第4-2 频域分析法
自动控制原理第5章频域分析法
通过分析频率响应函数的极点和零点分布，以及系统的相位和幅值 特性，利用稳定性判据判断系统在不同频率下的稳定性。
注意事项
稳定性判据的选择应根据具体系统的特性和要求而定，同时应注意 不同判据之间的适用范围和限制条件。
04
频域分析法的应用实例
04
频域分析法的应用实例
控制系统性能分析
稳定性分析
极坐标或对数坐标表示。
绘制方法
通过频率响应函数的数值计算，将 结果绘制成曲线图，以便直观地了 解系统在不同频率下的性能表现。
注意事项
绘制曲线时应选择合适的坐标轴比 例和范围，以便更好地展示系统的 性能特点。
频率特性曲线的绘制
定义
频率特性曲线是频率响应函数在 不同频率下的表现形式，通常以
极坐标或对数坐标表示。
稳定裕度。
动态性能分析
02
研究系统在不同频率下的响应，分析系统的动态性能，如超调
和调节时间等。
静态误差分析
03
分析系统在稳态下的误差，确定系统的静态误差系数，评估系
统的静态性能。
系统优化设计
参数优化
通过调整系统参数，优化 系统的频率响应，提高系 统的性能指标。
结构优化
根据系统频率响应的特点， 对系统结构进行优化，改 善系统的整体性能。
05
总结与展望
05
总结与展望
频域分析法的优缺点
02
01
03
优点
频域分析法能够直观地揭示系统的频率特性，帮助理 解系统的稳定性和性能。
通过频率响应曲线，可以方便地比较不同系统或同一 系统不同参数下的性能。
频域分析法的优缺点
02
01
03
优点
频域分析法能够直观地揭示系统的频率特性，帮助理 解系统的稳定性和性能。
信号通过系统的频域分析方法
§4-1 概述系统的频域分析法，是将通过傅利叶变换，将信号分解成多个正弦函数的和（或积分），得到信号的频谱；然后求系统对各个正弦分量的响应，得到响应的频谱；最后通过傅利叶反变换，求得响应。
频域分析法避开了微分方程的求解和卷积积分的计算，容易求得系统的响应。
但是它必须经过两次变换计算，计算量比较大。
但是在很多情况下，直接给定激励信号的频谱，且只需要得到响应信号的频谱，这时就可以不用或少用变换。
频域分析法只能求解系统的稳态响应或零状态响应。
§4-2信号通过系统的频域分析方法一、系统对周期性信号的稳态响应1、 基本思路：周期性信号可以表示（分解）成若干个（复）正弦函数之和。
只要分别求出了系统对各个（复）正弦函数的响应（这一点已经在电路分析课程中做了充分讨论），就可以得到全响应。
⏹ ⏹ 稳态响应：周期信号是一个无始无终的信号，可以认为在很远的过去就已经加到系统上，系统的响应已经进入了一个稳定的状态——响应中只存在稳态响应。
2、 电系统对周期信号的响应： 1） 将周期信号分解为傅利叶级数； 2） 求电路系统对各个频率信号的作用的一般表达式——网络函数)(ωj H ―――求解方法：利用电路分析中的稳态响应3） 求系统对各个频率点上的信号的响应； 4） 将响应叠加，得到全响应。
注意：这里的叠加是时间函数的叠加，不是电路分析中的矢量叠加。
例：P167， 例题4-1⏹ 某些由周期性信号组成的非周期信号（或概周期信号）也可以用这种分析方法。
例如信号：t t t e πcos cos )(+=虽然不是周期信号，但是也可以分解成为周期信号的和，从而也可以用这种方法求解。
3、 通过微分方程求系统对周期信号的响应：在很多场合，已经给出了系统的微分方程，如何求解系统对周期信号的响应？（1） 对于用微分方程描述的一般系统，有：)()(...)()()()(...)()(0111101111t e b t e dt db t e dt d b t e dt d b t r a t r dtd a t r dt d a t r dt d m m m m m m n n n n n ++++=++++------ 我们可以先假设系统对复正弦信号的响应仍然是同频率的复正弦信号（这个假设是否成立？有待验证！） 设：激励信号是复正弦信号tj ej E ωω⋅)(，其响应也是同样频率的复正弦信号tj e j R ωω⋅)(。
自动控制原理第五章频域分析法
谐振峰值
Am(m) 2
1
12
振荡环节的对数频率特性
L ()2l0 oG g (j) 2l0 o(g 1 n 2 2)24 2 n 2 2
n L()0低频渐近线是零分贝线。
n L ( ) 4 0lo g (/ n) 4 0lo g (T ) n 1 /T
高频段是一条斜率为- 40/dB的直线，和零分
幅频特性的谐振峰值和谐振角频率：
G(ju)
1
(1u2)242u2
d G d (j) u u 0 ,u r 1 22 ( 1 /2 0 .7)0
r n12 2 ( 1/ 20 .7) 0
