Wick型随机Boussinesq方程组的精确解
boussinesq方程
boussinesq方程Boussinesq方程是一种描述流体力学现象的偏微分方程，最早由法国物理学家约瑟夫·巴斯丁·布桑克（Joseph Valentin Boussinesq）在19世纪末提出。
它是一种近似解析方法，用于描述流体动力学过程中的小振动问题。
Boussinesq方程在工程和自然科学中经常用于描述地质流体、水体和空气的运动。
Boussinesq方程可以用于描述具有小振幅的波动的流体行为。
它是基于两个主要假设得到的：线性化和Boussinesq扁平度假设。
首先，线性化假设认为流体的响应是线性的，即响应是振幅的一阶近似。
其次，Boussinesq扁平度假设假定液体的密度变化在波动范围内很小，因此可以近似为常数。
根据这些假设，Boussinesq方程可以表示为以下形式的波动方程：∂^2u/∂t^2=c^2(∂^2u/∂x^2+∂^2u/∂y^2+∂^2u/∂z^2)+g∂ρ/∂z其中，u是流体速度的振幅，t是时间，x、y和z是空间坐标，c是波速，g是重力加速度，ρ是密度的振幅。
这个方程描述了流体中的小振动现象，包括波浪、涡旋和涡流。
它表明流体速度相对于流体密度梯度的时间和空间变化率。
波动方程的左边表示速度的变化率，右边的第一项表示速度的扩散，第二项表示重力的影响。
Boussinesq方程的一个重要应用是描述水波。
通过近似考虑水波的振幅较小和水深变化较小，可以得到水波的线性近似方程。
这个方程被广泛应用于研究海洋和河流中的波浪运动、涌浪和潮汐。
除了水波之外，Boussinesq方程还可以用于描述其他地质和气象现象。
例如，它可以应用于描述地震波的传播，近似地考虑地球表面的弹性性质。
在大气科学中，Boussinesq方程也可以用于描述空气中的小振动，例如声波的传播。
然而，Boussinesq方程也存在一些局限性。
首先，这个方程只适用于国王小振幅的波动，不能用于描述大振幅波动和湍流等非线性现象。
（N＋1）维广义的Boussinesq方程的精确显式非线性波解
（N＋1）维广义的Boussinesq方程的精确显式非线性波解温振庶【摘要】研究（N＋1）维广义的Boussinesq方程的非线性波解。
利用动力系统定性理论和分支方法，获得它的多种非线性波解的精确显式表达式，这些解包括孤立波解，爆破解，周期爆破解和扭波型解。
%In this paper,we study the nonlinear wave solutions for the (N+1 )-dimensional generalized Boussinesq ing the bifurcation method and qualitative theory of dynamical systems,we obtain many exact explicit expressions of the nonlinear wave solutions for the equation.These solutions contain solitary wave solutions,blow-up solutions,peri-odic blow-up solutions,and kink-shaped solutions.【期刊名称】《华侨大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2016(037)003【总页数】6页(P380-385)【关键词】(N+1)维广义的Boussinesq方程;孤立波解;爆破解;周期爆破解;扭波型解【作者】温振庶【作者单位】华侨大学数学科学学院，福建泉州 362021【正文语种】中文【中图分类】O175.292007年，Yan[1]引入(N+1)维广义的Boussinesq方程,即式(1)中：τ≠0是常数；N>1是一个整数.文献[1]利用半行波相似变换得到几类解.Guo等[2]采用辅助方程方法得到方程(1)的几种Jacobi椭圆函数解.Liu等[3]研究(2+1)维Boussinesq方程的精确周期孤立波解，即Abdel等[4]研究(2+1)维广义的Boussinesq方程的孤立波解，即本文从动力系统的角度[4-21]研究方程(1)的非线性波解，获得它的多种非线性波解的精确显式表达式，这些解包括孤立波解，爆破解，周期爆破解和扭波型解. 将代入方程(1),得到对式(4)积分两次，并设积分常数为0，得到令y=φ′，得到一个平面系统,即其首次积分为当n为偶数时，系统(6)有2个奇点(φ0,0)和(φ1,0)，其中，.当n为奇数，且时，系统(6)有3个奇点(φ0,0)和(±φ1,0).假设(φi,0)是系统(6)的一个奇点，系统(6)的线性化系统在奇点(φi,0)的特征值为根据动力系统的定性理论，有如下引理1.引理1 当n是偶数时，有1) 如果c2-N>0，且τ>0，则φ1>0=φ0，且(φ0,0)是一个鞍点，而(φ1,0)是一个中心.2) 如果c2-N>0，且τ<0，则φ1<0=φ0，且(φ0,0)是一个鞍点，而(φ1,0)是一个中心.3) 如果c2-N<0，且τ>0，则φ1<0=φ0，且(φ0,0)是一个中心，而(φ1,0)是一个鞍点.4) 如果c2-N<0，且τ<0，则φ1>0=φ0，且(φ0,0)是一个中心，而(φ1,0)是一个鞍点.当n是奇数时，有1) 如果c2-N>0，且τ>0，则-φ1<0=φ0<φ1，且(φ0,0)是一个鞍点，而(±φ1,0)是中心.2) 如果c2-N<0，且τ<0，则-φ1<0=φ0<φ1，且(φ0,0)是一个中心，而(±φ1,0)是鞍点.证明通过分析系统(6)的线性化系统在奇点的特征值，很容易证明引理1.因此，基于以上分析，得到系统(6)的分支相图如图1，2所示.为了方便表述，对于一个给定的常数c，假定.主要结果表述为如下3个命题.命题1 1) 当n为偶数，且c2-N>0时，方程(1)有孤立波解、爆破解，表达式分别为2) 当n为偶数，且c2-N<0时，方程(1)有周期爆破解，表达式为证明1) 当c2-N>0时，在图1(a)和图1(b)中有一条通过鞍点(φ0,0)的同宿轨.根据式(7)可以得到同宿轨的表达式为式(11)，(12)中：.把式(11)或式(12)代入系统(6)的第一个方程，并沿着同宿轨积分，得到根据式(13)或式(14)，得到式(8)中的孤立波解u1；而根据式(15)或式(16)，可以得到式(9)中的爆破解u2.2) 当c2-N<0时，在图1(c)和图1(d)中有一条与中心(φ0,0)的Hamiltonian相同的轨道.