2018高三数学(理)一轮复习课件：第2章 第11节 定积分与微积分基本定理
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教育课件-2018年高考数学一轮总复习专题33定积分练习理经典
题型一 定积分的计算 典例 1 (1)(2017 ·九江模拟 ) 若 ?10(2 x＋λ )d x＝2( λ
∈R)，则 λ 等于 ( )
A．0 B ．1 C ．2 D ．－ 1
(2)
定积分
?2
－
2
|
x2 － 2x|d
x
等于
(
)
A．5 B ．6 C ．7 D ．8
【答案】 (1)B (2)D
5
【解题技巧与方法总结】
f x g x dx
a
7、有的曲面梯形面积需用多个定积分的和进行表示。 需分段通常有两种情况 （1）构成曲面梯形的函数发生变化 （2）构成曲面梯形的函数上下位置发生变化，若要 面积与定积分的值一致，则被积函数要写成“上方曲 线的函数 下方曲线函数”的形式。所以即使构成曲 面梯形的函数不变，但上下位置发生过变化，则也需 将两部分分开来写。 融会贯通
x1
f x sin x
f ' x cosx
f x cosx
f ' x sin x
f x ax
f ' x ax ln a
f x ex
f ' x ex
f x loga x
f' x
1
x ln a
f x ln x
f' x 1 x
① 寻找原函数通常可以“先猜再调” ， x3
a
f x dx 0 a 0
a
（ 2）若 f x 为偶函数，则
a
f x dx
a
f x dx a 0
a
0
6、利用定积分求曲面梯形面积的步骤：
（1）通过作图确定所求面积的区域
（ 2）确定围成区域中上，下曲线对应的函数 f x , g x
高中数学高考高三理科一轮复习资料第2章 2.4 定积分与微积分基本定理
a
方)； (2)如果在[a，b] 上，f(x)≤0，则曲线 y＝f(x)，x＝a，x＝ b b b(a ＜ b) 和 x 轴围成的曲边梯形的面积为 S ＝ |f(x)|dx ＝－
a a
f(x)dx(这时曲线全部在 x 轴下方)；
(3)如果在[a，b]上，f(x)有正有负，即曲线在 x 轴上方和下 方都有图象，例如：在(a，c)上位于 x 轴上方，在(c，b)上位于 x 轴下方，则曲线 y＝f(x)，x＝a，x＝b(a＜b)和 x 轴围成的曲 c b 边梯形的面积为 S＝ f(x)dx＋ |f(x)|dx＝
b b b 4. f(x)dx， |f(x)|dx， | f(x)dx|三者在几何意义上的不同． 当
i 0 n－1
果和式极限存在，则称和式 In 的极限为函数 f(x)在区间[a，b] b fxdx 上的定积分，记作①______，即 ＝②________.
a
b (2)在 f(x)dx 中， a 与 b 分别叫做积分下限与积分上限， 区
a
间③________叫做积分区间，函数④________叫做被积函数， ⑤________叫做积分变量，⑥________叫做被积式．
a
曲线 f(x)以及直线 x＝a、 x＝b 之间的曲边梯形面积的代数和(图 ②中阴影所示)，其中在 x 轴上方的面积等于该区间上的积分 值，在 x 轴下方的面积等于该区间上积分值的⑦__________.
3．定积分的基本性质： b (1) kf(x)dx＝⑧____________________________.
c a
b f(x)dx－ f(x)dx.
c
a
c
2．由曲线 y＝f(x)，y＝g(x)(f(x)＞g(x))与直线 x＝a，x＝ b b(a＜b)围成的图形的面积为 S＝ [f(x)－g(x)]dx.
方)； (2)如果在[a，b] 上，f(x)≤0，则曲线 y＝f(x)，x＝a，x＝ b b b(a ＜ b) 和 x 轴围成的曲边梯形的面积为 S ＝ |f(x)|dx ＝－
a a
f(x)dx(这时曲线全部在 x 轴下方)；
(3)如果在[a，b]上，f(x)有正有负，即曲线在 x 轴上方和下 方都有图象，例如：在(a，c)上位于 x 轴上方，在(c，b)上位于 x 轴下方，则曲线 y＝f(x)，x＝a，x＝b(a＜b)和 x 轴围成的曲 c b 边梯形的面积为 S＝ f(x)dx＋ |f(x)|dx＝
b b b 4. f(x)dx， |f(x)|dx， | f(x)dx|三者在几何意义上的不同． 当
i 0 n－1
果和式极限存在，则称和式 In 的极限为函数 f(x)在区间[a，b] b fxdx 上的定积分，记作①______，即 ＝②________.