幅频特性的谐振角频率和谐振峰值：
rn1 22, M r G (jr) 1 /21 2
谐振频率
1 / T , L () 2l0 o1 g2 T 2 2l0 o 1 0 g ( d)B
在频率很低时，对数幅频曲线可用0分贝线近似。
1 / T , L ( ) 2l0 o1 g 2 T 2 2l0 o T g
当频率很高时，对数幅频曲线可用一条直线近似，直
线斜率为-20dB/dec，与零分贝线相交的角频率为 1/T 。
( )
0 0.1 1 10
0 o 0.1 1 10
45o
20
90o
对数坐标刻度图
注意：
➢纵坐标是以幅值对数分贝数刻度的，是均匀的；横 ➢ 坐标按频率对数标尺刻度，但标出的是实际的值， ➢ 是不均匀的。 ——这种坐标系称为半对数坐标系。 ➢在横轴上，对应于频率每增大10倍的范围，称为十 ➢ 倍频程(dec)，如1-10，5-50，而轴上所有十倍频 程 ➢ 的长度都是相等的。 ➢为了说明对数幅频特性的特点，引进斜率的概念， ➢ 即横坐标每变化十倍频程〔即变化〕所对应的纵 坐
频域分析方法
解为许多个周期性信号之和，然后分别求解，
最后求和（积分）。 在某频率点 ω ，实际（复）振幅是一个无穷
小量：
E&(ω) = lim 1 E( jω) = lim Ω E( jω) = E( jω) dω
T→∞ T
Ω→0 2π
2π
所以其响应为：
∴R& (ω) = H( jω)E&(ω) = H( jω)E( jω) dω 2π
4、系统的频率特性
H ( jω) 在特定 ω 点上的取值实际上表示了系统
对该频率点上的信号的幅度和相位的影响。由
H ( jω ) 可以引出系统的频域特性：
1） 频域特性定义：系统的频率特性是指系统对各 个频率的复正弦信号的影响：包括对复正弦信 号幅度和相位的影响。
2）频率特性曲线 系统的传输特性也可以用图形的方法表示。
如果要在理论上更加严格的话，还可以进一步证
明只有 R( jω ) ⋅ e jωt 可能是系统对 E( jω ) ⋅ e jωt 信
号的响应。
令系统的传输函数为：
H ( jω) = bm ( jω )m + bm−1( jω )m−1 + ... + b1( jω ) + b0
( jω )n + an−1( jω )n + ... + a1( jω ) + a0 它实际上可以将时域中的转移算子 H ( p) 中的算 子 p 用 jω 替代后得到。这里的 H 完全是一个代
E(
jω )
= H ( jω)E( jω)
非周期信号通过线性系统的 rzs 求解公式还 有第三种推导方法： 根据卷积积分公式，有：
r(t) = e(t) ⊗ h(t)
频域分析法
111 第五章 频域分析法用时域分析法分析和研究系统的动态特性和稳态误差最为直观和准确，但是，用解析方法求解高阶系统的时域响应往往十分困难。
此外，由于高阶系统的结构和参数与系统动态性能之间没有明确的函数关系，因此不易看出系统参数变化对系统动态性能的影响。
当系统的动态性能不能满足生产上要求的性能指标时，很难提出改善系统性能的途径。
本章介绍的频域分析法是研究控制系统的一种经典方法，是在频域内应用图解分析法评价系统性能的一种工程方法。
频率特性可以由微分方程或传递函数求得，还可以用实验方法测定。
频域分析法不必直接求解系统的微分方程，而是间接地揭示系统的时域性能，它能方便的显示出系统参数对系统性能的影响，并可以进一步指明如何设计校正。
第一节 频率特性对于线性定常系统，若输入端作用一个正弦信号t U t u ωsin )(= (5—1)则系统的稳态输出y(t)也为正弦信号，且频率与输人信号的频率相同，即) t Y t y ϕω+=sin()( (5—2)u(t)和y(t)虽然频率相同，但幅值和相位不同，并且随着输入信号的角频率ω的改变，两者之间的振幅与相位关系也随之改变。
这种基于频率ω的系统输入和输出之间的关系称之为系统的频率特性。
不失一般性，设线性定常系统的传递函数G(s)可以写成如下形式)()()()()())(()()()()(121s A s B ps s B p s p s p s s B s U s Y s G n j j n =+=+++==∏= (5—3) 式中B(s)——传递函数G(s)的m 阶分子多项式，s 为复变量；A(s)——传递函数G(s)的n 阶分母多项式 (n ≥m)；n p p p ---,,,21 —传递函数G(s)的极点，这些极点可能是实数，也可能是复数，对稳定的系统采说，它们都应该有负的实部。