根据式(7)，此轨道的表达式为式(11)或式(12).把式(11)或式(12)代入到系统(6)的第一个方程，并沿着此轨道积分，得到式(15)或式(16).由此，得到式(10)中的周期爆破解u3.命题2 1) 当n为偶数，且c2-N<0时，方程(1)有孤立波解和爆破解.特别地，取n=2，孤立波解和爆破解的表达式分别为2) 当n为偶数，且c2-N>0时，方程(1)有周期爆破解.特别地，取n=2，周期爆破解的表达式为证明1) 当c2-N<0时，在图1(c)和图1(d)中有一条通过鞍点(φ1,0)的同宿轨.由分支方法知，方程(1)有孤立波解和爆破解.特别地，取n=2，则由式(7)，得到同宿轨的表达式为式(20)，(21)中：.把式(20)或式(21)代入到系统(6)的第一个方程，并沿着同宿轨积分，得到由式(22)或式(23)，得到式(17)的孤立波解u4，而根据式(24)或式(25)，得到式(18)的爆破解u5.2) 当c2-N>0时，在图1(a)和图1(b)中有一条与中心(φ1,0)的Hamiltonian相同的轨道.由分支方法知，方程(1)有孤立波解和爆破解.特别地，取n=2，则由式(7)，把式(20)或式(21)代入系统(6)的第一个方程，并沿着此轨道积分，可以得到式(24)或式(25).由此，也就得到式(19)中的周期爆破解u6.命题3 1) 当n为奇数，且c2-N>0,τ>0时，方程(1)有孤立波解，表达式为2) 当n为奇数，且c2-N<0,τ<0时，方程(1)有周期爆破解，即此外，方程(1)有扭波型解和爆破解.特别地，取n=3，扭波型解和爆破解的表达式分别为式(28)中：β≥0是一个实数.特别地，取n=5，扭波型解为式(30)中：γ是一个任意的实数.证明1) 当c2-N>0,τ>0时，在图2(a)中有两条通过鞍点(φ0,0)的同宿轨.根据式(7)，同宿轨的表达式为式(11).沿着同宿轨积分，得到式(26)中的孤立波解.2) 当c2-N<0,τ<0时，在图2(b)中有两条与中心(φ0,0)的Hamiltonian相同的轨道.根据式(7)，此轨道的表达式为式(11).沿着此轨道积分，得到式(27)中的周期爆破解.此外，图2(b)中还有两条连接两个鞍点(φ1,0)和(-φ1,0)的异宿轨，由分支方法知，方程(1)有扭波型解和爆破解.特别地，取n=3，则由式(7)，异宿轨的表达式为式(31)中：.把式(31)代入到系统(6)的第一个方程，并沿着异宿轨积分，得到由式(32)，得到式(28)中的扭波型解；而根据式(33)，可以得到式(29)中的爆破解. 类似地，取n=5，异宿轨的表达式为式(34)中：.把式(34)代入系统(6)的第一个方程，并沿着异宿轨积分，得到式(35)中：q是一个任意常数.由式(35)得到式(30)中的扭波型解为.利用动力系统定性理论和分支方法，研究(N+1)维广义的Boussinesq方程的非线性波解，获得它的多种非线性波解的精确显式表达式，这些解包括孤立波解，爆破解，周期爆破解和扭波型解.【相关文献】[1] YAN Zhenya.Similarity transformations and exact solutions for a family of higher-dimensional generalized Boussinesq equations[J].Physics Letters A,2007,361(3):223-230. [2] GUO Yunxi,LAI Shaoyong.New exact solutions for an (n+1)-dimensional generalized Boussinesq equation[J].Nonlinear Analysis: Theory, Methods andApplications,2010,72(6):2863-2873.[3] LIU Changfu,DAI Zhengde.Exact periodic solitary wave solutions for the (2+1)-dimensional Boussinesq equation[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications,2010,367(2):444-450.[4] ABDELRADY A,OSMAN E,KHALFALLAH M.On soliton solutions of the (2+1)-dimensional Boussinesq equation[J].Applied Mathematics andComputation,2012,219(8):3414-3419.[5] SONG Ming,SHAO Shuguang.Exact solitary wave solutions of the generalized (2+1)-dimensional Boussinesq equation[J].Applied Mathematics andComputation,2010,217(7):3557-3563.[6] 刘正荣，唐昊.KdV方程和mKdV方程的新奇异解[J].华南理工大学学报(自然科学版),2012，40(10):96-101.[7] WEN Zhenshu.Bifurcation of solitons, peakons, and periodic cusp waves for θ-equation[J].Nonlinear Dynamics,2014,77(1/2):247-253.[8] WEN Zhenshu.Several new types of bounded wave solutions for the generalized two-component Camassa-Holm equation[J].Nonlinear Dynamics,2014,77(3):849-857.[9] WEN Zhenshu.Bifurcations and nonlinear wave solutions for the generalized two-component integrable Dullin-Gottwald-Holm system[J].NonlinearDynamics,2015,82(1/2):767-781.