高中数学新课标选修2-2《2.2.1综合法和分析法》课件3
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2014-2015学年高中数学(人教版选修2-2)配套课件第二章 2.2 2.2.1 综合法和分析法
综合法是中学数学证明中最常用的方法． 综合法是 从已知到未知、从题设条件到结论的逻辑推理方法． 综合法是一种由因导果的证明方法． 用 P 表示已知条件、已有的定义、公理、定理等， Q 表示所要证明的结论，则综合法用框图表示为： P⇒Q1 → Q1⇒Q2 → Q2⇒Q3 →„→ Qn⇒Q
栏 目 链 接
栏 目 链 接
πL2 L2 πL2 L2 4 式成立， 只需证明 2 ＞ 成立， 即证明 2 ＞ ， 两边同乘以 2， 4π 16 4π 16 L
L 2 L2 1 1 得 ＞ ，因为上式成立，所以 π2π ＞ 4 . π 4
所以，如果一个圆与一个正方形的周长相等，那么这 个圆的面积比这个正方形的面积大． 点评：分析法．
栏 目 链 接
从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中使每一步
结论成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结
为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公
理等)为止，这种证明的方法叫做分析法．
分析法是从未知到已知、从结论到条件的逻辑推理 方法． 分析法是一种执果索因的证明方法． 用 P 表示已知条件、已有的定义、公理、定理等， Q 表示所要证明的结论，则分析法用框图表示为：
跟 踪 训 练
1 2 3 1．证明： ＋ ＋ ＜2. log519 log319 log219
1 证明： 因为 logab＝ ， 所以左式＝log195＋2log193 logba ＋3log192＝ log19(5×32×23)＝log19360. 因为 log19360＜log19361＝2， 1 2 3 所以 ＋ ＋ ＜2. log519 log319 log219
第二章
推理与证明
2．2 直接证明与间接证明 2．2.1 综合法和分析法
2015年秋新人教B版高中数学选修2-2：2.2.1《综合法与分析法》ppt课件
(2)分析法从命题的结论入手，寻求结论成立的条件，直至 归结为已知条件、定义、公理、定理等． 3．分析法证题的书写格式 用分析法书写证明过程时的格式为： “要证„„， 只需证„„， 只需证„„， „ 由于„显然成立(已知，已证„)， 所以原结论成立．”其中的关联词语不能省略．
求证：当一个圆与一个正方形的周长相等时，这个圆的面 积比正方形的面积大．
3．综合法格式 从己知条件出发，顺着推证，由“已知”得“推知”，由 “推知”得“未知”，逐步推出求证的结论，这就是顺推法的 格式，它的常见书面表达是“∵，∴”或“⇒”．
如图，四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在
四边形 ABCD 中，∠ B ＝∠ C ＝ 90°， AB ＝ 4 ， CD ＝ 1 ，点 M 在
1.合情推理所得到的结论是否一定正确？ 2．演绎推理中经常使用的是哪种形式的推理？
答案：1.合情推理所得到的结论不一定正确．
2 ．演绎推理经常使用的是由大前提、小前提和结论组成 的三段论推理.
一、直接证明 直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、 公理、定理，直接推证结论的真实性．常用的直接证明方法有 综合法与分析法． 二、综合法 综合法是从已知条件出发，经过逐步的推理，最后达到待 证结论，它是一种由因导果的思维方法．
PB上，且PB＝4PM，PB与平面ABC成30°角． (1)求证：CM∥平面PAD；
(2)求证：面PAB⊥面PAD.
[证明] (1)以 C 为原点，CD、CB、CP 所在的直线分别为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系． 由∠ PBC ＝ 30° ， PC ＝ 2 ， BC ＝ 2 3 ， AB ＝ 4 ，不难得到 3 3 D(1,0,0)，B(0,2 3，0)，A(4,2 3，0)，P(0,0,2)，M(0， 2 ，2)． 3 1 → → → 设CM＝xDP＋yDA⇒x＝4，y＝4. → → → ∴CM，DP，DA共面． ∵CM⊄平面 PAD，∴CM∥平面 PAD.
高中数学选修2 2.2.1 综合法和分析法PPT
人教版高中数学选修2-2
第2章 推理与证明
2.2.1 综合法和分析法
PEOPLE'S EDUCATION PRESS HIGH SCHOOL MATHEMATICS ELECTIVE 2-2
讲解人：欧阳某某 时间：2020.6.1
课前导入
在以前的学习中，大家已经能应用综合法、分析法证明数学命题，但是对这些证明方法的内涵和 特点，大家又了解多少呢？ 本节课我们对综合法和分析法这些证明方法进行较系统的学习.