a
b (2)在 f(x)dx 中， a 与 b 分别叫做积分下限与积分上限， 区
a
间③________叫做积分区间，函数④________叫做被积函数， ⑤________叫做积分变量，⑥________叫做被积式．
a
曲线 f(x)以及直线 x＝a、 x＝b 之间的曲边梯形面积的代数和(图 ②中阴影所示)，其中在 x 轴上方的面积等于该区间上的积分 值，在 x 轴下方的面积等于该区间上积分值的⑦__________.
3．定积分的基本性质： b (1) kf(x)dx＝⑧____________________________.
c a
b f(x)dx－ f(x)dx.
c
a
c
2．由曲线 y＝f(x)，y＝g(x)(f(x)＞g(x))与直线 x＝a，x＝ b b(a＜b)围成的图形的面积为 S＝ [f(x)－g(x)]dx.
2018年高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第17讲定积分与微积分基本定理课件理
2 1
π 0
π 0
2x
1
1
14 12 14 12 ＝ e － e ＋ln 2－ln 1＝ e － e ＋ln 2. 2 2 2 2
(4)
1－sin 2x dx＝
|sin x－cos x|dx
＝ (cos x－sin x)dx＋ (sin x－cos x)dx ＝(sin x＋cos x) ＋(－cos x－sin x) ＝ 2－1＋(－1＋ 2)＝2 2－2.
大流量比为 S2∶S1＝6∶5.
•三 定积分在物理中的应用
定积分在物理中的两个应用 (1)求变速直线运动的路程：如果变速直线运动物体的速度为 v＝v(t)，那么从时
b v(t)dt. 刻 t＝a 到 t＝b 所经过的路程 s＝
a
(2)变力做功：一物体在变力 F(x)的作用下，沿着与 F(x)相同的方向从 x＝a 移动
25 止一共行驶了 4 s，此期间行驶的距离为 v(t)dt＝ 7－3t＋ dt 1＋t
4 0 4 0
4 32 ＝7t－2t ＋25ln1＋t 0
＝4＋25ln 5 (m)．
(2)由题意知，力 F(x)所做的功为 W＝ F(x)dx＝ 5 dx＋
(2)建立如图所示的平面直角坐标系， 2 2 由抛物线过点(0，－2)，(－5,0)，(5,0)，得抛物线的函数表达式为 y＝ x －2， 25
6＋10×2 2 2 40 抛物线与 x 轴围成的面积 S1＝ 2－25x dx＝ ，梯形面积 S2＝ ＝16，最 3 2 －5 5
•二 定积分几何意义的应用
• (1)利用定积分求平面图形面积的步骤： • ①根据题意画出图形； • ②借助图形确定出被积函数，求出交点坐标， 确定定积分的上、下限； • ③把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的 和； • ④计算定积分，写出答案． • (2)根据平面图形的面积求参数的方法：先利
π 0
π 0
2x
1
1
14 12 14 12 ＝ e － e ＋ln 2－ln 1＝ e － e ＋ln 2. 2 2 2 2
(4)
1－sin 2x dx＝
|sin x－cos x|dx
＝ (cos x－sin x)dx＋ (sin x－cos x)dx ＝(sin x＋cos x) ＋(－cos x－sin x) ＝ 2－1＋(－1＋ 2)＝2 2－2.
大流量比为 S2∶S1＝6∶5.
