2)2(3x －1)2＝8.解：(3x －1)2＝4.3x －1＝±2.∴x 1＝1，x 2＝－13.类型2 配方法当二次项系数为1，且一次项系数为偶数时，用配方法求解．2．用配方法解下列方程：(1)－x 2＋2x －5＝0；解：x 2－2x ＝－5.x 2－2x ＋1＝－5＋1.(x －1)2＝－4<0.∴原方程无解．(2)14x 2－6x ＋3＝0. 解：x 2－24x ＋12＝0.(x －12)2＝132.x －12＝±233，∴x 1＝233＋12，x 2＝－233＋12.类型3 因式分解法能化成形如(x ＋a)(x ＋b)＝0的一元二次方程用因式分解法求解．3．用因式分解法解下列方程：(1)x(x －2)＋x －2＝0；解：(x －2)(x ＋1)＝0.∴x －2＝0或x ＋1＝0.∴x 1＝2，x 2＝－1.(2)3(x －5)2＝x(x －5)；解：3(x －5)2－x(x －5)＝0，(x －5)(2x －15)＝0，∴x －5＝0或2x －15＝0.∴x 1＝5，x 2＝152.(3)5(x －3)2＝x 2－9.解：5(x －3)2＝(x ＋3)(x －3)，移项，得5(x －3)2－(x ＋3)(x －3)＝0.∴(x －3)[5(x －3)－(x ＋3)]＝0，即(x －3)(4x －18)＝0.∴x －3＝0或4x －18＝0.∴x 1＝3，x 2＝92.类型4 公式法当方程没有明显特征时，运用公式法求解．4．用公式法解下列方程：(1)4x 2－3x ＋1＝0；解：∵a ＝4，b ＝－3，c ＝1，∴b 2－4ac ＝(－3)2－4×4×1＝－7<0.∴原方程无解．(2)4x 2－36x ＋3＝0；解：∵a ＝4，b ＝－36，c ＝3，∴b 2－4ac ＝(－36)2－4×4×3＝6.∴x ＝36±68.∴x 1＝62，x 2＝64.(3)3x(x －3)＝2(x －1)(x ＋1)．解：原方程可化为x 2－9x ＋2＝0.∵a ＝1，b ＝－9，c ＝2，∴b 2－4ac ＝81－4×1×2＝73＞0.∴x ＝9±732. ∴x 1＝9＋732，x 2＝9－732.类型5 选择合适的方法解一元二次方程5．用适当的方法解下列方程：(1)x 2－4x －6＝0；解：由原方程，得x 2－4x ＝6.配方，得x 2－4x ＋4＝6＋4，即(x －2)2＝10.直接开平方，得x －2＝±10.∴x 1＝2＋10，x 2＝2－10.(2)x 2－5x ＋2＝0；解：∵a ＝1，b ＝－5，c ＝2，∴b 2－4ac ＝(－5)2－4×1×2＝17.∴x ＝5±172. ∴x 1＝5＋172，x 2＝5－172.(3)y(y －8)＝－16；解：去括号，得y 2－8y ＝－16.移项，得y 2－8y ＋16＝0.配方，得(y －4)2＝0.∴y 1＝y 2＝4.(4)－3x ＋12x 2＝－2；解：原方程可化为x 2－6x ＝－4，配方，得x 2－6x ＋9＝－4＋9，即(x －3)2＝5.(5)4(x ＋1)2＝9(x －2)2；解：4(x ＋1)2－9(x －2)2＝0.[2(x ＋1)＋3(x －2)][2(x ＋1)－3(x －2)]＝0.∴(5x －4)(－x ＋8)＝0.∴x 1＝45，x 2＝8.(6)(2x －1)(x ＋1)＝(3x ＋1)(x ＋1)．解：(x ＋1)(2x －1－3x －1)＝0，(x ＋1)(－x －2)＝0，∴x 1＝－1，x 2＝－2.类型6 换元法6．【注重阅读理解】(教材P57复习题T12变式)阅读材料：为了解方程(x 2－1)2－5(x 2－1)＋4＝0，我们可以将x 2－1看作一个整体，设x 2－1＝y ，那么原方程可化为y 2－5y ＋4＝0，解得y 1＝1，y 2＝4，当y ＝1时，x 2－1＝1，∴x 2＝2.∴x ＝±2；当y ＝4时，x 2－1＝4，∴x 2＝5.∴x ＝±5，故原方程的解为x 1＝2，x 2＝－2，x 3＝5，x 4＝－ 5.解答问题：(1)上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了转化的数学思想；(2)请利用以上知识解方程：(x 2＋x)2－5(x 2＋x)＋4＝0；(3)已知实数a ，b 满足(a 2＋b 2)2－3(a 2＋b 2)－10＝0，试求a 2＋b 2的值．解：(2)设y ＝x 2＋x ，则y 2－5y ＋4＝0.∴(y －1)(y －4)＝0.解得y 1＝1，y 2＝4. ①当x 2＋x ＝1，即x 2＋x －1＝0时，解得x ＝－1±52； ②当x 2＋x ＝4，即x 2＋x －4＝0时，解得x ＝－1±172. 综上所述，原方程的解为x 1＝－1＋52，x 2＝－1－52，x 3＝－1＋172，x 4＝－1－172. (3)设x ＝a 2＋b 2，则x 2－3x －10＝0.整理，得(x －5)(x ＋2)＝0.解得x 1＝5，x 2＝－2(舍去)．故a 2＋b 2＝5.*5 一元二次方程的根与系数的关系01 基础题知识点1 利用根与系数的关系求两根之和与两根之积1．(怀化中考)若x 1，x 2是一元二次方程x 2－2x －3＝0的两个根，则x 1x 2的值是(D)A ．2B ．－2C ．4D ．－32．利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积．(1)x 2＋4x ＝0；解：Δ＝b 2－4ac ＝42－4×1×0＝16＞0，∴方程有两个实数根．设为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－4，x 1x 2＝0.(2)2x 2－3x ＝5；解：原方程可化为2x 2－3x －5＝0，Δ＝b 2－4ac ＝(－3)2－4×2×(－5)＝49＞0，∴方程有两个实数根．设为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝32，x 1x 2＝－52.(3)2x 2＋3＝7x 2＋x.解：原方程可化为5x 2＋x －3＝0，Δ＝b 2－4ac ＝12－4×5×(－3)＝61>0，∴方程有两个实数根．设为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－15，x 1x 2＝－35.知识点2 利用根与系数的关系求相关代数式的值3．(贵港中考)已知α，β是一元二次方程x 2＋x －2＝0的两个实数根，则α＋β－αβ的值是(B)A ．3B ．1C ．－1D ．－34．(眉山中考)已知一元二次方程x 2－3x －2＝0的两个实数根为x 1，x 2，则(x 1－1)(x 2－1)的值是－4.5．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2－3x －1＝0的两根，不解方程求下列各式的值：(1)x 21＋x 22；解：x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝32－2×(－1)＝11.(2)1x 1＋1x 2. 解：1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝3－1＝－3.知识点3 利用根与系数的关系求方程中待定字母的取值(范围)6．(雅安中考)已知x 1，x 2是一元二次方程x 2＋2x －k －1＝0的两根，且x 1x 2＝－3，则k 的值为(B)A ．1B ．2C ．3D ．47．