2011届高三数学复数的四则运算
高三数学复数代数形式的四则运算
复数代数形式的四则运算一、复数的加法1、法则：设12,(,,,)z a bi z c di a b c d R =+=+∈则12()()z z a c b d i +=+++2、运算律：（1）交换律：1221z z z z +=+；（2）结合律：123123()()z z z z z z ++=++；3、几何意义：复数的加法可以按照向量的加法来进行（平行四边形法则、三角形法则）。
4、例题:已知复数1217,24z i z i =+=--，求12z z +.二、复数的减法1、法则：设12,(,,,)z a bi z c di a b c d R =+=+∈则12()()z z a c b d i -=-+-2、几何意义：复数的减法可以按照向量的减法来进行（三角形法则）。
3、例题:（1） 计算(56)(2)(34)i i i -+---+；（2）在复平面内，向量AB →对应的复数是2i +，向量AC →对应的复数是13i --，求向量BC →对应的复数Z 及z .三、复数的乘法1、法则：设12,(,,,)z a bi z c di a b c d R =+=+∈则 212()()z z a bi c di ac bci adi bdi ⋅=++=+++()()ac bd ad bc i =-++2、运算律：（1）交换律：1221z z z z ⋅=⋅；（2）结合律：123123()()z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅；（3）分配律：1231213()z z z z z z z +=⋅+⋅3、例题:计算(1)(12)(34)i i -+；（2）(34)(34)i i +-；（3）2(1)i +；（4）5112010(1)(1)(1)i i i +-+.四、共轭复数1、定义：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，z 的共轭复数用z 表示，即(,)z a bi a b R =+∈，则z a bi =-。
2011版高三数学一轮精品复习学案：数系的扩充与复数的引入
高三数学一轮精品复习:数系的扩充与复数的引入【考纲知识梳理】1、复数的有关概念（1）复数的概念形如a+bi(a,b ∈R)的数叫做复数，其中a,b 分别是它的实部和虚部。
若b=0,则a+bi 为实数，若b ≠0,则a+bi 为虚数，若a=0且b ≠0，则a+bi 为纯虚数。
（2）复数相等：a+bi=c+di ⇔a=c 且b=d(a,b,c,d ∈R).（3）共轭复数：a+bi 与c+di 共轭⇔a=c ，b=-d(a,b,c,d ∈R).。
（4）复平面建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面。
X 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴。
实轴上的点表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示非纯虚数。
（5）复数的模向量OZ 的模r 叫做复数z=a+bi 的模，记叙|z|或|a+bi|，即2、复数的几何意义 （1）复数z=a+bi ←−−−→一一对应复平面内的点Z （a,b ）(a,b ∈R); （2）复数z=a+bi ←−−−→一一对应平面向量OZ （a,b ∈R ）。
3、复数的运算（1）复数的加、减、乘、除运算法则:设z 1=a+bi,z 2=c+di(a,b,c,d ∈R),则①加法：z 1+ z 2=（a+bi ）+（c+di ）=(a+c)+(b+d)i;②减法：z 1- z 2=（a+bi ）-（c+di ）=(a-c)+(b-d)i;③乘法：z 1· z 2=( a+bi )·(c+di )=(ac-bd)+(ad+bc)i; ④除法：1222()()()()(0)()()z a bi a bi c di ac bd bc ad i c di z c di c di c di c d ++-++-===+≠++-+ (2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何1z 、2z 、3z ∈C ，有1z +2z =2z +1z ，（1z +2z ）+3z =1z +（2z +3z ）。
高三数学复数知识点总结大全
高三数学复数知识点总结大全复数是数学中一个重要的概念，它是由实数和虚数构成的，可以用来解决实数范围内无法解决的问题。
在高三数学学习中，复数也是一个重要的知识点。
下面将对高三数学中的复数知识点进行总结和归纳，以供参考。
一、复数的定义和表示方法复数由实部和虚部组成，可以用(a+bi)的形式表示，其中a是实部，b是虚部，i是虚数单位，i^2=-1。
复数可以用复平面上的点表示，实部和虚部分别对应坐标轴上的横坐标和纵坐标。
二、复数的四则运算法则1.加法和减法：实部与实部相加（减），虚部与虚部相加（减）。
例如：(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i。
2.乘法：使用分配率进行计算。
例如：(a+bi)(c+di)=ac+(ad+bc)i-bd。
3.除法：将除数与被除数乘以共轭复数，然后利用分子分母有理化的方法进行计算。
例如：(a+bi)/(c+di)=[(a+bi)(c-di)]/[(c+di)(c-di)]。
三、复数的模、辐角和共轭复数1.模：复数z=a+bi的模定义为|z|=√(a^2+b^2)，表示复数到原点的距离。
2.辐角：复数z=a+bi的辐角定义为arg(z)=arctan(b/a)，表示复数与实轴正向之间的夹角。