由式(5—1)，正弦输入信号u(t)的拉氏变换为(查拉氏变换表)))(()(22ωωωωωj s j s U s U s U -+=+= （5—4） 输出信号y(t)的拉氏变换为Y(s)＝U(s)G(s)将式(5—3)、式（5—4)代人上式得∏=+⨯-+=n j j ps s B j s j s U s Y 1)()())(()(ωωω 上式可改写成(利用部分分式法)nn p s b p s b p s b j s a j s a s Y +++++++-++= 221121)(ωω (5-5)112上式中 n b b b a a ,,,,,2121 —待定系数，它们均可用留数定理求出。
机械工程控制基础(第4章_系统的频率特性分析)
对频率 的函数曲线，此即幅频特性曲线；作出相位 ) (
的函数曲线，此即相频特性曲线。
对频率
由上可知，一个系统可以用微分方程或传递函数来描述，也可以
用频率特性来描述。它们之间的相互关系如图4.1.2所示。将微分方程
的微分算子 中的s再换成 j，传递函数就变成了频率特性；反之亦然。
d 换成s后，由此方程就可获得传递函数；而将传递函数 dt
式中，
u ( ) 是频率特性的实部，称为实频特性 v( ) 是频率特性的虚部，称为虚频特性
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4.1.3 频率特性的求法
1. 根据系统的频率响应来求取
因为
K G s Ts 1 X i X i s 2 s 2
X i xo t L G s 2 s 2
G j 端点的轨迹即为频率特性的极坐标图, 或称为Nyquist 图, 如
实轴开始, 逆时针方向旋转为正, 顺时针方向旋转为负。当从0→∞时,
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图4.2.1所示。它不仅表示幅频特性和相频特性, 而且也表示实频特性和
虚频特性。图中的箭头方向为从小到大的方向。
正如4.1节所述, 系统的幅频特性和相频特
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2. 频率特性
线性系统在谐波输入作用下，其稳态输出与输入的幅值比是输入
信号的频率 的函数，称为系统的幅频特性，记为A( ) 它描述了在稳态情况下，当系统输入不同频率的谐波信号时，其幅值 的衰减或增大特性。显然
X o ( ) A( ) Xi
) 稳态输出信号与输入信号的相位差 ( （或称相移）也是 的函
1
所以
1 T 2 2 X K A o Xi 1 T 2 2
4频域分析法详解
1
一倍频程：频率每变化1倍，即 2 2 ，则在横坐标上的长度均为0.301个单位，叫一倍频程， 1 以“oct”表示。
4.1 频率特性的基本概念(6)
在对数相频特性图中，横坐标同样以频率ω进行对数分度（同样有“十倍频程”和
“一倍频程”两种方式），纵坐标以φ(ω)进行线性分度（以“度”为标注单位）。
伯德图优点
由于频率坐标按照对数分度，故可以有限的纸张空间表示很宽的频率范围。 由于幅值采用“分贝”为单位，故可以简化乘除运算为加减运算，同时使得对数幅频特性的斜
4 频域分析法
控制理论的基本任务是分析控制系统的稳定性、准确性和快速性。前面介绍的时域瞬态 响应法是分析控制系统的直接方法，比较直观。但是对于高阶系统，如果不借助计算机， 分析起来就非常繁琐。 在工程上发展了其他一些分析控制系统的方法，如频率法和根轨迹法。其中频率法是工
程上广泛采用的分析和综合系统的方法，也是我们本章重点研究的内容。
在实际应用中，常以10为底的常用对数来表示对数幅频特性，记作L(ω)（单位：分 贝），并令
L 20 lg G j 。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
在对数幅频特性图中，横坐标以频率 ω进行对数分度（标注时只标ω值，有“十倍频程”
和“一倍频程”两种方式），纵坐标以L(ω)进行线性分度（以“分贝”为标注单位）。
十倍频程：在横坐标上取两点满足 2 10，则两点距离为 lg 2 1 ，即频率每变化10倍，在横 坐标上长度均为1个单位，即十倍频程，以“dec”表示。
频率分析法的优点
在频率域内分析系统的方法不需求解系统特征方程的根便可判断系统是否稳定及其稳定裕度等 一系列特性，大大简化了运算，能准确而有效地回答控制系统的稳、准、快问题；
第四章 频域分析(第一节)
频率每变化一倍，称作一倍频程，记作oct， 坐标间距为0.301长度单位。频率每变化10倍，称 作10频程，记作dec，坐标间距为一个长度单位。 横坐标按频率ω的对数分度的优点在于：便于在较 宽的频率范围内研究系统的频率特性。 对数幅频图中的纵坐标采用均匀分度，坐标值 取 G ( jw ) 幅值的20倍对数，坐标值为
