3.12导数的概念

合集下载

教学设计4：3.1.2 导数的概念

3.1.2 导数的概念教学目标1.知识与技能通过大量的实例的分析，让学生经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数．2．过程与方法通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力，通过问题的探究体会逼近、类比、以已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法．3．情感、态度与价值观学生在从平均变化率到瞬时变化率的探索过程中，通过动手算、动脑思和集体合作讨论，发展思维能力，树立敢于战胜困难的信息，养成主动获取知识和敢于探索求知的习惯，激发求知欲，增强合作交流意识．重点、难点重点：了解导数概念的形成，理解导数有内涵．难点：在平均变化率的基础上探求瞬时变化率，深刻理解导数的内涵．通过列举大量实例增强学生对导数概念形成的理解，以化解重点；通过逼近的方法，引导学生观察来突破难点．教学建议学生对平均变化率已有了很好的认识，同时在物理课程中已学习过瞬时速度，因此，学生已经具备了一定的认知基础，于是，在教学设计中，宜采用相互讨论、探究规律和引导发现的教学方法，本着为学生发展的原则，通过师生互动、共同探索，形成概念，并学以致用．在学生的认知基础上，为了让学生明确导数就是瞬时变化率，函数f (x )在x ＝x 0处的导数反映了函数f (x )在x ＝x 0处附近变化的快慢，从而更好地理解导数的概念．在学法指导上，应回避了学生较难理解的极限思想，而是通过让学生体验逼近的思想，让他们通过自主探究，发现导数的内涵．使学生在学习过程中探究能力，分析问题、解决问题的能力都得到了不同程度的提升．例题讲解：一、求瞬时速度.例1：若一物体运动方程如下：(位移s ：m ，时间t ：s)s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t 2＋2 (t ≥3)29＋3(t －3)2 (0≤t ＜3) 求(1)物体在t ∈[3,5]内的平均速度．(2)物体的初速度v 0.【解析】(1)求物体在[3,5]内的平均速度应选择哪一段函数的解析式？(2)物体的初速度v 0的含义是什么？如何去求？解： (1)∵物体在t ∈[3,5]内时，s ＝3t 2＋2，且时间增量Δt ＝5－3＝2，物体在t ∈[3,5]内的位移变化量为Δs ＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，∴物体在t ∈[3,5]上的平均速度为Δs Δt ＝482＝24(m/s)． (2)求物体的初速度v 0，即求物体在t ＝0时的瞬时速度．∵物体在t ＝0附近的平均变化率为Δs Δt ＝f (0＋Δt )－f (0)Δt＝29＋3[(0＋Δt )－3]2－29－3(0－3)2Δt＝3Δt －18， ∴物体在t ＝0处的瞬时变化率为0lim x ∆→ΔsΔt ＝0lim x ∆→(3Δt －18)＝－18，即物体的初速度为－18 m/s.规律方法：1．解答本例首先要弄清第(1)问是求平均变化率，而第(2)问实际上是求t ＝0时的瞬时速度(即瞬时变化率)．2．求瞬时速度应先求平均速度v ＝Δs Δt ，再用公式v ＝0lim x ∆→Δs Δt，求得瞬时速度． 3．如果物体的运动方程是s ＝s (t )，那么函数s ＝s (t )，在t ＝t 0处的导数，就是物体在t ＝t 0时的瞬时速度．变式训练：一辆汽车按规律s ＝2t 2＋3做直线运动，求这辆车在t ＝2时的瞬时速度(时间单位：s ，位移单位：m)．解：设这辆车在t ＝2附近的时间变化量为Δt ，则位移的增量Δs ＝[2(2＋Δt )2＋3]－(2×22＋3)＝8Δt ＋2(Δt )2，Δs Δt ＝8＋2Δt ，当Δx 趋于0时，平均变化率Δs Δt趋于8. 所以，这辆车在t ＝2时的瞬时速度为8 m/s.二、求函数在某点处的导数例2：求函数f (x )＝3x 2＋ax ＋b 在x ＝1处的导数．【解析】求Δy →求Δy Δx →取极限→得f ′1解：Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝[3(1＋Δx )2＋a (1＋Δx )＋b ]－(3＋a ＋b )＝3(Δx )2＋(6＋a )Δx . Δy Δx ＝3(Δx )2＋(6＋a )Δx Δx＝3Δx ＋6＋a . 0lim x ∆→ΔyΔx ＝0lim x ∆→(3Δx ＋6＋a )＝6＋a . ∴f ′(1)＝6＋a .规律方法：1．求函数f (x )在某点处导数的步骤与求瞬时变化率的步骤相同，简称：一差、二比、三极限．2．利用定义求函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的两个注意点(1)在求平均变化率Δy Δx 时，要注意对Δy Δx 的变形与约分，变形不彻底可能导致0lim x ∆→Δy Δx不存在．(2)当对Δy Δx 取极限时，一定要把Δy Δx变形到当Δx →0时，分母是一个非零常数的形式．变式训练：已知函数f (x )＝ax 2＋c ，且f ′(1)＝2，求a 的值．解：∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝a (1＋Δx )2＋c －(a ＋c )＝2a ·Δx ＋(Δx )2，∴Δy Δx ＝2a ·Δx ＋Δx 2Δx＝2a ＋Δx . 因此f ′(1)＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0(2a ＋Δx )＝2a . ∴2a ＝2，a ＝1.三、求物体的瞬时速度、初速度时要注意步骤的规范性一做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s (t )＝3t －t 2.(1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t ＝2时的瞬时速度；(3)求t ＝0到t ＝2时的平均速度．【解析】本题已知函数解析式，求初速度即t ＝0时的瞬时速度，t ＝2时的瞬时速度和t ∈[0,2]时的平均速度，可以用一差、二比、三极限的方法．解：(1)当t ＝0时的速度为初速度．在0时刻取一时间段[0,0＋Δt ]，即[0，Δt ]，∴Δs ＝s (Δt )－s (0)＝[3Δt －(Δt )2]－(3×0－02)＝3Δt －(Δt )2，Δs Δt ＝3Δt －(Δt )2Δt＝3－Δt ， lim Δt →0 Δs Δt ＝lim Δt →0(3－Δt )＝3. ∴物体的初速度为3.(2)取一时间段[2,2＋Δt ]，∴Δs ＝s (2＋Δt )－s (2)＝[3(2＋Δt )－(2＋Δt )2]－(3×2－22)＝－Δt －(Δt )2，Δs Δt ＝－Δt －(Δt )2Δt＝－1－Δt ， lim Δt →0 Δs Δt ＝lim Δt →0(－1－Δt )＝－1， ∴当t ＝2时，物体的瞬时速度为－1.(3)当t ∈[0,2]时，Δt ＝2－0＝2.Δs ＝s (2)－s (0)＝(3×2－22)－(3×0－02)＝210分 v ＝Δs Δt ＝22＝1. ∴在0到2之间，物体的平均速度为1.12分课堂小结：1．平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx，当Δx 趋于0时，它所趋于的一个常数就是函数在x 0处的瞬时变化率，即求函数的瞬时变化率是利用平均变化率“逐渐逼近”的方法求解．另外，它们都是用来刻画函数变化快慢的，它们的绝对值越大，函数变化得越快．2．函数在一点处的导数，就是在该点函数值的改变量与自变量的改变量的比值的极限，它是一个定值，不是变数.。

