直角三角形存在性
专题21 直角三角形存在性问题-备战2022年中考数学母题题源解密(解析版)
专题21 直角三角形存在性问题考向1 二次函数中的直角三角形存在性问题【母题来源】2021年中考四川省巴中卷【母题题文】已知抛物线y ＝ax 2+bx+c 与x 轴交于A （﹣2，0）、B （6，0）两点，与y 轴交于点C （0，﹣3）． （1）求抛物线的表达式；（2）点P 在直线BC 下方的抛物线上，连接AP 交BC 于点M ，当PM AM最大时，求点P 的坐标及PM AM的最大值；（3）在（2）的条件下，过点P 作x 轴的垂线l ，在l 上是否存在点D ，使△BCD 是直角三角形，若存在，请直接写出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）将点A （﹣2，0）、B （6，0）、C （0，﹣3）代入y ＝ax 2+bx+c ， 得{4a −2b +c =036a +6b +c =0c =−3，解得{a =14b =−1c =−3， ∴y =14x 2﹣x ﹣3；（2）如图1，过点A 作AE ⊥x 轴交直线BC 于点E ，过P 作PF ⊥x 轴交直线BC 于点F ， ∴PF ∥AE ，∴MP AM=PF AE，设直线BC 的解析式为y ＝kx+d ，∴{6k +d =0d =−3，∴{k =12d =−3，∴y =12x ﹣3，设P （t ，14t 2﹣t ﹣3），则F （t ，12t ﹣3），∴PF =12t ﹣3−14t 2+t+3=−14t 2+32t ， ∵A （﹣2，0）， ∴E （﹣2，﹣4）， ∴AE ＝4， ∴MP AM=PF AE=−14t 2+32t 4=−116t 2+38t =−116（t ﹣3）2+916，∴当t ＝3时，MPAM有最大值916，∴P （3，−154）； （3）∵P （3，−154），D 点在l 上， 如图2，当∠CBD ＝90°时，过点B 作GH ⊥x 轴，过点D 作DG ⊥y 轴，DG 与GH 交于点G ，过点C 作CH ⊥y 轴，CH 与GH 交于点H ， ∴∠DBG+∠GDB ＝90°，∠DBG+∠CBH ＝90°， ∴∠GDB ＝∠CBH ，∴△DBG ∽△BCH ， ∴DG BH=BG CH，即33=BG 6，∴BG ＝6，∴D （3，6）； 如图3，当∠BCD ＝90°时， 过点D 作DK ⊥y 轴交于点K ，∵∠KCD+∠OCB ＝90°，∠KCD+∠CDK ＝90°， ∴∠CDK ＝∠OCB ，∴△OBC ∽△KCD ， ∴OB KC=OC KD，即6KC=33，∴KC ＝6，∴D （3，﹣9）； 如图4，当∠BDC ＝90°时，线段BC 的中点T （3，−32），BC ＝3√5， 设D （3，m ）， ∵DT =12BC ，∴|m +32|=3√52， ∴m =3√52−32或m =−3√52−32， ∴D （3，3√52−32）或D （3，−3√52−32）； 综上所述：△BCD 是直角三角形时，D 点坐标为（3，6）或（3，﹣9）或（3，−3√52−32）或（3，3√52−32）．【试题解析】（1）将A （﹣2，0）、B （6，0）、C （0，﹣3）代入y ＝ax 2+bx+c 即可求解析式； （2）过点A 作AE ⊥x 轴交直线BC 于点E ，过P 作PF ⊥x 轴交直线BC 于点F ，由PF ∥AE ，可得MP AM=PFAE，则求PFAE的最大值即可；（3）分三种情况讨论：当∠CBD ＝90°时，过点B 作GH ⊥x 轴，过点D 作DG ⊥y 轴，DG 与GH 交于点G ，过点C 作CH ⊥y 轴，CH 与GH 交于点H ，可证明△DBG ∽△BCH ，求出D （3，6）；当∠BCD ＝90°时，过点D 作DK ⊥y 轴交于点K ，可证明△OBC ∽△KCD ，求出D （3，﹣9）；当∠BDC ＝90°时，线段BC 的中点T （3，−32），设D （3，m ），由DT =12BC ，可求D （3，3√52−32）或D （3，−3√52−32）．【命题意图】二次函数图象及其性质；运算能力；应用意识． 【命题方向】二次函数综合题，一般为压轴题．【得分要点】以线段AB 为边的直角三角形构造方法如右图所示：直角三角形的另一个顶点在以A 在以AB 为直径的圆上，或过A 、B 且与AB 垂直的直线上（A ，B 两点除外）．解直角三角形的存在性问题时，若没有明确指出直角三角形的直角，就需要进行分类讨论．通常这类问题的解题策略有：（1）几何法：先分类讨论直角，再画出直角三角形，后计算．如图，若∠ACB ＝90°．过点A 、B 作经过点C 的直线的垂线，垂足分别为E 、F ．则△AEC ∽△CFB ．从而得到线段间的关系式解决问题．（2）代数法：先罗列三边长，再分类讨论直角，根据勾股定理列出方程，然后解方程并检验．有时候将几A BAB ECEFAC何法和代数法相结合．可以使得解题又快又好！1．（2021•贵州铜仁市模拟）如图，直线y ＝﹣2x+10分别与x 轴，y 轴交于点A ，B 两点，点C 为OB 的中点，抛物线y ＝x 2+bx+c 经过A ，C 两点． （1）求抛物线的函数表达式；（2）点D 是直线AB 下方的抛物线上的一点，且△ABD 的面积为254，求点D 的坐标；（3）点P 为抛物线上一点，若△APB 是以AB 为直角边的直角三角形，求点P 到抛物线的对称轴的距离．解：（1）在直线y ＝﹣2x+10中，令x ＝0，则y ＝10，令y ＝0，则x ＝5， ∴A （5，0），B （0，10）． ∵点C 是OB 中点， ∴C （0，5），将A （5，0）和C （0，5）代入抛物线y ＝x 2+bx+c 中， 得{0=25+5b +c 5=c，解得{b =−6c =5，∴抛物线的函数表达式为y ＝x 2﹣6x+5；（2）联立{y =−2x +10y =x 2−6x +5，解得{x =−1y =12或{x =5y =0， ∴直线AB 与抛物线交于点（﹣1，12）和（5，0）， ∵点D 是直线AB 下方抛物线上的一点， ∴设D （m ，m 2﹣6m+5），﹣1＜m ＜5，如下图，过点D 作DE ⊥x 轴，交直线AB 于点E ，∴E （m ，﹣2m+10），∴DE ＝﹣2m+10﹣m 2+6m ﹣5＝﹣m 2+4m+5，∴S △ABD =12OA ⋅DE =12×5×(−m 2+4m +5)=452，解得m ＝2，∴点D 的坐标为（2，﹣3）； （3）设点P （n ，n 2﹣6n+5）， ∵A （5，0），B （0，10），∴AP 2＝（n ﹣5）2+（n 2﹣6n+5）2，BP 2＝n 2+（n 2﹣6n+5﹣10）2，AB 2＝OA 2+OB 2＝125， ∵△APB 是以AB 为直角边的直角三角形， ①如下图，当点A 为直角顶点时，BP 2＝AB 2+AP 2，即n 2+（n 2﹣6n ﹣5）2＝125+（n ﹣5）2+（n 2﹣6n+5）2， 解得n =32或5（舍）；②如下图，当点B 为直角顶点时，AP 2＝AB 2+BP 2，即（n ﹣5）2+（n 2﹣6n+5）2＝125+n 2+（n 2﹣6n ﹣5）2， 解得n =13+√2494或13−√2494， ∵抛物线对称轴为直线x ＝3， 则3−32=32，13+√2494−3=√249+14，3−13+√2494=√249−14， 综上所述，点P 到抛物线对称轴的距离为32或√249+14或√249−14．2.（2021•广东模拟）如图，已知直线y ＝﹣2x+m 与抛物线y ＝ax 2+bx+c 相交于A ，B 两点，且点A （1，4）为抛物线的 顶点 ，点B 在x 轴正方向上． （1）求抛物线的解析式；（2）若点P 在抛物线第三象限的图象上，且到x 轴、y 轴的距离相等， ①证明：△POB ≌△POC ； ②直接写出OP 的长；（3）若点Q 是y 轴上一点，且△ABQ 为直角三角形，求点Q 的坐标．解：（1）把A （1，4）代入y ＝﹣2x+m ， 得﹣2+m ＝4， ∴y ＝﹣2x+6， ∴B （3，0）∵A （1，4）为顶点，∴可设抛物线的解析为y ＝a （x ﹣1）2+4， 把B （3，0）代入得， 4a+4＝0，得a ＝﹣1，∴y ＝﹣（x ﹣1）2+4＝﹣x 2+2x+3； （2）①当x ＝0时，y ＝3， ∴C （0，3）， ∵B （3，0）， ∴OB ＝OC ，∵点P 到x 轴、y 轴的距离相等， ∴OP 平分第三象限，∴∠BOP ＝∠COP ＝135°， 又OP ＝OP ，∴△POB ≌△POC （SAS ）；②由{y =x y =−x 2+2x +3得，{x 1=1−√132y 2=1−√132，{x 2=1+√132y 2=1+√132（舍去），∴OP =√2|x 1|=√26−√22；（3）如图1，由y ＝﹣x 2+2x+3得：B （3，0），A （1，4）， ∴直线AB 的关系式是：y ＝﹣2x+6， ∴D （0，6）， ∴AD =√5，DB ＝3√5， ①当∠QAB ＝90°时，∵∠ADQ ＝∠ODB ，∠QAD ＝∠BOD ， ∴△DAQ ∽△DOB ，∴DQ DB=AD OD，∴3√5=√56，∴DQ =52，∴OQ ＝6−52=72，∴Q （0，72）；②如图2，当∠QBA ＝90°时，作AE ∥x 轴，作BE ⊥AE 于E ，作QF ⊥BE 于F ， ∴∠E ＝∠F ＝90°， ∴∠EAB+∠ABE ＝90°， ∵∠QBA ＝90°，∴∠ABE+∠QBF ＝90°， ∴∠BAE ＝∠QBF ， ∴△ABE ∽△BQF ， ∴AE BE=BF QF，∴24=BF 3，∴BF =32，∴Q （0，−32），如图3，③当∠AQB ＝90°时， 作AE ⊥OD 于E ，同理②得：△AEQ ∽△QOB ， ∴14−OQ=OQ 3∴OQ ＝1或3，即Q （0，1）或Q （0，3）；综上所述：Q 点坐标为Q （0，3.5）或Q （0，﹣1.5）或Q （0，1）或Q （0，3）．3．（2021•河南开封二模）如图，抛物线y ＝﹣x 2+bx+c 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，且点B 与点C 的坐标分别为B （3，0），C （0，3），点M 是抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式；（2）点P 是线段MB 上一个动点，且点P 的横坐标为m ，过点P 作PD ⊥x 轴于点D ，交抛物线于点E ，求线段PE 的最大值，并求出此时点E 的坐标；（3）在（2）的条件下，若在线段MB 上存在点P ，使得△PCD 为直角三角形，请直接写出点P 的坐标．解：（1）把B （3，0），C （0，3）代入y ＝﹣x 2+bx+c ， 得{−9+3b +c =0c =3，解得{b =2c =3， ∴抛物线解析式为y ＝﹣x 2+2x+3；（2）∵y ＝﹣x 2+2x+3＝﹣（x ﹣1）2+4， ∴M （1，4），设直线BM 的解析式为y ＝kx+n ， 把B （3，0），M （1，4）代入， 得{3k +n =0k +n =4，解得{k =−2n =6， ∴直线BM 的解析式为y ＝﹣2x+6， 设P （m ，﹣2m+6）（1≤m ≤3）， 则E （m ，﹣m 2+2m+3），∴PE ＝﹣m 2+4m ﹣3＝﹣（m ﹣2）2+1， ∵1≤m ≤3，∴当m ＝2时，S 有最大值，最大值为1； （3）存在．∠PDC 不可能为90°；当∠DPC ＝90°时，则PD ＝OC ＝3，即﹣2m+6＝3，解得m =32，此时P 点坐标为（32，3），当∠PCD ＝90°时，则PC 2+CD 2＝PD 2，即m 2+（﹣2m+3）2+32+m 2＝（﹣2m+6）2，整理得m 2+6m ﹣9＝0，解得m 1＝﹣3﹣3√2（舍去），m 2＝﹣3+3√2，当m ＝﹣3+3√2时，y ＝﹣2m+6＝6﹣6√2+6＝12﹣6√2，此时P 点坐标为（﹣3+3√2，12﹣6√2）， 综上所述，当P 点坐标为（32，3）或（﹣3+3√2，12﹣6√2）时，△PCD 为直角三角形．。
直角三角形的存在性问题解题策略
03
CATALOGUE
直角三角形的存在性问题分类
直角在三角形内部
总结词
当直角位于三角形内部时，可以通过构建直角三角形并利用勾股定理解决。
详细描述
首先，根据题目条件，确定直角的位置和已知条件。然后，利用勾股定理计算直 角三角形的斜边长度。接着，根据三角形的性质和已知条件，判断是否能够构成 三角形。如果可以，则存在满足条件的直角三角形；否则，不存在。
在题目中，有时候会隐含一些关于三角形或 角度的条件，需要仔细审题并挖掘。
举例说明
在求解三角形边长的问题时，需要注意隐含 的等腰或等边条件，这些条件可能会影响三 角形的形状和存在性。
掌握常见题型和解题方法
01
02
03
常见题型
直角三角形存在性问题的 常见题型包括角度问题、 边长问题、高的长度问题 等。
直角在三角形外部
总结词
当直角位于三角形外部时，可以通过构建直角三角形并利用勾股定理解决。
详细描述
首先，根据题目条件，确定直角的位置和已知条件。然后，利用勾股定理计算直角三角形的斜边长度。接着，根 据三角形的性质和已知条件，判断是否能够构成三角形。如果可以，则存在满足条件的直角三角形；否则，不存 在。
建立方程
根据题目条件，可以建立关于未知数 （如角度、边长等）的方程，然后求 解该方程。
解方程
解方程的方法有很多种，如代数法、 三角函数法等，选择合适的方法求解 方程。
利用数形结合思想
数形结合
将题目中的条件和图形结合起来，通过 观察图形和计算数据，找到解决问题的 线索。
VS
综合分析
综合运用数学知识和图形分析，逐步推导 和验证，最终得出结论。
解题方法
针对不同的问题类型，需 要掌握相应的解题方法， 如利用三角函数、勾股定 理、相似三角形等。
直角三角形存在性问题解决方法汇总
【问题描述】如图，在平面直角坐标系中，点A 坐标为（1,1），点B 坐标为（5,3），在x 轴上找一点C 使得△ABC 是直角三角形，求点C 坐标．【几何法】两线一圆得坐标（1）若∠A 为直角，过点A 作AB 的垂线，与x 轴的交点即为所求点C ；（2）若∠B 为直角，过点B 作AB 的垂线，与x 轴的交点即为所求点C ；（3）若∠C 为直角，以AB 为直径作圆，与x 轴的交点即为所求点C ．（直径所对的圆周角为直角）重点还是如何求得点坐标，C1、C2求法相同，以C2为例：【构造三垂直】01问题与方法C3、C4求法相同，以C3为例：构造三垂直步骤：第一步：过直角顶点作一条水平或竖直的直线；第二步：过另外两端点向该直线作垂线，即可得三垂直相似．【代数法】表示线段构勾股还剩下C1待求，不妨来求下C1：【解析法】还有个需要用到一个教材上并没有出现但是大家都知道的算法：互相垂直的两直线斜率之积为-1．考虑到直线AC1与AB互相垂直，k1k2=-1，可得：kAC=-2，又直线AC1过点A（1,1），可得解析式为：y=-2x+3，所以与x轴交点坐标为（1.5,0），即C1坐标为（1.5,0）．确实很简便，但问题是这个公式出现在高中的教材上方法小结几何法：（1）两线一圆作出点；（2）构造三垂直相似，利用对应边成比例求线段，必要时可设未知数．代数法：（1）表示点A、B、C坐标；（2）表示线段AB、AC、BC；（3）分类讨论①AB²+AC²=BC²、②AB²+BC²=AC²、③AC²+BC²=AB²；（4）代入列方程，求解．02从等腰直角说起再特殊一些，如果问题变为等腰直角三角形存在性，则同样可采取上述方法，只不过三垂直得到的不是相似，而是全等．2019兰州中考删减【等腰直角存在性——三垂直构造全等】通过对下面数学模型的研究学习，解决问题．【模型呈现】如图，在Rt△ABC，∠ACB=90°，将斜边AB绕点A顺时针旋转90°得到AD，过点D作DE⊥AC于点E，可以推理得到△ABC≌△DAE，进而得到AC=DE，BC=AE．我们把这个数学模型成为“K型”．推理过程如下：【模型迁移】二次函数y=ax²+bx+2的图像交x轴于点A（-1,0），B（4,0）两点，交y轴于点C．动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MN⊥x轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒．（1）求二次函数y=ax²+bx+2的表达式；（2）在直线MN上存在一点P，当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点D的坐标．2017本溪中考【直角顶点已知or未知】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=1/2x²+bx+c与x轴交于A、B两点，点B （3,0），经过点A的直线AC与抛物线的另一交点为C（4，5/2），与y轴交点为D，点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点（不与点A、C重合）．（1）求该抛物线的解析式．（2）点Q在抛物线的对称轴上运动，当△OPQ是以OP为直角边的等腰直角三角形时，请直接写出符合条件的点P的坐标．【小结】对于构造三垂直来说，直角顶点已知的和直角顶点的未知的完全就是两个题目！也许能画出大概位置，但如何能画出所有情况，才是问题的关键．其实只要再明确一点，构造出三垂直后，表示出一组对应边，根据相等关系列方程求解即可．2019阜新中考【对未知直角顶点的分析】如图，抛物线y=ax²+bx+2交x轴于点A（-3,0）和点B（1,0），交y轴于点C．（1）求这个抛物线的函数表达式．（2）点D的坐标为（-1,0），点P为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP面积的最大值．（3）点M为抛物线对称轴上的点，问：在抛物线上是否存在点N，使△MNO为等腰直角三角形，且∠MNO为直角？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【小结】无论直角顶点确定与否，事实上，所有的情况都可以归结为同一个方程：NE=FM．故只需在用点坐标表示线段时加上绝对值，便可计算出可能存在的其他情况．03一般直角三角形的处理一般直角三角形存在性，同样构造三垂直，区别于等腰直角构造的三垂直全等，没了等腰的条件只能得到三垂直相似．而题型的变化在于动点或许在某条直线上，也可能在抛物线上等．2018安顺中考【对称轴上寻动点】如图，已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=-1，且抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其中A（1,0），C（0,3）．（1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴x=-1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；（3）设点P为抛物线的对称轴x=-1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．2018怀化中考【抛物线上寻动点】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+2x+c与x轴交于A（-1,0），B（3,0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．2019鄂尔多斯中考【动点还可能在……】如图，抛物线y=ax²+bx-2（a≠0）与x轴交于A（-3,0），B（1,0）两点，与y轴交于点C，直线y=-x与该抛物线交于E，F两点．（1）求抛物线的解析式．（2）P是直线EF下方抛物线上的一个动点，作PH⊥EF于点H，求PH的最大值．（3）以点C为圆心，1为半径作圆，圆C上是否存在点M，使得△BCM是以CM为直角边的直角三角形？若存在，直接写出M点坐标；若不存在，说明理由．。
二次函数压轴之直角三角形的存在性问题,方法集锦
②
AF BG
BF CG
得
3 m
3
3 (m2 3m)
解得m1 2 7(舍去), m 2 7
C2 (2 7,5 7)
方法一:一线三角构相似
① ②合并
第一种情况
E
设C(m, m2 3m)如图可得AOB : BEC
C
AO BO 得
3
3
BE EC |m2 3m 3| |m|
①
解得m1 2 7, m 2 7
C=900, AC2 CB2 AB2 (m 3)2 (m2 3m)2 m2 (m2 3m 3)2 18
m1
0,
m2
3 2
17
,
m3
3 2
17
C(0, 0),C(3 17 , 2)C(3 17 , 2)
2
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
方法三:利用勾股定理
设C(m,m2 -3m)A(3,0)B(0,3) AB2 18, AC 2 (m 3)2 (m2 3m)2 BC 2 m2 (m2 3m 3)2
如图,抛物线y x2 3x,与x轴交于O、A，直线y=-x+3与y轴交于点B, 与抛物线交于A、D, 问:抛物线上是否存在点P使ABC为直角三角形,并求出P点的坐标
