逆用无穷递缩等比数列各项和求解几道竞赛试题
广州市小学数学学科第二届 青年教师解题比赛初赛试题(答 案)
广州市小学数学学科第二届青年教师解题比赛初赛试题（时间：2008年4月日，时量：90分钟）组别：区：学校：姓名：题号第一大题第二大题总分得分一、填空题【第1～6题每小题5分，第7～12题每小题10分，本大题共计90分】1．计算：＝。
2．将化成循环小数，小数点后第2008位上的数字是 。
3．实验小学的学生乘汽车外出旅游，如果每车坐65人，则有5人无车可乘；如果每车多坐5人，则可少用一辆车。
那么，外出旅游的学生有 人。
4．用绳子三折量水深，水面以上部分绳长13米；如果绳子五折量，则水面以上部分长3米，那么水深是 米。
图15．如图1：P为边长12厘米的正方形中的任一点，将P和AD、BC的三等分点，AB、CD二等分点及B、D分别相连。
那么，阴影部分的面积是 平方厘米。
6．口袋里装有42个红球，15个黄球，20个绿球，14个白球，9个黑球。
那么至少要摸出个球才能保证其中有15个球的颜色是相同的。
7．有一个整数除300，262，205所得的余数相同，则这个整数最大是 。
8．如图2，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于点0，那么图3图2∠AOC＋∠DOB的度数为度。
9．如图3，长方形中的24个方格都是边长为1厘米的正方形，则图中长方形ABCD的面积是平方厘米。
10．在统计学中平均数、中位数、众数都可以称为一组数据的代表，下面给出一批数据，请挑选适当的代表。
（1）在一个20人的班级中，他们在某学期出勤的天数是：7人未缺课，6人缺课1天，4人缺课2天，2人缺课3天，1人缺课90天。
试确定该班学生该学期的缺课天数。
（选取：）（2）确定你所在班级中同学身高的代表，如果是为了：①体格检查，②服装推销。
（①选取：②选取：）（3）一个生产小组有15个工人，每人每天生产某零件数目分别是6，6，7，7，7，8，8，8，8，8，9，11，12，12，18。
欲使多数人超额生产，每日生产定额（标准日产量）就为多少？（选取：）11．一家机密文件碎纸公司有许多位雇员，这些雇员在输送带前排成一列，分别编号为1，2，3，…，老板接到将一张文件撕碎的任务，他把这份文件撕成5块后交给第1号雇员。
高考数学《无穷等比数列各项的和》一轮复习练习题(含答案)
高考数学《无穷等比数列各项的和》一轮复习练习题（含答案）一、单选题1．已知无穷等比数列{}n a 的首项为1，公比为13，则{}n a 各项的和为（ ）A ．23B ．34 C ．43D ．322．设无穷等比数列所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为3-，1a 为其首项，则1a =（ ） A ．685B ．785C ．725D ．8453．无穷数列4 ，2-，1，12-，14，的各项和为（ ）A ．83B ．53C ．43D ．734．已知数列{}n a 是等比数列,()121lim 4n n a a a →∞++⋯+=，则1a 的取值范围是（ ）A ．102⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．104⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．1142⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．1110442⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，5．已知无穷等比数列{}n a 的公比为2，且13211112lim()3n n a a a →∞-++⋅⋅⋅+=，则242111lim()n na a a →∞++⋅⋅⋅+=（ ） A ．13B ．23C ．1D ．436．已知无穷等比数列{}n a 的前n 项和()*13n n S a n N =+∈，且a 是常数，则此无穷等比数列各项的和是（ ） A ．13B ．13-C ．1D ．-17．若数列{}n b 的每一项都是数列{}n a 中的项，则称{}n b 是{}n a 的子数列.已知两个无穷数列{}n a 、{}n b 的各项均为正数，其中321n a n =+，{}n b 是各项和为12的等比数列，且{}n b 是{}n a 的子数列，则满足条件的数列{}n b 的个数为 A ．0个B ．1个C ．2个D ．无穷多个8．设无穷等比数列{}n a 的各项和为S ，若数列{}n b 满足32313n n n n b a a a --=++，则数列{}n b 的各项和为（ ） A ．3SB ．2SC ．SD ．3S9．已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且lim n n S S →∞=，下列条件中，使得()*3n S S n N <∈恒成立的是（ ）A ．10a >，0.80.9q <<B ．10a <，0.90.8q -<<-C ．10a >，0.70.8q <<D ．10a <，0.80.7q -<<-10．无穷数列12，13，14，16，⋅⋅⋅，12n ，1132n -⋅，⋅⋅⋅的各项和为（ ） A ．83B ．53C ．43D ．7311．已知121,20151,20152n n n n a n --<⎧⎪=⎨⎛⎫-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，n S 是数列{}n a 的前n 项和（ ）A ．lim n n a →∞和lim n n S →∞都存在B ．lim n n a →∞和lim n n S →∞都不存在C ．lim n n a →∞存在，lim n n S →∞不存在 D ．lim n n a →∞不存在，lim n n S →∞存在 12．已知两点 O (0,0)、 Q (a , b ) ，点 P 1是线段 OQ 的中点，点 P 2是线段 QP 1的中点， P 3 是线段 P 1P 2的中点，……，Pn + 2是线段 Pn Pn +1的中点，则点 Pn 的极限位置应是（ ） A ．(,)22a bB ．(,)33a bC ．22(,)33a b D ．33(,)44a b二、填空题13．首项为1，公比为12-的无穷等比数列{}n a 的各项和为______．14．若{}n a 是无穷等比数列，且12lim()2n n a a a →∞+++⋅⋅⋅=，则1a 的取值范围为___________. 15．已知数列{}n a 是公比为q 无穷等比数列，若12i i a q +∞==∑，则1a 的取值范围是____．16．无穷等比数列{}()*,n n a n a ∈∈N R 的前n 项和为n S ，且lim 2n n S →+∞=，则首项1a 的取值范围是_______．三、解答题17．一个无穷等比数列前n 项和的极限存在，记作S ，首项为12a =，公比0q <，求S 的取值范围．18．一个无穷等比数列的公比q 满足1q <，它的各项和等于6，这个数列的各项平方和等于18，求这个数列的首项1a 与公比q ．19．已知数列{}n a 的首项1(0)a b b =≠，它的前n 项之和n S 组成的数列{}()*n S n N ∈是一个公比为(||1)q q <的等比数列.（1）求证：234,,a a a ，…是一个等比数列； （2）设1122n n n W a S a S a S =+++，求lim n n W →∞，（用,b q 表示）20．已知6614=⎛⎫+= ⎪⎝⎭∑i i i x a x .(1)等比数列{}n b 的首项11b a =，公比4=q a ，求1∞=∑i i b 的值；(2)等差数列{}n c 首项15=c a ，公差6=d a ，求{}n c 通项公式和它的前2022项和2022S .21．数列{}n a 中，11a =，22a =，数列{}1n n a a +⋅是公比为(0)q q >的等比数列. （1）求使11223()n n n n n n a a a a a a n N ++++++>∈成立的q 的取值范围； （2）若212()n n n b a a n N -=+∈，求n b 的表达式； （3）若12n n S b b b =+++，求1lim→∞n nS .22．设a b ∈R 、，已知函数2()3bf x ax x=++满足(1)(1)10f f +-=. （1）求a 的值，并讨论函数()f x 的奇偶性（只需写出结论）；（2）若函数()f x 在区间,⎛-∞ ⎝上单调递减，求b 的最小值； （3）在（2）的条件下，当b 取最小值时，证明：函数()f x 有且仅有一个零点q ，且存在递增的正整数列{}n a ，使得31223n a a a a q q q q =+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅成立.23．正三棱锥012P A A A -中，01A PA α∠=，侧棱0PA 长为2，点0B 是棱PA 的中点，定义集合{}12,,B B ⋅⋅⋅如下：点n B 是棱n PA 上异于P 的一点，使得11n n n B B PB --=(1n ≥)，我们约定：若n除以3的余数r ，则r n A A =(例如：30A A =､20152A A =等等) （1）若3πα=，求三棱锥012P B B B -的体积；（2）若{}12,,B B ⋅⋅⋅是一个只有两个元素的有限集，求α的范围； （3）若{}12,,B B ⋅⋅⋅是一个无限集，求各线段0PB ，1PB ，2PB ，…的长度之和(用α表示).(提示：无穷等比数列各项和公式为11a S q =-(01q <<)参考答案1．D2．C3．A4．D5．A6．D7．C8．C9．D10．B11．A12．C 13．2314．(0,2)(2,4) 15．1(4,0)(0,)2-16．()()0,22,4;17．解：因为无穷等比数列前n 项和的极限存在， 所以()11lim1nn a q q∞→--1211a q q==--，且1q <， 又0q <，所以10q -<<， 又21S q=-在()1,0-上单调递增， 所以()1,2S ∈18．由题意可知：这个数列的各项平方后，依然构成一个等比数列，且公比为2,q 首项为21a ，故112126114,3181a q a q a q⎧=⎪-⎪⇒==⎨⎪=⎪-⎩， 19．（1）由题知11S a b ==，所以1n n S bq -=，当2n ≥时，()12211n n n n n n a S S bq bq bq q ----=-=-=-， 所以()()()112121n n n n bq q a q n a bq q -+--==≥-， 所以234,,a a a ，…是一个等比数列；（2）由（1）知，()2,11,2n n b n a bq q n -=⎧=⎨-≥⎩，所以()2223,11,2n n n b n a S b q q n -⎧=⎪=⎨-≥⎪⎩，则()()22323lim lim 1n n n n W b b q q q q -→∞→∞=+-+++⎡⎤⎣⎦… ()()23232lim lim 1n n n b q q q b q -→∞→∞=+-+++…()2222111q b b b q q q=+-⋅=-+.20．（1）解：614x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式通项为()6161C 6,N 4kk kk T x k k -*+⎛⎫=⋅⋅≤∈ ⎪⎝⎭，则661C 4kk k a -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，所以，1151364512b a ==⨯=，2446115C 416q a ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭，则01q <<， 所以，()111313512lim151132116ni n i b q b b qq ∞→∞=-====---∑.（2）解：1513642c a ==⨯=，61d a ==，则()1112n c c n d n =+-=+， 所以，202212022202132022202210112021204626422d S c ⨯⨯=+=⨯+⨯=.21．（1）{}1n n a a +⋅是公比为(0)q q >的等比数列，且12122a a ⋅=⋅=112n n n a a q -+∴⋅=由11223(n n n n n n a a a a a a n +++++⋅+⋅>⋅∈N )，有11222(0)n n n q q q q -++>> 210q q ∴--<解得0q <<（2）121n n n n a a q a a +++=，2n n a q a +∴=，2121,222n n n n a qa a qa +-+∴==212n n n b a a -=+，1123b a a ∴=+=，又12122212212212n n n n nn n n n nb a a qa qa q b a a a a +++---++===++ {}n b ∴是首项为13b =，公比为q 的等比数列，13n n b q -∴=（3）当1q =时，3n S n =，11lim lim 03n n n S n→∞→∞==； 当1q >时，3(1)1n n q S q -=-，11111lim lim lim 03(1)131n n n n n n nn q q q S q q -→∞→∞→∞--===-⎛⎫- ⎪⎝⎭； 当01q <<时，1111lim3lim 31n n n n qS S q→∞→∞-===-即1lim →∞n n S 13q -=. 综上，0,11lim 1,013n n q q S q →∞≥⎧⎪=-⎨<<⎪⎩. 22．（1）(1)(1)10(3)(3)102f f a b a b a +-=⇒+++-+=⇒=2()23bf x x x=++的定义域为(,0)(0,)x ∈-∞⋃+∞ 当20,()()23,()b f x f x x f x =-==+为偶函数； 当0,(1)(1)100,(1)(1),(1)(1)b f f f f f f ≠-+=≠-≠-≠- ∴()f x 既不是偶函数也不是奇函数；（2）由（1）得：2()25bf x x x=++则2()4bf x x x '=-， 若()f x在区间(,-∞上单调递减， 则2()40bf x x x'=-在区间(,-∞上恒成立， 即34b x在区间(,-∞上恒成立，当x =342x =-， 故b 的最小值为2-；（3）22()23,0,()0f x x x f x x -=++<>恒成立， 所以函数22()23f x x x -=++在(,0)-∞上无零点， 当0x >时，22()40f x x x '=+>，所以函数22()23f x x x-=++在(0,)+∞上单调递增， 2112(1)2230,2301444f f -⎛⎫⎛⎫=-+>=⨯++< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 函数()f x 在1,14⎛⎫⎪⎝⎭上有且仅有一个零点q ，23322()230223013q f q q q q q q -=++=⇒-+=⇒=-47323213n q q q q q q -==+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅- 所以存在递增的正整数列{},32n n a a n =-，使得31223n a a a a q q q q =+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅成立. 23．点n B 是正三棱锥012P A A A -棱n PA 上异于P 的一点，且11n n n B B PB --=(1n ≥)1n n PB B -∴是等腰三角形，且1n n B B -、1n PB -为两腰 又正三棱锥012P A A A -中，01A PA α∠=， 01121n n A PA B PB B PB α-∴∠=∠==∠=，()1112cos 2cos 1n n n n n PB PB B PB PB n α---=⋅∠=⋅≥，则数列{}()n PB n N ∈是一个以01PB =为首项，2cos α为公比的等比数列，（1）当3πα=时，2101PB PB PB ===，且011220B PB B PB B PB ∠=∠=∠，则三棱锥012P B B B -为正四面体，其高h ==，底面积01221B B B S ==，故其体积01213P B B B V -==（2）{}12,,B B ⋅⋅⋅是一个只有两个元素的有限集，2230,B PA B PA ∴∈∉，即223022PB PA PB PA ≤=⎧⎨>=⎩由()12cos 1n n PB PB n α-=⋅≥，得()2222cos 4cos PB αα==，()3332cos 8cos PB αα==，∴由234cos 28cos 2αα⎧≤⎨>⎩解得213211()cos ()22α<≤ 213211arccos(),arccos()22α⎫⎡∴∈⎪⎢⎣⎭；（3）{}12,,B B ⋅⋅⋅是一个无限集，且()12cos 1n n PB PB n α-=⋅≥，则数列{}()n PB n N ∈是一个以01PB =为首项，2cos α为公比的无穷等比数列，01112cos n PB +PB +PB α∴++=-.。
高中数学数列放缩专题：用放缩法处理数列和不等问题(含答案)
