高中数学函数时函数的零点练习新人教B版必修1

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人教新课标高中数学B版必修1《2.4.1 函数的零点》教学设计(表格式)

2.4.1《函数的零点》教学设计课题：函数的零点教材：人教B版新课标高中数学必修1教学内容：第二章函数2.4.1函数的零点教材分析：一．教材的地位和作用本课时主要学习函数的零点，通过研究二次函数的图象性质归纳函数的零点的性质。

本节课的内容起到了承上启下的作用。

本节课重点在于研究函数的零点概念及其存在性，函数零点的概念及求法，函数零点与方程根之间的关系。

难点是理解方程的根与函数零点的关系，利用函数的零点作图。

通过本节课的学习进一步加深学生对函数概念及性质的理解和认识，使学生能够整理出较为系统的函数知识体系和完整的思维方式方法，并由此及彼，帮助后面函数的学习。

二．教学目标：1.知识目标：(1)理解函数零点的定义，能判断二次函数零点的存在性；(2)会求简单函数的零点。

理解函数零点和方程的根的关系。

(3)理解函数零点存在的判定条件。

2.能力目标：通过充分运用函数与方程，数形结合的数学思想方法教学，体验函数零点概念的形成过程，体会数形结合、等价转化的数学思想．同时注重培养学生对于解题方法的灵活性和多样性的掌握。

3.情感态度与价值观目标：感悟形与数不同的数学形态间的和谐统一美,培养学生对事物之间转化的辩证唯物主义观点的认识三．教学重点和难点重点：函数零点的概念及求法，函数零点与方程根之间的关系难点：理解方程的根与函数零点的关系，利用函数的零点作图.教学关键点：从实际出发，在学生获得一定感性认识的基础上，通过观察，比较，归纳进一步提升到理性认识，逐步形成完整的概念，在此基础上结合图象，运用数学结合的数学思想解决问题。

学情分析：学生已经学习过函数的基本性质，本节课函数关系的建立做好了知识准备，在此基础上进行函数的零点的学习，可以将对函数的认识进一步系统化和完善化。

教法分析：(一)教学方式教师引导，学生讨论，与启发探究相结合。

(二)教学手段借助几何画板和函数编辑器等教学软件和投影仪等，展示学生的做图结果，并演示高次函数的图像。

人教B版高中数学必修一2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法——二分法

高中数学学习材料金戈铁骑整理制作第二章 2.4 2.4.2一、选择题1．三次方程x3＋x2－2x－1＝0的根不可能所在的区间为()A．(－2，－1)B．(－1,0)C．(0,1) D．(1,2)[答案] C[解析]∵f(－2)＝－1<0，f(－1)＝1>0，f(0)＝－1<0，f(1)＝－1<0，f(2)＝7>0，∴三次方程x3＋x2－2x－1＝0的三个根分别在区间(－2，－1)、(－1,0)、(1,2)内，故选C.2．用二分法求函数f(x)＝x3－2的零点时，初始区间可选为()A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)[答案] B[解析]∵f(1)＝－1，f(2)＝6，∴f(1)·f(2)<0，故选B.3．(2013～2014学年度四川省中学高一月考)用二分法求方程x3＋3x－7＝0在(1,2)内近似解的过程中，设函数f(x)＝x3＋3x－7，算得f(1)<0，f(1.25)<0，f(1.5)>0，f(1.75)>0，则该方程的根落在区间()A．(1,1.25) B．(1.25,1.5)C．(1.5,1.75) D．(1.75,2)[答案] B[解析]本题考查用二分法求函数零点的一般步骤以及零点存在性定理．由f(1.25)<0,f(1.5)>0得f(1.25)·f(1.5)<0，根据零点存在性定理，函数f(x)的一个零点x0∈(1.25,1.5)，即方程x3＋3x－7＝0的根落在区间(1.25,1.5)，故选B.4．(2013～2014学年度黑龙江省哈尔滨市第三十二中学高一期中测试)若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：f(1)＝－2f(1.5)＝0.625f(1.25)＝－0.984f(1.375)＝－0.260f(1.438)＝0.165f(1.406 5)＝－0.052那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确到0.1)为()A．1.2B．1.3C．1.4D．1.5[答案] C[解析]∵f(1.4065)<0, f(1.438)>0，∴f(1.4065)·f(1.438)<0，又1.4∈(1.4065,1.438)，故选C.5．已知函数y＝f(x)的图象是连续不断的，有如下的对应值表：x 12345 6y 123.5621.45－7.8211.45－53.76－128.88 则函数y＝f(x)在区间[1,6]上的零点至少有()A．2个B．3个C．4个D．5个[答案] B[解析]由表可知，f(2)·f(3)<0, f(3)·f(4)<0，f(4)·f(5)<0，由函数零点存在性定理得，函数y＝f(x)在区间(2,3)、(3,4)、(4,5)各应至少存在一个零点，所以函数y＝f(x)在区间[1,6]上的零点至少有3个．故选B.6．下列命题中正确的是()A．方程(x－2)(x－5)＝1有两个相异实根，且一个大于5，一个小于2B．函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点个数是1C．零点存在性定理能用来判断函数零点的存在性，也能用来判断函数零点的个数D．利用二分法所得方程的近似解是惟一的[答案] A[解析]设函数f(x)＝(x－2)(x－5)－1，有f(5)＝－1, f(2)＝－1.又因为函数f(x)的图象是开口向上的抛物线，所以抛物线与x轴在(5，＋∞)内有一个交点，在(－∞，2)内也有一个交点，从而方程(x－2)(x－5)＝1有两个相异实根，且一个大于5，一个小于2，故A正确；由函数的定义知，函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点个数为1或0，故B错误；零点存在性定理能用来判断函数零点的存在性，但不能用来判断函数零点的个数，故C 错误；由于精确度的不同，所得方程的近似解是不一样的，但精确度确定后，所得方程的近似解是惟一的，故D错误．二、填空题7．已知二次函数f(x)＝x2－x－6在区间[1,4]上的图象是一条连续的曲线，且f(1)＝－6<0，f(4)＝6>0.由零点存在性定理可知函数在[1,4]内有零点．用二分法求解时，取(1,4)的中点a，则f(a)＝________.[答案]－2.25[解析]区间[1,4]的中点为2.5，f(2.5)＝2.52－2.5－6＝－2.25.8．已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下部分对应值表：x 12345 6f(x)136.115.6－3.910.9－52.5－232.1 则f(x)的零点至少有________个．[答案] 3[解析]因为f(2)>0，f(3)<0，f(4)>0，f(5)<0，∴f(2)·f(3)<0，f(3)·f(4)<0，f(4)·f(5)<0，故f(x)的零点至少有3个．三、解答题9．求方程x5－x3－3x2＋3＝0的无理根．(精确到0.01)．[分析]若令f(x)＝x5－x3－3x2＋3，则f(x)＝(x2－1)(x3－3)，则方程的无理根就是x3－3＝0的根．[解析]令f(x)＝x5－x3－3x2＋3，则f(x)＝(x2－1)·(x3－3)．显然方程f(x)＝0有两个有理根，即x1＝1，x2＝－1，则无理根就是方程x3－3＝0的根．令g(x)＝x3－3，以下用二分法求函数g(x)的零点．由于g(1)＝－2<0，g(2)＝5>0，故可以取[1,2]作为计算的初始区间，列表如下：端点或中点横坐标计算端点或中点的函数值定区间a0＝1，b0＝2g(1)＝－2，g(2)＝5[1,2] x0＝1.5g(x0)＝0.375[1,1.5]x1＝1.25g(x1)≈－1.046 9[1.25,1.5] x2＝1.375g(x2)≈－0.400 4[1.375,1.5] x3＝1.437 5g(x3)≈－0.029 5[1.437 5,1.5]x 4＝1.468 75 g (x 4)≈0.168 4 [1.437 5,1.468 75] x 5＝1.453 125 g (x 5)≈0.068 4 [1.437 5,1.453 125] x 6＝1.445 312 5 g (x 6)≈0.019 2 [1.437 5,1.445 312 5] x 7＝1.441 406 25g (x 7)≈－0.005 3[1.441 406 25,1.445 312 5]由于区间[1.441 406 25,1.445 312 5]的长度 1.445 312 5－1.441 406 25＝0.003 906 25<0.01，因此可取1.44为所求函数的一个零点的近似值，因此原方程的无理根是1.44.一、选择题1．在用二分法求函数f (x )的一个正实数零点时，经计算， f (0.64)<0, f (0.72)>0, f (0.68)<0，则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为( )A ．0.68B ．0.72C ．0.7D ．0.6[答案] C[解析] 已知f (0.64)<0，f (0.72)>0，则函数f (x )的零点的初始区间为[0.64,0.72]，又0.68＝(0.64＋0.72)/2，且f (0.68)<0，所以零点在区间[0.68,0.72]上，且该区间的左、右端点精确到0.1所取的近似值都是0.7，因此0.7就是所求函数的一个正实数零点的近似值．2．用二分法求函数y ＝f (x )在区间(2,4)上的惟一零点的近似值时，验证f (2)·f (4)<0，取区间(2,4)的中点x 1＝2＋42＝3，计算得f (2)·f (x 1)<0，则此时零点x 0所在的区间是( )A ．(2,4)B ．(2,3)C ．(3,4)D ．无法确定 [答案] B[解析] ∵f (2)·f (4)<0, f (2)·f (3)<0， ∴f (3)·f (4)>0，∴x 0∈(2,3)．3．二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0，x ∈R )的部分对应值如下表：x －3 －2 －1 0 1 2 3 4 y6m－4－6－6－4n6不求a 、b 、c 的值，可以判断方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根所在的区间是( ) A ．(－3，－1)和(2,4) B ．(－3，－1)和(－1,1) C ．(－1,1)和(1,2) D ．(－∞，－3)和(4，＋∞)[答案] A[解析] ∵f (－3)·f (－1)<0, f (2)·f (4)<0，故选A.4．(2013～2014学年度河南开封中学高一月考)用二分法研究函数f (x )＝x 3＋3x －1的零点时，第一次计算得f (0)<0，f (0.5)>0，可得其中一个零点x 0∈________，第二次应计算________，则横线上应填的内容分别为( )A ．(0.5,1), f (0.75)B ．(0,0.5), f (0.125)C ．(0,0.5), f (0.25)D ．(0,1), f (0.25)[答案] C[解析] ∵f (0)<0，f (0.5)>0，∴f (0)·f (0.5)<0，又函数f (x )的图象是不间断的，∴f (x )在(0,0.5)内必有零点，利用二分法，则第二次应计算f (0＋0.52)＝f (0.25)．由f (0.25)＝－0.234 375<0，可以判断x 0∈(0.25，0.5)．二、填空题5．给出以下结论，其中正确结论的序号是________． ①函数图象通过零点时，函数值一定变号； ②相邻两个零点之间的所有函数值保持同号；③函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，若满足f (a )·f (b )<0，则方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上一定有实根；④“二分法”对连续不断的函数的所有零点都有效． [答案] ②③[解析] 零点有变号零点与不变号零点，故①不对；“二分法”针对的是连续不断的函数的变号零点，故④不对．据零点的性质知②③都正确．6．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c (x ≤0)2 (x >0)，若f (－4)＝2，f (－2)＝－2，则关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数是________．[答案] 3[解析] 由已知⎩⎪⎨⎪⎧ 16－4b ＋c ＝24－2b ＋c ＝－2得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4c ＝2，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋2 (x ≤0)2 (x >0)，作图象如图所示．由图象可知f (x )＝x 的解的个数为3. 三、解答题7．求方程x 3－x －1＝0在[1,1.5]的一个实根(精确到0.1)． [解析] 设f (x )＝x 3－x －1， ∵f (1)＝－1<0，f (1.5)＝0.875>0，∴方程在[1,1.5]内有实根，用二分法逐次计算，列表如下：第1次第2次第3次第4次第5次左端点 1 1.25 1.25 1.312 5 1.312 5 右端点1.51.51.3751.3751.343 75∵1.312 5≈1.3,1.343 75≈1.3，∴方程在区间[1，1.5]的零点精确到0.1的近似值是1.3. 8．(2013～2014学年度湖北荆州中学高一期末测试)已知函数f (x )＝ax 3－2ax ＋3a －4在区间(－1,1)上有一个零点．(1)求实数a 的取值范围；(2)若a ＝3217，用二分法求方程f (x )＝0在区间(－1,1)上的根．[解析] (1)若a ＝0，则f (x )＝－4，与题意不符，∴a ≠0. 由题意得f (－1)·f (1)＝8(a －1)(a －2)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a －1<0a －2>0或⎩⎪⎨⎪⎧a －1>0a －2<0， ∴1<a <2，故实数a 的取值范围为1<a <2. (2)若a ＝3217，则f (x )＝3217x 3－6417x ＋2817，∴f (－1)＝6017>0, f (0)＝2817>0, f (1)＝－417<0，∴函数零点在(0,1)，又f (12)＝0，∴方程f (x )＝0在区间(－1,1)上的根为12.9．已知函数f (x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，a ＋b ＋c ＝0，f (0)>0，f (1)>0，证明a >0，并利用二分法证明方程f (x )＝0在[0,1]内有两个实根．[解析] ∵f (1)>0，∴3a ＋2b ＋c >0，即3(a ＋b ＋c )－b －2c >0， ∵a ＋b ＋c ＝0，∴－b －2c >0，则－b －c >c ，即a >c . ∵f (0)>0，∴c >0，则a >0. 在[0,1]内选取二等分点12，则f (12)＝34a ＋b ＋c ＝34a ＋(－a )＝－14a <0.∵f (0)>0，f (1)>0，∴f (x )在区间(0，12)和(12，1)上至少各有一个零点，又f (x )最多有两个零点，从而f (x )＝0在[0,1]内有两个实根．。

