人教B版高中数学立体几何名师精编单元测试

第八章 立体几何考点1 空间几何体的结构及其三视图与直观图1.(2015·北京，7)某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为( ) A.1 B. 2 C. 3 D.2第1题图 第2题图1.解析 四棱锥的直观图如图所示，PC ⊥平面ABCD ，PC ＝1，底面四边形ABCD 为正方形且边长为1，最长棱长P A ＝12＋12＋12＝ 3.答案 C2.(2015·重庆，5)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) A.13＋2π B.13π6 C.7π3 D.5π2 2.解析 该几何体由一个圆柱和一个从轴截面截开的“半圆锥”组成， 其体积为V ＝π×12×2＋12×13π×12×1＝2π＋π6 ＝13π6.答案 B3.(2015·陕西，5)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( ) A.3π B.4π C.2π＋4D.3π＋4第3题图 第4题图3.解析 由三视图可知原几何体为半圆柱，底面半径为1，高为2， 则表面积为：S ＝2×12π×12＋12×2π×1×2＋2×2＝π＋2π＋4＝4＋3π.答案 D4.(2015·浙江，2)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是( ) A ．8 cm 3 B ．12 cm 3 C.323 cm 3 D.403cm 34.解析 由三视图可知该几何体是由棱长为2 cm 的正方体与底面为边长为2 cm 正方形、高为2 cm 的四棱锥组成，V ＝V 正方体＋V 四棱锥＝8 cm 3＋83 cm 3＝323 cm 3.故选C.答案 C5.(2015·福建，9)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于( )A.8＋2 2B.11＋2 2C.14＋2 2D.155.解析 该几何体为底面是直角梯形的直四棱柱．S 表＝2×12(1＋2)×1＋2×1＋2×1＋2×2＋2×2＝11＋22，故选B.答案 B6.(2014·辽宁，7)某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.8－π4B.8－π2C.8－πD.8－2π 6.解析 该几何体是一个正方体截去两个四分之一圆柱形成的组合体， 其体积V ＝23－14×π×12×2×2＝8－π，故选C.答案 C7.(2014·浙江，3)某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是( ) A.72 cm 3 B.90 cm 3 C.108 cm 3D.138 cm 37.解析 由三视图可知，该几何体的直观图如图所示，则该几何体的体积V ＝V 四棱柱＋V 三棱柱＝4×6×3＋12×4×3×3＝90(cm 3)．答案 B8.(2014·新课标全国Ⅰ，8)如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是( )A.三棱锥B.三棱柱C.四棱锥D.四棱柱8.解析 由题知，该几何体的三视图为一个三角形，两个四边形，分析可知该几何体为三棱柱. 答案 B9.(2014·新课标全国Ⅱ，6)如图，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3 cm ，高为6 cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( )A.1727B.59C.1027D.139.解析 由三视图可知该零件是一个底面半径为2、高为4的圆柱和一个底面半径为3、高为2的圆柱的组合体，所以该组合体的体积V 1＝π·22·4＋π·32·2＝34π，原来的圆柱体毛坯的体积为V ＝π·32·6＝54π，则切削掉部分的体积为V 2＝54π－34π＝20π，所以切削掉部分的体积与原来的圆柱体毛坯体积的比值为20π54π＝1027.故选C.答案 C10．(2015·天津，10)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3.10.解析 由所给三视图可知，该几何体是由相同底面的两圆锥和一圆柱组成，底面半径为1，圆锥的高为1，圆柱的高为2，所以其体积V ＝2×13×π×12×1＋π×12×2＝83π.答案 83π11.(2014·北京，11)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为________．11.解析 三视图所表示的几何体的直观图如图所示．结合三视图知，P A ⊥平面ABC ，P A ＝2，AB ＝BC ＝2，AC ＝2， 所以PB ＝P A 2＋AB 2＝4＋2＝6，PC ＝P A 2＋AC 2＝22， 所以该三棱锥最长棱的棱长为2 2. 答案 22考点2 空间几何体的表面积和体积1.(2016·新课标全国Ⅱ，4)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为( ) A.12π B.323π C.8πD.4π1.解析 由题可知正方体的棱长为2，其体对角线23即为球的直径， 所以球的表面积为4πR 2＝(2R )2π＝12π，故选A. 答案 A2.(2016·新课标全国Ⅱ，7)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A.20πB.24πC.28πD.32π2.解析 由三视图可知，组合体的底面圆的面积和周长均为4π，圆锥的母线长l ＝（23）2＋22＝4，所以圆锥的侧面积为S 锥侧＝12×4π×4＝8π，圆柱的侧面积S 柱侧＝4π×4＝16π，所以组合体的表面积S ＝8π＋16π＋4π＝28π，故选C. 答案 C3.(2016·新课标全国Ⅲ，10)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为( )A.18＋365B.54＋18 5C.90D.81 3.