公开课、竞赛课课件 弧、弦、圆心角
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27.2(1)圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系PPT课件
·学习就是为了达到一定目的而努力去干, 是为一个目标去 战胜各种困难的过程,这个过程会充满压力、痛苦和挫折
Learning Is To Achieve A Certain Goal And Work Hard, Is A Process To Overcome Various Difficulties For A Goal
所对的弦也相等。
ＡB=CD吗？
弧AB与弧CD呢？
Ａ Ｂ
Ｃ Ｄ
O
圆心角定理：
在同圆或等圆中，相等的圆 心角所对的弧相等，所对的 弦也相，等所对的弦的弦心距也 相等
弦AB和弦ＣＤ 对应的弦心距 什么关系？
A Ｅ B
o
C Ｆ D
提问与解答环节
Questions And Answers
谢谢聆听
C
D
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？
如图：
A
AOB= COD
B
o
C
D
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？
如图：
A
AOB= COD
B
o
C
D
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？
如图：
A
AOB= COD
B
o
C
DБайду номын сангаас
Learning Is To Achieve A Certain Goal And Work Hard, Is A Process To Overcome Various Difficulties For A Goal
所对的弦也相等。
ＡB=CD吗？
弧AB与弧CD呢？
Ａ Ｂ
Ｃ Ｄ
O
圆心角定理：
在同圆或等圆中，相等的圆 心角所对的弧相等，所对的 弦也相，等所对的弦的弦心距也 相等
弦AB和弦ＣＤ 对应的弦心距 什么关系？
A Ｅ B
o
C Ｆ D
提问与解答环节
Questions And Answers
谢谢聆听
C
D
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？
如图：
A
AOB= COD
B
o
C
D
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？
如图：
A
AOB= COD
B
o
C
D
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？
如图：
A
AOB= COD
B
o
C
DБайду номын сангаас
九年级数学圆心角_弧_弦_弦心距的关系课件人教版
如图，AC与BD为⊙O的两条互 相垂直的直径. ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 求证：AB=BC=CD=DA; AB=BC=CD=DA. 证明: ∵AC与BD为⊙O的两条互相垂直的直径, ∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOA=90º ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ∴ AB=BC=CD=DA AB=BC=CD=DA(圆心角定理)
（４）
思考
如图，⊙O在△ABC三边上截得的弦长相 等，∠A=70°， A 则∠BOC=＿＿＿度。
O
B
C
解：过O作OM⊥AB，ON⊥AC，OP⊥BC， 垂足分别为M，N，P ∵∠A=70°，∠B+∠C=180°-∠A=110° ∵⊙O在△ABC三边上截得的 弦长相等， ∴OM=ON=OP， ∴O是∠B，∠C平分线的交点 ∴∠BOC=180°-12（∠B+∠C） =180°-12×110°=125°．
练习
如图，AB、CD是⊙O的两条弦．
AOB COD AB CD （1）如果AB=CD，那么___________，_________________．
（2）如果
AOB COD AB=CD AB CD ，那么____________，_____________．
AB=CD （3）如果∠AOB=∠COD，那么_____________，_________． AB CD
·
下面的说法正确吗?为什么? 如图,因为 AOB AOB 根据圆心角、弧、 弦的关系定理可知：
弧弦圆心角课件
么它们所对的弧和所对的弦也必然相等。
03
应用
在解决与圆有关的几何问题时，可以利用圆心角相等定理来寻找相等的
弧和相等的弦，从而简化问题。同时，该定理也可以用于证明一些与圆
有关的性质或定理。
03
弧弦圆心角判定方法
判定方法一：利用性质定理判定
性质定理一
在同圆或等圆中，相等的圆心角 所对的弧相等，所对的弦也相等
通过弧弦圆心角关系，可以将一些复杂的正弦、余弦恒等式转化为简单的等式进行证明 。
利用弧弦圆心角关系证明正切恒等式
通过弧弦圆心角关系，可以将一些复杂的正切恒等式转化为简单的等式进行证明。
应用三：求解三角函数方程
要点一
利用弧弦圆心角关系求解三角函 数方程
在解三角函数方程时，可以利用弧弦圆心角关系将方程转 化为更简单的形式进行求解。例如，将方程中的三角函数 通过弧弦圆心角关系转化为代数式，从而简化方程的求解 过程。
弦长与圆心角关系
在同圆或等圆中，弦长等于其所 对弧长的正弦值与半径的乘积。
在同圆或等圆中，如果两个圆心 角及其所对的两条弦都分别相等 ，那么这两个圆心角所对的两条
弧也相等。
在同圆或等圆中，如果两条弦相 等且它们所对的两个圆心角也相 等，那么这两个圆心角所夹的弧
也相等。
02
弧弦圆心角性质定理
性质定理一：等弧对等弦
《弧、弦、圆心角》名师课件
，分别延长CP、DQ，交⊙O C、D是⊙O上两点，且 AC=BD
于M、N，求证：CP=DQ.
