2.二次函数的解析式与几何变换

2014年中考解决方案二次函数解析式及几何变换
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能通过分析实际问题的情境确定二次函数的解析式；能从图象上认识二次函数的性质；会根据二次函数的解析式求其图象与坐标轴的交点坐标，会确定图象的顶点、开口方向和对称轴；会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解．
知识点一 二次函数解析式的确定
一、待定系数法
（1）一般式：2(0)y ax bx c a =++≠．
如果已知二次函数的图象上的三点坐标（或称函数的三对对应值）()11x y ，
、()22x y ，、()33x y ，，那么方程组21112
2222
333y ax bx c
y ax bx c y ax bx c
⎧=++⎪=++⎨⎪=++⎩就可以唯一确定a 、b 、c ，从而求得函数解析式2y ax bx c =++．
总结：
1．任何二次函数都可以整理成一般式2(0)y ax bx c a =++≠的形式； 2．已知任意3点坐标，可用一般式求解二次函数解析式． （2）顶点式：2()(0)y a x h k a =-+≠．
由于2
22
424b ac b y ax bx c a x a a -⎛
⎫=++=++ ⎪⎝⎭，所以当已知二次函数图象的顶点坐标2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
，
时，就可以设二次函数形如2
2424b ac b y a x a a -⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭，从而利用其他条件，容易求得此函数的解析
式．这里直线2b
x a
=-又称为二次函数图象的对称轴．
总结：
1．已知顶点坐标或对称轴时，可用顶点式求解二次函数解析式．
2．已知二次函数的顶点和图象上的任意一点，都可以用顶点式来确定解析式． （3）交点式：12()()(0)y a x x x x a =--≠．
我们知道，()()2
22
12424b ac b y ax bx c a x a x x x x a a -⎛
⎫=++=++=-- ⎪⎝
⎭，这里12x x ，分别是方程
20ax bx c ++=的两根．当已知二次函数的图象与x 轴有交点（或者说方程20ax bx c ++=有实根）时，就可以令函数解析式为()()12y a x x x x =--，从而求得此函数的解析式．
总结：
1．已知抛物线与x 的两个交点坐标，可用交点式求解二次函数解析式．
2．已知二次函数与x 轴的交点坐标，和图象上任意一点时，可用交点式求解二次函数解析式． 3．已知二次函数与x 轴的交点坐标()()12,0,,0x x ，可知二次函数的对称轴为12
2
x x x +=
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二次函数解析式及几何变换
4．根据二次函数的对称性可知，对于函数图象上的两点()()12,,,x a x a ，如果它们有相同的纵坐标，则可知二次函数的对称轴为12
2
x x x +=
． 5．对于任意的二次函数2
y ax bx c =++，当0x =时，利用求根公式可得2142b b ac
x a -+-=，
2242b b ac x a ---=，可知22212444||22b b ac b b ac b ac x x a a a
-+------=-=
． （4）对称式：12()()(0)y a x x x x k a =--+≠．
总结：当抛物线经过点1(,)x k 、2(,)x k 时，可以用对称式来求二次函数的解析式．
注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化．
知识点二、二次函数的几何变换
一、平移变换 （1）具体步骤：
先利用配方法把二次函数化成2()y a x h k =-+的形式，确定其顶点(,)h k ，然后做出二次函数2y ax =
的图象，将抛物线2y ax =平移，使其顶点平移到(,)h k ．具体平移方法如图所示：
（2）平移规律：在原有函数的基础上“左加右减，上加下减”． 二、对称变换
二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1． 关于x 轴对称
2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；
()2
y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2
y a x h k =---；
2． 关于y 轴对称
2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；
()2
y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2
y a x h k =++；
3． 关于原点对称
2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2
y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2
y a x h k =-+-； 4． 关于顶点对称
2
y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是2
2
2b y ax bx c a
=--+-；
()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2
y a x h k =--+．
5． 关于点()m n ，
对称 ()2
y a x h k =-+关于点()m n ，
对称后，得到的解析式是()2
22y a x h m n k =-+-+- 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确
定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式． 三、旋转变换
在二次函数的旋转变换中，将抛物线绕顶点旋转90︒或180︒，之后抛物线的开口大小不变，方向改变，
但是顶点坐标不改变，这也是解题的关键，具体如下：
1． 关于原点对称
2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2
y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2