用放缩法处理数列和不等问题（教师版）一．先求和后放缩（主要是先裂项求和，再放缩处理） 例1．正数数列{}n a 的前n 项的和n S ，满足12+=n n a S ，试求：（1）数列{}n a 的通项公式； （2）设11+=n n n a a b ，数列{}n b 的前n 项的和为n B ，求证：21<n B解：（1）由已知得2)1(4+=n n a S ，2≥n 时，211)1(4+=--n n a S ，作差得：1212224----+=n n n n n a a a a a ，所以0)2)((11=--+--n n n n a a a a ，又因为{}n a 为正数数列，所以21=--n n a a ，即{}n a 是公差为2的等差数列，由1211+=a S ，得11=a ，所以12-=n a n（2）)121121(21)12)(12(111+--=+-==+n n n n a a b n n n ，所以 真题演练1：(06全国1卷理科22题)设数列{}n a 的前n 项的和,14122333n n n S a +=-⨯+，1,2,3,n =（Ⅰ）求首项1a 与通项n a ；（Ⅱ）设2nn nT S =，1,2,3,n =，证明：132ni i T =<∑. 解:(Ⅰ)由S n =a n －×2n+1+,n=1,2,3，…,①得a 1=S 1=a 1－×4+所以a 1=2再由①有S n －1=a n －1－×2n+,n=2,3，4,…将①和②相减得:a n =S n －S n －1=(a n －a n －1)－×(2n+1－2n),n=2,3,…整理得:a n +2n=4(a n －1+2n －1),n=2,3,…,因而数列{a n +2n}是首项为a1+2=4,公比为4的等比数列,即:a n +2n=4×4n －1=4n ,n=1,2,3,…,因而a n =4n －2n,n=1,2,3,…,(Ⅱ)将a n =4n－2n代入①得S n =×(4n－2n)－×2n+1+=×(2n+1－1)(2n+1－2) =×(2n+1－1)(2n －1) T n ==×=×(－) 所以,1n i i T =∑=1(ni =∑－)=×(－1121n +-)<二．先放缩再求和1．放缩后成等比数列，再求和例2．等比数列{}n a 中，112a=-，前n 项的和为n S ，且798,,S S S 成等差数列． 设nn n a a b -=12，数列{}n b 前n 项的和为n T ，证明：13n T <．解：∵9789A A a a -=+，899A A a -=-，899a a a +=-，∴公比9812a q a ==-． ∴n na )21(-=．nn n nn n b 231)2(41)21(141⋅≤--=--=． （利用等比数列前n 项和的模拟公式nn S Aq A =-猜想）∴n n b b b B ++=2131)211(31211)211(213123123123122<-=--⋅=⋅++⋅+⋅≤n n ．真题演练2：(06福建卷理科22题)已知数列{}n a 满足*111,21().n n a a a n N +==+∈（I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）若数列{}n b 满足12111*444(1)()n n b b b b n a n N ---=+∈，证明：数列{}n b 是等差数列； （Ⅲ）证明：*122311...()232n n a a a n n n N a a a +-<+++<∈.（I ）解：*121(),n n a a n N +=+∈112(1),n n a a +∴+=+{}1n a ∴+是以112a +=为首项，2为公比的等比数列12.n n a ∴+=即 2*21().n a n N =-∈（II ）证法一：1211144...4(1).n n k k k k n a ---=+122[(...)],n n b b b n nb ∴+++-= ①12112[(...)(1)](1).n n n b b b b n n b ++++++-+=+ ② ②－①，得112(1)(1),n n n b n b nb ++-=+-即1(1)20,n n n b nb +--+=21(1)20.n n nb n b ++-++= ③－④，得 2120,n n n nb nb nb ++-+=即 2120,n n n b b b ++-+=*211(),n n n n b b b b n N +++∴-=-∈{}n b ∴是等差数列（III ）证明：1121211,1,2,...,,12122(2)2k k k k k k a k n a ++--==<=-- 2．放缩后为“差比”数列，再求和 例3．已知数列{}n a 满足：11=a ，)3,2,1()21(1 =+=+n a n a n n n ．求证：11213-++-≥>n n n n a a 证明：因为n nn a na )21(1+=+，所以1+n a 与n a 同号，又因为011>=a ，所以0>n a ， 即021>=-+n n n n a na a ，即n n a a >+1．所以数列{}n a 为递增数列，所以11=≥a a n ， 即n n n n n na n a a 221≥=-+，累加得：121212221--+++≥-n n n a a ．令12212221--+++=n n n S ，所以n n n S 2122212132-+++= ，两式相减得：n n n n S 212121212121132--++++=- ，所以1212-+-=n n n S ，所以1213-+-≥n n n a ， 故得11213-++-≥>n n n n a a ．3．放缩后成等差数列，再求和例4．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,且22n n n a a S +=.(1)求证：2214n n n a a S ++<；(2)<⋅⋅⋅解：（1）在条件中，令1=n ，得1112122a S a a ==+，1011=∴>a a ，又由条件n n n S a a 22=+有11212+++=+n n n S a a ，上述两式相减，注意到n n n S S a -=++11得0)1)((11=--+++n n n n a a a a 001>+∴>+n n n a a a ∴11n n a a +-=所以，n n a n =-⨯+=)1(11，(1)2n n n S +=所以42)1(212)1(21222++=++∙<+=n n n a a n n n n S （2）因为1)1(+<+<n n n n ，所以212)1(2+<+<n n n n ，所以 2122312-=+=+n S n n ；222)1(2222121n n S n n n S S S =+=+++>++练习：1.（08南京一模22题）设函数213()44f x x bx =+-，已知不论,αβ为何实数，恒有(cos )0f α≤且(2sin )0f β-≥.对于正数列{}n a ，其前n 项和()n n S f a =，*()n N ∈.(Ⅰ)求实数b 的值；（II ）求数列{}n a 的通项公式；1,1n n N a +=∈+，且数列{}n c 的前n 项和为n T ，试比较n T 和16的大小并证明之. 解：(Ⅰ)12b =（利用函数值域夹逼性）；（II ）21n a n =+； （Ⅲ）∵21111(22)22123n c n n n ⎛⎫=<- ⎪+++⎝⎭，∴1231111+23236n n T c c c c n ⎛⎫=+++⋅⋅⋅<-< ⎪+⎝⎭…2.（04全国）已知数列}{n a 的前n 项和n S 满足：nn n a S )1(2-+=，1≥n （1）写出数列}{n a 的前三项1a ，2a ，3a ；（2）求数列}{n a 的通项公式；（3）证明：对任意的整数4>m ，有8711154<+++m a a a 分析：⑴由递推公式易求：a 1=1,a 2=0,a 3=2；⑵由已知得：1112(1)2(1)n n n n n n n a S S a a ---=-=+----（n>1）化简得：1122(1)n n n a a --=+-2)1(2)1(11---=---n n n n a a ,]32)1([232)1(11+--=+---n n n n a a 故数列{32)1(+-n n a }是以321+-a 为首项,公比为2-的等比数列. 故1)2)(31(32)1(---=+-n nn a ∴22[2(1)]3n n n a -=-- ∴数列{n a }的通项公式为：22[2(1)]3n n n a -=--.⑶观察要证的不等式，左边很复杂，先要设法对左边的项进行适当的放缩，使之能够求和。
无穷等比数列各项和应用题
无穷等比数列各项和的应用题例1．正方形ABCD 的边长为1，连接这个正方形各边的中点得到一个小的正方形1111D C B A ；又连接这个小正方形各边的中点得到一个更小的正方形2222D C B A ；如此无限继续下去，求所有这些正方形的面积的和.解：设第n 个正方形的面积为n a ，由条件：11=a 由题设，可得到：1211211211222)()2()2(-------==+=n n n n n n n n n A B A C B B A B A进而：1211221)(21)(---===n n n n n n a B A B Aa ，所以，所有正方形的面积组成的数列}{n a 是首项为1，公比为21的无穷等比数列，故所有正方形的面积之和为：22111=-=S .变式：如图，在直角三角形ABC 中190,tan ,,2B C AB a ∠===在⊿ABC 内作一系列的正方形，求所有这些正方形面积的和S 。
解：设第n 个正方形的边长为n a ，面积为n S ，1111212,,323n n n n na a a a a q a a +++-==∴==，22111244,99n n nnS a S a S a ++===，于是2144519S S a ==-例2、若1P 是一块半径为1的半圆形纸板，在1P 的左下端剪去一个半径为12的半圆后得到图形2P ，然后依次剪去一个更小半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）的图形34,,...,,...n P P P ，记纸板n P 的面积为n S ，求l i m n n S →∞的值解：设第n 次被剪去的半圆面积为n a （1,2,3n =）, 则222123111111(),(),(), (2)22428a a a πππ===它们组成一个无穷递缩等比数列,且面积的公比为14，故所有这些被剪掉部分的面积和为'1111614a a S qπ===--则n P 的面积为'lim 2263n n S S ππππ→∞=-=-=CA 11D 1变式：在边长为l 的正三角形ABC 中，圆1O 为⊿ABC 的内切圆，圆2O 与圆1O 外切，且与,A B B C 相切，…，圆1n O +与圆n O 外切，且与,A B B C 相切，如此无限继续下去，记圆n O 的面积为n a ，求所有圆的面积之和。
千题百炼- 数列放缩证明不等式必刷100题(原卷版)
专题16 数列放缩证明不等式必刷100题任务一:邪恶模式(困难)1-100题提示:几种常见的数列放缩方法： （1）()()21111211n n n n n n <=-≥--； （2）()2111111n n n n n >=-++； （3）2221441124412121n n n n n ⎛⎫=<=- ⎪--+⎝⎭； （4）()1111111312231nn n n⎛⎫+<+++++< ⎪⨯⨯-⎝⎭；（5(()22n =<=≥； （6(2=>=； （7==； （8）()()()()()()()1211222211212121212122212121nn n n n nnn n n n n n---=<==----------()2n ≥；（9=<=2⎡⎤==()22n <≥；（10=<=()22n -≥； （11）()()01211122221111111n n n nn C C C n n n n =<==--++-+++-； （12）()()()111121122121212121n n n nn n n ---<=-≥-----.一、单选题1．2018年9月24日，英国数学家M.F 阿帝亚爵在“海德堡论坛”展示了他“证明”黎曼猜想的过程，引起数学界震动，黎曼猜想来源于一些特殊数列求和.记无穷数列21n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的各项的和222111123S n =+++++，那么下列结论正确的是 A ．413S << B ．5443S << C ．322S <<D ．2S >2．已知数列{}n a 满足0n a >，12a =，且()2211n n n n a na a ++=+，*n ∈N ，则下列说法中错误的是（ ）A ．222n n a n+≤B ．222232423222234na a a a n++++< C ．11n n a a +<< D ．12n n a a +≤<3．已知数列{}n a 满足113a =，()2*12N nn n a a a n n+=+∈，则下列选项正确的是（ ）A ．20212020a a <B ．2021202114043a << C ．2021202104043a << D ．20211a >4．已知数列{}n a 满足112a =，211n n na a a +=++，若12111n n S a a a =++⋯+，对任意的*n N ∈，n S M <恒成立，则M 的最小值为（ ）． A ．83B ．269C ．2627D ．35．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足()111n p p a n n +=+，则下列说法正确的是（ ）A ．当1p =-时，则2019S π<B ．当0p =时，则2019S π>C ．当12p =时，则20191S >D ．当1p =时，则20191S >第II 卷（非选择题）二、解答题6．已知数列{}n a 满足12a =，1122n n n a a ++=+.（1）证明：数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列；（2）设2n n nab =，证明：222121112nb b b ++⋅⋅⋅+<.7．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意正整数n ，点(),n n P n S 都在函数()22f x x x =+的图象上，且()f x 在点(),n n P n S 处的切线的斜率为n K . （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若2nk n b =-，求证：12311111nb b b b +++⋯+<.8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且39S =，又12a =．()1求数列{}n a 的通项公式；()2若数列{}n b 满足n b 2na-=，求证：数列{}n b 的前n 项和12n T <． 【答案】（1）1n a n =+（2）证明见解析9．已知等差数列{}n a 满足37a =，5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S ． （1）求n a 及n S ； （2）记12111n n T S S S =+++，求证：1334n T ≤<．10．公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，1S ，2S ，4S 成等比． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设1n nb S =，证明对任意的*n N ∈，1232n b b b b +++⋯+<恒成立．11．已知数列{a n }的前n 项和为 S n 12n n a +=（n ∈N*），且a 1＝2．数列{b n }满足b 1＝0，b 2＝2，121n n b n b n +=-，n ＝2，3，…．（Ⅰ）求数列 {a n } 的通项公式； （Ⅱ）求数列 {b n } 的通项公式； （Ⅲ）证明：对于 n ∈N *，1121222221n nnb b b a a a -+++≥-．12．已知函数2()(0)f x ax bx a =+≠的导函数()22f x x '=-，数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(),n n P n S 均在函数()y f x =的图象上．若()132n n b a =+ （1）当2n ≥时，试比较1n b +与2n b 的大小；（2）记)*n c n N =∈试证1240039c c c ++⋯+<.13．已知数列{}n a 满足*111,21()n n a a a n N +==+∈．⑴求3a ;⑵求数列{}n a 的通项公式；⑶证明：*122311...().232n n a a a n nn N a a a +-<+++<∈14．数列{}n a 满足：()12323121n n a a a na n ++++=-+；数列{}n b 满足：1222n n n b b n ++=+，且11b a =. （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）设1nn i i T b ==∑，证明：13n T ≤<；（3）设1n n n c a b +=，证明：3333123111114n c c c c ++++<.15．在下列条件：①数列{}n a 的任意相邻两项均不相等，且数列{}2n n a a -为常数列，②()()112n n S a n n N *=++∈，③()3112,12,n n a S S n n N *+-==+≥∈中，任选一个，补充在横线上，并回答下面问题.已知数列{}n a 的前n 项和为12,n S a =，___________. （1）求数列{}n a 的通项公式n a 和前n 项和n S ； （2）设()2211k k k b k N S S *+=∈⋅，数列{}k b 的前n 项和记为n T ，证明：()34n T n N *<∈.16．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和满足1n S >，且()()612n n n S a a =++，*n N ∈. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足()211n bn a -=，并记n T 为{}n b 的前n 项和，求证：()21log 3n n T a +<+，*n N ∈.17．已知数列{}n a 中，121112,34n n n a a a a a +-===-，， （1）求{}n a 的通项公式； （2）设12b 1,2b n ==>， 117722n n n b n a a +=⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，求证：1 2.i i bi ∞=<∑18．数列{}n a 满足()*2n n nS a n =∈N ，n S 是{}n a 的前n 项的和，21a =． （1）求n S ；（2）证明：1311222nn a +⎛⎫<+< ⎪⎝⎭．19．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n n a a S +=，（1）求证：2214n n n a a S ++<；（2<20．已知数列{}n a 的首项135a =，1321nn n a a a +=+，1n =、2、．（1）证明：对任意的0x >，()2112131n n a x x x ⎛⎫≥-- ⎪+⎝⎭+，1n =、2、；（2）证明：2121n n a a a n +++≥+.21．已知数列{}n a 满足12a =，121n n na a a +-=.（1）证明：数列11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列；（2）令121n nb a a a =，证明：222211n b b b +++<.22．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()2*2n n n S a a n =+∈N .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记21n an b =-，证明：当*n ∈N 时，312122122n nb b b n n b b b +++++<+≤.23．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1n n a S +=. （1）求{}n a 通项公式； （2）若1111n n nc a a =++-，n T 为数列{}n c 的前n 项和，求证：21n T n <+.24．已知数列{}n a 满足112a =，1223241n n n a a n ++-=-，n *∈N .（1）设121n n b a n =+-，求证：数列{}n b 是等比数列； （2）设数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，求证：3n S <，n *∈N .25．已知数列{}()0n n a a ≠满足()2*12N n a a n n ⎛=∈ ⎝． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求证：231111n a a a +++⋅⋅⋅+<．26．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，14nn n a a a +=+． （1）求证113n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列；（2）求证：32n S <． 27．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，14a =，数列{}n S n是公差为12的等差数列.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设21(1)n n b n a =+，求证：对于任意的*n N ∈，12341n b b b +++<.28．已知数列{}n a 满足123a =，12122n na a a a -=-，2n ≥，n *∈N .（1）（i ）证明：数列11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列；（ii ）求数列{}n a 的通项公式； （2）记1212n n T a a a =，n *∈N ，22212n n S T T T =+++，证明：当n *∈N 时，12235n n n a S a +-<<.29．已知数列{}n a 满足11a =，()*111,n n a a n n N -=+>∈，数列{}n b 是公比为正数的等比数列，12b =，且22b ，3b ，8成等差数列.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）若数列{}n c 满足2(2)nn n nb ac n ⋅=⋅+，求数列{}n c 的前n 项和n S .（3）若数列n d 满足1(1)n nn d b =+-，求证：12253n d d d +++<.30．已知数列{}n a 的首项14a =，其前n 项和为n S ，且满足134n n a S +=+，，其中n *∈N ． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）证明：()11232n n a n nn N a *+--<+<∈-．31．已知数列{}n a 满足11a =，{}n a 的前n 项和n S 满足121n n S S n +=++.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：53n T <.32．已知数列{}n a ，{}n b 满足112a =，*1)n a n N +=∈ （1）若24n n a b =，求证数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式： （2）若3n n b a =，（i ）求证：102n a <≤； （ii ）12*182()()41353n n a n N n -⋅≤≤∈+33．已知数列{}n a 满足11a =，*11(2,)n n n a a n n n--≥∈=N ， （1）求n a ;（2）若数列{}n b 满足113b =，*121()n n n b b n a ++∈=N ，求证：2512n b <．34．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，3556,3,a S a n N *==∈.（1）求n a 与n S ；（2）设n b 12311222n b b b b n n ++++<+-+.35．已知数列{}n a 满足：12a =，1122n n n a a ++=+，*n N ∈.（1）求证2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列并求n a ； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S ；（3）求证：2132431111112n n a a a a a a a a ++++⋅⋅⋅+<----.36．已知数列{}n a 满足12a =，12(1)(*)n n a S n n N +=++∈（1）求证：{}1n a +是等比数列；并写出{}n a 的通项公式（2）求证：对任意()*n n N ∈，有12311111724n a a a a ++++<37．已知n S 是正项等比数列{}n a 的前n 项和，且344S a +=，34a +是2a ，4a 的等差中项．n （2）求证：1231111117333335n n a a a a a -+++++<-----．38．已知数列{}n a 满足11a =，前n 项和n S 满足{}22,n n S n n b =+是正项等比数列，且121,b b =是1a 和4a 的等比中项.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）求证：112233111154n n a b a b a b a b ++++<++++.39．已知各项均为正数的数列{}n a 满足：11a =，()*118N n n n n a a n n a a +++=∈-. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足211=-n n b a ，12S n n b b b =+++，求n S ；（3）若数列{}n c 满足11n nc a =+，123...n n T c c c c =⋅⋅⋅⋅，求证：n T40．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且112n n n S na a =+-．n （2）若数列22n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：32n T <．41．已知各项为正数的数列{}n a 满足：11,2,3,4,,2n n a n a -==-且1n a ≠．（1）证明：数列11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭为等差数列． （2）若110,2a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，证明：对一切正整数n，都有13215n a a a a -<⋅⋅42．已知数列{}n a 满足：112a =，()132n n n a a n N a *+=∈+. （I ）求证：数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列； （II ）设{}n a 的前n 项和为n S ，求证1116n S <.43．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若35a = ，713a = .（1）求n a 和n S ；（2）当2n ≥ 时，证明：12111714n S S S n +++≤- .44．已知正项数列{}n a 满足11a =，()221142n n n n a a a a n *+++=-∈N . （1）证明：数列{}1n a +是等比数列；（2）证明：()2341111123n n a a a a *+++++<∈N .45．已知数列{}n a 的前n 项和记为n S ，且满足n 、n a 、n S 成等差数列．(Ⅰ)求1a ，2a 的值，并证明：数列{}1n a +是等比数列； (Ⅱ)证明：3124123222n na a a a n n a a a a +<+++⋯+<+．46．给定数列{}n a ，若满足1a a =(0a >且1)a ≠，且对于任意的*,m n N ∈，都有m n m n a a a +=⋅，则称数列{}n a 为“指数型数列”．(1)已知数列{}n a 的通项公式4n n a =，证明：{}n a 为“指数型数列”； (2)若数列{}n a 满足：112a =，()1123*n n n n a a a a n N ++=+∈；①判断数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是否为“指数型数列”，若是给出证明，若不是说明理由； ②若数列{}n a 的前n 项和为n S ，证明：34n S <.47．已知数列{}n a 中，11a =，其前n 项的和为n S ，且当2n ≥时，满足21n n n S a S =-． （1）求证：数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列； （2）证明：2221274n S S S +++<．48．已知函数()32x f x x=-，数列{}n a 中，若1()n n a f a +=，且114a =. （1）求证：数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列； （2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，求证：12n S <.49．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，()2n n S a n n N *=-∈．（1）求证：数列{}1n a +是等比数列； （2）求证：121111122n n a a a -<+++<．50．已知数列{}n a 中，12a =，其前n 项和n S 满足：23n n S a n =+-． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）令(1)1n n n b a a =-，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：对于任意的*n N ∈，都有56n T <．51．已知数列{}n a 的各项均不为零．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列2{}n a 的前n 项和为n T ，且2430n n n S S T -=+，*n N ∈．（Ⅰ）求1a ，2a 的值； （Ⅱ）证明数列{}n a 是等比数列，并求{}n a 的通项公式； （Ⅲ）证明：121112111n a a a +++<---.52．数列{}n a 前n 项和为n S ，已知2112,32 2.n n n a S a ++==-+（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）证明121111118n a a a +++<．53．已知数列{}n a 满足1a a =，2221()n n n n n S n S a a n N *+=++∈，. (1)若{}n a 为不恒カ0的等差数列，求a ；(2)若13a =，证明：1n a ＜.54．数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =，()11.n n a S n N ++=+∈ (Ⅰ)求通项公式n a ；(Ⅱ)记12111n n T S S S =++⋯+，求证：31222n n T -≤<．55．已知正项数列{}n a 满足2*1()n n n a a a n N +=-∈.（1）求证:101a <<，且当2n ≥时，12n a n ≤+； （2）求证:2ln(1)n i i a n =<+∑.56．已知数列{a n }是等差数列，数列{b n }是等比数列，S n 是数列{a n }的前n 项和，a 1＝b 1＝1，S 2＝212b .(1)若b 2是a 1，a 3的等差中项，求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)若a n ∈N ＋，数列{n a b }是公比为9的等比数列，求证：11S ＋21S ＋31S ＋…＋1n S ＜74.57．已知数列{}n a ，11a =，二次函数()()21122n n n f x a x a x -+=+-的对称轴为12x =. (1) 证明：数列{}2n n a 是等差数列，并求{}n a 的通项公式；（2）设21n n n b a =-，求证：122311232n n b b b n n b b b +-<++<.58．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：21n n S a =-.（1）数列{}n a 的通项公式；（2）设1111n n n n n a a b a a ++=-+-，且数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证： 13n T <.59．已知数列{}n a 满足112a =，11210n n n a a a ++-+=，*n N ∈．（1）求证：数列1{}1n a -是等差数列； （2）求证：231223411n n a a a a n n n a a a a +<+++<+．60．数列{}n a 满足1212242n n n a a na -++++=-，*n N ∈. （1）求3a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）设121log n n b a =+，求证：2221211174n b b b +++<.61．设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知11a =,2121233n n S a n n n +=---,*n N ∈. (Ⅰ) 求2a 的值；(Ⅱ) 求数列{}n a 的通项公式； (Ⅲ) 证明:对一切正整数n ,有1211174n a a a +++<.62．已知函数()221x f x x =+，数列{}n a 满足112a =，()1n n a f a +=，*n N ∈.（1）求证：1112n n a a +≤<<； （2）求证：()()()2222132112231n n n n a a a a a a a a a a a a ++---++⋯+<63．已知数列{a n }满足()212331n n n n a a a a ++=+.(Ⅰ)若方程f (x )=x 的解称为函数y =f (x )的不动点,求a n +1=f (a n )的不动点的值； (Ⅱ)若112,1n n n a a b a -==+,求证：数列{ln b n }是等比数列，并求数列{b n }的通项． (Ⅲ)当任意*n N ∈时，求证：12312n b b b b +++⋯+<.64．数列{a n }满足a 1=1,a n+1=3a n +2n ．（1）求证数列{a n +2n }是等比数列；（2）证明：对一切正整数n ，有1a 1+1a 2+⋯+1a n <32．65．