九年级数学弧长和扇形面积1
九年级数学上册(人教版)24.4弧长与扇形面积(第一课时)教学设计
"首先，我们来看弧长的计算公式。弧长等于圆周长的一部分，我们可以通过圆心角和半径来计算。其公式为：弧长= (圆心角/360) × 2πr。接下来，我们学习扇形面积的计算公式。扇形面积是圆面积的一部分，它等于圆心角所对的圆弧与半径所围成的图形。其公式为：扇形面积= (圆心角/360) × πr²。"
2.教师通过示例题，展示如何运用这些公式解决实际问题，让学生理解并掌握计算方法。
（三）学生小组讨论，500字
1.教师将学生分成小组，让学生合作讨论以下问题：
"如何计算一个圆的1/4弧长和扇形面积？如果圆的半径是10cm，圆心角是90度，你能计算出弧长和扇形面积吗？"
2.学生在小组内进行讨论，共同解决这些问题，教师巡回指导，解答学生的疑问。
3.梯度练习，巩固知识
设计不同难度的练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。针对学生的错误，进行及时反馈和指导。
4.理论联系实际，学以致用
通过解决实际问题，让学生感受数学的实用性。例如，计算一段弯曲的道路的长度、计算扇形门的面积等。
5.总结反馈，拓展提高
在课堂结束时，让学生总结本节课所学内容，并进行自我评价。教师对学生的表现给予肯定和鼓励，同时对学生的不足之处进行指导。
（四）课堂练习，500字
1.教师设计不同难度的练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
"请同学们完成以下练习题：计算半径为5cm的圆的1/6弧长和扇形面积；计算圆心角为120度的扇形面积，半径为8cm。"
2.教师对学生的练习进行批改和反馈，针对错误进行讲解，确保学生掌握所学知识。
（五）总结归纳，500字
弧长与扇形面积知识点总结
弧长与扇形面积知识点总结圆是数学中常见的几何图形之一，而与圆相关的知识点也是我们学习数学不可或缺的一部分。
其中，弧长和扇形面积是圆的两个重要概念。
本文将对弧长和扇形面积这两个知识点进行总结，并介绍其计算公式和应用。
一、弧长弧长是指圆周的一部分长度，它与圆的半径和圆心角有关。
圆心角是以圆心为顶点的角，其对应的弧称为弧度。
下面是计算弧长的公式：弧长 = 弧度 ×半径其中，弧度是以弧长与圆心角所对应的弧度数。
要计算弧度，可以使用以下公式：弧度 = 圆心角/360° × 2π在计算弧长时，需要注意圆心角的单位应与弧度的单位一致，如都是弧度或都是角度。
二、扇形面积扇形是圆中的一部分，由圆心角和两条半径所围成。
扇形的面积是扇形所占的圆的面积。
为了方便计算扇形面积，我们需要了解如下公式：扇形面积 = 扇形的圆心角/360° × πr²其中，r是扇形的半径，π是一个近似值，约等于3.14。
计算扇形面积时，需要将圆心角的单位与面积的单位保持一致。
三、应用案例1. 弧长应用假设一辆车以10m/s的速度绕一个半径为20m的圆形跑道做匀速圆周运动，问车在15秒内行驶的弧长是多少？解：首先，我们需要计算圆心角：圆周长= 2πr = 2π × 20 = 40π m车在15秒内行驶的弧长 = 10m/s × 15s = 150m2. 扇形面积应用一块土地位于一个半径为10m的花圃内，其夹角为60°，问这块土地的面积是多少？解：首先，计算扇形的面积：扇形面积= 60°/360° × π×10² = 1/6 × π × 100 ≈ 52.36m²四、总结弧长和扇形面积是圆的重要概念，它们的计算可以帮助我们解决各种实际问题。
在计算弧长时，需要了解弧度的概念，并注意圆心角的单位。
辅导讲义：弧长和扇形的面积、圆锥的侧面积和全面积
辅导：弧长和扇形的面积、圆锥的侧面积和全面积一、弧长和扇形的面积：『活动一』因为360°的圆心角所对弧长就是圆周长C =2πR ，所以1°的圆心角所对的弧长是 .这样，在半径为R 的圆中，n °的圆心角所对的弧长l = . 『活动二』类比弧长的计算公式可知：在半径为R 的圆中，圆心角为n °的扇形面积的计算公式为：S = . 『活动三』扇形面积的另一个计算公式比较扇形面积计算公式与弧长计算公式，可以发现：可以将扇形面积的计算公式：S =360nπR 2化为S =180R n ·21R ，从面可得扇形面积的另一计算公式：S = . 二、圆锥的侧面积和全面积：1．圆锥的基本概念： 的线段SA 、SA 1……叫做圆锥的母线，的线段叫做圆锥的高．2.圆锥中的各元素与它的侧面展开图——扇形的各元素之间的关系：将圆锥的侧面沿母线l 剪开，展开成平面图形，可以得到一个扇形，设圆锥的底面半径为r ，这个扇形的半径等于 ，扇形弧长等于 ． 3．圆锥侧面积计算公式圆锥的母线即为扇形的半径，而圆锥底面的周长是扇形的弧长， 这样，S 圆锥侧=S 扇形=21·2πr · l = πrl 4．圆锥全面积计算公式S 圆锥全=S 圆锥侧＋S 圆锥底面= πr l ＋πr 2=πr （l ＋r ）三、例题讲解：例1、（2011•德州，11，4分）母线长为2，底面圆的半径为1的圆锥的侧面积为 ． 例2、（2011年山东省东营市，21，9分）如图，已知点A 、B 、C 、D 均在已知圆上，AD ∥BC ，BD 平分∠ABC ，∠BAD =120°，四边形ABCD 的周长为15．A1（1）求此圆的半径；（2）求图中阴影部分的面积．例3、（2010广东，14，6分）如图，在平面直角坐标系中，点P 的坐标为（－4，0），⊙P 的半径为2，将⊙P 沿x 轴向右平移4个单位长度得⊙P 1． （1）画出⊙P 1，并直接判断⊙P 与⊙P 1的位置关系；（2）设⊙P 1与x 轴正半轴，y 轴正半轴的交点分别为A ，B ，求劣弧AB 与弦AB 围成的图形的面积（结果保留π）．y x－3 O 12312 3 －3－2 －1－1 －2 －4 －5 －6A BCDEF（第3题）O四、同步练习：1、（2012北海,11，3分）如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△ABC 的顶点都在格点上，将△ABC 绕点C 顺时针旋转60°，则顶点A 所经过的路径长为： （ ）A ．10πB ．10C ．10πD ．π2、（2012北海,12，3分）如图，等边△ABC 的周长为6π，半径是1的⊙O 从与AB 相切于点D 的位置出发，在△ABC 外部按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB 相切于点D 的位置，则⊙O 自转了：（ ）A ．2周B ．3周C ．4周D ．5周3、（2012湖北咸宁，7，3分）如图，⊙O 的外切正六边形ABCDEF 的边长为2，则图中阴影部分的面积为（ ）．A ．-3π2B ．-32π3C ．-32π2D ．-322π34、（2012四川内江，8，3分）如图2，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，∠CDB ＝30°，CD ＝23，则阴影部分图形的面积为（ ）A ．4πB ．2πC ．πD ．2π35、（2012·湖南省张家界市·14题·3分）已知圆锥的底面直径和母线长都是１０cm ，则圆锥的侧面积为________.6、（2012·哈尔滨，题号16分值 3）一个圆锥的母线长为4，侧面积为8π，则这个圆锥的底面圆的半径是 ．ABD CO图2ABC 第1题图A OD第2题图 第9题第11题7、（2012江苏省淮安市，17，3分）若圆锥的底面半径为2cm ，母线长为5cm ，则此圆锥的侧面积为 cm 2．8、（2012四川达州，11，3分）已知圆锥的底面半径为4，母线长为6，则它的侧面积是 .（不取近似值）9、（2012年广西玉林市，16，3）如图，矩形OABC 内接于扇形MON ，当CN =CO 时，∠NMB10、(2012广安中考试题第15题，3分)如图6，Rt △ABC 的边BC 位于直线l 上，AC =3，∠ACB =90o，∠A =30o，若△RtABC 由现在的位置向右无滑动地翻转，当点A 第3次落在直线上l 时，点A 所经过的路线的长为________________（结果用含л的式子表示）．11、（2011•丹东，14，3分）如图，将半径为3cm 的圆形纸片剪掉三分之一，余下部分围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高是 ．12、（2012贵州贵阳，23，10分）如图，在⊙O 中，直径AB =2，CA 切⊙O 于A ，BC 交⊙O 于D ，若∠C =45°，则（1）BD 的长是 ；（5分） （2）求阴影部分的面积. （5分）第12题图AC13、（2012浙江省义乌市，20，8分）如图,已知AB 是⊙O 的直径,点C 、D 在⊙O 上,点E 在⊙O 外,∠EAC =∠D =60°. （1）求∠ABC 的度数； （2）求证：AE 是⊙O 的切线； （3）当BC =4时，求劣弧AC 的长.14、（2012年吉林省，第23题、7分．）如图，在扇形OAB 中，∠AOB =90°，半径OA =6．将扇形OAB 沿过点B 的直线折叠．点O 恰好落在弧AB 上点D 处，折痕交OA 于点C ，求整个阴影部分的周长和面积．O BCDE15、（2011甘肃兰州，25，9分）如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过网格的交点A、B、C.（1）请完成如下操作：①以点O为原点、竖直和水平方向所在的直线为坐标轴、网格边长为单位长，建立平面直角坐标系；②用直尺和圆规画出该圆弧所在圆的圆心D的位置（不用写作法，保留作图痕迹），并连结AD、CD.（2）请在（1）的基础上，完成下列问题：①写出点的坐标：C、D；②⊙D的半径= （结果保留根号）；③若扇形ADC是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面面积为（结果保留π）；④若E（7，0），试判断直线EC与⊙D的位置关系并说明你的理由.参考答案例1、考点：圆锥的计算。
弧长扇形面积与弦长的计算
弧长扇形面积与弦长的计算弧长（arc length）与扇形面积（sector area）是圆形几何中的重要概念。
弧长指的是圆的一部分弧的长度，而扇形面积是由这一弧和与之相交的两条半径所围成的图形的面积。
在数学中，我们可以通过一些公式和方法来计算弧长、扇形面积以及它们与弦长（chord length）之间的关系。
一、弧长的计算在计算弧长时，我们需要知道圆的半径和所对应的圆心角（central angle）。
根据圆的性质，我们可以得出以下公式来计算弧长。
1. 当圆心角使用弧度制时：弧长 = 半径 ×圆心角弧长的单位与半径的单位相同，例如，如果半径使用米（m）作为单位，则弧长也使用米（m）作为单位。
2. 当圆心角使用度数制时：弧长 = (半径 ×圆心角× π) / 180这里的π是一个常数，近似取3.14159。
例如，假设圆的半径为5m，对应的圆心角为60度，则根据上述公式计算得到弧长为(5 × 60 × 3.14159) / 180 ≈ 5.24m。
二、扇形面积的计算扇形面积是由圆心、弧和两条半径所围成的区域。
计算扇形面积时，我们需要知道圆的半径和所对应的圆心角。
扇形面积的计算公式如下：扇形面积 = (半径的平方 ×圆心角) / 2其中，半径的平方表示半径的平方值。
与弧长计算中的圆心角一样，如果圆心角使用度数制，则计算扇形面积时需要将圆心角转换为弧度制。