类比综合法，你能分析一下这个证明的思考过程和特点吗？
新知探究
这类证法的特点是: 要证明结论成立，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直至最后，把要证明的 结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止.
这就是另一种证明方法——分析法.
新知探究
知识要点 一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直至最后， 把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种 证明的方法叫做分析法．
已知a>0,b>0,求证a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc
提示
首先，分析待证不等式的特点：不等式的右端是3个数a,b,c乘积的4倍，左端为两项之和，其中 每一项都是一个数与另两个数的平方和之积.据此，只要把两个数的平方和转化为这两个数的积 的形式，就能使不等式左、右两端具有相同的形式.
新知探究
新知探究
类似综合法，我们也可以后框图来表示分析法：
Q P1
P1 P2
P2 P3
…
得到一个明显成立的结论
分析法的适用范围： 注意
当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接，证明中需要用哪些知识不太明确具体时，往往采 用从结论出发，结合已知条件，逐步反推，寻求使当前命题成立的充分条件的方法.
第2章 推理与证明
2.2.1 综合法和分析法
PEOPLE'S EDUCATION PRESS HIGH SCHOOL MATHEMATICS ELECTIVE 2-2
讲解人：欧阳某某 时间：2020.6.1
课前导入
在以前的学习中，大家已经能应用综合法、分析法证明数学命题，但是对这些证明方法的内涵和 特点，大家又了解多少呢？ 本节课我们对综合法和分析法这些证明方法进行较系统的学习.
类比综合法，你能分析一下这个证明的思考过程和特点吗？
新知探究
这类证法的特点是: 要证明结论成立，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直至最后，把要证明的 结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止.
这就是另一种证明方法——分析法.
新知探究
知识要点 一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直至最后， 把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种 证明的方法叫做分析法．
已知a>0,b>0,求证a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc
提示
首先，分析待证不等式的特点：不等式的右端是3个数a,b,c乘积的4倍，左端为两项之和，其中 每一项都是一个数与另两个数的平方和之积.据此，只要把两个数的平方和转化为这两个数的积 的形式，就能使不等式左、右两端具有相同的形式.
新知探究
新知探究
类似综合法，我们也可以后框图来表示分析法：
Q P1
P1 P2
P2 P3
…
得到一个明显成立的结论
分析法的适用范围： 注意
当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接，证明中需要用哪些知识不太明确具体时，往往采 用从结论出发，结合已知条件，逐步反推，寻求使当前命题成立的充分条件的方法.
人教新课标版数学高二-2-2课件 综合法和分析法
反思与感悟
解析答案
跟踪训练3 若tan(α＋β)＝2tan α，求证：3sin β＝sin(2α＋β).
证明 由 tan(α＋β)＝2tan α 得csoinsαα＋＋ββ＝2csoisnαα，
即sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α.
①
要证3sin β＝sin(2α＋β)，
即证3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]，
答案
知识点二 分析法
思考 阅读证明基本不等式的过程，试分析证明过程有何特点？ 要证a＋2 b≥ ab， 只需证 a＋b≥2 ab，
只需证 a＋b－2 ab≥0， 只需证( a－ b)2≥0，
因为( a－ b)2≥0 显然成立，所以原不等式成立. 答 从结论出发开始证明，寻找使证明结论成立的充分条件，最终把要 证明的结论变成一个明显成立的条件.
解析答案
4.设 x，y∈R＋且 x＋y＝1，求证：(1＋1x)(1＋1y)≥9.
1 234
解析答案
规律与方法
1.综合法证题是从条件出发，由因导果；分析法是从结论出发，执果索因. 2.分析法证题时，一定要恰当地运用“要证”“只需证”“即证”等词语. 3.在解题时，往往把综合法和分析法结合起来使用.