高中数学第二章函数2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法_二分法学案新人教B版必修1

2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法1．了解函数变号零点与不变号零点的概念，会判断函数变号零点的存在．(重点) 2．会用二分法求函数变号零点的近似值，并能对二分法的过程作出程式化的步骤．(难点)[基础·初探]教材整理1 变号零点与不变号零点阅读教材P72～P73“第一行”以上部分内容，完成下列问题．1．零点存在的判定条件：y＝f(x)在[a，b]上的图象不间断，f(a)·f(b)<0.结论：y＝f(x)在[a，b]上至少有一个零点，即x0∈(a，b)使f(x0)＝0.2．变号零点如果函数图象通过零点时穿过x轴，则称这样的零点为变号零点．3．不变号零点如果函数图象通过零点时没有穿过x轴，则称这样的零点为不变号零点．函数f(x)的图象如图241所示，则函数f(x)的变号零点的个数为( )图24 1A．0 B．1C．2 D．3【解析】函数f(x)的图象通过零点时穿过x轴，则必存在变号零点，根据图象得函数f(x)有3个变号零点．【答案】 D教材整理2 二分法阅读教材P73“第三行”以下～P73“例”以上的内容，完成下列问题．1．定义对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到函数零点的方法叫做二分法．2．求函数零点的一般步骤已知函数y＝f(x)定义在区间D上，求它在D上的一个零点x0的近似值x，使它满足给定的精确度．用二分法求此函数零点的一般步骤为：①在D内取一个闭区间[a0，b0]⊆D，使f(a0)与f(b0)异号，即f(a0)·f(b0)＜0，零点位于区间[a0，b0]中．②取区间[a0，b0]的中点，则此中点对应的坐标为x0＝a0＋b02.计算f(x0)和f(a0)，并判断：a．如果f(x0)＝0，则x0就是f(x)的零点，计算终止．b．如果f(a0)·f(x0)＜0，则零点位于区间[a0，x0]中，令a1＝a0，b1＝x0. c．如果f(a0)·f(x0)＞0，则零点位于区间[x0，b0]中，令a1＝x0，b1＝b0.③取区间[a1，b1]的中点，则此中点对应的坐标为x1＝a1＋b12.计算f(x1)和f(a1)，并判断：a．如果f(x1)＝0，则x1就是f(x)的零点，计算终止．b．如果f(a1)·f(x1)＜0，则零点位于区间[a1，x1]上，令a2＝a1，b2＝x1.c．如果f(a1)·f(x1)＞0，则零点位于区间[x1，b1]上，令a2＝x1，b2＝b1.……继续实施上述步骤，直到区间[a n，b n]，函数的零点总位于区间[a n，b n]上，当区间的长度b n－a n不大于给定的精确度时，这个区间[a n，b n]中的任何一个数都可以作为函数y＝f(x)的近似零点，计算终止．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)二分法所求出的方程的解都是近似解．( )(2)函数f(x)＝|x|可以用二分法求零点．( )(3)用二分法求函数零点的近似值时，每次等分区间后，零点必定在右侧区间内．( )【解析】(1)×.如函数x－2＝0用二分法求出的解就是精确解．(2)×.对于函数f(x)＝|x|，不存在区间(a，b)，使f(a)·f(b)<0，所以不能用二分法求其零点．(3)×.函数的零点也可能是区间的中点或在左侧区间内．【答案】(1)×(2)×(3)×[小组合作型]二分法的概念(1)图24 2已知函数f(x)的图象如图242所示，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为( )A．4,4 B．3,4C．5,4 D．4,3(2)用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间[1,3]内的根，取区间的中点为x0＝2，那么下一个有根的区间是________.【导学号：60210063】【精彩点拨】(1)可以用二分法求出的零点左右函数值异号；(2)方程的实根就是对应函数f(x)的零点，判断f(2)的符号，在2的左右两边寻找函数值与f(2)异号的自变量．【自主解答】(1)图象与x轴有4个交点，所以解的个数为4；左、右函数值异号的有3个零点，所以可以用二分法求解的个数为3.(2)设f(x)＝x3－2x－5，f(1)＝1－2－5＝－6<0，f(2)＝23－4－5＝－1<0，f(3)＝33－6－5＝16>0，f(x)零点所在的区间为(2,3)，∴方程x3－2x－5＝0有根的区间是(2,3)．【答案】(1)D (2)(2,3)二分法求函数零点的依据：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点，因此，用二分法求函数零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用.[再练一题]1．下面关于二分法的叙述，正确的是( )A．用二分法可求所有函数零点的近似值B．用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位C．二分法无规律可循D．只有在求函数零点时才用二分法【解析】只有函数的图象在零点附近是连续不断且在该零点左右函数值异号，才可以用二分法求函数的零点的近似值，故A错．二分法有规律可循，可以通过计算机来进行，故C错．求方程的近似解也可以用二分法，故D错．【答案】 B变号零点与不变号零点的判断(1)f(x)＝3x－6；(2)f(x)＝x2－x－12；(3)f(x)＝x2－2x＋1；(4)f(x)＝(x－2)2(x＋1)x.【精彩点拨】(1)是一次函数，(2)、(3)均是二次函数，(4)虽然是高次函数，但给出因式积的形式，所以容易分别求得．【解】(1)零点是2，是变号零点．(2)零点是－3和4，都是变号零点．(3)零点是1，是不变号零点．(4)零点是－1,0和2，其中变号零点是0和－1，不变号零点是2.图象连续不间断的函数f x在[a，b]上，若f a·f b<0，则函数f x在该区间上至少有一个变号零点，也就是可能有多个变号零点，还可能有不变号零点，但至少有一个变号零点是肯定的.这一结论可直接应用于函数变号零点判定之中.[再练一题]2．判断下列函数是否有变号零点．(1)y＝x2－5x－14；(2)y＝x2＋x＋1；(3)y＝x4－18x2＋81.【解】(1)零点是－2,7，是变号零点．(2)无零点．(3)零点是－3,3，都不是变号零点．[探究共研型]用二分法求方程的近似解探究1 函数y ＝f (x )的零点与方程f (x )＝0的解有何关系？【提示】函数y ＝f (x )的零点就是方程f (x )＝0的解．探究2 如何把求方程的近似解转化为求函数零点的近似解？【提示】设方程为f (x )＝g (x )，构造函数F (x )＝f (x )－g (x )，求方程f (x )＝g (x )的近似解问题就可转化为求函数F (x )＝f (x )－g (x )零点的近似解问题．用二分法求方程2x 3＋3x －3＝0的一个正实数近似解(精确度为0.1)．【精彩点拨】构造函数f (x )＝2x 3＋3x －3→确定初始区间(a ，b )→二分法求方程的近似解→验证|a －b |<0.1是否成立→下结论．【自主解答】令f (x )＝2x 3＋3x －3，经计算，f (0)＝－3<0，f (1)＝2>0，f (0)·f (1)<0，所以函数f (x )在(0,1)内存在零点，即方程2x 3＋3x ＝3在(0,1)内有解．取(0,1)的中点0.5，经计算f (0.5)<0，又f (1)>0，所以方程2x 3＋3x －3＝0在(0.5,1)内有解．如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如表：(a ，b ) 中点c f (a ) f (b ) f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2(0,1) 0.5 f (0)<0 f (1)>0 f (0.5)<0 (0.5,1) 0.75 f (0.5)<0 f (1)>0 f (0.75)>0 (0.5,0.75) 0.625 f (0.5)<0 f (0.75)>0 f (0.625)<0 (0.625,0.75)0.687 5f (0.625)<0f (0.75)>0f (0.687 5)<0所以方程2x 3＋3x －3＝0的一个精确度为0.1的正实数近似解可取为0.687 5.1．根据函数的零点与相应方程的解的关系，求函数的零点与求相应方程的解是等价的．求方程f (x )＝0的近似解，即按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解．2．对于求形如f (x )＝g (x )的方程的近似解，可以通过移项转化成求形如F (x )＝f (x )－g (x )＝0的方程的近似解，然后按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解．[再练一题]3．用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是( )A．[－2,1] B．[－1,0]C．[0,1] D．[1,2]【解析】由于f(－2)＝－3<0，f(1)＝6>0，故可以取区间[－2,1]作为计算的初始区间，用二分法逐次计算．【答案】 A1．下列函数中能用二分法求零点的是( )【解析】在A和D中，函数虽有零点，但它们均是不变号零点，因此它们都不能用二分法求零点．在B中，函数无零点．在C中，函数图象是连续不断的，且图象与x轴有交点，并且其零点为变号零点，所以C中的函数能用二分法求其零点．【答案】 C2．用二分法求函数f(x)在(a，b)内的唯一零点时，精确度为0.001，则结束计算的条件是( )A．|a－b|<0.1 B．|a－b|<0.001C．|a－b|>0.001 D．|a－b|＝0.001【解析】据二分法的步骤知当区间长度|b－a|小于精确度ε时，便可结束计算．【答案】 B3．用“二分法”可求近似解，对于精确度ε说法正确的是( )A．ε越大，零点的精确度越高B．ε越大，零点的精确度越低C．重复计算次数就是εD．重复计算次数与ε无关【解析】由“二分法”的具体步骤可知，ε越大，零点的精确度越低．【答案】 B4．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，参考数据如下：【导学号：97512033】【解析】根据题意知函数的零点在1.406 25至1.437 5之间，因为此时|1.437 5－1.406 25|＝0.031 25<0.1，故方程的一个近似根可以是1.4.【答案】 1.45．已知函数f (x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，a ＋b ＋c ＝0，f (0)>0，f (1)>0，证明a >0，并利用二分法证明方程f (x )＝0在[0,1]内有两个实根．【证明】 ∵f (1)>0， ∴3a ＋2b ＋c >0，即3(a ＋b ＋c )－b －2c >0， ∵a ＋b ＋c ＝0， ∴－b －2c >0，则－b －c >c ，即a >c . ∵f (0)>0，∴c >0，则a >0. 在[0,1]内选取二等分点12，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝34a ＋b ＋c ＝34a ＋(－a )＝－14a <0.∵f (0)>0，f (1)>0，∴f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12和⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上至少各有一个零点，又f (x )最多有两个零点，从而f (x )＝0在[0,1]内有两个实根．。