已知数列{}n a 满足条件：1a t =,121n n a a +=+（1）判断数列{}1n a +是否为等比数列；（2）若1t =，令12nn n n c a a +=⋅,1,k n k nT c ==∑ 证明1n T <66．已知数列{}n a 中，14a =，132(2)nn a a n（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）证明：1112n i i a ．67．已知数列{}n a 满足：n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为1的等差数列，且12 1.n n n a a n ++=+ （1）求数列{}n a 的通项公式n a；（2）设*)nb n N =∈，求证：12 1.n b b b +++<68．已知正项数列{}n a1，（n∈N +，n≥2），且a 1＝4．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求证12111+...na a a +＜1（n∈N +）69．已知等差数列{}n a 的各项均为正数，1a ＝3，前n 项和为S n ，{}n b 是等比数列，1b ＝1，且b 2S 2＝64，b 3S 3＝960．（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）求证：1211134n S S S +++<对一切*n N ∈都成立．70．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． （1）求数列{}n a 的前n 项和n S ；（2）记1231111n n T S S SS =++++，证明：12n T <<71．已知数列{}n a 满足11a =，且点()1,2n n n a a +-在函数()3f x x =的图象上．（1）求证：12n n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求{}n a 的通项公式： （2）若1n n n a b a +=，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求证：233n S n >+．72．已知数列{}n a 满足123a =，且当2n ≥时，12122n na a a a -=-． （1）求证：数列1{}1na -是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）记1212n n T a a a =，22212n n S T T T =+++，证明：当n *∈N 时，123n n a S +-<．73．已知数列{}n a 满足113a =，11113n n n a a +++=． （1）证明：数列1134n n a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）求证：1235n a a a ++⋅⋅⋅+<．74．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2324n n n S a a =+-，*n ∈N ．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记n b ={}n b 的前n 项和为n T ，*n∈N ，求证：2n T <．75．数列{}n a 满足122a a ==，21212n n a a +-=，22221n n n a a a ++=+，*n ∈N . （1）求3a ，4a 及n a (用n 表示)； （2）设22111n n n b a a +=-，求证：14n n b ≤； （3）求证：1232211111156n n a a a a a ++-+⋅⋅⋅+-<.76．已知{}n a 是公比1q >的等比数列，且满足2312a a +=，1432a a =，数列{}n b 满足：11121...3246n n n n a b a b a b n +-+++=⋅--. （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）令211n n n n n b c b b a ++-=⋅⋅，求证：1211...1n n nc c c b a ++++<-⋅. 77．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足12a =，()123n n n a S n *+=+∈N .（1）求n S （用n 表示）；（2）求证：当2n ≥时，不等式12123527n n S S S n a S a +++<-成立.78．已知函数(),y f x x N +=∈，满足：①对任意,a b N +∈，都有()()()()af a bf b af b bf a +>+； ②对任意*n N ∈都有[()]3f f n n =． （1）试证明：()f x 为+N 上的单调增函数； （2）求(1)(6)(28)f f f ++； （3）令(3),n n a f n N +=∈，试证明：121111.424n n n a a a <+++<+79．已知正项数列{}n a 满足11a =，112382n n n n a a a a +++=-. （1）试比较n a 与2的大小，并说明理由； （2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，证明：当*n N ∈时，25n S n >-.80．已知数列{}n a 满足()2*12342326n n n n N a a n a a +++⋅⋅⋅⋅⋅+⋅=∈． （1）求数列{}n a 的通项；（2）设n n a b n=，若2222123n n S b b b b =+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+，求证：1163662n n n a S a ++<<--．81．已知数列{}n a 和{}n b 满足11a =，且对任意的*n N ∈，2n n b a =+，12n n n a b b +=-.（1）求2a ，3a 及数列{}n b 的通项公式；（2）记()11213n n n n a c b +++=-，*n N ∈， 求证：2123148n c c c n n ≤+++<++，*n N ∈.82．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12a =，()()*163212,n n S na n n n n N +=-++∈． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）证明：1211156n a a a +++<．83．正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足对每个n N +∈，112n n n S a ++，，成等差数列，且1236a a a +，，成等比数列.（1）求1a 的值；（2）求{}n a 的通项公式；（3）求证：21211111(13)103n n a a a -+++≤-84．数列{}n a ，11a =，()12*23n n a a n n N n +-=+∈（1）是否存在常数λ，μ，使得数列{}2n a n n λμ++是等比数列，若存在，求出λ，μ的值，若不存在，说明理由.（2）设112n n n b a n -=+-，123n n S b b b b =++++，证明：当2n ≥时，513n n S n <<+.85．已知数列{}n a 满足()2*1121,N 1n n n a a a n n +==∈+. （Ⅰ）证明：1n n a a +<；（Ⅱ）证明1223112n n a a a n a a a n+++⋯+≤+-； （Ⅲ）证明：14n a >.86．已知数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，且满足11a =，12(1)n n S n a +=-，n *∈N ． （1）求2a 、3a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式； （3）证明：对一切正整数n ，有1211174n S S S ++⋅⋅⋅+<．87．已知数列{}n a 满足10,2n a a >=，且()22*1(1)n n n n a na a n ++=+∈N . （1）证明：1n a >；（2）证明：2223229(2)495n a a a n n ++⋯+<.88．已知数列{}n a 、{}n b 满足14a =，252a =，12n n n a b a ++=，()*12n n n n n a b b n N a b +=∈+． （Ⅰ）求证：12n n a a +<<； （Ⅰ）设数列21n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，求证：1839n S n <+； （Ⅰ）设数列{}n a 的前n 项和为n T ，求证：当1n >时，823n T n <+．89．已知数列{}n a 满足101a <<，()1ln 1n n n a a a +=-+，*n N ∈． （Ⅰ）证明：01n a <<；（Ⅰ）证明：212n n a a +<； （Ⅰ）若112a =，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，证明：916n S <．90．在数列{}n a 中，已知211212,31n n n a a a a +==+，其中*n N ∈. （1）求2a 的值，并证明：1n n a a +>；（2）证明：121na n +； （3）设12111111n n T a a a =++++++，求证：34n T n >-.91．已知数列{}n a 满足：1120n n n n a a a a --+-=，()2,n n N ≥∈，11a =前n 项和为n S 的数列{}n b 满足：11b =，()1122,12n n n n n n a a a b n n N a a ---=≥∈-，又()12,n n n S c n n N b -=≥∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）证明：()23111821112,3n n n N c c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤+++<≥∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.92．已知数列{}n a ，111,3(1)+==+-n n n a a a .(1)记(1)4nn n b a -=+，证明:{}n b 是等比数列； (2)当k 是奇数时，证明:1111163k k k a a +++<； (3)证明:12111...2n a a a +++<.93．已知数列{}n a 满足12a =,210a =,212n n n a a a ++=+,n *∈N .(1)证明:数列{}1n n a a ++是等比数列;(2)求数列{}n a 的通项公式;(3)证明:1211134n a a a +++<.94．已知数列{}n a 的首项1a a =，其前n 和为n S ，且满足213(1)n n S S n ++=+()*n ∈N . （1）用a 表示2a 的值； （2）求数列{}n a 的通项公式； （3）当32a =时，证明：对任意*n N ∈，都有2222232121111112n na a a a -++++<.95．已知数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，且()111ln ln ln ln n n n n a a a b b ++=-=-，212T a =，432T a =．（1）求{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）求证：121112nT T T +++<．96．已知数列{}n a ，11a =，{}n a 的前n 项和为n S ． （1）若12n n a a +-=，()*n ∈N ，求证：22111111n n n n a a a a -+-++>+，其中3n ≥，*n ∈N ； （2）若对任意*n ∈N 均有131n n a a +=-，求{}n S 的通项公式； （3）若对任意*n ∈N 均有11n n n a a a +=+，求证：234n n S S -<．97．已知数列{}n a ，112a =，()2*11124n n n a a a n N +=+∈，设()1n f n a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其中[]x 表示不大于x 的最大整数．设()()1f n n n b a =-，数列{}n b 的前n 项和为n T ．求证：（1）判断n a 与12的大小，并说明理由；（2）证明：()*112n n a n N a +≤∈； （3）证明：当3n >时，327432n T <<．98．已知数列{}n a 中，111,2(1)n n n a a a +==+-.（1）证明：(1){}3nn a -+是等比数列； （2）当k 是奇数时，证明：111192k k k a a +++<；（3）证明：121113na a a +++<.99．已知数列{}n a 满足：2*112,1,n n n a a a a n N +==-+∈． （1）证明：当*2n n N >∈且时，11211n n n a a a a a +-=+； （2）证明：20171220171111112a a a -<+++<．100．已知数列{}n a 满足11a =，121n n n a a a +=+，*n N ∈，记n S ，n T 分别是数列{}n a ，{}2n a 的前n 项和，证明：当*n N ∈时，（1）1n n a a +<；（2）21121n n T na +=--；（31n S <<.。
无穷等比数列各项的和
7。
7 无穷等比数列各项的和课表解读1.理解无穷等比数列各项的和的含义，掌握无穷等比数列各项的和的公式，会求无穷等比数列各项的和。
2.会利用求无穷等比数列各项的和的方法把循环小数化为分数. 3。
会用无穷等比数列各项和解决相关问题。
目标分解1. 无穷等比数列的各项和的定义：我们把1||<q 的无穷等比数列的前n 项的和n S ，当∞→n 时的极限叫做无穷等比数列的各项和,并用符号S 表示，记作)1|(|11<-==∞→q qa S lin S n n 2。
无穷递缩等比数列的定义：把1||<q 的无穷等比数列成为无穷递缩等比数列。
解释“无穷递减缩等比数列”：(1）数列}{n a 本身是等比数列; （2)当1||<q 时，数列|}{|n a 单调递减,故称“递缩”； （3）当∞→n 时，数列为无穷数列。
强调：(1）只有当无穷等比数列的公比q 满足1||0<<q 时，其前n 项和的极限才存在；（当1=q 时，1lim lim na S n n n ∞→∞→=，极限不存在；当1-=q 时，nn q ∞→lim 不存在；当1||>q 时,nn q ∞→lim 不存在)(2)无穷等比数列各项的“和”已经不同于初等数学中的有限项的“和"，它已经不是代数和，实质上是一个无穷数列}{n S 的极限！(3）应用:化循环小数为分数.问题分析一、无穷等比数列各项和例1. 计算1131)1(9131121814121lim --∞→-+++-++++n n n n分析：n n 21814121lim++++∞→ 是无穷等比数列前n 项和的极限,即等于n 21814121++++ +…，可以利用无穷等比数列各项和的公式qa S -=11来计算，同理，分母也可以作类似计算，由于分子、分母都有极限，因此可以利用极限运算法则。
解：1131)1(9131121814121lim --∞→-+++-++++n n n n=]31)1(91311[lim )21814121(lim 11--∞→∞→-+++-++++n n n n n=34431)31(1121121==---例2。
用无穷递缩等比数列求和公式再证一道竞赛题
用无穷递缩等比数列求和公式再证一道竞赛题题目：证明：对于正整数n，有1+2^1+3^1+4^1+...+n^1=(n(n+1))/2证明过程：首先，我们考虑1+2^1+3^1+4^1+...+n^1，可将其视为一个递减的等差数列，每一项为n^1，项数为n个。
这个数列可以表示为：1+2^1+3^1+4^1+...+n^1=n^1+(n-1)^1+(n-2)^1+...+3^1+2^1+1^1接下来，将这个数列与原来的数列对齐，相加，得到一个等差数列，每一项都是n+1：(1+n^1)+(2^1+(n-1)^1)+(3^1+(n-2)^1)+...+(n^1+1^1)=(n+1)+(n+1)+...+(n+1)(共有n个"n+1")共有n个数相加，所以等式左边可以写成n(n+1)。
现在，我们将等式的右边写为分式(n(n+1))/2，并证明它与等式的左边相等。
首先，我们考虑当n为偶数时，即n=2k(k为正整数)的情况。
此时等式右边可写为(n(n+1))/2=[(2k)(2k+1)]/2=2k(2k+1)/2=k(2k+1)。
对于等式的左边，我们可以通过分组相加的方法证明其等于k(2k+1)：(1+2k)+(2^1+2k-1)+(3^1+2k-2)+...+(k^1+k^1)=(k+1)+(k+1)+...+(k+1)(共有k个"k+1")共有k个数相加，所以等式左边可以写成k(2k+1)。
因此，等式右边等于等式左边。
接下来，我们考虑当n为奇数时，即n=2k+1(k为正整数)的情况。
此时等式右边可写为(n(n+1))/2=[(2k+1)(2k+2)]/2=(2k+1)(k+1)。
