公开课、竞赛课课件 弧、弦、圆心角
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人教版九级上册数学弧、弦、圆心角公开课-PPT
ED
证明： ∵ B⌒C=C⌒D=⌒DE
C
∴∠COB=∠COD=∠DOE=35°A
O
B
∴∠AOE=1800-∠COB-∠COD-
∠DOE
=750
人教版九年级上册 数学 24.1.3弧、弦、圆心角(共20张PPT)
3、如图6，AD=BC，那么比较⌒AB与⌒ CD的
大小.
A
C
D
O
B
4、如图7所示，CD为⊙O的弦，在CD上 取
CE=DF，连结OE、OF，并延长交⊙O于
点A、 ⌒ ⌒ B.
（1）试判断△OEF的形状，并说明理由；
（2）求证：AC=BD O
E C
F D
A
B
5、如图，等边△ABC的三个顶点A、B、C都在⊙O上， 连接OA、OB、OC，延长AO分别交BC于点P，交
B⌒C于点D，连接BD、CD.
（1）判断四边形BDCO的形状，并说明理由； （2）若⊙O的半径为r，求△ABC的边长
弧 圆心角
弦
A O·
B
疑问：这三个量之间会有什么关系呢？
人教版九年 级级 上上 册册 数学数弧学、弦、24圆.1心.3角弧公、开弦课、-圆PP心T 角(共20张PPT)
人教版九年 级级 上上 册册 数学数弧学、弦、24圆.1心.3角弧公、开弦课、-圆PP心T 角(共20张PPT)
如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到
为什么？
O
D
F
人教版九年级上册 数学 24.1.3弧、弦、圆心角(共20张PPT)
C
图3
人教版九年级上册 数学 24.1.3弧、弦、圆心角(共20张PPT)
例1 如图1，在⊙O中， ⌒ ⌒
AB=AC,∠ACB=60°,
弧、弦、圆心角rtPPT课件
O· A
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们 所对的圆心角_相__等__，所对的弦_相_等__；
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们 所对的圆心角__相_等___，所对的弧相__等__．
等对等定理
同圆或等圆中，两 个圆心角、两条圆心角 所对的弧、两条圆心角 所对的弦中如果有一组 量相等，它们所对应的 其余各组量也相等。
︵ （2）OA=OA′，OB=OB′，则点A与A′重合，B与B′重合．
︵
因此，
︵
AB︵与
A′B′
重合，AB与A′B′重合．
即： AB= A′B′
AB= A′B′
定理
在同圆或等圆中，相等的 圆心角所对的弧相等，所 B′
对的弦也相等．
∵∠AOB=∠A′OB′
∴
⌒
AB
⌒
=A′B′,AB
A
'
B
'.
A′ B
求证∠AOB=∠BOC=∠AOC.
⌒⌒
证明：∵AB=AC
A
∴ AB=AC, △ABC等腰三角形．
又∠ACB=60°，
O·
∴ △ABC是等边三角形， B
C
AB=BC=CA.
∴ ∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
六、练习
1.如图，AB、CD是⊙O的两条弦． （1）如果AB=CD，那么A_⌒B_=_C_⌒D__，__A_O_B___C_O．D
复习
角的平分线上的点到角的两 边距离相等。 到角两边距离相等的点在角 的平分线上。
中垂线定理
定理：线段垂直平分线上的任意一点到这条线 段两个端点的距离相等。
逆定理：和一条线段的两个端点距离相等的点， 在这条线段的垂直平分线上。
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们 所对的圆心角_相__等__，所对的弦_相_等__；
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们 所对的圆心角__相_等___，所对的弧相__等__．
等对等定理
同圆或等圆中，两 个圆心角、两条圆心角 所对的弧、两条圆心角 所对的弦中如果有一组 量相等，它们所对应的 其余各组量也相等。
︵ （2）OA=OA′，OB=OB′，则点A与A′重合，B与B′重合．
︵
因此，
︵
AB︵与
A′B′
重合，AB与A′B′重合．
即： AB= A′B′
AB= A′B′
定理
在同圆或等圆中，相等的 圆心角所对的弧相等，所 B′
对的弦也相等．
∵∠AOB=∠A′OB′
∴
⌒
AB
⌒
=A′B′,AB
A
'
B
'.
A′ B
求证∠AOB=∠BOC=∠AOC.
⌒⌒
证明：∵AB=AC
A
∴ AB=AC, △ABC等腰三角形．
又∠ACB=60°，
O·
∴ △ABC是等边三角形， B
C
AB=BC=CA.