3.共轭复数：复数z=a+bi的共轭复数定义为z的实部不变，虚部变号，即z的共轭复数为a-bi。
四、复数的指数形式和三角形式1.指数形式：复数z=a+bi可以表示为z=r·exp(iθ)，其中r=|z|为模，θ=arg(z)为辐角。
2.三角形式：复数z=a+bi可以表示为z=r(cosθ+isinθ)，其中r=|z|为模，θ=arg(z)为辐角。
五、复数的乘方和根式表示1.复数的乘方：(a+bi)^n可以使用二项式定理进行展开，然后进行化简。
2.复数的根式表示：复数的根式表示可以通过化简复数的乘方得到。
例如，对于z^2=a+bi，可以先求出z^2=(x+yi)^2，再解一元二次方程求得x和y。
高中数学知识点精讲精析 复数的四则运算
3.2 复数的四则运算1. 复数加减法的运算法则：复数 z1=a+bi, z2=c+di,（a,b,c,d 是实数）z1+z2=(a+c)+(b+d)i;z1-z2=(a-c)+(b-d)i.即:两个复数相加(减)就是实部与实部,虚部与虚部分别相加(减).2.复数乘法的运算法则：( a + bi )( c + di ) = ( ac – bd ) + ( bc + ad )i.注：复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律3.复数除法的运算法则：把满足(c +di ）(x +yi ) = a +bi (c +di ≠0)的复数 x +yi 叫做复数 a +bi 除以复数c +di 的商复数的乘方运算是指几个相同复数相乘.对任意复数z, z 1 ,z 2 以及正整数m,n 有1．复数z 满足│z+i│+│z -i│=2求│z+1+i│的最值。
.)()(dic bi a di c bi a +++÷+或记做z z )z (z z ) (z z z z n n n mn n m n m n m 2121===⋅+【解析】│z+i│+│z-i│=2表示复数z的对应点Z与点A(0,-1)B(0,1)距离之和为2,而│AB│=2∴条件表示以A、B为端点的线段，而│z+1+i│=│z-(-1-i)│表示点Z到点C(-1,-1)的距离，因而，问题的几何意义是求线段AB上的点到C点距离的最大值与最小值，如图易见│z+1+i│max=│BC│=,│z+1+i│min=│AC│=1,2．【解析】3．【解析】化简得│W-(b+i)│≤1∴集合A、B在复平面内对应的点的集合是两个圆面，集合A表示以点（2,0)为圆心，半径为2的圆面，集合B表示以点(b,1)为圆心，半径为1的圆面.又A ∩B=B即B A∴两圆内含即(b-2)2≤0，∴b=24．计算下列各式①②【解析】(1)(2)5【解析】由│z│=4得a2+b2=4……①∵复数0，z,z对应的点构成正三角形，∴│z-z│=│z│把z=-2a-2bi代入简得│b│=1……②又∵Z点在第一象限∴a<0,b<0。
高三数学第三册复数知识点
高三数学第三册复数知识点复数在高三数学中扮演着重要的角色，它是一个包含实部和虚部的数。
在这篇文章中，我们将探讨高三数学第三册中的一些重要复数知识点。
一、复数的定义和表示方法复数可以用 a+bi 的形式表示，其中 a 是实部，bi 是虚部并乘以单位虚数 i。
实部和虚部都可以是实数。
复数可以表示为一个有序数对，也可以看作是在平面上的一个点。
二、复数的四则运算1. 加法和减法：将实部和虚部分别相加或相减即可。
例如：(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i。
2. 乘法：将实部和虚部按照分配律相乘，同时注意 i 的平方为 -1。
例如：(a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i。
3. 除法：使用有理化的方法将复数的分母有理化，然后按照分数的除法法则进行运算。
三、复数的共轭复数的共轭是指保持实部不变而把虚部的符号取反的操作。
记为 z*。
例如：如果 z = a+bi，则 z* = a-bi。
四、复数的模和幅角1. 模：复数的模是指复数到原点的距离，用 |z| 表示。
模的计算公式为：|z| = √(a²+b²)。
2. 幅角：复数的幅角是指复数与正实轴的夹角，用θ 表示。
幅角的计算公式为：θ = arctan(b/a)，其中a ≠ 0。
五、复数的指数形式（欧拉公式）欧拉公式是指以自然对数 e 为底的指数函数与正弦、余弦函数的关系。
它表示为：e^(iθ) = cosθ + isinθ，其中 e 是自然对数的底数，i 是单位虚数，θ 是实数。
六、复数的求根公式对于任意一个非零复数 z，它的 n 次方根有 n 个，可以通过求解方程 z^n = w 来得到。
其中，w 是已知的复数常数。
总结起来，高三数学第三册复数知识点包括复数的定义和表示方法、复数的四则运算、复数的共轭、复数的模和幅角、复数的指数形式（欧拉公式）以及复数的求根公式。
掌握这些知识点，能够帮助同学们更好地理解和运用复数，并在高三数学的考试中取得更好的成绩。
《复数的四则运算》专题精讲课件
+ = .
解得 = −, = ± .所以 = − ± ,
即方程 + + = 的根为 = − ± .
=
.③
= −.
典型例题
高中数学
GAOZHONGSHUXUE
典例6 在复数范围内解方程: + + = .
思路 本题考查复数四则运算的应用,在复数范围内解方程,复数范围内,利用实系数一
元二次方程 + + = ≠ 求解方法.
(1)求根公式法
①当 ⩾ 时, =
于的周期性要记熟,即 + + + + + + = ∈ ∗ .另外记住以下结果,
可提高运算速度:① +
由于
=
−
+
= , −
= −.②
−
+
=
+
−,
−
= −,所以 = − + − + − = −.
