北师大版2019版同步优化探究理数练习第八章 第五节 椭 圆 Word版含解析
2019版同步优化探究理数(北师大版)练习：第八章 第六节 抛物线解析
课时作业 A 组——基础对点练1、(2017·沈阳质量监测)抛物线y ＝4ax 2(a ≠0)的焦点坐标是( ) A 、(0,a ) B 、(a,0) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116a D.⎝ ⎛⎭⎪⎫116，0 解析：将y ＝4ax 2(a ≠0)化为标准方程得x 2＝14a y (a ≠0),所以焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116a ,所以选C.答案：C2、(2017·辽宁五校联考)已知AB 是抛物线y 2＝2x 的一条焦点弦,|AB |＝4,则AB 中点C 的横坐标是( ) A 、2 B.12 C.32D.52解析：设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4,又p ＝1,所以x 1＋x 2＝3,所以点C 的横坐标是x 1＋x 22＝32. 答案：C3、(2017·邯郸质检)设F 为抛物线y 2＝2x 的焦点,A 、B 、C 为抛物线上三点,若F 为△ABC 的重心,则|F A →|＋|FB →|＋|FC →|的值为( ) A 、1 B 、2 C 、3D 、4解析：依题意,设点A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)、C (x 3,y 3),又焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0,x 1＋x 2＋x 3＝3×12＝32,则|F A →|＋|FB →|＋|FC →|＝(x 1＋12)＋(x 2＋12)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋12＝(x 1＋x 2＋x 3)＋32＝32＋32＝3.选C.答案：C4、已知直线l ：y ＝kx －k 与抛物线C ：y 2＝4x 及其准线分别交于M ,N 两点,F 为抛物线的焦点,若2FM →＝MN →,则实数k 等于( ) A 、±33 B 、±1 C 、±3D 、±2解析：抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F (1,0),直线l ：y ＝kx －k 过抛物线的焦点,如图、过M 作MM ′⊥准线x ＝－1,垂足为M ′,由抛物线的定义,得|MM ′|＝|MF |,易知∠M ′MN 与直线l 的倾斜角相等,由2FM →＝MN →,得cos ∠M ′MN ＝|MM ′||MN |＝12,则tan ∠M ′MN ＝±3,∴直线l 的斜率k ＝±3,故选C. 答案：C5、已知P 为抛物线y 2＝4x 上一个动点,Q 为圆x 2＋(y －4)2＝1上一个动点,那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和的最小值是( ) A 、25－1 B 、25－2 C.17－1D.17－2解析：由题意得圆x 2＋(y －4)2＝1的圆心A (0,4),半径r ＝1,抛物线的焦点F (1,0)、由抛物线的几何性质可得：点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和的最小值是|AF |－r ＝1＋16－1＝17－1.选C. 答案：C6、(2017·沈阳质量监测)已知抛物线x 2＝4y 的焦点为F ,准线为l ,P 为抛物线上一点,过P 作P A ⊥l 于点A ,当∠AFO ＝30°(O 为坐标原点)时,|PF |＝ .解析：设l 与y 轴的交点为B ,在Rt △ABF 中,∠AFB ＝30°,|BF |＝2,所以|AB |＝233,设P (x 0,y 0),则x 0＝±233,代入x 2＝4y 中,得y 0＝13,从而|PF |＝|P A |＝y 0＋1＝43. 答案：437、(2017·云南检测)已知抛物线C 的方程为y 2＝2px (p ＞0),⊙M 的方程为x 2＋y 2＋8x ＋12＝0,如果抛物线C 的准线与⊙M 相切,那么p 的值为 、解析：将⊙M 的方程化为标准方程：(x ＋4)2＋y 2＝4,圆心坐标为(－4,0),半径r ＝2,又抛物线的准线方程为x ＝－p 2,∴|4－p2|＝2,解得p ＝12或4. 答案：12或48.如图,过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线l 依次交抛物线及其准线于点A ,B ,C ,若|BC |＝2|BF |,且|AF |＝3,则抛物线的方程是 、解析：分别过点A 、B 作准线的垂线AE 、BD ,分别交准线于点E 、D (图略),则|BF |＝|BD |,∵|BC |＝2|BF |,∴|BC |＝2|BD |,∴∠BCD ＝30°,又|AE |＝|AF |＝3,∴|AC |＝6,即点F 是AC 的中点,根据题意得p ＝32,∴抛物线的方程是y 2＝3x . 答案：y 2＝3x9、已知抛物线y 2＝4px (p ＞0)的焦点为F ,圆W ：(x ＋p )2＋y 2＝p 2的圆心到过点F 的直线l 的距离为p .(1)求直线l 的斜率；(2)若直线l 与抛物线交于A 、B 两点,△WAB 的面积为8,求抛物线的方程、解析：(1)易知抛物线y 2＝4px (p ＞0)的焦点为F (p,0),依题意直线l 的斜率存在且不为0,设直线l 的方程为x ＝my ＋p ,因为W (－p,0), 所以点W 到直线l 的距离为|－p －p |1＋(－m )2＝p ,解得m ＝±3,所以直线l 的斜率为±33. (2)由(1)知直线l 的方程为x ＝±3y ＋p ,由于两条直线关于x 轴对称,不妨取x ＝3y ＋p , 联立⎩⎨⎧x ＝3y ＋p ，y 2＝4px ，消去x 得y 2－43py －4p 2＝0,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则y 1＋y 2＝43p ,y 1y 2＝－4p 2, 所以|AB |＝1＋(3)2·(43p )2＋4×4p 2＝16p , 因为△WAB 的面积为8,所以12p ×16p ＝8,得p ＝1, 所以抛物线的方程为y 2＝4x .10、(2017·合肥质检)已知抛物线C 1：x 2＝2py (p ＞0),O 是坐标原点,点A ,B 为抛物线C 1上异于O 点的两点,以OA 为直径的圆C 2过点B . (1)若A (－2,1),求p 的值以及圆C 2的方程； (2)求圆C 2的面积S 的最小值(用p 表示)、解析：(1)∵A (－2,1)在抛物线C 1上,∴4＝2p ,p ＝2.又圆C 2的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12,半径为|OA |2＝52,∴圆C 2的方程为(x ＋1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝54.(2)记A (x 1,x 212p ),B (x 2,x 222p )、则OB →＝(x 2,x 222p ),AB →＝(x 2－x 1,x 22－x 212p )、 由OB →·AB →＝0知,x 2(x 2－x 1)＋x 22(x 22－x 21)4p 2＝0.∵x 2≠0,且x 1≠x 2,∴x 22＋x 1·x 2＝－4p 2,∴x 1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋4p 2x 2. ∴x 21＝x 22＋16p 4x 22＋8p 2≥216p 4＋8p 2＝16p 2,当且仅当x 22＝16p 4x 22,即x 22＝4p 2时取等号、又|OA |2＝x 21＋x 414p 2＝14p2(x 41＋4p 2·x 21),注意到x 21≥16p 2, ∴|OA |2≥14p 2(162·p 4＋4p 2·16p 2)＝80p 2.而S ＝π·|OA |24,∴S ≥20πp 2,即S 的最小值为20πp 2,当且仅当x 22＝4p 2时取得、B 组——能力提升练1、已知抛物线C ：y 2＝mx (m >0)的焦点为F ,点A (0,－3)、若射线F A 与抛物线C 相交于点M ,与其准线相交于点D ,且|FM |∶|MD |＝1∶2,则点M 的纵坐标为( ) A 、－13 B 、－33 C 、－23D 、－233解析：依题意,F 点的坐标为(m4,0),设点M 在准线上的射影为K ,由抛物线的定义知|MF |＝|MK |,因为|FM |∶|MD |＝1∶2,所以|KD |∶|KM |＝3∶1,k FD ＝3,k FD ＝0＋3m 4－0＝43m ,所以43m ＝3,解得m ＝4,所以直线FM 的方程为y ＝3(x －1),与y 2＝4x 联立,解得x ＝3(舍去)或x ＝13,所以y 2＝43,y ＝－233或y ＝233(舍去),故点M 的坐标为(13,－233),故选D. 答案：D2、(2018·石家庄质检)已知圆C 1：x 2＋(y －2)2＝4,抛物线C 2：y 2＝2px (p >0),C 1与C 2相交于A ,B 两点,且|AB |＝855,则抛物线C 2的方程为( ) A 、y 2＝85x B 、y 2＝165x C 、y 2＝325xD 、y 2＝645x解析：由题意,知直线AB 必过原点,则设AB 的方程为y ＝kx (k >0),圆心C 1(0,2)到直线AB 的距离d ＝2k 2＋1＝22－(455)2＝255,解得k ＝2(k ＝－2舍去)、由⎩⎨⎧y ＝2x x 2＋(y －2)2＝4,可取A (0,0),B (85,165),把(85,165)代入抛物线方程,得(165)2＝2p ·85,解得p ＝165,所以抛物线C 2的方程为y 2＝325x ,故选C. 答案：C3、已知点P 在抛物线y 2＝x 上,点Q 在圆(x ＋12)2＋(y －4)2＝1上,则|PQ |的最小值为( ) A.352－1 B.332－1 C 、23－1D.10－1解析：设点P (y 2,y )(y ∈R),圆(x ＋12)2＋(y －4)2＝1的圆心为A (－12,4),则|P A |2＝(y 2＋12)2＋(y －4)2＝y 4＋2y 2－8y ＋654,令t ＝y 4＋2y 2－8y ＋654,则t ′＝4y 3＋4y －8,令m ＝t ′＝4y 3＋4y －8,则m ′＝12y 2＋4>0,所以m ＝t ′＝4y 3＋4y －8在R 上是增函数,因为t ′|y ＝1＝0,所以y ＝1为t ＝y 4＋2y 2－8y ＋654的极小值点也是最小值点,所以|P A |2＝t 的最小值为454,所以|P A |的最小值为352,所以|PQ |的最小值为352－1,故选A. 答案：A4、(2018·山西八校联考)已知抛物线y 2＝4x 的准线与x 轴相交于点P ,过点P 且斜率为k (k >0)的直线l 与抛物线交于A ,B 两点,F 为抛物线的焦点,若|FB |＝2|F A |,则AB 的长度为 、 解析：依题意知P (－1,0),F (1,0),设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由|FB |＝2|F A |,得x 2＋1＝2(x 1＋1),即x 2＝2x 1＋1 ①,∵P (－1,0),则AB 的方程为y ＝kx ＋k ,与y 2＝4x 联立,得k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2＝0,则Δ＝(2k 2－4)2－4k 4>0,即k 2<1,x 1x 2＝1 ②,由①②得x 1＝12,则A (12,2), ∴k ＝2－012－(－1)＝223.∴x 1＋x 2＝52,|AB |＝(1＋89)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝172.答案：1725、(2018·昆明市检测)设F 为抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点,曲线y ＝kx (k >0)与C 交于点A ,直线F A 恰与曲线y ＝k x (k >0)相切于点A ,F A 交C 的准线于点B ,则|F A ||BA |等于 、解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝kx，解得⎩⎨⎧x ＝k32pk ，y ＝32pk .由y ＝k x ,得y ′＝－k x 2,所以k F A ＝32pkk32pk －p 2＝－k k 234p 2k 2,化简得k ＝p 242,所以x ＝k 32pk＝p 4,|F A ||AB |＝|x F －x A ||x A －x B |＝p 2－p 4p 4－(－p 2)＝13.答案：136、(2017·唐山统考)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0),过点C (－2,0)的直线l 交抛物线于A 、B 两点,坐标原点为O ,OA →·OB →＝12. (1)求抛物线的方程；(2)当以AB 为直径的圆与y 轴相切时,求直线l 的方程、 解析：(1)设l ：x ＝my －2,代入y 2＝2px , 得y 2－2pmy ＋4p ＝0.(*) 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则y 1＋y 2＝2pm ,y 1y 2＝4p ,则x 1x 2＝y 21y 224p 2＝4.因为OA →·OB →＝12,所以x 1x 2＋y 1y 2＝12,即4＋4p ＝12, 得p ＝2,抛物线的方程为y 2＝4x . (2)(1)中(*)式可化为y 2－4my ＋8＝0, y 1＋y 2＝4m ,y 1y 2＝8. 设AB 的中点为M ,则|AB |＝2x M ＝x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－4＝4m 2－4,① 又|AB |＝1＋m 2|y 1－y 2|22由①②得(1＋m 2)(16m 2－32)＝(4m 2－4)2, 解得m 2＝3,m ＝±3.所以,直线l 的方程为x ＋3y ＋2＝0或x －3y ＋2＝0. 7.如图,由部分抛物线：y 2＝mx ＋1(m ＞0,x ≥0)和半圆x 2＋y 2＝r 2(x ≤0)所组成和⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32. 的曲线称为“黄金抛物线C ”,若“黄金抛物线C ”经过点(3,2)(1)求“黄金抛物线C ”的方程；(2)设P (0,1)和Q (0,－1),过点P 作直线l 与“黄金抛物线C ”相交于A ,P ,B 三点,问是否存在这样的直线l ,使得QP 平分∠AQB ？若存在,求出直线l 的方程；若不存在,说明理由、 解析：(1)∵“黄金抛物线C ”过点(3,2)和⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32,∴r 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝1,4＝3m ＋1,∴m ＝1.∴“黄金抛物线C ”的方程为y 2＝x ＋1(x ≥0)和x 2＋y 2＝1(x ≤0)、(2)假设存在这样的直线l ,使得QP 平分∠AQB ,显然直线l 的斜率存在且不为0, 设直线l ：y ＝kx ＋1,联立⎩⎨⎧y ＝kx ＋1y 2＝x ＋1,消去y ,得k 2x 2＋(2k －1)x ＝0,∴x B ＝1－2kk 2,y B ＝1－k k ,即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2k k 2，1－k k ,∴k BQ ＝k 1－2k , 联立⎩⎨⎧y ＝kx ＋1x 2＋y 2＝1,消去y ,得(k 2＋1)x 2＋2kx ＝0,∴x A ＝－2kk 2＋1,y A ＝1－k 2k 2＋1,即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k k 2＋1，1－k 2k 2＋1,∴k AQ ＝－1k , ∵QP 平分∠AQB ,∴k AQ ＋k BQ ＝0, ∴k 1－2k－1k ＝0,解得k ＝－1±2, 由图形可得k ＝－1－2应舍去,∴k ＝2－1, ∴存在直线l ：y ＝(2－1)x ＋1, 使得QP 平分∠AQB .。
2019高三数学文北师大版一轮教师用书第8章 第5节 椭 圆 Word版含解析
第五节椭圆[考纲传真].了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质(范围、对称性、顶点、离心率).理解数形结合思想.了解椭圆的简单应用．(对应学生用书第页)[基础知识填充]．椭圆的定义()平面内与两个定点，的距离的和等于常数(大于)的点的集合叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．()集合＝{＋＝}，＝，其中，为常数且>，>.①若＞，则集合为椭圆；②若＝，则集合为线段；③若＜，则集合为空集．．椭圆的标准方程和几何性质[．点(，)和椭圆的关系()点(，)在椭圆内⇔＋＜.()点(，)在椭圆上⇔＋＝.()点(，)在椭圆外⇔＋＞.．焦点三角形椭圆＋＝(＞＞)上一点(，)与两焦点构成的焦点三角形中，若∠＝θ，则△＝·θ＝θ＋θ)·＝．过焦点垂直于长轴的弦长椭圆过焦点垂直于长轴的半弦长为.[基本能力自测]．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)()平面内与两个定点，的距离之和等于常数的点的集合是椭圆．( )()椭圆上一点与两焦点，构成△的周长为＋(其中为椭圆的长半轴长，为椭圆的半焦距)．( )()椭圆的离心率越大，椭圆就越圆．( )()椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．( )[答案]()×()√()×()√．(教材改编)已知中心在原点的椭圆的右焦点为()，离心率等于，则的方程是( ) ．＋＝．＋＝．＋＝．＋＝[椭圆的焦点在轴上，＝.又离心率为＝，故＝，＝－＝－＝，故椭圆的方程为＋＝.]．(·广东高考)已知椭圆＋＝(>)的左焦点为(－)，则＝( ) ．．．．[由左焦点为(－)知＝.又＝，∴－＝，解得＝或－.又>，故＝.]．(·全国卷Ⅰ)直线经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到的距离为其短轴长。
