江西省九江市2021届新高考第一次适应性考试数学试题含解析

新课标全国1卷2021-2021年普通高考适应性考试数学试卷含答案

普通高考适应性考试(kǎoshì)数学（新课标全国(quán ɡuó)Ⅰ卷）注意事项：1. 本试卷(shìjuàn)分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答卷前，考生(kǎoshēng)务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

2. 回答(huídá)第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

写在本试卷上无效。

3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）若复数的实部与虚部相等，则实数 A（A）（B）1 （C）（D）2（2）已知只有一个子集，则的取值范围是B（A）（B）（C）（D）不存在（3）在如图所示的流程图中，若输入的a，b，c值分别是2，4，5，则输出的A（A）1（B）2（C）lg2（D）10（4）命题“有些相互垂直的两直线不相交”的否定是C（A）有些(yǒuxiē)相互垂直的两直线相交（B）有些不相互垂直(chuízhí)的两直线不相交（C）任意相互垂直(chuízhí)的两直线相交（D）任意相互垂直的两直线(zhíxiàn)不相交（5）已知函数(hánshù)为奇函数，且在上单调递增，则以下结论正确的是D （A）函数为偶函数，且在上单调递增（B）函数)f为奇函数，且在)0,(x(-∞上单调递增（C）函数为奇函数，且在),0(+∞上单调递增（D）函数)f为偶函数，且在)(x,0(+∞上单调递增（6）将函数的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移个单位，所得函数图像的一个对称中心为D（A）（B）（C）（D）（7）已知抛物线上一点到其焦点的距离为，双曲线的左顶点为，若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则实数的值为B（A）（B）（C）（D）3（8）在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢．问：几日相逢？A（A）9日（B）8日（C）16日（D）12日（9）某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品需用4个A配件耗时1h，每生产一件乙产品需用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得24个A配件和16个B配件，每天生产总耗时不超过8h. 若生产一件甲产品获利3万元，生产一件乙产品获利4万元，则通过恰当的生产安排，该工厂每天可获得的最大利润为B（A）24万元（B）22万元（C）18万元（D）16万元（10）如图所示为某几何体的三视图，其体积为，则该几何体的表面积为D（A）（B）（C）（D）（11）在平面(píngmiàn)直角坐标系中有不共线(ɡònɡ xiàn)三点,,.实数(shìshù)满足(mǎnzú)，则以为起点(qǐdiǎn)的向量的终点连线一定过点C（A）（B）（C）（D）（12）已知函数的图象与函数的图象关于原点对称，且两个图象恰有三个不同的交点，则实数的值为C（A）（B）1 （C）（D）第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2021届江西省九江市高三第一次模拟数学(理)试题Word版含解析

2021届江西省九江市高三第一次模拟数学（理）试题一、单选题1．已知集合{|15}M x x =-≤<，{|||2}N x x =<，则MN =（）A ．{}|12x x -≤<B ．{}|25x x -<<C ．{|15}x x -≤<D ．{|02}x x <<【答案】A【解析】根据绝对值不等式的解法，求得集合N ，再根据集合的交集运算得出选项. 【详解】{}|22N x x =-<<，{|12}MN x x ∴=-≤<，故选：A. 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，集合的交集运算，属于基础题. 2．设复数z 满足()1+2i z =，则复平面内z 表示的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】由复数的四则运算求出z ，就能判别相应选项. 【详解】因为(1i)2z +=，所以22(1i)1i 1i (1i)(1i)z -===-++-，则复平面内表示z 的点位于第四象限.选D ．【点睛】复数四则运算，属于简单题.3．已知非零向量a ，b 满足||||a b =，则“|2||2|a b a b +=-”是“a b ⊥”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件解:【答案】C【解析】根据向量的数量积运算，由向量的关系||02|2|a b a b a a b b +=-⇔⋅⇔=⊥，可得选项. 【详解】222222||||22224444a b a b a b a b a a b b a a b b -⇔⇔++-+⋅+-⋅+===，||||0a b =≠，∴等价于0a b a b ⋅=⇔⊥，故选：C. 【点睛】本题考查向量的数量积运算和命题的充分、必要条件，属于基础题.4．已知实数,x y 满足约束条件20220x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则3z x y =+的最大值为（）A ．4B ．2C ．145D ．0【答案】C【解析】根据约束条件作出可行域，并且由2022x y x y -≥⎧⎨+≤⎩得24,55A ⎛⎫⎪⎝⎭，当直线:30l x y +=平移至经过点24(,)55A 时，3z x y =+取得最大值，可得选项. 【详解】如图，作出可行域，由2022x y x y -≥⎧⎨+≤⎩得24,55A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，当直线:30l x y +=平移至经过点24(,)55A 时，3z x y=+取得最大值145，故选:C.【点睛】本题考查线性规划问题中已知约束条件，求目标函数的最值，属于基础题. 5．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3131352a S +=，则9S =（） A ．9 B ．18C ．27D ．36【答案】B【解析】根据等差数列的前n 项和公式和等差中项的运用得374a a +=，可得9S 的值.【详解】因为()1137137131321322a a a S a ⨯+⨯=== 所以3133713131352a S a a +=+=，374a a ∴+=，37522a a a +∴==，()195959929921822a a a S a +⨯∴====⨯=，故选：B 【点睛】本题考查等差数列的前n 项和公式和等差中项的运用，灵活选择前n 项和公式是解决此类问题的关键，属于基础题.6．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()e xf x x =+，则32(2)a f =-,2(log 9)b f =，c f =的大小关系为（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>【答案】C【解析】根据函数的奇偶性得3322(2)(2)a f f =-=，3222,log 9的大小，根据函数的单调性可得选项. 【详解】依题意得3322(2)(2)a f f =-=，32225823log 8log 9<==<=<，当0x ≥时，()e x f x x =+，因为1e >，所以xy e =在R 上单调递增，又y x =在R 上单调递增，所以()f x 在[0,)+∞上单调递增，322(log 9)(2)f f f ∴>>，即b a c >>，故选：C. 【点睛】本题考查函数的奇偶性的应用、幂、指、对的大小比较，以及根据函数的单调性比较大小，属于中档题. 7．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一卦由六爻组成.其中有一种起卦方法称为“金钱起卦法”，其做法为：取三枚相同的钱币合于双手中，上下摇动数下使钱币翻滚摩擦，再随意抛撒钱币到桌面或平盘等硬物上，如此重复六次，得到六爻.若三枚钱币全部正面向上或全部反面向上，就称为变爻.若每一枚钱币正面向上的概率为12，则一卦中恰有两个变爻的概率为（）A．14B．1564C．240729D．12154096【答案】D【解析】根据古典概型求得三枚钱币全部正面或反面向上的概率3112()24p=⨯=，求一卦中恰有两个变爻的概率实际为求六次独立重复试验中发生两次的概率，根据独立重复试验的概率求得其值.【详解】由已知可得三枚钱币全部正面或反面向上的概率3112()24p=⨯=，求一卦中恰有两个变爻的概率实际为求六次独立重复试验中发生两次的概率，2246131215(2)()()444096P x C∴==⨯⨯=故选：D.【点睛】本题考查古典概型的求解，n独立重复试验发生k次的概率，属于基础题.8．已知函数()sin()f x A xωϕ=+(π0,0,2A>><ωϕ)的部分图象如图所示，若()()0f a x f a x++-=，则a的最小值为（）A ．π12B．π6C．π3D．5π12【答案】A【解析】根据图象可求得,,Aωϕ，再()()0f a x f a x++-=，得出()f x关于点(,0)a对称，由正弦型函数的对称中心可得a，可得选项.【详解】由图象易知2A=，(0)1f=，即2sin1=ϕ，π2ϕ<，6πϕ∴=，由图可知*11ππ2π (N)126k kω⋅+=∈，24211kω-∴=，1112311412TTππ⎧>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩，又()2Tπωω=>，18241111ω∴<<， ∴由1k =得2ω=，π()2sin(2)6f x x ∴=+，()()0f a x f a x ++-=，()f x ∴关于点(,0)a 对称，即有π2π6a k +=，ππ212k a =-，k Z ∈，a ∴的最小值为π12，故选：A. 【点睛】本题考查根据图象求正弦型函数的解析式，以及函数的对称中心，正弦型函数的对称中心，属于中档题. 9．过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 且斜率大于0的直线l 交抛物线于点,A B (点A 位于第一象限)，交其准线于点C ，若3BC BF =，且3AF =，则直线AB 的方程为（）A ．0y --=B 0y --=C ．0y -=D 0y -=【答案】A【解析】作出图象如下图所示，作1AA ⊥准线于1A ，1BB ⊥准线于1B ，11FF AA ⊥于1F .根据抛物线的定义得1BB BF =，由3BC BF =，1cos CBB ∠13=，从而得出直线的斜率，再根据三角形相似求得p ，由直线的点斜式得出直线的方程. 【详解】作出图象如下图所示，作1AA ⊥准线于1A ，1BB ⊥准线于1B ，11FF AA ⊥于1F .在1Rt BCB ∆中，11||cos ||BB CBB BC ∠=||1||3BF BC ==，1tan CBB ∴∠=l ∴的斜率为11BCB AFF ∆∆，11||||13AF AF ∴==，11||2p A F ∴==，所以()1,0F ，∴直线AB 的方程为1)y x =-，即0y --=，故选：A.【点睛】本题考查抛物线的定义，标准方程，以及直线的方程，关键在于将已知条件中的线段间的关系通过抛物线的定义转化为角的关系，得出直线的斜率，属于中档题.10．半正多面体(semiregular solid) 亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形为面的半正多面体.如图所示，图中网格是边长为1的正方形，粗线部分是某二十四等边体的三视图，则该几何体的体积为（）A．83B．4C．163D．203【答案】D【解析】根据三视图作出该二十四等边体如下图所示，求出该几何体的棱长，可以将该几何体看作是相应的正方体沿各棱的中点截去8个三棱锥所得到的，可求出其体积.【详解】如下图所示，将该二十四等边体的直观图置于棱长为2的正方体中，由三视图可知，2，它是由棱长为2的正方体沿各棱中点截去8个三棱锥所得到的，∴该几何体的体积为1120 2228111323V=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=，故选：D.【点睛】本题考查三视图，几何体的体积，对于二十四等边体比较好的处理方式是由正方体各棱的中点得到，属于中档题. 11．定义,,a a b a b b a b≥⎧⊗=⎨<⎩，已知函数21()2sin f x x =-，21()2cos g x x =-，则函数()()()F x f x g x =⊗的最小值为（） A ．23B ．1C ．43D ．2【答案】A【解析】根据分段函数的定义得()()F x f x ≥，()()F x g x ≥，则2()()()F x f x g x ≥+,再根据基本不等式构造出相应的所需的形式，可求得函数的最小值. 【详解】依题意得()()F x f x ≥，()()F x g x ≥，则2()()()F x f x g x ≥+,22222211111()()()[(2sin )(2cos )]2sin 2cos 32sin 2cos f x g x x x x x x x+=+=+-+-----2222222212cos 2sin 12cos 2sin 4(2)(22)32sin 2cos 32sin 2cos 3x x x x x x x x ----=++≥+⋅=----(当且仅当222cos 2sin x x --222sin 2cos x x -=-，即221sin cos 2x x ==时“=”成立.此时,2()()3f x g x ==，42()3F x ∴≥，()F x ∴的最小值为23，故选：A. 【点睛】本题考查求分段函数的最值，关键在于根据分段函数的定义得出2()()()F x f x g x ≥+，再由基本不等式求得最值，属于中档题.12．在平面直角坐标系xOy 中，已知n A ，n B 是圆222x y n +=上两个动点，且满足22n n n OA OB ⋅=-（*N n ∈），设n A ，n B到直线(1)0x n n +++=的距离之和的最大值为n a ，若数列1{}na 的前n 项和n S m <恒成立，则实数m 的取值范围是（）A ．3(,)4+∞B ．3[,)4+∞C ．3(,)2+∞D ．3[,)2+∞【答案】B【解析】根据向量的数量积运算由22n n n OA OB ⋅=-，可得120n n A OB ∠=，设线段n n A B 的中点为n C ，则可得n C 在圆2224n x y +=上，则n A ，n B到直线(1)0x n n +++=的距离之和等于点n C 到该直线的距离的两倍.点n C 到直线距离的最大值为圆心到直线的距离与圆的半径之和，由点到直线的距离公式右求得22n a n n =+，再运算裂项相消求和法可求得n S ，得实数m 的取值范围.【详解】由22n n n OA OB ⋅=-，得2cos 2n n n n n A OB ⋅⋅∠=-，所以120n n A OB ∠=，设线段n n A B 的中点为n C ，则2n n OC =，所以n C 在圆2224n x y +=上，n A ，n B到直线(1)0x n n +++=的距离之和等于点n C 到该直线的距离的两倍.点n C 到直线距离的最大值为圆心到直线的距离与圆的半径之和，而圆2224n x y +=的圆心()0,0到直线(1)0x n n +++=的距离为()12n n d +==， 2(+12[]222n n n n a n n ∴=+=+），211111()222n a n n n n ∴==-++， 123111111111111111131(1)232435222124n n S a a a a n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=++++=-+-+-++-=+--< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，34m ∴≥, 故选：B. 【点睛】本题考查向量的数量积运算、求动点的轨迹方程、圆上的点到直线上的距离的最值、运用裂项相消求数列的和的方法，关键在于将两点到直线的距离的和的最大值转化为圆心到直线的距离与半径的和，属于难题.二、填空题13．曲线2e (2)x y x =+在点(0,2)处的切线方程为______.【答案】22y x =+【解析】对函数求导，得出在(0,2)处的一阶导数值，即得出所求切线的斜率，再运用直线的点斜式求出切线的方程. 【详解】令()2e (2)x f x x =+，2()e (22)x f x x x '=++，所以(0)2f '=，又(0)2f =，∴所求切线方程为22y x -=，即22y x =+. 故答案为：22y x =+. 【点睛】本题考查运用函数的导函数求函数在切点处的切线方程，关键在于求出在切点处的导函数值就是切线的斜率，属于基础题. 14．41(2)x x+-的展开式中2x 的系数为____. 【答案】28【解析】将已知式转化为8441(1)(2)x x x x-+-=，则41(2)x x +-的展开式中2x 的系数8(1)x -中6x 的系数，根据二项式展开式可求得其值. 【详解】2484441(21)(1)(2)=x x x x x x x-+-+-=，所以41(2)x x +-的展开式中2x 的系数就是8(1)x -中6x 的系数，而8(1)x -中6x 的系数为()22288128C C ⋅-==，∴展开式中2x 的系数为2828C =故答案为：28. 【点睛】本题考查二项式展开式中的某特定项的系数，关键在于将原表达式化简将三项的幂的形式转化为可求的二项式的形式，属于基础题.15．在三棱锥A BCD -中，已知22=6BC CD BD AB AD ====，且平面ABD ⊥平面BCD ，则三棱锥A BCD -外接球的表面积为______. 【答案】48π【解析】取BD 的中点F ，设等边三角形BCD 的中心为O ，连接AF CF OA ，，.根据等边三角形的性质可求得2233BO CO DO CF ====，3OF =，由等腰直角三角形的性质，得AF BD ⊥，根据面面垂直的性质得AF ⊥平面BCD ，AF OF ⊥，由勾股定理求得23=OA ，可得O 为三棱锥A BCD -外接球的球心，根据球体的表面积公式可求得此外接球的表面积. 【详解】在等边三角形BCD 中，取BD 的中点F ，设等边三角形BCD 的中心为O ，连接AF CF OA ，，.由6BC =，得2233BO CO DO CF ====，3OF =，由已知可得ABD ∆是以BD 为斜边的等腰直角三角形，AF BD ∴⊥, 又由已知可得平面ABD ⊥平面BCD ，AF ∴⊥平面BCD ，AF OF ∴⊥，2223OA OF AF =+=，所以23OA OB OC OD ====，O ∴为三棱锥A BCD -外接球的球心，外接球半径23R OC ==，∴三棱锥A BCD -外接球的表面积为24π(23)48π⨯=.故答案为：48π【点睛】本题考查三棱锥的外接球的表面积，关键在于根据三棱锥的面的关系、棱的关系和长度求得外接球的球心的位置，球的半径，属于中档题.16．已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0a b >>)的左右焦点分别为12,F F ，O 为坐标原点，点M 为双曲线右支上一点，若122F F OM =，21tan 2MF F ∠≥，则双曲线C 的离心率的取值范围为_____.【答案】1e <≤【解析】法一:根据直角三角形的性质和勾股定理得12π2F MF ∠=，222124c MF MF =+，1212tan MF MF F MF ∠=,又由双曲线的定义得122MF MF a -=,将离心率表示成关于12,MF MF 的式子,再令122MF t MF =≥，则22112e t t=++-，令()1,f t t t =+对函数求导研究函数在[)2,+∞上单调性，可求得离心率的范围.法二：令11MF r =，22MF r =，21=MF F θ∠，tan 2θ≥，1=2sin r c θ，根据直角三角形的性质和勾股定理得12π2F MF ∠=，将离心率表示成关于角θ的三角函数，根据三角函数的恒等变化转化为关于tan θ的函数，可求得离心率的范围. 【详解】法一:122F F OM =，12π2F MF ∴∠=，222124c MF MF ∴=+，1212tan MF MF F MF ∠=, 122MF MF a -=，22122222122222221211222244()2MF MF MF MF MF c e a MF MF MF MF MF MF MF ++∴===--+,设122MF t MF =≥，则2221211212t e t t t t +==+-++-，令()()()()222211111,'1t t t f t t f t t t t t+--=+=-==，所以2t >时，()'0f t >，()f t 在[)2,+∞上单调递增， 115222t t∴+≥+=，215e ∴<≤，1e ∴<≤法二：122F F OM =，12π2F MF ∴∠=，令11MF r =，22MF r =，21=MF F θ∠，tan 2θ≥，1=2sin r c θ， 22cos r c θ=，122=2(sin cos )a r r c θθ∴=--，1sin cos e θθ∴=-，222222221sin cos tan 12==151sin cos sin cos 2sin cos tan 12tan tan 2tan e θθθθθθθθθθθθθ++∴==+≤-+-+-+-（）， 1e ∴<≤故答案为：1e <≤【点睛】本题考查求双曲线的离心率的范围的问题，关键在于将已知条件转化为与双曲线的,,a b c 有关，从而将离心率表示关于某个量的函数，属于中档题.