•三 定积分在物理中的应用
定积分在物理中的两个应用 (1)求变速直线运动的路程：如果变速直线运动物体的速度为 v＝v(t)，那么从时
b v(t)dt. 刻 t＝a 到 t＝b 所经过的路程 s＝
a
(2)变力做功：一物体在变力 F(x)的作用下，沿着与 F(x)相同的方向从 x＝a 移动
25 止一共行驶了 4 s，此期间行驶的距离为 v(t)dt＝ 7－3t＋ dt 1＋t
4 0 4 0
4 32 ＝7t－2t ＋25ln1＋t 0
＝4＋25ln 5 (m)．
(2)由题意知，力 F(x)所做的功为 W＝ F(x)dx＝ 5 dx＋
(2)建立如图所示的平面直角坐标系， 2 2 由抛物线过点(0，－2)，(－5,0)，(5,0)，得抛物线的函数表达式为 y＝ x －2， 25
6＋10×2 2 2 40 抛物线与 x 轴围成的面积 S1＝ 2－25x dx＝ ，梯形面积 S2＝ ＝16，最 3 2 －5 5
•二 定积分几何意义的应用
• (1)利用定积分求平面图形面积的步骤： • ①根据题意画出图形； • ②借助图形确定出被积函数，求出交点坐标， 确定定积分的上、下限； • ③把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的 和； • ④计算定积分，写出答案． • (2)根据平面图形的面积求参数的方法：先利
推荐-高三数学(理)一轮复习课件第2章 第11节 定积分与微积分基本定理
1
2)dx＝23x
1 0
＋2x－x2221
＝76.
考点二
变式点2 若母题变为：求曲线
y＝
x
，y＝2－x，y＝－
1 3
x所围
成图形的面积．
y＝ x，
如图所示；利由用y＝定2积－分x 求得平交面点图A(形1,1面)．积的4个步骤 (1)根据题意画出图形； (2)借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的 上(由3)、把yy下＝ ＝曲－ 2限边－13；梯xx，形的得面交积点表B(3示，成－若1)干．个定积分的和； (故4)计所求算面定积积S分＝，01(写x出＋答13x)案dx．＋132－x＋13xdx
考点一
9π (2)定积分3 9－x2dx的值为____4____．
0
即时应用
(2)由定积分的几何意义知，
3
0
9－x2 dx是由曲线y＝ 9－x2 ，
直线x＝0，x＝3，y＝0围成的封
闭图形的面积．
故3
9－x2dx＝π·432＝94π.
0
考点一
9π (2)定积分3 9－x2dx的值为___4_____．
即时应用
x2，x∈[0，1]， 2－x，x∈1，2]，
则2f(x)dx等于( C
0
)
3 A.4
B．45
5 C.6
D．不存在
(1)如图，
2f(x)dx＝1x2dx＋2(2－x)dx
0
0
1
＝13x310 ＋2x－21x221
＝13＋4－2－2＋12＝65.
函数y＝ex与直线y＝e的交点坐标为(1，e)，所以阴影部分的面积为2(e×1－1
0
exdx)＝2e－2ex10 ＝2e－(2e－2)＝2，由几何概型的概率计算公式，得所求的概
2018届高三数学(理)一轮复习课件：3.4定积分与微积分基本定理
3 .4
定积分与微积分基本定理
-2知识梳理 双基自测
1
2
3
4
1.定积分的定义 如果函数 f(x)在区间[a,b]上连续,用分点 a=x0<x1<…<xi-1<xi<…<xn=b 将区间[a,b]等分成 n 个小区间,在每个 小区间[xi-1,xi]上任取一点 ξi(i=1,2,…,n),作和式 ∑ f(ξi)Δx= ∑
������ =1 ������ n ������-������
当 n→∞时,上述和式无限接近某个常数,这个常数叫做函数 f(x)在区 ������ 间[a,b]上的定积分,记作 ������ f(x)dx.
i=1 ������
f(ξi),
-3知识梳理 双基自测
1
2
3
4
2.定积分的几何意义 ������ f(x)dx (1)当函数f(x)在区间[a,b]上连续且恒有f(x)≥0时,定积分 ������ 的几 何意义是由直线x=a,x=b,y=0和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面 积(图①中阴影部分).
图①
������ ������
图②
(2)一般情况下,定积分 f(x)dx 的几何意义是介于x轴、曲线 y=f(x)以及直线x=a,x=b之间的曲边梯形面积的代数和(图②中阴影 部分),其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值,在x轴下方的 面积等于该区间上积分值的相反数.