高中数学选修1课件：3.1.2导数的几何意义

v lim s lim g 6 t 3g 29.4m / s
t0 t t0 2
一般结论
设物体的运动方程是 s=s(t),
物体在时刻 t 的瞬时速度为 v ,
就是物体在 t 到 t+△t 这段时间内,
当△t→0 时平均速度的极限，即
v lim s lim st t st
t0 t
内解的：平设均在速[3，度3（.1位]内移的的平单均位速为度m为）v。1，则 △t1=3.1-3=0.1(s) △s1=s(3.1)-s(3)= 0.5g× 3.12-0.5g×32
=0.305g(m)
所以
v1
s1 t1
0.305 g 0.1
3.05 g(m /
s)
同理v2
s2 t2
0.03005 0.01
t 0
t
例２、 y
y f (x)
相交
oP
x
再来一次
y f (x)
y
Q
Q
Q
P
o
x3 x2x1
T
再来一次
x
上面我们研究了切线的斜率问题, 可以将以上的过程概括如下：
设曲线C是函数 y=f(x) 的图象，
在曲线C上取一点 P及P点邻近的任一点
Q(x0+△x,y0+△y) , 过P,Q两点作割线，
h t
v0
gt0
1 2
gt
当t
0时，h
t
v0
gt0
所以
物体在时刻t0处的瞬时速度为v0-gt0.
由导数的定义可知,求函数y=f(x)在
点x0处的导数的方法是：
(1)求函数的增量 y f x0 x f x0

3.1.2导数的概念

3.1.2导数的概念【知识点总结】1.瞬时变化率的概念：物体在运动中，在不同的时刻其速度是不同的。

我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。

2.在上一节课中，我们学习了求函数()y f x =在区间00[,]x x x +∆上的平均变化率： 00()()=f x x f x y x x+∆-∆∆∆ 当0x ∆→时，区间00[,]x x x +∆→点0x ，此时函数()y f x =在区间00[,]x x x +∆上的平均变化率→函数()y f x =在点0x 的瞬时变化率。

可以表示如下：0x ∆→，00()()=f x x f x y x x +∆-∆∆∆→函数()y f x =在点0=x x 的瞬时变化率或表示如下：函数()y f x =在点0=x x 的瞬时变化率是：0000()()lim =lim x x f x x f x y x x∆→∆→+∆-∆∆∆ 注意：由以上说法，我们可以求函数在任一时刻0x 的瞬时变化率.（‘→’表示无限趋近于）3.定义导数的概念：一般地，函数()y f x =在点0=x x 的瞬时变化率是0000()()lim =lim x x f x x f x y x x∆→∆→+∆-∆∆∆，我们称它为函数函数()y f x =在点0=x x 处的导数，记作：0()f x '或0=x x y '.即：00000()()()lim=lim x x f x x f x y f x x x∆→∆→+∆-∆'=∆∆ 或记作： 000=00()()=lim =lim x x x x f x x f x y y x x ∆→∆→+∆-∆'∆∆ 注意1：导数的概念，初听起来有些玄乎，其实就是函数()y f x =在点0=x x 的瞬时变化率，或者说就是0x ∆→时00()()=f x x f x y x x+∆-∆∆∆的极限值。

