2019年高考数学一轮总复习专题26平面向量的数量积及应用检测文
高考数学一轮复习讲义平面向量数量积
变式训练 1
(1)若向量 a 的方向是正南方向，向量 b 的方向是正东方向，且|a|
＝|b|＝1，则(－3a)·(a＋b)＝______.
(1)如图所示，由已知，作O→A＝a， O→B＝b，O→A、O→B的方向分别是正南、正东方 向，且|a|＝|b|＝1，则O→C＝－3a 的方向是正北 方向，|O→C|＝|－3a|＝3|a|＝3，O→D＝O→A＋O→B＝ a＋b 的方向是东南方向，|a＋b|＝ 2(四边形 OADB 是正方形)， 且O→C与O→D的夹角是∠COD＝135°，所以(－3a)·(a＋b)＝3× 2 ×cos 135°＝3 2×－ 22＝－3.
探究提高
方法一的难点是如何利用条件建立|c|的表达式，突破这一难点的 方法就是结合条件利用向量的数量积将|c|用|a＋b|cos θ＝ 2cos θ 来表示即可．方法二的难点是如何建立 c 坐标的关系式，要突 破这一难点就要先设向量 a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(x，y)，再由 条件建立 c 的坐标的关系式x－122＋y－122＝12即可．方法三的 难点是对向量几何意义的挖掘，突破这一难点，要由条件得出向 量 c 是向量 a，b，a－c，b－c 构成的圆内接四边形的对角线．
答案 (1)－3 (2) 3
向量的夹角与向量的模
例 2 已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61， (1)求 a 与 b 的夹角 θ； (2)求|a＋b|； (3)若A→B＝a，B→C＝b，求△ABC 的面积．
运用数量积的定义和|a|＝ a·a. 解 (1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61， ∴4|a|2－4a·b－3|b|2＝61. 又|a|＝4，|b|＝3，∴64－4a·b－27＝61，∴a·b＝－6. ∴cos θ＝|aa|·|bb|＝4－×63＝－12.
高考数学一轮复习课后限时集训26平面向量的数量积与平面向量应用举例理含解析北师大版
高考数学一轮复习课后限时集训26平面向量的数量积与平面向量应用举例理含解析北师大版课后限时集训(二十六) 平面向量的数量积与平面向量应用举例(建议用时：60分钟) A 组 基础达标一、选择题1．(2018·陕西二模)已知向量a ＝(2,3)，b ＝(x,4)．若a ⊥(a －b )，则x ＝( ) A ．1 B ．12C ．2D ．3B [由题意，得a －b ＝(2－x ，－1)．因为a ⊥(a －b )，所以2×(2－x )＋3×(－1)＝0，解得x ＝12，故选B ．]2．已知向量a ＝(x 2，x ＋2)，b ＝(－3，－1)，c ＝(1，3)，若a∥b ，则a 与c 夹角为( )A.π6 B ．π3 C.2π3 D ．5π6A [cos 〈b ，c 〉＝b·c |b||c |＝－234＝－32，又由x 2≥0且a∥b 得a ，b 是反向共线，则cos 〈a ，c 〉＝－cos 〈b ，c 〉＝32，〈a ，c 〉∈[0，π]，则〈a ，c 〉＝π6，故选A.] 3．(2019·西宁模拟)如图在边长为1的正方形组成的网格中，平行四边形ABCD 的顶点D 被阴影遮住，请设法计算AB →·AD →＝( )A ．10B ．11C ．12D ．13B [以A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (4,1)，C (6,4)，AB →＝(4,1)，AD →＝BC →＝(2,3)，∴AB →·AD →＝4×2＋1×3＝11，故选B ．]4．(2019·银川模拟)在正方形ABCD 中，点E 为BC 的中点，若点F 满足AF →＝λAC →，且AE →·BF →＝0，则λ＝( )A.23 B ．34 C.45 D ．78A [以A 为坐标原点，AB ，AD 所在直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系(图略)，设正方形ABCD 的边长为2，则A (0,0)，B (2,0)，C (2,2)，D (0,2)，E (2,1)，由于AF →＝λAC →，则点F 在直线AC 上，设F (a ，a )，那么AE →·BF →＝(2,1)·(a －2，a )＝3a －4＝0，解得a ＝43，结合AF →＝λAC →，可得43＝2λ，解得λ＝23，故选A.]5．已知平面向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝|c |＝1，若a·b ＝12，则(a ＋c )·(2b －c )的最小值为( )A ．－2B ．－ 3C ．－1D ．0B [因为a·b ＝|a||b |·cos〈a ，b 〉＝cos 〈a ，b 〉＝12，所以〈a ，b 〉＝π3.不妨设a＝(1,0)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，c ＝(cos θ，sin θ)，则(a ＋c )·(2b －c )＝2a·b －a·c ＋2b·c －c 2＝1－cos θ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos θ＋32sin θ－1＝3sin θ，所以(a ＋c )·(2b －c )的最小值为－3，故选B ．] 二、填空题6．(2019·青岛模拟)已知向量a ，b 满足|b |＝5，|a ＋b |＝4，|a －b |＝6，则向量a 在向量b 上的投影为________．－1 [设向量a ，b 的夹角为θ，则|a ＋b |2＝|a |2＋2|a||b |cos θ＋|b |2＝|a |2＋10|a |cos θ＋25＝16，|a －b |2＝|a |2－2|a ||b |cos θ＋|b |2＝|a |2－10|a |cos θ＋25＝36，两式相减整理得|a |cos θ＝－1，即向量a 在向量b 上的投影为|a |cos θ＝－1.]7．(2018·南昌一模)平面向量a ＝(1，m )，b ＝(4，m )，若有(2|a |－|b |)(a ＋b )＝0，则实数m ＝________.±2 [由题意可得a ＋b ≠0，则2|a |＝|b |，即4(1＋m 2)＝16＋m 2，解得m 2＝4，m ＝±2.] 8．已知非零向量m ，n 满足4|m |＝3|n |，cos 〈m ，n 〉＝13，若n 与t m －n 夹角为钝角，则实数t 的取值范围是________．(－∞，0)∪(0,4) [∵n 与(t m －n )夹角为钝角， ∴n ·(t m －n )＜0且n 与(t m －n )不共线．∴⎩⎪⎨⎪⎧t m·n －n 2＜0，t ≠0，又m·n ＝|m||n|cos 〈m ，n 〉＝34n 2×13＝14n 2.即t4n 2－n 2＜0且t ≠0，∴t ＜4且t ≠0.]三、解答题9．(2017·江苏高考)已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，x ∈[0，π]． (1)若a ∥b ，求x 的值；(2)记f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值． [解] (1)因为a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，a ∥b ， 所以－3cos x ＝3sin x .若cos x ＝0，则sin x ＝0，与sin 2x ＋cos 2x ＝1矛盾， 故cos x ≠0. 于是ta n x ＝－33. 又x ∈[0，π]，所以x ＝5π6.(2)f (x )＝a ·b ＝(cos x ，sin x )·(3，－3)＝3cos x －3sin x ＝23cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6.因为x ∈[0，π]，所以x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，从而－1≤cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6≤32.于是，当x ＋π6＝π6，即x ＝0时，f (x )取到最大值3；当x ＋π6＝π，即x ＝5π6时，f (x )取到最小值－2 3.10．已知|a |＝2，|b |＝1.(1)若a ⊥b ，求(2a －b )·(a ＋b )的值；(2)若不等式|a ＋x b |≥|a ＋b |对一切实数x 恒成立，求a 与b 夹角的大小． [解] (1)∵a ⊥b ， ∴a ·b ＝0，∴(2a －b )·(a ＋b )＝2a 2＋a ·b －b 2＝7. (2)设向量a ，b 的夹角为θ，则a ·b ＝|a ||b |cos θ＝2cos θ.不等式|a ＋x b |≥|a ＋b |两边平方可得：a 2＋2a ·b x ＋x 2b 2≥a 2＋2a ·b ＋b 2，即：4＋4x cos θ＋x 2≥4＋4cos θ＋1. 整理得：x 2＋4x cos θ－4cos θ－1≥0.(*)因为不等式对一切实数x 恒成立， 则Δ＝16cos 2θ＋4(4cos θ＋1) ＝4(4cos 2θ＋4cos θ＋1) ＝4(2cos θ＋1)2≤0， ∴2cos θ＋1＝0， 即cos θ＝－12.又θ∈[0，π]， ∴θ＝23π.B 组 能力提升1．(2018·石家庄二模)若两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝2|b |，则向量a ＋b 与a 的夹角为( )A.π6 B ．π3 C.2π3 D ．5π6A [由|a ＋b |＝|a －b |知，a·b ＝0，所以a⊥B．将|a －b |＝2|b |两边平方，得|a |2－2a·b ＋|b |2＝4|b |2，所以|a |2＝3|b |2，所以|a |＝3|b |，所以cos 〈a ＋b ，a 〉＝a ＋b ·a|a ＋b ||a |＝|a |22|b||a|＝3|b |22|b |·3|b |＝32，所以向量a ＋b 与a 的夹角为π6，故选A.]2．(2018·天津高考)如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD ＝120°，AB ＝AD ＝1.若点E 为边CD 上的动点，则AE →·BE →的最小值为( )A.2116 B ．32 C.2516D ．3A [以D 为原点建立平面直角坐标系，如图所示．连接AC ，易知∠CAD ＝∠CAB ＝60°，∠ACD ＝∠ACB ＝30°， ∴D (0,0)，A (1,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，C (0，3)．设E (0，y )(0≤y ≤3)， 则AE →＝(－1，y )， BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，y －32，∴AE →·BE →＝32＋y 2－32y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y －342＋2116，∴当y ＝34时，AE →·BE →有最小值2116，故选A.] 3．在△ABC 中，a ，b ，c 为A ，B ，C 的对边，a ，b ，c 成等比数列，a ＋c ＝3，cos B ＝34，则AB →·BC →＝________.－32 [由a ，b ，c 成等比数列得ac ＝b 2，在△ABC 中，由余弦定理可得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a ＋c2－3ac 2ac ，则34＝9－3ac2ac，解得ac ＝2，则AB →·BC →＝ac cos(π－B )＝－ac cos B ＝－32.]4．在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A (1,0)和点B (－1,0)，|OC →|＝1，且∠AOC ＝θ，其中O 为坐标原点．(1)若θ＝34π，设点D 为线段OA 上的动点，求|OC →＋OD→|的最小值；(2)若θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，向量m ＝BC →，n ＝(1－cos θ，sin θ－2cos θ)，求m·n 的最小值及对应的θ值．[解] (1)设D (t,0)(0≤t ≤1)， 由题意知C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22， 所以OC →＋OD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＋t ，22，所以|OC →＋OD →|2＝12－2t ＋t 2＋12＝t 2－2t ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －222＋12， 所以当t ＝22时，|OC →＋OD →|最小，为22.(2)由题意得C (cos θ，sin θ)，m ＝BC →＝(cos θ＋1，sin θ)，则m·n ＝1－cos 2θ＋sin 2θ－2sin θcos θ＝1－cos 2θ－sin 2θ＝1－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π4， 因为θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以π4≤2θ＋π4≤5π4，所以当2θ＋π4＝π2，即θ＝π8时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π4取得最大值1.所以m·n 的最小值为1－2，此时θ＝π8.。
专题28平面向量的数量积及应用(检测)-2019年高考数学(理)名师揭秘之一轮总复习
一、单选题
1．已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为 ，向量b满足b2−4e·b+3=0，则|a−b|的最小值是
A. −1 B. +1 C. 2 D. 2−
【答案】A
【解析】分析:先确定向量 所表示的点的轨迹，一个为直线，一个为圆，再根据直线与圆的位置关系求最小值.
2.公式a·b＝|a||b|cosθ；a·b＝x1x2＋y1y2；|a|2＝a2＝x2＋y2的关系非常密切，必须能够灵活综合运用.
3.通过向量的数量积，可以计算向量的长度，平面内两点间的距离，两个向量的夹角，判断相应的两直线是否垂直.
4.a∥b⇔x1y2－x2y1＝0与a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0要区分清楚.
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】分析：由题意建立平面直角坐标系，然后结合点的坐标得到数量积的坐标表示，最后结合二次函数的性质整理计算即可求得最终结果.
详解：建立如图所示的平面直角坐标系，则 ， ， ， ，
点 在 上，则 ，设 ，则：
，即 ，
据此可得： ，且：
， ，
由数量积的坐标运算法则可得：
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】D
【解析】分析：首先根据题中的条件，利用点斜式写出直线的方程，涉及到直线与抛物线相交，联立方程组，消元化简，求得两点 ，再利用所给的抛物线的方程，写出其焦点坐标，之后应用向量坐标公式，求得 ，最后应用向量数量积坐标公式求得结果.
点睛：该题考查的是有关直线与抛物线相交求有关交点坐标所满足的条件的问题，在求解的过程中，首先需要根据题意确定直线的方程，之后需要联立方程组，消元化简求解，从而确定出 ，之后借助于抛物线的方程求得 ，最后一步应用向量坐标公式求得向量的坐标，之后应用向量数量积坐标公式求得结果，也可以不求点M、N的坐标，应用韦达定理得到结果.
