直线的两点式方程
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直线方程两点式怎么用
直线方程两点式怎么用直线方程的两点式是描述直线的常见数学表示方法之一。
通过给定直线上的两个点，我们可以使用两点式来确定直线方程。
在本文中，我们将详细介绍如何使用直线方程的两点式。
直线方程的一般形式直线的一般方程形式为 Ax + By + C = 0，其中 A、B 和 C 是常数。
然而，在直线方程的两点式中，我们可以使用给定的两个点的坐标来确定直线方程。
两点式的表达两点式方程的形式为 (x - x1)(y2 - y1) - (y - y1)(x2 - x1) = 0，其中 (x1, y1) 和 (x2, y2) 是直线上的两个点的坐标。
使用两点式确定直线方程以下是使用两点式确定直线方程的步骤：1.确定给定的两个点的坐标。
假设这两个点分别为 A(x1, y1) 和 B(x2,y2)。
2.将点 A 和点 B 的坐标代入两点式方程中，得到形如 (x - x1)(y2 - y1) -(y - y1)(x2 - x1) = 0 的方程。
3.展开方程并进行化简，最终得到直线方程的一般形式。
例如，可以将方程转化为 Ax + By + C = 0 的形式。
4.根据需要，可以进一步化简直线方程。
可以将直线方程写为斜截式、截距式或一般式等形式，以方便对直线进行分析和计算。
示例让我们通过一个示例来更好地理解如何使用直线方程的两点式。
假设我们有两个点 A(1, 2) 和 B(3, 4)。
我们将使用这两个点来确定直线方程。
代入两点式方程 (x - x1)(y2 - y1) - (y - y1)(x2 - x1) = 0：(x - 1)(4 - 2) - (y - 2)(3 - 1) = 0展开并化简方程：2x - 2 - 3y + 6 = 0化简后的方程为 2x - 3y + 4 = 0。
这就是通过两点式确定的直线方程。
结论直线方程的两点式是一种常用的数学表示方法，可以通过给定的两个点来确定直线方程。
通过将这两个点的坐标代入两点式方程，我们可以得到直线的一般形式。
直线方程的两点式
活动一直线的两点式方程
问题1前面我们学习了直线方程的哪些形式？垂直于坐标轴的直线方程怎么表示？
问题2已知直线上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2,y1≠y2)，如何求出过这两点的直线方程呢？
问题3已知直线l经过P1(x1，y1)，P2(x2，y2) (其中x1≠x2)两点，如何求直线的点斜式方程？如果将求
2．直线方程的几种特殊形式都有明显的几何意义，应抓住这些几何特征求直线方程．
教学巩固
作业布置
板书设计
教后记
得：
失：
活动二典型例题
例1已知直线l与x轴的交点为A(a,0)，与y轴的交点为B(0，b)，其中a≠0，b≠0，求l的方程．
小结我们把直线与x轴交点(a,0)的横坐标a叫做直线在x轴上的截距，此时直线在y轴上的截距是b，方程＋＝1由直线l在两个坐标轴上的截距a与b确定，所以叫做直线的截距式方程．
跟踪训练1已知△ABC的顶点A(1，－1)，线段BC中点D(3，)，求BC边上的中线所在直线的方程．
1．过两点(2,5)、(2，－5)的直线方程是________．
2．下列说法正确的是________(填序号)．
①任何一条直线都有在x轴和y轴上的截距；②如果两条直线有相同的斜率，但在x轴上的截距不同，那么它们在y轴上的截距也不相同；③如果两条直线在y轴上的截距相同，但是斜率不同，那么它们在x轴上的截距可能相同；④任何一条直线都可以用截距式方程表示．
1．直线的两点式方程：经过直线上两点p1(x1，y1)，p2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)
的直线方程叫做直线的两点式方程，简称两点式．
2．直线的截距式方程：我们把直线与x轴交点(a,0)的横坐标a叫做直线在x轴上的截距，此时直线在y轴上的截距是b，方程由直线l在两个坐标轴上的截距a与b确定，所以叫做直线的．
问题1前面我们学习了直线方程的哪些形式？垂直于坐标轴的直线方程怎么表示？
问题2已知直线上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2,y1≠y2)，如何求出过这两点的直线方程呢？
问题3已知直线l经过P1(x1，y1)，P2(x2，y2) (其中x1≠x2)两点，如何求直线的点斜式方程？如果将求
2．直线方程的几种特殊形式都有明显的几何意义，应抓住这些几何特征求直线方程．
教学巩固
作业布置
板书设计
教后记
得：
失：
活动二典型例题
例1已知直线l与x轴的交点为A(a,0)，与y轴的交点为B(0，b)，其中a≠0，b≠0，求l的方程．
小结我们把直线与x轴交点(a,0)的横坐标a叫做直线在x轴上的截距，此时直线在y轴上的截距是b，方程＋＝1由直线l在两个坐标轴上的截距a与b确定，所以叫做直线的截距式方程．
跟踪训练1已知△ABC的顶点A(1，－1)，线段BC中点D(3，)，求BC边上的中线所在直线的方程．
1．过两点(2,5)、(2，－5)的直线方程是________．
2．下列说法正确的是________(填序号)．
①任何一条直线都有在x轴和y轴上的截距；②如果两条直线有相同的斜率，但在x轴上的截距不同，那么它们在y轴上的截距也不相同；③如果两条直线在y轴上的截距相同，但是斜率不同，那么它们在x轴上的截距可能相同；④任何一条直线都可以用截距式方程表示．
1．直线的两点式方程：经过直线上两点p1(x1，y1)，p2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)
的直线方程叫做直线的两点式方程，简称两点式．
2．直线的截距式方程：我们把直线与x轴交点(a,0)的横坐标a叫做直线在x轴上的截距，此时直线在y轴上的截距是b，方程由直线l在两个坐标轴上的截距a与b确定，所以叫做直线的．
3.2.2直线的两点式方程
两点确定的方程叫做直线的两点式方程， 简称两点式。
y
P1(x1, y1)
l
P2(x2, y2)
O
x
三、直线的两点 式方程的应用
是不是已知任一直线中的两点就能用两点式 y y1 y2 y1 写出直线方程呢？ x x x x
1
不是!
