rosen投影梯度法
第十章+可行方向法
判定：d 是可行点 x 处的可行方向的充要条 件是
aiT d = 0, i ∈ E aiT d ≤ 0, i ∈ I (x)
2． 可行下降方向
d 既是可行点 x 处的可行方向，又是 x 处的
x(
k
)
⎫ )⎬
,
otherwise
⎭
（6）令 k=k+1，转（2）。
3． 投影矩阵 P(k) 和 ((N (k) )T N (k) )−1 的简化计算
迭代一次，N(k) 至多只有增加一列或减少一
列，因此 ((N (k) )T N (k) )−1 的计算可以简化，具体请见
课本中的相关部分。
三、既约梯度法：将单纯形法推广到非线性规划
下降方向。
判定：若 d 满足
aiT d = 0, i ∈ E aiT d ≤ 0, i ∈ I (x) ∇f (x)T d < 0
则 d 是 x 处的可行下降方向。
（10.1.1）
（二）可行下降方向的求取
寻找满足条件（10.1.1），且使 ∇f (x)T d 达到最
小的 d：
min ∇f (x)T d
第十章 可行方向法
min f (x)
x∈Rn
s.t. aiT x − bi = 0, i ∈ E = {1, , l} aiT x − bi ≤ 0, i ∈ I = {l +1, , l + m}
（10.0.1）
一、可行方向法 （一）可行方向与可行下降方向
1． 可行方向 d (d ≠ 0, d ∈ Rn ) 是约束问题（10.0.1）在可行点
最优化知识点+名词解释
1.等值线
2．可微
3.梯度
4.方向导数
5.向量值函数
6.Hesse矩阵
7.Taylor展开式
8．内点边界点极限点
9.开集闭集
10.极小点与最优解
12.一阶必要条件
13.二阶必要条件
14.二阶充分条件
15．凸集
17.凸函数的必要条件
18．可行集（可行域）
19．基
20.基本解
21.可行解
22.基本可行解
23.最优基可行解，最优基
24.顶点
25.换基运算
26.单纯形算法
27.避免循环
28.修正单纯形法的优点
29.修正单纯形方法
30．对偶线性规划
31.对偶单纯形算法
32.下降迭代算法
33.黄金分割算法
34.最速下降算法
35.牛顿算法
36.共轭
37．FR共轭梯度算法
38. 可行域
39．可行方向
40.下降方向
41.可行下降方向
42.正则点/正则解
43.一阶必要条件
44.K-T点
45.二阶充分条件
46.外点罚函数法
47.内点罚函数法
48．惩罚函数法基本思想及优缺点
49.投影矩阵
50.可行方向的充分条件
51.可行下降方向
52.Rosen梯度投影算法。
最优化方法实验报告(2)
最优化方法实验报告Numerical Linear Algebra And ItsApplications学生所在学院：理学院学生所在班级：计算数学10-1学生姓名：甘纯指导教师：单锐教务处2013年5月实验三实验名称：无约束最优化方法的MATLAB实现实验时间: 2013年05月10日星期三实验成绩：一、实验目的：通过本次实验的学习，进一步熟悉掌握使用MATLAB软件，并能利用该软件进行无约束最优化方法的计算。
二、实验背景：（一）最速下降法1、算法原理最速下降法的搜索方向是目标函数的负梯度方向，最速下降法从目标函数的负梯度方向一直前进，直到到达目标函数的最低点。
2、算法步骤用最速下降法求无约束问题n R()min的算法步骤如下：xxf，a ）给定初始点)0(x ，精度0>ε，并令k=0；b ）计算搜索方向)()()(k k x f v -∇=，其中)()(k x f ∇表示函数)(x f 在点)(k x 处的梯度；c ）若ε≤)(k v ，则停止计算；否则，从)(k x 出发，沿)(k v 进行一维搜索，即求k λ，使得)(min )()()(0)()(k k k k v x f v x f λλλ+=+≥； d ）令1,)()()1(+=+=+k k v x x k k k k λ，转b ）。
（二）牛顿法1、算法原理牛顿法是基于多元函数的泰勒展开而来的，它将)()]([-)(1)(2k k x f x f ∇∇-作为搜索方向，因此它的迭代公式可直接写出来：)()]([)(1)(2)()(k k k k x f x f x x ∇∇-=-2、算法步骤用牛顿法求无约束问题n R x x f ∈),(min 的算法步骤如下：a ）给定初始点)0(x ,精度0>ε，并令k=0；b ）若ε≤∇)()(k x f ，停止，极小点为)(k x ，否则转c ）；c ）计算)()]([,)]([)(1)(2)(1)(2k k k k x f x f p x f ∇∇-=∇--令；d ）令1,)()()1(+=+=+k k p x x k k k ，转b ）。
（运筹学与控制论专业优秀论文）一类最优化问题的算法设计
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本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立 进行研究工作所取得的成果。尽我所知，除文中已经注明引用的内容 外，本学位论文的研究成果不包含任何他人享有著作权的内容。对本 论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均已在文中以明 确方式标明。
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1.3 本文的主要内容
本文主要研究一类具有特殊形式的最优化问题，求解这一类最优化问题的全 局最优解，并应用到求解互补问题上。虽然目前已经有很多算法，但是我们考虑 到本最优化问题的约束条件是特殊的，因此可以利用约束条件的特殊性构造更为 简单有效的算法。
本文提出了一类新的函数，将它定义为半正定函数。利用这类函数将原问题； 分别转化为无约束最优化和含等式约束的最优化问，并分别设计了算法，进行了 数值实验，验证了算法的有效性。为了给出问题的全局最优解，我们又研究了算 法子问题的全局最优化算法，利用填充函数法来求解子问题。这样就保证了前面 设计的算法可以求得问题的全局最优解。最后，针对约束最优化问题（P），提出 了拟填充函数的概念，构造了一类拟填充函数并设计了算法。具体内容如下：
