广东省清远市第三中学2017届高三数学上学期第五次周考试题文

广东省清远市清城区三中高三第一学期第五次周考
数学（文）试题
(本卷满分150分，时间120分钟)
一、选择题（60分，每题5分）
1.已知2sin 1cos θθ=+，则tan θ=（ ）
A ．43-或0
B ．43或0 C. 43- D ．43
2.若322()7f x x ax bx a a =++--在1x =处取得极大值10，则
b a
的值为（ ） A ．32-或12- B ．32-或12 C. 32- D ．12- 3.复数(2)z i i =-（i 是虚数单位），则z 的共轭复数z =（ ）
A.12i -
B. 12i +
C.12i -+
D.12i --
4.若“[0,]4x π
∃∈，tan x m ≤”是真命题，则实数m 的范围是（ ）
A ．[1,)+∞
B ．[0,)+∞
C ．(1,)+∞
D ．(0,)+∞
5.若点1(,)3M a 在函数3log y x =的图象上，且角θ的终边所在直线过点M ，则tan θ=（ ）
A ．13-
B ．13±
C ．-3
D ．3±
6.《九章算数》是我国古代数学名著，在其中有道“竹九问题”“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升.问中间二节欲均容各多少？”意思为：今有竹九节，下三节容量和为4升，上四节容量之和为3升，且每一节容量变化均匀（即每节容量成等差数列）,问每节容量各为多少？在这个问题中，中间一节的容量为（ ） A.72 B.3733 C.1011 D.6766
7.若直线:1(0,0)x y l a b q b
+=>>过点(1,2)A ，则8a b +的最小值为（ ） A ．34 B ．27 C. 25 D ．16
8.设P 是ABCD 的对角线的交点，O 为任一点，则OA OB OC OD +++=（ ）
A ．4OP
B ．3OP C. 2OP D ．OP
9.设1a b >>，0c <给出下列三个结论：①
c c a b >；②c c a b <；③log ()log ()a b b c a c -<-.其中所有的正确结论的序号是（ ）
（ ）
A ．①
B ．①② C. ②③ D ．①②③
10.已知定义在R 上的函数()f x ，当0x <时，3()1f x x =-；当11x -≤≤时，()()f x f x -=-；当14x >时，31()()44
f x f x +=-，则(6)f =（ ） A ．2 B ．0 C.-1 D ．-2
11.若函数32
()1()f x x tx x t R =+++∈在21(,)33
--内是减函数，则实数t 的取值范围为（ ） A ．(2,)+∞ B ．[2,)+∞ C. 7(,)4+∞ D ．7[,)4+∞ 12.在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点,A B 满足||||2OA OB OA OB ===，则点集{|,||||1,}P OP OA OB R λλλμμ=++≤∈所表示的区域的面积是（ ）
A ．． C. ．
二、填空题（20分，每题5分）
13. 在等腰梯形ABCD 中，已知AB CD ∥，2AB =，1BC =，60ABC ∠=︒，点E 和点F 分别在线段BC 和CD 上，且2136
BE BC DF DC ==，，则AE AF 的值为 . 14．设:3,:(1)(21)0,p x a q x x ->+-≥若p ⌝是q 的充分不必充要条件，则实数a 的取值范围是 ．
15．已知函数ln 4()x f x x +=
，则曲线)(x f 在点(1,(1))f 处的切线方程为__________． 16.给出下列命题：
①半径为2，圆心角的弧度数为12的扇形面积为12
； ②在ABC ∆中，A B <的充要条件是sin sin A B <；
③在ABC ∆中，若4AB =，AC =，3B π
=，则ABC ∆为钝角三角形；
④函数()ln 2f x x x =-+在区间(1,)e 上存在零点.
其中真命题的序号是__________.
三、解答题（70分）
17．（本小题12分）在ABC ∆中，内角A B C ，，所对应的边分别为a b c ，，，
已知0sin 2sin =-A b B a ．
（1）求B ；
（2）求C A sin sin
+的取值范围。

18．（本小题12分）已知数列
{}n a 的前n 项和为n S ，若*2,)1(N n n a S n n ∈-+=． （1）求数列
{}n a 的通项公式； （2）设11+=n n n a a b
，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
19．（本小题12分）如图，直三棱柱111ABC A B C -的底面是边长为2的正三角形，,E F 分别是边1,BC CC 的中点。