这样我们可以利用求极限的方法去求函数()y f x =在点0=x x 处的导数，也即函数()y f x =在点0=x x 处的瞬时变化率. 注意2：一般情况下0()f x '反映的是函数()y f x =在点0=x x 附近的变化情况.4.利用导数定义，求函数函数()y f x =在点0=x x 的瞬时变化率（导数）的步骤：第一步：计算函数的增量：00=()()y f x x f x ∆+∆-；第二步：计算平均变化率（增量比）:00()()=f x x f x y x x+∆-∆∆∆；第三步：当0x ∆→时，计算00()()=f x x f x y x x+∆-∆∆∆的极限值（即计算：0000()()lim =lim x x f x x f x y x x ∆→∆→+∆-∆∆∆）；第四步：写出函数函数()y f x =在点0=x x 的瞬时变化率（导数）.5.区分0()f x 与0()f x '：0()f x 是函数()f x 当0=x x 时的函数值；而0()f x '是函数()f x 在0=x x 处的导数，同时也是函数()f x 在0=x x 处的瞬时变化率.【典型例题】例题一：在高台跳水运动中，t s 时运动员相对于水面的高度（单位：m ）是2() 4.9 6.510h t t t =-++，求运动员1t s =时的瞬时速度，并解释此时的运动状况.解：=(1)(1)h h t h ∆+∆-22[ 4.9(1) 6.5(1)10][ 4.91 6.5110]t t =-+∆++∆+--⨯+⨯+24.9 3.3t t =-∆-∆ 24.9 3.3= 4.9 3.3h t t t t t∆-∆-∆=-∆-∆∆ 00(1)lim lim( 4.9 3.3) 3.3t t h h t t ∆→∆→∆'==-∆-=-∆ 所以，运动员1t s =时的瞬时速度为 3.3-，这说明运动员在1t s =附近以3.3m s 的速度下降。

选修1-1：3.1.2导数的概念

§3.1.2 导数的概念学习目标：1.了解瞬时速度、瞬时变化率的概念;2.理解导数的概念,知道瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及其内涵;3.会求函数在某点的导数.学习过程：一、创设情景道路限速有两种方式，一种是区间测速，另一种是点位测速，你能说明两者是如何工作吗？(一) 复习：1.平均变化率：2.某点附近处的平均片花变化率：3.几何意义(二) 探究计算运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度,并思考以下问题: (1) 运动员在这段时间内使静止的吗？(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？二、学习新知1.瞬时速度我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度,那么,如何求运动员的瞬时速度呢？比如,2t =时的瞬时速度是多少？考察2t =附近的情况:思考: 当t ∆趋近于0时,平均速度v 有什么样的变化趋势？结论:小结:2.导数的概念函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是:0000()()lim lim x x f x x f x f x x ∆→∆→+∆-∆=∆∆ 称它为函数()y f x =在0x x =出的导数,记作'0()f x 或0'|x x y =，即0000()()()lim x f x x f x f x x ∆→+∆-'=∆说明: (1)导数'0()f x 即为函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率;(2)0x x x ∆=-,当0x ∆→时,0x x →,所以000()()()lim xxf x f x f x x x →-'=-.三、典例分析例1 (1)求函数23x y =在1=x 处的导数.(2)求函数x x x f +-=2)(在1x =-附近的平均变化率,并求出该点处的导数. 分析: 先求)()(00x f x x f y f -∆+=∆=∆,再求x y ∆∆,最后求xyx ∆∆→∆0lim . 解: (1)(2)例2 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热,如果第xh 时,原油的温度(单位:C )为2()715(08)f x x x x =-+≤≤,计算第2h 时和第6h 时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.解:注: 一般地,'0()f x 反映了原油温度在时刻0x 附近的变化情况.四、课堂练习1.质点运动规律为32+=t s ,求质点在3t =的瞬时速度为.2.求曲线3)(x x f y ==在1x =时的导数.3.例2中,计算第3h 时和第5h 时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.五、课堂反馈2．下列各式中正确的是（）A xx f x x f y x x x ∆-∆-=→∆=)()(|000'limB xx f x x f x f x ∆∆-∆-=→∆)()()(000'limC xx f x x f y x x x ∆+∆+=→∆=)()(|000'limDxx x f x f x f x ∆∆--=→∆)()()(0000'lim3．设4)(+=ax x f ，若2)1('=f ，则a 的值（）A 2B . －2C 3D －34．任一做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是23t t s -=，则物体的初速度是（） A 0 B 3 C －2 D t 23-5．函数xx y 1+=，在1=x 处的导数是6．13-=x y ，当2=x时，=∆∆→∆xyx l i m7．设圆的面积为A ，半径为r ，求面积A 关于半径r 的变化率。

导数知识点总结大全

导数知识点总结大全一、基本概念1.1 导数的定义对于函数y = f(x)，在点x处的导数表示为f'(x)，它定义为函数在该点的变化率。

导数可以用极限的概念来定义：\[f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}\]其中，h表示自变量x的小变化量，当h趋近于0时，这个极限就表示了函数在点x处的导数。

