2平行线分线段成比例定理

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平行线分线段成比例结论

平行线分线段成比例结论
平行线分线段成比例的结论可以用以下两个定理来描述：
1. 三角形法则：如果在两条平行线上有两个相交线段，那么这两条线段被平行线切分的部分成比例。

具体表述为：如果AB和CD是两条平行线，并且有两个交叉
线段EF和GH，那么EF/GH = AB/CD。

2. 价恩斯定理：两条平行线被一组相交线段切割所形成的任意两条线段之间的比值，等于这两条线段所在平行线之间的比值。

具体表述为：如果AB和CD是两条平行线，其中EF和GH
是这两条平行线上的两个交叉线段，那么EF/GH = AB/CD。

这些定理指出，在平行线上切割的线段之间存在比例关系，这使得我们可以通过已知线段的比例来推导未知线段的长度。

平行线分线段成比例定理证明过程

平行线分线段成比例定理是初中数学中的重要概念之一，也是几何学中的基础知识。

在我们探讨这个定理的证明过程之前，首先让我们了解一下平行线分线段成比例定理的概念。

一、平行线分线段成比例定理的概念平行线分线段成比例定理是指：如果一条直线被两条平行线截断，那么它们所截取的线段成比例。

形式化表示就是：设直线l被两条平行线m和n截断，截线段分别为AB和CD，那么有AD/DB=AC/CB。

二、证明过程接下来，我们来探讨平行线分线段成比例定理的证明过程。

1. 利用证明过程所需的前提条件我们需要利用欧几里得几何学的基本公设和定理来证明这个定理。

其中，我们需要用到的包括平行线的性质、相似三角形的性质等。

2. 构造辅助线在证明过程中，我们通常会构造一些辅助线来帮助我们证明定理。

我们可以根据已知条件，构造出一些三角形或平行四边形来辅助证明。

3. 利用相似三角形性质在证明中，我们需要利用到相似三角形的性质。

我们可以利用相似三角形的对应边成比例的性质来帮助我们证明线段的成比例关系。

4. 利用平行线的性质平行线具有许多特殊的性质，其中之一就是平行线与被它们截取的直线所成的各对应角相等。

我们可以利用这一性质来帮助我们证明定理。

5. 运用数学归纳法在证明过程中，我们可能需要通过数学归纳法来确保定理对于所有情况都成立。

6. 总结通过以上的证明过程，我们可以得出平行线分线段成比例定理的证明结果。

三、个人观点和理解从证明过程中，我们可以看到，数学证明不仅需要逻辑思维，还需要创造性地构造辅助线、利用相似三角形等方法来解决问题。

平行线分线段成比例定理的证明过程，让我深刻体会到数学的美妙之处，也让我更加深入地理解了相关概念和定理。

总结通过本文对平行线分线段成比例定理的证明过程的探讨，我们不仅了解了这一定理的基本概念，还深入探讨了其证明的具体步骤和相关思想。

通过这样的学习和探讨，我们不仅可以掌握知识，还能够培养良好的逻辑思维能力和解决问题的能力。

4.2平行线分线段成比例定理

BC与EF
两条直线被三条平行线所截,所得的对对A应C线与段DF成比例.
符号语言：l1∥l2∥l3
AB DE BC EF
上上下下
AB DE AC DF
上上全全
BC EF AC DF
下下全全
可以推广到被n条平行线所截
平行线分线段成比例定理
两条直线被三条平行线所截,所得的对应线段成比例
已知：l1∥l2∥l3 求证：AB DE 连接AE,CE;DB,FB BC EF AB S ABE ，DE S BDE BC S CBE EF S BEF
∵ l1∥l2 S ABE S DBE
∵ l2∥l3 S BCF S BEF
AB DE BC EF
讨论:平行线分线段成比例定理得到的比例式中,所截的四条线段与两直线的位置有没有关系？!
L5 L4 L1 L2
L3
L5
L4
L1
L2
L3
L5
L4
E
D
L1
A
L2
B
C
L3
几何语言：
DE // BC E D
A
AD AB
=AACE
B
C
L5 L4
L5 L4
A
L1EDL1DEL2AL2
B
C L3 B
C
L3
几何语言： ∵ DE∥BC
∵
AD AB
=
AE AC
几何语言：
∵ DE∥BC
∵
AD AB
C
2、填空题:
ED
如图:DE∥BC,
已知:
—AACE—
＝
—2 5
求:
—AADB—