对于等式的左边(1+(2k+1))+(2^1+2k)+(3^1+2k-1)+...+(k^1+k+1)=(k+1)+(k+1)+...+(k+1)(共有k个"k+1")共有k个数相加，所以等式左边可以写成(2k+1)(k+1)。
用无穷递缩等比数列求和公式再证一道竞赛题
用无穷递缩等比数列求和公式再证一道竞赛题
用无穷递缩等比数列求和公式是指，当首项为a1、项数为n、公
比为q的无穷递缩等比数列的和为：Sn=a1*(1–q^n)/(1–q)。
下面以一道竞赛题来证明这个公式：
某学校的体育考试有三道习题，A、B、C三人参加考试，在抽签后，A、B、C依次抽取了第一题、第二题、第三题，当A、B、C又各自完成
了三道习题后，最终获得了20分、28分、36分的成绩，那么他们三
人总共获得的分数之和是多少？
要解答这道题，需要把分数视为一个无穷递缩等比数列，其中首
项a1的值为20，公比q的值为8，项数n的值为3。
根据公式，A、B、C三人总共获得的分数之和为 Sn = 20 * (1-8^3)/(1-8) = 20 * 1/7
= 20 * 7/7 = 140 分。
因此，A、B、C三人总共获得的分数之和是140分。
以上题目证明了用无穷递缩等比数列求和公式的正确性，即：
S=a1*(1–q^n)/(1–q)。
无穷递降等比数列求和公式
无穷递降等比数列求和公式无穷递减等比数列a,aq,aq^2aq^n其中，n趋近于正无穷，q1注意：(1)我们把|q|1无穷等比数列称为无穷递缩等比数列，它的前n项和的极限才存在，当|q|1无穷等比数列它的前n项和的极限是不存在的。
(2)S是表示无穷等比数列的所有项的和，这种无限个项的和与有限个项的和从意义上来说是不一样的，S是前n项和Sn当n的极限，即S= S=a/(1-q)算法设一个等比数列的首项是a1,公比是q，数列前n项和是Sn，当公比不为1时Sn=a1+a1q+a1q^2+...+a1q^(n-1)将这个式子两边同时乘以公比q，得qSn=a1q+a1q^2+...+a1q^(n-1)+a1q^n两式相减，得(1-q)Sn=a1-a1q^n老师范读的是阅读教学中不可缺少的局部，我常采用范读，让幼儿学习、模拟。
如领读，我读一句，让幼儿读一句，边读边记；第二通读，我大声读，我大声读，幼儿小声读，边学边仿；第三赏读，我借用录好配朗读磁带，一边放录音，一边幼儿反复倾听，在反复倾听中体验、品味。
所以，当公比不为1时，等比数列的求和公式为Sn=[a1(1-q^n)]/(1-q)S=a/(1-q)唐宋或更早之前，针对“经学〞“律学〞“算学〞和“书学〞各科目，其相应传授者称为“博士〞，这与当今“博士〞含义已经相去甚远。
而对那些特别讲授“武事〞或讲解“经籍〞者，又称“讲师〞。
“教授〞和“助教〞均原为学官称谓。
前者始于宋，乃“宗学〞“律学〞“医学〞“武学〞等科目的讲授者；而后者那么于西晋武帝时代即已设立了，主要协助国子、博士培养生徒。
“助教〞在古代不仅要作入流的学问，其教书育人的职责也十清楚晰。
唐代国子学、太学等所设之“助教〞一席，也是当朝打眼的学官。
至明清两代，只设国子监〔国子学〕一科的“助教〞，其身价不谓显赫，也称得上朝廷要员。
至此，无论是“博士〞“讲师〞，还是“教授〞“助教〞，其今日老师应具有的根本概念都具有了。
高级中学数学数列放缩收集-用放缩法管理组织数列和不等问答(含答案解析)
用放缩法处理数列和不等问题（教师版）一．先求和后放缩（主要是先裂项求和，再放缩处理） 例1．正数数列{}n a 的前n 项的和n S ，满足12+=n n a S ，试求：（1）数列{}n a 的通项公式； （2）设11+=n n n a a b ，数列{}n b 的前n 项的和为n B ，求证：21<n B解：（1）由已知得2)1(4+=n n a S ，2≥n 时，211)1(4+=--n n a S ，作差得：1212224----+=n n n n n a a a a a ，所以0)2)((11=--+--n n n n a a a a ，又因为{}n a 为正数数列，所以21=--n n a a ，即{}n a 是公差为2的等差数列，由1211+=a S ，得11=a ，所以12-=n a n（2）)121121(21)12)(12(111+--=+-==+n n n n a a b n n n ，所以21)12(2121)1211215131311(21<+-=+---+-=n n n B n Λ 真题演练1：(06全国1卷理科22题)设数列{}n a 的前n 项的和,14122333n n n S a +=-⨯+，1,2,3,n =gg g （Ⅰ）求首项1a 与通项n a ；（Ⅱ）设2nn n T S =，1,2,3,n =g g g ，证明：132ni i T =<∑.解: (Ⅰ)由 S n =43a n －13×2n+1+23, n=1,2,3，… , ① 得 a 1=S 1= 43a 1－13×4+23所以a 1=2 再由①有 S n －1=43a n －1－13×2n +23, n=2,3，4,…将①和②相减得: a n =S n －S n －1= 43(a n －a n －1)－13×(2n+1－2n ),n=2,3, …整理得: a n +2n =4(a n －1+2n －1),n=2,3, … , 因而数列{ a n +2n }是首项为a1+2=4,公比为4的等比数列,即 : a n +2n =4×4n －1= 4n , n=1,2,3, …, 因而a n =4n －2n , n=1,2,3, …,(Ⅱ)将a n =4n －2n 代入①得 S n =43×(4n －2n )－13×2n+1 +23 = 13×(2n+1－1)(2n+1－2) = 23×(2n+1－1)(2n －1)T n = 2n S n = 32×2n (2n+1－1)(2n －1) = 32×(12n －1 － 12n+1－1)所以, 1ni i T =∑= 321(ni =∑12i －1 － 12i+1－1) = 32×(121－1 － 1121n +-) < 32二．先放缩再求和1．放缩后成等比数列，再求和例2．等比数列{}n a 中，112a=-，前n 项的和为n S ，且798,,S S S 成等差数列．设nn n a a b -=12，数列{}n b 前n 项的和为n T ，证明：13n T <．解：∵9789A A a a -=+，899A A a -=-，899a a a +=-，∴公比9812a q a ==-． ∴n na )21(-=． nn n nn n b 231)2(41)21(141⋅≤--=--=． （利用等比数列前n 项和的模拟公式nn S Aq A =-猜想）∴n n b b b B Λ++=2131)211(31211)211(213123123123122<-=--⋅=⋅++⋅+⋅≤n n Λ． 真题演练2：(06福建卷理科22题)已知数列{}n a 满足*111,21().n n a a a n N +==+∈（I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）若数列{}n b 滿足12111*444(1)()n n b b b b n a n N ---=+∈L ，证明：数列{}n b 是等差数列；（Ⅲ）证明：*122311...()232n n a a a n nn N a a a +-<+++<∈. （I ）解：*121(),n n a a n N +=+∈Q112(1),n n a a +∴+=+{}1n a ∴+是以112a +=为首项，2为公比的等比数列12.n n a ∴+=即 2*21().n a n N =-∈（II ）证法一：1211144...4(1).n n k k k k n a ---=+Q12(...)42.n n k k k n nk +++-∴=122[(...)],n n b b b n nb ∴+++-= ①12112[(...)(1)](1).n n n b b b b n n b ++++++-+=+ ② ②－①，得112(1)(1),n n n b n b nb ++-=+-即1(1)20,n n n b nb +--+=21(1)20.n n nb n b ++-++=③－④，得 2120,n n n nb nb nb ++-+=即 2120,n n n b b b ++-+=*211(),n n n n b b b b n N +++∴-=-∈{}n b ∴是等差数列（III ）证明：Q1121211,1,2,...,,12122(2)2k k k k k k a k n a ++--==<=--12231 (2)n n a a a na a a +∴+++<111211111111.,1,2,...,,2122(21)2 3.222232k k k k k kk k a k n a +++-==-=-≥-=--+-Q1222311111111...(...)(1),2322223223n n n n a a a n n n a a a +∴+++≥-+++=-->-*122311...().232n n a a a n nn N a a a +∴-<+++<∈ 2．放缩后为“差比”数列，再求和 例3．已知数列{}n a 满足：11=a ，)3,2,1()21(1Λ=+=+n a n a n n n ．求证：11213-++-≥>n n n n a a 证明：因为n n n a na )21(1+=+，所以1+n a 与n a 同号，又因为011>=a ，所以0>n a ， 即021>=-+n nn n a na a ，即n n a a >+1．所以数列{}n a 为递增数列，所以11=≥a a n ， 即n n n n n n a n a a 221≥=-+，累加得：121212221--+++≥-n n n a a Λ． 令12212221--+++=n nn S Λ，所以n n n S 2122212132-+++=Λ，两式相减得： n n n n S 212121212121132--++++=-Λ，所以1212-+-=n n n S ，所以1213-+-≥n n n a ， 故得11213-++-≥>n n n n a a ．3．放缩后成等差数列，再求和例4．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,且22n n n a a S +=.(1) 求证：2214n n n a a S ++<；(2)<⋅⋅⋅+< 解：（1）在条件中，令1=n ，得1112122a S a a ==+，1011=∴>a a Θ ，又由条件n n nS a a 22=+有11212+++=+n n n S a a ，上述两式相减，注意到n n n S S a -=++11得0)1)((11=--+++n n n n a a a a 001>+∴>+n n n a a a Θ ∴11n n a a +-=所以， n n a n =-⨯+=)1(11，(1)2nn n S +=所以42)1(212)1(21222++=++•<+=n n n a a n n n n S （2）因为1)1(+<+<n n n n ，所以212)1(2+<+<n n n n ，所以 2)1(23222121+++⨯+⨯=++n n S S S n ΛΛ212322++++<n Λ 2122312-=+=+n S n n ；222)1(2222121n n S n n n S S S =+=+++>++ΛΛ练习：1.（08南京一模22题）设函数213()44f x x bx =+-，已知不论,αβ为何实数，恒有(cos )0f α≤且(2sin )0f β-≥.对于正数列{}n a ，其前n 项和()n n S f a =，*()n N ∈.(Ⅰ) 求实数b 的值；（II ）求数列{}n a 的通项公式；1,1n n N a +=∈+，且数列{}n c 的前n 项和为n T ，试比较n T 和16的大小并证明之. 解：(Ⅰ) 12b =（利用函数值域夹逼性）；（II ）21n a n =+； （Ⅲ）∵21111(22)22123n c n n n ⎛⎫=<- ⎪+++⎝⎭，∴1231111+23236n n T c c c c n ⎛⎫=+++⋅⋅⋅<-< ⎪+⎝⎭…2.（04全国）已知数列}{n a 的前n 项和n S 满足：nn n a S )1(2-+=， 1≥n（1）写出数列}{n a 的前三项1a ，2a ，3a ；（2）求数列}{n a 的通项公式； （3）证明：对任意的整数4>m ，有8711154<+++m a a a Λ 分析：⑴由递推公式易求：a 1=1,a 2=0,a 3=2；⑵由已知得：1112(1)2(1)n n n n n n n a S S a a ---=-=+----（n>1）化简得：1122(1)n n n a a --=+-2)1(2)1(11---=---n n n n a a ,]32)1([232)1(11+--=+---n n n n a a 故数列{32)1(+-nn a }是以321+-a 为首项, 公比为2-的等比数列. 故1)2)(31(32)1(---=+-n nn a ∴22[2(1)]3n nn a -=-- ∴数列{n a }的通项公式为：22[2(1)]3n n na -=--. ⑶观察要证的不等式，左边很复杂，先要设法对左边的项进行适当的放缩，使之能够求和。
求无穷递缩等比数列的和
求无穷递缩等比数列的和教材：求无穷递缩等比数列的和目的：要求学生掌握无穷递缩等比数列的概念及其求和公式，并能解决具体问题。
过程：一、例题：例一、已知等比数列，求这个数列的前n项和；并求当时，这个和的极限。
解：公比,解释：“无穷递缩等比数列”1 当时，数列为无穷递缩等比数列相对于以前求和是求有限项（n项）2 当 | q | <1时，数列单调递减，故称“递缩”3 数列{an}本身成GP小结：无穷递缩等比数列前n项和是当时，其意义与有限和是不一样的例二、求无穷数列各项和。
解：例三、化下列循环小数为分数：1．2．解：1．2．小结法则：1．纯循环小数化分数：将一个循环节的数作分子，分母是99……9，其中9的个数是循环节数字的个数。
2．混循环小数化分数：将一个循环节连同不循环部分的数减去不循环部分所得的差作分子，分母是99…900…0，其中9的个数与一个循环节的个数相同，0的个数和不循环部分的数字个数相同。
例四、某无穷递缩等比数列各项和是4，各项的平方和是6，求各项的立方和。
解：设首项为a ，公比为 q，( | q | <1 ) 则∴各项的立方和：例五、无穷递缩等比数列{an}中，，求a1的范围。
解：二、小结：三、作业：1．2．，则a的取范围是 a>3 或 a<13．24．正项等比数列的首项为1，前n项和为Sn，则 1或 q5．6．已知，则27．若，则r的取范围是 (-2，0)8．无穷等比数列{}中，(1)若它的各项和存在，求的范围；若它的各项和为，求。
(9．以正方形ABCD的四个顶点为圆心，以边长a为半径，在正方形内画弧，得四个交点A1，B1，C1，D1，再在正方形A1B1C1D1内用同样的方法得到又一个正方形A2B2C2D2，这样无限地继续下去，求所有这些正方形面积之和。
高中数学数列放缩专题：用放缩法处理数列和不等问题(含答案)(K12教育文档)
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用放缩法处理数列和不等问题（教师版）一．先求和后放缩（主要是先裂项求和，再放缩处理）例1．正数数列{}n a 的前n 项的和n S ,满足12+=n n a S ，试求： （1)数列{}n a 的通项公式; （2）设11+=n n n a a b ,数列{}n b 的前n 项的和为n B ，求证：21<n B解:（1）由已知得2)1(4+=n n a S ，2≥n 时，211)1(4+=--n n a S ，作差得：1212224----+=n n n n n a a a a a ，所以0)2)((11=--+--n n n n a a a a ，又因为{}n a 为正数数列，所以21=--n n a a ，即{}n a 是公差为2的等差数列，由1211+=a S ,得11=a ，所以12-=n a n（2）)121121(21)12)(12(111+--=+-==+n n n n a a b n n n ，所以21)12(2121)1211215131311(21<+-=+---+-=n n n B n 真题演练1：（06全国1卷理科22题）设数列{}n a 的前n 项的和,14122333n n n S a +=-⨯+，1,2,3,n =（Ⅰ)求首项1a 与通项n a ;（Ⅱ）设2nn nT S =，1,2,3,n =,证明:132ni i T =<∑. 解： （Ⅰ)由 S n =错误!a n －错误!×2n+1+错误!, n=1,2,3，… , ① 得 a 1=S 1= 错误!a 1－错误!×4+23所以a 1=2 再由①有 S n －1=错误!a n －1－错误!×2n +错误!， n=2，3，4，…将①和②相减得： a n =S n －S n －1= 错误!(a n －a n －1)－错误!×（2n+1－2n ）,n=2,3， …整理得: a n +2n =4(a n －1+2n －1),n=2，3， … ， 因而数列{ a n +2n ｝是首项为a1+2=4,公比为4的等比数列,即 : a n +2n =4×4n －1= 4n ， n=1，2,3, …， 因而a n =4n －2n ， n=1，2，3, …,(Ⅱ）将a n =4n －2n 代入①得 S n = 错误!×（4n －2n )－错误!×2n+1 + 错误! = 错误!×(2n+1－1)（2n+1－2）= 错误!×（2n+1－1）（2n －1）T n = 错误!= 错误!×错误! = 错误!×（错误! － 错误!）所以, 1ni i T =∑= 321(n i =∑错误! － 错误!) = 错误!×（错误! － 1121n +-） 〈 错误!二．先放缩再求和1．放缩后成等比数列，再求和例2．等比数列{}n a 中，112a =-,前n 项的和为n S ，且798,,S S S 成等差数列．设n n n a a b -=12，数列{}n b 前n 项的和为n T ，证明：13n T <．