习题12.3

ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ



6.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC垂足分别是E、F，连接 EF.EF与AD交于G.AD与EF垂直吗？证明你的结论. 解：AD与EF垂直.证明如下： ∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE=DF. 在Rt△ADE和Rt△ADF中， DE=DF，AD=AD， ∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）， ∴∠ADE=∠ADF， 在△GDE和△GDF中， DE=DF，∠ADE=∠ADF，DG=DG， ∴△GDE≌△GDF（SAS）， ∴∠DGE=∠DGF. 又∵E、G、F在一条直线上，∴∠DGE+∠DGF=180°， ∴∠DGE=∠DGF=90°， ∴AD⊥EF.
课前测试
1．下列说法：①全等三角形的形状相同； ②全等三角形的对应边相等 ③全等三角形的对应角相等； ④全等三角形的周长 面积分别相等．其中正确的说法为（ ）
A．①②③④ A．①②③④ B．①③④ C．①②④ D．②③④
习题12-3




1.用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知的 ∠AOB的两边上，分别取OM=ON，再分别过点M、N 作OA、OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OP平 分∠AOB.为什么？ 解：∵PM⊥OA，PN⊥OB， ∴∠OMP=∠ONP=90º . 在Rt△OMP和Rt△ONP中， OM=ON，OP=OP， ∴Rt△OMP≌Rt△ONP（HL）， ∴PM=PN， ∴OP是∠AOB的平分线.




5.如图，OC是∠AOB的角平分线，P是OC上的一点， PD⊥OA交OA于D，PE⊥OB交OB于E.F是OC上另一 点，连接DF、EF. 求证：DF=EF. 证明：∵OC是∠AOB的角平分线，且PD⊥OA交OA于 D，PE⊥OB交OB于E， ∴PD=PE. 在△PDF和△EPF中， PF=PF，∠DPF=∠EPF，PD=PE， ∴△DPF≌△EPF（SAS）， ∴DF=EF.
4.△ABC中，AD是它的角平分线，P是AD上的一点， PE∥AB交BC于E，PF∥AC交BC于F. 求证：D到PE的距离与D到PF的距离相等. 证明：∵AD是∠BAC平分线， ∴∠1=∠2， 又∵PE∥AB ，PF∥AC， ∴∠1=∠3，∠2=∠4， ∴∠3=∠4， ∴PD是∠EPF平分线， ∴D到PE的距离与D到PF的距离相等.
∴△EBD≌△FCD（HL） ∴EB=FC




3.如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E， BE、CD相交于点O，OB=OC. 求证：∠1=∠2. 证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC， ∴∠BDO=∠CEO=90º . 又∵∠DOB=∠EOC，OB=OC， ∴△DOB≌△EOC（AAS）， ∴OD=OE， ∴AO是∠BAC的平分线， ∴∠1=∠2.
2．已知：如图1，△ABC中，AD是角的平分线， BD=CD，DE、DF分别垂直于AB、AC，E、F是垂足 求证：EB=FC．
证明：∵AD是角的平分线， DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE=DF 在△EBD和△FCD中，
BED CFD 90, BD CD, DE DF .