高考数学一轮复习第八章第五节椭圆课时作业理含解析北师大版
第五节 椭圆授课提示：对应学生用书第361页〖A 组 基础保分练〗1．设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，|OM |＝3，则P 点到椭圆左焦点的距离为（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．5〖解 析〗连接PF 2（图略），由题意知，a ＝5，在△PF 1F 2中，|OM |＝12|PF 2|＝3，∴|PF 2|＝6，∴|PF 1|＝2a －|PF 2|＝10－6＝4． 〖答 案〗A2．过点A （3，－2）且与椭圆x 29＋y 24＝1有相同焦点的椭圆方程为（ ）A ．x 215＋y 210＝1B ．x 225＋y 220＝1C ．x 210＋y 215＝1D ．x 220＋y 215＝1〖解 析〗法一：设所求椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0），则a 2－b 2＝c 2＝5，且9a 2＋4b2＝1，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝5，9a 2＋4b 2＝1，得a 2＝15，b 2＝10，故所求椭圆方程为x 215＋y 210＝1．法二：椭圆x 29＋y 24＝1的焦点坐标为（±5，0），设所求椭圆方程为x 2λ＋5＋y 2λ＝1（λ＞0），将点A （3，－2）代入，得9λ＋5＋4λ＝1（λ＞0），解得λ＝10或λ＝－2（舍去），故所求椭圆方程为x 215＋y 210＝1． 〖答 案〗A3．（2021·衡水模拟）已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）的离心率为13，则ab＝（ ）A ．98B ．322C ．43D ．324〖解 析〗因为e ＝c a ＝a 2－b 2a 2＝13，所以8a 2＝9b 2，所以a b ＝324． 〖答 案〗D4．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为（ ）A ．x 23＋y 22＝1B ．x 23＋y 2＝1C ．x 212＋y 28＝1D ．x 212＋y 24＝1〖解 析〗由题意及椭圆的定义知4a ＝43，则a ＝3，又c a ＝c 3＝33，所以c ＝1，所以b 2＝2，所以C 的方程为x 23＋y 22＝1．〖答 案〗A5．（2020·石家庄质检）倾斜角为π4的直线经过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1（a >b >0）的右焦点F ，与椭圆交于A ，B 两点，且AF →＝2FB →，则该椭圆的离心率为（ ）A ．32B ．23C ．22D ．33〖解 析〗由题可知，直线的方程为y ＝x －c ，与椭圆方程联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，y ＝x －c ，得（b 2＋a 2）y 2＋2b 2cy －b 4＝0，由于直线过椭圆的右焦点，故必与椭圆有交点，则Δ>0．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－2b 2c a 2＋b 2，y 1y 2＝－b 4a 2＋b 2，又AF →＝2FB →，所以（c －x 1，－y 1）＝2（x 2－c ，y 2），所以－y 1＝2y 2，可得⎩⎪⎨⎪⎧－y 2＝－2b 2c a 2＋b2，－2y 22＝－b4a 2＋b2.所以12＝4c2a 2＋b 2，所以e ＝23． 〖答 案〗B 6．（2021·惠州调研）设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 25＝1的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，则|PF 2||PF 1|的值为（ ）A ．514B ．59C ．49D ．513〖解 析〗如图，设线段PF 1的中点为M ，因为O 是F 1F 2的中点，所以OM ∥PF 2，可得PF 2⊥x轴，可求得|PF 2|＝53，|PF 1|＝2a －|PF 2|＝133，|PF 2||PF 1|＝513．〖答 案〗D7．（2021·郑州模拟）已知椭圆y 2a 2＋x 2b2＝1（a ＞b ＞0）的右顶点为A （1，0），过其焦点且垂直于长轴的弦长为1，则椭圆的方程为 _________．〖解 析〗因为椭圆y 2a 2＋x 2b2＝1的右顶点为A （1，0），所以b ＝1，焦点坐标为（0，c ），因为过焦点且垂直于长轴的弦长为1，所以2b 2a ＝1，a ＝2，所以椭圆的方程为y 24＋x 2＝1．〖答 案〗y 24＋x 2＝18．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1（a ＞b ＞0）的中心是坐标原点O ，左、右焦点分别为F 1，F 2，设P是椭圆C 上一点，满足PF 2⊥x 轴，|PF 2|＝12，椭圆C 的离心率为32．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆C 左焦点且倾斜角为45°的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求△AOB 的面积．〖解 析〗（1）由题意知，离心率e ＝c a ＝32，|PF 2|＝b 2a ＝12，得a ＝2，b ＝1，所以椭圆C 的标准方程为x24＋y 2＝1．（2）由条件可知F 1（－3，0），直线l ：y ＝x ＋3，联立直线l 和椭圆C 的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋3，x 24＋y 2＝1，消去y 得5x 2＋83x ＋8＝0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1＋x 2＝－835，x 1·x 2＝85，所以|y 1－y 2|＝|x 1－x 2|＝（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝425，所以S △AOB ＝12·|y 1－y 2|·|OF 1|＝265．9．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1（a ＞b ＞0），F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B ． （1）若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率；（2）若AF 2→＝2F 2B →，AF 1→·AB →＝32，求椭圆的方程．〖解 析〗（1）若∠F 1AB ＝90°，则△AOF 2为等腰直角三角形，所以有OA ＝OF 2，即b ＝c ． 所以a ＝2c ，e ＝c a ＝22．（2）由题知A （0，b ），F 1（－c ，0），F 2（c ，0），其中c ＝a 2－b 2，设B （x ，y ）． 由AF 2→＝2F 2B →，得（c ，－b ）＝2（x －c ，y ），解得x ＝3c 2，y ＝－b2，即B ⎝⎛⎭⎫3c 2，－b 2． 将B 点坐标代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得94c 2a 2＋b 24b 2＝1，即9c 24a 2＋14＝1，解得a 2＝3c 2．①又由AF 1→·AB →＝（－c ，－b ）·⎝⎛⎭⎫3c 2，－3b 2＝32， 得b 2－c 2＝1，即有a 2－2c 2＝1．②由①②解得c 2＝1，a 2＝3，从而有b 2＝2．所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1．〖B 组 能力提升练〗1．（2021·吉安模拟）如图，用与底面成45°角的平面截圆柱得一截口曲线，即椭圆，则该椭圆的离心率为（ ）A ．22 B ．33 C ．32D ．13〖解 析〗设圆柱的底面圆的直径为d ，则椭圆的短轴长为d ． 因为截面与底面成45°角，所以椭圆的长轴长为2d ， 所以椭圆的半焦距为⎝⎛⎭⎫22d 2－⎝⎛⎭⎫d 22＝d 2， 则e ＝c a ＝d 222d ＝22．〖答 案〗A2．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为53，以F 1F 2为直径的圆与椭圆C 在第一象限的交点为P ，则直线PF 1的斜率为（ ）A ．13B ．12C ．33D ．32〖解 析〗因为e ＝c a ＝53，故可设a ＝3，c ＝5，则b ＝2，S △PF 1F 2＝b 2tan ∠F 1PF 22＝b 2tan 45°＝12|PF 1|·|PF 2|＝4，因为P 在第一象限，所以|PF 1|＞|PF 2|，又|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，故|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，所以直线PF 1的斜率kPF 1＝|PF 2||PF 1|＝12．〖答 案〗B3．已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，椭圆C 上点A 满足AF 2⊥F 1F 2．若点P 是椭圆C 上的动点，则F 1P →·F 2A →的最大值为（ ）A ．32B ．332C ．94D ．154〖解 析〗由椭圆C ：x 24＋y23＝1可得a 2＝4，b 2＝3，c ＝a 2－b 2＝1，可得F 1（－1，0），F 2（1，0），由AF 2⊥F 1F 2，令x ＝1，得y ＝±3× 1－14＝±32， 不妨设A 点坐标为⎝⎛⎭⎫1，32．设P （m ，n ），则点P 坐标满足m 24＋n 23＝1，又－3≤n ≤3，则F 1P →·F 2A →＝（m ＋1，n ）·⎝⎛⎭⎫0，32＝32n ≤332， 可得F 1P →·F 2A →的最大值为332．〖答 案〗B4．（2021·温州模拟）正方形ABCD 的四个顶点都在椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1（a ＞b ＞0）上，若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫5－12，1B ．⎝⎛⎭⎪⎫0，5－12 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫3－12，1 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3－12 〖解 析〗设正方形的边长为2m ，∵椭圆的焦点在正方形的内部，∴m ＞c ．又正方形ABCD的四个顶点都在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）上，∴m 2a 2＋m 2b 2＝1＞c 2a 2＋c 2b 2＝e 2＋e 21－e 2，整理得e4－3e 2＋1＞0，e 2＜3－52＝（5－1）24，∴0＜e ＜5－12． 〖答 案〗B5．若F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b 2＝1（0＜b ＜1）的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为_________．〖解 析〗设点A 在点B 上方，F 1（－c ，0），F 2（c ，0），其中c ＝1－b 2，则可设A （c ，b 2），B （x 0，y 0），由|AF 1|＝3|F 1B |，可得AF 1→＝3F 1B →，故⎩⎪⎨⎪⎧－2c ＝3（x 0＋c ），－b 2＝3y 0，即⎩⎨⎧x 0＝－53c ，y 0＝－13b 2，代入椭圆方程可得25（1－b 2）9＋19b 2＝1，解得b 2＝23，故椭圆方程为x 2＋3y 22＝1．〖答 案〗x 2＋3y22＝16．设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上任意一点，点M 的坐标为（6，4），则|PM |－|PF 1|的最小值为_________． 〖解 析〗由椭圆的方程可知F 2（3，0），由椭圆的定义可得|PF 1|＝2a －|PF 2|．所以|PM |－|PF 1|＝|PM |－（2a －|PF 2|）＝|PM |＋|PF 2|－2a ≥|MF 2|－2a ，当且仅当M ，P ，F 2三点共线时取得等号，又|MF 2|＝（6－3）2＋（4－0）2＝5，2a ＝10，所以|PM |－|PF 1|≥5－10＝－5，即|PM |－|PF 1|的最小值为－5． 〖答 案〗－57．（2020·高考全国卷Ⅱ）已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1（a ＞b ＞0）的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合．C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |＝43|AB |．（1）求C 1的离心率；（2）设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF |＝5，求C 1与C 2的标准方程．〖解 析〗（1）由已知可设C 2的方程为y 2＝4cx ，其中c ＝a 2－b 2．不妨设A ，C 在第一象限，由题设得A ，B 的纵坐标分别为b 2a ，－b 2a；C ，D 的纵坐标分别为2c ，－2c ，故|AB |＝2b 2a，|CD |＝4c ．由|CD |＝43|AB |得4c ＝8b 23a ，即3×c a ＝2－2⎝⎛⎭⎫c a 2．解得c a ＝－2（舍去）或c a ＝12．所以C 1的离心率为12．（2）由（1）知a ＝2c ，b ＝3c ，故C 1：x 24c 2＋y 23c2＝1．设M （x 0，y 0），则x 204c 2＋y 203c2＝1，y 20＝4cx 0， 故x 204c 2＋4x 03c＝1． ① 因为C 2的准线为x ＝－c ，所以|MF |＝x 0＋c ，而|MF |＝5，故x 0＝5－c ，代入①得（5－c ）24c 2＋4（5－c ）3c ＝1，即c 2－2c －3＝0，解得c ＝－1（舍去）或c ＝3．所以C 1的标准方程为x 236＋y 227＝1，C 2的标准方程为y 2＝12x ．〖C 组 创新应用练〗1．有一个高为12 cm ，底面圆半径为3 cm 的圆柱形玻璃杯，杯中所盛水的体积恰为该玻璃杯容积的一半（玻璃杯厚度忽略不计），当玻璃杯倾斜时，杯中水面的形状为椭圆，则在杯中的水不溢出的前提下，椭圆的离心率的取值范围是（ ）A ．⎝⎛⎦⎤0，55B ．⎣⎡⎭⎫55，1C ．⎝⎛⎦⎤0，255D ．⎣⎡⎭⎫255，1〖解 析〗由题意知，当玻璃杯倾斜至杯中的水刚好不溢出时，杯中水面所形成的椭圆的离心率最大，易知此时椭圆的长轴长为122＋62＝65，短轴长为6，所以椭圆的离心率e ＝1－⎝⎛⎭⎫3352＝255，所以e ∈⎝⎛⎦⎤0，255．〖答 案〗C2．已知直线l ：y ＝kx ＋2过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）的上顶点B 和左焦点F ，并被圆x 2＋y 2＝4截得的弦长为L ，若L ≥455，则椭圆离心率e 的取值范围是_________．〖解 析〗依题意，知b ＝2，kc ＝2． 设圆心到直线l 的距离为d ， 则L ＝24－d 2≥455，解得d 2≤165．又因为d ＝21＋k2，所以11＋k 2≤45， 解得k 2≥14．于是e 2＝c 2a 2＝c 2b 2＋c 2＝11＋k 2，所以0＜e 2≤45，解得0＜e ≤255．〖答 案〗⎝⎛⎦⎤0，2553．（2021·衡水模拟）“九天揽月”是中华民族的伟大梦想，我国探月工程的进展与实力举世瞩目．2019年，“嫦娥四号”探测器实现历史上的首次月背着陆，月球上“嫦娥四号”的着陆点，被命名为天河基地，如图是“嫦娥四号”运行轨道示意图，圆形轨道距月球表面100千米，椭圆形轨道的一个焦点是月球球心，一个长轴顶点位于两轨道相切的变轨处，另一个长轴顶点距月球表面15千米，则椭圆形轨道的焦距为 千米．〖解 析〗设椭圆的长半轴长为a 千米，半焦距为c 千米，月球半径为r 千米．由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝100＋r ，a －c ＝15＋r ，解得2c ＝85．即椭圆形轨道的焦距为85千米．〖答 案〗85。
2019版同步优化探究理数(北师大版)练习：第八章第八节曲线与方程含答案解析
x＋ 3a 2 y2
即
2
12a
－4a2＝1.