解析答案
类型二 分析法
例2 (1)设a，b为实数.求证： a2＋b2≥ 22(a＋b). 证明 要证 a2＋b2≥ 22(a＋b)， 只需证( a2＋b2)2≥[ 22(a＋b)]2， 即证 a2＋b2≥12(a2＋b2＋2ab)， 即证a2＋b2≥2ab，
由于a2＋b2≥2ab对一切实数恒成立， 所以 a2＋b2≥ 22(a＋b).
x＋y B.2xy<x< 2 <y
高中数学选修2-2精品课件2：2.2.1 综合法和分析法
[证明] ∵a>0，b>0，a＋b＝1，∴1＝a＋b≥2 ab， ∴ ab≤12.∴a1b≥4. ∴1a＋1b＋a1b＝(a＋b)(1a＋1b)＋a1b≥2 ab·2 a1b＋4＝8. ∴1a＋1b＋a1b≥8.
考点2： 分析法的应用
用分析法证明如下： 要证 a2＋b2≥ 22(a＋b)， 只需证( a2＋b2)2≥[ 22(a＋b)]2. 即证 a2＋b2≥12(a2＋b2＋2ab)，即证 a2＋b2≥2ab. ∵a2＋b2≥2ab 对一切实数恒成立， ∴ a2＋b2≥ 22(a＋b)成立．综上所述，不等式得证．
∵f(x)＝sinx－x，∴f′(x)＝cosx－1，∴当x≥0时，f′(x)≤0， ∴f(x)在[0，＋∞)上单调递减． ∴当x≥0时，f(x)max＝f(0)＝0，∴sinx－x≤0成立． ∴原不等式成立． 【方法规律总结】在实际解决问题中,分析法与综合法往 往结合起来使用,先分析由条件能产生什么结论,再分析要产生 需要的结论需要什么条件,逐步探求两者之间的联系,寻找解答 突破口,确定解题步骤,然后用综合法写出解题的过程．
得到一个明显 Q⇐P1 P1⇐P2 P2⇐P3 … 成立的条件
知识辨析
1. 综合法在逻辑推理过程中有何特点？ 提示：综合法是中学数学证明中最常用的方法，它是从已知 到未知，从题设到结论的逻辑推理方法，是一种由因导果的证明 方法．
知识辨析
2. 分析法在逻辑推理过程中有何特点？ 提示：分析法也是数学证明中的常用方法，它是由命题的结 论出发，逐步推出保证此结论成立的条件的判断，而当这些判断 恰都是已知的命题(或定义、公理、定理、法则、公式等)时，命 题得证，是一种执果索因的证明方法．
第二章 推理与证明
2.2.1 综合法和分析法
考点2： 分析法的应用
用分析法证明如下： 要证 a2＋b2≥ 22(a＋b)， 只需证( a2＋b2)2≥[ 22(a＋b)]2. 即证 a2＋b2≥12(a2＋b2＋2ab)，即证 a2＋b2≥2ab. ∵a2＋b2≥2ab 对一切实数恒成立， ∴ a2＋b2≥ 22(a＋b)成立．综上所述，不等式得证．
∵f(x)＝sinx－x，∴f′(x)＝cosx－1，∴当x≥0时，f′(x)≤0， ∴f(x)在[0，＋∞)上单调递减． ∴当x≥0时，f(x)max＝f(0)＝0，∴sinx－x≤0成立． ∴原不等式成立． 【方法规律总结】在实际解决问题中,分析法与综合法往 往结合起来使用,先分析由条件能产生什么结论,再分析要产生 需要的结论需要什么条件,逐步探求两者之间的联系,寻找解答 突破口,确定解题步骤,然后用综合法写出解题的过程．
得到一个明显 Q⇐P1 P1⇐P2 P2⇐P3 … 成立的条件
知识辨析
1. 综合法在逻辑推理过程中有何特点？ 提示：综合法是中学数学证明中最常用的方法，它是从已知 到未知，从题设到结论的逻辑推理方法，是一种由因导果的证明 方法．
知识辨析
2. 分析法在逻辑推理过程中有何特点？ 提示：分析法也是数学证明中的常用方法，它是由命题的结 论出发，逐步推出保证此结论成立的条件的判断，而当这些判断 恰都是已知的命题(或定义、公理、定理、法则、公式等)时，命 题得证，是一种执果索因的证明方法．
第二章 推理与证明
2.2.1 综合法和分析法
高中数学人教A版选修2-2课件2-2-1综合法与分析法3
1．分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立
的
(A )
A．充分条件
B．必要条件
C．充要条件
D．等价条件
2．用 P 表示已知，Q 表示要证的结论，则综合法的
推理形式为
(A )
A．P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Qn⇒Q B．P⇐Q1→Q1⇐Q2→Q2⇐Q3→…→Qn⇐Q
C．Q⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Qn⇒P D．Q⇐Q1→Q1⇐Q2→Q2⇐Q3→…→Qn⇐P
4xy＝(a＋b)(b＋c)＝ab＋b2＋ac＋bc＝ab＋2ac＋bc， 所以 2ay＋2cx＝4xy.命题得证．
题型三：选择恰当的方法证明空间图形 的位置关系
例 3 如图，在四棱锥 P－ABCD 中，PA⊥底面 ABCD， AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E 是 PC 的中点．求证：
跟踪训练 3 如图，正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在 的平面互相垂直，EF∥AC，AB＝ 2，CE＝EF＝1. 求证： (1)AF∥平面 BDE； (2)CF⊥平面 BDE.