虚部分别合并.多项式展开中的一些重要公式仍适用于复数,如 +
+ = − + , +
= +
= + + + =
− + − .
解析
−
=
−
−
2.复数加、减法的几何意义
如图所示,设复数 = + , = + ∈ 对应的向量分别为
, ,四边形 为平行四边形,则与 + 对应的向量是,与
复数的四则运算
练 习
（1）已知 z
求
z1 z1 z2 , z1 z2 , z1 z2 , z2
1
3 2i , z2 1 4i
（2）已知 求
z1 4 2 , z1 , ( z1 z2 ) z2
z1 1 i , z2 2 i
（3） (1 i) 2i;
2
1 1 i i; i; i 1 i
* n n
所有可能的取值.
练习:
(A) 1
2015-3-26
1+i1+i2+i3+…+i 2004的值为( A )
(B) -1 (C) 0 (D) i
2.复数的乘法与除法
(1)复数乘法的法则 复数的乘法与多项式的乘法是类似 的,但必须在所得的结果中把i2换成-1, 并且把实部合并.即:
2 (a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi
1 i i. 1 i
拓
展
求满足下列条件的复数z:
(1)z+(3－4i)=1; (2)(3+i)z=4+2i
分母实数化
a bi (a bi ) (c di ) c di
例3.计算
(1 2i) (3 4i)
1 2i 解: (1 2i ) (3 4i ) 3 4i (1 2i)(3 4i) (3 4i )(3 4i ) 3 8 6 i 4 i 5 10 i 2 2 3 4 25 1 2 i 5 5
2
2 2
a b
2
2
2
2 2 2
（2） (a bi) a 2abi b i
3.2复数的四则运算
_ _
原式 (1 1 i ) (1 i ) ( 2 i ) (1 i )
2 2i i i 2 2 i 1 3i
2009浙江（理）
2 2 例4.设z 1 i (i是虚数单位），则 z z A. 1 i B. 1 i C.1 i D.1 i
巩固练习：
3.计算：(1) (-2-i)(3-2i)(-1+3i) (2) (1＋2i)(2－3i)(1－2i)
(3) (a＋bi)(a-bi)
共轭复数：实部相等而虚部互为相反数 的两个数. 复数z的共轭复数用
z
表示.
若z＝a＋bi，则z ＝a－bi (a，b∈R)
注:(1)当b不为0时，共轭复数称为共轭虚数；
巩固练习：
1.计算：(1) (4＋3i)＋(2－i)
(2) (3i－2)＋(3＋2i)
四则运算
二、复数的减法：(加法的逆运算) 复数a＋bi减去复数c＋di的差是指满 足 (c＋di)＋(x＋yi)＝a＋bi 的复数x＋yi，记作(a＋bi)－(c＋di)
复数的差仍然是一个复数，其实部为两个 复数实部的差，虚部为两个复数虚部的差。
例3 计算: （1+2i)(3-4i)
1+2i 解：（1+2i)(3-4i)= 3-4i
= (1+2i)(3+4i) (3-4i)(3+4i)
= -5+10i 25
1 2 =- + i . 5 5
2011浙江（理）
例3.把复数z的共轭复数记作z, i为虚数单位， 若z 1 i则（ 1 z） z A A.3 i B.3 i C.1 3i D.3
高中数学总结归纳 复数的四则运算导学
“复数的四则运算”学习指南一、知识要点1、复数的加、减、乘、除运算按以下法则进行：设12,z a bi z c di =+=+，（,,,a b c d R Î以下不再说明）加减法：()()()()a bi c di a c b d i +?=??乘法：()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++ 除法：a bi c di +=+2222()()()()a bi c di ac bd bc ad i c d c d+-++-=++ 重要等式：①22z z z z ?=②若z 为虚数，则22z z ¹2、复数的加法、乘法运算满足交换律、结合律及乘法对加减法的分配律。
实数的正整数指数幂运算也能推广到复数集中，即m n m n z z z +?； ()m n mn z z =； 1212(),(,*)n n n z z z z m n N ?孜3、加、减法的几何意义（了解）复数加法可以按向量的平行四边形法则进行。
复数12z z -与连接两向量终点并指向被减数的向量对应。
两点间距离公式12d z z =-是建立解析几何体系的重要公式，是求曲线方程的重要依据，因此用复数形式的两点间距离公式表示曲线方程十分简明。
二、学法建议1、在学习中，要把概念和运算融为一体，切实掌握好。
2、了解复数加、减法的几何意义是难点，它们与平面向量的加、减法运算法则完全相同，用类比方法可对照学习，温故而知新。
3、要熟练掌握复数加法、减法、乘法、除法的运算法则，特别是除法法则，更为重要，是考试的重点。
4、在化简求值运算中,如能合理的运用i 和w 的性质，常能出奇制胜，事半功倍，所以在学习中注意积累并灵活运用：（1）2(1)2i i ??；（2）11,11i i i i i i+-==--+（3）当12w =-+时，23121,1,,0(*)n n n n N w w w w w w w w ++===++=?； （4）1230(*)n n n n i i i i n N ++++++=?5、性质：22z z z z ?=是复数运算与实数运算互相转化的重要依据，也是把复数看做整体进行运算的主要依据，在解题中加以认识并逐渐领会。