例如，假设圆的半径为4cm，对应的圆心角为45度，则根据上述公式计算得到扇形面积为(4^2 × 45 × 3.14159) / (2 × 180) ≈ 5.65cm²。
三、弦长与弧长、扇形面积的关系弦是圆内连接两个任意点的线段，它与圆的弧和扇形面积有一定的关系。
1. 弧长与弦长的关系当弧长和弦长的夹角（内切角）相同时，弦长越长，对应的弧长也越长。
2. 扇形面积与弦的关系当扇形面积和弦的夹角（内切角）相同时，弦越长，对应的扇形面积也越大。
沪科版数学九年级下册《24.7 弧长与扇形面积》教学设计1
沪科版数学九年级下册《24.7 弧长与扇形面积》教学设计1一. 教材分析《24.7 弧长与扇形面积》是沪科版数学九年级下册的教学内容。
这部分内容主要包括弧长的计算公式、扇形面积的计算公式以及弧长和扇形面积在实际问题中的应用。
教材通过实例引入弧长和扇形面积的概念，然后引导学生通过观察、思考、探索，得出弧长和扇形面积的计算公式。
这部分内容是圆相关知识的重要组成部分，对于学生理解和掌握圆的相关概念和计算方法具有重要意义。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了平面几何的基本知识，对图形的性质和计算方法有一定的了解。
但是，对于弧长和扇形面积的计算，学生可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过观察、思考、探索，自己发现弧长和扇形面积的计算公式。
同时，学生需要具备一定的逻辑思维能力和空间想象力，能够将实际问题抽象为数学问题，并运用所学知识解决实际问题。
三. 教学目标1.理解弧长和扇形面积的概念，掌握弧长和扇形面积的计算公式。
2.能够将实际问题抽象为数学问题，运用弧长和扇形面积的计算公式解决实际问题。
3.培养学生的观察能力、思考能力和探索能力，提高学生的逻辑思维能力和空间想象力。
四. 教学重难点1.弧长和扇形面积的概念理解。
2.弧长和扇形面积的计算公式的推导和应用。
3.将实际问题抽象为数学问题，并运用所学知识解决实际问题。
五. 教学方法1.引导观察法：通过观察实例，引导学生发现弧长和扇形面积的计算规律。
2.探索法：引导学生通过思考、探索，自己得出弧长和扇形面积的计算公式。
3.实例教学法：通过实际问题，引导学生将所学知识应用于解决实际问题。
4.小组合作学习法：引导学生分组讨论，共同解决问题，提高学生的合作能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示实例和计算公式的推导过程。
2.教学素材：准备一些实际问题，用于引导学生运用所学知识解决实际问题。
3.计算器：为学生提供计算器，方便他们进行计算。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些与圆相关的实例，如自行车轮子、地球仪等，引导学生观察和思考这些实例中圆的弧长和面积的计算方法。
浙教版数学九年级上册《3.8 弧长及扇形的面积》教案1
浙教版数学九年级上册《3.8 弧长及扇形的面积》教案1一. 教材分析《3.8 弧长及扇形的面积》是浙教版数学九年级上册的一部分，本节课主要介绍了弧长和扇形面积的计算方法。
通过本节课的学习，学生能够理解弧长和扇形面积的概念，掌握计算弧长和扇形面积的方法，并能够应用于实际问题中。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何知识，对图形的认识和理解有一定的基础。
但是，对于弧长和扇形面积的计算方法，学生可能较为陌生，需要通过实例和练习来加深理解和掌握。
三. 教学目标1.理解弧长和扇形面积的概念。
2.掌握计算弧长和扇形面积的方法。
3.能够应用弧长和扇形面积的计算方法解决实际问题。
四. 教学重难点1.弧长和扇形面积的概念。
2.计算弧长和扇形面积的方法。
五. 教学方法采用问题驱动的教学方法，通过实例和练习来引导学生理解和掌握弧长和扇形面积的计算方法。
同时，运用合作学习的方式，让学生在小组讨论和实践中共同解决问题，提高学生的参与度和积极性。
六. 教学准备1.PPT课件。
2.练习题。
3.几何画板或者实物模型。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入本节课的主题，例如：一个自行车轮子一周的行驶距离是多少？引导学生思考和讨论，引出弧长的概念。
2.呈现（15分钟）通过PPT课件或者几何画板展示扇形的模型，引导学生观察和理解扇形的特征，讲解扇形的面积计算公式，并通过实例来演示计算过程。
3.操练（15分钟）让学生分组进行练习，每组选择一道练习题进行计算，其他组进行评价和讨论。
教师巡回指导，解答学生的疑问，并强调计算过程中的注意事项。
4.巩固（10分钟）通过PPT课件或者几何画板展示一些典型的练习题，让学生独立进行计算，教师选取部分学生的答案进行讲解和分析，巩固学生对弧长和扇形面积计算方法的掌握。
5.拓展（10分钟）让学生思考和讨论一些拓展问题，例如：如何计算一个圆的周长和面积？如何计算一个扇形的弧长和面积？引导学生运用所学的知识解决实际问题。
人教版数学九年级上册24.4《弧长和扇形的面积》说课稿1
人教版数学九年级上册24.4《弧长和扇形的面积》说课稿1一. 教材分析人教版数学九年级上册第24.4节《弧长和扇形的面积》是本册教材中的重要内容，它是在学生已经掌握了圆的性质、圆的周长和面积的基础上进行授课的。
本节课主要介绍了弧长的计算方法和扇形的面积计算方法，旨在让学生理解和掌握弧长和扇形面积的计算公式，并能够运用这些知识解决实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于圆的性质、周长和面积的概念已经有了初步的了解。
但是，对于弧长和扇形面积的计算方法，他们可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，我需要从学生的实际出发，循序渐进地引导他们理解和掌握这些概念和方法。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生理解和掌握弧长和扇形的面积的计算方法，能够运用这些方法解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、分析、归纳等方法，让学生自主探索弧长和扇形面积的计算方法，培养他们的观察能力和思维能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养他们的自主学习能力和团队合作精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：弧长和扇形面积的计算方法。
2.教学难点：弧长和扇形面积计算公式的推导过程。
五. 说教学方法与手段在本节课的教学过程中，我将采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法等教学方法，结合多媒体课件和黑板等教学手段，引导学生主动参与课堂，提高他们的学习兴趣和积极性。
六. 说教学过程1.导入新课：通过一个实际问题，引出弧长和扇形面积的概念，激发学生的学习兴趣。
2.自主探究：让学生通过观察、分析、归纳等方法，自主探索弧长和扇形面积的计算方法。
3.讲解与演示：讲解弧长和扇形面积的计算公式，并通过多媒体课件和黑板进行演示。
4.练习与巩固：让学生通过课堂练习和小组讨论，巩固所学知识。
5.拓展与应用：引导学生运用弧长和扇形面积的知识解决实际问题。
6.课堂小结：总结本节课的主要内容和知识点。
七. 说板书设计板书设计如下：1.弧长的计算方法–弧长 = 半径 × 弧度2.扇形面积的计算方法–扇形面积 = 1/2 × 弧长 × 半径八. 说教学评价教学评价将从学生的知识掌握、能力培养和情感态度三个方面进行。
青冈县第八中学九年级数学上册 第二十四章 圆 24.4 弧长及扇形的面积 第1课时 弧长和扇形面积教
教学任务分析板书设计课后反思教学过程设计n的n的圆心n的圆n的圆n的圆心角所对的弧∴弧长公式为：l=教学过程设计教学过程设计ODC B A问题与情境师生行为设计意图活动六：理一理 学生小结教师归纳布置作业： A 组：P 122页练习：1，2， P 124页习题24.4：1.（1）、（2），2，6，7． B 组：P 122页练习：1，2， P 124页习题24.4：2，3，5，6．经过分析，学生知道了水面高即弧AB 的中点到弦AB 的距离．因此想到做辅助线的方法：连接OA 、AB ，过O 作OC ⊥AB 于点D ，交AB 于点C ．教师关注学生对题目的理解，师生共同分析题目条件后，由学生独立写出解题过程，用实物投影展示学生的解题过程，再由学生对解题过程给予评价．由学生谈谈本节课学习的体会和收获，各抒己见．教师对学生的回答给予帮助，让语言表达更准确． 知识：弧长公式180n Rl π=； 扇形面积公式：2R =360n S π扇形12lR =． 能力：灵活运用公式解决实际问题．数学思想：数形结合思想．学生课下独立完成．教师对学生的作业在批改后及时反馈．B 组补充作业：已知：如图，矩形ABCD 中，AB ＝1cm ，BC ＝2cm ，以B 为圆心，BC 为半径作圆弧交AD 于F ，交BA 延长线于E ，求扇形BCE 被矩形所截剩余部分的面积．学生在学习新知识的同时要想到学过的知识，在这里就运用了垂径定理．巩固所学知识，达到复习的目的，教师及时了解学生对本节知识的掌握情况，对教学进度和方法进行适当调整，并对有困难的学生给予指导。
发展学生的解决实际问题的能力和应用意识.初步探索建立数学模型.让学生畅所欲言，教师了解学生的学习情况，并让学生逐渐的学会总结。
检查知识的落实性，以便发现问题和及时解决问题。