-4知识梳理 双基自测
1
2
关闭
如图:
阴影部分的面积为 S= 0 cos cos xdx+ 2π xdxcos xdxcos xdx+ 3π cos xdx 0
2
π 2
3π 2 π 2
定积分与微积分基本定理
-2知识梳理 双基自测
1
2
3
4
1.定积分的定义 如果函数 f(x)在区间[a,b]上连续,用分点 a=x0<x1<…<xi-1<xi<…<xn=b 将区间[a,b]等分成 n 个小区间,在每个 小区间[xi-1,xi]上任取一点 ξi(i=1,2,…,n),作和式 ∑ f(ξi)Δx= ∑
������ =1 ������ n ������-������
当 n→∞时,上述和式无限接近某个常数,这个常数叫做函数 f(x)在区 ������ 间[a,b]上的定积分,记作 ������ f(x)dx.
i=1 ������
f(ξi),
-3知识梳理 双基自测
1
2
3
4
2.定积分的几何意义 ������ f(x)dx (1)当函数f(x)在区间[a,b]上连续且恒有f(x)≥0时,定积分 ������ 的几 何意义是由直线x=a,x=b,y=0和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面 积(图①中阴影部分).
图①
������ ������
图②
(2)一般情况下,定积分 f(x)dx 的几何意义是介于x轴、曲线 y=f(x)以及直线x=a,x=b之间的曲边梯形面积的代数和(图②中阴影 部分),其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值,在x轴下方的 面积等于该区间上积分值的相反数.
-4知识梳理 双基自测
1
2
关闭
如图:
阴影部分的面积为 S= 0 cos cos xdx+ 2π xdxcos xdxcos xdx+ 3π cos xdx 0
2
π 2
3π 2 π 2
高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 212 定积分与微积分基本定理课件 理
2021/12/11
第二十三页，共三十八页。
【变式训练】 1e1xdx＋-22 4－x2dx＝________。
解析 1e1xdx＝lnxe1 ＝1－0＝1，因为2-2 4－x2dx表示的是圆 x2＋y2＝4
在 x 轴及其上方的面积，故2 -2
4－x2dx＝21π×22＝2π，故答案为 2π＋1。
(1)若 f(x)为偶函数，则a f(x)dx＝2af(x)dx。
-a
0
(2)若 f(x)为奇函数，则a f(x)dx＝0。 -a
2021/12/11
第十页，共三十八页。
一、走进教材
1．(选修
2－2P50A
组
T5
改编)定积分1 |x|dx＝( -1
)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析 答案
1 |x|dx＝0
解析
(1)解方程组y＝2x， y＝x－1，
得xy＝＝21，， 则曲线 y＝2x与直线 y＝x
－1，x＝1 所围成的封闭图形如图①所示，所求的面积 S＝122x－x＋1dx＝ 2lnx－12x2＋x|21＝(2ln2－2＋2)－0－12＋1＝2ln2－12。
答案 (1)B
2021/12/11
第三十页，共三十八页。
解析
y＝x2＋2x， 由y＝x，
可得xy＝＝－－11，，
或xy＝ ＝00， ，
所以曲线 y＝x2＋
2x 与 直 线 y＝ x 所围 成的封 闭图形 的面积 如图 为0 (x－ 2x－ x2)dx＝ -1
－12x2－31x30－1 ＝16。故选 A。
答案 A
2021/12/11
第十三页，共三十八页。
(2)曲线 y＝14x2 和曲线在点(2,1)处的切线以及 x 轴围成的封闭图形的面 积为________。
北师大版高三数学(理)一轮复习《定积分与微积分基本定理》课件
双击自测
核心考点
-22-
考点1
考点2
考点3 知识方法 易错易混
对点训练2 (1)直线l过抛物线C:x2=4y的焦点且与y轴垂直,则l与
C所围成的图形的面积等于( )
������ ������
= =
0, 0
或
������ = 1, ������ = 1.
故1 所求面积
6
S=∫01
(x-x2)dx=
1 ������2- 1 ������3
23
1 = 1.
06
关闭
解析 答案
考点1
第三章
3.4 定积分与微积分基本定理
考纲要求
知识梳理
双击自测
考点2
考点3 知识方法 易错易混
13+2∫01 f(x)dx,
∴B∫01 f(x)dx=-13.故选 B.
关闭
解析 答案
第三章
3.4 定积分与微积分基本定理
考纲要求
知识梳理
双击自测
考点1
考点2
考点3 知识方法 易错易混
(2)定积分∫03 √9-������2dx 的值为
.
核心考点
-17-
关闭
由定积分的几何意义知,∫03 9-������2dx 是由曲线 y= 9-������2,直线
3.4 定积分与微积分基本定理
第三章
3.4 定积分与微积分基本定理
考纲要求
知识梳理
双击自测
核心考点
-2-
考纲要求:1.了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想,了解 定积分的概念. 2.了解微积分基本定理的含义.