新高考一轮复习人教版6.2 平面向量的数量积及其应用作业2
6.2 平面向量的数量积及其应用基础篇 固本夯基考点一 平面向量的数量积1.(2019课标Ⅱ理,3,5分)已知AB ⃗⃗⃗⃗ =(2,3),AC ⃗⃗⃗⃗ =(3,t),|BC ⃗⃗⃗⃗ |=1,则AB ⃗⃗⃗⃗ ·BC⃗⃗⃗⃗ =( ) A.-3 B.-2 C.2 D.3 答案 C2. (2022届山东日照开学校际联考,2)如图,AB 是单位圆O 的直径,C,D 是半圆弧AB 上的两个三等分点,则AC⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗ =( )A.1B.√32C.32D.√3答案 C3.(2022届江苏淮安车桥中学入学调研,7)已知△ABC 的外心为O,2AO ⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗ ,|AO ⃗⃗⃗⃗ |=|AB ⃗⃗⃗⃗ |=2,则AO ⃗⃗⃗⃗ ·AC⃗⃗⃗⃗ 的值是( ) A.√3 B.32C.2√3D.6 答案 D4.(多选)(2020山东省实验中学诊断二,11)关于平面向量a,b,c,下列说法中不正确．．．的是( ) A.若a ∥b 且b ∥c,则a ∥c B.(a+b)·c=a ·c+b ·c C.若a ·b=a ·c,且a ≠0,则b=c D.(a ·b)·c=a ·(b ·c) 答案 ACD5.(2022届河北邢台“五岳联盟”10月联考,13)设向量a,b 均为单位向量,且a ⊥b,则(a+2b)·(3a-5b)= .? 答案 -76.(2022届湖南三湘名校、五市十校联考,14)已知点P(-2,0),AB 是圆x 2+y 2=1的直径,则PA⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗ = .? 答案 37.(2021新高考Ⅱ,15,5分)已知向量a+b+c=0,|a|=1,|b|=|c|=2,a ·b+b ·c+c ·a= .? 答案 -928.(2020湖南永州祁阳二模,8)已知平面向量a,b,e,|e|=1,a ·e=1,b ·e=-2,且|2a+b|=2,则a ·b 的最大值是 .? 答案 -32考点二 平面向量数量积的应用1.(2021石家庄一模,2)设向量a=(1,2),b=(m,-1),且(a+b)⊥a,则实数m=( ) A.-3 B.32C.-2D.-32答案 A2.(2020课标Ⅱ文,5,5分)已知单位向量a,b 的夹角为60°,则在下列向量中,与b 垂直的是( ) A.a+2b B.2a+b C.a-2b D.2a-b 答案 D3.(2022届百师联盟9月一轮复习联考一,11)已知在△ABC 中,AB=AC=2,BC=3,点E 是边BC 上的动点,则当EA ⃗⃗⃗⃗ ·EB ⃗⃗⃗⃗ 取得最小值时,|EA⃗⃗⃗⃗ |=( ) A.√374B.√372C.√102D.√142答案 A4.(多选)(2022届辽宁六校期初联考,11)给出下列命题,其中正确的有( ) A.非零向量a,b 满足|a|=|b|=|a-b|,则a 与a+b 的夹角为30°B.若(AB⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗ )·BC ⃗⃗⃗⃗ =0,则△ABC 为等腰三角形 C.等边△ABC 的边长为2,则AB⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗ =2 D.已知向量a=(1,-2),b=(k,1)且a ⊥(a+b),则k=0 答案 AB5.(多选)(2022届河北神州智达省级联测,9)设0<θ<π,非零向量a=(sin2θ,cos θ),b=(cos θ,1),则( ) A.若tan θ=12,则a ∥b B.若θ=3π4,则a ⊥b C.存在θ,使2a=b D.若a ∥b,则tan θ=12答案 ABD6.(多选)(2022届辽宁名校联盟9月联考,9)已知向量a=(2,0),b=(1,1),则( ) A.|a|=|b| B.a 与b 的夹角为π4C.(a-b)⊥bD.和b 同向的单位向量是(12,12) 答案 BC7.(多选)(2022届广东深圳福田外国语高级中学调研二,10)已知向量a+b=(1,1),a-b=(-3,1),c=(1,1),设a,b 的夹角为θ,则( )A.|a|=|b|B.a ⊥cC.b ∥cD.θ=135° 答案 BD8.(2021全国甲理,14,5分)已知向量a=(3,1),b=(1,0),c=a+kb.若a ⊥c,则k= .? 答案 -1039.(2020课标Ⅱ理,13,5分)已知单位向量a,b 的夹角为45°,ka-b 与a 垂直,则k= .? 答案√2210.(2020课标Ⅰ文,14,5分)设向量a=(1,-1),b=(m+1,2m-4),若a ⊥b,则m= .? 答案 5综合篇 知能转换考法一 求平面向量模的方法1.(2022届福建南平10月联考,6)已知单位向量e 1,e 2的夹角为2π3,则|e 1-λe 2|的最小值为( ) A.√22B.12C.√32D.34答案 C2.(2022届湖北九师联盟10月质量检测,5)已知向量a,b 满足|a|=2√2,|b|=1,|a-b|=√6,则|a+2b|=( ) A.2√3 B.3√2 C.4√2 D.3√3 答案 B3.(多选)(2021新高考Ⅰ,10,5分)已知O 为坐标原点,点P 1(cos α,sin α),P 2(cos β,-sin β),P 3(cos(α+β),sin(α+β)),A(1,0),则( )A.|OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |B.|AP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |C.OA ⃗⃗⃗⃗ ·OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗D.OA ⃗⃗⃗⃗ ·OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗答案 AC4.(2022届四省八校期中,14)已知向量a=(x,1),b=(1,-2),若a ∥b,则|a-2b|= .? 答案5√525.(2022届广东深圳福田外国语高级中学调研二,15)已知非零向量a,b 满足|a|=√7+1,|b|=√7-1,且|a-b|=4,则|a+b|= .? 答案 46.(2021全国甲文,13,5分)若向量a,b 满足|a|=3,|a-b|=5,a ·b=1,则|b|= .? 答案 3√27.(2020课标Ⅰ理,14,5分)设a,b 为单位向量,且|a+b|=1,则|a-b|= .? 答案√38.(2021河北衡水中学联考二,13)若向量a,b 满足a=(cos θ,sin θ)(θ∈R),|b|=2,则|2a-b|的取值范围为 .? 答案 [0,4]考法二 求平面向量夹角的方法1.(2022届山东烟台莱州一中开学考,4)已知|a|=√2,|b|=4,当b ⊥(4a-b)时,向量a 与b 的夹角为( ) A.π6B.π4C.2π3D.3π4答案 B2.(2020山东全真模拟,4)已知扇形AOB,∠AOB=θ,扇形半径为√3,C 是弧AB 上一点,若OC⃗⃗⃗⃗ =2√33OA ⃗⃗⃗⃗ +√33OB ⃗⃗⃗⃗ ,则θ=( ) A.π6B.π3C.π2D.2π3答案 D3.(2022届湖北部分重点中学开学联考,14)已知向量a,b 满足|a|=2,|b|=√2,且(2b-a)⊥a,则cos<a,b>= .? 答案√224.(2019课标Ⅲ理,13,5分)已知a,b 为单位向量,且a ·b=0,若c=2a-√5b,则cos<a,c>= .? 答案23应用篇 知行合一应用 向量在平面几何中的应用1.(多选)(2022届广东深圳六校联考二,9)已知平面向量AB⃗⃗⃗⃗ =(-1,k),AC ⃗⃗⃗⃗ =(2,1),若△ABC 是直角三角形,则k 的可能取值是( )A.-2B.2C.5D.7 答案 BD2.(2020新高考Ⅰ,7,5分)已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点,则AP ⃗⃗⃗⃗ ·AB⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是( ) A.(-2,6) B.(-6,2) C.(-2,4) D.(-4,6) 答案 A3.(2018天津理,8,5分)如图,在平面四边形ABCD 中,AB ⊥BC,AD ⊥CD,∠BAD=120°,AB=AD=1.若点E 为边CD 上的动点,则AE ⃗⃗⃗⃗ ·BE⃗⃗⃗⃗ 的最小值为( )A.2116 B.32 C.2516D.3 答案 A4.(2021山东烟台一模,6)平行四边形ABCD 中,AB=4,AD=3,∠BAD=60°,Q 为CD 的中点,点P 在对角线BD 上,且BP ⃗⃗⃗⃗ =λBD ⃗⃗⃗⃗ ,若AP ⃗⃗⃗⃗ ⊥BQ ⃗⃗⃗⃗ ,则λ=( )A.14B.12C.23D.34答案 A5. (2020天津,15,5分)如图,在四边形ABCD 中,∠B=60°,AB=3,BC=6,且AD ⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗ =-32,则实数λ的值为 ,若M,N 是线段BC 上的动点,且|MN ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,则DM ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DN⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为 .?答案16;1326.(2020北京,13,5分)已知正方形ABCD 的边长为2,点P 满足AP⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗ ),则|PD ⃗⃗⃗⃗ |= ;PB ⃗⃗⃗⃗ ·PD ⃗⃗⃗⃗ = .? 答案√5;-1答案185或0 8.(2019天津,14,5分)在四边形ABCD 中,AD ∥BC,AB=2√3,AD=5,∠A=30°,点E 在线段CB 的延长线上,且AE=BE,则BD⃗⃗⃗⃗ ·AE ⃗⃗⃗⃗ = .?答案 -19.(2022届江苏如皋11月期中,19)如图,在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知c=4,b=2,sin2C=sinB,且D 为BC 的中点,点E 满足AE⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗ . (1)求a 的值; (2)求cos ∠DAE 的值.解析 (1)由sin2C=sinB,得2sinCcosC=sinB,由正弦定理,得2ccosC=b.又b=2,c=4,所以cosC=b 2c =14.在△ABC 中,根据余弦定理的推论得cosC=a 2+b 2−c 22ab =14,解得a=4(舍负).(2)由(1)知,a=c=4,所以∠BAC=C,cos ∠BAC=cosC=14.记AB⃗⃗⃗⃗ =a,AC ⃗⃗⃗⃗ =b,则|a|=4,|b|=2. 因为AE⃗⃗⃗⃗ =13a+23b,AD ⃗⃗⃗⃗ =12a+12b,所以AE ⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗ =(13a +23b )·(12a +12b )=16a 2+12a ·b+13b 2=16×42+12×4×2×14+13×22=5,|AE⃗⃗⃗⃗ |=√(13a +23b )2=√19a 2+49a ·b +49b 2=√19×42+49×4×2×14+49×22=2√103, |AD⃗⃗⃗⃗ |=√(12a +12b )2=√14a 2+12a ·b +14b 2=√14×42+12×4×2×14+14×22=√6, 故cos ∠DAE=AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√103×=√154.创新篇 守正出奇创新 利用解析几何思维解决向量问题1.(2022届湖北金太阳11月联考,8设问创新)已知四边形ABCD 是半径为√2的圆O 的内接正方形,P 是圆O 上的任意一点,则PA⃗⃗⃗⃗ 2+PB ⃗⃗⃗⃗ 2+PC ⃗⃗⃗⃗ 2+PD ⃗⃗⃗⃗ 2的值为( ) A.8 B.16 C.32 D.与P 的位置有关 答案 B2.(2022届湖北九师联盟10月质量检测,7素材创新)将一条线段AB 分割成两条线段AP 、BP(AP>BP),若PB AP =AP AB =√5−12,则称这种分割为黄金分割P 为黄金分割点,√5−12为黄金分割比.黄金分割不仅仅体现在诸如绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域,而且在管理、工程设计等方面也有着不可忽视的作用.在△ABC 中,点D 为线段BC 的黄金分割点(BD>DC),AB=2,AC=3,∠BAC=60°,则AD⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗ =( ) A.7√5−92 B.9−7√52 C.9√5−72 D.7−9√52答案 A3.(2022届山东烟台莱州一中开学考,6设问创新)O 是平面上一定点,A 、B 、C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足OP ⃗⃗⃗⃗ =OA⃗⃗⃗⃗ +λ(AB⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗ ),λ∈[0,+∞),则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 答案 C3. (2018天津文,8,5分|解法创新)在如图的平面图形中,已知OM=1,ON=2,∠MON=120°,BM⃗⃗⃗⃗⃗ =2MA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CN ⃗⃗⃗⃗ =2NA ⃗⃗⃗⃗ ,则BC ⃗⃗⃗⃗ ·OM ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为( )A.-15B.-9C.-6D.0 答案 C5.(2018浙江,9,4分|解法创新)已知a,b,e 是平面向量,e 是单位向量.若非零向量a 与e 的夹角为π3,向量b 满足b 2-4e ·b+3=0,则|a-b|的最小值是( ) A.-√31 B.√3+1 C.2 D.2-√3 答案 A。
2019高考数学一轮复习 课时规范练26 平面向量的数量积与平面向量的应用 理 新人教A版