如图,抛物线y x2 3x,与x轴交于O、A，直线y=-x+3与y轴交于点B, 与抛物线交于A、D, 问:抛物线上是否存在点P使ABC为直角三角形,并求出P点的坐标
如图,抛物线y x2 3x,与x轴交于O、A，直线y=-x+3与y轴交于点B, 与抛物线交于A、D, 问:抛物线上是否存在点P使ABC为直角三角形,并求出P点的坐标
如图,抛物线y x2 3x,与x轴交于O、A，直线y=-x+3与y轴交于点B, 与抛物线交于A、D, 问:抛物线上是否存在点P使ABC为直角三角形,并求出P点的坐标
专题06 二次函数中三角形存在性问题(解析版)--2023 年中考数学压轴真题汇编
挑战2023年中考数学解答题压轴真题汇编专题06二次函数中三角形存在性问题一．相似三角形的存在性1．（2022•陕西）已知抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点A（﹣2，0），B（4，0），与y 轴的交点为C．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）若点P是该抛物线上一点，且位于其对称轴l的右侧，过点P分别作l，x轴的垂线，垂足分别为M，N，连接MN．若△PMN和△OBC相似，求点P 的坐标．【解答】解：（1）把A（﹣2，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx﹣4得：，解得，∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣x﹣4；（2）如图：∵y＝x2﹣x﹣4＝（x﹣1）2﹣，∴抛物线y＝x2﹣x﹣4的对称轴是直线x＝1，在y＝x2﹣x﹣4中，令x＝0得y＝﹣4，∴C（0，﹣4），∴OB＝OC＝4，∴△BOC是等腰直角三角形，∵△PMN和△OBC相似，∴△PMN是等腰直角三角形，∵PM⊥直线x＝1，PN⊥x轴，∴∠MPN＝90°，PM＝PN，设P（m，m2﹣m﹣4），∴|m﹣1|＝|m2﹣m﹣4|，∴m﹣1＝m2﹣m﹣4或m﹣1＝﹣m2+m+4，解得m＝+2或m＝﹣+2或m＝或m＝﹣，∵点P是该抛物线上一点，且位于其对称轴直线x＝1的右侧，∴P的坐标为（+2，+1）或（，1﹣）．2．（2022•绵阳）如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B两点，交y轴于点C（0，3），顶点D的横坐标为1．（1）求抛物线的解析式；（2）在y轴的负半轴上是否存在点P使∠APB+∠ACB＝180°，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；（3）过点C作直线l与y轴垂直，与抛物线的另一个交点为E，连接AD，AE，DE，在直线l下方的抛物线上是否存在一点M，过点M作MF⊥l，垂足为F，使以M，F，E三点为顶点的三角形与△ADE相似？若存在，请求出M点的坐标，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵顶点D的横坐标为1，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，∵A（﹣1，0），∴B（3，0），∴设抛物线的解析式为：y＝a（x+1）（x﹣3），将C（0，3）代入抛物线的解析式，则﹣3a＝3，解得a＝﹣1，∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3．（2）存在，P（0，﹣1），理由如下：∵∠APB+∠ACB＝180°，∴∠CAP+∠CBP＝180°，∴点A，C，B，P四点共圆，如图所示，由（1）知，OB＝OC＝3，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∴∠APC＝∠ABC＝45°，∴△AOP是等腰直角三角形，∴OP＝OA＝1，∴P（0，﹣1）．（3）存在，理由如下：由（1）知抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3，∴D（1，4），由抛物线的对称性可知，E（2，3），∵A（﹣1，0），∴AD＝2，DE＝，AE＝3．∴AD2＝DE2+AE2，∴△ADE是直角三角形，且∠AED＝90°，DE：AE＝1：3．∵点M在直线l下方的抛物线上，∴设M（t，﹣t2+2t+3），则t＞2或t＜0．∴EF＝|t﹣2|，MF＝3﹣（﹣t2+2t+3）＝t2﹣2t，若△MEF与△ADE相似，则EF：MF＝1：3或MF：EF＝1：3，∴|t﹣2|：（t2﹣2t）＝1：3或（t2﹣2t）：|t﹣2|＝1：3，解得t＝2（舍）或t＝3或﹣3或（舍）或﹣，∴M的坐标为（3，0）或（﹣3，﹣12）或（﹣，）．综上，存在点M，使以M，F，E三点为顶点的三角形与△ADE相似，此时点M的坐标为（3，0）或（﹣3，﹣12）或（﹣，）．3．（2022•恩施州）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝﹣x2+c与y 轴交于点P（0，4）．（1）直接写出抛物线的解析式．（2）如图，将抛物线y＝﹣x2+c向左平移1个单位长度，记平移后的抛物线顶点为Q，平移后的抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．判断以B、C、Q三点为顶点的三角形是否为直角三角形，并说明理由．（3）直线BC与抛物线y＝﹣x2+c交于M、N两点（点N在点M的右侧），请探究在x轴上是否存在点T，使得以B、N、T三点为顶点的三角形与△ABC 相似，若存在，请求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．（4）若将抛物线y＝﹣x2+c进行适当的平移，当平移后的抛物线与直线BC 最多只有一个公共点时，请直接写出抛物线y＝﹣x2+c平移的最短距离并求出此时抛物线的顶点坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+c与y轴交于点P（0，4），∴c＝4，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4；（2）△BCQ是直角三角形．理由如下：将抛物线y＝﹣x2+4向左平移1个单位长度，得新抛物线y＝﹣（x+1）2+4，∴平移后的抛物线顶点为Q（﹣1，4），令x＝0，得y＝﹣1+4＝3，∴C（0，3），令y＝0，得﹣（x+1）2+4＝0，解得：x1＝1，x2＝﹣3，∴B（﹣3，0），A（1，0），如图1，连接BQ，CQ，PQ，∵P（0，4），Q（﹣1，4），∴PQ⊥y轴，PQ＝1，∵CP＝4﹣3＝1，∴PQ＝CP，∠CPQ＝90°，∴△CPQ是等腰直角三角形，∴∠PCQ＝45°，∵OB＝OC＝3，∠BOC＝90°，∴△BOC是等腰直角三角形，∴∠BCO＝45°，∴∠BCQ＝180°﹣45°﹣45°＝90°，∴△BCQ是直角三角形．（3）在x轴上存在点T，使得以B、N、T三点为顶点的三角形与△ABC相似．∵△ABC是锐角三角形，∠ABC＝45°，∴以B、N、T三点为顶点的三角形与△ABC相似，必须∠NBT＝∠ABC＝45°，即点T在y轴的右侧，设T（x，0），且x＞0，则BT＝x+3，∵B（﹣3，0），A（1，0），C（0，3），∴∠ABC＝45°，AB＝4，BC＝3，设直线BC的解析式为y＝kx+b，则，解得：，∴直线BC的解析式为y＝x+3，由，解得：，，∴M（﹣，），N（，），∴BN＝×＝，①当△NBT∽△CBA时，则＝，∴＝，解得：x＝，∴T（，0）；②当△NBT∽△ABC时，则＝，∴＝，解得：x＝，∴T（，0）；综上所述，点T的坐标T（，0）或（，0）．（4）抛物线y＝﹣x2+4的顶点为P（0，4），∵直线BC的解析式为y＝x+3，∴直线BC与y轴的夹角为45°，当抛物线沿着垂直直线BC的方向平移到只有1个公共点时，平移距离最小，此时向右和向下平移距离相等，设平移后的抛物线的顶点为P′（t，4﹣t），则平移后的抛物线为y＝﹣（x﹣t）2+4﹣t，由﹣（x﹣t）2+4﹣t＝x+3，整理得：x2+（1﹣2t）x+t2+t﹣1＝0，∵平移后的抛物线与直线BC最多只有一个公共点，∴Δ＝（1﹣2t）2﹣4（t2+t﹣1）＝0，解得：t＝，∴平移后的抛物线的顶点为P′（，），平移的最短距离为．二．直角三角形的存在性4．（2022•广安）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+x+m（a≠0）的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，其中点B坐标为（0，﹣4），点C坐标为（2，0）．（1）求此抛物线的函数解析式．（2）点D是直线AB下方抛物线上一个动点，连接AD、BD，探究是否存在点D，使得△ABD的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．（3）点P为该抛物线对称轴上的动点，使得△PAB为直角三角形，请求出点P的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+x+m（a≠0）的图象经过点B（0，﹣4），点C（2，0），∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2+x﹣4；（2）存在．理由：如图1中，设D（t，t2+t﹣4），连接OD．令y＝0，则x2+x﹣4＝0，解得x＝﹣4或2，∴A（﹣4，0），C（2，0），∵B（0，﹣4），∴OA＝OB＝4，＝S△AOD+S△OBD﹣S△AOB＝×4×（﹣﹣t+4）+×4×（﹣t）﹣×∵S△ABD4×4＝﹣t2﹣4t＝﹣（t+2）2+4，∵﹣1＜0，∴t＝﹣2时，△ABD的面积最大，最大值为4，此时D（﹣2，﹣4）；（3）如图2中，设抛物线的对称轴交x轴于点N，过点B作BM⊥抛物线的对称轴于点M．则N（﹣1.0）．M（﹣1，﹣4）；∵OA＝OB＝4，∠AOB＝90°，∴∠OAB＝∠OBA＝45°，当∠P1AB＝90°时，△ANP1是等腰直角三角形，∴AN＝NP1＝3，∴P1（﹣1，3），当∠ABP2＝90°时，△BMP2是等腰直角三角形，可得P2（﹣1，﹣5），当∠APB＝90°时，设P（﹣1，n），设AB的中点为J，连接PJ，则J（﹣2，﹣2），∴PJ＝AB＝2，∴12+（n+2）2＝（2）2，解得n＝﹣2或﹣﹣2，∴P3（﹣1，﹣2），P4（﹣1，﹣﹣2），综上所述，满足条件的点P的坐标为（﹣1，3）或（﹣1，﹣5）或（﹣1，﹣2）或（﹣1，﹣﹣2）．5．（2022•辽宁）如图，抛物线y＝ax2﹣3x+c与x轴交于A（﹣4，0），B两点，与y轴交于点C（0，4），点D为x轴上方抛物线上的动点，射线OD交直线AC于点E，将射线OD绕点O逆时针旋转45°得到射线OP，OP交直线AC 于点F，连接DF．（1）求抛物线的解析式；（2）当点D在第二象限且＝时，求点D的坐标；（3）当△ODF为直角三角形时，请直接写出点D的坐标．【解答】解：（1）将点A（﹣4，0），C（0，4）代入y＝ax2﹣3x+c，∴，解得，∴y＝﹣x2﹣3x+4；（2）过点D作DG⊥AB交于G，交AC于点H，设直线AC的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝x+4，设D（n，﹣n2﹣3n+4），H（n，n+4），∴DH＝﹣n2﹣4n，∵DH∥OC，∴＝＝，∵OC＝4，∴DH＝3，∴﹣n2﹣4n＝3，解得n＝﹣1或n＝﹣3，∴D（﹣1，6）或（﹣3，4）；（3）设F（t，t+4），当∠FDO＝90°时，过点D作MN⊥y轴交于点N，过点F作FM⊥MN交于点M，∵∠DOF＝45°，∴DF＝DO，∵∠MDF+∠NDO＝90°，∠MDF+∠MFD＝90°，∴∠NDO＝∠MFD，∴△MDF≌△NOD（AAS），∴DM＝ON，MF＝DN，∴DN+ON＝﹣t，DN＝ON+（﹣t﹣4），∴DN＝﹣t﹣2，ON＝2，∴D点纵坐标为2，∴﹣x2﹣3x+4＝2，解得x＝或x＝，∴D点坐标为（，2）或（，2）；当∠DFO＝90°时，过点F作KL⊥x轴交于L点，过点D作DK⊥KL交于点K，∵∠KFD+∠LFO＝90°，∠KFD+∠KDF＝90°，∴∠LFO＝∠KDF，∵DF＝FO，∴△KDF≌△LFO（AAS），∴KD＝FL，KF＝LO，∴KL＝t+4﹣t＝4，∴D点纵坐标为4，∴﹣x2﹣3x+4＝4，解得x＝0或x＝﹣3，∴D（0，4）或（﹣3，4）；综上所述：D点坐标为（，2）或（，2）或（0，4）或（﹣3，4）．三．等腰三角形的存在性6．（2022•百色）已知抛物线经过A（﹣1，0）、B（0，3）、C（3，0）三点，O 为坐标原点，抛物线交正方形OBDC的边BD于点E，点M为射线BD上一动点，连接OM，交BC于点F．（1）求抛物线的表达式；（2）求证：∠BOF＝∠BDF；（3）是否存在点M，使△MDF为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求ME的长．【解答】（1）解：设抛物线的表达式为y＝ax2+bx+c，把A（﹣1，0）、B（0，3）、C（3，0）代入得：，解得，∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）证明：∵正方形OBDC，∴∠OBC＝∠DBC，BD＝OB，∵BF＝BF，∴△BOF≌△BDF，∴∠BOF＝∠BDF；（3）解：∵抛物线交正方形OBDC的边BD于点E，∴令y＝3，则3＝﹣x2+2x+3，解得：x1＝0，x2＝2，∴E（2，3），①如图，当M在线段BD的延长线上时，∠BDF为锐角，∴∠FDM为钝角，∵△MDF为等腰三角形，∴DF＝DM，∴∠M＝∠DFM，∴∠BDF＝∠M+∠DFM＝2∠M，∵BM∥OC，∴∠M＝∠MOC，由（2）得∠BOF＝∠BDF，∴∠BDF+∠MOC＝3∠M＝90°，∴∠M＝30°，在Rt△BOM中，BM＝，∴ME＝BM﹣BE＝3﹣2；②如图，当M在线段BD上时，∠DMF为钝角，∵△MDF为等腰三角形，∴MF＝DM，∴∠BDF＝∠MFD，∴∠BMO＝∠BDF+∠MFD＝2∠BDF，由（2）得∠BOF＝∠BDF，∴∠BMO＝2∠BOM，∴∠BOM+∠BMO＝3∠BOM＝90°，∴∠BOM＝30°，在Rt△BOM中，BM＝，∴ME＝BE﹣BM＝2﹣，综上所述，ME的值为：3﹣2或2﹣．7．（2022•山西）综合与探究如图，二次函数y＝﹣x2+x+4的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B 的左侧），与y轴交于点C．点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，设点P的横坐标为m．过点P作直线PD⊥x轴于点D，作直线BC交PD于点E．（1）求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线BC的函数表达式；（2）当△CEP是以PE为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；（3）连接AC，过点P作直线l∥AC，交y轴于点F，连接DF．试探究：在点P运动的过程中，是否存在点P，使得CE＝FD，若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）在y＝﹣x2+x+4中，令x＝0得y＝4，令y＝0得x＝8或x＝﹣2，∴A（﹣2，0），B（8，0），C（0，4），设直线BC解析式为y＝kx+4，将B（8，0）代入得：8k+4＝0，解得k＝﹣，∴直线BC解析式为y＝﹣x+4；（2）过C作CG⊥PD于G，如图：设P（m，﹣m2+m+4），∴PD＝﹣m2+m+4，∵∠COD＝∠PDO＝∠CGD＝90°，∴四边形CODG是矩形，∴DG＝OC＝4，CG＝OD＝m，∴PG＝PD﹣DG＝﹣m2+m+4﹣4＝﹣m2+m，∵CP＝CE，CG⊥PD，∴GE＝PG＝﹣m2+m，∵∠GCE＝∠OBC，∠CGE＝90°＝∠BOC，∴△CGE∽△BOC，∴＝，即＝，解得m＝0（舍去）或m＝4，∴P（4，6）；（3）存在点P，使得CE＝FD，理由如下：过C作CH⊥PD于H，如图：设P（m，﹣m2+m+4），由A（﹣2，0），C（0，4）可得直线AC解析式为y＝2x+4，根据PF∥AC，设直线PF解析式为y＝2x+b，将P（m，﹣m2+m+4）代入得：﹣m2+m+4＝2m+b，∴b＝﹣m2﹣m+4，∴直线PF解析式为y＝2x﹣m2﹣m+4，令x＝0得y＝﹣m2﹣m+4，∴F（0，﹣m2﹣m+4），∴OF＝|﹣m2﹣m+4|，同（2）可得四边形CODH是矩形，∴CH＝OD，∵CE＝FD，∴Rt△CHE≌Rt△DOF（HL），∴∠HCE＝∠FDO，∵∠HCE＝∠CBO，∴∠FDO＝∠CBO，∴tan∠FDO＝tan∠CBO，∴＝，即＝，∴﹣m2﹣m+4＝m或﹣m2﹣m+4＝﹣m，解得m＝2﹣2或m＝﹣2﹣2或m＝4或m＝﹣4，∵P在第一象限，∴m＝2﹣2或m＝4．8．（2022•东营）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）在对称轴上找一点Q，使△ACQ的周长最小，求点Q的坐标；（3）点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，当△PMB是以PB为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点M的坐标．【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），点B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3，∴，解得，∴y＝x2﹣2x﹣3；（2）连接CB交对称轴于点Q，∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，∵A、B关于对称轴x＝1对称，∴AQ＝BQ，∴AC+AQ+CQ＝AC+CQ+BQ≥AC+BC，当C、B、Q三点共线时，△ACQ的周长最小，∵C（0，﹣3），B（3，0），设直线BC的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝x﹣3，∴Q（1，﹣2）；（3）当∠BPM＝90°时，PM＝PB，∴M点与A点重合，∴M（﹣1，0）；当∠PBM＝90°时，PB＝BM，如图1，当P点在M点上方时，过点B作x轴的垂线GH，过点P作PH⊥GH 交于H，过点M作MG⊥HG交于G，∵∠PBM＝90°，∴∠PBH+∠MBG＝90°，∵∠PBH+∠BPH＝90°，∴∠MBG＝∠BPH，∵BP＝BM，∴△BPH≌△MBG（AAS），∴BH＝MG，PH＝BG＝2，设P（1，t），则M（3﹣t，﹣2），∴﹣2＝（3﹣t）2﹣2（3﹣t）﹣3，解得t＝2+或t＝2﹣，∴M（1﹣，﹣2）或（1+，﹣2），∵M点在对称轴的左侧，∴M点坐标为（1﹣，﹣2）；如图2，当P点在M点下方时，同理可得M（3+t，2），∴2＝（3+t）2﹣2（3+t）﹣3，解得t＝﹣2+（舍）或t＝﹣2﹣，∴M（1﹣，2）；综上所述：M点的坐标为（1﹣，﹣2）或（1﹣，2）或（﹣1，0）．9．（2022•枣庄）如图①，已知抛物线L：y＝x2+bx+c经过点A（0，3），B（1，0），过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的关系式；（2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当△OPE面积最大时，求出P点坐标；（3）将抛物线L向上平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OAE内（包括△OAE的边界），求h的取值范围；（4）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线L：y＝x2+bx+c经过点A（0，3），B（1，0），∴，解得，∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+3；（2）如图，过P作PG∥y轴，交OE于点G，设P（m，m2﹣4m+3），∵OE平分∠AOB，∠AOB＝90°，∴∠AOE＝45°，∴△AOE是等腰直角三角形，∴AE＝OA＝3，∴E（3，3），∴直线OE的解析式为：y＝x，∴G（m，m），∴PG＝m﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+5m﹣3，＝S△OPG+S△EPG∴S△OPE＝PG•AE＝×3×（﹣m2+5m﹣3）＝﹣（m2﹣5m+3）＝﹣（m﹣）2+，∵﹣＜0，∴当m＝时，△OPE面积最大，此时，P点坐标为（，﹣）；（3）由y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，得抛物线l的对称轴为直线x＝2，顶点为（2，﹣1），抛物线L向上平移h个单位长度后顶点为F（2，﹣1+h）．