高中数学二轮复习解析几何教案含答案(全国通用)

专题六解析几何
必考点一直线与圆
[高考预测]——运筹帷幄
1．求直线方程．
2．直线位置关系的判定及应用、点到直线的距离问题．
3．求圆的方程．
4．直线与圆的位置关系判定及应用．
[速解必备]——决胜千里
1．与Ax＋By＋C＝0平行的直线可设为Ax＋By＋m＝0(m≠C)，与之垂直的直线可设为Bx－Ay＋n＝0.
2．过两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线可设为(A1x ＋B1y＋C1)＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0.
3．两平行线间的距离：d＝|C2－C1|
A2＋B2
(其中两平行线方程分别为l1：Ax＋By＋C1
＝0.l2：Ax＋By＋C2＝0)．
【提醒】应用两平行线间距离公式时，注意两平行线方程中x，y的系数应对应相等．
4．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0. 5．过圆x2＋y2＝r2上的点P(x0，y0)的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
6．过⊙C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，⊙C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的交点的圆的方程可设为：(x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1)＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0，当λ＝－1时，表示两圆的公共弦所在的直线方程．
7．过圆内一点的直线被圆截得的弦中，最长弦是直径，最短的弦是以该点为中点的弦．
8．直线与圆相离，过直线上一点作圆的切线，当该点与圆心连线与该直线垂直时，其切线长最小．
[速解方略]——不拘一格
类型一直线方程及位置关系
[例1](1)已知点A(－1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直线y＝ax＋b(a＞0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是()
A ．(0,1) B.⎝
⎛⎭⎪⎫1－22，12 C.⎝
⎛⎦⎥⎤1－22，13 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，12 解析：基本法：①当直线y ＝ax ＋b 与AB ，BC 相交时如图(1)，由⎩⎨⎧
y ＝ax ＋b ，x ＋y ＝1
得y E ＝a ＋b a ＋1.又易知x D ＝－b a ， ∴|BD |＝1＋b a ，由S △DBE ＝12×a ＋b a ×a ＋b a ＋1＝12
得 b ＝1
1＋1a ＋1∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，12.
(1) (2) ②当直线y ＝ax ＋b 与AC ，BC 相交时如图(2)，由S △FCG ＝12(x G －x F )·|CM |＝12得b
＝1－221－a 2∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－22，1(0＜a ＜1)． ∵对于任意的a ＞0恒成立，
∴b ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∩⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－22，1， 即b ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22，12，故选B. 速解法：取b ＝34，则直线y ＝ax ＋34只能与BC 和AB 相交，才可能分割为面积相
等的两部分，
∴D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34a ，0由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝ax ＋34y ＝－x ＋1得E ⎝
⎛⎭⎪⎫x E ，4a ＋34(a ＋1)
若S △BED ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋34a ×4a ＋34(a ＋1)＝12
，则24a ＋9＝16a . 显然无解，排除A.
当a →0时，y ＝ax ＋b →y ＝b ，如图，
∴S △CDM S △ABC
＝(1－b )212＝12，∴b ＝1－22. ∴b ＞1－22，故选B.
答案：B
方略点评：基本法利用直线相交，求出面积表达式，利用函数观点，求b 的范围.速解法采用特值验证及极限分析法，得出答案，较简单.
(2)设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|P A |·|PB |的最大值是________．
解析：基本法：∵直线x ＋my ＝0与mx －y －m ＋3＝0分别过定点A ，B ，∴A (0,0)，B (1,3)．
当点P 与点A (或B )重合时，|P A |·|PB |为零；
当点P 与点A ，B 均不重合时，
∵P 为直线x ＋my ＝0与mx －y －m ＋3＝0的交点，且易知此两直线垂直， ∴△APB 为直角三角形，
∴|AP |2＋|BP |2＝|AB |2＝10，
∴|P A |·|PB |≤|P A |2＋|PB |22＝102＝5， 当且仅当|P A |＝|PB |时，上式等号成立．
速解法：直线x ＋my ＝0与mx －y －m ＋3＝0分别过定点A (0,0)，B (1,3)且两直线垂直．
∴当P 与A ，B 不重合时，形成直角三角形P AB ，|AB |＝10，而S △P AB ＝12|P A ||PB |
＝12|AB |·h .
当P 到AB 的距离h ＝12|AB |时，S 最大，
∴(|P A |·|PB |)max ＝12|AB |2＝5.
答案：5
方略点评：(1)基本法是根据基本不等式求解.速解法是利用等积法直接找P 的位置.
(2)求解两条直线平行的问题时，在利用A 1B 2－A 2B 1＝0建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性.
(3)判定两直线平行与垂直的关系时，如果给出的直线方程中存在字母系数，不仅要考虑斜率存在的情况，还要考虑斜率不存在的情况.
1．设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：基本法：由l 1∥l 2，得－a 2＝－1a ＋1
，解得a ＝1或a ＝－2，代入检验符合，即“a ＝1”是“l 1∥l 2”的充分不必要条件，故选A.
答案：A
2．(2016·高考全国甲卷)圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( )
A ．－43
B ．－34
C. 3 D ．2
解析：x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0，即(x －1)2＋(y －4)2＝4，圆心为(1,4)到直线ax ＋y －1＝0的距离为d ＝
|a ＋4－1|a 2＋1＝1，即|a ＋3|＝a 2＋1 解得a ＝－43，选A.
答案：A
类型二 圆的方程及位置关系
[例2] (1)过三点A (1,3)，B (4,2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M ，N 两点，则|MN |＝( )
A ．2 6
B ．8
C ．4 6
D ．10
解析：基本法：设圆心为P (a ，b )，由点A (1,3)，C (1，－7)在圆上，知b ＝3－72＝
－2.
再由|P A |＝|PB |，得a ＝1.则P (1，－2)，|P A |＝(1－1)2＋(3＋2)2＝5，于是圆P 的方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝25.令x ＝0，得y ＝－2±26，
则|MN |＝|(－2＋26)－(－2－26)|＝4 6.
速解法：由题意可知AC 为圆的直径，|AC |＝10，
∴r ＝5.AC 的中点(1，－2)为圆心，到y 轴距离为1.
∴|MN |＝252－12＝4 6.
答案：C 方略点评：基本法是求出了圆的方程与y 轴的交点，求MN 长．速解法是利用了几何法，解三角形求弦长，较简单．
(2)一个圆经过随圆x 216＋y 2
4＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．
解析：基本法：由已知得该圆经过椭圆的三个顶点A (4,0)、B (0,2)、C (0，－2)．易
知线段AB 的垂直平分线的方程为2x －y －3＝0.令y ＝0，得x ＝32，所以圆心坐标
为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，则半径r ＝4－32＝52.故该圆的标准方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254.。