[10] WEN Zhenshu.Extension on peakons and periodic cusp waves for the generalization of the Camassa-Holm equation[J].Mathematical Methods in the AppliedSciences,2015,38(11):2363-2375.[11] WEN Zhenshu,LIU Zhengrong.Bifurcation of peakons and periodic cusp waves for the generalization of the camassa-holm equation[J].Nonlinear Analysis: Real World Applications,2011,12(3):1698-1707.[12] WEN Zhenshu,LIU Zhengrong,SONG Ming.New exact solutions for the classical drinfel′d-sokolov-wilson equation[J].Applied Mathematics andComputation,2009,215(6):2349-2358.[13] WEN Zhenshu.Bifurcation of traveling wave solutions for a two-component generalized θ-equation[J].Mathematical Problems in Engineering,2012,2012:1-17. [14] WEN Zhenshu.Extension on bifurcations of traveling wave solutions for a two-component fornberg-whitham equation[J].Abstract and Applied Analysis,2012,2012:1-15.[15] WEN Zhenshu.New exact explicit nonlinear wave solutions for the Broer-Kaup equation[J].Journal of Applied Mathematics,2014,2014:1-7.[16] 温振庶.耦合的修正变系数KdV方程的非线性解[J].华侨大学学报(自然科学版),2014，35(3):597-600.[17] 温振庶.几类非线性数学物理方程及系统生物学模型的研究[D].广州：华南理工大学,2012：1-143.[18] 刘正荣.分支方法与广义 CH 方程的显式周期波解[J]. 华南理工大学学报(自然科学版),2007,35(10):227-232.[19] 唐民英,王瑞琦.具有高阶非线性项的广义 KdV 方程的孤立波及其分支[J].中国科学:A辑,2002,32(5):398-409.[20] 曹军,鲁慧媛.广义 Davey-Stewartson 的精确解[J].上海师范大学学报(自然科学版),2015,44(3):330-338.[21] SONG M,LIU Z. Qualitative analysis and explicit traveling wave solutions for theDavey-Stewartson equation[J].Mathematical Methods in the Applied Sciences,2014,37(3):393-401.。
Boussinesq方程组的精确解
正 １＋ ａ ｂ ＋ ａｌｏ＋ ２ １ 口 ｏ１ ｂ ｂ ＰＱ 一 ０，
ｋ ｏ＋ ａ ｂ ａ ｏ ｏ一 ０ ，
１
（ ４ １）
（ ５ １ ）
口 ＋ ÷６ — ０ ２ １ ，
（６ １）
对式 （ ） 式 （ ） 别 积分 ， 积分 常数 为 零 ， ４， ５ 分 取 得
收 稿 日期 ：０ ８Ｏ —３ ２ ０ 一１０ ．
（１ １）
令 式 （Ｏ ， （ １ １ ） 式 １ ）中 Ｆ 各 次 幂 前 的 系 数 为 零 ， 得
（ ２ １）
（ ３ １ ）
其中： 正为待定 常 数 。
将式 （ ）代人 式 （ ） （ ） 得 ３ １ ，２ ，
ｋ ＋ （ ｖ ＋ ｕ ｕ ） ｋ ＋ Ｕ ｖ ＋ 一 ０ ， （） ４ （） ５ 一 ０ 。
解 方法 ， 如分 离 变 量法 ， 散射 方 法 ， ａ ｋｕ ｄ变 反 Ｂ ｃ ｌｎ 换 法 ， ａｂ ｕ Ｄ ｒ ｏ ｘ变 换 法 ，ａ ｈ函数 法 等 引。本 文 ｔｎ 借 助 于 齐 次 平 衡 法 ， 波 变 换 法 和 Ｒ ｅａｉ 行 ｉｅｔ 方 程 的解 Ⅲ得到 Ｂ ｕ ｓｎ ｓ ｏ ｓｉｅｑ方程 组 Ⅲ的一些 新 的 精确 解 。Ｂ ｕ ｓｎ ｓ ｏ ｓｉｅ ｑ方 程 组为
Ｊ ０ － ｃ（ ｔ ｈ
（ｉ） ｉ ｉ
＋
（ ２ ４ ）
＋
（ ５ ２ ）
其中： 一 ｚ 一 ２ 一 Ｐ 。 Ｑｔ
（ａ ｋ ｏ＋ ａ ｂ ）一 ０ ｏｏ ，
１
（ ） １ （） ２
＋ Ｕ ＋
一 ０ 。
（Ｏ １）
Ｆ。 口 （ ２＋ 一 １ ２ １ ）＋ Ｆ （ ６ 正 １＋ １ ｂ ｂ ）＋ ＋ ｏ１
Boussinesq方程的精确解
1 22 0 21
v[2] 1 (1 Tanh[1 ( x t1 )])
1 u[2] 12 (2 3Sech[1 ( x t1 )]2 2Tanh[1 ( x t1 )]) 4 当 N=3 时，设 j ( j 1, 2, 3) ，由线性系统(12)和
1
引言
及在该变换下新系统的 Lax 对，进而通过构造 N 次达 布变换求得 Boussinesq 方程得更多精确解。 在本文的第二部分， 通过对方程(1)做函数变换， 得 到了另一种新的系统和相应的 Lax 对， 构造了相应的 N 次达布变换，而且这种达布变换和以前的达布变换不 同；在第三部分，利用所构造的达布变换，通过选择种 子解，我们获得了 Boussinesq 方程更多的精确解，第四 部分是一个简短的总结。 (1)
Tx TM P( )T
比较等式(19)中
N 1
(19)
N N 1
解，从而利用达布变换(16)得到系统(4)的精确解 v[ N ] v 2 x ln (31) (2 DN 2 ) x xx 2 xC N 3 u[ N ] u 为了便于讨论精确解 (31) 的性质，我们取 v0=0 ，