∴ ∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
六、练习
1.如图，AB、CD是⊙O的两条弦． （1）如果AB=CD，那么A_⌒B_=_C_⌒D__，__A_O_B___C_O．D
复习
角的平分线上的点到角的两 边距离相等。 到角两边距离相等的点在角 的平分线上。
中垂线定理
定理：线段垂直平分线上的任意一点到这条线 段两个端点的距离相等。
逆定理：和一条线段的两个端点距离相等的点， 在这条线段的垂直平分线上。
圆心角弧弦之间的关系课件
圆心角弧弦之间的关系 ppt课件
在几何中，圆心角、弧和弦是圆形中的三个基本概念。它们之间有着密切的 关系和数学公式，通过本课件将深入探讨它们间的关联和实际应用。
圆心角的定义
圆心角是指以圆心为顶点，两条与圆相交的射线所夹的角度。
弧的定义
弧长
弧长是指弧上的一段线段的长度。
对应弧
对应弧是指与圆心角相对应的弧。
弦弧中点角
弦弧中点角是指弦所对应的弧的一半的圆心角。
弦的定义
1 中心弦
中心弦是指连接圆的两个不同点，并通过圆心的弦。
2 切线弦
切线弦是指与圆相切并通过圆心的弦。
3 弦弧中点角和弦角
弦弧中点角和弦角是弦所对应的圆心角。
圆心角和弧的关系
1
圆心角和对应弧的关系2圆心角等于对来自弧所包含的弧度数的两倍。
3
圆心角度数等于对应弧的弧度数
圆心角的度数等于对应弧的弧度数。
圆心角和弧长的关系
圆心角的度数等于弧长除以圆的半径。
圆心角和弦的关系
圆心角和弦垂直
圆心角和弦的所对应的两条弧都 与弦垂直。
圆心角是所对应弦弧中点 角的两倍
圆心角的度数等于所对应弦弧中 点角度数的两倍。
所对应弦弧中点角是圆心 角的一半
所对应弦弧中点角的度数等于圆 心角度数的一半。
圆心角和弧弦的计算公式
圆心角 圆心角 弦角 弦弧中点角
弧长/圆半径 弧对应的弧度数 圆心角的一半 圆心角/2
实际问题的应用
建筑设计
在建筑设计中，圆心角和弦的 关系可用于计算建筑物的弧线 结构。
车辆转弯
在车辆转弯的计算中，圆心角 和弦的关系可用于确定转弯半 径和最佳转弯角度。
天文学
在天文学中，圆心角和弧的关 系可用于计算星体之间的距离 和角度。
在几何中，圆心角、弧和弦是圆形中的三个基本概念。它们之间有着密切的 关系和数学公式，通过本课件将深入探讨它们间的关联和实际应用。
圆心角的定义
圆心角是指以圆心为顶点，两条与圆相交的射线所夹的角度。
弧的定义
弧长
弧长是指弧上的一段线段的长度。
对应弧
对应弧是指与圆心角相对应的弧。
弦弧中点角
弦弧中点角是指弦所对应的弧的一半的圆心角。
弦的定义
1 中心弦
中心弦是指连接圆的两个不同点，并通过圆心的弦。
2 切线弦
切线弦是指与圆相切并通过圆心的弦。
3 弦弧中点角和弦角
弦弧中点角和弦角是弦所对应的圆心角。
圆心角和弧的关系
1
圆心角和对应弧的关系2圆心角等于对来自弧所包含的弧度数的两倍。
3
圆心角度数等于对应弧的弧度数
圆心角的度数等于对应弧的弧度数。
圆心角和弧长的关系
圆心角的度数等于弧长除以圆的半径。
圆心角和弦的关系
圆心角和弦垂直
圆心角和弦的所对应的两条弧都 与弦垂直。
圆心角是所对应弦弧中点 角的两倍
圆心角的度数等于所对应弦弧中 点角度数的两倍。
所对应弦弧中点角是圆心 角的一半
所对应弦弧中点角的度数等于圆 心角度数的一半。
圆心角和弧弦的计算公式
圆心角 圆心角 弦角 弦弧中点角
弧长/圆半径 弧对应的弧度数 圆心角的一半 圆心角/2
实际问题的应用
建筑设计
在建筑设计中，圆心角和弦的 关系可用于计算建筑物的弧线 结构。
车辆转弯
在车辆转弯的计算中，圆心角 和弦的关系可用于确定转弯半 径和最佳转弯角度。
天文学
在天文学中，圆心角和弧的关 系可用于计算星体之间的距离 和角度。
弧、弦、圆心角ppt课件
⌒
⌒
可推出
┏ A′ D′ B′ ①∠AOB=∠A′O′B′
③AB=A′B′ ④ OD=O′D′
推论
• 在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条 弧,③两条弦,④两条弦心距中,有一组量相等, 那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
A
●
D
D O
A
●
B
B
O
●
O′
┏ A′ D′ B′
如由条件: ③AB=A′B′
Ｏ Ｂ Ｃ
已知AB是⊙O的直径，M.N是AO.BO的中点。 CM⊥AB,DN⊥AB,分别与圆交于C.D点。求 证：⌒ ⌒ AC=BD
Ｄ Ａ Ｍ o Ｎ Ｃ Ｂ
下面的说法正确吗?为什么?