三、解答题17．在ABC ∆中，内角A B C ，，的对边分别是a bc ，，，已知()sin sin sin a A b B c C +=. （1）求角C 的值；（2）若sin sin A B =2c =，求ABC ∆的面积．【答案】（1）π6C =；（2）1+【解析】（1）由已知条件和正弦定理进行边角互化得222a b c +-=，再根据余弦定理可求得值.（2）由正弦定理得4sin a A =，4sin bB =，代入得4(1ab =，运用三角形的面积公式可求得其值. 【详解】（1）由()sin sin sin a A b B c C+=及正弦定理得22()a a b c＋=，即222a b c +-=由余弦定理得222cos 2a b c C ab -==＋，0πC <<，π6C ∴=. （2）设ABC ∆外接圆的半径为R ，则由正弦定理得224πsin sin 6c R C ===， 2sin 4sin a R A A ∴==，2sin 4sin b R BB ==，16sin sin 4(1ab A B ∴==+111sin 4(13)13222ABC S ab C ∆∴==⨯+⨯=+.【点睛】本题考查运用三角形的正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式，关键在于熟练地运用其公式，合理地选择进行边角互化，属于基础题.18．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，已知四边形11AAC C 为矩形，16AA =，4AB AC ==，160BAC BAA ∠=∠=︒，1A AC ∠的角平分线AD 交1CC 于D .（1）求证:平面⊥BAD 平面11AAC C ；（2）求二面角111A B C A --的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）31717【解析】（1）过点D 作//DE AC 交1AA 于E ，连接,CE BE ，设AD CE O =，连接BO ，由角平分线的性质，正方形的性质，三角形的全等，证得CE BO ⊥，CE AD ⊥，由线面垂直的判断定理证得CE ⊥平面BAD ，再由面面垂直的判断得证.（2）平面几何知识和线面的关系可证得BO ⊥平面11AAC C ，建立空间直角坐标系O xyz -，求得两个平面的法向量，根据二面角的向量计算公式可求得其值. 【详解】（1）如图，过点D 作//DE AC 交1AA 于E ，连接,CE BE ，设ADCE O =，连接BO ，1AC AA ⊥，DE AE ∴⊥，又AD 为1A AC ∠的角平分线，∴四边形AEDC 为正方形，CE AD ∴⊥，又AC AE =，BAC BAE ∠=∠，BA BA =，BAC BAE ∴∆≅∆，BC BE ∴=，又O 为CE 的中点，CE BO ∴⊥又,AD BO ⊂平面BAD ，AD BO O =，CE ∴⊥平面BAD ，又CE ⊂平面11AAC C ，∴平面⊥BAD 平面11AAC C ，（2）在ABC ∆中，4AB AC ==，60BAC ∠=︒，4BC ∴=，在Rt BOC ∆中，1222CO CE ==，22BO ∴=，又4AB =，1222AO AD ==，222BO AO AB +=，BO AD ∴⊥，又BO CE ⊥，ADCE O =，,AD CE ⊂平面11AAC C ，BO ∴⊥平面11AAC C ，故建立如图空间直角坐标系O xyz -，则(2,2,0)A -，1(2,4,0)A ，1(2,4,0)C -， 1(0,6,22)B ，11(2,2,22)C B ∴=，1(4,6,0)AC =-，11(4,0,0)C A =，设平面11AB C 的一个法向量为111(,,)m x y z =，则111m C B m AC ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩，1111146022220x y x y z -+=⎧⎪∴⎨++=⎪⎩，令1=6x ，得(6,4,52)m =-,设平面111A B C 的一个法向量为222(,,)n x y z =，则1111n C B n C A ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩，22224022220x x y z =⎧⎪∴⎨++=⎪⎩，令2=2y ，得(0,21)n =-,92317cos ,171023m n m n m n⋅∴<>===⨯⋅，由图示可知二面角111A B C A --是锐角，故二面角111A B C A --的余弦值为31717.【点睛】本题考查空间的面面垂直关系的证明，二面角的计算，在证明垂直关系时，注意运用平面几何中的等腰三角形的“三线合一”，勾股定理、菱形的对角线互相垂直，属于基础题.19．已知椭圆2222:1x yCa b+=(0a b>>)的上顶点为E，左焦点为F，离心率为22，直线EF与圆2212x y+=相切.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设过点F且斜率存在的直线l与椭圆C相交于,A B两点，线段,A B的垂直平分线交x轴于点P，试判断PFAB是否为定值？并说明理由.【答案】（1）2212xy+=；（2）存在，定值24，理由见解析【解析】（1）根据已知条件得2a c=，b c=，再由直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径可求得,,a b c，得出椭圆C的标准方程；（2）设11(,)A x y，22(,)B x y，(,0)P x，设直线:(1)l y k x=+，联立22(1)12y k xxy=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y得2222(21)4220k x k x k+++-=，2122421kx xk-∴+=+，21222221kx xk-=+，根据弦长公式求AB，法一:由P在线段AB的垂直平分线上，得PA PB=，由两点的距离公式和椭圆的标准方程可得出中点的横坐标0121()4x x x=+，可求得PF，可得所求的比值；法二:求出线段AB 的中点和线段AB 的垂直平分线方程，可得点P 的坐标，可求得PF ，可得所求的比值；【详解】（1）如图，c e a ==，a ∴=，b c =，直线EF 的方程为0x y c -+=，直线EF 与圆2212x y +=相切，2=，1,1c a b ∴===，∴椭圆C 的标准方程为2212x y +=.（2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，0(,0)P x ，设直线:(1)l y k x =+，联立22(1)12y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得2222(21)4220k x k x k +++-=， 2122421k x x k -∴+=+，21222221k x x k -=+AB ∴== 法一:P 在线段AB 的垂直平分线上，PA PB ∴=，2222101202()()x x y x x y ∴-+=-+………①,A B 在椭圆C 上，221112x y ∴=-，222212x y =-，代入①得2222121020()1()122x x x x x x -+-=-+-，化简得0121()4x x x =+220122211411=|()1||1|442121k k PF x x x k k -+∴=+++=+⋅=++ 法二: 线段AB 的中点为2222(,)2121k k k k -++，∴线段AB 的垂直平分线为2222()2121k k k y x k k --=+++，令0y =，得20221k x k =-+2202211|1|2121k k PF x k k +∴=+=-=++，221k PF AB +∴=，故PFAB为定值4.【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，直线现圆的位置关系，直线与椭圆的位置关系，以及线段的垂直平分线方程求得，是比较综合的题，解决此类问题关键在于将目标条件转化为关于交点坐标的韦达定理，从而得以解决，属于中档题.20．随着现代社会的发展，我国对于环境保护越来越重视，企业的环保意识也越来越强.现某大型企业为此建立了5套环境监测系统，并制定如下方案：每年企业的环境监测费用预算定为1200万元，日常全天候开启3套环境监测系统，若至少．．有2套系统监测出排放超标，则立即检查污染源处理系统；若有且只有．．．．1套系统监测出排放超标，则立即同时启动另外2套系统进行1小时的监测，且后启动的这2套监测系统中只要有1套系统监测出排放超标，也立即检查污染源处理系统.设每个时间段（以．1．小时为计量单位．．．．．．．）被每套系统监测出排放超标的概率均为(01)p p <<，且各个时间段每套系统监测出排放超标情况相互独立. （1）当12p =时，求某个时间段需要检查污染源处理系统的概率；（2）若每套环境监测系统运行成本为300元/小时（不启动则不产生运行费用），除运行费用外，所有的环境监测系统每年的维修和保养费用需要100万元.现以此方案实施，问该企业的环境监测费用是否会超过预算(全年按9000小时计算)？并说明理由. 【答案】（1）2532；（2）不会超过预算，理由见解析【解析】（1）求出某个时间段在开启3套系统就被确定需要检查污染源处理系统的概率为2332333333321111()()112()()22222C C C C ⨯==++,某个时间段在需要开启另外2套系统才能确定需要检查污染源处理系统的概率为1323119()[1()]2232C -=，可得某个时间段需要检查污染源处理系统的概率；（2）设某个时间段环境监测系统的运行费用为X 元，则X 的可能取值为900，1500.求得123(1500)(1)P X C p p ==-，123(900)1(1)==--P X C p p ，求得其分布列和期望()E X 29001800(1)p p =+-，对其求导，研究函数的单调性，可得期望的最大值，从而得出结论.【详解】（1）某个时间段在开启3套系统就被确定需要检查污染源处理系统的概率为2332333333321111()()112()()22222C C C C ⨯==++,某个时间段在需要开启另外2套系统才能确定需要检查污染源处理系统的概率为1323119()[1()]2232C -=∴某个时间段需要检查污染源处理系统的概率为192523232+=.（2）设某个时间段环境监测系统的运行费用为X 元，则X 的可能取值为900，1500.123(1500)(1)P X C p p ==-，123(900)1(1)==--P X C p p121233()900[1(1)]1500(1)E X C p p C p p ∴=---⨯⨯+29001800(1)p p =+-令2()(1),(0,1)g p p p p =-∈,则2()(1)2(1)(31)(1)g p p p p p p '=---=-- 当1(0,)3p ∈时，()0g p '>，()g p 在1(0,)3上单调递增；当1()1,3p ∈时，()0g p '<，()g p 在上1(,1)3单调递减,()g p ∴的最大值为14()327=g ,∴实施此方案，最高费用为441009000(9001800)10115027-+=⨯+⨯⨯（万元）， 11501200<，故不会超过预算.【点睛】本题考查独立重复事件发生的概率、期望，及运用求导函数研究期望的最值，由根据期望值确定方案，此类题目解决的关键在于将生活中的量转化为数学中和量，属于中档题. 21．已知函数()ln f x a x x =+(R a ∈). （1）讨论()f x 的单调性；（2）若对(0,)x ∀∈+∞，()e 0xf x ax --<恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）①当0a <时，()f x 在(0,)a -上单调递减，在(,)a -+∞上单调递增；②当0a ≥时， ()f x 在(0,+)∞上单调递增；（2）[0,)+∞.【解析】（1）求出函数的定义域和导函数， ()x af x x+'=，对a 讨论，得导函数的正负，得原函数的单调性；（2）法一: 由()e 0x f x ax --<得(ln )e xa x x x ->-，分别运用导函数得出函数()e xs x x =-(0x >)，()()ln 0t x x x x =->的单调性，和其函数的最值，可得e ln xx a x x->- ，可得的范围; 法二:由()e 0xf x ax --<得()e xf x ax <+，化为()(e )xf x f <令()e xh x x =-(0x >)，研究函数的单调性，可得a 的取值范围. 【详解】（1）()f x 的定义域为()0,∞+，()1a x a f x x x+'=+=， ①当0a <时，由()0f x '>得x a >-，()0f x '<得0x a <<-，()f x ∴在(0,)a -上单调递减，在(,)a -+∞上单调递增；②当0a ≥时，()0f x '>恒成立,()f x ∴在(0,+)∞上单调递增；（2）法一: 由()e 0x f x ax --<得(ln )e xa x x x ->-，令()e xs x x =-(0x >)，则()1e 0xs x '=-<，()s x ∴在(0,)+∞上单调递减，()(0)1s x s ∴<=-，()0s x ∴<，即e 0x x -<，令()()()11ln 0,1x t x x x x t x x x-=->'=-=，则1,()0x t x >'>，()t x 在()1,+∞上单调递增，01,()0x t x <<'<，()t x 在()0,1上单调递减，所以()()110t x t ≥=>，即ln 0x x ->，e ln xx a x x-∴>- () 当0a ≥时，e 0ln xx x x-<-，∴()式恒成立，即()e 0x f x ax --<恒成立，满足题意法二:由()e 0xf x ax --<得()e xf x ax <+，(e )e x x f ax =+，()(e )x f x f ∴<令()e xh x x =-(0x >)，则()1e 0xh x '=-<，()h x ∴在(0,)+∞上单调递减，()(0)1h x h ∴<=-，()0h x ∴<，即e x x <，当0a ≥时，由(Ⅰ)知()f x 在(0,)+∞上单调递增，()(e )xf x f ∴<恒成立，满足题意当0a <时，令()ln e xx a x ϕ=-，则()()e 00xa x x xϕ'=-<>，所以()x ϕ在(0,)+∞上单调递减，又(1)e 0ϕ=-<，当0x →时，()x ϕ→+∞，(0,1)r ∴∃∈，使得()0r ϕ=，∴当0(0,)x r ∈时，0()()0x r ϕϕ>=，即00ln e x a x >，又00x ax >，0000ln e xa x x ax ∴+>+，000()e 0xf x ax ∴-->，不满足题意，综上所述，a 的取值范围是[0,)+∞ 【点睛】本题考查对于含参数的函数的单调性的讨论，不等式恒成立时，求解参数的范围，属于难度题.22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1+cos 1cos 2sin 1cos x y αααα⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩(α为参数).以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为0θθ=(0(0,π)θ∈)，将曲线1C 向左平移2个单位长度得到曲线C .（1）求曲线C 的普通方程和极坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求11OA OB+的取值范围. 【答案】（1）C 的极坐标方程为22sin 4cos 80ρθρθ--=，普通方程为24(2)y x =+；（2）1(,22【解析】（1）根据三角函数恒等变换可得22cos 2sin 2x αα=， 2cos 2sin2y αα=，可得曲线1C 的普通方程，再运用图像的平移得依题意得曲线C 的普通方程为，利用极坐标与平面直角坐标互化的公式可得方程；（2）法一：将0θθ=代入曲线C 的极坐标方程得2200sin 4cos 80ρθρθ--=，运用韦达定理可得11OA OB ∴+=0(0,π)θ∈，可求得11OA OB+的范围；法二:设直线l 的参数方程为cos sin x t y t ϕϕ=⎧⎨=⎩(t 为参数，ϕ为直线的倾斜角)，代入曲线C 的普通方程得22sin 4cos 80t t ϕϕ--=，运用韦达定理可得11OA OB ∴+=(0,π)ϕ∈，可求得11OA OB+的范围；【详解】（1）22222cos cos 1+cos 221cos 2sin sin 22x αααααα===-， 24sincos2cos 2sin 2221cos 2sin sin22y ααααααα===-2224cos 24sin 2y x αα∴==，即曲线1C 的普通方程为24y x =，依题意得曲线C 的普通方程为24(2)y x =+，令cos x ρθ=，sin y ρθ=得曲线C 的极坐标方程为22sin 4cos 80ρθρθ--=；（2）法一：将0θθ=代入曲线C 的极坐标方程得2200sin 4cos 80ρθρθ--=，则012204cos sin θρρθ+=，12208sin ρρθ=-，120ρρ<，12,ρρ∴异号121212201111sin OA OB ρρρρρρθ-∴+=+====，0(0,π)θ∈，0sin (0,1]θ∴∈，111(2OA OB ∴+∈；法二:设直线l 的参数方程为cos sin x t y t ϕϕ=⎧⎨=⎩(t 为参数，ϕ为直线的倾斜角)，代入曲线C 的普通方程得22sin 4cos 80t t ϕϕ--=，则1224cos sin t t ϕϕ+=，1228sin t t ϕ=-，120t t <，12,t t ∴异号12121221111sint tOA OB t t t tϕ-∴+=+====(0,π)ϕ∈，sin(0,1]ϕ∴∈，111(2OA OB∴+∈.【点睛】本题考查参数方程与普通方程，极坐标方程与平面直角坐标方程之间的转化，求解几何量的取值范围，关键在于明确极坐标系中极径和极角的几何含义，直线的参数方程，参数的几何意义，属于中档题. 23．已知函数2()1f x x x=-+，且,Rm n∈．（1）若22m n+=，求()2()f m f n+的最小值，并求此时,m n的值；（2）若||1m n-<，求证:|()()|2(||1)f m f n m-<+．【答案】（1）最小值为73，此时23m n==；（2）见解析【解析】（1）由已知得2222()2()(2)(2)321f m f n m n m n m n+=+-++=++，法一:22m n+=，22m n∴=-，根据二次函数的最值可求得；法二:运用基本不等式构造22221(24+4)3m n m n nm+≥+214=(2)=33m n+，可得最值；法三：运用柯西不等式得：222222222=)(111112(()3)3m n m n n m n n+++≥++++，可得最值；（2）由绝对值不等式得，()()11f m f n m n m n m n-=-⋅+-<+-，又1m n+-()(21)211(21)2(1)n m m m n m m m=-+-≤-+-<++=+，可得证.【详解】（1）2222()2()(2)(2)321f m f n m n m n m n+=+-++=++，法一:22m n+=，22m n∴=-，2222277()2()(22)216856()333f m f n n n n n n∴+=-++=-+=-+≥()2()f m f n ∴+的最小值为73，此时23m n ==；法二:22222222221=)=+2(112(36[+4)](3+434)3m n m n m m n n m n n m +++≥+214=(2)=33m n +，47()2()133f m f n ∴+≥+=，即()2()f m f n +的最小值为73，此时23m n ==；法三：由柯西不等式得：2222222222=)(11111142(()(2)333)3m n m n n m n n m n +++≥++=+=++，47()2()133f m f n ∴+≥+=,即()2()f m f n +的最小值为73，此时23m n ==；（2）1m n -<，22()()()()11f m f n m n m n m n m n m n ∴-=---=-⋅+-<+-，又1m n +-()(21)211(21)2(1)n m m m n m m m =-+-≤-+-<++=+，|()()|2(||1)f m f n m ∴-<+.【点睛】本题考查运用基本不等式，柯西不等式，绝对值不等式进行不等式的证明和求解函数的最值，属于中档题.。

