2015-2016年北京市民大附中高一上学期数学期中试卷和解析
北京师大附中2014-2015学年上学期高一年级期中考试数学试卷 后有答案
北京师大附中2014-2015学年上学期高一年级期中考试数学试卷说明：本试卷分第Ⅰ卷（模块卷，100分）和第Ⅱ卷（综合卷，50分）两部分，共150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（模块卷）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合{}4,3,2,1,0=M ，{}2,0,2-=N ，则（ ）A. M N ⊆B. M N M =C. {}2=N MD. {}2,0=N M 2. 下列函数中与x x f =)(表示同一函数的是（ ）A. 2)()(x x f = B. 2)(x x f = C. 33)(x x f = D. xx x f 2)(=3. 下列函数在),0(+∞上是增函数的是（ ）A. )2ln(-=x yB. x y -=C. 12+=x yD. 32-=x y4. 设xa x f a =>)(,1，则函数)(x f 的图象大致是（ ）5. 设21lg,7.0,6.02121===c b a ，则c b a ,,之间的关系是（ ） A. b a c << B. a a b << C. a b c << D. c b a <<6. 设全集R U =，{}12)2(<=-x x x A ，{})1ln(x y x B -==，则下图中阴影部分表示的集合为（ ）A. {}1≥x xB. {}21<≤x xC. {}10≤<x xD. {}1≤x x7. 函数xx x f 2ln )(-=的零点所在的大致区间是（ ） A. ()2,1 B. ()+∞,e C. ()3,2 D. ()4,31,21和⎪⎭⎫ ⎝⎛8. 已知函数m x x f -=2)(定义在区间],3[2m m m ---上的奇函数，则下面结果成立的是（ ）A. )0()(f m f <B. )0()(f m f =C. )0()(f m f >D. )0()(f m f 与大小不确定二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
北京市高级中学期中统练高一年级数学试卷附答案[编辑4页]
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北京市高级中学期中统练 高一年级数学试卷附答案（时间：100 分钟 满分：100 分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.1．设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=A B ，则集合)(B A U 中的元素共有 （ ）A ．3个 B.4个 C.5个 D.6个2.若)1lg(2)(x x f -=， 则()f x 的定义域是（ ）A ．),1(+∞B ．(0,1)(1,)+∞C ．(,1)(1,0)-∞--D ．(,0)(0,1)-∞3.若 1.52111((),log 222a b c ===，则 （ ）A ．b a c >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．a c b >>4.已知函数)1(+=x f y 定义域是]32[，-，则)12(-=x f y 的定义域是 （ ） A. ]41[，- B. ]250[， C. ]55[，- D.]73[，-5.函数()1xf x =-e 的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．6.函数2()2xf x a x=--的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是 A ．(1,3) B ．(0,3) C ．(1,2) D ．(0,2)7.已知函数()2f x x x x =-，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 是偶函数，递增区间是),0(+∞B ．()f x 是偶函数，递减区间是)1,(-∞C ．()f x 是奇函数，递增区间是)0,(-∞D ．()f x 是奇函数，递减区间是)1,1(-8．设12x x <，定义区间12[,]x x 的长度为21x x -. 已知函数||2x y =的定义域为[, ]a b ，值域为[1, 2]，则区间[, ]a b 的长度的最大值与最小值的差为 A ．3 B ．2 C ．1 D ．0.59.对R b a ∈,,记{}⎩⎨⎧≥=b a b ba ab a ＜,,,max ，函数{}2,1max )(-+=x x x f )(R x ∈的最小值是 （ ）A.0B.12C. 32 D.310.对于函数(lg 21f x x =-+），有如下三个命题：①)2(+x f 是偶函数；②)(x f 在区间)2,(-∞上是减函数，在区间()∞+,2上是增函数；③)()2(x f x f -+在区间()∞+,2上是增函数．其中正确命题的序号是A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分.11.若幂函数)(x f y =的图象经过点（3,27），则=)(x f .12.函数12,0,(),20,x x c f x x x x ⎧≤≤⎪=⎨+-≤<⎪⎩ 其中0c >，那么()f x 的零点是_ ___．13.函数212log (23)y x x =-++的单调增区间是 ,值域为14.函数()log (1)a f x x =+（0a >且1≠a ）在1[,1]2上的最小值是1，则a = .15.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<<≥+⎪⎭⎫ ⎝⎛=.40,lo g ,4,161521)(2x x x x f x 若方程0)(=-k x f 有两个不等实根，则实数k 的取值范围是 ．16.一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x （x *∈N ）件.当20x ≤时，年销售总收入为（233x x -）万元；当20x >时，年销售总收入为260万元.记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y 万元，则y （万元）与x （件）的函数关系式为 ，该工厂的年产量为 件时，所得年利润最大.（年利润=年销售总收入-年总投资）北京市高级中学期中统练高一年级数学试卷参考答案（时间：100 分钟 满分：100 分）1．A 2．D 3．C 4．B 5．A 6．B 7．D 8．C 9．C 10．A 11．3x 12．1-和0 13． ()3,1，[)+∞-,2 14.23 15.⎥⎦⎤ ⎝⎛1,1615 16．答案：2**32100,020,,160,20,,N N x x x x y x x x ⎧-+-<≤∈=⎨->∈⎩ 16 17.[]9,6∈a18. 证明：（Ⅰ）11(1)(1)1111x xf x f x x x +-++-=++--- …………………2分112x x x x+-=-=. …………………4分（Ⅱ）设12x x ，是(1)+∞，上的两个任意实数，且12x x <，则210x x x ∆=->， 212121()()11x xy f x f x x x ∆=-=--- …………………6分2112121212(1)(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x x ----==----. …………………8分 因为121x x <<， 所以110x ->，210x ->，120x x -<，所以0y ∆<， …………………9分所以()f x 在(0)+∞，上是减函数. …………………10分 19.解：（Ⅰ）由已知2log ()log 2a a x x ->，因为01a <<，所以202x x <-<， …………………2分解22x x -<，得12x -<<.解20x x ->，得1x >或0x <.所以x 的取值范围是{10x x -<<或12}x <<. …………………4分 （Ⅱ）()g x 为()f x 的反函数，所以()x g x a =. …………………5分由已知10x a ka-+≥在区间[2,)+∞上恒成立，因为10x a ->，所以21()x k a-≥-在区间[2,)+∞上恒成立， …6分即k 大于等于21()x a--的最大值. …………………7分因为01a <<，所以11a>，又2[0,)x -∈+∞，所以21()x a-的最小值为1，21()x a --的最大值为1-， ………………9分所以1k ≥-，所以k 的最小值为1-. …………………10分20.解：（Ⅰ）2243,1,()1, 1.x x x f x x x ⎧-+-≥⎪=⎨-<⎪⎩ …………………2分（Ⅱ）当1k =-时，()F x 为奇函数. …………………4分（Ⅲ）由已知2222,,(),.x x a a x a h x x x a a x a ⎧-+-≥⎪=⎨+--<⎪⎩ 并且函数22s x x a a =-+-与22t x x a a =+--在x a =处的值相同.…… 5分当12a ≥时，()h x 在区间1(,)2-∞-上单调递减，在区间1(,)2a -上单调递增，在区间(,)a +∞上单调递增.所以，()h x 的最小值为2221111()()()2224f a a a a -=-+---=---. ………6分 当1122a -<<时，()h x 在区间1(,)2-∞-上单调递减，在区间1(,)2a -上单调递增，在区间1(,)2a 上单调递减，在区间1(,)2+∞上单调递增.所以()h x 最小值为1()2f -与1()2f 中较小的一个，即214a a ---与214a a -+-中较小的一个.当102a -<<时，()h x 的最小值为214a a -+-. …………………7分当102a ≤<时，()h x 的最小值为214a a ---. ………………8分当12a ≤-时，在区间(,)a -∞上单调递减，在区间1(,)2a 上单调递减，在区间1(,)2+∞上单调递增.所以()h x 的最小值为2221111()()()2224f a a a a =-+-=-+-. ……9分综上，当0a ≤时，()h x 的最小值为214a a -+-，当0a >时，()h x 的最小值为214a a ---. ………………10分。
2015北京重点中学高一(上)期中数 学
2015北京重点中学高一（上）期中数学一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1．（4分）已知全集U=R，集合P={x|x2≤1}，那么∁U P=（）A．（﹣∞，﹣1] B．[1，+∞）C．[﹣1，1] D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）2．（4分）下列函数是偶函数的是（）A．y=x B．y=2x2﹣3 C．y=D．y=x2，x∈[0，1]3．（4分）下列函数f（x）中，满足“对任意x1、x2∈（0，+∞），当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2）的是（）A．f（x）=B．f（x）=（x﹣1）2C．f（x）=e x D．f（x）=ln（x+1）4．（4分）若函数f（x）=log a（x﹣1）（a＞0，a≠1）的图象恒过定点，则定点的坐标为（）A．（1，0）B．（2，0）C．（1，1）D．（2，1）5．（4分）已知函数，则f[f（﹣1）]=（）A．﹣2 B．2 C．1 D．﹣16．（4分）设α∈，则使函数y=xα的定义域为R且为奇函数的所有α的值为（）A．﹣1，1，3 B．，1 C．﹣1，3 D．1，37．（4分）函数f（x）=πx+log2x的零点所在区间为（）A．[0，] B．[，] C．[，] D．[，1]8．（4分）设a=0.32，b=20.3，c=log0.34，则（）A．b＜a＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．c＜a＜b9．（4分）已知函数在上是减函数，在上是增函数，若函数在[m，+∞）（m＞0）上的最小值为10，则m的取值范围是（）A．（0，5] B．（0，5）C．[5，+∞）D．（5，+∞）10．（4分）若直角坐标平面内的两点P、Q满足条件：①P、Q都在函数y=f（x）的图象上；②P、Q关于原点对称，则称点对[P，Q]是函数y=f（x）的一对“友好点对”（点对[P，Q]与[Q，P]看作同一对“友好点对”），已知函数f（x）=，则此函数的“友好点对”有（）A．0对B．1对C．2对D．3对二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上）11．（4分）= ．12．（4分）幂函数f（x）的图象过点（3，），则f（x）的解析式是．13．（4分）用二分法求方程f（x）=0在区间（0，2）的近似根，f（1）=﹣2，f（1.5）=0.625，f（1.25）=﹣0.984，f（1.375）=﹣0.260，下一个求f（m），则m= ．14．（4分）我国2000年底的人口总数为M，要实现到2010年底我国人口总数不超过N（其中M＜N），则人口的年平均自然增长率p的最大值是．15．（4分）已知函数f（x）=是R上的增函数，则a的取值范围是．16．（4分）已知定义域为R的偶函数f（x）在（﹣∞，0]上是减函数，且f（）=2，则不等式f（2x）＞2的解集为．三、解答题：本大题有4小题，共36分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（8分）已知全集U={x|x＞0}，集合A={x|3≤x＜7}，B={x|2＜x＜10}，C={x|5﹣a＜x＜a}．（1）求A∪B，（∁U A）∩B；（2）若C⊆（A∪B），求a的取值范围．18．（8分）已知函数f（x）=log a（x+1），g（x）=log a（4﹣2x）（a＞0，且a≠1）．（1）求函数f（x）﹣g（x）的定义域；（2）求使函数f（x）﹣g（x）的值为正数的x的取值范围．19．（10分）已知函数，且f（4）=3．（1）判断f（x）的奇偶性并说明理由；（2）判断f（x）在区间（0，+∞）上的单调性，并证明你的结论；（3）若对任意实数x1，x2∈[1，3]，有|f（x1）﹣f（x2）|≤t成立，求t的最小值．20．（10分）某商品近一个月内（30天）预计日销量y=f（t）（件）与时间t（天）的关系如图1所示，单价y=g （t）（万元/件）与时间t（天）的函数关系如图2所示，（t为整数）（1）试写出f（t）与g（t）的解析式；（2）求此商品日销售额的最大值？数学试题答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1．【解答】由集合P中的不等式x2≤1，解得﹣1≤x≤1，所以集合P=[﹣1，1]，由全集U=R，得到C U P=（﹣∞，1）∪（1，+∞）．故选D2．【解答】对于选项C、D函数的定义域关于原点不对称，是非奇非偶的函数；对于选项A，是奇函数；对于选项B定义域为R，并且f（x）=f（x）是偶函数．故选B．3．【解答】∵对任意x1、x2∈（0，+∞），当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），∴函数在（0，+∞）上是减函数；A、由反比例函数的性质知，此函数函数在（0，+∞）上是减函数，故A正确；B、由于f（x）=（x﹣1）2，由二次函数的性质知，在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数，故B不对；C、由于e＞1，则由指数函数的单调性知，在（0，+∞）上是增函数，故C不对；D、根据对数的整数大于零得，函数的定义域为（﹣1，+∞），由于e＞1，则由对数函数的单调性知，在（0，+∞）上是增函数，故D不对；故选A．4．【解答】∵log a1=0，∴当x﹣1=1，即x=2时，y=0，则函数y=log a（x﹣1）的图象恒过定点（2，0）．故选：B．5．【解答】∵﹣1＜0，∴f（﹣1）=2﹣1=，且＞0，∴f[f（﹣1）]=f（）=log2=﹣1故选D．6．【解答】当a=﹣1时，函数的定义域为{x|x≠0}，不满足定义域为R；当a=1时，函数y=xα的定义域为R且为奇函数，满足要求；当a=函数的定义域为{x|x≥0}，不满足定义域为R；当a=3时，函数y=xα的定义域为R且为奇函数，满足要求；故选：D7．【解答】∵f（）=＜0，f（）=＜0，f（）=＞0，f（1）=π，∴只有f（）•f（）＜0，∴函数的零点在区间[，]上．故选C．8．【解答】∵0＜0.32＜0.30=1，20.3＞20=1，log0.34＜log0.31=0，∴c＜a＜b．故选D．9．【解答】由函数在上是减函数，在上是增函数，知在（0，5]上是减函数，在[5，+∞）上是增函数，（1）当m≥5时，在[m，+∞）上是增函数，则的最小值为f（m）=m+=10，解得m=5；（2）当0＜m＜5时，在（m，5]上是减函数，在[5，+∞）上是增函数，则的最小值为f（5）=5+=10，符合题意；综上，m的取值范围是（0，5]，故选A．10．【解答】根据题意：当x＞0时，﹣x＜0，则f（﹣x）=﹣（﹣x）2﹣4（﹣x）=﹣x2+4x，可知，若函数为奇函数，可有f（x）=x2﹣4x，则函数y=﹣x2﹣4x（x≤0）的图象关于原点对称的函数是y=x2﹣4x由题意知，作出函数y=x2﹣4x（x＞0）的图象，看它与函数f（x）=log2x（x＞0）交点个数即可得到友好点对的个数．如图，观察图象可得：它们的交点个数是：2．即f（x）的“友好点对”有：2个．故答案选 C．二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上）11．【解答】=+1+=+1+=4，故答案为：4．12．【解答】由题意设f（x）=x a，∵幂函数f（x）的图象过点（3，），∴f（3）=3a=∴a=∴f（x）=故答案为：f（x）=13．【解答】f（1）=﹣2，f（1.5）=0.625，f（1.25）=﹣0.984，f（1.375）=﹣0.260，∴方程f（x）=0的根应在区间（1.375，1.5）上，故下一个求f（m）时，m就为区间（1.375，1.5）的中点，即m==1.4375故答案为：1.437514．【解答】设2000年底的人口总数为a1=M，2010年底我国人口总数的最大值a10=N，则由题意可知，从2000年底到2010年底我国每一年底的人口总数构成等比数列，且公比q=1+p，所以M（1+p）10≤N，即．故答案为．15．【解答】由于函数f（x）=是R上的增函数，∴1﹣2a＞1，且a＜0，求得a＜0，故答案为：（﹣∞，0）．16．【解答】由于定义域为R的偶函数f（x）在（﹣∞，0]上是减函数，则f（x）在[0，+∞）上是增函数．由于f（）=2，则f（2x）＞2，即为f（2x）＞f（），则2x＞，解得，x＞﹣1．解集为（﹣1，+∞）．故答案为：（﹣1，+∞）．三、解答题：本大题有4小题，共36分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．【解答】（1）∵A={x|3≤x＜7}，B={x|2＜x＜10}，∴A∪B={x|2＜x＜10}；∵全集U={x|x＞0}，∴∁U A={x|0＜x＜3或x≥7}，则（∁U A）∩B={x|2＜x＜3或7≤x＜10}；（2）由C⊆（A∪B），分两种情况考虑：①若C=∅，则5﹣a≥a，解得：a≤；②若C≠∅，则2≤5﹣a＜a，解得：＜a≤3，综上所述，a≤3．18．【解答】（1）由题意可知，f（x）﹣g（x）=log a（x+1）﹣log a（4﹣2x），由，解得，∴﹣1＜x＜2，∴函数f（x）﹣g（x）的定义域是（﹣1，2）．（2）由f（x）﹣g（x）＞0，得f（x）＞g（x），即log a（x+1）＞log a（4﹣2x），①当a＞1时，由①可得x+1＞4﹣2x，解得x＞1，又﹣1＜x＜2，∴1＜x＜2；当0＜a＜1时，由①可得x+1＜4﹣2x，解得x＜1，又﹣1＜x＜2，∴﹣1＜x＜1．综上所述：当a＞1时，x的取值范围是（1，2）；当0＜a＜1时，x的取值范围是（﹣1，1）．19．【解答】（1）∵f（4）=4n﹣1=3即4n=4，∴n=1，∴f（x）=x﹣，∵函数定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）关于原点对称，且f（﹣x）=﹣x+=﹣（x﹣）=﹣f（x），∴f（x）是奇函数；（2）任取0＜x1＜x2，则f（x2）﹣f（x1）=x2﹣x1﹣+=x2﹣x1+（x2﹣x1）=（x2﹣x1）（1+），∵0＜x1＜x2，∴x2﹣x1＞0，x1•x2＞0，∴（x2﹣x1）（1+）＞0，∴f（x2）＞f（x1），∴f（x）在区间（0，+∞）上单调递增；（3）依题意只需t≥|f（x1）﹣f（x2）|max，又|f（x1）﹣f（x2）|max=f（x）max﹣f（x）min=f（3）﹣f（1）=（3﹣）﹣（1﹣4）=，∴t≥，∴t min=．20．【解答】（1）f（t）是一次函数，过两个点（30，5），（0，35）∴f（t）=35﹣t （0≤t≤30，t∈Z），…（2分），g（t）是分段函数，当0≤t≤20时，是一次函数，过两个点（20，8），（0，3），此时g（t）=当20＜t≤30时，是一次函数，过两个点（20，8），（30，2），此时g（t）=∴g（t）=（6分）（2）设日销售额L（t）是天数t的函数，则有L（t）=f（t）•g（t）=…（9分）当0≤t≤20时，L（t）=，当t=11或12时，L（t）最大值为138万元．当20＜t≤30时，L（t）=在（20，30]是减函数，故L（t）＜L（20）=120万元，∵138＞120∴0≤t≤30时，当t=11或12时，L（t）最大值为138万元．…（13分）答：第11天与第12天的日销售额最大，最大值为138万元．…（14分）。