∴点 P 的轨迹为双曲线．故选 D.
答案： D
4．已知动点 P(x， y)与两定点 M(－1,0)，N(1,0)连线的斜率之积等于常数 λ(λ≠0)．则动点 P 的轨
迹 C 的方程为
．
解析： 由题设知直线 PM 与 PN 的斜率存在且均不为零，所以
整理得 x2－yλ2＝ 1(λ≠ 0， x≠ ±1)． 即动点 P 的轨迹 C 的方程为 x2－ yλ2＝1(λ≠0，x≠ ±1) 答案： x2－yλ2＝1(λ≠0，x≠±1)
2，所以
mn＝ 4，又直线
AC 与 BD 的交点
为 M，
所以
y y－m x＋2＝ x－2 ，
y y－n x－2＝x＋2，
所以
4y m＝x＋2，
－4y n＝x－2，
16y2 所以－ x2－4＝4，所以点
M
的轨迹方程为
x2 4＋
y2＝
1(y≠0)． 答案： x42＋y2＝1(y≠0)
x2 y2 4．过椭圆 a2＋b2＝ 1(a＞ b＞ 0)上任意一点 M 作 x 轴的垂线，垂足为 N，则线段 MN 中点的轨迹方
∵Q→P·Q→F＝F→P·F→Q，
∴(0， y＋1) ·(－ x,2)＝(x，y－1) ·(x，－ 2)， 即 2(y＋1)＝x2－2(y－1)，整理得 x2＝4y， ∴动点 P 的轨迹 C 的方程为 x2＝ 4y.
答案： A
2．已知两定点 A(－2,0)， B(1,0)，如果动点 P 满足 |PA|＝2|PB|，则动点 P 的轨迹是 ( )
x－2 2＋y2－3，
故曲线 E 的方程为 y2＝6x.
(2)设直线 AB 的方程为 my＝x－2，
高考数学统考一轮复习 第八章 平面解析几何 第五节 椭圆课时规范练(文,含解析)北师大版
学习资料第八章平面解析几何第五节椭圆课时规范练A组—-基础对点练1．已知方程错误!＋错误!＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围为()A。
错误!B．（1，2)C．(－∞，0）∪（1，2)D．（－∞，－1）∪错误!解析:依题意得不等式组错误!解得m＜－1或1＜m＜错误!,故选D。
答案：D2．以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为()A．1B．错误!C．2 D.2 2解析:设a，b，c分别为椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距，依题意知，错误!×2cb＝1⇒bc ＝1,2a＝2错误!≥2错误!＝2错误!，当且仅当b＝c＝1时，等号成立．故选D。
答案：D3．(2020·东北三校联考）若椭圆mx2＋ny2＝1的离心率为错误!，则错误!＝（）A。
错误!B．错误!C.错误!或错误!D。
错误!或错误!解析：若焦点在x轴上,则方程化为错误!＋错误!＝1,依题意得错误!＝错误!,所以错误!＝错误!；若焦点在y轴上,则方程化为错误!＋错误!＝1，同理可得错误!＝错误!.所以所求值为错误!或错误!。
答案:D4．过椭圆错误!＋错误!＝1的右焦点作一条斜率为2的直线，与椭圆交于A,B两点，O为坐标原点,则△OAB的面积为（）A。
错误!B．错误!C.错误!D.错误!解析：由题意知椭圆的右焦点F的坐标为(1，0)，则直线AB的方程为y＝2x－2.联立错误!解得交点为(0，－2），错误!,所以S△OAB＝错误!·|OF|·|y A－y B|＝错误!×1×错误!＝错误!，故选B。
答案：B5．设F 1，F 2分别是椭圆错误!＋y 2＝1的左,右焦点，若椭圆上存在一点P ，使(错误!＋错误!）·错误!＝0（O 为坐标原点)，则△F 1PF 2的面积是( )A ．4B ．3C ．2D 。
1解析:因为（错误!＋错误!)·错误!＝(错误!＋错误!)·错误!＝错误!·错误!＝0，所以PF 1⊥PF 2，∠F 1PF 2＝90°。
2019版同步优化探究文数(北师大版)练习：第八章 第八节 第二课时 最值、范围、证明问题 含解析
课时作业A 组——基础对点练1．已知椭圆C 1：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点为A (1,0)，过C 1的焦点且垂直长轴的弦长为1. (1)求椭圆C 1的方程；(2)设点P 在抛物线C 2：y ＝x 2＋h (h ∈R)上，C 2在点P 处的切线与C 1交于点M ，N .当线段AP 的中点与MN 的中点的横坐标相等时，求h 的最小值．解析：(1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝1，2·b 2a ＝1.从而⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1. 因此，所求的椭圆C 1的方程为y 24＋x 2＝1.(2)如图，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P (t ，t 2＋h )，则抛物线C 2在点P 处的切线斜率为y ′|x ＝t ＝2t .直线MN 的方程为：y ＝2tx －t 2＋h .将上式代入椭圆C 1的方程中，得4x 2＋(2tx －t 2＋h )2－4＝0，即4(1＋t 2)x 2－4t (t 2－h )x ＋(t 2－h )2－4＝0.①因为直线MN 与椭圆C 1有两个不同的交点，所以①式中的Δ1＝16[－t 4＋2(h ＋2)t 2－h 2＋4]>0.②设线段MN 的中点的横坐标是x 3，则x 3＝x 1＋x 22＝t (t 2－h )2(1＋t 2). 设线段P A 的中点的横坐标是x 4，则x 4＝t ＋12. 由题意，得x 3＝x 4，即t 2＋(1＋h )t ＋1＝0.③由③式中的Δ2＝(1＋h )2－4≥0，得h ≥1，或h ≤－3.当h ≤－3时，h ＋2<0,4－h 2<0，则不等式②不成立，所以h ≥1.当h ＝1时，代入方程③得t ＝－1，将h ＝1，t ＝－1代入不等式②，检验成立．所以，h 的最小值为1.2．已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点． (1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．解析：(1)设F (c,0)，由条件知，2c ＝233，得c ＝ 3. 又c a ＝32，所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1. 故E 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)当l ⊥x 轴时不合题意，故设l ：y ＝kx －2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将y ＝kx －2代入x 24＋y 2＝1得 (1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0.当Δ＝16(4k 2－3)>0， 即k 2>34时，x 1,2＝8k ±24k 2－34k 2＋1. 从而|PQ |＝k 2＋1|x 1－x 2|＝4k 2＋1·4k 2－34k 2＋1. 又点O 到直线PQ 的距离d ＝2k 2＋1， 所以△OPQ 的面积S △OPQ ＝12d |PQ |＝44k 2－34k 2＋1. 设4k 2－3＝t ，则t >0，S △OPQ ＝4t t 2＋4＝4t ＋4t. 因为t ＋4t ≥4，当且仅当t ＝2，即k ＝±72时等号成立，且满足Δ>0，。
2019版同步优化探究文数(北师大版)练习：第八章 第八节 第二课时 最值、范围、证明问题 Word版含解析
课时作业A 组——基础对点练1．已知椭圆C 1：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点为A (1,0)，过C 1的焦点且垂直长轴的弦长为1. (1)求椭圆C 1的方程；(2)设点P 在抛物线C 2：y ＝x 2＋h (h ∈R)上，C 2在点P 处的切线与C 1交于点M ，N .当线段AP 的中点与MN 的中点的横坐标相等时，求h 的最小值．解析：(1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝1，2·b 2a ＝1.从而⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1. 因此，所求的椭圆C 1的方程为y 24＋x 2＝1.(2)如图，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P (t ，t 2＋h )，则抛物线C 2在点P 处的切线斜率为y ′|x ＝t ＝2t .直线MN 的方程为：y ＝2tx －t 2＋h .将上式代入椭圆C 1的方程中，得4x 2＋(2tx －t 2＋h )2－4＝0，即4(1＋t 2)x 2－4t (t 2－h )x ＋(t 2－h )2－4＝0.①因为直线MN 与椭圆C 1有两个不同的交点，所以①式中的Δ1＝16[－t 4＋2(h ＋2)t 2－h 2＋4]>0.②设线段MN 的中点的横坐标是x 3，则x 3＝x 1＋x 22＝t (t 2－h )2(1＋t 2). 设线段P A 的中点的横坐标是x 4，则x 4＝t ＋12. 由题意，得x 3＝x 4，即t 2＋(1＋h )t ＋1＝0.③由③式中的Δ2＝(1＋h )2－4≥0，得h ≥1，或h ≤－3.当h ≤－3时，h ＋2<0,4－h 2<0，则不等式②不成立，所以h ≥1.当h ＝1时，代入方程③得t ＝－1，将h ＝1，t ＝－1代入不等式②，检验成立．所以，h 的最小值为1.2．已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点． (1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．解析：(1)设F (c,0)，由条件知，2c ＝233，得c ＝ 3. 又c a ＝32，所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1. 故E 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)当l ⊥x 轴时不合题意，故设l ：y ＝kx －2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将y ＝kx －2代入x 24＋y 2＝1得 (1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0.当Δ＝16(4k 2－3)>0，即k 2>34时，x 1,2＝8k ±24k 2－34k 2＋1. 从而|PQ |＝k 2＋1|x 1－x 2|＝4k 2＋1·4k 2－34k 2＋1. 又点O 到直线PQ 的距离d ＝2k 2＋1，所以△OPQ 的面积S △OPQ ＝12d |PQ |＝44k 2－34k 2＋1. 设4k 2－3＝t ，则t >0，S △OPQ ＝4t t 2＋4＝4t ＋4t. 因为t ＋4t ≥4，当且仅当t ＝2，即k ＝±72时等号成立，且满足Δ>0， 所以，当△OPQ 的面积最大时，l 的方程为y ＝72x －2或y ＝－72x －2. 3.如图，在矩形ABCD 中，|AB |＝4，|AD |＝2，O 为AB 的中点，P ，Q分别是AD 和CD 上的点，且满足①|AP ||AD |＝|DQ ||DC |，②直线AQ 与BP 的交点在椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上． (1)求椭圆E 的方程；(2)设R 为椭圆E 的右顶点，M 为椭圆E 第一象限部分上一点，作MN 垂直于y 轴，垂足为N ，求梯形ORMN 面积的最大值．解析：(1)设AQ 与BP 的交点为G (x ，y )，P (－2，y 1)，Q (x 1,2)，由题可知，y 12＝x 1＋24，y x ＋2＝2x 1＋2，y 2－x ＝y 14， 从而有4y 2－x＝x ＋2y ，整理得x 24＋y 2＝1，即为椭圆E 的方程． (2)由(1)知R (2,0)，设M (x 0，y 0)，则y 0＝124－x 20， 从而梯形ORMN 的面积S ＝12(2＋x 0)y 0＝14(4－x 20)(2＋x 0)2，令t ＝2＋x 0，则2<t <4，S ＝144t 3－t 4， 令u ＝4t 3－t 4，则u ′＝12t 2－4t 3＝4t 2(3－t )，当t ∈(2,3)时，u ′>0，u ＝4t 3－t 4单调递增，当t ∈(3,4)时，u ′<0，u ＝4t 3－t 4单调递减，所以当t ＝3时，u 取得最大值，则S 也取得最大值，最大值为334. 4．(2018·贵阳监测)已知椭圆C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，且椭圆C 上的点到一个焦点的距离的最小值为3－ 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)已知过点T (0,2)的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，若在x 轴上存在一点E ，使∠AEB ＝90°，求直线l 的斜率k 的取值范围．解析：(1)设椭圆的半焦距长为c ，则由题设有：⎩⎪⎨⎪⎧ c a ＝63，a －c ＝3－2，解得：a ＝3，c ＝2，∴b 2＝1， 故椭圆C 的方程为y 23＋x 2＝1. (2)由已知可得，以AB 为直径的圆与x 轴有公共点．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为M (x 0，y 0)，将直线l ：y ＝kx ＋2代入y 23＋x 2＝1， 得(3＋k 2)x 2＋4kx ＋1＝0，Δ＝12k 2－12，∴x 0＝x 1＋x 22＝－2k 3＋k 2，y 0＝kx 0＋2＝63＋k 2， |AB |＝1＋k 2 12k 2－123＋k 2＝23k 4－13＋k 2， ∴⎩⎨⎧ Δ＝12k 2－12>0，63＋k 2≤12|AB |，解得：k 4≥13，即k ≥413或k ≤－413.B 组——能力提升练1．(2018·武汉市模拟)已知抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，直线x ＝4与x 轴的交点为P ，与抛物线的交点为Q ，且|QF |＝54|PQ |. (1)求抛物线的方程；(2)如图所示，过F 的直线l 与抛物线相交于A ，D 两点，与圆x 2＋(y －1)2＝1相交于B ，C 两点(A ，B 两点相邻)，过A ，D 两点分别作抛物线的切线，两条切线相交于点M ，求△ABM 与△CDM 的面积之积的最小值．解析：(1)由已知得F (0，p 2)，P (4,0)，Q (4，8p )，|QF |＝8p ＋p 2，|PQ |＝8p， 因为|QF |＝54|PQ |，所以8p ＋p 2＝54·8p， 解得p ＝2或p ＝－2(舍去)，所以抛物线的方程为x 2＝4y .(2)设l ：y ＝kx ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y ，消去y ，得x 2－4kx －4＝0， 所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.由y ＝x 24，得y ′＝x 2. 所以直线MA ：y －x 214＝x 12(x －x 1)，即y ＝x 12x －x 214. 同理可求得直线MD ：y ＝x 22x －x 224. 联立方程，得⎩⎨⎧ y ＝x 1x 2－x 214，y ＝x 2x 2－x 224，解得M (2k ，－1)．所以点M 到l 的距离d ＝2k 2＋21＋k 2＝21＋k 2.所以S △ABM ·S △CDM ＝14|AB |·|CD |·d 2 ＝14(|AF |－1)(|DF |－1)d 2＝14y 1y 2d 2 ＝14·x 21x 2216d 2＝1＋k 2≥1， 当且仅当k ＝0时取等号．所以当k ＝0时，△ABM 与△CDM 面积之积的最小值为1.2．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F (－c,0)，离心率为33，点M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆x 2＋y 2＝b 24截得的线段的长为c ，|FM |＝433. (1)求直线FM 的斜率；(2)求椭圆的方程；(3)设动点P 在椭圆上，若直线FP 的斜率大于2，求直线OP (O 为原点)的斜率的取值范围．解析：(1)由已知，有c 2a 2＝13， 又由a 2＝b 2＋c 2，可得a 2＝3c 2，b 2＝2c 2.设直线FM 的斜率为k (k >0)，F (－c,0)，则直线FM 的方程为y ＝k (x ＋c )．由已知，有(kc k 2＋1)2＋(c 2)2＝(b 2)2， 解得k ＝33. (2)由(1)得椭圆方程为x 23c 2＋y 22c 2＝1，直线FM 的方程为y ＝33(x ＋c )，两个方程联立，消去y ，整理得3x 2＋2cx －5c 2＝0，解得x ＝－53c ，或x ＝c . 因为点M 在第一象限，可得M 的坐标为(c ，233c )． 