(遵义中考)已知x 1，x 2是关于x 的方程x 2＋bx －3＝0的两根，且满足x 1＋x 2－3x 1x 2＝5，那么b 的值为(A)A ．4B ．－4C ．3D ．－38．关于x 的一元二次方程x 2＋2x －2m ＋1＝0的两实数根之积为负数，则实数m 的取值范围是m ＞12． 9．(教材P51习题T3变式)已知方程x 2＋mx ＋3＝0的一个根是1，则它的另一个根是3，m 的值是－4．易错点用根与系数的关系时忽视隐含条件“Δ≥0”10．已知关于x 的方程x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0的两个根互为倒数，则a 的值为－1．【变式】若关于x 的方程x 2－ax ＋2a ＝0的两根的平方和是5，则a 的值是－1．02 中档题11．已知实数x 1，x 2满足x 1＋x 2＝11，x 1x 2＝30，则以x 1，x 2为根的一元二次方程是(A)A ．x 2－11x ＋30＝0B ．x 2＋11x ＋30＝0C ．x 2＋11x －30＝0D ．x 2－11x －30＝012．若一元二次方程x 2－7x ＋5＝0的两个实数根分别是a ，b ，则一次函数y ＝abx ＋a ＋b 的图象一定不经过(D)A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限13．(眉山中考)若α，β是一元二次方程3x 2＋2x －9＝0的两根，则βα＋αβ的值是(C) A.427 B ．－427 C ．－5827 D.582714．甲、乙两位同学解方程x 2＋px ＋q ＝0时，甲看错了一次项系数，解得根为4和－9；乙看错了常数项，解得根为2和3，则原方程为x 2－5x －36＝0．15．(巴中中考)对于任意实数a ，b ，定义：a ◆b ＝a 2＋ab ＋b 2.若方程(x ◆2)－5＝0的两根记为m ，n ，则m 2＋n 2＝6．16．(孝感中考)已知关于x 的一元二次方程(x －3)(x －2)＝p(p ＋1)．(1)求证：无论p 取何值此方程总有两个实数根；(2)若原方程的两根x 1，x 2满足x 21＋x 22－x 1x 2＝3p 2＋1，求p 的值．解：(1)证明：原方程可变形为x 2－5x ＋6－p 2－p ＝0.∵Δ＝(－5)2－4(6－p 2－p)＝25－24＋4p 2＋4p＝4p 2＋4p ＋1＝(2p ＋1)2≥0，∴无论p 取何值此方程总有两个实数根．(2)根据题意，得x 1＋x 2＝5，x 1x 2＝6－p 2－p.又∵x 21＋x 22－x 1x 2＝3p 2＋1，∴(x 1＋x 2)2－3x 1x 2＝3p 2＋1.∴52－3(6－p 2－p)＝3p 2＋1.∴25－18＋3p 2＋3p ＝3p 2＋1.∴3p ＝－6.∴p ＝－2.17．已知关于x 的一元二次方程x 2＋(2m －3)x ＋m 2＝0有两个实数根x 1，x 2.(1)求实数m 的取值范围；(2)若x 1＋x 2＝6－x 1x 2，求(x 1－x 2)2＋3x 1x 2－5的值．解：(1)Δ＝(2m －3)2－4m 2＝4m 2－12m ＋9－4m 2＝－12m ＋9，∵方程有两个实数根，∴Δ≥0.∴－12m ＋9≥0.∴m ≤34. (2)由题意可得x 1＋x 2＝－(2m －3)＝3－2m ，x 1x 2＝m 2，又∵x 1＋x 2＝6－x 1x 2，∴3－2m ＝6－m 2.∴m 2－2m －3＝0.∴m 1＝3，m 2＝－1.又∵m ≤34，∴m ＝－1. ∴x 1＋x 2＝5，x 1x 2＝1.∴(x 1－x 2)2＋3x 1x 2－5＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＋3x 1x 2－5＝(x 1＋x 2)2－x 1x 2－5＝52－1－5＝19.运用数学思想求代数式的值数学思想1 整体思想1．如果关于x 的一元二次方程x 2＋3x －7＝0的两根分别为α，β，那么α2＋4α＋β＝4．2．(内江中考)已知关于x 的方程ax 2＋bx ＋1＝0的两根为x 1＝1，x 2＝2，则方程a(x ＋1)2＋b(x ＋1)＋1＝0的两根之和为1．3．已知α，β是方程x 2＋3x ＋1＝0的两个根，则(1＋5α＋α2)(1＋5β＋β2)的值为4．数学思想2 转化思想4．已知实数m ，n 满足条件m 2－7m ＋2＝0，n 2－7n ＋2＝0，则n m ＋m n 的值是452或2．提示：分类讨论小专题8 一元二次方程根的判别式的应用类型1 证明一元二次方程根的情况1．求证：关于x 的方程(m 2＋1)x 2－2mx ＋(m 2＋4)＝0没有实数根．解：∵Δ＝4m 2－4×(m 2＋1)(m 2＋4)＝4m 2－4m 4－20m 2－16＝－4m 4－16m 2－16＝－4(m 2＋2)2＜0，∴方程(m 2＋1)x 2－2mx ＋(m 2＋4)＝0没有实数根．2．已知关于x 的一元二次方程x 2－(m －1)x －3(m ＋3)＝0.(1)求证：无论m 为何值，方程总有两个不相等的实数根；(2)请选取一个合适m 的负整数，求此时方程的两个根．解：(1)证明：Δ＝[－(m －1)]2－4×1×[－3(m ＋3)]＝m 2＋10m ＋37＝(m ＋5)2＋12.∵(m ＋5)2≥0，∴(m ＋5)2＋12＞0，即Δ＞0.∴无论m 为何值，方程总有两个不相等的实数根．(2)本题答案不唯一，如：当m ＝－3时，原方程为x 2＋4x ＝0，即x(x ＋4)＝0，解得x 1＝0，x 2＝－4.3．已知关于x 的一元二次方程x 2－(k ＋2)x ＋2k ＝0.(1)求证：无论k 取任何实数，方程总有实数根；(2)若等腰三角形的一边长为5，另两边长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长．解：(1)证明：Δ＝[－(k ＋2)]2－4×2k ＝(k －2)2.∵(k －2)2≥0，即Δ≥0，∴无论k 取任何实数，方程总有实数根．(2)由x 2－(k ＋2)x ＋2k ＝0，得(x －2)(x －k)＝0.∴此方程的两根为x 1＝k ，x 2＝2.若x 1≠x 2，则x 1＝5，此等腰三角形的三边分别为5，5，2，周长为12；若x 1＝x 2＝2，等腰三角形的三边分别为2，2，5，不符合三角形的三边关系，故舍去；∴这个等腰三角形的周长为12.类型2 根的判别式及根与系数的关系的综合4．x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2－mx ＋m －2＝0的两个实数根，是否存在实数m ，使1x 1＋1x 2＝0成立？下列结论正确的是(A)A ．m ＝0时成立B ．m ＝2时成立C ．m ＝0或2时成立D ．不存在5．已知关于x 的方程x 2－(2k 2－3)x ＋k ＋7＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2，且x 1＝5－x 2，则k 的值为－2．6．(孝感中考)已知关于x 的一元二次方程x 2－6x ＋m ＋4＝0有两个实数根x 1，x 2.(1)求m 的取值范围；(2)若x 1，x 2满足3x 1＝|x 2|＋2，求m 的值．解：(1)∵关于x 的一元二次方程x 2－6x ＋m ＋4＝0有两个实数根x 1，x 2，∴Δ＝(－6)2－4(m ＋4)＝20－4m ≥0.解得m ≤5.∴m 的取值范围为m ≤5.(2)∵关于x 的一元二次方程x 2－6x ＋m ＋4＝0有两个实数根x 1，x 2，∴x 1＋x 2＝6①，x 1x 2＝m ＋4②.