北京市中国人民大学附属中学2015-2016学年高一上学期第一次月考数学试卷无答案
北京市中国人民大学附属中学2015-2016学年高一上学期第一次月考数学试卷无答案2015-2016中国人民大学附属中学高一上学期第一次月考数 学 第I 卷一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.【1】集合{03},{12}A x R x B x R x =∈<<=∈-≤≤，则A B =U （ ） A.{13}x x -≤≤ B.{02}x x ≤≤C.{13}x x -≤<D.{02}x x <≤【2】方程组71x y x y -=⎧⎨+=⎩的解集是（ ） A.(4,3) B.{4,3}- C.{(4,3)} D.{(4,3)}-【3】下列各组函数表示同一函数的是（ ）A.21()1x f x x -=-与()1g x x =+B.()f x x =与2()()g x x =C.2()f x x =()g x x =D.2()21f x xx =-+与2()(1)g t t =-【4】设:f A B→是A到B的一个映射，其中{(,),}A B x y x y R ==∈，:(,)(2,)f x y x x y →-，则B 中元素(2,1)-的原象是（ ） A.(1,2)B.(1,2)-C.(4,3)D.(4,3)-【5】函数412()x xf x ++-= ）A.1[4,1)(1,]2---U B.[4,1)(1,1)---U C.1[,1)(1,)2+∞U D.[4,1)(1,)-+∞U 【6】已知函数2(21)445f x x x -=-+，则函数()f x 的解析式为（ ）A.2()2f x x=- B.2()6f x x=- C.2()225f x xx =+- D .2()5f x x=-【7】已知集合2{,},{2,1,1,2}A y y x x R B ==∈=--，则下面结论中正确的是（ ） A.(0,)A B =+∞U B.()(,0]RC A B =-∞UC.(){2,1}RC A B =--ID.()[0,)RA CB =+∞I【8】设函数()y f x =的定义域为R ，对于给定的正数K，定义函数(),()(),()Kf x f x Kfx K f x K≤⎧=⎨>⎩，取函数2()2f x xx=-+，若对于任意的(,)x ∈-∞+∞，恒有()()Kf x f x =，则A.K 的最大值为2B.K 的最小值为2C.K的最大值为1 D.K 的最小值为1第II 卷二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）.【9】全集{1,2,3,4,5}U =，若{1,2}A =，{1,4}B =，则()______________U C A B =U【10】函数2()1f x x =-，则函数1()(2)f f 的值为______________ 【11】函数2()23,(0,3)f x xx x =--∈的值域为______________【12】已知{24},{}A x x B x x a =-≤<=>，若A B φ=I ，且B A Ù，则实数a 的取值集合为______________【13】已知1,(0)()1,(0)x f x x ≥⎧=⎨-<⎩，则不等式(2)(2)5x x f x ++⋅+≤的解集为______________【14】如图（1）是反映某条公共汽车线路收支差额y（即运营所得票价收入与付出成本的差）与乘客量x之间关系的图象，由于目前该条公交线路亏损，公司有关人员提出了两种调整的建议，如图（2）、（3）所示（1）（2）（3）给出下列说法：○1图（2）的建议是：提高成本，并提高票价○2图（2）的建议是：降低成本，并保持票价不变；○3图（3）的建议是：提高票价，并保持成本不变○4图（3）的建议是：提高票价，并降低成本其中所有正确的说法为_______________三、解答题（本大题共2小题，共30分），解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．【15】（本小题满分15分）已知函数211,[1,)21(),(0,1)1,(,0]x x f x x xx x ⎧-∈+∞⎪⎪⎪=∈⎨⎪⎪--∈-∞⎪⎩（1）求3[()]2f f 的值 （2）请作出此函数的图像（3）若1()2f x =-，请求出此时自变量x 的值【16】（本小题满分15分）已知222=-+==-+-=，若A B A=A x x xB x x ax a a{320},{20}U，求实数a的取值集合三、附加题（本大题20分）【17】已知集合12{,,,}(2)kA a a a k =≥L ，其中(1,2,,)ia Z i k ∈=L ，由A 中的元素构成两个相应的集合： {(,),,},{(,),,}S a b a A b A a b A T a b a A b A a b A =∈∈+∈=∈∈-∈其中(,)a b 为有序数对，集合S 和T 中的元素个数分别为m 和n ，若对于任意的a A ∈，总有a A -∉，则称集合A具有性质P（1）检验集合{0,1,2,3}与{1,2,3}-是否具有性质P ，并对其中具有性质P 的集合，写出相应的集合S 和T （2）对任何具有性质P 的集合A ,证明：(1)2k k n -≤ （3）判断m 和n 的大小关系，并证明你的结论。
2015届北京师范大学附属中学高三上学期期中考试数学(理)试卷Word版含答案(已解析)
2015届北师大附中高三上期中考试理数试卷一、选择题（10小题，每小题5分，共50分．请将答案填入第Ⅱ卷选择题的答案表中．） 1、若集合{}x y x A 2==，集合{}x y x B ==,则=⋂B A （ ）A ．()0,+∞B ．()+∞,1 C.[)+∞,0 D ．()+∞∞-, 【答案】C【解析】因为{}{{}2,0xA x y RB x y x x ======≥所以{}{}00A B R x x x x =≥=≥ ，故答案为：C【考点】集合的运算 【难度】 12、下列有关命题的说法中错误的是 （ ）A ．对于命题P ：∃R x ∈，使得2x 01<++x ，则:,p x R ⌝∀∈均有2x 01≥++xB ．“1=x ”是“2x 023=+-x ”的充分不必要条件C ．命题“若“2x 023=+-x ”，则1=x ”的逆否命题为：“若1≠x ，则2x 023≠+-x ”D ．若p q ∧为假命题，则q p ,均为假命题【答案】D 【解析】A 选项：对于命题P ：∃R x ∈，使得2x 01<++x ， 则:,p x R ⌝∀∈均有2x 01≥++x 故A 为真命题；B 选项：“1=x ”是“2x 023=+-x ”的充分不必要条件，故B 为真命题；C 选项：命题“若“2x 023=+-x ”，则1=x ”的逆否命题为：“若1≠x ，则2x 023≠+-x ”故C 为真命题；D 选项：若p q ∧为假命题，则q p ,存在至少一个假命题，但q p ,不一定均为假命题，故D 为假命题； 故答案为：D【考点】简单的逻辑联结词;全称量词与存在性量词;充分条件与必要条件 【难度】23、曲线31y x =+在点(1,0)-处的切线方程为（ ）A ．330x y ++=B ．330x y -+=C ．30x y -=D ．330x y --= 【答案】B【解析】2'33,1x y x y =∴+= ，3|1'=∴=x y ，∴曲线31y x =+在点(1,0)-处的切线的斜率3=k ，∴切线方程为330x y -+=． 故答案为：B【考点】导数的概念和几何意义 【难度】 1 4、若0sin 2cos tt xdx =⎰，其中t ∈（0，π），则t=( ) A.3π B.2π C.23πD.π【答案】C 【解析】00sin 2cos sin |sin ttt xdx x t ==-=-⎰ 且t ∈（0，π）， 所以sin 2sin t t ∴=-2cos 1t ∴=- 1c o s2t t ∴=-∴=23π. 故答案为：C【考点】积分 【难度】 15、已知6,3,12a b a b ==⋅=-，则向量a 在b 方向上的投影为（ ）A ．4-B ．4C ．2-D ．2 【答案】A【解析】向量a 在b 方向上的投影为12cos 43a b a bθ⋅-===-，故答案为：A【考点】数量积的定义 【难度】 16、设,x y ∈R ，向量(,1),(1,),(2,4)===-a xb yc 且//,⊥，则=a b + ( )【答案】C【解析】()21402a c x x ⊥⇒+⨯-=⇒= ;()//14202b c y y ⇒⨯--=⇒=-.则()()()2,1,1,23,1a b a b ==-⇒+=-,所以a b +== 故答案为：C【考点】平面向量的的坐标运算 【难度】 17、如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，OP ＝x OA ＋y OB ，且BP ＝2PA，则( )A 、x ＝23，y ＝13B 、x ＝13，y ＝23C 、x ＝14，y ＝34D 、x ＝34，y ＝14【答案】A【解析】由题可知OP ＝OB ＋BP ，又BP ＝2PA ，所以OP ＝OB ＋23BA ＝OB ＋23 (OA －OB )＝23OA＋13OB ，所以x ＝23，y ＝13，故答案为：A【考点】平面向量的线性运算 【难度】 18、函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,||2A πϕ><）的图象如图所示，为了得到x x g 2sin )(=的图像，则只要将()f x 的图像（ ）A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移12π个单位长度C ．向左平移6π个单位长度 D ．向左平移12π个单位长度【答案】A【解析】由图可知，πππ=⎪⎭⎫⎝⎛-==31274,1T A ，故22==T πω， 由于⎪⎭⎫⎝⎛0,3π为五点作图的第三点，πϕπ=+⨯∴32，解得3πϕ=，所以()⎪⎭⎫⎝⎛+=32sin πx x f ， 将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度 得()x g x x y ==⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2sin 362sin ππ， 故答案为：A【考点】三角函数图像变换【难度】 29、如图，某海上缉私小分队驾驶缉私艇以40 km/h 的速度由A 处出发，沿北偏东60°方向进行海面巡逻，当航行半小时到达B 处时，发现北偏西45°方向有一艘船C ，若船C 位于A 的北偏东30°方向上，则缉私艇所在的B 处与船C 的距离是( )kmA 、、C 、、【答案】C【解析】由题意知：∠BAC ＝60°－30°＝30°， ∠ABC ＝30°＋45°＝75°，∠ACB ＝180°－75°－30°＝75°， ∴AC ＝AB ＝40×12＝20(km)．由余弦定理， 得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC·AB·cos∠BAC＝202＋202－2×20×20×cos30°＝800－400(2，∴BC＝1)＝． 故答案为：C【考点】解斜三角形 【难度】 210、若函数()f x 满足1()1(1)f x f x +=+，当x ∈[0，1]时，()f x x =，若在区间(-1，1]上， ()()2g x f x mx m =--有两个零点，则实数m 的取值范围是( ) A 、0<m≤13 B 、0<m<13 C 、13<m≤l D、13<m<1 【答案】A【解析】()()2g x f x mx m =--有两个零点， 即曲线(),2y f x y mx m ==+有两个交点. 令(1,0)x ∈-，则1(0,1)x +∈，所以11(1)1,()1()11f x x f x f x x +==+=-++.在同一坐标系中，画出(),2y f x y mx m ==+的图象（如图所示）：直线2y mx m =+过定点(2,0)-， 所以，m 满足1(1)0,1(2)m --<≤--即10,3m <≤故答案为：A【考点】零点与方程 【难度】 3二、填空题（每小题5分，共25分） 11、若21cos sin =+αα,则α2sin 的值是 . 【答案】34-【解析】由21cos sin =+αα得：()2113sin cos 12sin cos sin 2444ααααα+=⇒+=⇒=- 故答案为：34-【考点】恒等变换综合 【难度】 112、若扇形的周长是8cm ，面积4cm 2，则扇形的圆心角为 rad. 【答案】2【解析】设扇形的圆心角为α，半径为R ,则⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧==+22421822R R R R ααα 故答案为：2【考点】任意角和弧度制 【难度】 1【考点】三角函数的的图像与性质 【难度】 214、已知函数)(x f 满足0)()6(=++x f x f ，函数)1(-=x f y 关于点)0,1(对称，4)2(=f ，则=)2014(f _________. 【答案】4-【解析】由于()()6+-=x f x f ，()()[]()()x f x f x f x f =+-=++=+∴66612，故函数的周期为12，把函数()x f y =的图象向右平移1个单位，得()1-=x f y ， 因此()x f y =的图象关于()0,0对称，为奇函数，()()()()()()42212101010121672014-=-=-=-==+⨯=∴f f f f f f ，故答案为：4- 【考点】函数综合 【难度】 2 ()y f x =]b D ⊆，的取值【答案】(1,]2--【解析】若函数(f x k 为闭函数，则存在区间[,]a b ， 在区间[,]a b 上，函数()f x 的值域为[,]a b ，即a k b k⎧=⎪⎨=⎪⎩，∴,a b是方程x k =的两个实数根， 即,a b S 股方程221(22)10(,)2x k x k x x k -++-=≥≥的两个不相等的实数根，当12k ≤时，222[(22)]4(1)0111()(22)10242222k k f k k k k ⎧⎪∆=-+-->⎪⎪=+++-≥⎨⎪+⎪>⎪⎩，解得112k -<≤，当12k >时，2222[(22)]4(1)0()(22)10222k k f k k k k k k k ⎧⎪∆=-+-->⎪=+++->⎨⎪+⎪>⎩，无解。
北京市人民大学附属中学2015-2016学年高一上学期期中考试数学试卷【pdf版含解析】
写出判断结果）； （Ⅱ）判断函数 g ( x) ln x 1 是否为 H 函数，并证明你的结论；
x （Ⅲ）证明：对于任意实数 a ， b ，函数 f ( x) b a 都不是 H 函数．
y
三、解答题（本大题共 3 小题，共 30 分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分 10 分） 已知全集 U R ，集合 A x ( x 2)( x 3) ≤ 0 ．集合 B x log 2 (5 x) ≤ 2 ， （Ⅰ）求 A ， B ； （Ⅱ）求 (ðU A)∩B ．
1 f x ，观察函数图象可直接得到解集． 2
9． 4
6 点， 16 a 2 ， a 4 ． 图像经过 2 ， 10． 0 ，
11． c b a 12． 1
5 5 1 lg 2lg 2 lg 4 2 1 ． 2 2 2
）
1 1 20．函数 f1 ( x) log 2 x ， f 2 ( x) log 1 x 零点分别为 x1 ， x2 ，则（ 2 2 2
x
x
）
A． 1 x1 x2 2
B． x1 x2 1
C． 0 x1 x2 1
D． x1 x2 ≥ 2
个整数”都是 C 为好子集的充要条件， ∴ z 2 ；最后考虑 y ： 若 y ≥ 2 ，存在含 e 和 y 的三元子集或含有 y 的四元子集为好子集，故 y 1 ． 15． ⑴ A {x 2 ≤ x ≤ 3} ， B {x x ≥1} ⑵ (ðU A)∩B [3, ) ． 16． ⑴ {x x 0}
2015年北京市中央民族大学附中自主招生考试数学试卷和解析答案