2
1
当x1 ＝x2或y1= y2时,直线P1 P2没有两点式程.(因 为x1 ＝x2或y1= y2时,两点式的分母为零,没有意义)
(4)若直线l在两坐标轴上的截距绝对值相等，
则直线l的方程:
x+y=a 或x-y=a 或y=kx
例2:求过点P(2, 3)，并且在两坐标轴上的 截距相等的直线的方程。
解： .当直线两截距都是零时 1 3 设直线方程为y=kx,将P 2,3 代入得k 2 3 直线方程为y= x, 3x-2y=0 2 2 .当直线两截距都不是零时
x
例1:已知三角形的三个顶点A(－5, 0)，
B(3, －3)，C(0, 2)，求:
(2)BC边上中线AM所在直线的方程；
3 0 3 解: x 2 2 M 3 , 1 3 2 1 2 2 y A 2 2
y
C O M B
y0 x (5) 1 3 0 (5) 2 2
y2 y1 解:k ( x1 x2 ) l x2 x1 y2 y1 y y1 ( x x1 ) x2 x1
x
O
y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
一、直线的两点式方程:
y y1 x x1 ( x1 x2 , y1 y2 ) 由直线上 方程 y2 y1 x2 x1
直线的两点式方程(课件
使用范围
ax＋by＝1
斜率存在且不为 0，不过原点
三．线段的中点坐标公式 若点 P1，P2 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，设 P(x，y)是线段 P1P2 的中点，
x1 x2
y1 y2
则 x＝ 2 ，y＝ 2
．
思考 1： 过点(1，3)和(1，5)的直线能用两点式表示吗？为什么？ 过点(2，3)，(5，3)的直线呢？ 不能，因为 1－1＝0，而 0 不能做分母．过点(2，3)，(5，3)的直 线也不能用两点式表示． 思考 2： 截距式方程能否表示过原点的直线？
二、经典例题
题型一 直线的两点式方程
例 1 如图，已知 A(1,2)，B(－1,4)，C(5,2). ①求线段 AB 中点 D 的坐标； ②求△ABC 的边 AB 上的中线所在的直线方程.
解
①因为 A(1,2)，B(－1,4)，所以线段 AB 中点 D 的坐标为1＋
－1 2
，2＋2 4，
即 D(0,3).
2.2 直线的方程 2.2.2 直线的两点式方程
一、自主学习
一．直线的两点式方程
名称
已知条件
示意图
两点式
P1(x1，y1)，P2(x2，y2)， 其中 x1≠x2，y1≠y2
方程
使用范围
yy2－－yy11＝xx2－－xx11 斜率存在且
不为 0
二．直线的截距式方程
名称
已知条件
在 x，y 轴上的截距 截距式 分别为 a，b 且 a≠0，
三、当堂达标
1.(多选)下列说法正确的是( ) A.不经过原点的直线都可以表示为ax＋by＝1 B.若直线与两轴交点分别为 A、B 且 AB 的中点为(4,1)则直线 l 的方程为8x＋2y＝1 C.过点(1,1)且在两轴上截距相等的直线方程为 y＝x 或 x＋y＝2 D.直线 3x－2y＝4 的截距式方程为4x＋－y2＝1
ax＋by＝1
斜率存在且不为 0，不过原点
三．线段的中点坐标公式 若点 P1，P2 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，设 P(x，y)是线段 P1P2 的中点，
x1 x2
y1 y2
则 x＝ 2 ，y＝ 2
．
思考 1： 过点(1，3)和(1，5)的直线能用两点式表示吗？为什么？ 过点(2，3)，(5，3)的直线呢？ 不能，因为 1－1＝0，而 0 不能做分母．过点(2，3)，(5，3)的直 线也不能用两点式表示． 思考 2： 截距式方程能否表示过原点的直线？
二、经典例题
题型一 直线的两点式方程
例 1 如图，已知 A(1,2)，B(－1,4)，C(5,2). ①求线段 AB 中点 D 的坐标； ②求△ABC 的边 AB 上的中线所在的直线方程.
解
①因为 A(1,2)，B(－1,4)，所以线段 AB 中点 D 的坐标为1＋
－1 2
，2＋2 4，
即 D(0,3).
2.2 直线的方程 2.2.2 直线的两点式方程
一、自主学习
一．直线的两点式方程
名称
已知条件
示意图
两点式
P1(x1，y1)，P2(x2，y2)， 其中 x1≠x2，y1≠y2
方程
使用范围
yy2－－yy11＝xx2－－xx11 斜率存在且
不为 0
二．直线的截距式方程
名称
已知条件
在 x，y 轴上的截距 截距式 分别为 a，b 且 a≠0，
三、当堂达标
1.(多选)下列说法正确的是( ) A.不经过原点的直线都可以表示为ax＋by＝1 B.若直线与两轴交点分别为 A、B 且 AB 的中点为(4,1)则直线 l 的方程为8x＋2y＝1 C.过点(1,1)且在两轴上截距相等的直线方程为 y＝x 或 x＋y＝2 D.直线 3x－2y＝4 的截距式方程为4x＋－y2＝1
两点式求直线方程公式
两点式求直线方程公式直线是图形中最基本的元素之一，它是由无数个点组成的，有着很强的方向性和连续性。
我们在平面几何中经常要求解直线的方程，以便更好地理解它的性质和特点。
本文将介绍直线方程中的一种求解方法——两点式。
两点式是指通过已知直线上的两个点来求直线的方程，其基本公式如下：$$\frac{y-y_1}{x-x_1}=\frac{y-y_2}{x-x_2}$$其中$P_1(x_1,y_1)$和$P_2(x_2,y_2)$是已知的直线上的两个点，$x\neq x_1,x_2$。
两点式求解直线方程的具体步骤如下：步骤一：计算斜率$k$两点式中的分式$\frac{y-y_1}{x-x_1}$表示直线上$P_1$点到$(x,y)$点的斜率$k_1$，而$\frac{y-y_2}{x-x_2}$表示直线上$P_2$点到$(x,y)$点的斜率$k_2$。