导数也可以表示为函数的微分形式，即dy = f'(x)dx。

1.2 导数的几何意义导数有着重要的几何意义，它表示了函数在某一点上的切线斜率。

对于函数y = f(x)，在点(x, f(x))处的切线的斜率恰好等于函数在该点的导数f'(x)。

这意味着导数可以描述函数在某一点的变化速率和方向。

1.3 导数的物理意义在物理学中，导数也有着重要的物理意义。

对于物理量s关于时间t的函数s(t)，它的导数s'(t)表示了速度的变化率，即s'(t) = ds/dt。

类似地，速度关于时间的函数v(t)的导数v'(t)表示了加速度的变化率，即v'(t) = dv/dt。

因此，导数在描述物理过程中的变化率和速度方面也有着重要的应用。

1.4 导数的符号表示导数的符号表示通常有几种形式，常见的包括f'(x)、dy/dx、y'等。

它们都表示对函数y =f(x)的自变量x求导所得到的结果，即函数在某一点上的变化率或者斜率。

二、导数的性质2.1 导数存在性对于一个函数f(x)，它在某一点上的导数可能存在也可能不存在。

如果函数在某一点上导数存在，那么称该函数在该点上可导。

对于大多数常见的函数，它们在定义域内是可导的，例如多项式函数、三角函数、指数函数等。

但也存在一些特殊的函数，在某些点上导数可能不存在，例如绝对值函数在原点处的导数就不存在。

2.2 导数的连续性如果一个函数在某一点上导数存在，并且它在该点上是连续的，那么称该函数在该点上是可微的。

人教A版高中数学选修2-2 3.1.2 导数的概念

3、当x∈(-2,1)时，f(x)=2x3+3x2-12x+1是( ) (A) 单调递增函数 (B) 单调递减函数 (C) 部份单调增，部分单调减 (D) 单调性不能确定
问题：已知函数y xf ' (x)的图象如图（其中f '(x)是f (x) 的导函数）下列四个图象中
y 2
-1 -2
1 -1
则f(x0) 是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值= f(x0)；
•如果对X0附近的所有点，都有f(x)>f(x0), 则f(x0) 是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值= f(x0)；
yA
解： f ( x ) 的大致形状如右图： y f (x)
这里，称 A , B 两点为 “ 临界点 ”
B
o 2 3x
已知导函数 f ' ( x) 的下列信息：
当1<x<4时，f '( x ) >0;
当x>4,或x<1时，f '( x ) <0;
当x=4,或x=1时，f '( x ) =0.则函数f(x)图象的大致
y f (x)的图象大致是（Ｃ）
-2
2 1x
-１ -２２
Ａ
２ -１１
-２ -１１
Ｂ
Ｃ
-１ -２
Ｄ
巩
固
f(x )1x 31x27单调区间 322
（第一步）定义域R , f (x) =x2-x=x(x-1)
（第二步）令x(x-1)>0, 得x<0或x>1，则 f(x)单调递增区间（－∞，0）,（1， +∞）
P
2
3Dx0

高中导数知识点总结

高中导数知识点总结导数是微积分中的重要概念，用于描述函数在某一点上的变化速率。

在高中阶段，学生将接触到导数的基本定义、求导法则、导数在函数图像中的应用等知识点。

本文将对高中导数的知识点进行总结，帮助学生全面理解和掌握导数的概念和应用。

高中导数的基本定义是：对于函数y=f(x)，在x取某个值x=a的邻域内，如果极限\[\lim_{{x \to a}} \frac{{f(x)-f(a)}}{{x-a}}\]存在，那么这个极限就是函数f(x)在点x=a处的导数，用f'(a)表示。

这个定义可以简单理解为：导数就是函数在某一点上的瞬时变化率。

具体地说，f'(a)代表了函数在x=a处的切线斜率，也就是函数图像在该点的瞬时变化速率。

求导法则是导数计算的重要工具。

高中阶段主要学习了以下几个常见的求导法则：1. 常数法则：常数的导数等于零。

例如，如果函数y=3，那么它的导数就是0。

2. 幂函数法则：对于函数y=x^n，它的导数是ny^{(n-1)}。

例如，如果函数y=x^2，那么它的导数是2x。

3. 函数和法则：对于函数y=f(x)和g(x)，它们的和、差、乘积、商的导数可以分别表示为(f+g)'=f'+g'，(f-g)'=f'-g'，(f*g)'=f'g+fg'，(f/g)'=(f'g-fg')/g^2。