解析 由题意知，几何体为平行六面体，边长分别为3，3，45， 几何体的表面积S ＝3×6×2＋3×3×2＋3×45×2＝54＋18 5. 答案 B4.(2016·新课标全国Ⅲ，11)在封闭的直三棱柱ABCA 1B 1C 1内有一个体积为V 的球， 若AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，AA 1＝3，则V 的最大值是( ) A.4π B.9π2 C.6πD.32π34.解析 由题意知，底面三角形的内切圆直径为4，三棱柱的高为3， 所以球的最大直径为3，V 的最大值为9π2.答案 B5.(2016·新课标全国Ⅰ，7)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是( )A.17πB.18πC.20πD.28π5.解析 由题知，该几何体的直观图如图所示，它是一个球(被过球心O 且互相垂直的三个平面)切掉左上角的18后得到的组合体，其表面积是球面面积的78和三个14圆面积之和.易得球的半径为2，则得S ＝78×4π×22＋3×14π×22＝17π，故选A.答案 A6.(2016·山东，5)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为( )A.13＋23πB.13＋23π C.13＋26π D.1＋26π 6.解析 由三视图知，半球的半径R ＝22，四棱锥为底面边长为1，高为1的正四棱锥， ∴V ＝13×1×1×1＋12×43π×⎝⎛⎭⎫223＝13＋26π，故选C.答案 C7.(2015·新课标全国Ⅰ，11)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r ＝( )A.1B.2C.4D.87.解析 由题意知，2r ·2r ＋12·2πr ·2r ＋12πr 2＋12πr 2＋12·4πr 2＝4r 2＋5πr 2＝16＋20π，∴r ＝2.答案 B8.(2015·新课标全国Ⅱ，10)已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB ＝90°，C 为该球面上的动点．若三棱锥OABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为( ) A.36π B.64π C.144π D.256π 8.解析 如图，要使三棱锥OABC 即COAB 的体积最大，当且仅当点C 到平面OAB 的距离，即三棱锥COAB 底面OAB 上的高最大，其最大值为球O 的半径R ， 则V OABC 最大＝V COAB 最大＝13×12S △OAB ×R ＝13×12×R 2×R ＝16R 3＝36，所以R ＝6，得S 球O ＝4πR 2＝4π×62＝144π.选C. 答案 C9.(2015·安徽，9)一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是( )A.1＋ 3B.1＋2 2C.2＋ 3D.2 2 9.解析 由几何体的三视图可知空间几何体的直观图如图所示．∴其表面积S 表＝2×12×2×1＋2×34×(2)2＝2＋3，故选C.答案C10.(2015·新课标全国Ⅰ，6)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有( ) A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛10.解析 由题意知：米堆的底面半径为163(尺)，体积V ＝13×14πR 2·h ＝3209(立方尺)．所以堆放的米大约为3209×1.62≈22(斛)．答案 B11.(2015·新课标全国Ⅱ，6)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如下图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A.18B.17C.16D.1511.解析 如图，由题意知，该几何体是正方体ABCDA 1B 1C 1D 1被过三点A 、B 1、D 1的平面所截剩余部分，截去的部分为三棱锥AA 1B 1D 1.设正方体的棱长为1，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为 VAA 1B 1D 1VB 1C 1D 1ABCD ＝VAA 1B 1D 1VA 1B 1C 1D 1ABCD －VAA 1B 1D 1＝13×12×12×113－13×12×12×1＝15.选D.答案 D12.(2015·山东，9)已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( ) A.22π3B.42π3C.22πD.42π12.解析 如图，设等腰直角三角形为△ABC ，∠C ＝90°，AC ＝CB ＝2，则AB ＝2 2.设D 为AB 中点，则BD ＝AD ＝CD ＝ 2.∴所围成的几何体为两个圆锥的组合体，其体积V ＝2×13×π×(2)2×2＝42π3.答案 B13.(2015·湖南，10)某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件的利用率为(材料利用率＝新工件的体积/原工件的体积)( )A.8B.8C.2－3πD.2－3π13.解析 欲使正方体最大，则其上底面四个顶点需在圆锥上． 圆锥体积V 1＝13π×12×22＝223π.作几何体截面图，则内接正方体棱长a ＝223，正方体体积V 2＝a 3＝⎝⎛⎭⎫2233＝16227，∴V 2V 1＝16227×322π＝89π.故选A.答案 A14.(2014·新课标全国Ⅱ，7)正三棱柱ABCA 1B 1C 1的底面边长为2,侧棱长为3,D 为BC 中点,则三棱锥AB 1DC 1的体积为( )A.3B.32C.1D.3214.解析 由题意可知AD ⊥BC ，由面面垂直的性质定理可得AD ⊥平面DB 1C 1， 又AD ＝2·sin 60°＝3，所以11AB DC V ＝13AD ·S △11B DC ＝13×3×12×2×3＝1，故选C. 答案 C15.