【思路点拨】 由圆心角、弧、弦之间关系定理可以得到线段与角度的
相等关系，可以为证明全等三角形创造条件
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
探究三：圆心角、弧、弦之间关系定理的应用
活动3 大胆探索 证明线段相等与弧度相等
弦、圆心角、弧三量关系： 在同圆或者等圆中，圆心角，弧，弦有一个量相等，那么其他
的量也对应相等.
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
探究三：圆心角、弧、弦之间关系定理的应用
活动1 旧题新解
例1.如图， O 的直径CD与弦AB交于点M，添加条件 写出一个即可），就可得到M是AB的中点.
CD AB
（
AC BC
AD BD
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
探究三：圆心角、弧、弦之间关系定理的应用
活动2 集思广益 求解角度
，∠ACB＝60°，求证 例2.如图，在⊙O中， AB=AC
A
∠AOB=∠AOC=∠BOC．
证明：∵ AB=AC
B
O C
∴ AB=AC，△ABC是等腰三角形． 又 ∠ACB＝60°， ∴ △ABC是等边三角形，AB=BC=CA． ∴ ∠AOB=∠AOC=∠BOC．
于M、N，求证：CP=DQ.
【思路点拨】 由圆心角、弧、弦之间关系定理可以得到线段与角度的
相等关系，可以为证明全等三角形创造条件
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
探究三：圆心角、弧、弦之间关系定理的应用
活动3 大胆探索 证明线段相等与弧度相等
弦、圆心角、弧三量关系： 在同圆或者等圆中，圆心角，弧，弦有一个量相等，那么其他
的量也对应相等.
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
探究三：圆心角、弧、弦之间关系定理的应用
活动1 旧题新解
例1.如图， O 的直径CD与弦AB交于点M，添加条件 写出一个即可），就可得到M是AB的中点.
CD AB
（
AC BC
AD BD
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
探究三：圆心角、弧、弦之间关系定理的应用
活动2 集思广益 求解角度
，∠ACB＝60°，求证 例2.如图，在⊙O中， AB=AC
A
∠AOB=∠AOC=∠BOC．
证明：∵ AB=AC
B
O C
∴ AB=AC，△ABC是等腰三角形． 又 ∠ACB＝60°， ∴ △ABC是等边三角形，AB=BC=CA． ∴ ∠AOB=∠AOC=∠BOC．
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系ppt
P、O的直径为MN，∠APO=∠ CPO 。
求证：PB＝PD
A
M
C P
O
D
B 精选课件ppt
N
9
已知：如图，AD=BC. 求证：AB＝CD
C
A
E
O
B
D
精选课件ppt
10
如图，AB、CD是⊙O的两条弦， OE、OF为AB、CD的弦心距，
如果AB＝CD，那么 ， ，
；
如果OE＝OF，那么 ， ，
；
如果弧AB＝弧CD，那么 ， ， ；
如果∵∠AOB＝∠COD，那么 ， ， 。
A
E
注意前提：
O
B
在同圆或等圆中
C
D
F
下列说法正确吗？为什么？
在⊙O和⊙O’中，∵∠AOB＝∠A’O’B’∴AB＝A’B’
在⊙O和⊙O’中，∵A精B选课＝件pApt’B’，∴弧AB＝弧A’B’ 11
把顶点在圆心的周角等分成360份时，每一 份的圆心角是1°的角。1°的圆心角所对的 弧叫做1°的弧。
E B
P
O
A
F 精选课件ppt
6
已知：如图，点O在∠EPF的平分线上，⊙O和 ∠ EPF的两边分别交于点A，B和C，D。
求证：AB＝CD
E
B
A
O
P
C
《圆心角、弧、弦之间的关系》课件
得∠AOB=∠A′OB′,=''.
相等.
探究点一
圆心角、弧、弦之间的关系
[例 1]如图所示,在☉O 中,=,∠ACB=60°.求证:∠AOB=∠AOC=∠BOC.
[导学探究]
1.由=,可得 AB=AC
,即△ABC 是 等腰 三角形.