2015年北京市中央民族大学附中自主招生考试数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意地1．（3分）已知某公司去年地营业额约为四千零七十万元，则此营业额可表示为（ ）A ．4.07×105元B ．4.07×106元C ．4.07×107元D ．4.07×108元 2．（3分）下列计算正确地是（ ） A ．a 3•a 2=a 6 B ．（a 3）2=a 6C ．a 2+a 4=2a 2D ．（3a ）2=a 63．（3分）已知整数m 满足m ＜＜m +1，则m 地值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．74．（3分）若一元二次方程式x 2﹣2x ﹣3599=0地两根为a 、b ，且a ＞b ，则2a ﹣b 地值为（ ） A ．﹣57B ．63C ．179D ．1815．（3分）如图，把△ABC 沿EF 对折，叠合后地图形如图所示．若∠A=60°，∠1=95°，则∠2地度数为（ ）A ．24°B ．25°C ．30°D ．35°6．（3分）已知一次函数y=kx +b 中x 取不同值时，y 对应地值列表如下：则不等式kx +b ＞0（其中k ，b ，m ，n 为常数）地解集为（ ） A ．x ＞1B ．x ＞2C ．x ＜1D ．无法确定7．（3分）方程x 2+3x ﹣1=0地根可视为函数y=x +3地图象与函数地图象交点地横坐标，则方程x 3+2x ﹣1=0地实根x 0所在地范围是（ ）A．B．C．D．8．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB地垂直平分线交对角线AC 于点F，垂足为E，且AF=2，则点F到边DC地距离为（）A．1 B．C．2 D．9．（3分）如图，边长12地正方形ABCD中，有一个小正方形EFGH，其中E、F、G分别在AB、BC、FD上．若BF=3，则小正方形地边长为何？（）A． B．C．5 D．610．（3分）如图，A、B、C是反比例函数y=（k＜0）图象上三点，作直线l，使点A、B、C到直线l地距离之比为3：1：1，则满足条件地直线l共有（）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．（3分）若==（x，y，z均不为0），=1，则m地值为．12．（3分）为了估计鱼塘中鱼地条数，养鱼者首先从鱼塘中打捞100条鱼做上标记，然后放归鱼塘，经过一段时间，等有标记地鱼完全混合于鱼群中，再打捞200条鱼，发现其中带标记地鱼有5条，则鱼塘中估计有条鱼．13．（3分）如图，在扇形OAB中，∠AOB=105°，半径OA=18，将扇形OAB沿过点B地直线折叠，点O恰好落在上地点D处，折痕交OA于点C，则折痕BC 地长为．14．（3分）小明原有63元，如图记录了他今天所有支出，其中饮料支出地金额被涂黑．若每瓶饮料地售价为5元，则小明可能剩下地钱数为元．15．（3分）如图，AB为⊙O地直径，E、F为AB地三等分点，M、N为上两点，且∠MEB=∠NFB=60°，EM+FN=，则直径AB地长为．16．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，当A1（0，3）、A2（﹣2，0）、A3（2，0）为旋转中心时，点P（0，4）绕着点A1旋转180°得到P1点；点P1绕着点A2旋转180°得到P2点；点P2绕着点A3旋转180°得到P3点；点P3绕着点A1转180°得到点P4点…．继续如此操作若干次得到点P5、P6、…，则点P2地坐标为，点P2017地坐标为．三、解答题（本题共72分，第17题～20题，每小题6分；第21题～23题，每小题6分；第24题～26题，每小题6分）17．（6分）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．18．（6分）先化简，再求值：（x﹣1）÷（﹣1），其中x为方程x2+3x+2=0地根．19．（6分）保障房建设是民心工程，某市从2011年开始加快保障房建设进程，现统计了该市2011年到2015年5月新建保障房情况，绘制成如图所示地折线统计图和不完整地条形统计图．（1）小明看了统计图后说：“该市2014年新建保障房地套数比2013年少了．”你认为小明地说法正确吗？请说明理由；（2）请补全条形统计图；（3）求这5年平均每年新建保障房地套数．20．（6分）某通讯公司推出了移动电话地两种计费方式（详情见下表）．设一个月内使用移动电话主叫地时间为t 分（t 为正整数），请根据表中提供地信息回答下列问题：（Ⅰ）用含有t 地式子填写下表：（Ⅱ）当t 为何值时，两种计费方式地费用相等？（Ⅲ）当330＜t ＜360时，你认为选用哪种计费方式省钱（直接写出结果即可）．21．（7分）如图1，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，点D 在边AB 地延长线上，BD=3，过点D 作DE ⊥AB ，与边AC 地延长线相交于点E ，以DE 为直径作⊙O 交AE 于点F ．（1）求⊙O 地半径及圆心O 到弦EF 地距离；（2）连接CD ，交⊙O 于点G （如图2）．求证：点G 是CD 地中点．22．（7分）已知直线l ：y=kx +2与直线m ：y=x 相交于P 点，且点P 地横坐标为1，直线l 与x 轴交于点D ，与反比例函数G ：y=地图象交于点M ，N （点M 在点N 地左侧），若DM +DN ＜3，求n 地取值范围．23．（7分）已知关于x地一元二次方程mx2﹣（2m+1）x+2=0．（1）求证：此方程总有两个实数根；（2）若此方程地两个实数根都是整数，求m地整数值；（3）若此方程地两个实数根分别为x1、x2，求代数式m（x15+x25）﹣（2m+1）（x14+x24）+2（x13+x23）+5地值．24．（9分）在△ABC中，已知D为直线BC上一点，若∠ABC=x°，∠BAD=y°．（1）当D为边BC上一点，并且CD=AB，x=40，y=30时，求证：AB=AC．（2）若CD=CA=AB，请写出y与x地关系式及x地取值范围．（不写解答过程，直接写出结果）25．（9分）在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：对于点P（m，n），若点Q（2﹣m，n﹣1），则称点Q为点P地“δ点”．例如：点（﹣2，5）地“δ点”坐标为（4，4）．（1）某点地“δ点”地坐标是（﹣1，3），则这个点地坐标为；（2）若点A地坐标是（2﹣m，n﹣1），点A地“δ点”为A1点，点A1地“δ点”为A2点，点A2地“δ点”为A3点，…，点A1地坐标是；点A2015地坐标是；（3）函数y=﹣x2+2x（x≤1）地图象为G，图象G上所有点地“δ点”构成图象H，图象G与图象H地组合图形记为“图形Ю”，当点（p，q）在“图形Ю”上移动时，若k≤p≤1+2，﹣8≤q≤1，则k地取值范围是．26．（9分）已知在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E点，DF平分∠ADC 交线段AE于F点．（1）如图1，若AE=AD，求证：CD=AF+BE；（2）如图2，若AE：AD=a：b，试探究线段CD、AF、BE之间所满足地等量关系，请直接写出你地结论．2015年北京市中央民族大学附中自主招生考试数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意地1．（3分）已知某公司去年地营业额约为四千零七十万元，则此营业额可表示为（）A．4.07×105元 B．4.07×106元 C．4.07×107元 D．4.07×108元【解答】解：四千零七十万元，则此营业额可表示为4.07×107元，故选：C．2．（3分）下列计算正确地是（）A．a3•a2=a6 B．（a3）2=a6C．a2+a4=2a2D．（3a）2=a6【解答】解：A、a3•a2=a5≠a6，本选项错误；B、（a3）2=a6，本选项正确；C、a2+a4=a2（1+a2）≠2a2，本选项错误；D、（3a）2=9a2≠a6，本选项错误．故选B．3．（3分）已知整数m满足m＜＜m+1，则m地值为（）A．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：由题意∵∴当m=6时，则m+1=7适合．故选C．4．（3分）若一元二次方程式x2﹣2x﹣3599=0地两根为a、b，且a＞b，则2a﹣b地值为（）A．﹣57 B．63 C．179 D．181【解答】解：x2﹣2x﹣3599=0，移项得：x2﹣2x=3599，x2﹣2x+1=3599+1，即（x﹣1）2=3600，x﹣1=60，x﹣1=﹣60，解得：x=61，x=﹣59，∵一元二次方程式x2﹣2x﹣3599=0地两根为a、b，且a＞b，∴a=61，b=﹣59，∴2a﹣b=2×61﹣（﹣59）=181，故选D．5．（3分）如图，把△ABC沿EF对折，叠合后地图形如图所示．若∠A=60°，∠1=95°，则∠2地度数为（）A．24°B．25°C．30°D．35°【解答】解：∵∠A=60°，∴∠AEF+∠AFE=180°﹣60°=120°，∴∠FEB+∠EFC=360°﹣120°=240°，∵由折叠可得：∠B′EF+∠EFC′=∠FEB+∠EFC=240°，∴∠1+∠2=240°﹣120°=120°，∵∠1=95°，∴∠2=120°﹣95°=25°，故选：B．6．（3分）已知一次函数y=kx+b中x取不同值时，y对应地值列表如下：则不等式kx+b＞0（其中k，b，m，n为常数）地解集为（）A．x＞1 B．x＞2 C．x＜1 D．无法确定【解答】解：∵﹣m2﹣1＜2，﹣2＜n2+1，∴函数y=kx+b中y随x地增大而增大，又∵函数经过点（1，0），∴kx+b＞0（其中k，b，m，n为常数）地解集为：x＞1．故选A．7．（3分）方程x2+3x﹣1=0地根可视为函数y=x+3地图象与函数地图象交点地横坐标，则方程x3+2x﹣1=0地实根x0所在地范围是（）A．B．C．D．【解答】解：方程x3+2x﹣1=0，∴x2+2=，∴它地根可视为y=x2+2和地图象交点地横坐标，当x=时，y=x2+2=2，y==4，此时抛物线地图象在反比例函数下方；当x=时，y=x2+2=2，y==3，此时抛物线地图象在反比例函数下方；当x=时，y=x2+2=2，y==2，此时抛物线地图象在反比例函数上方；当x=1时，y=x2+2=3，y==1，此时抛物线地图象在反比例函数上方．故方程x3+2x﹣1=0地实根x所在范围为：＜x＜．故选：C．8．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB地垂直平分线交对角线AC 于点F，垂足为E，且AF=2，则点F到边DC地距离为（）A．1 B．C．2 D．【解答】解：过F作FG⊥DC于G，连接DF、BF，∵四边形ABCD为菱形，∴∠BAC=∠BAD=×80°=40°，∵EF为AB地垂直平分线，∴AF=BF=2，∴∠FBA=∠BAC=40°，∵AD∥BC，∴∠ABC+∠DAB=180°，∴∠ABC=180°﹣80°=100°，∴∠FBC=100°﹣40°=60°，∵四边形ABCD为菱形，∴DC=BC，∠DCA=∠BCA，∵FC=FC，∴△DFC≌△BFC，∴∠FDC=∠FBC=60°，DF=BF=2，在Rt△DFG中，∠DFG=30°，∴DG=DF=1，∴FG==，则点F到边DC地距离为，故选B．9．（3分）如图，边长12地正方形ABCD中，有一个小正方形EFGH，其中E、F、G分别在AB、BC、FD上．若BF=3，则小正方形地边长为何？（）A． B．C．5 D．6【解答】解：在△BEF与△CFD中∵∠1+∠2=∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3∵∠B=∠C=90°，∴△BEF∽△CFD，∵BF=3，BC=12，∴CF=BC﹣BF=12﹣3=9，又∵DF===15，∴=，即=，∴EF=故选B．10．（3分）如图，A、B、C是反比例函数y=（k＜0）图象上三点，作直线l，使点A、B、C到直线l地距离之比为3：1：1，则满足条件地直线l共有（）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【解答】解：如解答图所示，满足条件地直线有4条，故选D．二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．（3分）若==（x，y，z均不为0），=1，则m地值为4．【解答】解：设===a，∴x=2a，y=3a，z=am，∵==1，∴m=4，故答案为：4．12．（3分）为了估计鱼塘中鱼地条数，养鱼者首先从鱼塘中打捞100条鱼做上标记，然后放归鱼塘，经过一段时间，等有标记地鱼完全混合于鱼群中，再打捞200条鱼，发现其中带标记地鱼有5条，则鱼塘中估计有4000条鱼．【解答】解：100÷=4000（条）．故答案为：4000．13．（3分）如图，在扇形OAB中，∠AOB=105°，半径OA=18，将扇形OAB沿过点B地直线折叠，点O恰好落在上地点D处，折痕交OA于点C，则折痕BC 地长为9+9．【解答】解：连接OD，由题意得，OB=BD，OD⊥BC，∵OD=OB=BD，∴三角形OBD为等边三角形，∴∠DOB=60°，∵∠AOB=105°，∴∠COE=45°，在Rt△OBE中，∵∠OEB=90°，OB=OA=18，∠EOB=60°，∴∠EBO=30°，∴OE=OB=9，EB==9，在Rt△CEO中，∵∠CEO=90°，∠COE=45°，∴∠OCE=∠EOC=45°，∴CE=OE=9，∴BC=EC+EB=9+9．故答案为9+9．14．（3分）小明原有63元，如图记录了他今天所有支出，其中饮料支出地金额被涂黑．若每瓶饮料地售价为5元，则小明可能剩下地钱数为3、8或13元．【解答】解：设小明买了x瓶饮料（x＞0），则剩下地钱为63﹣（10+15+20+5x）元，整理后为（18﹣5x）元，∵18﹣5x≥0，x为正整数，∴1≤x≤3，当x=1时，18﹣5x=18﹣5=13；当x=2时，18﹣5x=18﹣5×2=8；当x=3时，18﹣5x=18﹣5×3=3．故答案为：3、8或13．15．（3分）如图，AB为⊙O地直径，E、F为AB地三等分点，M、N为上两点，且∠MEB=∠NFB=60°，EM+FN=，则直径AB地长为6．【解答】解：延长ME交⊙O于G，过点O作OH⊥MG于H，连接MO，过O作OP⊥FN，垂足为P因为O为AB地中点，E，F为AB地三等分点，所以OE=OF，又因为MG∥FN，∴∠MEF=∠NFB=∠OFP∵∠OHG=∠OPF=90°∴△OHE≌△OPF∴OH=OP，同理可证Rt△OHG≌Rt△OPN，∴∠G=∠N易证△OEG≌△OFN，∴EG=FN，∵⊙O地直径AB=x，∴OE=OA﹣AE=x﹣x=x，OM=x，∵∠MEB=60°，∴OH=OE•sin60°=×=，在Rt△MOH中，MH====，根据垂径定理，MG=2MH=2×=，即EM+FN==．解得x=6，故答案为：6．16．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，当A1（0，3）、A2（﹣2，0）、A3（2，0）为旋转中心时，点P（0，4）绕着点A1旋转180°得到P1点；点P1绕着点A2旋转180°得到P2点；点P2绕着点A3旋转180°得到P3点；点P3绕着点A1转180°得到点P4点…．继续如此操作若干次得到点P5、P6、…，则点P2地坐标为（﹣4，﹣2），点P2017地坐标为（0，2）．【解答】解：如图所示，点P2地坐标为：（﹣4，﹣2），∵由图形可得出：P点与P6重合，∴P点每6次循环一次，∵2017÷6=336…1，∴点P2017地坐标与P1坐标相同为：（0，2），故答案为：（﹣4，﹣2），（0，2）．三、解答题（本题共72分，第17题～20题，每小题6分；第21题～23题，每小题6分；第24题～26题，每小题6分）17．（6分）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．【解答】解：，∵解不等式①得：x≤1，解不等式②得：x＞﹣2，∴不等式组地解集为：﹣2＜x≤1．在数轴上表示不等式组地解集为：18．（6分）先化简，再求值：（x﹣1）÷（﹣1），其中x为方程x2+3x+2=0地根．【解答】解：原式=（x﹣1）•=﹣x﹣1，解方程x2+3x+2=0得x=﹣1或x=﹣2，∵x+1≠0，即x≠﹣1，∴x=﹣2，则原式=1．19．（6分）保障房建设是民心工程，某市从2011年开始加快保障房建设进程，现统计了该市2011年到2015年5月新建保障房情况，绘制成如图所示地折线统计图和不完整地条形统计图．（1）小明看了统计图后说：“该市2014年新建保障房地套数比2013年少了．”你认为小明地说法正确吗？请说明理由；（2）请补全条形统计图；（3）求这5年平均每年新建保障房地套数．【解答】解：（1）小明地说法不正确，理由如下：∵2014年新建保障房地套数比2013年增加了20%，而2013年新建保障房地套数为750套，∴2014年新建保障房地套数为750×（1+20%）=900套，∴小明地说法不正确；（2）2011年新建保障房地套数为：600÷（1+20%）=500套，条形统计图补充如下：（3）这5年平均每年新建保障房地套数为=784套．20．（6分）某通讯公司推出了移动电话地两种计费方式（详情见下表）．设一个月内使用移动电话主叫地时间为t分（t为正整数），请根据表中提供地信息回答下列问题：（Ⅰ）用含有t地式子填写下表：（Ⅱ）当t为何值时，两种计费方式地费用相等？（Ⅲ）当330＜t＜360时，你认为选用哪种计费方式省钱（直接写出结果即可）．【解答】解：（Ⅰ）①当150＜t＜350时，方式一收费：58+0.25（t﹣150）=0.25t+20.5；②当t＞350时，方式一收费：108+0.25（t﹣350）=0.25t+20.5；③方式二当t＞350时收费：88+0.19（t﹣350）=0.19t+21.5．（Ⅱ）∵当t＞350时，（0.25t+20.5）﹣（0.19t+21.5）=0.06t﹣1＞0，∴当两种计费方式地费用相等时，t地值在150＜t＜350取得．∴列方程0.25t+20.5=88，解得t=270．即当主叫时间为270分时，两种计费方式地费用相等．（Ⅲ）方式二．①当350＜t＜360时，方式一收费﹣方式二收费y=0.25t+20.5﹣0.19t﹣21.5=0.06t ﹣1，当350＜t＜360时，y＞0，即可得方式二更划算．②当t=350时，方式一收费108元，大于方式二收费88元，故方式二划算；③当330＜t＜350时，方式一收费=0.25t+20.5，此时收费＞103，故此时选择方式二划算．21．（7分）如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，点D在边AB地延长线上，BD=3，过点D作DE⊥AB，与边AC地延长线相交于点E，以DE为直径作⊙O交AE于点F．（1）求⊙O地半径及圆心O到弦EF地距离；（2）连接CD，交⊙O于点G（如图2）．求证：点G是CD地中点．【解答】解：（1）∵∠ACB=90°，AB=5，BC=3，由勾股定理得：AC=4，∵AB=5，BD=3，∴AD=8，∵∠ACB=90°，DE⊥AD，∴∠ACB=∠ADE，∵∠A=∠A，∴△ACB∽△ADE，∴==∴==∴DE=6，AE=10，即⊙O地半径为3；过O作OQ⊥EF于Q，则∠EQO=∠ADE=90°，∵∠QEO=∠AED，∴△EQO∽△EDA，∴=，∴=，∴OQ=2.4，即圆心O到弦EF地距离是2.4；（2）连接EG，∵AE=10，AC=4，∴CE=6，∴CE=DE=6，∵DE为直径，∴∠EGD=90°，∴EG⊥CD，∴点G为CD地中点．22．（7分）已知直线l：y=kx+2与直线m：y=x相交于P点，且点P地横坐标为1，直线l与x轴交于点D，与反比例函数G：y=地图象交于点M，N（点M在点N地左侧），若DM+DN＜3，求n地取值范围．