点击数学竞赛中的平面向量问题

ｓｉｎβ），且 ａ 与 ｂ 满足关系式 ａ－ ｋｂ ＝ # ３ ｋａ＋ｂ ， 其中 ｋ＞０．求 ａ·ｂ 的最大值，并求出此时 ａ 与 ｂ 的夹 角的大小．
解 由 ａ－ ｋｂ ＝ $ ３ ｋａ＋ｂ 两边平方，得 ａ·
ｂ＝（１－ ３ｋ２） ａ ２＋（ｋ２－ ３） ｂ２ ．由 ａ ＝（ｃｏｓα，ｓｉｎα），ｂ＝ ８ｋ
所以（－ ２ａ＋ａｃｏｓα＋ａｃｏｓβ）２＋（ａｓｉｎα－ ａｓｉｎβ）２＝ａ２， 化简，得 ４（ｃｏｓα＋ｃｏｓβ）－ ２ｃｏｓ（α＋β）＝５．
证法二：设 ＡＢ＝２ａ，因为!Ｄ"Ｃ ＝Ｄ!"Ａ ＋Ａ!"Ｂ ＋Ｂ!"Ｃ ，
１ ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤ＝ＤＡ，∠ＢＡＤ＝α，∠ＡＢＣ＝β， ２
所以 !Ｄ"Ｃ ２＝ !Ｄ"Ａ ２＋ Ａ!"Ｂ ２＋ !Ｂ"Ｃ ２＋２ （!Ｄ"Ａ· Ａ!"Ｂ ＋!Ａ"Ｂ·Ｂ!"Ｃ ＋Ｂ!"Ｃ·Ｄ!"Ａ），
则Ｂ’(Ｐ ＝ ｃ Ｂ’(Ｃ ＝ ｃ （γ－ β）
ｃ＋ｂ
ｃ＋ｂ
所以’Ａ(Ｐ ＝Ａ’(Ｂ ＋Ｂ’(Ｐ ＝Ｏ’(Ｂ － ’Ｏ(Ａ ＋Ｂ’(Ｐ
＝α－ β＋ ｃ （γ－ β） ｂ＋ｃ
＝ ｂ β＋ ｃ γ－ α＝ １ （ｂβ＋ｃγ）－ α
ｂ＋ｃ ｂ＋ｃ
ｂ＋ｃ
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≤ ａ－ ｂ ，得 ｙ≤３ " ２ ．当且仅当 ａ＝λｂ（λ≥１），即
ｘ＋１ ｘ－ ２
＝５ ２
，亦即 ｘ＝４ 时等号成立．故 ｙｍａｘ＝３ " ２
．
点评 审视“数”"（ｘ＋１）２＋５２ 与 "（ｘ－ ２）２＋２２ 的结构特征，联想到平面向量的长度公式，构造向
量 ａ＝（ｘ＋１，５）与 ｂ＝（ｘ－ ２，２），进而联想到向量三角 形，设 θ为向量 ａ 与 ｂ 的夹角，当调节 θ＝０°时，有
业Ｓ
精心策划 Ａ!"Ｂ ２，则点 Ｏ 为△ＡＢＣ 的内心”，难以否定垂心．
高 先考虑 Ｏ 是不是△ＡＢＣ 的内心，于是有上述解法， 一 研究点 Ｏ 在不在三角形的三条角平分线上．
五、综合问题
例 ７ 在 四 边 形 ＡＢＣＤ 中 ， 记 ∠ＢＡＤ ＝α，
∠ＡＢＣ＝β且
１ ２
ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤ＝ＤＡ．求证：４（ｃｏｓα＋ｃｏｓβ）
（ｃｏｓβ，ｓｉｎβ）得 ａ ２＝１，ｂ ２＝１，所以 ａ·ｂ＝－ １＋ｋ２（ｋ ＞０）． ４ｋ
因 为 当 ｋ ＞ ０ 时 ， １ ＋ ｋ２ ＝ １ （ １ ＋ ｋ ）＝
４ｋ
４ｋ
’%$ & ( １
４
１ ｋ
－ $ｋ
２＋２
≥ １ ×２＝ １ ，所 以 ａ·ｂ ≤
４
２
－
１ ２
，又因为 ｋ＞０，所以当且仅当 ｋ＝１ 时（ａ·ｂ）ｍａｘ＝－