(6) 其中 是一个谱参数，通过直接计算零曲率方程
( j N 1 Ak j k ) x ( j ) ( j N Bk j k ) ( j ) 0
k 0 k 0
N 2
N 1
(0 j 2 N 3)
(15)
自动成立。 证明 先给(11)式左右两边同时乘以 并对其关于
孤子方程的研究是现代物理和非线性科学领域中 极其重要的课题之一。对于孤子方程，近年来有许多求 解的方法，比如反散射方法，双线性方法，贝克隆变换 法，达布变换法，Painlevé 分析法 变换是一种非常重要的方法。 本文考虑了非常重要的(1+1)维 Boussinesq 方程
扩展映射法与Boussinesq方程新的精确解
系列 新 的精 确 周 期 解 ， 些 精 确 解 在 极 限 情 况 下 （ｍ一 １ 退化 为相 应 的孤 波 解 ． 方 法 也 可 用 来 求 解 其 这 ） 该
他非线性演化方程 ， Ｋｅ －ｏｄｎ方程和 Ｂ ｎａ ｉ 如 ｌｉ Ｇ ｒｏ ｎ ｅｊｍｎ方程等． 关键词 ： 映射法 ； 辅助方程法 ； 非线性演化方程 ； 精确解 ； 周期解
２ １ 年 ９月 ０１ 第３ ５卷 第 ５期
安 徽 大 学 学 报 （自然 科 学 版 ）
Ｊ ｕｎ ｌ ｆ ｎ ｕ ｎｖｒｉ Ｎ ｔｒｌ ｃ ｎ ｅＥ ｉｏ ） ｏ ｒａ ｏ Ａ ｈ ｉ ｉ ｓ ｙ（ ａ ａ Ｓ ｉ ｃ ｄｔ ｎ Ｕ ｅ ｔ ｕ ｅ ｉ
Ｓ ｐｅ ｅ ０ ｅ ｔ ｍｂ ｒ １ ２ １
Ｓｎ —ｏｉｅ 法 。 、 ｃｂ 椭 圆函数展 开法 、 ｘ ｉｅＣ ｓ 方 ｎ 。 Ｊ ｏｉ ａ Ｅ ｐ函数法 、 ｉ ｔ 方 法 ¨ 逆散 射 变换 法 … 、 ａｋ Ｈｒ ａ ｏ 、 Ｂ ｃ—
Ｉｎ／ ａｂｕ ｕ ｄＤ ｒｏｘ变换 法 Ｈ 卜 等 ． 而 ， 述方法 均存 在 自身 的局 限性 ， 多种 类 型 的非线 性 演化 方 程 ， 然 上 对 没 有 统一 的求解方 法 ． 用扩 展映射 法 采
Ａｂｓｒ ｃ ： ｋ ｎ ｓ ｆ ｅ ｔ ｎ ｅ ｐ ｉ ｇ ｍｅｈ ｄ ｎ ｕ ｉ ａ ｙ ｅ ｕ ｔ ｎ ｏ ｉ ｄ ｎ ｅ ｐ ｒｏ ｉ ｔ ａ ｔ Ｂｙ ｍａ ｉ ｇ ｕ ｅ ｏ ｘｅ ｄ ｄ ｍａ ｐ ｎ ｔ ｏ ａ ｄ ａ ｘ ｌ ｒ ｑ ａｉ ｆｒ ｆｎ ｉ ｇ ｎ ｗ ｅ ｄｃ ｉ ｏ ｉ
中 图分 类 号 ： ４５ Ｏ １ 文 献 标 志 码 ： Ａ 文 章 编 号 ：００ ２６ （０ １ ０ — ０ ６ ０ １０ — １２ ２ １ ）５ ０ ４ — ６
boussinesq方程
boussinesq方程Boussinesq方程是一类重要的非线性波动问题，它被广泛应用于海洋、气象和地质研究中。
Boussinesq方程一般包括一变量的非线性偏微分方程以及适当的边界和初值条件，它是一个可以描述海洋或大气中液体微小波动、湍流、断层等较复杂物理现象的重要模型。
提出Boussinesq方程的发展历史，是20世纪海洋物理学的重要里程碑，因此它经常被称为“海洋的理论基石”。
一般来说，Boussinesq方程可以表示为：$$frac{partial u}{partial t} +mathbf{u}cdotabla u+betaabla cdot mathbf{v}=uabla^{2}u+f$$其中，$u$和$v$是站点空间变量，$t$是时间，$beta$和$u$分别是温度变化率和粘性系数，$f$是外部力。
Boussinesq方程的解决通常包括对应的时间和空间解。
最简单的情况是解空间均匀的Boussinesq方程，其形式为：$$frac{partial u}{partial t}-uabla^{2}u=f$$这里的解是：$$u(x,t)=L int_{-infty}^{+infty} G(x-y,t)f(y)~dy$$其中G(x-y,t)是格拉西斯函数，$L$是区域的大小。
当$L rightarrow infty$时，上述解变为：$$u(x,t)= int_{-infty}^{+infty} G(x-y,t)f(y)~dy$$ 由此可以看出，解空间不均匀的Boussinesq方程，其解可以写为：$$u(x,t)= int_{-infty}^{+infty} mathbf{u}(x,y,t)cdot mathbf{f}(y)~dy$$式中，$mathbf{u}$是一个空间函数，$mathbf{f}$是一个空间分布函数，它们分别表示在固定时间t的不同空间位置处的速度和外部力。
显然，求解Boussinesq方程的解的过程是比较复杂的，它的求解步骤大致如下：1.第一步：根据Boussinesq方程及其初始条件和边界条件，用适当的空间分辨率离散化方程，确定求解的边界和计算区域。
直接拟解法求Boussinesq方程组的精确解
SCIENCE &TECHNOLOGY INFORMATION科技资讯直接拟解法求Boussinesq 方程组的精确解李伟李丽(渤海大学数学科学学院辽宁锦州121013)摘要：微分方程包含常微分方程和偏微分方程。
由于非线性偏微分方程是偏微分方程的重要内容，求微分方程的解是微分方程研究的重要内容，从而求非线性偏微分方程的解是微分方程研究内容中的重中之重。
很多重大的物理科学问题和信息技术问题都与非线性偏微分方程的研究紧密相关。
一般来说，求非线性偏微分方程的解是不容易的。
经过科研工作者不断努力已经找到了大量的求解方法。
该文借助于行波变换法，直接拟解法和齐次法解得了Boussinesq 的新解。
这种方法也具有一定的普遍性，可以求一些非线性偏微分方程的解。