(2014·重庆，7)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.12B.18C.24D.3015.解析 此几何体是由一个三棱柱截去一个三棱锥得到的，三棱柱和三棱锥的底面都是直角三角形，两直角边长分别为3和4，其面积为6，三棱柱的高为5，三棱锥的高为3，所以该几何体的体积为6×5－13×6×3＝24，选择C.答案 C16.(2014·陕西，5)将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是( )A.4πB.3πC.2πD.π16.解析 由几何体的形成过程知所得几何体为圆柱，底面半径为1，高为1，其侧面积S ＝2πrh ＝2π×1×1＝2π. 答案 C17.(2016·浙江，9)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是________cm 2，体积是________cm 3.17.解析 由三视图可知该几何体由一个正方体和一个长方体组合而成， 上面正方体的边长为2 cm ，下面长方体的底面边长为4 cm ，高为2 cm ， 其直观图如右图，其表面积S ＝6×22＋2×42＋4×2×4－2×22＝80(cm 2)， 体积V ＝2×2×2＋4×4×2＝40(cm 3). 答案 80 4018.(2016·四川，12)已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是________.18.解析 由三视图可大致画出三棱锥的直观图如图，由正、俯视图可知，△ABC为等腰三角形，且AC ＝23，AC 边上的高为1，∴S △ABC ＝12×23×1＝ 3.由侧视图可知：三棱锥的高h ＝1，∴V SABC ＝13h s ABC ＝33.答案 3319.(2016·北京，11)某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为________.19.解析 由三视图知该四棱柱为直四棱柱，底面积S ＝（1＋2）×12＝32，高h ＝1，所以四棱柱体积V ＝S ·h ＝32×1＝32.答案 3220.(2015·四川，14)在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，设点M ，N ，P 分别是AB ，BC ，B 1C 1的中点，则三棱锥P A 1MN 的体积是________．20.解析 由题意知还原后的几何体是一个直放的三棱柱，三棱柱的底面是直角边长为1的等腰直角三角形，高为1的直三棱柱.∵1PA MN V ＝1A PMN V ，又AA 1∥平面PMN ，∴1A PMN V ＝APMN V ， ∴V APMN ＝13×12×1×12×12＝124，故1PA MN V ＝124.答案 12421．(2014·天津，10)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3.21.解析 由三视图可得该几何体是组合体，上面是底面圆的半径为2 m 、高为2 m 的圆锥，下面是底面圆的半径为1 m 、高为4 m 的圆柱，所以该几何体的体积是13×4π×2＋4π＝20π3(m 3)．答案 20π322.(2014·山东，13)一个六棱锥的体积为23，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________． 22.解析 由题意可知，该六棱锥是正六棱锥，设该六棱锥的高为h ，则13×6×34×22×h ＝23，解得h ＝1，底面正六边形的中心到其边的距离为3， 故侧面等腰三角形底边上的高为3＋1＝2， 故该六棱锥的侧面积为12×12×2＝12.答案 1223.(2015·新课标全国Ⅱ，19)如图，长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中AB ＝16，BC ＝10，AA 1＝8，点E ，F 分别在A 1B 1，D 1C 1上，A 1E ＝D 1F ＝4.过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形． (1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)； (2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值． 23.解 (1)交线围成的正方形EHGF 如图：(2)作EM ⊥AB ，垂足为M ，则AM ＝A 1E ＝4，EB 1＝12，EM ＝AA 1＝8. 因为EHGF 为正方形，所以EH ＝EF ＝BC ＝10. 于是MH ＝EH 2－EM 2＝6，AH ＝10，HB ＝6.因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱，所以其体积的比值为97(79也正确)．24.(2015·湖南，18)如图，直三棱柱ABC-A1B 1C 1的底面是边长为2的正三角形，E ，F 分别是BC ，CC 1的中点． (1)证明：平面AEF ⊥平面B 1BCC 1；(2)若直线A 1C 与平面A 1ABB 1所成的角为45°，求三棱锥F AEC 的体积． 24.(1)证明 ∵△ABC 为正三角形，E 为BC 中点，∴AE ⊥BC ，∴又B 1B ⊥平面ABC ，AE ⊂平面ABC ，∴B 1B ⊥AE ， ∴由B 1B ∩BC ＝B 知，AE ⊥平面B 1BCC 1，又由AE ⊂平面AEF ，∴平面AEF ⊥平面B 1BCC 1. (2)解 设AB 中点为M ，连接CM ，则CM ⊥AB ，由平面A 1ABB 1⊥平面ABC ，且平面A 1ABB 1∩平面ABC ＝AB 知，CM ⊥面A 1ABB 1， ∴∠CA 1M 即为直线A 1C 与平面A 1ABB 1所成的角， ∴∠CA 1M ＝45°. 易知CM ＝32×2＝3，在等腰Rt △CMA 中，AM ＝CM ＝3， 在Rt △A 1AM 中，A 1A ＝A 1M 2－AM 2＝ 2.∴FC ＝12A 1A ＝22，又S △AEC ＝12×34×4＝32，∴V 三棱锥F AEC ＝13×32×22＝612.25.