课时规范练26 平面向量的数量积与平面向量的应用一、基础巩固组1.对任意平面向量a,b,下列关系式不恒成立的是()A.|a·b|≤|a||b|B.|a-b|≤||a|-|b||C.(a+b)2=|a+b|2D.(a+b)·(a-b)=a2-b22.已知a,b为单位向量,其夹角为60°,则(2a-b)·b=()A.-1B.0C.1D.23.(2017河南新乡二模,理3)已知向量a=(1,2),b=(m,-4),若|a||b|+a·b=0,则实数m等于()A.-4B.4C.-2D.24.(2017河南濮阳一模)若向量=(1,2),=(4,5),且·(λ)=0,则实数λ的值为()A.3B.-C.-3D.-5.在四边形ABCD中,=(1,2),=(-4,2),则该四边形的面积为()A. B.2C.5D.106.(2017河北唐山期末,理3)设向量a与b的夹角为θ,且a=(-2,1),a+2b=(2,3),则cos θ=()A.-B.C. D.-7.(2017河南商丘二模,理8)若等边三角形ABC的边长为3,平面内一点M满足,则的值为()A.-B.-2C. D.28.(2017北京,理6)设m,n为非零向量,则“存在负数λ,使得m=λn”是“m·n<0”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件9.若向量a=(x,x+1),b=(1,2),且a⊥b,则x= .10.(2017安徽江淮十校三模,理17)已知向量m=(sin x,-1),n=,函数f(x)=(m+n)·m.(1)求f(x)的最小正周期T;(2)已知a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边,A为锐角,a=2,c=4,且f(A)恰好是f(x)在上的最大值,求A和b.〚导学号21500728〛二、综合提升组11.(2017安徽蚌埠一模)已知非零向量m,n满足3|m|=2|n|,其夹角为60°,若n⊥(t m+n),则实数t的值为()A.3B.-3C.2D.-212.(2017河南焦作二模,理10)已知P为矩形ABCD所在平面内一点,AB=4,AD=3,PA=,PC=2,则=()A.-5B.-5或0C.0D.513.(2017河北武邑中学一模)在Rt△ABC中,CA=CB=3,M,N是斜边AB上的两个动点,且MN=,则的取值范围为()A. B.[2,4] C.[3,6] D.[4,6]14.(2017江苏南京一模,9)已知△ABC是直角边长为4的等腰直角三角形,D是斜边BC的中点,+m,向量的终点M在△ACD的内部(不含边界),则的取值范围是.15.(2017江苏,12)如图,在同一个平面内,向量的模分别为1,1,的夹角为α,且tanα=7,的夹角为45°.若=m+n(m,n∈R),则m+n= .〚导学号21500729〛三、创新应用组16.(2017全国Ⅱ,理12)已知△ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则·()的最小值是()A.-2B.-C.-D.-117.(2017辽宁沈阳二模,理11)已知向量=(3,1),=(-1,3),=m-n(m>0,n>0),若m+n∈[1,2],则||的取值范围是()A.[,2]B.[,2)C.()D.[,2]课时规范练26平面向量的数量积与平面向量的应用1.B A项,设向量a与b的夹角为θ,则a·b=|a||b|cos θ≤|a||b|,所以不等式恒成立;B项,当a与b同向时,|a-b|=||a|-|b||;当a与b非零且反向时,|a-b|=|a|+|b|>||a|-|b||.故不等式不恒成立;C项,(a+b)2=|a+b|2恒成立;D项,(a+b)·(a-b)=a2-a·b+b·a-b2=a2-b2,故等式恒成立.综上,选B.2.B由已知,得|a|=|b|=1,a与b的夹角θ=60°,则(2a-b)·b=2a·b-b2=2|a||b|cos θ-|b|2=2×1×1×cos 60°-12=0,故选B.3.C设a,b的夹角为θ,∵|a||b|+a·b=0,∴|a||b|+|a||b|cos θ=0,∴cos θ=-1,即a,b的方向相反.又向量a=(1,2),b=(m,-4),∴b=-2a,∴m=-2.4.C=(1,2),=(4,5),=(3,3),=(λ+4,2λ+5).又()=0,∴3(λ+4)+3(2λ+5)=0,解得λ=-3.5.C依题意,得=1×(-4)+2×2=0,∴四边形ABCD的面积为|||==5.6.A∵向量a与b的夹角为θ,且a=(-2,1),a+2b=(2,3),∴b==(2,1),∴cos θ==-7.B如图,建立平面直角坐标系,则B,A,C,=(3,0).,,,故=-=-2.8.A m,n为非零向量,若存在λ<0,使m=λn,即两向量反向,夹角是180°,则m·n=|m||n|cos 180°=-|m||n|<0.反过来,若m·n<0,则两向量的夹角为(90°,180°],并不一定反向,即不一定存在负数λ,使得m=λn,所以“存在负数λ,使得m=λn”是“m·n<0”的充分而不必要条件.故选A.9.-∵a⊥b,∴a·b=x+2(x+1)=0,解得x=-10.解 (1)∵向量m=(sin x,-1),n=,∴f(x)=(m+n)·m=sin2x+1+sin x cos x++1+sin 2x+sin 2x-cos 2x+2=sin+2,∴函数f(x)的最小正周期T==π.(2)由(1)知f(x)=sin+2.∵x,∴-2x-,∴当2x-时,f(x)取得最大值3,此时x=,∴由f(A)=3,得A=,由余弦定理,得a2=b2+c2-2bc cos A,∴12=b2+16-4b,即(b-2)2=0,解得b=2.11.B∵n⊥(t m+n),∴n·(t m+n)=t m·n+n2=t|m||n|+|n|2=t|n|2+|n|2=0,解得t=-3.故选B.12.C∵P为矩形ABCD所在平面内一点,AB=4,AD=3,∴AC=5.∵PA=,PC=2,∴PA2+PC2=AC2,,∴点P在矩形ABCD的外接圆上,,=0,故选C.13.D以C为坐标原点,CA为x轴建立平面直角坐标系,则A(3,0),B(0,3),∴AB所在直线的方程为y=3-x.设M(a,3-a),N(b,3-b),且0≤a≤3,0≤b≤3,不妨设a>b,∵MN=,∴(a-b)2+(b-a)2=2,∴a-b=1,∴a=b+1,∴0≤b≤2,=(a,3-a)·(b,3-b)=2ab-3(a+b)+9=2(b2-2b+3),0≤b≤2,∴当b=1时有最小值4;当b=0或b=2时有最大值6,的取值范围为[4,6].14.(-2,6)以A为坐标原点,AB为x轴,AC为y轴建立平面直角坐标系,如图所示,则A(0,0),B(4,0),C(0,4),D(2,2),所以+m(4,0)+m(0,4)=(1,4m),则M(1,4m).∵点M在△ACD的内部(不含边界),∴1<4m<3,<m<,则=(1,4m)·(-3,4m)=16m2-3,∴-2<16m2-3<6,故答案为(-2,6).15.3||=||=1,||=,由tan α=7,α∈[0,π]得0<α<,sin α>0,cos α>0,tan α=,sin α=7cos α,又sin2α+cos2α=1,得sin α=,cos α==1,=cos=-,得方程组解得所以m+n=3.16.B以BC所在的直线为x轴,BC的垂直平分线AD为y轴,D为坐标原点建立平面直角坐标系,如图.可知A(0,),B(-1,0),C(1,0).设P(x,y),则=(-x,-y),=(-1-x,-y),=(1-x,-y).所以=(-2x,-2y).所以()=2x2-2y(-y)=2x2+2-当点P的坐标为时,()取得最小值为-,故选B.17.B=(3,1),=(-1,3),=m-n=(3m+n,m-3n),∴||==,令t=,则||=t,而m+n∈[1,2],即1≤m+n≤2,在平面直角坐标系中表示如图所示,t=表示区域中任意一点与原点(0,0)的距离,分析可得t<2.又由||=t,故||<2。
2019版高考数学一轮复习习题：平面向量的数量积及其应用 (word版含答案)
§5.3 平面向量的数量积及其应用考纲解读分析解读 1.理解数量积的定义、几何意义及其应用.2.掌握向量数量积的性质及运算律;掌握求向量长度的方法.3.会用向量数量积的运算求向量夹角,判断或证明向量垂直.4.利用数形结合的方法和函数的思想解决最值等综合问题.五年高考考点一 数量积的定义1.(2017浙江,10,5分)如图,已知平面四边形ABCD,AB ⊥BC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC 与BD 交于点O.记I 1=·,I 2=·,I 3=·,则( )A.I 1<I 2<I 3B.I 1<I 3<I 2C.I 3<I 1<I 2D.I 2<I 1<I 3 答案 C2.(2016天津,7,5分)已知△ABC是边长为1的等边三角形,点D,E分别是边AB,BC的中点,连接DE并延长到点F,使得DE=2EF,则·的值为( )A.-B.C.D.答案B3.(2014课标Ⅱ,3,5分)设向量a,b满足|a+b|=,|a-b|=,则a·b=( )A.1B.2C.3D.5答案A4.(2015湖北,11,5分)已知向量⊥,||=3,则·= .答案9教师用书专用(5)5.(2013湖北,6,5分)已知点A(-1,1)、B(1,2)、C(-2,-1)、D(3,4),则向量在方向上的投影为( )A. B.C.-D.-答案A考点二平面向量的长度问题1.(2016北京,4,5分)设a,b是向量.则“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案D2.(2014浙江,8,5分)记max{x,y}=min{x,y}=设a,b为平面向量,则( )A.min{|a+b|,|a-b|}≤min{|a|,|b|}B.min{|a+b|,|a-b|}≥min{|a|,|b|}C.max{|a+b|2,|a-b|2}≤|a|2+|b|2D.max{|a+b|2,|a-b|2}≥|a|2+|b|2答案D3.(2017课标全国Ⅰ,13,5分)已知向量a,b的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|= .答案2教师用书专用(4)4.(2013天津,12,5分)在平行四边形ABCD中,AD=1,∠BAD=60°,E为CD的中点.若·=1,则AB的长为.答案考点三平面向量的夹角、两向量垂直及数量积的应用1.(2016山东,8,5分)已知非零向量m,n满足4|m|=3|n|,cos<m,n>=.若n⊥(t m+n),则实数t的值为( )A.4B.-4C. D.-答案B2.(2015山东,4,5分)已知菱形ABCD的边长为a,∠ABC=60°,则·=( )A.-a2B.-a2C.a2D.a2答案D3.(2015福建,9,5分)已知⊥,||=,||=t.若点P是△ABC所在平面内的一点,且=+,则·的最大值等于( )A.13B.15C.19D.21答案A4.(2017山东,12,5分)已知e1,e2是互相垂直的单位向量.若e1-e2与e1+λe2的夹角为60°,则实数λ的值是.答案教师用书专用(5—8)5.(2015重庆,6,5分)若非零向量a,b满足|a|=|b|,且(a-b)⊥(3a+2b),则a与b的夹角为( )A. B. C. D.π答案A6.(2015四川,7,5分)设四边形ABCD为平行四边形,||=6,||=4.若点M,N满足=3,=2,则·=( )A.20B.15C.9D.6答案C7.(2014重庆,4,5分)已知向量a=(k,3),b=(1,4),c=(2,1),且(2a-3b)⊥c,则实数k=( )A.-B.0C.3D.答案C8.(2014安徽,15,5分)已知两个不相等的非零向量a,b,两组向量x1,x2,x3,x4,x5和y1,y2,y3,y4,y5均由2个a和3个b排列而成.记S=x1·y1+x2·y2+x3·y3+x4·y4+x5·y5,S min表示S所有可能取值中的最小值.则下列命题正确的是(写出所有正确命题的编号).①S有5个不同的值②若a⊥b,则S min与|a|无关③若a∥b,则S min与|b|无关④若|b|>4|a|,则S min>0⑤若|b|=2|a|,S min=8|a|2,则a与b的夹角为答案②④三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点一数量积的定义1.(2018北京朝阳期中,7)如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AD⊥DC,E是CD的中点,DC=1,AB=2,则·=( )A.5B.-5C.1D.-1答案D2.(2017福建龙岩二模,7)已知向量与的夹角为60°,且||=3,||=2,若=m+n,且⊥,则实数的值为( )A. B. C.6D.4答案A3.(2017江西抚州七校联考,7)在Rt△AOB中,·=0,||=,||=2,AB边上的高线为OD,点E位于线段OD上,若·=,则向量在向量上的投影为( )A. B.1C.1或D.或答案D4.(2017广东惠州调研,13)已知|a|=4,|b|=2,且a与b的夹角为120°,则(a-2b)·(a+b)= .答案12考点二平面向量的长度问题5.(2018全国名校大联考,10)设向量a,b,c满足|a|=|b|=2,a·b=-2,<a-c,b-c>=60°,则|c|的最大值等于( )A.4B.2C.D.1答案A6.(2017福建漳州八校4月联考,5)在△ABC中,|+|=|-|,||=||=3,则·的值为( )A.3B.-3C.-D.答案D7.(2017湖南永州一模,11)已知向量a与向量b的夹角为,且|a|=|b|=2,若向量c=x a+y b(x∈R且x≠0,y∈R),则的最大值为( )A. B. C. D.3答案A8.(2016江西赣南五校二模,6)△ABC的外接圆的圆心为O,半径为1,2=+且||=||,则向量在方向上的投影为( )A. B. C.-D.-答案A考点三平面向量的夹角、两向量垂直及数量积的应用9.(2018福建三明一中期中,8)已知O是△ABC所在平面上一点,满足||2+||2=||2+||2,则点O( )A.在过点C且与AB垂直的直线上B.在∠A的平分线所在直线上C.在边AB的中线所在直线上D.以上都不对答案A10.(2017豫南九校4月联考,4)已知向量a=(m,2),b=(2,-1),且a⊥b,则等于( )A.-B.1C.2D.答案B11.(人教A必4,二,2-4A,7,变式)若e1,e2是平面内夹角为60°的两个单位向量,则向量a=2e1+e2,b=-3e1+2e2的夹角为( )A.30°B.60°C.90°D.120°答案D12.(2017河北衡水中学模考,15)已知在△ABC所在平面内有两点P、Q,满足+=0,++=,若||=4,||=2,S△APQ=,则·的值为.答案±4B组2016—2018年模拟·提升题组(满分:40分时间:35分钟)一、选择题(每小题5分,共20分)1.(2018广东广州华南师大附中,10)如图,半径为1的扇形AOB中,∠AOB=,P是弧AB上的一点,且满足OP⊥OB,M,N分别是线段OA,OB上的动点,则·的最大值为( )A. B. C.1D.答案C2.(2018四川成都七中期中)在△ABC中,BC=5,G,O分别为△ABC的重心和外心,且·=5,则△ABC的形状是( )A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.上述三种情况都有可能答案B3.(2017湖南郴州质量检测,9)已知A,B是单位圆O上的两点(O为圆心),∠AOB=120°,点C 是线段AB上不与A、B重合的动点,MN是圆O的一条直径,则·的取值范围是( )A. B.[-1,1)C. D.[-1,0)答案A4.(2017湖北黄冈二模,10)已知平面向量a,b,c满足|a|=|b|=1,a⊥(a-2b),(c-2a)·(c-b)=0,则|c|的最大值与最小值的和为( )A.0B. C. D.答案D二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2017河南郑州一中模拟,14)如图,Rt△ABC中,∠C=90°,其内切圆切AC边于D点,O为圆心.若||=2||=2,则·= .答案-36.(2016福建福州3月质检,14)已知在△ABC中,AB=4,AC=6,BC=,其外接圆的圆心为O,则·= .答案10三、解答题(共15分)7.(2018湖南中原名校第四次质量考评,17)已知两个不共线的向量a,b满足a=(1,),b=(cosθ,sinθ),θ∈R.(1)若2a-b与a-7b垂直,求|a+b|的值;(2)当θ∈时,若存在两个不同的θ,使得|a+b|=|m a|成立,求正数m的取值范围.解析(1)由条件知|a|=2,|b|=1,又2a-b与a-7b垂直,所以(2a-b)·(a-7b)=8-15a·b+7=0,所以a·b=1.所以|a+b|2=|a|2+2a·b+|b|2=4+2+1=7,故|a+b|=.(2)由|a+b|=|m a|,得|a+b|2=|m a|2,即|a|2+2a·b+3|b|2=m2|a|2,即4+2a·b+3=4m2,7+2(cosθ+sinθ)=4m2,故4sin=4m2-7.由θ∈,得θ+∈,又θ要有两解,结合三角函数图象可得,6≤4m2-7≤4,即≤m2≤,因为m>0,所以≤m≤.故正数m的取值范围为.C组2016—2018年模拟·方法题组方法1 求向量长度的方法1.(2018四川双流中学期中,9)已知平面向量,满足||=||=1,·=-,若||=1,则||的最大值为( )A.-1B.-1C.+1D.+1答案D2.(2017河南高三4月质检,9)在△ABC中,∠BAC=60°,AB=5,AC=4,D是AB上一点,且·=5,则||等于( )A.6B.4C.2D.1答案C3.(2017广东五校协作体联考,15)已知a,b是两个互相垂直的单位向量,且c·a=c·b=1,则对任意的正实数t,的最小值是.答案2方法2 求向量夹角问题的方法4.(2018云南玉溪模拟,4)已知向量a=(1,1),2a+b=(4,2),则向量a,b的夹角余弦值为( )A. B.-C. D.-答案C5.(2017河南天一大联考(一),7)已知|a|=,a·b=-,且(a-b)·(a+b)=-15,则向量a与b的夹角θ为( )A. B. C. D.答案C6.(2017河南百校联盟4月联考,14)已知非零向量a,b满足:2a·(2a-b)=b·(b-2a),|a-b|=3|a|,则a与b的夹角为.答案90°方法3 数形结合的方法和方程与函数的思想方法7.(2017广东七校3月联考,11)在等腰直角△ABC中,∠A BC=90°,AB=BC=2,M,N为AC边上的两个动点(M,N不与A,C重合),且满足||=,则·的取值范围为( )A. B. C. D.答案C8.(2018北京西城月考,16)如图,已知边长为4的正方形ABCD,E是BC边上一动点(与B、C不重合),连接AE,作EF⊥AE交∠BCD的外角角平分线于F.设BE=x,设f(x)=·,则函数f(x)的值域是.答案(0,4]9.(2017湖南长郡中学六模,14)如图,点O为△ABC的重心,且⊥,||=6,则·的值为.答案72。
2019版高考数学(文科)：平面向量的数量积及平面向量的应用
7.(2016北京,9,5分)已知向量a=(1, 3 ),b=( 3 ,1),则a与b夹角的大小为
.