关键词：行波变换精确解拟解齐次平衡法中图分类号：O175.2文献标识码：A文章编号：1672-3791(2021)10(c)-0166-03Exact Solution for Solving Boussinesq Equations by Using DirectQuasi SolutionLI WeiLI Li(College of Mathematics and Physics,Bohai University,Jinzhou,Liaoning Province,121013China)Abstract:Differential equations include ordinary differential equations and partial differential equations.Because nonlinear partial differential equation is an important content of partial differential equation,the solution of differ‐ential equation is the important content of differential equation research,so the solution of nonlinear partial differ‐ential equation is the most important content of differential equation research.Many important physical science and information technology problems are closely related to the study of nonlinear partial differential equations.Generally speaking,it is not easy to find the solution of nonlinear partial differential equations.Through the continuous efforts of scientific researchers,a large number of solutions have been found.In this paper,a new solution of Boussinesq is obtained by means of Traveling Wave Transformation method,Direct Quasi solution and Homogeneous solution.This method also has certain universality,and can find the solutions of some nonlinear partial differential equations.Key Words:Travelling wave transform;Exact solution;Quasi solution;Homogeneous Balance method通过科研工作者对非线性偏微分方程求解的深入研究，获得了许多求解的方法，如齐次平衡法[1-3]、有理函数变换法[4]、行波变换法[5-6]、辅助函数法、Riccati 方程法[7-8]、同伦分析法[9]。
boussinesq方程波浪数学模型的应用
boussinesq方程波浪数学模型的应用Boussinesq方程是描述海浪传播的数学模型之一，它是一种非线性偏微分方程。
该方程的提出者是法国数学家约瑟夫·巴特勒·布桑克（Joseph Boussinesq），他在19世纪末根据自己对海浪的观察和实验数据，提出了这个方程。
Boussinesq方程被广泛应用于海洋工程、海岸防护和海洋资源开发等领域。
本文将介绍Boussinesq方程的基本原理和应用。
一、Boussinesq方程的基本原理Boussinesq方程是一种用于描述海浪传播的非线性偏微分方程，它的形式如下：$$frac{partial^2u}{partialt^2}-c^2frac{partial^2u}{partialx^2}+frac{partial^2u^2}{partialx^2}+frac{partial^3u}{partial x^3}=0$$其中，$u(x,t)$表示波浪的表面位移，$c$表示波速，$x$表示波浪传播的位置，$t$表示时间。
方程的第一项描述了波浪的加速度，第二项描述了波浪的传播，第三项描述了波浪的非线性效应，第四项描述了波浪的色散效应。
二、Boussinesq方程的应用Boussinesq方程被广泛应用于海洋工程、海岸防护和海洋资源开发等领域。
下面将分别介绍其应用。
1、海洋工程海洋工程是指利用海洋资源进行工程建设和开发的一类工程。
Boussinesq方程可以用来模拟海浪的传播和反射，从而帮助海洋工程师设计和建设海洋工程设施。
比如，在设计海洋风电场时，需要考虑海浪对风力发电机的影响，利用Boussinesq方程可以模拟出海浪的传播和反射，从而确定风力发电机的位置和高度。
2、海岸防护海岸防护是指采取一系列措施来保护海岸线不受海浪侵蚀和海水侵蚀的一类工程。
Boussinesq方程可以用来模拟海浪的能量传递和反射，从而帮助设计和建设海岸防护设施。
比如，在设计海堤时，需要考虑海浪对海堤的冲击力，利用Boussinesq方程可以模拟出海浪的能量传递和反射，从而确定海堤的高度和宽度。
Boussinesq方程的精确解及其应用
６ （ ＋ ｕｕ ＋３ ． Ｍ） ３ ｕｕ
把Ｕ ｕ
，ｘ （ 代入 （ ）得 Ｕｘ，Ｕ） ｘ ８ ＋ｕ ＋６ “ ＋３ ＋４ ， 一 十 Ｍ ｕ２ ， ＋６ （ ＋３ ＋３ ｕ ｕ） Ｍｕ ｕｕ ＝０
（） ９
Ｍ ¨ 一ｕ 一 ＋
近几年， 人们对非线性发展方程 的精确解很感兴趣 ， 这是因为精确解能够很好地描述非线性物理现象 ， 如流体动力学中的波现象和光纤维现象． 关于精确解的求法是 目前孤立子理论的一个重要研究方向， 比如有
ｔ ｈ函数 法 、ｉｅｃｓ ｅ法 、ａｏｉ 圆 函数 展 开 法 ＇ 齐 次 平 衡 法 和 Ｂｃｌｎ ａ ｎ ｓ ２ｏｉ ｎ ｎ Ｊｃｂ 椭 、 ａｋｕｄ变换 ， ．本 文 首 先将 在 行波变 换 ＝ｋｘ—ｃ）下 的 Ｊｃｂ 椭 圆 函数 展 开法 推广 到范 围非 常广泛 的一 般 函数变换 ＝ｈ ｘｔ 进 （ ｔ ｏａｉ （， ）下
李文清 孟红丽 ，
（． １河南工程 学院 数理科 学系， 河南 郑州 ４ １９ ；． ５ １１２ 安阳工学院 理 学部 ， 河南 安阳 ４ ５０ ） ５００
摘 要： 将在行波 变化下的 Ｊｃｂ 椭 圆函数展 开法推广 到 范围非常广 泛的一般 函数 变换 下进行 ， 用这一 方法求 ｏａｉ 利
Ｍ ）＝∑ 以 （ ｓ
（） ４
称 多项式 中 ｓ 的最高 次数 为 “ ）的 阶数 ， 作 ０ （ ） 这一 方法 被称作 Ｊｃｂ椭 圆正 弦 函数 展 开法 ， （ 记 （ ） ． ａｏｉ 类