2.由∠ACB=60°,可得△ABC 是 等边 三角形,易得∠AOB=∠AOC=∠BOC.
所以△OMC≌△ONC.所以 MC=NC.
圆心角、弧、弦三者之间的关系可以理解为:在同圆或等圆中,(1)圆心角相等;
(2)两条劣弧(或优弧)相等;(3)两条弦相等,三项“知一推二”,即一项相等,
其余两项皆相等.
.
证明:如图所示,连结 OC,
因为 C 为的中点,
所以=.
所以∠MOC=∠NOC.
又因为 M,N 分别是 OA,OB 的中点,
来自百度文库
所以 OM= OA,ON= OB.
因为 OA=OB,所以 OM=ON.
= ,
在△OMC 和△ONC 中, ∠ = ∠,
= ,
2.圆的对称性
第1课时
圆心角、弧、弦之间的关系
一、圆的对称性
1.圆是旋转对称图形,无论绕
是 圆心 .
圆心
旋转多少度,都能与自身重合,对称中心
相等.
探究点一
圆心角、弧、弦之间的关系
[例 1]如图所示,在☉O 中,=,∠ACB=60°.求证:∠AOB=∠AOC=∠BOC.
[导学探究]
1.由=,可得 AB=AC
,即△ABC 是 等腰 三角形.
2.由∠ACB=60°,可得△ABC 是 等边 三角形,易得∠AOB=∠AOC=∠BOC.
所以△OMC≌△ONC.所以 MC=NC.
圆心角、弧、弦三者之间的关系可以理解为:在同圆或等圆中,(1)圆心角相等;
(2)两条劣弧(或优弧)相等;(3)两条弦相等,三项“知一推二”,即一项相等,
其余两项皆相等.
.
证明:如图所示,连结 OC,
因为 C 为的中点,
所以=.
所以∠MOC=∠NOC.
又因为 M,N 分别是 OA,OB 的中点,
来自百度文库
所以 OM= OA,ON= OB.
因为 OA=OB,所以 OM=ON.
= ,
在△OMC 和△ONC 中, ∠ = ∠,
= ,
2.圆的对称性
第1课时
圆心角、弧、弦之间的关系
一、圆的对称性
1.圆是旋转对称图形,无论绕
是 圆心 .
圆心
旋转多少度,都能与自身重合,对称中心
圆心角、弧、弦关系定理PPT课件
（1）如果AB=CD，那么___________， _____________ ， _________________。
（2）如果 AB CD，那么____________，_____________
（3）如果∠AOB=∠COD，那么_____________，__
_____________ _______．
A
证明： ∵ AB=AC．
∴ AB=AC． 又∠ACB=60°，
·O
B
C
∴ △ABC是等边三角形.
∴ AB=BC=CA.
∴ ∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
CHENLI
12
例2：已知：如图（1），已知点O在∠BPD的角平分线PM
上，且⊙O与角的两边交于A、B、C、D，
Байду номын сангаас
求证：AB=CD
B
A P
C
O
M
D B
（1）
变式1：如图（2），∠P的两边与⊙O交与
A
A、B、C、D，AB=CD
P
O
求证：点O在∠BPD的平分线上
C
D
（2）
CHENLI
13
变式2：如图（3），P为⊙O上一点，PO平分∠APB， 求证：PA=PB
A
P
O
(3) B
变式3：如图（4），当P在⊙O内时，PO平分∠BPD，在⊙中 还存在相等的弦吗？
弧、弦、圆心角ppt课件
再见！
你能得到什么结论？
课堂总结
通过这节课的学习，谈谈你掌握了 什么？
（1）本节课学了哪些主要内容？ （2）学习了圆心角定理，你通过本节课的学习，你 能编一道用圆心角定理来解决的数学问题吗？…… （3）数学思想……
布置作业
必做题：课本89页 习题24.1 第 3、4题．
选做题：为建设我们美丽的校园，学校准备把圆形花 坛的外沿分成相等的三部分，每部分用不同颜色的花砖 砌成，请你用所学知识帮助设计一种施工方案
·O
A
·
O1
∵ ∠AOB=∠A1O⌒B1⌒ ∴AB=A1B1 ，AB=A1B1 .
归纳定理
圆心角定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的
弧相等，所对的弦相等.
B
∵
α
∠AOB=∠A1O⌒B1⌒ ∴AB=A1B1 ，AB=A1B1 .