∵3x 1＝|x 2|＋2，∴x 1>0.当x 2≥0时，有3x 1＝x 2＋2③，联立①③，解得x 1＝2，x 2＝4.∴8＝m＋4.∴m＝4；当x2＜0时，有3x1＝－x2＋2④，联立①④，解得x1＝－2，x2＝8(不合题意，舍去)．∴m的值为4.7．已知关于x的一元二次方程x2－2x＋m－1＝0.(1)当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？(2)若方程的两根都是正数，求m的取值范围；(3)设x1，x2是这个方程的两个实数根，且1＋x1x2＝x21＋x22，求m的值．解：(1)∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ＝(－2)2－4(m－1)＝－4m＋8＞0.∴m＜2.∴当m＜2时，方程有两个不相等的实数根．(2)设x1，x2是这个方程的两个实数根，则x1＞0，x2＞0，∴x1x2＝m－1＞0.∴m＞1.∵方程的两根都是正数，∴Δ≥0.∴m≤2.∴m的取值范围是1＜m≤2.(3)由题意可得x1＋x2＝2，x1x2＝m－1.∵1＋x1x2＝x21＋x22，∴1＋x1x2＝(x1＋x2)2－2x1x2，即1＋m－1＝22－2(m－1)．解得m＝2.6应用一元二次方程第1课时利用一元二次方程解决几何问题类型1利用一元二次方程解决几何图形问题1．绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米．设绿地的宽为x米，根据题意，可列方程为(B)A．x(x－10)＝900B．x(x＋10)＝900C．10(x＋10)＝900D．2[x＋(x＋10)]＝9002．用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米．若设它的一条边长为x米，则根据题意可列出关于x的方程为(B)A．x(5＋x)＝6 B．x(5－x)＝6C．x(10－x)＝6 D．x(10－2x)＝63．已知直角三角形两条直角边的长度之和为7，面积为6，则斜边长为(B)A.37 B．5C．25 D．74．如图，某小区内有一块长、宽比为2∶1的矩形空地，计划在该空地上修筑两条宽均为2 m的互相垂直的小路，余下的四块小矩形空地铺成草坪，如果四块草坪的面积之和为312 m2，请求出原来大矩形空地的长和宽．(1)请找出上述问题中的等量关系：原矩形面积－小路面积＝草坪面积；(2)若设大矩形空地的宽为x m，可列出的方程为(x－2)(2x－2)＝312，方程的解为x＝14或x＝－11(舍去)，原来大矩形空地的长和宽分别为28__m，14__m.5．如图，某工厂师傅要在一个面积为15 m2的矩形钢板上裁剪下两个相邻的正方形钢板当工作台的桌面，且要使大正方形的边长比小正方形的边长大1 m，则裁剪后剩下的阴影部分的面积为2m2.6．已知如图所示的图形的面积为24，根据图中条件，求出x的值．解：由题意，得(x ＋1)2﹣1＝24. 整理，得(x ＋1)2＝25.解得x ＝4或x ＝﹣6(不合题意，舍去)． ∴x 的值是4.7．(教材P57复习题T8变式)如图，有一块长方形铁皮，长40 cm ，宽30 cm ，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为600 cm 2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？解：设切去的小正方形的边长为x cm.依题意，得 (40－2x)(30－2x)＝600. 解得x 1＝5，x 2＝30.当x ＝30时，30－2x ＜0，∴x ＝30不合题意，应舍去．∴x ＝5.答：铁皮各角应切去边长为5 cm 的正方形．8．如图，为美化校园环境，某校计划在一块长为60米，宽为40米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为a 米． (1)当a 为10时，花圃的面积为800平方米；(2)通道的面积与花圃的面积之比能否恰好等于3∶5？如果能，试求出此时通道的宽．解：根据题意，得(40－2a)(60－2a)＝58×60×40.解得a 1＝5，a 2＝45(舍去)．答：通道的面积与花圃的面积之比能等于3∶5，此时通道的宽为5米．类型2 利用一元二次方程解决动态几何问题9．如图，AB ⊥CB ，AB ＝10 cm ，BC ＝8 cm ，一只螳螂从A 点出发，以2 cm/s 的速度向B 爬行，与此同时，一只蝉从C 点出发，以1 cm/s 的速度向B 爬行，当螳螂和蝉爬行x s 后，它们分别到达了点M ，N 的位置，此时，△MNB的面积恰好为24 cm 2，根据题意可得方程(D)A ．2x·x ＝24B ．(10－2x)(8－x)＝24C ．(10－x)(8－2x)＝24D ．(10－2x)(8－x)＝4810．(教材P52例1变式)如图，某海关缉私艇在点O 处发现在正北方向相距45海里的点A 处有一艘可疑船只，测得它正以60海里/时的速度向正东方向航行，随即调整方向，以75海里/时的速度准备在点B 处将其拦截，试问需要多长时间？解：设需要x 小时，根据题意，得 (60x)2＋452＝(75x)2，解得x 1＝1，x 2＝－1(舍去)．答：需要1小时．11．如图，某市区南北走向的北京路与东西走向的喀什路相交于点O 处．甲沿着喀什路以4 m/s 的速度由西向东走，乙沿着北京路以3 m/s 的速度由南向北走，当乙走到点O 以北50 m 处时，甲恰好到点O 处，若两人继续向前行走，求两人相距85 m 时各自的位置．解：设两人继续向前行走x s 时相距85 m ．根据题意，得(50＋3x)2＋(4x)2＝852. 解得x 1＝9，x 2＝－21(舍去)．则50＋3x ＝77，4x ＝36.答：两人相距85 m 时，甲走到点O 以东36 m 处，乙走到点O 以北77米处．12．(教材P53习题T2变式)如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝16 cm ，BC ＝8 cm ，一动点P 从点C 出发沿着CB 方向以2 cm/s 的速度运动，另一动点Q 从点A 出发沿着AC 方向以4 cm/s 的速度运动，P ，Q 两点同时出发，运动时间为t s.(1)若△PCQ 的面积是△ABC 的面积的14，求t 的值；(2)△PCQ 的面积能否与四边形ABPQ 的面积相等？若能，求出t 的值；若不能，说明理由．解：(1)根据题意，得S △PCQ ＝12×2t(16－4t)，S △ABC ＝12×8×16＝64.∵△PCQ 的面积是△ABC 的面积的14，∴12×2t(16－4t)＝64×14，整理，得 t 2－4t ＋4＝0.解得t ＝2. ∴t 的值为2.(2)△PCQ 的面积不能与四边形ABPQ 的面积相等．理由如下：当△PCQ 的面积与四边形ABPQ 的面积相等时，则S △PCQ ＝12S △ABC ，即12×2t(16－4t)＝64×12，整理得t 2－4t ＋8＝0.∵Δ＝(－4)2－4×1×8＝－16＜0， ∴此方程没有实数根．∴△PCQ 的面积不能与四边形ABPQ 的面积相等．第2课时利用一元二次方程解决营销问题类型1 营销利润问题(此消彼长问题)1．某特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低1元，则平均每天的销售可增加20千克．若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2 880。