此外，我们还需要掌握一些特殊函数的导数计算方法，如指数函数、对数函数、三角函数等。

导数在函数图像中的应用是导数知识的重要部分。

了解函数图像的变化规律有助于我们分析函数的性质和应用。

以下是一些常见的应用：1. 切线与曲线：导数可以帮助我们确定函数图像上某点的切线方程。

切线方程的斜率就是该点的导数值，通过已知的点和斜率，可以确定切线方程。

2. 极值点与函数的最值：导数可以帮助我们确定函数图像上的极值点和函数的最值。

导数复习知识点总结

高考数学复习详细资料——导数概念与运算知识清单 1．导数的概念函数y=fx,如果自变量x 在x 0处有增量x ∆,那么函数y 相应地有增量y ∆=fx 0+x ∆－fx 0,比值x y∆∆叫做函数y=fx 在x 0到x 0+x ∆之间的平均变化率,即x y ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)()(00;如果当0→∆x 时,x y∆∆有极限,我们就说函数y=fx 在点x 0处可导,并把这个极限叫做fx 在点x 0处的导数,记作f’x 0或y’|0x x =;即fx 0=0lim→∆x x y∆∆=0lim→∆x x x f x x f ∆-∆+)()(00;说明：1函数fx 在点x 0处可导,是指0→∆x 时,x y ∆∆有极限;如果x y∆∆不存在极限,就说函数在点x 0处不可导,或说无导数;2x ∆是自变量x 在x 0处的改变量,0≠∆x 时,而y ∆是函数值的改变量,可以是零; 由导数的定义可知,求函数y=fx 在点x 0处的导数的步骤可由学生来归纳： 1求函数的增量y ∆=fx 0+x ∆－fx 0；2求平均变化率x y ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)()(00；3取极限,得导数f’x 0=x yx ∆∆→∆0lim;2．导数的几何意义函数y=fx 在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=fx 在点px 0,fx 0处的切线的斜率;也就是说,曲线y=fx 在点px 0,fx 0处的切线的斜率是f’x 0;相应地,切线方程为y －y 0=f/x 0x －x 0; 3．几种常见函数的导数:①0;C '= ②()1;n n x nx -'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-; ⑤();xxe e '=⑥()ln x xa a a '=; ⑦()1ln x x '=; ⑧()1l g log a a o x ex '=.4．两个函数的和、差、积的求导法则法则1：两个函数的和或差的导数,等于这两个函数的导数的和或差,即：.)'''v u v u ±=± 法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数,即：.)('''uv v u uv +=若C 为常数,则'''''0)(Cu Cu Cu u C Cu =+=+=.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：.)(''Cu Cu =法则3：两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的积,减去分母的导数与分子的积,再除以分母的平方：⎪⎭⎫ ⎝⎛v u ‘=2''v uv v u -v ≠0;形如y=f [x (ϕ])的函数称为复合函数;复合函数求导步骤：分解——求导——回代;法则：y ＇|X = y ＇|U ·u ＇|X2010高考数学复习详细资料——导数应用知识清单单调区间：一般地,设函数)(x f y =在某个区间可导,如果'f )(x 0>,则)(x f 为增函数；如果'f 0)(<x ,则)(x f 为减函数；如果在某区间内恒有'f 0)(=x ,则)(x f 为常数；2．极点与极值：曲线在极值点处切线的斜率为0,极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正,右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负,右侧为正； 3．最值：一般地,在区间a,b 上连续的函数f )(x 在a,b 上必有最大值与最小值; ①求函数ƒ)(x 在a,b 内的极值； ②求函数ƒ)(x 在区间端点的值ƒa 、ƒb ；③将函数ƒ )(x 的各极值与ƒa 、ƒb 比较,其中最大的是最大值,其中最小的是最小值;4．定积分1概念：设函数fx 在区间a,b 上连续,用分点a ＝x0<x1<…<xi －1<xi<…xn ＝b 把区间a,b 等分成n 个小区间,在每个小区间xi －1,xi 上取任一点ξii ＝1,2,…n 作和式In ＝∑ni f1＝ξi △x 其中△x 为小区间长度,把n→∞即△x→0时,和式In 的极限叫做函数fx 在区间a,b 上的定积分,记作：⎰badxx f )(,即⎰badxx f )(＝∑=∞→ni n f1lim ξi △x;这里,a 与b 分别叫做积分下限与积分上限,区间a,b 叫做积分区间,函数fx 叫做被积函数,x 叫做积分变量,fxdx 叫做被积式; 基本的积分公式：⎰dx 0＝C ；⎰dx x m＝111++m x m ＋Cm ∈Q, m≠－1；⎰x 1dx ＝ln x ＋C ；⎰dx e x＝xe＋C ；⎰dx a x ＝a a xln ＋C ；⎰xdx cos ＝sinx ＋C ；⎰xdx sin ＝－cosx ＋C 表中C 均为常数;2定积分的性质 ①⎰⎰=babadxx f k dx x kf )()(k 为常数；②⎰⎰⎰±=±bab ab adxx g dx x f dx x g x f )()()()(；③⎰⎰⎰+=ba ca bc dxx f dx x f dx x f )()()(其中a ＜c ＜b );3定积分求曲边梯形面积由三条直线x ＝a,x ＝ba<b,x 轴及一条曲线y ＝fxfx≥0围成的曲边梯的面积⎰=badxx f S )(;如果图形由曲线y1＝f1x,y2＝f2x 不妨设f1x≥f2x≥0,及直线x ＝a,x ＝ba<b 围成,那么所求图形的面积S ＝S 曲边梯形AMNB －S 曲边梯形DMNC ＝⎰⎰-babadxx f dx x f )()(21;课前预习1．求下列函数导数 1)11(32x x x x y ++= 2)11)(1(-+=x x y 32cos 2sin x x x y -= 4y=x x sin 25y ＝x x x x x 9532-+-2．若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直,则l 的方程为A ．430x y --=B ．450x y +-=C ．430x y -+=D ．430x y ++=3．过点－1,0作抛物线21y x x =++的切线,则其中一条切线为A 220x y ++=B 330x y -+=C 10x y ++=D 10x y -+=4．半径为r 的圆的面积Sr ＝πr2,周长Cr=2πr,若将r 看作0,＋∞上的变量,则πr2`＝2πr 错误!,错误!式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数;对于半径为R 的球,若将R 看作0,＋∞上的变量,请你写出类似于错误!的式子：；错误!式可以用语言叙述为： ;5．曲线1y x =和2y x =在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形面积是 ;6．对于R 上可导的任意函数fx,若满足x －1f x '（）≥0,则必有 A ．f0＋f2<2f1 B. f0＋f2≤2f1 C ．f0＋f2≥2f1 D. f0＋f2>2f17．函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ,导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示,则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点A ．1个B ．2个C ．3个D ． 4个 8．已知函数()11axx f x e x -+=-;Ⅰ设0a >,讨论()y f x =的单调性；Ⅱ若对任意()0,1x ∈恒有()1f x >,求a 的取值范围;9．32()32f x x x =-+在区间[]1,1-上的最大值是 A －2 B0 C2 D410．设函数fx=3223(1)1, 1.x a x a --+≥其中 Ⅰ求fx 的单调区间；Ⅱ讨论fx 的极值;11．设函数3()32f x x x =-++分别在12x x 、处取得极小值、极大值.xoy 平面上点A B 、的坐标分别为11()x f x （,）、22()x f x （,）,该平面上动点P 满足•4PA PB =,点Q 是点P 关于直线2(4)y x =-的对称点.求I 求点A B 、的坐标； II 求动点Q 的轨迹方程.12．请您设计一个帐篷;它下部的形状是高为1m 的正六棱柱,上部的形状是侧棱长为3m 的正六棱锥如右图所示;试问当帐篷的顶点O 到底面中心1o 的距离为多少时,帐篷的体积最大 13．计算下列定积分的值 1⎰--312)4(dxx x2⎰-215)1(dxx ； 3dxx x ⎰+2)sin (π；4dxx ⎰-222cos ππ；14．1一物体按规律x ＝bt3作直线运动,式中x 为时间t 内通过的距离,媒质的阻力正比于速度的平方．试求物体由x ＝0运动到x ＝a 时,阻力所作的功;2抛物线y=ax2＋bx 在第一象限内与直线x ＋y=4相切．此抛物线与x 轴所围成的图形的面积记为S ．求使S 达到最大值的a 、b 值,并求Smax ．典型例题一导数的概念与运算EG ：如果质点A 按规律s=2t3运动,则在t=3 s 时的瞬时速度为A. 6m/sB. 18m/sC. 54m/sD. 81m/s 变式：定义在D 上的函数)(x f ,如果满足：x D ∀∈,∃常数0M >,都有|()|f x ≤M 成立,则称)(x f 是D 上的有界函数,其中M 称为函数的上界.文1若已知质点的运动方程为at t t S ++=11)(,要使在[0,)t ∈+∞上的每一时刻的瞬时速度是以M=1为上界的有界函数,求实数a 的取值范围.理2若已知质点的运动方程为at t t S -+=12)(,要使在[0,)t ∈+∞上的每一时刻的瞬时速度是以M=1为上界的有界函数,求实数a 的取值范围. EG ：已知x f x f x x f x ∆-∆+=→∆)2()2(lim ,1)(0则的值是A.41-B. 2C. 41D. －2变式1：()()()为则设h f h f f h 233lim,430--='→A ．－１Ｂ．－2 C ．－3 D ．1变式2：()()()00003,limx f x x f x x f x x x ∆→+∆--∆∆设在可导则等于A ．()02x f ' B ．()0x f ' C ．()03x f ' D ．()04x f '根据所给的函数图像比较012(),,h t t t t 曲线在附近得变化情况。