答案
6
解析
∵cos<a,b>= a b =1
|a||b|
3 2
2
3
1
=
3 2
,
又<a,b>∈[0,π],
∴a与b夹角的大小为 .
6
8.(2014四川,14,5分)平面向量a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(m∈R),且c与a的夹角等于c与b的夹角,则
5 25
9.(2015湖北,11,5分)已知向量
OA
⊥
AB
,|
OA
|=3,则
OA
·OB
=
.
答案 9
解析
OB =OA + AB ,OA ·OB
=OA ·(OA
+AB
)=OA2
+OA
·AB
=32+0=9.
10.(2016山东,13,5分)已知向量a=(1,-1),b=(6,-4).若a⊥(ta+b),则实数t的值为
所以O
2,
3 2
,C
0,
3
3 2
,M
5 2
,
0
,B
15 2
,
0
.
故 BC ·OM
=
15 2
,
3
3 2
1
· 2
,
3 2
15
=-
4
9
-4
=-6.故选C.
3.(2017浙江,10,5分)如图,已知平面四边形ABCD,AB⊥BC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC与BD交于
专题检测题组-平面向量的数量积及其应用
6.2 平面向量的数量积及其应用一、选择题1.(2022届吉林名校10月联考,5)已知3个非零平面向量a,b,c,下列选项中正确的是( ) A.若λa +μb=0,则λ=μ=0 B.若a ·b=a ·c,则b=c C.若(a ·b)c=(a ·c)b,则b=c D.a,b,c 两两之间的夹角可以都是钝角答案 D 对于选项A,当a 与b 共线时,也可以满足已知条件,所以A 错;对于选项B,a 可能为0,所以B 错;对于选项C,向量数量积运算不满足结合律,所以C 错;对于选项D,a,b,c 两两之间的夹角可以都是钝角,如都为120°,所以D 正确,故选D.2.(2022届云南质检(一),3)在Rt △ABC 中,AC ⊥BC,D 点是AB 边的中点,BC=8,CA=12,则AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为( )A.-40B.52C.92D.-18答案 A 在△ABC 中,CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ),AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2-CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2)=12×(82-122)=-40,故选A.3.(2022届贵阳摸底,6)在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC=3,若点D,E 分别是斜边BC 的三等分点,则AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为( )A.2B.√5C.4D.5答案 C ∵∠BAC=90°,AB=AC=3,∴以A 为坐标原点,AB 、AC 所在直线分别为x 轴和y 轴,建立平面直角坐标系,如图所示,则A(0,0),B(3,0),C(0,3).因为D,E 分别是BC 的三等分点,所以可取E(2,1),D(1,2),则AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2),AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1),所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1×2+2×1=4.故选C.4.(2022届河南三门峡11月模拟,10)已知菱形ABCD 的边长为4,点M 是线段CD 的中点,BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2NC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·(BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=( )A.-409B.409C.-209D.209答案 A 由已知得AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·(BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=(23AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(13AD ⃗⃗⃗⃗⃗ -12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13×23AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 2-12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=13×23×16-12×16=329-8=-409,故选A.5.(2021郑州一模,4)设a,b 为单位向量,且|a-b|=1,则|a+2b|=( ) A.√3 B.√7 C.3 D.7答案 B 由a,b 为单位向量,且|a-b|=1,可得a 2-2a ·b+b 2=1,可得a ·b=12,则|a+2b|=√a 2+4a ·b +4b 2=√1+2+4=√7.故选B.6.(2022届皖南八校联考(一),11)设单位向量a 与非零向量b 的夹角是2π3,且|a-b|=√3|a|,则|a-tb|的最小值为( ) A.√33B.√32 C.12D.1 答案 B 由|a-b|=√3|a|可得a 2-2a ·b+b 2=3a 2,又a ·b=|a||b|cos 2π3=-12|a||b|,|a|=1,从而|a|=|b|=1,∴|a -tb|=√|a -tb|2=√a 2-2ta ·b +t 2b 2=√t 2+t +1=√(t +12)2+34,当且仅当t=-12时,|a-tb|取最小值√32,故选B.7.(2019课标Ⅰ,8,5分)已知非零向量a,b 满足|a|=2|b|,且(a-b)⊥b,则a 与b 的夹角为( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6答案 B 解法一:因为(a-b)⊥b,所以(a-b)·b=a ·b-|b|2=0,又因为|a|=2|b|,所以2|b|2cos<a,b>-|b|2=0,即cos<a,b>=12,又<a,b>∈[0,π],所以<a,b>=π3,故选B.解法二:如图,令OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a,OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b, 则BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a-b,因为(a-b)⊥b,所以∠OBA=90°,又|a|=2|b|,所以∠AOB=π3,即<a,b>=π3.故选B.思路分析 由两向量垂直的充要条件建立方程求解;另外一个思路是在三角形中,由题设直接得到两向量的夹角.8.(2020河南十所名校联考,7)已知非零向量a,b 满足|a |=λ|b|,若a,b 夹角的余弦值为1930,且(a-2b)⊥(3a+b),则实数λ的值为( ) A.-49 B.23 C.32或-49 D.32答案 D 由(a-2b)⊥(3a+b)得(a-2b)·(3a+b)=0,即3a 2-5a ·b-2b 2=0,∵|a |=λ|b|,cos<a,b>=1930,∴a ·b=|a||b|cos<a,b >=λ|b|2·1930=19λ30|b|2. ∴3λ2|b|2-5×19λ30|b|2-2|b|2=0,又知|b|≠0,∴3λ2-196λ-2=0,即18λ2-19λ-12=0,解得λ=32或-49,又∵λ>0,∴λ=32,故选D.思路分析 由|a |=λ|b|以及垂直关系建立关于λ的方程,解方程求得λ的值,此处要注意λ的取值范围. 9.(2022届成都蓉城名校联盟联考一,5)若向量a=(3,√x ),|b|=5,a ·b=10,a 与b 的夹角为60°,则x=( )A.16B.4C.7D.√7答案 C 由题意得a ·b=|a||b|cos 60°=52|a|=10⇒|a|=4,故|a|=√32+x =4,解得x=7.故选C.10.(2022届山西朔州怀仁期中,9)下列说法中正确的是( )A.已知a=(1,2),b=(1,1),且a 与a +λb 的夹角为锐角,则实数λ的取值范围是(-53,+∞) B.向量e 1=(2,-3),e 2=(12,-34),可以作为平面内所有向量的一组基底C.非零向量a 和b,满足|a|>|b|,且两个向量同向,则a>bD.非零向量a 和b,满足|a|=|b|=|a-b|,则a 与a+b 的夹角为30° 答案 D 对于A,a +λb =(1+λ,2+λ),因为a 与a +λb 的夹角为锐角,所以cos<a,a +λb>=a ·(a+λb)|a|·|a+λb|=√1+2·√(1+λ)+(2+λ)∈(0,1),解得λ>-53且λ≠0,故A 中说法错误;对于B,e 1=4e 2,所以e 1∥e 2,故不能作为平面内所有向量的一组基底,故B 中说法错误;对于C,两个向量的模可以比较大小,但两个向量不能比较大小,故C 中说法错误;对于D,不妨令|a|=|b|=|a-b|=1,则|a-b|2=(a-b)2=a 2-2a ·b+b 2=2-2a ·b=1,所以a ·b=12,则|a+b|2=(a+b)2=a 2+2a ·b+b 2=3,所以|a+b|=√3,所以cos<a,a+b>=a ·(a+b)|a|·|a+b|=1+121×√3=√32,因为<a,a+b>∈[0,π],所以<a,a+b>=π6,故D 中说法正确.故选D.11. (2022届吉林10月月考,12)如图,在斜坐标系xOy 中,x 轴的正方向与y 轴的正方向成60°角,向量e 1是与x 轴正方向同向的单位向量,向量e 2是与y 轴正方向同向的单位向量,若向量OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =xe 1+ye 2,则称有序数对<x,y>为向量OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标,记作OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =<x,y>.在此斜坐标系xOy 中,已知向量a=<1,2>,b=<5,-4>,则向量a 与b 夹角的大小为( )A.π6B.π3C.π2D.2π3答案 C 由题意得|e 1|=|e 2|=1,e 1·e 2=|e 1||e 2|cos 60°=12,因为a=<1,2>,b=<5,-4>,即a=e 1+2e 2,b=5e 1-4e 2,所以a ·b=(e 1+2e 2)·(5e 1-4e 2)=5e 12+6e 1·e 2-8e 22=-3+6e 1·e 2=0,即a ⊥b,所以<a,b>=π2,故选C.二、填空题12.(2022届江西赣州赣县三中期中,15)已知AM,BN 分别为圆O 1:(x+1)2+y 2=1与O 2:(x-2)2+y 2=4的直径,则AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为 . 答案 [0,8] 解析 如图.AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AO 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +O 1O 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +O 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·(MO 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +O 1O 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +O 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=[O 1O 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +(AO 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +O 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )]·[O 1O 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -(AO 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +O 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )]=O 1O 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2-(AO 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +O 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2=9-|AO 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +O 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2.而|AO 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +O 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |∈[2-1,2+1]=[1,3],∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∈[0,8].13.(2022届吉林通化梅河口五中月考,16)①若OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,-4),OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,-3),OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(5-m,-3-m),∠ABC 为锐角,则实数m 的取值范围是m>-34.②点O 在△ABC 所在的平面内,若OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则点O 为△ABC 的垂心. ③点O 在△ABC 所在的平面内,若2OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +3OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,S △AOC ,S △ABC 分别表示△AOC,△ABC 的面积,则S △AOC ∶S △ABC =1∶6.④点O 在△ABC 所在的平面内,若满足AO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=AO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AC⃗⃗⃗⃗⃗ |且CO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=CO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB⃗⃗⃗⃗⃗ |CB⃗⃗⃗⃗⃗ |,则点O 是△ABC 的外心. 以上命题为假命题的序号是 . 答案 ①④解析 对于①,BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3,-1),BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1-m,-m),因为∠ABC 为锐角,所以cos ∠ABC=BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC⃗⃗⃗⃗⃗ |BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√10·√(1+m)+m 2>0,即m>-34,又BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 不共线,所以3m-(1+m)≠0,所以m>-34且m ≠12,故①中命题是假命题.对于②,因为OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以(OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,因此CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,同理OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以点O 为△ABC 的垂心,故②中命题是真命题. 对于③,若E,F 分别是边BC,AC 的中点,则OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2OE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2OF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以2OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +3OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2(OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=4OF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2OE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,故OE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-2OF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,即E,O,F 三点共线且OE=2OF,如图a.过E,O,B 作AC 边的垂线段,长度分别为h 1,h 2,h 3,易知ℎ2ℎ1=13,ℎ1ℎ3=12,则ℎ2ℎ3=16,所以S △AOC ∶S △ABC =1∶6,故③中命题是真命题.对于④,如图b,作OD ⊥AB 于D,OE ⊥AC 于E,OF ⊥BC 于F,则AO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,AO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,CO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|CE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,CO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|CF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,所以|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,|CE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|CF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,易知O 为△ABC 的内心,故④中命题是假命题.图a图b14.(2022届河南段考三,14)已知向量a=(-4,x),b=(3,2),若a ⊥b,则|a|= . 答案 2√13解析 因为a ⊥b,所以-4×3+2x=0,得x=6,故|a|=√(-4)2+62=2√13.15.(2022届贵阳月考,14)已知平面向量a,b 的夹角为π3,且a=(2,0),|b|=1,则|2a-b|= .答案√13解析 由a=(2,0)得|a|=2,又a,b 的夹角为π3,|b|=1,故(2a-b)2=4a 2-4a ·b+b 2=4|a|2-4|a||b|cos π3+|b|2=13,所以|2a-b|=√(2a -b)2=√13.16.(2022届安徽蚌埠调研,14)已知|a|=1,|b|=2,|a-2b|=√13,则向量a 、b 的夹角为 . 答案π3解析 设向量a 、b 的夹角为θ,因为|a-2b|=√13,所以|a-2b|2=13,即1+16-8cos θ=13,得cos θ=12,因为0≤θ≤π,所以θ=π3.17.(2022届山西运城期中,13)在△ABC 中,若AB=2,AC=√3,AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =7,则向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为 . 答案 150°解析 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2-AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4-|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos ∠BAC=4-2√3cos ∠BAC=7,解得cos ∠BAC=-√32,又知0°<∠BAC<180°,所以∠BAC=150°,即AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为150°.18.(2022届合肥10月联考,13)若OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,-4),OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,-3),OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(5-m,-3-m),∠ABC 为锐角,则实数m 的取值范围是 . 答案(-34,12)∪(12,+∞)解析 由已知得AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,1),AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2-m,1-m),BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1-m,-m).若AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∥AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则有3(1-m)-(2-m)=0,解得m=12;若∠ABC 为锐角,则BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3+3m+m>0,解得m>-34.由上分析知,当m=12时,AB →与AC →同向共线,所以当∠ABC 为锐角时,m ≠12,故实数m 的取值范围为(-34,12)∪(12,+∞).。
2019届高三数学一轮复习：第26讲 平面向量的数量积与平面向量应用举例
2019年8月10日
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课前双基巩固
3.平面向量数量积的性质
设 a,b 为两个非零向量,e 是与 b 同向的单位向量,θ 是 a 与 e 的夹角.
1 3
������������ +23
������������
·(λ������������ -������������ )=���3��� ×3+23������ ×4-13 ×9-23 ×3=-4,解得
λ=131.
2019年8月10日
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14
.
[答案] 2 3
[解析]
|a+2b|= ������2 + 4������·������ + 4������2=
4
+
4
×
2
×
1
×
1 2
+
4=2
3.
2019年8月10日
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教学参考
6.[2016·全国卷Ⅰ] 设向量
a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则
又∵n⊥(tm+n),cos<m,n>=13, ∴n·(tm+n)=0,即 t×4×3×13+16=0,解得 t=-4.