继续培养学生的探究意识和学习上持之以恒的精神.二次函数与一元二次方程的关系学习目标1．通过探索，理解二次函数与一元二次方程之间的联系，会用二次函数图象求一元二次方程的近似解；(重点)2．通过研究二次函数与一元二次方程的联系体会数形结合思想的应用．(难点)教学过程一、情境导入小唐画y＝x2－6x＋c的图象时，发现其顶点在x轴上，请你帮小唐确定字母c的值是多少？二、合作探究探究点一：判断二次函数图象与x轴交点个数【类型一】二次函数图象与x轴交点情况判断下列函数的图象与x轴只有一个交点的是( )A．y＝x2＋2x－3 B．y＝x2＋2x＋3C．y＝x2－2x＋3 D．y＝x2－2x＋1解析：选项A中b2－4ac＝22－4×1×(－3)＝16＞0，选项B中b2－4ac＝22－4×1×3＝－8＜0，选项C中b2－4ac＝(－2)2－4×1×3＝－8＜0，选项D中b2－4ac＝(－2)2－4×1×1＝0，所以选项D的函数图象与x轴只有一个交点．故选D.【类型二】利用二次函数图象与x轴交点坐标确定抛物线的对称轴如图，对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于(1，0)，(3，0)两点，则它的对称轴为________．解析：∵点(1，0)与(3，0)是一对对称点，∴其对称中心是(2，0)，∴对称轴的方程是x ＝2.方法总结：解答二次函数问题，若能利用抛物线的对称性，则可以简化计算过程．【类型三】利用抛物线与x轴交点情况确定字母取值(范围)若函数y ＝mx2＋(m ＋2)x ＋12m ＋1的图象与x 轴只有一个交点，那么m 的值为( )A ．0B ．0或2C ．2或－2D ．0，2或－2解析：若m ≠0，根据二次函数与x 轴只有一个交点，利用一元二次方程根的判别式为零来求解；若m ＝0，原函数是一次函数，图象与x 轴有一个交点．当m ≠0时，Δ＝(m ＋2)2－4m(12m ＋1)＝0，解得m ＝2或－2；当m ＝0时，原函数是一次函数，图象与x 轴只有一个交点，所以当m ＝0，2或－2时，图象与x 轴只有一个交点．故选D.方法总结：二次函数y ＝ax2＋bx ＋c ，当b2－4ac ＞0时，图象与x 轴有两个交点，当b2－4ac ＝0时，图象与x 轴有一个交点，当b2－4ac ＜0时，图象与x 轴没有交点． 探究点二：二次函数图象与x 轴的交点坐标与一元二次方程根的关系已知二次函数y ＝－x2＋2x ＋m 的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程－x2＋2x ＋m ＝0的解为________．解析：因为抛物线经过点(3，0)，所以x ＝3，y ＝0是该函数的一组对应值．将x ＝3，y ＝0代入函数表达式，得0＝－32＋2×3＋m ，解得m ＝3.所以一元二次方程为－x2＋2x ＋3＝0，解得x1＝－1，x2＝3.方法总结：本题先求出m 的值，从而写出一元二次方程，然后解这个一元二次方程得出其解．也可以由图象得抛物线的对称轴为直线x ＝1，抛物线与x 轴的一个交点为(3，0)．根据抛物线的对称性知抛物线与x 轴的另一个交点为(－1，0)，则(3，0)和(－1，0)两点的横坐标就是所求方程的根，即x1＝－1，x2＝3. 探究点三：利用二次函数求一元二次方程的近似解利用二次函数的图象求一元二次方程－x2＋2x －3＝－8的实数根(精确到0.1)． 解析：对于y ＝－x2＋2x －3，当函数值为－8时，对应点的横坐标即为一元二次方程－x2＋2x －3＝－8的实数根，故可通过作出函数图象来求方程的实数根．解：在平面直角坐标系内作出函数y ＝－x2＋2x －3的图象，如图．由图象可知方程－x2＋2x －3＝－8的根是抛物线y ＝－x2＋2x －3与直线y ＝－8的交点的横坐标，左边的交点横坐标在－1与－2之间，另一个交点的横坐标在3与4之间．(1)先求在－2和－1之间的根，利用计算器进行探索：x －1.1 －1.2 －1.3 －1.4 －1.5 y－6.41－6.84－7.29－7.76－8.25因此x ≈－1.4是方程的一个实数根； (2)另一个根可以类似地求出：x 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 y－6.41－6.84－7.29－7.76－8.25x ≈3.4是方程的另一个实数根．方法总结：用二次函数的图象求一元二次方程满足精确度的实数根的方法：(1)作出函数的图象，并由图象确定方程解的个数；(2)由图象与y ＝h 的交点的位置确定交点横坐标的取值范围；(3)利用计算器求方程的实数根． 板书设计二次函数与一元二次方程⎩⎪⎨⎪⎧1.与x 轴交点的情况判断2.确定一元二次方程的解和解的情况、确定对称轴和字母系数的取值范围教学反思教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，通过观察二次函数与x 轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况．体会知识间的相互转化和相互联系．3。
人教版九年级数学上册课件：24.4弧长和扇形面积(共19张PPT)
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1353π6×0 152＝375π(cm2)．
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能力提升
11．如图，图1是由若干个相同的图形(图2)组成的美丽图案的一部分．图2中， 图形的相关数据：半径OA＝2 cm，∠AOB＝120°，则图2的周长为 83π ________cm.(结果保留π)
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12．如图，在△ABC中，AC＝4，将△ABC绕点C逆时针旋 转30°得到△FGC，则图43中π 阴影部分的面积为________.
第二十四章 圆
弧长和扇形面积
第一课时
知识展示
知识点 1 弧长公式 n°的圆心角所对的弧长 l 的计算公式为 l＝n1π8R0 ，其中 R 为半径． 核心提示：在弧长公式中，已知 l、n、R 中的任意两个量，都可以求出第三个 量． 知识点 2 扇形的定义 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形．
分析：先用扇形OAB的面积－三角形OAB的面积求出上面空白部分面积，再用扇形OCD的面积－三角形OCD的面积－上面空白部分的面
积7．，如即图可，求5分出．别阴以影【五部边分黑形的A龙面BC积D江．E的顶哈点尔为圆滨心，中以1考为半】径作一五个个圆，扇则图形中的阴影弧部分长的面是积之1和1为π__c___m___.，半径是18
2
知识点 3 扇形面积公式 (1)n°圆心角的扇形面积公式：S 扇形＝n3π6R02 ，其中 R 为半径． (2)弧长为 l 的扇形面积公式：S 扇形＝12lR，其中 R 为半径． 【典例】如图，半径为 12 的圆中，两圆心角∠AOB＝60°、∠COD＝120°，连接 AB、CD，求图中阴影部分的面积．
cm，则此扇形的圆心角是__________度． 71．2．如如图图，，分在别△以AB五C中边，形AACB＝CD4E，的将顶△点AB为C圆绕心点，C逆以时11为针1半旋0 径转作30五°得个到圆△，FG则C，图则中图阴中影阴部影分部的分面的积面之积和为为________________.. 一列火车以6每．小时【28 江km的苏速度泰经州过10中秒通考过弯】道．如那么图弯，道所分对的别圆心以角为正___三_____角__度形．(π的取3.3个顶点为圆心， 98．．一已段知铁扇边路形弯所长道在成圆为圆半弧 径半形为，4径，圆弧弧画长的为弧半6径π，，是则2三扇km形.段面积弧为_围_____成____.的图形称为莱洛三角形．若正三角 分 积析，：即先 可用 求形扇 出形 阴边影OA部长B的分面为的积面6－积三．c角m形，OAB则的面该积求莱出上洛面三空白角部分形6面π积的，再周用扇长形为OCD_的_面__积_－__三_角c形mOC. D的面积－上面空白部分的面
初中数学人教九年级上册(2023年新编)第二十四章 圆弧长和扇形面积(教案)
弧长和扇形面积第1课时弧长和扇形面积教学目标：1、能推导弧长和扇形面积的计算公式。
.2通过等分圆周的方法，体验弧长扇形面积公式的推导过程，培养学生抽象、理解、概括、归纳能力和迁移能力.3、知道公式中字母的含义，并能运用这些公式进行相应的计算。
教学重点：弧长和扇形面积公式，准确计算弧长和扇形的面积.教学难点：熟练地运用弧长和扇形面积公式进行计算。
一、情境导入问题1 制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”，再下料，这就涉及到计算弧长的问题.如图，根据图中的数据你能计算弧AB的长吗？求出弯道的展直长度.这就是我们今天要学习的内容弧长和扇形的面积——板书课题.二、进入新课1.探索弧长公式思考 1 你还记得圆的周长的计算公式吗？圆的周长可以看作多少度的圆周角所对的弧长？由此出发，1°的圆心角所对的弧长是多少?n°的圆心角所对的弧长多少？分析：在半径为R的圆中，圆周长的计算公式为：C=2πR，则：圆的周长可以看作360°的圆心角所对的弧；∴1°的圆心角所对的弧长是：1/360·2πR=πR/180；2°的圆心角所对的弧长是：2/360·2πR=πR/90；4°的圆心角所对弧长是：4/360·2πR=πr/45；∴n°的圆心角所对的弧长是：l=nπR/180；由此可得出n°的圆心角所对的弧长是：l=nπR/180.【教学说明】①在应用弧长公式进行计算时，要注意公式中n的意义，n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的；②公式可以按推导过程来理解记忆；③区分弧、弧度、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等；弧长相等的弧也不一定是等弧，而只有在同圆或等圆中才可能是等弧.小练习：①课本P111例1②课本p113练习第一题2.扇形面积计算公式如图，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.思考2 扇形面积的大小与哪些因素有关？（学生思考并回答）从扇形的定义可知，扇形的面积大小与扇形的半径和圆心角有关.扇形的半径越长，扇形面积越大；扇形的圆心角越大，扇形面积越大.思考3若⊙O的半径为R，求圆心角为n°的扇形的面积.【教学说明】此问题有一定的难度，目的是引导学生迁移推导弧长公式的方法步骤，利用迁移方法探究新问题，归纳结论.3、例1（教材112页例2）如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径为，其中水面高，求截面上有水部分的面积（精确到）.解：连接OA、OB，作弦AB的垂线OD交AB于点C.∵OC=，DC=，∴OD=OC-DC=在Rt△OAD中，OA=，OD=，由勾股定理可知：Rt△OAD中，OD=1/2OA.∴∠OAD=30°，∠AOD=60°，∴∠AOB=120°.∴有水部分的面积为：S=S扇形OAB -S△OAB=π-12××≈(m2).三、运用新知，深化理解完成教材第113页练习2个小题.【教学说明】这几个练习较为简单，可由学生自主完成，教师再予以点评.四、师生互动，课堂小结通过这堂课的学习，你知道弧长和扇形面积公式吗？你会用这些公式解决实际问题吗？【教学说明】教师先提出问题，然后师生共同回顾，完善认知.五、布置作业1.默写弧长公式和面积公式2、课本P115 6、7、8题。
九年级数学第二十四章 第4节 弧长和扇形面积人教实验版知识精讲