人教版高中数学选修4-1《1.2 平行线分线段成比例定理》

名师点评
对于 3 条平行线截两条直线的图形，要注意以下变化：如果已知 a∥b∥c，那么根据定理就可以得到所有的对应线段都成比 AB DE CB FE 例，如＝，＝等． AC DF CA FD 上上上上对于平行线分线段成比例定理，可以归纳为＝，＝，下下全全左左＝等，便于记忆．右右
2．平行线分线段成比例定理的推论 (1)推论的内容：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两
成比例．边的延长线)所得的对应线段__________
AD AE (2)符号语言表示：如图所示，若 a∥b∥c，则 AB ＝AC.
特别提醒
实际应用时，通常图形中不会出现三条平行线，此时要注意正确识别图形，如图(1)和图(2)所示．
(3)当截得的对应线段成比例，且比值为 1 时，则截得的线段相等，因此平行线分线段成比例定理是平行线等分线段定理的扩充，而平行线等分线段定理是平行线分线段成比例定理的特例，平行线等分线段定理是证明线段相等的依据，而平行线分线段成比例定理是证明线段成比例的途径．
问题探究 1：如图，直线 l1、l2 被三个平行平面 α、β、γ 所截，直线 l1 与它们的交点分别为 A、B、C，直线 l2 与它们的交点 AB DE 分别为 D、E、F.BC与 EF 相等吗？提示：相等．证明如下：(1)如果 l1 与 l2 相交于点 G(图①)，那么 l1 与 l2 确定一个平面 π，连接 AD，BE，CF，则 AD，BE，CF 均在平面 π AB DE 上，且 AD∥BE∥CF.由平行线分线段成比例定理可知，＝ . BC EF
如图所示，在四边形 ABCD 中，AC、BD 交于 O 点，过 O 作 AB 的平行线，与 AD、BC 分别交于 E、F 两点，与 CD 的延长线交于点 K.求证：KO2＝KE· KF.

华东师大版九年级上册数学课件 23.1.2平行线分线段成比例(21张PPT)

平行线分线段成比例
学习目标：
1．知识目标： ①了解平行线分线段成比例定理 ②会用平行线分线段成比例定理解决实际问题 2．能力目标：掌握推理证明的方法，发展演绎推
理能力
回顾复习
1.比例线段的概念：
四条线段 a、b、c、d 中，如果 a：b=c：d，那么这四条线段a、b、c、d 叫做成比例的线段，简称比例线段.
2.比例的基本性质
如果 a：b =c：d ，那么ad =bc.
如果 ad =bc，那么 a：b =c：d .
如图3-6中，小方格边长都为1，平行线l1 ∥l2∥ l3.分别交直线m,n A1，A2 , A3, B1, B2 , B。3
（1）计算 A1 A2 与 B1B2 的值，你有什么发现？
A2 A3
试一试
2.如图，已知在△ABC 中，点 D，E， F 分别是边 AB，AC，BC 上的点，DE∥ BC，EF∥AB，且 AD∶DB＝3∶5，那么 CF∶CB 等于( A )
A．5∶8 B．3∶8 C．3∶5 D．2∶5
3.如图，在△ABC中，E，F分别
是AB和AC上的点，且EF∥BC。
A
（1）如果AE=7 ，EB=5，FC=4. E
B1B2 B2B3
归纳
平行线分线段成比例定理：
两直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
思考
如果把图1中l1 , l2两条直线相交，交点A 刚落到l3上，如图2所得的对应线段的比会相等吗？依据是什么？
l1
A
B
l2
D
l3
E
l4
C
F
l5
图1
A（D） BE
C
F
图2
思考
如果把图1中l1 , l2两条直线相交，交点B刚落到l4上，如图2（2）所得的对应线段的比会相等吗？依据是什么？

1.2 平行线分线段成比例定理课件(人教A选修4-1)(2)

提示：仍然成立．
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[例 1] AB m BC＝ n .
[研一题] 已知：如图，l1∥l2∥l3，
DE m 求证：DF＝ . m＋n 分析：本题考查平行线分线段成比例定理及比例的
DE AB 基本性质．解答本题需要利用定理证得＝，然后利 EF BC DE 用比例的有关性质求出即可． DF
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证明：∵l1∥l2∥l3， AB DE m ∴ ＝＝ . BC EF n EF n EF＋DE n＋m ∴ ＝，＝， DE m DE m DF m＋n DE m 即＝，∴ ＝ . DE m DF m＋n
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[悟一法]
解决此类问题要结合几何直观，合理地利用比例的性质，常见的性质有： (1)比例的基本性质： a c ＝ (bd≠0)⇔ad＝bc； b d a b ＝ (bc≠0)⇔b2＝ac； b c a c b d ＝ (abcd≠0)⇔ ＝ . b d a c
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a c a± c± b d (2)合分比性质：如果＝，那么＝ . b d b d a c m (3)等比性质：如果＝＝„＝ (bd„n≠0， b＋d＋„ b d n a＋c＋„＋m a ＋n≠0)，那么＝ . b＋d＋„＋n b
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[通一类]
1．如图，已知在△ABC 中， ∠BAC＝120° ， AD 平分∠BAC 交 BC 于 D. 1 1 1 求证：＝＋ . AD AB AC
证明：过 D 点作 DE∥AB 交 AC 于 E 点， ∵∠BAC＝120° ，AD 平分∠BAC， ∴∠DAE＝60° ，∠BAD＝60° ， ∵DE∥AB，∴∠ADE＝60° ， ∴AD＝DE＝AE，
AD AE (2)符号语言表示：如图，若a∥b∥c，则 AB ＝AC＝ DE BC .