y a x h k =-+-； 2． 关于顶点对称
2
y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是2
2
2b y ax bx c a
=--+-；
()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2
y a x h k =--+．
3． 关于点()m n ，
对称 ()2
y a x h k =-+关于点()m n ，
对称后，得到的解析式是()2
22y a x h m n k =-+-+-
【例
1】已知二次函数的图象经过(1,3)A -、(1,3)B 、(2,6)C ； 求它的解析式．
【巩固】已知一个二次函数，当1x =时，2y =；当0x =时，2y =；当5x =时，3y =．求这个二次 函数的解析试．
【巩固】已知一个二次函数过原点、()111-，、()19，三点，求二次函数的解析式．
例题精讲
【例2】已知一个二次函数的图象过点(1,0)，它的顶点坐标是(8,9)，求这个二次函数的关系式．
【巩固】已知抛物线的顶点是(2,4)-，它与y 轴的一个交点的纵坐标为4，求函数的关系式．
【巩固】已知抛物线的对称轴为3x =-，且抛物线经过(1,0)-，与y 轴的交点到原点的距离为
5
2
，求此抛物线的解析式．
【例3】已知一抛物线与x 轴的交点是(2,0)A -、(1,0)B ，且经过点(2,8)C ，求这个二次函数的解析式．
【巩固】已知二次函数的图象与x 轴有两个交点(3,0)A -，(1,0)B ，且顶点到x 轴的距离为4，求此二次函
数解析式．
【巩固】已知一抛物线的形状与217
22
y x =+的形状相同．它的对称轴为2x =-，它与x 轴的两交点之间的
距离为2，求此抛物线的解析式．
【例4】已知二次函数的图象经过(1,2)-、(3,2)、(2,4)，求它的解析式．
【例5】函数25(1)2y x =+-的图象可由函数25y x =的图象平移得到，那么平移的步骤是（ ）
A.右移一个单位，下移两个单位
B.右移一个单位，上移两个单位
C.左移一个单位，下移两个单位
D.左移一个单位，上移两个单位
【巩固】函数23(1)2y x =-+-的图象可由函数23(5)3y x =--+的图象平移得到，那么平移的步骤
是（ ）
A.右移六个单位，下移五个单位
B.右移四个单位，上移五个单位
C.左移六个单位，下移五个单位
D.左移四个单位，上移五个单位
【例6】把抛物线的图象先向右平移4个单位，再向下平移1个单位，所得的图象的解析 式是
263y x x =-+，则a b c ++=________________．
【例7】函数2y x =与2y x =-的图象关于______________对称，也可以认为2y x =是函数2y x =-的图象
绕__________旋转得到．
【例8】已知二次函数223y x x =--，
求：⑴关于x 轴对称的二次函数解析式；
⑵关于y 轴对称的二次函数解析式； ⑶关于原点对称的二次函数解析式．
【巩固】 已知抛物线265y x x =-+，求
⑴ 关于y 轴对称的抛物线的表达式； ⑵ 关于x 轴对称的抛物线的表达式； ⑶ 关于原点对称的抛物线的表达式．
【例9】已知抛物线246y x x =+-，求
⑴关于1x =对称的抛物线的表达式；
⑵关于1y =对称的抛物线的表达式； ⑶关于(2,1)旋转180︒的抛物线的表达式．
【巩固】已知抛物线222y x x =+-，求
⑴关于2x =-对称的抛物线的表达式；
⑵关于1y =-对称的抛物线的表达式； ⑶关于(2,1)-旋转180︒的抛物线的表达式．
【例10】已知二次函数2441y ax ax a =++-的图象是1C
求⑴1C 关于点()10R ，
中心对称的图象2C 的解析式； ⑵设曲线1C 、2C 与y 轴的交点分别为,A B ，当18AB =时，求a 的值．
【例11】小聪用描点法画出了函数y x =
的图象F ，如图所示．结合旋转的知识，他尝试着将
图象F 绕原点逆时针旋转90︒得到图象1F ，他发现点(4,2)P --在1F 的图象上，求1F 的解析式．
x
O F
y
【例12】点P 为抛物线222y x mx m =-+(m 为常数，0m >)上任一点，将抛物线绕顶点G 逆时针旋转
90︒后得到的新图象与y 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的上方），点Q 为点P 旋转后的对应点． （1）当2m =，点P 横坐标为4时，求Q 点的坐标； （2）设点(,)Q a b ，用含m 、b 的代数式表示a ；
y x
D G
C Q O B
A
【题1】如果二次函数的图象经过点(3,0)-，(1,0)，(0,3)-，求二次函数的解析式．
【题2】如果二次函数的图象与x 轴交点的横坐标是3-，1，与y 轴交点的纵坐标是3-，求二次函数解析式．
【题3】如果二次函数的图象经过点(3,0)-，(0,3)-，且对称轴是直线1x =-，求二次函数解析式．
【题4】如果二次函数的图象的顶点坐标为(2,4)-，且经过原点，求二次函数解析式．
【题5】如果二次函数的图象经过原点，当2x =-时，函数的最大值为4，求二次函数解析式．
【题6】已知一条抛物线的形状和2y x =相同，它的对称轴为2x =-，它与x 轴的两交点之间的距离为2，
求此抛物线的解析式．
课后作业
【题7】把抛物线2y ax bx c =++的图象先向右平移5个单位，再向下平移4个单位，所得的图象的解析式
是23y x x =-+，则a b c ++=________________．
【题8】已知抛物线247y x x =-+
(1)写出与它关于y 轴对称的抛物线的解析式_____________； (2)写出与它关于x 轴对称的抛物线的解析式_____________； (3)写出与它关于原点中心对称的抛物线的解析式_____________； (4)写出它绕着顶点旋转180︒后得到的抛物线的解析式_____________； (5)向右平移__________个单位，图象经过点(5,4)； (6)向下平移__________个单位，图象也经过点(5,4)．
【题9】如图，已知抛物线21:(2)5C y a x =+-的顶点为P ，与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），
点B 的横坐标是1．
（1）求P 点坐标及a 的值；
（2）如图（1），抛物线2C 与抛物线1C 关于x 轴对称，将抛物线2C 向右平移，平移后的抛物线记为3C ，3C 的顶点为M ，当点P 、M 关于点B 成中心对称时，求3C 的解析式；
P
M C 2
y
x
O
C 1
B
A。