设直线x＝2交OE于点M，交AE于点N，则E（3，3），∵直线OE的解析式为：y＝x，∴M（2，2），∵点F在△OAE内（包括△OAE的边界），∴2≤﹣1+h≤3，解得3≤h≤4；（4）设P（m，m2﹣4m+3），分四种情况：①当P在对称轴的左边，且在x轴下方时，如图，过P作MN⊥y轴，交y 轴于M，交l于N，∴∠OMP＝∠PNF＝90°，∵△OPF是等腰直角三角形，∴OP＝PF，∠OPF＝90°，∴∠OPM+∠NPF＝∠PFN+∠NPF＝90°，∴∠OPM＝∠PFN，∴△OMP≌△PNF（AAS），∴OM＝PN，∵P（m，m2﹣4m+3），则﹣m2+4m﹣3＝2﹣m，解得：m＝（舍）或，∴P的坐标为（，）；②当P在对称轴的左边，且在x轴上方时，同理得：2﹣m＝m2﹣4m+3，解得：m1＝（舍）或m2＝，∴P的坐标为（，）；③当P在对称轴的右边，且在x轴下方时，如图，过P作MN⊥x轴于N，过F作FM⊥MN于M，同理得△ONP≌△PMF，∴PN＝FM，则﹣m2+4m﹣3＝m﹣2，解得：m1＝或m2＝（舍）；P的坐标为（，）；④当P在对称轴的右边，且在x轴上方时，如图，同理得m2﹣4m+3＝m﹣2，解得：m＝或（舍），P的坐标为：（，）；综上所述，点P的坐标是：（，）或（，）或（，）或（，）．方法二：作直线DE：y＝x﹣2，E（1，﹣1）是D点（2，0）绕O点顺时针旋转45°并且OD缩小倍得到，易知直线DE即为对称轴上的点绕O点顺时针旋转45°，且到O点距离缩小倍的轨迹，联立直线DE和抛物线解析式得x2﹣4x+3＝x﹣2，解得x1＝，x2＝，同理可得x3＝或x4＝；综上所述，点P的坐标是：（，）或（，）或（，）或（，）．10．（2023•澄城县一模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）、B，与y轴交于点C（0，3），直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数解析式；（2）在对称轴l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）把点A（﹣1，0）、点C（0，3）分别代入y＝﹣x2+bx+c，得．解得．故该抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）由（1）知，该抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3．则该抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1．故设M（1，m）．∵A（﹣1，0）、点C（0，3），∴AC2＝10，AM2＝4+m2，CM2＝1+（m﹣3）2．①若AC＝AM时，10＝4+m2，解得m＝±．∴点M的坐标为（1，）或（1，﹣）；②若AC＝CM时，10＝1+（m﹣3）2，解得m＝0或m＝6，∴点M的坐标为（1，0）或（1，6）．当点M的坐标为（1，6）时，点A、C、M共线，∴点M的坐标为（1，0）；③当AM＝CM时，4+m2＝1+（m﹣3）2，解得m＝1，∴点M的坐标为（1，1）．综上所述，符合条件的点M的坐标为（1，）或（1，﹣）或（1，0）或（1，1）．11．（2023•碑林区校级一模）二次函数y＝ax2+bx+2的图象交x轴于A（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MN⊥x轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒．（1）求二次函数y＝ax2+bx+2的表达式；（2）在直线MN上存在一点P，当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点D的坐标．【解答】解：（1）将点（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+2，∴a＝﹣，b＝，∴y＝﹣x2+x+2；（2）∵BM＝5﹣2t，∴M（2t﹣1，0），设P（2t﹣1，m），∵PC2＝（2t﹣1）2+（m﹣2）2，PB2＝（2t﹣5）2+m2，∵PB＝PC，∴（2t﹣1）2+（m﹣2）2＝（2t﹣5）2+m2，∴m＝4t﹣5，∴P（2t﹣1，4t﹣5），∵PC⊥PB，∴×＝﹣1，∴t＝1或t＝2，∴M（1，0）或M（3，0），∴D（1，3）或D（3，2）．12．（2023•东洲区模拟）抛物线y＝ax2+bx+3经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴正半轴交于点C．（1）求此抛物线解析式；（2）如图①，连接BC，点P为抛物线第一象限上一点，设点P的横坐标为m，△PBC的面积为S，求S与m的函数关系式，并求S最大时P点坐标；（3）如图②，连接AC，在抛物线的对称轴上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，∴，解得：，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）点P作PF⊥x轴于点F，交BC于点E，设BC直线解析式为：y＝kx+b，∵B（3，0），C（0，3），∴，解得，∴y＝﹣x+3，由题意可知P（m，﹣m2+2m+3），E（m，﹣m+3），S＝S△PBE+S△PCE，S＝PE•OB＝（﹣m2+2m+3+m﹣3）×3，，∵，∴当时，S有最大值，此时P点坐标为；（3）存在，M 1（1，0），，，M4（1，1），①当AC＝AM时，如图，设对称轴l与AB交于点E，则，∵AM2＝AE2+EM2，∴，解得：，∴M点的坐标为或，②当AC＝MC时，则OC为AM的垂直平分线．因此M与E重合，因此，M点的坐标为（1，0），③当AM＝CM时，如图，设M点的坐标为（1，n），则AM2＝22+n2＝4+n2，CM2＝12+（3﹣n）2，∴4+n2＝12+（3﹣n）2，解得：n＝1，∴M点的坐标为（1，1），综上可知，潢足条件的M点共四个，其坐标为M1（1，0），，，M 4（1，1）．13．（2023•三亚一模）如图，抛物线y ＝ax 2+3x +c （a ≠0）与x 轴交于点A （﹣2，0）和点B ，与y 轴交于点C （0，8），顶点为D ，连接AC ，CD ，DB ，直线BC 与抛物线的对称轴l 交于点E ．（1）求抛物线的解析式和直线BC 的解析式；（2）求四边形ABDC 的面积；（3）P 是第一象限内抛物线上的动点，连接PB ，PC ，当S △PBC ＝S △ABC 时，求点P 的坐标；（4）在抛物线的对称轴l 上是否存在点M ，使得△BEM 为等腰三角形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线y ＝ax 2+3x +c （a ≠0）过点A （﹣2，0）和C （0，8），∴，解得，∴抛物线的解析式为y ＝﹣x 2+3x +8．令y ＝0，得．解得x 1＝﹣2，x 2＝8．∴点B 的坐标为（8，0）．设直线BC 的解析式为y ＝kx +b ．把点B （8，0），C （0，8）分别代入y ＝kx +b ，得，解得，∴直线BC 的解析式为y ＝﹣x +8．（2）如图1，设抛物线的对称轴l 与x 轴交于点H ．∵抛物线的解析式为，∴顶点D 的坐标为．∴S 四边形ABDC ＝S △AOC +S 梯形OCDH +S △BDH ＝＝＝70．（3）∵．∴．如图2，过点P作PG⊥x轴，交x轴于点G，交BC于点F．设点．∵点F在直线BC上，∴F（t，﹣t+8）．∴．∴．∴．解得t1＝2，t2＝6．∴点P的坐标为（2，12）或P（6，8）．（4）存在．∵△BEM为等腰三角形，∴BM＝EM或BE＝BM或BE＝EM，设M（3，m），∵B（8，0），E（3，5），∴BE＝＝5，EM＝|m﹣5|，BM＝＝，当BM＝EM时，＝|m﹣5|，∴m2+25＝（m﹣5）2，解得：m＝0，∴M（3，0）；当BE＝BM时，5＝，∴m2+25＝50，解得：m＝﹣5或m＝5（舍去），∴M（3，﹣5）；当BE＝EM时，5＝|m﹣5|，解得：m＝5+5或m＝5﹣5，∴M（3，5+5）或（3，5﹣5），综上所述，点M的坐标为（3，0）或（3，﹣5）或（3，5+5）或（3，5﹣5）．14．（2023•南海区一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a ＞0）与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为直线BC下方抛物线上的一动点，PM⊥BC于点M，PN∥y轴交BC于点N．求线段PM的最大值和此时点P的坐标；（3）点E为x轴上一动点，点Q为抛物线上一动点，是否存在以CQ为斜边的等腰直角三角形CEQ？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入函数y＝ax2+bx﹣3（a＞0）中，得，解得，∴解析式为y＝x2﹣2x﹣3，故抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）当x＝0时，y＝3，∴C（0，﹣3），∵B（3，0），∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∵PN∥y轴，∴∠MNP＝45°，∵PM⊥BC，∴PM＝PN，则当PN最大时，PM也最大，设BC的解析式为y＝mx+n，∴，解得，∴BC解析式为y＝x﹣3，设P（x，x2﹣2x﹣3），N（x，x﹣3），∴PN＝x﹣3﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣（x﹣）2+，当x＝时，PN最大，则PM＝PN＝×＝，∴P（，），故PM最大值为，P点坐标为（，﹣）；（3）存在，点E的坐标为（﹣5，0），（，0），（0，0），（，0）．∵CEQ是以CQ为斜边的等腰直角三角形，∴设Q（x，x2﹣2x﹣3），①如图，过点E作x轴的垂线l，再分别过点C和点Q作垂线l的垂线，分别交于点M和点N，∵∠CEQ＝90°，∴∠QEM+∠CEN＝90°，∵∠QEM+∠MQE＝90°，∴∠EQM＝∠CEN，∵∠CNE＝∠QME＝90°，EC＝EQ，∴△EMQ≌△CNE（AAS），∴CN＝EM＝x2﹣2x﹣3，MQ＝EN＝3，∴|x Q|+MQ＝CN，﹣x+3＝x2﹣2x﹣3，解得x＝﹣2，x＝3（舍去），∴OE＝CM＝2+3＝5，E（﹣5，0），②如图，过点E作x轴的垂线l，再分别过点C和点Q作垂线l的垂线，分别交于点M和点N，同理：△EMC≌△QNE（AAS），CM＝EN＝x2﹣2x﹣3，NQ＝EM＝3，∴﹣x+x2﹣2x﹣3＝3，解得x＝，x＝（舍去），∴OE＝CM＝，E（，0），③如图，点E和点O重合，点Q和点B重合，此时E（0，0），④如图，过点E作x轴的垂线l，再分别过点C和点Q作垂线l的垂线，分别交于点M和点N，同理：△EMC≌△QNE（AAS），CM＝EN＝x2﹣2x﹣3，NQ＝EM＝3，∴x+3＝x2﹣2x﹣3，解得x＝，x＝（舍去），∴OE＝CM＝，E（，0），综上所述，点E的坐标为（﹣5，0），（，0），（0，0），（，0）．41。
九下第一轮复习等腰三角形与直角三角形的存在性问题
探索等腰三角形及直角三角形的存在性问题考点分析：中考中对于等腰三角形及直角三角形的存在性问题的考查多以压轴题形式出现,题目的设计多与几何图形中的动点问题、坐标系中的抛物线相结合，综合性很强，对学生分析问题、解决问题的能力提出较高的要求。
思想：等腰三角形直角三角形存在性问题都是对分类讨论、数形结合、方程思想的考察方法：等腰三角形与直角三角形存在性问题第一步学会做图。
第二步根据图形特征进行计算题型：等腰三角形已知点的情况主要分为“两定一动型”和“一定两动型”，直角三角形已知一边求另一顶点。
教学目标：1.探索并总结等腰三角形和直角三角形的存在性问题的解决方法与步骤；2.在研究等腰三角形和直角三角形存在性问题中，进一步发展空间观念，经历等腰三角形和直角三角形思考问题的过程，建立几何直观；3.在多种形式的数学活动中，发展合情推理和演绎推理的能力；能独立思考，体会数学的分类思想、数形结合思想、方程思想等。
4.经历从不同角度寻求分析问题和解决问题的方法的过程，体验解决问题方法的多样性，掌握分析问题和解决问题的一些基本方法。
重点、难点分析：重点：等腰三角形和直角三角形存在性问题的解决方法与步骤。
难点：1.问题中条件或结论的不确定性、答案的多样性；2.针对问题正确分类画图后寻找等量关系。
教学过程：一．主要知识回顾：（课前完成）1.若ABC∆是等腰三角形，则可能有下列线段相等：①②③2.等腰三角形的性质：3直角三角形ABC中，可能是直角的有①②③4直径所对的圆周角。
二．中考中的题目分类：等腰三角形（一）两定一动型1.只找点不计算（以选择题或填空题的形式出现，只需按照“两圆一线”的方法作出图形即可求解）例1.如图，在平面直角坐标系中，点A(1,3)在第一象限，点P在x轴上，若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有（）A．2个B．3个C．4个D．5个针对性练习1. 如图所示，在梯形ABCD中,AD∥BC, ∠ABC=90°,AD=AB=6,BC=14,点M是线段BC上一定点，且MC=8,动点P从C点出发沿C D A B→→→的路线运动，运动到点B停止．在点P的运动过程中，使△PMC为等腰三角形的点P有个．2.计算题目（解这类题目的方法可以分为几何法与代数法）。
中考专题讲解：直角三角形的存在性问题解题策略
中考专题讲解：直角三角形的存在性问题解题策略有关直角三角形的存在性问题，一般都是放在平面直角坐标系中和抛物线结合起来考察，这种题的解法套路一般都是固定的，在学习的过程中只需要牢固掌握直角三角形存在的基本模型：两线一圆，多加练习，这类问题就可以轻松掌握。
一、模型讲解“两线一圆”模型：在平面直角坐标系中遇到直角三角形的相关问题时，通常是以直角顶点作为分类标准，如下图，分别以点A、点B、点M为直角定点来构造直角三角形，然后根据相关条件来进行求解即可。
已知:定点A(2，1)、B(6，4)和动点M(m，0)，存在直角三角形。
具体有以下三种情况：（1）过点A作直线AM垂直AB，交x轴于点M；（2）过点B作直线BM垂直AB，交x轴于点M；（3）根据直径所对的圆周角为90度，以AB为直径作圆，交x轴的点即为满足条件的点M（一般情况下有两个交点，特殊情况下只有一个交点），然后根据相关条件来进行求解即可。
作出图形后，具体求解方法有三种：方法一：“K型”图（有的叫“一线三等角”），三角形相似易得△ACM∽△BEA，求得CM，从而求出点M的坐标。
易得△AEB ∽△BFM求得BF，从而得M的坐标方法二：勾股定理∵BH²=BG²-GH² ∵AC²+CM²=AM²BH²=BM²-HM² MD²+BD²=BM²∴BG²-GH² =BM²-HM² AM²+BM²=AB²∴AC²+CM²+MD²+BD²=AB²方法三：解析法（来源于高中的解析几何，虽然有点超纲，但是很多老师都教学生这种方法）K AB ·K AM =-1，直线BM 与x 轴的交点即为M 。
K AB ·K BM =-1，直线A 与x 轴的交点即为M 。
直角三角形的存在性
A
B
直角三角形 直角三角形的存在性
小组探究： 如图，已知线段AB，在平面内 求作一点C，使△ABC为直角三角形。
A
B
直角三角形 直角三角形的存在性 如图，在平面直角坐标第中，已知点A（3，0），
点B（0，-4），在坐标轴上求作一点C，使 △ABC为直角三角形。
O
A
B
直角三角形 直角三角形的存在性 如图，在平面直角坐标第中，已知点A（3，0），
直角三角形
直角三角形的存在性
直角三角形
直角三角形的存在性
直角三角形 直角三角形的存在性
中学关于直角三角形的知识点
？
直角三角形 直角三角形的存在性
中学关于直角三角形的知识点？ຫໍສະໝຸດ 直角三角形 直角三角形的存在性
中学关于直角三角形的知识点
直角三角形 直角三角形的存在性
小组探究： 如图，已知线段AB，在平面内 求作一点C，使△ABC为直角三角形。
点B（4，1），在坐标轴上求作一点C，使 △ABC为直角三角形。
B O A
直角三角形 直角三角形的存在性 如图，在平面直角坐标第中，已知点A（0，1），
点B（4，2），在坐标轴上求作一点C，使 △ABC为直角三角形。
B
A O
点B（0，-4），在坐标轴上求作一点C，使 △ABC为直角三角形。
O
A
B
直角三角形 直角三角形的存在性 如图，在平面直角坐标第中，已知点A（0，0），
点B（4，1），在坐标轴上求作一点C，使 △ABC为直角三角形。
B
A O
直角三角形 直角三角形的存在性 如图，在平面直角坐标第中，已知点A（1，0），
二次函数中直角三角形存在性问题.doc
二次函数中直角三角形存在性问题1. 找点:在己知两定点，确定第三点构成直角三角形时，要么以两定点为直角顶点，要么以动点为直角顶点•以定点为直角顶点时，构造两条直线与已知直线垂直;以动点为直角顶点时，以已知线段为直 径构造圆找点2. 方法:以两定点为直角顶点时，两直线互相垂直，则k1*k2=-1以已知线段为斜边时，利用K 型图，构造双垂直模 型，最后利用相似求解，或者三条边分别表示Z 后，利用勾股定理求解例一:如图，抛物线y =加空一2加兀+3加 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点.(1) 请求出抛物线顶点M 的坐标(用含m 的代数式表示)，A 、B 两点的坐标;(2) 经探究可知，A BC M 与A ABC 的而积比不变，试求出这个比值；(1) 求该抛物线的解析式； (2) M 为第一象限内抛物线上一动点，点M 在何处时，△ ACM 的面积最大；(3) 在抛物线的对称轴上是否存在这样的点P,使得△ PAC 为直角三角形？若存在，请求出所有可能点P 的坐标; 若不存在，请说明理由.(3)是否存在使A BCM 为直角三角形的抛物线？若存在，请求出;如果不存在，请说明理由0), B(4, 0),与y 轴交于点C.练习：1.如图.C知抛物线y=ar±bx+c (a«)的顶点M在第一象限，抛物线bx轴相交FA、B两点(点A 住点B的左边),f jy轴交万点C, O为唯标原点，如果ZkABM是何角二角形，AB=2, OM= J5(1)求点M的坐标;(2)求抛物线y=ax2+bx+c的解析式；(3)在抛物线的对称轴匕是否存在点P,使W APAC为直角三角形？若存在.请求出所有符合条件的点P 的坐标：若不存在•请说明理由.2.如图，抛物线y =〒一2加兀(m>0)与x轴的另一个交点为A,过P(l, -m)作PM丄x轴于点M,交抛物线于点B.点B关于抛物线对称轴的对称点为C.(1)若m二2,求点A和点C的坐标；(2)令m>l,连接CA,若AACP为直角三角形，求m的值；(3)在坐标轴上是否存在点E,使得APEC是以P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.3.如图，抛物线y =衣+分+2与x轴交于点A(l, 0)和B(4, 0).(1)求抛物线的解析式；(2)若抛物线的对称轴交x轴于点E,点F是位于x轴上方对称轴上一点，FC〃x轴，与对称轴右侧的抛物线交于点C,且四边形OECF是平行四边形，求点C的坐标；(3)在(2)的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点P,使AOCP是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.4、在平面直角坐标系中，抛物线y = ++仗一1)兀一比与直线y二kx+1交于A, B两点，点A在点B的左侧.(1)如图1,当k二1吋，直接写出A, B两点的坐标；(2)在(1)的条件下，点P为抛物线上的一个动点，且在直线AB下方，试求岀AABP面积的最大值及此时点P 的坐标；(3)如图2,抛物线y =兀2+仗_1)兀一比(k>0)与x轴交于点C、D两点(点C在点D的左侧)，在直线y二kx+1 使得Z0QC=90° ?若存在，请求出此吋k的值；若不存在，请说明理由.5.如图，直线y=x+2与抛物线y = ajc^-bx^6 (a#0)相交于A (2, 2)和B(4, m),点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC丄x轴于点D,交抛物线于点C.(1)求抛物线的解析式；(2)是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值，若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由;(3)求厶PAC为直角三角形时点P的坐标.6、如图，抛物线y = ci^+bx+c经过A(-3, 0)、C(0, 4),点B在抛物线上，。
