2019届惠州一调数学(理科)试题-及答案

惠州市2019届高三第一次调研考试理科数学2018.07一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分. （1）复数52i -的共轭复数是（ ） (A)2i + (B)2i -+ (C)2i -- (D)2i -（2）已知集合{}21M x x ==，{}1N x ax ==，若N M ⊆，则实数a 的取值集合为（ ）(A) {}1(B) {}1,1- (C) {}1,0 (D) {}1,1,0-（3）函数22()2cos sin +2f x x x ωω=-的最小正周期为π，则=ω（ ）(A)32(B) 2(C) 1(D)12（4）下列有关命题的说法错误的是（ ）(A)若“p q ∨”为假命题，则p 与q 均为假命题；(B)“1x =”是“1x ≥”的充分不必要条件；(C)若命题200R 0p x x ∃∈≥：，，则命题2R 0p x x ⌝∀∈<：，；(D)“1sin 2x =”的必要不充分条件是“6x π=”. （5）已知各项均为正数的等比数列{}n a 中，11a =，32a ，5a ，43a 成等差数列，则数列{}n a 的前n 项和n S =（ ） (A)21n- (B)121n -- (C)12n - (D)2n（6）“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的 一个和谐优美的几何体。

它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）。

其直观图如图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线。

当其正视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是（ ）(A) (B) (C) (D)（7）若函数2()x f x a-=，()log ||a g x x =（0a >，且1a ≠），且(2)(2)0f g ⋅<，则函数()f x ，()g x 在同一坐标系中的大致图象是（ ）(A)(B)(C) (D)（8）对一个作直线运动的质点的运动过程观测了8次，得到如下表所示的数据. 观测次数i 1 2 3 4 5 6 7 8 观测数据i a4041434344464748在上述统计数据的分析中，一部分计算见如图所示的算法流程 图(其中a 是这8个数据的平均数)，则输出的S 的值是（ ） (A) 6 (B) 7 ( C) 8 (D) 9（9）已知1F 和2F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以1OF 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且2F AB V 是等边三角形，则该双曲线的离心率为 ( )(A)3+1(B) 31 (C)31 (D) 2（10）已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为32，则这个四棱锥外接球的表面积为（ ）(A) 108π (B) 72π (C) 36π (D) 12π（11）已知函数()ln f x x x x =+，若k Z ∈且(2)()k x f x -<对任意2x >恒成立，则k 的最大值为（ ）(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6（12）设抛物线24y x =的焦点为F ，过点()2,0的直线交抛物线于,A B 两点，与抛物线准线交于点C ，若25ACF BCF S S =V V ，则AF =（ ） (A) 23(B) 4 (C) 3 (D) 2 二．填空题：本题共4小题，每小题5分。

（13）若实数x ，y 满足的约束条件101010x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则函数2z x y =+的最大值是 ．（14）已知向量(2,1),(,1)a b x ==-r r，且a b -r r 与b r 共线，则x 的值为 ．输出S结束输入i ai =1是 开始2()i S S a a =+-i= i +1S =0i ≥ 8 ?否S = S / 8（15）某公司招聘5名员工，分给下属的甲、乙两个部门，其中2名英语翻译人员不能分给同一部门，另3名电脑编程人员不能都分给同一部门，则不同的分配方案种数是 ．（16）已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，对任意大于2的正整数n ，记集合{},,,1ijx x a a i N j N i j n =+∈∈≤<≤的元素个数为nc，把{}n c 的各项摆成如图所示的三角形数阵，则数阵中第17行由左向右数第10个数为___________．3c 4c 5c6c 7c 8c 9c 10c 11c 12c…………三．解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分12分）在ABC ∆中，锐角C 满足252sin cos 232C C π⎛⎫-+= ⎪⎝⎭. （1）求角C 的大小；（2）点P 在BC 边上，3PAC π∠=，3PB =，sin 38BAP ∠=， 求ABC ∆的面积。