(北师大版)初中数学九年级上册第二章综合测试试卷01及答案

第二章综合测试一、单选题1.如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形.为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x 米，则根据题意，列方程为（）A .2352035202600x x x ´--+=.B .3520352020600x x x ´--´=C .(352)(20)600x x --=D .(35)(202)600x x --=2.把一元二次方程()()2331x x x +=-化成一般形式，正确的是（）A .22790x x --=B .22590x x --=C .24790x x ++=D .226100x x --=3.若关于x 的一元二次方程()21220k x x -+-=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（）A .12k ＞且1k ¹B .12k ＞C .12k ≥且1k ¹D .12k ＜4.用配方法解方程2250x x --=，下列配方正确的是（）A .2(2)9x -=B .2(2)5x -=C .2(1)4x -=-D .2(1)6x -=5.已知二次函数2y ax bx c =++自变量x 与函数值y 之间满足下列数量关系：则()a b c ++值为（）x245y0.380.386A .24B .36C .6D .46.已知一元二次方程230x x --=的较小根为1x ，则下面对1x 的估计正确的是（）A .121x --＜＜B .132x --＜＜C .123x ＜＜D .110x -＜＜7.关于x 的方程2(21)10kx k x k -+++=（k 为常数），下列说法：①当1k =时，该方程的实数根为2x =；②1x =是该方程的实数根；③该方程有两个不相等的实数根.其中正确的是（）A .①②B .②③C .②D .③8.等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于的方程240x x k -+=的两个根，则k 的值为（）A .3B .4C .3或4D .7二、填空题9.若1x ，2x 是方程2420200x x --=的两个实数根，则代数式211222x x x -+的值等于________.10.如果一个矩形的一边长是某个正方形边长的2倍，另一边长比该正方形边长少1厘米，且矩形的面积比该正方形的面积大8平方厘米，那么该正方形的边长是________厘米.三、计算题11.用指定的方法解方程：（1）22530x x -+=(用公式法解方程)（2）2356x x -=(用配方法解方程)12.解方程：（1）24x x =（因式分解法）（2）22430x x --=（公式法）13.解方程：（1）()224x +=(自选方法)（2）2210x x --=(配方法)（3）²14x x -=(公式法)（4）²122x x -=+(因式分解法)四、综合题14.已知关于x 的一元二次方程2240x x m ++-=有两个实数根.（1）求m 的取值范围；（2）写出一个满足条件的m 的值，并求出此时方程的根.15.已知关于x 的一元二次方程220x x k +-=有两个不相等的实数根.（1）求k 的取值范围；（2）若方程的两个不相等的实数根是a ，b ，求111a ab -++的值.16.已知1x ，2x 是一元二次方程2220x x k -++=的两个实数根.（1）求k 的取值范围；（2）是否存在实数k ，使得等式12112k x x +=-成立？如果存在，请求出k 的值，如果不存在，请说明理由.17.某网店销售某款童装，每件售价60元，每星期可卖300件，为尽快减少库存，该网店决定降价销售.市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30件。

(北师大版)初中数学九年级上册第二章综合测试(含答案)