如图,因为 AOB AOB， 根据圆心角、弧、弦、
弦心距的关系定理可知：
O ⌒ ⌒
AB AB
A
A
B
B
例题与练习
• 如图：已知OA.OB是⊙O中的两条半径，且 OA⊥OB,D是弧AB上的一点，AD的延长线 交OB延长线于C。已知∠ C=250，求圆心 角∠DOB的度数， Ａ Ｄ
o
C
D
A B
o
C
D
A B
o
C
D
A B
C
o
D
A B
o
C
D
A B
o
C
D
A B
o
C
D
A B
o
C
D
A B
o
C
D
A B
o
C
D
A B
o
C
D
A B
o
C
D
弧、弦、圆心角课件(共22张PPT)人教版数学九年级上册
(2)证明:∵OA=OC,∠AOC=30°,∴∠ACE=75°,
∴∠ACE=∠AEC, ∴AC=AE,同理,BF=BD.易知AC=
CD=BD,∴AE=BF=CD.
【题型三】利用弧、弦、圆心角证明
= ,
⊥ 于点D,CE⊥
例5:如题图,在⊙O中,
OB于点E,求证:AD=BE.
D.3 个
例4:如题图,已知∠ AOB=90°, C, D 是的三等分点，
连接AB分别交OC, OD 于点 E, F.(1)求∠AEC的度数;
(1)解:连接AC, BD,如答图.∵C,D是的三等分点，
=
= ,∴∠AOC=∠COD=∠BOD.
∴
∵∠ = 90°, ∴ ∠ =
相等，所对的弦相等.
（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角
相等，所对的优弧和劣弧分别相等.
教师讲评
注：理解弦、弧、圆心角的关系思维图：
典型精讲
【题型一】弧、弦、圆心角概念的理解与认识
例1: 下列语句中，正确的有（ A ）
①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；③长度
证明：如答图，连接OC.
= ,
∴ ∠ = ∠.
∵
∵CD⊥OA,CE⊥OB,∴∠ODC=∠OEC=90° .
又∵CO=CO,∴△COD≌△COE,∴OD=OE.
又∵OA=OB, ∴OA-OD=OB-OE,∴AD=BE.
例6:如题图,AB为⊙O的直径,AE为⊙O的弦,C为⊙O上一点,
心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等）
5.如果没有“在同圆或等圆中”这个条件，还能得出对应的结论吗?
（不能）
∴∠ACE=∠AEC, ∴AC=AE,同理,BF=BD.易知AC=
CD=BD,∴AE=BF=CD.
【题型三】利用弧、弦、圆心角证明
= ,
⊥ 于点D,CE⊥
例5:如题图,在⊙O中,
OB于点E,求证:AD=BE.
D.3 个
例4:如题图,已知∠ AOB=90°, C, D 是的三等分点，
连接AB分别交OC, OD 于点 E, F.(1)求∠AEC的度数;
(1)解:连接AC, BD,如答图.∵C,D是的三等分点，
=
= ,∴∠AOC=∠COD=∠BOD.
∴
∵∠ = 90°, ∴ ∠ =
相等，所对的弦相等.
（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角
相等，所对的优弧和劣弧分别相等.
教师讲评
注：理解弦、弧、圆心角的关系思维图：
典型精讲
【题型一】弧、弦、圆心角概念的理解与认识
例1: 下列语句中，正确的有（ A ）
①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；③长度
证明：如答图，连接OC.
= ,
∴ ∠ = ∠.
∵
∵CD⊥OA,CE⊥OB,∴∠ODC=∠OEC=90° .
又∵CO=CO,∴△COD≌△COE,∴OD=OE.
又∵OA=OB, ∴OA-OD=OB-OE,∴AD=BE.
例6:如题图,AB为⊙O的直径,AE为⊙O的弦,C为⊙O上一点,
心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等）
5.如果没有“在同圆或等圆中”这个条件，还能得出对应的结论吗?