九年级数学第二十四章 第4节 弧长和扇形面积人教实验版【本讲教育信息】一、教学内容：弧长和扇形面积 1. 弧长和扇形面积.2. 圆锥的侧面积和全面积.二、知识要点：1. 弧长和扇形面积（1）圆的周长公式C ＝2πR ，n °的圆心角所对的弧长l ＝n πR180.（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.（3）圆的面积公式S ＝πR 2，圆心角为n °的扇形的面积公式S 扇形＝n πR 2360. 当扇形所对的弧长为l 时，S 扇形＝12l R.2. 弓形面积（1）由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形.（2）当弓形所含的弧是劣弧时，S 弓形＝S 扇形－S △；当弓形所含的弧是优弧时，S 弓形＝ S 扇形＋S △.3. 圆锥的侧面积和全面积连接圆锥的顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线，圆锥的母线都相等. 如果把圆锥的侧面沿它的一条母线剪开，展开在一个平面上，那么它的展开图是一个扇形. 如图所示，这个扇形的半径是圆锥的母线长SA ，弧长是圆锥底面圆的周长.如图中，高SO ＝h ，底面圆的半径OA ＝r ，母线SA ＝l ，则有h 2＋r 2＝l 2，侧面展开图中，扇形的半径为1，弧长︵AC 为2πr .圆锥的侧面积S 侧＝12l ·2πr ＝πrl ；全面积S 全＝S 侧＋S 底＝πrl ＋πr 2.r三、重点难点：本节课的重点是计算弧长和扇形面积以及圆锥的侧面积和全面积. 难点是对弧长和扇形面积公式的理解和公式变形后的灵活运用.四、考点分析：圆的有关性质与圆的有关计算是近几年各地中考命题考查的重点内容，题型以填空题、选择题和解答题为主，也有以阅读理解、条件开放、结论开放探索题作为新的题型，分值一般为6~12分. 考查内容主要包括：圆的有关性质的应用；直线和圆、圆和圆位置关系的判定及应用；弧长、扇形面积、圆柱、圆锥的侧面积和全面积的计算；圆与相似、三角函数的综合运用.【典型例题】例1. 已知扇形的圆心角为270°，弧长为12π. 求扇形的面积.分析：根据扇形面积计算公式S ＝n πr 2360＝12lr . 已知n ＝270，l ＝12π. 不管用哪一个公式都必须先求出r ，可借助弧长公式l ＝n πr180求出r .解法一：设扇形半径为r .因为l ＝n πr 180，所以r ＝180l n π＝180×12π270×π＝8.所以S 扇形＝n πr 2360＝270×π×82360＝48π.解法二：设扇形半径为r . 由解法一知r ＝8.所以S 扇形＝12lr ＝12×12π×8＝48π.评析：扇形面积计算公式有两个，解题时要灵活选用. 特别是题目条件中弧长已知时，用S ＝12lr 计算较简便.例2. 如图所示，当半径为30cm 的圆（轮）转动过120°角时，传送带上的A 物体平移的距离为__________cm .分析：A 物体平移的距离相当于圆上的120°的圆心角所对的弧长. ∵R ＝30cm ，n ＝120，∴l ＝120·π·30180＝20π（cm ）.解：20π评析：关键是找出A 物体平移的距离与圆弧长的关系，也可以通过实验操作，或想象圆转动来确立. 在填答案时，由于没有确定精确度，故可以保留π.例3. （1）如图①所示，⊙A 、⊙B 、⊙C 两两不相交，且半径都是1，则图中的三个扇形（即三个阴影部分）的面积之和为（ ）A. π12B. π8C. π6D. π2（2）如图②所示，有一圆锥形粮堆，从正面看它是一个边长为6m 的正三角形ABC ，粮堆母线AC 的中点P 处有一老鼠正在偷吃粮食，此时，小猫正在B 处，它要沿圆锥侧面到达P 处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路线长是__________m . （结果不取近似值）BB②③分析：（1）∵S 扇1＝n 1πR 2360，S 扇2＝n 2πR 2360，S 扇3＝n 3πR 2360. ∴S 阴＝S 扇1＋S 扇2＋S 扇3＝n 1πR 2360＋n 2πR 2360＋n 3πR 2360＝πR 2360（n 1＋n 2＋n 3）＝πR 2360×180＝π2，故正确答案为D. （2）设展开后扇形的圆心角为n °，则n π×6180＝π×6，解得n ＝180. 所以圆锥侧面展开后为半圆，且AB⊥AC. 在R t △ABP 中，AB ＝6，AP ＝3，则BP ＝35（m ）.解：（1）D （2）3 5例4. 如图所示，在R t △ABC 中，已知∠BCA ＝90°，∠BAC ＝30°，AB ＝6cm ，把△ABC 以点B 为中心逆时针旋转，使点C 旋转到AB 边的延长线上的点C ’处，那么AC 边扫过的图形（图中阴影部分）的面积是__________cm 2. （不取近似值）A分析：图中的阴影部分可以看成是由△A ’BC ’与扇形ABA ’的和减去△ABC 与扇形CBC ’，由旋转得S △ABC ＝S △A ’BC ’，∠ABA ’＝180°－∠A ’BC ’＝180°－60°＝120°，AB ＝6cm ，又扇形CBC ’中，∠CBC ’＝∠ABA ’＝120°（旋转角），BC ＝12AB ＝12×6＝3（cm ），因此S 扇形ABA ’＝120×π×62360＝12π（cm 2），S 扇形CBC ’＝120×π×32360＝3π（cm 2），∴S 阴影部分＝S 扇形ABA ’－S 扇形CBC ’＝12π－3π＝9π（cm 2）.解：9π评析：组合图形（不规则图形）面积，通常将其转化成规则图形的面积或规则图形面积的和差.例5. 如图所示，已知R t △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝20cm ，BC ＝15cm ，以直线AB 为轴旋转一周，得到一个锥体，求这个几何体的表面积.分析：这个几何体的表面积是两个圆锥侧面积的和. 其中AB 为旋转轴，OC 为旋转半径，OC 就是△ABC 的高，可用面积法求得OC. 旋转结果为两个共底的圆锥，这两个圆锥的母线分别为AC 和BC.ACO解：在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝20，BC ＝15. AB ＝AC 2＋BC 2＝202＋152＝25. ∵AB 为旋转轴，∴旋转半径OC ＝AC ·BC AB ＝20×1525＝12，且旋转结果为两个共底的圆锥.S 上＝12×2π×OC ×AC ＝π×12×20＝240π（cm 2），S 下＝12×2π×OC ×BC ＝π×12×15＝180π（cm 2），∴这个几何体的表面积S ＝240π＋180π＝420πcm 2. 答：这个几何体的表面积是420πcm 2.评析：本题考查学生的空间想像能力，对旋转体概念理解能力，对旋转体表面积的计算能力.【方法总结】1. 本课是关于圆周长、弧长、圆面积、扇形面积、以及圆锥侧面积的计算，我们应该熟记它们的计算公式.2. 把不规则图形的面积通过“和差法”、“割补法”、“等积代换法”等方法转化成规则图形面积来解决.【预习导学案】（随机事件和概率）一、预习前知1. 随意地向上抛一枚硬币，落地后有几种可能？2. 在做“锤子、剪刀、布”的游戏时，你知道获胜的把握有多大吗？二、预习导学1. 必然事件是指__________，不可能事件是指__________，随机事件是指__________.2. 下列事件： （1）任意三角形内角和都是180°；（2）任意选择电视的某一频道，它正在播放新闻；（3）两条线段可以组成一个三角形，其中__________是必然事件，__________是不可能事件，__________是随机事件.3. 若一袋中装有大小、质地等完全相同的5个黑球、8个白球，在看不到球的情况下，随机摸出一球，摸到__________球的可能性大. 若想让摸到另一种颜色的球的可能性大，应如何设计__________.4. 概率是指事件发生的__________稳定在某个__________附近，则这个__________就叫做这个事件的概率. 如抛掷硬币时，“正面向上”的频率约为0.5，则说此事件发生的概率约为__________. 反思：（1）如何划分事件发生的可能性？（2）如何理解试验频率与概率的关系？ （3）影响概率大小的因素有哪些？【模拟试题】（答题时间：50分钟）一、选择题1. 如图，已知⊙O 的半径OA ＝6，∠AOB ＝90°，则∠AOB 所对的弧AB 的长为（ ） A. 2π B. 3π C. 6π D. 12πAB2. 钟表的轴心到分针针端的长为5cm ，那么经过40分钟，分针针端转过的弧长是（ ）A. 10π3cmB. 20π3cmC. 25π3cmD. 50π3cm3. 若扇形的圆心角是150°，扇形的面积是240πcm 2，则扇形的弧长是（ ） A. 5πcm B. 20πcm C. 40πcm D. 10πcm4. 如图所示，⊙A 、⊙B 、⊙C 、⊙D 、⊙E 互不相交，它们的半径都是1，顺次连接五个圆心得到五边形ABCDE ，则图中五个扇形（阴影部分）的面积之和是（ ）A. ππ C. 2ππ*5. 如图所示，正方形的边长都相等，其中阴影部分面积相等的有（ ） A. （1）（2）（3） B. （2）（3）（4） C. （1）（3）（4） D. （1）（2）（3）（4）(1)(2)(3)(4)6. 如图，︵AD 是以等边三角形ABC 一边AB 为半径的四分之一圆周，P 为︵AD 上任意一点，若AC ＝5，则四边形ACBP 周长的最大值是（ ）A. 15B. 20C. 15＋5 2D. 15＋5 5ABD*7. 如图，用两道绳子捆扎着三瓶直径均为8cm 的酱油瓶，若不计绳子接头（π取3），则捆绳总长是（ ）A. 24cmB. 48cmC. 96cmD. 192cm**8. 一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，这个圆锥的侧面展开图（扇形）的圆心角是（ ） A. 60° B. 90° C. 120° D. 180°二、填空题1. 一条弧所对的圆心角为90°，半径为3，那么这条弧长为__________.2. 已知R t △ABC ，斜边AB ＝13 cm ，以直线BC 为轴旋转一周，得到一个侧面积为65πcm 2的圆锥，则这个圆锥的高等于__________.3. 如图所示为一弯形管道，其中心线上一段圆弧AB. 已知半径OA ＝60㎝，∠AOB ＝ 108，则管道的长度（即弧AB 的长）为__________cm （结果保留π）4. 某校校园里修了一个面积为16平方米的正方形花坛（如图所示），学校准备将阴影部分种上花，其余部分种草，则种花的面积是__________平方米.*5. 如图，方格纸中4个小正方形的边长均为1，则图中阴影部分三个小扇形的面积和为__________（结果保留π）6. 小红要过生日了，为了筹备生日聚会，她准备自己动手用纸板制作圆锥形的生日礼帽. 如图所示，圆锥帽底面半径为9cm，母线长为36cm，请你帮助她计算制作一个这样的生日礼帽需要纸板的面积为__________.36cm9cm三、解答题1. 如图所示，圆锥底面半径为r，母线长为3r，底面圆周上有一蚂蚁位于A点，它从A 点出发沿圆锥面爬行一周后又回到原出发点，请你给它指出一条爬行最短的路径，并求出最短路径.*2. 如图所示，等腰R t△ABC中斜边AB＝4，O是AB的中点，以O为圆心的半圆分别与两腰相切于点D、E，图中阴影部分的面积是多少？请你把它求出来. （结果用π表示）3. 如图所示，矩形ABCD中，AB＝1，若直角三角形ABC绕AB旋转所得的圆锥的侧面积和矩形ABCD绕AB旋转所得到的圆柱的侧面积相等，求BC的长.ADB C**4. 如图所示，一只狗用皮带系在10×10的正方形狗窝的一角上，皮带长为14，在狗窝外面狗能活动的X围面积是多少？【试题答案】一、选择题1. B2. B3. B4. B5. C6. C7. C8. D二、填空题1. 32π2. 12cm3. 36π4. 85. 38π 6. 324πcm 2三、解答题1. 将圆锥沿过A 点的母线展开，爬行最短路径是从展开扇形弧的一端沿直线爬行到另一端. 这一长度是33r .2. 连接OE ，则△OEB 是等腰直角三角形，且面积为1. 扇形OEF 的面积为14π，阴影部分面积为2－12π3. 根据题意12×2π×BC ×AC ＝2π×BC ，即AC ＝2，在R t △ABC 中，BC ＝AC 2－AB 2＝ 3.4. 活动X 围由3部分（图中阴影部分）组成：半径为14、圆心角为270°的扇形一个，半径为14－10＝4、圆心角为90°的扇形两个. 狗的活动面积是：270π×142360＋2×90π×42360＝155π。