高中数学第二章函数2.4.1函数的零点学案新人教B版必修108012133

高中数学第二章函数2.4.1函数的零点学案新人教B 版必修1080121331．理解函数零点的概念．(重点)2．会求一次函数、二次函数的零点．(重点)3．初步了解函数的零点、方程的根、函数图象与x 轴交点的横坐标之间的关系．(重点、难点)[基础·初探]教材整理1 函数的零点阅读教材P 70～P 71“例”以上部分内容，完成下列问题． 1．定义如果函数y ＝f (x )在实数α处的值等于零，即f (α)＝0，则α叫做这个函数的零点． 2．性质(1)当函数图象通过零点且穿过x 轴时，函数值变号．(2)两个零点把x 轴分为三个区间，在每个区间上所有函数值保持同号．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)所有的函数都有零点．( )(2)若方程f (x )＝0有两个不等实根x 1，x 2，则函数y ＝f (x )的零点为(x 1,0)，(x 2,0)．( )(3)f (x )＝x －1x只有一个零点．( )【答案】 (1)× (2)× (3)×教材整理2 二次函数零点与一元二次方程实根个数的关系阅读教材P 70“倒数第2行”～P 71“例”以上的内容，完成下列问题．判别式ΔΔ>0 Δ＝0 Δ<0二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根有两相异实根x 1，x 2(x 1<x 2)有两相等实根x 1＝x 2＝－b 2a没有实根二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的零点有两个零点x 1，x 2有一个二重零点x 1＝x 2没有零点已知函数f (x )＝x 2－2x ＋a 的图象全部在x 轴的上方，则实数a 的取值范围是________.【导学号：97512030】【解析】函数f (x )的图象是开口向上的抛物线，所以Δ＝4－4a <0，a >1. 【答案】 (1，＋∞)[小组合作型]求函数的零点(1)函数y ＝1＋1x的零点是( ) A ．(－1,0) B ．x ＝－1 C ．x ＝1D ．x ＝0(2)求下列函数的零点． ①f (x )＝－x 2－2x ＋3； ②f (x )＝x 4－1.【精彩点拨】求函数对应方程的根，即为函数的零点．【自主解答】 (1)令1＋1x＝0，解得x ＝－1，故选B.(2)①由于f (x )＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋3)(x －1)，所以方程－x 2－2x ＋3＝0的两根是－3,1. 故函数的零点是－3,1.②由于f (x )＝x 4－1＝(x 2＋1)(x ＋1)(x －1)，所以方程x 4－1＝0的实数根是－1,1.故函数的零点是－1,1.【答案】 (1)B (2)①－3,1 ②－1,1求函数的零点时，通常转化为解方程f x ＝0，若方程f x ＝0有实数根，则函数f x 存在零点，该方程的根就是函数f x 的零点；否则，函数f x 不存在零点.[再练一题]1．函数f (x )＝ax ＋b 有一个零点是2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是________.【导学号：60210059】【解析】 ∵函数f (x )＝ax ＋b 有一个零点是2，∴2a ＋b ＝0，即b ＝－2a ， ∴g (x )＝bx 2－ax ＝－2ax 2－ax ＝－ax (2x ＋1)， ∵－ax (2x ＋1)＝0，即x ＝0，x ＝－12，∴函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是0，－12.【答案】 0，－12函数零点个数的判断判断下列函数零点的个数． (1)f (x )＝x 2－7x ＋12；(2)f (x )＝x 2－1x .【精彩点拨】 (1)中f (x )为一元二次函数，解答本题可判断对应的一元二次方程的根的个数；(2)中函数零点可用解方程法转化为两个熟知的基本初等函数求图象交点个数．【自主解答】 (1)由f (x )＝0，即x 2－7x ＋12＝0，得Δ＝49－4×12＝1>0， ∴方程x 2－7x ＋12＝0有两个不相等的实数根3,4.∴函数f (x )有两个零点． (2)法一由x 2－1x ＝0，得x 2＝1x.令h (x )＝x 2(x ≠0)，g (x )＝1x.在同一坐标系中画出h (x )和g (x )的图象，如图所示，两函数图象只有一个交点，故函数f (x )＝x 2－1x只有一个零点．法二令f(x)＝0，即x2－1x＝0.∵x≠0，∴x3－1＝0.∴(x－1)(x2＋x＋1)＝0.∴x＝1或x2＋x＋1＝0.∵方程x2＋x＋1＝0的根的判别式Δ＝12－4＝－3<0，∴方程x2＋x＋1＝0无实数根．∴函数f(x)只有一个零点．确定函数零点个数的方法1．一元n次方程根的个数的问题，一般采用分解因式法来解决．2．一元二次方程通常用判别式来判断根的个数．3．指数函数和对数函数等超越函数零点个数的问题，一般用图象法来解决．4．利用函数的单调性判断函数零点的个数．[再练一题]2．判断函数y＝x3－3x2－2x＋6的零点个数．【解】y＝x3－3x2－2x＋6＝x2(x－3)－2(x－3)＝(x2－2)(x－3)，令y＝0，则x＝±2或x＝3，显然有三个零点．[探究共研型]函数零点的应用探究1 设F(x)＝f(x)－g(x)，则F(x)的零点与函数y＝f(x)与y＝g(x)有何关系？【提示】F(x)的零点是函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象的交点的横坐标．探究2 若函数f(x)＝x2－2x＋a有零点，则实数a的取值范围是什么？【提示】若函数f(x)＝x2－2x＋a有零点，则方程x2－2x＋a＝0有根．故Δ＝(－2)2－4a≥0，故a≤1.若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________．【精彩点拨】把问题转化为方程|2x－2|＝b有根问题，进而应用数形结合的思想转化为y ＝|2x －2|与y ＝b 图象的交点问题．【自主解答】由f (x )＝|2x－2|－b ＝0，得|2x－2|＝b .在同一平面直角坐标系中画出y ＝|2x－2|与y ＝b 的图象，如图所示，则当0<b <2时，两函数图象有两个交点，从而函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点．【答案】 (0,2)已知函数有零点方程有根求参数取值范围常用的方法：1直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围.2分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决.3数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.[再练一题]3.若函数f (x )＝3ax ＋1－2a 在区间(－1,1)上存在一个零点，则a 的取值范围是( ) A ．a >15B ．a >15或a <－1C ．－1<a <15D ．a <－1【解析】根据函数零点的性质，f (1)，f (－1)一正一负，f (1)＝a ＋1，f (－1)＝－5a ＋1所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1>0－5a ＋1<0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1<0－5a ＋1>0，解得a >15或a <－1.【答案】 B1．下列四个函数图象，在区间(－∞，0)内，函数f i (x )(i ＝1,2,3,4)中有零点的是( )A ．B ．C ． D.【解析】由函数图象可知，f 2(x )在(－∞，0)上与x 轴有交点，故f 2(x )在(－∞，0)上有零点．【答案】 B2．函数y ＝2x －4的零点是( ) A ．2B ．(2,0) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0 D.12【解析】由2x －4＝0，得x ＝2，即函数y ＝2x －4的零点是2.【答案】 A3．已知函数y ＝f (x )是R 上的奇函数，其零点为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＝________.【解析】由奇函数的对称性知：若f (x 1)＝0，则f (－x 1)＝0，即零点关于原点对称，且f (0)＝0，故x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＝0. 【答案】 04．若函数f (x )＝ax 2－x －1只有一个零点，则实数a ＝________.【解析】 (1)当a ＝0时，函数为y ＝－x －1，显然该函数的图象与x 轴只有一个交点，即函数只有一个零点．(2)当a ≠0时，函数y ＝ax 2－x －1是二次函数．因为y ＝ax 2－x －1只有一个零点，所以关于x 的方程ax 2－x －1＝0有两个相等的实数根，所以Δ＝0，即1＋4a ＝0，解得a ＝－14.【答案】 0或－145．已知关于x 的二次方程ax 2－2(a ＋1)x ＋a －1＝0有两个根，且一个根大于2，另一个根小于2，试求实数a 的取值范围．【解】令f (x )＝ax 2－2(a ＋1)x ＋a －1，依题意知，函数f (x )有两个零点，且一个零点大于2，一个零点小于2.∴f (x )的大致图象如图所示：则a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧a >0，f 2<0，或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，f 2>0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，4a －4a ＋1＋a －1<0，或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，4a －4a ＋1＋a －1>0，解得0<a <5，∴a 的取值范围为(0,5)．。