证明 (1)如图，设 AC 与 BD 交于点 G. 因为 EF∥AG，且 EF＝1，AG＝12AC＝1，
所以四边形 AGEF 为平行四边形． 所以 AF∥EG. 因为 EG⊂平面 BDE，AF⊄平面 BDE， 所以 AF∥平面 BDE.
题型二：选择恰当的方法证明等式
例 2 已知△ABC 的三个内角 A，B，C 成等差数列，对 应的三边为 a，b，c，求证：a＋1 b＋b＋1 c＝a＋3b＋c.
证明 要证原式，只需证a＋a＋b＋b c＋a＋b＋b＋c c＝3， 即证a＋c b＋b＋a c＝1，
即只需证abbc＋＋bc22＋＋aa2c＋＋abbc＝1，
人教B版选修2-2高中数学2.2.1《综合法与分析法》ppt课件(1)
例2．如图，设四面体PABC中,
∠ABC=90°，PA=PB=PC，D
是AC的中点，求证：PD垂直于 A
D C
△ABC所在的平面。
B
证明：连接PD，BD，因为BD是Rt△ABC 斜边上的中线， 所以 DA=DB=DC，又因为 PA=PB=PC， 而PD是△PDA、△PBD、△PCD的公共边, 所以△PDA≌△PBD≌△PCD，
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题，有的要求回答，有的则是自问自答。一般来说，老师在课堂上提出的问 题都是学习中的关键，若能抓住老师提出的问题深入思考，就可以抓住老师的思路。
2.2.1 综合法与分析法
1．综合法 综合法是从原因推导到结果的思维方法， 而分析法是一种从结果追溯到产生这一结 果的原因的思维方法。具体地说，综合法 是从已知条件出法，经过逐步的推理，最 后达到待证结论。分析法则是从待证结论 出法，一步一步寻求结论成立的充分条件， 最后达到题设的已知条件或已被证明的事 实。
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语 文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的 内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
周长相等，那么这个圆的面积比这个正方
高中数学新课标人教A版选修2-2《2.2.1综合法和分析法》课件
课前探究学习
课堂讲练互第动十三页，编辑于活星期页一规：点范十训九分练。
【变式 1】 已知 a，b 是正数，且 a＋b＝1，求证：1a＋1b≥4. 证明 法一 ∵a，b 是正数且 a＋b＝1， ∴a＋b≥2 ab，∴ ab≤12，∴1a＋1b＝a＋abb＝a1b≥4. 法二 ∵a，b 是正数，∴a＋b≥2 ab>0， 1a＋1b≥2 a1b>0， ∴(a＋b)1a＋1b≥4. 又 a＋b＝1，∴1a＋1b≥4.
即证 a＋b－ ab≥ ab，
也就是要证 a＋b≥2 ab，
即( a－ b)2≥0.
该式显然成立，所以 a ＋ b ≥ ba
a＋
b.
课前探究学习
课堂讲练互第动十九页，编辑于活星期页一规：点范十训九分练。
题型三 综合法和分析法的综合应用 【例 3】 已知 a、b、c 是不全相等的正数，且 0<x<1.