弧长及扇形面积公式
弧长及扇形面积公式好的，以下是为您生成的关于“弧长及扇形面积公式”的文章：咱们在数学的世界里遨游，经常会碰到弧长和扇形面积的计算问题。
这俩家伙看着好像有点复杂，其实只要掌握了公式，那就是小菜一碟！先来说说弧长公式。
弧长公式是啥呢？简单来说，就是 L =n×π×r÷180 （其中 L 表示弧长，n 表示圆心角度数，r 表示圆的半径）。
这就好比你去骑自行车，车轮转的圈数乘以车轮的周长就是你走过的距离。
弧长也差不多这个道理，圆心角决定了你在圆上走了多少比例的路程，再乘以整个圆的周长的对应比例，就得到弧长啦。
我记得有一次在课堂上，我给学生们出了一道题：一个半径为 5 厘米，圆心角为60 度的扇形，它的弧长是多少？结果好多同学都一脸懵。
我就引导他们，先想这个 60 度在整个 360 度里占了多少比例，然后再乘以圆的周长。
经过这么一提醒，不少同学恍然大悟，算出了正确答案。
再讲讲扇形面积公式，S = n×π×r²÷360 （其中 S 表示扇形面积，n表示圆心角度数，r 表示圆的半径）。
扇形就像是从圆这个大蛋糕上切下来的一块，要算出这块的面积，就得根据圆心角占的比例来算。
比如说，有个扇形，半径是 8 厘米，圆心角是 90 度。
那咱们就用90 除以 360，得到四分之一，再乘以π乘以 8 的平方，就能算出扇形面积啦。
我曾经带着学生们在操场上做了一个有趣的活动。
我们以一个旗杆为圆心，用绳子拉出不同长度的半径，然后让几个同学站在不同的角度，形成扇形。
通过实际的观察和测量，同学们对扇形的概念和面积计算有了更直观的理解。
在实际生活中，弧长和扇形面积的应用也不少呢。
比如设计一个弧形的窗户，就得算出弧长来确定材料的长度；制作一个扇形的花坛，就得知道扇形面积来规划种植的面积。
所以啊，掌握好弧长及扇形面积公式，不仅能在数学考试中拿高分，还能解决好多实际问题呢！可别小看这两个公式，它们可是数学世界里的小法宝，能帮咱们打开好多知识的大门。
2022年人教版九年级数学上册第二十四章 圆教案 弧长和扇形面积 (第1课时)
24.4 弧长和扇形的面积第1课时一、教学目标【知识与技能】经历探索弧长计算公式的过程,培养学生的探索能力.了解弧长计算公式,并会应用弧长公式解决问题,提高学生的应用能力.【过程与方法】通过等分圆周的方法,体验弧长扇形面积公式的推导过程,培养学生抽象、理解、概括、归纳能力和迁移能力.【情感态度与价值观】通过对弧长和扇形面积公式的推导,理解整体和局部的关系.通过图形的转化,体会转化在数学解题中的妙用.二、课型新授课三、课时第1课时,共2课时。
四、教学重难点【教学重点】弧长和扇形面积公式,准确计算弧长和扇形的面积.【教学难点】运用弧长和扇形面积公式计算比较复杂图形的面积.五、课前准备课件、图片、直尺、圆规等. 六、教学过程 （一）导入新课教师问：如图,在运动会的4×100米比赛中,甲和乙分别在第1跑道和第2跑道,为什么他们的起跑线不在同一处？（出示课件2）学生答：因为要保证这些弯道的“展直长度”是一样的. 教师问：怎样来计算弯道的“展直长度”？（板书课题） （二）探索新知探究一 弧长计算公式及相关的计算教师问：半径为R 的圆,周长是多少？（出示课件4）学生答：=2C R .教师问：①360°的圆心角所对的弧长是多少？②1°的圆心角所对的弧长是多少？③n °的圆心角所对的弧长是多少？学生答：①360°的圆心角所对的弧长是圆的周长；②1°的圆心角所对的弧长是圆的周长的1360；③n °的圆心角所对的弧长是圆的周长的360n . 教师问:下图中各圆心角所对的弧长分别是圆周长的几分之几?弧长是多少？（出示课件5）学生观察,计算,交流,教师抽查学生分别口答.教师归纳：（出示课件6） 弧长公式：2360180n n R l R ππ=•= 用弧长公式进行计算时,要注意公式中n 的意义．n 表示1°圆心角的倍数,它是不带单位的.算一算：已知弧所对的圆心角为60°,半径是4,则弧长为____.学生代入公式进行计算：43π出示课件7：例 制造弯形管道时,要先按中心线计算“展直长度”,再下料,试计算图所示管道的展直长度l.(单位：mm,精确到1mm)学生观察思考后,师生共同解答. 解：由弧长公式,可得弧AB 的长：1009005001570(mm),180⨯⨯π==π≈l因此所要求的展直长度l=2×700+1570=2970（mm ）.答：管道的展直长度为2970mm ． 巩固练习：（出示课件8）一滑轮起重机装置（如图）,滑轮的半径r=10cm,当重物上升15.7cm 时,滑轮的一条半径OA 绕轴心O 逆时针方向旋转多少度（假设绳索与滑轮之间没有滑动,π取3.14）？学生自主思考后,独立解答,一生板演.解：设半径OA 绕轴心O 逆时针方向旋转的度数为n °.15.7,180n Rπ=解得n ≈90°.因此,滑轮旋转的角度约为90°.探究二 扇形面积计算公式及相关的计算出示定义:圆的一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所围成的图形叫作扇形.如图,黄色部分是一个扇形,记作扇形OAB.（出示课件9）判一判：下列图形是扇形吗？（出示课件10）学生观察后口答：×；×；√；×；√.教师问：半径为r的圆,面积是多少？（出示课件11）学生答：2 =S r.教师问：①360°的圆心角所对扇形的面积是多少？②1°的圆心角所对扇形的面积是多少？③n°的圆心角所对扇形的面积是多少？学生答：①360°的圆心角所对扇形的面积是圆的面积；②1°的圆心角所对扇形的面积是圆的面积的1.360③n°的圆心角所对扇形的面积是圆的面积的360n.教师问：图中各扇形面积分别是圆面积的几分之几,具体是多少呢?（出示课件12）学生观察计算并填表.出示课件13：教师归纳：扇形面积公式：半径为r 的圆中,圆心角为n °的扇形的面积为2=.360n r S π扇形教师强调：①公式中n 的意义．n 表示1°圆心角的倍数,它是不带单位的；②公式要理解记忆（即按照上面推导过程记忆）.教师问：扇形的面积与哪些因素有关？（出示课件14）学生答1：圆心角大小不变时,对应的扇形面积与半径有关,半径越长,面积越大.学生答2：圆的半径不变时,扇形面积与圆心角有关,圆心角越大,面积越大. 教师总结：扇形的面积与圆心角、半径有关.教师问：扇形的弧长公式与面积公式有联系吗？（出示课件15） 学生板演：11.180221802n r r n r S r lr ππ=⋅=⋅⋅=扇形 教师问：扇形的面积公式与什么公式类似？ 学生答：1.2S ah ∆=出示课件16：例1 如图,圆心角为60°的扇形的半径为10cm.求这个扇形的面积和周长.（精确到0.01cm 2和0.01cm ）学生独立思考后师生共同解答. 解：∵n=60,r=10cm, ∴扇形的面积为扇形的周长为巩固练习：（出示课件17）1.已知半径为2cm 的扇形,其弧长为43π,则这个扇形的面积S 扇= ．2.已知扇形的圆心角为120°,半径为2,则这个扇形的面积S 扇= .学生独立思考后口答：1.24cm 3π；2.43π.出示课件18,19：例2 如图,水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm,其中水面高0.3cm,求截面上有水部分的面积.（精确到0.01cm ）教师问：(1)截面上有水部分的面积是指图上哪一部分？ 学生答：阴影部分.教师问：(2)水面高0.3m 是指哪一条线段的长？这条线段应该怎样画出来？ 学生答：线段DC.过点O 作OD 垂直于AB 并交圆O 于C. 教师问：(3)要求图中阴影部分面积,应该怎么办？ 学生答：阴影部分面积=扇形OAB 的面积-△OAB 的面积. 师生共同解答如下：（出示课件20）解：如图(3),连接OA,OB,过点O 作弦AB 的垂线,垂足为D,交AB 于点C,连接AC.∵OC ＝0.6,DC ＝0.3, ∴OD ＝OC-DC ＝0.3, ∴OD ＝DC. 又AD ⊥DC,∴AD 是线段OC 的垂直平分线, ∴AC ＝AO ＝OC.从而∠AOD ＝60˚,∠AOB=120˚. 有水部分的面积： S ＝S 扇形OAB -S ΔOAB22120π10.6360210.12π0.22(m 0.32)=⨯-•=-⨯≈AB OD 出示课件21：弓形的面积公式：教师归纳：弓形的面积=扇形的面积±三角形的面积. 巩固练习：（出示课件22）如图,扇形OAB 的圆心角为60°,半径为6cm,C,D 是弧AB 的三等分点,则图中阴影部分的面积和是_____．学生独立思考后解答：阴影部分的面积就是扇形OAC 的面积,由题意得： ∠AOC=60°÷3=20°.S 扇形OAC =⨯220π6360=2π.（三）课堂练习（出示课件23-29）1.如图,AB 是⊙O 的直径,点D 为⊙O 上一点,且∠ABD=30°,BO=4,则 的长为（ ）A ．23π B ．43π C ．2π D ．83π 2.如图,在平行四边形ABCD 中,∠B=60°,⊙C 的半径为3,则图中阴影部分的面积是（ ）A ．πB ．2πC ．3πD ．6π 3.已知弧所对的圆心角为90°,半径是4,则弧长_____.4.如图,Rt△ABC中,∠C=90°, ∠A=30°,BC=2,O、H分别为AB、AC的中点,将△ABC顺时针旋转120°到△A1BC1的位置,则整个旋转过程中线段OH所扫过的面积为（）5.如图,☉A、☉B、☉C、☉D两两不相交,且半径都是2cm,则图中阴影部分的面积是_____.6.如图,Rt△ABC的边BC位于直线l上,AC∠ACB＝90°,∠A＝30°.若Rt△ABC由现在的位置向右无滑动地翻转,当点A第3次落在直线l上时,点A所经过的路线的长为________(结果用含π的式子表示)．7.如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm,其中水面高0.9cm,求截面上有水部分的面积.8.如图,一个边长为10cm的等边三角形模板ABC在水平桌面上绕顶点C按顺时针方向旋转到△A′B′C的位置,求顶点A从开始到结束所经过的路程为多少.参考答案：1.D2.C3.2π4.C5.212πcm6.(4+π7.解：=OAB S S S +△弓形扇形224010.60.30.63602π=⨯+⨯⨯0.24π=+()20.91cm .≈8.解：由图可知,由于∠A ′CB ′=60°,则等边三角形木板绕点C 按顺时针方向旋转了120°,即∠ACA ′ =120°,这说明顶点A 经过的路程长等于弧AA ′的长.∵等边三角形ABC 的边长为10cm,∴弧AA ′ 所在圆的半径为10cm.∴l 弧AA ′1201020(cm).1803ππ⨯⨯== 答：顶点A 从开始到结束时所经过的路程为20cm.3π （四）课堂小结通过这堂课的学习,你知道弧长和扇形面积公式吗？你会用这些公式解决实际问题吗？（五）课前预习预习下节课（24.4第2课时）的相关内容.七、课后作业1.教材113页练习1,2,3.2.配套练习册内容八、板书设计：九、教学反思：本节课从复习圆周长公式入手,根据圆心角与所对弧长之间的关系,推导出了弧长公式.后又用类比的方法,推出扇形面积,两个公式的推导中,都渗透着由“特殊到一般”,再由“一般到特殊”的辩证思想,再由学生比较两个公式时,又很容易得出两者之间的关系,明确了知识间的联系.。