第三章
3.4 定积分与微积分基本定理
最新-2018届高三数学一轮复习 定积分与微积分基本定理理课件 新人教B版 精品
一、选择题
1．已知函数f(x)＝x2－2x－3，则1－1f(x)dx＝( )
A．－2
B．－136
C．－4
16 D. 3
• [答案] B
[解析] 1－1f(x)dx＝1－1(x2－2x－3)dx
＝ 13x3－x2－3x－11＝－136.
2．(2010·湖南理，5)41xdx等于(
)
2
A．－2ln2 B．2ln2 C．－ln2 D．ln2
(2010·曲师大附中)设常数a>0，(ax2＋
1 x
)4展开
式中x3的系数为32π2，则a(x＋sinx)dx＝________. 0
解析：Tr＋1＝C4r(ax2)4－r
1 x
r＝C4ra4－rx8－2r－
1 2
r，
令8－2r－
1 2
r＝3，得r＝2.所以C42a2＝
3 2
π2.由于a>0，所
(1)切点A的坐标为________． (2)过切点A的切线方程为________．
• 分析：设出切点A的坐标，利用导数的几何意义，写出 切线方程，然后利用定积分求出所围成平面图形的面积， 从而确定切点A的坐标．
解析：设切点A(x0，y0)，由y′＝2x，过点A的切线 方程为
y－y0＝2x0(x－x0)， 即y＝2x0x－x02. 令y＝0，得x＝x20.即C(x20，0)．
• 重点难点
• 重点：了解定积分的概念，能用定义法求简单的定积分， 用微积分基本定理求简单的定积分．
• 难点：用定义求定积分
• 知识归纳 • 1．定积分的定义
设函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分
点a＝x0<x1<…<xi－1<xi<…<xn＝b，将区间 [a，b]分成n个小区间，在每个小Байду номын сангаас间[xi－
一轮复习--定积分与微积分基本定理PPT课件
0
5
所以5
－5
(3x3＋4sin
x)dx＝0－5
(3x3＋4sin
x)dx
＋
0
(3x3
＋
4sin x)dx＝0.
[方法技巧] 1．利用定积分几何意义求定积分的策略 当被积函数的原函数不易求，而被积函数的图象与直 线x＝a，x＝b，y＝0所围成的曲边梯形的面积易求时，利 用定积分的几何意义求定积分． 2．两个常用结论 设函数f(x)在闭区间[－a，a]上连续，则由定积分的几 何意义和奇、偶函数图象的对称性可得两个结论： (1)若f(x)是偶函数，则a－af(x)dx＝2af(x)dx；
图(如图所示)，所求面积为阴影部分的面积．
由yy＝ ＝x－x，2 得交点A(4,2)．
因此 y＝ x与 y＝x－2 及 y 轴所围成的图形的面积为
＝
4
0
x－x＋2dx
＝
2 3x
3 2
－12x2＋2x
4 0
＝23×8－12×16＋2×4＝136.
[答案] C
[方法技巧] 利用定积分求平面图形面积的步骤
3.在区间[0,1]上给定曲线 y＝x2，试在此区间内确定点 t 的值，使图 4－5－4 中阴影部分的面积 S1 与 S2之和最小．
图 4－5－4
解：S1 面积等于边长为 t 与 t2 的矩形面积去掉曲线 y＝x2 与 x 轴、直线 x＝t 所围成的面积，即
t
S1＝t·t2－ 0
x2dx＝23t3.
当 t＝12时，S 最小，
∴最小值为 S12＝14.
kbf(x)dx
(1)bkf(x)dx＝___a______ (k 为常数)；
a
bf1(x)dx±bf2(x)dx
高考数学一轮复习课件2.13定积分与微积分基本定理
0
xdx＝23x32a0＝23a32＝a2，∴a＝49.
【答案】
4 9
2．(2013·温州模拟)已知2≤2(kx＋1)dx≤4，则实数k的 1
取值范围是________．
【解析】 ∵12(kx＋1)dx＝(12kx2＋x)|21＝32k＋1， ∴2≤32k＋1≤4，∴23≤k≤2.
【答案】 [23，2]
10(x2－x3)dx＝(13x3－14x4)|10＝112.