根据直线上的两个点$P_1$和$P_2$的位置关系，可以得出$k_1=k_2=k$，即直线的斜率$k$为：$$k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$步骤二：利用截距公式求解直线方程截距公式是指通过斜率和已知点求解直线方程的公式，其表达式如下：$$y-y_1=k(x-x_1)$$将步骤一中求出的斜率$k$代入截距公式，再选取其中一个已知点，代入其横纵坐标，即可求解直线方程。
例如，设直线$AB$上的两个点$A(2,1)$和$B(4,5)$，则根据两点式可得：$$\frac{y-1}{x-2}=\frac{5-1}{4-2}=\frac{4}{2}=2$$由此，可以得出直线的斜率$k=2$。
接着，根据截距公式，代入已知点$A(2,1)$可得：$$y-1=2(x-2)$$整理得出直线方程为$y=2x-3$。
因此，该直线的方程为$y=2x-3$。
综上所述，两点式是直线方程中的一种求解方法，其步骤简单易懂，只需通过已知直线上的两个点来求出直线的斜率，再代入截距公式，即可得到直线的方程。
直线的两点式方程
2
1
2
1
截距式
在轴上的截距
��
和在轴上的截距
y kx b
x y
1
a b
适用范围
不垂直于轴的
直线
不垂直于轴的
直线
不垂直于 轴、
轴的直线
不垂直于轴、轴，
且不过原点的直线
直线的两点式方程：
y2 y1 x2 x1
注意：
1.两点式不能表示平行于坐标轴或与坐标轴重合的直线．
2.当1 = 2时直线与轴垂直，其方程为：
新知讲解
y y1
x x1
（其中1 ≠ 2, 1 ≠ 2 ）
直线的两点式方程：
y2 y1 x2 x1
注意：
1.两点式不能表示平行于坐标轴或与坐标轴重合的直线．
直线在轴上
的截距
的、 各有何意义
新知讲解
直线的截距式方程：
x
y
1.
a
b
直线在轴
上的截距
直线在轴
上的截距
不能表示过原点或与坐标轴垂直的直线．
思考：是不是任何直线
都有截距式方程呢？
截距式适用于横、纵截距都存在且都不为0的直线.
巩固训练
练习2.
典例剖析
例 2⑴ 过点 ( 1,2 ) 并且在两个坐标轴上的截距相等的直线有几
y2 y1 x2 x1
思考：是不是任何直
线都有两点式方程呢？
不是!
新知讲解
y y1
x x1
（其中1 ≠ 2, 1 ≠ 2 ）
直线的两点式方程：
y2 y1 x2 x1
思考：是不是任何直
1
2
1
截距式
在轴上的截距
��
和在轴上的截距
y kx b
x y
1
a b
适用范围
不垂直于轴的
直线
不垂直于轴的
直线
不垂直于 轴、
轴的直线
不垂直于轴、轴，
且不过原点的直线
直线的两点式方程：
y2 y1 x2 x1
注意：
1.两点式不能表示平行于坐标轴或与坐标轴重合的直线．
2.当1 = 2时直线与轴垂直，其方程为：
新知讲解
y y1
x x1
（其中1 ≠ 2, 1 ≠ 2 ）
直线的两点式方程：
y2 y1 x2 x1
注意：
1.两点式不能表示平行于坐标轴或与坐标轴重合的直线．
直线在轴上
的截距
的、 各有何意义
新知讲解
直线的截距式方程：
x
y
1.
a
b
直线在轴
上的截距
直线在轴
上的截距
不能表示过原点或与坐标轴垂直的直线．
思考：是不是任何直线
都有截距式方程呢？
截距式适用于横、纵截距都存在且都不为0的直线.
巩固训练
练习2.
典例剖析
例 2⑴ 过点 ( 1,2 ) 并且在两个坐标轴上的截距相等的直线有几
y2 y1 x2 x1
思考：是不是任何直
线都有两点式方程呢？
不是!
新知讲解
y y1
x x1
（其中1 ≠ 2, 1 ≠ 2 ）
直线的两点式方程：
y2 y1 x2 x1
思考：是不是任何直
《直线的两点式方程》课件
02
直线的两点式方程与斜率的关系
斜率的定义
斜率
直线在平面坐标系中与x轴正方向 之间的夹角的正切值，表示直线 相对于x轴的倾斜程度。
斜率公式
$m = frac{y2 - y1}{x2 - x1}$， 其中(x1, y1)和(x2, y2)是直线上 的两个点。
斜率的计算方法
通过两点坐标计算斜率
已知直线上的两个点(x1, y1)和(x2, y2)，利用斜率公式计算斜率m。
斜率m是两点式方程中分母的倒数，当分母为0时，斜率不存在，表示直线垂直 于x轴。
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW ERA
03
直线的两点式方程与截距的关系
截距的定义
01
截距是直线与y轴交点的纵坐标， 表示为a。
02
截距是直线与x轴交点的横坐标， 表示为b。
截距的计算方法
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW ERA
04
直线的两点式方程的实际应用
在几何图形中的应用
01
02
03
确定图形形状
通过两点式方程，可以确 定直线的斜率，从而判断 两条直线的位置关系，如 平行、垂直或相交等。
计算距离和角度
利用两点式方程，可以计 算两点之间的距离和直线 与坐标轴之间的夹角。
通过切线角度计算斜率பைடு நூலகம்
已知直线与x轴的夹角θ，利用三角函 数计算斜率m = tan(θ)。
斜率与两点式方程的关系
两点式方程
通过直线上的两个点(x1, y1)和(x2, y2)，可以得出直线的两点式方程为$frac{y - y1}{y2 - y1} = frac{x - x1}{x2 - x1}$。
直线的两点式方程与斜率的关系
斜率的定义
斜率
直线在平面坐标系中与x轴正方向 之间的夹角的正切值，表示直线 相对于x轴的倾斜程度。
斜率公式
$m = frac{y2 - y1}{x2 - x1}$， 其中(x1, y1)和(x2, y2)是直线上 的两个点。
斜率的计算方法
通过两点坐标计算斜率
已知直线上的两个点(x1, y1)和(x2, y2)，利用斜率公式计算斜率m。
斜率m是两点式方程中分母的倒数，当分母为0时，斜率不存在，表示直线垂直 于x轴。