初中数学 圆的弧长及扇形面积公式 (含答案)
弧长及扇形面积第一部分 知识梳理（一）、圆的弧长及扇形面积公式在半径为R 的圆中,n °的圆心角所对的弧长为C 1,以n °为圆心角的扇形面积为S 1弧长公式 ： 弧长C 1＝180n R π 扇形面积公式： S 1＝2360n R π＝12C 1R注意：计算不规则图形的面积时，要转化成规则图形的面积进行计算。
（二）、圆锥的侧面积：注意：圆锥的侧面展开图是一个扇形 其中：（1）h 是圆锥的高,r 是底面半径；（2）l 是圆锥的母线,其长为侧面展开后所得扇形的半径R ；（3）圆锥的侧面展开图是半径等于 l ,弧长等于圆锥底面 周长C 的扇形.即： ①l =R ②180n Rπ=2πr ③h 2+r 2=l 2圆锥的侧面积 S 侧面积＝ πrl圆锥的全面积 S 全面积＝ πrl ＋πr 2第二部分 中考链接一、有关弧长计算 （一）、选择题1、（2018•淄博）如图，⊙O 的直径AB=6，若∠BAC=50°，则劣弧AC 的长为（ ）A 、2π B. 83π C 34π D. 43π1题图2题图 3题图 4题图 5题图2、（2018•黄石）如图，AB 是⊙O 的直径，点D 为⊙O 上一点，且∠ABD=30°，BO=4，则的长为（ ）A ．23πB ．43πC ．2πD ．83π3、（2018•沈阳）如图，正方形ABCD 内接于O ，AB=2，则的长是（ ）A ．πB ．πC ．2πD ．π4、（2018•陵城区二模）一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平线翻滚（如图），那么B 点从开始至结束所走过的路径长度为（ ）A ．B ．C ．4D ．2+5、（2018•明光市二模）如图，AB 与⊙O 相切于点B ，OA=2，∠OAB=30°，弦BC ∥OA ，则劣弧的长是（ ）A ．B ．C ．D ．6、（2019青岛）如图，线段AB经过⊙O的圆心，AC，BD分别与⊙O相切于点C，D．若AC＝BD＝4，∠A＝45°，则的长度为（）A．π B．2π C．2π D．4π6题图 7题图 8题图7、（2019烟台）如图，AB是⊙O的直径，直线DE与⊙O相切于点C，过A，B分别作AD⊥DE，BE⊥DE，垂足为点D，E，连接AC，BC，若AD＝，CE＝3，则的长为（）A．B．πC．πD．π8、（2019泰安）如图，将⊙O沿弦AB折叠，恰好经过圆心O，若⊙O的半径为3，则的长为（）A．πB．πC．2πD．3π（二）、填空题1、（2018•潍坊）如图，点A1的坐标为（2，0），过点A1作x轴的垂线交直线l：y=x于点B1，以原点O为圆心，OB1的长为半径画弧交x轴正半轴于点A2；再过点A2作x轴的垂线交直线l于点B2，以原点O为圆心，以OB2的长为半径画弧交x轴正半轴于点A3；…．按此作法进行下去，则的长是．．1题图 3题图 4题图5题图8题图2、（2018•连云港）一个扇形的圆心角是120°．它的半径是3cm．则扇形的弧长为cm．3、（2018•永州）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，1），以点O为旋转中心，将点A逆时针旋转到点B的位置，则的长为．4、（2018•盐城）如图，图1是由若干个相同的图形（图2）组成的美丽图案的一部分，图2中，图形的相关数据：半径OA=2cm，∠AOB=120°．则图2的周长为cm（结果保留π）．5、（2018常州）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC=60°，的长是，则⊙O的半径是．6、（2018•温州）已知扇形的弧长为2π，圆心角为60°，则它的半径为．．7、（2018•白银）如图，分别以等边三角形的每个顶点为圆心、以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形称为勒洛三角形．若等边三角形的边长为a，则勒洛三角形的周长为．8．（2019泰州）如图，分别以正三角形的3个顶点为圆心，边长为半径画弧，三段弧围成的图形称为莱洛三角形.若正三角形边长为6cm，则该莱洛三角形的周长为cm．（三）、解答题1．（2018•湖州）如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC．（1）求证：AE=ED；（2）若AB=10，∠CBD=36°，求的长．二、、有关扇形面积计算（一）、选择题1、（2018•德州）如图，从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，则此扇形的面积为（）A．2B．C．πm2 D．2πm21题图2题图 3题图4题图2、（2018•广安）如图，已知⊙O的半径是2，点A、B、C在⊙O上，若四边形OABC为菱形，则图中阴影部分面积为（）A．π﹣2B．π﹣C．π﹣2D．π﹣3、（2018•成都）如图，在▱ABCD中，∠B=60°，⊙C的半径为3，则图中阴影部分的面积是（）A．πB．2πC．3πD．6π4、（2018•绵阳）如图，蒙古包可近似地看作由圆锥和圆柱组成，若用毛毡搭建一个底面圆面积为25πm2，圆柱高为3m，圆锥高为2m的蒙古包，则需要毛毡的面积是（）A．（30+5）πm2B．40πm2C．（30+5）πm2D．55πm25．（2018•十堰）如图，扇形OAB中，∠AOB=100°，OA=12，C是OB的中点，CD⊥OB交于点D，以OC为半径的交OA于点E，则图中阴影部分的面积是（）A．12π+18B．12π+36C．6D．66、（2018•山西）如图，正方形ABCD内接于⊙O，⊙O的半径为2，以点A为圆心，以AC长为半径画弧交AB的延长线于点E，交AD的延长线于点F，则图中阴影部分的面积为（）A．4π﹣4 B．4π﹣8 C．8π﹣4 D．8π﹣85题图6题图7题图8题图7、（2018•广西）如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若AB=2，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为（）A．B．C．2 D．28、（2018•威海）如图，在正方形ABCD中，AB=12，点E为BC的中点，以CD为直径作半圆CFD，点F为半圆的中点，连接AF，EF，图中阴影部分的面积是（）A．18+36πB．24+18πC．18+18πD．12+18π9题图10题图11题图12题图13题图9、（2019枣庄）如图，在边长为4的正方形ABCD中，以点B为圆心，AB为半径画弧，交对角线BD于点E，则图中阴影部分的面积是（结果保留π）（）A．8﹣πB．16﹣2πC．8﹣2πD．8﹣12π10、（2019临沂）如图，⊙O中，＝，∠ACB＝75°，BC＝2，则阴影部分的面积是（）A．2+πB．2++πC．4+πD．2+π11、（2019宿迁）如图，正六边形的边长为2，分别以正六边形的六条边为直径向外作半圆，与正六边形的外接圆围成的6个月牙形的面积之和（阴影部分面积）是（）A．63﹣πB．63﹣2πC．63+πD．63+2π12. （2019四川南充）如图，在半径为6的⊙O中，点A，B，C都在⊙O上，四边形OABC是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（）A. 6π B. 33π C. 23π D. 2π13.（2019四川资阳）如图，直径为2cm的圆在直线l上滚动一周，则圆所扫过的图形面积为（）A. 5πB. 6πC. 20πD. 24π（二）、填空题1、（2018青岛）如图，Rt△ABC，∠B=90°，∠C=30°，O为AC上一点，OA=2，以O为圆心，以OA为半径的圆与CB相切于点E，与AB相交于点F，连接OE、OF，则图中阴影部分的面积是．1题图2题图3题图4题图2、（2018•安顺）如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径AB长为2cm，∠BOC=60°，∠BCO=90°，将△BOC绕圆心O逆时针旋转至△B′OC′，点C′在OA上，则边BC扫过区域（图中阴影部分）的面积为cm2．3、（2018•荆门）如图，在平行四边形ABCD中，AB＜AD，∠D=30°，CD=4，以AB为直径的⊙O 交BC于点E，则阴影部分的面积为．4、（2018•重庆）如图，在边长为4的正方形ABCD中，以点B为圆心，以AB为半径画弧，交对角线BD于点E，则图中阴影部分的面积是（结果保留π）5、（2018•重庆）如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=2，以点A为圆心，AD长为半径画弧，交AB于点E，图中阴影部分的面积是（结果保留π）．5题图6题图8题图9题图10题图6．（2018•香坊区）如图，点A、B、C是⊙O上的点，且∠ACB=40°，阴影部分的面积为2π，则此扇形的半径为．7、（2018•哈尔滨）一个扇形的圆心角为135°，弧长为3πcm，则此扇形的面积是cm2．8、(2019日照)如图，已知动点A 在函数4(0y x x=＞）的图象上，AB ⊥x 轴于点B ，AC ⊥y 轴于点C ，延长CA 交以A 为圆心AB 长为半径的圆弧于点E ，延长BA 交以A 为圆心AC 长为半径的圆弧于点F ，直线EF 分别交x 轴、y 轴于点M 、N ，当NF ＝4EM 时，图中阴影部分的面积等于 ．9、（2019泰安）如图，∠AOB ＝90°，∠B ＝30°，以点O 为圆心，OA 为半径作弧交AB 于点A 、点C ，交OB于点D ，若OA ＝3，则阴影都分的面积为 ．10、（2019德州）如图，O 为Rt △ABC 直角边AC 上一点，以OC 为半径的⊙O 与斜边AB 相切于点D ，交OA 于点E ，已知BC ＝，AC ＝3．则图中阴影部分的面积是 ．11、(2019无锡市)如图，在△ABC 中，AC ：BC ：AB ＝5：12：13，⊙O 在△ABC 内自由移动，若⊙O 的半径为1，且圆心O 在△ABC 内所能到达的区域的面积为103，则△ABC 的周长为 ． A BABCOOCOOI HF GED11题图 12题图 12、（2019四川内江）如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＜AD ，∠A ＝150°，CD ＝4，以CD 为直径的⊙O 交AD 于点E ，则图中阴影部分的面积为 ． （三）、解答题1、（2019东营）如图，AB 是⊙O 的直径，点D 是AB 延长线上的一点，点C 在⊙O 上，且AC ＝CD ，∠ACD ＝120°．（1）求证：CD 是⊙O 的切线，（2）若⊙O 的半径为3，求图中阴影部分的面积．2、（2019无锡市）一次函数b kx y +=的图像与x 轴的负半轴相交于点A ，与y 轴的正半轴相交于点B ，且sin ∠ABO 3OAB 的外接圆的圆心M 的横坐标为﹣3． （1）求一次函数的解析式； （2）求图中阴影部分的面积．xy M BAO3．（2019·武汉）已知AB 是⊙O 的直径，AM 和BN 是⊙O 的两条切线，DC 与⊙O 相切于点E ，分别交AM 、BN于D 、C 两点（1） 如图1，求证：AB 2＝4AD ·BC（2） 如图2，连接OE 并延长交AM 于点F ，连接CF ．若∠ADE ＝2∠OFC ，AD ＝1，求图中阴影部分的面积ODEMF EMO图1 图2 4．