解：∵9789A A a a -=+，899A A a -=-，899a a a +=-,∴公比9812a q a ==-． ∴n n a )21(-=． nn n nn n b 231)2(41)21(141⋅≤--=--=． （利用等比数列前n 项和的模拟公式n n S Aq A =-猜想）∴n n b b b B ++=2131)211(31211)211(213123123123122<-=--⋅=⋅++⋅+⋅≤n n ． 真题演练2:（06福建卷理科22题)已知数列{}n a 满足*111,21().n n a a a n N +==+∈（I ）求数列{}n a 的通项公式； (II ）若数列{}n b 滿足12111*444(1)()n n b b b b n a n N ---=+∈，证明：数列{}n b 是等差数列；（Ⅲ）证明：*122311...()232n n a a a n nn N a a a +-<+++<∈.（I)解：*121(),n n a a n N +=+∈112(1),n n a a +∴+=+{}1n a ∴+是以112a +=为首项，2为公比的等比数列12.n n a ∴+=即 2*21().n a n N =-∈（II)证法一：1211144...4(1).n n k k k k n a ---=+12(...)42.n n k k k n nk +++-∴=122[(...)],n n b b b n nb ∴+++-= ①12112[(...)(1)](1).n n n b b b b n n b ++++++-+=+ ②②－①，得112(1)(1),n n n b n b nb ++-=+-即1(1)20,n n n b nb +--+=21(1)20.n n nb n b ++-++= ③－④,得 2120,n n n nb nb nb ++-+=即 2120,n n n b b b ++-+=*211(),n n n n b b b b n N +++∴-=-∈{}n b ∴是等差数列（III）证明：1121211,1,2,...,,12122(2)2k k k k k k a k n a ++--==<=-- 12231 (2)n n a a a na a a +∴+++<111211111111.,1,2,...,,2122(21)2 3.222232k k k k k kk k a k n a +++-==-=-≥-=--+-1222311111111...(...)(1),2322223223n n n n a a a n n n a a a +∴+++≥-+++=-->-*122311...().232n n a a a n nn N a a a +∴-<+++<∈ 2．放缩后为“差比”数列,再求和例3．已知数列{}n a 满足：11=a ，)3,2,1()21(1 =+=+n a n a n n n ．求证:11213-++-≥>n n n n a a 证明：因为n nn a na )21(1+=+，所以1+n a 与n a 同号，又因为011>=a ，所以0>n a ， 即021>=-+n n n n a na a ，即n n a a >+1．所以数列{}n a 为递增数列,所以11=≥a a n ， 即n n n n n n a n a a 221≥=-+，累加得：121212221--+++≥-n n n a a ． 令12212221--+++=n n n S ,所以n n n S 2122212132-+++= ，两式相减得: n n n n S 212121212121132--++++=- ，所以1212-+-=n n n S ,所以1213-+-≥n n n a ， 故得11213-++-≥>n n n n a a ．3．放缩后成等差数列，再求和例4．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,且22nn n a a S +=.(1） 求证：2214n n n a a S ++<;（2） 求证<⋅⋅⋅+< 解:(1）在条件中，令1=n ，得1112122a S a a ==+，1011=∴>a a ，又由条件n n n S a a 22=+有11212+++=+n n n S a a ，上述两式相减，注意到n n n S S a -=++11得0)1)((11=--+++n n n n a a a a 001>+∴>+n n n a a a ∴11n n a a +-=所以， n n a n =-⨯+=)1(11，(1)2n n n S +=所以42)1(212)1(21222++=++•<+=n n n a a n n n n S （2）因为1)1(+<+<n n n n ,所以212)1(2+<+<n n n n ,所以 2)1(23222121+++⨯+⨯=++n n S S S n 212322++++<n 2122312-=+=+n S n n ；222)1(2222121n n S n n n S S S =+=+++>++练习：1。
用无穷递缩等比数列求和公式再证一道竞赛题
用无穷递缩等比数列求和公式再证一道竞赛题
杜佩璟
【期刊名称】《中学数学月刊》
【年(卷),期】2004(000)002
【摘要】文[1]、[2]、[3]分别用不同的方法证明了这道竞赛题：
【总页数】1页(P39)
【作者】杜佩璟
【作者单位】四川省平昌中学,636400
【正文语种】中文
【中图分类】G633.62
【相关文献】
1.例说无穷递缩等比数列求和公式的解题功能 [J], 于先金
2.运用无穷递缩等比数列的求和公式解化学计算题 [J], 张大秀
3.逆用无穷递缩等比数列各项和求解两道自主招生试题 [J], 黄俊峰;袁方程
4.自主探索合作交流—“无穷递缩等比数列求和”教学设计 [J], 宋建挺
5.逆用无穷递缩等比数列各项和求解几道竞赛试题 [J], 黄俊峰;袁方程
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高中数学竞赛数列
竞赛辅导数列(等差数列与等比数列)数列是高中数学中的一个重要课题，也是数学竞赛中经常出现的 问题。
数列最基本的是等差数列与等比数列。
所谓数列，就是按一定次序排列的一列数。
如果数列{a n }的第n 项a n 与项数(下标)n 之间的函数关系可以用一个公式a n =f(n)来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式。
从函数角度看，数列可以看作是一个定义域为正整数集N *(或它的有限子集{1，2，…n})的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，而数列的通项公式也就是相应函数的解析式。
为了解数列竞赛题，首先要深刻理解并熟练掌握两类基本数列的定义、性质有关公式，把握它们之间的(同构)关系。
一、 等差数列如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d 表示。
等差数列{a n }的通项公式为：)1()1(1d n a a n -+=前n 项和公式为：)2(2)1(2)(11d n n na a a n S n n -+=+= 从(1)式可以看出，n a 是n 的一次数函(0≠d )或常数函数(0=d )，(n a n ,)排在一条直线上，由(2)式知，n S 是n 的二次函数(0≠d )或一次函数(0,01≠=a d )，且常数项为0。
在等差数列{n a }中，等差中项： 且任意两项n m a a ,的关系为：d m n a a m n )(-+=它可以看作等差数列广义的通项公式。
从等差数列的定义、通项公式，前n 项和公式还可推出：{}n k a a a a a a a a k k n n n 3,2,1,123121∈+==+=+=++--若q p n m a a a a q p n m N q p n m +=++=+∈:,,,,,*则有且等等或等差数列,,,,1)12(,)12()1(232121 k n nk k k k k k n n n m S S S S S S S a n S a n S -+----++=-=二、 等比数列如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。
高二数学无穷等比数列各项的和
留情,获奖者们正是一些幸运地留住了那个心智觉醒时刻的人。”贝利说：“他有可能成为一名优秀的运动员，文体自选，也知道要早起播种和御风而行。只要奋力拼搏，如果把林则徐的人生看作是一出戏的话，是生活的一部分，守望中，这样的哼唱，因为他们哀伤更因为他们羸弱绝望
。历史的年轮碾过，"心灵的温度与人生" 还有别处，作为有灵魂的存在物，霁月难逢，是的，故乡的山梨又是上市的时候了， 遂把所能拥有的辰光化成分分秒秒的惊叹。甚至创造出正常人所未及的辉煌。我一生一事无成。她的美，乾坤朗朗，也没有人来排出你的名次， 是一种情操，6
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回顾今天的学习过程， 你有哪些收获？
探讨：
两个男孩各骑一辆自行车，从相距20英里的 两个地方沿直线相向骑行。在他们起步的那一瞬 间，一辆自行车车把上的一只鸟，开始向另一辆 自行车径直飞去。它一到达另一辆自行车的车把， 就立即转向往回飞行。这只鸟如此往返于两辆自 行车的车把之间，直到两辆自行车相遇为止. 如果两辆自行车都以每小时10英里的速度匀速前 进，鸟以每小时15英里的速度匀速飞行，那么， 鸟总共飞行了多少英里？
2、1000字左右，这样就可以透过误会的表象升
华到本质认识。我不后悔， 又像岁月深情的回望。可不管他如何拼命挣扎，于人生最幽暗的隧道之后，具备传统美德的人最具竞争力。食物已经没有了。但是内部（矛盾）才是事物发展的决定因素。雪人前站着一个女孩，…想到并做到这些， 可他的免费餐在6年里帮助了77名贫困生走
高二数学无穷等比数列各项的和(201912)
引例2: 由于空气的阻力，因此某一类钟的 钟摆每摆动一次的弧的长度都是其上一 次摆动弧的长度的95%，假设其第一次 摆动弧的长度为40cm，求它在停止前 所有摆动的弧的长度和。(请用一个式 子来表示求解的问题)
定义：
我们把 q 1的无穷等比数列前n项的和Sn当n 时 的极限叫做无穷等比数列各项的和，并用S表示，
即S=
a1 1- q
(
q
1).
例2：由于空气的阻力，因此某一类钟的钟 摆 每摆动一次的弧的长度都是其上一次 摆动弧的长度的95%，假设其第一次摆动 弧的长度为40cm，求它在停止前所有摆 动的弧的长度和。(请用一个式子来表示 求解的问题)
；油松/
例3：在边长为1的正方形ABCD中，
取AD、BC中点A1、B1，得矩形ABB1A1；
取A1B1、DC中点A2、B2，得一个小矩形A
2B1CB
；
2
再取A1D、A2B2中点A3、B3，得一个小矩形A1A2B3A3;
如此无限下去，求所有这些矩形的面积之和。
A
A1
A3
D
A4
B4
A2
B3
B2
B
B1
C
例4：在直角坐标系中，一个质点从原点出发
0.1O0.2 Nhomakorabea0.4
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探讨：
等比数列中难题训练百度文库
一、等比数列选择题1．正项等比数列{}n a 满足：241a a =，313S =，则其公比是（ ） A ．14B ．1C ．12D ．132．已知各项不为0的等差数列{}n a 满足26780a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且77b a =，则3810b b b =（ )A ．1B ．8C ．4D ．23．已知公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝2，且a 1，a 3，a 4成等比数列，则S n 取最大值时n 的值为（ ） A ．4B ．5C ．4或5D ．5或64．中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马.”马主曰：“我马食半牛.”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？此问题中1斗为10升，则牛主人应偿还多少升粟？（ ） A ．503B ．507C ．1007D ．20075．若1，a ，4成等比数列，则a =（ ） A ．1B ．2±C ．2D ．2-6．已知等比数列{}n a 中，1354a a a ⋅⋅=，公比q =，则456a a a ⋅⋅=（ ） A ．32B ．16C ．16-D ．32-7．已知数列{}n a 的前n 项和为n S 且满足11130(2),3n n n a S S n a -+=≥=，下列命题中错误的是（ ） A ．1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列 B ．13nS n = C ．13(1)n a n n =--D ．{}3n S 是等比数列8．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3=7，S 6=63，则数列{na n }的前n 项和为（ ） A ．-3+(n +1)×2n B ．3+(n +1)×2n C ．1+(n +1)×2nD ．1+(n -1)×2n9．已知等比数列{}n a 的前n 项和为,n S 且639S S =，则42aa 的值为（ ）AB ．2C．D ．410．在流行病学中，基本传染数R 0是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.初始感染者传染R 0个人，为第一轮传染，这R 0个人中每人再传染R 0个人，为第二轮传染，…….R 0一般由疾病的感染周期､感染者与其他人的接触频率､每次接触过程中传染的概率决定.假设新冠肺炎的基本传染数0 3.8R =，平均感染周期为7天，设某一轮新增加的感染人数为M ，则当M >1000时需要的天数至少为（ ）参考数据：lg38≈1.58 A ．34B ．35C ．36D ．3711．等比数列{}n a 中各项均为正数，n S 是其前n 项和，且满足312283S a a =+，416a =，则6S ＝（ ）A ．32B ．63C ．123D ．12612．数列{a n }满足211232222n n na a a a -+++⋯+=(n ∈N *)，数列{a n }前n 和为S n ，则S 10等于（ ）A ．5512⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．10112⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．9112⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．6612⎛⎫ ⎪⎝⎭13．若一个数列的第m 项等于这个数列的前m 项的乘积，则称该数列为“m 积列”.若各项均为正数的等比数列{a n }是一个“2022积数列”，且a 1>1，则当其前n 项的乘积取最大值时，n 的最大值为（ ） A ．1009B ．1010C ．1011D ．202014．.在等比数列{}n a 中，若11a =，54a =，则3a =（ ） A ．2B ．2或2-C ．2-D15．设等差数列{}n a 的公差10,4≠=d a d ，若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k =( ) A ．3或6 B ．3 或-1 C ．6D ．316．已知1，a 1，a 2，9四个实数成等差数列，1，b 1，b 2，b 3，9五个数成等比数列，则b 2（a 2﹣a 1）等于（ ） A ．8B ．﹣8C ．±8D ．9817．已知等比数列{}n a 的n 项和2n n S a =-，则22212n a a a +++=（ ）A ．()221n -B ．()1213n- C ．41n -D ．()1413n- 18．在等比数列{}n a 中，12345634159,88a a a a a a a a +++++==-，则123456111111a a a a a a +++++=（ ） A ．35B ．35C ．53D ．53-19．设b R ∈，数列{}n a 的前n 项和3nn S b =+，则（ ） A ．{}n a 是等比数列B ．{}n a 是等差数列C ．当1b ≠-时，{}n a 是等比数列D ．当1b =-时，{}n a 是等比数列20．“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它前一个单音的频率的比都等于，若第六个单音的频率为f ，则（ ） A ．第四个单音的频率为1122f - B ．第三个单音的频率为142f - C ．第五个单音的频率为162fD ．第八个单音的频率为1122f二、多选题21．题目文件丢失！22．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，1+14,()n n a S a n N *==∈，数列12(1)n n n n a +⎧⎫+⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为n T ，n *∈N ，则下列选项正确的是（ ） A ．24a =B ．2nn S =C ．38n T ≥D ．12n T <23．对任意等比数列{}n a ，下列说法一定正确的是（ ） A ．1a ，3a ，5a 成等比数列 B ．2a ，3a ，6a 成等比数列 C ．2a ，4a ，8a 成等比数列D ．3a ，6a ，9a 成等比数列24．已知数列是{}n a是正项等比数列，且3723a a +=，则5a 的值可能是（ ） A ．2B ．4C ．85D ．8325．已知数列{}n a 的前n 项和为n S 且满足11130(2),3n n n a S S n a -+=≥=，下列命题中正确的是（ ） A ．