（不能）
弧、弦、圆心角PPT教学课件
H O H
H O HH O
C2H5
比较下表含相同碳原子数、不同羟基数的醇的沸点
名称
分子中羟基数目
沸点/℃
乙醇
1
78
乙二醇
2
197.3
1-丙醇
1
97.2
1，2-丙二醇
2
188
1，2，3-丙三醇
3
259
〔结论〕含相同碳原子数、不同羟基数的多元醇的沸点
比一元醇二元醇都高，多元醇具有易溶于水的性质。
〔原因〕是因为多元醇分子中羟基多，一方面增加了分子间 形成氢键的几率；另一方面增加了醇与水分子间形成氢键的几率。
小结
• 饱和一元醇 1、通式 CnH2n+1OH
2、随着C数的增多，熔沸点逐渐增，相对密度呈增大 趋势。 对于同碳数的，支链越多，熔沸点越低，密度越小。
3、随着碳数增多，水溶性降低。 4、比Mr接近的烷烃或烯烃的沸点要高（氢键的影响）.
二、醇的化学性质
〔阅读〕P57交流研讨，以1-丙醇为例分析结构
第 3 课时 弧、弦、圆心角
弧、弦、圆心角之间的相等关系 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧_相__等__，所对的弦 _相__等___． 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心 角__相__等____，所对的弦也__相__等____． 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心 角__相__等____，所对的弧也__相__等____．
2、能够利用系统命名法对简单的饱和一元 醇进行命名。
3、了解饱和一元醇的沸点和水溶性特点。 4、根据饱和一元醇的结构特征，说明醇的
化学性质及应用。
1、CH3CH2OH 2、
3、 4、 5、
24.1.3 弧、弦、圆心角(公开课)PPT教学课件
.
28
∵∠AOB＝∠AO'B'
∴AB＝A'B'
⌒ ⌒ AB ＝ A'B'
11Biblioteka .定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧 相等，所对的弦也相等．”中，可否把条件“在同圆 或等圆中”去掉？为什么？ B' A'
B
·
.
A
12
等对等定理
同样，还可以得到：
同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两
条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它 们所对的圆心角 _____， 所对的弦________； 量也相等．
24.1 24.1.3
圆的有关性质 弧、弦、圆心角
R· 九年级上册
.
1
重点：弧、弦、圆心角关系定理. 难点：探究并证明弧、弦、圆心角关系定理.
.
4
推进新课
知识点 1 圆的旋转不变性
圆是中心对称图形吗?它的对称中心在哪里? 圆是中心对称图形
·
.
它的对称中心是圆心
5
知识点 2 圆心角
圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角 A
• 则∠COD=
60°
.
. 17
• 3.如图，在⊙O中，点C是AB的中点，∠A=50°，则∠BOC= 40° ．
⌒
.
18
• • • • • •
4.如图，在⊙O中，AB=AC，∠C=75°，求∠A的度数. 解： ∵AB=AC， ⌒ ⌒ ∴AB=AC. ∴∠B=∠C=75°， ∴∠A=180°-∠B -∠C=30°.
A
显然∠AOB＝∠A'OB' AB＝A'B'
《弧、弦、圆心角》课件 2022年人教版省一等奖PPT
证明：连结OA、OB，设分别 与CD、EF交于点F、G
∵A为CD中点，B为EF中点 ∴OA⊥CD，OB⊥EF
F
G
故∠AFC=∠BGE=90° ①
又由OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA ②
且AM=BN
③
∴△AFM≌△BGN
∴AF=BG
∴OF=OG
∴DC=EF
跟踪训练
如图：⊙ O 1和⊙O 2是两个等圆，直线 A1B2 平行于O1O2 .
探究：
1.只给一个条件〔一组对应边相等或一组对应角相等〕。
①只给一条边：
②只给一个角：
60°
60°
60°
2.给出两个条件：
①一边一内角：
30° ②两内角：
30° 50° ③两边：
2cm 4cm
30°
30°
可以发现按这
些条件画的三
30°
50° 角形都不能保
证一定全等。
2cm 4cm
先任意画出一个△ABC再画一个△DEF，使AB=DE,BC=EF,AC=DF. 把画好的△ABC剪下来，放到△DEF上，它们全等吗？
分别交⊙
O
于点
1
A1
、B
，交⊙
1
O
2
于点
A
2、B
2
.求证：
A 1O 1B 1 A2O 2B2.
证明:分别作O1C1⊥A1B1,
C1
C2
O2C2 ⊥ A2B2,垂足分别
为C1 、C2，
∵A1B1∥O102，
∴ O1C1= O2C2
A 1 O 1 B 1 A 2 O 2 B 2
1. 如图，在⊙O中， AB = AC ,∠ACB=60° A 2. 求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC
课件《弧、弦、圆心角》PPT全文课件_人教版1
你能发现哪些等量关系? 圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角.
圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角.
●1. 能识别圆心角.
●2. 探索并掌握弧、弦、圆心角的关系，了解圆 的中心对称性和旋转不变性.