(2014·广东，18)如图1，四边形ABCD 为矩形，PD ⊥平面ABCD ，AB ＝1，BC ＝PC ＝2.作如图2折叠：折痕EF ∥DC ，其中点E ，F 分别在线段PD ，PC 上，沿EF 折叠后点P 叠在线段AD 上的点记为M ，并且MF ⊥CF .(1)证明：CF ⊥平面MDF ； (2)求三棱锥MCDE 的体积．25.(1)证明 ∵PD ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥AD ，又四边形ABCD 是矩形，∴CD ⊥AD .∵PD ⊂平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，且PD ∩CD ＝D ， ∴AD ⊥平面PCD ，∵CF ⊂平面PCD ，∴AD ⊥CF ，又MF ⊥CF ，MF ∩AD ＝M ，∴CF ⊥平面MDF . (2)解 ∵PD ⊥平面ABCD ，∴PD ⊥CD ， 又CD ＝AB ＝1，PC ＝2，∴PD ＝ 3. 由(1)知CF ⊥平面MDF ，∴CF ⊥DF .∴由S △PCD ＝12PD ×CD ＝12PC ×DF 得DF ＝32，∴CF ＝CD 2－DF 2＝12.∵EF ∥CD ，∴DE DP ＝CF CP ，∴DE ＝CF CP ×DP ＝34.∴S △CDE ＝12CD ×DE ＝12×1×34＝38.∵AD ⊥平面PCD ，即MD ⊥平面CDE ，且ME ＝PE ＝PD －ED ＝334，∴MD ＝ME 2－ED 2＝2716－316＝62，∴三棱锥MCDE 的体积为V MCDE ＝13S △CDE ×MD ＝13×38×62＝216.考点3 点、线、面的位置关系1.(2016·新课标全国Ⅰ，11)平面α过正方体ABCDA 1B 1C 1D 1的顶点A ，α∥平面CB 1D 1， α∩平面ABCD ＝m ，α∩平面ABB 1A 1＝n ，则m ，n 所成角的正弦值为( ) A.32 B.22C.33D.131.解析 如图所示，设平面CB 1D 1∩平面ABCD ＝m 1，∵α∥平面CB 1D 1，∴m 1∥m ，又∵平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1，平面CB 1D 1∩平面A 1B 1C 1D 1＝B 1D 1，∴B 1D 1∥m 1，∴B 1D 1∥m ，同理可得CD 1∥n .故m 、n 的所成角的大小与B 1D 1、CD 1所成角的大小相等，即∠CD 1B 1的大小. 而B 1C ＝B 1D 1＝CD 1(均为面对角线)，∴∠CD 1B 1＝π3，∴sin ∠CD 1B 1＝32，故选A.答案 A2.(2016·浙江，2)已知互相垂直的平面α，β交于直线l .若直线m ，n 满足m ∥α，n ⊥β，则( ) A.m ∥l B.m ∥n C.n ⊥lD.m ⊥n2.解析由已知，α∩β＝l，∴l⊂β，又∵n⊥β，∴n⊥l，C正确.故选C.答案 C3.(2015·广东，6)若直线l1和l2是异面直线,l1在平面α内,l2在平面β内,l是平面α与平面β的交线,则下列命题正确的是()A．l与l1,l2都不相交B．l与l1,l2都相交C．l至多与l1,l2中的一条相交D．l至少与l1,l2中的一条相交3.解析若l与l1，l2都不相交则l∥l1，l∥l2，∴l1∥l2，这与l1和l2异面矛盾，∴l至少与l1，l2中的一条相交．答案D4.(2015·湖北，5)l1,l2表示空间中的两条直线,若p：l1,l2是异面直线,q：l1,l2不相交,则() A．p是q的充分条件,但不是q的必要条件B．p是q的必要条件,但不是q的充分条件C．p是q的充分必要条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件4.解析由l1，l2是异面直线，可得l1，l2不相交，所以p⇒q；由l1，l2不相交，可得l1，l2是异面直线或l1∥l2，所以q⇒/p.所以p是q的充分条件，但不是q的必要条件．故选A.答案A5.(2015·浙江，4)设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β()A.若l⊥β，则α⊥βB.若α⊥β，则l⊥mC.若l∥β，则α∥βD.若α∥β，则l∥m5.解析选项A：∵l⊥β，l⊂α，∴α⊥β，A正确；选项B：α⊥β，l⊂α，m⊂β，l与m位置关系不固定；选项C，∵l∥β，l⊂α，∴α∥β或α与β相交；选项D：∵α∥β，l⊂α，m⊂β.∴此时l与m位置关系不固定，故选A.答案A6.(2015·四川，18) 一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．(1)请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系．并证明你的结论．(3)证明：直线DF⊥平面BEG.6.(1) 解点F，G，H的位置如图所示．(2)证明平面BEG∥平面ACH，证明如下：因为ABCDEFGH为正方体，所以BC∥FG，BC＝FG，又FG∥EH，FG＝EH，所以BC∥EH，BC＝EH，于是BCHE为平行四边形，所以BE∥CH，又CH⊂平面ACH，BE⊄平面ACH，所以BE∥平面ACH，同理BG∥平面ACH，又BE∩BG＝B，所以平面BEG∥平面ACH.(3)证明连接FH，因为ABCDEFGH为正方体，所以DH⊥平面EFGH，因为EG⊂平面EFGH，所以DH⊥EG，又EG⊥FH，EG∩FH＝O，所以EG⊥平面BFHD，又DF⊂平面BFHD，所以DF⊥EG，同理DF⊥BG，又EG∩BG＝G，所以DF⊥平面BEG.7.(2014·陕西，17)四面体ABCD及其三视图如图所示，平行于棱AD，BC的平面分别交四面体的棱AB，BD，DC，CA于点E，F，G，H.(1)求四面体ABCD 的体积； (2)证明：四边形EFGH 是矩形．7.(1)解 由该四面体的三视图可知，BD ⊥DC ，BD ⊥AD ，AD ⊥DC ，BD ＝CD ＝2，AD ＝1，∴AD ⊥平面BDC ，∴四面体体积V ＝13×12×2×2×1＝23.