平行线分线段成比例定理

平行线分线段成比例定理【重点难点解析】重点：平行线分比例线段定理与三角形一边的平行线的性质和判定.难点：平行线分线段成比例定理及推论的应用.【命题趋势分析】利用平行线分线段成比例定理及相关推论，进行证明和计算是考试热点，在中考中常以填空题、选择题、计算题、证明题和作图题出现，解题时要结合比例性质.核心知识【基础知识精讲】本节的主要内容是平行线分线段成比例定理与三角形一边的平行线的性质和判定.1.平行线分线段成比例定理(1)定理：三条平行线截两条直线，截得的对应线段成比例(2)定理的基本图形(5.2-1)若l1∥l2∥l3，则＝，＝，＝2.平行线分线段成比例推论(1)推论：平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例.(2)推论的基本图形(如图5.2-2)若DE∥BC，则＝3.三角形一边平行线的判定定理：如果一条直线截三角的两边(或两边的延长线)所得的线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.4.相似三角形性质定理的预备定理平行于三角形的一边，并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形与原三角形的三边成比例(如图)△ABC中，若DE∥BC，则＝＝上述基础知识①用来证明线段成比例；②证明直线平行；③证明两三角形相似；④已知三条线段，作第四比例项. 典型例题例1 如图，AD是△ABC的中线，E是AD上一点，AE∶ED＝1∶3，BE的延长线交AC于F.求AF∶FC.例2 如图，D为△ABC的AC边上一点，E为CB延长线上一点，且＝，求证：AD＝EB.例3 已知：如图，△ABC中，DE∥BC，AC＝6，AD＝6，CE＝2，则BD的长为多少？例4 如图，已知AD为△ABC中∠BAC的平分线，求证：＝.【课本难题解答】例1 在△ABC(AB＞AC)的边AB上取一点D，在边AC上取一点E，使AD＝AE，直线DE和BC的延长线交于点P，求证：BP∶CP＝BD∶CE.(如图5.2-11)(P255 A.18)例2 如图5.2-12，过△ABC的顶点C任作一直线，与边AB及中线AD分别交于点F和E.求证：AE∶ED＝2AF∶FB例3 为了求出海岛上的山峰AB的高度、在D和F处树立标杆DC和FE，标杆的高都是3丈，相隔1000步(1步等于6尺)，并且AB、CD和EF在同一平面内，从标杆DC退后123步的G处，可看到山峰A和标杆顶端C在同一直线上，从标杆FE退后127步的H处，可看到山峰A和标杆顶端E在一直线上，求山峰的高度AB及它和标杆CD的水平距离BD各是多少?(如图5.2-13)(P256B.17)补充一些小问题1.怎样用三角形面积公式证明平行线分线段成比例定理？2.平行线分线段成比例定理有没有逆定理？3.如图，D为△ABC的AB边上一点，过D点作DE∥BC，DF∥AC，AF交DE于G，BE交DF于H，求证：GH∥AB.4.如图，已知AC∥BD，BD⊥AB，AD、BC相交于E，EF⊥AB于F.求证：- ＝.5.如图，D、F分别是△ABC的边AB、AC上的点，且AD∶DB＝CF∶FA＝2∶3连DF交BC的延长线于E.求EF∶FD.6.已知：如图，在□ABCD 中，E 是AB 的中点，在AD 上截取AF＝FD，EF交AC于G.求证：＝.7.如图，在△ABC(AB＞AC)的边AB上取一点D，在边AC上取一点E，使AD＝AE，线段DE和BC的延长线交于点P.求证：BP∶CP＝BD∶CE8.如图，已知菱形ABCD的边长为3，延长AB到点E，使BE＝2AB，连结EC并延长交AD的延长线于点F，求AF的长. 【典型例题】例1 如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥CD.（1）求证：AF：AD=AD：AB（2）若AF=4，FB=5，求FD的长.（1）证明：∵EF∥DC，∴AF：AD=AE：AC∵DE∥BC，∴AD：AB=AE：AC∴AF：AD=AD：AB（2）AF=4，FB=5，∴AB=9，由AD2=AF·AB，∴AD=6，FD=2.AB C D EFD例2 如图，M为ABCD一边AD的中点，BM交AC于点P，若AC=6cm，求PC的值.例3 如图，若DE∥AB，FD∥BC，ADAC=23，AB=9cm，BC=6cm，求BEDF的周长.例4 如图，在△ABC中，∠ABC的角平分线交AC于D。