In this article we propose a new type of function, which is called a semi-positive function. We use this function to make another function, then we can turn the original problem into another one. We give algorithms and numerical results. Then we investigate the sub-problem. Also we propose the definition of quasi-filled function. We propose a quasi-filled function and design algorithm. It mainly contains the following six chapters:
rosen梯度投影法例题
rosen梯度投影法例题梯度投影法是一种优化算法，用于求解无约束优化问题。
该算法基于梯度下降法，但在每次迭代时会将梯度投影到一个凸集合上，以确保解在该凸集合内。
Rosen梯度投影法是该算法的一种变体，在求解非线性无约束优化问题时表现出色。
本文将介绍Rosen梯度投影法，并给出一个例题加以说明。
一、Rosen梯度投影法Rosen梯度投影法是由Howard Rosen在1960年提出的。
该算法的基本思想是在每次迭代时，将梯度向量投影到一个半径为R的球体上，以确保解在该球体内。
具体来说，设当前迭代点为x(k)，梯度为g(k)，则Rosen梯度投影法的迭代公式为：x(k+1) = x(k) - α(k)P[g(k)]其中，α(k)为步长，P[g(k)]为g(k)在球体上的投影。
P[g(k)]的计算方式如下：P[g(k)] = R*g(k)/||g(k)||, if ||g(k)|| > R= g(k), if ||g(k)|| ≤ R其中，||g(k)||为g(k)的模长，R为球体半径。
当||g(k)|| > R 时，P[g(k)]表示将g(k)缩放到半径为R的球体上；当||g(k)|| ≤ R 时，P[g(k)]表示g(k)已经在球体内部，无需缩放。
在实际应用中，步长α(k)可以通过线搜索或其他方法确定。
另外，球体半径R的选择也很重要，通常需要根据问题的特点进行调整。
二、例题说明考虑以下非线性无约束优化问题：min f(x) = 100(x2 - x1^2)^2 + (1 - x1)^2该问题的解析解为x* = (1, 1)，f(x*) = 0。
我们将使用Rosen梯度投影法求解该问题。
首先，计算f(x)的梯度为：g(x) = [400x1(x1^2 - x2) + 2(x1 - 1), -200(x1^2 - x2)] 然后，选择初始点x(0) = (-1.2, 1)和步长α(k) = 0.001。
带约束的非线性优化问题解法小结
(1)带约束的非线性优化问题解法小结考虑形式如下的非线性最优化问题(NLP):min f(x)「g j (x )“ jI st 彳 g j (x)=O j L其 中， ^(x 1,x 2...x n )^ R n， f : R n > R ， g j :R n > R(j I L) ， I 二｛1,2,…m ｝， L ={m 1,m 2...m p}。
上述问题(1)是非线性约束优化问题的最一般模型，它在军事、经济、工程、管理以 及生产工程自动化等方面都有重要的作用。
非线性规划作为一个独立的学科是在上世纪 50年 代才开始形成的。
到70年代，这门学科开始处于兴旺发展时期。
在国际上，这方面的专门性 研究机构、刊物以及书籍犹如雨后春笋般地出现，国际会议召开的次数大大增加。
在我国， 随着电子计算机日益广泛地应用，非线性规划的理论和方法也逐渐地引起很多部门的重视。
关于非线性规划理论和应用方面的学术交流活动也日益频繁，我国的科学工作者在这一领域 也取得了可喜的成绩。
到目前为止，还没有特别有效的方法直接得到最优解，人们普遍采用迭代的方法求解： 首先选择一个初始点，利用当前迭代点的或已产生的迭代点的信息，产生下一个迭代点，一 步一步逼近最优解，进而得到一个迭代点列，这样便构成求解( 1)的迭代算法。
利用间接法求解最优化问题的途径一般有：一是利用目标函数和约束条件构造增广目标 函数，借此将约束最优化问题转化为无约束最优化问题，然后利用求解无约束最优化问题的 方法间接求解新目标函数的局部最优解或稳定点，如人们所熟悉的惩罚函数法和乘子法；另 一种途径是在可行域内使目标函数下降的迭代点法，如可行点法。
此外，近些年来形成的序 列二次规划算法和信赖域法也引起了人们极大的关注。
在文献［1］中，提出了很多解决非线性 规划的算法。
下面将这些算法以及近年来在此基础上改进的算法简单介绍一下。
1. 序列二次规划法序列二次规划法，简称SQ 方法.亦称约束变尺度法。
最优化理论——精选推荐
最优化理论课程名称：最优化理论英文译名：Optimization Theory课程编码：070102X07适用专业：信息与计算科学课程类别：专业选修学时数：64 学分：4编写执笔人：余东明审定人：高仕龙编写日期：2005/04/15一、课程的性质、目的和任务最优化理论是现代应用数学的一个重要分支，是一门应用广泛、实用性强的学科。
它所研究的问题是讨论在众多的方案中什么样的方案最优以及怎样找出最优方案。
通过最优化理论和方法的学习，使学生得到良好的数学训练，培养学生的抽象思维能力和解决实际问题的能力。
二、课程教学内容及教学基本要求：第一章概述（2学时）1、教学内容：学科简述，线性规划与非线性规划问题。
2、教学目的及要求：了解学科发展历程。
理解优化理论包含的内容。
掌握线性规划与非线性规划的定义，形式和性质。
第2 章凸集与凸函数（4学时）1、教学内容：凸集，凸函数。
2、教学目的及要求：了解本学科的研究内容、重要进展及发展趋势。
理解凸集、凸函数等基本概念，凸集，凸函数的几何意义。
掌握凸集、凸函数等基本概念，定理和判定理。
第3 章线性规划的基本性质（4学时）1、教学内容：标准形式及图解法，基本性质。
2、教学目的及要求：了解线性规划解的方法与计算机实现方法。
理解与线性规划有关的定理，性质。
掌握线性规划的性质，涉及相关的定理，计算方法。
第4章单纯形方法（6学时）1、教学内容：单纯形方法，两阶段法与大M法，退化情形，修正单纯形法，变量有界的情形，分解算法。
2、教学目的及要求：了解解的有效性和时间性。
理解变量有界的情形，分解算法。
掌握线性规划的基本性质、单纯形法、修正单纯形法，对偶理论等线性规划的基本理论和方法。
第5章对偶原理及灵敏度分析（6学时）1、教学内容：线性规划中的对偶理论，对偶单纯形法，原始—对偶算法，灵敏度分析。
2、教学目的及要求：了解对偶理论和灵敏度分析的作用和意义。
理解有关算法收敛性的理论。
掌握线性规划中的对偶理论，对偶单纯形法算法和原始—对偶算法，并能借助算法进行一些计算。
《梯度投影法》课件
投影向量的更新