由|FM |＝ (c ＋c )2＋(233c －0)2＝433， 解得c ＝1，所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.(3)设点P 的坐标为(x ，y )，直线FP 的斜率为t ，得t ＝y x ＋1，即y ＝t (x ＋1)(x ≠－1)，与椭圆方程联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝t (x ＋1)，x 23＋y 22＝1，消去y ，整理得2x 2＋3t 2(x＋1)2＝6，又由已知，得t ＝ 6－2x 23(x ＋1)2>2， 解得－32<x <－1，或－1<x <0. 设直线OP 的斜率为m ，得m ＝y x， 即y ＝mx (x ≠0)，与椭圆方程联立，整理得m 2＝2x 2－23. ①当x ∈(－32，－1)时，有y ＝t (x ＋1)<0， 因此m >0，于是m ＝ 2x 2－23，得m ∈(23，233)． ②当x ∈(－1,0)时，有y ＝t (x ＋1)>0.因此m <0，于是m ＝－2x 2－23， 得m ∈(－∞，－233)． 综上，直线OP 的斜率的取值范围是(－∞，－233)∪(23，233)． 3．已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2(r >1)，设A 为圆C 与x 轴负半轴的交点，过点A 作圆C 的弦AM ，并使弦AM 的中点恰好落在y 轴上．(1)求点M 的轨迹E 的方程；(2)延长MC 交曲线E 于另一点N ，曲线E 在点N 处的切线与直线AM 交于点B ，试判断以点B 为圆心，线段BC 的长为半径的圆与直线MN 的位置关系，并证明你的结论． 解析：(1)设M (x ，y )，x >0，由题意可知，A (1－r,0)，记AM 的中点为D ，则D (0，y 2)，因为C (1,0)，DC →＝(1，－y 2)，DM →＝(x ，y 2)． 在⊙C 中，易知CD ⊥DM ，所以DC →·DM →＝0，所以x －y 24＝0，即y 2＝4x (x >0)， 所以点M 的轨迹E 的方程为y 2＝4x (x >0)．(2)⊙B 与直线MN 相切．证明如下：设直线MN 的方程为x ＝my ＋1，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线BN 的方程为y ＝k (x －y 224)＋y 2. 联立，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝my ＋1，y 2＝4x ，消去x ，得y 2－4my －4＝0， 所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4.r －1＝x 1，则点A (－x 1,0)，所以直线AM 的方程为y ＝2y 1x ＋y 12. 联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －y 224)＋y 2，y 2＝4x ，消去x ，得ky 2－4y ＋4y 2－ky 22＝0， 由Δ＝0，可得k ＝2y 2， 所以直线BN 的方程为y ＝2y 2x ＋y 22. 联立，得⎩⎨⎧ y ＝2y 1x ＋y 12，y ＝2y 2x ＋y 22，解得x B ＝－1，y B ＝y 21－42y 1＝y 21＋y 1y 22y 1＝y 1(y 1＋y 2)2y 1＝4my 12y 1＝2m ， 所以点B (－1,2m )，|BC |＝4＋4m 2，点B 到直线MN 的距离d ＝|2＋2m 2|m 2＋1＝4m 2＋4＝|BC |， 所以⊙B 与直线MN 相切．。
2019版同步优化探究文数(北师大版)练习第八章 第五节 椭 圆 Word版含解析
课时作业组——基础对点练．已知椭圆＋＝(>)的左焦点为(－)，则＝( )．．．．解析：由＝(>)⇒＝，故选.答案：．方程＋＝表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是( )．＝．>．<．<<解析：方程＋＝表示焦点在轴上的椭圆，即方程＋＝表示焦点在轴上的椭圆，可得<<，故选.答案：．已知椭圆的中心在原点，离心率＝，且它的一个焦点与抛物线＝－的焦点重合，则此椭圆方程为( )＋＝＋＝＋＝＋＝解析：依题意，可设椭圆的标准方程为＋＝(>>)，由已知可得抛物线的焦点为(－)，所以＝，又离心率＝＝，解得＝，＝－＝，所以椭圆方程为＋＝，故选.答案：．椭圆＋＝(>>)的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，若，，成等差数列，则此椭圆的离心率为( )－解析：由题意可得＝＋，即＝－＋＋＝，故＝＝.答案：．已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且∠＝，则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为( )．解析：如图，假设，分别是椭圆和双曲线的左、右焦点，是第一象限的点，设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，则根据椭圆及双曲线的定义得＋＝，－＝，∴＝＋，＝－.设＝，又∠＝，则在△中，由余弦定理得，＝(＋)＋(－)－(＋)(－) ，化简得，(－)＋(＋)＝，设椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，∴＋＝，又＋≥＝，∴≤，即·≥，即椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为.故选.答案：．若＋＝表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是．解析：将椭圆的方程化为标准形式得＋＝，因为＋＝表示焦点在轴上的椭圆，所以>，解得<<.答案：()．若椭圆的方程为＋＝，且此椭圆的焦距为，则实数＝.解析：由题可知＝.①当焦点在轴上时，－－(－)＝，解得＝.②当焦点在轴上时，－－(－)＝，解得＝.故实数＝或.答案：或．已知椭圆＋＝(>>)的离心率等于，其焦点分别为，为椭圆上异于长轴端点的任意一点，则在△中，＋)的值等于．解析：在△中，由正弦定理得＋)＝，因为点在椭圆上，所以由椭圆定义知＋＝，而＝，所以＋)＝＝＝.答案：．已知椭圆：＋＝(>>)的左，右焦点分别为(－)，()，过作垂直于轴的直线交椭圆于，两点，满足＝.()求椭圆的离心率；()，是椭圆短轴的两个端点，设点是椭圆上一点(异于椭圆的顶点)，直线，分别和轴相交于，两点，为坐标原点．若·＝，求椭圆的方程．解析：()∵点的横坐标为，代入椭圆，得＋＝.解得＝＝，即＝，∴－＝.∴＋－＝，解得＝.()设(，)，(，－)，(，)，则直线的方程为＝＋.令＝，得点的横坐标为.直线的方程为＝－.令＝，得点的横坐标为.∴·＝＝＝＝，∴＝，＝，∴椭圆的方程为＋＝.．(·沈阳模拟)椭圆：＋＝(>>)，其中＝，焦距为，过点()的直线与椭圆交于点，，点在，之间．又线段的中点的横。
2019北师大版同步优化探究理数练习：第八章 第六节 抛物线含解析
课时作业A 组——基础对点练1．(2017·沈阳质量监测)抛物线y ＝4ax 2(a ≠0)的焦点坐标是( )A ．(0，a ) B ．(a,0)C. D.(0，116a )(116，0)解析：将y ＝4ax 2(a ≠0)化为标准方程得x 2＝y (a ≠0)，所以焦点坐标为，14a (0，116a )所以选C.答案：C2．(2017·辽宁五校联考)已知AB 是抛物线y 2＝2x 的一条焦点弦，|AB |＝4，则AB 中点C 的横坐标是( )A ．2 B.12C.D.3252解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4，又p ＝1，所以x 1＋x 2＝3，所以点C 的横坐标是＝.x 1＋x 2232答案：C3．(2017·邯郸质检)设F 为抛物线y 2＝2x 的焦点，A 、B 、C 为抛物线上三点，若F 为△ABC 的重心，则||＋||＋||的值为( )FA → FB → FC→ A ．1 B ．2C ．3D ．4解析：依题意，设点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)、C (x 3，y 3)，又焦点F ，x 1＋x 2＋x 3＝3×＝，则||＋||＋||＝(x 1＋)＋(x 2＋)(12，0)1232FA → FB → FC → 1212＋＝(x 1＋x 2＋x 3)＋＝＋＝3.选C.(x 3＋12)323232答案：C4．已知直线l ：y ＝kx －k 与抛物线C ：y 2＝4x 及其准线分别交于M ，N 两点，F 为抛物线的焦点，若2＝，则实数k 等于( )FM→ MN → A ．± B ．±133C ．±D ．±23解析：抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F (1,0)，直线l ：y ＝kx －k 过抛物线的焦点，如图．过M 作MM ′⊥准线x ＝－1，垂足为M ′，由抛物线的定义，得|MM ′|＝|MF |，易知∠M ′MN 与直线l 的倾斜角相等，由2＝，得cos ∠M ′MN ＝＝，则tan ∠M ′MN ＝±，∴直线l 的FM → MN→ |MM ′||MN |123斜率k ＝±，故选C.3答案：C5．已知P 为抛物线y 2＝4x 上一个动点，Q 为圆x 2＋(y －4)2＝1上一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和的最小值是( )A ．2－1 B ．2－255C.－1D.－21717解析：由题意得圆x 2＋(y －4)2＝1的圆心A (0,4)，半径r ＝1，抛物线的焦点F (1,0)．由抛物线的几何性质可得：点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和的最小值是|AF |－r ＝－1＝－1.选C.1＋1617答案：C6．(2017·沈阳质量监测)已知抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，过P 作PA ⊥l 于点A ，当∠AFO ＝30°(O 为坐标原点)时，|PF |＝ .解析：设l 与y 轴的交点为B ，在Rt △ABF 中，∠AFB ＝30°，|BF |＝2，所以|AB |＝，设P (x 0，y 0)，则x 0＝±，代入x 2＝4y 中，得y 0＝，从而23323313|PF |＝|PA |＝y 0＋1＝.43答案：437．(2017·云南检测)已知抛物线C 的方程为y 2＝2px (p ＞0)，⊙M 的方程为x 2＋y 2＋8x ＋12＝0，如果抛物线C 的准线与⊙M 相切，那么p 的值为 ．解析：将⊙M 的方程化为标准方程：(x ＋4)2＋y 2＝4，圆心坐标为(－4,0)，半径r ＝2，又抛物线的准线方程为x ＝－，∴|4－|＝2，解得p ＝12或4.p2p2答案：12或48.如图，过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线l 依次交抛物线及其准线于点A ，B ，C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则抛物线的方程是．解析：分别过点A 、B 作准线的垂线AE 、BD ，分别交准线于点E 、D (图略)，则|BF |＝|BD |，∵|BC |＝2|BF |，∴|BC |＝2|BD |，∴∠BCD ＝30°，又|AE |＝|AF |＝3，∴|AC |＝6，即点F 是AC 的中点，根据题意得p ＝，∴抛物线的32方程是y 2＝3x .答案：y 2＝3x9．已知抛物线y 2＝4px (p ＞0)的焦点为F ，圆W ：(x ＋p )2＋y 2＝p 2的圆心到过点F 的直线l 的距离为p .(1)求直线l 的斜率；(2)若直线l 与抛物线交于A 、B 两点，△WAB 的面积为8，求抛物线的方程．解析：(1)易知抛物线y 2＝4px (p ＞0)的焦点为F (p,0)，依题意直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为x ＝my ＋p ，因为W (－p,0)，所以点W 到直线l 的距离为＝p ，解得m ＝±，所以直线l 的斜率|－p －p |1＋(－m )23为±.33(2)由(1)知直线l 的方程为x ＝±y ＋p ，由于两条直线关于x 轴对称，不妨取3x ＝y ＋p ，3联立Error!消去x 得y 2－4py －4p 2＝0，3设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4p ，y 1y 2＝－4p 2，3所以|AB |＝·＝16p ，1＋(3)2(43p )2＋4×4p 2因为△WAB 的面积为8，所以p ×16p ＝8，得p ＝1，12所以抛物线的方程为y 2＝4x .10．(2017·合肥质检)已知抛物线C 1：x 2＝2py (p ＞0)，O 是坐标原点，点A ，B 为抛物线C 1上异于O 点的两点，以OA 为直径的圆C 2过点B .(1)若A (－2,1)，求p 的值以及圆C 2的方程；(2)求圆C 2的面积S 的最小值(用p 表示)．解析：(1)∵A (－2,1)在抛物线C 1上，∴4＝2p ，p ＝2.又圆C 2的圆心为，(－1，12)半径为＝，∴圆C 2的方程为(x ＋1)2＋2＝.|OA |252(y －12)54(2)记A (x 1，)，B (x 2，)．则＝(x 2，)，＝(x 2－x 1，)．x 212p x 22p OB → x 22p AB→ x 2－x 212p 由·＝0知，x 2(x 2－x 1)＋＝0.OB → AB→ x 2(x 2－x 21)4p 2∵x 2≠0，且x 1≠x 2，∴x ＋x 1·x 2＝－4p 2，∴x 1＝－.2(x 2＋4p 2x 2)∴x ＝x ＋＋8p 2≥2＋8p 2＝16p 2，当且仅当x ＝，即x ＝4p 2时21216p 4x 216p 4216p 4x 22取等号．又|OA |2＝x ＋＝(x ＋4p 2·x )，注意到x ≥16p 2，21x 414p 214p 2412121∴|OA |2≥(162·p 4＋4p 2·16p 2)＝80p 2.而S ＝π·，∴S ≥20πp 2，14p 2|OA |24即S 的最小值为20πp 2，当且仅当x ＝4p 2时取得．2B 组——能力提升练1．已知抛物线C ：y 2＝mx (m >0)的焦点为F ，点A (0，－)．若射线FA 与抛物3线C 相交于点M ，与其准线相交于点D ，且|FM |∶|MD |＝1∶2，则点M 的纵坐标为( )A ．－B ．－1333C ．－D ．－23233解析：依题意，F 点的坐标为(，0)，设点M 在准线上的射影为K ，由抛物线m4的定义知|MF |＝|MK |，因为|FM |∶|MD |＝1∶2，所以|KD |∶|KM |＝∶1，k FD ＝，k FD ＝＝，所以＝，解得m ＝4，330＋3m4－043m 43m 3所以直线FM 的方程为y ＝(x －1)，与y 2＝4x 联立，解得x ＝3(舍去)或x ＝，313所以y 2＝，y ＝－或y ＝(舍去)，故点M 的坐标为(，－)，故选D.4323323313233答案：D2．(2018·石家庄质检)已知圆C 1：x 2＋(y －2)2＝4，抛物线C 2：y 2＝2px (p >0)，C 1与C 2相交于A ，B 两点，且|AB |＝，则抛物线C 2的方程为( )855A ．y 2＝xB ．y 2＝x85165C ．y 2＝xD ．y 2＝x325645解析：由题意，知直线AB 必过原点，则设AB 的方程为y ＝kx (k >0)，圆心C 1(0,2)到直线AB 的距离d ＝＝＝，解得k ＝2(k ＝－2舍2k 2＋122－(455)2255去)．由Error!，可取A (0,0)，B (，)，把(，)代入抛物线方程，得()85165851651652＝2p ·，解得p ＝，所以抛物线C 2的方程为y 2＝x ，故选C.85165325答案：C3．已知点P 在抛物线y 2＝x 上，点Q 在圆(x ＋)2＋(y －4)2＝1上，则|PQ |的最12小值为( )A.－1 B.－1352332C ．2－1D.－1310解析：设点P (y 2，y )(y ∈R)，圆(x ＋)2＋(y －4)2＝1的圆心为A (－，4)，则1212|PA |2＝(y 2＋)2＋(y －4)2＝y 4＋2y 2－8y ＋，令t ＝y 4＋2y 2－8y ＋，则12654654t ′＝4y 3＋4y －8，令m ＝t ′＝4y 3＋4y －8，则m ′＝12y 2＋4>0，所以m ＝t ′＝4y 3＋4y －8在R 上是增函数，因为t ′|y ＝1＝0，所以y ＝1为t ＝y 4＋2y 2－8y ＋的极小值点也是最小值点，所以|PA |2＝t 的最小值为，所654454以|PA |的最小值为，所以|PQ |的最小值为－1，故选A.352352答案：A4．(2018·山西八校联考)已知抛物线y 2＝4x 的准线与x 轴相交于点P ，过点P 且斜率为k (k >0)的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，F 为抛物线的焦点，若|FB |＝2|FA |，则AB 的长度为．