2019年8月10日
2019年高考数学(理)一轮复习精品资料专题25平面向量的数量积及平面向量的应用(教学案)含解析
2019年高考数学（理）一轮复习精品资料1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义．了解平面向量的数量积与向量投影的关系．2.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．3.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．4.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．1．平面向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos__θ叫作a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos__θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.(2)几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos__θ的乘积．2．平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角．(1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2.(2)模：|a|＝a·a＝x21＋y21.(3)夹角：cos θ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22.(4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤ x21＋y21·x22＋y22.3．平面向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a(交换律)．(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．4．向量在平面几何中的应用向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题．(1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：a∥b(b≠0)⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0．(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0(a ，b 均为非零向量)．(3)求夹角问题，利用夹角公式cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22(θ为a 与b 的夹角)． 5．向量在三角函数中的应用与三角函数相结合考查向量的数量积的坐标运算及其应用是高考热点题型．解答此类问题，除了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、向量模、向量夹角的坐标运算公式外，还应掌握三角恒等变换的相关知识．6．向量在解析几何中的应用向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述．它主要强调向量的坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的主体．【必会结论】1．设e 是单位向量，且e 与a 的夹角为θ，则e ·a ＝a ·e ＝|a |cos θ；2．当a 与b 同向时，a ·b ＝|a ||b |；当a 与b 反向时，a ·b ＝－|a ||b |，特别地，a ·a ＝a 2或|a |＝a 2； 3．a ·b ≤|a ||b |.高频考点一 平面向量数量积的运算例1、[2017·北京高考]已知点P 在圆x 2＋y 2＝1上，点A 的坐标为(－2,0)，O 为原点，则AO →·AP →的最大值为________．答案 6解析 解法一：根据题意作出图象，如图所示，A (－2,0)，P (x ，y )．由点P 向x 轴作垂线交x 轴于点Q ，则点Q 的坐标为(x,0)． AO →·AP →＝|AO →||AP →|cos θ，|AO →|＝2，|AP →|＝x ＋2＋y 2，cos θ＝AQ AP＝x ＋2x ＋2＋y2，所以AO →·AP →＝2(x ＋2)＝2x ＋4.点P 在圆x 2＋y 2＝1上，所以x ∈[－1,1]．所以AO →·AP →的最大值为2＋4＝6.【举一反三】(1)设四边形ABCD 为平行四边形，|AB →|＝6，|AD →|＝4，若点M ，N 满足BM →＝3MC →，DN →＝2NC →，则AM →·NM →等于( )A ．20 B.15 C ．9 D ．6(2)已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·CB →的值为________；DE →·DC →的最大值为________． 答案 (1)C (2)1 1 解析 (1)AM →＝AB →＋34AD →，NM →＝CM →－CN →＝－14AD →＋13AB →，∴AM →·NM →＝14(4AB →＋3AD →)·112(4AB →－3AD →)＝148(16AB →2－9AD →2)＝148(16×62－9×42)＝9， 故选C.(2)方法一 以射线AB ，AD 为x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则A (0，0)，B (1,0)，C (1,1)， D (0,1)，方法二 由图知，无论E 点在哪个位置，DE →在CB →方向上的投影都是CB ＝1，∴DE →·CB →＝|CB →|·1＝1，当E 运动到B 点时，DE →在DC →方向上的投影最大即为DC ＝1， ∴(DE →·DC →)max ＝|DC →|·1＝1.【感悟提升】(1)求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．(2)解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，可先利用向量的加、减运算或数量积的运算律化简再运算，但一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补．【变式探究】(1)如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →＝________.(2)已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE →·BD →＝________. 答案 (1)22 (2)2解析 (1)由CP →＝3PD →，得DP →＝14DC →＝14AB →，AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋14AB →，BP →＝AP →－AB →＝AD →＋14AB →－AB →＝AD →－34AB →.因为AP →·BP→＝2，所以(AD →＋14AB →)·(AD →－34AB →)＝2，即AD →2－12AD →·AB →－316AB →2＝2.又因为AD →2＝25，AB →2＝64，所以AB →·AD →＝22.(2)由题意知：AE →·BD →＝(AD →＋DE →)·(AD →－AB →) ＝(AD →＋12AB →)·(AD →－AB →)＝AD →2－12AD →·AB →－12AB →2＝4－0－2＝2.高频考点二 用数量积求向量的模、夹角例2、已知平面向量a ，b ，|a |＝1，|b |＝3，且|2a ＋b |＝7，则向量a 与向量a ＋b 的夹角为( )A.π2B.π3C.π6 D ．π 答案 B解析 由题意，得|2a ＋b |2＝4＋4a ·b ＋3＝7，所以a ·b ＝0，所以a ·(a ＋b )＝1，且|a ＋b |＝a ＋b2＝2，故cos 〈a ，a ＋b 〉＝a a ＋b |a |·|a ＋b |＝12，所以〈a ，a ＋b 〉＝π3.故选B.【举一反三】(1)已知向量a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，且(a ＋b )⊥b ，则m ＝( ) A.－8B.－6C.6D.8(2)若向量a ＝(k ，3)，b ＝(1，4)，c ＝(2，1)，已知2a －3b 与c 的夹角为钝角，则k 的取值范围是________.答案 (1)D (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－92∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，3【方法规律】平面向量数量积求解问题的策略(1)求两向量的夹角：cos θ＝a ·b|a ||b |，要注意θ∈[0，π]．(2)两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔|a －b |＝|a ＋b |. (3)求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有： ①a 2＝a ·a ＝|a |2或|a |＝a ·a ；②|a ±b |＝a ±b2＝a 2±2a ·b ＋b 2；③若a ＝(x ，y )，则|a |＝x 2＋y 2.【变式探究】 (1)已知向量BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，则∠ABC ＝( )A.30°B.45°C.60°D.120°(2)设向量a ＝(m ，1)，b ＝(1，2)，且|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，则m ＝________.答案 (1)A (2)－2【感悟提升】(1)根据平面向量数量积的定义，可以求向量的模、夹角，解决垂直、夹角问题；两向量夹角θ为锐角的充要条件是cos θ＞0且两向量不共线；(2)求向量模的最值(范围)的方法：①代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；②几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解．【举一反三】(1)已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝13，向量a ＝3e 1－2e 2与b ＝3e 1－e 2的夹角为β，则cos β＝________.(2)在△ABC 中，若A ＝120°，AB →·AC →＝－1，则|BC →|的最小值是( ) A. 2 B ．2 C. 6D ．6答案 (1)223(2)C(2)∵AB →·AC →＝－1，∴|AB →|·|AC →|·cos120°＝－1， 即|AB →|·|AC →|＝2，∴|BC →|2＝|AC →－AB →|2＝AC →2－2AB →·AC →＋AB →2 ≥2|AB →|·|AC →|－2AB →·AC →＝6， ∴|BC →|min ＝ 6.高频考点三 平面向量与三角函数例3、在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.(1)若m ⊥n ，求tan x 的值；(2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值．解 (1)因为m ＝⎝⎛⎭⎪⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，m ⊥n .所以m ·n ＝0，即22sin x －22cos x ＝0， 所以sin x ＝cos x ，所以tan x ＝1.(2)因为|m |＝|n |＝1，所以m ·n ＝cos π3＝12，即22sin x －22cos x ＝12，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝12，因为0<x <π2，所以－π4<x －π4<π4，所以x －π4＝π6，即x ＝5π12.【感悟提升】平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立得到三角函数的关系式，然后求解．(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．【变式探究】已知O 为坐标原点，向量OA →＝(3sin α，cos α)，OB →＝(2sin α，5sin α－4cos α)，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，且OA →⊥OB →，则tan α的值为( )A ．－43B ．－45C.45D.34答案 A高频考点四 向量在平面几何中的应用例4、[2017·天津高考]在△ABC 中，∠A ＝60°，AB ＝3，AC ＝2.若BD →＝2DC →，AE →＝λAC →－AB →(λ∈R )，且AD →·AE →＝－4，则λ的值为________．解析 解法一：由BD →＝2DC →得AD →＝13AB →＋23AC →，所以AD →·AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13AB →＋23AC →·(λAC →－AB →)＝13λAB →·AC →－13AB →2＋23λAC →2－23AB →·AC →，又AB →·AC →＝3×2×cos60°＝3，AB →2＝9，AC →2＝4， 所以AD →·AE →＝λ－3＋83λ－2＝113λ－5＝－4，解得λ＝311.答案311【感悟提升】向量具有代数和几何的双重特征，比如向量运算的平行四边形法则、三角形法则、平面向量基本定理等都可以认为是从几何的角度来研究向量的特征；而引入坐标后，就可以通过代数运算来研究向量，凸显出了向量的代数特征，为用代数的方法研究向量问题奠定了基础.在处理很多与向量有关的问题时，坐标化是一种常见的思路，利用坐标可以使许多问题变得更加简捷.【变式探究】(1)在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE →＝1，则AB ＝________. (2)平面四边形ABCD 中，AB →＋CD →＝0，(AB →－AD →)·AC →＝0，则四边形ABCD 是( ) A ．矩形 B ．梯形 C ．正方形 D ．菱形答案 (1)12(2)D解析 (1)在平行四边形ABCD 中，取AB 的中点F ，则BE →＝FD →，∴BE →＝FD →＝AD →－12AB →，又∵AC →＝AD →＋AB →，∴AC →·BE →＝(AD →＋AB →)·(AD →－12AB →)＝AD →2－12AD →·AB →＋AD →·AB →－12AB →2＝|AD →|2＋12|AD →||AB →|cos60°－12|AB →|2＝1＋12×12|AB →|－12|AB →|2＝1.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12－|AB →||AB →|＝0，又|AB →|≠0，∴|AB →|＝12.(2)AB →＋CD →＝0⇒AB →＝－CD →＝DC →⇒平面四边形ABCD 是平行四边形，(AB →－AD →)·AC →＝DB →·AC →＝0⇒DB →⊥AC →，所以平行四边形ABCD 是菱形．高频考点五、 向量在解析几何中的应用例5、(1)已知向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(10，k )，且A 、B 、C 三点共线，当k <0时，若k 为直线的斜率，则过点(2，－1)的直线方程为________．(2)设O 为坐标原点，C 为圆(x －2)2＋y 2＝3的圆心，且圆上有一点M (x ，y )满足OM →·CM →＝0，则y x＝______.答案 (1)2x ＋y －3＝0 (2)± 3(2)∵OM →·CM →＝0，∴OM ⊥CM ，∴OM 是圆的切线，设OM 的方程为y ＝kx ， 由|2k |1＋k2＝3，得k ＝±3，即yx＝± 3. 【感悟提升】向量在解析几何中的作用：(1)载体作用，向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题关键是利用向量的意义、运算，脱去“向量外衣”；(2)工具作用，利用a ⊥b ⇔a ·b ＝0；a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)，可解决垂直、平行问题．【变式探究】已知圆C ：(x －2)2＋y 2＝4，圆M ：(x －2－5cos θ)2＋(y －5sin θ)2＝1(θ∈R )，过圆M 上任意一点P 作圆C 的两条切线PE ，PF ，切点分别为E ，F ，则PE →·PF →的最小值是( )A ．5B ．6C ．10D ．12答案 BHE →·HF →＝|HE →|·|HF →|cos∠EHF ＝23×23×12＝6，故选B.