【答案】
(1)D
1 (2)12
•
物体A以v＝3t2＋1(m/s)的速度在一直
线l上运动，物体B在直线l上，且在物体A的
正前方5 m处，同时以v＝10t(m/s)的速度与A
同向运动，出发后，物体A追上物体B所用的
时间t(s)为( )
•A．3
a
c
2．微积分基本定理
一般地，如果f(x)是在区间[a，b]上的连续函数，且F′(x)
＝f(x)．那么
b
f(x)dx＝_F_(_b_)_－__F_(_a_)_．这个结论叫做微积分
a
基本定理，又叫做牛顿—莱布尼兹公式．
1.bf(x)dx 与bf(t)dt 是否相等？
a
a
•【提示】 相等．定积分大小仅与被积函数 及积分区间有关，而与积分变量无关．
kbf(x)dx
①bkf(x)dx＝______a ________．(k 为常数) a
②b[f1(x)±f2(x)]dx＝______ab_f1_(_x_)d_x_±___ab_f2_(_x_)_d_x___．
a
cf(x)dx
③bf(x)dx＝____a________＋bf(x)dx(其中 a<c<b)．
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a
＝
F(b)－F(a)
，这个结论叫作微积分基本定理，又叫作牛顿莱布尼茨公式．
b a
其中F(x)叫作f(x)的一个原函数． 为了方便，常把F(b)－F(a)记作 F(x) ，即 f(x)dx＝F(x)
b a b a
＝F(b)－F(a)．
必记结论 1.若积分式子中有几个不同的参数，则必须先分清谁是被积变量． 2．定积分式子中隐含的条件是积分上限大于积分下限． 3．定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的 结果可以为负．
[考点一 即时应用]
2x＋1，x∈[－2，2]， 1．(1)已知f(x)＝ 2 1＋x ，x∈2，4].
1 31 1 22 ＝3x 0 ＋2x－2x 1 1 5 1 ＝3＋4－2－2＋2＝6.
考点一
9π 2 3 4 ． (2)定积分 9 － x dx的值为________
0
(2)由定积分的几何意义知，
3 0
9－x2 dx是由曲线y＝ 9－x2 ， 直线x＝0，x＝3，y＝0围成的封 闭图形的面积．
a
b 1 a
b f (x)dx± f2(x)dx
a
；
b (3) f(x＋ f(x)dx
c
(其中a<c<b)．
3．微积分基本定理
b 一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么 f(x)dx
A．1 C．－1 B．2
f(f(1))＝1，则a的值为( A )
D．－2
a
3 3 3 a 2 解析：因为f(1)＝lg 1＝0，f(0)＝ 3 t d t ＝ t ＝ a ，所以由 f ( f (1)) ＝ 1 得 a ＝1， 0
0
所以a＝1.
1 2 B ) 3．(2017· 江西新余三校联考)已知 (x ＋mx)dx＝0，则实数m的值为(
4．定积分的几何意义 条件 f(x)≥0
b a
f(x)dx的几何意义
表示由直线x＝a，x＝b，y＝0及曲线y＝f(x) 所围成的曲边梯形的面积 表示由直线x＝a，x＝b，y＝0及曲线y＝f(x) 所围成的曲边梯形的面积的相反数 表示位于x轴上方的曲边梯形的面积减去位 于x轴下方的曲边梯形的面积
2 B．5t0
52 D．3t0
解析：
5．(2015· 高考天津卷)曲线y＝x2与直线y＝x所围成的封闭图形的面积为 1 ________ 6 ．
y＝x2， 解析：如图，阴影部分的面积即为所求，由 得A(1,1)．故所求面积 y＝x，
1 1 1 2 3 1 1 为S＝ (x－x )dx＝ 2x －3x 0 ＝6.
0
1 A．－3 C．－1
2 B．－3 D．－2
1 3 1 21 1 1 2 解析：根据题意有 (x ＋mx)dx＝ 3x ＋2mx 0 ＝3＋2m＝0，解得m＝－3.
1 2
0
4．(人教A选修22习题1.7改编)已知质点的速度v＝10t，则从t＝0到t＝t0质点所 经过的路程是( B ) A．10t2 0 10 2 C. 3 t0
3 故
0
即时应用
2 π·3 9π 2 9－x dx＝ 4 ＝ 4 .