(2)证明 ∵BC ∥平面EFGH ，平面EFGH ∩平面BDC ＝FG ，平面EFGH ∩平面ABC ＝EH ， ∴BC ∥FG ，BC ∥EH ， ∴FG ∥EH .同理EF ∥AD ，HG ∥AD ， ∴EF ∥HG ，∴四边形EFGH 是平行四边形． 又∵AD ⊥平面BDC ， ∴AD ⊥BC ，∴EF ⊥FG ， ∴四边形EFGH 是矩形．8.(2014·新课标全国Ⅱ，18)如图，四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 为矩形，P A ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．(1)证明：PB ∥平面AEC ；(2)设AP ＝1，AD ＝3，三棱锥P ABD 的体积V ＝34，求A 到平面PBC 的距离． 8.(1)证明 设BD 与AC 的交点为O ，连接EO . 因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点． 又E 为PD 的中点，所以E O ∥PB.又因为E O ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ， 所以PB ∥平面AEC.(2)解 V ＝16P A ·AB ·AD ＝36AB ，由V ＝34，可得AB ＝32.作AH ⊥PB 交PB 于H ，由题设知BC ⊥平面P AB ，所以BC ⊥AH ，所以AH ⊥平面PBC . 在Rt △P AB 中， PB ＝132，所以AH ＝P A ·AB PB ＝31313，即A 到平面PBC 的距离为31313. 考点4 线面平行的判定与性质1.(2014·辽宁，4)已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是( ) A.若m ∥α，n ∥α，则m ∥n B.若m ⊥α，n ⊂α，则m ⊥n C.若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α D.若m ∥α，m ⊥n ，则n ⊥α1.解析 若m ∥α，n ∥α，则m 与n 可能平行、相交或异面，故A 错； B 正确；若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α或n ⊂α，故C 错误；若m ∥α，m ⊥n ，则n 与α可能平行、相交或n ⊂α，故D 错误．因此选B. 答案 B2.(2016·新课标全国Ⅲ，19)如图，四棱锥P ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝AC ＝3，P A ＝BC ＝4，M 为线段AD 上一点，AM ＝2MD ，N 为PC 的中点.(1)证明：MN ∥平面P AB ； (2)求四面体NBCM 的体积. 2.(1)证明 由已知得AM ＝23AD ＝2.取BP 的中点T ，连接AT ，TN ，由N 为PC 中点知TN ∥BC ，TN ＝12BC ＝2.又AD ∥BC ，故TN 綊AM ，四边形AMNT 为平行四边形，于是MN ∥A T. 因为AT ⊂平面PAB ，MN ⊄平面PAB ，所以MN ∥平面PAB.(2)解 因为PA ⊥平面ABCD ，N 为PC 的中点，所以N 到平面ABCD 的距离为12PA.取BC 的中点E ，连接AE.由AB ＝AC ＝3得AE ⊥BC ，AE ＝AB2－BE2＝ 5. 由AM ∥BC 得M 到BC 的距离为5，故S △BCM ＝12×4×5＝2 5.所以四面体NBCM 的体积VNBCM ＝13×S △BCM×PA 2＝453.3.(2015·北京，18)如图，在三棱锥V-ABC 中，平面V AB ⊥平面ABC ，△V AB 为等边三角形，AC ⊥BC ，且AC ＝BC ＝2，O ，M 分别为AB ，VA 的中点． (1)求证：VB ∥平面MOC ；(2)求证：平面MOC ⊥平面VAB ； (3)求三棱锥VABC 的体积．3.解 (1)因为O ，M 分别为AB ，V A 的中点，所以OM ∥VB ， 又因为VB ⊄平面MOC ，所以VB ∥平面MOC.(2)因为AC ＝BC ，O 为AB 的中点，所以OC ⊥AB.又因为平面VAB ⊥平面ABC ，且OC ⊂平面ABC ，所以OC ⊥平面V AB. 所以平面MOC ⊥平面V AB.(3)在等腰直角三角形ACB 中，AC ＝BC ＝2，所以AB ＝2，OC ＝1， 所以等边三角形VAB 的面积S △VAB ＝ 3.又因为OC ⊥平面VAB .所以三棱锥CVAB 的体积等于13·OC ·S △VAB ＝33，又因为三棱锥VABC 的体积与三棱锥CVAB 的体积相等，所以三棱锥VABC 的体积为33.4.(2015·广东，18)如图，三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直，PD ＝PC ＝4，AB ＝6，BC ＝3. (1)证明：BC ∥平面PDA ； (2)证明：BC ⊥PD ；(3)求点C 到平面PDA 的距离．4.解 (1)因为四边形ABCD 是长方形，所以BC ∥AD ， 因为BC ⊄平面PDA ，AD ⊂平面PDA ，所以BC ∥平面PDA.(2)因为四边形ABCD 是长方形，所以BC ⊥CD ，因为平面PDC ⊥平面ABCD ，平面PDC∩平面ABCD ＝CD ，BC ⊂平面ABCD ， 所以BC ⊥平面PDC ，因为PD ⊂平面PDC ，所以BC ⊥PD. (3)取CD 的中点E ，连接AE 和PE. 因为PD ＝PC ，所以PE ⊥CD ，在Rt △PED 中，PE ＝PD2－DE2＝42－32＝7.因为平面PDC ⊥平面ABCD ，平面PDC∩平面ABCD ＝CD ，PE ⊂平面PDC ， 所以PE ⊥平面ABCD ，由(2)知：BC ⊥平面PDC ，由(1)知：BC ∥AD ，所以AD ⊥平面PDC ， 因为PD ⊂平面PDC ，所以AD ⊥PD.设点C 到平面PDA 的距离为h ，因为V 三棱锥CPDA ＝V 三棱锥PACD ， 所以13S △PDA·h ＝13S △ACD·PE ，即h ＝S △ACD·PE S △PDA ＝12×3×6×712×3×4＝372，所以点C 到平面PDA 的距离是372.5.