1.2 平行线分线段成比例定理

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点评：本题是一道综合性较强的几何题，抓住已知分点作平行线是解决问题常用的方法．【疑难点辨析】在证明的过程中，由于思路不清晰，逻辑推理能力不强，提取信息时有遗漏，甚至以特殊代替一般，与平行线等分线段定理混淆而出错，在利用定理时，不会应用比例的性质而出现计算错误等．

分析：本题容易错选 D.要求
EF AF ＋的值，需要添加平行线． FC FD
DG CD CG 1 过点 D 作 DG∥AB 交 EC 于点 G，则＝＝＝， BE BC EC 3 AE 1 AE DG 而＝，即＝，所以 AE＝DG，从而有 AF＝FD， BE 3 BE BE EF AF EF AF 1 3 EF＝FG＝CG，故＋＝＋＝＋1＝ . FC FD 2EF AF 2 2 答案：C
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∴EF∶FD＝CA∶CB. 证法 2：如图所示，过 E 作 EP∥AB 交 CA 的延长线于点 P. CB CA CA AP ∵AB∥EP，∴ ＝，即＝， BE AP CB BE ∵在△DPE 中，AF∥PE， ∴ EF AP AP AP ＝，∵AD＝BE，∴ ＝， FD AD BE AD
1．2 平行线分线段成比例定理
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1．理解平行线分线段成比例定理及其推论．
2．能应用平行线分线段成比例定理及其推论解决简单几何问题．
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题型一
证明关系
例1 如图所示，DE∥BC，EF∥DC，求证：AD2＝AF· AB.

4．如图，已知D为△ABC中AC边的中点，AE∥BC，ED交 AB于G点，交BC延长线于F点，若BG∶GA＝3∶1，BC＝8，求AE的长．

平行线分线段成比例定理推论

平行线分线段成比例定理推论平行线分线段成比例定理推论引言：平行线分线段成比例定理是中学数学中的一个基本定理，它是解决平面几何问题的重要工具之一。

本文将从该定理的定义、证明以及推论三个方面进行详细介绍。

一、平行线分线段成比例定理的定义平行线分线段成比例定理是指：如果在两条平行直线上，有一条直线与其中一条直线相交，则这条交线所截取的另一条直线上的两个部分，与其在另一条直线上所截取的两个部分之比相等。

二、平行线分线段成比例定理的证明1. 假设有两条平行直线AB和CD，其中有一条直线EF与CD相交于点G。

2. 作AG和BG两条射线，以及CG和DG两条射线。

3. 根据角度对应原理可知∠AGE=∠BGF，∠CGF=∠DGE。

4. 又因为AB和CD是平行的，所以∠AGE+∠CGF=180°，∠BGF+∠DGE=180°。

5. 将以上等式联立得到：∠AGE+∠BGF+∠CGF+∠DGE=360°。

6. 四个角构成一个完整的圆周角，所以∠AGE+∠BGF+∠CGF+∠DGE=360°=2π。

7. 根据圆周角的性质可知：∠AGE/∠CGF=AG/CG，∠BGF/∠DGE=BG/DG。

8. 将以上两个比例式联立得到：AG/BG=CG/DG。

9. 因此，平行线分线段成比例定理得证。

三、平行线分线段成比例定理的推论1. 推论一：如果在两条平行直线上，有一条直线与其中一条直线相交，则这条交线所截取的另一条直线上的两个部分之和等于这条交线所截取的另一条直线长度。

证明：设在两条平行直线AB和CD上，有一条直线EF与CD相交于点G。

则根据平行线分线段成比例定理可知：AG/BG=CG/DG因此，AG/BG+1=CG/DG+1即(AG+BG)/BG=(CG+DG)/DG化简得到：AB/BG=CD/DG因此，AB/BG×BG+CD/DG×DG=AB+CD即AB×BG/BD+CD×DG/BD=AB+CD因此，(BD-BG)×AB/BD+(BD-DG)×CD/BD=AB+CD 即(BD-GB)×AB+(BD-GD)×CD=BD×(AB+CD)因为BG=GD，所以：BD×AB=AD×BGBD×CD=DC×GD将以上式子代入上式得到：AD×BG+(DC-GD)×BG=BD×(AB+CD)AD+DC=BD因此，推论一得证。