2021届江西省九江市高三第一次模拟数学(理)试题Word版含解析

2021届江西省九江市高三第一次模拟数学（理）试题一、单选题1．已知集合{|15}M x x =-≤<，{|||2}N x x =<，则MN =（）A ．{}|12x x -≤<B ．{}|25x x -<<C ．{|15}x x -≤<D ．{|02}x x <<【答案】A【解析】根据绝对值不等式的解法，求得集合N ，再根据集合的交集运算得出选项. 【详解】{}|22N x x =-<<，{|12}MN x x ∴=-≤<，故选：A. 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，集合的交集运算，属于基础题. 2．设复数z 满足()1+2i z =，则复平面内z 表示的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】由复数的四则运算求出z ，就能判别相应选项. 【详解】因为(1i)2z +=，所以22(1i)1i 1i (1i)(1i)z -===-++-，则复平面内表示z 的点位于第四象限.选D ．【点睛】复数四则运算，属于简单题.3．已知非零向量a ，b 满足||||a b =，则“|2||2|a b a b +=-”是“a b ⊥”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件解:【答案】C【解析】根据向量的数量积运算，由向量的关系||02|2|a b a b a a b b +=-⇔⋅⇔=⊥，可得选项. 【详解】222222||||22224444a b a b a b a b a a b b a a b b -⇔⇔++-+⋅+-⋅+===，||||0a b =≠，∴等价于0a b a b ⋅=⇔⊥，故选：C. 【点睛】本题考查向量的数量积运算和命题的充分、必要条件，属于基础题.4．已知实数,x y 满足约束条件20220x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则3z x y =+的最大值为（）A ．4B ．2C ．145D ．0【答案】C【解析】根据约束条件作出可行域，并且由2022x y x y -≥⎧⎨+≤⎩得24,55A ⎛⎫⎪⎝⎭，当直线:30l x y +=平移至经过点24(,)55A 时，3z x y =+取得最大值，可得选项. 【详解】如图，作出可行域，由2022x y x y -≥⎧⎨+≤⎩得24,55A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，当直线:30l x y +=平移至经过点24(,)55A 时，3z x y=+取得最大值145，故选:C.【点睛】本题考查线性规划问题中已知约束条件，求目标函数的最值，属于基础题. 5．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3131352a S +=，则9S =（） A ．9 B ．18C ．27D ．36【答案】B【解析】根据等差数列的前n 项和公式和等差中项的运用得374a a +=，可得9S 的值.【详解】因为()1137137131321322a a a S a ⨯+⨯=== 所以3133713131352a S a a +=+=，374a a ∴+=，37522a a a +∴==，()195959929921822a a a S a +⨯∴====⨯=，故选：B 【点睛】本题考查等差数列的前n 项和公式和等差中项的运用，灵活选择前n 项和公式是解决此类问题的关键，属于基础题.6．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()e xf x x =+，则32(2)a f =-,2(log 9)b f =，c f =的大小关系为（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>【答案】C【解析】根据函数的奇偶性得3322(2)(2)a f f =-=，3222,log 9的大小，根据函数的单调性可得选项. 【详解】依题意得3322(2)(2)a f f =-=，32225823log 8log 9<==<=<，当0x ≥时，()e x f x x =+，因为1e >，所以xy e =在R 上单调递增，又y x =在R 上单调递增，所以()f x 在[0,)+∞上单调递增，322(log 9)(2)f f f ∴>>，即b a c >>，故选：C. 【点睛】本题考查函数的奇偶性的应用、幂、指、对的大小比较，以及根据函数的单调性比较大小，属于中档题. 7．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一卦由六爻组成.其中有一种起卦方法称为“金钱起卦法”，其做法为：取三枚相同的钱币合于双手中，上下摇动数下使钱币翻滚摩擦，再随意抛撒钱币到桌面或平盘等硬物上，如此重复六次，得到六爻.若三枚钱币全部正面向上或全部反面向上，就称为变爻.若每一枚钱币正面向上的概率为12，则一卦中恰有两个变爻的概率为（）A．14B．1564C．240729D．12154096【答案】D【解析】根据古典概型求得三枚钱币全部正面或反面向上的概率3112()24p=⨯=，求一卦中恰有两个变爻的概率实际为求六次独立重复试验中发生两次的概率，根据独立重复试验的概率求得其值.【详解】由已知可得三枚钱币全部正面或反面向上的概率3112()24p=⨯=，求一卦中恰有两个变爻的概率实际为求六次独立重复试验中发生两次的概率，2246131215(2)()()444096P x C∴==⨯⨯=故选：D.【点睛】本题考查古典概型的求解，n独立重复试验发生k次的概率，属于基础题.8．已知函数()sin()f x A xωϕ=+(π0,0,2A>><ωϕ)的部分图象如图所示，若()()0f a x f a x++-=，则a的最小值为（）A ．π12B．π6C．π3D．5π12【答案】A【解析】根据图象可求得,,Aωϕ，再()()0f a x f a x++-=，得出()f x关于点(,0)a对称，由正弦型函数的对称中心可得a，可得选项.【详解】由图象易知2A=，(0)1f=，即2sin1=ϕ，π2ϕ<，6πϕ∴=，由图可知*11ππ2π (N)126k kω⋅+=∈，24211kω-∴=，1112311412TTππ⎧>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩，又()2Tπωω=>，18241111ω∴<<， ∴由1k =得2ω=，π()2sin(2)6f x x ∴=+，()()0f a x f a x ++-=，()f x ∴关于点(,0)a 对称，即有π2π6a k +=，ππ212k a =-，k Z ∈，a ∴的最小值为π12，故选：A. 【点睛】本题考查根据图象求正弦型函数的解析式，以及函数的对称中心，正弦型函数的对称中心，属于中档题. 9．过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 且斜率大于0的直线l 交抛物线于点,A B (点A 位于第一象限)，交其准线于点C ，若3BC BF =，且3AF =，则直线AB 的方程为（）A ．0y --=B 0y --=C ．0y -=D 0y -=【答案】A【解析】作出图象如下图所示，作1AA ⊥准线于1A ，1BB ⊥准线于1B ，11FF AA ⊥于1F .根据抛物线的定义得1BB BF =，由3BC BF =，1cos CBB ∠13=，从而得出直线的斜率，再根据三角形相似求得p ，由直线的点斜式得出直线的方程. 【详解】作出图象如下图所示，作1AA ⊥准线于1A ，1BB ⊥准线于1B ，11FF AA ⊥于1F .在1Rt BCB ∆中，11||cos ||BB CBB BC ∠=||1||3BF BC ==，1tan CBB ∴∠=l ∴的斜率为11BCB AFF ∆∆，11||||13AF AF ∴==，11||2p A F ∴==，所以()1,0F ，∴直线AB 的方程为1)y x =-，即0y --=，故选：A.【点睛】本题考查抛物线的定义，标准方程，以及直线的方程，关键在于将已知条件中的线段间的关系通过抛物线的定义转化为角的关系，得出直线的斜率，属于中档题.10．半正多面体(semiregular solid) 亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形为面的半正多面体.如图所示，图中网格是边长为1的正方形，粗线部分是某二十四等边体的三视图，则该几何体的体积为（）A．83B．4C．163D．203【答案】D【解析】根据三视图作出该二十四等边体如下图所示，求出该几何体的棱长，可以将该几何体看作是相应的正方体沿各棱的中点截去8个三棱锥所得到的，可求出其体积.【详解】如下图所示，将该二十四等边体的直观图置于棱长为2的正方体中，由三视图可知，2，它是由棱长为2的正方体沿各棱中点截去8个三棱锥所得到的，∴该几何体的体积为1120 2228111323V=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=，故选：D.【点睛】本题考查三视图，几何体的体积，对于二十四等边体比较好的处理方式是由正方体各棱的中点得到，属于中档题. 11．定义,,a a b a b b a b≥⎧⊗=⎨<⎩，已知函数21()2sin f x x =-，21()2cos g x x =-，则函数()()()F x f x g x =⊗的最小值为（） A ．23B ．1C ．43D ．2【答案】A【解析】根据分段函数的定义得()()F x f x ≥，()()F x g x ≥，则2()()()F x f x g x ≥+,再根据基本不等式构造出相应的所需的形式，可求得函数的最小值. 【详解】依题意得()()F x f x ≥，()()F x g x ≥，则2()()()F x f x g x ≥+,22222211111()()()[(2sin )(2cos )]2sin 2cos 32sin 2cos f x g x x x x x x x+=+=+-+-----2222222212cos 2sin 12cos 2sin 4(2)(22)32sin 2cos 32sin 2cos 3x x x x x x x x ----=++≥+⋅=----(当且仅当222cos 2sin x x --222sin 2cos x x -=-，即221sin cos 2x x ==时“=”成立.此时,2()()3f x g x ==，42()3F x ∴≥，()F x ∴的最小值为23，故选：A. 【点睛】本题考查求分段函数的最值，关键在于根据分段函数的定义得出2()()()F x f x g x ≥+，再由基本不等式求得最值，属于中档题.12．在平面直角坐标系xOy 中，已知n A ，n B 是圆222x y n +=上两个动点，且满足22n n n OA OB ⋅=-（*N n ∈），设n A ，n B到直线(1)0x n n +++=的距离之和的最大值为n a ，若数列1{}na 的前n 项和n S m <恒成立，则实数m 的取值范围是（）A ．3(,)4+∞B ．3[,)4+∞C ．3(,)2+∞D ．3[,)2+∞【答案】B【解析】根据向量的数量积运算由22n n n OA OB ⋅=-，可得120n n A OB ∠=，设线段n n A B 的中点为n C ，则可得n C 在圆2224n x y +=上，则n A ，n B到直线(1)0x n n +++=的距离之和等于点n C 到该直线的距离的两倍.点n C 到直线距离的最大值为圆心到直线的距离与圆的半径之和，由点到直线的距离公式右求得22n a n n =+，再运算裂项相消求和法可求得n S ，得实数m 的取值范围.【详解】由22n n n OA OB ⋅=-，得2cos 2n n n n n A OB ⋅⋅∠=-，所以120n n A OB ∠=，设线段n n A B 的中点为n C ，则2n n OC =，所以n C 在圆2224n x y +=上，n A ，n B到直线(1)0x n n +++=的距离之和等于点n C 到该直线的距离的两倍.点n C 到直线距离的最大值为圆心到直线的距离与圆的半径之和，而圆2224n x y +=的圆心()0,0到直线(1)0x n n +++=的距离为()12n n d +==， 2(+12[]222n n n n a n n ∴=+=+），211111()222n a n n n n ∴==-++， 123111111111111111131(1)232435222124n n S a a a a n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=++++=-+-+-++-=+--< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，34m ∴≥, 故选：B. 【点睛】本题考查向量的数量积运算、求动点的轨迹方程、圆上的点到直线上的距离的最值、运用裂项相消求数列的和的方法，关键在于将两点到直线的距离的和的最大值转化为圆心到直线的距离与半径的和，属于难题.二、填空题13．曲线2e (2)x y x =+在点(0,2)处的切线方程为______.【答案】22y x =+【解析】对函数求导，得出在(0,2)处的一阶导数值，即得出所求切线的斜率，再运用直线的点斜式求出切线的方程. 【详解】令()2e (2)x f x x =+，2()e (22)x f x x x '=++，所以(0)2f '=，又(0)2f =，∴所求切线方程为22y x -=，即22y x =+. 故答案为：22y x =+. 【点睛】本题考查运用函数的导函数求函数在切点处的切线方程，关键在于求出在切点处的导函数值就是切线的斜率，属于基础题. 14．41(2)x x+-的展开式中2x 的系数为____. 【答案】28【解析】将已知式转化为8441(1)(2)x x x x-+-=，则41(2)x x +-的展开式中2x 的系数8(1)x -中6x 的系数，根据二项式展开式可求得其值. 【详解】2484441(21)(1)(2)=x x x x x x x-+-+-=，所以41(2)x x +-的展开式中2x 的系数就是8(1)x -中6x 的系数，而8(1)x -中6x 的系数为()22288128C C ⋅-==，∴展开式中2x 的系数为2828C =故答案为：28. 【点睛】本题考查二项式展开式中的某特定项的系数，关键在于将原表达式化简将三项的幂的形式转化为可求的二项式的形式，属于基础题.15．在三棱锥A BCD -中，已知22=6BC CD BD AB AD ====，且平面ABD ⊥平面BCD ，则三棱锥A BCD -外接球的表面积为______. 【答案】48π【解析】取BD 的中点F ，设等边三角形BCD 的中心为O ，连接AF CF OA ，，.根据等边三角形的性质可求得2233BO CO DO CF ====，3OF =，由等腰直角三角形的性质，得AF BD ⊥，根据面面垂直的性质得AF ⊥平面BCD ，AF OF ⊥，由勾股定理求得23=OA ，可得O 为三棱锥A BCD -外接球的球心，根据球体的表面积公式可求得此外接球的表面积. 【详解】在等边三角形BCD 中，取BD 的中点F ，设等边三角形BCD 的中心为O ，连接AF CF OA ，，.由6BC =，得2233BO CO DO CF ====，3OF =，由已知可得ABD ∆是以BD 为斜边的等腰直角三角形，AF BD ∴⊥, 又由已知可得平面ABD ⊥平面BCD ，AF ∴⊥平面BCD ，AF OF ∴⊥，2223OA OF AF =+=，所以23OA OB OC OD ====，O ∴为三棱锥A BCD -外接球的球心，外接球半径23R OC ==，∴三棱锥A BCD -外接球的表面积为24π(23)48π⨯=.故答案为：48π【点睛】本题考查三棱锥的外接球的表面积，关键在于根据三棱锥的面的关系、棱的关系和长度求得外接球的球心的位置，球的半径，属于中档题.16．已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0a b >>)的左右焦点分别为12,F F ，O 为坐标原点，点M 为双曲线右支上一点，若122F F OM =，21tan 2MF F ∠≥，则双曲线C 的离心率的取值范围为_____.【答案】1e <≤【解析】法一:根据直角三角形的性质和勾股定理得12π2F MF ∠=，222124c MF MF =+，1212tan MF MF F MF ∠=,又由双曲线的定义得122MF MF a -=,将离心率表示成关于12,MF MF 的式子,再令122MF t MF =≥，则22112e t t=++-，令()1,f t t t =+对函数求导研究函数在[)2,+∞上单调性，可求得离心率的范围.法二：令11MF r =，22MF r =，21=MF F θ∠，tan 2θ≥，1=2sin r c θ，根据直角三角形的性质和勾股定理得12π2F MF ∠=，将离心率表示成关于角θ的三角函数，根据三角函数的恒等变化转化为关于tan θ的函数，可求得离心率的范围. 【详解】法一:122F F OM =，12π2F MF ∴∠=，222124c MF MF ∴=+，1212tan MF MF F MF ∠=, 122MF MF a -=，22122222122222221211222244()2MF MF MF MF MF c e a MF MF MF MF MF MF MF ++∴===--+,设122MF t MF =≥，则2221211212t e t t t t +==+-++-，令()()()()222211111,'1t t t f t t f t t t t t+--=+=-==，所以2t >时，()'0f t >，()f t 在[)2,+∞上单调递增， 115222t t∴+≥+=，215e ∴<≤，1e ∴<≤法二：122F F OM =，12π2F MF ∴∠=，令11MF r =，22MF r =，21=MF F θ∠，tan 2θ≥，1=2sin r c θ， 22cos r c θ=，122=2(sin cos )a r r c θθ∴=--，1sin cos e θθ∴=-，222222221sin cos tan 12==151sin cos sin cos 2sin cos tan 12tan tan 2tan e θθθθθθθθθθθθθ++∴==+≤-+-+-+-（）， 1e ∴<≤故答案为：1e <≤【点睛】本题考查求双曲线的离心率的范围的问题，关键在于将已知条件转化为与双曲线的,,a b c 有关，从而将离心率表示关于某个量的函数，属于中档题.三、解答题17．在ABC ∆中，内角A B C ，，的对边分别是a bc ，，，已知()sin sin sin a A b B c C +=. （1）求角C 的值；（2）若sin sin A B =2c =，求ABC ∆的面积．【答案】（1）π6C =；（2）1+【解析】（1）由已知条件和正弦定理进行边角互化得222a b c +-=，再根据余弦定理可求得值.（2）由正弦定理得4sin a A =，4sin bB =，代入得4(1ab =，运用三角形的面积公式可求得其值. 【详解】（1）由()sin sin sin a A b B c C+=及正弦定理得22()a a b c＋=，即222a b c +-=由余弦定理得222cos 2a b c C ab -==＋，0πC <<，π6C ∴=. （2）设ABC ∆外接圆的半径为R ，则由正弦定理得224πsin sin 6c R C ===， 2sin 4sin a R A A ∴==，2sin 4sin b R BB ==，16sin sin 4(1ab A B ∴==+111sin 4(13)13222ABC S ab C ∆∴==⨯+⨯=+.【点睛】本题考查运用三角形的正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式，关键在于熟练地运用其公式，合理地选择进行边角互化，属于基础题.18．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，已知四边形11AAC C 为矩形，16AA =，4AB AC ==，160BAC BAA ∠=∠=︒，1A AC ∠的角平分线AD 交1CC 于D .（1）求证:平面⊥BAD 平面11AAC C ；（2）求二面角111A B C A --的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）31717【解析】（1）过点D 作//DE AC 交1AA 于E ，连接,CE BE ，设AD CE O =，连接BO ，由角平分线的性质，正方形的性质，三角形的全等，证得CE BO ⊥，CE AD ⊥，由线面垂直的判断定理证得CE ⊥平面BAD ，再由面面垂直的判断得证.（2）平面几何知识和线面的关系可证得BO ⊥平面11AAC C ，建立空间直角坐标系O xyz -，求得两个平面的法向量，根据二面角的向量计算公式可求得其值. 【详解】（1）如图，过点D 作//DE AC 交1AA 于E ，连接,CE BE ，设ADCE O =，连接BO ，1AC AA ⊥，DE AE ∴⊥，又AD 为1A AC ∠的角平分线，∴四边形AEDC 为正方形，CE AD ∴⊥，又AC AE =，BAC BAE ∠=∠，BA BA =，BAC BAE ∴∆≅∆，BC BE ∴=，又O 为CE 的中点，CE BO ∴⊥又,AD BO ⊂平面BAD ，AD BO O =，CE ∴⊥平面BAD ，又CE ⊂平面11AAC C ，∴平面⊥BAD 平面11AAC C ，（2）在ABC ∆中，4AB AC ==，60BAC ∠=︒，4BC ∴=，在Rt BOC ∆中，1222CO CE ==，22BO ∴=，又4AB =，1222AO AD ==，222BO AO AB +=，BO AD ∴⊥，又BO CE ⊥，ADCE O =，,AD CE ⊂平面11AAC C ，BO ∴⊥平面11AAC C ，故建立如图空间直角坐标系O xyz -，则(2,2,0)A -，1(2,4,0)A ，1(2,4,0)C -， 1(0,6,22)B ，11(2,2,22)C B ∴=，1(4,6,0)AC =-，11(4,0,0)C A =，设平面11AB C 的一个法向量为111(,,)m x y z =，则111m C B m AC ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩，1111146022220x y x y z -+=⎧⎪∴⎨++=⎪⎩，令1=6x ，得(6,4,52)m =-,设平面111A B C 的一个法向量为222(,,)n x y z =，则1111n C B n C A ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩，22224022220x x y z =⎧⎪∴⎨++=⎪⎩，令2=2y ，得(0,21)n =-,92317cos ,171023m n m n m n⋅∴<>===⨯⋅，由图示可知二面角111A B C A --是锐角，故二面角111A B C A --的余弦值为31717.【点睛】本题考查空间的面面垂直关系的证明，二面角的计算，在证明垂直关系时，注意运用平面几何中的等腰三角形的“三线合一”，勾股定理、菱形的对角线互相垂直，属于基础题.19．已知椭圆2222:1x yCa b+=(0a b>>)的上顶点为E，左焦点为F，离心率为22，直线EF与圆2212x y+=相切.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设过点F且斜率存在的直线l与椭圆C相交于,A B两点，线段,A B的垂直平分线交x轴于点P，试判断PFAB是否为定值？并说明理由.【答案】（1）2212xy+=；（2）存在，定值24，理由见解析【解析】（1）根据已知条件得2a c=，b c=，再由直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径可求得,,a b c，得出椭圆C的标准方程；（2）设11(,)A x y，22(,)B x y，(,0)P x，设直线:(1)l y k x=+，联立22(1)12y k xxy=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y得2222(21)4220k x k x k+++-=，2122421kx xk-∴+=+，21222221kx xk-=+，根据弦长公式求AB，法一:由P在线段AB的垂直平分线上，得PA PB=，由两点的距离公式和椭圆的标准方程可得出中点的横坐标0121()4x x x=+，可求得PF，可得所求的比值；法二:求出线段AB 的中点和线段AB 的垂直平分线方程，可得点P 的坐标，可求得PF ，可得所求的比值；【详解】（1）如图，c e a ==，a ∴=，b c =，直线EF 的方程为0x y c -+=，直线EF 与圆2212x y +=相切，2=，1,1c a b ∴===，∴椭圆C 的标准方程为2212x y +=.（2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，0(,0)P x ，设直线:(1)l y k x =+，联立22(1)12y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得2222(21)4220k x k x k +++-=， 2122421k x x k -∴+=+，21222221k x x k -=+AB ∴== 法一:P 在线段AB 的垂直平分线上，PA PB ∴=，2222101202()()x x y x x y ∴-+=-+………①,A B 在椭圆C 上，221112x y ∴=-，222212x y =-，代入①得2222121020()1()122x x x x x x -+-=-+-，化简得0121()4x x x =+220122211411=|()1||1|442121k k PF x x x k k -+∴=+++=+⋅=++ 法二: 线段AB 的中点为2222(,)2121k k k k -++，∴线段AB 的垂直平分线为2222()2121k k k y x k k --=+++，令0y =，得20221k x k =-+2202211|1|2121k k PF x k k +∴=+=-=++，221k PF AB +∴=，故PFAB为定值4.【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，直线现圆的位置关系，直线与椭圆的位置关系，以及线段的垂直平分线方程求得，是比较综合的题，解决此类问题关键在于将目标条件转化为关于交点坐标的韦达定理，从而得以解决，属于中档题.20．随着现代社会的发展，我国对于环境保护越来越重视，企业的环保意识也越来越强.现某大型企业为此建立了5套环境监测系统，并制定如下方案：每年企业的环境监测费用预算定为1200万元，日常全天候开启3套环境监测系统，若至少．．有2套系统监测出排放超标，则立即检查污染源处理系统；若有且只有．．．．1套系统监测出排放超标，则立即同时启动另外2套系统进行1小时的监测，且后启动的这2套监测系统中只要有1套系统监测出排放超标，也立即检查污染源处理系统.设每个时间段（以．1．小时为计量单位．．．．．．．）被每套系统监测出排放超标的概率均为(01)p p <<，且各个时间段每套系统监测出排放超标情况相互独立. （1）当12p =时，求某个时间段需要检查污染源处理系统的概率；（2）若每套环境监测系统运行成本为300元/小时（不启动则不产生运行费用），除运行费用外，所有的环境监测系统每年的维修和保养费用需要100万元.现以此方案实施，问该企业的环境监测费用是否会超过预算(全年按9000小时计算)？并说明理由. 【答案】（1）2532；（2）不会超过预算，理由见解析【解析】（1）求出某个时间段在开启3套系统就被确定需要检查污染源处理系统的概率为2332333333321111()()112()()22222C C C C ⨯==++,某个时间段在需要开启另外2套系统才能确定需要检查污染源处理系统的概率为1323119()[1()]2232C -=，可得某个时间段需要检查污染源处理系统的概率；（2）设某个时间段环境监测系统的运行费用为X 元，则X 的可能取值为900，1500.求得123(1500)(1)P X C p p ==-，123(900)1(1)==--P X C p p ，求得其分布列和期望()E X 29001800(1)p p =+-，对其求导，研究函数的单调性，可得期望的最大值，从而得出结论.【详解】（1）某个时间段在开启3套系统就被确定需要检查污染源处理系统的概率为2332333333321111()()112()()22222C C C C ⨯==++,某个时间段在需要开启另外2套系统才能确定需要检查污染源处理系统的概率为1323119()[1()]2232C -=∴某个时间段需要检查污染源处理系统的概率为192523232+=.（2）设某个时间段环境监测系统的运行费用为X 元，则X 的可能取值为900，1500.123(1500)(1)P X C p p ==-，123(900)1(1)==--P X C p p121233()900[1(1)]1500(1)E X C p p C p p ∴=---⨯⨯+29001800(1)p p =+-令2()(1),(0,1)g p p p p =-∈,则2()(1)2(1)(31)(1)g p p p p p p '=---=-- 当1(0,)3p ∈时，()0g p '>，()g p 在1(0,)3上单调递增；当1()1,3p ∈时，()0g p '<，()g p 在上1(,1)3单调递减,()g p ∴的最大值为14()327=g ,∴实施此方案，最高费用为441009000(9001800)10115027-+=⨯+⨯⨯（万元）， 11501200<，故不会超过预算.【点睛】本题考查独立重复事件发生的概率、期望，及运用求导函数研究期望的最值，由根据期望值确定方案，此类题目解决的关键在于将生活中的量转化为数学中和量，属于中档题. 21．已知函数()ln f x a x x =+(R a ∈). （1）讨论()f x 的单调性；（2）若对(0,)x ∀∈+∞，()e 0xf x ax --<恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）①当0a <时，()f x 在(0,)a -上单调递减，在(,)a -+∞上单调递增；②当0a ≥时， ()f x 在(0,+)∞上单调递增；（2）[0,)+∞.【解析】（1）求出函数的定义域和导函数， ()x af x x+'=，对a 讨论，得导函数的正负，得原函数的单调性；（2）法一: 由()e 0x f x ax --<得(ln )e xa x x x ->-，分别运用导函数得出函数()e xs x x =-(0x >)，()()ln 0t x x x x =->的单调性，和其函数的最值，可得e ln xx a x x->- ，可得的范围; 法二:由()e 0xf x ax --<得()e xf x ax <+，化为()(e )xf x f <令()e xh x x =-(0x >)，研究函数的单调性，可得a 的取值范围. 【详解】（1）()f x 的定义域为()0,∞+，()1a x a f x x x+'=+=， ①当0a <时，由()0f x '>得x a >-，()0f x '<得0x a <<-，()f x ∴在(0,)a -上单调递减，在(,)a -+∞上单调递增；②当0a ≥时，()0f x '>恒成立,()f x ∴在(0,+)∞上单调递增；（2）法一: 由()e 0x f x ax --<得(ln )e xa x x x ->-，令()e xs x x =-(0x >)，则()1e 0xs x '=-<，()s x ∴在(0,)+∞上单调递减，()(0)1s x s ∴<=-，()0s x ∴<，即e 0x x -<，令()()()11ln 0,1x t x x x x t x x x-=->'=-=，则1,()0x t x >'>，()t x 在()1,+∞上单调递增，01,()0x t x <<'<，()t x 在()0,1上单调递减，所以()()110t x t ≥=>，即ln 0x x ->，e ln xx a x x-∴>- () 当0a ≥时，e 0ln xx x x-<-，∴()式恒成立，即()e 0x f x ax --<恒成立，满足题意法二:由()e 0xf x ax --<得()e xf x ax <+，(e )e x x f ax =+，()(e )x f x f ∴<令()e xh x x =-(0x >)，则()1e 0xh x '=-<，()h x ∴在(0,)+∞上单调递减，()(0)1h x h ∴<=-，()0h x ∴<，即e x x <，当0a ≥时，由(Ⅰ)知()f x 在(0,)+∞上单调递增，()(e )xf x f ∴<恒成立，满足题意当0a <时，令()ln e xx a x ϕ=-，则()()e 00xa x x xϕ'=-<>，所以()x ϕ在(0,)+∞上单调递减，又(1)e 0ϕ=-<，当0x →时，()x ϕ→+∞，(0,1)r ∴∃∈，使得()0r ϕ=，∴当0(0,)x r ∈时，0()()0x r ϕϕ>=，即00ln e x a x >，又00x ax >，0000ln e xa x x ax ∴+>+，000()e 0xf x ax ∴-->，不满足题意，综上所述，a 的取值范围是[0,)+∞ 【点睛】本题考查对于含参数的函数的单调性的讨论，不等式恒成立时，求解参数的范围，属于难度题.22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1+cos 1cos 2sin 1cos x y αααα⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩(α为参数).以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为0θθ=(0(0,π)θ∈)，将曲线1C 向左平移2个单位长度得到曲线C .（1）求曲线C 的普通方程和极坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求11OA OB+的取值范围. 【答案】（1）C 的极坐标方程为22sin 4cos 80ρθρθ--=，普通方程为24(2)y x =+；（2）1(,22【解析】（1）根据三角函数恒等变换可得22cos 2sin 2x αα=， 2cos 2sin2y αα=，可得曲线1C 的普通方程，再运用图像的平移得依题意得曲线C 的普通方程为，利用极坐标与平面直角坐标互化的公式可得方程；（2）法一：将0θθ=代入曲线C 的极坐标方程得2200sin 4cos 80ρθρθ--=，运用韦达定理可得11OA OB ∴+=0(0,π)θ∈，可求得11OA OB+的范围；法二:设直线l 的参数方程为cos sin x t y t ϕϕ=⎧⎨=⎩(t 为参数，ϕ为直线的倾斜角)，代入曲线C 的普通方程得22sin 4cos 80t t ϕϕ--=，运用韦达定理可得11OA OB ∴+=(0,π)ϕ∈，可求得11OA OB+的范围；【详解】（1）22222cos cos 1+cos 221cos 2sin sin 22x αααααα===-， 24sincos2cos 2sin 2221cos 2sin sin22y ααααααα===-2224cos 24sin 2y x αα∴==，即曲线1C 的普通方程为24y x =，依题意得曲线C 的普通方程为24(2)y x =+，令cos x ρθ=，sin y ρθ=得曲线C 的极坐标方程为22sin 4cos 80ρθρθ--=；（2）法一：将0θθ=代入曲线C 的极坐标方程得2200sin 4cos 80ρθρθ--=，则012204cos sin θρρθ+=，12208sin ρρθ=-，120ρρ<，12,ρρ∴异号121212201111sin OA OB ρρρρρρθ-∴+=+====，0(0,π)θ∈，0sin (0,1]θ∴∈，111(2OA OB ∴+∈；法二:设直线l 的参数方程为cos sin x t y t ϕϕ=⎧⎨=⎩(t 为参数，ϕ为直线的倾斜角)，代入曲线C 的普通方程得22sin 4cos 80t t ϕϕ--=，则1224cos sin t t ϕϕ+=，1228sin t t ϕ=-，120t t <，12,t t ∴异号12121221111sint tOA OB t t t tϕ-∴+=+====(0,π)ϕ∈，sin(0,1]ϕ∴∈，111(2OA OB∴+∈.【点睛】本题考查参数方程与普通方程，极坐标方程与平面直角坐标方程之间的转化，求解几何量的取值范围，关键在于明确极坐标系中极径和极角的几何含义，直线的参数方程，参数的几何意义，属于中档题. 23．已知函数2()1f x x x=-+，且,Rm n∈．（1）若22m n+=，求()2()f m f n+的最小值，并求此时,m n的值；（2）若||1m n-<，求证:|()()|2(||1)f m f n m-<+．【答案】（1）最小值为73，此时23m n==；（2）见解析【解析】（1）由已知得2222()2()(2)(2)321f m f n m n m n m n+=+-++=++，法一:22m n+=，22m n∴=-，根据二次函数的最值可求得；法二:运用基本不等式构造22221(24+4)3m n m n nm+≥+214=(2)=33m n+，可得最值；法三：运用柯西不等式得：222222222=)(111112(()3)3m n m n n m n n+++≥++++，可得最值；（2）由绝对值不等式得，()()11f m f n m n m n m n-=-⋅+-<+-，又1m n+-()(21)211(21)2(1)n m m m n m m m=-+-≤-+-<++=+，可得证.【详解】（1）2222()2()(2)(2)321f m f n m n m n m n+=+-++=++，法一:22m n+=，22m n∴=-，2222277()2()(22)216856()333f m f n n n n n n∴+=-++=-+=-+≥()2()f m f n ∴+的最小值为73，此时23m n ==；法二:22222222221=)=+2(112(36[+4)](3+434)3m n m n m m n n m n n m +++≥+214=(2)=33m n +，47()2()133f m f n ∴+≥+=，即()2()f m f n +的最小值为73，此时23m n ==；法三：由柯西不等式得：2222222222=)(11111142(()(2)333)3m n m n n m n n m n +++≥++=+=++，47()2()133f m f n ∴+≥+=,即()2()f m f n +的最小值为73，此时23m n ==；（2）1m n -<，22()()()()11f m f n m n m n m n m n m n ∴-=---=-⋅+-<+-，又1m n +-()(21)211(21)2(1)n m m m n m m m =-+-≤-+-<++=+，|()()|2(||1)f m f n m ∴-<+.【点睛】本题考查运用基本不等式，柯西不等式，绝对值不等式进行不等式的证明和求解函数的最值，属于中档题.。