(2015·江苏，16)如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，已知AC ⊥BC ，BC ＝CC 1.设AB 1的中点为D ，B 1C ∩BC 1＝E . 求证：(1)DE ∥平面AA 1C 1C ； (2)BC 1⊥AB 1.5.证明 (1)由题意知，E 为B 1C 的中点， 又D 为AB 1的中点，所以DE ∥AC.又因为DE ⊄平面AA 1C 1C ，AC ⊂平面AA 1C 1C ， 所以DE ∥平面AA 1C 1C.(2)因为棱柱ABCA 1B 1C 1是直三棱柱， 所以CC 1⊥平面ABC.因为AC ⊂平面ABC，所以AC ⊥CC 1.又因为AC⊥BC，CC1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，BC∩CC1＝C，所以AC⊥平面BCC1B1.又因为BC1⊂平面BCC1B1，所以BC1⊥AC.因为BC＝CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，所以BC1⊥B1C.因为AC，B1C⊂平面B1AC，AC∩B1C＝C，所以BC1⊥平面B1AC.又因为AB1⊂平面B1AC，所以BC1⊥AB1.6.(2015·山东，18)如图，三棱台DEF-ABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点．(1)求证：BD∥平面FGH；(2)若CF⊥BC，AB⊥BC，求证：平面BCD⊥平面EGH.6.证明(1)方法一连接DG，CD，设CD∩GF＝M，连接MH.在三棱台DEF ABC中，AB＝2DE，G为AC的中点，可得DF∥GC，DF＝GC，所以四边形DFCG为平行四边形．则M为CD的中点，又H为BC的中点，所以HM∥BD，又HM⊂平面FGH，BD⊄平面FGH，所以BD∥平面FGH.方法二在三棱台DEFABC中，由BC＝2EF，H为BC的中点，可得BH∥EF，BH＝EF，所以四边形HBEF为平行四边形，可得BE∥HF.在△ABC中，G为AC的中点，H为BC的中点，所以GH∥AB.又GH∩HF＝H，所以平面FGH∥平面ABED.又因为BD⊂平面ABED，所以BD∥平面FGH.(2)连接HE，因为G，H分别为AC，BC的中点，所以GH∥AB.由AB⊥BC，得GH⊥BC.又H为BC的中点，所以EF∥HC，EF＝HC，因此四边形EFCH是平行四边形，所以CF∥HE.又CF⊥BC，所以HE⊥BC.又HE，GH⊂平面EGH，HE∩GH＝H，所以BC⊥平面EGH.又BC⊂平面BCD，所以平面BCD⊥平面EGH.A1和ACC1A1都为矩形．7.(2014·四川，18)在如图所示的多面体中,四边形ABB(1)若AC⊥BC,证明：直线BC⊥平面ACC1A1；(2)设D,E分别是线段BC,CC1的中点,在线段AB上是否存在一点M,使直线DE∥平面A1MC？请证明你的结论．7.(1)证明因为四边形ABB1A1和ACC1A1都是矩形，所以AA1⊥AB，AA1⊥AC.因为AB，AC为平面ABC内两条相交直线，所以AA1⊥平面ABC.因为直线BC⊂平面ABC，所以AA1⊥BC.又由已知，AC⊥BC，AA1，AC为平面ACC1A1内两条相交直线，所以BC⊥平面ACC1A1.(2)解取线段AB的中点M，连接A1M，MC，A1C，AC1，设O为A1C，AC1的交点．由已知可知，O为AC1的中点．连接MD，OE，则MD，OE分别为△ABC，△ACC1的中位线，所以，MD 平行且等于12AC ，OE 平行且等于12AC ，所以MD 平行且等于OE.连接OM ，从而四边形MDEO 为平行四边形， 则DE ∥MO.因为直线DE ⊄平面A1MC ，MO ⊂平面A 1MC ， 所以直线DE ∥平面A1MC.即线段AB 上存在一点M(线段AB 的中点)，使直线DE ∥平面A1MC.8.(2014·山东，18)如图，四棱锥P ABCD 中，AP ⊥平面PCD ，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝12AD ，E ，F 分别为线段AD ，PC 的中点．(1)求证：AP ∥平面BEF ； (2)求证：BE ⊥平面P AC .8.证明 (1)设AC ∩BE ＝O ，连接OF ，EC . 由于E 为AD 的中点，AB ＝BC ＝12AD ，AD ∥BC ，所以AE ∥BC ，AE ＝AB ＝BC ，所以四边形ABCE 为菱形，所以O 为AC 的中点． 又F 为PC 的中点，所以在△PAC 中，可得AP ∥OF. 又OF ⊂平面BEF ，AP ⊄平面BEF ，所以AP ∥平面BEF.(2)由题意知ED ∥BC ，ED ＝BC.所以四边形BCDE 为平行四边形，所以BE ∥CD. 又AP ⊥平面PCD ，所以AP ⊥CD ，所以AP ⊥BE. 因为四边形ABCE 为菱形，所以BE ⊥AC.又AP∩AC ＝A ，AP 、AC ⊂平面PAC ，所以BE ⊥平面PAC.9.(2014·安徽，19)如图，四棱锥P-ABCD 的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为217.点G ，E ，F ，H 分别是棱PB ，AB ，CD ，PC 上共面的四点，平面GEFH ⊥平面ABCD ，BC ∥平面GEFH . (1)证明：GH ∥EF ；(2)若EB ＝2，求四边形GEFH 的面积．9.(1)证明 因为BC ∥平面GEFH ，BC ⊂平面PBC ，且平面PBC∩平面GEFH ＝GH ， 所以GH ∥BC.同理可证EF ∥BC ，所以GH ∥EF.(2)解 连接AC ，BD 交于点O ，BD 交EF 于点K ，连接OP ，GK. 因为PA ＝PC ，O 是AC 的中点， 所以PO ⊥AC ，同理可得PO ⊥BD.又BD∩AC ＝O ，且AC ，BD 都在底面内，所以PO ⊥底面ABCD. 又因为平面GEFH ⊥平面ABCD ，且PO ⊄平面GEFH ， 所以PO ∥平面GEFH.因为平面PBD∩平面GEFH ＝GK ，所以PO ∥GK ，且GK ⊥底面ABCD ， 所以GK ⊥EF ，所以GK 是梯形GEFH 的高． 