复数的四则运算
複數的除法運算
設 Z1 = a +bi，Z2 = c + di ， 、、 其中 a b c、d為實數，則
Z1 ÷ Z 2 = ( a + bi ) ÷ (c + di ) a + bi = (a + bi )(c di ) = c + di (c + di )(c di ) (ac + bd ) + (bc ad )i = c2 + d 2
共軛複數的性質
共軛複數具有下列性質：
(1) Z1 ± Z 2 = Z1 ± Z 2 (2) Z1 × Z 2 = Z1 × Z 2 Z1 Z1 (3) = Z2 Z2 (4) Z1 = Z1
第二章 複
數
2－1 複數的四則運算
2-1 複數四則運算
1.i之運算性質 2.複數的定義 2.複數的定義 3.共軛複數 3.共軛複數 4.複數的運算 4.複數的運算 5.共軛複數的性質 5.共軛複數的性質
i之運算性質
設n為自然數， (1) i4n = 1 (2) i4n+1 = i (3) i4n+2 = –1 (4) i4n+3 = – i
Z = a + bi = a bi
複數的加法運算
設 Z1 = a +bi， Z2 = c + di， 其中 a b c、d 為實數，則 、、
Z1+ Z2 = (a +bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d )i
複數的減法運算
設 Z1 = a +bi， Z2 = c &#數除以4餘數為0）
（指數除以4餘數為1） （指數除以4餘數為2） （指數除以4餘數為3）
高中数学中的复数运算公式总结
高中数学中的复数运算公式总结在高中数学中，复数是一个重要的概念，而掌握复数的运算公式对于解决相关问题至关重要。
复数的运算包括加、减、乘、除等，下面我们就来详细总结一下这些运算公式。
一、复数的定义形如\（a ＋ bi\）（其中\（a\）、＼（b\）均为实数，＼（i\）为虚数单位，且\（i^2 ＝－1\））的数称为复数。
其中，＼（a\）被称为实部，记作\（Re(z)＼）；＼（b\）被称为虚部，记作\（Im(z)＼）。
二、复数的四则运算1、加法运算两个复数\（z_1 ＝ a_1 ＋ b_1i\），＼（z_2 ＝ a_2 ＋ b_2i\）的和为：＼z_1 ＋ z_2 ＝（a_1 ＋ a_2) ＋（b_1 ＋ b_2)i＼例如，＼（z_1 ＝ 2 ＋ 3i\），＼（z_2 ＝ 1 2i\），则\（z_1 ＋ z_2＝（2 ＋ 1) ＋（3 2)i ＝ 3 ＋ i\）2、减法运算两个复数\（z_1 ＝ a_1 ＋ b_1i\），＼（z_2 ＝ a_2 ＋ b_2i\）的差为：＼z_1 z_2 ＝（a_1 a_2) ＋（b_1 b_2)i＼例如，＼（z_1 ＝ 5 ＋ 4i\），＼（z_2 ＝ 3 ＋ 2i\），则\（z_1 z_2＝（5 3) ＋（4 2)i ＝ 2 ＋ 2i\）3、乘法运算两个复数\（z_1 ＝ a_1 ＋ b_1i\），＼（z_2 ＝ a_2 ＋ b_2i\）的积为：＼＼begin{align}z_1 ＼cdot z_2&＝（a_1 ＋ b_1i)（a_2 ＋ b_2i)＼＼＆＝a_1a_2 ＋ a_1b_2i ＋ a_2b_1i ＋ b_1b_2i^2\＼＆＝（a_1a_2 b_1b_2) ＋（a_1b_2 ＋ a_2b_1)i＼end{align}＼例如，＼（z_1 ＝ 2 ＋ 3i\），＼（z_2 ＝ 1 ＋ 2i\），则：＼＼begin{align}z_1 ＼cdot z_2&＝（2 ＋ 3i)（1 ＋ 2i)＼＼＆＝2 ＋ 4i ＋ 3i ＋ 6i^2\＼＆＝2 ＋ 7i 6\＼＆＝－4 ＋ 7i＼end{align}＼4、除法运算将复数\（＼frac{z_1}｛z_2}＼）（＼（z_2 ＼neq 0\））的运算转化为乘法运算，即分子分母同时乘以\（z_2\）的共轭复数\（＼overline{z_2} ＝ a_2 b_2i\），得到：＼＼begin{align}＼frac{z_1}｛z_2}＆＝＼frac{z_1 ＼cdot ＼overline{z_2}｝｛z_2 ＼cdot ＼overline{z_2}｝＼＼＆＝＼frac{（a_1 ＋ b_1i)（a_2 b_2i)｝｛（a_2 ＋ b_2i)（a_2 b_2i)｝＼＼＆＝＼frac{（a_1a_2 ＋ b_1b_2) ＋（b_1a_2 a_1b_2)i}｛a_2^2 ＋b_2^2}＼end{align}＼例如，＼（z_1 ＝ 4 ＋ 3i\），＼（z_2 ＝ 1 ＋ 2i\），则：＼＼begin{align}＼frac{z_1}｛z_2}＆＝＼frac{（4 ＋ 3i)（1 2i)｝｛（1 ＋ 2i)（1 2i)｝＼＼＆＝＼frac{4 8i ＋ 3i 6i^2}｛1 4i^2}＼＼＆＝＼frac{4 5i ＋ 6}｛1 ＋ 4}＼＼＆＝＼frac{10 5i}｛5}＼＼＆＝2 i＼end{align}＼三、复数的乘方运算1、＼（i\）的幂次规律＼（i^1 ＝ i\），＼（i^2 ＝－1\），＼（i^3 ＝ i\），＼（i^4 ＝1\）。
高中数学同步教学 复数的四则运算
【做一做 4】
1
2
1
C.1+ i
2
1+2i
A.-1- i
解析:
2 =
(1-i)
答案:B
1+2i
(1-i)
2=(
)
1
2
B.-1+ i
1
2
D.1- i
1+2i
(1+2i)i
-2+i
1
=
=
=-1+ i.