投影向量的更新是梯度投影法中的重要步骤，用 于逐步逼近最优解。
更新投影向量的方法包括梯度下降法、牛顿法等 。
投影向量的更新过程需要满足一定的收敛条件， 以确保算法的收敛性和稳定性。
PART 03
梯度投影法的实现步骤
REPORTING
初始化参数
参数设置
在开始时，需要设定一个初始点，以 及一个初始的投影方向。
。
对大规模问题效率较低
对于大规模优化问题，梯度投影法的 计算复杂度较高，可能需要较长时间
才能得到结果。
未来研究方向与展望
要点一
改进算法
针对梯度投影法的局限性，研究改进算法以提高其性能和 适用范围。
要点二
扩展应用领域
将梯度投影法应用于更多类型的问题，如非线性规划、多 目标优化等。
未来研究方向与展望
《梯度投影法》ppt 课件
REPORTING
• 引言 • 梯度投影法的基本原理 • 梯度投影法的实现步骤 • 梯度投影法的优化策略 • 梯度投影法的应用实例 • 结论与展望
目录
PART 01
引言
REPORTING
梯度投影法的定义
01
梯度投影法是一种优化算法，通过迭代的方式寻找函数的最小 值点。
梯度投影法的优势与局限性
• 稳定性：梯度投影法在迭代过程 中表现出良好的稳定性，不易陷 入局部最优。
梯度投影法的优势与局限性
对初始点敏感
梯度投影法对初始点的选择较为敏感 ，如果初始点选择不当，可能导致算
法收敛到非全局最优解。
对约束条件要求高
该方法要求约束条件严格满足，否则 可能导致算法收敛失败或得到无效解
通用性
梯度投影法适用于各种类 型的函数优化问题，具有 广泛的适用范围。
约束优化常见算法
第五章约束优化常见算法定义5.1设x ∈S为一可行点, S∈ℝn ，假设存在S > 0, 使对∀S∈ [0, S ]均有S + SS∈S , 那么称S是可行域S在可行解S处的可行方向, 可行域S在可行解ˉS处的所有可行方向记为FD(S , S ), 简记为FD(S )定理5.1设S是问题(5.1)的可行解，在点S处有A 1S =b 1, A 2S > b 2，其中A =[A 1A 2]，B =[b 1b 2] 那么非零向量S为S处的可行方向的充要条件是A 1S≥ 0,SS = 0。
Zoutendijk 方法：如果非零向量S同时满足∇f (x )T S < 0, A 1S≥ 0,SS = 0，那么S 是在S处的下降可行方向。
因此，Zoutendijk 法把确定搜索方向归结为求解线性规划问题:min ∇f (x )T Ss.t A 1S≥ 0SS = 0‖S‖≤ 1.(5.2)其中增加约束条件‖S‖≤ 1是为了获得一个有限解。
在(5.2)中，显然S = 0是可行解, 因此最优目标值小于或等于零．如果∇f (x )T S < 0，那么得到下降可行方向S；如果最优值为零, 那么有如下结果.定理5.2考虑问题(5.1)，设S是可行解，在点S处有A 1S = b 1, A 2S > b 2，其中A =[A 1A 2]，B =[b 1b 2] 那么S为Kuhn-Tucker 点的充要条件是问题(5.2)的最优目标值为零。
Rosen 投影梯度法定义5.2设S为S阶矩阵，假设S =P T 且P 2= S，那么称S为投影矩阵。
定理5.3设S是问题(5.1)的可行解，在点S处，有S 1S = S 1,S 2S > S 2，其中A =[A 1A 2]，B =[b 1b 2] 又设M =[A 1E] 为行满秩矩阵，那么S = S −M T (MM T )−1S是一个投影矩阵, 且假设S ∇S (S )≠ 0，那么S = −S ∇S (S )是下降可行方向. 定理5.4设S是问题(5.1)的一个可行解, A 1, A 2,S的定义同定理5.3, 且S为行满秩矩阵，令S = (MM T )−1S ∇S (S ) =[u v]其中S和S分别对应于A 1和S . 假设S ∇S (S ) = 0，那么1 如果S≥ 0，那么S是K-T 点；2 如果S中含有负分量，不妨设u j < 0，这时从S 1中去掉u j 对应的行，得到Â1,令 M ̂=[A ̂1E],P ̂=I −M ̂T (M ̂M ̂T )−1M ̂ S = −P̂∇S (S ) 那么S为下降可行方向。
rosen投影梯度法
rosen投影梯度法Rosen投影梯度法是一种常用的优化算法，用于求解无约束优化问题。
本文将介绍Rosen投影梯度法的基本原理、算法步骤以及优缺点，并结合实例解释其应用。
一、基本原理Rosen投影梯度法是一种迭代算法，通过不断更新参数来寻找目标函数的最小值。
其基本原理是利用目标函数的梯度信息来指导搜索方向，通过不断迭代优化参数，使目标函数的值逐渐趋近于最小值。
二、算法步骤1. 初始化参数：选择合适的初始参数向量，通常可以根据经验或问题特点来确定。
2. 计算梯度：根据目标函数的表达式，计算当前参数向量的梯度，即目标函数对每个参数的偏导数。
3. 更新参数：根据梯度信息和学习率（步长因子），更新当前的参数向量，使其朝着梯度下降的方向移动一定距离。
4. 判断终止条件：判断是否满足终止条件，如目标函数值的变化小于某个阈值或迭代次数达到设定值。
5. 终止或继续迭代：如果满足终止条件，则算法结束，返回当前参数向量作为最优解；否则，返回步骤2。
三、优缺点分析1. 优点：- 算法简单易懂，实现相对容易。
- 在某些问题上能够取得较好的优化效果。
- 不需要计算目标函数的二阶导数，节省了计算成本。
2. 缺点：- 可能陷入局部最优解，无法保证全局最优解。
- 对于参数空间中存在的狭长谷底，可能收敛速度较慢。
- 学习率的选择对算法的性能有较大影响，需要进行调参。
四、实例应用假设我们要优化一个二次函数目标函数，如f(x) = (x-2)^2 + 3。
我们可以使用Rosen投影梯度法来求解最小值。
首先，根据步骤1，我们选择初始参数x0 = 0，并设定学习率为0.1。
然后，根据步骤2，计算梯度为f'(x) = 2(x-2)。
接下来，根据步骤3和学习率，更新参数x1 = x0 - 0.1*f'(x0) = 0 - 0.1*2*(-2) = 0.4。
重复迭代步骤，直到满足终止条件。
在本例中，我们可以设定目标函数值的变化小于0.001作为终止条件。
梯度投影法matlab程序可执行