平行线分线段成比例判定定理基本模型

平行线分线段成比例判定定理基本模型【摘要】本文将介绍平行线分线段成比例判定定理的基本模型。

在我们将引入该定理的重要性和应用背景。

在首先对定理进行详细说明，然后逐步解释证明步骤，解释相关概念，提供应用举例，并讨论推论拓展。

结论部分将总结归纳所学内容，探讨定理在实际应用中的作用，并展望未来研究方向。

通过本文的阐述，读者将能全面了解平行线分线段成比例判定定理，为进一步的数学学习和应用提供基础。

【关键词】平行线分线段成比例判定定理、引言、定理说明、证明步骤、相关概念解释、应用举例、推论拓展、总结归纳、实际应用、未来研究方向1. 引言1.1 引言平行线分线段成比例判定定理是几何学中的重要定理之一，它解决了平行线与线段之间的关系，为我们在解题过程中提供了便利。

通过这个定理，我们可以轻松判断两条平行线上的线段是否成比例，从而简化问题的复杂度，提高解题效率。

在学习这个定理之前，我们首先需要了解一些基本概念，比如平行线、线段、比例等。

平行线是在同一平面上没有交点的直线，线段是两点之间的连线部分，比例是指两个东西之间的相对大小关系。

这些基本概念是理解平行线分线段成比例判定定理的基础。

在接下来的内容中，我们将详细介绍平行线分线段成比例判定定理的原理和证明步骤，帮助我们更深入地理解这一定理。

我们还将通过相关概念解释、应用举例和推论拓展等部分，进一步探讨这个定理在实际问题中的应用和推广。

通过对平行线分线段成比例判定定理的学习和掌握，我们可以提高解题的效率和准确性，在几何学习中取得更好的成绩。

让我们一起深入探讨这一定理的奥秘，为解决更复杂的几何问题奠定坚实的基础。

2. 正文2.1 定理说明平行线分线段成比例判定定理是初中数学中非常重要的定理之一，它可以帮助我们解决各种与平行线和比例有关的几何问题。

在学习这个定理之前，我们首先要了解什么是平行线和什么是比例。

平行线是在同一个平面内且永远不相交的两条直线，而比例则是指两个量之间的比较关系。

课件1：二平行线分线段成比例定理

例 2 已知，如图在梯形 ABCD 中，AD∥BC，F 为对角线 AC 上一点，FE∥BC 交 AB 于 E，DF 的延长线交 BC 于 H， DE 的延长线交 CB 的延长线于 G.
求证：BC＝GH.
【解答】 ∵FE//BC，∴BECF＝AAEB，GEFH＝DDHF. ∵AD//EF//BH，∴AAEB＝DDHF. ∵B样理解平行线分线段成比例定理的推论？【提示】(1)这个推论也叫三角形一边平行线的性质定理．(2)它包括以下三种基本图形(其中 DE 为截线)．
习惯上称前两种为“A 型”，第三种为“X 型”．
(3)此推论的逆命题也正确，即如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．
例 1 如图，AD 为△ABC 的中线，在 AB 上取点 E，AC 上取点 F，使 AE＝AF，
求证：EFPP＝AACB.
【解答】如图，过 C 作 CM∥EF，交 AB 于点 M，交 AD 于点 N，
∵AE＝AF，∴AM＝AC. ∵AD 为△ABC 的中线， ∴BD＝CD.
延长 AD 到 G，使得 DG＝AD，连接 BG，CG，则四边形 ABGC 为平行四边形．
【答案】 C
3.如图所示，AB∥CD，AC 与 BD 相交于 E，ABEE＝53，则 DECE＝________.
【解析】∵AB∥CD，∴EACE＝DBEE，∴DECE＝ABEE＝35.
【答案】
3 5
4.如图所示,已知 a∥b,ABFF＝35,CBCD＝3,则 AE∶EC＝________. 【解析】∵a//b， ∴EACE＝CAGD，ABFF＝ABGD. ∵CBCD＝3，∴BC＝3CD， ∴BD＝4CD.
则有：AADB＝AACE，ADDB＝EACE，DABB＝EACC.

初二数学平行线分线段成比例定理

初二数学【教学进度】几何第二册第五章第二册第五章 §5.2 [教学内容]平行线分线段成平行线分线段成比例比例定理定理 [重点难点剖析] 一、主要知识点一、主要知识点1．平行线分线段成比例定理，三条平行线截两条．平行线分线段成比例定理，三条平行线截两条直线直线，所得的对应线段成比例。

，所得的对应线段成比例。

2．三角形一边．三角形一边平行线的性质平行线的性质定理（即平行线分线段成比例定理的推论）：平行于：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。

，所得的对应线段成比例。

3．三角形一边的平行线的．三角形一边的平行线的判定定理判定定理：如果一条直线截三角形的两边如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）（或两边的延长线）（或两边的延长线）所得的对应所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。

线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。

4．三角形一边的平行线的性质定理2（即课本例6）：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例。

边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例。

二、重点剖析二、重点剖析1．平行线分线段成比例定理，．平行线分线段成比例定理，是研究相似的最重和最基本的理论，是研究相似的最重和最基本的理论，是研究相似的最重和最基本的理论，同时，同时，它也是直接证明线段成比例的最重要方法之一。