（１）证明：平面AEF ⊥平面11B BCC ；
（２）若直线1AC 与平面11A ABB 所成的角为45，
求三棱锥F AEC -的体积．
20．（本小题12分）如图，已知抛物线C ：24y x =，过焦点F 斜率大于
零的直线l 交抛物线于A 、B 两点，且与其准线交于点D ．
（1）若线段AB 的长为5，求直线l 的方程；
（2）在C 上是否存在点M ，使得对任意直线l ，直线MA ，MD ，MB 的斜率始终成等差数列，若存在，求点M 的坐标；若不存在，请说明理由.
21．（本小题12分）已知函数()x x x g ln 2+=，()x x
m mx x f ln 2---=，m R ∈． （1）求函数()g x 的极值；
（2）若()()f x g x -在[)1,+∞上为单调函数，求m 的取值范围；
（3）设2()e h x x
=
，若在[]1,e 上至少存在一个0x ，使得000()()()f x g x h x ->成立，求m 的取值范围．
选做题（在22题和23题中任选一个做，本小题10分）
22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线22:143x y C +=
，直线112:2x t l y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）. （1）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；
（2）设(1,2)M ，直线l 与曲线C 交点为A B 、，试求||||MA MB 的值.
23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知定义在R 上的函数()|1||2|f x x x =--+的最大值为s .
（1）试求s 的值；
（2）若,,a b c R +
∈，且a b c s ++=，求证：2223a b c ++≥.
数学（文）答案
一、1-12 BCABC DCADA BD
二、
13、29
18
14、（﹣∞，﹣4]∪[，+∞）
15、 073=-+y x
16、②④
三、
17：（1）3π=B （2）
]3,23
(sin sin ∈+C A
18：（1）12-=n a n ， （2）12+=n n T n
19：（1）略, （2）126
=V ．
20解：（1）焦点(1,0)F ∵直线l 的斜率不为0，所以设:1l x my =+，
11(,)A x y ，22(,)B x y 由21
4x my y x =+⎧⎨=⎩得2
440y my --=，
124y y m +=，124y y =-，
21212()242x x m y y m +=++=+，222
1212(4)14416y y x x -=⋅==，
∴2
12||2445AB x x m =++=+=， ∴21
4m =． ∴24k =，
∵0k >，∴直线l 的斜率2k =， ∴直线l 的方程为220x y --=． ………6分
（Ⅱ）设存在点2(,2)M a a ，则1122211122424
MA y a y a k y a x a y a --
===+--，
同理24
2MB k y a =+，22
21MD
a m k a +=+，∵直线MA ，MD ，MB 的斜率始终成等差数列，
∴2MD MA MB k k k =+恒成立，即2124
444
221a m y a y a
a +=++++恒成立．
∴212111221a m y a y a a +
=++++122212121412()4a y y a m a y y a y y a +++⇒=++++， 把124y y m +=，124y y =-代入上式，得21(1)()0a m m
-+=恒成立，1a ∴=±． ∴存在点(1,2)M 或(1,2)M -，使得对任意直线l ，直线MA ，MD ，MB 的斜率始终
成等差数列． ………12分 21解：：(1)因为22212()x g x x x x -'=-+=.由22212()0x g x x x x
-'=-+==得02x =， 所以02x =为函数()g x 的极小值点 2ln 1)2()(+==g x g 极小值 ………4分
（2）()()2ln m f x g x mx x x -=--，22
2[()()]mx x m f x g x x -+'∴-=. 因为()()f x g x -在[)1,+∞上为单调函数，所以220mx x m -+≥或220mx x m -+≤
在[)1,+∞上恒成立
220mx x m -+≥等价于221x m x ≥+在[)1,∞恒成立， 2222,max 11111x m x x x x x ⎧⎫⎪⎪== ∴≥⎨⎬+⎪⎪++⎩⎭
． 220mx x m ∴-+≤等价于2(1)2,m x x +≤即221x m x ≤+在[)1,∞恒成立，而(]2
20,1,01x m x ∈≤+． 综上，m 的取值范围是(][),01,-∞+∞． ……… 8分
（3）构造函数2()()()()2ln m e F x f x g x h x mx x x x =--=---， 当0m ≤时，2[1,],0,2l n 0m e x e mx x x x
∈-≤--<，所以在[1,]e 不存在0x 使得000
()()()f x g x h x ->成立. 当0m >时，22222222()m e mx x m e F x m x x x x
-++'=+-+= 因为2[1,],220,0x e e x mx m ∈∴-≥+>，所以()0F x '>在[1,]e 恒成立，
故()F x 在[1,]e 单调递增，max ()4m F x me e =-
-， 所以只需40m me e -->，解之得241
e m e >-，
故m 的取值范围是24,.1e
e ⎛⎫+∞ ⎪-⎝⎭ ……… 12分
22.解：（1）C 参数方程2cos 3sin x y θθ
=⎧⎨=⎩（θ为参数）
.
112(1)
2:221)
x t t x l y y x ⎧
=+⇒=-⎪⎪⎨⎪=+⇒-=-⎪⎩，
∴直线l
20y -+-=.
（2
）221
3(1)4(2)122t ++=，
221
3
3(1)4(4)1244t t t +++++=，
215
(3704t t +++=，
∴12t t +=1228
15t t =，
1228
||||||15MA MB t t ==.
23.解：（1）32
()212131
x f x x x x <-⎧⎪=---≤≤⎨⎪->⎩.
∴3s =.
（2）∵3a b c ++=，∴2222()222a b c a b c ab bc ac ++=+++++ 2223()a b c ≤++.
∴2223a b c ++≥.
当且仅当1a b c ===时取等号.。