由AB ＝8，EB ＝2得EB ∶AB ＝KB ∶DB ＝1∶4， 所以KB ＝14DB ＝12OB ，即K 为OB 的中点．再由PO ∥GK 得GK ＝12PO ，即G 是PB 的中点，且GH ＝12BC ＝4.由已知可得OB ＝42，PO ＝PB2－OB2＝68－32＝6，所以GK ＝3. 故四边形GEFH 的面积S ＝GH ＋EF 2·GK ＝4＋82×3＝18.考点5 线面垂直的判定与性质1.(2014·浙江，6)设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面( ) A.若m ⊥n ，n ∥α，则m ⊥α B.若m ∥β，β⊥α，则m ⊥α C.若m ⊥β，n ⊥β，n ⊥α，则m ⊥α D.若m ⊥n ，n ⊥β，β⊥α，则m ⊥α 1.解析 选项A 、B 、D 中m 均可能与平面α平行、垂直、斜交或在平面α内，故选C. 答案C2.(2016·新课标全国Ⅰ，18)如图，已知正三棱锥PABC 的侧面是直角三角形，PA ＝6，顶点P 在平面ABC 内的正投影为点D ，D 在平面PAB 内的正投影为点E ，连接PE 并延长交AB 于点G.(1)证明：G 是AB 的中点；(2)作出点E 在平面PAC 内的正投影F(说明作法及理由)，并求四面体PDEF 的体积. 2.(1)证明 因为P 在平面ABC 内的正投影为D ，所以AB ⊥PD . 因为D 在平面P AB 内的正投影为E ，所以AB ⊥DE . 所以AB ⊥平面PED ，所以AB ⊥PG .又由已知可得P A ＝PB ，从而G 是AB 的中点.(2)解 在平面P AB 内，过点E 作PB 的平行线交P A 于点F ，F 即为E 在平面P AC 内的正投影.理由如下：由已知可得PB ⊥P A ，PB ⊥PC ，又EF ∥PB ， 所以EF ⊥P A ，EF ⊥PC ，所以EF ⊥平面P AC ，即点F 为E 在平面P AC 内的正投影. 连接CG ，因为P 在平面ABC 内的正投影为D ， 所以D 是正三角形ABC 的中心.由(1)知，G 是AB 的中点，所以D 在CG 上，所以CD ＝23CG .由题设可得PC ⊥平面P AB ，DE ⊥平面P AB ， 所以DE ∥PC ，所以PE ＝23PG ，DE ＝13PC .由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且P A ＝6，可得DE ＝2，PE ＝2 2. 在等腰直角三角形EFP 中，可得EF ＝PF ＝2.所以四面体PDEF 的体积V ＝13×12×2×2×2＝43.3.(2016·新课标全国Ⅱ，19)如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，点E ，F 分别在AD ，CD 上，AE ＝CF ，EF 交BD 于点H ，将△DEF 沿EF 折到△D ′EF 的位置.(1)证明：AC ⊥HD ′；(2)若AB ＝5，AC ＝6，AE ＝54，OD ′＝22，求五棱锥D ′ABCFE 的体积.3.(1)证明 由已知得AC ⊥BD ，AD ＝CD ，又由AE ＝CF 得AE AD ＝CFCD ，故AC ∥EF ，由此得EF ⊥HD ，折后EF 与HD 保持垂直关系，即EF ⊥HD ′， 所以AC ⊥HD ′.(2)解 由EF ∥AC 得OH DO ＝AE AD ＝14.由AB ＝5，AC ＝6得DO ＝BO ＝AB 2－AO 2＝4， 所以OH ＝1，D ′H ＝DH ＝3，于是OD ′2＋OH 2＝(22)2＋12＝9＝D ′H 2，所以OD ′⊥OH .由(1)知AC ⊥HD ′，又AC ⊥BD ，BD ∩HD ′＝H ， 所以AC ⊥平面DHD ′，于是AC ⊥OD ′，又由OD ′⊥OH ，AC ∩OH ＝O ， 所以OD ′⊥平面ABC . 又由EF AC ＝DH DO 得EF ＝92，五边形ABCFE 的面积S ＝12×6×8－12×92×3＝694，所以五棱锥D ′ABCFE 的体积V ＝13×694×22＝2322.4.(2016·北京，18)如图，在四棱锥P ABCD 中，PC ⊥平面ABCD ，AB ∥DC ，DC ⊥AC .(1)求证：DC ⊥平面P AC ； (2)求证：平面P AB ⊥平面P AC ；(3)设点E 为AB 的中点，在棱PB 上是否存在点F ，使得P A ∥平面CEF ？说明理由. 4.(1)证明 ∵PC ⊥平面ABCD ，DC ⊂平面ABCD ， ∴PC ⊥DC.又AC ⊥DC ，PC∩AC ＝C ，PC ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ， ∴CD ⊥平面PAC.(2)证明 ∵AB ∥CD ，CD ⊥平面PAC ， ∴AB ⊥平面PAC ， 又AB ⊂平面PAB ， ∴平面PAB ⊥平面PAC.(3)解 棱PB 上存在点F ，使得PA ∥平面CEF. 证明如下：取PB 的中点F ，连接EF ，CE ，CF ， 又因为E 为AB 的中点， ∴EF 为△PAB 的中位线， ∴EF ∥PA.又PA ⊄平面CEF ，EF ⊂平面CEF ， ∴PA ∥平面CEF.5.(2016·浙江，18)如图，在三棱台ABCDEF 中，平面BCFE ⊥平面ABC ，∠ACB ＝90°，BE ＝EF ＝FC ＝1，BC ＝2，AC ＝3. (1)求证：BF ⊥平面ACFD ；(2)求直线BD 与平面ACFD 所成角的余弦值.5.(1)证明 延长AD ，BE ，CF 相交于一点K ，如图所示，因为平面BCFE ⊥平面ABC ，且AC ⊥BC ， 所以AC ⊥平面BCK ， 所以BF ⊥AC .又因为EF ∥BC ，BE ＝EF ＝FC ＝1，BC ＝2，所以△BCK 为等边三角形，且F 为CK 的中点，则BF ⊥CK. 所以BF ⊥平面ACFD.(2)解 因为BF ⊥平面ACK ，所以∠BDF 是直线BD 与平面ACFD 所成的角.在Rt △BFD 中，BF ＝3，DF ＝32，得cos ∠BDF ＝217.所以直线BD 与平面ACFD 所成角的余弦值为217.6.(2016·四川，17)如图，在四棱锥P ABCD 中，P A ⊥CD ，AD ∥BC ，∠ADC ＝∠P AB ＝90°，BC ＝CD ＝12AD .