（2019·衡阳）如图，点A 、B 、C 在半径为8的⊙O 上，过点B 作BD ∥AC ，交OA 延长线于点D ，连接BC ，且∠BCA ＝∠OAC ＝30°．（1）求证：BD 是⊙O 的切线；（2）求图中阴影部分的面积．DAOCB三、圆锥（一）、选择题2、（2018•自贡）已知圆锥的侧面积是8πcm 2，若圆锥底面半径为R （cm ），母线长为l （cm ），则R 关于l 的函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．3、（2018•遵义）若要用一个底面直径为10，高为12的实心圆柱体，制作一个底面和高分别与圆柱底面半径和高相同的圆锥，则该圆锥的侧面积为（ ）A．60πB．65πC．78πD．120π4、（2018•遂宁）已知圆锥的母线长为6，将其侧面沿着一条母线展开后所得扇形的圆心角为120°，则该扇形的面积是（）A．4πB．8πC．12πD．16π5、（2018•东阳市模拟）已知一个圆锥的底面半径为3cm，母线长为10cm，则这个圆锥的侧面积为（）A．30πcm2B．50πcm2C．60πcm2D．3πcm26、（2019东营）如图所示是一个几何体的三视图，如果一只蚂蚁从这个几何体的点B出发，沿表面爬到AC的中点D处，则最短路线长为（）A．3B．C．3 D．3（二）、填空题1、（2018烟台）如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，点M为AF中点，以点O为圆心，以OM的长为半径画弧得到扇形MON，点N在BC上；以点E为圆心，以DE的长为半径画弧得到扇形DEF，把扇形MON 的两条半径OM，ON重合，围成圆锥，将此圆锥的底面半径记为r1；将扇形DEF以同样方法围成的圆锥的底面半径记为r2，则r1：r2=．1题图2题图3题图7题图8题图2、（2018徐州）如图，扇形的半径为6，圆心角θ为120°，用这个扇形围成一个圆锥的侧面，所得圆锥的底面半径为．3、（2018•郴州）如图，圆锥的母线长为10cm，高为8cm，则该圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长为cm．（结果用π表示）4、（2018•聊城）用一块圆心角为216°的扇形铁皮，做一个高为40cm的圆锥形工件（接缝忽略不计），那么这个扇形铁皮的半径是cm．5、（2018•黑龙江）用一块半径为4，圆心角为90°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的高为．6、（2018•扬州）用半径为10cm ，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为cm．7、（2018•苏州）如图，8×8的正方形网格纸上有扇形OAB和扇形OCD，点O，A，B，C，D 均在格点上．若用扇形OAB围成一个圆锥的侧面，记这个圆锥的底面半径为r1；若用扇形OCD围成另个圆锥的侧面，记这个圆锥的底面半径为r2，则12rr的值为8、（2019聊城）如图是一个圆锥的主视图，根据图中标出的数据（单位：cm），计算这个圆锥侧面展开图圆心角的度数为．9．（2019无锡市）已知圆锥的母线成为5cm，侧面积为15πcm 2，则这个圆锥的底面圆半径为cm ．答案与提示：一、弧长计算（一）、选择题1、D2、D3、A4、B5、B6、B7、D8、C1、解：如图，连接CO，∵∠BAC=50°，AO=CO=3，∴∠ACO=50°，∴∠AOC=80°，∴劣弧AC的长为=，故选：D．1题图2题图3题图6题图8题图2、解：连接OD，∵∠ABD=30°，∴∠AOD=2∠ABD=60°，∴∠BOD=120°，∴的长==，故选：D．3、解：连接OA、OB，∵正方形ABCD内接于O，∴AB=BC=DC=AD，∴===，∴∠AOB=×360°=90°，在Rt△AOB中，由勾股定理得：2AO2=（2）2，解得：AO=2，∴的长为=π，故选：A．4、BC=AB=AC=1，∠BCB′=120°，∴B点从开始至结束所走过的路径长度为2×弧BB′=2×12014=1803ππ⨯故选B．5、连接OB，OC，∵AB为圆O的切线，∴∠ABO=90°，在Rt△ABO中，OA=2，∠OAB=30°，∴OB=1，∠AOB=60°，∵BC∥OA，∴∠OBC=∠AOB=60°，又OB=OC，∴△BOC为等边三角形，∴∠BOC=60°，则劣弧长为6011= 1803ππ⨯．6、解：连接OC、OD，∵AC，BD分别与⊙O相切于点C，D．∴OC⊥AC，OD⊥BD，∵∠A＝45°，∴∠AOC＝45°，∴AC＝OC＝4，∵AC＝BD＝4，OC＝OD＝4，∴OD＝BD，∴∠BOD＝45°，∴∠COD＝180°﹣45°﹣45°＝90°，∴的长度为：＝2π，故选：B．7、解：连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠DAC+∠ACD＝90°，∴∠DAC＝∠ECB，∵∠ADC＝∠CEB＝90°，∴△ADC∽△CEB，∴＝，即＝，∵tan∠ABC＝＝，∴∠ABC＝30°，∴AB＝2AC，∠AOC＝60°，∵直线DE与⊙O相切于点C，∴∠ACD＝∠ABC＝30°∴AC＝2AD＝2，∴AB＝4，∴⊙O的半径为2，∴的长为：＝π，故选：D．8、解：连接OA．OB，作OC⊥AB于C，由题意得，OC＝OA，∴∠OAC＝30°，∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAC＝30°，∴∠AOB＝120°，∴的长＝＝2π，故选：C．（二）、填空题1、201923π2、2π3、24π4、83π5、26、67、πa8、6π1、解：直线y=x，点A1坐标为（2，0），过点A1作x轴的垂线交直线于点B1可知B1点的坐标为（2，2），以原O为圆心，OB1长为半径画弧x轴于点A2，OA2=OB1，OA2==4，点A2的坐标为（4，0），这种方法可求得B2的坐标为（4，4），故点A3的坐标为（8，0），B3（8，8）以此类推便可求出点A2019的坐标为（22019，0），则的长是=．故答案为：．2、1203=2 180ππ⨯3、解：∵点A（1，1），∴OA==，点A在第一象限的角平分线上，∵以点O为旋转中心，将点A逆时针旋转到点B的位置，∴∠AOB=45°，∴的长为=．故答案为．4、解：由图1得：的长+的长=的长 ∵半径OA=2cm ，∠AOB=120°则图2的周长为：=故答案为：．5、连接OB.OC ，由∠BAC=60°得∠BOC=120°，1204=1803r ππ⨯ 得：r=26、解：设半径为r ，60=2180rππ⨯，解得：r=6，故答案为：6 7、解：如图．∵△ABC 是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=CA=a ， ∴的长=的长=的长==，∴勒洛三角形的周长为×3=πa ．故答案为πa ．(三)、解答题1、证明：（1）∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB=90°， ∵OC ∥BD ，∴∠AEO=∠ADB=90°，即OC ⊥AD ，∴AE=ED ； （2）∵OC ⊥AD ，∴，∴∠ABC=∠CBD=36°，∴∠AOC=2∠ABC=2×36°=72°，∴．二、有关扇形面积计算1、A2、C3、C4、A5、C6、A7、D8、C9、C 10、A 11、A 12、A 13、A 1、解：连接AC ，∵从一块直径为2m 的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，即∠ABC=90°， ∴AC 为直径，即AC=2m ，AB=BC ，∵AB 2+BC 2=22，∴AB=BC=m ，∴阴影部分的面积是=（m 2），故选：A ．2、解：连接OB 和AC 交于点D ，如图所示：∵圆的半径为2，∴OB=OA=OC=2，又四边形OABC 是菱形，∴OB ⊥AC ，OD=OB=1， 在Rt △COD 中利用勾股定理可知：CD==，AC=2CD=2，∵sin ∠COD==，∴∠COD=60°，∠AOC=2∠COD=120°，∴S 菱形ABCO =OB ×AC=×2×2=2，S 扇形AOC ==，则图中阴影部分面积为S 菱形ABCO ﹣S 扇形AOC =π﹣2，故选：C ．1题图 2题图 5题图 7题图 8题图3、解：∵在□ABCD 中，∠B=60°，⊙C 的半径为3，∴∠C=120°， ∴图中阴影部分的面积是：=3π，故选：C ．4、解：设底面圆的半径为R ，则πR 2=25π，解得R=5， 圆锥的母线长==，所以圆锥的侧面积=•2π•5•=5π；圆柱的侧面积=2π•5•3=30π，所以需要毛毡的面积=（30π+5π）m 2．故选：A ．5、解：如图，连接OD ，AD ，∵点C 为OA 的中点，∴OC=OA=OD ， ∵CD ⊥OA ，∴∠CDO=30°，∠DOC=60°，∴△ADO 为等边三角形，OD=OA=12，OC=CA=6，∴CD=，6，∴S 扇形AOD ==24π，∴S 阴影=S 扇形AOB ﹣S 扇形COE ﹣（S 扇形AOD ﹣S △COD ）=﹣﹣（24π﹣×6×6）=18+6π．故选：C ．6、解：利用对称性可知：阴影部分的面积=扇形AEF 的面积﹣△ABD 的面积=﹣×4×2=4π﹣4，故选：A ． 7、解：过A 作AD ⊥BC 于D ，∵△ABC 是等边三角形，∴AB=AC=BC=2，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°， ∵AD ⊥BC ，∴BD=CD=1，AD=BD=， ∴△ABC 的面积为=，S 扇形BAC ==π，∴莱洛三角形的面积S=3×π﹣2×=2π﹣2，故选：D ．8、解：作FH ⊥BC 于H ，连接FH ，如图，∵点E 为BC 的中点，点F 为半圆的中点，∴BE=CE=CH=FH=6， 226+125Rt △ABE ≌△EHF ，∴∠AEB=∠EFH ， 而∠EFH+∠FEH=90°，∴∠AEB+∠FEH=90°，∴∠AEF=90°，∴图中阴影部分的面积=S正方形ABCD +S半圆﹣S△ABE﹣S△AEF=12×12+12•π•62﹣12×12×6﹣12•65×65 =18+18π．故选：C．9、解：S阴＝S△ABD﹣S扇形BAE＝×4×4﹣＝8﹣2π，故选：C．10、解：∵＝，∴AB＝AC，∵∠ACB＝75°，∴∠ABC＝∠ACB＝75°，∴∠BAC＝30°，∴∠BOC＝60°，∵OB＝OC，∴△BOC是等边三角形，∴OA＝OB＝OC＝BC＝2，作AD⊥BC，∵AB＝AC，∴BD＝CD，∴AD经过圆心O，∴OD＝OB＝，∴AD＝2+，∴S△ABC＝BC•AD＝2+，S△BOC＝BC•OD＝，∴S阴影＝S△ABC+S扇形BOC﹣S△BOC＝2++﹣＝2+π，故选：A．12.