解析：依题意知P (－1,0)，F (1,0)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由|FB |＝2|FA |，得x 2＋1＝2(x 1＋1)，即x 2＝2x 1＋1 ①，∵P (－1,0)，则AB 的方程为y ＝kx ＋k ，与y 2＝4x 联立，得k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2＝0，则Δ＝(2k 2－4)2－4k 4>0，即k 2<1，x 1x 2＝1 ②，由①②得x 1＝，则A (，)，12122∴k ＝＝.∴x 1＋x 2＝，2－012－(－1)22352|AB |＝ ＝.(1＋89)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]172答案：1725．(2018·昆明市检测)设F 为抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点，曲线y ＝(k >0)与kx C 交于点A ，直线FA 恰与曲线y ＝(k >0)相切于点A ，FA 交C 的准线于点B ，kx 则等于 ．|FA ||BA |解析：由Error!解得Error!由y ＝，得y ′＝－，kx kx 2所以k FA ＝＝－，化简得k ＝，32pk k32pk－p2k k 234p 2k 2p 242所以x ＝＝，k32pk p 4＝＝＝.|FA ||AB ||xF －xA ||xA －xB |p 2－p 4p4－(－p2)13答案：136．(2017·唐山统考)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，过点C (－2,0)的直线l 交抛物线于A 、B 两点，坐标原点为O ，·＝12.OA→ OB → (1)求抛物线的方程；(2)当以AB 为直径的圆与y 轴相切时，求直线l 的方程．解析：(1)设l ：x ＝my －2，代入y 2＝2px ，得y 2－2pmy ＋4p ＝0.(*)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝4p ，则x 1x 2＝＝4.y 21y 24p 2因为·＝12，所以x 1x 2＋y 1y 2＝12，即4＋4p ＝12，OA→ OB → 得p ＝2，抛物线的方程为y 2＝4x .(2)(1)中(*)式可化为y 2－4my ＋8＝0，y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝8.设AB 的中点为M ，则|AB |＝2x M ＝x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－4＝4m 2－4，①又|AB |＝|y 1－y 2|1＋m 2＝，②(1＋m 2)(16m 2－32)由①②得(1＋m 2)(16m 2－32)＝(4m 2－4)2，解得m 2＝3，m ＝±.3所以，直线l 的方程为x ＋y ＋2＝0或x －y ＋2＝0.337.如图，由部分抛物线：y 2＝mx ＋1(m ＞0，x ≥0)和半圆x 2＋y 2＝r 2(x ≤0)所组成的曲线称为“黄金抛物线C ”，若“黄金抛物线C ”经过点(3,2)和.(－12，32)(1)求“黄金抛物线C ”的方程；(2)设P (0,1)和Q (0，－1)，过点P 作直线l 与“黄金抛物线C ”相交于A ，P ，B 三点，问是否存在这样的直线l ，使得QP 平分∠AQB ？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．解析：(1)∵“黄金抛物线C ”过点(3,2)和，(－12，32)∴r 2＝2＋2＝1,4＝3m ＋1，∴m ＝1.(－12)(32)∴“黄金抛物线C ”的方程为y 2＝x ＋1(x ≥0)和x 2＋y 2＝1(x ≤0)．(2)假设存在这样的直线l ，使得QP 平分∠AQB ，显然直线l 的斜率存在且不为0，设直线l ：y ＝kx ＋1，联立Error!，消去y ，得k 2x 2＋(2k －1)x ＝0，∴x B ＝，1－2kk 2y B ＝，即B，∴k BQ ＝，1－kk (1－2k k 2，1－k k )k1－2k 联立Error!，消去y ，得(k 2＋1)x 2＋2kx ＝0，∴x A ＝－，y A ＝，2kk 2＋11－k 2k 2＋1即A，∴k AQ ＝－，(－2kk 2＋1，1－k 2k 2＋1)1k ∵QP 平分∠AQB ，∴k AQ ＋k BQ ＝0，∴－＝0，解得k ＝－1±，k 1－2k 1k 2由图形可得k ＝－1－应舍去，∴k ＝－1，22∴存在直线l ：y ＝(－1)x ＋1，2使得QP 平分∠AQB .。
2019年一轮北师大版(理)数学教案：第8章 第5节 椭 圆 Word版含解析
第五节椭圆[考纲传真] 1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质．3.了解椭圆的简单应用．(文)3.理解数形结合思想．4.理解数形结合思想．(文)4.了解椭圆的简单应用．1．椭圆的定义(1)我们把平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合叫作椭圆．这两定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两个焦点F1，F2间的距离叫作椭圆的焦距．(2)集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.①当2a>|F1F2|时，M点的轨迹为椭圆；②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹为线段F1F2；③当2a<|F1F2|时，M点的轨迹不存在．2．椭圆的标准方程和几何性质1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．()(2)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)．()(3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．()(4)椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．()[答案](1)×(2)√(3)×(4)√2．(教材改编)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于1 2，则C的方程是()A.x23＋y24＝1 B.x24＋y23＝1C.x24＋y22＝1 D．x24＋y23＝1D[椭圆的焦点在x轴上，c＝1.又离心率为ca＝12，故a＝2，b2＝a2－c2＝4－1＝3，故椭圆的方程为x24＋y23＝1.]3．(2015·广东高考)已知椭圆x225＋y2m2＝1(m>0)的左焦点为F1(－4,0)，则m＝()A．2B．3C．4D．9B[由左焦点为F1(－4,0)知c＝4.又a＝5，∴25－m2＝16，解得m＝3或－3.又m>0，故m＝3.]4．(2016·全国卷Ⅰ)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为()A.13B．12。
2019高三数学理北师大版一轮教师用书：第8章 第5节 椭
第五节椭圆[考纲传真](教师用书独具)1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质(范围、对称性、顶点、离心率).3.理解数形结合思想.4.了解椭圆的简单应用．(对应学生用书第138页)[基础知识填充]1．椭圆的定义把平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合叫作椭圆．这两个定点叫作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：(1)若a＞c，则集合P为椭圆；(2)若a＝c，则集合P为线段；(3)若a＜c，则集合P为空集．2．椭圆的标准方程和几何性质[知识拓展] 1.点P (x 0，y 0)和椭圆的位置关系：(1)P (x 0，y 0)在椭圆内⇔x 20a 2＋y 20b 2＜1.(2)P (x 0，y 0)在椭圆上⇔x 20a 2＋y 20b 2＝1.(3)P (x 0，y 2)在椭圆外⇔x 20a 2＋y 20b 2＞1. 2．对于x 2a 2＋b 2b 2＝1(a ＞b ＞0)如图8-5-1.图8-5-1则：(1)S△PF 1F 2＝b 2tan θ2.(2)|PF 1|＝a ＋e x 0，|PF 2|＝a －e x 0. (3)a －c ≤|PF 1|≤a ＋c .(4)过P (x 0，y 0)点的切线方程为x 0x a 2 ＋y 0yb 2＝1.[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( )(2)椭圆上一点P 与两焦点F 1，F 2构成△PF 1F 2的周长为2a ＋2c (其中a 为椭圆的长半轴长，c 为椭圆的半焦距)．( ) (3)椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆．( ) (4)椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．( )(5)方程mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )表示的曲线是椭圆．( ) (6)x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的焦距相同．( ) [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)√ (6)√ 2．(2017·浙江高考)椭圆x 29＋y 24＝1的离心率是( )A ．133B ．53C ．23D ．59B [∵椭圆方程为x 29＋y 24＝1，∴a ＝3，c ＝a 2－b 2＝9－4＝ 5. ∴e ＝c a ＝53. 故选B ．]3．(教材改编)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于12，则C 的方程是( ) A ．x 23＋y 24＝1 B ．x 24＋y 23＝1C ．x 24＋y 22＝1D ．x 24＋y 23＝1D [椭圆的焦点在x 轴上，c ＝1.又离心率为c a ＝12，故a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3， 故椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.]4．椭圆C ：x 225＋y 216＝1的左右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆C 于A 、B 两点，则△F 1AB 的周长为( ) A ．12 B ．16 C ．20D ．24C [△F 1AB 的周长为 |F 1A |＋|F 1B |＋|AB |＝|F 1A |＋|F 2A |＋|F 1B |＋|F 2B | ＝2a ＋2a ＝4a .在椭圆x 225＋y 216＝1中，a 2＝25，a ＝5， 所以△F 1AB 的周长为4a ＝20，故选C ．]5．若方程x 25－k ＋y 2k －3＝1表示椭圆，则k 的取值范围是________．(3,4)∪(4,5)[由已知得⎩⎨⎧5－k ＞0，k －3＞0，5－k ≠k －3，解得3＜k ＜5且k ≠4.](对应学生用书第139页)(1)已知两圆C1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( ) A ．x 264－y 248＝1 B ．x 248＋y 264＝1 C ．x 248－y 264＝1D ．x 264＋y 248＝1(2)F 1，F 2是椭圆x 29＋y 27＝1的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠AF 1F 2＝45°，则△AF 1F 2的面积为( ) A ．7 B ．74 C ．72D ．752(1)D (2)C [(1)设圆M 的半径为r ，则|MC 1|＋|MC 2|＝(13－r )＋(3＋r )＝16，又|C 1C 2|＝8＜16，∴动圆圆心M 的轨迹是以C 1、C 2为焦点的椭圆，且2a ＝16,2c ＝8，则a ＝8，c ＝4，∴b 2＝48，故所求的轨迹方程为x 264＋y 248＝1.(2)由题意得a ＝3，b ＝7，c ＝2， ∴|F 1F 2|＝22，|AF 1|＋|AF 2|＝6.∵|AF 2|2＝|AF 1|2＋|F 1F 2|2－2|AF 1|·|F 1F 2|cos 45°＝|AF 1|2－4|AF 1|＋8， ∴(6－|AF 1|)2＝|AF 1|2－4|AF 1|＋8.∴|AF 1|＝72，∴S △AF 1F 2＝12×72×22×22＝72.][跟踪训练] (1)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x a 2＋y b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点，|AF 1|＝3|F 1B |，且|AB |＝4，△ABF 2的周长为16，则|AF 2|＝________.【导学号：79140284】(2)已知F 1、F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1⊥PF 2，若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝__________. (1)5 (2)3 [(1)由|AF 1|＝3|F 1B |，|AB |＝4，得|AF 1|＝3， ∵△ABF 2的周长为16，∴4a ＝16，∴a ＝4. 则|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝8， ∴|AF 2|＝8－|AF 1|＝8－3＝5. (2)设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2， 则⎩⎨⎧r 1＋r 2＝2a ，r 21＋r 22＝4c 2，∴2r 1r 2＝(r 1＋r 2)2－(r 21＋r 22)＝4a 2－4c 2＝4b 2，∴S△PF 1F 2＝12r 1r 2＝b 2＝9，∴b ＝3.](1)若直线x －2y ＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为( ) A ．x 25＋y 2＝1B ．x 24＋y 25＝1 C ．x 25＋y 2＝1或x 24＋y 25＝1D ．以上答案都不对(2)已知椭圆的中心在原点，离心率e ＝12，且它的一个焦点与抛物线y 2＝－4x 的焦点重合，则此椭圆方程为( )A ．x 24＋y 23＝1 B ．x 28＋y 26＝1 C ．x 22＋y 2＝1D ．x 24＋y 2＝1(1)C (2)A [(1)直线与坐标轴的交点分别为(0,1)，(－2,0)，由题意知当焦点在x 轴上时，c ＝2，b ＝1，所以a 2＝5，所求椭圆的标准方程为x 25＋y 2＝1.当焦点在y 轴上时，b ＝2，c ＝1，所以a 2＝5，所求椭圆的标准方程为y 25＋x 24＝1.(2)依题意，可设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，由已知可得抛物线的焦点为(－1,0)，所以c ＝1，又离心率e ＝c a ＝12，解得a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆方程为x 24＋y23＝1.][规律方法] 求椭圆的标准方程的方法有定义法与待定系数法，但基本方法是待定系数法，具体过程是先定位，再定量，即首先确定焦点所在的位置，然后再根据条件建立关于a ，b 的方程组，若焦点位置不确定，可把椭圆方程设为Ax 2＋By 2＝1(A ＞0，B ＞0，A ≠B )的形式.[跟踪训练] (1)(2017·湖南长沙一模)椭圆的焦点在x 轴上，中心在原点，其上、下两个顶点和两个焦点恰为边长是2的正方形的顶点，则椭圆的标准方程为( )A ．x 22＋y 22＝1B ．x 22＋y 2＝1 C ．x 24＋y 22＝1D ．y 24＋x 22＝1(2)已知F 1(－1,0)，F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交C 于A ，B 两点，且|AB |＝3，则C 的方程为__________.【导学号：79140285】(1)C (2)x 24＋y 23＝1 [(1)由条件可知b ＝c ＝2，a ＝2，∴椭圆的标准方程为x 24＋y 22＝1.故选C ．(2)依题意，设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．过点F 2(1,0)且垂直于x 轴的直线被曲线C 截得弦长|AB |＝3， ∴点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32必在椭圆上，∴1a 2＋94b 2＝1.