导数有关知识点总结

导数有关知识点总结导数的概念最初是从几何上引入的。

在直角坐标系中，函数y=f(x)的导数f'(x)表示了函数曲线在点(x,f(x))处的切线斜率。

这个斜率可以用来描述函数在这一点处的变化率，即函数的增长速度。

导数的计算方法主要包括利用极限的定义、基本函数的导数公式、导数的运算法则等。

导数的应用主要包括在函数的最值问题、曲线的切线与法线方程、函数图像的绘制、微分方程的求解等方面。

本文将主要介绍导数的概念、导数的计算和导数的应用等知识点，并且对导数的相关内容进行详细的讲解和总结。

一、导数的概念导数的概念最初是从几何上引入的。

在直角坐标系中，函数y=f(x)的导数f'(x)表示了函数曲线在点(x,f(x))处的切线斜率。

这个斜率可以用来描述函数在这一点处的变化率，即函数的增长速度。

导数的几何意义可以通过图形来直观理解。

1. 导数的几何意义在直角坐标系中，函数y=f(x)的导数f'(x)表示了函数曲线在某一点处的切线的斜率。

如果函数在某一点的导数为正，则表示函数在这一点的增长速度为正，函数的图像是向上凸起的；如果函数在某一点的导数为负，则表示函数在这一点的增长速度为负，函数的图像是向下凹陷的；如果函数在某一点的导数为零，则表示函数在这一点处存在极值点或拐点。

2. 导数的代数意义函数y=f(x)在点x处的导数f'(x)还可以表示函数的变化率。

具体来说，如果函数在某一点的导数为正，则表示函数在这一点的增长速度为正，并且随着x的增大而增大；如果函数在某一点的导数为负，则表示函数在这一点的增长速度为负，并且随着x的增大而减小；如果函数在某一点的导数为零，则表示函数在这一点处存在极值点或拐点。

二、导数的计算导数的计算方法主要包括利用极限的定义、基本函数的导数公式、导数的运算法则等。

在实际计算导数的过程中，需要掌握基本函数的导数公式，并且熟练运用导数的运算法则进行简化和化简。

下面将介绍导数的计算方法。

课件9：3.1.2 导数的概念

【解析】∵Δy=f(5+Δx)-f(5)
=［2(5+Δx)-3］-(2×5-3)=2Δx,
∴
y x
=2,
∴f′(5)=
=2. lim y
x0 x
【答案】2