江西省九江市2021届新高考数学一模试卷含解析

江西省九江市2021届新高考数学一模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数2()2f x x x =-，集合{|()0}A x f x =≤，{}|()0B x f x '=≤，则A B =I （） A ．[-1,0] B ．[-1,2]C ．[0,1]D ．(,1][2,)-∞⋃+∞【答案】C【解析】【分析】分别求解不等式得到集合,A B ,再利用集合的交集定义求解即可.【详解】2{|20}{|02}A x x x x x =-≤=≤≤,{|220}{|1}B x x x x =-=≤≤，∴{|01}A B x x =I ≤≤．故选C ．【点睛】本题主要考查了集合的基本运算,难度容易.2．双曲线2212y x -=的渐近线方程为（）A ．y x =±B ．y x =±C ．y =D ．y = 【答案】C【解析】【分析】根据双曲线的标准方程，即可写出渐近线方程.【详解】Q 双曲线2212y x -=,∴双曲线的渐近线方程为y =，故选：C【点睛】本题主要考查了双曲线的简单几何性质，属于容易题.3．下列图形中，不是三棱柱展开图的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】【分析】根据三棱柱的展开图的可能情况选出选项.【详解】由图可知，ABD 选项可以围成三棱柱，C 选项不是三棱柱展开图.故选：C【点睛】本小题主要考查三棱柱展开图的判断，属于基础题.4．已知函数()()f x x R ∈满足(1)1f =，且()1f x '<，则不等式()22lg lg f x x <的解集为（） A ．10,10⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()10,10,10骣琪??琪桫C ．1,1010⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()10,+∞ 【答案】B【解析】【分析】构造函数()()g x f x x =-,利用导数研究函数的单调性，即可得到结论.【详解】设()()g x f x x =-,则函数的导数()()1g x f x ''=-,()1f x Q '<，()0g x '∴<，即函数()g x 为减函数,(1)1f =Q ,(1)(1)1110g f ∴=-=-=，则不等式()0<g x 等价为()(1)g x g <，则不等式的解集为1x >,即()f x x <的解为1x >，22(1)1f g x g x Q <，由211g x >得11gx >或11gx <-，解得10x >或1010x <<, 故不等式的解集为10,(10,)10⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭.故选:B . 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数单调性，根据函数的单调性解不等式，考查学生分析问题解决问题的能力,是难题.5．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，262,21a S ==，则5a =A ．3B ．4C ．5D ．6【详解】方法一：设等差数列{}n a 的公差为d ，则112656212ad a d +=⎧⎪⎨⨯+⨯=⎪⎩，解得111a d =⎧⎨=⎩，所以51(51)15a =+-⨯=.故选C ．方法二：因为166256()3()2a a S a a +==+，所以53(2)21a +=，则55a =.故选C ． 6．音乐，是用声音来展现美，给人以听觉上的享受，熔铸人们的美学趣味．著名数学家傅立叶研究了乐声的本质，他证明了所有的乐声都能用数学表达式来描述，它们是一些形如sin a bx 的简单正弦函数的和，其中频率最低的一项是基本音，其余的为泛音．由乐声的数学表达式可知，所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍，称为基本音的谐波．下列函数中不能与函数0.06sin180000y t =构成乐音的是（） A ．0.02sin 360000y t =B ．0.03sin180000y t =C ．0.02sin181800y t =D ．0.05sin 540000y t = 【答案】C【解析】【分析】由基本音的谐波的定义可得12()f nf n *=∈N ,利用12f T ωπ==可得12()n n ωω*=∈N ,即可判断选项. 【详解】由题,所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍,称为基本音的谐波,由12f T ωπ==,可知若12()f nf n *=∈N ,则必有12()n n ωω*=∈N , 故选:C【点睛】本题考查三角函数的周期与频率,考查理解分析能力.7．如图，在三棱锥S ABC -中，SA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，现从该三棱锥的4个表面中任选2个，则选取的2个表面互相垂直的概率为（）A ．12B ．14C ．13D ．23根据线面垂直得面面垂直，已知SA ⊥平面ABC ，由AB BC ⊥，可得BC ⊥平面SAB ，这样可确定垂直平面的对数，再求出四个面中任选2个的方法数，从而可计算概率．【详解】由已知SA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，可得SB BC ⊥，从该三棱锥的4个面中任选2个面共有246C =种不同的选法，而选取的2个表面互相垂直的有3种情况，故所求事件的概率为12．故选：A ．【点睛】本题考查古典概型概率，解题关键是求出基本事件的个数． 8．设实数x 、y 满足约束条件1024x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则23z x y =+的最小值为（）A ．2B ．24C ．16D ．14【答案】D【解析】【分析】做出满足条件的可行域，根据图形即可求解.【详解】做出满足1024x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩的可行域，如下图阴影部分，根据图象，当目标函数23z x y =+过点A 时，取得最小值，由42x x y =⎧⎨-=⎩，解得42x y =⎧⎨=⎩，即(4,2)A ，所以23z x y =+的最小值为14.故选：D.【点睛】本题考查二元一次不等式组表示平面区域，利用数形结合求线性目标函数的最值，属于基础题. 9．在区间[]3,3-上随机取一个数x ，使得301x x -≥-成立的概率为等差数列{}n a 的公差，且264a a +=-，若0n a >，则n 的最小值为（）A ．8B ．9C ．10D ．11 【答案】D【解析】【分析】由题意，本题符合几何概型，只要求出区间的长度以及使不等式成立的x 的范围区间长度，利用几何概型公式可得概率，即等差数列的公差，利用条件2642a a a +=，求得42a =-，从而求得1033n n a =-+，解不等式求得结果.【详解】由题意，本题符合几何概型，区间[]3,3-长度为6，使得301x x -≥-成立的x 的范围为(]1,3，区间长度为2，故使得301x x -≥-成立的概率为2163d ==，又26442a a a +=-=，42a ∴=-，()11024333n n a n ∴=-+-⨯=-+，令0n a >，则有10n >，故n 的最小值为11，故选：D.【点睛】该题考查的是有关几何概型与等差数列的综合题，涉及到的知识点有长度型几何概型概率公式，等差数列的通项公式，属于基础题目.10．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，148AB AA ==，.若E F ，分别是棱1BB CC ，上的点，且1BE B E =，1114C F CC =，则异面直线1A E 与AF 所成角的余弦值为（）A ．210B ．2613C ．1313D ．1310【答案】B【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法计算出异面直线1A E 与AF 所成角的余弦值.【详解】依题意三棱柱底面是正三角形且侧棱垂直于底面.设AB 的中点为O ，建立空间直角坐标系如下图所示.所以()()()()10,2,8,0,2,4,0,2,0,23,0,6A E A F ---，所以()()10,4,4,23,2,6A E AF =-=-u u u r u u u r .所以异面直线1A E 与AF 所成角的余弦值为11824261342213A E AF A E AF⋅-==⨯⋅u u u r u u u r u u u r u u u r . 故选：B【点睛】本小题主要考查异面直线所成的角的求法，属于中档题.11．执行如图所示的程序框图，若输入ln10a =，lg b e =，则输出的值为（）A ．0B ．1C ．2lg eD ．2lg10【答案】A【解析】【分析】根据输入的值大小关系，代入程序框图即可求解.【详解】输入ln10a =，lg b e =，因为ln101lg e >>，所以由程序框图知，输出的值为11ln10ln10ln100lg a b e-=-=-=. 故选：A【点睛】本题考查了对数式大小比较，条件程序框图的简单应用，属于基础题.12．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线()220y px p =>上任意一点，M 是线段PF 上的点，且2PM MF =,则直线OM 的斜率的最大值为( )A 3B ．23C 2D ．1【答案】C【解析】试题分析：设200,)2y P y p （，由题意(,0)2p F ，显然00y <时不符合题意，故00y >，则 2001112()(,)3333633y y p OM OF FM OF FP OF OP OF OP OF p =+=+=+-=+=+u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，可得：2000232263OM y k y p y p p y p ==≤=++，当且仅当22002,y p y ==时取等号，故选C ．考点：1．抛物线的简单几何性质；2．均值不等式．【方法点晴】本题主要考查的是向量在解析几何中的应用及抛物线标准方程方程，均值不等式的灵活运用，属于中档题．解题时一定要注意分析条件，根据条件2PM MF =，利用向量的运算可知200(,)633y y p M p +，写出直线的斜率，注意均值不等式的使用，特别是要分析等号是否成立，否则易出问题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

江西省九江市2021届新高考一诊数学试题含解析

江西省九江市2021届新高考一诊数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数2()ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点1x ，2x ，若不等式()()()12122f x f x x x t+>++有解，则t 的取值范围是（） A ．(,2ln 2)-∞- B ．(],2ln 2-∞- C ．(,112ln 2)-∞-+ D ．(],112ln 2-∞-+【答案】C 【解析】【分析】先求导得221()ax x f x x -+='（0x >），由于函数()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，转化为方程2210ax x -+=有两个不相等的正实数根，根据∆，12x x +，12x x ⋅，求出a 的取值范围，而()()()12122f x f x x x t +>++有解，通过分裂参数法和构造新函数51()1ln(2)048h a a a a ⎛⎫=---<< ⎪⎝⎭，通过利用导数研究()h a 单调性、最值，即可得出t 的取值范围. 【详解】由题可得：221()ax x f x x-+='（0x >），因为函数2()ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点1x ，2x ，所以方程2210ax x -+=有两个不相等的正实数根，于是有1212180,10,210,2a x x a x x a ⎧⎪∆=->⎪⎪+=>⎨⎪⎪=>⎪⎩解得108a <<. 若不等式()()()12122f x f x x x t +>++有解，所以()()()1212max 2t f x f x x x <+-+⎡⎤⎣⎦因为()()()12122f x f x x x +-+()2211122212ln ln 2ax x x ax x x x x =-++-+-+()()()21212121223ln a x x x x x x x x ⎡⎤=+--++⎣⎦51ln(2)4a a=---.设51()1ln(2)048h a a a a ⎛⎫=---<< ⎪⎝⎭， 254()04a h a a -'=>，故()h a 在10,8⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故1()112ln 28h a h ⎛⎫<=-+ ⎪⎝⎭，所以112ln 2t <-+，所以t 的取值范围是(,112ln 2)-∞-+. 故选：C. 【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性、最值来求参数取值范围，以及运用分离参数法和构造函数法，还考查分析和计算能力，有一定的难度.2．已知直线,m n 和平面α，若m α⊥，则“m n ⊥”是“//n α”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．不充分不必要【答案】B 【解析】【分析】由线面关系可知m n ⊥，不能确定n 与平面α的关系，若//n α一定可得m n ⊥，即可求出答案. 【详解】,m m n α⊥⊥Q ,不能确定αn ⊂还是αn ⊄，//m n n α∴⊥¿，当//n α时，存在a α⊂，//,n a ，由,m m a α⊥⇒⊥ 又//,n a 可得m n ⊥，所以“m n ⊥”是“//n α”的必要不充分条件，故选：B 【点睛】本题主要考查了必要不充分条件，线面垂直，线线垂直的判定，属于中档题.3．已知定义在R 上函数()f x 的图象关于原点对称，且()()120f x f x ++-=，若()11f =，则()1(2)(3)(2020)f f f f ++++=L （）A ．0B ．1C ．673D ．674【答案】B 【解析】【分析】由题知()f x 为奇函数，且()()120f x f x ++-=可得函数()f x 的周期为3，分别求出()00f ，=()11f =，()21f =-，知函数在一个周期内的和是0，利用函数周期性对所求式子进行化简可得.【详解】因为()f x 为奇函数，故()00f =；因为()()120f x f x ++-=，故()()()122f x f x f x +=--=-，可知函数()f x 的周期为3；在()()120f x f x ++-=中，令1x =，故()()211f f =-=-，故函数()f x 在一个周期内的函数值和为0，故(1)(2)(3)(2020)(1)1f f f f f ++++==L . 故选：B. 【点睛】本题考查函数奇偶性与周期性综合问题. 其解题思路：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解． 4．已知函数()f x 的导函数为()f x '，记()()1f x f x '=，()()21f x f x '=，…，()()1n n f x f x +'=(n ∈N *). 若()sin f x x x =，则()()20192021f x f x += （） A ．2cos x - B ．2sin x -C ．2cos xD ．2sin x【答案】D 【解析】【分析】通过计算()()()()()12345,,,,f x f x f x f x f x ，可得()()()()4342414,,,k k k k f x f x f x f x ---，最后计算可得结果. 【详解】由题可知：()sin f x x x =所以()()12sin cos ,2cos sin f x x x x f x x x x =+=-()()343sin cos ,4cos sin f x x x x f x x x x =--=-+()55sin cos ,f x x x x =+⋅⋅⋅所以猜想可知：()()4343sin cos k f x k x x x -=-+()()4242cos sin k f x k x x x -=-- ()()4141sin cos k f x k x x x -=--- ()44cos sin k f x k x x x =-+由201945051,202145063=⨯-=⨯- 所以()20192019sin cos f x x x x =--()20212021sin cos f x x x x =+所以()()201920212sin f x f x x += 故选：D 【点睛】本题考查导数的计算以及不完全归纳法的应用，选择题、填空题可以使用取特殊值，归纳猜想等方法的使用，属中档题.5．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若5632a a a +=+，则7S =（） A ．28 B ．14C ．7D ．2【答案】B 【解析】【分析】根据等差数列的性质6345a a a a +=+并结合已知可求出4a ，再利用等差数列性质可得1774()772a a S a +==，即可求出结果．【详解】因为6345a a a a +=+，所以5452a a a +=+，所以42a =，所以17747()7142a a S a +===，故选：B 【点睛】本题主要考查等差数列的性质及前n 项和公式，属于基础题．6．若01a b <<<，则b a ， a b ， log b a ，1log ab 的大小关系为（）A ．1log log b a b aa b a b >>> B ．1log log a bb ab a b a >>>C ．1log log b ab aa ab b >>>D ．1log log a bb aa b a b >>>【答案】D 【解析】因为01a b <<<，所以10a a b b a a >>>>，因为log log 1b b a b >>，01a <<，所以11a>,1log 0a b <.综上1log log a bb aa b a b >>>；故选D. 7．已知等差数列{}n a 满足1=2a ，公差0d ≠，且125,,a a a 成等比数列，则=d A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】D 【解析】【分析】先用公差d 表示出25,a a ，结合等比数列求出d . 【详解】252,24a d a d =+=+,因为125,,a a a 成等比数列，所以2(2)2(24)d d +=+，解得4d =.【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式.属于简单题，化归基本量，寻求等量关系是求解的关键. 8．已知(0,)απ∈，且tan 2α=，则cos2cos αα+=（）A B ．C D 【答案】B 【解析】分析：首先利用同角三角函数关系式，结合题中所给的角的范围，求得cos α的值，之后借助于倍角公式，将待求的式子转化为关于cos α的式子，代入从而求得结果. 详解：根据题中的条件，可得α为锐角，根据tan 2α=，可求得cos 5α=，而22cos 2cos 2cos cos 115αααα+=+-=+-=，故选B. 点睛：该题考查的是有关同角三角函数关系式以及倍角公式的应用，在解题的过程中，需要对已知真切求余弦的方法要明确，可以应用同角三角函数关系式求解，也可以结合三角函数的定义式求解.9．如图所示，用一边长为2的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为43π的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋（球体）离蛋巢底面的最短距离为（）A ．212 B ．212C 61- D ．312【答案】D 【解析】因为蛋巢的底面是边长为1的正方形，所以过四个顶点截鸡蛋所得的截面圆的直径为1，又因为鸡蛋的体积为4π3，所以球的半径为1，所以球心到截面的距离1314d =-=31-12，故球体到蛋巢底面的最短距离为133112⎛--= ⎝⎭. 点睛:本题主要考查折叠问题，考查球体有关的知识.在解答过程中，如果遇到球体或者圆锥等几何体的内接或外接几何体的问题时，可以采用轴截面的方法来处理.也就是画出题目通过球心和最低点的截面，然后利用弦长和勾股定理来解决.球的表面积公式和体积公式是需要熟记的.10．已知函数()1f x +是偶函数，当()1,x ∈+∞时，函数()f x 单调递减，设12a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()3b f =，()0c f =，则a b c 、、的大小关系为（）A ．b a c <<B ．c b d <<C ．b c a <<D ．a b c <<【答案】A 【解析】【分析】根据()1f x +图象关于y 轴对称可知()f x 关于1x =对称，从而得到()f x 在(),1-∞上单调递增且()()31f f =-；再根据自变量的大小关系得到函数值的大小关系.【详解】()1f x +Q 为偶函数 ()1f x ∴+图象关于y 轴对称()f x ∴图象关于1x =对称()1,x ∈+∞Q 时，()f x 单调递减 (),1x ∈-∞∴时，()f x 单调递增又()()31f f =-且1102-<-< ()()1102f f f ⎛⎫∴-<-< ⎪⎝⎭，即b a c << 本题正确选项：A 【点睛】本题考查利用函数奇偶性、对称性和单调性比较函数值的大小关系问题，关键是能够通过奇偶性和对称性得到函数的单调性，通过自变量的大小关系求得结果.11．函数y =A ，集合(){}2log 11B x x =+>，则A B =I （）A ．{}12x x <≤ B ．{}22x x -≤≤C ．{}23x x -<<D ．{}13x x <<【答案】A 【解析】【分析】根据函数定义域得集合A ，解对数不等式得到集合B ，然后直接利用交集运算求解. 【详解】解：由函数y =得240x -≥，解得22x -≤≤，即{}22A x x =-≤≤；又()22log 11og 2l x +>=，解得1x >，即{}1B x x =>，则{}12A B x x ⋂=<≤. 故选：A. 【点睛】本题考查了交集及其运算，考查了函数定义域的求法，是基础题. 12．设复数z 满足i(i i2i z z -=-为虚数单位)，则z =（） A ．13i 22- B ．13i 22+ C ．13i 22--D ．13i 22-+ 【答案】B 【解析】【分析】易得2i1iz +=-，分子分母同乘以分母的共轭复数即可. 【详解】由已知，i i 2z z -=+，所以2i (2i)(1i)13i 13i 1i 2222z ++++====+-. 故选：B.【点睛】本题考查复数的乘法、除法运算，考查学生的基本计算能力，是一道容易题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021届江西省九江一中高考数学适应性试卷(理科)(一)(5月份)(含答案解析)

2021届江西省九江一中高考数学适应性试卷(理科)(一)(5月份)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合U={0,1，2，3}，集合A={1,2}，B={2,3}，则(∁U A)∪B=()A. {3}B. {0,1，2}C. {0,2，3}D. {1,2，3}2.如图，复平面上的点Z1，Z2，Z3，Z4到原点的距离都相等，若复数z所对应的点为Z1，则复数z⋅i(i是虚数单位)的共轭复数所对应的点为()A. Z1B. Z2C. Z3D. Z43.设双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点与抛物线y2=8x的焦点相同，双曲线C的一条渐近线方程为√3x+y=0，则双曲线C的方程为()A. x23−y2=1 B. x2−y23=1 C. x24−y212=1 D. x212−y24=14.设a⃗，b⃗ 是两个非零向量．则下列命题为真命题的是()A. 若|a⃗+b⃗ |=|a⃗|−|b⃗ |，则a⃗⊥b⃗B. 若a⃗⊥b⃗ ，则|a⃗+b⃗ |=|a⃗|−|b⃗ |C. 若|a⃗+b⃗ |=|a⃗|−|b⃗ |，则存在实数λ，使得b⃗ =λa⃗D. 若存在实数λ，使得b⃗ =λa⃗，则|a⃗+b⃗ |=|a⃗|−|b⃗ |5.下列各式中，值为√32的是()A. sin15°cos15°B. cos2π12−sin2π12C. 1+tan15°1−tan15∘D. √1+cos30°26.已知函数f(x)=x2+bsinx，其中b为常数．那么“b=0”是“f(x)为偶函数”的()A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7.设函数f(x)=3sin(ωx+π6)(ω>0)的周期是π，则()A. f(x)的图象过点(0,12)B. f(x)在[π12,2π3]上是减函数C. f(x)的一个对称中心是(5π12,0)D. 将f(x)的图象向右平移π6个单位得到函数y=3sinωx的图象8.若log2x=log3y=log5z<−2，则()A. 2x<3y<5zB. 5z<3y<2xC. 3y<2x<5zD. 5z<2x<3y9.如图的折线图是某口罩制造厂2019年6月至2020年5月份的收入与支出数据，若从2020年1月至5月这5个月中任意选2个月的数据进行分析，则这2个月的利润都不高于30万的概率为()(利润=收入−支出)A. 15B. 25C. 35D. 4510.设抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F，准线为l.过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B.设C(0,7p2)，AF与BC相交于点E.若|CF|=2|AF|，且△ACE的面积为3√2，则p的值()A. √2B. 2C. √6D. 2√211.如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，给出以下四个命题：①异面直线C1P与CB1所成的角为定值；②二面角P−BC1−D的大小为定值；③三棱锥D−BPC1的体积为定值；其中真命题的个数为()A. 0B. 1C. 2D. 312.已知函数y=xlnx，则其在点(e,e)处的切线的斜率是()A. 1B. 2C. 1eD. e二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若(1+x+x2)6=a0+a1x+a2x2+⋯+a12x12，则a2+a4+⋯+a12=______ ．14.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a2=1，S7=35，则a6的值为______．15.实数x，y满足不等式组{(x−y−1)(2x+y−5)≥00≤x≤2则t=|x+y|x+1的取值范围是______．16.在△ABC中，已知A=60°，b=2，S△ABC=2√3，则asinA=______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，三个内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且√3bsinC+ccosB=2c．(Ⅰ)求角B；(Ⅱ)若△ABC的面积S=√3，a+c=4，求b的值．18.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB=AA1=2，AC=√5，BC=3，M，N分别为B1C1，AA1的中点(1)求证：AB⊥平面AA1C1C(2)判断MN与平面ABC1的位置关系，求四面体ABC1M的体积．19.为了解大学生每年旅游消费支出(单位：百元)的情况，随机抽取了某大学的2000名学生进行问卷调查，并把所得数据列成如下所示的频数分布表：组别[0,20)[20,40)[40,60)[60,80)[80,100]频数115009005809(Ⅰ)根据样本数据，可近似地认为学生的旅游费用支出Z服从正态分布N(51,152)，若该所大学共有学生45000人，试估计有多少位同学旅游费用支出在8100元以上(Ⅱ)已知样本数据中旅游费用支出在[80,100)范围内的9名学生中有5名男生，4名女生，现想选其中3名学生回访，记选出的女生人数为Y，求Y的分布列与数学期望．附：若X～N(μ,σ2)，则P(μ−σ<x<μ+σ)=0.6826P((μ−2σ<x<μ+2σ))=0.9544P((μ−3σ<x <μ+3σ))=0.997320. 已知直线l ：y =x +n 与椭圆G ：(3−m)x 2+my 2=m(3−m)交于两点B ，C ．(Ⅰ)若椭圆G 的焦点在y 轴上，求m 的取值范围；(Ⅱ)若A(0,1)在椭圆上，且以BC 为直径的圆过点A ，求直线l 的方程．21. 已知函数(其中为常数)．(Ⅰ)当时，求函数的单调区间； (Ⅱ)当时，设函数的3个极值点为，且．证明：．22. 已知曲线C 1的参数方程为{x =2+13ty =2√23t(t 为参数)，在以O 为极点，以x 轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2的极坐标方程为ρ=4cosθ，曲线C 1与C 2交于两点P ，Q ， (Ⅰ)求曲线C 2的直角坐标方程． (Ⅱ)求|PQ|的值．23. 已知函数f(x)=lnx −12ax 2+x ，a ∈R ．(1)若a =2，求函数f(x)的单调递减区间；(2)若关于x 的不等式f(x)≤ax −1恒成立，求整数a 的最小值．【答案与解析】1.答案：C解析：解：∵U={0,1，2，3}，集合A={1,2}，B={2,3}，∴∁U A={0,3}，∴(∁U A)∪B={0,2，3}．故选：C．利用集合的基本运算求集合即可．本题主要考查集合的基本运算，要求熟练掌握集合的交，并，补运算．2.答案：B解析：解：由题意可知复数z所对应的点为Z1，是虚部大于0的纯虚数，则复数z⋅i是负实数，对应点在x负半轴，即Z2，共轭复数是Z2．故选：B．判断复数的几何意义，利用复数的乘法运算法则，推出结果即可．本题考查复数的基本概念，复数的几何意义，考查计算能力．3.答案：B解析：解：双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点与抛物线y2=8x的焦点相同，所以c=2，双曲线C的一条渐近线方程为√3x+y=0，可得b=√3a，a2+b2=4，解得a=1，b=√3，所以所求的双曲线方程为：x2−y23=1．故选：B．求出抛物线的焦点坐标，得到双曲线的焦点坐标，利用双曲线的渐近线方程，求出a，b然后求解双曲线方程．本题考查抛物线以及双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，是基本知识的考查，基础题．4.答案：C解析：解：对于A，若|a⃗+b⃗ |=|a⃗|−|b⃗ |，则|a⃗|2+|b⃗ |2+2a⃗⋅b⃗ =|a⃗|2+|b⃗ |2−2|a⃗||b⃗ |，得a⃗⋅b⃗ =−|a⃗||b⃗ |≠0，a⃗与b⃗ 不垂直，所以A不正确；对于B，由A解析可知，|a⃗+b⃗ |≠|a⃗|−|b⃗ |，所以B不正确；对于C，若|a⃗+b⃗ |=|a⃗|−|b⃗ |，则|a⃗|2+|b⃗ |2+2a⃗⋅b⃗ =|a⃗|2+|b⃗ |2−2|a⃗||b⃗ |，得a⃗⋅b⃗ =−|a⃗||b⃗ |，则cosθ=−1，则a⃗与b⃗ 反向，因此存在实数λ，使得b⃗ =λa⃗，所以C正确．。