第二章综合测试一、选择题（共10题；共30分）1.已知关于x 的一元二次方程250x x m +-=的一个根是2，则另一个根是（）A .7-B .7C .3D .3-2.已知1x ，2x 是一元二次方程220x x -=的两根，则12x x +的值是（）A .0B .2C .2-D .43.一元二次方程22630x x ++=经过配方后可变形为（）A .2(3)6x +=B .()2312x -= C .23324x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ D .231524x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 4.一元二次方程220x x +=的解是（）A .0x =B .2x =-C .1220x x ==D .1220x x =-=5.若方程2680x x -+=的两根分别是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（）A .10B .8C .10或8D .10或146.一个正方形的边长增加了2 cm ，面积相应增加了232 cm ，则原正方形的边长为（）A .5 cmB .6 cmC .7 cmD .8 cm7.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是13，则每个支干长出（）A .2根小分支B .3根小分支C .4根小分支D .5根小分支8.如图，在长为100 m ，宽为80 m 的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为27 644 m ，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为 m x ，则可列方程为（）A .10080100807 644x x ⨯--=B .()()2100807 644x x x --+=C .()()100807 644x x --=D .2100807 644x x x +-=9.关于x 的一元二次方程2410kx x -+=有实数根，则k 的取值范围是（）A .4k -≥B .4k -≥且0k ≠C .4k ≤D .4k ≤且0k ≠10.某农户种植花生，原来种植的花生亩产量为200千克，出油率为50％（即每100千克花生可加工成花生油50千克）．现在种植新品种花生后，每亩收获的花生可加工成花生油132千克，其中花生出油率的增长率是亩产量的增长率的12．则新品种花生亩产量的增长率为（） A .20％B .30%C .50%D .120% 二、填空题（共6题；共18分）11.已知1x =是关于x 的一元二次方程()221--10k x k x +=的根，则常数k 的值为________.12.当x =________时，代数式2x x -与1x -的值相等.13.设m 、n 是方程2 2 0210x x +-=的两个实数根，则²2m m n ++的值为________.14.关于x 的一元二次方程()22210a x x --+=有两个不相等的实数根，则整数a 的最小值是________.15.如图，已知AB BC ⊥，12 cm AB =，8 cm BC =.一动点N 从C 点出发沿CB 方向以1 cm/s 的速度向B 点运动，同时另一动点M 由点A 沿AB 方向以2 cm/s 的速度也向B 点运动，其中一点到达B 点时另一点也随之停止，当MNB △的面积为224 cm 时运动的时间t 为________秒.16.一元二次方程2680x x -+=的根为菱形的两条对角线长，则菱形的周长为________.三、解答题（共7题；共52分）17.解方程：（1）()224x +=(自选方法)（2）2210x x --=(配方法)（3）²14x x -=(公式法)（4）²122x x -=+(因式分解法)18.已知关于x 的一元二次方程2240x x m ++-=有两个实数根．（1）求m 的取值范围；（2）写出一个满足条件的m 的值，并求出此时方程的根．19.熊组长准备为我们年级投资1万元围一个矩形的运动场地（如图），其中一边靠墙，另外三边选用不同材料建造且三边的总长为50 m，墙长24 m，平行于墙的边的费用为200元/m，垂直于墙的边的费用150x.元/m，设平行于墙的边长为/m300 m，求x的值；（1）若运动场地面积为2（2）当运动场地的面积最大时是否会超过了预算？20.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件盈利40元.为了扩大销售，增加盈利，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施.经调查发现，如果每件衬衫每降价5元，商场平均每天可多售出10件.求：（1）若商场每件衬衫降价4元，则商场每天可盈利多少元？（2）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？（3）要使商场平均每天盈利1600元，可能吗？请说明理由.21.开学初期，天气炎热，水杯需求量大．双福育才中学门口某超市购进一批水杯，其中A种水杯进价为每个15元，售价为每个25元；B种水杯进价为每个12元，售价为每个20元（1）该超市平均每天可售出60个A种水杯，后来经过市场调查发现，A种水杯单价每降低1元，则平均每天的销量可增加10个．为了尽量让学生得到更多的优惠，某天该超市将A种水杯售价调整为每个m元，结果当天销售A种水杯获利630元，求m的值．（2）该超市准备花费不超过1600元的资金，购进A、B两种水杯共120个，其中B种水杯的数量不多于A种水杯数量的两倍．请为该超市设计获利最大的进货方案，并求出最大利润．22.如图，在ABC △中，90B ∠=︒，12 cm AB =，16 cm BC =．点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1 cm/s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2 cm/s 的速度移动．如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为t 秒．（1）当t 为何值时，PBQ △的面积等于235 cm ？（2）当t 为何值时，PQ 的长度等于？（3）若点P 、Q 的速度保持不变，点P 在到达点B 后返回点A ，点Q 在到达点C 后返回点B ，一个点停止，另一个点也随之停止．问：当t 为何值时，PCQ △的面积等于232 cm ？23.近期猪肉价格不断走高，引起了民众与政府的高度关注.当市场猪肉的平均价格每千克达到一定的单价时，政府将投入储备猪肉以平抑猪肉价格.（1）从去年年底至今年3月20日，猪肉价格不断走高，3月20日比去年年底价格上涨了60%.某市民在今年3月20日购买2.5千克猪肉至少要花200元钱，那么去年年底猪肉的最低价格为每千克多少元？（2）3月20日，猪肉价格为每千克60元，3月21日，某市决定投入储备猪肉并规定其销售价在每千克60元的基础上下调%a 出售.某超市按规定价出售一批储备猪肉，该超市在非储备猪肉的价格仍为每千克60元的情况下，该天的两种猪肉总销量比3月20日增加了%a ，且储备猪肉的销量占总销量的34，两种猪肉销售的总金额比3月20日提高了1%10a ，求a 的值.第二章综合测试答案解析一、1.【答案】A【解析】设另一个根为x ，则25x +=-，解得7x =-.故答案为：A .2.【答案】B【解析】1x ∵，2x 是一元二次方程220x x -=的两根，122x x +=∴．故答案为：B ．3.【答案】C【解析】22630x x ++=∵2332x x +=-∴ 29393424x x ++=-+∴ 23324x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭∴ 故答案为：C4.【答案】D【解析】220x x +=∵， ()20x x +=∴，0x =∴或2-，故答案为：D ．5.【答案】A【解析】方程2680x x -+=，得12x =，24x =，∵当2为腰，4为底时，224+=，不符合三角形三边关系，∴不能构成等腰三角形；∵当4为腰，2为底时，能构成等腰三角形，周长为44210++=.故答案为：A .6.【答案】C【解析】设原正方形的边长为 cm x ，则面积增加后的正方形的边长为()2 cm x +，根据题意得：()22232x x +=+解之：7x =.故答案为：C7.【答案】B【解析】设每个支干长出x 个分支，根据题意得 113x x x ++⋅=，整理得2120x x +-=，解得13x =，24x =-（不符合题意舍去），即每个支干长出3个分支.故应选B .8.【答案】C【解析】设道路的宽应为x 米，由题意有()()100807 644x x --=，故答案为：C9.【答案】D【解析】∵关于x 的一元二次方程2410kx x -+=有实数根，0k ≠∴且()2440k =--≥，解得：4k ≤且0k ≠．故答案为：D ．10.【答案】A【解析】设新品种花生亩产量的增长率为x ，根据题意得()1200150%11322x x ⎛⎫+⋅+= ⎪⎝⎭，解得10.220%x ==，2 3.2x =-（不合题意，舍去)，则新品种花生亩产量的增长率为20%，故选A .二、11.【答案】0【解析】将1x =代入()22110k x k x -+-=中，得20k k -=，解得1k =或0，10k -≠∵，1k ≠∴，0k =∴.故答案为：0.12.【答案】1【解析】根据题意得21x x x -=-，整理得：2210x x -+=，()210x -=∴，解得：1x =故答案为：1.13.【答案】2 020【解析】m ∵、n 是方程2 2 0210x x +-=的两个实数根 2 2 0210m m +-=∴，1m n +=-2 2 021m m +=∴∴原式2 2 0211 2 020m m m n =+++=-=.故答案为：2 020.14.【答案】3【解析】根据题意得20a -≠，且()()224210a =---⨯＞，解得：1a ＞且2a ≠， ∴整数a 的最小值为：3.故答案为：3.15.【答案】2【解析】根据题意可知CN t =，2AM t =，8BN t =-∴，122BM t =-，MNB ∵△的面积为224 cm()()11228242x t t -⨯-=∴ 解得12x =，212x =(舍去)故答案为：2.16.【答案】4=【解析】解方程2680x x -+=得：2x =和4，即4AC =，2BD =，∵四边形ABCD 是菱形，90AOD ∠=︒∴，2AO OC ==，1BO DO ==，由勾股定理得：AD ==4三、17.【答案】（1）22x +=±10x =，24x =-（2）2210x x --=21112102168x x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭- 2192048x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 219248x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 219416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 1344x -=± 11x =∴，212x =（3）2410x x --=x12x =+22x =（4）21220x x ---=2230x x --=()()310x x -+=13x =，21x =-18.【答案】（1）1a =，2b =，4c m =-24b ac ∆=-∴()2244m =--204m =-∵一元二次方程2240x x m ++-=有两个实数根，2040m -∴≥5m ≤．（2）当1m =时，2230x x +-=．则()()130x x -+=解得11x =，23x =-（答案不唯一）．19.【答案】（1）根据题意，得：503002x x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得：20x =或30x =，∵墙的长度为24 m ，20x =∴（2）设菜园的面积是S ，则502x S x -⎛⎫= ⎪⎝⎭ 21252x x =+ ()216252522x =-+， 0-12∵＜， ∴当25x ＜时，S 随x 的增大而增大，24x ∵≤，∴当24x =时，S 取得最大值，∴总费用24200261508 700 1 000=⨯+⨯=＜， ∴没有超过预算20.【答案】（1）()41020404 1 0085⎛⎫⨯+-= ⎪⎝⎭(元). 答：商场每件衬衫降价4元，则商场每天可盈利1 008元.（2）设每件衬衫应降价x 元，根据题意，得()()40202 1 200x x -+=，整理，得2302000x x -+=，解得110x =，220x =，∵要尽量减少库存，20x =∴.答：每件衬衫应降价20元.（3）不可能.理由如下：令()()40202 1 600x x -+=，整理得2304000x x -+=，90044000∆=-⨯∵＜，∴商场平均每天不可能盈利1 600元.21.【答案】（1）设超市将A 种水杯售价调整为每个m 元，则单件利润为()15m -元，销量为()()60102531010m m ⎡⎤⎣=-⎦+-个，依题意得： ()()1531010630m m --=，解得：122m =，224m =，答：为了尽量让学生得到更多的优惠，22m =．（2）设购进A 种水杯x 个，则B 种水杯()120x -个．设获利y 元，依题意得：()1512120 1 6001202x x x x⎧+-⎪⎨-⎪⎩≤≤，解不等式组得：140533x ≤≤，本次利润()()()251512020122960y x x x =-+--=+．20∵＞，y ∴随x 增大而增大，当53x =时，最大利润为1 066元．22.【答案】（1）()12cm BP AB AP t =-=-，2 cm BQ t =．根据三角形的面积公式，得3251PB BQ ⋅=，即()2212351t t -⋅=，整理，得212350t t -+=，解得15t =，27t =．故当t 为5或7时，PBQ △的面积等于235 cm ．（2）根据勾股定理，得()()()22222212282PQ BP BQ t t =+=-+=，整理，得2524160t t -+=，解得145t =，24t =.故当t 为45或4时，PQ 的长度等于．（3）①当08t ＜≤时，()12c m PB t =-，()2c 16m CQ t =- 由题意，得()()162123212t t -⨯-=，解得：14t =，216t =（舍去）．②当812t ＜≤时，()12c m PB t =-，()1c 26m CQ t =-，由题意，得()()216122123t t -⨯-=，此方程无解． ③当1216t ＜≤时，()12cm PB t =-，()1c 26m CQ t =-，由题意，得()()216122132t t -⨯-=，解得：14t =（舍去），216t =．综上所述，当t 为4或16时，PCQ △的面积等于232 cm ．23.【答案】（1）设去年年底猪肉价格为每千克x 元；根据题意得：()2.5160%200x ⨯+≥，解得：50x ≥.答：去年年底猪肉的最低价格为每千克50元；（2）设3月20日的总销量为1；根据题意得：31160(1%)(1%)60(1%)601%4410a a a a ⎛⎫-⨯++⨯+=+ ⎪⎝⎭，令%a y =，原方程化为：()31160(1)160(1)6014410y y x y y ⎛⎫-⨯+++=+ ⎪⎝⎭，整理得：250y y -=，解得：0.2y =，或0y =（舍去），则%0.2a =，20a =∴；答：a的值为20.。