1
2
Aw
2
上式取拉氏变换并整理得
e
- t /T
Ts + 1 s + w
+
A 1+ T w
2 2
s in ( w t - a rc ta n T w )
x0 (t ) =
AT w 1+ T w
2 2
e
- t /T
+
A 1+ T w
2 2
s in ( w t - a rc ta n T w )
上式即为由正弦输入引起的响应。其中，右边 第一项是瞬态分量，第二项是稳态分量。 当时间 t→∞，瞬态分量趋近于零，则系统的稳态响应为
(4-1)
相频特性(): 稳态输出信号的相角与输入信号相 角之差: 频率特性G(j) : G(j)的幅值和相位均随输入 正弦信号角频率的变化而变化。 在系统闭环传递函数G(s)中，令s= j，即可得 到系统的频率特性。
例如图4-3所示，简单的RC电路。
RC电路的传递函数为
G (s) = 1 Ts + 1
由此可见，比例环 节的对数幅频图为幅 值等于20LgK(dB)的一 条水平直线。对数相 频图的相角为零，与 频率无关。
L( ) / dB
20 lg K
0 0.1 90 0 -90
( ) /()
频域分析法
频域分析法1、低频段通常指L(w)=20lg|G(jw)| 的渐近线在第一个转频率之前的频段，这一频段的特此哪个完全由积分环节和开环放大倍数决定。
低频段的斜率越小，位置越高，对应系统积分环节的数目越多（系统型号越高），开环放大倍数K越大，则在闭环系统稳定的条件下，其稳态误差越小，动态响应的跟踪精度越高2、中频段指开环对数幅频特性曲线在开环截止频率W C附近（0dB附近）的区段（±20dB），这一频段的特性集中反应了开环系统动态响应的平稳性和快速性。
3、反应中频段形状的参数主要有：开环截止频率W C、中频段斜率、中频段宽度。
W C的选择决定于系统暂态、响应速度的要求；中频段越长，相位裕量越大。
4、开环对数幅频特性中频段斜率最好为-20dB/dec，而且希望其长度尽可能长些，缓一些，以确保系统有足够的相角裕量。
当中频段斜率为-40dB/dec时，中频段占据的频率范围不宜过长，否则相角裕量会很小，若中频段斜率更小（如-60dB/dec），系统就很难稳定。
另外，截止频率W c越高，系统浮现信号能力越强，系统快速性也就越好。
5、高频段指开环对数幅频特性在中频段以后的频段，高频段的形状主要影响时域响应的起始阶段。
在进行分析时，可以将高频段进行近似处理，即用一个小惯性环节来等效地代替多个小惯性环节，等效的小惯性环节的时间常数等于被代替的多个小惯性环节的时间常数之和。
系统开环对数幅频特性在高频段的肤质，直接反应了系统对高频信号的抑制能力，高频部分的幅值越低，系统的抗干扰能力越强。
6、总之，为了系统满足一定的稳态和动态要求，对开环对数幅频特性的形状有如下要求：低频段要有一定的高度和斜率，中频段的斜率最好为-20dB/dec，且具有足够的宽度，高频段采用迅速衰减的特性，以抑制不必要的高频干扰。
7、对于自小相位系统，r>0 闭环系统稳定，当r<0 闭环系统不稳定8、PID调节：P控制只改变系统的增益而不影响相位，它对系统的影响主要反映在系统的稳态误差和稳定性上，增大比例系数可以提高系统的开环增益，减小系统的稳态误差，从而提高系统的控制精度，但这会降低系统的相对稳定性，甚至可能造成闭环系统的不稳定，因此，在系统校正和设计中，P一般不单独使用。
4时域分析法频域分析法
当kt 0.1时, ( s )
kt
10 0.1s 1 显然时间常数T 0.1秒。
解：系统的闭环传递函数
( s)
1 / kt 100/ s 100 0.01s 1 kt 1 s kt
因此调节时间为： t s 3T 0.3秒。
如果要求t s 0.1秒， 0.01 t s 3T 3 0.1 ， kt 故kt 0.3
二.二阶系统的单位阶跃响应
2 特征方程为： s 2 2 n s n 0
特征根为： s1, 2 n n 2 1 ，注意：当 不同时，（极点） 有不同的形式，其阶跃响应的形式也不同。它的阶跃响应有振 荡和非振荡两种情况。
⒈ 当时 0 ，特征方程有一对共轭的虚根，称为零(无)阻尼 系统，系统的阶跃响应为持续的等幅振荡。 ⒉ 当时 0 1 ，特征方程有一对实部为负的共轭复根，称 为欠阻尼系统，系统的阶跃响应为衰减的振荡过程。
结构图和闭环极点分布图为：
R(s)
-
j
k/s
C(s) -1/T
0
T表征系统惯性大小的重要参数。
二.一阶系统的单位阶跃响应 1 当r (t ) 1(t )时，R ( s ) , s 1 1 1 T 则C ( s ) ( s ) R ( s ) Ts 1 s s Ts 1