2021_2022学年新教材高中数学第三章函数测评含解析新人教B版必修第一册

第三章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2021山西运城高一期中)函数f (x )=√x -1+2x 2-4的定义域为( )A.[1,2)B.(2,+∞)C.(-∞,2)∪(2,+∞)D.[1,2)∪(2,+∞),则{x -1≥0,x 2-4≠0,解得{x ≥1,x ≠2.故函数f (x )的定义域是[1,2)∪(2,+∞),故选D .2.(2021北京朝阳高一期末)已知函数y=f (x )可表示为如表所示,则下列结论正确的是( ) A.f (f (4))=3B.f (x )的值域是{1,2,3,4}C.f (x )的值域是[1,4]D.f (x )在区间[4,8]上单调递增f (4)=3,得f (f (4))=f (3)=2,故A 错误;函数的值域为{1,2,3,4},故B 正确,C 错误;由表可知,f (x )在定义域上不单调,故D 错误.故选B .3.(2021山东烟台高一期中)某高三学生去高铁站乘高铁.早上他乘坐出租车从家里出发,离开家不久,发现身份证忘带,于是回到家取上身份证,然后乘坐出租车以更快的速度赶往高铁站,令x (单位:分钟)表示离开家的时间,y (单位:千米)表示离开家的距离,其中等待红绿灯及在家取身份证的时间忽略不计,下列图像中与上述事件吻合最好的是( ),该高三学生离开家的过程中,y 是x 的一次函数,且斜率为正;小明返回家的过程中,y 仍然是x 的一次函数,斜率为负;小明最后由家到高铁站,y 仍然是x 的一次函数,斜率为正值,且斜率比第一段的斜率大,结合图像可知,与上述事件吻合最好的图像为C .故选C .4.(2021山东潍坊高一期中)已知函数f (x )=ax 2+bx+c 满足f (2)<0且f (3)>0,则f (x )在(2,3)上的零点( )A.至多有一个B.有1个或2个C.有且仅有一个D.一个也没有,函数f (x )=ax 2+bx+c 是连续函数,又f (2)<0,f (3)>0,由函数零点存在定理,可知f (x )在(2,3)上的零点个数有且只有一个,故选C .5.(2021浙江杭州中学高一期中)若函数f (x )满足关系式f (x )+2f (1-x )=-3x ,则f (2)的值为( ) A.-3B.32C.-52D.52f (x )+2f (1-x )=-3x,令x=2,则有f (2)+2f (-1)=-32;令x=-1,则有f (-1)+2f (2)=3.由上式可得f (2)=52,故选D .6.(2021河北邯郸高一期中)已知函数f (x )=ax 2+b x是定义在(-∞,b-3]∪[b-1,+∞)上的奇函数.若f (2)=3,则a+b 的值为( ) A.1 B.2 C.3 D.0函数f (x )是定义在(-∞,b-3]∪[b-1,+∞)上的奇函数,∴b-3+b-1=0,即2b=4,解得b=2,则f (x )=ax 2+2x.∵f (2)=3,∴f (2)=4a+22=3,解得2a+1=3,即a=1.因此a+b=1+2=3,故选C .7.已知函数f (x )={x 2+1(x ≤0),2x (x >0),若f (a )=10,则a 的值是( )A.-3或5B.3或-3C.-3D.3或-3或5a ≤0,则f (a )=a 2+1=10,∴a=-3(a=3舍去),若a>0,则f (a )=2a=10,∴a=5,综上可得,a=5或a=-3,故选A .8.(2021广西北海高一期末)已知定义在[-2,2]上的奇函数f (x )满足:对任意的x 1,x 2∈[-2,2]都有f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2<0成立,则不等式f (x+1)+f (1-4x )>0的解集为( )A.-14,34B.23,34C.-14,1 D.-14,23解析由f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2<0可知函数f (x )在[-2,2]上单调递减,f (x )是奇函数,所以f (x+1)>-f (1-4x )=f (4x-1).所以{-2≤x +1≤2,-2≤1-4x ≤2,x +1<4x -1,解得{-3≤x ≤1,-14≤x ≤34,x >23,所以23<x ≤34,即不等式的解集为23,34.故选B .二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分. 9.下列对应关系f ,能构成从集合M 到集合N 的函数的是 ( )A.M=12,1,32,N={-6,-3,1},f 12=-6,f (1)=-3,f32=1B.M=N={x|x ≥-1},f (x )=2x+1C.M=N={1,2,3},f (x )=2x+1D.M=Z ,N={-1,1},f (x )={-1,x 为奇数,1,x 为偶数解析∵M=12,1,32,N={-6,-3,1},f 12=-6,f (1)=-3,f32=1,由定义知M 中的任一个元素,N 中都有唯一的元素和它相对应,∴构成从集合M 到集合N 的函数,故A 正确;由M=N={x|x ≥-1},f (x )=2x+1,能构成从集合M 到集合N 的函数,故B 正确;由M=N={1,2,3},f (x )=2x+1,∵f (2)=5,f (3)=7,5∉{1,2,3},7∉{1,2,3},因此不能构成从集合M 到集合N 的函数,故C 错误;由M=Z ,N={-1,1},f (x )={-1,x 为奇数,1,x 为偶数,因此能构成从集合M 到集合N 的函数,故D 正确.故选ABD .10.(2021重庆八中高一期中)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数,则下列函数中为奇函数的是( ) A.y=f (-x ) B.y=f (x )+x 3 C.y=f (x )xD.y=√x 3f (x )F (x )=f (-x ),其定义域为R ,则有F (-x )=f [-(-x )]=f (x )=-f (-x )=-F (x ),函数y=f (-x )为奇函数,故A 正确;设F (x )=f (x )+x 3,其定义域为R ,则有F (-x )=f (-x )+(-x )3=-[f (x )+x 3]=-F (x ),函数y=f (x )+x 3为奇函数,故B 正确;设F (x )=f (x )x,其定义域为{x|x ≠0},则有F (-x )=f (-x )-x=f (x )x=F (x ),是偶函数,故C 错误;由于函数y=√x 3f (x ),其定义域为[0,+∞),其定义域不关于原点对称,不是奇函数,故D 错误. 故选AB.11.(2020山东日照高二期末)如图是二次函数y=ax 2+bx+c 图像的一部分,图像过点A (-3,0),且对称轴为x=-1,则以下选项中正确的为( )A.b 2>4acB.2a-b=1C.a-b+c=0D.5a<ba<0,与y 轴的交点在y 轴的正半轴上得c>0.因为二次函数的图像与x 轴有2个不同交点,所以Δ=b 2-4ac>0,故A 正确; 因为对称轴方程为x=-1,所以-b2a =-1,即2a-b=0,故B 不正确;又因为图像过点A (-3,0),且对称轴方程为x=-1,所以图像与x 轴的另一个交点是(1,0),把点(1,0)代入解析式得a+b+c=0,故C 不正确;把x=-3代入解析式得9a-3b+c=0,与a+b+c=0联立,两式相加并整理得10a-2b=-2c<0,即5a<b ,故D 正确.故选AD.12.(2021山东临沂高一期中)某校学习兴趣小组通过研究发现形如y=ax+bcx+d (ac ≠0,b ,d 不同时为0)的函数图像可以通过反比例函数的图像平移变换而得到,则对于函数y=x+2x -1的图像及性质的下列表述正确的是( )A.图像上点的纵坐标不可能为1B.图像关于点(1,1)成中心对称C.图像与x 轴无交点D.函数在区间(1,+∞)上单调递减y=x+2x -1=x -1+3x -1=1+3x -1,因此函数y=x+2x -1的图像可以看作是由y=3x的图像先向右平移一个单位,再向上平移一个单位而得到,因此函数图像上点的纵坐标不可能为1,函数图像关于点(1,1)成中心对称,函数图像与x 轴交点为(-2,0),函数y 在区间(1,+∞)上单调递减,故选ABD . 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.若函数y=f (x )在定义域R 上的值域为[0,1],则函数y=f (x-1)+1的值域为 .,而只有上下平移才改变函数的值域,因此函数y=f (x-1)+1的值域为[1,2].14.某单位为鼓励职工节约用水,作出如下规定:每位职工每月用水不超过10立方米的,按每立方米3元收费;用水超过10立方米的,超过的部分按每立方米5元收费.某职工某月缴水费55元,则该职工这个月实际用水为立方米.x 立方米,所缴水费为y 元,由题意得y={3x ,0≤x ≤10,30+5(x -10),x >10,即y={3x ,0≤x ≤10,5x -20,x >10.由于该职工这个月的实际用水量超过10立方米,所以5x-20=55,解得x=15. 15.已知函数f (x )=3+x 1+x,记f (1)+f (2)+f (4)+…+f (1 024)=m ,f12+f14+…+f11024=n ,则m+n= .解析由题意得f (x )+f1x=x+3x+1+1x +31x+1=x+3x+1+1+3x x+1=4(x+1)x+1=4,f (1)=3+11+1=2,∴m+n=f (1)+f12+f (2)+f 14+f (4)+…+f11024+f (1024)=2+4×512=2050.16.(2021江苏海门中学高一期中)设函数f (x )={-(x -a )2+a 2,x ≤0,-x 2+2x +1-a ,x >0,若f (0)是f (x )的最大值,则a 的取值范围为 .+∞)a>0,则满足题意的函数f (x )的图像如图所示:由数形结合可得Δ=4+4(1-a )≤0,解得a ≥2.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(10分)(2021山东德州高一期中)已知函数f (x )=x+1x .(1)用定义法证明f (x )在[1,+∞)上为增函数;(2)若对∀x ∈[2,4],恒有f (x )≤2m-1,求实数m 的取值范围. (1)证明设1≤x 1<x 2,则f (x 2)-f (x 1)=x 2+1x 2-x 1-1x 1=(x 2-x 1)+x 1-x2x 1x 2=(x 2-x 1)1-1x 1x 2=(x 2-x 1)(x 1x 2-1)x 1x 2,因为x 2>x 1≥1,所以x 2-x 1>0且x 1x 2>1. 所以(x 2-x 1)(x 1x 2-1)x 1x 2>0,即f (x 2)-f (x 1)>0,f (x 1)<f (x 2), 所以f (x )在[1,+∞)上是增函数.(1)知f (x )在[2,4]上单调递增,所以f (x )max =f (4)=174.所以2m-1≥174,即m ≥218. 所以m 的取值范围是218,+∞.18.(12分)(2020辽宁朝阳一中高一期中)设函数f (x )=ax 2+ax-1(a ∈R ). (1)当a=12时,求函数f (x )的零点; (2)讨论函数f (x )零点的个数.当a=12时,函数f (x )=12x 2+12x-1,令12x 2+12x-1=0,解得x=1或x=-2.函数f (x )的零点为1,-2.(2)当a=0时,f (x )=ax 2+ax-1=-1,函数没有零点; 当a ≠0时,Δ=a 2+4a.若Δ=a 2+4a=0,解得a=-4,此时函数f (x )有1个零点. 若Δ=a 2+4a>0,解得a<-4或a>0,此时函数有2个零点. 若Δ=a 2+4a<0,解得-4<a<0,此时函数没有零点. 综上所述,当a=-4时,函数f (x )有1个零点. 当a<-4或a>0时,函数有2个零点, 当-4<a ≤0时,函数没有零点.19.(12分)(2021云南玉溪一中高一期中)已知二次函数f (x )=ax 2+bx+c (a ≠0),满足f (x+1)-f (x )=2x ,且f (0)=1.(1)求函数f (x )的解析式;(2)函数f (x )在区间[n ,1)上的值域是34,1,求n 的取值范围.因为二次函数f (x )=ax 2+bx+c (a ≠0),满足f (x+1)-f (x )=2x ,且f (0)=1,所以a (x+1)2+b (x+1)+c-ax 2-bx-c=2x ,c=1, 即2ax+a+b=2x ,故a=1,b=-1,c=1. 所以函数f (x )的解析式为f (x )=x 2-x+1.(2)因为f (x )=x 2-x+1的开口向上,对称轴x=12,且f12=34,f (0)=f (1)=1,由f (x )在区间[n ,1)上的值域是34,1可得0<n ≤12.故n 的取值范围为0,12. 20.(12分)(2020江苏启东高一期中)已知函数f (x )=1x-1+12(x>0).(1)若m>n>0时,f (m )=f (n ),求1m +1n 的值;(2)若m>n>0时,函数f (x )的定义域与值域均为[n ,m ],求所有m ,n 的值.∵f (m )=f (n ),∴1m -1+12=1n-1+12.∴1m-1=1n-1,∴1m -1=1n -1或1m -1=1-1n . ∵m>n>0,∴1m +1n =2.(2)由题意f (x )={1x -12,0<x ≤1,32-1x,x >1,∴f (x )在(0,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增. ①0<n<m ≤1,则f (n )=m ,f (m )=n ,∴{1n -12=m ,1m -12=n ,解得m=n=√17-14(舍去).②n<1<m ,则f (x )min =f (1)=12=n ,f (x )max =m=max{f (n ),f (m )}=max 32,f (m ),∴m=32. ③1≤n<m ,则f (n )=n ,f (m )=m ,无解. 综上,m=32,n=12.21.(12分)(2021山东聊城高一期中)为了节能减排,某农场决定安装一个可使用10年的太阳能供电设备.使用这种供电设备后,该农场每年消耗的电费C (单位:万元)与太阳能电池面积x (单位:平方米)之间的函数关系为C (x )={m -4x5,0≤x ≤10,m x ,x >10(m 为常数).已知太阳能电池面积为5平方米时,每年消耗的电费为8万元.安装这种供电设备的工本费为0.6x (单位:万元).记F (x )为该农场安装这种太阳能供电设备的工本费与该农场10年消耗的电费之和. (1)写出F (x )的解析式;(2)当x 为多少平方米时,F (x )取得最小值?最小值是多少万元?(精确到小数点后一位)(已知√3≈1.7,√10≈3.2)当0≤x ≤10时,C (x )=m -4x 5,由题意8=m -4×55,即m=60.∴C (x )={60-4x5,0≤x ≤10,60x,x >10,则F (x )={10×60-4x5+0.6x ,0≤x ≤10,10×60x +0.6x ,x >10,化简可得F (x )={120-7.4x ,0≤x ≤10,600x+0.6x ,x >10.(2)当0≤x ≤10时,F (x )=120-7.4x ,可得F (x )min =F (10)=46(万元), 当x>10时,F (x )=600x+610x ≥2√600x·610x =6√10≈19.2(万元),当且仅当600x=610x ,即x=10√10≈32平方米时,等号成立,故当x 为32平方米时,F (x )取得最小值,最小值是19.2万元.22.(12分)(2021重庆外国语学校高一期中)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数,且当x ≤0时,f (x )=x 2+2x.函数f (x )在y 轴左侧的图像如图所示,并根据图像:(1)画出f (x )在y 轴右侧的图像并写出函数f (x )(x ∈R )的单调递增区间; (2)写出函数f (x )(x ∈R )的解析式;(3)若函数g (x )=f (x )+(4-2a )x+2(x ∈[1,2]),求函数g (x )的最小值.函数f (x )是定义在R 上的偶函数,即函数f (x )的图像关于y 轴对称,则函数f (x )图像如图所示.故函数f (x )的单调递增区间为(-1,0),(1,+∞). (2)根据题意,令x>0,则-x<0,则f (-x )=x 2-2x ,又由函数f (x )是定义在R 上的偶函数,则f (x )=f (-x )=x 2-2x ,则f (x )={x 2+2x ,x ≤0,x 2-2x ,x >0.(3)根据题意,x ∈[1,2],则f (x )=x 2-2x ,则g (x )=x 2-2x+(4-2a )x+2=x 2+(2-2a )x+2, 其对称轴为x=a-1,当a-1<1时,即a<2时,g (x )在区间[1,2]上单调递增,g (x )min =g (1)=5-2a ; 当1≤a-1≤2时,即2≤a ≤3时,g (x )min =g (a-1)=1+2a-a 2;当a-1>2时,即a>3时,g (x )在区间[1,2]上单调递减,g (x )min =g (2)=10-4a , 故g (x )min ={5-2a ,a <2,1+2a -a 2,2≤a ≤3,10-4a ,a >3.。