ｍ（３ａ－ ｂ），即（６－ ３ｍ）ａ＋（λ＋ｍ）ｂ＝０．又 ａ、ｂ 是两个不
共线向量，根据平面向量基本定理，有 ６－ ３ｍ＝０ 且
λ＋ｍ＝０，解得 λ＝－ ２．由题意可得
!（ａ＋３ｂ）·（７ａ－ ５ｂ）＝０，
（ａ－ ４ｂ）·（７ａ－ ２ｂ）＝０．
!７ ａ ２＋１６ａ·ｂ－ １５ ｂ ２＝０（１）
即
（１）－（２）得
≤ ｎ＋１ ２
"１０ｍ
．
当 ３ａｎ＋１－ ａ１＞０，
３ ａｎ＋１
＝ － １ （即向量 ａ ａ１
与 ｂ 的夹角 θ＝０）且 ａ１２＋ａｎ＋１２＝ｍ
时，上式中两个不等式中的等号同时成立，此时
Ｓｍａｘ＝
ｎ＋１ ２
"１０ｍ
．
点评
审视导出式
Ｓ＝
ｎ＋１ ２
（３ａｎ＋１－
ａ１）的结构特
征，构造向量 ａ·ｂ＝３ａｎ＋１－ ａ１，利用 ａ·ｂ ≤ ａ · ｂ ， 就可沟通条件 ａ１２＋ａｎ＋１２≤ｍ，化难为易．启示：可利用
为 ａ１＋ａ２ｎ＋１＝２ａｎ＋１，所以 Ｓ＝（ｎ２＋１）（３ａｎ＋１－ ａ１）．于是，设向
"#$ 数学爱好者 ２００７·３
量 ａ ＝（３，－ １），ｂ ＝（ａｎ＋１，ａ１）， 则 ａ·ｂ ＝３ａｎ＋１－ ａ１． 因 为
ａ·ｂ
≤ａ
·ｂ
， 所 以 ｎ＋１ ２
３ａｎ＋１－ ａ１
≤ ｎ＋１ ２
"３２＋１ ·"ａｎ＋１２＋ａ１２
点评 向量的字母语言是建立在一定的基本
图形的基础上，往往与图形位置特点相结合．其解法 数
建立在对已知条件挖掘及驾驭图形的基础上，思路 学 爱
广，方法灵活．要结合图形与条件对一些向量作适当 好
者
的分解与组合，以优化解题过程．对于加法Ａ’(Ｂ ＋Ｂ’(Ｃ 专
＝Ａ’(Ｃ 而言，Ａ’(Ｃ ＝’Ａ(Ｂ ＋’Ｂ(Ｃ 即为其逆运算，应灵活运用
业Ｓ
精心策划
于解题．
高
四、研究三角形的四心问题
一
例 ６ △ＡＢＣ 的三条边
Ａ
长 ＢＣ＝ａ，ＡＣ＝ｂ，ＡＢ＝ｃ，若三
顶点 Ａ、Ｂ、Ｃ 对于某定点 Ｏ
的位置向量分别为 α、β、γ， Ｂ
且 ａα＋ｂβ＋ｃγ＝０，则点 Ｏ 是
Ｏ Ｃ
Ｐ
△ＡＢＣ 的
（）
Ａ．外心 Ｂ．内心 Ｃ．重心 Ｄ．垂心
解 记∠ＢＡＣ 的平分线与 ＢＣ 交于点 Ｐ，
－ ２ｃｏｓ（α＋β）＝５．
证法一：以 ＡＢ 中点 Ｏ 为原点，ＡＢ 为 ｘ 轴建立
如下图所示的直角坐标系．
ｙ
Ｄ
Ｃ
Ａ
Ｂ
Ｏ
ｘ
设 ＡＢ ＝２ａ，则 Ａ（－ ａ，０），Ｂ（ａ，０），Ｃ（ａ － ａｃｏｓβ，
ａｓｉｎβ），Ｄ（－ ａ＋ａｃｏｓα，ａｓｉｎα）．
所以Ｃ!"Ｄ ＝（－ ２ａ＋ａｃｏｓα＋ａｃｏｓβ，ａｓｉｎα－ ａｓｉｎβ）． 又 !Ｃ"Ｄ ＝ａ，即 !Ｃ"Ｄ ２＝ａ２．
即 ａ２＝ａ２＋４ａ２＋ａ２＋２［２ａ２ｃｏｓ（π－ α）＋２ａ２ｃｏｓ（π－ β）＋ ａ２ｃｏｓ（α＋β）］，