中考数学复习④ 直角三角形存在性问题探究
类型④直角三角形存在性问题探究,备考攻略)1．“某图形(直线或抛物线)上是否存在一点，使之与另两定点构成直角三角形”的问题．2．“某图象上是否存在一点，使之与另两定点构成等腰直角三角形”的问题．1．利用勾股定理计算，在解一元二次方程时计算错误．2．分类讨论漏解．3．利用相似三角形解决问题不熟练．1．若夹直角的两边与y轴都不平行：先设出动点坐标，视题目分类的情况，分别用斜率公式算出夹直角的两边的斜率，再运用两直线(没有与y轴平行的直线)垂直的斜率结论(两直线的斜率相乘等于－1)，得到一个方程，解之即可.2．若夹直角的两边中有一边与y 轴平行，此时不能使用斜率公式．补救措施是：过余下的那一个点(没在平行于y轴的那条直线上的点)直接向平行于y的直线作垂线或过直角点作平行于y轴的直线的垂线与另一相关图象相交，则相关点的坐标可轻松搞定．3．直接利用勾股定理进行计算，当已知直角三角形的三边中任意两边的长，可以直接求第三边的长．4．利用勾股定理建立方程：勾股定理是表示三边之间的关系，只有在两边确定的情形下，才可以直接利用公式求第三边，但有时题目的条件，却不能满足这点，这时可以引入未知数，让未知数参与运算，最后通过列方程求解．5．利用勾股定理判断三角形是否为直角三角形，当三角形三边关系满足勾股定理时，三角形一定是直角三角形.6．将一般的几何问题构造出直角三角形，再用勾股定理求解．7．建立直角三角形模型．8．根据条件特点，选用适当的锐角三角函数解决问题．1．分别表示出构成直角三角形的三条边的平方，再利用勾股定理分类讨论符合题意的动点的值．2．如果利用勾股定理不能求的边可以考虑利用相似的性质求解．,典题精讲)◆利用勾股定理建立方程【例1】(2017通辽中考)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋2过点A(－2，0)，与y轴交于点C.(1)求抛物线y＝ax2＋bx＋2的函数解析式；(2)若点D在抛物线y＝ax2＋bx＋2的对称轴上，求△ACD的周长的最小值；(3)在抛物线y＝ax2＋bx＋2的对称轴上是否存在点P，使△ACP是直角三角形？若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．【解析】(1)利用待定系数法求抛物线的函数解析式；(2)由轴对称的最短路径得：因为B 与C 关于对称轴对称，所以连接AB 交对称轴于点D ，此时△ACD 的周长最小，利用勾股定理求其三边相加即可；(3)存在，当A 和C 分别为直角顶点时，画出直角三角形，设P(1，y)，根据直角三角形相似列比例式可得P 的坐标．【答案】解：(1)把点A(－2，0)，B(2，2)代入抛物线y ＝ax 2＋bx ＋2中，⎩⎨⎧4a －2b ＋2＝0，4a ＋2b ＋2＝2，解得⎩⎨⎧a ＝－14，b ＝12，∴抛物线函数解析式为：y ＝－14x 2＋12x ＋2；(2)y ＝－14x 2＋12x ＋2＝－14(x －1)2＋94，∴对称轴是直线x ＝1，如图①，过B 作BE ⊥x轴于E ，∵C(0，2)，B(2，2)，对称轴是直线x ＝1，∴C 与B 关于直线x ＝1对称，∴CD ＝BD ，连接AB 交对称轴于点D ，此时△ACD 的周长最小，∵BE ＝2，AE ＝2＋2＝4，OC ＝2，OA ＝2，∴AB ＝22＋42＝25，AC ＝22＋22＝22，∴△ACD 的周长＝AC ＋CD ＋AD ＝AC ＋BD ＋AD ＝AC ＋AB ＝22＋2 5.答：△ACD 的周长的最小值是22＋2 5.图①(3)存在．分两种情况：①当∠ACP ＝90°时，△ACP 是直角三角形，如图②.过P 作PG ⊥y 轴于G ，设P(1，y)，则△CGP ∽△AOC ，∴PG OC ＝CG AO ，∴12＝CG2，∴CG ＝1，∴OG ＝2－1＝1，∴P(1，1)；图②②当∠CAP ＝90°时，△ACP 是直角三角形，如图③，设P(1，y)，则△PEA ∽△AOC ，∴AE OC ＝PE AO ，∴32＝PE2，∴PE ＝3，∴P(1，－3)． 综上所述，△ACP 是直角三角形时，点P 的坐标为(1，1)或(1，－3)．图③◆利用勾股定理不能求的边可以考虑利用相似的性质求解【例2】(2016昆明中考)如图①，对称轴为直线x ＝12的抛物线经过B(2，0)，C(0，4)两点，抛物线与x 轴的另一交点为A.(1)求抛物线的解析式；(2)若点P 为第一象限内抛物线上的一点，设四边形COBP 的面积为S ，求S 的最大值； (3)如图②，若M 是线段BC 上一动点，在x 轴是否存在这样的点Q ，使△MQC 为等腰三角形且△MQB 为直角三角形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．图① 图②【解析】(1)由对称轴的对称性得出点A 的坐标，由待定系数法求出抛物线的解析式；(2)作辅助线把四边形COBP 分成梯形和直角三角形，表示出面积S ，化简后是一个关于S 的二次函数，求最值即可；(3)画出符合条件的Q 点，①利用平行相似得对应高的比和对应边的比相等列比例式；②在直角△COB 和直角△QMB 中利用正切和勾股定理求出即可．【答案】解：(1)∵抛物线的对称轴为直线x ＝12，且抛物线经过B(2，0)，∴A(－1，0)，设抛物线的解析式为：y ＝a(x ＋1)(x －2)(a ≠0)， 把C(0，4)代入抛物线y ＝a(x ＋1)(x －2)， ∴4＝－2a ， ∴a ＝－2，∴y ＝－2(x ＋1)(x －2)，∴抛物线的解析式为：y ＝－2x 2＋2x ＋4；图①(2)如图①，设点P(m ，－2m 2＋2m ＋4)，过点P 作PD ⊥x 轴，垂足为点D ， ∴S ＝S梯形PCOD ＋S △PDB ＝12m(－2m 2＋2m ＋4＋4)＋12(－2m 2＋2m ＋4)(2－m)＝－2m 2＋4m ＋4＝－2(m －1)2＋6，∵－2＜0，∴当m ＝1时，S 有最大值，则S 最大＝6；(3)存在这样的点Q ，使△MQC 为等腰三角形且△MQB 为直角三角形．理由：分以下两种情况：图②①如图②所示，当∠BQM ＝90°时， ∵∠CMQ ＞90°，∴只能CM ＝MQ.设直线BC 的解析式为：y ＝kx ＋b(k ≠0)，把B(2，0)，C(0，4)代入得：⎩⎨⎧2k ＋b ＝0，b ＝4，解得⎩⎨⎧k ＝－2，b ＝4，∴直线BC 的解析式为：y ＝－2x ＋4， 设M(m ，－2m ＋4)，则MQ ＝－2m ＋4，OQ ＝m ，BQ ＝2－m ，∵B(2，0)，C(0，4)， ∴OB ＝2，OC ＝4，∴在Rt △OBC 中，BC ＝OB 2＋OC 2＝22＋42＝25， ∵OC ⊥AB ，MQ ⊥AB ， ∴MQ ∥OC ，∴△BMQ ∽△BCO ， ∴BM BC ＝BQ BO ，即BM 25＝2－m2， ∴BM ＝5(2－m)＝25－5m ，∴CM ＝BC －BM ＝25－(25－5m)＝5m ， ∵CM ＝MQ ，图③∴5m ＝－2m ＋4，∴m ＝45＋2＝45－8.∴Q(45－8，0)；②如图③所示，当∠QMB ＝90°时， ∵∠CMQ ＝90°， ∴只能CM ＝MQ ， 设M(m ，－2m ＋4)，在Rt △COB 和Rt △QMB 中， ∵tan ∠CBO ＝tan ∠MBQ ＝OC OB ＝MQBM＝2， 由①知BM ＝22－5m ， MQ ＝CM ＝5m ，∴tan ∠MBQ ＝MQ BM ＝5m25－5m ＝2，∴m ＝43，∴M ⎝⎛⎭⎫43，43. ∴BM ＝25－5m ＝235，MQ ＝5m ＝435，∴BQ ＝BM 2＋MQ 2＝103，∴OQ ＝BQ －OB ＝103－2＝43，∴Q ⎝⎛⎭⎫－43，0， 综上所述，Q 点坐标为(45－8，0)或⎝⎛⎭⎫－43，0.(2017内江中考)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)与y 轴交于点C(0，3)，与x 轴交于A ，B 两点，点B 坐标为(4，0)，抛物线的对称轴为直线x ＝1. (1)求抛物线的解析式；(2)点M 从A 点出发，在线段AB 上以每秒3个单位长度的速度向B 点运动，同时点N 从B 点出发，在线段BC 上以每秒1个单位长度的速度向C 点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设△MBN 的面积为S ，点M 运动时间为t ，试求S 与t 的函数关系，并求S 的最大值；(3)在点M 运动过程中，是否存在某一时刻t ，使△MBN 为直角三角形？若存在，求出t 值；若不存在，请说明理由．解：(1)∵点B 坐标为(4，0)，抛物线的对称轴为直线x ＝1. ∴A(－2，0)，把点A(－2，0)，B(4，0)，C(0，3)，分别代入y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)，得⎩⎨⎧4a －2b ＋3＝0，16a ＋4b ＋3＝0，c ＝3，解得⎩⎨⎧a ＝－38，b ＝34，c ＝3，∴抛物线的解析式为y ＝－38x 2＋34x ＋3；图①(2)设运动时间为t s ，则AM ＝3t ，BN ＝t. ∴MB ＝6－3t.∵B(4，0)，C(0，3)， ∴OB ＝4，OC ＝3， 在Rt △BOC 中，BC ＝OB 2＋OC 2＝32＋42＝5. 如图①，过点N 作NH ⊥AB 于点H. ∴NH ∥CO ，∴△BHN ∽△BOC ， ∴HN OC ＝BN BC ，即HN 3＝t 5，∴HN ＝35t. ∴S △MBN ＝12MB·HN ＝12(6－3t)·35t＝－910t 2＋95t ＝－910(t －1)2＋910，∴－910<0，∴当t ＝1时，S 有最大值，S △MBN 最大＝910.答：运动1 s 使△MBN 的面积最大，最大面积是910；图②(3)如图②，在Rt △OBC 中，cos B ＝OB BC ＝45.设运动时间为t s ，则AM ＝3t ，BN ＝t. ∴MB ＝6－3t.①当∠MNB ＝90°时，cos B ＝BN MB ＝45，即t 6－3t ＝45，∴t ＝2417；②当∠BMN ＝90°时，cos B ＝MB BN ＝45，即6－3t t ＝45，∴t ＝3019，综上所述，t 的值为2417或3019 s 时，△MBN 为直角三角形．。
最新一次函数--直角三角形存在性问题
一次函数--直角三角形存在性问题处理方法一次函数y=kx+b（k≠0）中k、b的几何意义：k(称为斜率)表示直线y=kx+b（k≠0）的倾斜程度；b（称为截距）表示直线y=kx+b（k≠0）与y轴交点的。
斜率公式已知点、，且与轴不垂直，过两点、的直线的斜率公式同一平面内，不重合的两直线 y=k1x+b1（k1≠0）与 y=k2x+b2（k2≠0）的位置关系：当时，两直线平行。
当时，两直线垂直。
两直线垂直设两条直线的斜率分别为.若，则.练习1、如图，已知A（1，0），B（0，3），P是直线x=2上一点，若△ABP是以AB为斜边的直角三角形，则点P的坐标为。
2、如图，已知点A（0，1），B（4，3），P是x轴上一点，若△ABP是直角三角形，则点P的坐标为。
3、如图，一次函数(0)y kx b k=+≠的图像交坐标轴于A，B两点，其中A（-4,0）B（0,3），（1）求直线AB的解析式；（2）点C的坐标为（5,2m），连接AC，BC，若∠ACB=90o，则m的值为___________。
练习21. 如图，直线y =kx -4与x 轴、y 轴分别交于B ，C 两点，且43OC OB =． （1）求B 点的坐标和k 的值．（2）若点A （x ，y ）是第一象限内的直线y =kx -4上的一个动点,则当点A 运动到什么位置时，△AOB 的面积是6？（3）在（2）成立的情况下，x 轴上是否存在点P ，使△POA 是等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．2.如图，在直角坐标系中，一次函数y=23x +的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．（1）已知OC ⊥AB 于C ，求C 点坐标；（2）在x 轴上是否存在点P ，使△PAB 为等腰三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．3.如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为直角梯形，CB∥OA，∠OCB＝90°，CB＝1，AB112y x=-+过A点，且与y轴交于D点．4.如图，在平面直角坐标系中，直线l1:y=162x-+分别与x轴、y轴交于点B，C，且与直线l2:y=12x交于点A．（1）求出点A，B，C的坐标；（2）若D是线段OA上的点，且△COD的面积为12，求直线CD的函数表达式；。
直角三角形存在性问题专题攻略
一、专题攻略1、解直角三角形的存在性问题，一般分三个步骤第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根。
2、解直角三角形的问题，常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起。
3、一般情况下，按照直角顶点或者斜边分类，然后按照三角比或勾股定理列方程。
4、在平面直角坐标系中，两点间的距离公式常常用得到。
5、有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便。
二、典型例题例、如图，在直角坐标平面内，O为原点，二次函数y=-x2十2x+ 3的图象与，轴交于点A，与y 轴交于点B,顶点为P.如果点Q是x轴上一点，以点A、P、Q为顶点的三角形是直角三角形，求点Q的坐标三、针对训练1．如图，已知A、B是线段MN上的两点，MN=4，MA=1，MB＞1．以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成△ABC．设AB=x，若△ABC 为直角三角形，求x的值．【考点】旋转的性质；勾股定理的逆定理．【专题】分类讨论．【分析】根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，即可得到关于x的不等式组，求出x的取值范围，再根据勾股定理，即可列方程求解．【解答】解：∵在△ABC中，AC=1，AB=x，BC=3﹣x．∴，解得1＜x＜2；①若AC为斜边，则1=x2+（3﹣x）2，即x2﹣3x+4=0，无解，②若AB为斜边，则x2=（3﹣x）2+1，解得x=，满足1＜x＜2，③若BC为斜边，则（3﹣x）2=1+x2，解得x=，满足1＜x＜2，故x的值为：或．故答案为：或．【点评】本题主要考查了三角形的三边关系以及勾股定理，正确理解分类讨论是解题的关键．2．如图，已知在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣2，0），点B是点A关于原点的对称点，P是函数图象上的一点，且△ABP是直角三角形．（1）求点P的坐标；（2）如果二次函数的图象经过A、B、P三点，求这个二次函数的解析式；（3）如果第（2）小题中求得的二次函数图象与y轴交于点C，过该函数图象上的点C，点P的直线与x轴交于点D，试比较∠BPD与∠BAP的大小，并说明理由．【考点】二次函数综合题．【专题】综合题．【分析】（1）先求得B点坐标，再分析△ABP满足是直角三角形时P点的情况，可分为AB为直角边和AB为斜边两种情况作答．（2）对（1）求得的P点坐标分别讨论是否满足二次函数抛物线，求得二次函数的解析式．（3）由点的坐标可证得△PBD∽△APD，则∠BPD与∠BAP满足相等．【解答】解：（1）由题意，得点B的坐标为（2，0）．设点P的坐标为（x，y），由题意可知∠ABP=90°或∠APB=90°．（i）当∠ABP=90°时，x=2，y=1，∴点P坐标是（2，1）；（ii）当∠APB=90°时，PA2+PB2=AB2，即（x+2）2+y2+（x﹣2）2+y2=16①．又由，可得y2=，代入①解得：（负值不合题意，舍去）．当时，．∴点P点坐标是（，）．综上所述，点P坐标是（2，1）或（，）．（2）设所求的二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），（i）当点P的坐标为（2，1）时，点A、B、P不可能在同一个二次函数图象上；（ii）当点P的坐标为（，）时，代入A、B、P三点的坐标，解得：∴所求的二次函数解析式为．（3）∠BPD=∠BAP．证明如下：∵点C坐标为（0，），∴直线PC的表达式为．∴点D坐标为（，0）．∴PD=2，BD=，AD=．，∴．∵∠PDB=∠ADP，∴△PBD∽△APD．∴∠BPD=∠BAP．【点评】本题考查了二次函数的综合应用，重点是求解函数的解析式．3．如图，抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于两点A（1，0）、B（3，0），与y轴交于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线是否存在一点P，使得△BDP是以BD为斜边的直角三角形，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在x轴下方的抛物线上是否存在点M，过M作MN⊥x轴于点N，使以A、M、N为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，则求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题．【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数解析式即可；（2）过P作x轴的平行线交Y轴于E点，过B点作X轴的垂线交EP的延长线于F点，利用三角形相似得出P点的坐标；（3）利用△AMN∽△CDB，当N在A点左边时，当N在A点右边时，当N在A点右边时，当N在A点左边时分别得出即可．【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于两点A（1，0）、B（3，0），∴0=a+b﹣3，0=9a+3b﹣3，解得：a=﹣1，b=4，∴y=﹣x2+4x﹣3；（2）如图1，过P作x轴的平行线交Y轴于E点，过B点作X轴的垂线交EP的延长线于F点，设P（t，﹣t2+4t﹣3），当P点在第一象限时，则DE=﹣t2+4t，PF=3﹣t，PE=t，BF=﹣t2+4t﹣3，可证△DEP∽△PFB，，，可求得，所以P（，），同理，当P点在第四象限时，可求得P（，）；（3）如图2，设N（m，0）则M（m，﹣m2+4m﹣3），MN=m2﹣4m+3若△AMN∽△CDB，，当N在A点左边时AN=1﹣m，，m=0或m=1（舍），所以M（0，﹣3），当N在A点右边时AN=m﹣1，，m=6或m=1（舍），所以M（6，﹣15），若△MAN∽△CDB，，当N在A点左边时AN=1﹣m，，m=（舍）或m=1（舍），所以此时M不存在，当N在A点右边时AN=m﹣1，，m=或m=1（舍），所以M（，），综上M1（0，﹣3）M2（6，﹣15）M3（，）．【点评】此题主要考查了二次函数的综合应用，（2）（3）小题中，都用到了分类讨论的数学思想，难点在于考虑问题要全面，做到不重不漏．四、三年真题4．（15宜宾24）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴分别相交于点A（﹣2，0），B（4，0），与y轴交于点C，顶点为点P．（1）求抛物线的解析式；（2）动点M、N从点O同时出发，都以每秒1个单位长度的速度分别在线段OB、OC上向点B、C方向运动，过点M作x轴的垂线交BC于点F，交抛物线于点H．①当四边形OMHN为矩形时，求点H的坐标；②是否存在这样的点F，使△PFB为直角三角形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题．【分析】（1）把A（﹣2，0），B（4，0），代入抛物线y=﹣x2+bx+c，求出b、c即可；（2）①表示出ON、MH，运用ON=MH，列方程求解即可；②存在，先求出BC的解析式，根据互相垂直的直线一次项系数积等于﹣1，直线经过点P，待定系数法求出直线PF的解析式，求直线BC与直线PF的交点坐标即可．【解答】解：（1）把A（﹣2，0），B（4，0），代入抛物线y=﹣x2+bx+c得：解得：b=1，c=4，∴y=﹣x2+x+4；（2）点C的坐标为（0，4），B（4，0）∴直线BC的解析式为y=﹣x+4，①根据题意，ON=OM=t，MH=﹣t2+t+4∵ON∥MH∴当ON=MH时，四边形OMHN为矩形，即t=﹣t2+t+4解得：t=2或t=﹣2（不合题意舍去）把t=2代入y=﹣t2+t+4得：y=2∴H（2，2）；②存在，当PF⊥BC时，∵直线BC的解析式为y=﹣x+4，∴设PF的解析式为y=x+b，又点P（1，）代入求得b=，∴根据题意列方程组：解得：∴F（，）当PF⊥BP时，∵点P（1，），B（4，0），∴直线BP的解析式为：y=﹣x+6，∴设PF的解析式为y=x+b，又点P（1，）代入求得b=，∴根据题意列方程组：解得：∴F（，），综上所述：△PFB为直角三角形时，点F的坐标为（，）或（，）．