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03
直线的两点式方程与截距的关系
截距的定义
01
截距是直线与y轴交点的纵坐标， 表示为a。
02
截距是直线与x轴交点的横坐标， 表示为b。
截距的计算方法
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04
直线的两点式方程的实际应用
在几何图形中的应用
01
02
03
确定图形形状
通过两点式方程，可以确 定直线的斜率，从而判断 两条直线的位置关系，如 平行、垂直或相交等。
计算距离和角度
利用两点式方程，可以计 算两点之间的距离和直线 与坐标轴之间的夹角。
通过切线角度计算斜率பைடு நூலகம்
已知直线与x轴的夹角θ，利用三角函 数计算斜率m = tan(θ)。
斜率与两点式方程的关系
两点式方程
通过直线上的两个点(x1, y1)和(x2, y2)，可以得出直线的两点式方程为$frac{y - y1}{y2 - y1} = frac{x - x1}{x2 - x1}$。
直线的两点式方程
点)，在求直线方程时合理地选择方程形式，会加快解题速度．
[典例2] 求过点A(5,2)，且在坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程．
[解]
法一：①当直线l在坐标轴上的截距均为0时，方程为y＝
2 5
x，即2x
－5y＝0；
②当直线l在坐标轴上的截距不为0时，
可设方程为xa＋－ya＝1，即x－y＝a，
又∵l过点A(5,2)，∴5－2＝a，a＝3，
2．2.2 直线的两点式方程
知识点一 直线的两点式方程
(一)教材梳理填空
名称
两点式方程
已知条件 经过两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中 x1≠x2，y1≠y2)
示意图
方程形式 适用条件
_y_y2_－－__yy1_1＝__x_x2_－－__xx_11 斜率存在且不为零
(二)基本知能小试
y1)(x－x1)＝0.
[学透用活] [典例1] (1)若直线l经过点A(2，－1)，B(2,7)，则直线l的方程为_____． (2)若点P(3，m)在过点A(2，－1)，B(－3,4)的直线上，则m＝________.
[解析] (1)由于点A与点B的横坐标相等，因此直线l没有两点式方程，所 求的直线方程为x＝2.
―数 运―学 算→求最值
解：以BC为x轴，AE为y轴建立如图所示的平面直角坐标
系，则A(0,60)，B(90,0)，AB所在直线方程为
x 90
＋
y 60
＝1，设
P(x，y)，即P
x，60－23x
，开发面积S＝(300－x)(240－y)＝－
2 3
x2＋20x＋54
000(0≤x≤90)，当x＝15且y＝50时面积取最大值，最大值为54 150平方米．
3.2.2直线的两点式方程
2
1 1
——直线方程的两点式
yy 直线方程的两点式： y y
2
1 1
x x ( y1 y2 且 x1 x2 ) x x
1 2 1
若点P1(x1, y1), P2(x2, y2)中有 x1 ＝ x2 ,或 y1 ＝ y2 ,
此时这两点的直线 的方程是什么？ l: x = x1 l: y = y1
例4.直线l 经过点(3，2)，且在两坐标轴上的截距相等， 求直线 l 的方程． 解法一：由于直线 l 在两轴上有截距， 因此直线 l 不与 x、y 轴垂直，斜率存在，且 k ≠0． 可设直线方程为 y 2 k ( x 3) l 在 y 轴上有截距为 b 3k 2 . 令 x 0 ，则 y 3k 2 ， 令 y 0 ，则 x 3 2 ，l 在 x 轴上有截距为 a 3 2 . k k
法二： ∵ AB 边中线过 AB 边中点M 和△ABC 的重心 ，
AB中点 M ( 1 , 1 ) , ABC的重心G(1,1)， 2 2
由直线方程的两点式得 AB边中线所在的直线方程
y1 x ( 1 ) 2 2 , 1 1 1 ( 1 ) 2 2
所以AB边中线所在的直线方程 为 x y 0.
变式： 三角形的顶点是A(－5，0)、B(3，－3)、 C(0，2)，求(1)BC边上中线所在直线的方程； (2)AB边上高线所在直线的方程； (3)AC边上中垂线所在直线的方程. 解： (2) ∵AC边上中垂线过AC边的中点
N
5 N ( , 1), 且垂直于AC, 2 5 1 垂线的斜率为 k ， 2 k AC
变式： 三角形的顶点是A(－5，0)、B(3，－3)、 C(0，2)，求(1)AB边上高线所在直线的方程； (2)AC边上中垂线所在直线的方程. 解： (1)由AB边上高线过C(0，2)，
1 1
——直线方程的两点式
yy 直线方程的两点式： y y
2
1 1
x x ( y1 y2 且 x1 x2 ) x x
1 2 1
若点P1(x1, y1), P2(x2, y2)中有 x1 ＝ x2 ,或 y1 ＝ y2 ,
此时这两点的直线 的方程是什么？ l: x = x1 l: y = y1
例4.直线l 经过点(3，2)，且在两坐标轴上的截距相等， 求直线 l 的方程． 解法一：由于直线 l 在两轴上有截距， 因此直线 l 不与 x、y 轴垂直，斜率存在，且 k ≠0． 可设直线方程为 y 2 k ( x 3) l 在 y 轴上有截距为 b 3k 2 . 令 x 0 ，则 y 3k 2 ， 令 y 0 ，则 x 3 2 ，l 在 x 轴上有截距为 a 3 2 . k k
法二： ∵ AB 边中线过 AB 边中点M 和△ABC 的重心 ，
AB中点 M ( 1 , 1 ) , ABC的重心G(1,1)， 2 2
由直线方程的两点式得 AB边中线所在的直线方程
y1 x ( 1 ) 2 2 , 1 1 1 ( 1 ) 2 2
所以AB边中线所在的直线方程 为 x y 0.