例的最重要方法之一。

定理的基本图形定理的基本图形∵l 1∥l 2∥l 3 ∴DFEFAC BC DF DEAC AB EF DEBC AB === ①对应线段是指一条直线被两条平行直线截得的线段与另一条直线被这两条平行直线截得的线段对应。

应。

②为了强调对应和②为了强调对应和记忆记忆，可以使用一些简单形象化语言记忆上面所列三组比例式：，可以使用一些简单形象化语言记忆上面所列三组比例式：EF DE BC AB = ，可以说成“上比下等于上比下”可以说成“上比下等于上比下” DF DEAC AB =，可以说成“上比全等于上比全”可以说成“上比全等于上比全” DFEFAC BC =，可以说成“下比全等于下比全”等可以说成“下比全等于下比全”等 2．三角形一边平行线的性质定理1（即平行线分线段比例定理的推论）（即平行线分线段比例定理的推论）基本图形基本图形L L L 图1-（1）CFA B E D FC图1-（2）3E D 12B A F3L C 图1-（3）2L L 1BE A 图1-（4）FL 3CL 2L 1B D A 3L 2L L 1(D)(E)AB CD EFl 123l l 图3图4A D B C E 图5C B E F G A D∵DE ∥BC ∴ ACCE AB DB AC AE AB AD ECAEDB AD === ①图2—（1），图2—（3）称为“A ”型，图2—（2）称为“X ”型”型 ②推论中“或两边的延长线”是指三角形两边在第三边同一侧的延长线②推论中“或两边的延长线”是指三角形两边在第三边同一侧的延长线 3．三角形一边平行线的．三角形一边平行线的判定定理判定定理是平行线分线段成比例的推论的逆命题。

人教版九年级数学下册课件2平行线分线段成比例定理

A.AADC＝AAEB＝DBCE
B.AADB＝AACE
C.AADE＝AACB＝DBCE
D.AADB＝AACE＝DBCE
例2 如图，在▱ABCD中，AE＝EB，AF＝2，求CF的长．解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD.
∴△AEF∽△CDF， ∴CADE ＝CAFF. ∵AE＝EB， ∴AE＝12AB＝12CD， ∴CF＝2AF＝4.
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
22．．如平图行强，线l分调1∥线l：2段∥成l3(，1比)直例用线定a“理，：b∽与两l条1”，直l2表线，被l示3一分组别两平相三行交线于角所点截A形，，B相所，得C似的和对点时应D，，线E段，一成F比.般例应．将对应点写在对应的位置
上； 4．如图，已知菱形BEDF内接于△ABC，点E，D，F分别在边AB，AC和BC上．若AB＝15 cm，BC＝12 cm，求菱形BEDF的边长．
27．2 相似三角形 27．2.1 相似三角形的判定第1课时平行线分线段成比例定理
一、教学目标 1．理解相似三角形的概念，了解相似三角形的对应元素及相似比． 2．掌握平行线分线段成比例及其两个推论． 3．掌握判定两个三角形相似的预备定理及其应用．
二、教学重难点
重点平行线分线段成比例定理及相似三角形的预备定理及应用．
(2)过点D作与AC平行的直线与BC相交，可否证明△ADE∽△ABC？如果在三角形中出现一边的平行线，那么你应该联想到什么？
活动2 探究新知
2－2中，当
的值为1时，这组平行线有什么特点？
一个人一天也不能没有理想，凭侥幸、 3．如图，AB∥DC，AC交BD于点O，已知
∴DE∥BC，∴△AED∽△ABC，

初三数学第5讲：平行线分线段成比例定理

教学内容一、知识要点：1、平行线分线段成比例定理：两条直线被三条平行线的直线所截，截得的对应线段成比例。

2、平行线等分线段定理：两条直线被三条平行的直线所截，如果在一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等。

FED C B A FEDCBA问题：如果两条直线被三条直线所截，截得的线段成比例，那么这三条线段互相平行吗？牛刀小试：1、如图AB ∥CD ∥EF ，AC=3，AE=8，BF=10。