h(t p ) h() % 100% h ( )
超调量表示系统响应过冲的程度，超 调量大，不仅使系统中的各个元件处于恶 劣的工作条件下，而且使调节时间加长。
五.振荡次数N 在调节时间以内，响应曲线穿越其稳态 值次数的一半。 tr,tp和ts表示控制系统反映输入信号的 快速性，而σ%和N反映系统动态过程的平 稳性。即系统的阻尼程度。 其中ts和σ%是最重要的两个动态性能 的指标。
第4章 线性系统的频域分析
第4章线频域分析法频域分析方法是根据系统的频率特性来分析系统的性能，也常称为频率特性法或频率法。
频域分析法有以下特点，首先是频率特性有明确的物理意义。
系统的频率响应可以用数学模型算出，也可以通过实际的频率特性实验测出。
这一点在工程实践上价值很大，特别是对结构复杂或机理不明确的对象，频率分析法提供了一个处理这类问题的有效方法。
频率法计算简单，只用很小的计算量和很简单的运算方法，再辅以作图，便可以完成分析与综合的工作。
当前已有一套完整便捷的基于频率法的计算机辅助设计软件，可以代替人工完成绝大部分的设计工作。
频率法也有其缺点和局限性。
频率法只适合用于线性定常系统。
从原理上讲频率法不能用于非线性系统或时变系统。
虽然在研究非线性系统时也借用了频率法的一些思想，但只能在特定的条件下解决一些很有局限性的问题。
本章研究频率特性的基本概念、图示方法、控制系统的稳定性判据、系统性能的频域分析方法。
4.1 频率特性系统的频率特性描述了线性系统在正弦信号输入下其稳态输出和输入的关系。
为了说明频率特性的概念，下面分析线性系统在正弦输入信号的作用下，其输出信号和输入信号间的关系。
设线性定常系统输入信号为()r t ，输出信号为()c t ，如图4-1所示。
图中G(s)为系统的传递函数。
即 1011111()()()mm m m n n n nb s b s b s b C s G s R s s a s a s a ----++⋅⋅⋅++==++⋅⋅⋅++ （n m ≥） （4-1）若在系统输入端作用一个时间的谐波函数，即0()s i n ()r t r t ωϕ=⋅+ ，式中，0r 是振幅；ω是频率；ϕ是相角。
为简便起见，假设0ϕ=，则0()sin r t r t ω=⋅ 图4-1 一般线性定常系统由于0022()()()r r R s s s j s j ωωωωω==++- （4-2）系统输出()C s 为10110111()()()()()m m m m n n n n b s b s b s b r C s G s R s s a s a s a s j s j ωωω----++⋅⋅⋅++==⋅++⋅⋅⋅+++-1()ni i i C B Ds s s j s j ωω==++-+-∑（4-3）式中，i s 为系统特征根，即极点（设为互异）；C i ，B ，D 均为相应极点处留数。
第4章 频域分析法
第4章 频域分析法
r1(t)＝Asin ω1t O t r2(t)＝Asin ω2t O t
c 1(t)＝M 1Asin( ω1t ＋ϕ1)
ϕ1 O
t c 2(t)＝M 2Asin( ω2t －ϕ2)
渐三线线
ϕ2
输输输输
输输输输
图4 - 1 线性系统的频率特性响应示意图
第4章 频域分析法
由图4-1可见，若r1(t)=A sinω1t,其输出为 c1(t)=A1 sin(ω1t+φ1)=M1A sin(ω1t+φ1)，即振幅增加了M1 倍， 相位超前了φ1角。 若改变频率ω， 使 r2(t)=A sinω2t， 则系统的输出变为 c2(t)=A2 sin(ω2t-φ2)=M2Ａ sin(ω2t-φ2)， 这时输出量的振 幅减少了(增加M2倍， 但M2<1), 相位滞后φ2角。 因此， 若以频率ω为自变量， 系统输出量振幅增长的倍数M 和相位的变化量φ为两个因变量， 这便是系统的频率 特性。
2 2
相频特性
− Tω /(T 2ω 2 + 1) ϕ (ω ) = arctan = arctan( −Tω ) 2 2 1 /(T ω + 1)
(4 - 14)
第4章 频域分析法
2) 图形表示方式 (1) 极坐标图（PolAr Plot）。 极坐标图又称奈奎 斯特图。 当ω从0→∞变化时， 根据频率特性的极坐标 表示式 G(jω)=|G(jω)|∠G(jω)=M(ω)∠φ(ω) 可以计算出每一个ω值下所对应的幅值M(ω)和相 角φ(ω)。 将它们画在极坐标平面上， 就得到了频率特 性的极坐标图。
第4章 频域分析法
Im U (ω2)
ω→ ∞
0 V (ω2)
第4章-2信号频域分析
fk (t)dt
t2 t1
fk (t) 2 dt
定理2.