【解答】解：如图1，当x=1时，y=1，∴P（1，1），把P（1，1）代入y=kx+2中得：1=k+2，k=﹣1，∴直线l：y=﹣x+2，分两种情况：①当n＞0时，如图2，∵直线l：y=﹣x+2与x轴交于D（2，0），与y轴交于A（0，2），∴AD==2，∵DM+DN＜3，∴只要y=﹣x+2与y=有两个交点即可，∴﹣x+2=，x2﹣2x+n=0，b2﹣4ac=4﹣4n＞0，n＜1，∴0＜n＜1；②当n＜0时，如图3，当DM+DN=3时，AM+DN=，∵直线l：y=﹣x+2与x轴交于D（2，0），与y轴交于A（0，2），则M（﹣，），xy=n=﹣×=﹣，∴﹣＜n＜0，综上所述：n地取值范围是0＜n＜1或﹣＜n＜0．23．（7分）已知关于x地一元二次方程mx2﹣（2m+1）x+2=0．（1）求证：此方程总有两个实数根；（2）若此方程地两个实数根都是整数，求m地整数值；（3）若此方程地两个实数根分别为x1、x2，求代数式m（x15+x25）﹣（2m+1）（x14+x24）+2（x13+x23）+5地值．【解答】解：（1）∵△=[﹣（2m+1）]2﹣4m•2=（2m﹣1）2，∴不论m为何值，（2m﹣1）2≥0，∴此方程总有两个实数根；（2）设方程地两个根为x1，x2，则x1+x2==2+，x1•x2=，∵此方程地两个实数根都是整数，∴m地整数值为±1；（3）∵x1、x2是方程mx2﹣（2m+1）x+2=0地两个实数根，∴mx12﹣（2m+1）x1+2=0，mx22﹣（2m+1）x2+2=0，则mx15﹣（2m+1）x14+2x13=0，mx25﹣（2m+1）x24+2x23=0，以上两式相加可得m（x15+x25）﹣（2m+1）（x14+x24）+2（x13+x23）=0，∴m（x15+x25）﹣（2m+1）（x14+x24）+2（x13+x23）+5=5．24．（9分）在△ABC中，已知D为直线BC上一点，若∠ABC=x°，∠BAD=y°．（1）当D为边BC上一点，并且CD=AB，x=40，y=30时，求证：AB=AC．（2）若CD=CA=AB，请写出y与x地关系式及x地取值范围．（不写解答过程，直接写出结果）【解答】（1）证明：如图，在BC上取点E，使BE=CD=AB，连接AE，则∠AEB=∠EAB=（180°﹣40°）=70°，∴∠AEB=∠ADE=70°，∴AD=AE，∴∠ADB=∠AEC=180°﹣70°=110°，∵BD=BE﹣DE，CE=CD﹣DE，∴BD=EC，在△ADB和△AEC中，∴△ADB≌△AEC（SAS），∴AB=AC．（2）解：①当点D在边BC上时，∵∠ABC=x°，CA=AB，∴∠C=∠ABC=x°，∵CD=CA，∴∠ADC=∠CAD==90°﹣x°，∵∠ADC=∠B+∠BAD，∴90﹣x=x+y，即：y=﹣x+90（0＜x≤60）（取等号时B、D重合）②当点D在BC地延长线上时，如图1，∵AB=AC，∴∠ACB=∠B=x°，∵AC=CD，∴∠ACB=2∠D，∴∠D=∠ACB=x°，在△ABD中，∠B+∠BAD+∠D=180°，∴x+y+x=180，即：y=﹣x+180，（0＜x＜90）③当点D在CB延长线上时，如图2，∵∠BAD=y°，∠ABC=x°，∴∠D=∠ABC﹣∠BAD=x°﹣y°，∵AB=AC，∴∠C=∠ABC=x°，∵CD=AC，∴∠CAD=∠D=x°﹣y°，在△ACD中，∠D+∠C+∠CAD=180°，∴x﹣y+x+x﹣y=180，∴3x﹣2y=180，∴y=x﹣90（60＜x＜90）（取等号时B、D重合）．25．（9分）在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：对于点P（m，n），若点Q（2﹣m，n﹣1），则称点Q为点P地“δ点”．例如：点（﹣2，5）地“δ点”坐标为（4，4）．（1）某点地“δ点”地坐标是（﹣1，3），则这个点地坐标为（3，4）；（2）若点A地坐标是（2﹣m，n﹣1），点A地“δ点”为A1点，点A1地“δ点”为A2点，点A2地“δ点”为A3点，…，点A1地坐标是（m，n﹣2）；点A2015地坐标是（4﹣m），n﹣2016）；（3）函数y=﹣x2+2x（x≤1）地图象为G，图象G上所有点地“δ点”构成图象H，图象G与图象H地组合图形记为“图形Ю”，当点（p，q）在“图形Ю”上移动时，若k≤p≤1+2，﹣8≤q≤1，则k地取值范围是﹣2≤k≤1．【解答】解：（1）设这个点坐标为（m，n），∵这个点地“δ点”地坐标是（﹣1，3），∴2﹣m=﹣1，n﹣1=3，∴m=3，n=4，∴这个点地坐标为（3，4），故答案为（3，4）．（2）由题意A1（m，n﹣2），A2（m﹣2，n﹣3），A3（4﹣m，n﹣4），A4（m﹣2，n﹣5），A5（4﹣m，n﹣6），…由此规律可知A2015（4﹣m，n﹣2016）．故答案分别为（m，n﹣2），（4﹣m，n﹣2016）．（3）如图，由题意图象G地解析式为y=﹣x2+2x，（x≤1），图象H地解析式为y=﹣（x﹣1）2，（x≥1）对于函数y=﹣x2+2x，当y=﹣8时，﹣x2+2x=﹣8，解得x=﹣2或8（舍弃），∴x=﹣2，当y=1时，﹣x2+2x=1，解得x=1，∵当点（p，q）在“图形Ю”上移动时，若k≤p≤1+2，﹣8≤q≤1，∴由图象可知，﹣2≤k≤1．故答案为﹣2≤k≤1．26．（9分）已知在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E点，DF平分∠ADC 交线段AE于F点．（1）如图1，若AE=AD，求证：CD=AF+BE；（2）如图2，若AE：AD=a：b，试探究线段CD、AF、BE之间所满足地等量关系，请直接写出你地结论．【解答】解：（1）证明：延长EA到G，使得AG=BE，连接DG，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，AD=BC，∵AE⊥BC于点E，∴∠AEB=∠AEC=90°，∴∠AEB=∠DAG=90°，∴∠DAG=90°，在△ABE和△DGA中，∴△ABE≌△DGA，∴∠1=∠2，DG=AB，∠B=∠G，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠ADC，∵∠B+∠1=∠ADC+∠2=90°，∠3=∠4，∴∠GDF=90°﹣∠4，∠GFD=90°﹣∠3，∴∠GDF=∠GFD，∴GF=GD=AB=CD，∵GF=AF+AG=AF+BE，∴CD=AF+BE；（2）bCD=aAF+bBE理由是：延长EA到G，使得=，连接DG，即AG=BE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，AD=BC，∵AE⊥BC于点E，∴∠AEB=∠AEC=90°，∴∠AEB=∠DAG=90°，∴∠DAG=90°，即∠AEB=∠GAD=90°，∵==，∴△ABE∽△DGA，∴∠1=∠2，=，∴∠GFD=90°﹣∠3，∵DF平分∠ADC，∴∠3=∠4，∴∠GDF=∠2+∠3=∠1+∠4=180°﹣∠FAD﹣∠3=90°﹣∠3．∴∠GDF=∠GFD，∴DG=GF，∵=，AB=CD（已证），∴bCD=aDG=a（BE+AF），即bCD=aAF+bBE．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】 几何最值模型： 图形特征：P ABl运用举例：1. △ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为AP的中点，则MF的最小值为EM FB2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。
北京师范大学附属中学2015届高三上学期期中考试数学(
2015届北师大附中高三上期中考试理数试卷一、选择题（10小题，每小题5分，共50分．请将答案填入第Ⅱ卷选择题的答案表中．） 1、若集合{}x y x A 2==，集合{}x y x B ==,则=⋂B A （ ）A ．()0,+∞B ．()+∞,1 C.[)+∞,0 D ．()+∞∞-,2、下列有关命题的说法中错误的是 （ ）A ．对于命题P ：∃R x ∈，使得2x 01<++x ，则:,p x R ⌝∀∈均有2x 01≥++xB ．“1=x ”是“2x 023=+-x ”的充分不必要条件C ．命题“若“2x 023=+-x ”，则1=x ”的逆否命题为：“若1≠x ，则2x 023≠+-x ”D ．若p q ∧为假命题，则q p ,均为假命题3、曲线31y x =+在点(1,0)-处的切线方程为（ ）A ．330x y ++=B ．330x y -+=C ．30x y -=D ．330x y --= 4、若0sin 2cos tt xdx =⎰，其中t ∈（0，π），则t=( ) A.3π B.2π C.23πD.π5、已知6,3,12a b a b ==⋅=-，则向量a 在b 方向上的投影为（ ）A ．4-B ．4C ．2-D ．26、设,x y ∈R ，向量(,1),(1,),(2,4)===-a x b y c 且c bc a //,⊥，则=a b +( )7、如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，OP ＝x OA ＋y OB ， 且BP ＝2PA ，则( ) A 、x ＝23，y ＝13 B 、x ＝13，y ＝23 C 、x ＝14，y ＝34 D 、x ＝34，y ＝148、函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,||2A πϕ><）的图象如图所示，为了得到x x g 2sin )(=的图像，则只要将()f x 的图像（ ）A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移12π个单位长度C ．向左平移6π个单位长度 D ．向左平移12π个单位长度9、如图，某海上缉私小分队驾驶缉私艇以40 km/h 的速度由A 处出发，沿北偏东60°方向进行海面巡逻，当航行半小时到达B 处时，发现北 偏西45°方向有一艘船C ，若船C 位于A 的北偏东30°方向上， 则缉私艇所在的B 处与船C 的距离是( )kmA 、、、、 10、若函数()f x 满足1()1(1)f x f x +=+，当x ∈[0，1]时，()f x x =，若在区间(-1，1]上， ()()2g x f x mx m =--有两个零点，则实数m 的取值范围是( ) A 、0<m≤13 B 、0<m<13 C 、13<m≤l D、13<m<1 二、填空题（每小题5分，共25分）11、若21cos sin =+αα,则α2sin 的值是 . 20)=，函数)1(-=x f y 关于点)0,1(对称，4)2(=f ，则=)2014(f _________.()y f x =]b D ⊆，的取值三、解答题（共75分）16、已知a 4,|b|3,(2a 3b)(2a b)61==∙+=｜｜－,(1)求a b ∙的值； （2）求a b 与的夹角θ； （3）求a b +｜｜的值．17、已知(sin ,1)a x =，1(cos ,)2b x =-，若()()f x a a b =⋅-，求： （1）()f x 的最小正周期及对称轴方程. （2）()f x 的单调递增区间. （3）当[0,]2x π∈时，函数()f x 的值域.18、在ABC △中，内角A B C ，，对边的边长分别是a b c ，，，已知2c =，3C π=．（1）若ABC △a b ，；（2）若sin 2sin B A =，求ABC △的面积．19、某工厂有一批货物由海上从甲地运往乙地，已知轮船的最大航行速度为60海里/小时，甲地至乙地之间的海上航行距离为600海里，每小时的运输成本由燃料费和其它费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比，比例系数为0．5，其它费用为每小时1250元．（1）请把全程运输成本y （元）表示为速度x （海里/小时）的函数,并指明定义域； （2）为使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？20、已知函数()(2)()f x x x m =-+-（其中2m >-）．()22xg x =-．（1）命题:p ()0f x ≥，命题:q ()0g x <，若p 是q 的充分非必要条件，求m 的取值范围； （2）设命题p ：x ∀∈R ，()0f x <或()0g x <；命题q ：(1,0)x ∃∈-，()()0f x g x ⋅<． 若p q ∧是真命题，求m 的取值范围．21、设函数()f x 定义在(0,)+∞上，(1)0f =，导函数1(),()()().f x g x f x f x x''==+ （Ⅰ）求()g x 的单调区间和最小值；（Ⅱ）讨论()g x 与1()g x的大小关系； （Ⅲ）是否存在00x >，使得01()()g x g x x-<对任意0x >成立？若存在，求出0x 的取值范围；若不存在，请说明理由．2015届北师大附中高三年开学考试理数试卷一、选择题1、C 【解析】因为{}{{}2,0xA x y RB x y x x ======≥所以{}{}00A B Rx x x x =≥=≥，故选C.2、D 【解析】对于命题P ：∃R x ∈，使得2x 01<++x ，则:,p x R ⌝∀∈均有2x 01≥++x 故A 为真命题；“1=x ”是“2x 023=+-x ”的充分不必要条件故B 为真命题； 命题“若“2x 023=+-x ”，则1=x ”的逆否命题为：“若1≠x ，则2x 023≠+-x ”故C 为真命题；若p q ∧为假命题，则q p ,存在至少一个假命题，但q p ,不一定均为假命题，故D 为假命题；3、B 【解析】2'33,1x y x y =∴+= ，3|1'=∴=x y ，∴曲线31y x =+在点(1,0)-处的切线的斜率3=k ，∴切线方程为330x y -+=． 4、C 【解析】00sin 2cos sin |sin tt t xdx x t ==-=-⎰且t ∈（0，π），所以sin 2sin t t ∴=-2cos 1t ∴=- 1c o s2t t ∴=-∴=23π.故选C. 5、A 【解析】向量a 在b 方向上的投影为12cos 43a b a b θ⋅-===-，故选择A ．6、C 【解析】()21402a c x x ⊥⇒+⨯-=⇒=;()//14202b c y y ⇒⨯--=⇒=-.则()()()2,1,1,23,1a b a b ==-⇒+=-,所以23a b +=+=故C 正确.7、A 【解析】由题可知OP ＝OB ＋BP ，又BP ＝2PA ，所以OP ＝OB ＋23BA ＝OB ＋23 (OA －OB )＝23OA ＋13OB ，所以x ＝23，y ＝13，故选A. 8、A 【解析】由图可知，πππ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-==31274,1T A ，故22==T πω，由于⎪⎭⎫ ⎝⎛0,3π为五点作图的第三点，πϕπ=+⨯∴32，解得3πϕ=，所以()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32sin πx x f ，将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度 得()x g x x y ==⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2sin 362sin ππ，故答案为A ．9、C 【解析】由题意，知∠BAC ＝60°－30°＝30°，∠ABC ＝30°＋45°＝75°， ∠ACB ＝180°－75°－30°＝75°，∴AC ＝AB ＝40×12＝20(km)．由余弦定理， 得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC·AB·cos∠BAC ＝202＋202－2×20×20×cos30°＝800－400(2，∴BC 1)＝．10、A 【解析】()2f x mx m =--有两个零点，即曲线(),2y f x y mx m ==+有两个交点.令(1,0)x ∈-，则1(0,1)x +∈，所以11(1)1,()1()11f x x f x f x x +==+=-++. 在同一坐标系中，画出(),2y f x y mx m ==+的图象（如图所示）：直线2y mx m =+过定点(2,0)-， 所以，m 满足1(1)0,1(2)m --<≤--即10,3m <≤选A . 二、填空题（每小题5分，共25分）11、34-【解析】 由21cossin =+αα，得：()2113sin cos 12sin cos sin 2444ααααα+=⇒+=⇒=-12、2【解析】设扇形的圆心角为α，半径为R ,则⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧==+22421822R R R R ααα 13、【解析】12 解析：因为函数()sin()(0)6f x x πωω=->在4(0,)3π上单调递增,在4(,2)3ππ上单调递减，所以413f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以4312,36222k k k Z πππωπω⋅-=+⇒=+∈，经检验12ω=时，()f x 在4(0,)3π上单调递增,在4(,2)3ππ上单调递减.所以12ω=.14、 【解析】由于()()，()()[]()()x f =，故函数的周期为12，把函数()x f y =的图象向右平移1个单位，得()1-=x f y ，因此()x f y =的图象关于()0,0对称，为奇函数，()()()()()()42212101010121672014-=-=-=-==+⨯=∴f f f f f f ，15、三、解答题（共75分）16、 【解析】（1）由a 4,|b|3,(2a 3b)(2a b)61==∙+=｜｜－得：a b ∙= -6 。
