2018-2019学年人教A版高中数学必修二同步学习讲义：第四章圆与方程4.2.1

4.2.1直线与圆的位置关系

学习目标 1.掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离.2.会用代数法和几何法来判定直线与圆的三种位置关系.3.会用直线与圆的位置关系解决一些实际问题．

知识点直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断

类型一直线与圆的位置关系的判断

例1求实数m的取值范围，使直线x－my＋3＝0与圆x2＋y2－6x＋5＝0分别满足：①相交；

②相切；③相离．

解圆的方程化为标准形式为(x－3)2＋y2＝4，

故圆心(3,0)到直线x－my＋3＝0的距离为d＝6

，圆的半径为r＝2.

m2＋1

①若相交，则d ＜r ，即

6

m 2

＋1

＜2，所以m ＜－22或m ＞22； ②若相切，则d ＝r ，即

6

m 2＋1

＝2，所以m ＝±22； ③若相离，则d ＞r ，即

6

m 2

＋1

＞2，所以－22＜m ＜2 2. 反思与感悟 直线与圆的位置关系的判断方法

(1)几何法：由圆心到直线的距离d 与圆的半径r 的大小关系判断． (2)代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．

(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系．但有一定的局限性，必须是过定点的直线系．

跟踪训练1 对任意的实数k ，直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝2的位置关系一定是( ) A ．相离

B ．相切

C ．相交但直线不过圆心

D ．相交且直线过圆心

答案 C

解析 直线y ＝kx ＋1恒过定点(0,1)，由定点(0,1)在圆x 2＋y 2＝2内，则直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝2一定相交．又直线y ＝kx ＋1的斜率存在，则该直线必不过圆心(0,0)，故选C. 类型二 切线问题 命题角度1 求切线方程

例2 过点A (4，－3)作圆(x －3)2＋(y －1)2＝1的切线，求此切线方程． 解 因为(4－3)2＋(－3－1)2＝17>1， 所以点A 在圆外．

①若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k ， 则切线方程为y ＋3＝k (x －4)，即kx －y －4k －3＝0. 设圆心为C ，

因为圆心C (3,1)到切线的距离等于半径1， 所以|3k －1－3－4k |k 2

＋1

＝1，即|k ＋4|＝

k 2＋1，

所以k 2＋8k ＋16＝k 2＋1，解得k ＝－15

8.

所以切线方程为－158x －y ＋15

2－3＝0，

即15x ＋8y －36＝0. ②若直线斜率不存在，

圆心C (3,1)到直线x ＝4的距离为1，

这时直线x ＝4与圆相切，所以另一条切线方程为x ＝4. 综上，所求切线方程为15x ＋8y －36＝0或x ＝4. 引申探究

若本例的条件不变，求其切线长． 解 因为圆心C 的坐标为(3,1)， 设切点为B ，则△ABC 为直角三角形， |AC |＝

(3－4)2＋(1＋3)2＝17，

又|BC |＝r ＝1， 则|AB |＝

|AC |2－|BC |2＝

(17)2－12＝4，

所以切线长为4.

反思与感悟 求过某一点的圆的切线方程，首先判定点与圆的位置关系，以确定切线的数目． (1)求过圆上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程：如果斜率存在且不为0，先求切点与圆心连线的斜率k ，则由垂直关系，切线斜率为－1

k ，由点斜式方程可求得切线方程．如果k ＝0或斜率不存在，则由图形可直接得切线方程为y ＝y 0或x ＝x 0. (2)求圆外一点P (x 0，y 0)的圆的切线时，常用几何方法求解：

设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，即kx －y －kx 0＋y 0＝0，由圆心到直线的距离等于半径，可求得k ，进而切线方程即可求出．但要注意，若求出的k 值只有一个时，则另一条切线的斜率一定不存在，可由数形结合求出．

跟踪训练2 若点P (1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P 处的切线方程为________． 答案 x ＋2y －5＝0

解析 点P (1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，可得此圆的方程为x 2＋y 2＝5，所以该圆在点P 处的切线方程为1×x ＋2×y ＝5，即x ＋2y －5＝0. 命题角度2 已知直线与圆相切，求圆的方程

例3 过点A (4,1)的圆C 与直线x －y －1＝0相切于点B (2，1)，则圆C 的方程为_______． 答案 (x －3)2＋y 2＝2 解析 由已知k AB ＝0， 所以AB 的中垂线方程为x ＝3.

①

过B 点且垂直于直线x －y －1＝0的直线方程为y －1＝－(x －2)，即x ＋y －3＝0， ②

联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝3，

y ＝0，

所以圆心坐标为(3,0)， 半径r ＝

(4－3)2＋(1－0)2＝2，

所以圆C 的方程为(x －3)2＋y 2＝2.

反思与感悟 此类题易错点是求最值时，对参数无法破解而致错，避免此类错误的关键：一是会用公式，即会利用点到直线的距离公式求距离；二是会转化，把要求的半径最大问题，转化为求代数式的最值；三是会利用圆的标准方程写出圆的方程.

跟踪训练3 已知圆C 与直线x －y ＝0及x －y －4＝0都相切，圆心在直线x ＋y ＝0上，则圆C 的方程为( ) A ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝2 B ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2 C ．(x －1)2＋(y －1)2＝2 D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2 答案 B

解析 设圆心为C (a ，－a )， 则|a ＋a |2＝|a ＋a －4|

2，解得a ＝1，

所以r ＝|1＋1|2

＝2，

圆C 的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.故选B.