2020版新教材3.2.1函数的零点、二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系课件新人教B版必修1

【类题·通】解一元二次不等式的一般步骤
(1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零. (2)计算对应方程的判别式.
(3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根. (4)根据函数图像与x轴的相关位置写出不等式的解集.
【习练·破】已知集合M={x|x2-3x-28≤0}，N={x|x2-x-6>0}，则 M∩N为 ( ) A.{x|-4≤x<-2或3<x≤7} B.{x|-4<x≤-2或3≤x<7} C.{x|x≤-2或x>3} D.{x|x<-2或x≥3}
函数y= f(x)的图像
f(x)>0的解集
{x|x<x1 或x>x2}
b
{x|x≠- 2a }
R
f(x)<0的解集
{x|x1< x<x2}
⌀
⌀
【思考】二次函数f(x)=ax2+bx+c中，二次项系数a<0时，怎样求不等式f(x)>0或f(x)<0的解集？提示：对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，可以先把二次项系数化成正数，再求解；也可以画出二次项系数为负数时的函数图像，再求解.
当x∈________________________时，f(x)=0；当x∈________________________时，f(x)>0；当x∈________________________时，f(x)<0.
【解析】根据图像知f(x)=0的解集是{-5，-4，2}. f(x)>0的解集是(-∞，-5)∪(-5，-4)∪(2，+∞)， f(x)<0的解集是(-4，2). 答案：{-5，-4，2} (-∞，-5)∪(-5，-4)∪(2，+∞) (-4，2)

2020版新教材高中数学第三章函数3.2.2零点的存在性及其近似值的求法课件新人教B版必修1

【思考】能否用二分法求方程的近似解？提示：能，方程的根即为函数的零点.
3.用二分法求函数零点近似值的步骤
给定精度ε ，用二分法求函数f(x)零点x0近似值x1，
使得|x1-x0|<ε 的一般步骤如下：
第一步，检查|b-a|<2ε 是否成立，如果成立，取
x1=
ab 2
，计算结束，如果不成立转到第二步；
5
【加练·固】函数f(x)=2- 4 x2(x∈[-1，1])的零点个数为 _______. 【解析】令2- 4 x2 =0，解得x=0，所以函数仅有一个零点. 答案：1
类型三二分法的应用
角度1 二分法概念的理解
【典例】1.用二分法求如图所示函数f(x)的零点时，
不可能求出的零点是 ( )
【解析】设f(x)=x3+x2-2x-1，则f(-2)=-1<0，f(-1)=1>0， f(0)=-1<0，f(1)=-1<0，f(2)=7>0，所以f(-2)·f(-1)<0，f(-1)·f(0)<0，
Байду номын сангаас
f(1)·f(2)<0，所以∃x1∈(-2，-1)，x2∈(-1，0)， x3∈(1，2)，f(x1)=0，f(x2)=0，f(x3)=0. 则f(x)在(-2，-1)，(-1，0)，(1，2)内均有零点，即 ①②③正确. 答案：①②③
2.选B.f(1)=2-1=1，f(
1
)

1
22

2

2 2 0，
2
即f( 1 )
2
f(1)<0，所以∃x0∈
(
1 2
,1，) f(x0)=0，

人教B版高中数学必修一课件第3章函数的零点、二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系

解:(方法一)设方程x2+x+a=0的两个根分别为x1,x2,则由题意可知
= 1-4 > 0,
1 2 = < 0,
解得a<0,所以实数a的取值范围是(-∞,0).
(方法二)令f(x)=x2+x+a,依题意知,函数f(x)有两个零点,且一个零点大于0,
一个零点小于0,
= 1-4 > 0,
所以函数f(x)的大致图象如图所示:
> 0,
(0) = -1 > 0,
则实数 a 应满足 = 4( + 1)2 -4(-1) > 0,
+1

> 0,
解得a>1,所以当a>0时,例3中的方程有两个大于零的不等实数根,此时a的
取值范围为a>1.
解决此类问题可设出方程对应的函数,根据函数的零点所在的区间分析区
下面对a进行分类讨论:
当a<0时,原方程无实数解;
当a=1时,原方程实数解的个数为3;
当0<a<1时,原方程实数解的个数为4;
当a>1或a=0时,原方程实数解的个数为2.
判断函数零点个数的三种方法
(1)利用方程的根转化为解方程,有几个不同的实数根就有几个零点.
(2)利用函数的图象.画出y=f(x)的图象,判断它与x轴交点的个数,从而判断
.
4.若函数f(x)=ax-b(b≠0)的零点是3,则函数g(x)=bx2+3ax的零点
是
.
解析:∵3是f(x)=ax-b的零点,
∴3a-b=0,即b=3a.
∴g(x)=bx2+3ax=3ax2+3ax=3ax(x+1),