江西省九江市2021届新高考第一次质量检测数学试题含解析

江西省九江市2021届新高考第一次质量检测数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知向量(,1),(3,2)a m b m ==-r r，则3m =是//a b r r 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充要条件【答案】A 【解析】【分析】向量1a m =r （，），32b m =-r （，），//a b r r，则32m m =-（），即2230m m --=，3m =或者-1，判断出即可．【详解】解：向量1a m =r （，），32b m =-（,）r ， //a b r r，则32mm =-（），即2230m m --=， 3m =或者-1，所以3m =是3m =或者1m =-的充分不必要条件，故选：A ．【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查向量平行的坐标表示，属于基础题.2．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一个焦点为F ，点,A B 是C 的一条渐近线上关于原点对称的两点，以AB 为直径的圆过F 且交C 的左支于,M N 两点，若|MN|=2，ABF ∆的面积为8，则C 的渐近线方程为（）A ．y =B ．y x =C ．2y x =±D ．12y x =±【答案】B 【解析】【分析】由双曲线的对称性可得'ABF AFF S S ∆∆=即8bc =，又222b MN c==，从而可得C 的渐近线方程.【详解】设双曲线的另一个焦点为'F ，由双曲线的对称性，四边形'AFBF 是矩形，所以'ABF AFF S S ∆∆=，即8bc =，由22222221x y c x y ab ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，得：2b yc =±，所以222b MN c ==，所以2b c =，所以2b =，4c =，所以a =C的渐近线方程为y x =. 故选B 【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，考查直线与圆的位置关系，考查数形结合思想与计算能力，属于中档题. 3．已知全集U =R ，集合{|lg(1)}A x y x ==-，|B x y ⎧==⎨⎩则()U A B =I ð（） A ．(1,)+∞ B ．(0,1) C ．(0,)+∞D ．[1,)+∞【答案】D 【解析】【分析】根据函数定义域的求解方法可分别求得集合,A B ，由补集和交集定义可求得结果. 【详解】{}()10,1A x x =->=-∞Q ，()0,B =+∞，[)1,U A ∴=+∞ð， ()[)1,U A B ∴=+∞I ð. 故选：D . 【点睛】本题考查集合运算中的补集和交集运算问题，涉及到函数定义域的求解，属于基础题. 4．已知{}n a 为等差数列，若2321a a =+，4327a a =+，则5a =( ) A ．1 B ．2C ．3D ．6【答案】B 【解析】【分析】利用等差数列的通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出5a ．【详解】∵{a n }为等差数列，2343a 2a 1,a 2a 7=+=+,∴()()1111a d 2a 2d 1a 3d 2a 2d 7⎧+=++⎪⎨+=++⎪⎩，解得1a ＝﹣10，d ＝3， ∴5a ＝1a +4d ＝﹣10+11＝1．故选：B ．【点睛】本题考查等差数列通项公式求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 5．已知命题p ：x ∀∈R ，210x x -+<；命题 q ：x ∃∈R ，22x x >，则下列命题中为真命题的是（）A ．p q ∧B ．p q ⌝∧C ．p q ∧⌝D ．p q ⌝∧⌝【答案】B 【解析】【分析】根据∆<0，可知命题p 的真假，然后对x 取值，可得命题 q 的真假，最后根据真值表，可得结果.【详解】对命题p ：可知()2140∆=--<，所以x ∀∈R ，210x x -+> 故命题p 为假命题命题q ：取3x =，可知2332> 所以x ∃∈R ，22x x > 故命题q 为真命题所以p q ⌝∧为真命题故选：B 【点睛】本题主要考查对命题真假的判断以及真值表的应用，识记真值表，属基础题.6．中国古典乐器一般按“八音”分类．这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，最先见于《周礼·春官·大师》，分为“金、石、土、革、丝、木、匏（páo ）、竹”八音，其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器．现从“八音”中任取不同的“两音”，则含有打击乐器的概率为（）A ．314B ．1114C ．114D ．27【答案】B 【解析】【分析】分别求得所有基本事件个数和满足题意的基本事件个数，根据古典概型概率公式可求得结果. 【详解】从“八音”中任取不同的“两音”共有2828C =种取法；“两音”中含有打击乐器的取法共有228422C C -=种取法；∴所求概率22112814p ==. 故选：B . 【点睛】本题考查古典概型概率问题的求解，关键是能够利用组合的知识求得基本事件总数和满足题意的基本事件个数.7．如图，在平行四边形ABCD 中，O 为对角线的交点，点P 为平行四边形外一点，且AP OB P ，BP OA P ，则DP =u u u v（）A ．2DA DC +u u u v u u u vB ．32DA DC +u u uv u u u vC ．2DA DC +u u u v u u u vD ．3122DA DC +u u uv u u u v【答案】D 【解析】【分析】连接OP ，根据题目，证明出四边形APOD 为平行四边形，然后，利用向量的线性运算即可求出答案【详解】连接OP ，由AP OB P ，BP OA P 知，四边形APBO 为平行四边形，可得四边形APOD 为平行四边形，所以1122DP DA DO DA DA DC =+=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 3122DA DC =+u u u r u u u r .【点睛】本题考查向量的线性运算问题，属于基础题8．如图，平面四边形ACBD 中，AB BC ⊥，AB DA ⊥，1AB AD ==，2BC =，现将ABD △沿AB 翻折，使点D 移动至点P ，且PA AC ⊥，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（）A ．8πB ．6πC ．4πD ．823【答案】C 【解析】【分析】由题意可得PA ⊥面ABC ，可知PA BC ⊥，因为AB BC ⊥，则BC ⊥面PAB ，于是BC PB ⊥.由此推出三棱锥P ABC -外接球球心是PC 的中点，进而算出2CP =，外接球半径为1，得出结果. 【详解】解：由DA AB ⊥，翻折后得到PA AB ⊥，又PA AC ⊥，则PA ⊥面ABC ，可知PA BC ⊥．又因为AB BC ⊥，则BC ⊥面PAB ，于是BC PB ⊥，因此三棱锥P ABC -外接球球心是PC 的中点．计算可知2CP =，则外接球半径为1，从而外接球表面积为4π．故选：C. 【点睛】本题主要考查简单的几何体、球的表面积等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力及创新意识，属于中档题．9．已知底面为边长为2的正方形，侧棱长为1的直四棱柱1111ABCD A B C D -中，P 是上底面1111D C B A 上的动点.给出以下四个结论中，正确的个数是（） ①与点D 3P 形成一条曲线，则该曲线的长度是2π； ②若//DP 面1ACB ，则DP 与面11ACC A 所成角的正切值取值范围是62⎡⎢⎣； ③若3DP =，则DP 在该四棱柱六个面上的正投影长度之和的最大值为2A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C 【解析】【分析】①与点D 3P 形成以1D 2的14圆弧MN ，利用弧长公式，可得结论；②当P 在1A （或1)C 时，DP 与面11ACC A 所成角1DA O ∠（或1)DC O ∠的正切值为63最小，当P 在1O 时，DP 与面11ACC A 所成角1DO O ∠2最大，可得正切值取值范围是6[2]；③设(P x ，y ，1)，则2213x y ++=，即222x y +=，可得DP 在前后、左右、上下面上的正投影长，即可求出六个面上的正投影长度之和．【详解】如图：①错误，因为()222211312D P DP DD =-=-=，与点D 3的点P 形成以1D 为圆心，2的14圆弧MN ，长度为12224⋅=； ②正确，因为面11//A DC 面1ACB ，所以点P 必须在面对角线11A C 上运动，当P 在1A （或1C ）时，DP与面11ACC A 所成角1DA O ∠（或1DC O ∠）的正切值为63最小（O 为下底面面对角线的交点），当P 在1O 时，DP与面11ACC A 所成角1DO O ∠的正切值为2最大，所以正切值取值范围是6,2⎡⎤⎢⎥⎣；③正确，设(),,1P x y ，则2213x y ++=，即222x y +=，DP 在前后、左右、上下面上的正投影长分别为21y +，21x +，22x y +，所以六个面上的正投影长度之()2222112112222622y x y x ⎛⎫+++++++≤+= ⎪ ⎪⎝⎭，当且仅当P 在1O 时取等号.故选：C .【点睛】本题以命题的真假判断为载体，考查了轨迹问题、线面角、正投影等知识点，综合性强，属于难题．10．不等式组201230x y y x x y -≥⎧⎪⎪≥⎨⎪+-≤⎪⎩表示的平面区域为Ω，则（）A ．(),x y ∀∈Ω，23x y +>B ．(),x y ∃∈Ω，25x y +>C ．(),x y ∀∈Ω，231y x +>- D ．(),x y ∃∈Ω，251y x +>- 【答案】D 【解析】【分析】根据题意，分析不等式组的几何意义，可得其表示的平面区域，设1222,1y z x y z x +=+=-，分析12,z z 的几何意义，可得12,z z 的最小值，据此分析选项即可得答案. 【详解】解：根据题意，不等式组201230x y y x x y -≥⎧⎪⎪≥⎨⎪+-≤⎪⎩其表示的平面区域如图所示，其中()2,1A ，()1,2B ，设12z x y =+，则122z x y =-+，1z 的几何意义为直线122zx y =-+在y 轴上的截距的2倍，由图可得：当122zx y =-+过点()1,2B 时，直线12z x y =+在y 轴上的截距最大，即25x y +≤，当122zx y =-+过点原点时，直线12z x y =+在y 轴上的截距最小，即20x y +≥，故AB 错误；设221y z x +=-，则2z 的几何意义为点(),x y 与点()1,2-连线的斜率，由图可得2z 最大可到无穷大，最小可到无穷小，故C 错误，D 正确；故选：D. 【点睛】本题考查本题考查二元一次不等式的性质以及应用，关键是对目标函数几何意义的认识，属于基础题. 11．设，则"是""的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据题意得到充分性，验证得出不必要，得到答案.【详解】，当时，，充分性；当，取，验证成立，故不必要.故选：. 【点睛】本题考查了充分不必要条件，意在考查学生的计算能力和推断能力. 12．已知函数||()()x f x x R =∈，若关于x 的方程()10f x m -+=恰好有3个不相等的实数根，则实数m 的取值范围为（）A ．(21),e B ．(20,)e C ．(11,1)e+D ．21,1()e+ 【答案】D 【解析】【分析】讨论0x >，0x =，0x <三种情况，求导得到单调区间，画出函数图像，根据图像得到答案. 【详解】当0x >时，()xx f x e =，故'()2x f x xe =，函数在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递减，且122e f ⎛⎫=⎪⎝⎭；当0x =时，()00f =；当0x <时，()x f x -=，'()02x f e x x =-<，函数单调递减；如图所示画出函数图像，则12012e m f ⎛⎫<-<= ⎪⎝⎭，故()21,1e m +∈. 故选：D .【点睛】本题考查了利用导数求函数的零点问题，意在考查学生的计算能力和应用能力.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

江西省九江市2021届新高考数学第一次押题试卷含解析

江西省九江市2021届新高考数学第一次押题试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．函数y=2x sin2x 的图象可能是 A ． B ．C ．D ．【答案】D【解析】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在π(,π)2上的符号，即可判断选择. 详解：令()2sin 2x f x x =，因为,()2sin 2()2sin 2()x x x R f x x x f x -∈-=-=-=-，所以()2sin 2x f x x =为奇函数，排除选项A,B;因为π(,π)2x ∈时，()0f x <，所以排除选项C ，选D.点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．2．已知不重合的平面,,αβγ 和直线l ，则“//αβ ”的充分不必要条件是（）A ．α内有无数条直线与β平行B ．l α⊥ 且l β⊥C ．αγ⊥ 且γβ⊥D ．α内的任何直线都与β平行【答案】B【解析】【分析】根据充分不必要条件和直线和平面，平面和平面的位置关系，依次判断每个选项得到答案.【详解】A. α内有无数条直线与β平行，则,αβ相交或//αβ，排除；B. l α⊥ 且l β⊥，故//αβ，当//αβ，不能得到l α⊥ 且l β⊥，满足；C. αγ⊥ 且γβ⊥，//αβ，则,αβ相交或//αβ，排除；D. α内的任何直线都与β平行，故//αβ，若//αβ，则α内的任何直线都与β平行，充要条件，排除.故选：B .【点睛】本题考查了充分不必要条件和直线和平面，平面和平面的位置关系，意在考查学生的综合应用能力.3．设双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F ，点()()0,0E t t >.已知动点P 在双曲线C 的右支上，且点2,,P E F 不共线.若2PEF ∆的周长的最小值为4b ，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是（）A ．3⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭B ．1,3⎛ ⎝⎦C ．)+∞D ．(【答案】A【解析】【分析】依题意可得22221PEF C PE PF EF PE PF EF ∆=++=++1224PF a b ≥-=即可得到()242a b a c +>+，从而求出双曲线的离心率的取值范围；【详解】解：依题意可得如下图象，22221PEF C PE PF EF PE PF EF ∆=++=++112PE PF EF a =++-1224PF a b ≥-=()12242PF a b a c ∴=+>+所以2b c >则22244c a c ->所以2234c a >所以22243cea=>所以23e>，即23,3e⎛⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭故选：A【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，属于中档题.4．在正项等比数列{a n}中，a5-a1=15，a4-a2 =6，则a3=（）A．2 B．4 C．12D．8【答案】B【解析】【分析】根据题意得到4511115a a a q a-=-=，342116a a a q a q-=-=，解得答案.【详解】4511115a a a q a-=-=，342116a a a q a q-=-=，解得112aq=⎧⎨=⎩或11612aq=-⎧⎪⎨=⎪⎩（舍去）.故2314a a q==.故选：B.【点睛】本题考查了等比数列的计算，意在考查学生的计算能力.5．已知命题p：若1a>，1b c>>，则log logb ca a<；命题q：()0,x∃+∞，使得0302logx x<”，则以下命题为真命题的是（）A ．p q ∧B ．()p q ∧⌝C ．()p q ⌝∧D ．()()p q ⌝∧⌝【答案】B【解析】【分析】先判断命题,p q 的真假,进而根据复合命题真假的真值表,即可得答案.【详解】 1log logb a a b =，1log logc a a c =，因为1a >，1b c >>，所以0log log a a c b <<，所以11log log a a c b>，即命题p 为真命题；画出函数2x y =和3log y x =图象，知命题q 为假命题,所以()p q ∧⌝为真.故选:B.【点睛】本题考查真假命题的概念,以及真值表的应用,解题的关键是判断出命题,p q 的真假,难度较易.6．函数()cos2x f x π=与()g x kx k =-在[]6,8-上最多有n 个交点，交点分别为(),x y （1i =，……，n ），则()1n i i i x y =+=∑（） A ．7B ．8C ．9D ．10 【答案】C【解析】【分析】根据直线()g x 过定点()1,0，采用数形结合，可得最多交点个数，然后利用对称性，可得结果.【详解】由题可知：直线()g x kx k =-过定点()1,0且()cos2x f x π=在[]6,8-是关于()1,0对称如图通过图像可知：直线()g x 与()f x 最多有9个交点同时点()1,0左、右边各四个交点关于()1,0对称所以()912419i ii x y =+=⨯+=∑ 故选：C【点睛】本题考查函数对称性的应用，数形结合，难点在于正确画出图像，同时掌握基础函数cos y x =的性质，属难题.7．正ABC ∆的边长为2，将它沿BC 边上的高AD 翻折，使点B 与点C 间的距离为3，此时四面体A BCD -的外接球表面积为（）A ．103πB ．4πC ．133πD ．7π【答案】D【解析】【分析】如图所示，设AD 的中点为2O ，BCD ∆的外接圆的圆心为1O ，四面体A BCD -的外接球的球心为O ，连接12,,OO OO OD ，利用正弦定理可得11DO =，利用球心的性质和线面垂直的性质可得四边形21OO DO 为平行四边形，最后利用勾股定理可求外接球的半径，从而可得外接球的表面积.【详解】如图所示，设AD 的中点为2O ，BCD ∆外接圆的圆心为1O ，四面体A BCD -的外接球的球心为O ，连接12,,OO OO OD ，则1OO ⊥平面BCD ，2OO AD ⊥.因为1,CD BD BC ===，故231cos 2112BDC -∠==-⨯⨯，因为()0,BDC π∠∈，故23BDC π∠=.由正弦定理可得1222sin 3DO π==，故11DO =，又因为AD =22DO =. 因为,,AD DB AD CD DB CD D ⊥⊥⋂=，故AD ⊥平面BCD ，所以1//OO AD ，因为AD ⊥平面BCD ，1DO ⊂平面BCD ，故1AD DO ⊥，故21//OO DO ，所以四边形21OO DO为平行四边形，所以12OO DO ==，所以2OD ==，故外接球的半径为2，外接球的表面积为74=74ππ⨯. 故选：D.【点睛】本题考查平面图形的折叠以及三棱锥外接球表面积的计算，还考查正弦定理和余弦定理，折叠问题注意翻折前后的变量与不变量，外接球问题注意先确定外接球的球心的位置，然后把半径放置在可解的直角三角形中来计算，本题有一定的难度.8．设1tan 2α=，4cos()((0,))5πββπ+=-∈，则tan 2()αβ-的值为（） A ．724-B ．524-C ．524D ．724【答案】D【解析】【分析】利用倍角公式求得tan2α的值，利用诱导公式求得cos β的值，利用同角三角函数关系式求得sin β的值，进而求得tan β的值，最后利用正切差角公式求得结果.【详解】1tan 2α=，22tan 4tan21tan 3ααα==-， ()4cos cos 5πββ+=-=-，()(0,βπ∈， 4cos 5β∴=，3sin 5β=，3tan 4β=，()43tan2tan 734tan2431tan2tan 24134αβαβαβ---===++⨯，故选：D.【点睛】该题考查的是有关三角函数求值问题，涉及到的知识点有诱导公式，正切倍角公式，同角三角函数关系式，正切差角公式，属于基础题目.9．已知函数21,0()2ln(1),0x x x f x x x ⎧-+<⎪=⎨⎪+≥⎩，若函数()()g x f x kx =-有三个零点，则实数k 的取值范围是（）A ．112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ．112⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．(0,1)D ．12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，【答案】B【解析】【分析】根据所给函数解析式，画出函数图像.结合图像，分段讨论函数的零点情况：易知0x =为()()g x f x kx =-的一个零点；对于当0x <时，由代入解析式解方程可求得零点，结合0x <即可求得k 的范围；对于当0x >时，结合导函数，结合导数的几何意义即可判断k 的范围.综合后可得k 的范围.【详解】根据题意，画出函数图像如下图所示：函数()()g x f x kx =-的零点，即()f x kx =.由图像可知，(0)0f =，所以0x =是0()f x kx -=的一个零点，当0x <时，21()2f x x x =-+，若0()f x kx -=，则2102x x kx -+-=，即12x k =-，所以102k -<，解得12k <；当0x >时，()ln(1)f x x =+，则1()1f x x '=+，且()10,11x ∈+ 若0()f x kx -=在0x >时有一个零点，则()0,1k ∈，综上可得1,12k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故选：B.【点睛】本题考查了函数图像的画法，函数零点定义及应用，根据零点个数求参数的取值范围，导数的几何意义应用，属于中档题.10．已知{}n a 为等比数列，583a a +=-，4918a a =-，则211a a +=（）A ．9B ．－9C ．212D ．214- 【答案】C【解析】【分析】根据等比数列的下标和性质可求出58,a a ,便可得出等比数列的公比,再根据等比数列的性质即可求出211a a +.【详解】∵4958+=+,∴495818a a a a ==-,又583a a +=-,可解得5863a a =-⎧⎨=⎩或5836a a =⎧⎨=-⎩ 设等比数列{}n a 的公比为q ,则当5863a a =-⎧⎨=⎩时,38512a q a ==-, ∴3521183612131222a a a a q q -⎛⎫+=+=+⨯-= ⎪⎝⎭-；当5836a a =⎧⎨=-⎩时, 3852a q a ==-,∴()()35211833216222a a a a q q +=+=+-⨯-=-. 故选：C ．【点睛】本题主要考查等比数列的性质应用,意在考查学生的数学运算能力,属于基础题. 11．已知正项等比数列{}n a 中，存在两项,m n a a13a =，65423a a a =+，则14m n +的最小值是（）A ．32B ．2C ．73D ．94【答案】C【解析】【分析】由已知求出等比数列{}n a 的公比，进而求出4m n +=，尝试用基本不等式，但*,m n ∈N 取不到等号，所以考虑直接取,m n 的值代入比较即可.【详解】65423a a a =+Q ，2230q q ∴--=，3q ∴=或1q =-（舍）.13a =Q ，2221139m n m n a a a a +-∴⋅=⋅=，4m n ∴+=.当1m =，3n =时1473m n +=；当2m =，2n =时1452m n +=；当3m =，1n =时，14133m n +=，所以最小值为73. 故选:C.【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的计算及最小值，属于基础题.12．已知直三棱柱中111ABC A B C -，120ABC ∠=︒，2AB =，11BC CC ==，则异面直线1AB 与1BC 所成的角的正弦值为（）．ABCD【答案】C【解析】【分析】设M,N,P 分别为1,AB BB 和11B C 的中点，得出11,AB BC 的夹角为MN 和NP 夹角或其补角，根据中位线定理，结合余弦定理求出,,AC MQ MP 和MNP ∠的余弦值再求其正弦值即可.【详解】根据题意画出图形:设M,N,P 分别为1,AB BB 和11B C 的中点，则11,AB BC 的夹角为MN 和NP 夹角或其补角可知11522MN AB ==，11222NP BC ==. 作BC 中点Q ，则PQM V 为直角三角形；11,2PQ MQ AC ==Q ABC V 中，由余弦定理得22212cos 4122172AC AB BC AB BC ABC ⎛⎫=+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭ 7AC ∴=72MQ = 在MQP △中，22112MP MQ PQ =+= 在PMN V 中，由余弦定理得222222521122210cos 25522MN NP PM MNP MH NP ⎛⎛⎛+- +-⎝⎭⎝⎭⎝⎭∠====-⋅⋅⨯⨯ 所以221015sin 1cos 155MNP MNP ⎛⎫∠=-∠=--= ⎪ ⎪⎝⎭故选：C【点睛】此题考查异面直线夹角，关键点通过平移将异面直线夹角转化为同一平面内的夹角，属于较易题目.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021届江西省九江第一中学高三下学期5月适应性考试数学文 PDF版

