2018年高考数学理科数学思想练习题转化与化归思想专练和答案

转化与化归思想专练

一、选择题

1．若命题“∃x 0∈R ，使得x 20＋mx 0＋2m －3<0”为假命题，则实数m 的取值范围是( )

A ．

B ．

C ．(2,6)

D ．(－6，－2)

答案 A

解析 ∵命题“∃x 0∈R ，使得x 20＋mx 0＋2m －3<0”为假命题，∴命题“∀x ∈R ，使得x 2＋mx ＋2m －3≥0”为真命题，∴Δ≤0，即m 2－4(2m －3)≤0，∴2≤m ≤6.

2. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB →

·AF →

＝2，则AE →

·BF →

的值是( )

A. 2 B ．2 C ．0 D ．1

答案 A

解析 ∵AF →

＝AD →

＋DF →，AB →·AF →＝AB →·(AD →＋DF →)＝AB →·AD →＋AB →·DF →＝AB →·DF →

＝2|DF →

|＝2，

∴|DF →

|＝1，|CF →

|＝2－1，∴AE →

·BF →

＝(AB →

＋BE →

)·(BC →

＋CF →

)＝AB →

·CF →

＋

BE →·BC →

＝－2×(2－1)＋1×2＝－2＋2＋2＝2，故选A.

3．AB 是过抛物线x 2＝4y 的焦点的动弦，直线l 1，l 2是抛物线两条分别切于

A ，

B 的切线，则l 1，l 2的交点的纵坐标为( )

A ．－1

B ．－4

C ．－14

D ．－1

16

答案 A

解析 找特殊情况，当AB ⊥y 轴时，AB 的方程为y ＝1，则A (－2,1)，B (2,1)，过点A 的切线方程为y －1＝－(x ＋2)，即x ＋y ＋1＝0.同理，过点B 的切线方程为x －y －1＝0，则l 1，l 2的交点为(0，－1)．

4．若对于任意t ∈，函数g (x )＝x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫

m 2＋2x 2－2x 在区间(t,3)上不是单调

函数，则实数m 的取值范围是( )

A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－375，－5

B.⎣⎢⎡⎦

⎥⎤－375，－5 C.⎝

⎛

⎭⎪⎫－∞，－375∪(－5，＋∞)

D ．已知PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且△PAB ，△PAC ，△PBC 的面积分别为32

cm 2,

2 cm 2，6 cm 2，则过P ，A ，B ，C 四点的外接球的表面积为( ) A.

26

4

π cm 2 B ．13π cm 2 C ．26π cm 2

D.133

6 cm 2 答案 C

解析 以PA 、PB 、PC 为同一顶点处的三条棱构造长方体，则其体对角线长是过P ，A ，B ，C 四点的外接球的直径，设三条棱长分别为a cm ，b cm ，c cm ，

则⎩⎨⎧

ab ＝3，bc ＝4，ac ＝12，

解得⎩⎨⎧

a ＝3，

b ＝1，

c ＝4，

则对角线长l ＝26 cm ，∴所求外接球半径

为26

2

cm，∴表面积S＝4πR2＝26π cm2.

二、填空题

6．已知圆O：x2＋y2＝1，直线x－2y＋5＝0上动点P，过点P作圆O的一条

切线，切点为A，则|PA|的最小值为________．

答案 2

解析过O作OP垂直于直线x－2y＋5＝0，过P作圆O的切线PA，连接OA，

易知此时|PA|的值最小，由点到直线的距离公式，得|OP|＝|1×0－2×0＋5|

1＋22

＝

5，又|OA|＝1，所以|PA|＝|OP|2－|OA|2＝2.

7．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a、b、c成等差数

列，则cos A＋cos C

1＋cos A cos C

＝________.

答案4 5

解析根据题意，所求数值是一个定值，故可利用满足条件的直角三角形进

行计算．令a＝3，b＝4，c＝5，则△ABC为直角三角形，且cos A＝4

5

，cos C＝0，

代入所求式子，得cos A＋cos C

1＋cos A cos C ＝

4

5

＋0

1＋

4

5

×0

＝

4

5

.

8．设f(x)是定义在R上的单调增函数，若f(1－ax－x2)≤f(2－a)对任意a ∈恒成立，则x的取值范围为________．

答案x≤－1或x≥0

解析∵f(x)在R上是增函数，

∴由f(1－ax－x2)≤f(2－a)，

可得1－ax－x2≤2－a，a∈，

∴a(x－1)＋x2＋1≥0，对a∈恒成立．

令g(a)＝(x－1)a＋x2＋1，

则当且仅当g(－1)＝x2－x＋2≥0，

g(1)＝x2＋x≥0恒成立，

解之，得x≥0或x≤－1.

故实数x的取值范围为x≤－1或x≥0.

三、解答题

9．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，(2a－c)cos B－b cos C ＝0.

(1)求角B的大小；

(2)设函数f(x)＝2sin x cos x cos B－

3

2

cos2x，求函数f(x)的最大值及当f(x)

取得最大值时x的值．

解(1)∵(2a－c)cos B－b cos C＝0，

∴2a cos B－c cos B－b cos C＝0，由正弦定理，得2sin A cos B－sin C cos B－cos C sin B＝0，

即2sin A cos B－sin(C＋B)＝0，

∴sin A(2cos B－1)＝0.

在△ABC中，sin A≠0，∴2cos B－1＝0，∴B＝π3

.

(2)∵B＝π

3

，∴f(x)＝

1

2

sin2x－

3

2

cos2x＝sin

⎝

⎛

⎭

⎪

⎫

2x－

π

3

，

令2x－π

3

＝2kπ＋

π

2

(k∈Z)，得x＝kπ＋

5

12

π(k∈Z)，

即当x＝kπ＋

5

12

π(k∈Z)时，f(x)取最大值1.

10．已知某几何体的三视图如图所示，其中左视图是边长为2的正三角形，主视图是矩形且AA1＝3，设D为AA1的中点．