2
2
2
-2i
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(1)运算:z1+z2=(a+c)+(b+d)i,z1-z2=(a-c)+(b-d)i.
(2)法则:两个复数的和或差仍然是一个复数,它的实部是原来两个
复数的实部的和(或差),它的虚部是原来两个复数的虚部的和(或差).
名师点拨1.一种规定:复数的加减法法则是一种规定,减法是加法
的逆运算;
特殊情形:当复数的虚部为零时,与实数的加法、减法法则一致.
【做一做3】 已知复数z对应的点在第二象限,它的模是3,实部是
- 5,则=(
)
A.- 5+2i
B.- 5-2i
C. 5+2i
D. 5-2i
解析:设 z=- 5+bi(b∈R,且 b>0),
则|z|= 5 + 2 =3,且 z 对应的点在第二象限,
即 b=2,z=- 5+2i.故=- 5-2i.
§2 复数的四则运算
高中数学复数的四则运算(1) 例题解析
复数的四则运算(1) 例题解析【要点梳理】1. 设di c z bi a z +=++=21,是任意两个复数(1)复数的加法法则：(2)复数的减法法则:：(3)两个复数相加(减)就是2. 复数bi a z +=（R b a ∈,）的共轭复数记作 z ,=z3. 复数z 是实数的充要条件为4. =z =±21z z【指点迷津】1. 复数的加减法法则可以推广到复数相加减吗?可以2. 复数的加法满足交换律,结合律吗?满足3. 实数有共轭复数吗？有, 实数的共轭复数仍是它本身【典型例题】例1．计算：(1))]31()43[(5i i i +--+-解析： )]31()43[(5i i i +--+-=i i i 44)4(5+-=+-(2)i bi a bi a 3)32()(---+ （R b a ∈,）解析： i bi a bi a 3)32()(---+i b a i b b a a )34(]3)3([)2(-+-=---+-=点评：（1）类比实数运算，若有括号，先计算括号内的，若没有括号，可从左到右依次进行．（2）算式中出现字母，首先要确定其是否为实数，再确定复数的实部和虚部，最后把实部和虚部分别相加．例2．已知复数i m m m z )(1221+++=与i m z )31(22-+= )(R m ∈是共轭复数，求实数m 的值． 解析：由i m m m z )(1221+++=与i m z )31(22-+= )(R m ∈是共轭复数得：⎪⎩⎪⎨⎧--=+=+)31(2122m m m m 解得：⎩⎨⎧=±=11m m 从而1=m 。
即1=m 时，21,z z 是共轭复数．点评：应准确把握共轭复数的代数特征：实部相同，虚部互为相反数． 例3．已知,36)(,32)(i i z f i z z z f -=+-+=求)(z f -的值．分析：先利用,36)(,32)(i i z f i z z z f -=+-+=得到复数z 满足的等式，然后设bi a z += （R b a ∈,）利用复数相等得到关于实数b a ,的方程组，解方程组即可． 解：因为,36)(,32)(i i z f i z z z f -=+-+=i z z i i z i z i i z i z i i z i z i z f 223)(23)(23)()(2)(-+=--++=-+++=-+++=+所以i z z 3662-=-+即i z z -=+62设bi a z += ),(R b a ∈则bi a z -=，所以i bi a bi a -=++-6)()(2即i bi a -=-63 由复数相等的定义知：⎩⎨⎧-=-=163b a ，解得：⎩⎨⎧==12b a 所以i z +=2 所以 i i i i z f 463)2()2(2)(--=-+-+--=-点评：本题中要求)(z f -的值关键是先求出z ，在求复数z 时通常设复数),(R b a bi a z ∈+=，利用复数相等的定义将问题实数化，从而使问题得到解决．。
高中数学复数的四则运算
约日古丽。艾麦提 数学系（数学教育专业）
教学目标： 掌握把复数的基本概念与四则运算。 重点： 掌握把复数的基本概念 。 难点： 了解复数的运算方法。
部分别相加（相减）。
布置作业
1.把书的108页练习题
的第一到第五题。 2.关于复数的基本概念 及四则运算掌握好。
2014-6-21
3i 1.复数 中2 为实部 ， 虚部。 2.复数 1 i ，—1， 中那个是纯虚数？ （特别提醒实数，虚数，纯虚数之间的区 别。） 3.两个复数相等的充分必要条件是它们的实 部与实部，虚部与虚部相等。
复数的加法运算
1.加法的定义：设 z a bi ， z c di 2 1 （a,b,c,d R )是任意两个复数规定复数的 加法按照以下法则进行：
(a,b,c,d R )
是任意两个复数规定复数的减法按照一 下法则进行 ： ( ) ( )
a bi
c di
设
(a bi ) (c di )
即ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(a c ) (b d )i