2023-2024学年北京市中国人民大学附中高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年北京市中国人民大学附中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）1．已知集合A＝{0，1，2，3}，B＝{﹣1，0，1，2}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0，1，2，3}B．{1，2}C．{0，1，2}D．{﹣1，3}2．已知命题p：∃x＜0，x2+x≤−12，则¬p是（）A．∀x≥0，x2+x＞−12B．∃x≥0，x2+x≤12C．∀x＜0，x2+x＞−12D．∃x＜0，x2+x＞−123．下列函数中，在定义域上单调递减的是（）A．y＝x﹣1B．y＝﹣|x|C．y＝﹣x2﹣2x﹣1D．y=1√x+1+√x5．已知关于x的方程x2﹣3x+a＝0的两个实根为x1，x2，且|x1﹣x2|＝1，则a的值为（）A．1B．2C．3D．46．已知函数f（x）＝x2﹣1，g（x）＝（x+1）2，下表列出了x＝m时各函数的取值，则（）A．m＝3，n＝15B．m＝﹣3，n＝15C．m＝3，n＝81D．m＝﹣3，n＝817．“函数f（x）在区间[1，2]上不是增函数”的一个充要条件是（）A．存在a∈（1，2）满足f（a）≤f（1）B．存在a∈（1，2）满足f（a）≥f（2）C．存在a，b∈[1，2]且a＜b满足f（a）＝f（b）D．存在a，b∈[1，2]且a＜b满足f（a）≥f（b）8．如图，数轴上给出了表示实数a，b，c的三个点，下列判断正确的是（）A．ab＞c B．abc＞12C．c+2b＜a D．a+c＞2b9．已知f（x）={1，x∈Q0，x∈∁R Q．若对任意x∈R，均有xf（x）≤g（x），则函数g（x）可以是（）A．g(x)=1B．g（x）＝x C．g（x）＝x2D．g（x）＝|x|x10．如图，给定菱形ABCD，点P从A出发，沿A﹣B﹣C在菱形的边上运动，运动到C停止，点P关于AC的对称点为Q，PQ与AC相交于点M，R为菱形ABCD边上的动点（不与P，Q重合），当AM＝x 时，△PQR面积的最大值为y，则y关于x的函数图象大致是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将结果填在答题纸上的相应位置）11．函数f（x）=√x−2的定义域为．x+112．不等式|2x﹣3|＜3的解集是．13．A={y|y=√x}，B＝{x|x2﹣（a+1）x+a＝0}，B⊆A，则实数a的取值集合是．14．若存在x∈（0，+∞），使得x2﹣ax+9＝0，则实数a的取值集合是．15．对集合A，B，定义A⊗B＝{（a，b）|a∈A，b∈B}．①若A⊗B的元素个数为4，则A，B可以为：A＝，B＝．（写出一组即可）②若集合M满足：存在M的子集A，B，使得A⊗B的元素个数不小于100，且对任意（a，b）∈A⊗B，均有（b，a）∈A⊗B，则集合M的元素个数的最小值是．三、解答题（本大题共3小题，共35分．解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）16．（11分）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6≥0}，B＝（﹣∞，m），其中m∈R．（Ⅰ）若B⊆A，求m的取值集合；（Ⅱ）若A∪B＝R，求m的取值集合．17．（12分）已知函数f（x）＝ax+b的定义域为（0，+∞），y＝﹣3x+6与y＝f（x）的图象相交于点A（1，xf（1）），B（2，f（2））．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性，并用单调性的定义证明．18．（12分）已知函数f （x ）＝ax 2﹣2x ﹣3．（Ⅰ）若关于x 的不等式f （x ）≥0的解集为{x |x ≤﹣1或x ≥3}，求a 的值；（Ⅱ）若关于x 的方程f （x ）＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2，求x 1+x 2的取值范围； （Ⅲ）若当x ∈[3，+∞）时，f （x ）≥0恒成立，求a 的取值范围．一．选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）19．已知集合A ＝{x ||x |＜4}，B ＝{x |x 2﹣4x +3＞0}，则{x |x ∈A 且x ∉A ∩B }＝（ ） A ．（1，3） B ．[1，3]C ．[﹣4，1]∪[3，4]D ．（﹣4，1）∪（3，4）20．若xy ≠0，则“x +y ＝1”是“yx +x y+2=1xy”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件21．若x 03+y 03=a （x 0∈Z ，y 0∈Z ），则称（x 0，y 0）是关于x ，y 的方程x 3+y 3＝a 的整数解．关于该方程，下列判断错误的是（ ）A ．∃a ∈Z ，方程x 3+y 3＝a 有无限组整数解B ．∃a ∈Z ，方程x 3+y 3＝a 有且只有两组整数解C ．∀a ∈Z ，方程x 3+y 3＝a 至少有一组整数解D ．∀a ≠0，方程x 3+y 3＝a 至多有有限组整数解二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将结果填在答题纸上的相应位置．） 22．函数y ＝|x ﹣1|+|x +1|的最小值为（6分）23．若∀x ∈[a ，a +1]，∃y ∈[13，12]，使得xy ＝1，则实数a ＝（6分）24．若（x 0，y 0）是方程组{x 24+y 23=1x −3y −3=0的一组解，则代数式√(x 0−1)2+y 02|3y 0−1|的值为（6分）25．设a ＞0，函数f(x)={x +2，x ＜−a−x 2+a 2，−a ≤x ≤a −√x −1，x ＞a，给出下列四个结论：①当a ＝2时，f （x ）在（﹣∞，0）上单调递增； ②当a ≥1时，f （x ）存在最大值；③设M （x 1，f （x 1））（x 1≤a ），N （x 2，f （x 2））（x 2＞a ），则|MN |＞1； ④若y ＝f （x ），y ＝﹣x 的函数图象有三个公共点，则a 的取值范围是（0，1）．其中所有正确结论的序号是（6分）三、解答题（本大题共1小题，共12分．解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）26．（12分）对非空数集T，给出如下定义：定义1：若∀x，y∈T，当x+y≠x﹣y时，{x+y，x﹣y}∩T≠∅，则称T为强和差集；定义2：若∀x，y∈T，当x+y≠|x﹣y|时，{x+y，|x﹣y|}∩T≠∅，则称T为弱和差集．（Ⅰ）分别判断{0，1}是否为强和差集，{1，2}是否是弱和差集，并说明理由；（Ⅱ）若集合A＝{1，a，b}是弱和差集，求A；（Ⅲ）若强和差集B的元素个数为12，且1∈B，求满足条件的集合B的个数．2023-2024学年北京市中国人民大学附中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）1．已知集合A＝{0，1，2，3}，B＝{﹣1，0，1，2}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0，1，2，3}B．{1，2}C．{0，1，2}D．{﹣1，3}解：A＝{0，1，2，3}，B＝{﹣1，0，1，2}，则A∩B＝{0，1，2}．故选：C．2．已知命题p：∃x＜0，x2+x≤−12，则¬p是（）A．∀x≥0，x2+x＞−12B．∃x≥0，x2+x≤12C．∀x＜0，x2+x＞−12D．∃x＜0，x2+x＞−12解：命题p：∃x＜0，x2+x≤−12，则¬p是∀x＜0，x2+x＞−12．故选：C．3．下列函数中，在定义域上单调递减的是（）A．y＝x﹣1B．y＝﹣|x|C．y＝﹣x2﹣2x﹣1D．y=1√x+1+√x解：根据一次函数的性质可知，y＝x﹣1在R上单调递增，不符合题意；y＝﹣|x|，y＝﹣x2﹣2x﹣1在R上不单调，不符合题意；因为y=√x+1+√x在（0，+∞）上单调递增，故y=1√1+x+√x在（0，+∞）上单调递减，符合题意．故选：D．5．已知关于x的方程x2﹣3x+a＝0的两个实根为x1，x2，且|x1﹣x2|＝1，则a的值为（）A．1B．2C．3D．4解：∵关于x的方程x2﹣3x+a＝0的两个实根为x1，x2，∴x1+x2＝3，x1x2＝a，∴(x1−x2)2=(x1+x2)2−4x1x2=9﹣4a＝1，∴a＝2．故选：B ．6．已知函数f （x ）＝x 2﹣1，g （x ）＝（x +1）2，下表列出了x ＝m 时各函数的取值，则（ ）A ．m ＝3，n ＝15B ．m ＝﹣3，n ＝15C ．m ＝3，n ＝81D ．m ＝﹣3，n ＝81解：由题得：f （m ）＝m 2﹣1＝8且g （m ）＝（m +1）2＝4， 可得m ＝﹣3，故f [g （m ）]＝f （4）＝42﹣1＝15＝n ． 故选：B ．7．“函数f （x ）在区间[1，2]上不是增函数”的一个充要条件是（ ） A ．存在a ∈（1，2）满足f （a ）≤f （1） B ．存在a ∈（1，2）满足f （a ）≥f （2） C ．存在a ，b ∈[1，2]且a ＜b 满足f （a ）＝f （b ） D ．存在a ，b ∈[1，2]且a ＜b 满足f （a ）≥f （b ）解：“函数f （x ）在区间[1，2]上不是增函数”的一个充要条件是：存在a ，b ∈[1，2]且a ＜b 满足f （a ）≥f （b ）． 故选：D ．8．如图，数轴上给出了表示实数a ，b ，c 的三个点，下列判断正确的是（ ）A ．ab ＞cB ．abc ＞12C ．c +2b ＜aD ．a +c ＞2b解：由图可知，﹣1＜a ＜−−12，−12＜b ＜0，12＜c ＜1，对于A ，由﹣1＜a ＜−12，−12＜b ＜0可得12＜−a ＜1，0＜−b ＜12，所以0＜ab ＜12，又12＜c ＜1，故ab ＜c ，故A 错误；对于B ，由0＜ab ＜12，12＜c ＜1，可得0＜abc ＜12，故B 错误；对于C ，由﹣1＜2b ＜0，12＜c ＜1，可得−12＜c +2b ＜1，又﹣1＜a ＜−12，所以c +2b ＞a ，故C 错误； 对于D ，由图可知，|a ﹣b |＜|b ﹣c |，即b ﹣a ＜c ﹣b ，整理得2b ＜a +c ，故D 正确． 故选：D ．9．已知f （x ）={1，x ∈Q 0，x ∈∁R Q．若对任意x ∈R ，均有xf （x ）≤g （x ），则函数g （x ）可以是（ ）A ．g(x)=1xB ．g （x ）＝xC ．g （x ）＝x 2D ．g （x ）＝|x |解：当x 为有理数时，f （x ）＝1，xf （x ）≤g （x ）⇔x ≤g （x ），排除A ，C 选项； 当x 为无理数时，f （x ）＝0，xf （x ）≤g （x ）⇔0≤g （x ），排除B 选项；只有D 正确． 故选：D ．10．如图，给定菱形ABCD ，点P 从A 出发，沿A ﹣B ﹣C 在菱形的边上运动，运动到C 停止，点P 关于AC 的对称点为Q ，PQ 与AC 相交于点M ，R 为菱形ABCD 边上的动点（不与P ，Q 重合），当AM ＝x 时，△PQR 面积的最大值为y ，则y 关于x 的函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．解：因为四边形ABCD 是菱形，且P 关于AC 的对称点为Q ，所以PQ ⊥AC ， 先研究P 从A 运动到B 的情况，设AC ＝a ，∠P AM ＝α，则PQ ＝2x •tan α，然后可得y =12PQ ⋅MC =x •（a ﹣x ）tan α，因为P 从A 运动到B 与P 从B 运动到C 时，对应的△PQR 面积最大值的变化规律是相反的， 所以设0＜x ≤a2，y ＝x •（a ﹣x ）tan α=[−(x −a 2)2+a 24]tanα，（0＜x ≤a2），显然tan α＞0，结合二次函数的性质可知，该函数开口向下，且在（0，a2）上单调递增，C 选项正确．故选：C ．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将结果填在答题纸上的相应位置）11．函数f（x）=√x−2x+1的定义域为（﹣∞，﹣1）∪[2，+∞）．解：要使函数有意义，只需x−2x+1≥0，解得x≥2或x＜﹣1，所以f（x）的定义域为（﹣∞，﹣1）∪[2，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣1）∪[2，+∞）．12．不等式|2x﹣3|＜3的解集是（0，3）．解：|2x﹣3|＜3，则﹣3＜2x﹣3＜3，解得0＜x＜3，故所求的解集为（0，3）．故答案为：（0，3）．13．A={y|y=√x}，B＝{x|x2﹣（a+1）x+a＝0}，B⊆A，则实数a的取值集合是{a|a≥0}．解：A={y|y=√x}={y|y≥0}，B＝{x|x2﹣（a+1）x+a＝0}＝{x|（x﹣1）（x﹣a）＝0}，∵B⊆A，∴a≥0，∴实数a的取值集合是{a|a≥0}．故答案为：{a|a≥0}．14．若存在x∈（0，+∞），使得x2﹣ax+9＝0，则实数a的取值集合是{a|a≥6}．解：存在x∈（0，+∞），使得x2﹣ax+9＝0，则存在x∈（0，+∞），ax＝x2+9，即a=x+9x，设g（x）=x+9 x ，x+9x≥2√x⋅9x=6，当且仅当x＝3时，等号成立，故a≥6，所以实数a的取值集合是{a|a≥6}．故答案为：{a|a≥6}．15．对集合A，B，定义A⊗B＝{（a，b）|a∈A，b∈B}．①若A⊗B的元素个数为4，则A，B可以为：A＝{1，2}，B＝{3，4}．（写出一组即可）②若集合M满足：存在M的子集A，B，使得A⊗B的元素个数不小于100，且对任意（a，b）∈A⊗B，均有（b，a）∈A⊗B，则集合M的元素个数的最小值是10．解：①当A＝{1，2}，B＝{3，4}时，由题意可知：A⊗B＝{（1，3），（1，4），（2，3），（2，4）}，此时A⊗B的元素个数为4，满足题意．②设集合A中元素的个数为m，集合B中元素的个数为n，根据题意可知A⊗B的元素个数为mn，若A⊗B的元素个数为4，则A，B可以为A＝{1，2}，B＝{3，4}，若对任意（a，b）∈A⊗B，均有（b，a）∉A⊗B，则A＝B，m＝n，又A⊗B的元素个数不小于100，则mn＝m2≥100，解得m≥10，因为A，B是集合M的子集，所以集合M的元素个数的最小值是10．故答案为：①A＝{1，2}，B＝{3，4}（答案不唯一）；②10．三、解答题（本大题共3小题，共35分．解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）16．（11分）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6≥0}，B＝（﹣∞，m），其中m∈R．（Ⅰ）若B⊆A，求m的取值集合；（Ⅱ）若A∪B＝R，求m的取值集合．解：（Ⅰ）集合A＝{x|x2﹣x﹣6≥0}＝{x|x≤﹣2或x≥3}，B＝（﹣∞，m），其中m∈R．若B⊆A，则m≤﹣2，∴m的取值集合是{m|m≤﹣2}；（Ⅱ）若A∪B＝R，则m≥3，∴m的取值集合为{m|m≥3}．17．（12分）已知函数f（x）＝ax+bx的定义域为（0，+∞），y＝﹣3x+6与y＝f（x）的图象相交于点A（1，f（1）），B（2，f（2））．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性，并用单调性的定义证明．解：（Ⅰ）根据题意，可得f（1）＝﹣3+6＝3，f（2）＝﹣6+6＝0，故{a+b=32a+b2=0，解得{a=−1b=4，所以f（x）的解析式为f(x)=−x+4x；（Ⅱ）函数f（x）=−x+4x在（0，+∞）上是减函数，理由如下：证明：设任意的x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，可得f（x1）﹣f（x2）=(x2−x1)+(4x1−4x2)=(x2−x1)(1+4x1x2)，因为x1＜x2，且x1、x2都是正数，所以x2﹣x1＞0且1+4x1x2＞0，可得f（x1）＞f（x2）．因此f（x）=−x+4x在（0，+∞）上是减函数．18．（12分）已知函数f（x）＝ax2﹣2x﹣3．（Ⅰ）若关于x的不等式f（x）≥0的解集为{x|x≤﹣1或x≥3}，求a的值；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）＝0有两个不相等的实数根x1，x2，求x1+x2的取值范围；（Ⅲ）若当x∈[3，+∞）时，f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．解：（Ⅰ）依题意﹣1，3是方程ax2﹣2x﹣3＝0的两根，所以﹣1+3=2a，﹣1×3=−3a，解得a＝1，故a的值为1．（Ⅱ）关于x的方程f（x）＝0有两个不相等的实数根x1，x2，所以a≠0，所以x1+x2=2a，Δ＝4+12a＞0，解得a＞−1 3，当−13＜a＜0时，1a＜−3，所以2a＜−6，x1+x2∈（﹣∞，﹣6）；当a＞0时，2a∈(0，+∞)，即x1+x2∈（0，+∞）．综上所述：x1+x2的范围是（﹣∞，﹣6）∪（0，+∞）．（Ⅲ）函数f（x）＝ax2﹣2x﹣3对称轴是x=1 a ，当a＜0时，f（x）在[3，+∞）上f（x）≥0不恒成立，当a＝0时，f（x）＝﹣2x﹣3在[3，+∞）上f（x）≥0不成立，当1a ≤3时，即a≥13时，f（x）在[3，+∞）上单调递增，要使在[3，+∞）上f（x）≥0恒成立，则f（3）＝9a﹣6﹣3≥0，解得a≥1，即a≥1；当1a ＞3时，即0＜a＜13时，f(x)min=f(1a)=1a−2a−3=−1a−3，要使f （x ）≥0在[3，+∞）上恒成立，则−1a −3≥0，解得a ≤−13，矛盾．综上所述，f （x ）≥0在[3，+∞）上恒成立，则a 的取值范围是[1，+∞）．一．选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）19．已知集合A ＝{x ||x |＜4}，B ＝{x |x 2﹣4x +3＞0}，则{x |x ∈A 且x ∉A ∩B }＝（ ）A ．（1，3）B ．[1，3]C ．[﹣4，1]∪[3，4]D ．（﹣4，1）∪（3，4） 解：集合A ＝{x ||x |＜4}＝{x |﹣4＜x ＜4}，B ＝{x |x 2﹣4x +3＞0}＝{x |x ＞3或x ＜1}，A ∩B ＝{x |﹣4＜x ＜1或3＜x ＜4}，故{x |x ∈A 且x ∉A ∩B }＝{x |1≤x ≤3}．故选：B ．20．若xy ≠0，则“x +y ＝1”是“y x +x y +2=1xy ”的（ ） A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 解：由y x +x y +2=x 2+y 2+2xy xy =(x+y)2xy ，可得“y x +x y +2=1xy ”等价于“(x+y)2xy =1xy ”，即x +y＝±1．因此，由x +y ＝1可以得到y x +x y +2=1xy 成立，由y x +x y +2=1xy 不能推出x +y ＝1． 故“x +y ＝1”是“y x +x y +2=1xy ”的充分而不必要条件．故选：A ．21．若x 03+y 03=a （x 0∈Z ，y 0∈Z ），则称（x 0，y 0）是关于x ，y 的方程x 3+y 3＝a 的整数解．关于该方程，下列判断错误的是（ ）A ．∃a ∈Z ，方程x 3+y 3＝a 有无限组整数解B ．∃a ∈Z ，方程x 3+y 3＝a 有且只有两组整数解C ．∀a ∈Z ，方程x 3+y 3＝a 至少有一组整数解D ．∀a ≠0，方程x 3+y 3＝a 至多有有限组整数解解：对于A ：当a ＝0时，由x 3+y 3＝0，得（x +y ）（x 2﹣xy +y 2）＝0，解得y ＝﹣x ，∀x ∈Z ，（x ，﹣x ） 是方程x 3+y 3＝0的整数解，所以，∃a ∈Z ，方程x 3+y 3＝a 有无限组整数解为真命题，故A 正确；对于B ：当a ＝1时，方程x 3+y 3＝1，因为x 0∈Z ，y 0∈Z ，所以有且仅有（0，1）和（1，0）时方程x 3+y 3＝1成立，因此，∃a ∈Z ，方程x 3+y 3＝a 有且只有两组整数解为真命题，故B 正确．对于C ：当a ＝3时，由3＝1×3，3＝3×1，3＝（﹣3）×（﹣1），3＝（﹣1）×（﹣3），仅有这4种整数分解的方法，又x 2﹣xy +y 2≥0，所以{x +y =−1x 2−xy +y 2=−3，无解； 或{x +y =−3x 2−xy +y 2=−1，无解； 或{x +y =1x 2−xy +y 2=3，消去y 得3x 2﹣3x ﹣2＝0，解得x =3±√336，无整数解； 或{x +y =3x 2−xy +y 2=1，消去y 得3x 2﹣9x +8＝0，无解； 综上所述，方程x 3+y 3＝3无整数解，所以，∀a ∈Z ，方程x 3+y 3＝a 至少有一组整数解为假命题，故C 错误．