若f(t)可用完备正交函数集{ f1(t) ，…， fn(t) }
表示，则:
t2 f
t 2dt
n
t2 Ckfk(t)2dt
t1
k1 t1
物理意义：
（Parserval定理）
一个信号所含有的能量（功率）恒等于此信号在 完备正交函数集中各分量能量（功率)之和。
0
T
1
2
t
e jnt dt 1
T T
T
2
1
T 0 T
t
f
(t)
T
(t)
n
1e T
jnt
周期信号频谱特点：
1）离散性 :频谱由频率离散而不连续的谱线组成；
2）谐波性：各次谐波分量的频率都是基波频率的 整数倍；
3）收敛性：谱线幅度随谐波频率的增大而衰减25 。
二. 周期矩形脉冲的频谱
本节以周期矩形脉冲信号为例，讨论频谱的特点。
三. 用完备正交函数集表示任意信号
定理1. 若{f1(t) ，…， fn(t) }在区间( t1，t2)上
为完备正交函数集，则在 ( t1，t2)上任意函数 f(t) 可表示为: (广义傅立叶级数)
f(t) C1f1(t) C2f2(t)Ckfk(t) Cnfn(t)
其中
Ck
t2 t1
f (t)
单位频带上的频谱值
TFn T
f (t)e j tdt
F( j )
f(t)的频谱密度函数，简称频谱函数。
（1）可写为：
f
(t)
TFn
n
1 e jnt T
频域分析法
1
1
U0 (s) Ts 1Ui (s) Ts 1
Ui s2 2
对上式取拉氏反变换，得输出时域解为
u0
(t
)
1
UiT T 2
2
t
eT
Ui sin(t arctanT) 1 T 22
2021年4月15日3时14分
当t→∞时，第一项趋于0，这时电路的稳态输出为
u0 (t)
Ui
1 T 22
sin(t
arctan
T2
T1 2 1 T2 2 1
A
K
T1 2 1 T2 2 12arctan T1
arctan T2
2021年4月15日3时14分
4.2 频率特性的几种图示方法
序号 1
名称 幅相频率特性曲线
图形常用名 奈奎斯特图
坐标系 极坐标
2 对数幅值频率特性曲线 对数相角频率特性曲线
伯德图
4.1 频率特性 1、频率特性的定义
对于稳定的线性定常系统，其传递函数为G(s)，若输 入量为一正弦信号，则其输出响应的稳态分量也是同 频率的正弦信号，但幅值、相位与输入信号的不同。 保持输入信号的幅值不变，逐次改变输入信号的频率， 则可测得一系列稳态输出的幅值和相位。 （输出信 号稳态时的幅值与相位按照系统传递函数的不同随着 输入正弦信号频率的变化而有规律的变化）。
j p
例：试求
Gs
K
s T1s 1 T2s 1
的幅频特性和相频特性。
G
j
K
j T1 j 1T2 j 1
G j K 1 1 1
j T1 j 1 T2 j 1
K
1
ej
2
1
e jarctanT1
第四章 频域分析法
1. 搞清频率特性的基本概念
2. 掌握典型环节和控制系统频率特性图的绘制方法
学习 目的
3. 掌握系统稳定性的频域分析方法 4. 了解频域性能指标与时间特性指标之间的关系 5. 掌握用系统开环频率特性分析闭环系统性能的方法 6. 掌握应用MATLAB工具分析系统频率性能的方法
内容 提要
本章主要阐述系统频率特性的基本概念、典型环节和 控制系统频率特性图的绘制方法、频域稳定判据和系 统性能频域分析法
（4.10）
V ( ) Im G( j ) A( ) sin ( ) （4.12） 因此，系统频率特性采用下面三种图示表达形式：
（1） 幅相频率特性（尼奎斯特图）：系统频率特性 G ( j ) 是个矢量。按式 （4.9）和式（4.10）可以求出幅频特性 G ( j ) 与相频特性G ( j ) 。给出不同 值，即可算出相应 G ( j ) 和 G ( j )值。这样就可以在极坐标复平面上画 值由零到无 穷大时的 G ( j ) 矢量，把各矢端连成曲线即得到系统的极坐标 幅相频率特性曲线，通常称它为尼奎斯特曲线或尼奎斯特图。 当然，也可根据式（4.11）和式（4.12）通过求出不同 时的 实频特性和虚频特性，来获得幅相频率特性曲线。 （2） 对数频率特性（博德图）：对数频率特性是由两张图
(4.2)
比较系统稳态输出量和输入信号的波形时发现，稳态输出量 的频率与输入量相同，但其振幅及相位都与输入量不同。若改变 输入量 xi (t )的 而保持其振幅 X im 恒定，输出量与输入量的振 幅比 A( )及输出量与输入量的相位差 ( )都是频率 的函数。
为了进一步说明频率特性的基本概念，考虑图4.1所示RC电 路。其传递函数为
重 点 系统开环博德图的绘制
频域分析法
G( j) Re[G( j)] j Im[G( j)] P() jQ() G( j) e jG( j) A()e j()
其中，P()、Q()分别称为系统的实频特
性和虚频特性。显然：
A() P()2 Q()2
() arctg Q() P( )
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第四章 频域分析法
○、概述 一、频率特性的基本概念 二、典型环节的频率特性图 三、系统开环频率特性图 四、频域稳定性判据 五、闭环控制系统的频率特性 六、频域指标与时域性能指标间的关系 七、用系统开环频率特性分析闭环系统性能 八、频域特性的计算机辅助分析 九、小结