(a bi ) (c di ) (a c ) (b d ) i
(a bi) (c di) (a c) (b d )i
1〉复数的加法运算中，是实部与实部相 加，虚部与虚部相加，很明显，两个复 数的和仍然是一个复数。 b 0 2〉如果在这个规定中，当 虚部 d 0 等于0的时，与实数的加法一致。
高一复数的四则运算知识点
高一复数的四则运算知识点复数的四则运算是高中数学中的重要内容之一。
在高一阶段学习复数的四则运算，对于后续的数学学习和应用有着重要的作用。
下面我们将介绍高一复数的四则运算的知识点。
一、复数及其表示形式复数是由实数和虚数单位构成的数，形如a+bi，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位。
复数可以用平面上的点表示，实部对应平面上的横坐标，虚部对应平面上的纵坐标。
二、复数的加法复数的加法遵循实部相加，虚部相加的原则。
即(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i。
三、复数的减法复数的减法即加上相反数，即(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i。
四、复数的乘法复数的乘法使用分配律和i的平方等于-1的性质。
即(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i。
五、复数的除法复数的除法可以通过乘以共轭复数来实现。
即(a+bi)/(c+di)=((a+bi)(c-di))/((c+di)(c-di))。
六、实部和虚部对于一个复数a+bi，a为实部，b为虚部。
实部和虚部可以通过提取系数的方式得到，实部为a，虚部为b。
七、复数的共轭复数的共轭是将虚部取相反数。
即对于a+bi，它的共轭是a-bi。
以上就是高一复数的四则运算的知识点。
通过学习这些知识，我们可以灵活地进行复数的加减乘除运算，并且理解复数在平面上的几何含义。
掌握这些知识将有助于我们在高中数学学习中的应用和解题。
复数的四则运算是高中数学中的基础内容，希望同学们能够认真学习和理解这些知识，通过练习和应用掌握复数的四则运算的方法和技巧。
加强对这些知识的掌握，对于提高数学水平和解题能力都是非常重要的。
祝同学们在学习复数的四则运算中取得好成绩！。
复数的四则运算与复数方程的解法
复数是数学中一个重要的概念，它是由实数与虚数的和构成。
复数的四则运算是指对复数进行加法、减法、乘法和除法的运算。
而复数方程是指含有未知数为复数的方程。
掌握复数的四则运算和解复数方程的方法，对于解决数学问题和应用数学模型起到关键的作用。
首先，复数的四则运算是基于实数和虚数的运算规则。
实数是我们通常所熟悉的数，而虚数是指形式上为bi的数，其中b为实数，i是一个虚数单位，满足i² = -1。
一个复数可以表示为a + bi的形式，其中a是实数部分，bi是虚数部分。
加法和减法的运算规则与实数相似，实数部分与实数部分相加减，虚数部分与虚数部分相加减。
乘法的运算规则是先将复数的实数部分与虚数部分分别相乘，然后将两个部分相加。
除法的运算规则是将被除数和除数分别乘以其共轭复数，然后求商。
通过这些运算规则，我们可以对任意的复数进行四则运算。
其次，对于复数方程的解法，我们需要将复数方程转化为实数方程。
这一过程通常用代数方法完成。
例如，对于一个复数方程z² + 2z + 2 = 0，我们可以设z = x + yi，其中x和y都是实数，然后将它代入方程中。
通过整理方程，我们可以得到实数部分和虚数部分的系数，然后我们可以得到一个关于x和y的实数方程。
通过求解这个实数方程，我们可以确定x和y的值。
最后，我们将x和y代回z = x + yi中，就得到了原复数方程的解。
这种方法被称为代数法。
另一种解复数方程的方法是几何法。
我们可以将复数看作是在平面上的一个点，实数部分和虚数部分分别对应点的x坐标和y坐标。
复数方程可以看作是表示两个点之间的关系。
通过分析这些点的位置和关系，我们可以找到方程的解。
这种方法被称为几何法。
在数学中，复数的四则运算和解复数方程是非常重要的概念和技巧。
它们不仅在数学问题的解决中发挥作用，而且在物理学、工程学和其他应用数学领域也有广泛的应用。
通过掌握复数的四则运算和解复数方程的方法，我们可以更好地理解和应用复数的概念，进一步提高数学水平和解决实际问题的能力。
高考数学复数的四则运算
复数的四则运算考纲要求：（1）数系的扩充了解数系的扩充过程；理解复数的基本概念、代数表示法以及复数相等的充要条件。
（2）复数的四则运算理解复数代数形式的四则运算法则，能进行复数代数形式的四则运算。