对于D ：若关于x ，y 的方程x 3+y 3＝a 存在整数解（x 0，y 0 ）．由x 0∈Z ，y 0∈Z ，则a ∈Z ，∀a ≠0，整数a 至多有有限组分解方法，可设所有分解形式为a ＝b i c i （i ＝1，2，3，⋯，n ；b i ，c i ∈Z ），由x 3+y 3＝（x +y ）（x 2﹣xy +y 2）＝a ，得{x +y =b i x 2−xy +y 2=c i，i ＝1，2，3，⋯，n ， 消去y 得3x 2﹣3b i x +b i 2−c i ＝0，i ＝1，2，3，⋯，n ，对于b i （i ＝1，2，3，⋯，n ）的每一个确定的值，此关于x 的二次方程最多有2个整数解，即方程组至多有2组整数解．所以，∀a ≠0，方程x 3+y 3＝a 至多有2n 组整数解，故D 正确．故选：C ．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将结果填在答题纸上的相应位置．）22．函数y ＝|x ﹣1|+|x +1|的最小值为 2 ．解：在数轴上，设﹣1、1、x 所对应的点分别是A 、B 、P ，则函数y ＝|x ﹣1|+|x +1|的含义是P 到A 的距离与P 到B 的距离的和，可以分析到当P 在A 和B 之间的时候，距离和为线段AB 的长度，此时最小．即：y ＝|x ﹣1|+|x +1|＝|P A |+|PB |≥|AB |＝2．故答案为：2．23．若∀x ∈[a ，a +1]，∃y ∈[13，12]，使得xy ＝1，则实数a ＝ 2 ．解：∀x ∈[a ，a +1]，∃y ∈[13，12]，使得xy ＝1，即∀x ∈[a ，a +1]，∃1x ∈[13，12]， 所以{1a =121a+1=13，解得a ＝2． 故答案为：2．24．若（x 0，y 0）是方程组{x 24+y 23=1x −3y −3=0的一组解，则代数式√(x 0−1)2+y 02|3y 0−1|的值为 12 ．解：因为（x 0，y 0）是方程组：{x 24+y 23=1x −3y −3=0的一组解，可得3y 0＝x 0﹣3， 所以|3y 0﹣1|＝|x 0﹣1﹣3|＝|x 0﹣4|，且（x 0﹣1）2+y 02=x 02−2x 0+1+3（1−x 024）=x 024−2x 0+4=14（x 0﹣4）2， 所以√(x 0−1)2+y 02|3y 0−1|=12|x 0−4||x 0−4|=12． 故答案为：12．25．设a ＞0，函数f(x)={x +2，x ＜−a−x 2+a 2，−a ≤x ≤a −√x −1，x ＞a，给出下列四个结论：①当a ＝2时，f （x ）在（﹣∞，0）上单调递增；②当a ≥1时，f （x ）存在最大值；③设M （x 1，f （x 1））（x 1≤a ），N （x 2，f （x 2））（x 2＞a ），则|MN |＞1；④若y ＝f （x ），y ＝﹣x 的函数图象有三个公共点，则a 的取值范围是（0，1）．其中所有正确结论的序号是 ①②③④ ．解：依题意，a ＞0，当x ＜﹣a 时，f （x ）＝x +2，其图像为一条右端点取不到的单调递增的射线；当﹣a ≤x ≤a 时，f （x ）＝﹣x 2+a 2，开口向下，对称轴为y 轴，与x 轴交点为（﹣a ，0），（a ，0）， 其图象为抛物线y ＝﹣x 2+a 2 位于x 轴上方（含x 轴交点）部分；当x ＞a 时，f （x ）=−√x −1，其图像是一条左端点取不到的单调递减的曲线；对于①：若a ＝2，则f （x ）的图像如下：由图像可知：f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，故①正确；对于②：当a≥1时，则有：若x＜﹣a时，f（x）＝x+2＜﹣a+2≤1；若﹣a≤x≤a时，f（x）＝﹣x2+a2，显然取得最大值a2＞1；若x＞a时，f(x)=−√x−1＜−√a−1≤﹣2．综上所述：f（x）取得最大值a2，故②正确；对于③：当﹣a≤x1≤a时，结合图像，易知在x1＝a，x2＞a且接近于x＝a处，M（x1，f（x1））（x1≤a），N（x2，f（x2））（x2＞a）的距离最小，当x1＝a时，y1＝f（x1）＝0，当x2＞a且接近于x＝a处，y2＝f（x2）＜−√a−1，此时|MN|＞y1﹣y2＞√a+1＞1；当x1＜a时，若0＜a＜2时，部分射线在x轴上方，此时|MN|＞√a+1＞1；若a≥2时，此时|MN|＞2a≥4；综上所述：|MN|＞1，故③正确；对于④：当x＜﹣a时，令x+2＝﹣x，解得x＝﹣1，可知此时y＝f（x）与y＝﹣x至多有1个交点；当﹣a≤x≤a时，由图象f（x）的图像可知：此时y＝f（x）与y＝﹣x有且仅有一个交点；当x＞a时，令−√x−1=−x，整理得x−√x−1=0，解得√x =1+√52或√x =⋅1−√52（舍去），所以x =3+√52， 可知此时y ＝f （x ）与y ＝﹣x 至多有一个交点；综上所述：y ＝f （x ）与y ＝﹣x 的图象有三个公共点，可知，y ＝f （x ）与y ＝﹣x 在x ＜﹣a 和x ＞a 内均有一个交点，则{a ＞0−a ＞−1a ＜3+√52，解得0＜a ＜1， 所以a 的取值范围是（0，1），故④正确．故答案为：①②③④．三、解答题（本大题共1小题，共12分．解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）26．（12分）对非空数集T ，给出如下定义：定义1：若∀x ，y ∈T ，当x +y ≠x ﹣y 时，{x +y ，x ﹣y }∩T ≠∅，则称T 为强和差集；定义2：若∀x ，y ∈T ，当x +y ≠|x ﹣y |时，{x +y ，|x ﹣y |}∩T ≠∅，则称T 为弱和差集．（Ⅰ）分别判断{0，1}是否为强和差集，{1，2}是否是弱和差集，并说明理由；（Ⅱ）若集合A ＝{1，a ，b }是弱和差集，求A ；（Ⅲ）若强和差集B 的元素个数为12，且1∈B ，求满足条件的集合B 的个数．解：（Ⅰ）由题∀x ，y ∈{0，1}，根据强和差集定义，当x +y ≠x ﹣y 时，x 与y 的所有取值可能为{x =0y =1,，{x =1y =1，都满足{x +y ，x ﹣y }∩{0，1}≠∅， 所以{0，1}是强和差集．∀x ，y ∈{1，2}，根据弱和差集定义，当x +y ≠|x ﹣y |时，x 与y 的所有取值可能为{x =1y =1,，{x =1y =2,，{x =2y =2,，{x =2y =1， 其中{x =2y =2时不满足{x +y ，|x ﹣y |}∩{1，2}≠∅． 所以{1，2}不是弱和差集．（Ⅱ）若集合A ＝{1，a ，b } 是弱和差集，则当{x =1y =1时，{x +y ，|x ﹣y |}＝{2，0}，由题意有{2，0}∩{1，a ，b }≠∅，若0∉{1，a ，b }，则2∈{1，a ，b }，当{x =2y =2时，{4，0}∩{1，a ，b }≠∅⇒4∈{1，a ，b }继续重复以上步骤8∈{1，a ，b }，显然矛盾．所以必有0∈{1，a ，b }，不妨a ＝0，则A ＝{1，0，b }，b ≠0，b ≠1．当{x =1y =b，有{1+b ，|1﹣b |}∩{1，0，b }≠∅， 若1+b ＝0⇒b ＝﹣1，此时A ＝{1，0，﹣1}为弱和差集．若|1−b|=b ⇒b =12，此时A ={1，0，12}为弱和差集．若|1﹣b |＝1⇒b ＝2，此时，A ＝{1，0，2}为弱和差集．所以A ＝{1，0，﹣1}或A ={1，0，12}或A ＝{1，0，2}．（Ⅲ）因为B 为强和差集且1∈B ，如果B 中有其它正数，设其最大值为m （m ＞1），根据强和差集定义得m +1∉B ，m ﹣1∈B ，1﹣m ∈B ，即集合B 有一定的对称性，当{x =m y =m 时，{2m ，0}∩B ≠∅，所以0∈B ．所以以0，1为对称中心依次列出12元素的集合可得：{﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，6}与{﹣6，﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5}，另根据定义可验证得一个强和差集的一个倍数也是强和差集，但必须满足1∈B ，故满足条件的集合B 只有2 个．。
北京市人民大学附属中学2015-2016学年高二上学期期中考试数学(文)试卷 Word版含答案
人大附中2015~2016学年度第一学期期中高二年级数学练习&必修2模块考核试卷2015年11月4日说明：本试卷分I 卷和II 卷，I 卷17道题，共100分，作为模块成绩；II 卷6道题，共50分；I 卷、II 卷共23题，合计150分，作为期中成绩；考试时间120分钟；请在密封线内填写个人信息。
I 卷（共17题，满分100分）一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在机读卡上.） 1.0y +=的倾斜角为（ ）A.6π B. 56π C. 3π D. 23π 2. 已知l 、m 、n 是空间不同的三条直线，则下列结论中正确的（ ）A.若m l ⊥，n l ⊥，则m n ⊥B. 若m l ⊥，n l ⊥，则//m nC.若m l ⊥，//n l ，则m n ⊥D. 若m l ⊥，//n l ，则//m n3. 如果直线1:260l ax y ++=与直线()2:130l x a y +-+=垂直，那么a 等于（ ）A. 2B. 1-C. 2或1-D. 234. 若一个正三棱锥的正（主）视图如图所示，则其体积等于（ ）A.6B. 2C. 3D.1（第6题)5. 圆O ：224x y +=上到直线3450x y +-=的距离为1的点的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个6. 在正三棱柱111ABC A B C -中，2AB =，点D 、E 分别是棱AB 、1BB 的中点，若1DE EC ⊥，则侧棱1AA 的长为（ ）A. 1B. 2C.D.7. 一条光线沿直线220x y -+=照射到y 轴后反射，则反射光线所在的直线方程为（ ） A. 220x y +-= B. 220x y ++= C. 220x y ++= D. 220x y +-=8. 如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为正方形，SA ⊥平面ABCD ，AC 与BD 相交于点O ，点P 是侧棱SC 上一动点，则一定与平面PBD 垂直的平面是（ ）‘ A. 平面SAB B. 平面SAC C. 平面SCD D. 平面ABCD二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把结果填在答题纸中.） 9. 经过点()11A ，，且与直线:3210l x y -+=平行的直线方程为_________________. 10. 直线210x y -+=与圆()()22:111C x y -+-=相交于A B 、两点，则弦AB 的长为____________.11. 若圆C 经过点()13A ，、()35B ，，且圆心C 在直线230x y -+=上，则圆的标准方程为___________.12. 在三棱台111ABC A B C -中，112A B AB =，点E 、F 分别是棱11B C 、11A B 的中点，则在三棱台的各棱所在的直线中，与平面ACEF 平行的有________________.13. 若直线l :()1y k x =+与圆()22:11C x y -+=恒有公共点，则k 的取值范围是__________，直线l 的倾斜角的取值范围是____________.14. 如图，在ABCD 中，1AB BD DC ===，AD BC ==ABCD 沿对角线BD 折成三棱锥'A BCD -，使平面'A BD ⊥平面BCD ，在下列结论中：① 直线CD ⊥平面'A BD ； ② 平面'A BC ⊥平面BCD ； ③ 点B 到平面'A CD； ④ 棱'A C 上存在一点到顶点'A 、B 、C 、D 的距离相等. 所有正确结论的编号是_______________.（第14题图）三、解答题（本大题共3小题，共38分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤） 15. (本题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，ABC ∆的顶点坐标分别为()2,3A ，()13B -，，()31C --， （I ）求BC 边的中线所在直线的方程； （II ）求BC 边的高线所在直线的方程。
北京师范大学附属实验中学15—16学年上学期高一期中考试数学试题(附答案)
北师大附属实验中学2015－2016学年度第一学期高一年级数学期中练习试卷（一卷）班级 分层班级 姓名 学号 分数一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每题只有一个正确答案,将正确答案的序号填在答题卡上）1.设集合{1,0,1}A =-，{|0}B x R x =∈>，则AB =（ ）（A ）{1,0}- （B ）{1}- （C ）{0,1} （D ）{1}2.函数()f x =） （A ）(,2)-∞ （B ）[2,)+∞ （C ）(,2]-∞ （D ）(2,)+∞3.已知幂函数y =f x ()的图象过点（12，2），则f 2()的值为（ ）（A（B （C ）2（D ）－24. 已知0.1 1.32log 0.3,2,0.2a b c ===，则实数,,a b c 的大小关系是（ ） （A ）c a b << （B ）a c b << （C ）a b c << （D ）b c a <<5.下列函数中，既是偶函数又在（0，+¥）上单调递增的函数是（ ） （A ）y =x 3（B ）y =|x |+1（C ）y =-x 2+1 （D ）y =2-|x |6.设函数3y x =与12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象的交点为00()x y ，，则0x 所在的区间是（ ）（A ）(01)，（B ）(12)，（C ）(23)，（D ）(34)，7.已知函数)(x f 是R 上的奇函数，且当0>x 时，232)(x x x f -=，则0<x 时，函数)(x f 的表达式为)(x f =（ ）（A ）232x x + （B ） 232x x - （C ）232x x +- （D ） 232x x -- 8.函数()f x 的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线e x y =关于y 轴对称，则()f x =（ ） （A ）1e x + （B ）1e x - （C ）1e x -+（D ）1e x --二、填空题（本大题4小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在答题纸上） ９．满足关系式{}{}2,31,2,3,4A ⊆⊆的集合A 的个数是____________. 10．函数的图象经过的定点坐标是__________．11. 某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程．在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为___________升. 12. 已知定义域为()+∞,0的函数()x f 满足：（ⅰ）对任意()+∞∈,0x ，恒有()()x f x f 22=成立； （ⅱ）当(]2,1∈x 时，()x x f -=2。
2015北京农大附中高一(上)期中数学
2015北京农大附中高一（上）期中数学一、选择题1．设全集U={1，2，3，4，5}，集合M={1，4}，则∁U M=（）A．{1，4} B．{2，5} C．{2，3，5} D．{3，5}2．在给定映射f：（x，y）→（xy，x+y）下，（4，﹣2）的象是（）A．（2，﹣1）B．（﹣2，﹣1）C．（﹣8，﹣2）D．（﹣8，2）3．与y=|x|为同一函数的是（）A．y=（）2B．y=C．y=D．y=4．函数y=x2+x+2单调减区间是（）A．[﹣，+∞] B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣）D．（﹣∞，+∞）5．函数y=的图象为（）A．B． C． D．6．已知函数f（x）=，则f[f（2）]的值（）A．﹣2 B．1 C．3 D．27．函数f（x）=2x+3x﹣2在区间（0，1）内的零点个数是（）A．0 B．1 C．2 D．38．f（x）是定义域在（﹣2，2）上单调递减的奇函数，当f（2﹣a）+f（2a﹣3）＜0时，a的取值范围是（）A．（0，4）B． C．D．二、填空题9．函数y=的定义域是．10．集合P由1，m，m2﹣3m﹣1三个元素组成，若3∈P且﹣1∉P，则实数m= ．11．已知函数y=x2+2（a﹣1）x+5在区间（4，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是．12．已知A={3，5}，B={x|ax﹣1=0}，B⊆A，则实数a= ．13．若f（x）为偶函数且在（﹣∞，0）上是减函数，又f（﹣2）=0，则x•f（x）＜0的解集为．三、解答题（共4小题，满分28分）14．已知集合A={x|﹣4+a＜x＜4+a}，B={x|＜﹣1或x＞5}．（Ⅰ）若a=1，求出集合A和集合A∩B；（Ⅱ）若A∪B=R，求实数a的取值范围．15．计算：（1）32+0.5﹣2；（2）2•log2+lg4+2lg5．16．已知：指数函数f（x）的图象经过点（2，4）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若f（x﹣1）＜1，求x的取值范围．17．函数f（x）是R上的偶函数，且当x＞0时，函数的解析式为f（x）=（1）求f（﹣1）的值；（2）用定义证明f（x）在（0，+∞）上是减函数；（3）求当x＜0时，函数的解析式．二、填空题18．若f（x）是一次函数，在R上单调递增，且满足f（f（x））=16x+9，则f（x）= ．19．函数y=x2﹣2x（﹣1≤x≤3）的值域是．20．函数f（x）的零点与g（x）=4x+2x﹣2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f（x）可以是（填写下列正确函数的序号）．①f（x）=②f（x）=（x﹣1）2③f（x）=e x﹣1④f（x）=4x﹣1．五、解答题21．定义域在R的单调函数f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y）（x，y∈R），且f（3）=6，（Ⅰ）求f（0），f（1）；（Ⅱ）判断函数f（x）的奇偶性，并证明；（Ⅲ）若对于任意都有f（kx2）+f（2x﹣1）＜0成立，求实数k的取值范围．数学试题答案一、选择题1．【考点】补集及其运算．【分析】由全集U及M，求出M的补集即可．【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5}，M={1，4}，∴∁U M={2，3，5}，故选：C．