Oα
A1
A B1
探究活动
若题目中，缺少“在同圆或等圆中”这一 条件，结论还能够成立吗？
归纳定理
同圆或等圆的“知一得二”：
(1)圆心角；
Fra Baidu bibliotek
(2)圆心角所对的弧； 知一得二
(3)圆心角所对的弦;
B
其中有一组量相等， 其他两组量也相等
α
A
Oα
A1
B1
几何语言
《弧弦圆心角》完整版课件
A
如图，在⊙O中，2∠AOB=∠COD，CD =2AB成立.
∴∠COB=∠COD=∠DOE=35°
（2）如果
，那么____________，_____________．
（2）如果
，那么____________，_____________．
圆心角、弧、弦之间的关系 在同圆或等圆中，如果两条弦相等呢？
O·
10
延伸： 弧、弦与圆心角关系定理的推论
同圆或等圆中，两个圆心 角、两条圆心角所对的弧、两 条圆心角所对的弦中如果有一 组量相等，它们所对应的其余 各组量也相等.
B
A O
C
D
11
整体理解：
同圆或等圆中 (1) 圆心角
(2) 弧 (3) 弦
知一得二
B
A O
C
D
12
抢答题 1.等弦所对的弧相等. 2.等弧所对的弦相等.
弧、弦、圆心角
1
思考：
问题1：圆是中心对称图形吗？它的对称中心在哪里？
圆是中心对称图形，
·
它的对称中心是圆心.
问题2：圆绕圆心旋转任意一个角度后，能与原来的图形重合吗？
能.（ 这是圆的一个特有性质，我们称之为圆的旋转不变性）.
2
圆心角的定义
交BC于点D，连圆接BD、心CD. 角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角.
弧、弦、圆心角课件(共22张PPT)人教版数学九年级上册
1
∠
3
1
3
= × 90° = 30°
∵OA=OB, ∴∠OAB=∠OBA=45°,
∴∠AEC=∠OAB+∠AOC=45°+30°=75°,即∠AEC的度
数为75°.
例4:如题图,已知∠ AOB=90°, C, D 是的三等分点，连接
AB分别交OC, OD 于点 E, F.
(2)求证: AE=BF=CD.
证明：如答图，连接OC.
= ,
∴ ∠ = ∠.
∵
∵CD⊥OA,CE⊥OB,∴∠ODC=∠OEC=90° .
又∵CO=CO,∴△COD≌△COE,∴OD=OE.
又∵OA=OB, ∴OA-OD=OB-OE,∴AD=BE.
例6:如题图,AB为⊙O的直径,AE为⊙O的弦,C为⊙O上一点,
（分别相等）
你能用文字语言归纳你得到的结论吗？
（在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心
角相等，所对的弦相等）
4.在同圆或等圆中，画任意两条等弦，它们所对的圆心角、所对的弧
有什么关系?
（分别相等）
自主探究
你能用文字语言归纳你得到的结论吗？
（在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆
圆心角∠AOB所对的弧为，所对的弦为弦AB（如图）.
教师讲评
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练习 如图，AB，CD 为⊙O 的两条弦，AB =CD .求证：∠AOC =∠BOD 提示：先证弧相等.
弧的度数
把圆心角等分成 360 份，则每一份的圆心角是 1°，同时整个 圆也被分成了 360 份.则每一份这样的弧叫做 1°的弧.
1°的圆心角对着 1°的弧，1°的弧对着 1°百度文库圆心角. n°的圆心角对着 n°的弧，n°的弧对着 n°的圆心角.
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它 们所对的圆心角相等，所对的弦相等.
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它 们所对的圆心角相等，所对的弧相等.
归纳总结 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心 角相等，所对的弦相等.
∠AOB =∠A’OB ’
归纳总结 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心 角相等，所对的弧相等.
重合 由此你得到什么结论？ 圆是中心对称图形，对称中心就是圆心. 把圆绕圆心旋转任意一个角度呢？ 不管旋转多少度，圆都与自身重合.
接下来，我们就利用圆的旋转不变性继续探究圆的性质.
圆心角
我们把顶点在圆心的角，叫圆心角．如图，∠AOB． 判断下列角是否为圆心角．
圆心角
如图，BC 是圆O 的直径，则图中所有的圆心角分别 是∠A_O__C__，__∠_A__O__B___.（填小于180°的角）
弧、弦、圆心角
教学目标
了解圆心角的概念. 掌握在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有 一组量相等，就可以推出它们所对应的其余各组量也相等.
教学重点 同圆或等圆中弧、弦、圆心角之间的关系.
教学难点 利用圆的旋转不变性推导弧、弦、圆心角之间的相等关系.