【点评】本题考查了待定系数法求直线和抛物线解析式，求顶点坐标，矩形的判定与性质以及两直线互相垂直的性质，本题有一定的综合性，难度不大，关键是掌握两直线互相垂直的性质．5．（16白银张掖28）如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（3，0），B（0，3）两点．（1）求此抛物线的解析式和直线AB的解析式；（2）如图①，动点E从O点出发，沿着OA方向以1个单位/秒的速度向终点A匀速运动，同时，动点F从A点出发，沿着AB方向以个单位/秒的速度向终点B匀速运动，当E，F中任意一点到达终点时另一点也随之停止运动，连接EF，设运动时间为t秒，当t为何值时，△AEF为直角三角形？（3）如图②，取一根橡皮筋，两端点分别固定在A，B处，用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P在直线AB上方的抛物线上移动，动点P与A，B两点构成无数个三角形，在这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时点P的坐标；如果不存在，请简要说明理由．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）用待定系数法求出抛物线，直线解析式；（2）分两种情况进行计算即可；（3）确定出面积达到最大时，直线PC和抛物线相交于唯一点，从而确定出直线PC解析式为y=﹣x+，根据锐角三角函数求出BD，计算即可．【解答】解：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（3，0），B（0，3）两点，∴，∴，∴y=﹣x2+2x+3，设直线AB的解析式为y=kx+n，∴，∴，∴y=﹣x+3；（2）由运动得，OE=t，AF=t，∴AE=OA﹣OE=3﹣t，∵△AEF为直角三角形，∴①△AOB∽△AEF，∴，∴，∴t=，②△AOB∽△AFE，∴，∴，∴t=1；（3）如图，存在，过点P作PC∥AB交y轴于C，∵直线AB解析式为y=﹣x+3，∴设直线PC解析式为y=﹣x+b，联立，∴﹣x+b=﹣x2+2x+3，∴x2﹣3x+b﹣3=0∴△=9﹣4（b﹣3）=0∴b=，∴BC=﹣3=，x=，∴P（，）．过点B作BD⊥PC，∴直线BD解析式为y=x+3，∴BD=，∴BD=，∵AB=3S最大=AB×BD=×3×=．即：存在面积最大，最大是，此时点P（，）．【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，相似三角形的性质和判定，平行线的解析式的确定方法，互相垂直的直线解析式的确定方法，解本题的关键是确定出△PAB面积最大时点P的特点．6．（16重庆B卷26）如图1，二次函数y=x2﹣2x+1的图象与一次函数y=kx+b（k≠0）的图象交于A，B两点，点A的坐标为（0，1），点B在第一象限内，点C是二次函数图象的顶点，点M是一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与x轴的交点，过点B作轴的垂线，垂足为N，且S△AMO：S四边形AONB=1：48．（1）求直线AB和直线BC的解析式；（2）点P是线段AB上一点，点D是线段BC上一点，PD∥x轴，射线PD与抛物线交于点G，过点P作PE⊥x轴于点E，PF⊥BC于点F．当PF与PE的乘积最大时，在线段AB上找一点H （不与点A，点B重合），使GH+BH的值最小，求点H的坐标和GH+BH的最小值；（3）如图2，直线AB上有一点K（3，4），将二次函数y=x2﹣2x+1沿直线BC平移，平移的距离是t（t≥0），平移后抛物线上点A，点C的对应点分别为点A′，点C′；当△A′C′K是直角三角形时，求t的值．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）根据S△AMO：S四边形AONB=1：48，求出三角形相似的相似比为1：7，从而求出BN，继而求出点B的坐标，用待定系数法求出直线解析式．（2）先判断出PE×PF最大时，PE×PD也最大，再求出PE×PF最大时G（5，），再简单的计算即可；（3）由平移的特点及坐标系中，两点间的距离公式得A′C′2=8，A′K2=5m2﹣18m+18，C′K2=5m2﹣22m+26，最后分三种情况计算即可．【解答】解：（1）∵点C是二次函数y=x2﹣2x+1图象的顶点，∴C（2，﹣1），∵PE⊥x轴，BN⊥x轴，∴△MAO∽△MBN，∵S△AMO：S四边形AONB=1：48，∴S△AMO：S△BMN=1：49，∴OA：BN=1：7，∵OA=1∴BN=7，把y=7代入二次函数解析式y=x2﹣2x+1中，可得7=x2﹣2x+1，∴x1=﹣2（舍），x2=6∴B（6，7），∵A的坐标为（0，1），∴直线AB解析式为y=x+1，∵C（2，﹣1），B（6，7），∴直线BC解析式为y=2x﹣5．（2）如图1，设点P（x0，x0+1），∴D（，x0+1），∴PE=x0+1，PD=3﹣x0，∵∠DPF固定不变，∴PF：PD的值固定，∴PE×PF最大时，PE×PD也最大，PE×PD=（x0+1）（3﹣x0）=﹣x02+x0+3，∴当x0=时，PE×PD最大，即：PE×PF最大．此时G（5，）∵△MNB是等腰直角三角形，过B作x轴的平行线，∴BH=B1H，GH+BH的最小值转化为求GH+HB1的最小值，∴当GH和HB1在一条直线上时，GH+HB1的值最小，此时H（5，6），最小值为7﹣=（3）令直线BC与x轴交于点I，∴I（，0）∴IN=，IN：BN=1：2，∴沿直线BC平移时，横坐标平移m时，纵坐标则平移2m，平移后A′（m，1+2m），C′（2+m，﹣1+2m），∴A′C′2=8，A′K2=5m2﹣18m+18，C′K2=5m2﹣22m+26，当∠A′KC′=90°时，A′K2+KC′2=A′C′2，解得m=，此时t=m=2±；当∠KC′A′=90°时，KC′2+A′C′2=A′K2，解得m=4，此时t=m=4；当∠KA′C′=90°时，A′C′2+A′K2=KC′2，解得m=0，此时t=0．【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了相似三角形的性质，待定系数法求函数解析式，两点间的距离公式，解本题的关键是相似三角形的性质的运用．7．（14年福州21）如图1，点O在线段AB上，AO=2，OB=1，OC为射线，且∠BOC=60°，动点P以每秒2个单位长度的速度从点O出发，沿射线OC做匀速运动，设运动时间为t秒．（1）当t=秒时，则OP=，S△ABP=；（2）当△ABP是直角三角形时，求t的值；（3）如图2，当AP=AB时，过点A作AQ∥BP，并使得∠QOP=∠B，求证：AQ•BP=3．【考点】相似形综合题．【专题】几何动点问题；压轴题．【分析】（1）如答图1所示，作辅助线，利用三角函数或勾股定理求解；（2）当△ABP是直角三角形时，有三种情形，需要分类讨论；（3）如答图4所示，作辅助线，构造一对相似三角形△OAQ∽△PBO，利用相似关系证明结论．【解答】（1）解：当t=秒时，OP=2t=2×=1．如答图1，过点P作PD⊥AB于点D．在Rt△POD中，PD=OP•sin60°=1×=，∴S△ABP=AB•PD=×（2+1）×=．（2）解：当△ABP是直角三角形时，①若∠A=90°．∵∠BOC=60°且∠BOC＞∠A，∴∠A≠90°，故此种情形不存在；②若∠B=90°，如答图2所示：∵∠BOC=60°，∴∠BPO=30°，∴OP=2OB=2，又OP=2t，∴t=1；③若∠APB=90°，如答图3所示：过点P作PD⊥AB于点D，则OD=OP•sin30°=t，PD=OP•sin60°=t，∴AD=OA+OD=2+t，BD=OB﹣OD=1﹣t．在Rt△ABP中，由勾股定理得：PA2+PB2=AB2∴（AD2+PD2）+（BD2+PD2）=AB2，即[（2+t）2+（t）2]+[（1﹣t）2+（t）2]=32解方程得：t=或t=（负值舍去），∴t=．综上所述，当△ABP是直角三角形时，t=1或t=．（3）证明：如答图4，过点O作OE∥AP，交PB于点E，则有，∴PE=PB．∵AP=AB，∴∠APB=∠B，∵OE∥AP，∴∠OEB=∠APB，∴∠OEB=∠B，∴OE=OB=1，∠3+∠B=180°．∵AQ∥PB，∴∠OAQ+∠B=180°，∴∠OAQ=∠3；∵∠AOP=∠1+∠QOP=∠2+∠B，∠QOP=∠B，∴∠1=∠2；∴△OAQ∽△PEO，∴，即，化简得：AQ•PB=3．【点评】本题是运动型综合题，考查了相似三角形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理、一元二次方程等多个知识点．第（2）问中，解题关键在于分类讨论思想的运用；第（3）问中，解题关键是构造相似三角形，本问有多种解法，可探究尝试．五、两年模拟8．（2015年曲靖麒麟区中考模拟第24题）如图，过点C（0，2）的抛物线与直线AD交于A（﹣1，0），D（3，2）两点．（1）求直线AD和抛物线的解析式；（2）点M为抛物线对称轴上一点，求MA+MC最小时点M的坐标；（3）在y轴上是否存在点P使△PAD是直角三形？若存在，求出点P坐标；若不存在，说明理由．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）设出一次函数、二次函数解析式分别为y=kx+b，y=ax2+bx+c，将函数图象上的点代入，即可求函数解析式；（2）连接BC，与对称轴交于M，此时MA+MC最小．求出BC解析式，将M点横坐标代入即可求出其纵坐标；（3）分四种情况讨论：①当∠AP1D=90°时，△DCP1∽△P1OA；②∠AP2D=90°时，△AOP2∽△P2CD；③设AP3解析式为y=﹣2x+s，将A（﹣1，0）分别代入解析式，求出s的值；④设AP4解析式为y=﹣2x+t，将A（3，2）分别代入解析式得，t=8．【解答】解：（1）设AD的解析式为y=kx+b，将A（﹣1，0），D（3，2）分别代入解析式得，，解得，∴AD的解析式为y=x+．设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，将A（﹣1，0），C（0，2），D（3，2）分别代入解析式得，解得，，函数解析式为y=﹣x2+x+2．（2）如图1，连接BC，与对称轴交于M，此时MA+MC最小．设BC解析式为y=ax+b，把B（4，0），C（0，2）代入解析式得，，解得，则y=﹣x+2，当x=﹣=时，y=﹣×+2=，∴M（，）．（3）①当∠AP1D=90°时，△DCP1∽△P1OA，∴=，即=，∴P1C2+2P1C=3，解得，P1C=1，P1C=﹣3（舍去）．∴P1O=3，∴P1（0，3）．②∠AP2D=90°时，△AOP2∽△P2CD，∴=，即=，∴P2O2+2P2O=3，解得，P2O=1，P2O=﹣3（舍去）．∴P2O=3，∴P2（0，﹣3）．③如图3，∵AP3⊥AD，DP4⊥AD，且AD解析式为y=x+，设AP3解析式为y=﹣2x+s，将A（﹣1，0）分别代入解析式得，s=﹣2，解析式为y=﹣2x﹣2，当x=0时，y=﹣2，则得P3（0，﹣2），④设AP4解析式为y=﹣2x+t，将A（3，2）分别代入解析式得，t=8，解析式为y=﹣2x+8，当x=0时，y=8，则得P4（0，8）．【点评】本题考查了二次函数综合题，涉及待定系数法求二次函数解析式和一次函数解析式、轴对称最短路径问题、存在性问题和相似三角形的判定与性质，难度较大．9．（2016年汕头潮阳区中考模拟第25题）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，Rt△AOB的直角边OB，OA分别在x轴上和y轴上，其中OA=2，OB=4，现将Rt△AOB绕着直角顶点O按逆时针方向旋转90°得到△COD，已知一抛物线经过C、D、B三点．（1）该抛物线的解析式为；（2）设点E是抛物线上位于第一象限的动点，过点E作EF⊥x轴于点F，并交直线AB于N，过点E再作EM⊥AB于点M，求△EMN周长的最大值；（3）当△EMN的周长最大时，在直线EF上是否存在点Q，使得△QCD是以CD为直角边的直角三角形？若存在请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c．由线段OA、OB的长度可得出点A、B的坐标，再由旋转的特性可得出点C、D的坐标，由点B、C、D三点的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）在Rt△AOB中，找出∠ABO的正弦余弦值，再根据相似三角形的判定定理找出△EMN∽△BFN，从而得出∠MEN=∠FBN，用EN的长度来表示出EM和MN的长度，由点A、B的坐标利用待定系数法求出直线AB的函数解析式，设出点E的坐标为（t，﹣+t+4）（0＜t＜4），即可找出点N的坐标为（t，﹣t+2），从而得出线段EN的长度，将EN、MN、EM相加即可得出△EMN的周长，根据二次函数的性质可求出EN的最大值，由此即可得出结论；（3）结合（2）的结论可知直线EF的解析式为x=，分∠QDC=90°和∠DCQ=90°两种情况来考虑，利用相似三角形的性质找出相似边的比例关系来找出线段的长度，再根据点与点间的数量关系即可找出点Q的坐标．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c．∵OA=2，OB=4，∴点A（0，2），点B（4，0），由旋转的特性可知：点C（﹣2，0），点D（0，4）．将点B（4，0）、点C（﹣2，0）、点D（0，4）代入到抛物线解析式得：，解得：．∴该抛物线的解析式为y=﹣+x+4．故答案为：y=﹣+x+4．（2）依照题意画出图形，如图1所示．在Rt△AOB中，OA=2，OB=4，∴AB===2，∴sin∠ABO=，cos∠ABO=．∵EM⊥AB，EF⊥OB，∴∠EMN=∠BFN=90°．∵∠BNF=∠ENM，∴△EMN∽△BFN，∴∠MEN=∠FBN．在Rt△EMN中，sin∠MEN=，cos∠MEN=，∴MN=EN•sin∠MEN=EN•sin∠ABO=EN，EM=EN•cos∠MEN=EN•cos∠ABO=EN．∴C△EMN=EM+MN+EN=EN+EN+EN=EN．由（1）知A（0，2）、B（4，0），设直线AB的解析式为：y=kx+2，∴4k+2=0，解得：k=﹣，∴直线AB的解析式为：y=﹣x+2．设抛物线上点E的坐标为（t，﹣+t+4）（0＜t＜4），∵EF⊥OB，∴令y=﹣x+2中x=t，y=﹣t+2，∴点N的坐标为（t，﹣t+2），∴EN=﹣+t+4﹣（﹣t+2）=﹣+t+2．∴C△EMN=（﹣+t+2）=﹣+t+（0＜t＜4）．∴当t=﹣=时，EN最大，此时C△EMN最大，∴C△EMN最大为：[﹣+2]=．（3）由（2）知，当C△EMN取最大值时，EF的解析式为：x=．①若∠QDC=90°，过点Q作QG⊥y轴于点G，如图2所示．∵EF的解析式为：x=，∴QG=，∵∠QDG+∠DQG=90°，∠CDO+∠QDG=90°，∴∠DGQ=∠CDO，又∵∠QGD=∠DOC=90°，∴△QDG∽△DCO，∴，∴DG=2×=．∴OG=OD﹣DG=4﹣=，∴点Q的坐标为（，）；②若∠DCQ=90°，如图3所示．CF=﹣（﹣2）=，∵∠QCF+∠OCD=90°，∠CDO+∠OCD=90°，∴∠QCF=∠CDO，又∵∠CFQ=∠DOC=90°，∴△COD∽△QFC，∴，即，∴FQ=，∴点Q的坐标为（，﹣）．综上所述，当点Q的坐标为（，）或（，﹣）时，使得△QCD是以CD为直角边的直角三角形．【点评】本题考查了二次函数的性质、待定系数法求函数解析式、相似三角形的判定及性质以及三角形的周长，解题的关键是：（1）求出点B、C、D的坐标；（2）用线段EN的长度来表示△EMN 的周长；（3）分两种情况考虑．本题属于中档题，难道不大，但非常繁琐，解决该题型题目时，依据题意作出图形，利用数形结合来解决问题是关键。
二次函数与直角三角形的存在性问题
课题：二次函数中直角三角形的存在性问题教学目标：知识与技能1、 知道并会推导三垂直性质，能正确找出对应边，能准确写出三垂直中的对应边成比例.2、 准确掌握平面直角坐标系中三垂直性质使用条件和操作程序.过程与方法通过对平面直角坐标系中不同位置的直角三角形活动探究出构造三垂直性质应如何添加辅助线，并会利用三垂直性质解决二次函数中直角三角形的存在性问题.情感态度与价值观通过对解析几何产生的背景介绍及三垂直性质在二次函数中直角三角形存在性问题的应用感受数形结合思想的重要性及意义；通过对不确定直角顶点的直角三角形存在性问题的解决，感受分类思想在学习中的必要性.教学重点：探究如何构造三垂直模型，并会利用三垂直性质解决直角三角形的存在性问题.教学难点：探究使用三垂直性质的操作程序.教学过程：一、 情景设计讲述解析几何产生的背景，说明数形结合思想的重要性， 引出课题。
二、 预习思考),(1b x ),(2b x ),(1y a ),(2ya1、如图1，水平线上各点的___坐标相同，水平线上的两点间的距离等于_______________________________。
2、如图2，竖直线上各点的___坐标相同，竖直线上的两点间的距离等于_______________________________。
3、 如何设函数图像上的动点坐标？如何设二次函数对称轴上的动点坐标？教学要点1、 分组提问，调动学生积极性.2、 引导学生由图找答案，并用自己的语言叙述结论.3、 对学生的结论补充强调.三、 探索问题问题1：(1) 图3是什么模型？(2) 该模型的已知条件是什么？结论是什么？你可以证明你的结论吗？(3) 图3、图4的已知条件和结论的区别与联系是什么？教学要点1、问题1的设置是对本节课的应用知识点重点巩固，可齐声回答.2、教师分析：三垂直模型还可看作，已知一直角三角形，过其直角顶点在直角三角形的外部做一条直线，并过直角三角形的另外两个顶点引上述直线的垂线段.问题2：(1) 如果需要求一条线段的长，你希望在坐标系中是什么样的线段？(2) 如果平面直角坐标系中随意放置了一个直角三角形，过其直角顶点在其外部做一条什么方向的直线，能保证构成的三垂直模型中相似的两个直角三角形的四条直角边不是水平方向就是竖直方向？(3) 总结在平面直角坐标系中构造三垂直模型的操作步骤. 教学要点1、针对（1），能预料到学生的答案是竖直方向或水平方向，如果不是这个答案，再继续询问他们的结论的理由.2、对于（2），教师引导学生在平面直角坐标系中画出任意三角形，并让学生观察、尝试符合要求的直线.3、教师引导学生总结平面直角坐标系中构造三垂直模型操作步骤.4、教师课件展示详细操作步骤.（1）平面直角坐标系中构造三垂直模型的操作步骤.（2）过另外两个顶点向水平线或竖直线作垂线段（3）根据条件求出各点坐标及四条直角边长度（4）根据对应边相等或成比例，列出四条直角边之间的数量关系，进而求出未知数，求出动点坐标问题3：例、（2015本溪）如图，抛物线 （ ≠0）经过点A （2，0），点B （3，3）（1）求抛物线的解析式并直接写出它的对称轴；（2）点P 是抛物线对称轴上一点，当△ABP 是直角三角形时，请求出所有符合条件的点P 坐标．教学要点1、学生回答解决第（1）问的方法，学生完成（1）解答过程，教师巡视指导并讲评2、教师引导：（1）构造三垂直模型需要有一个直角，谁是Rt △ABP 的直角呢？（生：不知道）bx ax y +=2a（2）怎么办？（生：分类讨论）（3）分几类？是哪几类？（生：3类，分别是当∠ABP=90°，当∠APB=90°，∠BAP=90°）3、师生共同探究当∠ABP=90°时的情况解：如图，当∠ABP=90°时，过点P作PM⊥BC交BC的延长线于点M，设点P（1，a），则M(3，a)，C（3，0）∴PM=3-1=2，MB=a-3，BC=3，AC=3-2=1∵∠MPB+∠MBP=90°，∠MBP+∠ABC=90°，∴∠MPB=∠ABC，又∵∠PMB=∠ACB=90°∴△PM B∽△BCA∴PM/MB=BC/AC,2/(a-3)=3/1解得：a=11/3∴点P（1，11/3）4、剩下两种情况，让学生小组讨论，并找两位学生上台分别讲解，主讲学生可以自己需要选择要不要带小帮手，之后师生共同点评总结.四、课堂小结通过本节课的学习，你有什么收获？五、课后作业除了利用三垂直性质解决二次函数中直角三角形的存在性问题，你还有其它的方法吗？并试用你想到的方法解决今天的例题.教学反思：本节课是二次函数中直角三角形的存在性问题，此类问题通常在河南中招卷中作为压轴题出现，一般是23题的第（2）问或第（3）问，其知识覆盖面较广，综合性较强，是数形结合思想及分类思想的典型题。
存在性问题之直角三角形、矩形
综合与探究
如图，抛物线y＝－4/9x2＋bx＋c与y轴交于点A（0，8），与x轴交于点B（6，0）， C，过点A作AD∥x轴与抛物线交于另一点D.