①又由c ＝1，得1＋b 2＝a 2. ②由①②联立，得b 2＝3，a 2＝4. 故所求椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.]◎角度1 求离心率的值或范围(2017·全国卷Ⅲ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为( ) A ．63 B ．33 C ．23D ．13A [由题意知以A 1A 2为直径的圆的圆心为(0,0)，半径为a . 又直线bx －ay ＋2ab ＝0与圆相切， ∴圆心到直线的距离d ＝2aba 2＋b 2＝a ，解得a ＝3b ， ∴b a ＝13，∴e ＝ca ＝a 2－b 2a ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝63.故选A ．]◎角度2 根据椭圆的性质求参数已知椭圆x 2m －2＋y 210－m ＝1的长轴在x 轴上，焦距为4，则m 等于( )A ．8B ．7C ．6D ．5A [∵椭圆x 2m －2＋y 210－m＝1的长轴在x 轴上，∴⎩⎨⎧m －2＞0，10－m ＞0，m －2＞10－m ，解得6＜m ＜10.∵焦距为4，∴c 2＝m －2－10＋m ＝4，解得m ＝8.][跟踪训练] (1)已知椭圆x 9＋y 4－k＝1的离心率为45，则k 的值为( )A ．－21B ．21C ．－1925或21D ．1925或－21(2)已知F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，若椭圆C 上存在点P ，使得线段PF 1的中垂线恰好经过焦点F 2，则椭圆C 离心率的取值范围是( ) A ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，1B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，22C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，1D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13(1)D(2)C[(1)当9＞4－k＞0，即－5＜k＜4时，a＝3，c2＝9－(4－k)＝5＋k，∴5＋k3＝45，解得k＝1925.当9＜4－k，即k＜－5时，a＝4－k，c2＝－k－5，∴－k－54－k＝45，解得k＝－21，所以k的值为1925或－21.(2)如图所示，∵线段PF1的中垂线经过F2，∴|PF2|＝|F1F2|＝2c，即椭圆上存在一点P，使得|PF2|＝2c.∴a－c≤2c≤a＋c.∴e＝ca∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，1.](2018·东北三省四市模拟(一))已知椭圆E的一个顶点为A(0，－1)，焦点在x轴上，若椭圆右焦点到椭圆E的中心的距离是 2.(1)求椭圆E的方程；(2)设直线l：y＝kx＋1(k≠0)与该椭圆交于不同的两点B，C，若坐标原点O到直线l的距离为32，求△BOC的面积．[解](1)由题意b＝1，c＝2，∴a2＝b2＋c2＝3，又∵椭圆E 的焦点在x 轴上， ∴椭圆E 的方程为x 23＋y 2＝1.(2)设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，将直线方程与椭圆联立⎩⎨⎧y ＝kx ＋1，x 2＋3y 2＝3，整理得(3k 2＋1)x 2＋6kx ＝0， 由原点O 到直线l 的距离为11＋k 2＝32，得k 2＝13， 又|BC |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝1＋k 236k 23k 2＋1＝2，∴S △BOC ＝12×|BC |×32＝32， ∴△BOC 的面积为32.A ⎝ ⎛⎭⎪⎫24，22，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫66，33两点，O 为坐标原点．(1)求曲线C 的方程；(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)是曲线C 上两点，向量p ＝(mx 1，ny 1)，q ＝(mx 2，ny 2)，且p ·q ＝0，若直线MN 过点⎝⎛⎭⎪⎫0，32，求直线MN 的斜率．[解] (1)由题可知：⎩⎪⎨⎪⎧ 18m ＋12n ＝1，16m ＋13n ＝1，解得m ＝4，n ＝1.∴曲线C 的方程为y 2＋4x 2＝1.(2)设直线MN 的方程为y ＝kx ＋32，代入椭圆方程y 2＋4x 2＝1，得(k 2＋4)x 2＋3kx －14＝0，∴x 1＋x 2＝－3k k 2＋4，x 1x 2＝－14k 2＋4， ∵p ·q ＝(2x 1，y 1)·(2x 2，y 2)＝4x 1x 2＋y 1y 2＝0，∴－1k 2＋4＋－14k 2k 2＋4＋32k ·(－3k )k 2＋4＋34＝0， 即k 2－2＝0，k ＝±2.故直线MN 的斜率为±2.。
2019版同步优化探究理数(北师大版)练习第二章 第八节 函数与方程及应用 Word版含解析
课时作业组——基础对点练．(·乌鲁木齐模拟)函数()＝＋－的零点所在的一个区间是( )．(，)．(－，)．(，)．(，)解析：因为()＝－＜，()＝－＞，所以零点在区间(，)上．答案：．函数()＝－－的零点个数是( )．．．．解析：函数()＝－－的零点个数，就是方程－－＝的实根的个数，变形为＝＋，显然＝不是方程的根；当≠时，等价于＝＋，令()＝，()＝＋，作出函数()和()的图像如图所示，数形结合知函数()和()的图像有个交点，即函数()有个零点．答案：．已知()是定义在上的奇函数，当≥时，()＝－.则函数()＝()－＋的零点的集合为( )．{－，－}．{}．{－－，}．{－，}解析：当≥时，()＝－，令()＝－－＋＝，得＝，＝.当＜时，－＞，∴(－)＝(－)－(－)，∴－()＝＋，∴()＝－－.令()＝－－－＋＝，得＝－－，＝－＋＞(舍)，∴函数()＝()－＋的零点的集合是{－－，}，故选.答案：．已知，，，都是常数，＞，＞.若()＝－(－)(－)的零点为，，则下列不等式正确的是( )．＞＞＞．＞＞＞．＞＞＞．＞＞＞解析：()＝－(－)(－)＝－＋(＋)－＋，又()＝()＝，，为函数()的零点，且＞，＞，所以可在平面直角坐标系中作出函数()的大致图像，如图所示，由图可知＞＞＞，故选.答案：．(·德州模拟)已知函数＝()是周期为的周期函数，且当∈[－]时，()＝－，则函数()＝()－的零点个数是( )．．．．解析：由()＝得()＝分别作()与＝的图像，如图，所以有个零点，故选.答案：．已知函数()＝(\\(＋，≤，－，＞))(∈)，若函数()在上有两个零点，则的取值范围是( )．(－∞，)．(－∞，－)．[－)．(－) 解析：当＞时，()＝－有一个零点＝，所以只需要当≤时，＋＝有一个根即可，即＝－.当≤时，∈(]，所以－∈(]，即∈[－)，故选.。
2019版同步优化探究理数练习：第八章 第五节 椭 圆 Word版含解析
课时作业 A 组——基础对点练1．已知椭圆x 225＋y 2m 2＝1(m >0)的左焦点为F 1(－4,0)，则m ＝( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．9解析：由4＝25－m 2(m >0)⇒m ＝3，故选B. 答案：B2．方程kx 2＋4y 2＝4k 表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是( ) A ．k >4 B ．k ＝4 C ．k <4D ．0<k <4解析：方程kx 2＋4y 2＝4k 表示焦点在x 轴上的椭圆，即方程x 24＋y 2k ＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，可得0<k <4，故选D. 答案：D3．已知椭圆的中心在原点，离心率e ＝12，且它的一个焦点与抛物线y 2＝－4x 的焦点重合，则此椭圆方程为( ) A.x 24＋y 23＝1 B.x 28＋y 26＝1 C.x 22＋y 2＝1 D.x 24＋y 2＝1解析：依题意，可设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由已知可得抛物线的焦点为(－1,0)，所以c ＝1，又离心率e ＝c a ＝12，解得a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1，故选A. 答案：A4．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A ，B ，左、右焦点分别为F 1，F 2，若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等差数列，则此椭圆的离心率为( ) A.12B.55C.14D.5－2解析：由题意可得2|F 1F 2|＝|AF 1|＋|F 1B |，即4c ＝a －c ＋a ＋c ＝2a ，故e ＝c a ＝12. 答案：A5．已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝π4，则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为( ) A.12B.22 C ．1 D. 2解析：如图，假设F 1，F 2分别是椭圆和双曲线的左、右焦点，P 是第一象限的点，设椭圆的长半轴长为a 1，双曲线的实半轴长为a 2，则根据椭圆及双曲线的定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2a 1，|PF 1|－|PF 2|＝2a 2，∴|PF 1|＝a 1＋a 2，|PF 2|＝a 1－a 2.设|F 1F 2|＝2c ，又∠F 1PF 2＝π4，则在△PF 1F 2中，由余弦定理得，4c 2＝(a 1＋a 2)2＋(a 1－a 2)2－2(a 1＋a 2)(a 1－a 2)cos π4，化简得，(2－2)a 21＋(2＋2)a 22＝4c 2，设椭圆的离心率为e 1，双曲线的离心率为e 2，∴2－2e 21＋2＋2e 22＝4，又2－2e 21＋2＋2e 22≥22－2e 21·2＋2e 22＝22e 1·e 2， ∴22e 1·e 2≤4，即e 1·e 2≥22，即椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为22.故选B. 答案：B6．若x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是． 解析：将椭圆的方程化为标准形式得y 22k ＋x 22＝1，因为x 2＋ky 2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，所以2k >2，解得0<k <1. 答案：(0,1)7．若椭圆的方程为x 210－a ＋y 2a －2＝1，且此椭圆的焦距为4，则实数a ＝.解析：由题可知c ＝2.①当焦点在x 轴上时，10－a －(a －2)＝22，解得a ＝4.②当焦点在y 轴上时，a －2－(10－a )＝22，解得a ＝8.故实数a ＝4或8. 答案：4或88．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率等于13，其焦点分别为A ，B .C 为椭圆上异于长轴端点的任意一点，则在△ABC 中，sin A ＋sin Bsin C 的值等于．解析：在△ABC 中，由正弦定理得sin A ＋sin B sin C ＝|CB |＋|CA ||AB |，因为点C 在椭圆上，所以由椭圆定义知|CA |＋|CB |＝2a ，而|AB |＝2c ，所以sin A ＋sin B sin C ＝2a 2c ＝1e ＝3.答案：39．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，过F 2作垂直于x 轴的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，满足|AF 2|＝36c . (1)求椭圆C 的离心率；(2)M ，N 是椭圆C 短轴的两个端点，设点P 是椭圆C 上一点(异于椭圆C 的顶点)，直线MP ，NP 分别和x 轴相交于R ，Q 两点，O 为坐标原点．若|OR →|·|OQ →|＝4，求椭圆C 的方程．解析：(1)∵点A 的横坐标为c ， 代入椭圆，得c 2a 2＋y 2b 2＝1. 解得|y |＝b 2a ＝|AF 2|，即b 2a ＝36c ， ∴a 2－c 2＝36ac .∴e 2＋36e －1＝0，解得e ＝32. (2)设M (0，b )，N (0，－b )，P (x 0，y 0)， 则直线MP 的方程为y ＝y 0－bx 0x ＋b .令y ＝0，得点R 的横坐标为bx 0b －y 0. 直线NP 的方程为y ＝y 0＋bx 0x －b .令y ＝0，得点Q 的横坐标为bx 0b ＋y 0. ∴|OR →|·|OQ →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪b 2x 20b 2－y 20＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2b 2－a 2y 20b 2－y 20＝a 2＝4，∴c 2＝3，b 2＝1，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.10．(2018·沈阳模拟)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，其中e ＝12，焦距为2，过点M (4,0)的直线l 与椭圆C 交于点A ，B ，点B 在A ，M 之间．又线段AB 的中点的横坐标为47，且AM →＝λMB →. (1)求椭圆C 的标准方程． (2)求实数λ的值．解析：(1)由条件可知，c ＝1，a ＝2，故b 2＝a 2－c 2＝3，椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题意可知A ，B ，M 三点共线， 设点A (x 1，y 1)，点B (x 2，y 2)．若直线AB ⊥x 轴，则x 1＝x 2＝4，不合题意． 则AB 所在直线l 的斜率存在，设为k ， 则直线l 的方程为y ＝k (x －4)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －4)，x 24＋y 23＝1，消去y 得(3＋4k 2)x 2－32k 2x ＋64k 2－12＝0.①由①的判别式Δ＝322k 4－4(4k 2＋3)·(64k 2－12)＝144(1－4k 2)>0，解得k 2<14，且⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝32k 24k 2＋3，x 1x 2＝64k 2－124k 2＋3.由x 1＋x 22＝16k 23＋4k 2＝47，可得k 2＝18， 将k 2＝18代入方程①，得7x 2－8x －8＝0. 则x 1＝4－627，x 2＝4＋627.又因为AM →＝(4－x 1，－y 1)，MB →＝(x 2－4，y 2)， AM →＝λMB →，所以λ＝4－x 1x 2－4，所以λ＝－9－427.B 组——能力提升练1．(2018·合肥市质检)已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2＝1，圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限有公共点P ，设圆C 在点P 处的切线斜率为k 1，椭圆M 在点P 处的切线斜率为k 2，则k 1k 2的取值范围为( )A ．(1,6)B ．(1,5)C ．(3,6)D ．(3,5)解析：由于椭圆M ：x 2a 2＋y 2＝1，圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限有公共点P ，所以⎩⎨⎧a 2>6－a 2，6－a 2>1，解得3<a 2<5.设椭圆M ：x 2a 2＋y 2＝1与圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限的公共点P (x 0，y 0)，则椭圆M 在点P 处的切线方程为x 0xa 2＋y 0y ＝1，圆C 在P 处的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝6－a 2，所以k 1＝－x 0y 0，k 2＝－x 0a 2y 0，k 1k 2＝a 2，所以k 1k 2∈(3,5)，故选D. 答案：D2．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|＝2c ，若椭圆上存在点M 使得sin ∠MF 1F 2a ＝sin ∠MF 2F 1c，则该椭圆离心率的取值范围为 ( )A ．(0，2－1)B ．(22，1) C ．(0，22)D ．