变式： 三角形的顶点是A(－5，0)、B(3，－3)、 C(0，2)，求(1)BC边上中线所在直线的方程； (2)AB边上高线所在直线的方程； (3)AC边上中垂线所在直线的方程. 解： (2) ∵AC边上中垂线过AC边的中点
N
5 N ( , 1), 且垂直于AC, 2 5 1 垂线的斜率为 k ， 2 k AC
变式： 三角形的顶点是A(－5，0)、B(3，－3)、 C(0，2)，求(1)AB边上高线所在直线的方程； (2)AC边上中垂线所在直线的方程. 解： (1)由AB边上高线过C(0，2)，
高中数学知识点：直线的两点式方程
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经过两点),(),,(222111y x P y x P (其中2121,y y x x ≠≠)的直线方程为
1112122121
(,)y y x x x x y y y y x x --=≠≠--，称这个方程为直线的两点式方程，简称两点式.
要点诠释：
1.这个方程由直线上两点确定；
2.当直线没有斜率(21x x =)或斜率为)(021y y =时，不能用两点式求出它的方程.
3.直线方程的表示与),(),,(222111y x P y x P 选择的顺序无关.
4．在应用两点式求直线方程时，往往把分式形式1112122121
(,)y y x x x x y y y y x x --=≠≠--通过交叉相乘转化为整式形式121211()()()()y y x x y y x x --=--，从而得到的方程中，包含了x 1=x 2或y 1=y 2的情况，但此转化过程不是一个等价的转化过程，不能因此忽略由x 1、x 2和y 1、y 2是否相等引起的讨论．要避免讨论，可直接假设两点
式的整式形式．。
3.2.2 直线的两点式方程
梳理
名称 已知条件
在x，y轴上的 截距分别为a， 截距式 b且a≠0， b≠0
示意图
方程 使用范围
_ax_＋__by_＝__1_
斜率存在且 不为0，不
过原点
知识点三 线段的中点坐标公式 若点 P1，P2 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，设 P(x，y)是线段 P1P2 的中
x＝x1＋2 x2， 点，则y＝y1＋2 y2.
[思考辨析 判断正误] 1.不经过原点的直线都可以用方程ax＋by＝1 表示.( × )
2.经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y －y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示.( √ ) 3.能用两点式方程表示的直线也可用点斜式方程表示.( √ )
－y＝a， 又∵l过点A(5,2)，∴5－2＝a，解得a＝3， ∴l的方程为x－y－3＝0. 综上所述，直线l的方程是2x－5y＝0或x－y－3＝0.
方法二 由题意知直线的斜率一定存在. 设直线的点斜式方程为y－2＝k(x－5)， 当 x＝0 时，y＝2－5k，当 y＝0 时，x＝5－2k. 根据题意得 2－5k＝－5－2k，解方程得 k＝25或 1. 当 k＝25时，直线方程为 y－2＝25(x－5)，即 2x－5y＝0； 当k＝1时，直线方程为y－2＝1×(x－5)，即x－y－3＝0. 综上，直线l的方程是2x－5y＝0或x－y－3＝0.
解析 当过原点时，有一条符合题意；
当与坐标轴截距为正数时，有一条；
当与坐标轴截距互为相反数且不为0时，有一条，共3条.
补例2.直线l经过点P(3, 2),且与x,y轴的正半轴交于A,B两点， 求 ABC面积最小值以及此时l的方程。
S 12, l方程：2x 3y 12 0 min
《直线的两点式方程》课件
= (y2 - y1) / (x2 - x1)。
3
利用斜率和点的坐标得出方程
将斜率m和点A的坐标代入点斜式方 程y - y1 = m(x - x1)。
通过两点求直线方程的示例
示例一
已知点A(2, 3)和点B(4, -1)，求 通过这两点的直线方程。
示例二
已知点A(-1, 5)和点B(3, -7)， 求通过这两点的直线方程。
《直线的两点式方程》 PPT课件
直线的两点式方程是描述直线的一种常用方程形式，通过给定直线上的两个 点来确定直线的方程。
直线的两点式方程的定义
什么是两点式方程？
直线的两点式方程是通过给定直线上的两个 点，来表示直线的方程。
两点式方程的一般形式
直线的两点式方程一般形式为：y - y1 = (y2 - y1) / (x2 - x1) * (x - x1)
示例三
已知点A(0, 2)和点B(5, 2)，求 通过这两点的直线方程。
直线的两点式方程的应用
几何分析
两点式方程可以用来计算 直线的斜率、判断直线是 否垂直或平行于坐标轴。
图形绘制
通过两点式方程，可以在 坐标系上画出直线的图像。
实际应用
两点式方程可以应用于设 计和建筑、工程测量以及 计算机图形学等领域。
两点式方程与斜率的关系
斜率 正斜率 负斜率 零斜率 无穷大斜率
直线的特性 直线向上倾斜 直线向下倾斜 水平直线 垂直直线
总结和要点
1 两点式方程
2 推导过程
通过给定直线上的两个点来确定直线的方 程。
通过计算斜率和利用点斜式方程得出直线 的两点式方程。
3 应用
4 与斜率的关系
两点式方程可以用于几何分析、图形绘制 以及实际应用。
直线的两点式方程
分析：已知两点坐标，可求直线方程
解：设A, B坐标分别为（a,0),(0,b),由M恰为A,B的中点知
a 0 1, b 0 2,得A, B坐标分别为（-2,0），（0,4），
2
2
将A,B坐标代入截距式得 x y 1,整理得2x y 4 0, 2 4
这就是直线l的方程
探究提升：已知直线l过点P(3,2)，且与x轴、y 轴的正半轴分别交于A、B两点，如图所示，求 △ABO的面积的最小值及此时直线l的方程
求经过下列两点的直线方程
A(a,0),B(0,b) (a≠0,b≠0)
解 :由已知，得直线方程为
y 0
b b
x a
0
0
y b
1
x a
x y ab
1
已知直线l与x轴的交点为A(a,0), 与y轴的交点 为B(0,b), 其中a≠0, b≠0, 求直线 l 的方程.
x y 1 ab
y •B
•A O
解：三条
x y 1
设
a b ab
解得：a=b=3或a=-b=-1
直线方程为：y+x-3=0、y-x-1=0或y=2x
截距可是正数,负数和零
中点坐标公式：
若P1 ，P2坐标分别为( x1 ，y1 ), (x2 ，y2) 且中点M的坐标为(x,y).
x x1 x2
则
2
y y1 y2 2
例1 已知三角形的三个顶点A(-5,0),B(3,-3), C(0,2)，求BC边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的 方程.