(1)在平面P AD 内找一点M ，使得直线CM ∥平面P AB ，并说明理由. (2)证明：平面P AB ⊥平面PBD .6.(1)解 取棱AD 的中点M (M ∈平面P AD )，点M 即为所求的一个点，理由如下：因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ，所以BC ∥AM ，且BC ＝AM .所以四边形AMCB 是平行四边形，所以CM ∥AB. 又AB ⊂平面PAB ，CM ⊄平面PAB ， 所以CM ∥平面PAB.(说明：取棱PD 的中点N ，则所找的点可以是直线MN 上任意一点) (2)证明 由已知，PA ⊥AB ，PA ⊥CD.因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ，所以直线AB 与CD 相交，所以PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥BD. 因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ，所以BC ∥MD ，且BC ＝MD ， 所以四边形BCDM 是平行四边形， 所以BM ＝CD ＝12AD ，所以BD ⊥AB.又AB∩AP ＝A ，所以BD ⊥平面PAB.又BD ⊂平面PBD ，所以平面PAB ⊥平面PBD.7.(2015·新课标全国Ⅰ，18)如图，四边形ABCD 为菱形，G 是AC 与BD 的交点，BE ⊥平面ABCD .(1)证明：平面AEC ⊥平面BED ；(2)若∠ABC ＝120°，AE ⊥EC ，三棱锥EACD 的体积为63，求该三棱锥的侧面积． 7.解 (1)因为四边形ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD. 因为BE ⊥平面ABCD ，所以AC ⊥BE. 所以AC ⊥平面BED ，又AC ⊂平面AEC ， 所以平面AEC ⊥平面BED.(2)设AB ＝x ，在菱形ABCD 中，由∠ABC ＝120°，可得AG ＝GC ＝32x ，GB ＝GD ＝x 2. 因为AE ⊥EC ，所以在Rt △AEC 中，可得EG ＝32x. 由BE ⊥平面ABCD ，知△EBG 为直角三角形，可得BE ＝22x. 由已知得，三棱锥EACD 的体积VEACD ＝13×12AC·GD·BE ＝624x3＝63.故x ＝2，从而可得AE ＝EC ＝ED ＝ 6.所以△EAC 的面积为3，△EAD 的面积与△ECD 的面积均为5， 故三棱锥EACD 的侧面积为3＋2 5.8.(2015·安徽，19)如图，三棱锥P -ABC 中，P A ⊥平面ABC ，P A ＝1，AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°. (1)求三棱锥P -ABC 的体积；(2)证明：在线段PC 上存在点M ，使得AC ⊥BM ，并求PMMC的值．8.(1)解 由题设AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°，可得S △ABC ＝12·AB·AC·sin 60°＝32.由PA ⊥平面ABC ，可知PA 是三棱锥P-ABC 的高， 又PA ＝1，所以三棱锥P-ABC 的体积V ＝13·S △ABC·PA ＝36.(2)证明 在平面ABC 内，过点B 作BN ⊥AC ，垂足为N ， 在平面PAC 内，过点N 作MN ∥PA 交PC 于点M ，连接BM. 由PA ⊥平面ABC 知PA ⊥AC ，所以MN ⊥AC. 由于BN∩MN ＝N ，故AC ⊥平面MBN ， 又BM ⊂平面MBN ，所以AC ⊥BM.在Rt △BAN 中，AN ＝AB·cos ∠BAC ＝12，从而NC ＝AC －AN ＝32，由MN ∥PA 得PM MC ＝AN NC ＝13.9.(2015·湖北，20)《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称 之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．在如图所示的阳马P-ABCD 中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD ＝CD ，点E 是PC 的中点，连接DE 、BD 、BE . (1)证明：DE ⊥平面PBC .试判断四面体EBCD 是否为鳖臑．若是，写出其每个面的直角(只需写出结论)；若不是，请说明理由； 9.解 (1)因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD ⊥BC ， 由底面ABCD 为长方形，有BC ⊥CD ， 而PD∩CD ＝D ，所以BC ⊥平面PCD. 而DE ⊂平面PCD ，所以BC ⊥DE.又因为PD ＝CD ，点E 是PC 的中点，所以DE ⊥PC. 而PC∩BC ＝C ，所以DE ⊥平面PBC.由BC ⊥平面PCD ，DE ⊥平面PBC ，可知四面体EBCD 的四个面都是直角三角形， 即四面体EBCD 是一个鳖臑，其四个面的直角分别是∠BCD ，∠BCE ，∠DEC ，∠DEB. (2)由已知，PD 是阳马PABCD 的高，所以V1＝13SABCD·PD ＝13BC·CD·PD ；由(1)知，DE 是鳖臑DBCE 的高，BC ⊥CE ，所以V2＝13S △BCE·DE ＝16BC·CE·DE.在Rt △PDC 中，因为PD ＝CD ，点E 是PC 的中点，所以DE ＝CE ＝22CD ， 于是V1V2＝13BC·CD·PD 16BC·CE·DE ＝2CD·PD CE·DE＝4.记阳马P-ABCD 的体积为V1，四面体EBCD 的体积为V2，求V1V2的值．10.(2015·浙江，18)如图，在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2，A 1A ＝4，A 1在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 为B 1C1的中点．。