●3. 能用弧，弦、圆心角的关系解决圆中的计算 题、证明题.
回顾旧知 垂径定理及逆定理
●如图,在下列五个条件中:
知一得三
(4)圆心角所对弦的弦心距. 其中有一组量相等， A 其他三组量也相等 C
B’ C’ A’
BO
例题
已知：在⊙O中，AB＝AC ，∠ACB=60°，
求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC．
A
证明：
⌒⌒ ∵AB=AC
∴AB=AC． 又∠ACB=60°，
O ·
∴AB=BC=CA．
B
C
∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC．
而判同一圆 判的：半判径别相下等列，各图OA中=的OA角′，是O不B是=O圆B心′，角，并说明理由.
探连索接并 圆掌上握任弧意、两弦点、的圆线心段角叫的做关弦系．，了解圆的中心对称性和旋转不变性.
O
探同索，并 则掌⊙握O的弧直、径弦长、为圆_心__角_的__关__系. ，了解圆的中心对称性和旋转不变性.
不可以，如图.
B D OC A
抢答题 1.等弦所对的弧相等.
（ ×）
2.等弧所对的弦相等.
（ √）
× 3.圆心角相等，所对的弦相等. ( ）
4. 如图，AB 是⊙O 的直径， BC = CD = DE ，
∠COD=35°，∠AOE = 75° ． E D
C
A
O·
B
练习
1.如图，AB、CD是⊙O的两条弦．⌒ ⌒
圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角.
●1. 能识别圆心角.
●2. 探索并掌握弧、弦、圆心角的关系，了解圆 的中心对称性和旋转不变性.
●3. 能用弧，弦、圆心角的关系解决圆中的计算 题、证明题.
回顾旧知 垂径定理及逆定理
●如图,在下列五个条件中:
知一得三
(4)圆心角所对弦的弦心距. 其中有一组量相等， A 其他三组量也相等 C
B’ C’ A’
BO
例题
已知：在⊙O中，AB＝AC ，∠ACB=60°，
求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC．
A
证明：
⌒⌒ ∵AB=AC
∴AB=AC． 又∠ACB=60°，
O ·
∴AB=BC=CA．
B
C
∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC．
而判同一圆 判的：半判径别相下等列，各图OA中=的OA角′，是O不B是=O圆B心′，角，并说明理由.
探连索接并 圆掌上握任弧意、两弦点、的圆线心段角叫的做关弦系．，了解圆的中心对称性和旋转不变性.
O
探同索，并 则掌⊙握O的弧直、径弦长、为圆_心__角_的__关__系. ，了解圆的中心对称性和旋转不变性.
不可以，如图.
B D OC A
抢答题 1.等弦所对的弧相等.
（ ×）
2.等弧所对的弦相等.
（ √）
× 3.圆心角相等，所对的弦相等. ( ）
4. 如图，AB 是⊙O 的直径， BC = CD = DE ，
∠COD=35°，∠AOE = 75° ． E D
C
A
O·
B
练习
1.如图，AB、CD是⊙O的两条弦．⌒ ⌒
3 弧、弦、圆心角 公开课精品课件
∴
弧、弦、圆心角与四边形的综合应用
例2 如图24 - 35所示，A，B是☉O上的两点，
∠AOB=120°，C是 的中点，判断四边形 OACB的形状，并证明你的结论.
〔解析〕根据圆心角、弧、弦的关系推知△AOC和 △BOC都是等边三角形,然后由等边三角形的三条边 都相等的性质证得OA=OB=AC=BC,最后根据菱形的判定定理(四 条边相等的四边形是菱形)即可证得结论.
分别交AD，BC于点E，F，延长 BA交☉A于G，求证
证明:如图64所示,连接AF， ∵AB=AF，∴∠ABF=∠AFB.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC. ∴∠DAF=∠AFB,∠GAE=∠ABF.
∴∠GAE=∠EAF.∴
再根据“HL”可判断Rt△OMC≌Rt△OND,则∠COM=∠DON,
然后根据圆心角、弧、弦之间的关系得到
.
证明:如图24 - 34(2)所示，连接OC,OD,则OC=OD.
∵CM⊥AB，DN⊥AB，∴∠OMC=∠OND=90°, ∵AB是☉O的直径，M,N分别是AO，BO的中点，∴OM=ON.
∴Rt△OMC≌Rt△OND(HL).∴∠COM=∠DON.∴
九年级数学·上
新课标 [人]
第二十四章 圆
24.1 圆的有关性质
弧、弧相等
如图(1)所示，已知AB为☉O的直径，M，N分
别为OA，OB的中点，CM⊥AB，DN⊥AB，垂
足分别为M，N.求证
.