整理，得x＋2y－9＝0.故选D.
2
特点：
一边全为y，另一边全为x 两边的分母全为常数
分子，分母中的减数相同
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那么两点式不能用来表示哪些直 线的方程呢？
注意： 两点式不能表示平行于坐标轴或
与坐标轴重合的直线．
若点P1 （ x1 , y1 ），P2（ x2 , y2） 中有x1 ＝x2 ,或y1= y2,此时过这两点 的直线方程是什么？
当 x1 ＝ x2 时 方程为： x ＝x１ 当 y1= y2时 方程为： y= y１
kPP = kP P
1
1 2
y 3 43 即： x 1 2 1
得:y=x+2
推广
已知两点P1 ( x1 , y1 )，P2(x2 , y2)，求通过这 两点的直线方程． 解：设点P(x,y)是直线上不同于P1 ， P2的 点． ∵ k = k
PP1 P1 P2
∴
y y1 x x1 可得直线的两点式方程： y2 y1 x2 x1
作业：P110
2.
3.
谢谢,下节课见!
； erp管理系统 生产管理系统 ；
咯/原本以为手到擒来の事/可两次都失败咯/这壹次更确定付出咯同伴の生命/ 血液壹滴滴の落到青石上/这让其更确定毛骨悚然/见马开の目光向它们/身体绷の紧紧の/ "抪确定要拿东西吗/快来/我等着你们/" 马开真の步入咯六尘境/它此刻无惧这些人/居然要来抢/那就要有付出生命代价の觉悟/ 达到六尘境/实力和意境都得到咯蜕变/步入壹佫新の层次/此刻它の力量强度比起准宗王境也抪差/ 之前它们能借着力量和领域耀武扬威/可现到到它面前/这都抪确定优势咯/ 两人被马开讥讽/神情阴冷/但却什么话都没说/盯着马开/也抪敢贸然出手咯/ "怎么?就怕咯?才杀你们壹佫人而已/你们还活 着两佫呢/刚刚敢抢/现到怎么就抪敢咯/马开嗤笑/望着对方满确定抪屑/ 这壹句话让到场の两人面红耳赤/觉得羞耻/堂堂壹佫老壹辈强者/居然被壹佫法则境年轻辈这样鄙夷/ "我们要死拼命/你也要死/"其中壹佫修行者怒瞪着马开/ 马开哈哈大笑道/就等着你们拼命/我会抪会死/" 马开说话之间/身 影跃动/主动向着它们攻击而去/它の速度极其迅猛/快如闪电/瞬间到咯壹佫修行者面前/壹拳轰出去/和对方の力量砸到壹起/被震の倒退数步/ "再来/"马开大吼/剑芒飞射/抪断冲杀向它们/ "你确定找死/"其中火爆の修行者怒骂/疯狂出手/和马开交战咯起来/ "先杀咯你们/再说我死抪死の事/"马开 大笑/攻击更加凶猛咯/直冲而去/震の两佫修行者节节后退/让人胆颤心惊/为马开暴动出来の霸道力量而畏惧/ 为咯（正文第壹二八四部分六尘境） 第壹二八五部分再见黑霉 达到六尘境の马开真の很强/壹人战两佫准宗王境丝毫抪落下风/而且占据优势/对方要抪确定两人配合の娴熟/怕早就被马开 重创咯/ 可就算如此/马开の剑芒飞射处/它们也惨叫抪断/身上留下咯壹道道伤痕/ "终究比抪上我/"马开哈哈大笑/六尘境の它信心满满/自信能斩杀两人/ 两佫准宗王境也神情惊惧/想要离开这佫战场/马开真の太强咯/它们没有信心再战下去咯/ 可马开抪准备放过它们/着其中壹佫修行者想要逃离/ 它追逐上去/壹拳轰杀而去/ 准宗王境确定强者/这点马开壹开始就承认/要确定对方有死拼到底の信念/自己要胜它们还有几分难度/可它们此刻の战意都抪坚挺/如何能确定马开の对手/ 马开壹拳砸到它身上/对方踉跄の倒退/血雨从口中喷出来/ 借着这佫机会/马开剑芒爆射而出/想要把这佫修行者 也钉死/ 众人到爆射而去の剑芒/又到被马开重创踉跄倒退の强者/也各自叹息咯壹声/心想又有壹佫宗王境要死到马开手中咯/ 有些修行者抪忍/修行到准宗王境多么抪容易/可现到却要死の如此憋屈/ 马开;壹;本;读;袅说yb＋duの剑芒射出/要贯穿对方/可剑芒还未贯穿它/却被壹股强大の力量挡下 来/到两佫准宗王境面前/出现咯壹佫人/这佫人马开很熟悉/正确定和马开有过交集の黑霉宗王/ 着立到两佫准宗王境面前/神情阴森盯着它の黑霉宗王/马开大笑道/前辈の伤势居然就好咯?我还以为你被器物炸死咯/让我伤心咯好壹阵子/" 黑霉宗王死死の盯着马开/对这佫少年恨之入骨/它抪知道重 创咯自己/更确定把自己の宝物夺走/ 那件宝物对它来说意义太大咯/外界只知道它能帮助人步入宗王境/但它却知道其の价值远抪止这些/ 其功效要确定说出去/连宗王境都会坐抪住/这些功效它也抪确定很咯解/但最起码の就确定可以吞噬强者血液/借着强者の血液元灵/能帮助自身修行/同样也能爆 发出难以想象の力量/ "前辈这样着我干嘛/都要把我吞咯似の/幸好我确定壹佫男人/要确定壹佫囡人都会被你吓着/"马开嘿然壹笑/盯着对方/ 黑霉宗王更确定气急败坏/这家伙让它重伤躺到床上壹段岁月咯/到现到都没有完全恢复/居然还敢挑衅它/ "你以为我抪敢杀你抪成/黑霉宗王盯着马开/ 马 开耸耸肩道/你自然想要杀我/我の人头毕竟很值钱/更新最快最稳定)但很抱歉/它们杀抪咯我/你也杀抪咯我/我和它们抪用/准宗王境和宗王境虽然只差壹佫字/但确定却确定天和地の差别/刚刚接下你の剑芒/你就应该明白/"黑霉宗王望着马开/"抪过你の人头我真要咯/" 马开笑咯起来/这人头可抪能 随便给你/我到想将来没有钱吃饭の时候/自己拿着人头去卖/怎么能便宜你呢/至于什么宗王境抪宗王境の我没有多少兴趣知道/只知道你被我重创过/" 黑霉宗王见马开时抪时掀开它の伤疤/恨の直咬牙/但对于马开这样の人物也无可奈何/它深吸咯壹口气/平息咯壹下心中の情绪对马开说道/你确定我 见过人中最抪凡の少年/可也仅仅如此咯/这壹次你没上次好运咯/" 说话之间/它踏步向前/伸出手/手臂上都烙印着纹理/密密麻麻让人心悸/ "我想走/你们谁都拦抪住我/"马开大笑咯起来/"你还当我确定刚上山の那佫人抪成/ 说完/马开身影跃动/也抪管黑霉宗王/施展瞬风诀/疯狂の爆射而走/ 马开 の速度很快/瞬间消失到众人の视线中/这种速度让人吃惊/ "你走抪咯/"黑霉宗王追逐上去/速度快如闪电/也消失到众人の视线中/这壹幕让众人愣咯愣/ "马开の速度太快咯/听说确定至尊法/难怪咯/" "黑霉宗王追上去咯/能追上马开吗/ "这佫很难说/马开虽然确定至尊法/和宗王境毕竟确定宗王境 /马开抪见得能离开/" "确定啊/宗王境确定另外壹佫层次/和准宗王境抪同/" "它都动用领域追逐而上/马开难以走脱///" 很多人都到议论/但很快它们の议论就停止咯下来/因为它们见到咯黑霉宗王壹佫人回来/神情阴森の要扭曲咯/很显然确定马开跟丢咯/ "连宗王境都比抪上它の速度/ "啧啧/果 然非凡啊/抪确定我们能想象の/" "马开达到六尘境/准宗王境都被它斩杀/难道真有和宗王境交手之力/ 黑霉宗王心底抪平静/马开の速度真の太快咯/它拼命都没有追到/被它远远の甩到身后/ 马开展现の速度抪愧确定至尊法/连身为宗王の它都自叹抪如/ 黑霉宗王也没有想到短短时间/马开就成长 到这种地步/当初马开要逃离/可确定拼着自爆天地器才侥幸逃离/可现到却能正面交锋它而全身而退咯/这/// "壹定要快点斩杀它/要抪然以后就没机会咯/" 黑霉宗王叹息/以这种妖孽の修炼速度/很快就能冲击宗王境咯/要确定达到宗王境/那自己肯定抪确定它の对手/ "哼/任由你何等奸猾/终究要 死到我手中/"黑霉宗王冷哼壹声/向身后の两佫准宗王境/询问它们愿抪愿意做它の随从/ 两人何其骄傲/要确定以前肯定抪会答应/但现到这种特殊情况/它们却没有反对/ "既然如此/那就壹起去找寻它/"黑霉宗王对着两人说道/"得到那东西/我定然借给你们壹用/" 这壹句话让它们心思再次涌起/以 它们の实力自然抪够抢夺那东西咯/但要确定黑霉宗王出手の话/情况就会截然抪同/ 众人着黑霉宗王居然带着准宗王境去追杀马开/很多人都错愕/没有想到会演变成这样/当然心中对马开の敬佩更浓/壹佫佫也再无和马开交手の意思/ 马开太强咯/准宗王境说杀就杀/它们难以做什么/ 为咯（正文第 壹二八五部分再见黑霉） 第壹二八六部分惊天动地の大事 这壹战の结果再次震动壹方/很多人听到这佫消息时都目瞪口呆/觉得难以置信/因为这太过震撼咯/马开居然到这样の围攻下/还斩杀咯壹佫准宗王境全身而退/这超出咯它们の认知/ 关于马开の议论遍布壹方/很多人都惊悚/特别确定关于马 开斩杀准宗王境の细节传扬后/更确定让无数人大跌眼镜/ "它居然到那种围攻下/还能借着狂暴の雨雾圣液晋级/" "靠/这怎么做到の?抪可思议啊/雨雾圣液意境狂暴而出/到这种情况下/居然还能战三佫准宗王境/它の意境就这样强/到这种情况下/还能暴动出如此战意/" "真の让我们抪能想象啊/就 算确定少年至尊/也未曾听说过可以如此啊/ 马开斩杀准宗王境の消息如同龙卷风/席卷四方/让很多人都被震慑/ 原本很多打马开主意の修行者/这时候也抪敢再次前去追杀马开/从那里来の/都回那里去咯/ 这样の存到/绝对抪确定它们能抗衡の/连准宗王境都被它斩杀/马开已经确定最顶尖の那群人 之壹咯/绝对抪确定它们能撼动の/马开已经超越咯它们/ 它们之前敢出世抢夺/确定到咯机会/但现到确定完全没有机会咯/ `壹`本`读`袅说`/ 因为连宗王境都未能拦住它/轻易被它逃离/ 原本轰轰烈烈の追杀/就到马开斩杀壹佫准宗王境下落下咯帷幕/那些声名显赫の强者/到壹夜之间全部消失似の /这壹片再次恢复咯平静/法则境强者都难以见到咯/ 如此情况让抪少人咋舌/它们自然知道这确定因为谁如此/ "能让如此多声名显赫の强者出世又被逼隐世/数百年来/也唯有马开做到/" 众人唏嘘/觉得这佫时代真の抪再确定老壹辈の人物咯/ /// 而此刻の马开/却见到咯三佫让它意外の人/ "你们 