高频考点六 向量的综合应用例6、(1)已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋y ≤2，x ≥a ，若OA →＝(x,1)，OB →＝(2，y )，且OA →·OB →的最大值是最小值的8倍，则实数a 的值是( )A ．1 B.13 C.14D.18(2)函数y ＝sin(ωx ＋φ)在一个周期内的图象如图所示，M 、N 分别是最高点、最低点，O 为坐标原点，且OM →·ON →＝0，则函数f (x )的最小正周期是________．答案 (1)D (2)3(2)由图象可知，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，N ()x N ，－1，所以OM →·ON →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1·(x N ，－1)＝12x N －1＝0，解得x N ＝2，所以函数f (x )的最小正周期是2×⎝⎛⎭⎪⎫2－12＝3.【感悟提升】利用向量的载体作用，可以将向量与三角函数、不等式结合起来，解题时通过定义或坐标运算进行转化，使问题的条件结论明晰化．【变式探究】在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点A ，B 满足|OA →|＝|OB →|＝OA →·OB →＝2，则点集{P |OP →＝λOA →＋μOB →，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R }所表示的区域面积是( )A ．2 2B ．2 3C ．4 2D ．4 3答案 D解析 由|OA →|＝|OB →|＝OA →·OB →＝2， 知〈OA →，OB →〉＝π3.当λ≥0，μ≥0，λ＋μ＝1时，在△OAB 中，取OC →＝λOA →，过点C 作CD ∥OB 交AB 于点D ，作DE ∥OA 交OB 于点E ，显然OD →＝λOA →＋CD →.由于CD OB＝AC AO ，CD OB ＝2－2λ2，∴CD →＝(1－λ)OB →， ∴OD →＝λOA →＋(1－λ)OB →＝λOA →＋μOB →＝OP →， ∴λ＋μ＝1时，点P 在线段AB 上，∴λ≥0，μ≥0，λ＋μ≤1时，点P 必在△OAB 内(包括边界)．考虑|λ|＋|μ|≤1的其他情形，点P 构成的集合恰好是以AB 为一边，以OA ，OB 为对角线一半的矩形，其面积为S ＝4S △OAB ＝4×12×2×2sin π3＝4 3.高频考点七 向量运算的最值或取值范围例7、平行四边形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝2，AB →·AD →＝4，点P 在边CD 上，则PA →·PB →的取值范围是( )A ．[－1,8]B ．[－1，＋∞)C ．[0,8]D ．[－1,0]答案A【方法技巧】求向量的最值或范围问题求最值或取值范围必须有函数或不等式，因此，对于题目中给出的条件，要结合要求的夹角或长度或其他量，得出相应的不等式或函数(包括自变量的范围)，然后利用相关知识求出最值或取值范围．【变式探究】 在平行四边形ABCD 中，∠A ＝π3，边AB ，AD 的长分别为2,1，若M ，N 分别是边BC ，CD 上的点，且满足|BM →||BC →|＝|CN →||CD →|，则AM →·AN →的取值范围是________．答案 [2,5]解析 设|BM →||BC →|＝|CN →||CD →|＝λ(0≤λ≤1)，即AM →·AN →的取值范围是[2,5]．1. （2018年浙江卷）已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为，向量b 满足b 2−4e ·b +3=0，则|a −b |的最小值是A. −1B. +1C. 2D. 2− 【答案】A 【解析】设，则由得，由得因此的最小值为圆心到直线的距离减去半径1，为选A.2. （2018年天津卷）如图，在平面四边形ABCD 中，，，，. 若点E为边CD 上的动点，则的最小值为A. B. C. D.【答案】A【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，，由数量积的坐标运算法则可得：，整理可得：，结合二次函数的性质可知，当时，取得最小值.本题选择A 选项.3. （2018年全国I 卷理数）设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为的直线与C 交于M ，N 两点，则=A. 5B. 6C. 7D. 8 【答案】D4. （2018年全国Ⅲ卷理数）已知向量，，．若，则________．【答案】 【解析】由题可得,即故答案为1．[2017·全国卷Ⅰ]已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2, |b |＝1，则|a ＋2b |＝________. 答案 2 3解析 解法一：|a ＋2b |＝a ＋2b2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝22＋4×2×1×cos60°＋4×12＝12＝2 3.解法二：(数形结合法)由|a |＝|2b |＝2，知以a 与2b 为邻边可作出边长为2的菱形OACB ，如图，则|a ＋2b |＝|OC →|.又∠AOB ＝60°，所以|a ＋2b |＝2 3.2.[2017·北京高考]已知点P 在圆x 2＋y 2＝1上，点A 的坐标为(－2,0)，O 为原点，则AO →·AP →的最大值为________． 答案 6解析 解法一：根据题意作出图象，如图所示，A (－2,0)，P (x ，y )．解法二：如图所示，因为点P 在圆x 2＋y 2＝1上， 所以可设P (cos α，sin α)(0≤α＜2π)，所以AO →＝(2,0)，AP →＝(cos α＋2，sin α)， AO →·AP →＝2cos α＋4≤2＋4＝6，当且仅当cos α＝1，即α＝0，P (1,0)时“＝”号成立．3.[2017·全国卷Ⅰ]已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(m,1)．若向量a ＋b 与a 垂直，则m ＝________. 答案 7解析 ∵a ＝(－1,2)，b ＝(m,1)， ∴a ＋b ＝(－1＋m,2＋1)＝(m －1,3)．又a ＋b 与a 垂直，∴(a ＋b )·a ＝0， 即(m －1)×(－1)＋3×2＝0， 解得m ＝7.4.[2017·山东高考]已知e 1，e 2是互相垂直的单位向量．若3e 1－e 2与e 1＋λe 2的夹角为60°，则实数λ的值是________．答案33解得λ＝33. 5.[2017·天津高考]在△ABC 中，∠A ＝60°，AB ＝3，AC ＝2.若BD →＝2DC →，AE →＝λAC →－AB →(λ∈R )，且AD →·AE →＝－4，则λ的值为________．解析 解法一：由BD →＝2DC →得AD →＝13AB →＋23AC →，所以AD →·AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13AB →＋23AC →·(λAC →－AB →)＝13λAB →·AC →－13AB →2＋23λAC →2－23AB →·AC →，又AB →·AC →＝3×2×cos60°＝3，AB →2＝9，AC →2＝4，所以AD →·AE →＝λ－3＋83λ－2＝113λ－5＝－4，解得λ＝311.答案3111.【2016高考江苏卷】如图，在ABC ∆中，D 是BC 的中点，,E F 是,A D 上的两个三等分点，4BC CA ⋅=，1BF CF ⋅=- ，则BE CE ⋅ 的值是 ▲ .【答案】78【解析】因为222211436=42244AD BC FD BC BA CA BC AD BC AD --⋅=-⋅--==（）（）， 2211114123234FD BCBF CF BC AD BC AD -⋅=-⋅--==-（）（），因此22513,82FD BC ==， 2222114167.22448ED BC FD BC BE CE BC ED BC ED --⋅=-⋅--===（）（）【2015高考山东，理4】已知菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=,则BD CD ⋅=（ ）（A ）232a -（B ）234a - （C ） 234a （D ） 232a 【答案】D【解析】因为()BD CD BD BA BA BC BA ⋅=⋅=+⋅()22223cos602BA BC BA a a a +⋅=+=故选D.【2015高考陕西，理7】对任意向量,a b ，下列关系式中不恒成立的是（ ） A ．||||||a b a b ⋅≤ B ．||||||||a b a b -≤-C ．22()||a b a b +=+ D ．22()()a b a b a b +-=-【答案】B【2015高考四川，理7】设四边形ABCD 为平行四边形，6AB =，4AD =.若点M ，N 满足3BM MC =，2DN NC =，则AM NM ⋅=（ ）（A ）20 （B ）15 （C ）9 （D ）6 【答案】C 【解析】311,443AM AB AD NM CM CN AD AB =+=-=-+，所以 221111(43)(43)(169)(1636916)94124848AM NM AB AD AB AD AB AD =+-=-=⨯-⨯=，选C.【2015高考安徽，理8】C ∆AB 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足2a AB =，C 2a b A =+，则下列结论正确的是（ ）（A ）1b = （B ）a b ⊥ （C ）1a b ⋅= （D ）()4C a b +⊥B【答案】D 【解析】如图，【2015高考福建，理9】已知1,,AB AC AB AC t t⊥== ，若P 点是ABC ∆ 所在平面内一点，且4AB AC AP ABAC=+，则PB PC ⋅ 的最大值等于（ ）A ．13B ． 15C ．19D ．21 【答案】A【解析】以A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则1(,0)B t，(0,)C t ，1AP =（，0)+4(0,1)=(1,4)，即1P （，4)， 所以11PB t -=（，-4)，1PC -=（，t-4)，因此PB PC ⋅11416t t =--+117(4)t t=-+， 因为11444t t t t +≥⋅=，所以PB PC ⋅ 的最大值等于13，当14t t =，即12t =时取等号． 【2015高考天津，理14】在等腰梯形ABCD 中,已知//,2,1,60AB DC AB BC ABC ==∠= ,动点E 和F分别在线段BC 和DC 上,且,1,,9BE BC DF DC λλ==则AE AF ⋅的最小值为 . 【答案】2918【解析】因为1,9DF DC λ=12DC AB =， 119199918CF DF DC DC DC DC AB λλλλλ--=-=-==，AE AB BE AB BC λ=+=+，19191818AF AB BC CF AB BC AB AB BC λλλλ-+=++=++=+， ()221919191181818AE AF AB BC AB BC AB BC AB BC λλλλλλλλλ+++⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=+++⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭19199421cos1201818λλλλ++=⨯++⨯⨯⨯︒211721172929218921818λλλλ=++≥⋅= 当且仅当2192λλ=即23λ=时AE AF ⋅的最小值为2918. BA1．（2014·北京卷）已知向量a ，b 满足|a |＝1，b ＝(2，1)，且λa ＋b ＝0(λ∈R )，则|λ|＝________．【答案】 52．（2014·湖北卷）设向量a ＝(3，3)，b ＝(1，－1)．若(a ＋λb )⊥(a －λb )，则实数λ＝________． 【答案】±3【解析】因为a ＋λb ＝(3＋λ，3－λ)，a －λb ＝(3－λ，3＋λ)，又(a ＋λb )⊥(a －λb )，所以(a ＋λb )·(a －λb )＝(3＋λ)(3－λ)＋(3－λ)(3＋λ)＝0，解得λ＝±3.3．（2014·江西卷）已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝13，向量a ＝3e 1－2e 2与b ＝3e 1－e 2的夹角为β，则cos β＝________．【答案】2 234．（2014·全国卷）若向量a ，b 满足：＝1，(a ＋b )⊥a ，(＋b )⊥b ，则|＝( ) A ．2 B. 2 C ．1 D.22【答案】B【解析】因为(a ＋b )⊥a ，所以(a ＋b )＝0，即2＋＝因为(＋b )⊥b ，所以(＋b )＝0，即b ＋2＝0，与2＋＝0联立，可得－2＝0，所以＝2＝ 2.5．（2014·新课标全国卷Ⅱ] 设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．5 【答案】A【解析】由已知得|a ＋b |2＝10，|a －b |2＝6，两式相减，得4a ·b ＝4，所以a ·b ＝1. 6．（2014·山东卷）在△ABC 中，已知AB →·AC →＝tan A ，当A ＝π6时，△ABC 的面积为______．【答案】16【解析】因为AB ·AC ＝|AB →|·|AC →|cos A ＝tan A ，且A ＝π6，所以|AB →|·|AC →|＝23，所以△ABC 的面积S ＝12|AB →|·|AC→|sin A ＝12×23×sin π6＝16.7．（2014·天津卷）已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BE ＝λBC ，DF ＝μDC .若AE →·AF →＝1，CE →·CF →＝－23，则λ＋μ＝( )A.12B.23C.56D.712 【答案】C8．(2013年高考湖北卷)已知点A (－1,1)、B (1,2)、C (－2，－1)、D (3,4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为( ) A.322 B.3152C ．－322D ．－3152解析：AB →＝(2,1)，CD →＝(5,5)，向量AB →＝(2,1)在CD →＝(5,5)上的投影为|AB →|cos 〈AB →，CD →〉＝|AB →|AB →·CD →|AB →||CD →|＝AB →·CD →|CD →|＝1552＝322，故选A.答案：A9．(2013年高考湖南卷)已知a ，b 是单位向量，a ·b ＝0.若向量c 满足|c －a －b |＝1，则|c |的取值范围是( ) A ．[2－1，2＋1]B.[]2－1，2＋2C ．[1，2＋1]D ．[1，2＋2]解析：由a ，b 为单位向量且a ·b ＝0，可设a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，又设c ＝(x ，y )，代入|c －a －b |＝1得(x －1)2＋(y －1)2＝1，又|c |＝ x 2＋y 2，故由几何性质得12＋12－1≤|c |≤ 12＋12＋1，即2－1≤|c |≤ 2＋1.答案：A10．(2013年高考辽宁卷)设向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.(1)若|a |＝|b |，求 x 的值；(2)设函数f (x )＝a·b ，求f (x )的最大值．(2)f (x )＝a·b ＝3sin x ·cos x ＋sin 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12，当x ＝π3∈[0，π2]时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6取最大值1. 所以f (x )的最大值为32.11．(2013年高考陕西卷)已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x ，－12，b ＝ (3sin x ，cos 2x )，x ∈R，设函数f (x )＝a·b . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值．解析：f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x ，－12·(3sin x ，cos 2x )＝3cos x sin x －12cos 2x＝32sin 2x －12cos 2x ＝cos π6sin 2x －sin π6cos 2x＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.(1)f (x )的最小正周期为T ＝2πω＝2π2＝π，即函数f(x)的最小正周期为π.。