难点、疑点：理解复数代数形式的四则运算法则，能进行复数代数形式的四则运算知识梳理：：基础训练：1 （ ）A ．iB ．i -C iD i 2 已知集合M=｛1,i m m m m )65()13(22--+--｝，N ＝｛1，3｝，M ∩N ＝｛1,3｝，则实数m 的值（ ）（A ） 4 （B ）－1 （C ）4或－1 （D ）1或63集合｛Z ︱Z ＝Z n i i n n ∈+-,｝，用列举法表示该集合，这个集合是（ ） A ｛0，2，－2｝ （B ）｛0，2｝ （C ）｛0，2，－2，2i ｝（D ）｛0，2，－2，2i ，－2i ｝4、计算：610)21()2321(i i --+-= 5、已知复数z 1=3+4i, z 2=t+i,,且z 1·2z 是实数,则实数t 等于典型例题：例1 、设复数i m m m m Z )23()22lg(22+++--=，试求m 取何值时（1）Z 是实数； （2）Z 是纯虚数； （3）Z 对应的点位于复平面的第一象限例2设关于x 的方程0)2()(tan 2=+-+-i x i x θ，若方程有实数根，求锐角θ和实数根巩固练习：1、如果复数2()(1)m i mi ++是实数，则实数m =A ．1B ．1-C ．2、复数3(1)i -的虚部为（A ）3 （B ）－3 （C ）2 （D ）－23、已知=+-=+ni m i n m ni im 是虚数单位，则是实数，，，其中11 (A)1+2i (B) 1-2i (C)2+i (D)2- i4若复数z 满足方程220z +=，则3z =A.±-- D. ± 5设a 、b 、c 、d ∈R ，则复数(a +b i)(c +d i)为实数的充要条件是A.ad －bc =0B.ac －bd =0C. ac +bd =0D.ad +bc =06、若复数z 同时满足z －-z ＝2i ，-z ＝iz （i 为虚数单位），则z ＝ ． 7、设,x y 为实数，且511213x y i i i+=---，则x y += 。
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A.2 C.－2i
2
B.－2 D.2i
因为 (1 2 i) 2i －2i, 故选C.
i － 1
1 i 2009 3.（ ） 等于（ C ） 1 －i
A.2i C. i
B.－1+i D.1
1 i 2008 （ ） · i i, 选C. 1 －i
1 i 2 2 1 i 2009 因为 （ ） i － 1, 所以 （ ） 1 －i 1 －i
可以设 x = a + b i( a , b ∈ R), 然后利用 复数相等求解.也可以直接利用复数运算求得. 因为(3+3i)x=2－2i,
2 － 2i (2 － 2i)(1 －i) 2 所以 x － i. 3 3i 3(1 i)(1 －i) 3
本题中的x为复数,不可轻率利用
2=3x . 复数相等,误认为 -3x=2
灵活运用复数、复数的模及 复数的几何意义，能简化解题的过程.
变式练习2 已知复平面上点 A 、 B 、 C 分
别对应复数z1=1+2i,z2=4－2i,z3=－1+0.5i,
求证：三角形ABC是直角三角形.
可以分别求出 AB 、 BC 、 AC 的 长度,利用勾股定理的逆定理判断;或者将复数 问题转化为向量问题来解决.
i)= .
2
b 由韦达定理得(-2+i)+(-2-i)= ,且(-2+i)(-22 c
所以b=-8,c=10.
(1)本题也可以将已知的根-2+i代入 方程,利用复数相等求得b,c. (2) 对于实系数一元二次方程无论其系数 为实数还是虚数,它总有两根,且它的根也总满 足韦达定理.
例4 已知2－3xi=3x+2i,求复数x.
易错点：符号出错是较常见的错误.
(1 i) 4.复数 的模为 1 . － 1 3i 3 2 1 2 （－ ） 1， 因为 （ ） 所以复数 2 2 (1 i)2 2i 3 －i . 填1. 的模为 2 － 1 3i － 1 3i
2
5. (2 i) 表示a+bi(a,b∈R),则a+b= 1 .
1.(2009· 山东卷)复数3－i1－i等于（ C ） A.1+2i B.1－2i C.2+i D.2－i
2 (3 － i) 1 i 3 －i 3 2i－i 2 1 －i (1 －i) 1 i 1 －i 4 2i 2 i, 故选C. 2
本题考查复数的除法运算，分子、 分母需要同乘以分母的共轭复数，把分母变为 实数，将除法转变为乘法进行运算.
把复数对应的几何问题,利用复 数与向量之间的一一对应关系把它转化为向 量问题,可以方便解决一些复数问题.
重点突破：在复数范围内解方程
例3 在复数范围内解方程(4+3i)z2=25i.
可以设 z=x+yi(x、y∈R)，通过 复数相等的充要条件来解决.
25i 25i(4 － 3i) 由已知方程得 z 3 4i， 4 3i 25
－ 1 3i.
i（ 1 2 3i） 2 2 998 ［（ ） ］ (Ⅱ)原式 1 i 1 2 3i 2 998 i （ ） i i 998 i i 4249 2 i i 2 － 1 i. － 2i
复数的计算中，如遇到计算 ( a +b i) n 时 , 也可以应用二项展开式来解决 , 但 往往运算较为繁琐 , 所以应用 (1+i) 2 =2i,(1 － i)2=－2i等运算结果还是常用的解法.
1.复数问题的实数化是解决复数问题的 最基本也是最重要的思想方法，其依据是 复数有关概念和两个复数相等的充要条件. 2.要注意准确掌握复数的有关概念：复 数、虚数、复数相等、共轭复数.注意分类 讨论.