化简，得 ４（ｃｏｓα＋ｃｏｓβ）－ ２ｃｏｓ（α＋β）＝５． 点评 证法一运用向量的坐标语言，把向量运 算转化为实数运算，尽管有一定的运算量，但在思 维容量及层次上都有所降低，具有程式化：建系→ 作假设→写出有关点的坐标→运算→得到结论．向 量的数的解法平铺直叙，思维单一，可操作性强，其 缺陷是多数情况运算量较大． 证法二则运用向量的 字母语言，从形的角度进行研究，但要注意向量间 的夹角的确定，不要出错． 此外，还可用平面向量研究两直线的平行问 题、两直线间的夹角的范围问题、某些无理函数的 值域或最值问题、判断三角形的形状等等．
好
一、求两向量间的夹角
者
专 业Ｓ
例 １ 设 ａ、ｂ 是两个不共线向量，若 ６ａ＋λｂ 与
精心策划 ３ａ－ ｂ 共线，ａ＋３ｂ 与 ７ａ－ ５ｂ 垂直，ａ＋２λｂ 与 ７ａ＋λｂ 垂
高 直，则 ａ 与 ｂ 的夹角为
（）
一 Ａ．３０°
Ｂ．ａｒｃｔａｎ
１ ２
Ｃ．６０°
Ｄ．９０°
解 因为 ６ａ＋λｂ 与 ３ａ－ ｂ 共线，所以 ６ａ＋λｂ＝
ａ － ｂ ＝ ａ－ ｂ ，取得最大值．
三、求证两直线垂直
例 ５ 已知锐角△ＡＢＣ 中， ＡＢ＝ＡＣ，Ｐ 为 ＢＣ 边延长线上的 一点，Ｘ 和 Ｙ 分别为 ＡＢ、ＡＣ 边
Ｘ Ａ
所在直线上的点，且满足 ＰＸ∥
Ｃ
Ｂ
Ｐ
ＡＣ，ＰＹ∥ＡＢ，Ｔ 为△ＡＢＣ 外接圆
Ｔ
Ｙ
劣弧 ＢＣ 的中点，求证：ＰＴ⊥ＸＹ．
证明 连结 ＡＴ、ＢＴ、ＣＴ． 因为 Ｔ 为△ＡＢＣ 外接
１ ２
，
此时 ｃｏｓθ＝
ａ·ｂ ａ ·ｂ
＝－
１ ２
．又
θ［０，π］，所以
θ＝
２π ３
．
例 ３ 给定正整数 ｎ 和正整数 Ｍ，对满足条件
ａ１２＋ａｎ＋１２≤ｍ 的所有等差数列 ａ１，ａ２，ａ３，…，ａｎ．试求 Ｓ＝ ａｎ＋１＋ａｎ＋２＋…＋ａ２ｎ＋１ 的最大值．
解 由等差数列知 Ｓ＝（ａｎ＋１＋ａ２ｎ＋１）（ｎ＋１），又因 ２
未必全相等，所以 Ｏ 不是△ＡＢＣ 的 重 心 ． 根 据
“△ＡＢＣ 所在平面上一点 Ｐ，满足 !Ｐ"Ａ ＝ Ｐ!"Ｂ ＝ Ｐ!"Ｃ ，则点 Ｐ 为△ＡＢＣ 的外心”，若设 Ｏ 为外心，则
α ＝ β ＝ γ ，由 ａα＋ｂβ＋ｃγ＝０，得 ａα＋ｂβ＝－ ｃγ， 两边平方并化简得，（ａ＋ｂ）２＝ｃ２，即 ａ＋ｂ＝ｃ，这与“三角
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竞赛天地
平面向量问题
江西省宁都县第三中学 罗建平 廖东明
向量具有数和形的特征，有利于沟通几何与代
数间的Hale Waihona Puke Baidu系，为解决和处理中学数学问题增添了新
的方法．向量作为计算工具和联系的桥梁，在高中
数学的各个分支都有十分广泛的应用．平面向量在 数
学 高中数学竞赛中也有一席之地． 爱
形任意两边之和大于第三边”矛盾，故假设不成立，
所以 Ｏ 不是△ＡＢＣ 的外心．另外有“Ｏ 是△ＡＢＣ 所 数
学 爱
在平面上一点，且满足Ｏ!"Ａ·!Ｏ"Ｂ ＝!Ｏ"Ｂ·!Ｏ"Ｃ ＝!Ｏ"Ｃ·
好 者
Ｏ!"Ａ ，则点 Ｏ 为△ＡＢＣ 的垂心”“△ＡＢＣ 所在平面上