2．综合法 (1)定义：一般地，利用 已知条件和某些数学 定义、 定理、 公理等，经 过一系列的 推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证 明方法叫做综合法． (2)框图表示：用P表示已知条件，已有的定义、公理、定理等，Q 表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：
课前探究学习
课堂讲练互第动四页，编辑于星活期一页：规点 十范九训分。练
课前探究学习
课堂讲练互第动八页，编辑于星活期一页：规点 十范九训分。练
3．综合法与分析法的优点 综合法的优点：叙述简洁、直观，条理清楚；而且可使我们从已 知的知识中进一步获得新的知识． 分析法的优点：更符合人们的思维规律，利于思考，思路自然， 在探求问题的证明时，它可帮助我们构思．应该指出的是不能把 分析法和综合法绝对分开，正如恩格斯所说“没有分析就没有综 合”一样，分析与综合是相比较而存在的，它们既是对立的，又 是统一的．严格地讲，分析是为了综合，综合又需根据分析，因 而有时在一个命题的论证中，往往同时应用两种方法，有时甚至 交错使用．
高二数学选修2-2_《综合法和分析法》第二课时参考课件
把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件
（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证
明的方法叫做分析法．
特点：执果索因.
用框图表示分析法的思考过程、特点.
得到一个明显
Q P1
P1 P2
P2 P3
…
成立的结论
ห้องสมุดไป่ตู้
例:设a,b,c为一个三角形的三边,且s2=2ab,
s
=
1(a 2
+
b试+ 证c)s,<2a
思考题:甲、乙、丙三箱共有小球384个,先由甲箱 取出若干放进乙、丙两箱内,所放个数分别为乙、丙 箱内原有个数,继而由乙箱取出若干个球放进甲、丙 两箱内,最后由丙箱取出若干个球放进甲、乙两箱内, 方法同前.结果三箱内的小球数恰好相等.求甲、乙、 丙三箱原有小球数
甲:208个,乙:112个,丙:64个
2.2.1 综合法和分析法 ——分析法
一般地，利用已知条件和某些已经学过的定义、定 理、公理等，经过一系列的推理、论证，最后推导出 所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法。
特点:“由因导果”
回顾基本不等式：a
+ 2
b
(aa>b0,b>0)的证明.
证明: 因为 ( a b)2 0
证明:要证
Z),且
sinθ+ cosθ= 2sinα
sinθ cosθ= sin2β
求证: 1 - tan2α = 1 - tan2β . 1 + tan2α 2(1 + tan2β)
Q P1
P1 P2
P2 P3 …
也可以是经过证明的结论
得到一个明显 成立的结论
例:已知数列{an}的通项an>0,(n∈N*),它的前n项的 和记为sn,数列{s2n}是首项为3,公差为1的等差数列. (1)求an与sn的解析式; (2)试比较sn与3nan(n∈N*),的大小.
高中数学(新课标)选修2课件2.2.1综合法和分析法
类型三 分析法与综合法的综合应用 例 3 已知 a，b，c 是不全相等的正数，且 0<x<1.求证：logxa＋2 b ＋logxb＋2 c＋logxa＋2 c<logx a＋logx b＋logx c.
【证明】 要证明 logxa＋2 b＋logxb＋2 c＋logxa＋2 c<logx a＋logx b
a＋mb＋mc＋m 因为 a>0，b>0，c>0，m>0， 所以(a＋m)(b＋m)(c＋m)>0.
因为 a(b＋m)(c＋m)＋b(a＋m)(c＋m)－c(a＋m)(b＋m) ＝abc＋abm＋acm＋am2＋abc＋abm＋bcm＋bm2－abc－bcm －acm－cm2＝2abm＋am2＋abc＋bm2－cm2 ＝2abm＋abc＋(a＋b－c)m2. 因为△ABC 中任意两边之和大于第三边， 所以 a＋b－c>0， 所以(a＋b－c)m2>0， 所以 2abm 十 abc＋ (a＋b－c)m2>0，
跟踪训练 1 (1)设 a>0，b>0，a＋b＝1，求证：1a＋1b＋a1b≥8.
(2)如图所示，设四面体 P－ABC 中，∠ABC＝90°，PA＝PB＝ PC，D 是 AC 的中点．求证：PD 垂直于△ABC 所在平面．
证明：(1)因为 a>0，b>0，a＋b＝1， 所以 1＝a＋b≥2 ab. 所以 ab≤12，所以a1b≥4.
