例说数学解题的思维过程

例说数学解题的思维过程

陕西师范大学数学系 罗增儒

在数学教学中暴露思维过程早就引起了人们的关注。暴露概念的形成过程，暴露命题的

发现过程，暴露证明的探究过程等，包括暴露这些过程中犯错误的真实活动，但是，这种暴

露大多停留在可见事实的陈述上，而内在思维性质的细致揭示不多，也常常进行到思路初步

打通、结论初步得出时就停了下来。本文想从解题分析的角度提供一个简单例子，展示内在

的思维过程，并在证明得出之后仍继续进行下去。先给出题目：

两直线被第三条直线所截，外错角相等，则两直线平行。

1.浮现数学表象

通过认真阅读，我们接收到题目所提供的信息，首先在脑子里出现了一个图形(几何型

表象)，与这个图形相伴随的是一个问题(代数型表象)：由数量关系去确定位置关系。

在问题的牵引下，思维的齿轮开始启动，有3 个展开的起点。

(1)由图形表象，我们回想起“三线八角”基本图形，回想起与此图形有关的命题，如

两直线被第三条直线所截，有：

1）同位角相等⇔两直线平行；

2）内错角相等⇔两直线平行。

……

这些命题的附图，在我们脑海里逐幅浮现出来。

(2)由条件∠1= ∠2(数量关系)所唤起的问题有：

1）由角的相等关系能得出什么?

2）图1 中有与∠1 相等的角吗?

3) 图1 中有与∠2 相等的角吗?

……

一开始，“由条件能推出什么”是一道开放性问题，我们不知道该往哪些地方推进，但

随着对结论思考的深化，会慢慢明朗起来。

(3) 由结论AB∥CD(位置关系)所唤起的问题有：得出直线平行需要什么条件?题目提供

了这样的条件没有？如果不是直接提供，那么间接提供没有？

……

由此激活了记忆储存中的相关知识，并又激活更多的记忆储存(扩散)：

1) 同位角(内错角)相等，则两直线平行；进而问

2) 什么是同位角(内错角)？图1 中有同位角(内错角)吗?有相等的同位角(内错角)吗?

3) 己知条件的相等角能导出“同位角(内错角)相等”吗？

……

这是表象的一个有序深化的过程。

2.产生数学直感

上述三方面的思考，促使我们更专注于图形，图中有3 条直线，8 个角，8 条射线，1 条

线段，其中哪些信息对于我们解题是有用的，哪些是多余的呢？(这相当于一道条件过剩、

结论发散的开放题)当然，一开始我们并不清楚，但是目标意识驱使我们去考虑角的关系,

因为课本中两条直线平行的判定均与角有关，而已知条件又给出了等角。所以，我们的思考

逐渐集中到：从图形中找同位角(或内错角)，找相等的角，找相等的同位角(或内错角)。

这时，伴随着问题的需要，图1 被分解出一系列的部分图形(图2 中实线图)，并凸现在

我们的眼前：

图2

(1 )有与∠1 成同位角的角吗？图2-(1)出现， ∠1 与∠3 会相等吗？

(2) 有与∠2 成同位角的角吗？图2-(2)出现， ∠2 与∠4 会相等吗？

(3) 与∠1(或∠2)成内错角关系的角，图1 找不到。

(4) 与∠1 相等的角除∠2 外，还有它的对顶角∠4(图2-(3))；与∠2相等的角除∠1

外，还有它的对顶角∠3(图2-(4))。

……

于是，对图1 的感知，出现了图3 的右方图形。

我们认为，从图1 的8 个角中找出∠2 的对顶角∠3(或∠1 的对顶角∠4)，是解题的重

大进展，它能为图形各部分数学关系的沟通起桥梁作用。

3.展开数学想象

对具体形象的感知和判别，使我们看到∠3 与∠2 成对顶角(图2-(4))是相等的，而∠3

又与∠1 成同位角(图2-(1))，这促使我们思考∠1 与∠3 会不会相等，也促使我们将已有的表象，∠1= ∠2 与∠2= ∠3(或∠1= ∠4)，产生新的联结(有逻辑思维的推动)，得

∠1= ∠3(或∠2= ∠4 或∠3= ∠4)，从而产生新的表象AB∥CD。

于是，在数量关系∠1= ∠2 与位置关系AB∥CD 之间，在空旷而缺少联系的画面上(见图

1)，添上了两个数量关系∠2= ∠3， ∠1= ∠3：

再将它们组成和谐的逻辑结构，便得出证明。

4.给出逻辑证明

证明略

这些证明是抽象思维的过程，表达得干净简洁而严密。而获得这些结果的过程却是历经

“表象——直感——想象”的形象思维过程，在得出AB∥CD 之前，四个角∠1、∠2、∠3、

∠4 之间的关系是一个条件与结论都发散的开放题。为了与简捷的逻辑证明相对照，我们将思考过程(证明1)图示如下：

5.反思解题过程

上述解题的过程，把“题”作为考察的对象，把“解”作为研究的目标。我们推崇“解

题分析”，是希望解题研究不要停留在这一阶段上，继续把上述解题活动(包括问题和解)

作为研究对象，探究解题规律，学会怎样解题(基本任务)。具体解题研

究的方法是分析解题

过程。

事实上，给出的证明也是一个思维过程，也需要我们去暴露，并且这种暴露比前一阶段

的暴露有更高的层次，需要更强的自觉性。是培养思维深刻性与批判性的极好途径。我们一

再说过，解题教学缺少这一阶段是进宝山而空还。而把这一阶段停留在检验、回顾、寻找一

题多解、做出若干推广的常识层面上，则是一种损失与浪费。让我们对证明1 的书写做出具

体结构的分析。

(1) 首先，我们将证明1 分解为三个步骤。

第1 步：从图形中看出∠3 与∠2 成对顶角，并得出∠3= ∠2。这是由位置关系推出数量

关系的过程。

第2 步：把另一已知条件用上，将两个等式∠1= ∠2、∠2= ∠3 结合起来，得出∠1= ∠3。

这是由数量关系推出新数量关系的过程。

第3 步：从图形中看出∠1 与∠3 为同位角，其相等可得出AB∥CD。这是由数量关系推

出位置关系的过程。

(2) 其次，根据上面的整体分解，可将证明1 的书写加以充实：

(3)由于这个图形已经显示出，解题中用到了哪些知识(或方法)，先用哪些后用哪些，

哪个与哪个作了配合。所以，只须将其再作充实(图7)，便可更自觉、也更直观地看到，解

题过程是这样一个“三位一体”的工作：有用捕捉、有关提取、有效组合：