（1）求抛物线的表达式； （2）连接AB，点P为AB上一个动点，由点A以每秒1个单位长度的速度沿AB运动 （不与点B重合），运动时间为t，过点P作PQ∥y轴交抛物线于点Q，求PQ与t的函数 关系式；
如果问题变为等腰直角三角形存在性，则同样可采取上述方法，只不过三垂直得到的不 是相似，而是全等．
• （2018年湖南省怀化市）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A （﹣1，0）B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；
（3）点M是y轴上的一个点，点N是平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M、 N，使得以B、D、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若 不存在，请说明理由.
思路1：先直角，再矩形 在构成矩形的4个点中任取3个点，必构成直角三角形，以此为出发点，先确定其
中3个点构造直角三角形，再确定第4个点．
【小结】解决 矩形存在性问 题的方法相当 于在直角三角 形存在性问题 上再加一步求 D点坐标，
思路2：先平行，再矩形
当AC为对角线时，A、B、C、D满足以下3个等式，则为矩形：
存在性问题系列之二
直角三角形、矩形
晋中灵石马和中学108
一 直角三角形存在性问题
[引例] 如图，在平面直角坐标系中，点 A 坐标 为（1,1），点 B 坐标为（5,3），在 x 轴 上找一点 C 使得△ABC 是直角三角形， 求点 C 坐标．
二次函数中直角三角形存在性问题
二次函数中直角三角形存在性问题
解题方法
一、代数法：
二、几何法：
（1）先分三种情况进行构造：若已知边做直角边，过直角边的两端点作垂线，则第三个顶点在垂线上，若已知边为斜边，可取斜边为直径作圆，直角顶点在圆上
（2）计算：注意题目的几何背景，如有直接的相似则表示线段长度，进行相似求解，无直接相似则围绕顶点分别做坐标轴的平行线，构造一线三角模型进行相似求解。
专题训练
例1.如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴为直线x ＝－1，且经过A （1，0），C （0，3）两点，与x 轴的另一个交点为B .设点P 为抛物线的对称轴x ＝－1上的一个动点，求使△BPC 为直角三角形的点P 的坐标．
代数法：
（1）根据条件用坐标表示三边或三边的平方
（2）以直角顶点分三种情况，根据勾股定理列方程，解方程
（3）根据题目条件及方程解确定坐标
例2.如图，在平面直角坐标系中，已知点A 的坐标是（4，0），并且OA=OC=4OB，动点P
在过A，B，C 三点的抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在点P，使得△ACP 是以AC 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，说明理由；几何法：
例3.如图，在平面直角坐标系中，直线123
y x =-
+交x 轴于点P ，交y 轴于点A ，抛物线212y x bx c =-++的图象过点(1,0)E -，并与直线相交于A 、B 两点.⑴求抛物线的解析式（关系式）；
⑵过点A 作AC AB ⊥交x 轴于点C ，求点C 的坐标；
⑶除点C 外，在坐标轴上是否存在点M ，使得∆MAB 是直角三角形？若存在，请求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由.。
二次函数与三角形的存在性问题
_ Q_ G_P_ O中考压轴题特训：二次函数与等腰、直角三角形的存在性问题一、预备知识(1)坐标系中或抛物线上有两个点为A （x 1，y ），B （x 2，y ） 线段对称轴是直线 ：2x 21x x +=(2) 两点之间距离公式：已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ，则由勾股定理可得：221221)()(y y x x PQ -+-=练一练：已知A （0，5）和B （－2，3），则AB ＝ 。
中点公式：已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ，则线段PQ 的中点M 为⎪⎭⎫⎝⎛++222121y y ,x x 。
练一练：已知A （0，5）和B （－2，3），则线段AB 的中点坐标是（3）平面内两直线之间的位置关系：两直线分别为：L1：y=k1x+b1 L2：y=k2x+b2（1）当k1=k2，b1≠b2 ，L1∥L2 （2）当k1≠k2， ，L1与L2相交 （3）K1×k2= -1时， L1与L2垂直 二、常见考察形式（1）已知A （1,0），B （0，2），请在下面的平面直角坐标系坐标轴上找一点C ，使△ABC 是等腰三角形；总结： 两圆一线（2）已知A （-2,0），B （1，3），请在平面直角坐标系中坐标轴上找一点C ，使△ABC 是直角三角形； 总结： 两线一圆 （3）、方法总结：1、平面直角坐标系中已知一条线段，构造等腰三角形，用的是“两圆一线”：分别以线段的两个端点为圆心，线段长度为半径作圆，再作线段的垂直平分线；2、平面直角坐标系中已知一条线段，构造直角三角形，用的是“两线一圆”：分别过已知线段的两个端点作已知线段的垂线，再以已知线段为直径作圆；3、二次函数中三角形的存在性问题解题思路：（1）先分类，罗列线段的长度；（2）再画图；（3）后计算三、精讲精练1.由动点产生的等腰三角形问题（2012临沂）26如图，点A 在x 轴上，OA=4，将线段OA 绕点O 顺时针旋转120°至OB 的位置． （1）求点B 的坐标；（2）求经过点A ．O 、B 的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P ，使得以点P 、O 、B 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由．2.由动点产生的直角三角形问题26．（2018临沂中考）如图，在平面直角坐标系中，∠ACB =90°，OC =2OB ，tan ∠ABC =2，点B 的坐标为 （1，0）．抛物线y = x 2+bx +c 经过A ，B 两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 是直线AB 上方抛物线上的一点，过点P 作PD 垂直x 轴于点D ，交线段AB 于点E ，使PE =21DE ． ①求点P 的坐标；②在直线PD 上是否存在点M ，使△ABM 为直角三角形？若存在，求出符合条件的所有点M 的坐标；若不存在，请说明理由．题图第263.由动点产生的等腰直角三角形（13分）（2014•临沂）26．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x 轴交于点A （﹣1，0）和点B （1，0），直线y=2x ﹣1与y 轴交于点C ，与抛物线交于点C 、D ． （1）求抛物线的解析式；（2）求点A 到直线CD 的距离；（3）平移抛物线，使抛物线的顶点P 在直线CD 上，抛物线与直线CD 的另一个交点为Q ，点G 在y 轴正半轴上，当以G 、P 、Q 三点为顶点的三角形为等腰直角三角形时，求出所有符合条件的G 点的坐标．四、实战演1. （2018费县一轮）如图，直线2y x =+ 与抛物线26(0)y ax bx a =++≠相交于15(,)22A 和(4,)B m ，点P 是线段AB 上异于A 、B 的动点，过点P 作PC ⊥x 轴于点D ，交抛物线于点C .（1）求抛物线的解析式：（2）是否存在这样的P 点，使线段PC 的长有最大值，若存在，求出这个最大值，若不存在，请说明理由. （3）求△PAC 为直角三角形时点P 的坐标.APED BCOxy（第26题图）2.（2016临沂中考）26.（本题满分13分）如图，在平面直角坐标系中，直线y=—2x+10与x轴、y轴相交于A、B两点.点C的坐标是（8,4），连接AC、BC. （1）求过O、A、C三点的抛物线的解析式，并判断△ABC的形状；（2）动点P从点O出发，沿OB以每秒2个单位长度的速度向点B运动；同时，动点Q从点B出发，沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动.规定其中一个点到达端点时，另一个动点也随之停止运动.设运动时间为t秒，当t为何值时，PA=QA？（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使以A、B、M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。
专题01直角三角形的存在性问题(解析版)
专题一直角三角形的存在性问题【考题研究】这类问题主要是已知直角三角形的一边（即直角三角形的两个点确定），求解第三点。
这类问题主要是和动点问题结合在一起，主要在于考查学生的探寻能力和分类研究的推理能力，也是近几年来各市地对学生能力提高方面的一个考查。
【解题攻略】解直角三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根．一般情况下，按照直角顶点或者斜边分类，然后按照三角比或勾股定理列方程．有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便．解直角三角形的问题，常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起．如果直角边与坐标轴不平行，那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线，可以构造两个新的相似直角三角形，这样列比例方程比较简便．在平面直角坐标系中，两点间的距离公式常常用到．怎样画直角三角形的示意图呢？如果已知直角边，那么过直角边的两个端点画垂线，第三个顶点在垂线上；如果已知斜边，那么以斜边为直径画圆，直角顶点在圆上（不含直径的两个端点）．【解题类型及其思路】当直角三角形存在时可从三个角度进行分析研究：（1）当动点在直线上运动时，常用的方法是①121k k⋅=-，②三角形相似，③勾股定理；（2）当动点在曲线上运动时，情况分类如下，第一当已知点处作直角的方法①121k k⋅=-，②三角形相似，③勾股定理；第二是当动点处作直角的方法：寻找特殊角【典例指引】类型一【确定三角形的形状】典例指引1．（2019·辽宁中考模拟）已知，m，n是一元二次方程x2+4x+3=0的两个实数根，且|m|＜|n|，抛物线y=x2+bx+c 的图象经过点A（m，0），B（0，n），如图所示．（1）求这个抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为抛物线的顶点为D，求出点C，D的坐标，并判断△BCD的形状；（3）点P是直线BC上的一个动点（点P不与点B和点C重合），过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，点Q在直线BC上，距离点P为2个单位长度，设点P的横坐标为t，△PMQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式．【答案】（1）223y x x=--；（2）C（3，0），D（1，﹣4），△BCD是直角三角形；（3）2213(03)2213(03)22t t tSt t t t⎧-+⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩＜＜＜或＞【解析】试题分析：（1）先解一元二次方程，然后用待定系数法求出抛物线解析式；（2）先解方程求出抛物线与x轴的交点，再判断出△BOC和△BED都是等腰直角三角形，从而得到结论；（3）先求出QF=1，再分两种情况，当点P在点M上方和下方，分别计算即可．试题解析：解（1）∵2+430x x+=，∴11x=-，23x=-，∵m，n是一元二次方程2+430x x+=的两个实数根，且|m|＜|n|，∴m=﹣1，n=﹣3，∵抛物线223y x x=--的图象经过点A（m，0），B（0，n），∴10{3b cc-+==-，∴2{3bc=-=-，∴抛物线解析式为223y x x=--；（2）令y=0，则2230x x--=，∴11x=-，23x=，∴C（3，0），∵223y x x=--=2(1)4x--，∴顶点坐标D（1，﹣4），过点D作DE⊥y轴，∵OB=OC=3，∴BE=DE=1，∴△BOC和△BED都是等腰直角三角形，∴∠OBC=∠DBE=45°，∴∠CBD=90°，∴△BCD是直角三角形；（3）如图，∵B（0，﹣3），C（3，0），∴直线BC解析式为y=x﹣3，∵点P的横坐标为t，PM⊥x轴，∴点M的横坐标为t，∵点P在直线BC上，点M在抛物线上，∴P（t，t﹣3），M（t，223t t--），过点Q 作QF⊥PM，∴△PQF是等腰直角三角形，∵PQ2，∴QF=1．①当点P在点M上方时，即0＜t＜3时，PM=t﹣3﹣（223t t--）=23t t-+，∴S=12PM×QF=21(3)2t t-+=21322t t-+，②如图3，当点P在点M下方时，即t＜0或t＞3时，PM=223t t--﹣（t﹣3）=23t t-，∴S=12PM×QF=12（23t t-）=21322t t-．综上所述，S=2213(03)22{13(03)22t t tt t t t或-+<<-．【举一反三】（2019·淮滨县王店乡教育管理站中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A （﹣1，0）B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；直线AC的解析式为y=3x+3；（2）点M的坐标为（0，3）；（3）符合条件的点P的坐标为（73，209）或（103，﹣139），【解析】分析：（1）设交点式y =a （x +1）（x -3），展开得到-2a =2，然后求出a 即可得到抛物线解析式；再确定C （0，3），然后利用待定系数法求直线AC 的解析式；（2）利用二次函数的性质确定D 的坐标为（1，4），作B 点关于y 轴的对称点B ′，连接DB ′交y 轴于M ，如图1，则B ′（-3，0），利用两点之间线段最短可判断此时MB +MD 的值最小，则此时△BDM 的周长最小，然后求出直线DB ′的解析式即可得到点M 的坐标；（3）过点C 作AC 的垂线交抛物线于另一点P ，如图2，利用两直线垂直一次项系数互为负倒数设直线PC 的解析式为y =-13x +b ，把C 点坐标代入求出b 得到直线PC 的解析式为y =-13x +3，再解方程组223133y x x y x ⎧-++⎪⎨-+⎪⎩＝＝得此时P 点坐标；当过点A 作AC 的垂线交抛物线于另一点P 时，利用同样的方法可求出此时P 点坐标．详解：（1）设抛物线解析式为y =a （x +1）（x ﹣3），即y =ax 2﹣2ax ﹣3a ，∴﹣2a =2，解得a =﹣1，∴抛物线解析式为y =﹣x 2+2x +3；当x =0时，y =﹣x 2+2x +3=3，则C （0，3），设直线AC 的解析式为y =px +q ，把A （﹣1，0），C （0，3）代入得03p q q -+=⎧⎨=⎩，解得33p q =⎧⎨=⎩， ∴直线AC 的解析式为y =3x +3；（2）∵y =﹣x 2+2x +3=﹣（x ﹣1）2+4，∴顶点D 的坐标为（1，4），作B 点关于y 轴的对称点B ′，连接DB ′交y 轴于M ，如图1，则B ′（﹣3，0），∵MB =MB′，∴MB+MD=MB′+MD=DB′，此时MB+MD的值最小，而BD的值不变，∴此时△BDM的周长最小，易得直线DB′的解析式为y=x+3，当x=0时，y=x+3=3，∴点M的坐标为（0，3）；（3）存在．过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，∵直线AC的解析式为y=3x+3，∴直线PC的解析式可设为y=﹣13x+b，把C（0，3）代入得b=3，∴直线PC的解析式为y=﹣13x+3，解方程组223133y x xy x⎧-++⎪⎨-+⎪⎩＝＝，解得3xy=⎧⎨=⎩或73209xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则此时P点坐标为（73，209）；过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P，直线PC的解析式可设为y=﹣x+b，把A（﹣1，0）代入得13+b=0，解得b=﹣13，∴直线PC的解析式为y=﹣13x﹣13，解方程组223 1133y x xy x⎧-++⎪⎨--⎪⎩＝＝，解得1xy=-⎧⎨=⎩或103139xy⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则此时P点坐标为（103，﹣139）.综上所述，符合条件的点P的坐标为（73，209）或（103，﹣139）.类型二【确定点的坐标】典例指引2．19．（2019·江西中考模拟）已知抛物线l：y=ax2+bx+c（a，b，c均不为0）的顶点为M，与y轴的交点为N，我们称以N为顶点，对称轴是y轴且过点M的抛物线为抛物线l的衍生抛物线，直线MN为抛物线l的衍生直线．（1）如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3的衍生抛物线的解析式是，衍生直线的解析式是；（2）若一条抛物线的衍生抛物线和衍生直线分别是y=﹣2x2+1和y=﹣2x+1，求这条抛物线的解析式；（3）如图，设（1）中的抛物线y=x2﹣2x﹣3的顶点为M，与y轴交点为N，将它的衍生直线MN先绕点N 旋转到与x轴平行，再沿y轴向上平移1个单位得直线n，P是直线n上的动点，是否存在点P，使△POM 为直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=﹣x2﹣3, y=﹣x﹣3；（2）y=2x2﹣4x+1；（3）存在，P为（1172+，﹣2）或（1172，﹣2）或（9，﹣2）或（﹣8，﹣2）．【解析】分析：（1）衍生抛物线顶点为原抛物线与y轴的交点，则可根据顶点设顶点式方程，由衍生抛物线过原抛物线的顶点则解析式易得，MN解析式易得．（2）已知衍生抛物线和衍生直线求原抛物线思路正好与（1）相反，根据衍生抛物线与衍生直线的两交点分别为衍生抛物线与原抛物线的交点，则可推得原抛物线顶点式，再代入经过点，即得解析式．（3）由N （0，﹣3），衍生直线MN绕点N旋转到与x轴平行得到y=﹣3，再向上平移1个单位即得直线y=﹣2，所以P点可设（x，﹣2）．在坐标系中使得△POM为直角三角形一般考虑勾股定理，对于坐标系中的两点，分别过点作平行于x轴、y轴的直线，则可构成以两点间距离为斜边的直角三角形，且直角边长都为两点横纵坐标差的绝对值．进而我们可以先算出三点所成三条线的平方，然后组合构成满足勾股定理的三种情况，易得P点坐标．本题解析：（1）∵抛物线y=x2﹣2x﹣3过（0，﹣3），∴设其衍生抛物线为y=ax2﹣3，∵y=x2﹣2x﹣3=x2﹣2x+1﹣4=（x﹣1）2﹣4，∴衍生抛物线为y=ax2﹣3过抛物线y=x2﹣2x﹣3的顶点（1，﹣4），∴﹣4=a•1﹣3，解得a=﹣1，∴衍生抛物线为y=﹣x2﹣3．设衍生直线为y=kx+b，∵y=kx+b过（0，﹣3），（1，﹣4），∴304bk b -=+⎧⎨-=+⎩，∴13 kb=-⎧⎨=-⎩，∴衍生直线为y=﹣x﹣3．（2）∵衍生抛物线和衍生直线两交点分别为原抛物线与衍生抛物线的顶点，∴将y=﹣2x2+1和y=﹣2x+1联立，得22121y xy x⎧=-+⎨=-+⎩，解得1xy=⎧⎨=⎩或11xy=⎧⎨=-⎩，∵衍生抛物线y=﹣2x2+1的顶点为（0，1），∴原抛物线的顶点为（1，﹣1）．设原抛物线为y=a（x﹣1）2﹣1，∵y=a（x﹣1）2﹣1过（0，1），∴1=a（0﹣1）2﹣1，∴原抛物线为y=2x2﹣4x+1．（3）∵N（0，﹣3），∴MN绕点N旋转到与x轴平行后，解析式为y=﹣3，∴再沿y轴向上平移1个单位得的直线n解析式为y=﹣2．设点P坐标为（x，﹣2），∵O（0，0），M（1，﹣4），∴OM2=（x M﹣x O）2+（y O﹣y M）2=1+16=17，OP2=（|x P﹣x O|）2+（y O﹣y P）2=x2+4，MP2=（|x P﹣x M|）2+（y P﹣y M）2=（x﹣1）2+4=x2﹣2x+5．①当OM2=OP2+MP2时，有17=x2+4+x2﹣2x+5，解得x=117+或x=117-，即P（117+，﹣2）或P（117-，﹣2）．