连接OA、OB，则S阴=S扇形OAB=2606360π⨯=6π故选A13、圆所扫过的图形面积=长方形的面积+圆的面积=2π×2+π=5π二、填空题1、734-23π2、4π3、40π4、14π5、43π﹣36、8﹣2π7、6﹣π8、3 9、6π10、2.5π 11、34π 12、 13、25 14、233π+解：∵∠B=90°，∠C=30°，∴∠A=60°，∵OA=OF，∴△AOF是等边三角形，∴∠COF=120°，∵OA=2，∴扇形OGF的面积为：=∵OA为半径的圆与CB相切于点E，∴∠OEC=90°，∴OC=2OE=4，∴AC=OC+OA=6，∴AB=AC=3，∴由勾股定理可知：BC=3∴△ABC的面积为：×3×3=∵△OAF的面积为：×2×=，∴阴影部分面积为：﹣﹣π=﹣π故答案为：﹣π1题图 3题图 8题图2、解：∵∠BOC=60°，△B′OC′是△BOC 绕圆心O 逆时针旋转得到的，∴∠B′OC′=60°，△BCO=△B′C′O ，∴∠B′OC=60°，∠C′B′O=30°，∴∠B′OB=120°， ∵AB=2cm ，∴OB=1cm ，OC′=，∴B′C′=，∴S 扇形B′OB ==π，S 扇形C′OC ==，∴阴影部分面积=S 扇形B′OB +S △B′C′O ﹣S △BCO ﹣S 扇形C′OC =S 扇形B′OB ﹣S 扇形C′OC =π﹣=π；3、解：连接OE 、AE ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AEB=90°，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB=CD=4，∠B=∠D=30°，∴AE=AB=2，BE==2，∵OA=OB=OE ，∴∠B=∠OEB=30°，∴∠BOE=120°，∴S 阴影=S 扇形OBE ﹣S △BOE ，=﹣×，=﹣，=﹣，4、解：S 阴=S △ABD ﹣S 扇形BAE =×4×4﹣=8﹣2π，故答案为8﹣2π．5、解：∵矩形ABCD ，∴AD=2，∴S 阴影=S 矩形﹣S 四分之一圆=2×3﹣π×22=6﹣π，6、解：∵在⊙O 上，∠ACB=40°，∴∠AOB=2∠ACB=80°， ∴此扇形的半径为：=3．故答案为：3．7、解：设扇形的半径为Rcm ，∵扇形的圆心角为135°，弧长为3πcm ， ∴=3π，解得：R=4，所以此扇形的面积为=6π（cm 2），故答案为：6π．8．解：作DF ⊥y 轴于点D ，EG ⊥x 轴于G ，∴△GEM ∽△DNF ，∵NF ＝4EM ，∴＝＝4，设GM ＝t ，则DF ＝4t ，∴A （4t ，），由AC ＝AF ，AE ＝AB ，∴AF ＝4t ，AE ＝，EG ＝， ∵△AEF ∽△GME ，∴AF ：EG ＝AE ：GM ，即4t ：＝：t ，即4t 2＝，∴t 2＝，图中阴影部分的面积＝+＝2π+π＝2.5π，11、解：连接OC ，作CH ⊥OB 于H ，∵∠AOB ＝90°，∠B ＝30°，∴∠OAB ＝60°，AB ＝2OA ＝6， 由勾股定理得，OB ＝＝3，∵OA ＝OC ，∠OAB ＝60°，∴△AOC 为等边三角形，∴∠AOC ＝60°，∴∠COB ＝30°， ∴CO ＝CB ，CH ＝OC ＝， ∴阴影都分的面积＝﹣×3×3×+×3×﹣＝π，故答案为：π．11题图12题图 13题图解：在Rt △ABC 中，∵BC ＝，AC ＝3．∴AB ＝＝2，∵BC ⊥OC ，∴BC 是圆的切线，∵⊙O 与斜边AB 相切于点D ，∴BD ＝BC ，∴AD ＝AB ﹣BD ＝2﹣＝，在Rt △ABC 中，∵sinA ＝＝＝，∴∠A ＝30°，∵⊙O 与斜边AB 相切于点D ，∴OD ⊥AB ，∴∠AOD ＝90°﹣∠A ＝60°， ∵＝tanA ＝tan30°，∴＝，∴OD ＝1，∴S 阴影＝＝．故答案是：．13、如图，圆心O 在△ABC 内所能到达的区域是△O 1O 2O 3，∵△O 1O 2O 3三边向外扩大1得到△ACB ，∴它的三边之比也是5∶12∶13， ∵△O 1O 2O 3的面积=103，∴O 1O 2=53，O 2O 3=4，O 1O 3=133，连接AO 1 与CO 2，并延长相交于I ，过I 作ID ⊥AC 于D ，交O 1O 2于E ，过I 作IG ⊥BC 于G 交O 3O 2于F ，则I 是Rt △ABC 与Rt△O 1O 2O 3的公共内心，四边形IEO 2F 四边形IDCG 都是正方形，∴IE =IF = 1223122313O O O O O O O O O O ⨯++ =23，ED =1，∴ID =IE +ED =53，设△ACB 的三边分别为5m 、12m 、13m ，则有ID =AC BC AC BC AB ⨯++=2m =53，解得m =56，△ABC 的周长=30m =25.14、连接OE,则S 阴=S 扇形OEC +S △OED =260212123336023ππ⨯+⨯⨯=（三）、解答题 1、（1）证明：连接OC ．∵AC ＝CD ，∠ACD ＝120°∴∠A ＝∠D ＝30°．∵OA ＝OC ，∴∠ACO ＝∠A ＝30°．∴∠OCD ＝∠ACD ﹣∠ACO ＝90°．即OC ⊥CD ，∴CD 是⊙O 的切线． （2）解：∵∠A ＝30°，∴∠COB ＝2∠A ＝60°．∴S 扇形BOC ＝，在Rt △OCD 中，CD ＝OC ，∴，∴，∴图中阴影部分的面积为．2、作MN ⊥OB,垂足为N,连接OM,则MN=12OA=3,OA=6 ,A(-6,0)由sin ∠ABO 3则∠A=60°tan ∠BAO=OBOA∴3 ∴B （0，3）设直线AB:y=kx+b,将A,B 点的坐标代入得：3,b=3∴3x+3 S 阴=S 扇形MAO -S △MAO 2120(23)1634332ππ⨯-⨯-3、证明：（1）如图1，连接OD ，OC ，OE ．∵AD ，BC ，CD 是⊙O 的切线， ∴OA ⊥AD ，OB ⊥BC ，OE ⊥CD ，AD ＝ED ，BC ＝EC ，∠ODE ＝12∠ADC ，∠OCE ＝12∠BCD ∴AD //BC ，∴∠ODE ＋∠OCE ＝12（∠ADC ＋∠BCD ）＝90°， ∵∠ODE ＋∠DOE ＝90°，∴∠DOE ＝∠OCE ． 又∵∠OED ＝∠CEO ＝90°，∴△ODE ∽△COE ．∴OE ECED OE=，OE 2＝ED ·EC ∴4OE 2＝4AD ·BC ，∴AB 2＝4AD ·BC （2）解：如图2，由（1）知∠ADE ＝∠BOE ，∵∠ADE ＝2∠OFC ，∠BOE ＝∠2COF ，∴∠COF ＝∠OFC ，∴△COF 等腰三角形。
九年级数学弧长和扇形面积(1)
l 100 900 500 1570（mm）
180
因此所要求的展直长度 L 2 7001570 297（0 mm） 答：管道的展直长度为2970mm．
如图：在△AOC中，∠AOC=900，∠C=150，以O为 圆心，AO为半径的圆交AC于B点，若OA=6， 求弧AB的长。
D
弓形的面积 = S扇+ S△ A
E
B
0
C
2、如图，⊙A、 ⊙B、 ⊙C、 ⊙D两两不相交，且半 径都是2cm，求图中阴影部分的面积。
B A
D
C
已知正三角形ABC的边长为a，分别
以A、B、C为圆心，以a/2为半径的
圆相切于点D、 E、F，求图中阴影部 分的面积S.
3、如图，A是半径为1的圆O外一点，且OA=2，AB 是⊙O的切线，BC//OA，连结AC，
（1）半径为R的圆,周长是多少？ C=2πR
（2）圆的周长可以看作是多少度的圆心角所对的弧？
（3）1°圆心角所对弧长是多少？2R R
360 180
若设⊙O半径为R， n°的圆心角所对的弧长
l为 ，则 l nR
180 A
（4）140°圆心角所对的
B
弧长是多少？
n°
140R 7R
O
180
9
例1、制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直 长度”，再下料，试计算图所示管道的展直长度 L(单位：mm，精确到1mm)
4 3
，
则这个扇形的面积，S扇形=—34—．
例2：如图、水平放置的圆柱形排水管道的截 面半径是0.6cm，其中水面高0.3cm，求截面 上有水部分的面积。（精确到0.01cm）。
弓形的面积 = S扇- S⊿
人教版九年级数学上册《弧长和扇形面积》圆PPT课件(第1课时)
创设情境
探究新知
应用新知
巩固新知
做一做
弧长公式
：
l=
π
180
1.在半径为24 cm的圆中，30°的圆心角所对的弧长为 4π cm，
60°的圆心角所对的弧长为 8π cm，120°的圆心角所对的弧
长为
16π cm.
2.半径为6 cm的圆中，75°的圆心角所对的弧长是 2.5π cm；
D．80°
，扇形OAB的面积为15π，则
(
巩固新知
π，半径是6，那么此扇形的
AB 所对的圆心角是（ B ）
课堂小结
布置作业
A．120°
B．72°
C．36°
D．60°
创设情境
随堂练习
3．如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6 m，其中水
探究新知
面高0.9 m，求截面上有水部分的面积（结果保留小数点后两位）.
线，垂足为D，交
于点C，连接
O●
巩固新知
课堂小结
布置作业
AC.
∵OC=0.6 m，DC=0.3 m，
∴OD=OC-DC=0.3（m）.
∴OD=DC.
又AD⊥DC，
∴AD是线段OC的垂直平分线.
∴AC=AO=OC.
A
D
C
B
创设情境
典型例题
【例2】如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6m，
探究新知
圆心角
有关，
创设情境
典型例题
【例1】制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，
探究新知
再下料，试计算图所示管道的展直长度L (结果取整数) .
A
扇形关于弧度面积和弧长公式
扇形关于弧度面积和弧长公式
一、扇形的弧长公式。
1. 定义。
- 在圆中，圆心角所对的弧长与半径和圆心角的大小有关。
2. 公式推导（以弧度制为基础）
- 设圆的半径为r，圆心角为α（弧度制）。
- 整个圆的周长C = 2π r，整个圆的圆心角是2π弧度。
- 那么对于圆心角为α弧度的扇形，弧长l与整个圆周长的比例等于圆心角α与2π的比例。
- 即(l)/(2π r)=(α)/(2π)，所以弧长l = rα。
二、扇形的面积公式。
1. 方法一：与弧长的关系推导。
- 由弧长公式l = rα。
- 我们可以把扇形看作是一个三角形的变形（把弧长l看作底，半径r看作高）。
- 根据三角形面积公式S=(1)/(2)×底×高，对于扇形，其面积S=(1)/(2)lr，又因为l = rα，所以S=(1)/(2)r× rα=(1)/(2)r^2α。
2. 方法二：与圆面积的比例关系推导。
- 圆的面积S_圆=π r^2，其圆心角为2π弧度。
- 设扇形圆心角为α弧度，扇形面积S与圆面积S_圆的比例等于扇形圆心角α与2π的比例。
- 即(S)/(π r^2)=(α)/(2π)，所以S=(1)/(2)r^2α。
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【一水烟笼花事残香】 梦断，夜凉，一案尘殇，涂一纸胭脂色，出嫁红尘之外签下的誓言。萧笛吟怨的风月中，掠一水烟笼，清辉凉月中打捞你的影子，风涤荡的过往，撕碎片片妩媚的妆容。那一瞬对坐的感动，迟迟涌于血 液，一滴清泪的温柔，倾尽无数别离的苦楚。花落的忧伤，眉间紧锁，花事了，拾一瓣风吹过的残香，长发飘飘的华年里，谁以月的坚持守一份清明的爱恋，谁为谁落下的滴滴温柔，冰释沉积千年的幽 怨。 今世谁是我的王呢？是你吗，我的爱人？为何给我令人窒息的宠爱，如盔甲一般沉重，我身体太单薄了，撑不起你的爱。汉兵略地，楚歌四起，这迎剑一吻的姿态，是爱你最真的表白。星星念，梨花香 雪的温存里，相思与情苦柔绵，生生世世为你积一盏清泪待你品酌，你可知其况味浓稠。