第11章弯曲内力和应力

弯
曲
8
也可取横截面的右边一段梁作为分离体计算， 结果相同，但稍复杂。
正负号 根据变形情况来确定。
剪 力 以使梁的微段发生左上右下的错动者为 正；反之为负。
FS dx
FS
dx
FS
FS
左上右下错动
左下右上错动
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曲
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弯
矩 以使梁的微段发生上凹下凸的变形，即 梁的上部纵向受压而下部纵向受拉时为 正；反之为负。
M(x)=Fbx/l - F(x - a) =Fa(l-x)/l (a≤x≤l)
M Fab/l
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曲
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从剪力图 上看到，在集中力作用处 剪力发生突变，突变的值 等于集中力的大小。 发生这种情况是由于 把实际上分布在很短区 间内的分布力，抽象成 了作用于一点的集中 力。
a A FA x x l
A
FA x
x l A FA A FA
C
FB
M(x) FS(x) F M(x) FS(x)
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a
F C x l
b B FB
AC段： FS(x)=FA=Fb/l (0＜x＜a) M(x)=Fbx/l CB段： (0≤x≤a)
A FA x
FS
Fb/l x Fa/l x
FS(x)=Fb/l-F = - Fa/l ( a ＜ x ＜ l)
B
0,
M2 8 2 0
FBy
FS2 FBy 8 5kN
M 2 8 2 16kN .m
所得剪力和弯矩均为负值，说明2-2横截面上实际的剪 力和弯矩均与所设的方向相反。
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曲
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例11-2 外伸梁所受荷载如图所示，试求C 截面左、右侧， B 截面左、右侧的剪力和弯矩。
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曲
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解： （1）求支座反力。取整体为研究对象，画受力图，列平 衡方程
MA 0
FBy 4 6 2 2 5 2 2 0
Fy 0
FAy FBy 2 2 2 0
得： FAy FBy
FAy 1.5KN() FBy 4.5KN()
C右截面：
A左截面：
M C右 0
FAy
FBy
M A左 2 2 2 2 1 8kN m
A右截面： D左截面：
M A右 M A左 8kN m
M D左 FBy 2 16 5kN m M D右 FBy 2 11kN m
M
M
M
M
dx
dx
上凹下凸的变形
上凸下凹的 变形
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例11-1 求如图所示外伸梁的指定截面1-1，2-2上的内力。 (1-1截面是从C 截面右侧无限靠近C 截面，2-2截面是从B 截面左侧无限靠近B）。
解:
（1）求支座反力。 取整体为研究对象，画受力 FAy 图，列平衡方程，得 FBy
FSB左 FAy 2 0.5kN
M B左 FAy 4 2 2 2kN m
B右截面：
FSB右 q 2 4kN
M B右 q 2 1 4kN m
FAy
FBy
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如图所示为一受满布均布荷载的简 支梁，试作剪力图和弯矩图。 解：此梁的支座约束力根 据对称性可知： FA=FB=ql/2 梁的剪力方程和弯矩 方程分别为 FS(x)=ql/2-qx (0＜x＜l) M(x)=qlx/2-qx2/2 (0≤x ≤ l)
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解： （1）求支座反力。 取整体为研究对象，由平衡方程得
Fy 0 MB( F ) 0
FAy 4kN
FBy 2kN
FAy FBy
（2）分CA、AB 两段列出剪 力方程和弯矩方程
CA段：
FS ( x1 ) 2
(0 x1 2) (0 x1 2)
(3) 绝对值最大的弯矩既可能发生在剪力为零的极 值点处,也可能发生在集中力和集中力偶作用处。
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例11-7
伸臂梁所受荷载及尺寸如图所示，试利用 q、FS、M之间的微分关系，作梁的剪力图和弯矩 图。
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解： （1）求支座反力。
取整体为研究对象， 由平衡方程
MA 0
Fy 0
解得
FBy 4 8 6 4 0
FAy FBy 8 0
FBy 13KN()
FAy 5KN()
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11

（2）求截面1-1的内力。
Y
F
0, －FAy FS1 0 0,
FAy
M
解得
，
FBy
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1
第十一章 弯曲内力和应力
§11-1 弯曲的概念和实例 §11-2 剪力和弯矩 §11-3 剪力图和弯矩图 §11-4 弯曲正应力· 梁的正应力强度条件 §11-5 弯曲切应力· 梁的切应力强度条件 §11-6 提高梁弯曲强度的措施
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2
§11-1 弯曲的概念和实例
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曲
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（2）求各指定截面的剪力和弯矩 对于B右截面，取右侧梁计算，其余各截面均取左侧梁计 算。
C左截面：
FSC左 FAy 1.5kN
MC左 FAy 2 3kN m
C右截面： FSC右 FAy 2 0.5kN B左截面：
M C右 M C左 3kN m
y A m n q(x) dx
B
载荷集度q(x)是x的连 x 续函数。 规定载荷集度q(x)向 上为正。
x dx
FS(x) C M(x)
M(x)+dM(x)
dx段载荷集度分布均匀。
FS(x)+dFS (x)
q(x)
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ΣFy＝0
FS(x) + q(x) dx - [FS(x) + dFS (x)] = 0 Σ MC = 0 M(x) + dM(x) - M(x) - FS (x) dx – [q(x) dx] dx / 2 = 0
梁：在外力作用下主要发生弯曲变形的杆件。
F
A l
B
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a m
F
b
A
FA y x
m l FS M
B
FB
A
FA x M FS l-x a-x F
x
FB
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6
y FS M
A
FA x M FS l-x a-x F
x
FB
由上图可知，其横截面上的内力根据截面一边 分离体的平衡条件有：位于横截面平面内的剪力FS 和位于纵向平面内的弯矩M。 现分析如何求解剪力FS和弯矩M。
FAy
FBy
0
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26