②当OP2=OM2+MP2时，有x2+4=17+x2﹣2x+5，解得x=9，即P（9，﹣2）．③当MP2=OP2+OM2时，有x2﹣2x+5=x2+4+17，解得x=﹣8，即P（﹣8，﹣2）．综上所述，当P为（117+，﹣2）或（117-，﹣2）或（9，﹣2）或（﹣8，﹣2）时，△POM为直角三角形．【名师点睛】本题考查了一次函数、二次函数图象及性质，勾股定理及利用其表示坐标系中两点距离的基础知识，特别注意的是：利用其表示坐标系中两点距离，是近几年中考的热点,需学生熟练运用.如图，抛物线y =﹣x 2+bx +c 的图象与x 轴交于A （﹣5，0），B （1，0）两点，与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴与x 轴交于点D ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，点E （x ，y ）为抛物线上一点，且﹣5＜x ＜﹣2，过点E 作EF ∥x 轴，交抛物线的对称轴于点F ，作EH ⊥x 轴于点H ，得到矩形EHDF ，求矩形EHDF 周长的最大值；（3）如图2，点P 为抛物线对称轴上一点，是否存在点P ，使以点P ，A ，C 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y =﹣x 2﹣4x +5．（2）372；（3）P 坐标为（﹣2，7）或（﹣2，﹣3）或（﹣2，6）或（﹣2，﹣1）．【解析】试题分析：（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）构建二次函数利用二次函数的性质即可解决问题；（3）分三种情形分别求解①当90,ACP ∠=o 由222AC PC PA +=， 列出方程即可解决．②当90CAP ∠=︒时，由222AC PA PC +=， 列出方程即可解决．③当90APC ∠=︒ 时，由222PA PC AC +=，列出方程即可；试题解析：(1)把A (−5,0),B (1,0)两点坐标代入2y x bx c =-++， 得到255010b c b c --+=⎧⎨-++=⎩，解得45b c =-⎧⎨=⎩， ∴抛物线的函数表达式为24 5.y x x =--+(2)如图1中，∵抛物线的对称轴x =−2,2(,45)E x x x ，--+ ∴2452EH x x EF x =--+=--，，∴矩形EFDH 的周长225372()2(53)2().22EH EF x x x =+=--+=-++ ∵−2<0， ∴52x =-时,矩形EHDF 的周长最大,最大值为37.2 (3)如图2中,设P (−2,m )①当90,ACP ∠=o ∵222AC PC PA +=，∴22222(52)2(5)3m m ++-=+，解得m =7，∴P 1(−2,7).②当90CAP ∠=o 时,∵222AC PA PC +=，∴22222(52)32(5)m m ++=+-，解得m =−3，∴P 2(−2,−3).③当90APC ∠=o 时,∵222PA PC AC +=，∴2222232(5)(52)m m ，+++-=解得m=6或−1，∴P3(−2,6),P4(−2,−1)，综上所述,满足条件的点P坐标为(−2,7)或(−2,−3)或(−2,6)或(−2,−1).类型三【确定动点运动的时间】典例指引3．已知二次函数y＝ax2＋bx－2的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为(4，0)，且当x ＝－2和x＝5时二次函数的函数值y相等．(1)求实数a，b的值；(2)如图①，动点E，F同时从A点出发，其中点E以每秒2个单位长度的速度沿AB边向终点B运动，点F5AC方向运动．当点E停止运动时，点F随之停止运动．设运动时间为t秒．连接EF，将△AEF沿EF翻折，使点A落在点D处，得到△DEF.①是否存在某一时刻t，使得△DCF为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；②设△DEF与△ABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式．【解析】试题分析：（1）根据抛物线图象经过点A以及“当x=﹣2和x=5时二次函数的函数值y相等”两个条件，列出方程组求出待定系数的值．（2）①首先由抛物线解析式能得到点A、B、C三点的坐标，则线段OA、OB、OC的长可求，进一步能得出AB、BC、AC的长；首先用t表示出线段AD、AE、AF（即DF）的长，则根据AE、EF、OA、OC的长以及公共角∠OAC能判定△AEF、△AOC相似，那么△AEF也是一个直角三角形，及∠AEF是直角；若△DCF 是直角，可分成三种情况讨论：i）点C为直角顶点，由于△ABC恰好是直角三角形，且以点C为直角顶点，所以此时点B、D重合，由此得到AD的长，进而求出t的值；ii）点D为直角顶点，此时∠CDB与∠CBD恰好是等角的余角，由此可证得OB=OD，再得到AD的长后可求出t的值；iii）点F为直角顶点，当点F在线段AC上时，∠DFC是锐角，而点F在射线AC的延长线上时，∠DFC 又是钝角，所以这种情况不符合题意．②此题需要分三种情况讨论：i ）当点E 在点A 与线段AB 中点之间时，两个三角形的重叠部分是整个△DEF ；ii ）当点E 在线段AB 中点与点O 之间时，重叠部分是个不规则四边形，那么其面积可由大直角三角形与小钝角三角形的面积差求得；iii ）当点E 在线段OB 上时，重叠部分是个小直角三角形．试题解析：解：（1）由题意得： 16420{ 4222552a b a b a b +-=--=+-，解得：a =12，b =32-． （2）①由（1）知二次函数为213222y x x =--.∵A （4，0），∴B （﹣1，0），C （0，﹣2），∴OA =4，OB =1，OC =2，∴AB =5，AC =BC AC 2+BC 2=25=AB 2，∴△ABC 为直角三角形，且∠ACB =90°．∵AE =2t ，AF ，∴AF AB AE AC ==又∵∠EAF =∠CAB ，∴△AEF ∽△ACB ，∴∠AEF =∠ACB =90°，∴△AEF 沿EF 翻折后，点A 落在x 轴上点D 处；由翻折知，DE =AE ，∴AD =2AE =4t ，EF =12AE =t ． 假设△DCF 为直角三角形，当点F 在线段AC 上时： ⅰ）若C 为直角顶点，则点D 与点B 重合，如图2，∴AE =12AB =52t =52÷2=54； ⅱ）若D 为直角顶点，如图3．∵∠CDF =90°，∴∠ODC +∠EDF =90°．∵∠EDF =∠EAF ，∴∠OBC +∠EAF =90°，∴∠ODC =∠OBC ，∴BC =DC ．∵OC ⊥BD ，∴OD =OB =1，∴AD =3，∴AE =32，∴t =34； 当点F 在AC 延长线上时，∠DFC ＞90°，△DCF 为钝角三角形．综上所述，存在时刻t ，使得△DCF 为直角三角形，t =34或t =54． ②ⅰ）当0＜t ≤54时，重叠部分为△DEF ，如图1、图2，∴S =12×2t ×t =t 2； ⅱ）当54＜t ≤2时，设DF 与BC 相交于点G ，则重叠部分为四边形BEFG ，如图4，过点G 作GH ⊥BE 于H ，设GH =m ，则BH = 12m ，DH =2m ，∴DB =32m ． ∵DB =AD ﹣AB =4t ﹣5，∴ 32m =4t ﹣5，∴m =23（4t ﹣5），∴S =S △DEF ﹣S △DBG =12×2t ×t ﹣12（4t ﹣5）×23（4t ﹣5）=2134025333t t -+-； ⅲ）当2＜t ≤52时，重叠部分为△BEG ，如图5． ∵BE =DE ﹣DB =2t ﹣（4t ﹣5）=5﹣2t ，GE =2BE =2（5﹣2t ），∴S =12×（5﹣2t ）×2（5﹣2t ）=4t 2﹣20t +25． 综上所述： 2225(0)41340255{(2) 3334542025(2)2t t S t t t t t t <≤=-+-<≤-+<≤ ．【名师点睛】此题主要考查的是动点函数问题，涉及了函数解析式的确定、直角三角形以及相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质以及图形面积的解法等综合知识；第二题的两个小题涉及的情况较多，一定要根据动点的不同位置来分类讨论，抓住动点的关键位置来确定未知数的取值范围是解题的关键所在．【举一反三】（2018·河北中考模拟）如图，在平面直角坐标系xOy 中，A 、B 为x 轴上两点，C 、D 为y 轴上的两点，经过点A 、C 、B 的抛物线的一部分C 1与经过点A 、D 、B 的抛物线的一部分C 2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线称为“蛋线”．已知点C 的坐标为（0，），点M 是抛物线C 2：2y mx 2mx 3m =--（m ＜0）的顶点．（1）求A 、B 两点的坐标；（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P ，使得△PBC 的面积最大？若存在，求出△PBC 面积的最大值；若不存在，请说明理由；（3）当△BDM 为直角三角形时，求m 的值．【答案】（1）A （，0）、B （3，0）；（2）存在．S △PBC 最大值为2716；（3）2m 2=-或1m =-时，△BDM 为直角三角形．【解析】【分析】（1）在2y mx 2mx 3m =--中令y =0，即可得到A 、B 两点的坐标．（2）先用待定系数法得到抛物线C 1的解析式，由S △PBC = S △POC + S △BOP –S △BOC 得到△PBC 面积的表达式，根据二次函数最值原理求出最大值．（3）先表示出DM 2，BD 2，MB 2，再分两种情况：①∠BMD =90°时；②∠BDM =90°时，讨论即可求得m 的值．【详解】解：（1）令y =0，则2mx 2mx 3m 0--=，∵m ＜0，∴2x 2x 30--=，解得：1x 1=-，2x 3=．∴A （，0）、B （3，0）． （2）存在．理由如下：∵设抛物线C 1的表达式为()()y a x 1x 3=+-（a 0≠），把C （0，32-）代入可得，12a =．∴Ｃ1的表达式为：()()1y x 1x 32=+-，即213y x x 22=--． 设P （p ，213p p 22--）， ∴ S △PBC = S △POC + S △BOP –S △BOC =23327p 4216--+（）． ∵3a 4=-<0，∴当3p 2=时,S △PBC 最大值为2716． （3）由C 2可知： B （3，0），D （0，3m -），M （1，4m -），∴BD 2=29m 9+，BM 2=216m 4+，DM 2=2m 1+．∵∠MBD <90°, ∴讨论∠BMD =90°和∠BDM =90°两种情况：当∠BMD =90°时，BM 2+ DM 2= BD 2，即216m 4+＋2m 1+=29m 9+，解得：12m =22m =(舍去)． 当∠BDM =90°时，BD 2+ DM 2= BM 2，即29m 9+＋2m 1+=216m 4+，解得：1m 1=-，2m 1=(舍去) ．综上所述，2m =或1m =-时，△BDM 为直角三角形． 【新题训练】1．（2019·重庆实验外国语学校初三）如图1，已知抛物线y ＝﹣23384x +x +3与x 轴交于A 和B 两点，（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．（1）求出直线BC 的解析式．（2）M 为线段BC 上方抛物线上一动点，过M 作x 轴的垂线交BC 于H ，过M 作MQ ⊥BC 于Q ，求出△MHQ 周长最大值并求出此时M 的坐标；当△MHQ 的周长最大时在对称轴上找一点R ，使|AR ﹣MR |最大，求出此时R 的坐标．（3）T 为线段BC 上一动点，将△OCT 沿边OT 翻折得到△OC ′T ，是否存在点T 使△OC ′T 与△OBC 的重叠部分为直角三角形，若存在请求出BT 的长，若不存在，请说明理由．【答案】（1）y ＝﹣34x +3；（2）R （1，92）；（3）BT ＝2或BT ＝165． 【详解】 解：（1）令y =0，即2333084x x -++=，解得122,4x x =-=， ∵点A 在点B 的左侧∴A （﹣2，0），B （4，0），令x =0解得y =3，∴C （0，3），设BC 所在直线的解析式为y =kx +3， 将B 点坐标代入解得k =34-∴BC 的解析式为y ＝-34x +3； （2）∵MQ ⊥BC ，M 作x 轴，∴∠QMH ＝∠CBO ，∴tan ∠QMH ＝tan ∠CBO ＝34， ∴QH ＝34QM ，MH ＝54MQ ， ∴△MHQ 周长＝MQ +QH +MH ＝34QM +QM +54MQ ＝3QM ， 则求△MHQ 周长的最大值，即为求QM 的最大值； 设M （m ，233384m m -++）， 过点M 与BC 直线垂直的直线解析式为243733812y x m m =--+， 直线BC 与其垂线相交的交点22972721,35025200100Q m m m m ⎛⎫+--+⎪⎝⎭， ∴()23=410MQ m m -+，∴当m＝2时，MQ有最大值65，∴△MHQ周长的最大值为185，此时M（2，3），函数的对称轴为x＝1，作点M关于对称轴的对称点M'（0，3），连接AM'与对称轴交于点R，此时|AR﹣MR|＝|AR﹣M'R|＝AM'，∴|AR﹣MR|的最大值为AM'；∵AM'的直线解析式为y＝32x+3，∴R（1，92）；（3）①当TC'∥OC时，GO⊥TC'，∵△OCT≌△OTC'，∴3412=55 OG⨯＝，∴12655 T⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴BT＝2；②当OT⊥BC时，过点T作TH⊥x轴，OT＝125，∵∠BOT＝∠BCO，∴3=1255cOo BOTHs∠＝，∴OH＝36 25，∴36482525 T⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴BT＝165；综上所述：BT＝2或BT＝165．2．（2019·福建师范大学附属中学初中部初三月考）如图，抛物线y＝mx2+nx﹣3（m≠0）与x轴交于A(﹣3，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C，直线y＝﹣x与该抛物线交于E，F两点．（1）求点C坐标及抛物线的解析式．（2）P是直线EF下方抛物线上的一个动点，作PH⊥EF于点H，求PH的最大值．（3）以点C为圆心，1为半径作圆，⊙C上是否存在点D，使得△BCD是以CD为直角边的直角三角形？若存在，直接写出D点坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝x2+2x﹣3；（2212；（3）点D的坐标为：310，﹣310)、(310﹣10)、(1，﹣3)【详解】 解：（1）∵抛物线与x 轴交于A (﹣3，0)，B (1，0)两点，∴抛物线的表达式为：()22(3)(1)23=23=+-=+-+-y a x x a x x ax ax a ，即﹣3a ＝﹣3，解得：a ＝1，故抛物线的表达式为：y ＝x 2+2x ﹣3；（2）过点P 作PM ∥y 轴交直线EF 于点M ，设点P (x ，x 2+2x ﹣3)、点M (x ，﹣x )，则PH ＝22PM ＝()2222321223=2228⎛⎫---+-++ ⎪⎝⎭x x x x ， 当x ＝﹣32时，PH 的最大值为2128； （3）①当∠BCD ＝90°时，如图2左侧图，当点D 在BC 右侧时，过点D 作DM ⊥y 轴于点M ，则CD ＝1，OB ＝1，OC ＝3，tan ∠BCO ＝13＝tan ∠CDM ＝tanα，则sinα10，cosα10x D ＝CDcosα＝310，同理y D ＝﹣3﹣10， 故点D (310，﹣3﹣1010)； 同理当点D （D ′）在BC 的左侧时，同理可得：点D ′(﹣310，﹣3+10)； ②当∠CDB ＝90°时，如右侧图，CD ＝OB ＝1，则点D (1，﹣3)；综上，点D 的坐标为：(310，﹣3﹣10)、(﹣310，﹣3+10)、(1，﹣3)． 3．（2019·四川中考真题）如图，顶点为(3,3)P 的二次函数图象与x 轴交于点(6,0)A ，点B 在该图象上，OB 交其对称轴l 于点M ，点M 、N 关于点P 对称，连接BN 、ON ．（1）求该二次函数的关系式．（2）若点B 在对称轴l 右侧的二次函数图象上运动，请解答下列问题：①连接OP ，当12OP MN =时，请判断NOB ∆的形状，并求出此时点B 的坐标． ②求证：BNM ONM ∠=∠．【答案】（1）二次函数的关系式为2211y (x 3)3x 2x 33=--+=-+；（2）①NOB ∆是等腰直角三角形，此时点B 坐标为(332,3)+-；②见解析【详解】解：（1）∵二次函数顶点为(3,3)P∴设顶点式2(3)3y a x =-+∵二次函数图象过点(6,0)A∴2(63)30a -+=，解得：13a =- ∴二次函数的关系式为2211y (x 3)3x 2x 33=--+=-+（2）设21(,2)(3)3B b b b b -+>∴直线OB 解析式为：1(2)3y b x =-+∵OB 交对称轴l 于点M∴当3M x =时，1(2)363M y b b =-+⨯=-+∴(3,6)M b -+∵点M 、N 关于点P 对称∴3(6)3NP MP b b ==--+=-，∴33N y b b =+-=，即(3,)N b ①∵12OP MN = ∴OP MP =3b =-解得：3b =+∴22112(32(3333b b -+=-⨯++⨯+=-∴(33)B +-，(3,3N +∴222(3(3)36OB =++-=+2223(336ON =++=+B 222(33)(3372BN =++---=+∴OB ON =，222OB ON BN +=∴NOB ∆是等腰直角三角形，此时点B 坐标为(33)+-．②证明：如图，设直线BN 与x 轴交于点D∵21(,2)3B b b b-+、(3,)N b设直线BN解析式为y kx d=+∴21233kb d b bk d b⎧+=-+⎪⎨⎪+=⎩解得：1k b3d2b⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴直线BN：123y bx b=-+当0y=时，1203bx b-+=，解得：6x=∴(6,0)D∵(3,0)C，NC x⊥轴∴NC垂直平分OD∴ND NO=∴BNM ONM∠=∠4．（2018·贵州中考真题）如图，已知抛物线2(0)y ax bx c a=++≠的对称轴为直线1x=-，且抛物线与x 轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其中(1,0)A，(0,3)C.（1）若直线y mx n=+经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴1x=-上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M 的坐标；（3）设点P为抛物线的对称轴1x=-上的一个动点，求使BPC∆为直角三角形的点P的坐标.【答案】（1）抛物线的解析式为223y x x=--+，直线的解析式为3y x=+.（2）(1,2)M-；（3）P的坐标为(1,2)--或(1,4)-或317(1,)2+-或317(1,)2--.【详解】（1）依题意得：123baa b cc⎧-=-⎪⎪++=⎨⎪=⎪⎩，解得：123abc=-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，∴抛物线的解析式为223y x x=--+.∵对称轴为1x=-，且抛物线经过()1,0A，∴把()3,0B-、()0,3C分别代入直线y mx n=+，得303m nn-+=⎧⎨=⎩，解之得：13mn=⎧⎨=⎩，∴直线y mx n=+的解析式为3y x=+.（2）直线BC与对称轴1x=-的交点为M，则此时MA MC+的值最小，把1x=-代入直线3y x=+得2y=，∴()1,2M-.即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为()1,2-.（注：本题只求M坐标没说要求证明为何此时MA MC+的值最小，所以答案未证明MA MC+的值最小的原因）.