3.在进行复数的运算时,不能把实数集的 某些法则和性质照搬到复数集中来 , 如下列 结论在复数集中不总是成立： (1)(zm)n=zmn(m,n 为 分 数 );(2)zm=zn 2 m=n(z≠1);(3) z12 z2 0 z1 z2 0. 4.复数模|z|的几何意义是：复数z对应的 点到原点的距离； |z － (a+bi)| 的几何意义是 复数z对应的点与A(a,b)的距离.
2.(2009· 广东卷)下列n的取值中，使 in=1(i是虚数单位)的是（ C ） A.n=2 C.n=4 B.n=3 D.n=5 因为i4=1,故选C. 本题主要考查复数的简单运算 , 属于简单题.
5.对于实系数一元二次方程ax2+bx+c=0,无 论其系数是实数还是虚数,它总有两复数根,且 它的根满足韦达定理. 6.处理复数问题，应注意从整体角度去分 析求解，若遇到复数就设z=x+yi(x,y∈R)，给许 多问题的求解带来不必要的运算困难，而若把 握负数的基本性质运用整体的思想方法，就能 事半功倍.
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2
z － 1 1.已知复数z=i,则 等于（ B ） z1
A.－i
C.±i
B.i
D.±1
z － 1 i－ 1 (i－ 1)(i－ 1) = = =i, 选B. z +1 i+1 (i+1)(i－ 1)
2 （ 1+i） 2.复数 2 =（ C ） i
AB OB OA. 所以 AB 对应复数为(4-2i)-(1+2i)=3-4i,|AB|=5; AC 对 应 复 数 为 (-1+0.5i)-(1+2i0=-2-
解法1:由复数减法的几何意义知
1.5i,|AC|=2.5;
BC
重点突破：复数的几何意义
例2 设复数z1=x+yi(x,y∈R,y≠0),
z2=cosα+isinα(α∈R), 且 取值范围.
2 ∈ z1 2 z1R,z1 在 复
平面上的对应点在直线 y=x 上 , 求 |z1 － z2| 的 可以考虑把求|z1－z2|的取值范
围转化为求函数值域的问题.
因为 z12 2 z1∈R,z1对应点在直线y=x上,
对 应 复 数 为 (-1+0.5i)-(4-2i)=-
5+2.5i,| 31.25;BC|= 因为52+2.52=31.25，
所以三角形ABC是以A为直角的直角三角形.
解法 2:z1,z2,z3分别对应向量 (1， 2)， (4， －2)，(－ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ，05),
所以 AB =(4,－2)－(1,2)=(3,－4); AC=(－1,0.5)－(1,2)=(－2,－1.5); AB· AC =0,所以AB⊥AC.
又因为 z12 2 z1 =(x2-y2+2x)+(2xy-2y)i∈R, 所以
2xy－2y=0
x=y≠0
,解得x=y=1.
2 2 所以z1=1+i，|z1-z2|= (1 －cos ) (1 －sin )
π 3 2 2 sin （ ） ， 4 π － 1, 因为sin(α+ )∈[-1,1],所以 | z1 z2 | [ 2 4 2 1].
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4; 计算： ( Ⅰ )(3 － 2i) 变式练习1
(Ⅱ)（1+i）10
(Ⅰ)(3－ 2i)4=(5－12i)2=－119－ 120i;
(Ⅱ)(1+i)10=[(1+i)2]5=(2i)5=32i.
(b,c∈R)有一虚根－2+i,求b,c的值. 由 于 实 系 数 方 程 ax2+bx+c=0, 当 Δ=b2－4ac<0时,它有两个虚根两个虚根 x
－b － i , 恰好构成一对共轭虚根 .利用方程 2a
根与系数的关系可得解.
由已知方程一根为 -2+i, 知方程的 另一根为-2-i,
重点突破：复数的代数运算 例1 计算：
4 （2 2i） (Ⅰ ) ; 5 （－ 1 3i）
－ 2 3i 2 1996 (Ⅱ ) （ ） . 1 i 1 2 3i
要是利用复数的加、减、乘、
除的运算法则及其运算技巧来计算.
4 16 （ 1 i ） (Ⅰ) 原式 4 （ 1 3i ） （ 1 3i ） 2 16 （ 2i） 2 （- 2- 2 3i） （ 1- 3i） － 64 － 16 － 4 2 4 （ 1 3i） （－ 1 3i） 4 （ 1 3i） 1 3i
2
4 － 3i 2 (2 i) (4 4i－ 1)(4 3i) i, 故a=0, 4 － 3i (4 － 3i)(4 3i)
b=1,a+b=1.
1.复数的代数运算的实质是转化为实数 运算 , 在转化时常用的知识有复数相等 , 复数 的加、减、乘、除运算法则，模的性质，共 轭复数的性质. 2.复数的代数运算常考查的是一些特殊 复数(如i，1±i等)的运算，这就要求熟练掌 握特殊复数的运算性质以及整体消元的技巧 .
2
x2－y2=3 设z=x+yi(x、y∈R).则 2xy=4， x=－2 x=2 ,所以z=±(2+i). 或 解得 y=－1 y=1
上述求复数平方根的方法是通 用方法,但在求实数平方根时,有更为简便的 方法.正数a的平方根为± a ,0的平方根是0; 负数a的平方根是± － a i.
变式练习3 已知实系数方程2x2-bx+c=0