专 一点 Ｏ 满足 !Ｏ"Ａ ２＋ !Ｂ"Ｃ ２＝ !Ｏ"Ｂ ２＋ !Ｃ"Ａ ２＝ !Ｏ"Ｃ ２＋
所以’Ｘ(Ａ ＝λ’Ａ(Ｂ ，’Ａ(Ｙ ＝（１＋λ）’Ａ(Ｃ ． 所以，’Ｘ(Ｙ·Ｔ’(Ｐ ＝（’Ｘ(Ａ ＋’Ａ(Ｙ）·Ｔ’(Ｐ ＝’Ｘ(Ａ·（Ｔ’(Ｂ ＋Ｂ’(Ｐ ）＋’Ａ(Ｙ·（Ｔ’(Ｃ ＋Ｃ’(Ｐ ） ＝’Ｘ(Ａ·Ｂ’(Ｐ ＋’Ａ(Ｙ·Ｃ’(Ｐ ＝λＡ’(Ｂ·（λ＋１）Ｂ’(Ｃ ＋（λ＋１）’Ａ(Ｃ·λ’Ｂ(Ｃ ＝λ（λ＋１）’Ｂ(Ｃ·（Ａ’(Ｂ ＋’Ａ(Ｃ） ＝λ（λ＋１）’Ｂ(Ｃ·ｋＡ’(Ｔ ＝０．所以 ＰＴ⊥ＸＹ．
＝ １ （－ ａα）－ α＝－ ａ＋ｂ＋ｃ α．
ｂ＋ｃ
ｂ＋ｃ
所以!Ａ"Ｐ 与!Ａ"Ｏ 共线，则 Ｏ 在 ＡＰ 上．
同理，Ｏ 在∠ＡＢＣ、∠ＡＣＢ 的平分线上，
故 Ｏ 为△ＡＢＣ 的内心．
点评 根据“△ＡＢＣ 所在平面上一点 Ｇ，满足
Ｇ!"Ａ ＋!Ｇ"Ｂ ＋!Ｇ"Ｃ ＝０，则 Ｇ 为△ＡＢＣ 的重心”，而 ａ，ｂ，ｃ
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圆劣弧 ＢＣ 的中点，且 ＡＢ＝ＡＣ，所以 ＡＴ⊥ＢＣ，ＴＢ⊥
ＡＢ，ＴＣ⊥ＡＣ．则’Ｂ(Ｃ·Ａ’(Ｔ ＝０，’Ｘ(Ａ·’Ｔ(Ｂ ＝０，’Ａ(Ｙ·Ｔ’(Ｃ ＝０．
设 ＣＰ ＝λＢＣ． 由 ＰＸ ∥ＡＣ，ＰＹ ∥ＡＢ， 得 △ＰＹＣ ∽
△ＢＡＣ，四边形 ＡＹＰＸ 为平行四边形．
７ ａ ２－ ３０ａ·ｂ＋８ ｂ ２＝０ （２）
４６ａ·ｂ＝２３ ｂ ２，即 ２ａ·ｂ＝ ｂ ２，
代入（２）得 ａ ２＝ ｂ ２．设向量 ａ 与 ｂ 的夹角为
θ，则 ｃｏｓθ＝ ａ·ｂ ａ ·ｂ
＝
ａ·ｂ ｂ２
＝１ ２
，而 ０≤θ≤π，所
以 θ＝ π．故选 Ｃ． ３ 二、求最值
例 ２ 已 知 向 量 ａ ＝（ｃｏｓα，ｓｉｎα），ｂ ＝（ｃｏｓβ，
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ａ·ｂ ≤ ａ · ｂ 证明不等式．
例 ４ 求函数 ｙ＝"ｘ２＋２ｘ＋２６ － "ｘ２－ ４ｘ＋８ 的最 大值．
解 由 ｙ＝ "（ｘ＋１）２＋５２ － "（ｘ－ ２）２＋２２ ，设 ａ ＝
（ｘ＋１，５），ｂ＝（ｘ－ ２，２），则 ａ－ ｂ＝（３，３），ａ－ ｂ ＝３ " ２ ，
ａ ＝"（ｘ＋１）２＋５２ ，ｂ ＝ "（ｘ－ ２）２＋２２ ．由 ａ － ｂ
邮箱变更
因我社整体管理需要，从即日起本刊使用新 的电子邮箱．在 ２００７ 年 ３ 月份以前，新旧电子邮 箱通用，从 ２００７ 年 ４ 月 １ 日起将完全使用新的电 子邮箱，敬请大家注意． 高一：ｓｘａｈｚ１＠ｃｈｉｎａｘｉｎｋｅｃｈｅｎｇ．ｃｎ 高二：ｓｘａｈｚ２＠ｃｈｉｎａｘｉｎｋｅｃｈｅｎｇ．ｃｎ 高考：ｓｘａｈｚ３＠ｃｈｉｎａｘｉｎｋｅｃｈｅｎｇ．ｃｎ