第二章_初等分析优化模型

• 式中：
•
• • • • •
n——设备使用期限，在设备经济寿命计算中，n是一个自变量；
j——设备使用年度，j的取值范围为1到n； ACn——n年内设备的年平均总成本； K0——购置成本； Cj ——在n年使用期间的第j年度设备的运营成本； Ln ——设备在第n年的净残值。
• 如果设的经济寿命为m年，则m应满足 如下不等式：
设备的寿命
• • • • 1、设备的自然寿命 设备的自然寿命，又称物质寿命。它是指设备从投人使用开 始，直到因物质磨损而不能继续使用、报废为止所经历的时间。 它主要是由设备的有形磨损所决定的。 2、设备的技术寿命 设备的技术寿命，又称有效寿命。它是指从设备开始使用到 因技术落后而被淘汰所延续的时间，也即是指设备在市场上维持 其价值的时期。技术寿命主要是由设备的无形磨损所决定的，它 一般比自然寿命要短。科学技术进步越快，技术寿命越短。 3、设备的经济寿命 设备的经济寿命，是从经济的角度来看设备最合理的使用期 限，具体言之，是指设备从投入使用开始，到团继续使用经济上 不合理而被更新所经历的时间。它是由维护费用的提高和使用价 值的降低决定的。设备的经济寿命就是从经济观点(即成本观点 或收益观点)确定的设备更新的最佳时刻。
实际上，若假定设备经过使用之后残值为零，则每年费用 为k0 / T。随着T的增长，这种平均费用不断减少。但是随着 T的增长，设备的磨损加剧，其维持费用又不断上升，这就叫 做机械设备低劣化。若这种低劣化每年以的数值增加，则第T 年的低劣化数为λT，T年中的平均低劣化值为λT / 2，据此， y T / 2 k 0 / T 平均年费用效益损失 为求其最小值，令
C( T ) C( T 1) C( T )
令
C ( T ) 0，可近似地求出稳定点
T E ( T 1) E ( r ) k0 0
r 1
T
T *，这样，得
从这个方程中近似地解出 T*，即为对应最小平均成本 的经济使用年限。 应指出，求 min C(T ) ，相当于近似地求出。即
C( T )
k0 E ( r )
r 1
T
T
•四、效益分析法
当设备费用很大时，利率对设备更新所产生的影响是应当考虑的。为此，将 上面的最大总收益法加以改进，成为下面的效益分析法。考虑
B(T ) [ R(t ) P(t )]e dt S (T )e
it 0
T
iT
K0
• 六、MAPI 法更新模型
该法是求经济寿命的简化算法。 设 k0 为设备的原值，g 为操作劣化性指标，r 为利率，n 为使 用年限，则有: 年平均操作劣化性＝[g＋2g＋…＋(n－1)g] / n＝(n－1)g / 2 年均折旧＝k0 / n 利息平均负担额＝r k0 / n 因此可用下式表示该设备的将来年平均费用 Q＝(n－1)g / 2＋k0 / n＋r k0 / n 求 Q 的最小值点 n*，这个 n* 就是MAPI法确定的最佳经济使 用年限。
y( t )
y( t ) y1 ( t ) y2 ( t ) k0
式中：
设备t年内的总收益函数； 设备t年内的总收入函数； y2 ( t ) 设备t年内的总维持费用函数； k0 设备原值；
y1 ( t )
对y(t)求最大值，可令 dy / dT 0 解得的T 就是最佳经济使用年限。其几何意义如 图所示
• •
港作拖轮最佳经济寿命研究
设备更新问题的数学模型
• 一、劣化数值法模型 • 设备在使用过程中，由于磨损使其性能不断下降，费用消耗上 升，完全是一个低劣化的过程。因此采用低劣化数值法来确定 设备的经济使用寿命，基本上包含了影响其经济使用寿命的主 要因素，其公式为
T 2k 0 /
• 其中T为经济使用寿命；k0 为设备原值；为各种影响因素的费 用低劣化增长强度。 • 此模型来源于运筹学中存贮论的经济订购批量（Economic ordering quantity）公式，简称EOQ 公式或平方根公式。
库存控制的任务
• 1. 保障生产供应 • 2. 控制生产系统的工作状态 • 3. 降低生产成本
库存的分类
• • 按库存物资存在状态分类 按库存用途分类
按库存物资存在状态分类
• • • • • (1) 原材料库存 (2) 成品库存 (3) 零部件库存 (4) 备件库存 (5) 在制品库存
按库存用途分类
dy 0 dT
，即得前述平方根公式。
二、 最小平均成本法更新模型
最小平均成本法，是求这样的设备使用年限 T， T 使平均成本 C (T ) 达到最小
C( T ) k0 E ( r )
r 1
T
其中 k 为设备原值，E(r) 为第 r 年维持费用，T 为使用年限。求 min c(T ) 。 T 由于 T 是离散的，不能求微分，可用差分逼近，记
式中： T — 设备使用年限； B（T）— T年内设备的总效益； R（t ）— 第t年的收入函数； P（t ）— 第t年的费用支出函数； S（t ）— 第t年时的设备残值； i — 年利率； K0 — 设备原值