解：∵Δy=［（2+Δx）+
1 2 x
］ -（2+ 12）
=
x x , （ 2 2 x）
∴y′|x=2=
y
x
x （ 2 2 x）
1
1，
x
x
（ 2 2 x）
lim y lim（1
1
）
x x0
x0
（ 2 2 x）
= 1 1 3.
44
2.已知函数f（x）=2x-3，则f′(5)=_______.
A.10米/秒
B.8米/秒
C.12米/秒
D.6米/秒
【解析】∵s=4t2+4t+1,
Δs=［4(1+Δt)2+4(1+Δt)+1］-(4×12+4×1+1)
=4(Δt)2+12Δt.
s （ 4 t）2 12t
t
t
=4Δt+12.
∴ v lim s lim 4t 12 12（米/秒）.
t0 t
t 0
【答案】C
典例训练 2.一个小球自由下落，它在下落3秒时的速度是多少？并说明它的意义.
s t
=29.4+4.9Δt.
∴v=
lim
t 0
s t
lit m（0 29.4+4.9Δt）=29.4
m/s.
说明在第3秒附近小球大约以29.4 m/s的速率下降.

导数知识点最全总结

导数知识点最全总结一、导数的概念导数是微积分学中的重要概念，它描述了函数在某一点处的变化率。

在几何学中，导数可以表示函数曲线在某点的切线斜率；在物理学中，导数可以表示时间的变化率。

导数的概念是微积分学的重要基础，对于理解函数的性质和函数曲线的变化具有重要意义。

导数的定义：设函数y=f(x)，在点x=x0处可微，当自变量x在x=x0处有增量Δx时，相应的函数值的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)。