2022-2023学年北师大版九年级数学上册《第2章一元二次方程》期末复习综合练习题(附答案)

2022-2023学年北师大版九年级数学上册《第2章一元二次方程》期末复习综合练习题（附答案）一．选择题1．若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+x+k2﹣4＝0有一个根是0，则k的值是（）A．﹣2B．2C．0D．﹣2或22．已知一元二次方程（x﹣3）2＝1的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长，则△ABC的周长为（）A．10B．10或8C．9D．83．已知一元二次方程x2﹣10x+24＝0的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的面积为（）A．6B．10C．12D．244．某厂家2020年1～5月份的口罩产量统计如图所示．设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程（）A．180（1﹣x）2＝461B．180（1+x）2＝461C．368（1﹣x）2＝442D．368（1+x）2＝4425．已知一元二次方程：x2﹣3x﹣1＝0的两个根分别是x1、x2，则x12x2+x1x22的值为（）A．﹣3B．3C．﹣6D．66．下列一元二次方程最适合用因式分解法来解的是（）A．（x﹣2）（x+5）＝1B．3（x﹣2）2＝x2﹣4C．x2﹣3x+1＝0D．9（x﹣1）2＝57．如果关于x的方程（x﹣9）2＝m+4可以用直接开平方法求解，那么m的取值范围是（）A．m＞3B．m≥3C．m＞﹣4D．m≥﹣48．某公司今年10月的营业额为2500万元，按计划第四季度的总营业额要达到9100万元，求该公司11、12两个月营业额的月均增长率，设该公司11、12两个月营业额的月均增长率为x，则根据题意可列的方程为（）A．2500（1+x）2＝9100B．2500[1+（1+x）+（1+x）2]＝9100C．2500[（1+x）+（1+x）2]＝9100D．9100（1+x）2＝25009．已知（x2+y2）（x2+y2﹣2）﹣8＝0，则x2+y2的值是（）A．﹣2B．4C．﹣2或4D．210．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm．动点P，Q分别从点A，B 同时开始移动，点P的速度为1cm/秒，点Q的速度为2cm/秒，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动．下列时间瞬间中，能使△PBQ的面积为15cm2的是（）A．2秒钟B．3秒钟C．4秒钟D．5秒钟二．填空题11．已知（m﹣1）x|m|+1﹣2x+1＝0是关于x的一元二次方程，则m＝．12．若一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两个根是m+1与2m﹣7，则m的值是．13．已知关于x的方程ax2﹣bx﹣c＝0（a≠0）的系数满足a﹣b﹣c＝0，且4a+2b﹣c＝0，则该方程的根是．14．关于x的一元二次方程3x2﹣10x﹣17＝0的两个根分别为x1和x2，则＝．15．设α、β是方程x2+2020x﹣2＝0的两根，则（α2+2020α﹣1）（β2+2020β+2）＝．三．解答题16．解下列方程：（1）x2﹣7x+1＝0；（2）2（2x﹣1）＝3（1﹣2x）．17．有一人患了流感，经过两轮传染后共有144人患了流感．（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果不及时控制，三轮传染后，患流感的有多少人？18．阅读下面的材料，回答问题：解方程x4﹣5x2+4＝0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x2＝y，那么x4＝y2，于是原方程可变为y2﹣5y+4＝0 ①，解得y1＝1，y2＝4．当y＝1时，x2＝1，∴x＝±1；当y＝4时，x2＝4，∴x＝±2；∴原方程有四个根：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2．请你按照上述解题思想解方程（x2+x）2﹣4（x2+x）﹣12＝0．19．阅读材料：为解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，我们可以将x2﹣1视为一个整体，然后设x2﹣1＝y，则（x2﹣1）2＝y2，原方程化为y2﹣5y+4＝0．解得y1＝1，y2＝4当y＝1时，x2﹣1＝1，∴x2＝2．∴x＝±；当y＝4时，x2﹣1＝4，∴x2＝5．∴x＝±．∴原方程的解为x1＝，x2＝﹣，x3＝，x4＝﹣；请利用以上知识解决下列问题：如果（m2+n2﹣1）（m2+n2+2）＝4，求m2+n2的值．20．已知：如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm．点P从点A开始沿AB 边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，当Q到达点C时，点Q、P同时停止移动．（1）如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积为4cm2？（2）如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度为5cm？21．在实数范围内定义一种运算“*”，其运算法则为a*b＝a2﹣ab．如：2*1＝22﹣2×1＝2．根据这个法则，（1）计算：3*2＝；（2）判断（t+2）*（2t+1）＝0是否为一元二次方程，并求解；（3）判断方程（x+2）*1＝3的根是否为x1＝，x2＝，并说明理由．22．请阅读下列材料：我们可以通过以下方法求代数式x2+6x+5的最小值．x2+6x+5＝x2+2•x•3+32﹣32+5＝（x+3）2﹣4，∵（x+3）2≥0∴当x＝﹣3时，x2+6x+5有最小值﹣4．请根据上述方法，解答下列问题：（Ⅰ）x2+4x﹣1＝x2+2•x•2+22﹣22﹣1＝（x+a）2+b，则ab的值是；（Ⅱ）求证：无论x取何值，代数式x2+2x+7的值都是正数；（Ⅲ）若代数式2x2+kx+7的最小值为2，求k的值．参考答案一．选择题1．解：把x＝0代入（k﹣2）x2+x+k2﹣4＝0得：k2﹣4＝0，解得k1＝2，k2＝﹣2，而k﹣2≠0，所以k＝﹣2．故选：A．2．解：∵（x﹣3）2＝1，∴x﹣3＝±1，解得，x1＝4，x2＝2，∵一元二次方程（x﹣3）2＝1的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长，∴①当底边长和腰长分别为4和2时，4＝2+2，此时不能构成三角形；②当底边长和腰长分别是2和4时，∴△ABC的周长为：2+4+4＝10；故选：A．3．解：法1：方程x2﹣10x+24＝0，分解得：（x﹣4）（x﹣6）＝0，可得x﹣4＝0或x﹣6＝0，解得：x＝4或x＝6，∴菱形两对角线长为4和6，则这个菱形的面积为×4×6＝12；法2：设a，b是方程x2﹣10x+24＝0的两根，∴ab＝24，则这个菱形的面积为ab＝12．故选：C．4．解：从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程：180（1+x）2＝461，故选：B．5．解：∵一元二次方程：x2﹣3x﹣1＝0的两个根分别是x1、x2，∴x1+x2＝3，x1•x2＝﹣1，∴x12x2+x1x22＝x1x2•（x1+x2）＝﹣1×3＝﹣3．故选：A．6．解：A、（x﹣2）（x+5）＝1适合于公式法解方程，故本选项不符合题意；B、由原方程得到x2﹣6x+8＝0，适合于因式分解法解方程，故本选项符合题意；C、x2﹣3x+1＝0适合于公式法解方程，故本选项不符合题意；D、由原方程得到（x﹣1）2＝，最适合于直接开平方法解方程，故本选项不符合题意；故选：B．7．解：由题意得：m+4≥0，∴m≥﹣4，故选：D．8．解：设该公司11、12两个月营业额的月均增长率为x，则可列方程为2500[1+（1+x）+（1+x）2]＝9100，故选：B．9．解：∵（x2+y2）（x2+y2﹣2）﹣8＝0，设x2+y2＝t，∴t（t﹣2）﹣8＝0，∴t2﹣2t﹣8＝0，∴（t﹣4）（t+2）＝0，∴t1＝4，t2＝﹣2，又∵x2+y2＝t≥0，∴x2+y2＝t＝4，故选：B．10．解：设动点P，Q运动t秒后，能使△PBQ的面积为15cm2，则BP为（8﹣t）cm，BQ为2tcm，由三角形的面积计算公式列方程得，×（8﹣t）×2t＝15，解得t1＝3，t2＝5（当t＝5时，BQ＝10，不合题意，舍去）．∴动点P，Q运动3秒时，能使△PBQ的面积为15cm2．故选：B．二．填空题11．解：∵（m﹣1）x|m|+1﹣2x+1＝0是关于x的一元二次方程，∴|m|+1＝2，m﹣1≠0，解得：m＝﹣1．故答案为：﹣1．12．解：根据题意得m+1+2m﹣7＝0，解得m＝2．即m的值为2．故答案为：2．13．解：∵关于x的方程ax2﹣bx﹣c＝0（a≠0）的系数满足a﹣b﹣c＝0，且4a+2b﹣c＝0，∴该方程的根是x1＝1，x2＝﹣2．故答案为：x1＝1，x2＝﹣2．14．解：∵一元二次方程3x2﹣10x﹣17＝0的两根是x1，x2，∴，，∴．故答案是：．15．解：∵α、β是方程x2+2020x﹣2＝0的两根，∴α2+2020α﹣2＝0，β2+2020β﹣2＝0∴α2+2020α＝2，β2+2020β＝2∴（α2+2020α﹣1）（β2+2020β+2）＝（2﹣1）（2+2）＝4．故答案为4．三．解答题16．解：（1）Δ＝（﹣7）2﹣4×1×1＝45＞0，x＝＝，所以x1＝，x2＝；（2）2（2x﹣1）﹣3（1﹣2x）＝0，﹣5（1﹣2x）＝0，解得x＝．17．解：（1）设每轮传染中平均一个人传染了x人，根据题意得：1+x+x（1+x）＝144，解得：x1＝11，x2＝﹣13（不合题意，舍去）．答：每轮传染中平均一个人传染了11个人；（2）144+144×11＝1728（人）．答：三轮传染后，患流感的有1728人．18．解：y＝x2+x，则由原方程，得y2﹣4y﹣12＝0，整理，得（y﹣6）（y+2）＝0，解得y＝6或y＝﹣2，当y＝6时，x2+x＝6，即（x+3）（x﹣2）＝0，解得x1＝﹣3，x2＝2．当y＝﹣2时，x2+x＝﹣2，即x2+x+2＝0，该方程无解．综上所述，该方程的解为：x1＝﹣3，x2＝2．19．解：（m2+n2﹣1）（m2+n2+2）＝4，设m2+n2＝y，则原方程化为（y﹣1）（y+2）＝4，即y2+y﹣6＝0，（y+3）（y﹣2）＝0，解得y1＝﹣3，y2＝2，∵m2+n2不能是负数，∴m2+n2＝2故答案为2．20．解：当运动时间为ts时，AP＝tcm，BP＝（5﹣t）cm，BQ＝2tcm．（1）依题意得：（5﹣t）×2t＝4，整理得：t2﹣5t+4＝0，解得：t1＝1，t2＝4，当t＝1时，2t＝2×1＝2＜7，符合题意；当t＝4时，2t＝2×4＝8＞7，不符合题意，舍去．答：1s后，△PBQ的面积为4cm2．（2）依题意得：（5﹣t）2+（2t）2＝25，整理得：t2﹣2t＝0，解得：t1＝0，t2＝2．答：0s或2s后，PQ的长度为5cm．21．解：（1）根据题中的新定义得：3*2＝32﹣3×2＝9﹣6＝3，故答案为：3；（2）已知等式变形得：（t+2）2﹣（t+2）（2t+1）＝0，整理得t2+t﹣2＝0，是一元二次方程；解方程得t2+t﹣2＝0，得（t+2）（t﹣1）＝0，即t+2＝0或t﹣1＝0，解得t1＝﹣2，t2＝1；（3）方程变形得：（x+2）2﹣（x+2）＝3，整理得：x2+4x+4﹣x﹣2﹣3＝0，即x2+3x﹣1＝0，∵a＝1，b＝3，c＝﹣1，∴x＝＝，解得：x1＝，x2＝．故方程（x+2）*1＝3的根不是x1＝，x2＝．22．解：（Ⅰ）∵x2+4x﹣1＝x2+2•x•2+22﹣22﹣1＝（x+2）2﹣5＝（x+a）2+b，∴a＝2，b＝﹣5，∴ab＝2×（﹣5）＝﹣10．故答案是：﹣10；（Ⅱ）证明：x2+2x+7＝x2+2x+（）2﹣（）2+7＝（x+）2+1．∵（x+）2≥0，∴x2+2x+7的最小值是1，∴无论x取何值，代数式x2+2x+7的值都是正数；（Ⅲ）2x2+kx+7＝（x）2+2•x•k+（k）2﹣（k）2+7＝（x+k）2﹣k2+7．∵（x+k）2≥0，∴（x+k）2﹣k2+7的最小值是﹣k2+7，∴﹣k2+7＝2，解得k＝±2．。