(3)用综合法证明题目，证明步骤严谨、逐层递进、步步为营、 条理清晰、形式简洁、易于表达推理的思维过程．
(4)综合法的常见书面表达是“∵”“∴”或“⇒”．
知识点二 分析法
1．概念 一般地，从要证明的_____结__论_____出发，逐步寻求使它成立的 _____充__分_____条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个 ___明__显__成__立__的__条__件_(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证 明方法叫做分析法．
高中数学 2.2.1综合法和分析法(3)课件 新人教A版选修22
Q←P1←P2←...←Pn←P 解法的探讨
实际证题过程，分析与综合是统一运用的
P→Q1→Q2→...→Qn→ Q←Pn←... ←P2 ←P1←P
第十七页，共17页。
文字(wénzì)语言
符号语言
图形(túxíng)语言
然后在仔细分析题目的隐含条件，将隐含条件表 示出来
第八页，共17页。
分析法(analytical methed)：是指“由因导果”的思想方 法，即从已知条件出发(chūfā)，不断地展开思考，去探索 结论的方法．
QP1
P1P2
P2P3
得到一个明显 成立的条件
只需证 21 5, 只需证21 25.
因为21 25，所以 3 7 2 5成立.
第十页，共17页。
练习(liànxí)1: 已知AD是∠BAC的平分线,DE∥CA, 且交AB于E(如图).求证：DE=AE .
分析(fēnxī)：
要证
E
DE=AE
A
1 2
B
F
D 3
C
只需证
∠1=∠3
只需证
∠1=∠2
第十三页，共17页。
例4.已知 , k (k z),且
2
sin cos 2sin , sin cos sin2 求证：1 tan2 ＝ 1 tan2 1 tan2 2(1 tan2 )
分析：证明式中没有 ,因此我们要将 消掉,如何 消掉 ？而且在条件中只有(zhǐyǒu)弦,而在证明结 果里面只有(zhǐyǒu)切,因此我们要弦化切
综合法和分析法
第一页，共17页。
通过前面的学习我们直到，合情推理多得出的 结论我们需要加以证明，这正是数学(shùxué) 区别于其他科学的显著特点.数学(shùxué)结论 的正确性必须通过演绎推理(逻辑推理)的方式 加以证明，本节我们来看一种基础的证明方法
实际证题过程，分析与综合是统一运用的
P→Q1→Q2→...→Qn→ Q←Pn←... ←P2 ←P1←P
第十七页，共17页。
文字(wénzì)语言
符号语言
图形(túxíng)语言
然后在仔细分析题目的隐含条件，将隐含条件表 示出来
第八页，共17页。
分析法(analytical methed)：是指“由因导果”的思想方 法，即从已知条件出发(chūfā)，不断地展开思考，去探索 结论的方法．
QP1
P1P2
P2P3
得到一个明显 成立的条件
只需证 21 5, 只需证21 25.
因为21 25，所以 3 7 2 5成立.
第十页，共17页。
练习(liànxí)1: 已知AD是∠BAC的平分线,DE∥CA, 且交AB于E(如图).求证：DE=AE .
分析(fēnxī)：
要证
E
DE=AE
A
1 2
B
F
D 3
C
只需证
∠1=∠3
只需证
∠1=∠2
第十三页，共17页。
例4.已知 , k (k z),且
2
sin cos 2sin , sin cos sin2 求证：1 tan2 ＝ 1 tan2 1 tan2 2(1 tan2 )
分析：证明式中没有 ,因此我们要将 消掉,如何 消掉 ？而且在条件中只有(zhǐyǒu)弦,而在证明结 果里面只有(zhǐyǒu)切,因此我们要弦化切
综合法和分析法
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通过前面的学习我们直到，合情推理多得出的 结论我们需要加以证明，这正是数学(shùxué) 区别于其他科学的显著特点.数学(shùxué)结论 的正确性必须通过演绎推理(逻辑推理)的方式 加以证明，本节我们来看一种基础的证明方法
人教B版选修2-2高中数学2.2.1《综合法与分析法》ppt课件(3)
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你能得到怎样的一般不等式，并加以证明。
例:平面内有n条直线,其中任何两条不平行,任何三条 不过同一点,证明交点的个数f(n)等于n(n-1)/2.
证:(1)当n=2时,两条直线的交点只有1个,又 f(2)=2•(2-1)/2=1,因此,当n=2时命题成立. (2)假设当n=k(k≥2)时命题成立,就是说,平面内满足 题设的任何k条直线的交点个数f(k)等于k(k-1)/2. 以下来考虑平面内有k+1条直线的情况.任取其中 的1条直线,记作l.由归纳假设,除l以外的其他k 条直线的交点个数f(k)等于k(k-1)/2.