似的， Ｊｃｂ椭 圆余弦函数展开法和第三类 Ｊｃｂ椭 圆函数展开法． 有 ａｏｉ ａｏｉ 注意若在一项中出现不同的 Ｊｃｂ椭 ａｏｉ 圆函数的乘积， 则阶数为其和． 例如 Ｏ ｓ ） （ ） （ ） （ｎ（ ｃ ）：ｉ ＋ 其 中 ｓ ， ４和 ｄ ＋ ， ｃ ， 凡 分别是第一类 （ 正弦） 第二类（ ， 余弦） 和第三类 Ｊｃｂ 椭圆函数． ａｏｉ
Boussinesq方程新的精确解
０ 引
言
子 声波等 ， 由于 它 可 以用 来描 述 ２个 相 反 方 向传
播 的 Ｋ ｖ 波 ， 可 以 描 述 一 维 非 线 性 晶 格 的 振 ｄ 孤 也
随着非线 性科 学 技 术 的不 断 发展 ， 线 性 科 非
动嘲 因 此 ，Ｂ ｕ ｓ ｅｑ方程 的研 究 受 到 许 多学 ｏ ｓｉ ｓ ｎ
也适 用于其 他 的物 理应 用 中 ， 等 离 子体 中的 离 如
收 稿 日期 ：０ １Ｏ —９ ２ １ 一 ３ １ 杨琼芬（９５ ： ， １ ６ 一） 女 副教 授 ， 要 研 究领 域 为 偏 微 分方 程 的精 确 解 主
口口 ｓ （ ０ １ｏ ｐ ｘ一 ） ｎ ｃ ｅ‘
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２ １ 厂） （ｎ
（） ２
式 中： 厂为待 定 函数． 将 式 （ ） 入式 （ ） 双线性 形式 ２代 １成
（ Ｄ 一Ｄ ） Ｄ 一 － ｆ一 ０ 厂× （） ３
性 算子相 结合 的方 法 ， 构造 Ｂ ｕｓｎ ｓ 程 新 的 ｏ ｓｉｅｑ方
精 确解．
经典 的 Ｂ ｕ ｓ ｅｑ方程形 如 ｏ ｓｉ ｓ ｎ
则
Ｄ］ ｆ× ｆ一 ２ ４ 口 ＋ （ Ｐ ） 口 １ｎ Ｉ ａ 一 口盘 × ３
ｓｎ ｘ 一 口ｔ ｅ 抖。’ （ ｉ（ ） － ‘ ＋ ｎ 一 ） 口 ｎ ０ ｌ× ｓｎ ｘ— ａ￡ ‘ ｉ ｐ（ ） 抖 ’ ｎ 一 ａ ～ ２ 。
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Ｂ ｕ ｓ ｅｑ方 程 新 的精 确 解 ． ｏ ｓｉ ｓ ｎ
关 键 词 ： 次 平 衡 原 则 ；Ｂ ｕｓ ｅｑ方程 ； 探 函 数法 ； 线 性 算 子 齐 ｏ ｓｉ ｓ ｎ 试 双
boussinesq水波方程
boussinesq水波方程Boussinesq水波方程，是以法国数学家约瑟夫·巴斯德·布桑克（Joseph Valentin Boussinesq）的名字命名的一种描述水波传播的方程。
它是研究水波动力学中的重要方程之一，广泛应用于海洋学、河流动力学、水工结构等领域。
Boussinesq水波方程是一种非线性偏微分方程，描述了长波的传播行为。
在这个方程中，假设水波的振幅较小、频率较低，且水流速度较小。
这种假设使得方程可以简化。
Boussinesq水波方程可以用于描述长波在水深变化的区域中的传播行为。
方程的数学形式如下：∂²η/∂t² - c²∇²η + β∂³η/∂x²∂t = 0其中，η是水波表面的位移，t是时间，x是空间坐标，c是波速，β是波浪幅度的非线性系数。
这个方程可以分为三个部分：第一项描述了波动的加速度，第二项描述了波动的传播，第三项描述了波动的非线性效应。
通过求解这个方程，可以得到水波在空间和时间上的变化规律。
Boussinesq水波方程的研究对于理解海洋和河流中的波浪现象具有重要意义。
通过对方程的求解，可以预测海岸线的变化、海洋中的波浪能量传播、海洋和河流中的涡流形成等问题。
此外，Boussinesq水波方程还可以应用于水工结构的设计和海洋能源的开发利用等领域。
近年来，随着计算机技术和数值模拟方法的发展，研究者们对Boussinesq水波方程进行了深入的研究。
通过数值模拟，可以更准确地预测水波在复杂环境中的传播行为。
研究者们还通过实验室和野外观测，收集了大量的实测数据，用于验证Boussinesq水波方程的精度和适用范围。
然而，Boussinesq水波方程也存在一些局限性。
由于方程的简化假设，它只适用于描述长波的传播行为，对于短波或高频波动的描述较为有限。
此外，方程中的非线性项对于波浪的幅度较大时可能会产生较大误差，因此在实际应用中需要进行修正。
变形boussinesq方程组ⅱ的推广解
变形boussinesq方程组ⅱ的推广解
Boussinesq方程是运用在湖泊、海洋和水库等地表水体模拟时经常被用到的多相流理论方程，这种方程能够很好地描述两个或以上不同流体的相互交互。
它推导出了受自重和温度跃变影响的Boussinesq方程组ⅱ来描述地表水体动能结构和多相流动现象。
Boussinesq方程组ⅱ作为多相流动研究行业的一部分，经过各界专家根据其特点和实用的视角，使其更加易于应用於实际情况，从而发展出了Boussinesq方程组ⅱ的推广解，用来更好地描述多相流动的地表水体动能分布，控制水体动能结构，从而模拟多相流场各种复杂现象。
拓展其Boussinesq方程组ⅱ后，首先在相应问题模型中，需要制定出适用的地表水体修正模型，用以表征多相流动的宏观结构特性，提出了包括湖泊模型、河道模型、双向明河模型在内的地表水体模型，拟合出了多相流湍流动能的地表水体模型。
其次，结合地表水体模型，再做Boussinesq方程组ⅱ的适用范围扩大，考虑地表水体温度场不均匀，以及远程水体混合中尺度变化、水体温度场变化和湍流特性变化等多因素，从而制定出能够应用于各种多相流动和湍流地表水体的更广泛的模型参数。
推广后的Boussinesq方程组ⅱ在研究多相流动地表水体时具有更细致小心的思考，有利于帮助揭示不同层次相互交互作用的多相流动地表水体动态规律和行为特征，这些获得的结果可以为进一步改善多相流动地表水体动能结构，以及针对特定问题适时应用柔性模型参数提供重要依据。
总之，通过对Boussinesq方程组ⅱ的拓展应用，可以更细致小心地对多相流动地表水体动能结构进行模拟研究，从而能够更好地揭示多相流动的相应地表水体特性，这些结果可以为针对特定情况开发新的改进技术提供有价值的参考。
一类boussinesq方程的整体解的存在性与不存在性
一类boussinesq方程的整体解的存在性与不存在性Boussinesq方程是一类重要的非线性偏微分方程，它可以用来描述流体动力学中的流动现象，如海洋潮汐、河流洪水、空气动力学中的风暴等。
Boussinesq方程的整体解的存在性与不存在性是一个重要的研究课题，它可以帮助我们更好地理解流体动力学中的流动现象。