function [x,minf]=minRosen(f,A,b,x0,var,eps) %目标函数：f;%约束矩阵：A;%约束右端力量：b;%初始可行点：x0;%自变量向量：var;%精度：eps;%目标函数取最小值时的自变量值：x;%目标函数的最小值：minf;format long;if nargin == 5eps=;endsyms l;x00=transpose(x0);n=length(var);sz=size(A);m=sz(1);gf=jacobian(f,var);bConti=1;while bContik=0;s=0;A1=A;A2=A;b1=b;b2=b;for i=1:mdfun=A(i,:)*x00-b(i);if abs(dfun)<k=k+1;A1(k,:)=A(i,:);b1(k,1)=b(i);elses=s+1;A2(s,:)=A(i,:);b2(s,1)=b(i);endendif k>0A1=A1(1:k,:);b1=b1(1:k,:);endif s>0A2=A2(1:s,:);b2=b2(1:s,:);endwhile 1P=eye(n,n);if k>0tM=transpose(A1);P=P-tM*inv(A1*tM)*A1;endgv=Funval(gf,var,x0);gv=transpose(gv);d=-P*gv ;if d==0if k==0x=x0;bConti=0;break;elsew=inv(A1*tM)*A1*gv;if w>=0x=x0;bConti=0;break;else[u,index]=min(w);sA1=size(A1);if sA1(1)==1k=0;elsek=sA1(2);A1=[A1(1:(index-1),:);A1((index+1):sA1(2),:)]; %去掉A1对应的行 endendendelsebreak;endendd1=transpose(d);y1=x0+l*d1;tmpf=Funval(f,var,y1);bb=b2-A2*x00;dd=A2*d;if dd>=0[tmpI,lm]=minJT(tmpf,0,;elselm=inf;for i=1:length(dd)if dd(i)<0if bb(i)/dd(i)<lmlm=bb(i)/dd(i);endendendend[xm,minf]=minHJ(tmpf,0,lm,;tol=norm(xm*d);if tol<epsx=x0;break;endx0=x0+xm*d1;%disp('x0');x0endminf=Funval(f,var,x)function fv = Funval(f,varvec,varval) var = findsym(f);varc = findsym(varvec);s1 = length(var);s2 = length(varc);m =floor((s1-1)/3+1);varv = zeros(1,m);if s1 ~= s2for i=0: ((s1-1)/3)k = findstr(varc,var(3*i+1));index = (k-1)/3;varv(i+1) = varval(index+1);% index(i+1);% varv(i+1)=varval(index(i+1));endfv = subs(f,var,varv);elsefv = subs(f,varvec,varval);endfunction [x,minf] = minHJ(f,a,b,eps) format long;if nargin == 3eps = ;endl = a + *(b-a);u = a + *(b-a);k=1;tol = b-a;while tol>eps && k<100000fl = subs(f , findsym(f), l);fu = subs(f , findsym(f), u);if fl > fua = l;l = u;u = a + *(b - a);elseb = u;u = l;l = a + *(b-a);endk = k+1;tol = abs(b - a);endif k == 100000disp('找不到最小值！');x = NaN;minf = NaN;return;endx = (a+b)/2;minf = subs(f, findsym(f),x);format short;function [minx,maxx] = minJT(f,x0,h0,eps)format long;if nargin == 3eps = ;endx1 = x0;k = 0;h = h0;while 1x4 = x1 + h;k = k+1;f4 = subs(f, findsym(f),x4);f1 = subs(f, findsym(f),x1);if f4 < f1x2 = x1;x1 = x4;f2 = f1;f1 = f4;h = 2*h;elseif k==1h = -h;x2 = x4;f2 = f4;elsex3 = x2;x2 = x1;x1 = x4;break;endendendminx = min(x1,x3);maxx = x1+x3 - minx;format short;% syms x1 x2 x3 ;% f=x1^2+x1*x2+2*x2^2+2*x3^2+2*x2*x3+4*x1+6*x2+12*x3;% [x,mf]=minRosen(f,[1 1 1 ;1 1 -2],[6;-2],[1 1 3],[x1 x2 x3])% syms x1 x2;%f=x1^3+x2^2-2*x1-4*x2+6;% [x,mf]=minRosen(f,[2,-1;1,1;-1,0;0,-1],[1;2;0;0],[1 2],[x1 x2])% syms x1 x2 x3;% f=-x1*x2*x3;% [x,mf]=minRosen(f,[-1,-2,-2;1,2,2],[0;72],[10 10 10],[x1 x2 x3])% syms x1 x2;%f=2*x1^2+2*x2^2-2*x1*x2^3-4*x1^7-6*x2;% [x,mf]=minRosen(f,[1 1;1 5;-1 0;0 -1],[2;5;0;0],[-1 -1],[x1 x2])------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------syms x1 x2 x3;% f=2*x1^2+2*x2^2-2*x1*x2^3-4*x1^7-6*x2;% var=[x1,x2];% valst=[-1,-1];% A=[1 1;1 5;-1 0;0 -1];% b=[2 5 0 0]';% f=x1^3+x2^2-2*x1-4*x2+6;% var=[x1,x2];% valst=[0 0];% A=[2,-1;1,1;-1,0;0,-1];% b=[1 2 0 0]';var=[x1,x2,x3];valst=[10,10,10];f=-x1*x2*x3;A=[-1,-2,-2;1,2,2];b=[0 