考点一
9π 2 3 (2)定积分 9 － x dx的值为________ 4 ．
0
即时应用
1．运用微积分基本定理求定积分 3 (2) 由定积分的几何意义知， 时要注意以下几点： 0 (1)对被积函数要先化简，再求积 分； 9－x2 dx是由曲线y＝ 9－x2 ， (2)求被积函数为分段函数的定积 直线x＝0，x＝3，y＝0围成的封 分，依据定积分“对区间的可加 性 ”，分段积分再求和； 闭图形的面积． (3)对于含有绝对值符号的被积函 2 π·3 9π 2 3 数，要先去掉绝对值符号再求积 故 9－x dx＝ 4 ＝ 4 . 0 分； (4)注意用“F ′(x)＝f(x)”检验 积分的对错． 2．根据定积分的几何意义可利用 面积求定积分．
f(x)<0 f(x)在[a，b] 上有正有负
[自主诊断]
1 x C ) 1．(2017· 南昌新建二中月考) e dx的值等于(
0
A ．e C．e－1
1
B．1－e 1 D．2(e－1)
x 1 0 1 x 解析： e d x ＝ e ＝ e － e ＝e－1. 0
0
lg x，x＞0， 2．若f(x)＝x＋a3t2dt，x≤0， 0
2
0
1 6．一物体做变速直线运动，其v t曲线如图所示，则该物体在2 s～6 s间的运 动路程为________．
2t，0≤t<1， 2，1≤t<3， 解析：由图象可知，v(t)＝ 1t＋1，3≤t≤6， 3
1 所以2 s～6 s间的运动路程
49 答案： 4
考点一
定积分的计算
目录
CONTENTS
1
高考导航 考纲下载
第二章 函数、导数及其应用 第十一节 定积分与微积分基本 定理
2 3
主干知识 自主排查
核心考点 互动探究
4
5
真题演练 明确考向
课时作业
1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念． 2.了解微积分基本定理的含义．
[知识梳理] 1．定积分的概念
1．(1)(2017· 东营模拟)设f(x)＝
x ，x∈[0，1]， 2 则 f(x)dx等于( 2－x，x∈1，2]， 0
即时应用
2
(1)如图，
C )
3 A.4 5 C.6
4 B．5 D．不存在
2 0
1 2 2(2－x)dx f(x)dx＝ x d x ＋
0 1
b 在 f(x)dx中，
a
a，b
分别叫作积分下限与积分上限，区间[a，b]叫作积分区
x
间，
f(x)
叫作被积函数，
叫作积分变量，
f(x)dx
叫作被积式．
2．定积分的性质 b k f(x)dx b a (1) kf ( x )d x ＝ (k为常数)；
a
b (2) f2(x)]dx＝ [f1(x)±
＝
F(b)－F(a)
，这个结论叫作微积分基本定理，又叫作牛顿莱布尼茨公式．
b a
其中F(x)叫作f(x)的一个原函数． 为了方便，常把F(b)－F(a)记作 F(x) ，即 f(x)dx＝F(x)
b a b a
＝F(b)－F(a)．
必记结论 1.若积分式子中有几个不同的参数，则必须先分清谁是被积变量． 2．定积分式子中隐含的条件是积分上限大于积分下限． 3．定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的 结果可以为负．
[考点一 即时应用]
2x＋1，x∈[－2，2]， 1．(1)已知f(x)＝ 2 1＋x ，x∈2，4].
1 31 1 22 ＝3x 0 ＋2x－2x 1 1 5 1 ＝3＋4－2－2＋2＝6.
考点一
9π 2 3 4 ． (2)定积分 9 － x dx的值为________
0
(2)由定积分的几何意义知，
3 0
9－x2 dx是由曲线y＝ 9－x2 ， 直线x＝0，x＝3，y＝0围成的封 闭图形的面积．
a
b 1 a
b f (x)dx± f2(x)dx
a
；
b (3) f(x＋ f(x)dx
c
(其中a<c<b)．
3．微积分基本定理
b 一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么 f(x)dx
A．1 C．－1 B．2
f(f(1))＝1，则a的值为( A )
D．－2
a
3 3 3 a 2 解析：因为f(1)＝lg 1＝0，f(0)＝ 3 t d t ＝ t ＝ a ，所以由 f ( f (1)) ＝ 1 得 a ＝1， 0
0
所以a＝1.