高三第一次适应性考试
数学（文）试卷
考试时间：120 分钟命题人：高三文数备课组
一、单选题
1．已知集合 A x | x2 5x 4 0 , B x | 2x 4, x Z ，则 A B （）
A．1, 2
B．1, 4
C．1, 2
D．1, 4
2．等差数列an 的前 n 项和为 Sn ，若 a2 a4 a6 a8 44 ，则 S9 （）
满足
y
0
x y
，则 z 0
y 1 的取值范围是（ x
A．[﹣1，0]
B．[﹣1，1)
C．(﹣∞，0]
） D．[﹣1，+∞)
10．已知双曲线 C
:
x2 a2
y2 b2
1
a 0,b 0
右顶点为 A ，以 A 为圆心， b 为半径作圆 A ，圆 A 与双曲
线 C 的一条渐近线交于 M ， N 两点，若 MAN 60 ，则 C 的离心率为（）
| PM |
则
的最小值为（
）
A． 3
| PQ |
5
二、填空题
B． 4 5
C．4
D．-4
13．设向量 a (m,1) ， b (2,4) ，且 a b a2 1 b2 ，则 m ________． 5
14．已知扇形的周长为 20cm ，面积为16cm2 ，则扇形的圆心角的弧度数为___________.
A．2
B． 2 3 3
C． 5
D． 5 2
11．已知
f
x
2x
x2
1
,
,x 1 x＜0
0
，若函数
g
x
f
x t

江西省九江市2021届新高考数学模拟试题(2)含解析

江西省九江市2021届新高考数学模拟试题（2）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在平面直角坐标系中，若不等式组44021005220x yx yx y-+≤⎧⎪+-≤⎨⎪-+≥⎩所表示的平面区域内存在点()00,x y，使不等式0010x my++≤成立，则实数m的取值范围为（）A．5 (,]2-∞-B．1(,]2-∞-C．[4,)+∞D．(,4]-∞-【答案】B【解析】【分析】依据线性约束条件画出可行域，目标函数0010x my++≤恒过()1,0D-，再分别讨论m的正负进一步确定目标函数与可行域的基本关系，即可求解【详解】作出不等式对应的平面区域，如图所示：其中()2,6A，直线10x my++=过定点()1,0D-，当0m=时，不等式10x+≤表示直线10x+=及其左边的区域，不满足题意；当0m>时，直线10x my++=的斜率1m-<，不等式10x my++≤表示直线10x my++=下方的区域，不满足题意；当0m<时，直线10x my++=的斜率1m->，不等式10x my++≤表示直线10x my++=上方的区域，要使不等式组所表示的平面区域内存在点()00,x y，使不等式0010x my++≤成立，只需直线10x my++=的斜率12ADkm-≤=，解得12m≤-.综上可得实数m的取值范围为1(,]2-∞-，故选：B.【点睛】本题考查由目标函数有解求解参数取值范围问题，分类讨论与数形结合思想，属于中档题2．已知双曲线C ：2222x y a b-=1(a>0，b>0)的右焦点为F ，过原点O 作斜率为43的直线交C 的右支于点A ，若|OA|=|OF|，则双曲线的离心率为（） AB．C ．2D+1【答案】B 【解析】【分析】以O 为圆心，以OF 为半径的圆的方程为222x y c +=，联立22222221x y c x y ab ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，可求出点2b A c ⎫⎪⎪⎝⎭243b =，整理计算可得离心率. 【详解】解：以O 为圆心，以OF 为半径的圆的方程为222x y c +=，联立22222221x y c x y a b ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，取第一象限的解得2x b y c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即2b A c ⎫⎪⎪⎝⎭243b =，整理得()()22229550c aca --=，则22519c a =<（舍去），225c a=，ce a∴==. 故选：B. 【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，考查学生的计算能力，是中档题. 3．已知等差数列{a n }，则“a 2＞a 1”是“数列{a n }为单调递增数列”的（） A ．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】试题分析：根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解：在等差数列{a n}中，若a2＞a1，则d＞0，即数列{a n}为单调递增数列，若数列{a n}为单调递增数列，则a2＞a1，成立，即“a2＞a1”是“数列{a n}为单调递增数列”充分必要条件，故选C．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．4．若点位于由曲线与围成的封闭区域内（包括边界），则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】画出曲线与围成的封闭区域，表示封闭区域内的点和定点连线的斜率，然后结合图形求解可得所求范围．【详解】画出曲线与围成的封闭区域，如图阴影部分所示．表示封闭区域内的点和定点连线的斜率，设，结合图形可得或，由题意得点A,B 的坐标分别为，∴，∴或，∴的取值范围为．故选D ．【点睛】解答本题的关键有两个：一是根据数形结合的方法求解问题，即把看作两点间连线的斜率；二是要正确画出两曲线所围成的封闭区域．考查转化能力和属性结合的能力，属于基础题．5．根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家，则甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为（） A ．16B ．14C ．13D ．12【答案】A 【解析】【分析】每个县区至少派一位专家，基本事件总数36n =，甲，乙两位专家派遣至同一县区包含的基本事件个数6m =，由此能求出甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率.【详解】派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家基本事件总数：234336n C A ==甲，乙两位专家派遣至同一县区包含的基本事件个数：2122326m C C A ==∴甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为：61366m p n === 本题正确选项：A 【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题. 6．已知集合{}0,1,2,3A =，{|22}B x x =-≤≤，则A B I 等于（）A ．{}012,, B ．{2,1,0,1,2}-- C ．{}2,1,0,1,2,3-- D ．{}12, 【答案】A 【解析】【分析】进行交集的运算即可．【详解】{0A =Q ，1，2，3}，{|22}B x x =-剟， {0A B ∴=I ，1，2}．故选：A ．【点睛】本题主要考查了列举法、描述法的定义，考查了交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题． 7．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若25a =-，416S =-，则6a =（） A ．5 B ．3 C ．－12 D ．－13【答案】B 【解析】【分析】由题得15a d +=-，1434162a d ⨯+=-，解得17a =-，2d =，计算可得6a . 【详解】25a =-Q ，416S =-，15a d ∴+=-，1434162a d ⨯+=-，解得17a =-，2d =， 6153a a d ∴=+=.故选：B 【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，前n 项和公式，考查了学生运算求解能力.8．若双曲线22214x y b -=的离心率e =）A ．B ．2C D ．1【答案】C 【解析】【分析】根据双曲线的解析式及离心率，可求得,,a b c 的值；得渐近线方程后，由点到直线距离公式即可求解. 【详解】双曲线22214x y b -=的离心率e =，则2a =，72c e a ==，解得7c =，所以焦点坐标为()7,0±，所以22743b c a =-=-=，则双曲线渐近线方程为32y x =±，即320x y ±=，不妨取右焦点，则由点到直线距离公式可得37334d ⨯==+，故选：C. 【点睛】本题考查了双曲线的几何性质及简单应用，渐近线方程的求法，点到直线距离公式的简单应用，属于基础题.9．中国的国旗和国徽上都有五角星，正五角星与黄金分割有着密切的联系，在如图所示的正五角星中，以A 、B 、C 、D 、E 为顶点的多边形为正五边形，且512PT AP -=，则512AT ES --=u u u r u uu r （）A 51+u ur B ．51RQ +u u r C 51RD -u u u r D 51-u u r 【答案】A 【解析】【分析】利用平面向量的概念、平面向量的加法、减法、数乘运算的几何意义，便可解决问题．【详解】解：5151AT SD SR RD -+-=-==u u u r u u r u u u r u u r u u u r u u r .故选：A 【点睛】本题以正五角星为载体，考查平面向量的概念及运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于基础题．10．执行如下的程序框图，则输出的S 是（）A ．36B ．45C ．36-D ．45-【答案】A 【解析】【分析】列出每一步算法循环，可得出输出结果S 的值. 【详解】18i =≤满足，执行第一次循环，()120111S =+-⨯=-，112i =+=； 28i =≤成立，执行第二次循环，()221123S =-+-⨯=，213i =+=； 38i =≤成立，执行第三次循环，()323136S =+-⨯=-，314i =+=； 48i =≤成立，执行第四次循环，()4261410S =-+-⨯=，415i =+=； 58i =≤成立，执行第五次循环，()52101515S =+-⨯=-，516i =+=； 68i =≤成立，执行第六次循环，()62151621S =-+-⨯=，617i =+=； 78i =≤成立，执行第七次循环，()72211728S =+-⨯=-，718i =+=； 88i =≤成立，执行第八次循环，()82281836S =-+-⨯=，819i =+=； 98i =≤不成立，跳出循环体，输出S 的值为36，故选：A.【点睛】本题考查算法与程序框图的计算，解题时要根据算法框图计算出算法的每一步，考查分析问题和计算能力，属于中等题.11．复数的()12z i i =--为虚数单位在复平面内对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】所对应的点为（-1，-2）位于第三象限.【考点定位】本题只考查了复平面的概念，属于简单题.12．在三棱锥S ABC -中，4SB SA AB BC AC =====，26SC =，则三棱锥S ABC -外接球的表面积是（） A ．403πB ．803πC ．409πD ．809π【答案】B 【解析】【分析】取AB 的中点D ，连接SD 、CD ，推导出90SDC ∠=o ，设设球心为O ，ABC ∆和SAB ∆的中心分别为E 、F ，可得出OE ⊥平面ABC ，OF ⊥平面SAB ，利用勾股定理计算出球O 的半径，再利用球体的表面积公式可得出结果. 【详解】取AB 的中点D ，连接SD 、CD ，由SAB ∆和ABC ∆都是正三角形，得SD AB ⊥，CD AB ⊥，则34232SD CD ==⨯=，则(((222222336SD CD SC +=+==，由勾股定理的逆定理，得90SDC ∠=o .设球心为O ，ABC ∆和SAB ∆的中心分别为E 、F . 由球的性质可知：OE ⊥平面ABC ，OF ⊥平面SAB ，又31234233OE DF OE OF ====⨯⨯=，由勾股定理得2263OD OE DE =+=. 所以外接球半径为2222266023R OD BD ⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭.所以外接球的表面积为2280443S R πππ===⎝⎭.故选：B. 【点睛】本题考查三棱锥外接球表面积的计算，解题时要分析几何体的结构，找出球心的位置，并以此计算出球的半径长，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021年江西省九江一中高考数学第一次适应性试卷(文科)(5月份)

2021年江西省九江一中高考数学第一次适应性试卷（文科）（5月份）一、单选题（本大题共12小题，共36.0分）1.已知集合A={x|x2−5x+4≤0}，B={x|2x≤4,x∈Z}，则A∩B=()A. [1,2]B. [1,4]C. {1,2}D. {1,4}2.等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2+a4+a6+a8=44，则S9=()A. 66B. 99C. 110D. 1983.已知a∈R，复数z=(a2−3a+2)+(a−1)i(i为虚数单位)是纯虚数，则复数1z+2的虚部是()A. −13B. −15C. −13i D. −15i4.下列说法错误的是()A. “若x≠3，则x2−2x−3≠0”的逆否命题是“若x2−2x−3=0，则x=3”B. “∀x∈R，x2−2x−3≠0”的否定是“∃x0∈R，x02−2x0−3=0”C. “x>3”是“x2−2x−3>0”的必要不充分条件D. “x<−1或x>3”是“x2−2x−3>0”的充要条件5.已知tanα=√2，则2+cos2α=()A. 53B. 83C. 2D. 36.某几何体的三视图如图所示，已知网格纸上的小正方形边长为1，则该几何体的表面积为()A. (20+8√2)πB. (20+4√2)πC. (24+8√2)πD. (24+4√2)π7.将函数f(x)=sin(2x−π4)的图象向左平移π3个单位长度，得到函数g(x)的图象，则下列结论正确的是()A. 函数g(x)的最小正周期为2πB. 函数g(x)的图象关于直线x=π12对称C. 函数g(x)的图象关于点(π4,0)对称 D. 函数g(x)在区间[−π3,0]上单调递增8. 函数y =xcosx 部分图象大致为( )A.B.C.D.9. 已知实数x 、y 满足{x ≥1y ≥0x −y ≥0则z =y−1x 的取值范围是( ) A. [−1,0]B. [−1,1)C. (−∞,0]D. [−1,+∞)10. 已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点，若∠MNA =30°，则C 的离心率为( )A. 3B. √3C. 2D. √211. 已知f(x)={2xx 2+1,x ≥0−1x ,x <0，若函数g(x)=f(x)−t 有三个不同的零点x 1，x 2，x 3(x 1<x 2<x 3)，则−1x 1+1x 2+1x 3的取值范围是( )A. (3,+∞)B. (2,+∞)C. (52,+∞)D. (1,+∞)12. 已知抛物线C 1：y 2=8x ，圆C 2：(x −2)2+y 2=1，若点P ，Q 分别在C 1，C 2上运动，且设点M(4,0)，则|PM||PQ|的最小值为( )A. 35B. 45C. 4D. 4二、单空题（本大题共4小题，共12.0分）13. 设向量a ⃗ =(m,1)，b ⃗ =(2,4)，且a⃗ ⋅b ⃗ +a ⃗ 2=15b ⃗ 2，则m = ______ ． 14. 已知扇形的周长为20cm ，面积为16cm 2，则扇形的圆心角α的弧度数为______ ．15.已知平面四边形ABCD中，AB=6，BC=4，CD=5，AD=5，A+C=π，则四边形ABCD的面积为______ ．16.已知四边长均为2√3的空间四边形ABCD的顶点都在同一个球面上，若∠BAD=π3，平面ABD⊥平面CBD，则该球的体积为______．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.已知数列{a n}中，a1=3，且满足a n+1=a n+2n+2，b n=a n−n2(n∈N∗).(1)证明：数列{b n}是等差数列，并求{b n}的通项公式；(2)已知数列{1b n⋅b n+1}的前n项和S n=512，求n的值．18.体育中考(简称体考)是通过组织统一测试对初中毕业生身体素质作出科学评价的一种方式，即通过测量考生身高、体重、肺活量和测试考生运动成绩等指标来进行体质评价.已知某地区今年参加体考的非城镇与城镇学生人数之比为1：3，为了调研该地区体考水平，从参加体考的学生中，按非城镇与城镇学生用分层抽样方法抽取200人的体考成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图(如图所示)，体考成绩分布在[0,60]范围内，且规定分数在40分及以上的成绩为“优良”，其余成绩为“不优良”．(Ⅰ)根据频率分布直方图，估计该地区体考学生成绩的平均数；(Ⅱ)将下面的2×2列联表补充完整，根据表中数据回答，是否有百分之九十的把握认为“优良”与“城镇学生”有关？类别非城镇学生城镇学生合计优良不优良115合计200附参考公式与数据：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d．P(K2≥k0)0.150.100.05 k0 2.072 2.706 3.84119.在斜三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F分别是AB1，A1C1的中点．(1)求证：EF//平面BCC1B1；(2)已知AB=AC=2，斜三棱柱ABC−A1B1C1的体积为8，求点E到平面CC1B1的距离．20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√32，过点P(1,√32)．(1)求椭圆C的标准方程；(2)设点A，B分别是椭圆C的左顶点和上顶点，M，N为椭圆C上异于A，B的两点，满足AM//BN，记OM，ON的斜率分别为k1，k2，求证：k1⋅k2为定值．21. 已知函数f(x)=alnx +x ，g(x)=xe x −a ．(Ⅰ)若x =1是f(x)的极值点，求f(x)的单调区间； (Ⅱ)若a =1，证明：f(x)≤g(x)．22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =√3sinθy =1tanθ(θ为参数)，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ+π4)=√2． (1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程； (2)设点M 的极坐标为(2,3π2)，直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求|MA|⋅|MB||AB|．23.已知函数f(x)=|2x+3|．(1)解不等式f(x)+f(x−3)≤8；(2)已知关于x的不等式f(x)+|x+a|≤x+5，在x∈[−1,1]上有解，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵A =[1,4]，B ={x|x ≤2,x ∈Z}， ∴A ∩B ={x|1≤x ≤2,x ∈Z}={1,2}．故选：C ．先求出集合A ，B ，然后再求交集．本题考查了一元二次不等式的解法，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：等差数列{a n }中，a 2+a 4+a 6+a 8=4a 5=44，所以a 5=11，则S 9=92(a 1+a 9)=9a 5=99．故选：B ．由已知结合等差数列的求和公式及性质可求a 5，然后结合等差数列的求和公式及性质即可求解．本题主要考查了等差数列的求和公式及等差数列的性质，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：因为z =(a 2−3a +2)+(a −1)i 是纯虚数，所以{a 2−3a +2=0a −1≠0，解得a =2，即z =i ，1z+2=2−i (2+i)(2−i)=25−15i ，其虚部为−15，故选：B ．由纯虚数的概念可得a 的值，计算1z+2即可得结果．本题考查了复数的运算法则、复数相等、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：对于A，“若x≠3，则x2−2x−3≠0”的逆否命题是“若x2−2x−3=0，则x=3”，正确；对于B，“∀x∈R，x2−2x−3≠0”的否定是∃x0∈R，x02−2x0−3=0”，正确；对于C，“x2−2x−3>0”等价于“x<−1或x>3”，∴“x>3”是“x2−2x−3>0”的充分不必要条件，错误；对于D，“x<−1或x>3”是“x2−2x−3>0”的充要条件，正确．故选：C．利用逆否命题、命题的否定、充分必要性的概念逐一判断即可．本题考查命题的真假的判断，充要条件的应用，命题的否定的判断四种命题的逆否关系的应用，是基础题．5.【答案】A【解析】解：因为tanα=√2，所以2+cos2α=2sin2α+2cos2α+cos2α−sin2α=sin2α+3cos2α=sin2α+3cos2αsin2α+cos2α=tan2α+3tan2α+1=2+32+1=53．故选：A．由已知利用同角三角函数基本关系式，二倍角公式化简所求即可求解．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：由三视图还原原几何体如图，可知该几何体为组合体，上半部分为圆锥，下半部分为圆柱，圆锥的底面半径为2，高为2，圆柱的底面半径为2，高为4．则该几何体的表面积为：S=π×22+2π×2×4+π×2×2√2=(20+4√2)π．由三视图还原原几何体，可知该几何体为组合体，上半部分为圆锥，下半部分为圆柱，圆锥的底面半径为2，高为2，圆柱的底面半径为2，高为4，再由圆柱、圆锥的侧面积加上圆柱的下底面积得答案．本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．7.【答案】D【解析】解：函数f(x)=sin(2x−π4)的图象向左平移π3个单位长度，得y=sin[2(x+π3)−π4]=sin(2x+5π12)，所以函数g(x)=sin(2x+5π12)，对于A，函数g(x)的最小正周期为T=2πω=π，所以A错误；对于B，因为2×π12+5π12=7π12，所以g(x)的图象不关于直线x=π12对称，B错误；对于C，因为2×π4+5π12=11π12，所以g(x)的图象不关于(π4,0)对称，C错误；对于D，x∈[−π3,0]时，2x+5π12∈[−π4,5π12]，所以函数g(x)在区间[−π3,0]上单调递增，D正确．故选：D．根据函数图象平移法则求出函数g(x)的解析式，再判断选项中的命题是否正确．本题考查了函数图象平移法与命题真假性判断问题，是基础题．8.【答案】D【解析】解：函数y=xcosx是奇函数，排除选项B，A，y=xcosx=0⇒x=kπ+π2或x=0，k∈Z，当x=π6<π2时，y=√3π12>0，对应点在第一象限，排除C，故选：D．利用函数的奇偶性排除选项，利用特殊点的位置判断即可．本题考查函数的图象的判断与应用，函数的奇偶性以及特殊点的位置是常用判断图象的方法．【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图，则z的几何意义为区域内的点到定点D(0,1)的斜率，由图象知CD的斜率最小，此时C(1,0)，对应的斜率z=0−11=−1，当过D的直线和y=x平行时，直线斜率z=1，但此时取不到，故−1≤z<1，故选：B．作出不等式组对应的平面区域，z的几何意义为两点间的斜率，利用数形结合即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，根据直线的斜率公式结合图象是解决本题的关键．10.【答案】C【解析】解：双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右顶点为A(a,0)，以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MNA=30°，可得A到渐近线bx+ay=0的距离为：bsin30°=12b，可得：√a2+b2=12b，即ac =12可得离心率为：e=ca=2．故选：C．利用已知条件，转化求解A到渐近线的距离，推出a，c的关系，然后求解双曲线的离心率即可．本题考查双曲线的简单性质的应用：离心率的求法，点到直线的距离公式以及圆的方程的应用，考查转化思想以及计算能力．11.【答案】A【解析】解：函数f(x)={2xx2+1,x≥0−1x ,x<0的图象如图所示，函数g(x)=f(x)−t有三个不同的零点x1，x2，x3(x1<x2<x3)，即方程f(x)=t有三个不同的实数根x1，x2，x3，由图知t>0，当x>0时，f(x)=2xx2+1=2x+1x，∵x+1x≥2(x>0)，∴f(x)≤1，当且仅当x=1时取得最大值，当y=1时，x1=−1，x2=x3=1，此时−1x1+1x2+1x3=3，由2x+1x=t(0<t<1)，可得x2−2xt+1=0，∴x2+x3=2t，x2x3=1，∴1x2+1x3=2t>2，∴−1x1+1x2+1x3=t+2t，∵0<t<1，∴−1x1+1x2+1x3的取值范围是(3,+∞)．故选：A．首先画出函数的图象，根据图象得t>0时有三个零点，求出当x≥0时f(x)的最大值，判断零点的范围，然后推导得出结果．本题考查函数零点与方程根的关系，考查数形结合思想，属于中档题．一般函数零点的求解与判断方法有如下三种：①直接求零点：令f(x)=0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；②零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a,b]上是连续不断的曲线，且f(a)⋅f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；③利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．12.【答案】B【解析】解：如右图，设圆心为F，则F为抛物线y2=8x的焦点，该抛物线的准线方程为x=−2，设P(x,y)，由抛物线的定义：|PF|=x+2，要使|PM||PQ|最小，则|PQ|需最大，如图，|PQ|最大时，经过圆心F，且圆F的半径为1，∴|PQ|=|PF|+1=x+3，且|PM|=√(x−4)2+y2=√(x−4)2+8x=√x2+16，∴|PM||PQ|=√x2+16x+3，令x+3=t(t≥3)，则x=t−3，∴|PM||PQ|=√(t−3)2+16t=√25t2−6t+1，由0<1t≤13，而f(t)=25t2−6t+1=25(1t−325)2+1625，可得1t =325<13，f(t)取得最小值1625，则|PM||PQ|的最小值为45．故选：B．设圆心为F，则容易知道F为抛物线y2=8x的焦点，并且|PM||PQ|最小时，PM经过圆心F，设P(x,y)，运用两点的距离公式和换元法，二次函数的最值求法的最值求法，可得所求最小值．本题考查抛物线的标准方程，焦点坐标公式，准线方程，及抛物线的定义，圆的标准方程，注意运用二次函数的最值求法，考查运算能力，属于中档题．13.【答案】−1【解析】解：因为a⃗=(m,1)，b⃗ =(2,4)，所以a⃗⋅b⃗ =2m+4，a⃗2=m2+1，b⃗ 2=20，因为a⃗⋅b⃗ +a⃗2=15b⃗ 2，所以2m+4+m2+1=4，解得m=−1，故答案为：−1．根据向量的坐标运算算出a⃗⋅b⃗ 、a⃗2、b⃗ 2即可．本题考查向量的数量积的求法与应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．14.【答案】12 【解析】解：由扇形的周长为20cm ，面积为16cm 2，可设扇形圆心角为α，且α∈(0,2π)，半径为r ，则{2r +rα=2012α⋅r 2=16，解得{α=12r =8或{α=8r =2(不合题意，舍去)，所以α=12．故答案为：12．设扇形圆心角为α，半径为r ，列方程组求出α的值．本题考查了扇形的周长与面积计算问题，也考查了运算求解能力，是基础题．15.【答案】10√6【解析】解：连结BD ，在△ABD 中，BD 2=AB 2+AD 2−2AB ⋅ADcosA =61−60cosA ，在△BCD 中，BD 2=BC 2+CD 2−2BC ⋅CDcosC =41−40cosC ．∴61−60cosA =41−40cosC ，∵∠A +∠C =180°，∴cosA =−cosC ．∴cosA =15． ∴sinA =sinC =2√65．∴四边形ABCD 的面积S =S △ABD +S △BCD =12AB ×AD ×sinA +12BC ×CD ×sinC =12× 6×5×2√65+12×4×5×2√65=10√6．故答案为：10√6．连结BD ，根据余弦定理列出方程解出cosA(或cosC)，进而给出sin A ，sin C ，代入面积公式即可．本题考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想的应用，属于中档题．16.【答案】20√5π3【解析】解：如图所示，设E是△ABD的外心，F是△BCD的外心，过E，F分别作平面ABD与平面BCD的垂线OE、OF，相交于O；由空间四边形ABCD的边长为2√3，∠BAD=π3，所以△ABD与△BCD均为等边三角形；又平面ABD⊥平面CBD，所以O为四面体ABCD外接球的球心；又AE=23√(2√3)2−(√3)2=2，OE=1，所以外接球的半径为R=√22+12=√5；所以外接球的体积为V=4πR33=4π3×(√5)3=20√5π3．故答案为：20√5π3．根据题意画出图形，结合图形得出△ABD与△BCD均为等边三角形，求出四面体ABCD外接球的半径，再计算外接球的体积．本题考查了多面体外接球体积的计算问题，也考查了数形结合的解题方法，是中档题．17.【答案】(1)证明：因为a n+1=a n+2n+2，所以a n+1−(n+1)2=a n−n2+1，故b n+1−b n=1，所以数列{b n}是等差数列，且公差为1，而b1=a1−1=2，故b n=2+(n−1)=n+1．(2)解：1b n⋅b n+1=1(n+1)(n+2)=1n+1−1n+2，故S n=12−13+13−14+⋯+1n+1−1n+2=12−1n+2=n2(n+2)=512，故n=10．【解析】(1)根据已有的递推关系可得b n+1−b n=1，从而可证数列{b n}是等差数，求出首项后可求其通项公式．(2)利用裂项相消法可求S n，从而可求n的值．本题考查数列求和，递推关系式的应用，数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法．是中档题．18.【答案】解：(Ⅰ)根据频率分布直方图，计算样本体考成绩的平均数为：x−=5×0.1+15×0.18+25×0.22+35×0.25+45×0.2+55×0.05=29.2，所以估计该地区体考学生成绩的平均数为29.2；(Ⅱ)根据题意与频率分布直方图知，非城镇与城镇学生人数之比为1：3，且样本容量为200，所以非城镇学生有50人，城镇学生有150人，计算城镇学生优良人数为150−115=35(人)，又因为优良学生的人数为(0.005+0.02)×10×200=50，所以非城镇优良学生人数为50−35=15(人)，则非城镇不优良的学生人数为50−15=35(人)，填写2×2列联表如图所示：计算K2=200×(15×115−35×35)250×150×50×150≈0.889<2.706，所以没有百分之九十的把握认为“优良”与“城镇学生”有关．【解析】(Ⅰ)根据频率分布直方图计算样本体考成绩的平均数即可；(Ⅱ)根据题意与频率分布直方图，计算非城镇与城镇学生人数和优良人数，填写列联表，计算K2，对照附表得出结论．本题考查了列联表与独立性检验问题，也考查了数据分析与运算能力，是基础题．19.【答案】解：(1)证明：连结A 1B ，BC 1，由三棱柱ABC −A 1B 1C 1知，四边形ABB 1A 1为平行四边形，因为E ，F 分别是AB 1，A 1C 1的中点，即EF 为中位线，所以EF//BC 1且EF =12BC 1，因为EF ⊄平面BCC 1B 1，BC 1⊂平面BCC 1B 1，所以EF//平面BCC 1B 1．(2)因为B 1C ⊥平面ABC ，所以B 1C 为三棱柱ABC −A 1B 1C 1的高，又因为AB =AC =2，且AB ⊥AC ，所以S △ABC =12×2×2=2，而V ABC−A 1B 1C 1=S △ABC ⋅B 1C =8，所以B 1C =4，因为EF//平面BCC 1B 1，所以点E 到平面CC 1B 1的距离等于点F 到平面CC 1B 1的距离，由等体积法得V F−CC 1B 1=V C−C 1B 1F ，即13⋅S △CC 1B 1⋅d =13⋅S △C 1B 1F ⋅B 1C ，所以d =√22即点E 到平面CC 1B 1的距离为√22．【解析】(1)连结A 1B ，BC 1，由ABB 1A 1为平行四边形，得到EF//BC 1且EF =12BC 1，结合线面平行的判定定理，即可证得EF//平面BCC 1B 1；(2)根据EF//平面BCC 1B 1，得到点E 到平面CC 1B 1的距离等于点F 到平面CC 1B 1的距离，结合V F−CC 1B 1=V C−C 1B 1F ，即可求得点E 到平面CC 1B 1的距离．本题考查直线与平面平行的判断定理，空间中利用等体积法求点到平面距离，是中档题．20.【答案】解：(1)由e =√32可得，a =2b ，点P(1,√32)代入椭圆方程x 24b 2+y 2b 2=1，解得a =2，b =1，即椭圆C 的标准方程为x 24+y 2=1；(2)设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，由题意知AM ，BN 的斜率存在，设直线AM ：y =k(x +2)①设直线BN ：y =kx +1②由(1)知椭圆方程C ：x 24+y 2=1③联立①③得(4k 2+1)x 2+16k 2x +16k 2−4=0，解得x 1=−2(4k 2−1)4k 2+1，即M(−2(4k 2−1)4k 2+1,4k 4k 2+1)联立②③，可得x 2=−8k 4k 2+1，即N(−8k4k 2+1,−(4k 2−1)4k 2+1)，故k 1⋅k 2=4k4k 2+1−2(4k 2−1)4k 2+1⋅−(4k 2−1)4k 2+1−8k 4k 2+1=−14，即k 1⋅k 2为定值−14．【解析】(1)由题意得到关于a ，b 的方程组，解之即可；(2)利用“设而不求”法得到M ，N 的坐标，表示k 1⋅k 2即可．本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系，求定值问题常见的方法：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值，是难题． 21.【答案】解：(Ⅰ)f′(x)=a x +1，x >0，由题意得f′(1)=a +1=0，解得：a =−1，故f(x)=x −lnx ，f′(x)=1−1x ，当0<x <1时，f′(x)<0，当x >1时，f′(x)>0，故f(x)在(0,1)递减，在(1,+∞)递增；(Ⅱ)证明：若a =1，则f(x)=lnx +x ，g(x)=xe x −1，设F(x)=f(x)−g(x)=lnx +x −xe x +1，则F′(x)=1x +1−e x −xe x =1+x x −(x +1)e x =(x +1)(1x −e x )，令G(x)=1x −e x ，可知G(x)在(0,+∞)上单调递减，且G(12)=2−√e >0，G(1)=1−e <0，故存在x 0∈(12,1)，使得G(x 0)=0，即1x 0−e x 0=0，当x ∈(0,x 0)时，G(x)>0，F′(x)>0，F(x)递增，当x ∈(x 0,+∞)时，G(x)<0，F′(x)<0，F(x)递减，故F (x)≤F(x 0)=lnx 0+x 0−x 0e x 0+1，又1x 0−e x 0=0，故1x 0=e x 0，即lnx 0=−x 0，故F (x 0)=0，即F(x)≤0，即f(x)≤g(x)．【解析】(Ⅰ)求出函数的导数，根据f′(1)=0，求出a 的值，求出函数的解析式，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；(Ⅱ)代入a 的值，设F(x)=f(x)−g(x)=lnx +x −xe x +1，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，证明结论成立即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，是难题．22.【答案】解：(1){x =√3sinθy =1tanθ⇒√3=1sinθy =1tanθ，又(1sinθ)2−(1tanθ)2=1sin 2θ−cos 2θsin 2θ=1，所以得x 23−y 2=1(y ≠0)，ρcos(θ+π4)=√2⇒ρcosθ−ρsinθ=2，根据{x =ρcosθy =ρsinθ，得x −y −2=0，所以曲线C 的普通方程是x 23−y 2=1(y ≠0)，直线l 的直角坐标方程为x −y −2=0；(2)设M(0,−2)，点A ，B 所对应的参数为t 1，t 2，则l 的参数方程为{x =√22t y =−2+√22t(t 为参数)，代入x 23−y 2=1得t 2−6√2t +15=0⇒t 1+t 2=6√2，t 1t 2=15，于是|MA|⋅|MB||AB|=|t 1t 2t 1−t 2|=2√3=5√32．【解析】(1)根据同角的三角函数关系式，结合极坐标方程与直角坐标方程互化公式进行求解即可；(2)把直线的参数代入曲线C 的标准方程中，得出根与系数的关系，由点的参数几何意义可得答案．本题考查极坐标与参数方程的在几何中点应用，极坐标方程与直角坐标方程互化的方法，23.【答案】解：(1)函数f(x)=|2x +3|．不等式f(x)≤5−f(x −3)，即|3x +3|+|3x −3|≤5，等价于{x <−32−2x −3−2x +3≤8或{−32≤x ≤322x +3+3−2x ≤8或{x >322x +3+2x −3≤8，解得：−2≤x ≤2，所以原不等式的解集为{x|−2≤x ≤2}；(2)当x ∈[−1,1]时，不等式f(x)+|x +a|≤x +5，即|x +a|≤2−x ，所以|x +a|≤2−x 在[−1,1]上有解，即−2≤a ≤2−2x 在[−1,1]上有解，所以−2≤a ≤4．实数a 的取值范围：[−2,4]．【解析】(1)通过讨论x 的范围得到关于x 的不等式组，解出即可；(2)问题转化为|x +a|≤2−x ，结合x 的范围，求出a 的范围即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值不等式的恒成立体积的应用，考查学生转化思想以及分类讨论思想的数学素养，是一道中档题．。