高中数学第三章函数零点的存在性及其近似值的求法课后课时精练新人教B版必修第一册

第2课时零点的存在性及其近似值的求法A级：“四基”巩固训练一、选择题1．已知函数f(x)的图像如图，其中零点的个数及可以用二分法求解的零点个数分别为( )A．4,4 B．3,4C．5,4 D．4,3答案 D解析由图像知函数f(x)的图像与x轴有4个交点，因此零点个数为4，从左往右数第4个交点两侧不满足函数值异号，因此不能用二分法求零点，而其余3个均可使用二分法求零点．2．对于函数f(x)＝x2＋c，若f(a)>0，f(b)>0，则函数f(x)在区间(a，b)内( ) A．一定有零点B．一定没有零点C．可能有两个零点D．至多有一个零点答案 C解析利用特殖值法和数形结合的思想验证．如：①令c＝1，则f(x)＝x2＋1，f(2)＝f(－2)＝5>0，在(－2,2)内无零点；②令c＝0，则f(x)＝x2，f(2)＝f(－2)＝4>0，在(－2,2)内有一个零点；③令c＝－1，则f(x)＝x2－1，f(2)＝f(－2)＝3>0，在(－2,2)内有两个零点．因此只有C正确．3．函数f(x)的图像是连续不断的曲线，在用二分法求方程f(x)＝0在(2,3)内近似解的过程中得f(2)<0，f(2.5)>0，f(2.25)<0，则方程的解所在的区间为( ) A．(2.25,2.5) B．(2,2.25)C．(2.5,3) D．不能确定答案 A解析由于f(2.25)f(2.5)<0，则方程的解所在的区间为(2.25,2.5)．4．已知函数f(x)在区间(0，a)上有唯一的零点(a>0)，在用二分法寻找零点的过程中，依次确定了零点所在的区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 4，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 8，则下列说法中正确的是( )A ．函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 16内一定有零点B ．函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a16或⎝ ⎛⎭⎪⎫a 16，a8内有零点 C ．函数f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫a 16，a 内无零点D ．函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a16或⎝ ⎛⎭⎪⎫a16，a8内有零点，或零点是a16答案 D解析根据二分法，依次“二分”区间后，零点应存在于更小的区间，零点应在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 16或⎝⎛⎭⎪⎫a 16，a 8内，或零点是a 16.5．若函数f (x )＝x 3＋x 2－2x －2的一个零点(正数)附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：那么方程x 3＋x 2－2x －2＝0的一个近似解(精确度小于0.04)为( ) A ．1.5 B ．1.25 C ．1.375 D ．1.4375答案 D解析由参考数据，知f (1.40625)≈－0.054，f (1.4375)≈0.162，即f (1.40625)f (1.4375)<0，且1.4375－1.40625＝0.03125<0.04，所以方程的一个近似解可取为1.4375.故选D.二、填空题6．已知图像连续不断的函数y ＝f (x )在区间(0,0.1)上有唯一零点，如果用二分法求这个零点(精确度为0.01)的近似值，则应将区间(0,0.1)等分的次数至少为________．答案 4解析设等分的最少次数为n ，则由0.12n <0.01，得2n>10，∴n 的最小值为4.7．用二分法求方程x 3－2x －5＝0在区间(2,4)内的实数根时，取中点x 1＝3，则下一个含有根的区间是________．答案(2,3)解析令f(x)＝x3－2x－5，则f(2)＝23－2×2－5＝－1<0，f(3)＝33－2×3－5＝16>0，故下一个含有根的区间为(2,3)．8．若函数f(x)的图像是连续不断的，且f(0)>0，f(1)f(2)f(4)<0，则下列命题正确的是________．①函数f(x)在区间(0,1)内有零点；②函数f(x)在区间(1,2)内有零点；③函数f(x)在区间(0,2)内有零点；④函数f(x)在区间(0,4)内有零点．答案④解析∵f(0)>0，f(1)f(2)f(4)<0，则f(1)，f(2)，f(4)恰有一负两正或三个都是负的．函数的图像与x轴相交有4种可能，如图所示：∴函数f(x)必在区间(0,4)内有零点．故选④.三、解答题9．求方程x2－2x－1＝0的正解的近似值(精确度小于0.1)．解设f(x)＝x2－2x－1.∵f(2)＝－1<0，f(3)＝2>0，又f(x)在(2,3)内递增，∴在区间(2,3)内，方程x2－2x－1＝0有唯一实数根．用二分法逐次计算，列表如下：零点所在区间区间中点中点对应的函数值取中点作为近似值时误差小于的值(2,3)2＋32＝2.5f(2.5)＝0.5∵|2.375－2.4375|＝0.0625<0.1，∴方程x2－2x－1＝0的一个精确度小于0.1的近似正解可取为2.4375.10．若函数y＝f(x)在区间(a，b)内的零点用二分法按精确度为ε求出的结果与精确到ε求出的结果相等，则称函数y＝f(x)在区间(a，b)内的零点为“和谐零点”．试判断函数f(x)＝x3＋x2－2x－2在区间(1,1.5)上按ε＝0.1用二分法逐次计算求出的零点是否为“和谐零点”．(参考数据：f(1.25)≈－0.984，f(1.375)≈－0.260，f(1.4375)≈0.162，f(1.4065)≈－0.052)解函数f(x)＝x3＋x2－2x－2在区间(1,1.5)上有f(1)＝－2<0，f(1.5)>0，故f(x)在(1,1.5)内有零点．又f(x)＝0，即x3＋x2－2x－2＝0，所以(x＋1)(x－2)(x＋2)＝0，所以f(x)在(1,1.5)内的零点为2，故精确到ε＝0.1的零点为1.4.用二分法逐次计算，列表如下：故函数y＝f(x)精确度为ε的零点的近似值为1.4375，显然不等于1.4，故求出的零点不为“和谐零点”．B 级：“四能”提升训练1．现有12个小球，从外观上看完全相同，除了1个小球质量不合标准外，其余的小球质量均相同，用同一架天平(无砝码)，限称三次，把这个“坏球”找出来，并说明此球是偏轻还是偏重．如何称？解先在天平左右各放4个球．有两种情况： (1)若平，则“坏球”在剩下的4个球中．取剩下的4个球中的3个球放天平的一端，取3个好球放天平的另一端，①若仍平，则“坏球”为4个球中未取到的那个球，将此球与1个好球放上天平比一比，即知“坏球”是轻还是重；②若不平，则“坏球”在天平一端的3个球之中，且知是轻还是重．任取其中2个球放在天平上，无论平还是不平，均可确定“坏球”．(2)若不平，则“坏球”在天平上的8个球中，不妨设天平右端较重．从右端4个球中取出3个球，置于一容器内，然后从左端4个球中取3个球移到右端，再从外面好球中取3个补到左端，看天平，有三种可能．①若平，则“坏球”是容器内3个球之一且偏重；②若左端重，“坏球”已从左端换到右端，因此，“坏球”在从左端移到右端的3个球中，并且偏轻；③若右端重，据此知“坏球”未变动位置，而未被移动过的球只有两个(左右各一)，“坏球”是其中之一(暂不知是轻还是重)．显然对于以上三种情况的任一种，再用天平称一次，即可找出“坏球”，且知其是轻还是重．2．已知函数f (x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，a ＋b ＋c ＝0，f (0)>0，f (1)>0，证明a >0，并利用二分法证明方程f (x )＝0在区间[0,1]内有两个实根．证明 ∵f (1)>0.∴3a ＋2b ＋c >0，即3(a ＋b ＋c )－b －2c >0. ∵a ＋b ＋c ＝0，∴－b －2c >0. 则－b －c >c ，即a >c . ∵f (0)>0，∴c >0，则a >0. 在区间[0,1]内选取二等分点12，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝34a ＋b ＋c ＝34a ＋(－a )＝－14a <0.∵f (0)>0，f (1)>0，∴函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12和⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上各有一个零点．又f (x )最多有两个零点，从而f (x )＝0在[0,1]内有两个实根．。

2020学年新教材高中数学第三章函数3.2函数与方程、不等式之间的关系练习(含解析)新人教B版必修第一册

3.2 函数与方程、不等式之间的关系最新课程标准：运用函数性质求方程近似解的基本方法(二分法)，再结合实例，更深入地理解用函数构建数学模型的基本过程，学习运用模型思想发现和提出问题、分析和解决问题的方法.知识点一函数的零点1．零点的定义一般地，如果函数y＝f(x)在实数α处的函数值等于零，即f(α)＝0，则称α为函数y ＝f(x)的零点．2．方程的根与函数零点的关系状元随笔函数的零点不是一个点，而是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零．知识点二二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系函数零点存在定理如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图像是连续不断的，并且f (a )f (b )<0(即在区间两个端点处的函数值异号)，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )中至少有一个零点，即∃x 0∈[a ，b ]，f (x 0)＝0.状元随笔定理要求具备两条：①函数在区间[a ，b]上的图像是连续不断的一条曲线；②f(a)·f(b)＜0.[基础自测]1．函数y ＝3x －2的图像与x 轴的交点坐标及其零点分别是( ) A.23；23 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，0；23 C ．－23；－23 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0；－23 解析：令3x －2＝0，则x ＝23，∴函数y ＝3x －2的图像与x 轴的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，0，函数零点为23.答案：B2．函数f (x )＝3x －x 2的定义域为( ) A ．[0,3] B ．(0,3)C ．(－∞，0]∪[3，＋∞) D．(－∞，0)∪(3，＋∞)解析：要使函数f (x )＝3x －x 2有意义，则3x －x 2≥0，即x 2－3x ≤0，解得0≤x ≤3. 答案：A3．函数f (x )＝x 3－x 的零点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析：f (x )＝x (x －1)(x ＋1)，令x (x －1)(x ＋1)＝0，解得x ＝0，x ＝1，x ＝－1，即函数的零点为－1,0,1，共3个．答案：D4．若函数f (x )＝x 2－ax －b 的两个零点是2和3，则函数g (x )＝bx 2－ax －1的零点是________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧22－2a －b ＝0，32－3a －b ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－6∴g (x )＝－6x 2－5x －1的零点是－12，－13.答案：－12，－13题型一函数零点的概念及求法例1 (1)下列图像表示的函数中没有零点的是( )(2)不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为________．【解析】 (1)由图观察，A 中图像与x 轴没有交点，所以A 中函数没有零点． (2)由－x 2－3x ＋4>0得x 2＋3x －4<0，解得：－4<x <1，所以不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为(－4,1)．【答案】 (1)A (2)(－4,1)状元随笔 1.由函数图像判断函数是否有零点是看函数的图像与x 轴是否有交点． 2．求函数对应方程的根即为函数的零点．方法归纳函数零点的求法求函数y ＝f (x )的零点通常有两种方法：其一是令f (x )＝0，根据解方程f (x )＝0的根求得函数的零点；其二是画出函数y ＝f (x )的图像，图像与x 轴的交点的横坐标即为函数的零点．跟踪训练1 若函数f (x )＝x 2＋x －a 的一个零点是－3，求实数a 的值，并求函数f (x )其余的零点．解析：由题意知f (－3)＝0，即(－3)2－3－a ＝0，a ＝6.所以f (x )＝x 2＋x －6. 解方程x 2＋x －6＝0，得x ＝－3或2. 所以函数f (x )其余的零点是2.由函数f(x)的零点是－3，得f(－3)＝0，求a. 题型二确定函数零点的个数[教材P 111例6]例2 求证：函数f(x)＝x3－2x＋2至少有一个零点．【证明】因为f(0)＝2>0，f(－2)＝－8＋4＋2＝－2<0，所以f(－2)f(0)<0，因此∃x0∈[－2,0]，f(x0)＝0，即结论成立.教材反思判断函数零点个数的三种方法(1)方程法：若方程f(x)＝0的解可求或能判断解的个数，可通过方程的解来判断函数是否存在零点或判定零点的个数．(2)图像法：由f(x)＝g(x)－h(x)＝0，得g(x)＝h(x)，在同一坐标系内作出y1＝g(x)和y2＝h(x)的图像．根据两个图像交点的个数来判定函数零点的个数．(3)定理法：函数y＝f(x)的图像在区间[a，b]上是一条连续不断的曲线，由f(a)·f(b)＜0即可判断函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点．若函数y＝f(x)在区间(a，b)上是单调函数，则函数f(x)在区间(a，b)内只有一个零点．跟踪训练2 (1)函数f(x)＝x－x－2的零点个数为( )A．0 B．1C．2 D．3(2)判断函数f(x)＝x－3＋ln x的零点个数．解析：(1)令f(x)＝0得x－x－2＝0，设t＝x(t≥0)，则t2－t－2＝0，解得t＝2或t＝－1(舍)．故x＝2即x＝4，因此方程f(x)＝0有一个根4，所以函数f(x)有一个零点．(2)令f(x)＝x－3＋ln x＝0，则ln x＝－x＋3，在同一平面直角坐标系内画出函数y＝ln x与y＝－x＋3的图像，如图所示：由图可知函数y＝ln x，y＝－x＋3的图像只有一个交点，即函数f(x)＝x－3＋ln x只有一个零点．答案：(1)B (2)一个状元随笔思路一：解方程求零点，方程f(x)＝0的实数根的个数就是函数f(x)的零点的个数；思路二：画出函数图像，依据图像与x轴的交点的个数来判断函数的零点个数．题型三判断函数的零点所在的大致区间例3 设x 0是函数f (x )＝ln x ＋x －4的零点，则x 0所在的区间为( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4)【解析】因为f (2)＝ln 2＋2－4＝ln 2－2＜0，f (3)＝ln 3－1＞ln e －1＝0，f (2)·f (3)＜0.由零点存在性定理，得x 0所在的区间为(2,3)．【答案】 C状元随笔根据零点存在性定理，对照选项，只需验证区间端点函数值的符号，或可借助于图像分析．方法归纳判断函数零点所在区间的三个步骤(1)代入：将区间端点值代入函数求出函数的值． (2)判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断．(3)结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点．跟踪训练3 函数f (x )＝2x －1＋x －5的零点所在的区间为( )A.(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4) 解析：f (2)＝22－1＋2－5＜0，f (3)＝23－1＋3－5＞0，故f (2)·f (3)＜0，又f (x )在定义域内是增函数，则函数f (x )＝2x －1＋x －5只有一个零点，且零点所在的区间为(2,3)．答案：C利用f(a)·f(b)＜0求零点区间．题型四函数零点的应用[经典例题]例4 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ，其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________．【解析】作出f (x )的图像如图所示．当x >m 时，x 2－2mx ＋4m ＝(x －m )2＋4m －m 2， ∴要使方程f (x )＝b 有三个不同的根，则4m－m2<m，即m2－3m>0.又m>0，解得m>3.【答案】(3，＋∞)方法归纳已知函数零点情况求参数的步骤及方法(1)步骤：①判断函数的单调性；②利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式(组)；③解不等式(组)，即得参数的取值范围．(2)方法：常利用数形结合法．跟踪训练4 已知关于x的方程|x2－4x＋3|－a＝0有三个不相等的实数根，则实数a的值是________．解析：如图，由图像知直线y＝1与y＝|x2－4x＋3|的图像有三个交点，则方程|x2－4x＋3|＝1有三个不相等的实数根，因此a＝1.答案：1状元随笔求解这类问题可先将原式变形为f(x)＝g(x)，则方程f(x)＝g(x)的不同解的个数等于函数f(x)与g(x)图像交点的个数，分别画出两个函数的图像，利用数形结合的思想使问题得解．课时作业 19一、选择题1．下列函数不存在零点的是( )A ．y ＝x －1xB ．y ＝2x 2－x －1C ．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1 (x ≤0)，x －1 (x ＞0) D ．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1 (x ≥0)，x －1 (x ＜0)解析：令y ＝0，得A 中函数的零点为1，－1；B 中函数的零点为－12，1；C 中函数的零点为1，－1；只有D 中函数无零点．答案：D2．若函数f (x )＝ax ＋b 有一个零点是2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是( ) A ．0,2 B ．0，12C ．0，－12D ．2，－12解析：∵2a ＋b ＝0，∴g (x )＝－2ax 2－ax ＝－ax (2x ＋1)． ∴零点为0和－12.答案：C3．用二分法研究函数f (x )＝x 5＋8x 3－1的零点时，第一次经过计算得f (0)<0，f (0.5)>0，则其中一个零点所在的区间和第二次应计算的函数值分别为( )A ．(0,0.5)，f (0.125)B ．(0.5,1)，f (0.875)C ．(0.5,1)，f (0.75)D ．(0,0.5)，f (0.25) 解析：∵f (x )＝x 5＋8x 3－1，f (0)<0，f (0.5)>0， ∴f (0)·f (0.5)<0，∴其中一个零点所在的区间为(0,0.5)，第二次应计算的函数值应为f (0.25)，故选D. 答案：D4．已知函数f (x )＝|x |＋1，g (x )＝k (x ＋2)．若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C ．(1,2) D ．(2，＋∞)解析：作出f (x )，g (x )图像，如图．因为A (0,1)，B (－2,0)，k AB ＝1－00－(－2)＝12，要使方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则函数f (x )与g (x )的图像有两个不同的交点，由图可知，12＜k ＜1.答案：B 二、填空题5．函数f (x )＝x 2－3x －18在区间[1,8]上________(填“存在”或“不存在”)零点．解析：方法一 ∵f (1)＝12－3×1－18＝－20＜0，f (8)＝82－3×8－18＝22＞0，∴f (1)·f (8)＜0，又 f (x )＝x 2－3x －18在区间[1,8]上的图像是连续的，故f (x )＝x 2－3x －18在区间[1,8]上存在零点．方法二令f (x )＝0，得x 2－3x －18＝0， ∴(x －6)(x ＋3)＝0.∵x ＝6∈[1,8]，x ＝－3∉[1,8]，∴f (x )＝x 2－3x －18在区间[1,8]上存在零点．答案：存在6．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1 x >0x 2－x －2 x ≤0的零点为________．解析：f (x )＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x >0x －1＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0x 2－x －2＝0，∴x ＝1，x ＝－1，x ＝2(舍) 答案：1，－17．已知函数f (x )＝x 2＋x ＋a (a ＜0)在区间(0,1)上有零点，则a 的取值范围为________．解析：由题意函数f (x )＝x 2＋x ＋a 在区间(0,1)上单调递增，函数f (x )在(0,1)上有零点，可得：f (1)·f (0)＜0.∴a (2＋a )＜0.∴－2＜a ＜0. 答案：(－2,0) 三、解答题8．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出． (1)f (x )＝x ＋3x； (2)f (x )＝x 2＋2x ＋4. 解析：(1)令x ＋3x＝0，解得x ＝－3，所以函数f (x )＝x ＋3x的零点是－3. (2)令x 2＋2x ＋4＝0，由于Δ＝22－4×4＝－12＜0，所以方程x 2＋2x ＋4＝0无解，所以函数f (x )＝x 2＋2x ＋4不存在零点.9．已知函数f (x )＝x 2＋3(m ＋1)x ＋n 的零点是1和2，求函数y ＝nx 2＋mx ＋3的零点个数．解析：由题可知，f (x )＝x 2＋3(m ＋1)x ＋n 的两个零点为1和2. 则1和2是方程x 2＋3(m ＋1)x ＋n ＝0的两根．可得⎩⎪⎨⎪⎧1＋2＝－3(m ＋1)，1×2＝n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2，n ＝2.∴y ＝2x 2－2x ＋3∵Δ＝4－4×2×3＝－20<0 ∴无零点．[尖子生题库]10．已知二次函数f (x )＝x 2－2ax ＋4，在下列条件下，求实数a 的取值范围．(1)零点均大于1；(2)一个零点大于1，一个零点小于1；(3)一个零点在(0,1)内，另一个零点在(6,8)内．解析：(1)因为方程x 2－2ax ＋4＝0的两根均大于1，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得⎩⎪⎨⎪⎧(－2a )2－16≥0，f (1)＝5－2a ＞0，a ＞1，解得2≤a ＜52.即a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，52. (2)因为方程x 2－2ax ＋4＝0的一个根大于1，一个根小于1，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得f (1)＝5－2a ＜0，解得a ＞52.即a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞. (3)因为方程x 2－2ax ＋4＝0的一个根在(0,1)内，另一个根在(6,8)内，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝4＞0，f (1)＝5－2a ＜0，f (6)＝40－12a ＜0，f (8)＝68－16a ＞0，解得 103＜a ＜174.即a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫103，174.。