〔解析〕连接OC,OD,由M,N分别是AO,BO的中点得到OM=ON,
.
【解题归纳】 在证明圆中弧相等时,常采用“连半径”“连接
弧端点”等方法,巧用圆心角、弧、弦之间的关系定理来解决问题.
1.如图所示，AB为☉O的弦，点C,D为弦AB上的
弧、弦、圆心角与四边形的综合应用
例2 如图24 - 35所示，A，B是☉O上的两点，
∠AOB=120°，C是 的中点，判断四边形 OACB的形状，并证明你的结论.
〔解析〕根据圆心角、弧、弦的关系推知△AOC和 △BOC都是等边三角形,然后由等边三角形的三条边 都相等的性质证得OA=OB=AC=BC,最后根据菱形的判定定理(四 条边相等的四边形是菱形)即可证得结论.
分别交AD，BC于点E，F，延长 BA交☉A于G，求证
证明:如图64所示,连接AF， ∵AB=AF，∴∠ABF=∠AFB.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC. ∴∠DAF=∠AFB,∠GAE=∠ABF.
∴∠GAE=∠EAF.∴
再根据“HL”可判断Rt△OMC≌Rt△OND,则∠COM=∠DON,
然后根据圆心角、弧、弦之间的关系得到
.
证明:如图24 - 34(2)所示，连接OC,OD,则OC=OD.
∵CM⊥AB，DN⊥AB，∴∠OMC=∠OND=90°, ∵AB是☉O的直径，M,N分别是AO，BO的中点，∴OM=ON.
∴Rt△OMC≌Rt△OND(HL).∴∠COM=∠DON.∴
九年级数学·上
新课标 [人]
第二十四章 圆
24.1 圆的有关性质
弧、弧相等
如图(1)所示，已知AB为☉O的直径，M，N分
别为OA，OB的中点，CM⊥AB，DN⊥AB，垂
足分别为M，N.求证
.
〔解析〕连接OC,OD,由M,N分别是AO,BO的中点得到OM=ON,
.
【解题归纳】 在证明圆中弧相等时,常采用“连半径”“连接
弧端点”等方法,巧用圆心角、弧、弦之间的关系定理来解决问题.
1.如图所示，AB为☉O的弦，点C,D为弦AB上的
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重合 由此你得到什么结论？ 圆是中心对称图形，对称中心就是圆心. 把圆绕圆心旋转任意一个角度呢？ 不管旋转多少度，圆都与自身重合.
接下来，我们就利用圆的旋转不变性继续探究圆的性质.
圆心角
我们把顶点在圆心的角，叫圆心角．如图，∠AOB． 判断下列角是否为圆心角．
圆心角
如图，BC 是圆O 的直径，则图中所有的圆心角分别 是∠A_O__C__，__∠_A__O__B___.（填小于180°的角）
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它 们所对的圆心角相等，所对的弦相等.
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它 们所对的圆心角相等，所对的弧相等.
归纳总结 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心 角相等，所对的弦相等.
∠AOB =∠A’OB ’
归纳总结 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心 角相等，所对的弧相等.
证明： ∴ 又 ∴ ∴
AB =AC，△ABC 是等腰三角形 ∠ACB =60° △ABC 是等边三角形，AB =BC =CA ∠AOB =∠BOC =∠AOC
练习
1．如图，AB，CD 是圆O 的两条弦.
（1）如果AB =CD，那么_____________，____________；
（2）如果
, 那么_____________，____________；
练习 如图，AB，CD 为⊙O 的两条弦，AB =CD .求证：∠AOC =∠BOD 提示：先证弧相等.
弧的度数
把圆心角等分成 360 份，则每一份的圆心角是 1°，同时整个 圆也被分成了 360 份.则每一份这样的弧叫做 1°的弧.
1°的圆心角对着 1°的弧，1°的弧对着 1°的圆心角. n°的圆心角对着 n°的弧，n°的弧对着 n°的圆心角.
不正确，在同圆或等圆中，才有相等的圆心角所对弧相等.
练习——计算 如图，在圆O 中， 答案：70° .
， ∠A=40°，求∠B 的度数 .
练习
如图：已知OA，OB 是⊙O 中的两条半径，且OA⊥OB，D 是 弧AB上的一点，AD 的延长线交OB 延长线于点C .已知∠C =25°，求圆心角∠DOB 的度数.
弧、弦、圆心角
教学目标
了解圆心角的概念. 掌握在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有 一组量相等，就可以推出它们所对应的其余各组量也相等.
教学重点 同圆或等圆中弧、弦、圆心角之间的关系.
教学难点 利用圆的旋转不变性推导弧、弦、圆心角之间的相等关系.