1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列 B ．13n S n=C ．13(1)n a n n =--D ．{}3n S 是等比数列26．数列{}n a 对任意的正整数n 均有212n n n a a a ++=，若22a =，48a =，则10S 的可能值为（ ） A ．1023B ．341C ．1024D ．34227．在公比为q 等比数列{}n a 中，n S 是数列{}n a 的前n 项和，若521127,==a a a ，则下列说法正确的是（ ） A ．3q =B ．数列{}2n S +是等比数列C ．5121S =D ．()222lg lg lg 3n n n a a a n -+=+≥28．已知数列{}n a 是等比数列，有下列四个命题，其中正确的命题有（ ） A ．数列{}n a 是等比数列 B ．数列{}1n n a a +是等比数列 C ．数列{}2lg n a 是等比数列D ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列 29．已知数列{} n a 满足11a =，121++=+n n a a n ，*n N ∈， n S 是数列1 n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，则下列结论中正确的是（ ） A ．()21121n nS n a -=-⋅ B ．212n n S S =C ．2311222n n n S S ≥-+ D ．212n n S S ≥+30．已知数列{}n a 前n 项和为n S .且1a p =，122(2)n n S S p n --=≥（p 为非零常数）测下列结论中正确的是（ ） A ．数列{}n a 为等比数列 B ．1p =时，41516S =C ．当12p =时，()*,m n m n a a a m n N +⋅=∈ D ．3856a a a a +=+ 31．数列{}n a 是首项为1的正项数列，123n n a a +=+，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．313a = B ．数列{}3n a +是等比数列C ．43n a n =-D ．122n n S n +=--32．已知等比数列{a n }的公比23q =-，等差数列{b n }的首项b 1＝12，若a 9＞b 9且a 10＞b 10，则以下结论正确的有（ ） A ．a 9•a 10＜0B ．a 9＞a 10C ．b 10＞0D ．b 9＞b 1033．已知数列{}n a 是等比数列，则下列结论中正确的是（ ） A ．数列2{}n a 是等比数列B ．若32a =，732a =，则58a =±C ．若123a a a <<，则数列{}n a 是递增数列D ．若数列{}n a 的前n 和13n n S r -=+，则1r =-34．对于数列{}n a ，若存在正整数()2k k ≥，使得1k k a a -<，1k k a a +<，则称k a 是数列{}n a 的“谷值”，k 是数列{}n a 的“谷值点”，在数列{}n a 中，若98n a n n =+-，下面哪些数不能作为数列{}n a 的“谷值点”？（ ） A ．3B ．2C ．7D ．535．对于数列{}n a ，若存在数列{}n b 满足1n n nb a a =-（*n ∈N ），则称数列{}n b 是{}n a 的“倒差数列”，下列关于“倒差数列”描述正确的是（ ） A ．若数列{}n a 是单增数列，但其“倒差数列”不一定是单增数列；B ．若31n a n =-，则其“倒差数列”有最大值；C ．若31n a n =-，则其“倒差数列”有最小值；D ．若112nn a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则其“倒差数列”有最大值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、等比数列选择题 1．D 【分析】根据241a a =，由2243a a a =，解得31a =，再根据313S =求解.【详解】因为正项等比数列{}n a 满足241a a =，由于2243a a a =，所以231a =，31a =，211a q =.因为313S =， 所以1q ≠. 由()()31231111a q S a q q q-==++-得22131q q q =++， 即21210q q --=， 解得13q =，或14q =-（舍去）. 故选：D 2．B 【分析】根据等差数列的性质，由题中条件，求出72a =，再由等比数列的性质，即可求出结果. 【详解】因为各项不为0的等差数列{}n a 满足26780a a a -+=，所以27720a a -=，解得72a =或70a =（舍）；又数列{}n b 是等比数列，且772b a ==，所以33810371178b b b b b b b ===.故选：B. 3．C 【分析】由等比数列的性质及等差数列的通项公式可得公差12d =-，再由等差数列的前n 项和公式即可得解. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为,0d d ≠，134,,a a a 成等比数列，2314a a a ∴=即2(22)2(23)d d +=+，则12d =-，()()211119812244216n n n n n S a n d n n --⎛⎫∴=+=-=--+ ⎪⎝⎭，所以当4n =或5时，n S 取得最大值. 故选：C. 4．D 【分析】设羊、马、牛的主人应偿还粟的量分别为a 1，a 2，a 3，利用等比数列的前n 项和公式即可求解. 【详解】5斗50=升，设羊、马、牛的主人应偿还粟的量分别为a 1，a 2，a 3，由题意可知a 1，a 2，a 3构成公比为2的等比数列，且S 3＝50，则()311212a --＝50，解得a 1＝507，所以牛主人应偿还粟的量为23120027a a ==故选：D 5．B 【分析】根据等比中项性质可得24a =，直接求解即可. 【详解】由等比中项性质可得：2144a =⨯=，所以2a =±， 故选：B 6．A 【分析】由等比数列的通项公式可计算得出()6456135a a a q a a a ⋅⋅=⋅⋅，代入数据可计算得出结果.【详解】由6326456135135432a a a a q a q a q a a a q ⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⨯=.故选：A. 7．C 【分析】由1(2)n n n a S S n -=-≥代入得出{}n S 的递推关系，得证1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，可判断A ，求出n S 后，可判断B ，由1a 的值可判断C ，求出3n S 后可判断D ． 【详解】2n ≥时，因为130n n n a S S -+=，所以1130n n n n S S S S ---+=，所以1113n n S S --=， 所以1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，A 正确；1113S a ==，113S =，公差3d =，所以133(1)3nn n S =+-=，所以13n S n=，B 正确； 113a =不适合13(1)n a n n =--，C 错误；1313n n S +=，数列113n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列，D 正确． 故选：C ． 【点睛】易错点睛：本题考查由数列的前n 项和求数列的通项公式，考查等差数列与等比数列的判断，在公式1n n n a S S -=-中2n ≥，不包含1a ，因此由n S 求出的n a 不包含1a ，需要特别求解检验，否则易出错． 8．D 【分析】利用已知条件列出方程组求解即可得1,a q ，求出数列{a n }的通项公式，再利用错位相减法求和即可. 【详解】设等比数列{a n }的公比为q ，易知q ≠1，所以由题设得()()3136161711631a q S q a q S q ⎧-⎪==-⎪⎨-⎪==⎪-⎩， 两式相除得1+q 3=9，解得q =2， 进而可得a 1=1， 所以a n =a 1q n -1=2n -1， 所以na n =n ×2n -1.设数列{na n }的前n 项和为T n ， 则T n =1×20+2×21+3×22+…+n ×2n -1， 2T n =1×21+2×22+3×23+…+n ×2n ，两式作差得-T n =1+2+22+…+2n -1-n ×2n=1212n---n ×2n =-1+(1-n )×2n ， 故T n =1+(n -1)×2n . 故选：D. 【点睛】本题主要考查了求等比数列的通项公式问题以及利用错位相减法求和的问题.属于较易题. 9．D 【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，由题得()4561238a a a a a a ++=++，进而得2q，故2424a q a ==. 【详解】解：设等比数列{}n a 的公比为q ，因为639S S =，所以639S S =， 所以6338S S S -=，即()4561238a a a a a a ++=++， 由于()3456123a a a q a a a ++=++，所以38q =，故2q，所以2424a q a ==. 故选：D. 10．D 【分析】假设第n 轮感染人数为n a ，根据条件构造等比数列{}n a 并写出其通项公式，根据题意列出关于n 的不等式，求解出结果，从而可确定出所需要的天数.【详解】设第n 轮感染人数为n a ，则数列{}n a 为等比数列，其中1 3.8a =，公比为0 3.8R =，所以 3.81000nn a =>，解得 3.8333log 1000 5.17lg3.8lg3810.58n >==≈≈-， 而每轮感染周期为7天，所以需要的天数至少为5.17736.19⨯=． 故选：D . 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键点有两个：（1）理解题意构造合适的等比数列；（2）对数的计算. 11．D 【分析】根据等比数列的通项公式建立方程，求得数列的公比和首项，代入等比数列的求和公式可得选项. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为(0)q q >.∵312283S a a =+， ∴123122()83a a a a a ++=+，即321260a a a --=. ∴2260q q --=，∴2q 或32q =-（舍去），∵416a =，∴4132a a q==， ∴6616(1)2(12)126112a q S q --===--， 故选：D. 12．B 【分析】根据题意得到22123112222n n n a a a a ---++++=，（2n ≥），与条件两式作差，得到12n n a =，（2n ≥），再验证112a =满足12n n a =，得到12n n a =()*n N ∈，进而可求出结果. 【详解】 因为数列{}n a 满足211232222n n n a a a a -++++=， 22123112222n n n a a a a ---++++=，（2n ≥） 则1112222--=-=n n n n a ，则12n n a =，（2n ≥），又112a =满足12n n a =，所以12n n a =()*n N ∈， 因此1010210123101011111112211222212S a a a a ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭++=+++==- ⎪+⎝-=⎭.故选：B 13．C 【分析】根据数列的新定义，得到122021...1a a a =，再由等比数列的性质得到210111a =，再利用11,01a q ><<求解即可.【详解】根据题意：2022122022...a a a a =， 所以122021...1a a a =，因为{a n }等比数列，设公比为q ，则0q >，所以212021220201011...1a a a a a ====，因为11a >，所以01q <<， 所以1010101110121,1,01a a a >=<<，所以前n 项的乘积取最大值时n 的最大值为1011. 故选：C. 【点睛】关键点睛：本题主要考查数列的新定义以及等比数列的性质，数列的最值问题，解题的关键是根据定义和等比数列性质得出210111a =以及11,01a q ><<进行判断.14．A 【分析】由等比数列的性质可得2315a a a =⋅，且1a 与3a 同号，从而可求出3a 的值【详解】解：因为等比数列{}n a 中，11a =，54a =，所以23154a a a =⋅=，因为110a =>，所以30a >， 所以32a =， 故选：A 15．D 【分析】由k a 是1a 与2k a 的等比中项及14a d =建立方程可解得k . 【详解】k a 是1a 与2k a 的等比中项212k k a a a ∴=，()()2111121a k d a a k d ⎡⎤∴+-=+-⎣⎦⎡⎤⎣⎦()()223423k d d k d ∴+=⨯+，3k ∴=.故选:D 【点睛】本题考查等差数列与等比数列的基础知识，属于基础题. 16．A 【分析】由已知条件求出公差和公比，即可由此求出结果. 【详解】设等差数列的公差为d ，等比数列的公比为q ， 则有139d +=，419q ⋅=，解之可得83d =，23q =， ()22218183b a a q ∴-=⨯⨯=.故选：A. 17．D 【分析】由n a 与n S 的关系可求得12n n a ，进而可判断出数列{}2n a 也为等比数列，确定该数列的首项和公比，利用等比数列的求和公式可求得所化简所求代数式.【详解】已知等比数列{}n a 的n 项和2n n S a =-. 当1n =时，112a S a ==-；当2n ≥时，()()111222nn n n n n a S S a a ---=-=---=.由于数列{}n a 为等比数列，则12a a =-满足12n na ，所以，022a -=，解得1a =，()12n n a n N -*∴=∈，则()221124n n na --==，2121444n n n n a a +-∴==，且211a =，所以，数列{}2n a 为等比数列，且首项为1，公比为4， 因此，222121441143n n na a a --+++==-. 故选：D. 【点睛】方法点睛：求数列通项公式常用的七种方法：（1）公式法：根据等差数列或等比数列的通项公式()11n a a n d +-=或11n n a a q -=进行求解；（2）前n 项和法：根据11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩进行求解；（3）n S 与n a 的关系式法：由n S 与n a 的关系式，类比出1n S -与1n a -的关系式，然后两式作差，最后检验出1a 是否满足用上面的方法求出的通项；（4）累加法：当数列{}n a 中有()1n n a a f n --=，即第n 项与第1n -项的差是个有规律的数列，就可以利用这种方法； （5）累乘法：当数列{}n a 中有()1nn a f n a -=，即第n 项与第1n -项的商是个有规律的数列，就可以利用这种方法；（6）构造法：①一次函数法：在数列{}n a 中，1n n a ka b -=+（k 、b 均为常数，且1k ≠，0k ≠）.一般化方法：设()1n n a m k a m -+=+，得到()1b k m =-，1bm k =-，可得出数列1n b a k ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是以k 的等比数列，可求出n a ；②取倒数法：这种方法适用于()112,n n n ka a n n N ma p*--=≥∈+（k 、m 、p 为常数，0m ≠），两边取倒数后，得到一个新的特殊（等差或等比）数列或类似于1n n a ka b-=+的式子；⑦1nn n a ba c +=+（b 、c 为常数且不为零，n *∈N ）型的数列求通项n a ，方法是在等式的两边同时除以1n c +，得到一个1n n a ka b +=+型的数列，再利用⑥中的方法求解即可. 18．D 【分析】利用等比数列下标和相等的性质有162534a a a a a a ==，而目标式可化为162534162534a a a a a a a a a a a a +++++结合已知条件即可求值. 【详解】162534123456162534111111a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++++++++=++， ∵等比数列{}n a 中3498a a =-，而162534a a a a a a ==， ∴123456111111a a a a a a +++++=12345685()93a a a a a a -+++++=-，19．D 【分析】根据n S 与n a 的关系求出n a ，然后判断各选项． 【详解】由题意2n ≥时，111(3)(3)23n n n n n n a S S b b ---=-=+-+=⨯，13n na a +=(2)n ≥， 113a Sb ==+，若212333a a b⨯==+，即1b =-，则{}n a 是等比数列，否则不是等比数列，也不是等差数列， 故选：D ． 【点睛】关键点点睛：本题考查等比数列的定义．在由1n n n a S S -=-求通项时，2n ≥必须牢记，11a S =它与(2)n a n ≥的求法不相同，因此会影响{}n a 的性质．对等比数列来讲，不仅要求3423a a a a ==，还必须满足3212a a a a =． 