称比值Δy/Δx为函数y=f(x)在点x=x0处的平均变化率，记作Δy/Δx。

平均变化率Δy/Δx刻画了当自变量x在x=x0处有增量Δx时，函数值的增量Δy与自变量的增量Δx之间的比值关系。

当Δx趋于0时，平均变化率Δy/Δx趋于一个确定的常数，这个常数称为函数y=f(x)在点x=x0处的导数，记作f'(x0)或者dy/dx|x=x0。

二、导数的性质1. 导数的存在性：对于函数y=f(x)，如果在点x=a处存在导数，则称函数在点x=a处可导，否则称函数在点x=a处不可导。

2. 导数的唯一性：如果函数y=f(x)在点x=a处可导，则其导数是唯一的。

3. 导数与函数的关系：如果函数y=f(x)在点x=a处可导，则函数y=f(x)在点x=a处的切线方程为y=f(a)+f'(a)(x-a)。

4. 导数的运算法则：导数具有一系列的运算法则，包括和差法则、积法则、商法则、复合函数法则以及反函数求导法则等。

三、导数的计算方法1. 利用导数的定义求导：如果函数y=f(x)的导数存在，可以直接利用导数的定义求导，即求出函数在某一点处的变化率，进而得到导数的值。

2. 利用导数的运算法则求导：对于复合函数、乘积、商等形式的函数，可以利用导数的运算法则来求导，简化计算过程。

3. 利用导数的几何意义求导：导数可以表示函数曲线在某点处的切线斜率，因此可以利用导数的几何意义来求导，从而得到导数的值。

四、导数的应用1. 函数的极值与单调性：利用导数可以求得函数的极值点以及函数的单调区间，进而描绘函数曲线的变化规律。

高三数学知识点总结35之12：导数

（十四）导数的概念及运算1.函数)(x f 在区间],[21x x 上的平均变化率是.)()(1212x x x f x f --2.导数（瞬时变化率）的定义：设函数)(x f y=在区间),(b a 上有定义，且),,(0b a x ∈若x ∆无限趋近于0时，xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00无限趋近于一个常数A ，则称)(x f 在0x x =处可导，并称该常数A 为函数)(x f 在0x x =处的导数，记作)(0'x f .3.导数的几何意义：导数)(0'x f 的几何意义就是曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处的切线的斜率. （1）设)(t s s =是位移函数，则)(0't s 表示物体在0t t =时刻的瞬时速度；（2）设)(t v v=是速度函数，则)(0't v 表示物体在0t t =时刻的瞬时加速度.4.导函数（导数）：若函数)(x f 对于区间),(b a 内任一点都可导，则)(x f 在各点的导数也随着x 的变化而变化，因而也是自变量x 的函数，该函数称为)(x f 的导函数，记作).('x f注：函数)(x f 在0x x =处的导数)(0'x f 就是导函数)('x f 在0x x =处的函数值.5.了解曲线的切线的定义，即：过曲线)(x f y =上一点P 作曲线的割线,PQ 当点Q 沿着曲线无限趋近于点P 时，若割线PQ 趋近于某一确定的直线,PT 则这一确定的直线PT 称为曲线)(x f y =在点P 处的切线.在解析几何中，求椭圆的切线时，用方程联立消元后一元二次方程的判别式0=∆来解的方法不能扩展到一般情况，曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定就一个.6.基本初等函数的求导公式（1）k b kx =+')(；（2）0)('=C ；（3）1')(-=αααx x ；（4）a a a x x ln )('=；（5）x x e e =')(；（6）a x x a ln 1)(log '=；（7）xx 1)(ln '=；（8）x x cos )(sin '=；（9）x x sin )(cos '-=.补充：三个常用的公式：'='211()xx =-；'21(tan ).cos x x= 7.导数的四则运算法则默写（1）)()()]()(['''x g x f x g x f +=+；（2）)()()]()(['''x g x f x g x f -=-；（3）)()]([''x Cf x Cf =；（4）)()()()()]()(['''x g x f x g x f x g x f +=；（5）)()()()()(])()([2'''x g x g x f x g x f x g x f -=. 8.复合函数求导的运算法则设函数)(x u ϕ=在点x 处有导数)(''x u x ϕ=，函数)(u f y =在u 处有导数),(''u f y u=则复合函数))((x f y ϕ=在点x 处也有导数，且.'''x u xu y y ⋅= 如：（1）x x 2cos 2)2(sin '=；（2）xx 515)]51[ln('--=-. 9.（重点）曲线y ＝f (x )“在点),(00y x P 处的切线”与“过点),(00y x P 的切线”的区别与联系：（1）曲线y ＝f (x )在点),(00y x P 处的切线是指P 为切点，切线斜率为)(0'x f k =的切线，是唯一的一条切线，此时曲线在点),(00y x P 处的切线方程为))((00'0x x x f y y -=-.（2）曲线y ＝f (x )过点),(00y x P 的切线，是指切线经过P 点．点P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．曲线过点),(11y x P 的切线方程求法：①设切点坐标为))(,(00x f x Q ；②则切线方程为)(*))(()(00'0x x x f x f y -=-；③将),(11y x P 的坐标代入(*)式解出0x ；④将0x 代入(*)式得切线方程.（十五）利用导数研究函数的单调性、极值和最值1.函数的单调性设函数)(x f y =在某个区间上可导， ①函数)(x f y =在这个区间上单调递增⇔0)('≥x f 在区间上恒成立且在区间的任意子区间上不恒为0；②函数)(x f y=在这个区间上单调递减⇔0)('≤x f 在区间上恒成立且在区间的任意子区间上不恒为0.注1：若,0)('=x f 则函数)(x f y=在这个区间内为常值函数；注2：一次分式型函数注意检查是否恒为0，如函数11)(+-=x ax x f 在区间)1,(--∞上是减函数，则a 的取值范围为).1,(--∞ 注3：利用导数求函数)(x f 单调区间的步骤:（1）确定)(x f 的定义域（定义域优先考虑）（2）求导数)('x f ；（3）解不等式0)('>x f （或0)('<x f ）；（4）取交集（求不等式解集与定义交集）；（5）下结论（若某个单调区间不只一个，中间不能用“ ”连接，用要“和”或“，”连接）2.利用函数的单调性求参数的范围方法小结：函数在某一区间上单调增（或减），即0)('≥x f （或0)('≤x f ）在该区间上恒成立（且)('x f 不恒等于0），然后通常利用分离参数或原函数性质转化成求函数的最值问题，求出参数的范围.3.函数的极值（局部性质）（1）定义：若在函数)(x f y =的定义域I 内存在,0x 使得在0x 附近的所有点x ，都有),()(0x f x f <则称函数)(x f y =在点0x x =处取得极大值，那么)(0x f 是极大值，0x 称为极大值点；若在0x 附近的所有点x ，都有),()(0x f x f >则称函数)(x f y =在点0x x =处取得极小值，那么)(0x f 是极小值，0x 称为极小值点.（2）求极值方法：解方程,0)('=x f 当0)(0'=x f 时，①如果)('x f 的符号由正变负，则)(x f y =在0x 附近左侧单调递增，右侧单调递减，那么)(0x f 是极大值.②如果)('x f 的符号由负变正，则)(x f y =在0x 附近左侧单调递减，右侧单调递增，那么)(0x f 是极小值.4.函数的最值（整体性质）（1）定义：如果在函数定义域D 内存在,0x 使得对任意的,D x ∈都有)()(0x f x f ≤，则称)(0x f 为函数在定义域上的最大值；如果在函数定义域D 内存在,0x 使得对任意的,D x ∈都有)()(0x f x f ≥，则称)(0x f 为函数在定义域上的最小值. （2）求)(x f y =在区间],[b a 上的最值 ①求)(x f y =在),(b a 内的极值；②将)(x f y =的各极值与)(),(b f a f 比较，其中值最大的一个是最大值，值最小的一个是最小值.注：解答题中求函数的极值和最值记得要列表，注意解题规范. 特殊情况：(1)若函数在区间],[b a 上单调递增，则函数在区间],[b a 上无极值，此时)(a f 为最小值，)(b f 为最大值；若函数在区间],[b a 上单调递减，则函数在区间],[b a 上无极值，此时)(a f 为最大值，)(b f 为最小值；(2) 函数)(x f 在区间),(b a 上有一个唯一一个极值点，这个极值点就是最大（或小）值点，此结论在导数的实际应用中经常用到.1：集合与常用逻辑用语与不等式的性质；2：一元二次不等式；3：基本不等式；4：函数的概念和求函数解析式；5：函数的定义域和值域；6：函数的单调性；7：奇偶性；8：函数的图像和周期性；9：二次函数和幂函数；10：指数函数与对数函数；11：函数与方程；12：导数；13：平面向量；14：平面向量的数量积；15：复数；16：任意角的三角函数和同角关系；17：诱导公式，两角和与差的三角函数，几个三角恒等式；18：三角求值问题归类；19：三角函数的图像和性质；20：三角函数的图像和性质2+题目；21：解三角形；22：数列的概念和等差数列；23：等比数列；24：数列通项；25：数列求和；26：立体几何；27：空间向量；28：直线方程和两条直线的位置关系；29：圆的方程和直线与圆的位置关系；30：椭圆；31：双曲线；32：抛物线；33：统计；34：概率；35：排列组合和二项式定理。