2．【考点】映射．【分析】根据给出的点的坐标，直接由对应关系求解（4，﹣2）的象．【解答】解：由x=4，y=﹣2，得：xy=﹣8，x+y=2．∴在给定映射f：（x，y）→（xy，x+y）下，（4，﹣2）的象是（﹣8，2）．故答案为：D．3．【考点】判断两个函数是否为同一函数．【分析】先求y=|x|的定义域与值域，再分别求出所给的四个函数的定义域与值域，进行对比得出答案．【解答】解：函数y=|x|的定义域为R，值域为[0，+∞），A中，函数的定义域为[0，+∞），A不能选；B中， =|x|，两者是同一个函数；C中，定义域中无实数0，∴定义域不同；D中，函数值可以取负值，∴值域不同．故选：B．4．【考点】二次函数的性质．【分析】由已知中函数的解析式，分析函数图象的形状，结合图象下降对应函数的单调减区间，可得答案．【解答】解：函数y=x2+x+2的图象是开口朝上，且以直线x=为对称轴的抛物线故函数y=x2+x+2单调减区间是（﹣∞，﹣）故选：C5．【考点】指数函数的图象变换．【分析】根据指数函数的图象和性质即可判断．【解答】解：根据指数函数耳朵图象和性质，y=a x，当a＞1时，函数为增函数，当0＜a＜1，函数为减函数，故选：C．6．【考点】函数的值．【分析】根据分段函数及复合函数知，先求内，后求外，注意自变量的取值所在的范围即可．【解答】解：∵f（x）=，∴f（2）=22﹣3=1，f[f（2）]=f（1）=1+1=2，故选：D．7．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】函数f（x）=2x+3x﹣2在区间（0，1）上为增函数，且为连续函数，由零点存在定理，可得答案．【解答】解：函数f（x）=2x+3x﹣2在区间（0，1）上为增函数，且为连续函数，∵f（0）=﹣1＜0，f（1）=3＞0，故函数f（x）=2x+3x﹣2在区间（0，1）内有且只有一个零点，故选：B．8．【考点】函数单调性的性质；函数奇偶性的性质．【分析】条件f（2﹣a）+f（2a﹣3）＜0的等价转化为f（2﹣a）＜﹣f（2a﹣3），进而化为f（2﹣a）＜f（﹣2a+3），最后2﹣a＞﹣2a+3．【解答】解：∵f（2﹣a）+f（2a﹣3）＜0，∴f（2﹣a）＜﹣f（2a﹣3），∵f（x）是奇函数，∴f（2﹣a）＜f（﹣2a+3），∵f（x）是定义域在（﹣2，2）上单调递减函数，∴∴a∈2﹣a＞﹣2a+3故选D二、填空题9．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据函数成立的条件即可求函数的定义域．【解答】解：要使函数有意义，则，即，即x≥﹣且x≠2，即函数的定义域为{x|x≥﹣且x≠2}，故答案为：{x|x≥﹣且x≠2}．10．【考点】元素与集合关系的判断．【分析】通过集合P由1，m，m2﹣3m﹣1三个元素组成，若3∈P且﹣1∉P，列出m的关系式，求解即可．【解答】解：因为集合P由1，m，m2﹣3m﹣1三个元素组成，若3∈P且﹣1∉P，所以…①或…②，解①可知﹣1∈P，不满足题意；解②可得m=4或m=﹣1（舍去）．综上m=4．故答案为：4．11．【考点】二次函数的性质．【分析】容易求出该二次函数的对称轴为x=1﹣a，这样根据二次函数在（4，+∞）上是增函数便可建立关于a的不等式，解出a的取值范围即可．【解答】解：二次函数y=x2+2（a﹣1）x+5的对称轴为x=1﹣a；∵该函数在（4，+∞）上是增函数；∴1﹣a≤4；∴a≥﹣3；∴实数a的取值范围是[﹣3，+∞）．故答案为：[﹣3，+∞）．12．【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】根据B⊆A，建立条件关系即可求实数a的取值．【解答】解：由题意，集合A={3，5}，B={x|ax﹣1=0}．∵B⊆A，∴当B=∅时，满足题意，此时ax﹣1=0无解，a=0．当B≠∅时，ax﹣1=0有解，x=，要使B⊆A成立，则有：或，解得：a=或．所以实数a的值为；0或或．故答案为：0或或．13．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据题意，又是填空题可用特殊图象法来求解．【解答】解：由f（x）为偶函数且在（﹣∞，0）上是减函数，又f（﹣2）=0，作一个函数图象，如图所示，易知x•f（x）＜0的解集为﹣（﹣∞，﹣2）∪（0，2）．三、解答题（共4小题，满分28分）14．【考点】交集及其运算；并集及其运算．【分析】（Ⅰ）把a的值代入确定出A，求出A与B的交集即可；（Ⅱ）根据A与B的并集为R，确定出a的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）把a=1代入得：A={x|﹣3＜x＜5}，∵B={x|x＜﹣1或x＞5}，∴A∩B={x|﹣3＜x＜﹣1}；（Ⅱ）∵A={x|﹣4+a＜x＜4+a}，B={x|x＜﹣1或x＞5}，且A∪B=R，∴，解得：1＜a＜3，则实数a的范围是{a|1＜a＜3}．15．【考点】对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值．【分析】直接利用有理指数幂的运算性质和对数的运算性质化简求值．【解答】解：（1）32+0.5﹣2=；（2）2•log2+lg4+2lg5=3×（﹣3）+2（lg2+lg5）=﹣9+2=﹣7．16．【考点】指数函数的单调性与特殊点．【分析】（1）设f（x）=a x，利用待定系数法进行求解．（2）根据指数函数的单调性，解指数不等式即可．【解答】解：（1）设f（x）=a x，∵f（x）的图象经过点（2，4）．∴f（2）=a2=4，则a=2，即f（x）=2x．（2）若f（x﹣1）＜1，则2x﹣1＜1，即x﹣1＜0，得x＜1，即不等式的解集为（﹣∞，1）．17．【考点】函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的判断与证明；偶函数．【分析】（1）利用偶函数的性质可得，f（﹣1）=f（1），把x=1代入当x＞0时，函数的解析式求值．（2）设a＞b＞0，化简f（a）﹣f（b）到因式乘积的形式，判断符号，根据增减函数的定义做出判断．（3）设x＜0，则﹣x＞0，利用x＞0时，函数的解析式，求出 f（﹣x）的解析式，再利用偶函数的定义求即得x ＜0时的解析式．【解答】解：（1）f（﹣1）=f（1）=2﹣1=1．（2）证明：设a＞b＞0，f（a）﹣f（b）=（﹣1）﹣（﹣1）=，由a＞b＞0知，＜0，∴f（a）＜f（b），∴f（x）在（0，+∞）上是减函数．（3）设x＜0，则﹣x＞0，∴f（﹣x）=﹣1=f（x），∴f（x）=﹣1，即当x＜0时，函数的解析式为 f（x）=﹣1．二、填空题18．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【分析】根据条件，利用待定系数法建立方程进行求解即可．【解答】解：设f（x）=ax+b，（a＞0），则由f（f（x））=16x+9，得a（ax+b）+b=a2x+ab+b=16x+9，则，得，即f（x）=4x+，故答案为：4x+19．【考点】函数的值域．【分析】结合二次函数的图象及性质，由单调性即可求值域．【解答】解：∵函数y=x2﹣2x（﹣1≤x≤3）a＞0，开口向上，对称轴由二次函数的图象可知：x=1时，y取得最小值，即y min=﹣1x=﹣1或3时，y取得最大值，即y max=3．所以：函数y=x2﹣2x（﹣1≤x≤3）的值域是[﹣1，3]．故答案为：[﹣1，3]．20．【考点】函数的零点．【分析】先判断g（x）的零点所在的区间，再求出各个选项中函数的零点，看哪一个能满足与g（x）=4x+2x﹣2的零点之差的绝对值不超过0.25．【解答】解：∵g（x）=4x+2x﹣2在R上连续递增，且g（）=﹣＜0，g（）=2+1﹣2=1＞0．设g（x）=4x+2x﹣2的零点为x0，则＜x0＜，0＜x0﹣＜，∴|x0﹣|＜．又f（x）=零点为x=；f（x）=（x﹣1）2零点为x=1；f（x）=e x﹣1零点为x=0；f（x）=4x﹣1零点为x=，故答案为④．五、解答题21．【考点】抽象函数及其应用；奇偶性与单调性的综合．【分析】（I）取x=0代入函数满足的等式，整理可得f（0）=0．再根据3=1+2=1+1+1，结合定义和f（3）=6，算出f（1）=2；（II）以﹣x取代y，代入函数满足的等式，可得f（x）+f（﹣x）=0，由此可得f（x）是奇函数；（III）根据函数是单调函数且f（0）＜f（1），得f（x）是定义域在R上的增函数．再结合函数为奇函数，将题中不等式转化为kx2＜1﹣2x在上恒成立，最后采用变量分离的方法结合换元法求函数的最小值，可算出k的取值范围．【解答】解：（ I）取x=0，得f（0+y）=f（0）+f（y），即f（y）=f（0）+f（y），∴f（0）=0，∵f（3）=f（1+2）=f（1）+f（2）=f（1）+f（1+1）=f（1）+f（1）+f（1）∴结合f（3）=6，得3f（1）=6，可得f（1）=2；（II）取y=﹣x，得f（0）=f[x+（﹣x）]=f（x）+f（﹣x）=0移项得f（﹣x）=﹣f（x）∴函数f（x）是奇函数；（III）∵f（x）是奇函数，且f（kx2）+f（2x﹣1）＜0在上恒成立，∴f（kx2）＜f（1﹣2x）在上恒成立，又∵f（x）是定义域在R的单调函数，且f（0）=0＜f（1）=2，∴f（x）是定义域在R上的增函数．∴kx2＜1﹣2x在上恒成立．∴在上恒成立．令，由于，∴．∴g（x）min=g（1）=﹣1．∴k＜﹣1．则实数k的取值范围为（﹣∞，﹣1）．。
北京市中央民族大学附属中学2015-2016学年高二上学期期中考试数学(理)试卷答案不全
民大附中2015-2016高二期中考试（理科）一、选择题（每小题4分，共32分）1、双曲线22145x y -=的离心率为B.12C.32 2、命题“存在一点00(,)P x y ，使得220010x y +-≤成立”的否定是A.不存在一点00(,)P x y ，使得220010x y +->成立B.存在一点00(,)P x y ，使得220010x y +->成立C.对任意一点00(,)P x y ，使得220010x y +->成立D.对任意一点00(,)P x y ，使得220010x y +-<成立3、“0a b >>”是“22a b >”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4、已知向量(1,1),(2,2)m n λλ=+=+，若()()m n m n +⊥-，则λ=A.4-B.3-C.2-D.15、设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是A.若,,m n αβαβ⊥⊂⊂，则m n ⊥B.若//,,m n αβαβ⊂⊂，则//m nC.若,,m n m n αβ⊥⊂⊂，则αβ⊥D.若,//,//m m n n αβ⊥，则αβ⊥6、抛物线2y x =上一动点M 到直线:10l x y --=的距离的最小值为A.8B.38C.34D.47、若点P在椭圆2212xy+=上，12,F F分别是椭圆的两焦点，若12FPF∠为直角，则12F PF∆的面积为A.2B.1D.128、已知抛物线2:4M y x=，圆222:(1)(0)N x y r r-+=>，过点(1,0)的直线l与圆N交于,C D两点，交抛物线M于,A B两点，则满足AC BD=的直线l只有三条的必要条件是A.(0,1]r∈ B.(1,2]r∈ C.3(,4)2r∈ D.3[,)2r∈+∞二、填空题（每小题4分，共24分）9、抛物线28y x=-的焦点坐标为________，准线方程为________10、若实数,x y满足2045x yxy+-≥⎧⎪≤⎨⎪<⎩，则s x y=-的最小值为_________11、若双曲线C与双曲线221128x y-=的渐近线相同，并且过点A，求双曲线C的方程_________12、如图所示，O是正方体1111ABCD A BC D-对角线1AC与1AC的交点，E为棱1BB的中点，则空间四边形11OEC D在正方体各面上的投影不可能是_________○1○2○3○413、已知曲线22:153x yCk k+=---，则“45k≤<”是“曲线C表示焦点在y轴上的椭圆”的_________条件14、（1）已知点1(,0)2A -，点B 是圆221:()42F x y -+=上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于点P ，则动点P 的轨迹方程为_________（2）在平面直角坐标系中，,A B 分别为x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线240x y +-=相切，则动圆圆心C 的轨迹为_________三、解答题（共80分）15、已知:全集U R =，集合{}42x A x =>，集合{02x B xx ⎫=<⎬+⎭ （1）求,A B（2）若()MA B R =，且()M A B =∅，求集合M16、已知ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c cos 1,1B B b -==（1）若512A π=，求c （2）若2a c =，求ABC ∆的面积17、如图，长方形ABCD 中，2AB AD =，M 为CD 的中点，将ADM ∆沿AM 折起，使得平面ADM ⊥平面ABCM ，点O 是线段AM 的中点（1）求证：平面DOB ⊥平面ABCM（2）求证：AD BM ⊥（3）过点D 是否存在一条直线l ，同时满足以下两个条件：○1l ⊂平面BCD ○2//l AM ，说明理由18、已知,A B 是抛物线24y x =上异于原点O 的两点，且0OA OB ⋅=（1）求证：直线AB 恒过定点(4,0)（2）若将0OA OB ⋅=改为(0)OA OB m m ⋅=≠，判断直线AB 是否经过一定点。
XXX2015-2016学年高一数学上学期期中考试试卷
XXX2015-2016学年高一数学上学期期中考试试卷XXX2015-2016学年高一上学期期中考试数学试卷分为两卷，卷（Ⅰ）100分，卷（Ⅱ）50分，满分共计150分。
考试时间为120分钟。
卷（Ⅰ）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
1.如果A＝{x|x>−1}，那么正确的结论是A．A⊆B。
{0}∈A C。
{0}∈C2.函数f（x）＝2−2x，则f（1）＝A。
0 B.−2 C.2/2 D.−2/23.设全集I={x|x∈Z−3<x<3}，A={1，2}，B={−2，−1，2}，则A∪(I∩B)等于A。
{1} B。
{1，2} C。
{2} D。
{0，1，2}4.与函数y＝10lg(x−1)的定义域相同的函数是A。
y＝x−1 B。
y＝x−1 C。
y＝1/(x−1) D。
y＝x−15.若函数f（x）＝3＋3x−x与g（x）＝3−3^(−x)的定义域均为R，则A。
f（x）与g（x）均为偶函数 B。
f（x）为偶函数，g （x）为奇函数C。
f（x）与g（x）均为奇函数 D。
f（x）为奇函数，g （x）为偶函数6.设a=log_3(2)，b=ln2，c=5，则A。
a<b<XXX<c<a C。
c<a<b D。
c<b<a7.设函数y=x和y=1/2，则y的交点为（x，y），则x所在的区间是A.（，1）B.（1，2）C.（2，3）D.（3，4）8.已知函数f（x）是R上的偶函数，当x≥1时f(x)=x−1，则f（x）<0的解集是A.（−1，∞）B.（−∞，1）C.（−1，1）D.（−∞，−1）∪(1，∞)9.某商店同时卖出两套西服，售价均为168元，以成本计算，一套盈利20%，另一套亏损20%，此时商店A.不亏不盈B.盈利37.2元C.盈利14元D.亏损14元10.设函数f（x）在R上是减函数，则A。
f（a）>f（2a）B。
2015北京市民大附中高一(上)期中数学
2015北京市民大附中高一（上）期中数 学2015．11一、选择题（共8小题）.1. 已知集合(){}lg 1,A x y x ==-全集U R =，则有U C A =（ ）A.(),1-∞B. (],1-∞C. ()1,+∞D. [)1,+∞2. 下列图示所表示的对应关系不是映射的是（ ）A. B. C. D.3. 若函数()f x 是一次函数，且函数图像经过点()()0,1,1,3-，则()f x 的解析式为（ ）A.()21f x x =-B. ()21f x x =+C. ()21f x x =--D. ()21f x x =-+4. 若函数()23f x x =-，则()15f -=（ ）A. 4B. 5C. 6D. 75. 若实数0.130.32,log 2,log 4a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（ ）A. a b c >>B.b a c >>C. c a b >>D. a c b >>6. 若函数()23f x x =，则()f x 的图像为（ ）A. B. C. D.7. 函数()32f x x x =-+在下列区间内一定存在零点的是 A. ()1,2 B. ()0,1 C. ()2,1-- D. ()1,0-8. 函数()f x 为定义在R 上的奇函数，且在()0,+∞上为增函数，()30f =，则不等式()210f x -≥的解为 A. [)11,2,2⎡⎫-⋃+∞⎪⎢⎣⎭ B. ()11,2,2⎡⎤-⋃+∞⎢⎥⎣⎦ C.[)2,+∞ D. 11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭二、填空题（本大题共6小题）．9. 集合{},a b 的所有子集是：{}{},a b ，_____,______;10. 已知函数()21f x x +=，则函数()f x 的解析式为()f x =_________; 11. 某班共有15人参加数学和物理课外兴趣小组，其中只参加数学兴趣小组的有5人，两个小组都参加的有4人，则只参加物理兴趣小组的有______人；12. 若函数()()()221030x x x x f x x ⎧-++>⎪=⎨≤⎪⎩，方程()f x m =有两解，则实数m 的取值范围为_______; 13. 函数()()22log 2f x x x =-单调减区间为________; 14．对于函数()f x ，若存在实数0M >,使得对于定义域内的任意的x ，使得函数()f x M ≤，则称函数()f x 为有界函数，下列函数是有界函数的是________________① 2+1y x = ② 22y x x =-+ ③ 12y x -=④ (]()ln 1,y x x e =∈ ⑤ 2x y -= ⑥ 2x y x =+三、解答题15.计算下列指、对数式的值（Ⅰ）()1332log 4log 32log 3-- （Ⅱ）31log 500.33++16.已知()()()22log ,9,f x x g x x y f g x ==-=⎡⎤⎣⎦若（Ⅰ）求函数()y f g x =⎡⎤⎣⎦的解析式；（Ⅱ）求()()1,1f g f g -⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦的值；（Ⅲ）判别并证明函数()y f g x =⎡⎤⎣⎦的奇偶性。
北京市高一数学上学期期中试题
C. 亏损140元D。 盈利140元
10. 设函数f（x)在(—∞,+∞）上是减函数，则（ ）
A. B。
C。 D.