江西省九江市2021届高考一模数学(理)试题(附答案)

九江市2021届第一次高考模拟统一考试理科数学注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择填空题）和第Ⅱ卷（解答题）两部分.2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效.4. 考试结束后，将答题卡交回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}13A x x =-<<，{}B x a x a =-<<，若A B A =，则实数a 的取值范围是（） A. (]0,1 B. (]0,3C. []1,3D. [)3,+∞2. 已知复数11z i i=++，则z =（）A.12 B.2C. 1D.3. 若tan 2α=，则cos 2α=（） A. 45-B. 35-C.35D.454. ()2nx +展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则该项系数是（） A. 280B. 240C. 192D. 1605. 如图八面体中，有公共边的两个面称为相邻的面，若从八个面中随机选取两个面，则这两个面不相邻的概率为（）A.27B.37C.47D.576. 公元前3世纪，古希腊数学家阿基米德研究过自然数的平方和，并得到公式2222(1)(21)1236n n n n ++++++=，执行如下所示的程序，若输出的结果为7，则判断框中的实数k 的取值范围是（）A. [)91,140B. (]91,140C. [)140,204D. (]140,2047. 已知0.2log 0.3a =，0.3log 0.2b =，2log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为（） A. a b c <<B. b c a <<C. c a b <<D. a c b <<8. 已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，其准线与x 轴的交点为M ，A 为抛物线C 上的点，若45MAF ∠=︒，则AF =（）A. 2B. C. 4D. 9. 已知某几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（）A.6π B. 4π C. 2πD.π10. 已知函数()2sin()(0,0)f x x b ωϕωϕπ=++><<有三个相邻的零点4π，1112π，54π，则实数b 的值为（）A. -1B. 12-C.2D. 111. 如图，正AOB △的边长为1，AO OC =，P 为扇形BOC 内一点（包括边界），则AP AB ⋅的取值范围是（）A. 11,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 122⎤⎥⎣⎦D. 322⎤⎥⎣⎦12. 已知双曲线E ：221x y -=的左右焦点分别为1F ，2F ，()00,C x y 为双曲线E 上一点，在以C 为圆心，1为半径的圆上，总存在一点P ，使得1290F PF ∠=︒，则20x 的取值范围是（）A. 2⎡⎣B. 1,1⎡⎤⎣⎦C. 1,2⎡+⎣D. 1,2⎡+⎣二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡上.13. 已知函数2()ln f x x x =，则曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为__________.14. 在ABC △中，已知sin sin sin 2sin sin a A b B c C c A B --=，则A =__________. 15. 如图，正四棱锥P ABCD -内接于半球O （A ，B ，C ，D 位于半球的底面圆周上，点P 位于半球的表面上），已知半球O 的半径为2P ，B ，C 三点的平面截半球所得截面图形的面积为__________.16. 已知函数()f x 是定义在()0,+∞上的连续单调函数，若1()ln 220f f x x x ⎡⎤-+++=⎢⎥⎣⎦，则不等式12()e f x e--≤≤-的解集为__________.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第17题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题~第23题为选考题，考生根据要求作答.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足423n n n S a -=，记1n n n b a a +=+. （Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列{}n nb 的前n 项和n T .18. 如图，四边形ABCD 是边长为2的菱形，60A ∠=︒，E ，F 分别为AB ，CD 的中点，将ADE △和CBF △沿着DE 和BF 折起，使得平面ADE 和平面CBF 均垂直于平面BEDF .（Ⅰ）求证：//AC 平面BEDF ；（Ⅱ）求二面角B AC D --的余弦值.19. 已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左右顶点分别为A ，B ，右焦点F ，3AF =，过F 的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，且AMN △面积是BMN △面积的3倍. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线AM ，AN 与直线4x =分别交于P ，Q 两点，试问：以PQ 为直径的圆是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由.20. 某公司响应国家“节能减排，低碳经济”号召，鼓励员工节约用电，制定奖励政策.若公司一个月的总用电量低于30万KW/h ，将对员工们发放节能奖励.该公司为了了解9月份日最高气温对当天用电量的影响，随机抽取了去年9月份7天的日最高气温()C x ︒和用电量y （万KW/h ）数据，并计算得7216309.8ii x==∑，7218.4i i y ==∑，71210.98i i i x y ==∑，气温方差21 1.4s =，用电量方差220.2s =.（Ⅰ）求y 关于x 的线性回归方程；（Ⅱ）根据天气预测，今年9月份的日最高气温频率分布直方图如图，以（Ⅰ）中的回归方程为依据，试估计该公司员工为了获得奖励，是否需要作出节能努力？（注：9月份共3天，同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）参考公式：回归方程y a bx =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()()()1122211n niii ii i nniii i x x y y x y nx yb x x xnx====---==--∑∑∑∑，a y bx =-.21. 已知函数()()ln 1xf x e ax x a R =--∈，2()xg x xe x =-.（Ⅰ）当1a =时，求证：()f x 在()0,+∞上单调递增；（Ⅱ）当1x ≥时，()()f x g x ≤，求a 的取值范围.请考生在第22、23题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22. 在直角坐标系xOy 中，已知曲线E 的参数方程为2112x ty t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），过原点的直线1l ，2l 相互垂直，且1l 的倾斜角为α.以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求直线1l 与曲线E 的极坐标方程；（Ⅱ）若1l ，2l 与曲线E 分别相交于A ，B 两点和C ，D 两点，求11AB CD+的值. 23. 已知函数()()1f x a x x a R =--∈. （Ⅰ）当2a =时，求()f x 的最小值；（Ⅱ）若不等式()1f x ≤恒成立，求a 的取值范围.参考答案一、选择题 1-5：DBBDC 6-10：BAACA11-12：BD1. 解：∵AB A =，∴A B ⊆，∴13a a -≤-⎧⎨≥⎩，即3a ≥，故选D.2. 解：∵12i z +=，∴2z =，故选B. 3. 解：222222cos sin 1tan 143cos 2cos sin 1tan 145ααααααα---====-+++，故选B.4. 解：依题意得6n =，∴该项系数是3362160C =，故选D.5. 解：从八个面中随机选取两个面有2828C =种，其中两个面相邻的有12种，则这两个面不相邻的概率为1241287P =-=，故选C. 6. 解：依题意得6713678156k k ⨯⨯⎧<⎪⎪⎨⨯⨯⎪≥⎪⎩，解得91140k <≤，故选B.7. 解：∵0.20log 0.31a <=<，0.3log 0.21b =>，2log 31c =>，又20.332lg 21lg 2lg 2lg 2log 0.2log 21lg31lg3lg 3lg3b c --=⋅=⋅=<--，∴b c <，即a b c <<，故选A. 8. 解法一：设MAF △外接圆的半径为r ，由正弦定理得22sin 45r =︒，∴r =称性，不妨设A 在第一象限，则MAF △外接圆方程为()2212x y +-=，联立方程组2224(1)2y x x y ⎧=⎨+-=⎩，消去x 整理得421632160y y y +--=，即0y >，∴2y =，1x =，∴2AF =，故选A.解法二：当AF x ⊥轴时，2AF FM p ===，∴MAF △为等腰直角三角形，满足题意，故选A.9. 解：该几何体的直观图如图所示，则该几何体的体积为211122ππ⨯⨯⨯=，故选C.10. 解：依题意得544T πππ=-=，∴22T πω==，又72122k ππϕπ⋅+=+，k Z ∈，解得23k πϕπ=-，∵0ϕπ<<，∴3πϕ=，()2sin 23f x x b π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，∴2sin 210443f b b πππ⎛⎫⎛⎫=⨯++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴1b =-，故选A.11. 解法一：如图，建立平面直角坐标系，则1,22B ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，设2(1cos ,sin )01,03P t t t πθθθ⎛⎫+≤≤≤≤⎪⎝⎭，∴1(1cos ,sin )2AP AB t t θθ⎛⋅=⋅+ ⎝⎭111cos sin 2226t t πθθθ⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∵203πθ≤≤，∴5666πππθ≤+≤，∴1sin 126πθ⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，∴1111sin 22262t t t πθ⎛⎫+≤++≤+ ⎪⎝⎭，∵01t ≤≤，∴113sin 2262t πθ⎛⎫≤++≤ ⎪⎝⎭，故选B.解法二：∵cos cos AP AB AP AB PAB AP PAB ⋅=⋅∠=∠，如图， ∴min 11()2AP AB AO ⋅==，max 13()2AP AB AD ⋅==，故选B.12. 解法一：联立方程组()()22220021x y x x y y ⎧+=⎪⎨-+-=⎪⎩，两式相减得()2200002210x xy y x y +-++=，≤2≤，解得2012x ≤≤ D.解法二：由1290F PF ∠=︒得，P 在以O为圆心，2为半径的圆上，即圆O 与圆C 有公共点，11OC ≤≤，2220002133x y x +=-≤+-≤2012x ≤≤，故选D. 二、填空题：13. 10x y --= 14.34π 15. 23π+ 16. 1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦13. 解：∵'()2ln f x x x x =+，∴()'11f =，又()10f =，∴曲线()y f x =在点()()1,1f处的切线方程为1y x =-，即10x y --=.14. 解：由正弦定理得2222sin a b c bc A --=，由余弦定理得cos sin A A -=，∴tan 1A =-，34A π=. 15. 解：易知PBC △PBC △外接圆的半径1r =，故所求截面图形的面积为22122111sin 3233πππ⋅⋅+⋅⋅⋅=+16. 解：∵()f x 是定义在()0,+∞上的连续单调函数，∴存在唯一t ，使得()2f t =-，故令1()ln 2f x x t x -++=，则1()ln 2f x x t x =--+，∴1()ln 22f t t t t=--+=-，即1ln 0t t t-+=，令1()ln g t t t t=-+，则()g t 在()0,+∞上单调递增，且()10g =，∴1t =，1()ln 1f x x x =--，故()f x 在()0,+∞上单调递增，1()f e e=-，12e e f ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，∴1ex e ≤≤. 三、解答题17. 解：（Ⅰ）由423n n n S a -=，得111423n n n S a +++-=，两式相减得()11142233n n n n n n S S a a +++--+=-，∴1142223n n n n a a a ++-+=⋅.即()1223nn n a a ++=⋅，即13n n n a a ++=，∴3n n b =.（Ⅱ）由（Ⅰ）得3n n nb n =⋅， ∴1231132333(1)33n n n T n n -=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅，23131323(1)33n n n T n n +=⋅+⋅++-⋅+⋅，两式相减得1231233333n n n T n +-=++++-⋅，∴()113131(21)3332134nn n n n T n ++⎡⎤--⋅+⎢⎥=-⋅-⋅=-⎢⎥⎣⎦.18. 解：（Ⅰ）连接EF ， ∵2AB AD ==，60A ∠=︒，∴ABD △为正三角形，又E 为AB 的中点，∴DE AB ⊥，即AE DE ⊥. 又平面ADE ⊥平面BEDF ，∴AE ⊥平面BEDF ，且1AE =. 同理CF ⊥平面BEDF ，且1CF =，∴//AE CF ， ∴四边形AEFC 为平行四边形，∴//AC EF . 又AC ⊄平面BEDF ，EF平面BEDF ，∴//AC 平面BEDF .（Ⅱ）依题意建立如图空间直角坐标系，则()1,0,0B，()D ，()0,0,1A，()C ，则()0,1AD =-，()1,0,1AB =-，()1,AC =，设平面ACD 的法向量为()111,,m x y z =，则00m AD m AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即11110z x -=+=⎪⎩，令11y =，得(3,1,m =-，设平面ABC 的法向量为()222,,n x y z =，则00n AB n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即222200x z x -=⎧⎪⎨+=⎪⎩，令21y =，得(3,1,n =-， ∴1cos ,7m n m n m n⋅==，即二面角B AC D --的余弦值为17.19. 解：（Ⅰ）∵3AF =，∴3a c +=，又AMN △面积是BMN △面积的3倍，∴()3a c ac +=-，解得2a =，1c =，b =故椭圆C 的标准方程为22143x y +=. （Ⅱ）依题意可设l ：1x ty =+，()11,M x y ，()22,N x y ，联立方程组221143x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 整理得()2234690t y ty ++-=，∴122634t y y t +=-+，122934y y t =-+，直线AM 的方程为11(2)2y y x x =++，令4x =，得1164,2y P x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，同理2264,2y Q x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭.∴以PQ 为直径的圆的方程为2121266(4)022y y x y y x x ⎛⎫⎛⎫-+--= ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭.由对称性可知，若以PQ 为直径的圆过定点，则定点在x 轴上，令0y =，得2121266(4)022y y x x x -+⋅=++，即()()2121236(4)033y y x ty ty -+=++，即()2122121236(4)039y y x t y y t y y -+=+++，即2222293634(4)096393434t x t t t t t ⎛⎫- ⎪+⎝⎭-+=⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，化简得222236(9)(4)09182736x t t t ⨯--+=--++，解得1x =或7x =. 故以PQ 为直径的圆过定点()1,0和()7,0.20. 解：（Ⅰ）∵()77222211111777i i i i s x xx x ==⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭∑∑，即()211.46309.877x =-，解得30x =，∵()77222221111777i i i i s y yy y ==⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭∑∑，即()210.28.477y =-，解得1y =，∴717222177210.982100.16309.8730i ii i i x y x yb x x==-==-⨯-⋅=-∑∑，10.1302a y bx =-=-⨯=-，故y 关于x 的线性回归方程0.12y x =-.（Ⅱ）法一：今年9月份的日最高气温的平均值为(0.05270.15290.15310.1330.0535)230.8x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=，将30.8x =代入回归方程0.12y x =-中，得 1.08y =，∵1.083032.430⨯=>，∴所以该公司员工为了获得奖励，需要作出节能努力.法二：由频率分布直方图得，9月份日最高气温是27C ︒，29C ︒，31C ︒，33C ︒，35C ︒时，分别为3天，9天，9天，6天，3天. 故9月份的总用电量为3(0.1272)9(0.1292)9(0.1312)⨯⨯-+⨯⨯-+⨯⨯-6(0.1332)3(0.1352)32.4+⨯⨯-+⨯⨯-=，∵32.430>，∴所以该公司员工为了获得奖励，需要作出节能努力.21. 解：（Ⅰ）当1a =时，()ln 1x f x e x x =--，则'()ln 1x f x e x =--，又1''()x f x e x =-在()0,+∞上单调递增，且1''202f ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，''(1)10f e =->， ∴存在01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()0001''0xf x e x =-=，当()00,x x ∈时，''()0f x <；当()0,x x ∈+∞时，''()0f x >， ∴'()f x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增， ∴()000'()'ln 1xf x f x e x ≥=--，∵0010xe x -=，∴001x e x =，00ln x x =-，∴001'()10f x x x =+->， ∴()f x 在()0,+∞上单调递增.（Ⅱ）解法一：问题等价于2(1)ln 10xx x ax e x --++≥（记为()*式）在[)1,+∞上恒成立，令2()(1)ln 1x g x e x x ax x =--++，()'()2(ln 1)xg x x a e x =-++，∵()10g =，∴要使()*式在[)1,x ∈+∞上恒成立，则必须()'120g e a =-+≥，即2a e ≥-，下面证明当2a e ≥-时，()0g x ≥在[)1,+∞上恒成立.∵1x ≥，∴ln 10x +>，∴()'()2(2)(ln 1)xg x x e x e ≥-+-+，易证ln 1x x +≤，∴()()'()2(2)0x xg x x e x x e e e ≥-+-=-≥，∴当2a e ≥-时，()g x 在[)1,+∞上单调递增，∴()()10g x g ≥=，即()*式在[)1,+∞上恒成立.故a 的取值范围是[)2,e -+∞.解法二：依题意得21ln x x e xe x ax x -+-≤在[)1,+∞上恒成立()*，当1x =时，()*式恒成立，∴a R ∈，当()1,x ∈+∞时，∵ln 0x x >，()*式等价于2(1)1ln x x e x a x x -+-≥在()1,+∞上恒成立.令2(1)1()ln x x e x h x x x-+-=，()1,x ∈+∞.易证ln 1x x <-，∴11ln 1x x >-，令2()(1)1x t x x e x =-+-，∴()'()20x t x x e =-<，∴()t x 在()1,+∞上单调递减，∴()()10t x t <=，即2(1)10xx e x -+-<，∴22(1)1(1)11()ln (1)x x xx e x x e x x e h x x x x x x-+--+-+-=<=-，令11()x x e h x x +-=，12'(1)1()0x x e h x x--=<， ∴1()h x 在()1,+∞上单调递减，∴11()(1)2h x h e <=-，即()2h x e <-， ∴2a e ≥-，即a 的取值范围是[)2,e -+∞.22. 解：（Ⅰ）直线1l 的极坐标方程为θα=，由2112x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，消去参数t 得()()2411y x x =+≠-，令cos x ρθ=，sin y ρθ=得22sin 4(cos 1)ρθρθ=+，即曲线E 的极坐标方程为()22sin4cos 40(0,)(,2)ρθρθθπππ--=∈.（Ⅱ）将θα=代入22sin 4cos 40ρθρθ--=中，得22sin 4cos 40ραρα--=，设A ，B 两点所对应的极径分别是1ρ，2ρ，则1224cos sin αρρα+=，1224sin ρρα=-， ∴12AB ρρ=-=24sin α==， ∵12l l ⊥，∴2244cos sin 2CD παα==⎛⎫+ ⎪⎝⎭， ∴22sin cos 144114AB CD αα=+=+.23. 解：（Ⅰ）当2a =时，1,0()2131,011,1x x f x x x x x x x --≤⎧⎪=--=-<<⎨⎪+≥⎩，()f x 在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增.∴当0x =时，()f x 取最小值-1. （Ⅱ）当0x =时，满足题意，a R ∈. 当0x ≠时，11111a x x a x x--≤⇔≤+-恒成立. 而1111111x x x x+-≥+-=， ∴1a ≤，故a 的取值范围为(],1-∞.。