72]';[x,mimfval]=MinRosenGradientProjectionMethod(f,A,b,valst,var)[x2,fval]=fmincon('confun',valst,A,b)function [x,minf]=MinRosenGradientProjectionMethod(f,A,b,x0,var,eps)%f is the objection function;%A is the constraint matrix; 约束矩阵%b is the right-hand-side vector of the constraints;%x0 is the initial feasible point; 初始可行解%var is the vector of independent variable; 自变量向量%eps is the precision; 精度%x is the value of the independent variable when the objective function is minimum; 自变量的值是当目标函数最小%minf is the minimum value of the objective function; 目标函数的最小值format long;if nargin == 5eps=;endsyms l;x00=transpose(x0);n=length(var);sz=size(A);m=sz(1);% m is the number of rows of A 行数gf=jacobian(f,var);%calculate the jacobian matrix of the objective function 计算目标函数的雅可比矩阵bConti=1;while bContik=0;s=0;A1=A;A2=A;b1=b;b2=b;for i=1:mdfun=A(i,:)*x00-b(i); %separate matrix A and b 分离矩阵A和bif abs(dfun)< %find matrixs that satisfy A1 x_k=b1 找到满足的矩阵k=k+1;A1(k,:)=A(i,:);b1(k,1)=b(i);else%find matrixs that satisfy A2 x_k<b2 找到满足的矩阵s=s+1;A2(s,:)=A(i,:);b2(s,1)=b(i);endendif k>0A1=A1(1:k,:);b1=b1(1:k,:);endif s>0A2=A2(1:s,:);b2=b2(1:s,:);endwhile 1P=eye(n,n);if k>0tM=transpose(A1);P=P-tM*inv(A1*tM)*A1; %calculate P;endgv=Funval(gf,var,x0);gv=transpose(gv);d=-P*gv; %calculate the searching direction 计算搜索方向% flg=1;% if(P==zeros(n))% flg =0;% end% if flg==1% d=d/norm(d); %normorlize the searching direction 搜索方向% end% 加入这部分会无止境的循环if d==0if k==0x=x0;bConti=0;break;elsew=-inv(A1*tM)*A1*gv;if w>=0x=x0;bConti=0;break;else[u,index]=min(w);%find the negative component in wsA1=size(A1);if sA1(1)==1k=0;elsek=sA1(2);A1=[A1(1:(index-1),:);A1((index+1):sA1(1),:)]; %delete corresponding row in A1 删除对应的行A1endendendelsebreak;endendd1=transpose(d);y1=x0+l*d1; %new iteration variable 新的迭代变量tmpf=Funval(f,var,y1);bb=b2-A2*x00;dd=A2*d;if dd>=0[tmpI,lm]= ForwardBackMethod(tmpf,0,; %find the searching interval 找到搜索区间elselm=inf; %find lambda_maxfor i=1:length(dd)% if(dd(i)>0)% %if dd(i)<0% %if bb(i)/dd(i)<lmlm=bb(i)/dd(i);endendendendif lm==inflm=1e9;end[xm,minf]=GoldenSectionSearch(tmpf,0,lm,; %guarantee lambda>0 保证λ> 0%find the minimizer by one dimension searching method 找到由一维搜索方法得到目标tol=norm(xm*d);if tol<epsx=x0;break;endx0=x0+xm*d1;disp('x0');x0endminf=Funval(f,var,x);搜索法确定局部最优值function [x,minf]=GoldenSectionSearch(f,a,b,eps)% search method to find minimum value of function f 搜索方法找到函数f的最小值format long;if nargin==3eps=;endl=a+*(b-a);u=a+*(b-a);k=1;tol=b-a;while tol>eps&&k<100000fl=subs(f ,findsym(f),l);fu=subs(f ,findsym(f),u);if fl>fua=l;l=u;u=a+*(b-a);elseb=u;u=l;l=a+*(b-a);endk=k+1;tol=abs(b-a);endif k==100000disp('找不到最小值！');x=NaN;minf=NaN;return;endx=(a+b)/2; %return the minimizer 返回最小值minf=subs(f, findsym(f),x);format short;进退法确定搜索区间function [left,right]=ForwardBackMethod(f,x0,step)if nargin==2step =endif nargin==1x0=0;step =endf0 =subs(f,findsym(f),{x0});x1=x0+step;f1=subs(f,findsym(f),{x1});if(f1<=f0)step2=2*step;x2=x1+step;f2=subs(f,findsym(f),{x2});while(f1>f2)x0=x1;x1=x2;f0=f1;f1=f2;step=2*step;x2=x1+step;f2=subs(f,findsym(f),{x2});endleft=min(x0, x2);right=max(x0, x2);elsestep=2*step;x2=x1-step;f2=subs(f,findsym(f),{x2});while(f0>f2)x1=x0;x0=x2;f1=f0;f0=f2;step=2*step;x2=x1-step;f2=subs(f,findsym(f),{x2});endleft=min(x1,x2);%left end pointright=max(x1,x2);%right end pointendfunction fv=Funval(f,varvec,varval)var=findsym(f); %找出表达式包含的变量t,s f=t^2+s+1varc=findsym(varvec); %找出传递参数的变量[t s]中的 t ss1=length(var); %函数的个数s2=length(varc); %变量的个数m=floor((s1-1)/3+1); %靠近左边的整数varv=zeros(1,m);if s1 ~= s2%if the number of variable is different, deal with it specially 如果变量的数量是不同的,专门处理它for i=0: ((s1-1)/3)k=findstr(varc,var(3*i+1));index=(k-1)/3;varv(i+1) = varval(index+1);endfv=subs(f,var,varv);elsefv=subs(f,varvec,varval); %return the value of the function 如果原来函数变量个数与传递参数中变量个数一致，调用subs函数，计算给定点处函数值end% disp('here')% f% varvec% varval%fv = subs(f,varvec,varval);。
投影梯度法
由 PM 是投影矩阵知， PMT = PM ， PM2 = PM ，因此 PM = PMT PM ，于是
∇f ( xk )T sk = −∇f ( xk )T PM ∇f ( xk ) = −∇f ( xk )T PMT PM ∇f ( xk ) = − PM ∇f ( xk ) 2 < 0
由此知 sk 是 f 在 xk 处的下降方向。
⎟ ⎠
。
PM = 0 ， s1 = −PM ∇f ( x1) = 0 。
u1
=
⎛ ⎜ ⎝
u2 u3
⎞ ⎟ ⎠
=
−(MM
T
)−1
M
∇f
(
x1)
=
(0,
−2)T
，
u3
<0 ， 所 以 令
M = A11 = (1
1) 。 PM
=
1⎛ 1
2
⎜ ⎝
−1
−1⎞
1
⎟ ⎠
，
s1
=
− PM
∇f
( x1)
=
⎛ ⎜ ⎝
1⎞ −1⎟⎠
再由(5.6)、 Msk = 0 和 ∇f ( xk )T sk < 0 得
ai0T sk = −[∇f ( xk )T sk − wT Msk ] ui0 = − ∇f ( xk )T sk ui0 < 0 再根据(5.7)得知 sk 满足(5.1)。由此知 sk 是在(LNP1)在 xk 处的可行下降方向。证毕。
矩阵，我们通过投影矩阵 PM 将 −∇f ( xk ) 投影到 LM 上由此构造可行下降方向。
1
定理 5.1 设 xk ∈ S 是 S 的正则点，M 和 PM 如上定义， −PM ∇f ( xk ) ≠ 0 ，则 sk = −PM ∇f ( xk ) 是
最优化方法 第三章(可行方向法)
又 f ( x k )T d * * 0,
d * 是可行下降方向。
改进方法具有全局收敛性。
一、Zoutendijk法
Frank Wolfe 方法 min f ( x )
给定线性规划问题
Ax b s .t . x0
f ( x k )T d k 0 gi ( x k )T d k 0 , i I ( x k )
1 di 1, i 1, 2,
,n
������ = 0 , 则 ������ ������ 处不存在可行下降方向 , ������ ������ 已是 ������−������ 点. 有例子表明上述方法不一定收敛到 ������−������ 点，即总有������ < 0 .
如果可行点为内点， 可取������ = −������������(������ )计算。
一、Zoutendijk法 非线性约束模型的可行方向确定方法
min s.t.
z f ( x )T d z 0 gi ( x) d z 0, i I
T
一、Zoutendijk法 线性约束模型的可行方向
min f ( x ) Ax b s .t . Cx e
紧约束
A1 b1 定理 设 x D ，在点 x 处有 A1 x b1 , A2 x b2 , 其中A , b ， A2 b2 则非零向量 d 是 x 处的可行方向的充分必要条件是
定理 设 f ( x )可微， x k D, 如果y k 是上述线性规划的最优解,则有
(1) 当f ( x k )T ( y k x k ) 0时 , 则x k 是(1)的K -T点；
12可行方向法
a i d 0 , i I ( x )； f ( x ) d 0
T
则 d 是可行下降方向
.
可行方向法思路：
从当前迭代点 x 出发，沿着可行下降方 ˆ x , 使得 向 d 搜索，
得到一个新的可行点
ˆ f (x) f (x)
问题：可行下降方向d不唯一，怎么选择？ －－－－选择目标函数值下降最快的方向
(k )
D,d
(k )
是x
(k )
处的可行下降方向，令
x x
(k )
d
(k )
考虑约束条件
T T
d
(k )
是问题 ( 1 )或 ( 2 )或 ( 3 )的解
bi a i d
T (k )
a i x bi a i x a i x bi a i x
T T
(k )
0, 0,
定理 1
.
线性化可行方向
件是
设 x D , 则 d 为 x 处的可行方向的充要条 a i d 0, i E ;
T T
a i d 0 , i I ( x ).
定义 2
设 x D , 若 d 是 x 处的可行方向，又是 .
x 处的下降
方向，则称 d 是 x 处的可行下降方向
若 d 满足 a i d 0, i E ;
T
a 3 x b3 x1 0,
T
a 4 x b4 x 2 0,
T
取初始点 x
(1 )
( 0 ,0 ) .