求BD 、DF 的长。

A BC DE F2、如图，1L ∥2L ∥3L ，AB=2，AC=5，DF=10，则DE=_________L 3L 2L 1FEDCBA3、在（1）题中，AB ∥CD ∥EF ，AB=2，CD=3，EF=5，BD=2，AE=8。

求BF 、CE 的长。

第 1 页共 9 页4、已知如图，AD ∥CF ∥EB ，AB=3，AC=5，DF=9，DA=2，CF=8，求DE 、EF 、BE 的长。

FCED B A二、典型例题：1、如图，已知：AB 、CD 、EF 都垂直于L,AB=12，EF=7，BD ：DF=2：3，求CD 的长。

LFCEDBA巩固练习： 1、已知abcx,求作x,则下列作图正确的是（） Axc ba Bxc b aCxcba Dx c ba2、如图，1L ∥2L ∥3L ，两直线AC 、DF 与1L 、2L 、3L 分别交于A 、B 、C 和D 、E 、F ，下列各式中，不一定成立的是（） A 、AB DE =BC EF B 、AB DE =AC DF C 、EF BC =FD CA D 、AD BE=BE CF2L 3L 2L 1FED CB A4、如图已知a ∥b ∥c ，AC=2，CG=4，BF=9，DH=10，EM=1，FH=3。

求BE 、AH 、DE 、MH 、AB 的值。

A BC D E M NF G H思维拓展：1、如图，已知：平行四边形ABCD 中，点E 是CD 的中点，点F 在BC 上，21BF FC =，求CO ：AO 的值。

20-21版：二　平行线分线段成比例定理（创新设计）

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2.推论
文字平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边语言的延长线)所得的对应线段成_比__例_ 符号直线 DE 分别与△ABC 的两边 AB，AC 所在直
AE 语言线交于 D，E，且 DE∥BC，则ADDB＝_E_C__ 图形语言作用证明三角形中的线段成比例
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1.比例的性质这是学好本节的前提. (1)基本性质 a∶b＝c∶d⇔ad＝bc. (2)合比性质：如果ab＝dc，那么a＋b b＝c＋d d. (3)等比性质：如果ab＝dc＝…＝mn (b＋d＋…＋n≠0)，那么ab＋＋cd＋＋……＋＋mn ＝ab.
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证明 ∵AB∥CE，∴OOBE＝CABE.① 又∵AF∥BC，∴OOFB＝BACF＝AADF.② ∵AB∥DE，∴FADF＝DABE.③ 由③得AFA＋FFD＝ABA＋BDE＝CDA＋BDE，即AADF＝CABE.④ 由②④得OOFB＝CABE，又由①得OOBE＝OOFB，即 OB2＝OE·OF.
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规律方法可应用平行线分线段成比例定理来作图，由于 AC＝12CB，所以 C 为线段 AB 的三等分点，于是作射线 AK，然后在 AK 上依次截取 AB1 ＝B1B2＝B2B3，连接 B3B.过 B1 作 B1C∥B3B，即得到点 C.
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跟踪演练 1 如图，D，E，F 分别在 AB，AC，BC 上，
跟踪演练 2 如图所示，l1∥l2∥l3. 求证：DABE＝BECF＝DACF. 证明 ∵l1∥l2∥l3， ∴BACB＝DEFE，∴DABE＝BECF， ∵BACC＝DEFF，∴BECF＝DACF，∴DABE＝BECF＝DACF.