江西省九江市2021届新高考第一次模拟数学试题含解析

江西省九江市2021届新高考第一次模拟数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知等差数列{}n a 的公差不为零，且11a ，31a ，41a 构成新的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若存在n 使得0n S =，则n =（） A ．10 B ．11C ．12D ．13【答案】D 【解析】【分析】利用等差数列的通项公式可得16a d =-，再利用等差数列的前n 项和公式即可求解. 【详解】由11a ，31a ，41a 构成等差数列可得 31431111a a a a -=- 即13341413341422a a a a d da a a a a a a a ----=⇒=⇒= 又()4111323a a d a a d =+⇒=+ 解得：16a d =- 又[]12(1)(12(1))(13)222n n n nS a n d d n d d n =+-=-+-=- 所以0n S =时，13n =. 故选：D 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、等差数列的前n 项和公式，需熟记公式，属于基础题.2．设点P 是椭圆2221(2)4x y a a +=>上的一点，12F F ，是椭圆的两个焦点，若12F F =12PF PF +=（）A ．4B ．8C．D．【答案】B∵12F F =∵122F F c ==∴c =∵222c a b =-，24b = ∴4a =∴1228PF PF a +== 故选B点睛：本题主要考查利用椭圆的简单性质及椭圆的定义. 求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.3．设10(){2,0xx f x x -≥=<，则((2))f f -=（） A ．1- B ．14C ．12D ．32【答案】C 【解析】试题分析：()21224f --==Q ，()()111211422f f f ⎛⎫∴-===-= ⎪⎝⎭．故C 正确．考点：复合函数求值．4．已知x ，y 满足条件0020x y y x x y k ≥≥⎧⎪≤⎨⎪++≤⎩，（k 为常数），若目标函数3z x y =+的最大值为9，则k =（）A ．16-B ．6-C ．274-D ．274【答案】B 【解析】【分析】由目标函数3z x y =+的最大值为9，我们可以画出满足条件件0,0(20x y y xk x y k ⎧⎪⎨⎪++⎩厖„„为常数）的可行域，根据目标函数的解析式形式，分析取得最优解的点的坐标，然后根据分析列出一个含参数k 的方程组，消参后即可得到k 的取值．画出x ，y 满足的0,0(20x y y xk x y k ⎧⎪⎨⎪++⎩厖„„为常数）可行域如下图：由于目标函数3z x y =+的最大值为9，可得直线0y =与直线93x y =+的交点(3,0)B ，使目标函数3z x y =+取得最大值，将3x =，0y =代入20x y k ++=得：6k =-．故选：B ．【点睛】如果约束条件中含有参数，我们可以先画出不含参数的几个不等式对应的平面区域，分析取得最优解是哪两条直线的交点，然后得到一个含有参数的方程（组)，代入另一条直线方程，消去x ，y 后，即可求出参数的值． 5．若复数21iz =+，其中i 为虚数单位，则下列结论正确的是（） A ．z 的虚部为i - B ．2z =C ．z 的共轭复数为1i --D ．2z 为纯虚数【答案】D 【解析】【分析】将复数z 整理为1i -的形式，分别判断四个选项即可得到结果. 【详解】()()()2121111i z i i i i -===-++- z 的虚部为1-，A 错误；112z +，B 错误；1z i =+，C 错误；()2212z i i =-=-，为纯虚数，D 正确本题正确选项：D 【点睛】本题考查复数的模长、实部与虚部、共轭复数、复数的分类的知识，属于基础题.6．给甲、乙、丙、丁四人安排泥工、木工、油漆三项工作，每项工作至少一人，每人做且仅做一项工作，甲不能安排木工工作，则不同的安排方法共有（） A ．12种 B ．18种 C ．24种 D ．64种【答案】C 【解析】【分析】根据题意，分2步进行分析：①，将4人分成3组，②，甲不能安排木工工作，甲所在的一组只能安排给泥工或油漆，将剩下的2组全排列，安排其他的2项工作，由分步计数原理计算可得答案．【详解】解：根据题意，分2步进行分析：①，将4人分成3组，有246C =种分法；②，甲不能安排木工工作，甲所在的一组只能安排给泥工或油漆，有2种情况，将剩下的2组全排列，安排其他的2项工作，有222A =种情况，此时有224⨯=种情况，则有6424⨯=种不同的安排方法；故选：C ．【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．7．函数tan 42y x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 的部分图象如图所示，则 ()OA OB AB +⋅=u u u r u u u r u u u r （）A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】A 【解析】【分析】根据正切函数的图象求出A 、B 两点的坐标，再求出向量的坐标，根据向量数量积的坐标运算求出结果．【详解】由图象得,令tan 42y x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭=0,即42x ππ-=kπ，k Z ∈k=0时解得x=2，令tan 42y x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭=1,即424x πππ-=，解得x=3，∴A(2,0),B(3,1)，∴()()()2,0,3,1,1,1OA OB AB ===u u u r u u u r u u u r，∴()()()5,11,1516OA OB AB +⋅=⋅=+=u u u r u u u r u u u r.故选：A. 【点睛】本题考查正切函数的图象，平面向量数量积的运算，属于综合题，但是难度不大，解题关键是利用图象与正切函数图象求出坐标，再根据向量数量积的坐标运算可得结果，属于简单题.8．已知01021:1,log ;:,2x p x x q x R e x ∃>>∀∈>，则下列说法中正确的是（） A ．p q ∨是假命题 B ．p q ∧是真命题 C ．()p q ∨⌝是真命题 D ．()p q ∧⌝是假命题【答案】D 【解析】【分析】举例判断命题p 与q 的真假，再由复合命题的真假判断得答案．【详解】当01x >时，102log 0,x <故p 命题为假命题；记f （x ）＝e x ﹣x 的导数为f′（x ）＝e x -１，易知f （x ）＝e x ﹣x 在（﹣∞，0）上递减，在（0，＋∞）上递增， ∴f （x ）＞f （0）＝１＞0，即,x x R e x ∀∈>，故q 命题为真命题； ∴()p q ∧⌝是假命题故选D 【点睛】本题考查复合命题的真假判断，考查全称命题与特称命题的真假，考查指对函数的图象与性质，是基础题．9．把函数sin()6y x π=+图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将图象向右平移3π个单位，那么所得图象的一个对称中心为（） A ．(,0)3πB ．(,0)4πC ．(,0)12πD ．(0,0)【答案】D 【解析】【分析】【详解】试题分析：把函数sin()6y x π=+图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），可得1sin()26y x π=+的图象；再将图象向右平移3π个单位，可得11sin[()]sin 2362y x x ππ=-+=的图象，那么所得图象的一个对称中心为(0,0)，故选D. 考点：三角函数的图象与性质. 10．若,x y 满足约束条件02636x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩，则2z x y =+的最大值为（）A ．10B ．8C ．5D ．3【答案】D 【解析】【分析】画出可行域,将2z x y =+化为122zy x =-+,通过平移12y x =-即可判断出最优解,代入到目标函数,即可求出最值. 【详解】解:由约束条件02636x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩作出可行域如图,化目标函数2z x y +＝为直线方程的斜截式,122zy x =-+.由图可知当直线122zy x =-+过()3,0A 时,直线在y 轴上的截距最大,z 有最大值为3. 故选:D. 【点睛】本题考查了线性规划问题.一般第一步画出可行域,然后将目标函数转化为y ax bz =+ 的形式,在可行域内通过平移y ax =找到最优解,将最优解带回到目标函数即可求出最值.注意画可行域时,边界线的虚实问题. 11．在等差数列{}n a 中，25a =-，5679a a a ++=，若3n nb a =（n *∈N ），则数列{}n b 的最大值是（）A ．3-B ．13- C ．1 D ．3【答案】D 【解析】【分析】在等差数列{}n a 中,利用已知可求得通项公式29n a n =-,进而3293n n b a n =-=,借助()329f x x =-函数的的单调性可知,当5n =时, n b 取最大即可求得结果. 【详解】因为5679a a a ++=，所以639a =，即63a =，又25a =-，所以公差2d =，所以29n a n =-，即329n b n =-，因为函数()329f x x =-，在 4.5x <时，单调递减，且()0f x <；在 4.5x >时，单调递减，且()0f x >.所以数列{}n b 的最大值是5b ，且5331b ==，所以数列{}n b 的最大值是3.故选:D. 【点睛】本题考查等差数列的通项公式,考查数列与函数的关系,借助函数单调性研究数列最值问题,难度较易. 12．运行如图所示的程序框图，若输出的值为300，则判断框中可以填（）A ．30i >?B ．40i >?C ．50i >?D ．60i >?【答案】B【解析】【分析】由30020010203040=++++，则输出为300，即可得出判断框的答案【详解】由30020010203040=++++，则输出的值为300，401050i =+=，故判断框中应填40i >？故选：B ．【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

江西省九江市2021届新高考数学模拟试题(3)含解析

江西省九江市2021届新高考数学模拟试题（3）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设,,a b R i ∈是虚数单位，则“复数z a bi =+为纯虚数”是“0ab =”的（） A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充分不必要条件【答案】D 【解析】【分析】结合纯虚数的概念，可得0,0a b =≠，再结合充分条件和必要条件的定义即可判定选项. 【详解】若复数z a bi =+为纯虚数，则0,0a b =≠，所以0ab =，若0ab =，不妨设1,0a b ==，此时复数1z a bi =+=，不是纯虚数，所以“复数z a bi =+为纯虚数”是“0ab =”的充分不必要条件.故选：D 【点睛】本题考查充分条件和必要条件，考查了纯虚数的概念，理解充分必要条件的逻辑关系是解题的关键，属于基础题.2．己知函数()()1,0,ln ,0,kx x f x x x ->⎧=⎨--<⎩若函数()f x 的图象上关于原点对称的点有2对，则实数k 的取值范围是（） A ．(),0-∞ B ．()0,1C ．()0,∞+D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】考虑当0x >时，1ln kx x -=有两个不同的实数解，令()ln 1h x x kx =-+，则()h x 有两个不同的零点，利用导数和零点存在定理可得实数k 的取值范围. 【详解】因为()f x 的图象上关于原点对称的点有2对，所以0x >时，1ln kx x -=有两个不同的实数解.令()ln 1h x x kx =-+，则()h x 在()0,∞+有两个不同的零点.又()1kxh x x-'=，当0k ≤时，()0h x '>，故()h x 在()0,∞+上为增函数，()h x 在()0,∞+上至多一个零点，舍.当0k >时，若10,⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x k ，则()0h x '>，()h x 在10,k ⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数；若1,⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭x k ，则()0h x '<，()h x 在1,k ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为减函数；故()max 11ln h x h k k ⎛⎫==⎪⎝⎭，因为()h x 有两个不同的零点，所以1ln0k>，解得01k <<. 又当01k <<时，11e k <且10k h e e ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，故()h x 在10,k ⎛⎫ ⎪⎝⎭上存在一个零点.又22ln +122ln e e e h t et k k k ⎛⎫=-=+-⎪⎝⎭，其中11t k =>. 令()22ln g t t et =+-，则()2etg t t-'=，当1t >时，()0g t '<，故()g t 为()1,+∞减函数，所以()()120g t g e <=-<即20e h k ⎛⎫<⎪⎝⎭. 因为2211e k k k >>，所以()h x 在1,k ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上也存在一个零点.综上，当01k <<时，()h x 有两个不同的零点. 故选：B. 【点睛】本题考查函数的零点，一般地，较为复杂的函数的零点，必须先利用导数研究函数的单调性，再结合零点存在定理说明零点的存在性，本题属于难题. 3．已知复数z 满足121iz i i+⋅=--（其中z 为z 的共轭复数），则z 的值为( )A ．1B ．2C D 【答案】D 【解析】【分析】按照复数的运算法则先求出z ，再写出z ，进而求出z . 【详解】21(1)21(1)(1)2i i i i i i i ++===--+Q ， 1222(2)121i iz i i z i z i i i i i+-∴⋅=-⇒⋅=-⇒==--=---， 2212||(1)25z i z ∴=-+⇒=-+=.故选：D 【点睛】本题考查复数的四则运算、共轭复数及复数的模，考查基本运算能力，属于基础题. 4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A ．48122+B ．60122+C ．72122+D ．84【答案】B 【解析】【分析】画出几何体的直观图，计算表面积得到答案. 【详解】该几何体的直观图如图所示：故()2422626246622641222S +⨯=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=+.故选：B .【点睛】本题考查了根据三视图求表面积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.5．2020年是脱贫攻坚决战决胜之年，某市为早日实现目标，现将甲、乙、丙、丁4名干部派遺到A、B、C三个贫困县扶贫，要求每个贫困县至少分到一人，则甲被派遣到A县的分法有（）A．6种B．12种C．24种D．36种【答案】B【解析】【分析】分成甲单独到A县和甲与另一人一同到A县两种情况进行分类讨论，由此求得甲被派遣到A县的分法数. 【详解】如果甲单独到A县，则方法数有22326C A⨯=种.如果甲与另一人一同到A县，则方法数有12326C A⨯=种. 故总的方法数有6612+=种.故选：B【点睛】本小题主要考查简答排列组合的计算，属于基础题.6．设x，y满足约束条件34100640280x yx yx y-+≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩，则2z x y=+的最大值是（）A．4B．6C．8D．10【答案】D【解析】【分析】作出不等式对应的平面区域，由目标函数的几何意义，通过平移即可求z的最大值．【详解】作出不等式组的可行域，如图阴影部分，作直线0l ：20x y +=在可行域内平移当过点A 时，2z x y =+取得最大值.由34100280x y x y -+≥⎧⎨+-≤⎩得：()2,4A ，max 10z ∴= 故选：D 【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法，属于基础题. 7．若点位于由曲线与围成的封闭区域内（包括边界），则的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】【分析】画出曲线与围成的封闭区域，表示封闭区域内的点和定点连线的斜率，然后结合图形求解可得所求范围．【详解】画出曲线与围成的封闭区域，如图阴影部分所示．表示封闭区域内的点和定点连线的斜率，设，结合图形可得或，由题意得点A,B 的坐标分别为，∴，∴或，∴的取值范围为．故选D ．【点睛】解答本题的关键有两个：一是根据数形结合的方法求解问题，即把看作两点间连线的斜率；二是要正确画出两曲线所围成的封闭区域．考查转化能力和属性结合的能力，属于基础题．8．已知椭圆2222:1x y C a b+=的短轴长为2，焦距为1223F F ，、分别是椭圆的左、右焦点，若点P 为C 上的任意一点，则1211PF PF +的取值范围为（） A ．[]1,2 B ．2,3⎡⎣ C ．2,4⎤⎦D ．[]1,4【答案】D 【解析】【分析】先求出椭圆方程，再利用椭圆的定义得到124PF PF +=，利用二次函数的性质可求1214PF PF ≤≤，从而可得1211PF PF +的取值范围. 【详解】由题设有1,b c ==2a =，故椭圆22:14x C y +=，因为点P 为C 上的任意一点，故124PF PF +=.又()12121212111144=4PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF ++==-，因为122PF ≤≤，故()11144PF PF ≤-≤，所以121114PF PF ≤+≤. 故选：D. 【点睛】本题考查椭圆的几何性质，一般地，如果椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是12F F 、，点P 为C 上的任意一点，则有122PF PF a +=，我们常用这个性质来考虑与焦点三角形有关的问题，本题属于基础题.9．已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的-一个公共点，且1223F PF π∠=，设椭圆和双曲线的离心率分别为12,e e ，则12,e e 的关系为（）A ．2212314e e += B ．221241433e e += C ．2212134e e += D ．221234e e +=【答案】A 【解析】【分析】设椭圆的半长轴长为1a ，双曲线的半长轴长为2a ，根据椭圆和双曲线的定义得： 12112222PF PF a PF PF a ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩ ，解得112212PF a a PF a a ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，然后在12F PF △中，由余弦定理得：()()()()22212121212242cos3c a a a a a a a a π=++--+⋅-⋅，化简求解.【详解】设椭圆的长半轴长为1a ，双曲线的长半轴长为 2a ，由椭圆和双曲线的定义得： 12112222PF PF a PF PF a ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩ ，解得112212PF a a PF a a ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，设121222,3π=∠=F F c F PF ，在12F PF △中，由余弦定理得： ()()()()22212121212242cos3c a a a a a a a a π=++--+⋅-⋅，化简得2221234a a c +=，即2212314e e +=. 故选：A 【点睛】本题主要考查椭圆，双曲线的定义和性质以及余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.10．已知()()11,101,012x f x f x x x ⎧--<<⎪+⎪=⎨⎪≤<⎪⎩，若方程()21f x ax a -=-有唯一解，则实数a 的取值范围是( )A ．{}()81,-⋃+∞B ．{}()116,12,2⎛⎤-⋃⋃+∞⎥⎝⎦C ．{}()18,12,2⎡⎤-⋃⋃+∞⎢⎥⎣⎦D ．{}[]()321,24,-⋃⋃+∞【答案】B 【解析】【分析】求出()f x 的表达式，画出函数图象，结合图象以及二次方程实根的分布，求出a 的范围即可．【详解】解：令10x -<<，则011x <+<，则1(1)2x f x ++=，故21,101(),012x x f x x x ⎧--<<⎪⎪+=⎨⎪<⎪⎩…，如图示：由()21f x ax a -=-，得()(21)1f x a x =+-，函数(21)1y a x =+-恒过1(2A -，1)-，由1(1,)2B ，(0,1)C ，可得1121112ABk +==+，2OA k =，11412AC k +==，若方程()21f x ax a -=-有唯一解，则122a <„或24a >，即1a 12<„或2a >；当22111ax a x +-=-+即图象相切时，根据0∆=，298(2)0a a a --=，解得16(0a =-舍去），则a 的范围是{}()116,12,2⎛⎤-⋃⋃+∞ ⎥⎝⎦，故选：B ．【点睛】本题考查函数的零点问题，考查函数方程的转化思想和数形结合思想，属于中档题． 11．若复数211iz i=++（i 为虚数单位），则z 的共轭复数的模为（） A 5B ．4C ．2D 5【答案】D 【解析】【分析】由复数的综合运算求出z ，再写出其共轭复数，然后由模的定义计算模．【详解】()()()212112111i i iz i i i i -=+=+=+++-Q ，2,z i z ∴=-∴= 故选：D ．【点睛】本题考查复数的运算，考查共轭复数与模的定义，属于基础题．12．根据最小二乘法由一组样本点(),i i x y （其中1,2,,300i =L ），求得的回归方程是ˆˆˆybx a =+，则下列说法正确的是( )A ．至少有一个样本点落在回归直线ˆˆˆybx a =+上 B ．若所有样本点都在回归直线ˆˆˆybx a =+上，则变量同的相关系数为1 C ．对所有的解释变量i x （1,2,,300i =L ），ˆˆibx a +的值一定与i y 有误差 D ．若回归直线ˆˆˆybx a =+的斜率ˆ0b >，则变量x 与y 正相关【答案】D 【解析】【分析】对每一个选项逐一分析判断得解. 【详解】回归直线必过样本数据中心点，但样本点可能全部不在回归直线上﹐故A 错误；所有样本点都在回归直线ˆˆˆybx a =+上，则变量间的相关系数为1±，故B 错误；若所有的样本点都在回归直线ˆˆˆy bx a =+上，则ˆˆbx a +的值与y i 相等，故C 错误；相关系数r 与ˆb符号相同，若回归直线ˆˆˆy bx a =+的斜率ˆ0b >，则0r >，样本点分布应从左到右是上升的，则变量x 与y 正相关，故D 正确．故选D ．【点睛】本题主要考查线性回归方程的性质，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

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