T
二、投影梯度法 无约束问题最速下降法：任取一点，若其梯度不为0，则沿 负梯度方向前进，总可以找到一个新的使函数值下降的点。 对约束问题，若再沿负梯度方向前进，可能是不可行的； 解决方法：把负梯度方向投影到可行方向上去！ 1.投影矩阵
rosen投影梯度法
rosen投影梯度法Rosen投影梯度法是一种常用的优化算法，广泛应用于解决非线性优化问题。
它以数学家Howard H. Rosen的名字命名，被认为是一种高效且可靠的优化算法。
本文将介绍Rosen投影梯度法的原理、步骤和应用领域，以及与其他优化算法的比较。
我们来了解一下Rosen投影梯度法的基本原理。
该算法是一种迭代优化算法，通过不断调整优化变量的取值，从而逐步逼近最优解。
其核心思想是通过计算目标函数的梯度信息，确定优化变量的更新方向和步长，以使目标函数值不断减小。
在每一次迭代中，Rosen 投影梯度法都会计算目标函数的梯度，并根据梯度信息调整优化变量的取值，直到满足收敛准则为止。
Rosen投影梯度法的具体步骤如下：1. 初始化优化变量的取值。
2. 计算目标函数在当前优化变量取值下的梯度。
3. 根据梯度信息确定优化变量的更新方向和步长。
4. 更新优化变量的取值。
5. 判断是否满足收敛准则，如果满足则停止迭代，否则返回第二步。
Rosen投影梯度法在实际应用中具有广泛的适用性。
它可以用于解决各种非线性优化问题，例如机器学习中的参数优化、信号处理中的信号重构、金融工程中的投资组合优化等。
与其他优化算法相比，Rosen投影梯度法的优势在于能够处理约束优化问题。
通过引入投影算子，可以将优化变量的取值限制在某个约束空间中，从而得到满足约束条件的最优解。
与其他优化算法相比，Rosen投影梯度法具有以下特点：1. 简单而高效：Rosen投影梯度法不需要计算目标函数的二阶导数，只需要计算一阶导数信息，从而降低了计算复杂度。
2. 收敛性好：Rosen投影梯度法在某些情况下能够保证收敛到全局最优解，而不仅仅是局部最优解。
3. 鲁棒性强：Rosen投影梯度法对于初始点的选择不敏感，能够在不同的初始点下得到相似的最优解。
然而，Rosen投影梯度法也存在一些限制和不足之处。
首先，该算法对于目标函数的光滑性要求较高，对于非光滑的目标函数可能无法得到有效的优化结果。
供水系统运行状态实时模拟方法
q ;— 模 计 的 点 量， 拟 算 节 流 Us;
Qd— 总供水量， s,, U
2 供水系统模拟模型的建立
供水系统实时模拟的前提是已知管网的图形结 构， 各管段的直径、 长度、 粗糙度等静态参数以及某 时刻各水源供水量， 并实测管网中部分节点水压。 实时模拟的基本思路和方法是假设各节点流量， 使 其总和等于各水源供水量之和， 利用假设的节点流 量进行管网平差， 比较平差结果中的节点水压和对 应节点的实测水压的差别。如果误差较大， 说明假 设的各节点流量与实际发生的节点流量相差较大， 应调整。利用调整后的节点流量再进行平差计算， 直至计算的节点水压与实测节点的水压比较接近， 这时的节点流量接近其实际值， 此时的平差结果即 全面反映了管网的运行状态。 为了避免调整节点流量时的盲 目 减小节点 性， 流量搜索范围， 缩短搜索时间， 应对节点流量的搜索 做一定的约束， 使节点流量围绕某一个值搜索。这 是因为虽然节点流量随时变化， 但某些节点的流量 相对较大， 而另一些节点流量较小， 两者存在一定的 比例关系， 这种关系在一段时间内变化不大， 可利用 以往的用户用水量数据计算各节点流量的比例关 系。每次进行状态模拟时， 利用实测的总供水量、 各 节点流量比例关系， 粗略计算各节点流量， 将流量粗 略值作为节点流量搜索的中心。由于粗略计算的节 点流量可能存在较大的误差， 因此， 只能让它对节点 流量搜索产生很小的约束力。 根据以上分析， 建立如下供水系统状态模拟目
基金项目: 扬州大学自然基金项目( SK0513114)
量的节点水压， 因而对系统状态的了解不全面。水 力模型法通过管网平差得到管网所有的状态参
数「 需 参 很多， 静态的 图 管 1-21， 要的 数 包括 管网 形、
段参数和动态的管网节点流量。静态参数可以利用 管网建设资料、 实地调查等方法获得， 数据比较可 靠。而节点流量是随时变化的， 很难实时准确地获 得， 前采用的方法是， 目 利用用户水表计量的以往用 水量数据及其周期性的变化规律， 预测未来某一时 刻用户的用水量， 以此作为各节点的节点流量。由 于节点流量是推测得来的， 因而水力模型法不是真
《梯度投影法》课件
1. 计算梯度$g(x_k)$。
3. 如果$|P_{C}(x_k - alpha g(x_k)) - x_k| leq epsilon$，则 停止迭代；否则，令$x_{k+1} = P_{C}(x_k - alpha g(x_k)适的步长$alpha$是关键，可以使用线搜索或回溯法来确 定。
。
迭代更新
通过不断迭代更新当前点，逐步逼 近最优解。
收敛性
在适当的条件下，算法能够收敛到 全局最优解。
梯度投影法的算法
02
实现
梯度投影算法的步骤
迭代过程：对于$k=0,1,2,ldots$ ，执行以下步骤
2. 计算投影$P_{C}(x_k - alpha g(x_k))$。
初始化：设定一个初始点$x_0$， 以及一个正数$epsilon$和$0 < alpha < 1$。
对初始点敏感
该方法对初始点的选择较为敏感 ，如果初始点选择不当，可能会 导致算法收敛到局部最优解。
计算量大
梯度投影法涉及大量的矩阵运算 和迭代计算，对于大规模问题， 计算量较大，需要较长的计算时 间。
对参数敏感
该方法对某些参数的选择较为敏 感，如果参数设置不当，可能会 影响算法的性能和收敛速度。
改进方向与未来发展
选择合适的终止条件
选择合适的终止条件可以避免过度迭代，通常使用某种形式的误 差准则。
选择合适的初始点