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知识 逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等等，这些 用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网
⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。
2019/8/10
最新中小学教学课件
15
谢谢欣赏！
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16
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语 文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的 内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
你能得到怎样的一般不等式，并加以证明。
例:平面内有n条直线,其中任何两条不平行,任何三条 不过同一点,证明交点的个数f(n)等于n(n-1)/2.
证:(1)当n=2时,两条直线的交点只有1个,又 f(2)=2•(2-1)/2=1,因此,当n=2时命题成立. (2)假设当n=k(k≥2)时命题成立,就是说,平面内满足 题设的任何k条直线的交点个数f(k)等于k(k-1)/2. 以下来考虑平面内有k+1条直线的情况.任取其中 的1条直线,记作l.由归纳假设,除l以外的其他k 条直线的交点个数f(k)等于k(k-1)/2.
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知识 逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等等，这些 用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网
⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。
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④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语 文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的 内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
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吻合为止
分析法
综合法和分析法的推证过程如下： 综合法
已知条件 结论
分析法
结论 已知条件
（例题）
例1 如图，已知AB，CD交于点O，ACO BDO， AE BF，求证：CE DF.
证 （综合法） 因为
ACO BDO 所以 CO DO AO BO
因为
AE BF（已知）
所以
EO FO
0 a 2 ab b 0 ( a b)2
因为最后一个不等式成立，故结论成立。
（数学理论）
上述两种证法有什么异同？
相同 都是直接证明
不同 证法1 从已知条件出发，以已知的定义、公理、
定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论
为止
综合法
证法2 从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条
件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件
证 连接AC，因为四边形ABCD
是平行形四边形，所以 AB// CD，BC// DA
故 1 2，3 4.
因为 AC CA
所以 ABC CDA
故
AB=CD,BC=DA.
1 概念 直接从原命题的条件逐步推得命题成立
2 直接证明的一般形式：
本题条件
已知定义 已知公理
本题结论
已知定理
（学生活动）
分析法 解题方向比较明确，
利于寻找解题思路；
综合法 条理清晰，易于表述。
通常以分析法寻求 思路，再用综合法有条理地
表述解题过程
用分析法去思考，寻找证题途径，用
综合法进行书写；或者联合使用分析法 与综合法，即从“欲知”想“需知”(分
教学目标：
结合已经学过的数学实例，了解直接证 明的两种基本方法：分析法和综合法；了解 分析法和综合法的思考过程、特点.
教学重点：
会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程.
教学难点：
根据问题的特点，结合综合法的思考过 程、特点，选择适当的证明方法.
（问题情境）
如图，四边形ABCD是平行四边形
求证：AB=CD，BC=DA
（练习）
2. 若 a 1, b 1, 求证：a b 1. 1 ab
证
要证
ab 1
1 ab
只需证明
a
b
2
1
1 ab
a 1 b 1 a2 1 b2 1
a2 1 0, b2 1 0
只需证明 a b2 (1 ab)2 因此 (a2 1)(b2 1) 0
只需证明 (a2 1)(b2 1) 0 所以原命题成立.
思考：在《数学（5 必修）》中，我们如何证明
基本不等式 ab a b (a 0,b 0)? 2
证法1 对于正数a,b, 有
（ a b）2 0
a b 2 ab 0
a b 2 ab a b ab
2
证法2 要证 只要证
ab a b 2
2 ab a b
只要证 只要证
3.△ABC三边长a, b, c的倒数成等差数列，求证：B 90
证明：
cosB
a2 c2 b2 2ac
2ac b2
2ac
.
b2
1
2ac
1 b2
b(a c)
1 b
ac
因为a,b,c为△ABC三边 所以 a + c > b
1 b 0 ac
所以 cosB>0
因此 B 90
（回顾小结）
概念 综分 合析 法法
又因为 EOC FOD（对顶角相等）
所以 EOC FOD
所以
EC FD
证 （分析法）要证明CE=DF，只需证明 EOC FOD
为此只需证明
CO DO EOC FOD EO FO
分析法 解题方向比较明确，
利于寻找解题思路；
综合法 条理清晰，易于表述。
为了证明 CO DO
通常以分析法寻求
只需 ACO BDO
思路，再用综合法有条理地
为了证明 EO FO
表述解题过程
只需证明 AO BO（因为已知AE BF）
也只需 ACO BDO（已知）
因为 EOC与FO是D 对顶角，所以它们相等，从而
EOC FOD 成立，因此命题成立.
（练习）
1. 若a 0,b 0,求证：a b 1 2 2. ab