（18）（本小题满分12分）如图，直四棱柱1111D C B A ABCD -的底面是菱形，侧面是正方形，060=∠DAB ，E 是棱CB 的延长线上一点，经过点A 、1C 、E 的平面交棱1BB 于点F ，BF F B 21=．（1）求证：平面⊥E AC 1平面11B BCC ；（2）求二面角C AC E --1的平面角的余弦值．（19）（本小题满分12分）如图，椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>经过点()0,1A -，且离心率为2．（1）求椭圆E 的方程；AA 1（2）经过点()1,1，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同两点P ，Q （均异于点A ），证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为定值．（20）（本小题满分12分）甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司底薪70元，每单抽成2元；乙公司无底薪，40单以内(含40单)的部分每单抽成4元，超出40单的部分每单抽成6元．假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其100天的送餐单数，得到如下频数表：（1）现从甲公司记录的这100天中随机抽取两天，求这两天送餐单数都大于40的概率； （2）若将频率视为概率，回答以下问题：（ⅰ）记乙公司送餐员日工资为X (单位：元), 求X 的分布列和数学期望；（ⅱ）小明拟到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由.（21）（本小题满分12分）已知函数()()()2xf x x e a a R =-+∈，（1）试确定函数()f x 的零点个数；（2）设1x ，2x 是函数()f x 的两个零点，证明：122x x +<．（22）（本小题满分10分）在极坐标系中，已知圆C 的圆心C 2,4π⎛⎫⎪⎝⎭，半径3r =． （1）求圆C 的极坐标方程；（2）若0,4πα⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，直线l 的参数方程为2cos 2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），直线l 交圆C 于A 、B 两点，求弦长AB 的取值范围．甲公司送餐员送餐单数频数表 送餐单数3839 40 41 42 天数 20 40201010乙公司送餐员送餐单数频数表 送餐单数3839 40 41 42 天数 1020204010惠州市2019届高三第一次调研考理科数学参考答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案BDCDABABCCBD（5）【解析】A ；设{}n a 的公比为q ，则534223a a a =+，2333223a q a a q ∴=+，2223q q ∴=+，2q ∴=或12q =- （舍），11212221n n n n S a a a -∴=+++=+++=-……；（6）【解析】B ；因为相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合在一起的方形伞，所以其正视图和侧视图是一个圆。

俯视图是从上向下看，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，所以俯视图是有2条对角线且为实线的正方形，故选B ； （7）【解析】A ；由题意()2x f x a-=是指数型的，()log a g x x =是对数型的且是一个偶函数，由()()220f g <，可得出()20g <，故log 20a <，故01a <<，由此特征可以确定C 、D 两选项不正确，且()2x f x a-=是一个减函数，由此知B 不对，A 选项是正确答案，故选A ；（10）【解析】C ；可求出正四棱锥的高为3．设其外接球的半径为R ，则由两者的位置 关系可得()22233R R -+=，解得3R =，所以2436S R ππ==．故选C. （11）【解析】B ；考虑直线(2)y k x =-与曲线()y f x =相切时的情形。

设切点为()m f m (，），此时'()0()2f m f m m -=-，即ln 2ln 2m m mm m +=+-，化简得：42ln 0m m --=，设()42ln g m m m =--，由于222()42ln 0g e e e =--<，333()42ln 0g e e e =-->。

故23e m e <<，所以切线斜率'=()=2ln k fm m +的取值范围是()4,5，又k Z ∈，max 4k ∴=，选B ；（12）【解析】D ；设直线():2l y k x =-，()()1122,,,A x y B x y ，将直线方程代入抛物线方程得：()22224140k x k x k -++=，由韦达定理得：124x x ⋅= ①，分别过点,A B 作准线的垂线11,AA BB ，垂足分别为点11,A B ，11121215ACF BCF AC AA AF S x S BC BB BF x +∴=====+V V ，即125230x x -+= ②，解得11x =，2AF ∴=，故选D 。

二、填空题：（13）3 （14） 2- （15） 12 （16） 293（15）【解析】由题意可得，有2种分配方案：①甲部门要2个电脑编程人员，则有3种情况；两名英语翻译人员的分配有2种可能；根据分步计数原理，共有3×2=6种分配方案．②甲部门要1个电脑编程人员，则有3种情况电脑特长学生，则方法有3种；两名英语翻译人员的分配方法有2种；共3×2=6种分配方案．由分类计数原理，可得不同的分配方案共有6+6=12种。

（16）【解析】设()11n a a n d =+-，则()122i j a a a i j d +=++-，由题意1i j n ≤<≤，当1i =，2j =时，2i j +- 取最小值1，当1i n =-，j n =时，2i j +-取最大值23n -，易知2i j +-可取遍1,2,3,23n -…，，即()233n c n n =-≥.数阵中前16行共有12316136++++=…个数，所以第17行左数第10个数为14821483293c =⨯-=。