探究
剪一个圆形纸片，把它绕圆心旋转180°，所得的图形与原图 形重合吗？
∠AOB =∠A’OB ’
归纳总结
在同圆或等圆中，下面三组条件：①圆心角相等；②弧相等 ；③弦相等只要有一组相等，其余的两组也相等.
∠AOB =∠A’OB ’
∠AOB =∠A’OB ’
∠AOB =∠A’OB ’
练习
如图，在圆O 中，
, ∠ACB =60° . 求证：
∠AOB =∠BOC =∠AOC .
如图，在圆O 中，弦AB所对的劣弧为圆的 4cm，求AB 的长. 提示1：由条件可知，∠AOB =120°
提示2：过点O 作AB 的垂线
，圆的半径为
答案：
总结
这节课我们学会了什么？
在同圆或等圆中，下面三组条件：①圆心角相等；②弧相等； ③弦相等只要有一组相等，其余的两组也相等 .
∠AOB =∠A’OB ’
答案：40°.
练习
如图，已知AB，CD 为圆O 的两条弦， .提示：先证明弧相等 .
，求证：AB =CD
练习
如图，AB，AC，BC 都是圆O 的弦，且∠CAB =∠CBA . 求证：∠COA=∠COB . 提示：先证弦相等 .
练习
如图D 、A 、C 、B 为⊙O上的点，DC =AB，求证：AD =BC .提示：先证弧相等.
探究
下面我们一起来研究在同一圆中，圆心角与它所对的弦、弧 有什么关系？
如图，在圆O 中，当圆心角∠AOB =∠A’OB ’时，
它们所对的弧
相等吗 相等
？它们所对的弦AB 和A’B ’相等 相等
吗？ 你知道这是为什么吗？
因为圆具有旋转不变性.
探究
我们把∠AOB 连同AB 绕圆心O 旋转，使射线OA与OA’重合.
（3）如果∠AOB =∠COD，那么_________，__________；
（4）如果AB=CD，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别
为E，F，OE与OF 相等吗？为什么？
练习
2．如图，AB 是圆O 的直径， ∠AOE 的度数.
，∠COD=35°. 求
练习——易错点
下面的说法正确吗?为什么? 如图，因为∠AOB =∠A’OB ’, 所以
弧的度数
1°的弧
1° n°
n°的弧 性质：弧的度数和它所对圆心角的度数相等.
练习
如图，在 O 中，已知AB=BC， ______ .
=7:6，则∠AOC1=08°
平行弦所夹弧相等
如图，在⊙O 中，弦AB∥CD，求证：
.
提示：连接AO,CO,BO,DO，作OH⊥CD于H，交AB于G .
所知弧求弦长
证明： ∴ 又 ∴ ∴
AB =AC，△ABC 是等腰三角形 ∠ACB =60° △ABC 是等边三角形，AB =BC =CA ∠AOB =∠BOC =∠AOC
练习
1．如图，AB，CD 是圆O 的两条弦.
（1）如果AB =CD，那么_____________，____________；
（2）如果
, 那么_____________，____________；
∠AOB =∠A’OB ’
∠AOB =∠A’OB ’
拓展总结
这节课我们还学会了什么？ 1°的圆心角对着 1°的弧，1°的弧对着 1°的圆心角． n°的圆心角对着 n°的弧，n°的弧对着 n°的圆心角．
性质：弧的度数和它所对圆心角的度数相等 .
弧、弦、圆心角
什么是圆心角？ 弧、弦、圆心角之间有什么关系？ 什么是弧的度数？
∵ ∠AOB =∠A’OB ’ ∴ 射线OB 与OB ’重合
又 OA=OA’，OB=OB ’ ∴ 点A与A’重合，点B 与B ’重合
因此，
重合，AB 与A'B '重合
即
归纳总结 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等所对的弦相等.
∠AOB =∠A’OB ’
归纳总结
在同圆或等圆中，如果轮换下面三组条件：①圆心角相等； ②弧相等；③弦相等．你能得到什么结论？与同伴交流你的 想法和理由.
不正确，在同圆或等圆中，才有相等的圆心角所对弧相等.
练习——计算 如图，在圆O 中， 答案：70° .
， ∠A=40°，求∠B 的度数 .
练习
如图：已知OA，OB 是⊙O 中的两条半径，且OA⊥OB，D 是 弧AB上的一点，AD 的延长线交OB 延长线于点C .已知∠C =25°，求圆心角∠DOB 的度数.