课时作业1：二平行线分线段成比例定理

二平行线分线段成比例定理一、基础达标1．若a b ＝c d ，则下列各式一定成立的是( ) A.a ＋b b ＝c ＋d c B.a ＋c c ＝b ＋ddC.a －c c ＝b －db D.a －ca ＝b －dd答案 B解析 ab ＝cd ⇒ad ＝bc .a ＋b b ＝c ＋dc ⇒ac ＝bd ，∴A 不正确．a ＋cc ＝b ＋dd ⇒ad ＝bc ，∴B 正确．同理知C 、D 均不正确．2．如图，已知AB ∥CD ∥EF ，那么下列结论正确的是( )A.ADDF ＝BCCE B.BC CE ＝DFADC.CD EF ＝BCBE D.CD EF ＝ADAF答案 A3．如图所示，在△ACE 中，B 、D 分别在AC 、AE 上，下列推理不正确的是( )A ．BD ∥CE ⇒AB AC ＝BDCEB ．BD ∥CE ⇒ADAE ＝BDCEC ．BD ∥CE ⇒AB BC ＝ADDED ．BD ∥CE ⇒AB BC ＝BD CE 答案 D 解析由平行线分线段成比例定理的推论不难得出A 、B 、C 都是正确的，D 错． 4．如图所示，AD 是△ABC 的中线，E 是CA 边的三等分点，BE 交AD 于点F ，则AF ∶FD 为( )A ．2∶1B ．3∶1C ．4∶1D ．5∶1答案 C解析要求AF ∶FD 的比，需要添加平行线寻找与之相等的比．注意到D 是BC 的中点，可过D 作DG ∥AC 交BE 于G ，则DG ＝12EC ，又AE ＝2EC ，故AF ∶FD ＝AE ∶DG ＝2EC ∶12EC ＝4∶1. 5．如图所示，在△ABC 中，MN ∥DE ∥BC ，若AE ∶EC ＝7∶3，则DB ∶AB的值为________．答案 310 解析由AE ∶EC ＝7∶3，有EC ∶AC ＝3∶10.根据MN ∥DE ∥BC ，可得DB ∶AB ＝EC ∶AC ，即得DB ∶AB ＝3∶10.6．如图所示，已知a ∥b ，AF BF ＝35，BC CD＝3，则AE ∶EC ＝________. 答案 12∶5解析 ∵a ∥b ，∴AE EC ＝AG CD ，AF BF ＝AG BD. ∵BC CD ＝3，∴BC ＝3CD ，∴BD ＝4CD . 又∵AF BF ＝35，∴AG BD ＝AF BF ＝35， ∴AG 4CD ＝35，∴AG CD ＝125.∴AE EC ＝AG CD ＝125. 7.如图所示，在△ABC 中，DE ∥BC ，DE 分别交AB ，AC 于点D 、E .求证：AD AB ＝AE AC ＝DE BC . 证明因为DE ∥BC ，所以AD AB ＝AE AC；过D 作线段DF ∥AC 交BC 边于点F ，所以AD AB ＝FC BC，又因为FC ＝DE ，所以AD AB ＝DE BC. 所以AD AB ＝AE AC ＝DE BC. 二、能力提升8．如图，已知梯形ABCD 中，AD ∥EF ∥GH ∥BC ，AE ∶EG ∶GB ＝1∶2∶3，AD ＝3，BC ＝9，则EF ＋GH 等于( )A ．7B ．8C ．9D ．10答案 D解析如图，过A 点作AP ∥CD ，交BC 于P 点，交EF 、GH 于M 、N ，由平行线的性质可知，AD ＝FM ＝HN ＝CP ＝3，则BP ＝BC －CP ＝9－3＝6，∵EM ∥BP ，∴EM BP ＝AE AB ，即EM 6＝11＋2＋3，解得EM ＝1，同理可得GN BP ＝AG AB ，即GN 6＝1＋21＋2＋3，解得GN ＝3，则EF ＋GH ＝EM ＋MF ＋GN ＋NH ＝1＋3＋3＋3＝10，故选D.9．如图所示，l 1∥l 2∥l 3，若CH ＝4.5 cm ，AG ＝3 cm ，BG ＝5 cm ，EF＝12.9 cm ，则DH ＝______ cm ，EK ＝________ cm.答案 7.5 34.4解析由l 1∥l 2∥l 3，可得DH CH ＝BG AG，所以DH ＝BG ·CH AG ＝5×4.53＝7.5 (cm)，同理可得EK 的长度为34.4(cm)． 10．如图所示，已知DE ∥BC ，BF ∶EF ＝3∶2，则AC ∶AE ＝______，AD ∶DB ＝________.答案 3∶2 2∶1解析 ∵DE ∥BC ，∴AE AC ＝DE BC ＝EF BF. ∵BF ∶EF ＝3∶2，∴AE AC ＝EF BF ＝23. ∴AC ∶AE ＝3∶2.又DE ∥BC ，得AB ∶AD ＝3∶2，即AB AD ＝32. ∴AD AB ＝23.即AD AB －AD ＝23－2＝2，即AD BD＝2.∴AD ∶BD ＝2∶1. 11．如图所示，已知平面α∥平面β，点P 是平面α、β外一点，且直线PB 分别与α、β相交于A 、B ，直线PD 分别与α、β相交于C 、D .(1)求证：AC ∥BD ；(2)如果P A ＝4 cm ，AB ＝5 cm ，PC ＝3 cm ，求PD 的长．(1)证明 ∵α∥β，平面PBD ∩α＝AC ，平面PBD ∩β＝BD ，∴AC ∥BD .(2)解 ∵AC ∥BD ，∴P A AB ＝PC CD ，∴45＝3CD， ∴CD ＝154，∴PD ＝3＋154＝274. 12．已知AD 是△ABC 的内角平分线，求证：BD DC ＝AB AC. 证明过C 作CE ∥AD 交BA 的延长线于E ，如图所示，则∠AEC ＝∠BAD ，∠DAC ＝∠ACE .又∠BAD ＝∠DAC ，∴∠AEC ＝∠ACE ，∴AC ＝AE ，又由AD ∥CE 知AB AE ＝BD DC ， ∴BD DC ＝AB AC . 三、探究与创新 13．如图所示，在△ABC 中，AE ∶EB ＝1∶3，BD ∶DC ＝2∶1，AD 与CE 相交于F ，求EF FC ＋AFFD 的值．解过点D 作DG ∥AB 交EC 于G ，则DG BE ＝CD BC ＝CG EC ＝13，而AE BE ＝13，即AE BE ＝DGBE ，所以AE ＝DG ，从而有AF ＝DF ，EF ＝FG ＝CG ，故EFFC ＋AFFD ＝EF2EF ＋AF AF ＝12＋1＝32.。