(新教材)【人教B版】20版必修一第三章函数 3.2.2零点的存在性及其近似值的求法

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课时素养评价二十七零点的存在性及其近似值的求法(25分钟·50分)一、选择题(每小题4分，共16分)1.函数f(x)=(x2-1)(x+1)的零点个数是( )A.0B.1C.2D.3【解析】选C.函数f(x)=(x2-1)(x+1)的零点即为(x2-1)(x+1)=0的根，显然方程的根有-1，1，因此函数f(x)有两个零点.2.若函数f(x)在区间(0，2)内有零点，则( )A.f(0)>0，f(2)<0B.f(0)·f(2)<0C.在区间(0，2)内，存在x1，x2使f(x1)·f(x2)<0D.以上说法都不正确【解析】选D.函数y=f(x)在区间(a，b)内存在零点，我们并不一定能找到x1，x2∈(a，b)，满足f(x1)·f(x2)<0，故A，B，C都是错误的.3.已知f(x)的一个零点x0∈(2，3)，用二分法求精度为0.01的x0的近似值时，判断各区间中点的函数值的符号最多需要的次数为 ( )A.6B.7C.8D.9【解析】选A.函数f(x)的零点所在区间的长度是1，用二分法经过6次分割后区间的长度变为<0.02.4.若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：f(1)=-2 f(1.5)=0.625 f(1.25)=-0.984 f(1.375)=-0.260 f(1.437 5)=0.162那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似根(精度为0.05)可以是( )A.1.375B.1.25C.1.437 5D.1.406 25【解析】选D.由表格可得，函数f(x)=x3+x2-2x-2的零点在(1.375，1.437 5)之间；结合选项可知，方程x3+x2-2x-2=0的一个近似根(精度为0.05)可以是1.40625.二、填空题(每小题4分，共8分)5.函数f(x)=x2-2x+a有两个不同零点，则实数a的取值范围是________. 【解析】由题意可知，方程x2-2x+a=0有两个不同的解，故Δ=4-4a>0，即a<1. 答案：(-∞，1)6.求方程x3-3x-1=0在区间(1，2)内的实根，用“二分法”确定的下一个有根的区间是________.【解析】设函数f(x)=x3-3x-1，则因为f(1)=-3<0，f(2)=1>0，f(1.5)=-<0，所以下一个有根区间是(1.5，2). 答案：(1.5，2)三、解答题(共26分)7.(12分)已知函数f(x)=x2-x-2a.(1)若a=1，求函数f(x)的零点.(2)若f(x)有零点，求实数a的取值范围.【解析】(1)当a=1时，f(x)=x2-x-2.令f(x)=x2-x-2=0得x=-1或x=2.即函数f(x)的零点为-1与2.(2)要使f(x)有零点，则Δ=1+8a≥0，解得a≥-.所以a的取值范围是a≥-.8.(14分)已知函数f(x)=2x3-x2-3x+1.(1)求证：f(x)在区间(1，2)上存在零点.(2)若f(x)的一个正数零点附近的函数近似值如表格所示，请用二分法计算f(x)=0的一个近似解(精度0.1).f(1)=-1 f(1.5)=1f(1.25)=-0.406 25f(1.375) =0.183 59 f(1.312 5)=-0.138 18f(1.343 75)=0.015 81【解析】(1)因为f(x)=2x3-x2-3x+1，所以f(1)=-1<0，f(2)=7>0，所以f(1)·f(2)=-7<0，因此∃x0∈(1，2)，f(x0)=0，且f(x)=2x3-x2-3x+1在(1，2)内连续，所以f(x)在区间(1，2)上存在零点.(2)由(1)知，f(x)=2x3-x2-3x+1在(1，2)内存在零点，由表知，f(1)=-1，f(1.5)=1，所以f(1)·f(1.5)<0，所以f(x)的零点在(1，1.5)上，因为f(1.25)=-0.406 25，所以f(1.25)·f(1.5)<0，所以f(x)的零点在(1.25，1.5)上，因为f(1.375)=0.183 59，所以f(1.25)·f(1.375)<0，所以f(x)的零点在(1.25，1.375)上，因为1.375-1.25=0.125<0.2，故f(x)=0的一个近似解为=1.3125.(15分钟·30分)1.(4分)(多选题)若函数y=f(x)在区间[a，b]上的图像为连续不断的一条曲线，则下列说法错误的是( )A.若f(a)·f(b)>0，不存在实数c∈(a，b)，使得f(c)=0B.若f(a)·f(b)<0，存在且只存在一个实数c∈(a，b)，使得f(c)=0C.若f(a)·f(b)>0，有可能存在实数c∈(a，b)，使得f(c)=0D.若f(a)·f(b)<0，有可能不存在实数c∈(a，b)，使得f(c)=0【解析】选A，B，D.根据函数零点存在定理可判断，若f(a)·f(b)<0，则∃c∈(a，b)，f(c)=0，但c的个数不确定，故B、D错.若f(a)·f(b)>0，有可能∃c∈(a，b)，f(c)=0，如f(x)=x2-1，f(-2)·f(2)>0，但f(x)=x2-1在(-2，2)内有两个零点，故A错，C正确.2.(4分)“a=-1”是“函数f(x)=ax2+2x-1只有一个零点”的 ( )A.充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.非充分必要条件【解析】选B.a=-1⇒a=-1或a=0⇔f(x)=ax2+2x-1只有一个零点.3.(4分)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，-2是它的一个零点，且在(0，+∞)上是增函数，则该函数有________个零点，这几个零点的和等于________. 【解析】因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)=0，又因为f(x)在(0，+∞)上是增函数，由奇函数的对称性可知，f(x)在(-∞，0)上也单调递增，由f(2)=-f(-2)=0.因此在(0，+∞)，(-∞，0)上都只有一个零点，综上，f(x)在R上共有3个零点，其和为-2+0+2=0.答案：3 04.(4分)一块电路板的线路AB之间有64个串联的焊接点(如图所示)，如果线路不通的原因是由于焊口脱落所致，要想检验出哪一处的焊口脱落，则至多需要检测________次.【解析】第1次取中点把焊接点数减半为=32(个)，第2次取中点把焊接点数减半为=16(个)，第3次取中点把焊接点数减半为=8(个)，第4次取中点把焊接点数减半为=4(个)，第5次取中点把焊接点数减半为=2(个)，第6次取中点把焊接点数减半为=1(个)，所以至多需要检测的次数是6. 答案：6【加练·固】函数f(x)=x2+ax+b有零点，但不能用二分法求出，则a，b的关系是________，函数的零点是________.(用a表示)【解析】因为函数f(x)=x2+ax+b有零点，但不能用二分法，所以函数f(x)=x2+ax+b的图像与x轴相切，所以Δ=a2-4b=0，所以a2=4b；则令f(x)=x2+ax+=0，解得x=-.答案：a2=4b -5.(14分)已知函数f(x)=x2-2x-3，x∈[-1，4].(1)画出函数y=f(x)的图像，并写出其值域.(2)当m为何值时，函数g(x)=f(x)+m在[-1，4]上有两个零点？【解析】(1)依题意：f(x)=(x-1)2-4，x∈[-1，4]，其图像如图所示.由图可知，函数f(x)的值域为[-4，5].(2)因为函数g(x)=f(x)+m在[-1，4]上有两个零点.所以方程f(x)=-m在x∈[-1，4]上有两个相异的实数根，即函数y=f(x)与y=-m的图像有两个交点.由(1)所作图像可知-4<-m≤0，所以0≤m<4.所以当0≤m<4时，函数y=f(x)与y=-m的图像有两个交点，故当0≤m<4时函数g(x)=f(x)+m在[-1，4]上有两个零点.1.已知函数f(x)是奇函数，且满足f(2-x)=f(x)(x∈R)，当0<x≤1时，f(x)=-，则函数f(x)在(-2，2]上零点的个数是()A.5B.6C.7D.8【解析】选B.方法一：由-=0，解得x=，所以f=0.因为f(2-x)=f(x)，所以f=f=f=0.因为f(x)是奇函数，所以f=-f=0，f=-f=0，f(0)=0，f(2)=f(0)=0，所以f(x)在(-2，2]上的零点为-，-，0，，，2，共6个.方法二：依题意，作出函数f(x)的图像，如图所示.由图像可知，f(x)的图像在(-2，2]内与x轴的交点有6个.所以f(x)在(-2，2]上的零点有6个.2.已知y=f(x)是定义域为R的奇函数，当x∈[0，+∞)时，f(x)=x2-2x.(1)写出函数y=f(x)的解析式.(2)若方程f(x)=a恰有3个不同的解，求a的取值范围.【解析】(1)当x∈(-∞，0)时，-x∈(0，+∞)，因为y=f(x)是奇函数，所以f(x)=-f(-x)=-[(-x)2-2(-x)]=-x2-2x，所以f(x)=(2)当x∈[0，+∞)时，f(x)=x2-2x=(x-1)2-1，最小值为-1；所以当x∈(-∞，0)时，f(x)=-x2-2x=1-(x+1)2，最大值为1.所以据此可作出函数y=f(x)的图像，如图所示，根据图像得，若方程f(x)=a恰有3个不同的解，则a的取值范围是(-1，1).关闭Word文档返回原板块。