1
第四章 频域分析法
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第四章 频域分析法
➢ 一阶微分环节的Nyquist图
实频特性： Im
=
P() 1
1 22
虚频特性：
Q()
0
=0
Re
arctg 1
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第四章 频域分析法
➢ 一阶微分环节的Bode图
注意到一阶微分环节与惯性环节的频率特性
互为倒数( = T )，根据对数频率特性图的
A() 1/T () -90
11
第四章 频域分析法
➢ 几点说明
频率特性是传递函数的特例，是定义在复 平面虚轴上的传递函数，因此频率特性与 系统的微分方程、传递函数一样反映了系 统的固有特性。
尽管频率特性是一种稳态响应，但系统的 频率特性与传递函数一样包含了系统或元 部件的全部动态结构参数，因此，系统动 态过程的规律性也全寓于其中。
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第四章 频域分析法
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K<1时？
0
§4-4 控制系统稳定性的频域判据
例3:已知系统开环频率特性极坐标图及在右半s平面上的极点数 Np，判断相应闭环系统的稳定性。
N 0 N 1 N 2
v0 Np 0
v0 Np 1
v0 Np 2 v3 Np 0
v2 Np 0
N 2
N 0
i 1 i 1
n
n
p3 z1
s 平面
s
p2
Im
O
p1 s F ( s) 平面
O
• 规定辐角变化顺时针为正。 • 当s沿围线s顺时针变化一周 时，各向量的辐角均发生变 化，并引起F(s)辐角变化 。 • p1点位于围线内，辐角变化 为 2; • 其余各零、极点均位于围线 外，辐角变化为 0； • 若围线内包含Np个极点和Nz 个零点，则F(s)的辐角变化为 N z (2 ) N p (2 )
rv
v0
小圆弧的像为半径为无穷大、顺时针旋 转的大圆弧。
§4-4 频域稳定性判据
例1：设系统开环传递函数为
K G( s) Ts 1
判别闭环系统稳定性，并讨论稳定性与增益K的关系。 解： 开环系统在右半s平面有一个极点，Np=1。开环不稳定
K K (1 jT ) G( j ) jT 1 1 (T ) 2
极坐标图如曲线②，不再包围-1点。闭环系统稳定。
§4-4 控制系统稳定性的频域判据
K (T2 s 1) 例6：设Ⅱ型系统开环传递函数为 G( s) 2 s (T1 s 1) 判别闭环系统稳定性(Ti >0)。 解：开环系统在右半s平面无极点，Np=0。 ① T2>T1时，开环极坐标曲线如图(a)，不包围-1点，闭环系统稳定。 ② T2=T1时，开环极坐标曲线如图(b)，穿过-1点，闭环系统临界稳 定。 ③ T2<T1时，开环极坐标曲线如图(c)，包围-1点N=2圈，闭环系统 不稳定。
① 某一参数下，开环极坐标图如曲线①， 包围-1点 N=2次。闭环系统不稳定。
减小K，G(j)模减小，相位不变，曲 线①有可能不再包围-1点，从而使闭环系 统趋于稳定。 ② 若K不变，增加微分（导前）环节的时间常数T4、T5，使 相位减小，曲线①变成曲线②，不再包围-1点，从而使闭环 系统稳定。
§4-4 控制系统稳定性的频域判据
O
§4-4 控制系统稳定性的频域判据
稳定判据2：若开环传递函数G(s)在s平面右半平面上有Np个极 点，则相应闭环系统稳定的充要条件为G(s)平面上G逆时针绕 (-1, j0)点转Np圈。
讨论： 1) s半圆部分的映像：G(s)平面上的点； 2) s虚轴部分的映像： 即频响函数G(j)——G曲线， 且关于实轴对称；
本章教案
•
•
掌握系统的频域分析法、 Nyquist图和 目的、要求： Bode图、频域稳定性判据。 基本按教材内容顺序进行，补充频率特性 讲课思路 的含义，强调频域特性图。 重点是Nyquist图和Bode图。难点是频率特 性的含义。
• 重点、难点 • 课堂小节 • 习题 • 课后检查
四、映射的概念
K [4 j ( 2 3)]
K ( s 3) G( s) s( s 1)
j j
( 2 1) s 平面
r
O
j
围线s
K>1时Nyquist曲线包含-1点，N=-1=-Np， Nz=N+ Np=0，系统稳定。
§4-4 控制系统稳定性的频域判据
系统稳定的必要条件：特征多项式的系数符号相同且均不为零。
系统稳定的充要条件： 系统所有特征根具有负实部，或系统所有极点均位于复平 面左半平面。
稳定性判定方法
直接求根法 非直接求根法
Routh-Hurwitz 稳定性判据（代数法）
Nyquist 稳定性判据（频域判据）
§4-4 控制系统稳定性的频域判据
代数方法的优缺点： 对开环、闭环系统均适用；不能得到稳定或不稳 定的程度，对系统各参数对稳定性的影响难以判断。 频域方法的优点：
