电子计算机基础

π 2 π 2
y arctan x

1 函数 f ( x) 在(2, +)上是有界的， x 1 因为 0 f ( x) . . 2 1 但是 f ( x) 在(0, +)上是无界的. x


2

(2) 单调性 设f(x)的定义域是D，对于任意x1，x2 D，若x1< x2， 有f(x1) f(x2)，则称f(x)在 D上是单调增函数.

函数的单调性与所考虑的区间相关.



(3) 奇偶性 设f(x)的定义域D关于原点是对称的，若 对于任意x D，均有f(-x) = - f(x)， 则 称f(x)在D上是奇函数. 设f(x)的定义域D关于原点是对称的，若 对于任意x D，均有f(-x) = f(x)， 则称 f(x)在D上是偶函数. 偶函数的图形关于y 轴是对称的. y = sinx在(-, +)上是奇函数，因为 sin (-x ) = - sinx; y = cosx在(-, +)上是偶 函数，因为 cos (-x ) = cosx.

学习任务二 函数的几种特性

(1) 有界性 设f(x)的定义域是D，若存在两个常数m 和M，使得对于任意x D，均有m f(x) M， 则称f(x)在D上是有界函数.

例如，大家知道，y = sinx在(-, +)上 是有界的，因为 -1 sin x 1.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ

函数y = arctanx在(-, +)上也是有界的， 因为 π π arctan x . 2 2




函数的定义域: (可自己规定)自变量的取 值范围. 例(函数的定义域) 设 f ( x) ln x , x2 求f(x)的定义域. Solution 要使得f(x)有意义，必须: x 0. x2
于是x > 0且x – 2 > 0或x < 0且x – 2 < 0， 进而x > 2或x < 0. 因此，f(x)的定义域： (-, 0) (2, +).
计算机数学基础
主讲老师: 邓辉文
高等数学

岑春 陈晓兵编写

人民交通出版社, 2007年第一版.



I. 函数与极限 II. 导数与微分 III. 积分 IV. 常微分方程 V. 多元函数微积分 VI. 级数 VII. 概率与数理统计初步
(不学习“线性代数初步”内容)

第一部分 函数与极限

(4) 周期性 设f(x)的定义域是(-, +), 若存在不为0 的常数T, 使得对于任意x D, 均有f(x + T) = f(x), 则称f(x)是周期函数. 通常, 将最 小的正数T称为f(x)的周期.
例如,y = sinx是周期函数,这是因为sin(x + 2) = sinx. 同理, y = cosx是周期为2的 周期函数, y = tanx和y = cotx是周期为 的周期函数.
1 f(x + 1)，f ，f(x0)，f(x0 + h). x
因变量
自变量




Solution
a2 f (a) a 1
( x 1) 2 x 1 f ( x 1) ( x 1) 1 x 2
x2 f ( x) x 1
x0 2 f ( x0 ) x0 1 ( x0 h) 2 f ( x0 h) ( x0 h) 1

高等数学的研究对象: 函数

函数在日常生活中无处不在、无处不有.
学习任务一 函数

f: D M，即对于任意x D, 有唯一y = f(x).
1 2 3 D
3 4 2
M

函数的解析表达式y = f(x).
x2 例(函数值的计算) 设 f ( x) , x 1 1 求f(0), f 2 , f(-2)， f(a)，

f ( x2 ) f ( x1 ) x1 x2

设f(x)的定义域是D，对于任意x1，x2 D，若x1< x2， 有f(x1) f(x2)，则称f(x)在 D上是单调减函数.
f ( x1 ) f ( x2 ) x1 x2
f ( x) x
3
f ( x) x 2
(,0) (0,)