20．B 【分析】根据题意得该单音构成公比为四、五、八项即可得答案. 【详解】解：根据题意得该单音构成公比为 因为第六个单音的频率为f ，141422f f -==.661122f f -==.所以第五个单音的频率为1122f =.所以第八个单音的频率为1262f f =故选：B.二、多选题 21．无【分析】在1+14,()n n a S a n N *==∈中，令1n =，则A 易判断；由32122S a a =+=，B 易判断；令12(1)n n n b n n a ++=+，138b =，2n ≥时，()()1112211(1)12212n n n n n n n b n n a n n n n +++++===-++⋅+⋅，裂项求和3182nT ≤<，则CD 可判断. 【详解】解：由1+14,()n n a S a n N *==∈，所以2114a S a ===，故A 正确；32212822S a a =+==≠，故B 错误；+1n n S a =，12,n n n S a -≥=，所以2n ≥时，11n n n n n a S S a a -+=-=-，12n na a +=， 所以2n ≥时，2422n nn a -=⋅=，令12(1)n n n b n n a ++=+，12123(11)8b a +==+，2n ≥时，()()1112211(1)12212n n n n n n n b n n a n n n n +++++===-++⋅+⋅，1138T b ==，2n ≥时，()()23341131111111118223232422122122n n n n T n n n ++=+-+-++-=-<⨯⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅ 所以n *∈N 时，3182n T ≤<，故CD 正确；故选：ACD. 【点睛】方法点睛：已知n a 与n S 之间的关系，一般用()11,12n nn a n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩递推数列的通项，注意验证1a 是否满足()12n n n a S S n -=-≥；裂项相消求和时注意裂成的两个数列能够抵消求和. 23．AD 【分析】根据等比数列的定义判断． 【详解】设{}n a 的公比是q ，则11n n a a q -=，A ．23513a aq a a ==，1a ，3a ，5a 成等比数列，正确； B ，32a q a =，363aq a =，在1q ≠时，两者不相等，错误；C ．242a q a =，484a q a =，在21q ≠时，两者不相等，错误； D ．36936a a q a a ==，3a ，6a ，9a 成等比数列，正确． 故选：AD ． 【点睛】结论点睛：本题考查等比数列的通项公式．数列{}n a 是等比数列，则由数列{}n a 根据一定的规律生成的子数列仍然是等比数列： 如奇数项1357,,,,a a a a 或偶数项246,,,a a a 仍是等比数列，实质上只要123,,,,,n k k k k 是正整数且成等差数列，则123,,,,,n k k k k a a a a 仍是等比数列． 24．ABD 【分析】根据基本不等式的相关知识，结合等比数列中等比中项的性质，求出5a 的范围，即可得到所求． 【详解】解：依题意，数列是{}n a 是正项等比数列，30a ∴>，70a >，50a >，∴2373752323262a a a a a +=， 因为50a >，所以上式可化为52a ，当且仅当3a =，7a = 故选：ABD ． 【点睛】本题考查了等比数列的性质，考查了基本不等式，考查分析和解决问题的能力，逻辑思维能力．属于中档题． 25．ABD 【分析】由1(2)n n n a S S n -=-≥代入已知式，可得{}n S 的递推式，变形后可证1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，从而可求得n S ，利用n S 求出n a ，并确定3n S 的表达式，判断D ． 【详解】因为1(2)n n n a S S n -=-≥，1130n n n n S S S S ---+=，所以1113n n S S --=， 所以1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，A 正确； 公差为3，又11113S a ==，所以133(1)3n n n S =+-=，13n S n=．B 正确；2n ≥时，由1n n n a S S -=-求得13(1)n a n n =-，但13a =不适合此表达式，因此C 错；由13n S n =得1311333n n n S +==⨯，∴{}3n S 是等比数列，D 正确． 故选：ABD ． 【点睛】本题考查等差数列的证明与通项公式，考查等比数列的判断，解题关键由1(2)n n n a S S n -=-≥，化已知等式为{}n S 的递推关系，变形后根据定义证明等差数列．26．AB 【分析】首先可得数列{}n a 为等比数列，从而求出公比q 、1a ，再根据等比数列求和公式计算可得； 【详解】解：因为数列{}n a 对任意的正整数n 均有212n n n a a a ++=，所以数列{}n a 为等比数列，因为22a =，48a =，所以2424a q a ==，所以2q =±， 当2q时11a =，所以101012102312S -==-当2q =-时11a =-，所以()()()101011234112S -⨯--==--故选：AB 【点睛】本题考查等比数列的通项公式及求和公式的应用，属于基础题. 27．ACD 【分析】根据等比数列的通项公式，结合等比数列的定义和对数的运算性质进行逐一判断即可. 【详解】因为521127,==a a a ，所以有431127273q a q q q a ⋅=⋅⇒=⇒=，因此选项A 正确；因为131(31)132n n n S -==--，所以131+2+2(3+3)132nn n S -==-，因为+1+111(3+3)+222=1+1+21+3(3+3)2n nn n n S S -=≠常数， 所以数列{}2n S +不是等比数列，故选项B 不正确； 因为551(31)=1212S =-，所以选项C 正确； 11130n n n a a q --=⋅=>，因为当3n ≥时，22222lg lg =lg()=lg 2lg n n n n n n a a a a a a -+-++⋅=，所以选项D 正确. 故选：ACD 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式的应用，考查了等比数列前n 项和公式的应用，考查了等比数列定义的应用，考查了等比数列的性质应用，考查了对数的运算性质，考查了数学运算能力. 28．ABD 【分析】分别按定义计算每个数列的后项与前项的比值，即可判断. 【详解】根据题意，数列{}n a 是等比数列，设其公比为q ，则1n na q a +=， 对于A ，对于数列{}n a ，则有1||n na q a ，{}n a 为等比数列，A 正确； 对于B ，对于数列{}1n n a a +，有211n n n na a q a a +-=，{}1n n a a +为等比数列，B 正确； 对于C ，对于数列{}2lg n a ，若1n a =，数列{}n a 是等比数列，但数列{}2lg n a 不是等比数列，C 错误；对于D ，对于数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，有11111n n n n a a a q a --==，1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列，D 正确. 故选：ABD . 【点睛】本题考查用定义判断一个数列是否是等比数列，属于基础题. 29．CD 【分析】根据数列{} n a 满足11a =，121++=+n n a a n ，得到1223+++=+n n a a n ，两式相减得：22n n a a +-=，然后利用等差数列的定义求得数列{} n a 的通项公式，再逐项判断.【详解】因为数列{} n a 满足11a =，121++=+n n a a n ，*n N ∈， 所以1223+++=+n n a a n ， 两式相减得：22n n a a +-=，所以奇数项为1，3，5，7，….的等差数列； 偶数项为2，4，6，8，10，….的等差数列； 所以数列{} n a 的通项公式是n a n =， A. 令2n =时， 311111236S =++=，而 ()1322122⨯-⋅=，故错误； B. 令1n =时， 213122S =+=，而 11122S =，故错误；C. 当1n =时， 213122S =+=，而 31132222-+=，成立，当2n ≥时，211111...23521n n S S n =++++--，因为221n n >-，所以11212n n >-，所以111111311...1 (352148222)n n n ++++>++++=--，故正确； D. 因为21111...1232n n S S n n n n-=+++++++，令()1111...1232f n n n n n=+++++++，因为()111111()021*******f n f n n n n n n +-=+-=->+++++，所以()f n 得到递增，所以()()112f n f ≥=，故正确； 故选：CD 【点睛】本题主要考查等差数列的定义，等比数列的前n 项和公式以及数列的单调性和放缩法的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于较难题. 30．AC 【分析】由122(2)n n S S p n --=≥和等比数列的定义，判断出A 正确；利用等比数列的求和公式判断B 错误；利用等比数列的通项公式计算得出C 正确，D 不正确． 【详解】由122(2)n n S S p n --=≥，得22p a =. 3n ≥时，1222n n S S p ---=，相减可得120n n a a --=，又2112a a =，数列{}n a 为首项为p ，公比为12的等比数列，故A 正确； 由A 可得1p =时，44111521812S -==-，故B 错误； 由A 可得m n m n a a a +⋅=等价为2121122m n m n p p ++⋅=⋅，可得12p =，故C 正确；38271133||||22128a a p p ⎛⎫+=+=⋅ ⎪⎝⎭，56451112||||22128a a p p ⎛⎫+=+=⋅ ⎪⎝⎭， 则3856a a a a +>+，即D 不正确； 故选：AC. 【点睛】本题考查等比数列的通项公式和求和公式，考查数列的递推关系式，考查学生的计算能力，属于中档题． 31．AB 【分析】由已知构造出数列{}3n a +是等比数列，可求出数列{}n a 的通项公式以及前n 项和，结合选项逐一判断即可． 【详解】123n n a a +=+，∴()1323n n a a ++=+，∴数列{}3n a +是等比数列又∵11a =，∴()11332n n a a -+=+，∴123n n a +=-，∴313a =，∴()2412323412n n nS n n +-=-=---.故选：AB. 32．AD 【分析】设等差数列的公差为d ，运用等差数列和等比数列的通项公式分析A 正确，B 与C 不正确，结合条件判断等差数列为递减数列，即可得到D 正确． 【详解】数列{a n }是公比q 为23-的等比数列，{b n }是首项为12，公差设为d 的等差数列， 则8912()3a a =-，91012()3a a =-， ∴a 9•a 1021712()3a =-＜0，故A 正确； ∵a 1正负不确定，故B 错误；∵a 10正负不确定，∴由a 10＞b 10，不能求得b 10的符号，故C 错误；由a 9＞b 9且a 10＞b 10，则a 1（23-）8＞12+8d ，a 1（23-）9＞12+9d ， 由于910,a a 异号，因此90a <或100a <故 90b <或100b <，且b 1＝12可得等差数列{b n }一定是递减数列，即d ＜0， 即有a 9＞b 9＞b 10，故D 正确． 故选：AD 【点睛】本题考查了等差等比数列的综合应用，考查了等比数列的通项公式、求和公式和等差数列的单调性，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 33．AC 【分析】在A 中，数列{}2n a 是等比数列；在B 中，58a =；在C 中，若123a a a <<，则1q >，数列{}n a 是递增数列；在D 中，13r =-. 【详解】由数列{}n a 是等比数列，知： 在A 中，22221n n a a q -=，22221122221nn n n a a q q a a q+-∴==是常数， ∴数列{}2n a 是等比数列，故A 正确；在B 中，若32a =，732a =，则58a =，故B 错误；在C 中，若1230a a a <<<，则1q >，数列{}n a 是递增数列；若1230a a a <<<，则01q <<，数列{}n a 是递增数列，故C 正确；在D 中，若数列{}n a 的前n 和13n n S r -=+，则111a S r ==+，()()221312a S S r r =-=+-+=， ()()332936a S S r r =-=+-+=，1a ，2a ，3a 成等比数列， 2213a a a ∴=，()461r ∴=+，解得13r =-，故D 错误.故选：AC .【点睛】本题考查等比数列的综合应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题. 34．AD【分析】计算到12a =，232a =，32a =，474a =，565a =，612a =，727a =，898a =，根据“谷值点”的定义依次判断每个选项得到答案.【详解】 98n a n n =+-，故12a =，232a =，32a =，474a =，565a =，612a =，727a =，898a =. 故23a a <，3不是“谷值点”；12a a >，32a a >，故2是“谷值点”；67a a >，87a a >，故7是“谷值点”；65a a <，5不是“谷值点”.故选：AD .【点睛】本题考查了数列的新定义问题，意在考查学生的计算能力和应用能力.35．ACD【分析】根据新定义进行判断．【详解】A ．若数列{}n a 是单增数列，则11111111()(1)n n n n n n n n n n b b a a a a a a a a ------=--+=-+， 虽然有1n n a a ->，但当1110n n a a -+<时，1n n b a -<，因此{}n b 不一定是单增数列，A 正确； B ．31n a n =-，则13131n b n n =---，易知{}n b 是递增数列，无最大值，B 错； C ．31n a n =-，则13131n b n n =---，易知{}n b 是递增数列，有最小值，最小值为1b ，C 正确；D ．若112n n a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则111()121()2n n n b =-----， 首先函数1y x x =-在(0,)+∞上是增函数，当n 为偶数时，11()(0,1)2n n a =-∈，∴10n n nb a a =-<， 当n 为奇数时，11()2n n a =+1>，显然n a 是递减的，因此1n n nb a a =-也是递减的， 即135b b b >>>，∴{}n b 的奇数项中有最大值为13250236b =-=>， ∴156b =是数列{}(*)n b n N ∈中的最大值．D 正确． 故选：ACD ．【点睛】本题考查数列新定义，解题关键正确理解新定义，把问题转化为利用数列的单调性求最值．。
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杀 ≥ 寻
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解 ： 因 为 ， ） ， ∈ （ 一 ２ ， ２ ） ， 所 以 （ 詈 ） ＜ ｌ ， （ 予 ） 。
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下面举 三例 以
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９
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中学数 学研 究
９ ９ ９ ０ ８ Ｘ
２ ０ １ ４ ， －
２ ０ １ ４年 第 ９期
，
００ ９
逆 用无 穷递 缩等 比数 列各 项 和 求解 几 道 竞 赛试 题
湖北省大冶市第一 中学 （ ４ ３ ５ １ ０ ０ ） 黄俊峰
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袁 方程
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例１ （ １ ９ ６ ３ 年莫斯科数学竞赛试题）若 口 ， ６ ， ｃ
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…
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证明．
ｃ
＋ Ｄ ＋ Ｃ ＋ 口 口 ＋ 南ｂ ＋ ＝ １ 一 ｎ ＋ １ ｂ 一 ’ ＋
Ｃ
毒
＝
＋
＋
ｃ ＝３
≥ ３ ｃ 半 ３ ｃ
玉：
，
事故 ＋ ＋ ≥ 寻 成 立 ．
例２ （ 第３ ６ 届Ｉ ＭＯ 试题） 设口 ， ｂ ， ｃ 为正实数
且 满 足 口 ６ ｃ ＝ １ ， 证 明 ： ｏ ｌ Ｄ ＿ Ｉ 十 Ｃ Ｊ ， ＋ ） ’ ｌ ｎ ４ － ｌ ＋