(2－1,1)解析：在△MF 1F 2中，|MF 2|sin ∠MF 1F 2＝|MF 1|sin ∠MF 2F 1，而sin ∠MF 1F 2a ＝sin ∠MF 2F 1c ，∴|MF 2||MF 1|＝sin ∠MF 1F 2sin ∠MF 2F 1＝ac .①又M 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点， F 1，F 2是该椭圆的焦点， ∴|MF 1|＋|MF 2|＝2a .②由①②得，|MF 1|＝2ac a ＋c ，|MF 2|＝2a 2a ＋c .显然，|MF 2|>|MF 1|，∴a －c <|MF 2|<a ＋c ，即a －c <2a 2a ＋c <a ＋c ，整理得c 2＋2ac －a 2>0，∴e 2＋2e －1>0， 解得e >2－1，又e <1，∴2－1<e <1，故选D. 答案：D3．已知P (1,1)为椭圆x 24＋y 22＝1内一定点，经过P 引一条弦，使此弦被P 点平分，则此弦所在的直线方程为．解析：易知此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为k ，弦的端点坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则x 214＋y 212＝1，① x 224＋y 222＝1，②①－②得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)4＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)2＝0，∵x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，∴x 1－x 22＋y 1－y 2＝0，∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－12.∴此弦所在的直线方程为y －1＝－12(x －1)， 即x ＋2y －3＝0. 答案：x ＋2y －3＝04．已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的两焦点为F 1，F 2，点P (x 0，y 0)满足0<x 202＋y 20<1，则|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是．解析：由点P (x 0，y 0)满足0<x 202＋y 20<1，可知P (x 0，y 0)一定在椭圆内(不包括原点)，因为a ＝2，b ＝1，所以由椭圆的定义可知|PF 1|＋|PF 2|<2a ＝22，当P (x 0，y 0)与F 1或F 2重合时，|PF 1|＋|PF 2|＝2，又|PF 1|＋|PF 2|≥|F 1F 2|＝2，故|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是[2,22)． 答案：[2,22)5．(2018·保定模拟)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝32，a ＋b ＝3. (1)求椭圆C 的方程．(2)如图，A ，B ，D 是椭圆C 的顶点，P 是椭圆C 上除顶点外的任意一点，直线DP 交x 轴于点N ，直线AD 交BP 于点M ，设BP 的斜率为k ，MN 的斜率为m .证明：2m －k 为定值． 解析：(1)因为e ＝32＝ca ， 所以a ＝23c ，b ＝13c .代入a ＋b ＝3得，c ＝3，a ＝2，b ＝1. 故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明：因为B (2,0)，P 不为椭圆顶点，则直线BP 的方程为y ＝k (x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫k ≠0，k ≠±12，① 把①代入x 24＋y 2＝1，解得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2－24k 2＋1，－4k 4k 2＋1. 直线AD 的方程为y ＝12x ＋1.② ①与②联立解得M ⎝⎛⎭⎪⎫4k ＋22k －1，4k 2k －1. 由D (0,1)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2－24k 2＋1，－4k 4k 2＋1，N (x,0)三点共线知 －4k4k 2＋1－18k 2－24k 2＋1－0＝0－1x －0，得N⎝ ⎛⎭⎪⎫4k －22k ＋1，0. 所以MN 的斜率为m ＝4k2k －1－04k ＋22k －1－4k －22k ＋1＝4k (2k ＋1)2(2k ＋1)2－2(2k －1)2＝2k ＋14， 则2m －k ＝2k ＋12－k ＝12(定值)．。
2019版同步优化探究理数北师大版练习：第八章第五节椭圆含解析
2019版同步优化探究理数北师大版练习：第八章第五节椭圆含解析1 / 11 / 1课时作业A 组 —— 基础对点练x 2 y 21．已知椭圆 25＋m 2＝ 1(m>0)的左焦点为 F 1(－ 4,0)，则 m ＝( )A ． 2B ．3C ．4D ．9 分析：由 4＝ 25－m 2 ＝ ，应选B. (m>0)? m 3 答案： B．方程2＋4y 2＝4k 表示焦点在 x 轴上的椭圆，则实数 k 的取值范围是 () 2 kx A ． k>4 B ．k ＝4C ．k<4D ．0<k<4222 2x y分析：方程 kx ＋4y ＝4k 表示焦点在 x 轴上的椭圆，即方程 4 ＋ k ＝ 1 表示焦点 在 x 轴上的椭圆，可得 0<k<4，应选 D.答案： D123．已知椭圆的中心在原点，离心率 e ＝ 2，且它的一个焦点与抛物线 y ＝－ 4x 的焦点重合，则此椭圆方程为 ()x2y2x2y2A. 4＋ 3 ＝1B. 8＋ 6＝ 1x 2 x 2C. 2 ＋y 2＝1D. 4 ＋y 2＝ 1分析： 依题意，可设椭圆的标准方程为x2y2，由已知可得抛物线的22a ＋b ＝1(a>b>0)c 1焦点为 (－1,0)，因此 c ＝1，又离心率 e ＝a ＝2，解得 a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3，因此x 2 y 2椭圆方程为 4 ＋3 ＝1，应选 A. 答案： A2 2．椭圆x2y 21(a>b>0) 的左、右极点分别为 ， ，左、右焦点分别为F 1，F 2，4a ＋b ＝A B若|AF 1， 12 ，1 成等差数列，则此椭圆的离心率为()| |FF| |F B|15A. 2B. 5。
高考数学理(北师大版)大一轮总复习练习：8-5椭圆(含答案解析)
计时双基练五十四椭圆A 组基础必做1．椭圆 x 2＋y 2 ＝ 1 的焦距为 4，则 m 等于 () 10－ m m －2A ． 4B ．8C ．4或 8D ． 12分析当焦点在 x 轴上时， 10－ m>m － 2>0，10－ m －(m － 2)＝ 4，∴ m ＝ 4。
当焦点在 y 轴上时， m － 2>10－ m>0 ， m － 2－ (10－ m)＝ 4，∴ m ＝ 8。
答案 C2．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，且长轴长为12，离心率为 1，则椭圆的方3程是 ()x 2y 2x 2 y 2 A. 144＋ 128＝ 1B. 36＋ 20＝ 1222 2x＋ y＝ 1D. x＋ y＝ 1C.32 363632分析由题意知 2a ＝ 12，c ＝ 1，即 a ＝6， c ＝ 2，故 b 2＝ 36－4＝ 32。
a 3答案 D3．假如方程 x 2＋ky 2＝ 2 表示焦点在 y 轴上的椭圆，那么实数 k 的取值范围是 ()A ． (0,1)B ．(1,2)C ． (0,2)D ． (0,1]22x 2 y 2分析 由 x ＋ ky ＝ 2，得＋＝ 1。
2 2k∵椭圆的焦点在 y 轴上，∴ 2>2，即 1－ 1>0，k k 1－k ∴ k >0? k(k －1)<0 。
∴ 0<k<1 。
答案 A4．设 F 1，F 2 是椭圆x 2＋y 2＝ 1 的两个焦点， P 是椭圆上的点，且 |PF 1|∶ |PF 2|＝ 4∶ 3，则49 24△ PF 1F 2 的面积为 ()A ． 30B ．25C ． 24D ． 40分析∵ |PF 1|＋ |PF 2|＝14，又 |PF 1 |∶ |PF 2|＝ 4∶ 3，∴ |PF 1|＝ 8， |PF 2 |＝6。
∵ |F 1F 2|＝ 10，∴ PF 1⊥ PF 2。
11∴ S △PF 1F 2＝|PF 1 | |PF ·2|＝ ×8×6＝ 24。
高中同步优化探究理数(北师大版)练习：第八章 第三节 圆的方程 Word版含解析
课时作业A组——基础对点练1．方程x2＋y2＋2x－4y－6＝0表示的图形是()A．以(1，－2)为圆心，11为半径的圆B．以(1,2)为圆心，11为半径的圆C．以(－1，－2)为圆心，11为半径的圆D．以(－1,2)为圆心，11为半径的圆解析：由x2＋y2＋2x－4y－6＝0得(x＋1)2＋(y－2)2＝11，故圆心为(－1,2)，半径为11.答案：D2．若圆C的半径为1，圆心C与点(2,0)关于点(1,0)对称，则圆C的标准方程为()A．x2＋y2＝1B．(x－3)2＋y2＝1C．(x－1)2＋y2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1解析：因为圆心C与点(2,0)关于点(1,0)对称，故由中点坐标公式可得C(0,0)，所以所求圆的标准方程为x2＋y2＝1.答案：A3．圆(x＋2)2＋y2＝5关于原点(0,0)对称的圆的方程为()A．x2＋(y－2)2＝5 B．(x－2)2＋y2＝5C．x2＋(y＋2)2＝5 D．(x－1)2＋y2＝5解析：因为所求圆的圆心与圆(x＋2)2＋y2＝5的圆心(－2，0)关于原点(0,0)对称，所以所求圆的圆心为(2,0)，半径为5，故所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝5.答案：B4．设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为．解析：如图所示，圆心M(3，－1)到定直线x＝－3上点的最短距离为|MQ|＝3－(－3)＝6，又圆的半径为2，故所求最短距离为6－2＝4. 答案：45．(2018·唐山一中调研)点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是．解析：设圆上任意一点为(x 1，y 1)，中点为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋42y ＝y 1－22，即⎩⎨⎧x 1＝2x －4y 1＝2y ＋2，代入x 2＋y 2＝4，得(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，化简得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1. 答案：(x －2)2＋(y ＋1)2＝16．已知圆C 经过点(0,1)，且圆心为C (1,2)． (1)写出圆C 的标准方程；(2)过点P (2，－1)作圆C 的切线，求该切线的方程及切线长． 解析：(1)由题意知，圆C 的半径r ＝(1－0)2＋(2－1)2＝2， 所以圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝2.(2)由题意知切线斜率存在，故设过点P (2，－1)的切线方程为y ＋1＝k (x －2)，即kx －y －2k －1＝0，则|－k －3|1＋k 2＝2，所以k 2－6k －7＝0，解得k ＝7或k ＝－1， 故所求切线的方程为7x －y －15＝0或x ＋y －1＝0.由圆的性质易得所求切线长为PC 2－r 2＝(2－1)2＋(－1－2)2－2＝2 2. 7．(2018·南昌二中检测)在平面直角坐标系xOy 中，经过函数f (x )＝x 2－x －6的图像与两坐标轴交点的圆记为圆C . (1)求圆C 的方程；(2)求经过圆心C 且在坐标轴上截距相等的直线l 的方程．解析：(1)设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，函数f (x )＝x 2－x －6的图像与两坐标轴交点为(0，－6)，(－2,0)，(3,0)，由⎩⎨⎧36－6E ＋F ＝04－2D ＋F ＝09＋3D ＋F ＝0，解得⎩⎨⎧D ＝－1E ＝5F ＝－6，所以圆的方程为x 2＋y 2－x ＋5y －6＝0.(2)由(1)知圆心坐标为(12，－52)，若直线经过原点，则直线l 的方程为5x ＋y ＝0；若直线不过原点，设直线l 的方程为x ＋y ＝a ，则a ＝12－52＝－2，即直线l 的方程为x ＋y ＋2＝0.综上可得，直线l 的方程为5x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0.B 组——能力提升练1．已知圆x 2＋y 2－4ax ＋2by ＋b 2＝0(a >0，b >0)关于直线x －y －1＝0对称，则ab 的最大值是( ) A.12 B.18 C.14D. 24解析：由圆x 2＋y 2－4ax ＋2by ＋b 2＝0(a >0，b >0)关于直线x －y －1＝0对称，可得圆心(2a ，－b )在直线x －y －1＝0上，故有2a ＋b －1＝0，即2a ＋b ＝1≥2 2ab ，解得ab ≤18，故ab 的最大值为18，故选B. 答案：B2．(2018·绵阳诊断)圆C 的圆心在y 轴正半轴上，且与x 轴相切，被双曲线x 2－y23＝1的渐近线截得的弦长为3，则圆C 的方程为( ) A ．x 2＋(y －1)2＝1 B ．x 2＋(y －3)2＝3 C ．x 2＋(y ＋1)2＝1D ．x 2＋(y ＋3)2＝3解析：依题意得，题中的双曲线的一条渐近线的斜率为3，倾斜角为60°，结合图形(图略)可知，所求的圆C 的圆心坐标是(0,1)、半径是1，因此其方程是x 2＋(y －1)2＝1，选A. 答案：A3．已知圆C 与直线y ＝x 及x －y －4＝0都相切，圆心在直线y ＝－x 上，则圆C 的方程为( ) A ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝2 B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2 C ．(x －1)2＋(y －1)2＝2D ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2解析：由题意知x －y ＝0和x －y －4＝0之间的距离为|4|2＝22，所以r ＝ 2.又因为y ＝－x 与x －y ＝0，x －y －4＝0均垂直，所以由y ＝－x 和x －y ＝0联立得交点坐标为(0,0)，由y ＝－x 和x －y －4＝0联立得交点坐标为(2，－2)，所以圆心坐标为(1，－1)，圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2. 答案：D4．已知△ABC 的三个顶点坐标分别为A (－2,3)，B (－2，－1)，C (6，－1)，以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，则该圆的方程为( ) A ．x 2＋y 2＝1 B ．x 2＋y 2＝4 C ．x 2＋y 2＝3D ．x 2＋y 2＝1或x 2＋y 2＝37解析：如图，易知AC 所在直线的方程为x ＋2y －4＝0. 点O 到直线x ＋2y －4＝0的距离d ＝|－4|5＝455>1，OA ＝(－2)2＋32＝13，OB ＝(－2)2＋(－1)2＝5，OC ＝62＋(－1)2＝37，∴以原点为圆心的圆若与三角形ABC 有唯一的公共点，则公共点为(0，－1)或(6，－1)，∴圆的半径为1或37，则该圆的方程为x 2＋y 2＝1或x 2＋y 2＝37.故选D. 答案：D5．圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为 ．解析：依题意，设圆心的坐标为(2b ，b )(其中b >0)，则圆C 的半径为2b ，圆心到x 轴的距离为b ，所以24b 2－b 2＝23，b >0，解得b ＝1，故所求圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4. 答案：(x －2)2＋(y －1)2＝46．已知圆C 过点P (1,1)，且与圆M ：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝r 2(r >0)关于直线x ＋y ＋2＝0对称． (1)求圆C 的方程；(2)设Q 为圆C 上的一个动点，求PQ →·MQ →的最小值． 解析：(1)设圆心C (a ，b )，由已知得M (－2，－2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧a －22＋b －22＋2＝0，b ＋2a ＋2＝1，解得⎩⎨⎧a ＝0，b ＝0，则圆C 的方程为x 2＋y 2＝r 2，将点P 的坐标代入得r 2＝2，故圆C 的方程为x 2＋y 2＝2.(2)设Q (x ，y )，则x 2＋y 2＝2， PQ →·MQ →＝(x －1，y －1)·(x ＋2，y ＋2) ＝x 2＋y 2＋x ＋y －4＝x ＋y －2. 令x ＝2cos θ，y ＝2sin θ，所以PQ →·MQ →＝x ＋y －2＝2(sin θ＋cos θ)－2 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－2，又⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin (θ＋π4)min ＝－1， 所以PQ →·MQ →的最小值为－4.。