探究
剪一个圆形纸片，把它绕圆心旋转180°，所得的图形与原图 形重合吗？
∵ ∠AOB =∠A’OB ’ ∴ 射线OB 与OB ’重合
又 OA=OA’，OB=OB ’ ∴ 点A与A’重合，点B 与B ’重合
因此，
重合，AB 与A'B '重合
即
归纳总结 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等所对的弦相等.
∠AOB =∠A’OB ’
归纳总结
在同圆或等圆中，如果轮换下面三组条件：①圆心角相等； ②弧相等；③弦相等．你能得到什么结论？与同伴交流你的 想法和理由.
弧的度数
1°的弧
1° n°
n°的弧 性质：弧的度数和它所对圆心角的度数相等.
练习
如图，在 O 中，已知AB=BC， ______ .
=7:6，则∠AOC1⊙O 中，弦AB∥CD，求证：
.
提示：连接AO,CO,BO,DO，作OH⊥CD于H，交AB于G .
所知弧求弦长
答案：40°.
练习
如图，已知AB，CD 为圆O 的两条弦， .提示：先证明弧相等 .
，求证：AB =CD
练习
如图，AB，AC，BC 都是圆O 的弦，且∠CAB =∠CBA . 求证：∠COA=∠COB . 提示：先证弦相等 .
练习
如图D 、A 、C 、B 为⊙O上的点，DC =AB，求证：AD =BC .提示：先证弧相等.
如图，在圆O 中，弦AB所对的劣弧为圆的 4cm，求AB 的长. 提示1：由条件可知，∠AOB =120°
提示2：过点O 作AB 的垂线
，圆的半径为
答案：
总结
这节课我们学会了什么？
在同圆或等圆中，下面三组条件：①圆心角相等；②弧相等； ③弦相等只要有一组相等，其余的两组也相等 .
∠AOB =∠A’OB ’
∠AOB =∠A’OB ’
归纳总结
在同圆或等圆中，下面三组条件：①圆心角相等；②弧相等 ；③弦相等只要有一组相等，其余的两组也相等.
∠AOB =∠A’OB ’
∠AOB =∠A’OB ’
∠AOB =∠A’OB ’
练习
如图，在圆O 中，
, ∠ACB =60° . 求证：
∠AOB =∠BOC =∠AOC .
探究
下面我们一起来研究在同一圆中，圆心角与它所对的弦、弧 有什么关系？
如图，在圆O 中，当圆心角∠AOB =∠A’OB ’时，
它们所对的弧
相等吗 相等
？它们所对的弦AB 和A’B ’相等 相等
吗？ 你知道这是为什么吗？
因为圆具有旋转不变性.
探究
我们把∠AOB 连同AB 绕圆心O 旋转，使射线OA与OA’重合.
∠AOB =∠A’OB ’
∠AOB =∠A’OB ’
拓展总结
这节课我们还学会了什么？ 1°的圆心角对着 1°的弧，1°的弧对着 1°的圆心角． n°的圆心角对着 n°的弧，n°的弧对着 n°的圆心角．
性质：弧的度数和它所对圆心角的度数相等 .
弧、弦、圆心角
什么是圆心角？ 弧、弦、圆心角之间有什么关系？ 什么是弧的度数？
（3）如果∠AOB =∠COD，那么_________，__________；
（4）如果AB=CD，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别
为E，F，OE与OF 相等吗？为什么？
练习
2．如图，AB 是圆O 的直径， ∠AOE 的度数.
，∠COD=35°. 求
练习——易错点
下面的说法正确吗?为什么? 如图，因为∠AOB =∠A’OB ’, 所以
接下来，我们就利用圆的旋转不变性继续探究圆的性质.
圆心角
我们把顶点在圆心的角，叫圆心角．如图，∠AOB． 判断下列角是否为圆心角．
圆心角
如图，BC 是圆O 的直径，则图中所有的圆心角分别 是∠A_O__C__，__∠_A__O__B___.（填小于180°的角）
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它 们所对的圆心角相等，所对的弦相等.
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它 们所对的圆心角相等，所对的弧相等.
归纳总结 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心 角相等，所对的弦相等.
∠AOB =∠A’OB ’
归纳总结 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心 角相等，所对的弧相等.
证明： ∴ 又 ∴ ∴
AB =AC，△ABC 是等腰三角形 ∠ACB =60° △ABC 是等边三角形，AB =BC =CA ∠AOB =∠BOC =∠AOC
练习
1．如图，AB，CD 是圆O 的两条弦.
（1）如果AB =CD，那么_____________，____________；
（2）如果
, 那么_____________，____________；
练习 如图，AB，CD 为⊙O 的两条弦，AB =CD .求证：∠AOC =∠BOD 提示：先证弧相等.