2022年北师大版数学九年级上册第二章综合练习1

413=+xx 第二章一元二次方程一、精心选一选（每题3分，共30分）：1、下列方程是一元二次方程的是（）A 、12=+y xB 、()32122+=-x x x C 、 D 、022=-x 2、关于x 的一元二次方程02=+k x 有实数根，则（）A 、k ＜0B 、k ＞0C 、k ≥0D 、k ≤0 3、把方程2830x x -+=化成()2x m n +=的形式，则m 、n 的值是（）A 、4，13B 、-4，19C 、-4，13D 、4，194、已知直角三角形的两条边长分别是方程214480x x -+=的两个根，则此三角形的第三边是（）27 108 27 A B C D 、6或8 、 10或、或、5、若关于x 的一元二次方程()22110a x x a -++-=的一个根是0，则a 的值是（）A 、 1B 、 -1C 、 1或-1D 、126．方程x 2=3x 的根是（）A 、x = 3B 、x = 0C 、x 1 =-3, x 2 =0D 、x 1 =3, x 2 = 07、若方程02=++c bx ax )0(≠a 中，c b a ,,满足0=++c b a 和0=+-c b a ，则方程的根是（） A 、1，0 B 、-1，0 C 、1，-1 D 、无法确定 8、已知06522=+-y xy x ，则x y :等于（） A 、2131或B 、32或C 、161或 D 、16或 9、方程x 2-4│x │+3=0的解是（）A 、x=±1或x=±3B 、x=1和x=3C 、x=-1或x=-3D 、无实数根10、使用墙的一边，再用13m 的铁丝网围成三边，围成一个面积为20m 2的长方形，求这个长方形的两边长，设墙的对边长为x m ，可得方程( )A 、 x (13－x) =20B 、x ·13－x 2 =20C 、 x (13－ 12 x ) =20D 、 x ·13－2x2 =20二、细心填一填 (30分)：11、把一元二次方程()423=-x x 化为一般形式是；12、关于x 的方程03)3(12=+---x x m m是一元二次方程，则=m ；13、方程0)2)(1(=-+x x x 的解是； 14、当y= 时，y 2-2y 的值为3；15、已知方程x 2+kx+3=0 的一个根是 - 1，则k= ____, 另一根为 ____； 16、写出以4，－5为根且二次项系数为1的一元二次方程是 _；17、如果()4122++-x m x 是一个完全平方公式，则=m ；18、某校去年投资2万元购买实验器材，预期今明两年的投资总额为8万元，若该校这两年购买实验器材的投资的年平均增长率为x ，则可列方程___________________；19、设b a ,是一个直角三角形两条直角边的长，且12)1)((2222=+++b a b a ，则这个直角三角形的斜边长为；20、在一条线段上取n 个点，这n 个点连同线段的两个端点一共有（n+2）个点，若以这（n+2）个点中任意两点为端点的线段共有45条，则n= ；三、用心解一解（26分）：21、解下列方程(每小题4分，共16分)（1） x (2x - 7) = 2x （2）x 2 -2x +4 =0（3）()()22132-=+y y （4） 2y 2+7y-3=022、（5分）试证明关于x 的方程012)208(22=+++-ax x a a 无论a 取何值，该方程都是一元二次方程；23、（5分）阅读下面材料，再解方程：解方程022=--x x解：（1）当x ≥0时，原方程化为x 2– x –2=0，解得：x 1=2,x 2= - 1（不合题意，舍去）（2）当x ＜0时，原方程化为x 2+ x –2=0，解得：x 1=1,（不合题意，舍去）x 2= -2∴原方程的根是x 1=2, x 2= - 2（3）请参照例题解方程0112=---x x四、耐心做一做(14分)24、（7分）百货大搂服装柜在销售中发现：“宝乐”“十·一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存.经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件.要想平均每天销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装因应降价多少元？25、（7分）如图, 在△ABC 中, ∠B = 90°, AB=6cm ，BC=12cm ，点P 从点 A 开始沿AB 边向点B 以 1cm / s 的速度移动, Q 从点B 开始沿 BC 边向C 点以 2 cm / s 的速度移动, 如果点P 、Q 分别从A 、B 同时出发, 几秒钟后, △PBQ 的面积等于8 cm 2?参考答案一、精心选一选：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案DDCBBDCAAB二、细心填一填：11、3x 2-6x-4=0 ； 12、-3 ； 13、x 1=0，x 2=-1，x 3=2； 14、3或-1； 15、k=4,另一根为-3 ； 16、(x-4)(x+5)=0； 17、-3或1； 18、2(1+x)+2(1+x)2=8 19、3；20、8；三、用心解一解： 21、（1）x 1=0，x 2=29；（2）无实数根；（3）y 1=-41，y 2=23；（4）y=4737±-；22、∵a 2-8a+20=（a-4）2+4＞0∴无论a 取何值，方程012)208(22=+++-ax x a a 都是一元二次方程； 23、当x ≥1时，x 2-x+1-1=0，得x 1=1，x 2=0（不合题意，舍去）；当x ＜1时，x 2+x-1-1=0，得x 1=-2，x 2=1（不合题意，舍去）；∴原方程的根为x1=1，x2=-2；四、耐心做一做24、设应降价x元，得：（40-x）（20+2x）=1200，解得x1=20，x2=10（不合题意，舍去）；25、设运动的时间为x秒，得：2x（6-x）=8×2（0≤x≤6），解得：x1=2，x2=4；第四章一次函数周周测5一、选择题y=x的图象与函数y=2x+1的图象的交点坐标是（）A.（1，1）B.（0，0）C.（，）D.（-，-）2.若某正比例函数图象经过点（-2，3），则该正比例函数的解析式为（）A.y=xB.C.D.y=6xk•b＜0时，一次函数y=kx-b的图象大致是（）A. B. C. D.y=kx+b，经过(1，1)，(2，-4)，则k与b的值为()A. B. C. D.y=-2x+3，则与该一次函数的图象关于x轴对称的一次函数的表达式为（）A.y=2x-3 B.y=-2x-3 C.y=2x+3 D.y=-2x+3y=xy=-3x+1的图象一定经过点（）A.（2，-5）B.（1，0）C.（-2，3）D.（0，-1）y=-2x-3的图象与y轴的交点坐标是（）A.（3，0）B.（0，3）C.（-3，0）D.（0，-3）y=kx+1的图象过点（1，3），则k的值为（）A.1B.2C.-1D.y=ax-b，若a+b=-1，则它的图象必经过点（）A.（1，1）B.（-1，1）C.（1，-1）D.（-1，-1）y=mx-（m-2）过原点，则m的值为（）A.m＞2B.m＜2C.my=-4xy=m+m是一次函数，则m的值等于()A.0B.-1C.0或-1D.±1y=kx+b，当x增加2时，y减小5，则k15.如图，过点A的一次函数的图象与正比例函数y=2xx-y+3=0 B.x-y-3=0y-x+3=0 D.x+y-3=0二、解答题16.已知一次函数的图象如图，求这个一次函数的解析式．y=kx+b的图象经过点（2，-5）和（6，1），求这个一次函数的解析式．18.已知一次函数图象经过（3，5）和（-4，-9）两点，（1）求此一次函数解析式；（2）若点（a，-3）在此函数图象上，求a的值．y=kx和一次函数y=ax+b的图象都经过点A（1，2），且一次函数的图象交x轴于点B（4，0）．求正比例函数和一次函数的表达式．20.如图，正比例函数y=2x的图象与一次函数y=kx+b的图象交于点A（m，2），一次函数图象经过点B（-2，-1）与x轴的交点为C．（1）求一次函数的解析式；（2）求△AOC的面积．。

(北师大版)初中数学九年级上册第二章综合测试 (含答案)