2019版同步优化探究理数北师大版练习：第八章第七节双曲线含解析
2019版同步优化探究理数北师大版练习：第八章第七节双曲线含解析1 / 11 / 1课时作业A 组 —— 基础对点练1．已知 F 为双曲线 C ：x 2－my 2＝ 3m(m>0)的一个焦点，则点 F 到 C 的一条渐近线的距离为 ()A. 3 B ．3C. 3mD ．3mx2y2分析：双曲线方程为 3m － 3 ＝1，焦点 F 到一条渐近线的距离为 3.选 A.答案： A22x y2．已知双曲线 a 2－ 3 ＝ 1(a>0)的离心率为 2，则 a ＝ ()6A ．2 B. 25C. 2D ．1x 2 y 2232分析： 由于双曲线的方程为 a 2－ 3 ＝1，所以 e ＝ 1＋ a 2＝ 4，所以 a ＝ 1， a ＝ 1. 选 D.答案： D2 2)3．双曲线 x －4y ＝－ 1 的渐近线方程为 (A ． x ±2y ＝0B ．y ±2x ＝0C ．x ±4y ＝0D ．y ±4x ＝0y 2 2y 2 2分析：依题意，题中的双曲线即 1 －x ＝1，所以其渐近线方程是1 － x ＝0，即 x ±2y44＝ 0，选 A.答案： Ax 224．已知双曲线 3 －y ＝1 的左、右焦点分别为 F 1，F 2，点 P 在双曲线上，且知足 |PF 1|＋|PF 2|＝2 5，则△ PF 1F 2 的面积为 ( )A ． 1B. 3。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
课时作业 A 组——基础对点练1．已知椭圆x 225＋y 2m 2＝1(m >0)的左焦点为F 1(－4,0)，则m ＝( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．9解析：由4＝25－m 2(m >0)⇒m ＝3，故选B.答案：B2．方程kx 2＋4y 2＝4k 表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是( ) A ．k >4 B ．k ＝4 C ．k <4D ．0<k <4解析：方程kx 2＋4y 2＝4k 表示焦点在x 轴上的椭圆，即方程x 24＋y 2k ＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，可得0<k <4，故选D. 答案：D3．已知椭圆的中心在原点，离心率e ＝12，且它的一个焦点与抛物线y 2＝－4x 的焦点重合，则此椭圆方程为( ) A.x 24＋y 23＝1 B.x 28＋y 26＝1 C.x 22＋y 2＝1D.x 24＋y 2＝1解析：依题意，可设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由已知可得抛物线的焦点为(－1,0)，所以c ＝1，又离心率e ＝c a ＝12，解得a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1，故选A. 答案：A4．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A ，B ，左、右焦点分别为F 1，F 2，若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等差数列，则此椭圆的离心率为( )A.12B.55C.14D.5－2解析：由题意可得2|F 1F 2|＝|AF 1|＋|F 1B |，即4c ＝a －c ＋a ＋c ＝2a ，故e ＝c a ＝12. 答案：A5．已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝π4，则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为( ) A.12 B.22 C ．1 D. 2解析：如图，假设F 1，F 2分别是椭圆和双曲线的左、右焦点，P 是第一象限的点，设椭圆的长半轴长为a 1，双曲线的实半轴长为a 2，则根据椭圆及双曲线的定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2a 1，|PF 1|－|PF 2|＝2a 2，∴|PF 1|＝a 1＋a 2，|PF 2|＝a 1－a 2.设|F 1F 2|＝2c ，又∠F 1PF 2＝π4，则在△PF 1F 2中，由余弦定理得，4c 2＝(a 1＋a 2)2＋(a 1－a 2)2－2(a 1＋a 2)(a 1－a 2)cos π4，化简得，(2－2)a 21＋(2＋2)a 22＝4c 2，设椭圆的离心率为e 1，双曲线的离心率为e 2，∴2－2e 21＋2＋2e 22＝4，又2－2e 21＋2＋2e 22≥22－2e 21·2＋2e 22＝22e 1·e 2， ∴22e 1·e 2≤4，即e 1·e 2≥22，即椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为22.故选B. 答案：B6．若x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是 ．解析：将椭圆的方程化为标准形式得y 22k＋x 22＝1，因为x 2＋ky 2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，所以2k >2，解得0<k <1. 答案：(0,1)7．若椭圆的方程为x 210－a ＋y 2a －2＝1，且此椭圆的焦距为4，则实数a＝ .解析：由题可知c ＝2.①当焦点在x 轴上时，10－a －(a －2)＝22，解得a ＝4.②当焦点在y 轴上时，a －2－(10－a )＝22，解得a ＝8.故实数a ＝4或8. 答案：4或88．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率等于13，其焦点分别为A ，B .C 为椭圆上异于长轴端点的任意一点，则在△ABC 中，sin A ＋sin Bsin C 的值等于 ． 解析：在△ABC 中，由正弦定理得sin A ＋sin B sin C ＝|CB |＋|CA ||AB |，因为点C 在椭圆上，所以由椭圆定义知|CA |＋|CB |＝2a ，而|AB |＝2c ，所以sin A ＋sin B sin C ＝2a 2c ＝1e ＝3. 答案：39．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，过F 2作垂直于x 轴的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，满足|AF 2|＝36c . (1)求椭圆C 的离心率；(2)M ，N 是椭圆C 短轴的两个端点，设点P 是椭圆C 上一点(异于椭圆C 的顶点)，直线MP ，NP 分别和x 轴相交于R ，Q 两点，O 为坐标原点．若|OR →|·|OQ →|＝4，求椭圆C 的方程．解析：(1)∵点A 的横坐标为c ， 代入椭圆，得c 2a 2＋y 2b 2＝1. 解得|y |＝b 2a ＝|AF 2|，即b 2a ＝36c ，∴a 2－c 2＝36ac .∴e 2＋36e －1＝0，解得e ＝32. (2)设M (0，b )，N (0，－b )，P (x 0，y 0)， 则直线MP 的方程为y ＝y 0－bx 0x ＋b .令y ＝0，得点R 的横坐标为bx 0b －y 0. 直线NP 的方程为y ＝y 0＋bx 0x －b .令y ＝0，得点Q 的横坐标为bx 0b ＋y 0.∴|OR →|·|OQ →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪b 2x 20b 2－y 20＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2b 2－a 2y 20b 2－y 20＝a 2＝4，∴c 2＝3，b 2＝1，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.10．(2018·沈阳模拟)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，其中e ＝12，焦距为2，过点M (4,0)的直线l 与椭圆C 交于点A ，B ，点B 在A ，M 之间．又线段AB 的中点的横坐标为47，且AM →＝λMB →. (1)求椭圆C 的标准方程． (2)求实数λ的值．解析：(1)由条件可知，c ＝1，a ＝2，故b 2＝a 2－c 2＝3，椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题意可知A ，B ，M 三点共线， 设点A (x 1，y 1)，点B (x 2，y 2)．若直线AB ⊥x 轴，则x 1＝x 2＝4，不合题意． 则AB 所在直线l 的斜率存在，设为k ， 则直线l 的方程为y ＝k (x －4)．由⎩⎨⎧y ＝k (x －4)，x 24＋y 23＝1，消去y 得(3＋4k 2)x 2－32k 2x ＋64k 2－12＝0.①由①的判别式Δ＝322k 4－4(4k 2＋3)·(64k 2－12)＝144(1－4k 2)>0， 解得k 2<14，且⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝32k 24k 2＋3，x 1x 2＝64k 2－124k 2＋3.由x 1＋x 22＝16k 23＋4k 2＝47，可得k 2＝18， 将k 2＝18代入方程①，得7x 2－8x －8＝0. 则x 1＝4－627，x 2＝4＋627.又因为AM →＝(4－x 1，－y 1)，MB →＝(x 2－4，y 2)， AM →＝λMB →，所以λ＝4－x 1x 2－4，所以λ＝－9－427.B 组——能力提升练1．(2018·合肥市质检)已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2＝1，圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限有公共点P ，设圆C 在点P 处的切线斜率为k 1，椭圆M 在点P 处的切线斜率为k 2，则k 1k 2的取值范围为( )A ．(1,6)B ．(1,5)C ．(3,6)D ．(3,5)解析：由于椭圆M ：x 2a 2＋y 2＝1，圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限有公共点P ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2>6－a 2，6－a 2>1，解得3<a 2<5.设椭圆M ：x 2a 2＋y 2＝1与圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限的公共点P (x 0，y 0)，则椭圆M 在点P 处的切线方程为x 0xa 2＋y 0y ＝1，圆C 在P 处的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝6－a 2，所以k 1＝－x 0y 0，k 2＝－x 0a 2y 0，k 1k 2＝a 2，所以k 1k 2∈(3,5)，故选D. 答案：D2．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|＝2c ，若椭圆上存在点M 使得sin ∠MF 1F 2a ＝sin ∠MF 2F 1c，则该椭圆离心率的取值范围为 ( )A ．(0，2－1)B ．(22，1) C ．(0，22)D ．(2－1,1)解析：在△MF 1F 2中，|MF 2|sin ∠MF 1F 2＝|MF 1|sin ∠MF 2F 1，而sin ∠MF 1F 2a ＝sin ∠MF 2F 1c ，∴|MF 2||MF 1|＝sin ∠MF 1F 2sin ∠MF 2F 1＝a c.① 又M 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点， F 1，F 2是该椭圆的焦点， ∴|MF 1|＋|MF 2|＝2a .②由①②得，|MF 1|＝2aca ＋c ，|MF 2|＝2a 2a ＋c. 显然，|MF 2|>|MF 1|，∴a －c <|MF 2|<a ＋c ，即a －c <2a 2a ＋c <a ＋c ，整理得c 2＋2ac －a 2>0，∴e 2＋2e －1>0， 解得e >2－1，又e <1，∴2－1<e <1，故选D. 答案：D3．已知P (1,1)为椭圆x 24＋y 22＝1内一定点，经过P 引一条弦，使此弦被P 点平分，则此弦所在的直线方程为 ．解析：易知此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为k ，弦的端点坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则x 214＋y 212＝1，① x 224＋y 222＝1，②①－②得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)4＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)2＝0，∵x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，∴x 1－x 22＋y 1－y 2＝0，∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－12.∴此弦所在的直线方程为y －1＝－12(x －1)， 即x ＋2y －3＝0. 答案：x ＋2y －3＝04．已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的两焦点为F 1，F 2，点P (x 0，y 0)满足0<x 202＋y 20<1，则|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是 ．解析：由点P (x 0，y 0)满足0<x 202＋y 20<1，可知P (x 0，y 0)一定在椭圆内(不包括原点)，因为a ＝2，b ＝1，所以由椭圆的定义可知|PF 1|＋|PF 2|<2a ＝22，当P (x 0，y 0)与F 1或F 2重合时，|PF 1|＋|PF 2|＝2，又|PF 1|＋|PF 2|≥|F 1F 2|＝2，故|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是[2,22)． 答案：[2,22)5．(2018·保定模拟)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝32，a ＋b ＝3. (1)求椭圆C 的方程．(2)如图，A ，B ，D 是椭圆C 的顶点，P 是椭圆C 上除顶点外的任意一点，直线DP 交x 轴于点N ，直线AD 交BP 于点M ，设BP 的斜率为k ，MN 的斜率为m .证明：2m －k 为定值． 解析：(1)因为e ＝32＝ca ， 所以a ＝23c ，b ＝13c .代入a ＋b ＝3得，c ＝3，a ＝2，b ＝1. 故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明：因为B (2,0)，P 不为椭圆顶点，则直线BP 的方程为y ＝k (x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫k ≠0，k ≠±12，① 把①代入x 24＋y 2＝1，解得P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫8k 2－24k 2＋1，－4k 4k 2＋1. 直线AD 的方程为y ＝12x ＋1.② ①与②联立解得M ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4k ＋22k －1，4k 2k －1.由D (0,1)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫8k 2－24k 2＋1，－4k 4k 2＋1，N (x,0)三点共线知 －4k4k 2＋1－18k 2－24k 2＋1－0＝0－1x －0，得N ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4k －22k ＋1，0. 所以MN 的斜率为m ＝4k2k －1－04k ＋22k －1－4k －22k ＋1＝4k (2k ＋1)2(2k ＋1)2－2(2k －1)2＝2k ＋14， 则2m －k ＝2k ＋12－k ＝12(定值)．。