选择一个接近最优解的初始点可以加速算法的收敛速度。
梯度投影算法的编程实现
编程语言
可以使用Python、MATLAB、C等编程语言实现梯度 投影算法。
实现难度
梯度投影算法的实现难度相对较低，但需要注意数值 稳定性和收敛性。
基于梯度投影法的火焰温度测量技术研究
基于梯度投影法的火焰温度测量技术研究郭广廓;王振兴;崔双龙;孙晓刚;邢键【摘要】基于多光谱辐射测温技术,提出一种无需假设发射率模型的梯度投影算法,并对6种发射率模型进行了仿真计算.结果表明:梯度投影法反演结果误差小于20 K,发射率反演结果的趋势与模型吻合.梯度投影法属约束优化算法,与多光谱辐射测温技术结合可避开发射率无法确定需要假设模型的难题,开辟了多光谱辐射测温新的研究思路.【期刊名称】《红外技术》【年(卷),期】2018(040)007【总页数】6页(P712-717)【关键词】辐射测温;梯度投影;模型仿真【作者】郭广廓;王振兴;崔双龙;孙晓刚;邢键【作者单位】工业和信息化部电子第五研究所,广东广州 510610;哈尔滨工业大学,黑龙江哈尔滨 150001;哈尔滨工业大学,黑龙江哈尔滨 150001;哈尔滨工业大学,黑龙江哈尔滨 150001;东北林业大学,黑龙江哈尔滨 150040【正文语种】中文【中图分类】V4300 引言多光谱辐射测温技术具有非接触、无测温上限及不干扰温度场等优点[1-2]，经多年发展，已成为航天发动机火焰温度的主要测量方式之一。
目前制约该技术发展的主要问题之一是发射率难以确定，计算时需要假设一个发射率模型[3]。
Pyatt于1954年使用三波长比色温度计来探索波长λ与发射率ε之间的关系，开启了发射率模型探索的先河[4]。
美国、欧洲、日本相继开始研究，不断改进。
我国于1984年研制成功三波长HDW-1型红外测温仪。
1991年戴景民教授（哈尔滨工业大学）等人与G.Ruffino（罗马大学）教授合作研制出棱镜分光式35波长高温计[5-6]，在理论和实践中为我国发展多光谱辐射测温技术奠定坚实的基础。
后续孙晓刚、戴景民等又再次提出了发射率自动辨识[7]、二次测量[8]等数据处理方法，提高了多光谱辐射测温反演精度，扩展了多光谱辐射测温理论。
但反演过程中涉及的发射率模型依然是多光谱辐射测温的难点。
梯度投影法
梯度投影法的基本思想为: 当迭代点在可行域内部时，取该点 处的负梯皮方向为可行下降方向；当迭代点在可行域边界上 时，取该点处负梯度方向在可行域边界上的投影产生一个可行 下降方向(见图9.2.1)．
基本概念 投影矩阵
梯度投影法
为投影矩阵, p 称为 x 在 V 上的投影.
由行满秩矩阵产生投影矩阵 则
提出问题
梯度投影法
目标函数的最速下降方向是负梯度方向．但是，在有约束 情况下，沿最速下降方向移动可能导致非可行点． 措施：对负梯度进行投影，使得目标函数值不仅改进， 同时又保持迭代点的可行性．
梯度投影法(Gradient Projection Method)
简介
梯度投影法
梯度投影法是1960年由Rosen提出，并由Goldfarb和Lapidus 于1968年加以改进.
参见P256 例9.1.2.
VM { x | x M T y, y Rm }, (1) MT的列向量生成的子空间为：
(2) M的零空间为： VN=
(3) VN VM .
基本概念 由行满秩矩阵产生投影矩阵
梯度投影法
幂等对称阵
性质
梯度投影法
基本原理 可行下降方向的构造—定理9.2.2和定理9.2.3
如果M为空，即迭代点在可行域内部时，负梯度方向 为可行下降方向； 如果M非空，即迭代点在某些约束的边界上时，该点处的负梯度 在 M 的零空间上的投影为可行下降方向．
基本原理
梯度投影法
定理9.2.3
x是K-T点； 或可以构造新的投影矩阵以便求得可行下降方向．
梯度投影法
基本原理 一维搜索
同Zoutendijk法中的一维ep4 Step5
feasible direction methods
下降容许方向的进一步确定
- )Td最小的方向 在所有的可行方向中 找一个使得▽f(x
- )Td 意即：min ▽f(x
(即:使得f下降最多)
s.t. A’d≥0 பைடு நூலகம்d=0
(1)求一个下降容许方向就转化为一个子问题的求解，
而这个子问题是一个线性规划问题，可调用单纯形法求解.
(2)这个子问题得到的将是一个无界解,需对这个问题加以
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知A’d≥0,Cd=0
充分性
- +td) ≥b,E( x 即A( x +td)=e - +td)=e 首先,显然对t>0,E( x 再证A( x +td) ≥b 一方面显然对t>0, A’( x +td) ≥b’ 要证存在一个小正数，对 t(0, ), 使得 x +td仍在可行域内
则非0向量d为从点 x 出发的容许方向的充要条件： A’d≥0,Ed=0 Proof (必要性) 设非0向量d为从点x 出发的容许方向, x +td仍在可行域内,
-
则由容许方向的定义知：存在一个小正数，
对 t(0, ),即A( x +td) ≥b,E( x +td)=e -+td) ≥b’,E( x 即A’( x +td)=e, 但由A’x =b’,E x=e
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基本迭代格式： (i)从容许点x(0)开始迭代，设已迭带到x(k) (ii)在x(k)处用某种方法确定一个下降容许方向d(k) (iii)在d(k)方向上寻找一个新的迭带点x(k+1)=x(k)+tkd(k), 使得x(k+1)是容许点且f(x(k+1))<f(x(k)) (iv)判断终止？ (v)置k：=k+1，转(ii) 可行方向法就是一种沿着下降容许方向搜索 并保持新的迭带点为容许点的迭代算法。