Boussinesq方程是一类非线性偏微分方程，它可以用来描述流体动力学中的流动现象，如海洋潮汐、河流洪水、空气动力学中的风暴等。
Boussinesq方程的整体解的存在性与不存在性是一个重要的研究课题，它可以帮助我们更好地理解流体动力学中的流动现象。
Boussinesq方程的整体解的存在性与不存在性取决于方程的结构和参数。
一般来说，如果Boussinesq方程的结构和参数满足一定的条件，那么它的整体解就存在。
这些条件包括：方程的结构必须是非线性的；方程的参数必须满足一定的条件，如果参数不满足这些条件，则整体解可能不存在。
另外，Boussinesq方程的整体解的存在性也取决于方程的解的性质。
一般来说，如果Boussinesq方程的解是渐近稳定的，那么它的整体解就存在。
如果Boussinesq方程的解是振荡的，那么它的整体解可能不存在。
此外，Boussinesq方程的整体解的存在性还取决于方程的解的稳定性。
一般来说，如果Boussinesq方程的解是稳定的，那么它的整体解就存在。
如果Boussinesq方程的解是不稳定的，那么它的整体解可能不存在。
总之，Boussinesq方程的整体解的存在性与不存在性取决于方程的结构和参数、解的性质以及解的稳定性。
如果这些条件都满足，那么Boussinesq方程的整体解就存在；如果这些条件不满足，那么Boussinesq方程的整体解可能不存在。
因此，研究Boussinesq方程的整体解的存在性与不存在性是一个重要的研究课题，它可以帮助我们更好地理解流体动力学中的流动现象。
Wick型随机Boussinesq方程的精确解
２ Ｂ ｏ ｕ ｓ ｓ ｉ ｎ ｅ ｓ ｑ方 程 的 白噪声 泛 函解
对 方程 （ ２ ） 作 Ｈｅ ｒ ｍｉ ｔ ｅ 变换， 得 方程 组
Ｌ ， （ ｚ， ｔ ， ２ ）＋ Ｒｌ （ ￡ ， ｚ ）Ｕ （ ｚ， ｔ ， ）＋ Ｒ２ （ ￡ ， ｚ ） Ｕ（ ｘ， ｔ ， ）＋ Ｒ３ （ ￡ ， ） （ Ｕ。 （ ， ｔ ， ） ） ＝ ０， （ ３ ）
１ 变 系 数偏 微 分 Ｂ ｏ ｕ ｓ ｓ ｉ ｎ ｅ ｓ ｑ方 程
变 系数 偏 微分 Ｂ ｏ ｕ ｓ ｓ ｉ ｎ ｅ ｓ ｑ方程 为
“
＋ ｌ （ ￡ ） ｚ ‘ ＋ ｒ ２ （ ｔ ） （ ） ＋ｒ ３ （ ￡ ） （ ） ＝ ０，
（ １ ）
随 机环 境 中的 Ｗｉ ｃ ｋ型 随机 Ｂ ｏ ｕ ｓ ｓ ｉ ｎ ｅ ｓ ｑ方程 为
第４ ６ 卷 第 ３期 ２ ０ １ ７ 年 ５ 月
内 蒙 古师 范 大 学 学报 （ 自然 科 学 汉 文 版 ）
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｉ ｎ ｎ ｅ ｒ Ｍｏ ｎ ｇ ｏ ｌ ｉ ａ Ｎｏ ｒ ｍａ ｌ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ（ Ｎａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ Ｅｄ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ ）
ｄ ｏ ｉ ： １ ０ ． ３ ９ ６ ９ ／ ｊ ． ｉ ｓ ｓ ｎ ． １ ０ ０ １ －８ ７ ３ ５ ． ２ ０ １ ７ ． ０ ３ ． ０ ０ ２
受 随机扰 动 的非线 性 系统称 为非 线性 随机 波 方 程． 带 随 机 扰 动 的偏 微 分 方 程 的 研 究 ， 最 早 由 日本 学 者 Ｍ． Ｗａ ｄ ａ ｔ ｉ 提出， 之 后人 们 做 了大 量 的 研 究 工 作 ， 得 到 许 多行 之 有 效 的 求 非 线 性 偏 微 分 方 程 精 确 解 的 方 法 引 ． 本文 利用 白噪声分 析 、 Ｈｅ ｒ ｍｉ ｔ ｅ 变 换和 双 曲正切 法 ， 研 究随 机 波方 程 中一 类 变 系数 偏微 分 Ｂ ｏ ｕ ｓ ｓ ｉ ｎ ｅ ｓ ｑ 方 程 的精 确解 ．
指数函数法求Boussinesq方程
分类号编号 2011010504毕业论文题目指数函数法求Boussinesq方程的精确解学院姓名专业学号研究类型研究综述指导教师提交日期原创性声明本人郑重声明：本人所呈交的论文是在指导教师的指导下独立进行研究所取得的成果。
学位论文中凡是引用他人已经发表或未经发表的成果、数据、观点等均已明确注明出处。
除文中已经注明引用的内容外，不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。
本声明的法律责任由本人承担。
论文作者签名：年月日论文指导教师签名：指数函数法求Boussinesq方程的精确解(学院学院摘要本文利用指数函数法求出了Boussinesq方程的一类精确解．这种方法也能用来求解其他变系数非线性演化方程，用指数函数求解变系数非线性演化方程的精确解具一般性，用这种方法得到的解包括一般孤波解和周期解等.指数函数法不失为一种行之有效的方法，通过计算机软件的帮助我们可以很容易的求解所有类型的非线性发展方程.关键词指数函数法; Boussinesq方程; 精确解A Class of Boussinesq Equation’s Exact Solution for Exp-functionMethodDong wenjun(Department of Mathematics and Statistics, TianShui Normal University,TianShui, 741000, China)Abstract In this paper, a class of exact solutions of Boussinesq equation are obtained using the Exp-function method, this method also can be used to solve other varial coefficients nonlinear partialdifferential Equation,indicating that exponential function methods is very effective for solving varial coefficients nonlinear partial differential equation,and also obtained solitary wave solutions exact solutions and periodic solutions.Exponential function method is a valid tool for solving theothers nonlinear partial differential equation easily,via the helping of computer software.Key words Exp-function method; Boussinesq Equation; Exact solution.目录1 引言..................................................... 错误！未定义书签。