从内力图得知，最大剪力 在CA段和B截面，其值为
FS max 2kN
•最大弯矩在A截面左侧，其值为 FAy FBy
M max 4kN m
在剪力图中，在A截面发生突变； 在弯矩图中，在A截面发生突变。
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1. 微分关系的推导
56
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曲
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归 纳： (1) 图 形 规 律
q
FSБайду номын сангаас
=0
>0
<0
M 为 直 线 段 FS >0 =0 <0 >0 <0 >0 <0
M
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(2) 突 变 规 律 (a) 在有集中力作用处,剪力图突变,弯矩图有折 转。 (b) 在有集中力偶作用处,剪力图无变化,弯矩图 有突变。
F C
b B FB
FS
Fb/l
x Fa/l x
M
Fab/l
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若将集中力F看为Dx区间上均匀的分布荷载， 如左图所示，则在Dx梁段内，剪力从Fb/l沿斜直线 过渡到 - Fa/l，不存在突变现象。
q=F/ Dx Dx
Fa/l
Fb/l
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例11-5 外伸梁所受荷载如图所示，试列出剪力方程和弯 矩方程，并绘制剪力图和弯矩图。
FSD左 FBy 5.5kN FSD右 FSD左 5.5kN
FAy
FBy
FSB左 5.5kN
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曲
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•（3）绘制弯矩图。 根据梁上作用的载荷将梁分为CA、AD、DB三段， CA、AD段： q=常数<0，M图均为下凸抛物线；
DB段：
q=0，M图为斜直线。
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曲
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由以上各控制截面上的剪力值，并结合剪力图图形特征， 便可画出剪力图。 CA、AD段：q=常数<0，FS图为向右下倾斜的直线；

DB段: q=0，FS图为水平直线。
FSC右 2kN FSA左 2 2 2 6kN FSA右 FSA左 FAy 6.5kN
M ( x1 ) 2 x1
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AB段：
FS ( x2 ) q (6 x2 ) FBy 4 x2
(2 x2 6)
FAy
FBy
q 1 2 2 M ( x2 ) FBy ( 6 x2 ) ( 6 x2 ) x2 4 x2 6 2 2
C
FAy 2 M1 4 0
FS1 －FAy 5kN M1 FAy 2 4 6kN .m
所得剪力和弯矩均为负值，说明1-1横截面上实际的剪力和弯矩 均与所设的方向相反。
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（3）求截面2-2的内力。
F
Y
M
解得
0, FS2 FBy 8 0 FAy
dx FS(x) M(x)+dM(x)
dFS q( x ) dx
—— (1)
C
M(x)
FS(x)+dFS (x)
q(x)
dM ( x ) FS ( x ) —— (2) dx 2 d M ( x) q( x ) —— (3) 2 dx
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2. 载荷集度、剪力图、弯矩图之间的关系
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弯
曲
7
y
m FS
C x
A
FA
m
M
FS C
M a-x F
x
l-x
FB
分析梁左段任意横截面m－m上的剪力，由 ∑Fy = 0 ，FA - FS = 0
得
得
FS = FA
M = FA· x =Fbx / l
而弯矩，则由 ∑MC(F) = 0，M - FA · x =0
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(2 x2 6)
（3）作剪力图和弯矩图
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曲
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（3）作剪力图和弯矩图
M C M ( x10 ) 0
M A左 M( x12 ) 4kN.m
M A右 M ( x2 2) 0 M D M( x2 4) 2kN m
MB M
x2 6
FAy
FBy
MB 0
Fy 0
利用平衡条件
FAy 12.5kN( ) FBy 5.5kN
M A 0 进行校核。
，
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曲
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（2）绘制剪力图。
根据梁上作用的载荷将梁分为CA、AD、DB三段， CA、AD段：q=常数<0，FS图为向右下倾斜的直线； DB段: q=0，FS图为水平直线。
a F C x l A b
A
FA x
B
FB
M(x)
FS(x) F M(x)
FA
A FA
FS(x)
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a
F
b B
AC段：FS(x)=FA=Fb/l (0＜x＜a) M(x)=Fbx/l (0≤x≤a) CB段： FS(x)=Fb/l-F = - Fa/l ( a ＜ x ＜ l) M(x)=Fbx/l - F(x - a) =Fa(l-x)/l (a≤x≤l)
例题 11-3
FS
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例题 11-4 图示为一受集中荷载F作用的简支
梁。试作其剪力图和弯矩图。
解：根据整体平衡，求 得支座约束力 FA=Fb/l, FB=Fa/l 梁上的集中荷载将 梁分为AC和CB两段， 根据每段内任意横截面 左侧分离体的受力图容 易看出，两段的内力方 程不会相同。
C右截面：
A左截面：
FSC右 2kN
FAy FBy
FSA左 2 2 2 6kN
D左截面： FSD左 FBy 5.5kN
A右截面： FSA右 FSA左 FAy 6.5kN D右截面： FSD右 FSD左 5.5kN B左截面： FSB左 5.5kN
一、弯曲的概念 受力特点： 杆件在包含其轴线的纵向平面内，承受垂直于轴线的 横向外力或外力偶作用。 变形特点： 直杆的轴线在变形后变为曲线。
梁：以弯曲变形为主的构件通常称为梁。
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第四章 弯曲应力
3
工程实例
F1
F2
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曲
4
§11-2 剪力和弯矩· 剪力图和弯矩图