根据开环频率特性图的相位变化来确定相应闭环 系统的稳定性，不仅能判断系统是否稳定，而且可获 得系统的相对稳定性——稳定裕度、讨论闭环系统的 瞬态性能，从而找出改善系统特性的途径。 一、幅角定理 二、基于极坐标图的Nyquist判据 三、基于Bode图的Nyquist判据 四、稳定性裕量
s：Nyquist围线 F：Nyquist曲线
幅角定理：设封闭曲线 s不穿越 F(s)任一零、极点，包含 Np个极 点和 Nz个零点，则 s的映射 F 在 F(s) 平面上也是一条封闭曲 线。且若s沿s顺时针变化一周则F顺时针绕原点 N= Z – P 圈
§4-4 控制系统稳定性的频域判据
K ( s z1 )( s z 2 ) ( s z m ) Td s F ( s) e ( s p1 )( s p 2 ) ( s p n )
s zi Azi e
j zi
s pi Api e
j pi
K
i 1
n
Azi
A pi j
e
j(
zi pi )Td s
K<1时Nyquist曲线不包含-1点， N=0 (-Np)，Nz=N+ Np=1，系统 不稳定。 K>1时Nyquist曲线包含-1点， N=-1=-Np，Nz=N+ Np=0，系 统稳定。 开环不稳定，闭环稳定。
§4-4 控制系统稳定性的频域判据
例2：设Ⅰ型系统开环传递函数为 判别闭环系统稳定性。 解： 开环系统在右半s平面有一个极点，Np=1。且坐标原点为一 极点。 K (3 j ) G ( j ) j ( j 1)
(a) 稳定； (b) 稳定； (c) 稳定； (d) 不稳定； (e) 稳定；
§4-4 控制系统稳定性的频域判据
例4：设0型系统开环传递函数为
K (T4 s 1)(T5 s 1) G( s) (T1 s 1)(T2 s 1)(T3 s 1)
判别闭环系统稳定性(Ti >0)。 解：开环系统在右半s平面无极点，Np=0。
稳定判据1：若开环传递函数G(s)在s平面右半 平面上有Np个极点，G(s)平面上G绕(-1, j0)点 的圈数为N，则相应闭环系统稳定的充要条件 为： N=Np
Im
j j
s 平面
r
O
j
围线s
O
F ( s) 平面
1 G( j )
Im
G( j )
1
Re
F
Re G G( s) 平面
定义函数
A( s ) B( s ) F ( s) 1 G( s) A( s )
•F(s)的零点即闭环系统(s)的极点； •F(s)的极点即开环系统G(s)的极点；
N Nz N p
r
O
j
围线s
•F(s)的零、极点数相同
§4-4 控制系统稳定性的频域判据
根据辐角原理，N N z N p 闭环系统稳定的充要条件为：Nz=0，即 N=Np F ( s) 1 G( s) 故F(s)平面上F绕原点的圈数即G(s)平面上G绕(1, j0)点的圈数
T2大，导前环节作用大，增加闭环系统稳定性； T2小，导前 环节作用小，减小闭环系统稳定性。
§4-4 控制系统稳定性的频域判据
K (T5 s 1)(T6 s 1) G( s) 判别闭环系统稳定性(Ti >0)。 s(T1 s 1)(T2 s 1)(T3 s 1)(T4 s 1)
例5：设Ⅰ型系统开环传递函数为
K (T4 s 1) G( s) s(T1 s 1)(T2 s 1)(T3 s 1)
判别闭环系统稳定性(Ti >0)。 解： 开环系统在右半s平面无极点， Np=0。 ① 当T4较小，即导前环节的作用较
小时，开环极坐标图如曲线①，包
围-1点 N=2次。闭环系统不稳定。 ② 当T4较大，即导前环节的作用大，相位减小，开环
n 阶系统传递函数
X o ( s) bm s m bm1s m1 b1s b0 B( s) ( s) n n 1 X i ( s) an s an 1s a1s a0 A( s)
A( s) an s n an1s n1 a1s a0 an ( s p1 )( s p2 )( s pn )
二、基于极坐标图的Nyquist判据 频域方法是根据开环频率特性图的相位变化来确定相应 闭环系统的稳定性. U ( s) ( s ) Q ( s) Y ( s) 开环传递函数 X 1 ( s) B( s ) X 1 ( s) G( s) Q( s ) H ( s ) H ( s) ( s) A( s) 闭环传递函数 闭环控制系统 Y ( s) Q( s ) Q( s) j Φ( s ) s 平面 U ( s) 1 G ( s) [ A( s ) B( s )] / A( s ) j
N Nz N p 2
Re
F
N>0、N<0、N=0的意义 。
§4-4 控制系统稳定性的频域判据
N的确定：
F(s)平面上，过原 点任作一射线，站在 原点观察 Nyquist 曲线 顺时针和逆时针穿越 该射线的次数，两者 之代数和即为曲线包 围原点的圈数 N。
F (s)平面
§4-4 控制系统据
一、幅角定理 已知 s = + j 平面上的单值连续复变函数 K ( s z1 )( s z2 ) ( s zm ) Td s w F ( s) e u ( , ) jv( , ) Re j Im ( s p1 )( s p2 ) ( s pn ) j Im F ( s) 平面 s 平面 p3 z1 w s O O Re p1 p2 F s