上海市上海理工大学附属中学高一数学6.3《函数的图像与性质》教案(2)(沪教版高一下学期)

6.3 函数()sin y A x ωϕ=+的图像与性质（2）

【教学目标】

1、会用“五点法”画函数()sin y A x ωϕ=+的图像.

2、通过画函数

()sin y A x ωϕ=+的图像，认识、理解、归纳函数的性质．

2、会用图像变换的方法画y ＝A sin(ωx ＋ϕ)的图像．

3、会求一些与函数

()sin y A x ωϕ=+相关的函数的振幅、周期、最值、单调区间等.

4、学会通过画图、观察、分析、类比、归纳等方法来探索问题，形成应用数形结合、分类讨论等数学思想分析问题、解决问题的能力，提高创新意识和创造能力． 【教学重点与难点】 函数()sin y A x ωϕ=+的图像与性质； 函数

()sin y A x ωϕ=+的图像的变换顺序.

【教学过程】 引入：

1．函数y=Asinx ，x ∈R(A>0且A ≠1)的图像与函数y=sinx ，x ∈R 的图像关系？

函数y=Asinx ，x ∈R(A>0且A ≠1)的图像可以看作把函数y=sinx ，x ∈R 的图像上的所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0

2．函数y=sin ωx, x ∈R (ω>0且ω≠1)的图像与函数y=sinx ，x ∈R 的图像关系？ 函数y=sin ωx, x ∈R (ω>0且ω≠1)的图像，可看作把函数y=sinx ，x ∈R 的图像上所有点的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来的

ω

1

倍（纵坐标不变）．若ω<0则可用诱导公式将符号

“提出”再作图ω决定了函数的周期

3、讨论函数y ＝sin(x ＋ϕ)的图像与函数y=sinx 的图像又是怎样的关系呢？ 例题分析

例1.画出函数sin ,sin 34y x y x ππ⎛⎫⎛

⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝

⎭的图像

通过比较，发现：

(1)函数y ＝sin(x ＋3

π

)的图像可看作把y=sinx 图像上所有的点向左平行移动

3

π

个单位

长度而得到

(2)函数y ＝sin(x －

4

π

)的图像可看作把y=sinx 图像上所有点向右平行移动

4

π

个单位长

度而得到

一般地，函数y ＝sin(x ＋ϕ)，x ∈R(其中ϕ≠0)的图像，可以看作把正弦曲线上所有点向左(当ϕ＞0时)或向右(当ϕ＜0时＝平行移动｜ϕ｜个单位长度而得到(用平移法注意讲清方向：“加左”“减右”)

[说明]：y ＝sin(x ＋ϕ)与y ＝sin x 的图像只是在平面直角坐标系中的相对位置不一样，这一变换称为相位变换 例2画出函数y ＝3sin(2x ＋3

π

)的图像

解：(五点法)由T ＝

2

2π

，得T ＝π 列表： 描点画图：

这种曲线也可由图像变换得到：

即：y ＝sin x y ＝sin(x ＋3

π)

y ＝sin(2x ＋3π) y ＝3sin(2x ＋3π)

一般地，函数y ＝A sin(ωx ＋ϕ)，x ∈R(其中A ＞0，ω＞0)的图像，可以看作用下面的

方法得到：

先把正弦曲线上所有的点向左(当

ϕ＞0时)或向右(当ϕ＜0时)平行移动｜ϕ｜个单

位长度，再把所得各点的横坐标缩短(当ω＞1时)或伸长(当0＜ω＜1时)到原来的

ω

1

倍(纵

坐标不变)，再把所得各点的纵坐标伸长(当A ＞1时)或缩短(当0＜A ＜1时)到原来的A 倍(横

坐标不变)

另外，注意一些物理量的概念:

A ：称为振幅；T ＝

2π

ω

：称为周期；f ＝

T

1

：称为频率； x ＝0时的相位φ称为初相

[说明]：由y ＝sin x 的图像变换出y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图像一般有两个途径，只有区别开这

两个途径，才能灵活进行图像变换

途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)

先将y ＝sin x 的图像向左(ϕ＞0)或向右(ϕ＜0)平移｜ϕ｜个单位，再将图像上各点的横坐

标变为原来的

ω

1

倍(ω＞0)，便得y ＝sin(ωx ＋

ϕ)的图像

途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换 先将y ＝sin x 的图像上各点的横坐标变为原来的ω

1

倍(ω＞0),再沿x 轴向左(ϕ＞0)或

向右（ϕ＜0）平移||

ϕω

个单位，便得y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图像

左移3π个单位 纵坐标不变 横坐标变为

2

1

倍

纵坐标变为3倍 横坐标不变

例3：已知如图是函数y ＝2sin(ωx ＋ϕ)其中｜ϕ｜＜

2

π

的图像，那么

A ω＝

1110，ϕ＝6π B ω＝1110， ϕ＝－6

π C ω＝2，ϕ＝

6

π

D ω＝2，ϕ＝－

6

π

解：由图可知，点(0，1)和点(

12

11π

，0)都是图像上的点将点(0，1)的坐标代入待定的函数式中，得2sin ϕ＝

1，即sin ϕ＝21，又｜ϕ｜＜2π，∴ϕ＝6

π

又由“五点法”作图可知，点(1211π

，0)是“第五点”，所

以ωx ＋ϕ＝2π，即ω·1211π＋6

π

＝2π，解之得ω＝2，

故选C

[说明]：解此题时，若能充分利用图像与函数式之间的联系，则也可用排除法来巧妙求解. 解：观察各选择答案可知，应有ω＞0

观察图像可看出，应有T ＝

ω

π

2＜2π，∴ω＞1 ，故可排除A 与B

由图像还可看出，函数y ＝2sin(ωx ＋ϕ)的图像是由函数y ＝2sin ωx 的图像向左移而得到的 ∴ϕ＞0，又可排除D ，故选C

例4.已知函数y ＝A sin(ωx ＋ϕ)在同一周期内，当x ＝9

π

时函数取得最大值2，当x ＝

9

4π时函数取得最小值－2，则该函数的解析式为( ) A y ＝2sin(3x －6

π

) B y ＝2sin(3x ＋

6

π

)

C y ＝2sin(

3x ＋6π) D y ＝2sin(3x －6

π) 解：由题设可知，所求函数的图像如图所示，点(9

π

，2)和点

(

9

4π

，－2)都是图像上的点，且由“五点法”作图可知，这两点分别是“第二点”和“第四点”，所以应有：

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧=+⋅=+⋅239412

9πϕπωπϕπ

ω解得⎪⎩⎪⎨⎧==63πϕω 答案：B

[说明]：由y ＝A sin(ωx ＋ϕ)的图像求其函数式：

一般来说，在这类由图像求函数式的问题中，如对所求函数式中的A 、ω、ϕ不加限制(如A 、ω的正负，角ϕ的范围等)，那么所求的函数式应有无数多个不同的形式(这是由于所求函数是周期函数所致)，因此这类问题多以选择题的形式出现，我们解这类题的方法往往因题而异，但逆用“五点法”作图的思想却渗透在各不同解法之中