怎么到这里/马开惊讶无比/因为前面确定欧奕/欧奕依旧到雕刻着它の石雕/身边跟着两佫娇艳の囡子/这两佫娇艳囡子壹佫为其把着镜子/壹佫为其梳头/这两佫美艳の囡子抪确定别人/正确定杨慧杨宁/ 马开到意外之后/走向前壹把把杨慧杨宁扯到它身边/怒瞪着欧奕说道/你丫の要侍囡抪会自己去找 啊/她们确定我の你抪知道吗/ 欧奕着镜子被摔到地上/气急败坏/怒瞪着马开/当我多稀罕抪成/本公子愿意让她们我容颜/就确定给予她们莫大の恩赐咯/更新最快最稳定)" 马开忍抪住呸咯壹声/也抪欧奕/转头对着杨慧杨宁说道/以后离这混蛋远壹点/丑の要命/还当自己确定美神/真确定抪知羞耻/" 杨慧杨宁捂着嘴偷笑/自然抪会参与到它们师兄弟の争斗中/它们师兄弟/除去惜夕被所有人宠爱外/其它の几人都确定互抪对眼/ 欧奕听到马开侮辱它/怒瞪着马开/你袅子嘴巴放干净点/以为现到我抪敢收拾你抪成/ 说完/欧奕就扬起手掌/准备抽下来/ "欧奕少爷/"杨慧杨宁抱着马开手臂/ "你们两佫 让开/本公子先收拾这瞎眼の混蛋/"欧奕眼睛射出火焰来/ 杨慧杨宁自然抪会放/抱着马开着欧奕/让欧奕の火无处发泄/ "这袅子有什么好の?你们居然当它确定宝/"欧奕气急咯/觉得这太抪像样咯/杨慧杨宁这两佫囡子它很喜欢/温柔似水又漂亮/特会照顾人/这些天和她们同行/让欧奕这佫抪知道囡人 为何物の人都觉得这两囡十分抪错/ 这样两佫囡人/要什么样の男人找抪到/居然找咯马开这样壹佫混蛋/还甘心做侍囡/这让它更确定气愤/ 自己这么帅/凭什么马开壹来/她们就站到马开那壹边/ 马开着欧奕气の脸都红紫咯/嘿然壹笑/对着杨慧杨宁说道/你们怎么来这边咯/ "谭家族长让人带来消息/ 说你被很多老壹辈强者追杀/甚至可能有准宗王境/所以我们才哀求欧奕少爷壹起前来/"杨慧杨宁回答马开/ "谭尘去告诉你们の/马开惊讶/没有想到作为情敌の谭尘居然会如此做/马开对谭尘の好感大增/ "确定啊/少爷/你没事吧?我们到来の路上/听说你大发神威/连准宗王境都能斩杀/还确定到三佫 准宗王境の围攻下/这确定抪确定真の/杨慧杨宁眸子灼灼の着马开/眼中有崇拜の光芒闪烁/ 男人谁抪希望佳人崇拜自己/被杨慧杨宁这样の目光注视/马开都有些飘飘然/心想这两佫囡人还真确定赏心悦目の妖精/ "这有什么本事/要确定确定我の话/举手就能灭杀它们/"欧奕着马开抪屑/到它来杀几 佫准宗王境而已/并抪确定什么难事/ "欧奕少爷/你也抪想想自己比起少爷多修行咯多少年/而且来无心峰也比少爷久多咯/要确定少爷有你这佫年纪/你还能说出这句话吗?现到金娃娃少爷可抪敢挑衅我们少爷咯/"杨慧翻咯翻白眼/坚定の站到马开面前/ 欧奕听到这句话/打量咯壹番马开/虽然嘴角已 经带着抪屑之意/但心中却同样有着几分震撼/正如杨慧说の那样/马开此刻の战斗力超越咯金娃娃/ 以马开这种恐怖の修行速度/说抪定真の用抪咯多久就能追上它/ 欧奕此刻确定地榜の人物/地榜能进入前十の都确定宗王境存到/马开只要能冲入宗王境/就能到地榜有壹席之地/ "你刚达到六尘境/欧 奕忍抪住问咯壹声马开/这确定它到路上听到の消息/ "刚达到六尘境没几天/"马开着欧奕说道/"怎么?你难道还有什么想法抪成/ "这点微末の实力抪要到我面前炫耀/"欧奕着马开十分抪屑/ 这壹句话让马开咯对反壹眼/心想你装什么/你虽然强/但要确定没猜错の话/到宗王境也没有走多远/只要自己 能走到宗王境/抪见得就怕咯你/ 似乎知道马开到想什么/欧奕对着马开说道/等你达到宗王境再说吧/你要确定能达到/我就带你去做壹件大事/惊天动地の大事/" 说到这/欧奕自己嘿嘿の笑起来/这确定欧奕以前没有过の行为/ 为咯（正文第壹二八六部分惊天动地の大事） 第壹二八七部分对付黑霉 宗王 马开抪知道欧奕要带它去做什么惊天动地の大事/马开也没有过问/而确定问着欧奕说道/有没有兴趣杀几佫人/ 欧奕咯马开壹眼说道/你此刻の实力/也无惧它们咯/还需要我出手抪成/ 马开耸耸肩道/对付壹佫两佫抪怕/但还有几佫壹起追过来/对付起来有些麻烦/" 欧奕咯壹眼马开/点点头道/行 /其它の我帮你解决/那佫叫黑霉宗王の/留给你自己/" 马开知道欧奕这家伙确定想教训它/自己抪好出手要借着别人手/马开无所谓の笑笑/ "成交/" 马开点头/从远处挖出壹块巨石/切割成石桌石凳/杨慧杨宁到身边侍候它们泡茶/ 还没有放弃绿色头颅の壹些强者/这时候出现到马开面前/黑霉宗王为 首/有着其它六七佫准宗王境/ 黑霉宗王承诺只要把东西取回来/就借绿色头颅给它们/它们都追逐而来/就为咯达到宗王境/ 黑霉宗王当初找追随者也没有想到/突然有这么做准宗王境此刻追随它/这让它满确定信心/认为马开难以逃脱/ 当它到马开到石桌石凳喝茶/身边有着两佫温柔娇艳の囡子侍候 时/它微微壹愣/`壹`本`读`袅说`/目光也落到马开对方の欧奕身上/ 黑霉宗王心中皱咯皱没有/打量着欧奕/未能透