2019高考真题名校模拟(文数)平面向量的数量积及其应用(含答案)
5.2 平面向量的数量积及其应用五年高考A 组统一命题·课标卷题组考点一平面向量的数量积1．（2018课标全国II ，4，5分）已知向量a ，b 满足=⋅=b a a ,1||,1-则=-⋅)2(b a a ( )4.A 3.B 2.C 0.D2．（2015课标II ．4,5分．0.662）向量),2,1(),1,1(-=-=b a 则=⋅+a b a )2(( )1.-A 0.B 1.C2.D3．（2014课标11,4,5分．Q.523）设向量a ，b 满足,10||=+b a ,6||=-b a 则=⋅b a ( )1.A2.B3.C 5.D4．（2014大纲全国．6,5分）已知a 、b 为单位向量，其夹角为,600则=⋅-b b a )2(( ) 1.-A 0.B 1.C 2.D5．（2017课标全国I ，13，5分）已知向量).1,(),2,1(m b a =-=若向量a+b 与a 垂直，则=m ________6．（2017课标全国m ．13,5分）已知向量),,3(),3,2(m b a =-=且a⊥b．则=m _________7．（2016课标全国I ．13,5分）设向量),2,1(),1,(=+=b x x a 且a⊥b，则=x _______考点二尊面向量数量积的应用（2016课标全国Ⅲ．3,5分）已知向量==),23,21(=∠ABC 则),21,23(( )o A 30. 45.B 60.C o D 120.B 组 自主命题·省（区、市）卷题组考点一 平面向量的数量积1．（2015广东，9，5分）在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形),1,2(),2,1(=-= =( )5.A 4.B 3.C 2.D2．（2016天津，7，5分）已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ．E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE EF .,2则=的值为( )85.A 81.B 41.C 811.D 3．（2018北京．9，5分）设向量).,1(),0,1(m b a -==若ma a （⊥),b -则=m ________4．（2015湖北．11,5分）已知向量,3||,=⊥=_______5．（2014重庆．12，5分）已知向量a 与b 的夹角为,600且=a ,10||),6,2(=--b 则=⋅b a _______6．（2017北京．12.5分）已知点P 在圆122=+y x 上，点A 的坐标为（-2，0），0为原点，则⋅ 的最大值为______7．（2015安徽．15,5分）△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足,2,2b a a +==则下列结论中正确的是_____．（写出所有正确结论的编号）①a 为单位向量; ②b 为单位向量； ;b a ⊥③ ;//b ④ .)4(b a ⊥+⑤8．（2015天津，13,5分）在等腰梯形ABCD 中，已知AB//DC ，AB= 2,BC=1．060=∠ABC ．点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且.,61,32则==的值为_______ 9．（2016江苏，13,5分）如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点．E ，F 是AD 上的两个三等分点，,1.,4.-==则.的值是_______10．（2017天津．14,5分）在△ABC 中，.2,3,60===∠AC AB A 若),(,2R ∈-==λλ 且,4.-=AE AD 则λ的值为______ 考点二 平面向量数量积的应用1．（2018浙江．9，4分）已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量，若非零向量a 与e 的夹角为,3π向量b 满足,0342=+⋅-b e b 则||b a -的最小值是( ) 13.-A 13.+B 2.C 32.-D2．（2018天津．8，5分）在如图的平面图形中，已知==ON OM ,1,2,1202MON ==∠ .,2则=的值为( )15.-A 9.-B 6.-C 0.D3．（2015重庆．7,5分）已知非零向量a ，b 满足⊥=a a b 且|,|4||),2(b a +则a 与b 的夹角为( )3.πA 2.πB 32.πC 65.πD 4．（2014山东．7,5分）已知向量).,3(),3,1(m b a ==若向量a ，b 的夹角为,6π则实数m=( ) 32.A 3.B 0.C 3.-D5．（2014安徽．10.5分）设a ．b 为非零向量，|,|2||a b =两组向量 4321,,,x x x x 和432,,,y y y y l 均由2个a 和2个b 排列而成若44332211y x y x y x y x ⋅+⋅+⋅+⋅所有可能取值中的最小值为,||42a 则a 与b 的夹角为 ( ) 32.πA 3.πB 6.πC 0.D 6．（2016北京．9，5分）已知向量),1,3(),3,1(==b a 则a 与b 夹角的大小为_______7．（2014湖北，12.5分）若向量]0|,||0|),3,1(=-===||,0则________8．（2015浙江，13,4分）已知21,e e 是平面单位向量，且=⋅21e e 21若平面向量b 满足,12=⋅=⋅e b e b l 则 =||b ________9．（2017江苏．12.5分)如图，在同一个平面内，向量,.,OB OA 的模分别为OC OA 与,2,1,1的夹角为α且OC OB 与,7tan =α的夹角为),,(.45R n m n m ∈+=若 则=+n m __________10.(2017内蒙古百校联盟3月质量检测）已知向量=a ),1,1(),,3(),4,2(-=-=-c x b 若,)2(c b a ⊥+则=||b ( )9.A 3.B 109.C 103.D突破方法方法1 求解平面向量模的方法例1 （2017内蒙古百校联盟3月质量检测）已知向量a=(2,-4),b=(-3,x),c=(1,-1),若（2a+b ）⊥c,则 ∣b ∣=( ) A.9 B.3 C.109 D.1031-1（2017重庆八中适应性月考（八））已知)1,1(=a ),0,1(=b 则当∣a-tb ∣取最小值时，实数t=_________方法2 求解平面向量夹角的方法例2 （2017吉林大学附中八模）若量a 与b 不共线，⋅a ,0=/b 且,)(b ba a a a c ⋅⋅-=则向量a 与c 的夹角为 ( ) 0.A 6.πB 3.πC 2.πD 2-1 已知i 、j 分别是与x 轴、y 轴方向相同的单位向量，a ,,2j i b j i λ+=-=且a 、b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是( ))21,.(-∞A ),21[+∞⋅B ),32()3.2,2[+∞-⋅ C )21,2()2,.(---∞ D 2-2（2014四川．14，5分）平面向量,4(),2,1(==b a ),(),2R m b ma c ∈+=且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ______三年模拟A 组2016-2018年高考模拟·基础题组考点一平面向量韵数量积。
专题 平面向量的数量积-2019年高考理科数学考点讲解与仿真测试含答案
平面向量的数量积【考点讲解】一、具本目标：1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.考纲解读：1.以考查向量的数量积、夹角、模为主，基本稳定为选择题或填空题，难度较低；2.与三角函数、解析几何等相结合，以工具的形式进行考查，中等难度，但是解决以上问题的桥梁.3.备考重点：(1) 理解数量积的概念是基础，掌握数量积的两种运算的方法是关键；(2)解答与平面几何、三角函数、解析几何等交汇问题时，注意运用数形结合的数学思想，通过建立平面直角坐标系，利用坐标运算解题.二、知识概述：一）主要公式：1.向量的数量积：已知两个非零向量a、b，它们的夹角为θ，则a·b=θcos.若a=(1x,1y),b=(2x,2y)，则a·b=.2.向量的模：若a=(,)x y，则|a.3.两向量的夹角余弦值：a ba b×.4.向量垂直的等价条件：a⊥b⇔0a b?⇔.二）主要知识点：1.两个向量的夹角（1）定义：已知两个非零向量和，作OA＝，OB＝，则∠AOB＝θ叫做向量与的夹角．（2）夹角范围：向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°与同向时，夹角θ＝0°；与反向时，夹角θ＝180°.（3）向量垂直：如果向量与的夹角是90°，则与垂直，记作⊥. 2.平面向量数量积：（1）已知两个非零向量与θ叫做与的数量积，记作⋅，即⋅a b ＝，其中θ是a 与b 的夹角．规定0=⋅.当⊥时，θ＝90°，这时0a b ?.（2）⋅的几何意义：数量积⋅等于与在θcos 的乘积．3.向量数量积的性质：（1）a a =⋅，.（2）a b a b×(θ为与的夹角).（3）.4.数量积的运算律 （1）交换律：.（2）分配律：（3）对.5.数量积的坐标运算：设，有下面的结论：（1）.（2）a ⊥b ⇔0a b ?⇔.（3）（4）(θ为与的夹角).【真题分析】1.【2018年天津卷文】在如图的平面图形中， 已知,则⋅的值为（ ）A.-15 B .-9 C.-6 D. 0【答案】C2.【2017北京，理6】设n m ,为非零向量，则“存在负数λ，使得n m λ=”是“0<⋅n m ”的A.充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件【解析】如果存在负数λ，使得λ=，此时两向量方向相反，夹角为180°，一，两向量的数量积为：成立.如果0<⋅，此时两向量的夹角在90°到180°之间，两向量不一定是相反方向，也就是不一定存在一个负数λ，使得λ=成立，所以是充分不必要条件. 【答案】A3.【2014山东.理12】 在ABC ∆中，已知，当6A π=时，ABC ∆的面积为________.【答案】164. 【2016高考浙江理数】已知向量ba ,,，若对任意单位向量，均有,则⋅的最大值是 ．【解析】本题考点是平面向量的数量积及不等式的性质的具体应用．由题意可知，即最大值为12. 【答案】125.【2015高考天津，文13】在等腰梯形ABCD 中,已知AB DC ,点E 和点F 分别在线段BC 和CD 上,且则AE AF ⋅的值为 ．【解析】本题考点是平面向量的数量积及向量的线性运算， 在等腰梯形ABCD 中,由AB ∥DC ,得,1AB AD ⋅=,12DC AB =,所以=【答案】29186.【2016·江苏卷】如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，BA →·CA →＝4， BF →·CF →＝－1，则BE →·CE →的值是________．则【答案】787.【2017课标1，理13】已知向量,的夹角为602=1==+ .【解析】本题考点是平面向量的数量积公式的运用， 法一：由题意可知所以.【答案】法二：利用如下图形，可以判断出2a b +的模长是以2为边长的菱形对角线的长度，由平面几何的知识可以求出菱形对角线的长为【答案】8.【2017山东，理12】已知12,e e 12-e 与12λ+e e 的夹角为60，则实数λ的值是 .【模拟考场】1.已知向量(1,2)a =，(1,1)b =-，则（ ）A ．2B ．-2C ．-3D ．4【答案】A2. 已知非零向量m ，n 满足4│m │=3│n │，cos<m ，n >=13.若n ⊥（t m +n ）， 则实数t 的值为（ ） A.4B.–4C.94D.–94【解析】由43m n =，可设，又，所以.所以4t =-，故选B. 【答案】B3.已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点E D ,分别是边BC AB ,的中点，连接DE 并延长到点F ，使得EF DE 2=，则⋅的值为（ ）A.85-B.81 C.41 D.811【解析】设BA a =，BC b =，∴，，，∴，故选B.【答案】B4.已知向量a 与b 的夹角为60°，||2a =，||5b =，则2a b -在a 方向上的投影为（ ）A ．23 B ．2 C ．52 D ．3【答案】A 5.设向量，，且a b ⊥，则m 的值为__________．【解析】因为a b ⊥，所以有0a b ?，可以得到，则，应填答案2.【答案】26.在ABC △中，60A =︒∠，3AB =，2AC =.若2BD DC =，，且，则λ的值为___________.【解析】由题意可知：，，=，所以可得113=λ.【答案】113 7.已知3a =， 4b =， 0a b ⋅=，若向量c 满足，则c 的取值范围是__________．【答案】[]0,58.已知两个不共线的向量b a ,，它们的夹角为θ，且，x 为正实数．(1)若2+与4-垂直，求tan θ；(2)若θ＝π6，求x -的最小值及对应的x 的值，并判断此时向量与x -是否垂直．【解析】(1)因为2+与4-垂直，所以. 所以，所以32－2×3×1×cos θ－8×12＝0， 所以cos θ＝16，又θ∈(0，π)，sin θ＝1－cos 2θ＝356，所以tan θ＝sin θcos θ＝35.(2)＝故当x ＝36时，x -取最小值为12，此时＝36×9－3×1×cos π6＝0， 故向量与x -垂直.。
2019届高三数学一轮复习：第26讲 平面向量的数量积与平面向量应用举例
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平面向量的 在三角函数、解析几 综合应用 何中的应用等
2019年4月28日
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教学参考
真题再现
■ [2017－2013]课标全国真题再现
1.[2017·全国卷Ⅱ] 已知
△ABC 是边长为 2 的等边
三角形,P 为平面 ABC 内
(2)几何意义
①向量的投影: |a|cos θ(|b|cos θ) 叫作向量 a 在 b 方向上(b 在 a 方向上)的投影. ②向量数量积的几何意义:数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b在a的方向上的投影|b|cos θ
的乘积.
2019年4月28日
梅花三麓专业文档
17
课前双基巩固
(3)向量的夹角
2019年4月28日
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2
教学参考
考情分析
考点
考查方向
平面向量的 求向量的数量积、夹 数量积 角、模等相关问题
平面向量垂 判断垂直、根据垂直 直的条件 求参数值等
考例
2017全国卷Ⅰ13,2017全国卷 Ⅱ12,2016全国卷Ⅰ13,2016全 国卷Ⅲ3,2014全国卷Ⅰ15,2014 全国卷Ⅱ3,2013全国卷Ⅱ13
3.[2016·全国卷Ⅲ]
已知向量������������ =
12,
3 2
,������������= 23,12 ,则∠ABC= (
)
A.30°
B.45°
C.60°
D.120°
[答案] A
[解析]
cos∠ABC=|������������������������|·|������������������������
2019版高考数学(理)一轮复习：平面向量的数量积及应用举例含解析
由于 · =2a·(2a+b)=4|a|2+2a·b=4+2×1×2× =2,
所以2a·b=2-4|a|2=-2,
所以a·b=-1,故B,C错误;
又因为(4a+b)· =(4a+b)·b=4a·b+|b|2=4×(-1)+4=0,
所以(4a+b)⊥ .
二、填空题(每小题5分,共15分)
所以 · = ·
= ·
= · + · + + ·
=1+ + - = .
答案:
5.(2015·安徽高考)△ABC是边长为2的等边三角形,已知向量a,b满足 =2a, =2a+b,则下列结论正确的是()
A.|b|=1B.a⊥b
C.a·b=1D.(4a+b)⊥
【解析】选D.因为 = - =(2a+b)-2a=b,
4.已知△ABC为等边三角形,AB=2,设点P,Q满足 =λ , =(1-λ) ,λ∈R,若 · =- ,则λ=()
A. B.
C. D.
【解析】选A.因为 · =- ,
所以- = ·
= ·
=- -λ + ·
=-4 -4λ+2 =-2λ2+2λ-2,
解得λ= .
【一题多解】
选A.如图建立平面直角坐标系,
6.若非零向量a,b满足|a|=3|b|=|a+2b|,则a,b夹角θ的余弦值为________.
【解析】|a|=|a+2b|,两边平方得,|a|2=|a|2+4|b|2+4a·b
=|a|2+4|b|2+4|a||b|·cosθ.