【三维设计】高中数学教师用书第1部分第二章 2.4.1 函数的零点课件新人教版B版必修1

(2)函数 f(x)＝x－1x，令 f(x)＝0，得 x－1x＝0，即 x2－1＝0，解得 x＝±1，所以函数 f(x)＝x－1x有两个零点．
(3)法一：当 x≥0 时，令 f(x)＝0，得 x＋1＝0，解得 x＝－1，与 x≥0 矛盾；当 x<0 时，令 f(x)＝0，得 x－1＝0，解得 x＝1，与 x<0 矛盾．所以函数 f(x)＝xx＋－11，，xx≥<00，没有零点．
[思路点拨] 根据二次方程根的分布画出相应的函数图象，数形结合建立关于a的不等式组．
[精解详析] 令 f(x)＝ax2－2(a＋1)x＋a－1，依题意知，函数 f(x)有两个零点，且一个零点大于 2，一个零点小于 2.
∴f(x)的大致图象如图所示：
(4 分)
则 a 应满足af＞20＜，0，或af＜2＞0，0，
第 2. 2.4.
二4
1
章
函数
函数
与
的
函方
零
数程
点
理解教材新知把握热点考向应用创新演练
考点一考点二考点三
给定一元二次函数y＝x2＋2x－3，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ图象如下：
问题1：方程x2＋2x－3＝0的根是什么？提示：方程的根为－3,1.
问题2：函数的图象与x轴的交点是什么？提示：交点为(－3,0)，(1,0)．问题3：方程的根与交点的横坐标有什么关系？提示：相等．问题4：通过图象观察，在每一个交点附近，两侧函数值符号有什么特点？提示：在每一交点两侧函数值符号异号．
法二：∵f(0)＝c，∴ac＝af(0)<0，
∴af>00<，0，
或a<0， f0>0.
可知无论哪种情况，抛物线 y＝ax2＋bx＋c 与 x 轴都有

人教B版高中同步学案数学必修第一册精品课件第三章函数第2课时零点的存在性及其近似值的求法

函数零点的存在性定理可知,它在区间[-2,-1]内有零点,用二分法逐步计算,
列表如下:
端点(中点)
—
-1-2
x0=
=-1.5
2
-1.5-2
x1=
=-1.75
2
-1.75-2
x2=
=-1.875
2
-1.875-2
x3=
2
=-1.937 5
端点或中点的函数值
取值区间
f(-1)>0,f(-2)<0
(-2,-1)
课程标准
1.理解函数零点存在定理,会判断零点所在区间.
2.了解二分法求函数的近似零点.
目录索引
基础落实·必备知识全过关
重难探究·能力素养全提升
成果验收·课堂达标检测
基础落实·必备知识全过关
知识点1
零点存在定理及零点分类
1.函数零点存在定理:
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的 ,并且 f(a)f(b)<0 (即
点可取为-1.937 5.
规律方法 1.二分法求函数零点近似值的一般步骤
2.二分法应用时的注意事项
(1)要选好计算的初始区间,这个区间既要包含函数的零点,又要使其长度
尽量小.
(2)在求解过程中,可借助表格或数轴清楚地描写逐步缩小零点所在区间的
长度.
(3)根据给定的精确度,及时检验所取区间长度是否达到要求,以及时终止
f(x0)=4.375>0
(-2,-1.5)
f(x1)≈2.203>0
(-2,-1.75)
f(x2)≈0.736>0
(-2,-1.875)
f(x3)≈-0.097 4<0

新教材人教b版必修第一册32第一课时函数的零点三个“二次”间的关系课件

当 a>0 时，一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的实数根、一元二次不等式 ax2＋bx＋ c>0(<0)的解集、二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图像与二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的零点之间的关系如下表所示：
Δ＝b2－4ac
ax2＋bx＋c＝0 的实数根
Δ>0 x1，2＝－b± 2ba2－4ac(其
[跟踪训练] 设二次函数 f(x)＝x2＋ax＋a，方程 f(x)－x＝0 的两根 x1 和 x2 满足 0＜x1＜x2＜1，求实数 a 的取值范围．解：令 g(x)＝f(x)－x＝x2＋(a－1)x＋a，
Δ＞0，则由题意可得0＜1－2 a＜1，解得 0＜a＜3－2 2.
g（1）＞0， g（0）＞0，故实数 a 的取值范围是(0，3－2 2)．
图像与 x 轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，画出图像如图所示：
f（－1）＝2＞0，
m＜－12，
由图像得ff（（01））＝＝24mm＋＋12＜＜00，，即m＜－12，
f（2）＝6m＋5＞0， m＞－56，
即 m 的取值范围是－56，－12.
解一元二次方程根的分布问题一般从四个方面考虑： (1)抛物线开口方向； (2)一元二次方程根的判别式； (3)对应区间端点函数值的符号； (4)抛物线的对称轴与区间端点的位置关系．
二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系
[例 2] (链接教科书第 114 页例 4)分别画出下列函数的图像，并指出函数值 y＞0，y＝0，y＜0 时自变量 x 的取值．
(1)y＝x2＋x－2； (2)y＝x2＋6x＋9； (3)y＝2x2－4x＋4.
[解] (1)作出函数的图像，如图①所示，由图可知：当 y＞0 时，x＜－2 或 x＞1；当 y＝0 时，x＝－2 或 x＝1；当 y＜0 时，－2＜x＜1.

高中数学第三章函数3.第课时零点的存在性及其近似值的求法学案含解析B版第一册

第2课时零点的存在性及其近似值的求法内容标准学科素养1.理解函数零点存在定理．直观想象数学运算2。

会用二分法求函数变号零点的近似值，并能对二分法的过程作出程式化的步骤。

授课提示:对应学生用书第55页[教材提炼］知识点一函数零点存在定理如果函数y ＝f （x )在区间[a ，b ]上的图像是连续不断的，并且有f (a )f (b )<0（即在区间两个端点处的函数值异号)，则函数y ＝f （x )在区间［a ，b ]中至少有一个零点，即∃x 0∈［a ，b ]，f (x 0)＝0。

知识点二二分法1．定义对于在区间［a ，b ］上连续不断且f （a )f (b ）〈0的函数y ＝f （x ），通过不断地把函数f (x )的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到函数零点的方法叫做二分法．2．求函数零点的一般步骤已知函数y＝f（x）定义在区间[a,b]上的图像连续不断,且f(a)f(b)〈0，给定近似的精度ε，用二分法求零点x0的近似值x1，使得｜x1－x0｜＜ε的一般步骤见教材．［自主检测]1．下列图像与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是(）答案：A2．用二分法求函数f(x)＝log2x－32的零点时,初始区间可选为()A．(0,1）B．(1,2) C．（2，3) D．(3,4)答案:C3．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间(2，3）内的实根，取区间中点为x0＝2.5，那么下一个有根的区间是________．答案:（2，2.5)4．用二分法求函数y＝f（x）在区间(2，4)上的近似解，验证f(2)·f（4)<0，给定精确度ε＝0.01，取区间(a，b)的中点x1＝错误!＝3，计算得f(2）·f（x1）〈0，则此时零点x0∈________(填区间)．答案：(2，3）授课提示：对应学生用书第56页探究一用二分法求函数的零点近似值［例1］求函数f(x）＝x3＋x2－2x－2的一个正数的零点．(误差不超过0。