弧的度数
把圆心角等分成 360 份，则每一份的圆心角是 1°，同时整个 圆也被分成了 360 份.则每一份这样的弧叫做 1°的弧.
1°的圆心角对着 1°的弧，1°的弧对着 1°的圆心角. n°的圆心角对着 n°的弧，n°的弧对着 n°的圆心角.
不正确，在同圆或等圆中，才有相等的圆心角所对弧相等.
练习——计算 如图，在圆O 中， 答案：70° .
， ∠A=40°，求∠B 的度数 .
练习
如图：已知OA，OB 是⊙O 中的两条半径，且OA⊥OB，D 是 弧AB上的一点，AD 的延长线交OB 延长线于点C .已知∠C =25°，求圆心角∠DOB 的度数.
弧、弦、圆心角
教学目标
了解圆心角的概念. 掌握在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有 一组量相等，就可以推出它们所对应的其余各组量也相等.
教学重点 同圆或等圆中弧、弦、圆心角之间的关系.
教学难点 利用圆的旋转不变性推导弧、弦、圆心角之间的相等关系.
探究
剪一个圆形纸片，把它绕圆心旋转180°，所得的图形与原图 形重合吗？
∵ ∠AOB =∠A’OB ’ ∴ 射线OB 与OB ’重合
又 OA=OA’，OB=OB ’ ∴ 点A与A’重合，点B 与B ’重合
因此，
重合，AB 与A'B '重合
即
归纳总结 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等所对的弦相等.
∠AOB =∠A’OB ’
归纳总结
在同圆或等圆中，如果轮换下面三组条件：①圆心角相等； ②弧相等；③弦相等．你能得到什么结论？与同伴交流你的 想法和理由.
弧的度数
1°的弧
1° n°
n°的弧 性质：弧的度数和它所对圆心角的度数相等.
练习
如图，在 O 中，已知AB=BC， ______ .
=7:6，则∠AOC1⊙O 中，弦AB∥CD，求证：
.
提示：连接AO,CO,BO,DO，作OH⊥CD于H，交AB于G .
所知弧求弦长
答案：40°.
练习
如图，已知AB，CD 为圆O 的两条弦， .提示：先证明弧相等 .
，求证：AB =CD
练习
如图，AB，AC，BC 都是圆O 的弦，且∠CAB =∠CBA . 求证：∠COA=∠COB . 提示：先证弦相等 .
练习
如图D 、A 、C 、B 为⊙O上的点，DC =AB，求证：AD =BC .提示：先证弧相等.
如图，在圆O 中，弦AB所对的劣弧为圆的 4cm，求AB 的长. 提示1：由条件可知，∠AOB =120°
提示2：过点O 作AB 的垂线
，圆的半径为
答案：
总结
这节课我们学会了什么？
在同圆或等圆中，下面三组条件：①圆心角相等；②弧相等； ③弦相等只要有一组相等，其余的两组也相等 .
∠AOB =∠A’OB ’
∠AOB =∠A’OB ’
归纳总结
在同圆或等圆中，下面三组条件：①圆心角相等；②弧相等 ；③弦相等只要有一组相等，其余的两组也相等.
∠AOB =∠A’OB ’
∠AOB =∠A’OB ’
∠AOB =∠A’OB ’
练习
如图，在圆O 中，
, ∠ACB =60° . 求证：
∠AOB =∠BOC =∠AOC .
探究
下面我们一起来研究在同一圆中，圆心角与它所对的弦、弧 有什么关系？
如图，在圆O 中，当圆心角∠AOB =∠A’OB ’时，
它们所对的弧
相等吗 相等
？它们所对的弦AB 和A’B ’相等 相等
吗？ 你知道这是为什么吗？
因为圆具有旋转不变性.
探究
我们把∠AOB 连同AB 绕圆心O 旋转，使射线OA与OA’重合.
∠AOB =∠A’OB ’
∠AOB =∠A’OB ’
拓展总结
这节课我们还学会了什么？ 1°的圆心角对着 1°的弧，1°的弧对着 1°的圆心角． n°的圆心角对着 n°的弧，n°的弧对着 n°的圆心角．
性质：弧的度数和它所对圆心角的度数相等 .
弧、弦、圆心角
什么是圆心角？ 弧、弦、圆心角之间有什么关系？ 什么是弧的度数？
（3）如果∠AOB =∠COD，那么_________，__________；
（4）如果AB=CD，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别
为E，F，OE与OF 相等吗？为什么？
练习
2．如图，AB 是圆O 的直径， ∠AOE 的度数.
，∠COD=35°. 求
练习——易错点
下面的说法正确吗?为什么? 如图，因为∠AOB =∠A’OB ’, 所以