（3）设()1,P t-，又()3,0B-，()0,3C，∴218BC =，()2222134PB t t =-++=+，()()222213610PC t t t =-+-=-+，①若点B 为直角顶点，则222BC PB PC +=，即：22184610t t t ++=-+解得：2t =-，②若点C 为直角顶点，则222BC PC PB +=，即：22186104t t t +-+=+解得：4t =， ③若点P 为直角顶点，则222PB PC BC +=，即：22461018t t t ++-+=解得： 1317t +=，2317t -=. 综上所述P 的坐标为()1,2--或()1,4-或3171,⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭或3171,⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭.5．（2018·四川中考真题）如图①,已知抛物线y =ax 2+bx +c 的图像经过点A （0，3)、B （1，0），其对称轴为直线l ：x =2，过点A 作AC ∥x 轴交抛物线于点C ，∠AOB 的平分线交线段AC 于点E ，点P 是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m .（1）求抛物线的解析式；（2）若动点P 在直线OE 下方的抛物线上，连结PE 、PO ，当m 为何值时，四边形AOPE 面积最大，并求出其最大值；（3）如图②，F 是抛物线的对称轴l 上的一点，在抛物线上是否存在点P 使△POF 成为以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）y =x 2-4x +3.（2）当m =52时，四边形AOPE 面积最大，最大值为758.（3）P 点的坐标为 ：P 13+515-），P 235-，1+5），P 35+51+5），P 455-15-. 【详解】（1）如图1，设抛物线与x 轴的另一个交点为D ，由对称性得：D（3，0），设抛物线的解析式为：y=a（x-1）（x-3），把A（0，3）代入得：3=3a，a=1，∴抛物线的解析式；y=x2-4x+3；（2）如图2，设P（m，m2-4m+3），∵OE平分∠AOB，∠AOB=90°，∴∠AOE=45°，∴△AOE是等腰直角三角形，∴AE=OA=3，∴E（3，3），易得OE的解析式为：y=x，过P作PG∥y轴，交OE于点G，∴G（m，m），∴PG=m-（m2-4m+3）=-m2+5m-3，∴S四边形AOPE=S△AOE+S△POE，=12×3×3+12PG•AE，=92+12×3×（-m2+5m-3），=-32m2+152m，=32（m-52）2+758，∵-32＜0，∴当m=52时，S有最大值是758；（3）如图3，过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交l于N，∵△OPF是等腰直角三角形，且OP=PF，易得△OMP≌△PNF，∴OM=PN，∵P（m，m2-4m+3），则-m2+4m-3=2-m，解得：m=5+52或552-∴P 5+51+555-15-）；如图4，过P作MN⊥x轴于N，过F作FM⊥MN于M，同理得△ONP ≌△PMF ， ∴PN =FM ，则-m 2+4m -3=m -2，解得：x =3+5或35-； P 的坐标为（3+5，152-）或（352-，1+52）； 综上所述，点P 的坐标是：（5+5，1+5）或（55-，15-）或（3+5，15-）或（35-，1+52）． 6．（2019·云南中考模拟）已知，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过点A （﹣1，0）和C （0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上，是否存在点P ，使P A +PC 的值最小？如果存在，请求出点P 的坐标，如果不存在，请说明理由；（3）设点M 在抛物线的对称轴上，当△MAC 是直角三角形时，求点M 的坐标．【答案】（1）223y x x =-++；（2）当PA PC +的值最小时，点P 的坐标为()1,2；（3）点M 的坐标为()1,1、()1,2、81,3⎛⎫ ⎪⎝⎭或21,3⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【详解】解：()1将()1,0A -、()0,3C 代入2y x bx c =-++中， 得：{103b c c --+==，解得：{23b c ==， ∴抛物线的解析式为223y x x =-++．()2连接BC 交抛物线对称轴于点P ，此时PA PC +取最小值，如图1所示．当0y =时，有2230x x -++=，解得：11x =-，23x =，∴点B 的坐标为()3,0．Q 抛物线的解析式为2223(1)4y x x x =-++=--+，∴抛物线的对称轴为直线1x =．设直线BC 的解析式为()0y kx d k =+≠，将()3,0B 、()0,3C 代入y kx d =+中，得：{303k d d +==，解得：{13k d =-=， ∴直线BC 的解析式为3y x =-+．Q 当1x =时，32y x =-+=，∴当PA PC +的值最小时，点P 的坐标为()1,2．()3设点M 的坐标为()1,m ，则22(10)(3)CM m =-+-，()22[01](30)10AC =--+-=，()22[11](0)AM m =--+-． 分三种情况考虑：①当90AMC ∠=o 时，有222AC AM CM =+，即22101(3)4m m =+-++，解得：11m =，22m =，∴点M 的坐标为()1,1或()1,2；②当90ACM ∠=o 时，有222AM AC CM =+，即224101(3)m m +=++-，解得：83m =， ∴点M 的坐标为81,3⎛⎫ ⎪⎝⎭； ③当90CAM ∠=o 时，有222CM AM AC =+，即221(3)410m m +-=++，解得：23m =-， ∴点M 的坐标为21,.3⎛⎫- ⎪⎝⎭综上所述：当MAC V 是直角三角形时，点M 的坐标为()1,1、()1,2、81,3⎛⎫⎪⎝⎭或21,.3⎛⎫- ⎪⎝⎭7．（2019·黑龙江中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =ax 2+2x +c 与x 轴交于A （﹣1，0）B （3，0）两点，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线y =ax 2+2x +c 的解析式:；（2）点D 为抛物线上对称轴右侧、x 轴上方一点，DE ⊥x 轴于点E ，DF ∥AC 交抛物线对称轴于点F ，求DE +DF 的最大值；（3）①在拋物线上是否存在点P ，使以点A ，P ，C 为顶点，AC 为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；②点Q 在抛物线对称轴上，其纵坐标为t ，请直接写出△ACQ 为锐角三角形时t 的取值范围．【答案】（1）y =﹣x 2+2x +3；（2）DE +DF 有最大值为132；（3）①存在，P 的坐标为（73，209）或（103，139-）；②23-＜t ＜83． 【详解】解：（1）设抛物线解析式为y =a （x +1）（x ﹣3），即y =ax 2﹣2ax ﹣3a ，∴﹣2a =2，解得a =﹣1，∴抛物线解析式为y =﹣x 2+2x +3；（2）当x =0时，y =﹣x 2+2x +3=3，则C （0，3），设直线AC 的解析式为y =px +q ，把A （﹣1，0），C （0，3）代入得03p q q -+=⎧⎨=⎩，解得33p q =⎧⎨=⎩，∴直线AC 的解析式为y =3x +3，如答图1，过D 作DG 垂直抛物线对称轴于点G ，设D （x ，﹣x 2+2x +3），∵DF ∥AC ，∴∠DFG =∠ACO ，易知抛物线对称轴为x =1，∴DG =x -1，DF 10x -1），∴DE +DF =﹣x 2+2x 10（x -1）=﹣x 2+（10）x 10，∴当x =101+，DE +DF 有最大值为132；答图1 答图2（3）①存在；如答图2，过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P1，∵直线AC的解析式为y=3x+3，∴直线PC的解析式可设为y=13-x+m，把C（0，3）代入得m=3，∴直线P1C的解析式为y=13-x+3，解方程组223133y x xy x⎧=-++⎪⎨=-+⎪⎩，解得3xy=⎧⎨=⎩或73209xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则此时P1点坐标为（73，209）；过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P2，直线AP2的解析式可设为y=13-x+n，把A（﹣1，0）代入得n=13 -，∴直线PC的解析式为y=1133x--，解方程组2231133y x xy x⎧=-++⎪⎨=--⎪⎩，解得1xy=-⎧⎨=⎩或103139xy⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则此时P2点坐标为（103，139-），综上所述，符合条件的点P的坐标为（73，209）或（103，139-）；②23-＜t＜83．8．（2019·广西中考模拟）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，抛物线与x轴的另一交点为B．（1）若直线y =mx +n 经过B 、C 两点，求直线BC 和抛物线的解析式；（2）设点P 为抛物线的对称轴x =﹣1上的一个动点，求使△BPC 为直角三角形的点P 的坐标．【答案】（1）y =x +3， y =﹣x 2﹣2x +3；（2）（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1，3172） 或（﹣1，3172） 【详解】解：（1）∵抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）的对称轴为直线x =﹣1，且抛物线经过A （1，0），抛物线与x 轴的另一交点为B ，∴B 的坐标为：（﹣3，0），设抛物线的解析式为：y =a （x ﹣1）（x +3），把C （0，3）代入，﹣3a =3，解得：a =﹣1，∴抛物线的解析式为：y =﹣（x ﹣1）（x +3）=﹣x 2﹣2x +3；把B （﹣3，0），C （0，3）代入y =mx +n 得： 30{3m n n -+==， 解得：1{3m n ==，∴直线y =mx +n 的解析式为：y =x +3；（2）设P （﹣1，t ），又∵B （﹣3，0），C （0，3），∴BC 2=18，PB 2=（﹣1+3）2+t 2=4+t 2，PC 2=（﹣1）2+（t ﹣3）2=t 2﹣6t +10，①若点B 为直角顶点，则BC 2+PB 2=PC 2，即：18+4+t 2=t 2﹣6t +10，解之得：t =﹣2；②若点C 为直角顶点，则BC 2+PC 2=PB 2，即：18+t2﹣6t+10=4+t2，解之得：t=4，③若点P为直角顶点，则PB2+PC2=BC2，即：4+t2+t2﹣6t+10=18，解之得：t1=3172+，t2=3172-；综上所述P的坐标为（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1，3172+）或（﹣1，3172-）．9．（2019·山东中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，∠ACB=90°，OC=2OB，tan∠ABC=2，点B的坐标为（1，0）．抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线AB上方抛物线上的一点，过点P作PD垂直x轴于点D，交线段AB于点E，使PE=12 DE．①求点P的坐标；②在直线PD上是否存在点M，使△ABM为直角三角形？若存在，求出符合条件的所有点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=﹣x2﹣3x+4；（2）①P（﹣1，6），②存在，M（﹣1，111，311）或（﹣1，﹣1）或（﹣1，132）．【详解】解：（1）∵B（1，0），∴OB=1，∵OC=2OB=2，∴C（﹣2，0），Rt△ABC中，tan∠ABC=2，∴AC2BC=，∴AC23=，∴AC=6，∴A（﹣2，6），把A（﹣2，6）和B（1，0）代入y=﹣x2+bx+c得：42610b cb c--+=⎧⎨-++=⎩，解得：34bc=-⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣3x+4；（2）①∵A（﹣2，6），B（1，0），∴AB的解析式为：y=﹣2x+2，设P（x，﹣x2﹣3x+4），则E（x，﹣2x+2），∵PE=12 DE，∴﹣x2﹣3x+4﹣（﹣2x+2）=12（﹣2x+2），∴x=-1或1（舍），∴P（﹣1，6）；②∵M在直线PD上，且P（﹣1，6），设M（﹣1，y），∵B（1，0），A（﹣2，6）∴AM2=（﹣1+2）2+（y﹣6）2=1+（y﹣6）2，BM2=（1+1）2+y2=4+y2，AB2=（1+2）2+62=45，分三种情况：i）当∠AMB=90°时，有AM2+BM2=AB2，∴1+（y﹣6）2+4+y2=45，解得：y=311，∴M（﹣1，3+11）或（﹣1，3﹣11）；ii）当∠ABM=90°时，有AB2+BM2=AM2，∴45+4+y2=1+（y﹣6）2，∴y=﹣1，∴M（﹣1，﹣1），iii）当∠BAM=90°时，有AM2+AB2=BM2，∴1+（y﹣6）2+45=4+y2，∴y=132，∴M（﹣1，132）；综上所述，点M的坐标为：∴M（﹣1，3+11）或（﹣1，3﹣11）或（﹣1，﹣1）或（﹣1，132）．10．（2019·山东中考模拟）已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C （﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P运动到什么位置时，△P AB的面积有最大值？（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣12x2+2x+6；（2）当t=3时，△P AB的面积有最大值；（3）点P（4，6）．【详解】（1）∵抛物线过点B （6，0）、C （﹣2，0），∴设抛物线解析式为y =a （x ﹣6）（x +2），将点A （0，6）代入，得：﹣12a =6，解得：a =﹣12， 所以抛物线解析式为y =﹣12（x ﹣6）（x +2）=﹣12x 2+2x +6； （2）如图1，过点P 作PM ⊥OB 与点M ，交AB 于点N ，作AG ⊥PM 于点G ，设直线AB 解析式为y =kx +b ， 将点A （0，6）、B （6，0）代入，得：660b k b =⎧⎨+=⎩， 解得：16k b =-⎧⎨=⎩， 则直线AB 解析式为y =﹣x +6， 设P （t ，﹣12t 2+2t +6）其中0＜t ＜6， 则N （t ，﹣t +6）， ∴PN =PM ﹣MN =﹣12t 2+2t +6﹣（﹣t +6）=﹣12t 2+2t +6+t ﹣6=﹣12t 2+3t ， ∴S △P AB =S △P AN +S △PBN=12PN •AG +12PN •BM =12PN •（AG +BM ） =12PN •OB =12×（﹣12t 2+3t ）×6=﹣32t 2+9t =﹣32（t ﹣3）2+272， ∴当t =3时，△P AB 的面积有最大值；（3）△PDE 为等腰直角三角形，则PE =PD ，点P （m ，-12m 2+2m +6）， 函数的对称轴为：x =2，则点E 的横坐标为：4-m ，则PE =|2m -4|，即-12m 2+2m +6+m -6=|2m -4|， 解得：m =4或-2或5+17或5-17（舍去-2和5+17）故点P 的坐标为：（4，6）或（5-17，317-5）．11．（2019·陕西中考模拟）如图，已知直线y kx 6=-与抛物线2y ax bx c =++相交于A ，B 两点，且点A （1，－4）为抛物线的顶点，点B 在x 轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的第二象限图象上是否存在一点P ，使△POB 与△POC 全等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点Q 是y 轴上一点，且△ABQ 为直角三角形，求点Q 的坐标．【答案】解：（1）2y x 2x 3=--；（2）存在，P 1-1313-1）；（3）Q 点坐标为（0，-72）或（0，32）或（0，－1）或（0，－3）.。
二次函数中直角三角形的存在性问题
知识讲解
〔难点突破〕
在两定点，确定第三点构成直角三角形时，要么以两定点为直角顶点，要么以动点为直角顶点。以定点为直角顶点时，构造两条直线与直线垂直；以动点为直角顶点时，以线段为直径构造圆找点。
小结
数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休。平时一定要利用数形结合思想去解决实际问题。
教师姓名
肖金凤
单位名称
填写时间
2021年8月23日
学科
ห้องสมุดไป่ตู้数学
年级/册
九年级
教材版本
人教版
课题名称
第22章二次函数-二次函数中直角三角形存在性问题
难点名称
如何把存在的点找全
难点分析
从知识角度分析为什么难
因为学生不会分类讨论，考虑问题不全面，不会用图形的方法找存在的点。不会用数形结合思想解决问题。
从学生角度分析为什么难
二次函数做为压轴题出现，学生想当然的认为难，而直接放弃。会用代数方法计算，但是不会用图像法找点。
难点教学方法
1、通过分类思想，先把复杂问题简单化；
2、通过用希沃白板5的画板作图，直观的找到存在的点在“两线一圆〞上；
3、通过例题的讲解让学生更好的理解数形结合思想。
教学环节
教学过程
导入
1、如图，抛物线y=a +bx+c〔a≠0〕的对称轴为直线x=﹣1，且抛物线经过B〔-3，0〕，C〔0，3〕两点，与x轴交于点A．
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直角三角形的存在性问题代数法
1.写出三边的平方
2.分类列方程
3.解方程
几何法
1.分类
2.画图——“两线一圆”
3.计算
例1.如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(－3，0)，B(1，0)，C(0，－3)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P为第三象限内抛物线上的一点，设△PAC的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标；
(3)设抛物线的顶点为D，DE⊥x轴于点E，在y轴上是否存在点M，使得△ADM是直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
例 2.如图，在直角坐标系中，R t△O A B的直角顶点A在x轴上，O A=4，A B=3.动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿AO向终点O 移动；同时点N从点O出发，以每秒 1.25个单位长度的速度，沿O B 向终点B移动.当两个动点运动了x秒(0<x<4)时，
解答下列问题：
(1)求点N的坐标(用含x的代数式表示)；
(2)设△O M N的面积是S，求S与x之间的函数表达式；当x为何值时，S有最大值？最大值是多少？
(3)在两个动点运动过程中，是否存在某一时刻，使△O M N是直角三角形？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由.
例 3.(2015·益阳中考)已知抛物线E1：y=x2经过点A(1，m)，以原点为顶点的抛物线E2经过点B(2，2)，点A，B关于y轴的对称点分别为点A′，B′.
(1)求m的值及抛物线E2所表示的二次函数的表达式.
(2)如图1，在第一象限内，抛物线E1上是否存在点Q，使得以点Q，B，B′为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
(3)如图2，P为第一象限内的抛物线E1上与点A不重合的一点，连接O P并延长与抛物线E2相交于点P′，求△P AA′与△P′BB′的面积之比.。