Boussinesq方程组的一个精确解
Boussinesq方程组的一个精确解
李春雁
【期刊名称】《海洋与湖沼》
【年(卷),期】1990(021)003
【摘要】浅水波的Boussinesq方程组是弱频散的、非线性的,它与Kdv方程有一定联系,但并不等价。
本文给出这个方程组的一个孤立波精确解。
它含有两个方向传播的孤立波,其一阶近似包括了Kdv方程的精确解,而零阶近似则为波峰处导数不连续的奇异解。
【总页数】5页(P236-240)
【作者】李春雁
【作者单位】无
【正文语种】中文
【中图分类】P731.22
【相关文献】
1.对耦合Schr(o)dinger-Boussinesq方程组的精确解 [J], 吴能华
2.耦合Schr(o)dinger-Boussinesq方程组的显式精确解 [J], 周建军;洪宝剑;卢殿臣
3.变形Boussinesq方程组的对称、约化和精确解 [J], 王兆燕
4.变形 Boussinesq 方程组的精确解 [J], 李伟;张金良
5.直接拟解法求Boussinesq方程组的精确解 [J], 李伟;李丽
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Ｖｏ１ ８， ｏ ．２ Ｎ ．１ Ｍ ａ ．， ｒ ２０１ ０
Ｗｉ ｃ ｋ型 随机 Ｂ ｕｓ ｅｑ方程 组 的精 确解 ｏ ｓｉ ｓ ｎ
王 涛 ， 良， 单 严榴香。
（． 州 师 范大 学 数 学科 学 学 院 ， 苏 徐 州 ２ １１ ；２解 放 军 理 工 大 学 理 学 院 ， 苏 南 京 ２ １０ ） １徐 江 ２１６ ． 江 ｌ １１
摘 要 ： 究 随 机 环境 下 Ｂ ｕｓ ｅｑ方 程 组 的 精 确解 问题 ． Ｋｏ ｄａｉ 研 ｏ ｓｉ ｓ ｎ 在 ｎ ｒｔ ｖ分 布 空 间 （ 一 中利 用 白噪 声 分 析 、 ｒ ｔ ｅ Ｈｅｍｉ ｅ
变 换 和 改进 的 Ｆ ｎ代 数方 法 ， 到 Ｗｉ ａ 得 ｃ ｋ型 随 机 Ｂ ｕｓ ｅｑ方 程 组 和 变 系数 Ｂ ｕｓ ｅｑ方 程 组 的 白 噪声 泛 函 解 和 ｏ ｓｉ ｓ ｎ ｏ ｓｉ ｓ ｎ
程组 ：
ｆ （， ） Ａ（） Ｖ （ ， ） Ｂ（） Ｕ ｚ ＋ ￡◇ ｘ ￡ｚ ＋ ￡ ◇ｕ（， ） ￡ｚ ◇ｕ ￡ ＋ Ｃ（） （， ） ◇Ｕ （ ， ）一 ０ ｚ ， Ｉ （， ＋ Ｄ（） （，￡ ◇Ｖ（ ， ） Ｅ（） ， （， ￡ ） ￡◇ 己（， ） ￡ ） ＋ ｆ ◇Ｌ ｔ ）一 ０ ，
ｆ ｏｒＢｏｕ ｓｎｅ ｑ ｅ ｕ ｉｎｓｗ ｉｈ ａ ｉｂｌ ｏｆｉｉｎｔ ｒ ｂｔ ｉ ｄ． ｓ ｉ ｓ ｑ ａｔｏ ｔ ｖ ｒａ ｅ ｃ ｆｃｅ ｓａ ｅ ｏ ａｎｅ
Ｋｅ ｏ ｄ ：Ｗ ｉｋ ｔ ｐ ｔ ｃ ａ ｔｃ Ｂ ｕ ｓｎ ｓ ｑ ａ ｉｎ ；ｗｈ ｔ ｏ ｓ ｕ ｃｉ ｎ ｌ ｓ ｌ ｔ ｎ ｅ ｔ ｎ ｅ ｎ Ｓ ａｇ ｂ ａ ｙ ｗ ｒｓ ｃ － ｙ ｅ ｓ ｏ ｈ ｓｉ ｏ ｓ ｉ ｅ ｑ ｅ ｕ ｔ ｓ ｏ ｉ ｎ ｉｅ ｆ ｎ ｔｏ ａ ｏ ｕ ｉ ； ｘ ｅ ｄ ｄ Ｆａ ’ ｌ ｅ ｒ ｅ ｏ ｍｅ ｈ ｄ：Ｈｅ ｍｉｅ ｔａ ｓ ｏ ｍ ｔｏ ｒ ｔ ｒ ｎ ｆ ｒ
（ ． ｃ ｏ ｌｏ ｔ ｅ ｔｃ ｌ ｉｎ ｅ Ｘｕ ｈ ｕ Ｎｏ ｍａ ｉｅ ｓｔ Ｘｕ ｈ ｕ２ １１ Ｊａ ｇ ｕ， ｉａ； １ Ｓ ｈ ｏ ｆＭａ ｈ ｍａ ｉａ ｅ ｃ ， ｚ ｏ ｒ ｌＵｎｖ ｒｉｙ， ｚ ｏ ２Ｉ ６，ｉｎ ｓ Ｃｈｎ Ｓｃ
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精确解． 关键词 ： ｃ Ｗｉ ｋ型随 机 Ｂ ｕｓ ｅｑ方 程 组 ； ｏ ｓｉ ｓ ｎ 白噪 声 泛 函解 ； 进 的 Ｆ ｎ代 数 方 法 ；Ｈｅｍｉ 变换 改 ａ ｒ ｔ ｅ
中图 分 类 号 ： ２ １６ Ｏ １ ．３ 文 献标 识 码 ：Ａ 文 章 编 号 ： ０ ７６ ７ （０ ０ ０—０ ００ １ ０—５ ３ ２ １ ）１０ ５—５
第 ２ 第 １期 ８卷科 学 版 ）
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆ ｚ ｏ ｒ ｌ ｉｅ ｓｔ （ ｔ ｒｌＳ ｉｎ ｅＥ ｉ ｏ ） ｏ ｒ ａ ｏ Ｘｕ ｈ ｕＮｏ ｍａ Ｕｎｖ ｒｉｙ Ｎａｕ ａ ｃｅ ｃ ｄｔ ｎ ｉ
Ｅｘ ｃ ｏ ｕ ｉ ｎ ｆ ｔ ｉ ｋ ｔ ｐｅ ｓ ｏ ｈａ ｔｃ Ｂｏ ｓ ｉ ｓ ｑｕ ｔｏ ａ ｔｓ ｌ ｔｏ ｓ ｏ ｈｅ Ｗ ｃ － ｙ ｔ ｃ ｓ ｉ ｕ ｓｎｅ ｑ ｅ ａ ｉ ｎｓ
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随着 非线性科 学 的发展 ， 非线性偏 微分 方程 的研 究 引起 了数 学家 和 物理 学家 的广泛 关 注． 近几 十年 来 ， 人们 得到 了许多行 之有效 的求 非线性偏 微分 方程精 确解 的方法 ， 例如 ： 齐次平 衡 法口 ， 曲函数 法 ， ］双 Ｆ展开 法嘲等 ． 最近 ， ｈ ｎ Ｚ ａ ｇ在 Ｆ ｎ代数 方法 的基 础上 提 出了利用 辅 助 方程 构造 直 接 的代 数 方法 ， 里我 们 不妨 ａ ］这 称 为改进 的 Ｆ ｎ 数方 法． 文运 用改 进 的 Ｆ ｎ代数 方法 和 Ｈｅｍｉ ａ代 本 ａ ｒ ｔ ｅ变换研 究 ｗｉ ｃ ｋ型 随机 Ｂ ｕ ｓ ｅｑ方 ｏ ｓｉ ｓ ｎ