该函数可称为效益函数， 求其最大值点就 是最佳更新期。令 dB( T ) 0
dT
得 R( T ) P( T ) iS ( T ) S ( T ) 解该方程即可得最佳更新期T。
T
min{| T E (T 1)
T
E (r) k |}
0 r 1
T
在实际应用中，一般是采用这种求解算法来实 现模型的求解。
考虑设备残值的计算方法
• 设备年平均总成本等于设备的年平均资产恢复成本与年度运营成本之和。 它的计算公式如下：
K 0 Ln 1 n ACn C j n n j 1
设备更新的两种形式
• 一种是设备的原型更新(叫简单更新)。 • 是指用同类型的新设备代替旧设备。它适 用于设备的技术寿命尚可但物质寿命已尽，或 设备制造厂受技术水平限制不能提供新的机型 • 二是设备的技术更新。 • 是指用技术上更加先进、效率更高的先进 设备来代替技术寿命已尽、经济上不宜继续使 用的陈旧设备。
Vn
因为|V| < 1，所以据无穷递缩等比数列求和公式，应 有 n 2n n V V V 1＋ ＋ ＋… = 1 / (1－ ) n 从而 t 1 n
y(n) ( k 0
y V
t t 1
) / (1 V )
当 y(n) y(n－1) 和 y(n) < y(n＋1) 同时成立时，说明每隔 n 年更新一次所需要的总费用 比每隔 n－1 年或 n＋1 年更新一次所需要的总费用都 小，即总费用的最小值为 y(n)，记为 min y(n)。 称用这种计算经济使用年限的方法为费用方程法。
• • • (1) 经常性库存 (2) 安全库存 (3) 季节性库存
n j 1 j
年等额 营运成 本 n
1 C j n j 1
年等额总 成本 ⑦=③+⑥ ⑦ 20000 16750 14750 13781 13500* 13583 14072
⑤ 5000 11000 18000 27000 38500 52500 69500
⑥ 5000 5500 6000 6750 7700 8750 9929
运筹与优化模型
第二章 初等分析优化模型
2013年3月
第二章 初等分析优化模型
• 设备更新问题的数学模型 • 确定性存储问题数学模型 • 随机性存储问题数学模型
第1节 设备更新问题的优化模型
• 设备更新 是指对在技术上或经济上不宜 继续使用的设备，用新的设备更换或用 先进的技术对原有设备进行局部改造。 或者说是以结构先进、技术完善、效率 高、耗能少的新设备，来代替物质上无 法继续使用，或经济上不宜继续使用的 陈旧设备。
n年末残值 15000
解：该型轿车在不同使用期限的年等额总成本如下表所示：
年等额资产 资产恢复 恢复成本 使用期 成本 （K0-Ln)/n 限n K0-Ln ① 1 2 3 4 5* 6 7 ② 15000 22500 26250 28125 29000 29000 29000 ③ 15000 11250 8750 7031 5800 4833 4143 年度运 营成本 Cj ④ 5000 6000 7000 9000 11500 14000 17000 使用期限 内营运成 本累计 C
• ACm+1≥ACm
；ACm-1≥ACm
例1：某型号轿车购置费为3万元，在使用中有如下 表的统计资料，如果不考虑资金的时间价值，试 计算其经济寿命。
使用年度j j年度运营 成本 1 5000 2 6000 7500 3 7000 3750 4 9000 1875 5 6 7
11500 14000 17000 1000 1000 1000
•五、费用方程法更新模型
对设备来说，应考虑设备的长远使用费用。为此，需要建 立设备的费用方程。 设其装卸设备的原值为 k0，第 t 年度的维持费用为 yt , 年 利率为 r％，第二年的费用换算成第一年时，费用的换算系数 1 ( 1 r ) 为V=1 / (1＋r) = 即第二年的维持费用换算成第一年时应为y2V，类似地，第n年 的维持费用换算成第一年时，其值为ynV n 1 。折算后的总费用为 y(n)＝k0＋y1＋y2V＋y3V 2＋…＋yn V n 1 ＋[(k0＋y1)V n＋y2 V n 1 ＋y3 V n 2 ＋…＋yn V 2 n 1] ＋… n ＝[k0＋y1＋y2V＋…＋ynV n 1](1＋V n ＋V 2 ＋ …)
港作拖轮最佳经济寿命研究
下面，我们介绍一个应用上述6 种模型的实例： 经过对上海、大连、秦皇岛、青岛这四个港口的17艘2352kw港 作拖轮的若干历史数据进行分析整理，得到上述更新模型所需 要的基本数据、基本函数和基本参数如下： 原值 k0 = 2785520 年利率 r = 0.036 第t年维持费用 y(t) = 65690.27＋28209.65t 第t年收入函数 R(t) = 1679482.5－66660.429t139422.519cost －151084.121sint－22989.5987cos2t －26570.1215sin2t＋4209.80274cos3t －17577.622sin3t = 0.85398