1 2 B ) 3．(2017· 江西新余三校联考)已知 (x ＋mx)dx＝0，则实数m的值为(
4．定积分的几何意义 条件 f(x)≥0
b a
f(x)dx的几何意义
表示由直线x＝a，x＝b，y＝0及曲线y＝f(x) 所围成的曲边梯形的面积 表示由直线x＝a，x＝b，y＝0及曲线y＝f(x) 所围成的曲边梯形的面积的相反数 表示位于x轴上方的曲边梯形的面积减去位 于x轴下方的曲边梯形的面积
2 B．5t0
52 D．3t0
解析：
5．(2015· 高考天津卷)曲线y＝x2与直线y＝x所围成的封闭图形的面积为 1 ________ 6 ．
y＝x2， 解析：如图，阴影部分的面积即为所求，由 得A(1,1)．故所求面积 y＝x，
1 1 1 2 3 1 1 为S＝ (x－x )dx＝ 2x －3x 0 ＝6.
0
1 A．－3 C．－1
2 B．－3 D．－2
1 3 1 21 1 1 2 解析：根据题意有 (x ＋mx)dx＝ 3x ＋2mx 0 ＝3＋2m＝0，解得m＝－3.
1 2
0
4．(人教A选修22习题1.7改编)已知质点的速度v＝10t，则从t＝0到t＝t0质点所 经过的路程是( B ) A．10t2 0 10 2 C. 3 t0
3 故
0
即时应用
2 π·3 9π 2 9－x dx＝ 4 ＝ 4 .
考点一
9π 2 3 (2)定积分 9 － x dx的值为________ 4 ．
0
即时应用
1．运用微积分基本定理求定积分 3 (2) 由定积分的几何意义知， 时要注意以下几点： 0 (1)对被积函数要先化简，再求积 分； 9－x2 dx是由曲线y＝ 9－x2 ， (2)求被积函数为分段函数的定积 直线x＝0，x＝3，y＝0围成的封 分，依据定积分“对区间的可加 性 ”，分段积分再求和； 闭图形的面积． (3)对于含有绝对值符号的被积函 2 π·3 9π 2 3 数，要先去掉绝对值符号再求积 故 9－x dx＝ 4 ＝ 4 . 0 分； (4)注意用“F ′(x)＝f(x)”检验 积分的对错． 2．根据定积分的几何意义可利用 面积求定积分．
f(x)<0 f(x)在[a，b] 上有正有负
[自主诊断]
1 x C ) 1．(2017· 南昌新建二中月考) e dx的值等于(
0
A ．e C．e－1
1
B．1－e 1 D．2(e－1)
x 1 0 1 x 解析： e d x ＝ e ＝ e － e ＝e－1. 0
0
lg x，x＞0， 2．若f(x)＝x＋a3t2dt，x≤0， 0
2
0
1 6．一物体做变速直线运动，其v t曲线如图所示，则该物体在2 s～6 s间的运 动路程为________．
2t，0≤t<1， 2，1≤t<3， 解析：由图象可知，v(t)＝ 1t＋1，3≤t≤6， 3
1 所以2 s～6 s间的运动路程
49 答案： 4
考点一
定积分的计算
目录
CONTENTS
1
高考导航 考纲下载
第二章 函数、导数及其应用 第十一节 定积分与微积分基本 定理
2 3
主干知识 自主排查
核心考点 互动探究
4
5
真题演练 明确考向
课时作业
1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念． 2.了解微积分基本定理的含义．
[知识梳理] 1．定积分的概念
1．(1)(2017· 东营模拟)设f(x)＝
x ，x∈[0，1]， 2 则 f(x)dx等于( 2－x，x∈1，2]， 0
即时应用
2
(1)如图，
C )
3 A.4 5 C.6
4 B．5 D．不存在
2 0
1 2 2(2－x)dx f(x)dx＝ x d x ＋
0 1
b 在 f(x)dx中，
a
a，b
分别叫作积分下限与积分上限，区间[a，b]叫作积分区
x
间，
f(x)
叫作被积函数，
叫作积分变量，
f(x)dx
叫作被积式．
2．定积分的性质 b k f(x)dx b a (1) kf ( x )d x ＝ (k为常数)；
a
b (2) f2(x)]dx＝ [f1(x)±