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专题26平面向量的数量积及应用本专题特别注意：1.平面向量数量积的模夹角公式的应用2. 平面向量数量积的坐标公式应用问题3. 向量垂直的应用4.向量的数量积问题等综合问题5. 向量夹角为锐角、钝角时注意问题6.向量数量积在解析几何中应用7.向量数量积在三角形中的应用。
【学习目标】1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义．2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系．3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．4．能运用数量积表示两个向量的夹角及判断两个平面向量的垂直关系．5．会用向量方法解决一些简单的平面几何问题及力学问题．【方法总结】1.要准确理解两个向量的数量积的定义及几何意义，熟练掌握向量数量积的五个重要性质及三个运算规律.向量的数量积的运算不同于实数乘法的运算律，数量积不满足结合律：(a²b)²c≠a²(b²c)；消去律：a²b＝a²c b＝c；a²b＝0 a＝0或b＝0，但满足交换律和分配律.2.公式a²b＝|a||b|cos θ；a²b＝x1x2＋y1y2；|a|2＝a2＝x2＋y2的关系非常密切，必须能够灵活综合运用.3.通过向量的数量积，可以计算向量的长度，平面内两点间的距离，两个向量的夹角，判断相应的两直线是否垂直.4.a∥b⇔x1y2－x2y1＝0与a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0要区分清楚.【高考模拟】：一、单选题1．已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为，向量b满足b2−4e²b+3=0，则|a−b|的最小值是A. −1B. +1C. 2D. 2−【答案】A【解析】分析:先确定向量所表示的点的轨迹，一个为直线，一个为圆，再根据直线与圆的位置关系求最小值.点睛：以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程、解不等式、求函数值域或直线与曲线的位置关系，是解决这类问题的一般方法.2．在如图的平面图形中，已知,则的值为A. B.C. D. 0【答案】C【解析】分析：连结MN，结合几何性质和平面向量的运算法则整理计算即可求得最终结果.详解：如图所示，连结MN，由可知点分别为线段上靠近点的三等分点，则，由题意可知：，，结合数量积的运算法则可得：.本题选择C选项.点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．3．如图，在平面四边形ABCD中，，，，. 若点E为边CD上的动点，则的最小值为A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由题意建立平面直角坐标系，然后结合点的坐标得到数量积的坐标表示，最后结合二次函数的性质整理计算即可求得最终结果.详解：建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，，点在上，则，设，则：，即，据此可得：，且：，，由数量积的坐标运算法则可得：，整理可得：，结合二次函数的性质可知，当时，取得最小值.本题选择A选项.点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．4．设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则=A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】D【解析】分析：首先根据题中的条件，利用点斜式写出直线的方程，涉及到直线与抛物线相交，联立方程组，消元化简，求得两点，再利用所给的抛物线的方程，写出其焦点坐标，之后应用向量坐标公式，求得，最后应用向量数量积坐标公式求得结果.点睛：该题考查的是有关直线与抛物线相交求有关交点坐标所满足的条件的问题，在求解的过程中，首先需要根据题意确定直线的方程，之后需要联立方程组，消元化简求解，从而确定出，之后借助于抛物线的方程求得，最后一步应用向量坐标公式求得向量的坐标，之后应用向量数量积坐标公式求得结果，也可以不求点M、N的坐标，应用韦达定理得到结果.5．已知向量，满足，，则A. 4B. 3C. 2D. 0【答案】B【解析】分析：根据向量模的性质以及向量乘法得结果.详解：因为所以选B.点睛：向量加减乘：6．已知平面向量，，当时，的最小值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由题意，在OB上取，在AB上取动点C，使，则，则即可所求答案.详解：如图，在中，已知，，在OB上取点D，使得，在AB上有动点C，使（），则，.故选：C.点睛：本题考查平面向量的数量积运算，考查了数学转化思想方法，训练了灵活解决问题和处理问题的能力. 7．设平面向量，则与垂直的向量可以是（）A. B. C. D.【答案】D点睛：本题考查平面向量的坐标运算、平面向量垂直的判定等知识，意在考查学生的逻辑思维能力和基本计算能力．8．已知平面向量，且，则在上的投影为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：先根据平面向量垂直的条件（数量积为0）求出，再利用平面向量的投影的概念进行求解．详解：因为，，且，所以，解得，即，则在上的投影为．点睛：本题考查平面向量垂直的判定、平面向量数量积的几何意义等知识，意在考查学生的逻辑思维能力和基本计算能力．9．已知平面向量，满足，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由题意首先求得，然后求解向量的模即可.详解：由题意可得：，且：，即，，，由平面向量模的计算公式可得：.本题选择B选项.点睛：本题主要考查平面向量数量积的运算法则，平面向量模的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10．向量，对，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：将条件平方可变形为，再由，可得。
因为对，所以对恒成立。
由一元二次方程根与系数的关系可得，变形得，进而得。
因为，可变形为，进而得。
可得。
详解：由可得整理可得。
因为，所以。
因为对，所以对恒成立。
所以，即。
所以。
因为，所以，所以。
所以。
故选C。
点睛：本题考查平面向量数量积公式及一元二次方程根与系数的关系。
对于一元二次方程根与系数的关系的题型常见解法由两种：一是对于未知量不做限制的题型，可以选择直接运用判别式解答；二是未知量在区间上的题型，一般采取不等式组（开口方向、判别式、对称轴、区间端点函数值的正负）的方法解答。
11．设，向量，，且，则( )A. 0B. 1C. 2D. -2【答案】A【解析】分析：根据的垂直关系，可求出；根据的平行关系，可求出，进而求出的值。
点睛：本题考查了向量平行与垂直的坐标运算，主要是熟练正确记忆坐标间的关系，属于简单题。
12．已知两个非零向量与的夹角为锐角，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：根据向量数量积可得结果.详解：因为，两个非零向量与的夹角为锐角，所以,选A.点睛：求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式；二是坐标公式；三是利用数量积的几何意义.13．在平面直角坐标系中,已知三点,为坐标原点若向量与在向量方向上的投影相等,则的最小值为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由题意首先确定点的轨迹方程，然后结合目标函数的几何意义即可求得最终结果.详解：因为向量与在向量方向上的投影相同,所以，即：,整理可得.即点在直线上.的最小值为原点到直线的距离的平方,因为，所以的最小值为.本题选择B选项.点睛：本题主要考查平面向量投影的概念，点到直线距离公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14．命题若向量，则与的夹角为钝角；命题若，则.下列命题为真命题的是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：命题p：若向量，则与的夹角为钝角或平角，即可判断出真假；命题q：若cosα•cosβ=1，则cosα=cosβ=±1，因此α=2k1π，β=2k2π，或α=（2k1﹣1）π，β=（2k2﹣1）π，k1，k2∈N*．可得sin （α+β）=0．即可判断出真假．详解：命题p：若向量，则与的夹角为钝角或平角，因此为假命题；命题q：若cosα•cosβ=1，则cosα=cosβ=±1，因此α=2k1π，β=2k2π，或α=（2k1﹣1）π，β=（2k2﹣1）π，k1，k2∈N*．则sin（α+β）=0．为真命题．下列命题为真命题的是p∨q，其余为假命题．故答案为：D点睛：（1）本题主要考查了向量夹角与数量积的关系、三角函数求值、简易逻辑的判定方法，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和分析推理能力与计算能力.(2) 若向量，则非零向量与非零向量的夹角为钝角或平角，因为当两个向量的夹角为平角时，，不能说非零向量与非零向量的夹角为钝角.15．已知平面向量,满足,,与的夹角为,若,则实数的值为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由，可得（+m）•=0，再利用数量积的运算和定义展开即可得出．详解: ∵||=3，||=2，与的夹角为120°，∴=c os120°==﹣3．∵（+mb）⊥，∴（+m）•==32﹣3m=0，解得m=3．故选：D．点睛：本题考查了数量积的运算和定义、向量垂直与数量积的关系，属于基础题．16．在直角坐标系中,已知三点,为坐标原点,若向量与在向量方向上的投影相等,且,则=( )A. 6B. -6C. -5D. 5【答案】D【解析】分析：由向量与在向量方向的投影相等，可得，，再利用,可得，两式联立可得结果.点睛：本题主要考查向量的投影及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量的模（平方后需求）.17．设向量足，，，则与的夹角为A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：首先利用向量的数量积的运算律，化简求得，利用向量夹角余弦公式，求得对应角的余弦值，求得结果.详解：向量满足，，可得，所以，可求得，所以，因为向量夹角的取值范围是，所以，故选D.点睛：该题考查的是有关向量的夹角的大小问题，在求解的过程中，需要先求出向量夹角的余弦值，通过余弦值来确定角的大小，利用题的条件，求得向量的数量积，之后应用公式求得结果.18．已知向量，则（）A. B. C. D.【答案】D点睛：点本题主要考查了向量的坐标表示及向量的数量积的运算和夹角的运算，其中熟记向量的运算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.19．外接圆的半径等于1，其圆心满足，则向量在方向上的投影等于（）A. B. C. D. 3【答案】C【解析】分析：由△ABC外接圆圆心O满足，可得点O在BC上．由于．可得△OAC是等边三角形．可得，进而得到向量在方向上的投影=．详解：△ABC外接圆半径等于1，其圆心O满足，∴点O在BC上，∴∠BAC=90°．∵∴△OAC是等边三角形．∴∠ACB=60°．∴=．∴向量在方向上的投影==．故答案为：C点睛：（1）本题主要考查三角形的外接圆的性质，考查向量的投影，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)在方向上的投影为20．已知平面向量，满足且，则的最大值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】分析：由满足可得，再由，两边同时乘以，可得，则=即可得出答案.详解:由题可得可得，故= ，将两边同时乘以，可得，故= =故点睛：考查向量的几何关系，本题关键在于要理解表示的单位向量，再借助函数的思维求最值即可，属于中档题.21．已知平面向量的夹角为，且，则（）A. B. C. D.【答案】A点睛：本题主要考查了向量的模的计算，其中解答中涉及到向量的数量积的运算，熟记向量的运算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．22．已知向量，，则等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析: 先根据向量夹角公式求解，即得结果.详解：因为，所以因此等于，选D.点睛：求平面向量夹角方法：一是夹角公式；二是坐标公式；三是几何方法，从图形判断角的大小.23．已知中，，，，为线段上任意一点，则的范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：建立平面直角坐标系，然后根据条件即可求出A， C点的坐标，表示，利用二次函数的图象与性质求值域即可.详解：以为坐标原点，为轴、为轴建系，则,，设,所以，故选：D.点睛：平面向量数量积的类型及求法(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式；二是坐标公式；三是利用数量积的几何意义.(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.24．设平面向量，，，则下列说法正确的是（）A. 是的充分不必要条件B. 与的夹角为C. D. 与的夹角为【答案】D【解析】分析：由平面向量，且，解得，此时，进而可判断选项，得到答案.详解：由题意，平面向量，且，所以，解得，此时所以是垂直的充要条件，所以选项A不正确；，所以C不正确；由，则，所以向量与的夹角为，则，所以，故选D.点睛：本题主要考查了向量的坐标运算、向量垂直的条件，以及向量的模和向量的夹角公式等知识点，其中熟记向量的基本概念和基本的运算公式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.25．在中，角，，所对的边分别为，，，且是和的等差中项，，，则周长的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】分析：由得B角是钝角，由等差中项定义得A为60°，再根据正弦定理把周长用三角函数表示后可求得范围．详解：∵是和的等差中项，∴，∴，又，则，从而，∴，∵，∴，所以的周长为，又，，，∴．故选B．点睛：本题考查解三角形的应用，解题时只要把三角形周长利用正弦定理用三角函数表示出来，结合三角函数的恒等变换可求得取值范围．解题易错的是向量的夹角是B角的外角，而不是B角，要特别注意向量夹角的定义．26．已知变量，满足条件则目标函数的最大值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：画出可行域，将目标函数转化为向量与的夹角的余弦值，结合可行域可得结果.详解：作出表示的可行域，如图变形目标函数，，其中为向量与的夹角，由图可知，时有最小值，在直线上时，有最大值，即，，目标函数的最大值为，故选C.点睛：本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二找、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移或旋转变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.27．已知向量与为单位向量，若也是单位向量，则向量与的夹角为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：把的长度为1用数量积表示，再结合向量的夹角公式可得.详解：由题意，∴，∴，故选A.点睛：本题考查平面向量数量积的定义，掌握相应的公式是解题基础.向量数量积的定义：；性质:，.28．已知向量，满足，，，则向量在方向上的投影为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：先求和的夹角，再求向量在方向上的投影.详解:因为，所以所以所以向量在方向上的投影=故答案为：A点睛：（1）本题主要考查向量的数量积和向量的投影，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力. (2)在方向上的投影=29．中，，，，是边上的一点（包括端点），则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：先利用三点共线和平面向量基本定表示数量积，再利用一次函数的性质进行求解.详解：设，则，,则，因为，所以，即的取值范围是.点睛：本题考查平面向量基本定理、平面向量的数量积等知识，意在考查学生的逻辑思维能力和基本计算能力. 30．等边的边长为1，是边的两个三等分点，则等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：先为基底，把用基底表示后再进行数量积的运算.详解：由已知，，故选A.点睛：本题考查平面向量的数量积运算，解题关键是选取基底，把其它向量都用基底表示，然后进行计算即可，因此也考查了平面向量基本定理，属于基础题.31．已知两个向量和的夹角为，，则向量在方向上的正射影的数量为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析: 根据向量数量积定义计算，结合向量投影的定义进行求解即可．详解:∵两个向量和的夹角为，，∴，∴向量在向量方向上的正射影为=故选：D点睛: 本题主要考查向量数量积的应用，利用向量投影的定义是解决本题的关键，属于基础题.32．已知向量、、为平面向量，，且使得与所成夹角为.则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：首先由坐标结合几何意义确定向量对应的轨迹，然后利用圆的性质整理计算即可求得最终结果. 详解：设向量与的夹角为，由题意可得：，则，如图所示，在平面直角坐标系中，，，不妨认为，，延长到，使得，则，点为平面直角坐标系中的点，，则，，则满足题意时，，结合为定点，且，由正弦定理：可得，则点C的轨迹为以为圆心，为半径的优弧上，当点三点共线，即点位于图中点的位置时，取得最大值，其最大值为.本题选择A选项.点睛：本题的核心是考查数量积的坐标运算和数形结合的数学思想.求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．33．向量，，满足：，，，则最大值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：先利用平面向量的数量积公式得到的夹角和的夹角，再利用圆的性质进行求解．详解：因为，，所以的夹角为，因为，所以的夹角为；作（如图1、图2所示），则，由图象，得的最大值为4．图1 图2点睛：解决本题的关键是利用平面向量的数量积定义判定的夹角和的夹角互补且为二倍关系，所以借助圆周角和圆心角的关系、圆内接四边形的性质进行判定，再利用圆的直径是最长的弦进行求解．34．已知向量，，，若满足，，则向量的坐标为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：根据向量平行可得，根据向量垂直可得，解方程组即可得结果.详解：，，，解得，故选D.点睛：利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用解答；（2）两向量垂直，利用解答.35．设，，.若，则实数的值等于（）A. B. C. D.【答案】C点睛：（1）本题主要考查平面向量的运算和向量垂直的坐标表示，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力. (2)设=,=，则||（斜乘相减等于零）.36．已知平面向量与的夹角为，若，，则（）A. 3B. 4C.D. 2【答案】A【解析】分析：根据题设条件，平方化简，得到关于的方程，即可求解结果.详解：由题意，且向量与的夹角为，由，则，整理得，解得，故选A.点睛：本题主要考查了向量的运算问题，其中熟记平面向量的数量积的运算公式，以及向量的模的计算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.37．已知向量，满足，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：先根据向量的模求向量，数量积，再根据向量模的性质求.详解：因为，所以因此选A.点睛：平面向量数量的模求法：（1）（2）.38．已知中，，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由题意，，可得点为的重心，所以，利用向量的运算，即可求解.详解：由题意，，可得点为的重心，所以，所以，所以，故选C.点睛：本题主要考查了向量的数量积的运算及向量的模的运算，其中根据平面向量的线性运算，得到点为的重心是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，试题属于基础题.39．已知向量，则的夹角为（）A. B. C. D.【答案】B点睛：本题主要考查了平面向量的夹角公式的应用，其中熟记向量的夹角公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，试题属于基础题.40．记M 的最大值和最小值分别为M max 和M min．若平面向量a，b，c 满足| a |＝| b |＝a•b＝c•(a＋2b－2c)＝2．则（）A. |a－c|max＝B. |a＋c|max＝C. |a－c|min＝√D. |a＋c|min＝【答案】A【解析】分析：由条件可设，，由向量数量积的坐标表示可得C在以圆心，半径为的圆上运动，根据向量模长的几何意义以及圆的性质，运用最大值为，计算可得所求．详解：根据题意，建立平面直角坐标系，不妨取，，则，设，由，得，即对应点在以圆心为，半径为的圆周上，且表示点A与点C的距离，则，故选A.点睛：此题主要考查平面向量的模、数量积的坐标表示及运算，以及坐标法、圆的方程的应用等有关方面的知识与技能，属于中高档题型，也是常考考点.在解决此类问题中，需要根据条件，建立合理的平面直角坐标系，将向量关系转化为点位置关系，通对坐标运算，将其结果翻译为向量结论，从而问题可得解.二、填空题41．在平面直角坐标系中，A为直线上在第一象限内的点，，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若，则点A的横坐标为________．【答案】3【解析】分析：先根据条件确定圆方程，再利用方程组解出交点坐标，最后根据平面向量的数量积求结果.详解：设，则由圆心为中点得易得，与联立解得点D的横坐标所以.所以，由得或，因为，所以点睛：以向量为载体求相关变量的取值或范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程或解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.42．设向量a=（1,0），b=（−1,m）,若，则m=_________.【答案】【解析】分析：根据坐标表示出，再根据，得坐标关系，解方程即可.详解：，，由得：，，即.点睛：此题考查向量的运算，在解决向量基础题时，常常用到以下：设，则①；②.43．已知向量，，，若向量与共线，则向量在向量方向上的投影为__________．【答案】.【解析】试题分析：根据向量共线求出λ，计算，代入投影公式即可．详解：向量=（1，λ），=（3，1），向量2﹣=（﹣1，2λ﹣1），∵向量2﹣与=（1，2）共线，∴2λ﹣1=﹣2，即λ=．∴向量=（1，），∴向量在向量方向上的投影为||•cos＜，＞=故答案为：0．点睛：这个题目考查的是向量基本定理的应用；向量的点积运算。