第二章综合测试一、选择题（每题3分，共30分）1.下列等式中是关于x 的一元二次方程的是（）A .()()23121x x +=+B .21120x x +-=C .20ax bx c ++=D .2221x x x +=-2.一元二次方程2650x x -+=配方后可化为（）A .()2314x -=-B .()2314x ⋅=-C .()234x -=D .()2314x += 3.关于x 的一元二次方程()21210m x x ---=有两个实数根，则实数m 的取值范围是（）A .0m ≥B .0m ＞C .0m ≥且1m ≠D .0m ＞且1m ≠ 4.已知关于x 的一元二次方程280x mx +-=的一个实数根为2，则另一个实数根及m 的值分别为（）A .4，2-B .4-，2-C .4，2D .4-，25.已知x 为实数，且满足()()22232330x xx x +++-=，那么23x x +的值为（） A .1 B .3-或1C .3D .1-或3 6.某单位要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排10场比赛，则参加比赛的球队应有（）A .7队B .6队C .5队D .4队7.关于x 的方程220x ax a -+=的两根的平方和是5，则a 的值是（）A .1-或5B .1C .5D .1-8.已知2x =是关于x 的方程2230x mx m -+=的一个根，并且等腰三角形ABC 的腰长和底边长恰好是这个方程的两个根，则ABC △的周长为（）A .10B .14C .10或14D .8或109.若关于x 的方程220x mx n ++=的两个根是2-和1，则nm 的值为（）A .8-B .8C .16D .16-10.如图，将边长为2 cm 的正方形ABCD 沿其对角线AC 剪开，再把ABC △沿着AD 方向平移，得到A B C '''△，若两个三角形重叠部分的面积为21 cm ，则它移动的距离AA '等于（）A .0.5 cmB .1 cmC .1.5 cmD .2 cm二、填空题（每题3分，共24分）11.一元二次方程()70x x -=的解是________.12.若关于x 的一元二次方程()22110a x x a -++-=的一个根是0，则a =________.13.已知关于x 的方程260x x k -+=的两根分别是1x ，2x ，且满足12113x x +=，则k =________. 14.某市加大了对雾霾的治理力度，2017年第一季度投入资金100万元，第二季度和第三季度共投入资金260万元，求这两个季度投入资金的平均增长率.设这两个季度投入资金的平均增长率为x ，根据题意可列方程为_______________.15.关于x 的两个方程2430x x -+=与121x x a=-+有一个解相同，则a =________. 16.已知线段AB 的长为2，以AB 为边在AB 的下方作正方形ABCD ，取AB 边上一点E （不与点A ，B 重合），以AE 为边在AB 的上方作正方形AENM .过点E 作EF CD ⊥，垂足为点F ，如图.若正方形AENM 与四边形EFCB 的面积相等，则AE 的长为________.17.已知()()22122119a b a b +++-=，则a b +=________.18.如图，在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，16 cm AB AC ==，AD 为BC 边上的高，动点P 从点A 出发，沿A D →方向以的速度向点D 运动.设ABP △的面积为1S ，矩形PDFE 的面积为2S ，运动时间为() s 08t t ＜＜，则t =________时，122S S =.三、解答题（19题12分，20～23题每题8分，24题10分，25题12分，共66分）19.用适当的方法解下列方程.（1）210x x --=;（2）()322x x x -=-；（3）210x -+=;（4）()()8112x x ++=-.20.已知关于x 的一元二次方程()22230m x mx m -+++=有两个不相等的实数根.（1）求m 的取值范围；（2）当m 取满足条件的最大整数时，求方程的根.21.解方程()()215140x x ---+=时，我们可以将1x -看成一个整体，设 1x y -=，则原方程可化为2540y y -+=，解得11y =，24y =.当1y =时，即11x -=，解得2x =；当4y =时，即14x -=，解得5x =，所以原方程的解为12x =，25x =.请利用这种方法求方程()()22542530x x +-++=的解.22.关于x 的一元二次方程2310x x m ++-=的两个实数根分别为1x ，2x .（1）求m 的取值范围；（2）若()12122100x x x x +++=，求m 的值.23.一个矩形周长为56 cm .（1）当矩形的面积为2180 cm 时，长和宽分别为多少？（2）这个矩形的面积能为2200 cm 吗？请说明理由.24.如图，在ABC △中，90B ∠=︒， 6 cm AB =，8 cm BC =，若点P 从点A 出发沿AB 边向点B 以1 cm/s 的速度移动，点Q 从点B 出发沿BC 边向点C 以2 cm/s 的速度移动，两点同时出发.（1）问几秒后，PBQ △的面积为28 cm ？（2）出发几秒后，线段PQ 的长为？（3）PBQ △的面积能否为210 cm ？若能，求出时间；若不能，请说明理由.25.某中学九年级准备组织学生去方特梦幻王国进行春游活动.方特梦幻王国给出了学生团体门票的优惠价格：如果学生人数不超过30名，那么门票为每张240元；如果人数超过了30名，则每超过1名，每张门票就降低2元，但每张门票最低不能少于200元.（1）若一班共有40名学生参加了春游活动，则需要交门票费多少元？（2）若二班共有52名学生参加了春游活动，则需要交门票费多少元？（3）若三班交了门票费9450元，请问该班参加春游的学生有多少名？第二章综合测试答案解析一、1.【答案】A2.【答案】C3.【答案】C4.【答案】D5.【答案】A6.【答案】C7.【答案】D8.【答案】B9.【答案】C10.【答案】B【解析】设AC 交A B ''于H .45DAC ∠=︒∵，90AA H ∠'=︒，AA H '∴△是等腰直角三角形.设 cm AA x '=，则 cm A H x '=，()2 cm A D x '=-.()21x x -=∴，解得121x x ==，即 1 cm AA '=.故选B .二、11.【答案】10x =，27x =12.【答案】1-13.【答案】2【解析】260x x k -+=∵的两根分别为1x ，2x ，126x x +=∴，12x x k =.1212121163x x x x x x k++===∴. 解得2k =.经检验，2k =满足题意.14.【答案】()()100110012260x x +++=【解析】根据题意知：第二季度投入资金()1001x +万元，第三季度投入资金()21001x +万元，()()210011001260x x +++=∴.15.【答案】1【解析】由方程2430x x -+=，得()()130x x --=， 10x -=∴或30x -=.解得11x =，23x =.当1x =时，分式方程121x x a=-+无意义；当3x =时，12313a=-+，解得1a =. 经检验，1a =是方程12313a =-+的解.16.117.【答案】【解析】设()2t a b =+，则原方程可化为()()1119t t +-=，整理，得220t =，解得t =±2t a b +== 18.【答案】6【解析】∵在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，16 cm AB AC ==，AD 为BC 边上的高，AD BD CD ===∴.又 cm AP ∵，()21118t cm 22S AP BD =⋅=⨯=∴，()cm PD =.易知 cm PE AP ==，22) cm S PD PE =⋅=∴.122S S =∵，8)t =∴.解得10t =（舍去），26t =.三、19.【答案】（1）（公式法）1a =，1b =-，1c =-，()()22414115b ac -=--⨯⨯-=∴.x ==∴即原方程的根为1x =212x -=. （2）（因式分解法）移项，得()()3220x x x ---=，即()()3120x x --=，113x =∴，22x =.（3）（配方法）配方，得2(1x =，1x =±∴，11x =∴，21x =.（4）（因式分解法）原方程可化为29200x x ++=，即()()450x x ++=，解得14x =-，25x =-.20.【答案】（1）∵关于x 的一元二次方程()22230m x mx m -+++=有两个不相等的实数根， 20m -≠∴且()()()()22423460m m m m ∆=--+=--＞，解得6m ＜且2m ≠. m ∴的取值范围是6m ＜且2m ≠.（2）在6m ＜且2m ≠的范围内，最大整数为5.此时，方程化为231080x x ++=，解得12x =-，243x =-.21.【答案】设25x y +=，则原方程可化为2430y y -+=，所以()()130y y --=，解得11y =，23y =.当1y =时，即251x +=，解得2x =-；当3y =时，即253x +=，解得1x =-，所以原方程的解为12x =-，21x =-.22.【答案】（1）由题意得()9410m ∆=--≥，134m ∴≤. （2）由根与系数的关系得123x x +=-，121x x m =-. ()12122100x x x x +++=∵，()61100m -+-+=∴，3m =-∴，134m ∵≤，m ∴的值为3-. 23.【答案】（1）设矩形的长为 cm x ，则宽为()28cm x -，由题意列方程，得()28180x x -=，整理，得2281800x x -+=，解得110x =（舍去），218x =.答：矩形的长为18 cm ，宽为10 cm .（2）不能.理由如下：设矩形的长为 cm y ，则宽为()28 cm y -，由题意列方程，得()28200y y -=，整理，得2282000y y -+=，则()2284200784800160∆=--⨯=-=-＜. ∴该方程无实数解.故这个矩形的面积不能为2200 cm .24.【答案】（1）设 s t 后，PBQ △的面积为28 cm ，则()m 6c PB t =-，2 cm BQ t =，90B ∠=︒∵，()21268t t -⨯=∴，解得12t =，24t =，2 s ∴或4 s 后，PBQ △的面积为28 cm .（2）设出发 s x 后，PQ =，由题意，得()()2226(2x x -+=，解得125x =，22x =，故出发2 s 5或2 s 后，线段PQ 的长为.（3）不能.理由：设经过 s y ，PBQ △的面积等于210 cm ，则()162102y y ⨯-⨯=，即26100y y -+=， 243641040b ac ∆=-=-⨯=-∵＜，∴该方程无实数解.PBQ ∴△的面积不能为210 cm .25.【答案】（1）()24040302220--⨯=（元），220408 800⨯=（元）.答：若一班共有40名学生参加了春游活动，则需要交门票费8 800元.（2）()24052302196--⨯=（元），196200∵＜，∴每张门票200元.2005210 400⨯=（元）.答：若二班共有52名学生参加了春游活动，则需要交门票费10 400元.（3）9 450∵不是200的整数倍，且240307 200⨯=（元）9 450＜元， ∴每张门票的价格高于200元且低于240元.设三班参加春游的学生有x 名，则每张门票的价格为()240230x --⎡⎤⎣⎦元，根据题意，得()2402309 450x x ⎡⎤⎣=⎦--，整理，得2150 4 7250x x -+=，解得145x =，2105x =，()240230200x --＞∵，50x ∴＜.45x =∴.答：若三班交了门票费9 450元，则该班参加春游的学生有45名.。

2023年北师大版九年级上册数学第二章综合测试试卷及答案

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第二章综合练习
五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分) 19．某公司1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361 万元．假设该公司2，3，4月每个月生产成本的下降率都相同． (1)求每个月生产成本的下降率； (2)请你计算4月份该公司的生产成本．
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第二章综合练习
13．若m是方程x2＋x－1＝0的根，则式子 m3＋2m2＋2022的值为 2023 ．
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第二章综合练习
14．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝20，AD＝16，点P从点A出发沿AB以每秒4个单位长度的速度向点B 运动，同时点Q从点B出发沿BC以每秒2个单位长度的速度向点C运动，点P到达终点后，P，Q两点同时停止运动．
则k＝8 C．方程x(3x－1)＝3x－1的解为x＝1 D．若分式x2－x－3x1＋2的值为0，则x＝2
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第二章综合练习
7．有关于x的两个方程：ax2＋bx＋c＝0与ax2－bx＋c＝ 0，其中abc＞0，下列判断正确的是( D ) A．两个方程可能一个有实数根，另一个没有实数根 B．若两个方程都有实数根，则必有一根互为倒数 C．若两个方程都有实数根，则必有一根相等 D．若两个方程都有实数根，则必有一根互为相反数
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第二章综合练习
四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分) 17．已知关于x的一元二次方程2x2－6x－k＝0有两个不相等的实数根． (1)求k的取值范围； (2)若2是该方程的一个实数根，求该方程的另一个根．解：(1)k＞－92． (2)该方程的另一个根为1．
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第二章综合练习
C．k≤54且k≠0
D．k≥54

新北师大版初中九年级数学上册第二章综合练习1强化练习

北师大版九年级数学上册第二章 一元二次方程 专题复习练习题

北师大版九年级数学上册 第二章一元二次方程 综合测试卷(含答案)