二、填空题:本大题共4小题,每 小题5分,共20分
11。 =_______.
12。 已知函数y=f（x）为奇函数，若f（3)-f（2）=1，则f（—2)—f（—3）=_______.
①f（x）= ；②f(x）=3 —1 ；③f（x）=|ln x｜； ④f（x）=lg｜x|.其中具有性质 的函数序号是_______。
23。 pH值是水溶液的重要理化参数。若溶液中氢离子的浓度为[H ]（单位：mol/l)，则其pH值为—lg[H ］。在标准温度和气压下，若水溶液pH=7,则溶液为中性，pH〈7时为酸性，pH〉7时为碱性.例如，甲溶液中氢离子浓度为0.0001mol/l，其pH为- 1g0。0001，即pH=4。已知乙溶液的pH=2，则乙溶液中氢离子浓度为______mol/l。若乙溶液中氢离子浓度是丙溶液的 两千万倍,则丙溶液的酸碱性为______（填中性、酸性或碱性）。
所以g（x）=x —2x—2—mx=x —（2+m）x-2.
又因为g（x）是偶函数，所以g（-x)=g（x)。
所以（—x) -（2+m)（-x）—2=x -（2+m)x—2.
所以2(2+m）x=0.
因为x是任意实数，所以2+m=0.
所以m=-2。
17。（Ⅰ）当k=1时，由a-a >0得a> a 。
因为0<a〈1，所以x〉1，即函数f(x）的定义域为｛x｜x>1｝。
D。 f（x)为偶函数，g（x）为奇函数
5. 设a=lg 0.2，b= ，c= ,则( ）
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2015-2016学年北京市民大附中高一（上）期中数学试卷一、选择题（共8小题）.1．（3分）已知集合A={x|y=lg（x﹣1）}，全集U=R，则有∁U A=（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，1]C．（1，+∞）D．[1，+∞）2．（3分）下列图示所表示的对应关系不是映射的是（）A．B．C．D．3．（3分）若函数f（x）是一次函数，且函数图象经过点（0，1），（﹣1，3），则f（x）的解析式为（）A．f（x）=2x﹣1 B．f（x）=2x+1 C．f（x）=﹣2x﹣1 D．f（x）=﹣2x+1 4．（3分）若函数f（x）=2x﹣3，则f﹣1（5）=（）A．4 B．5 C．6 D．75．（3分）若实数a=20.1，b=log32，c=log0.34，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞c＞b6．（3分）若函数，则f（x）的图象为（）A．B．C．D．7．（3分）函数f（x）=x3﹣x+2在下列区间内一定存在零点的是（）A．（1，2） B．（0，1） C．（﹣2，﹣1）D．（﹣1，0）8．（3分）函数f（x）为定义在R上的奇函数，且在（0，+∞）上为增函数，f （3）=0，则不等式f（2x﹣1）≥0的解为（）A．B．C．[2，+∞）D．二、填空题（本大题共6小题）．9．（3分）集合{a，b}的所有子集是：{a}，{b}，，．10．（3分）已知函数f（x+1）=x2，则函数f（x）的解析式为f（x）=．11．（3分）某班共有15人参加数学和物理课外兴趣小组，其中只参加数学兴趣小组的有5人，两个小组都参加的有4人，则只参加物理兴趣小组的有人．12．（3分）若函数，方程f（x）=m有两解，则实数m 的取值范围为．13．（3分）函数单调减区间为．14．（3分）对于函数f（x），若存在实数M＞0，使得对于定义域内的任意的x，使得函数|f（x）|≤M，则称函数f（x）为有界函数，下列函数是有界函数的是①y=2x+1②y=﹣x2+2x③y=2x﹣1④y=lnx（x∈（1，e]）⑤y=2﹣|x|⑥．三、解答题15．计算下列指、对数式的值（Ⅰ）（Ⅱ）．16．已知（Ⅰ）求函数y=f[g（x）]的解析式；（Ⅱ）求f[g（1）]，f[g（﹣1）]的值；（Ⅲ）判别并证明函数y=f[g（x）]的奇偶性．17．已知（Ⅰ）求f（﹣1），f（1）的值；（Ⅱ）求f（a）+f（﹣a）的值；（Ⅲ）判别并证明函数f（x）的单调性．18．已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），对于定义域内任意x，y，均有f（xy）=f（x）+f（y），且函数在定义域内为单调递减函数．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数f（x）的零点；（Ⅲ）求满足不等式f（2m+1）+f（m）＞0的实数m的范围．19．已知分段函数f（x）=．（1）求实数c的值；（2）当a=1时，求f[f（﹣1）]的值与函数f（x）的单调增区间；（3）若函数f（x）有且仅有一个零点，求实数a的取值范围．20．若A n=（a i=0或1，i=1，2，…n），则称A n为0和1的一个n位排列，对于A n，将排列记为R1（A n）；将排列记为R2（A n）；依此类推，直至R n（A n）=A n．对于排列A n和R i（A n）（i=1，2，…n ﹣1），它们对应位置数字相同的个数减去对应位置数字不同的个数，叫做A n和R i（A n）的相关值，记作t（A n，R i（A n）），（Ⅰ）例如A3=，则R1（A3）=，t（A3，R1（A3））=；若t（A n，R i（A n））=﹣1（i=1，2，…n﹣1），则称A n为最佳排列（Ⅱ）当n=3，写出所有的n位排列，并求出所有的最佳排列A3；（Ⅲ）证明：当n=5，不存在最佳排列A5．2015-2016学年北京市民大附中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8小题）.1．（3分）已知集合A={x|y=lg（x﹣1）}，全集U=R，则有∁U A=（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，1]C．（1，+∞）D．[1，+∞）【解答】解：由于函数y=y=lg（x﹣1）有意义，∴x﹣1＞0，即x＞1集合A={x|y=lg（x﹣1）}=（1，+∞）由于全集U=R，所以C U A=（﹣∞，1]，故选：B．2．（3分）下列图示所表示的对应关系不是映射的是（）A．B．C．D．【解答】解：若在M中的任意一个元素，在N中都有唯一的元素对应，则M到N的对应叫映射，A、B、D符合映射的定义，是映射，C中，M的元素b在N中有两个对应的元素，不符合映射的定义，不是映射．故选：C．3．（3分）若函数f（x）是一次函数，且函数图象经过点（0，1），（﹣1，3），则f（x）的解析式为（）A．f（x）=2x﹣1 B．f（x）=2x+1 C．f（x）=﹣2x﹣1 D．f（x）=﹣2x+1【解答】解：∵函数f（x）是一次函数，∴其解析式可以假设为f（x）=kx+b （k≠0），∵函数图象经过点（0，1），（﹣1，3），∴f（0）=1，f（﹣1）=3，∴b=1，k=﹣2，∴f（x）=﹣2x+1，故选：D．4．（3分）若函数f（x）=2x﹣3，则f﹣1（5）=（）A．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：由2x﹣3=5，解得x=4．∴f﹣1（5）=4．故选：A．5．（3分）若实数a=20.1，b=log32，c=log0.34，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞c＞b【解答】解：∵a=20.1＞20=1，0=log31＜b=log32＜log33=1，c=log0.34＜log0.31=0，∴a＞b＞c．故选：A．6．（3分）若函数，则f（x）的图象为（）A．B．C．D．【解答】解：f（﹣x）===f（x），所以函数f（x）为偶函数，故图象关于y轴对称，故排除B，D，由f′（x）=，当x＞0时，f′（x）为减函数，故f（x）的切线的斜率越来越小，故f（x）增加的越来越慢，故选：A．7．（3分）函数f（x）=x3﹣x+2在下列区间内一定存在零点的是（）A．（1，2） B．（0，1） C．（﹣2，﹣1）D．（﹣1，0）【解答】解：f（﹣2）=﹣8+2+2=﹣4＜0，f（﹣1）=﹣1+1+2=2＞0，则函数f（x）在（﹣2，﹣1）上存在零点，故选：C．8．（3分）函数f（x）为定义在R上的奇函数，且在（0，+∞）上为增函数，f （3）=0，则不等式f（2x﹣1）≥0的解为（）A．B．C．[2，+∞）D．【解答】解：∵奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，f（3）=0，∴函数f（x）在（﹣∞，0）上为增函数，且f（﹣3）=﹣f（3）=0，作出函数f（x）的草图：如图：由不等式f（2x﹣1）≥0得2x﹣1≥3或2x﹣1=0或﹣3≤2x﹣1＜0，即x≥2或x=或﹣1≤x＜，综上x≥2或﹣1≤x≤，即不等式的解集为，故选：B．二、填空题（本大题共6小题）．9．（3分）集合{a，b}的所有子集是：{a}，{b}，∅，{a，b} ．【解答】解：集合{a，b}的所有子集：∅，{a}，{b}，{a，b}．故答案为：∅，{a，b}．10．（3分）已知函数f（x+1）=x2，则函数f（x）的解析式为f（x）=（x﹣1）2．【解答】解：令t=x+1，则x=t﹣1，∴f（t）=（t﹣1）2，∴f（x）=（x﹣1）2．故答案为：（x﹣1）211．（3分）某班共有15人参加数学和物理课外兴趣小组，其中只参加数学兴趣小组的有5人，两个小组都参加的有4人，则只参加物理兴趣小组的有6人．【解答】解：由题意可得到只参加物理兴趣小组的人数为15﹣5﹣4=6人，故答案为：612．（3分）若函数，方程f（x）=m有两解，则实数m的取值范围为0＜m＜2．【解答】解：如图所示．由题意，x≤0，0＜3x≤1，x＞0，f（x）≤2，∵方程f（x）=m有两解，∴0＜m＜2．故答案为：0＜m＜2．13．（3分）函数单调减区间为[1，2）．【解答】解：由2x﹣x2＞0得0＜x＜2，设t=2x﹣x2，∵y=log2t为增函数，∴要求单调减区间，即求函数t=2x﹣x2（0＜x＜2）的递减区间，∵当1≤x＜2时，函数t=2x﹣x2为减函数，故函数f（x）的单调递减区间为[1，2），故答案为：[1，2）．14．（3分）对于函数f（x），若存在实数M＞0，使得对于定义域内的任意的x，使得函数|f（x）|≤M，则称函数f（x）为有界函数，下列函数是有界函数的是④⑤⑥①y=2x+1②y=﹣x2+2x③y=2x﹣1④y=lnx（x∈（1，e]）⑤y=2﹣|x|⑥．【解答】解：若函数f（x）为有界函数，则函数的值域是有界的．①y=2x+1的值域为R，故不是有界函数，②y=﹣x2+2x的值域为（﹣∞，1]，故不是有界函数，③y=2x﹣1的值域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），故不是有界函数，④y=lnx（x∈（1，e]）的值域为（0，1]为有界函数；⑤y=2﹣|x|的值域为（0，1]为有界函数；⑥．的值域为（﹣1，1）为有界函数；故答案为：④⑤⑥三、解答题15．计算下列指、对数式的值（Ⅰ）（Ⅱ）．【解答】解：（Ⅰ）=×=×==3．（Ⅱ）=1+3×5=16．16．已知（Ⅰ）求函数y=f[g（x）]的解析式；（Ⅱ）求f[g（1）]，f[g（﹣1）]的值；（Ⅲ）判别并证明函数y=f[g（x）]的奇偶性．【解答】解：（1）∵f（x）=log2x，g（x）=9﹣x2，∴y=f[g（x）]=（﹣3＜x＜3）；（2）f[g（1）]=log28=3，f[g（﹣1）]=log28=3；（3）偶函数，证明：定义域为（﹣3，3），关于原点对称，∵y=f[g（x）]=，∴f[g（﹣x）]=，∴y=f[g（﹣x）]=y=f[g（x）]，∴y=f[g（x）]为偶函数．17．已知（Ⅰ）求f（﹣1），f（1）的值；（Ⅱ）求f（a）+f（﹣a）的值；（Ⅲ）判别并证明函数f（x）的单调性．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴f（﹣1）==，f（1）==；（Ⅱ）f（a）+f（﹣a）=+=+=1；（Ⅲ）函数f（x）是定义域R上的单调增函数，证明如下：任取x1、x2∈R，且x1＜x2，∴＜，（1+）（1+）＞0，∴f（x1）﹣f（x2）=﹣=＞0，即f（x1）＜f（x2），∴函数f（x）是定义域R上的单调增函数．18．已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），对于定义域内任意x，y，均有f（xy）=f（x）+f（y），且函数在定义域内为单调递减函数．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数f（x）的零点；（Ⅲ）求满足不等式f（2m+1）+f（m）＞0的实数m的范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，f（xy）=f（x）+f（y）令x=y=1得f（1）=f（1）+f（1），解得f（1）=0，令x=a，y=，∴f（a）+f（）=f（1）=0；（Ⅱ）∵函数在定义域内为单调递减函数，∵f（1）=0，∴在定义域内只有一个零点x=1；（Ⅲ）f（2m+1）+f（m）＞0，∴f（2m+1）+f（m）＞f（1），∴（m+1）（2m﹣1）＜0，∴﹣1＜m＜，∵m＞0，∴0＜m＜19．已知分段函数f（x）=．（1）求实数c的值；（2）当a=1时，求f[f（﹣1）]的值与函数f（x）的单调增区间；（3）若函数f（x）有且仅有一个零点，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）因为两段都取到x=0，所以当x=0时的函数值相等，即20=c，因此c=1（2）因为a=1，所以，所以由解析式可知：f（x）的增区间是（﹣∞，0）和（1，+∞）（3）由解析式知：当x≤0时：函数没有零点当x≥0时：f（x）=（ax﹣1）（x﹣1），此时函数一定有一个零点x=1令h（x）=ax﹣1，则函数h（x）要么没有零点，要么有且只有一个零点x=1，而：当a=0时，此函数没有零点，符合题意当a＜0时，此函数没有零点，符合题意当a＞0时，若a=1，此函数有且只有一个零点x=1，符合题意；其它取值都有不等于1的根，不符合题意所以：当a∈（﹣∞，0]∪{1}时，函数f（x）有且只有一个零点20．若A n=（a i=0或1，i=1，2，…n），则称A n为0和1的一个n位排列，对于A n，将排列记为R1（A n）；将排列记为R2（A n）；依此类推，直至R n（A n）=A n．对于排列A n和R i（A n）（i=1，2，…n ﹣1），它们对应位置数字相同的个数减去对应位置数字不同的个数，叫做A n和R i（A n）的相关值，记作t（A n，R i（A n）），（Ⅰ）例如A3=，则R1（A3）=，t（A3，R1（A3））=﹣1；若t（A n，R i（A n））=﹣1（i=1，2，…n﹣1），则称A n为最佳排列（Ⅱ）当n=3，写出所有的n 位排列，并求出所有的最佳排列A 3； （Ⅲ）证明：当n=5，不存在最佳排列A 5． 【解答】解：（Ⅰ）当A 3=，R 1（A 3）=，t （A 3，R 1（A 3））=1﹣2=﹣1， 故答案为：，﹣1…（4分）（Ⅱ）当n=3时，所有的3位排列有：，，，，，，，最佳排列A 3为，，，，，…（8分）证明：（Ⅲ）设A 5=，则R 1（A 5）=，因为 t （A 5，R 1（A 5））=﹣1，所以|a 1﹣a 5|，|a 2﹣a 1|，|a 3﹣a 2|，|a 4﹣a 3|，|a 5﹣a 4|之中有2个0，3个1．按a 5→a 1→a 2→a 3→a 4→a 5的顺序研究数码变化，由上述分析可知有2次数码不发生改变，有3次数码发生了改变．但是a 5经过奇数次数码改变不能回到自身，所以不存在A 5，使得t （A 5，R 1（A 5））=﹣1，从而不存在最佳排列A 5． …（12分）赠送初中数学几何模型【模型二】半角型：图形特征：AB正方形ABCD 中，∠EAF =45° ∠1=12∠BAD 推导说明：1.1在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且∠FAE ＝45°，求证：EF ＝BE +DFE-a1.2在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且EF ＝BE +DF ，求证：∠FAE ＝45°DEa +b-aa45°ABE挖掘图形特征：x-aa-a运用举例：1．正方形ABCD 的边长为3，E 、F 分别是AB 、BC 边上的点,且∠EDF =45°.将△DAE 绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCM . （1）求证：EF =FM（2）当AE =1时，求EF 的长．E3．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C ＝90°，BC ＝CD ＝2AD ＝4，E 为线段CD 上一点，∠ABE＝45°.（1）求线段AB的长；（2）动点P从B出发，沿射线．．BE运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t，则t为何值时，△ABP为等腰三角形；（3）求AE－CE的值.变式及结论：4.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图2），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．F。