2020-2021东莞市高三数学下期中一模试题及答案
2020-2021东莞市高中三年级数学下期中第一次模拟试题附答案
2020-2021东莞市高中三年级数学下期中第一次模拟试题附答案一、选择题1．下列结论正确的是（ ） A ．若a b >，则22ac bc > B ．若22a b >，则a b > C ．若,0a b c ><，则a c b c +<+D<a b <2．等差数列{}n a 中，已知611a a =，且公差0d >，则其前n 项和取最小值时的n 的值为( ) A ．6B ．7C ．8D ．93．数列{}n a 满足()11nn n a a n ++=-⋅，则数列{}n a 的前20项的和为( ) A ．100B ．-100C ．-110D ．1104．若直线()100,0ax by a b ++=>>把圆()()224116x y +++=分成面积相等的两部分，则122a b+的最小值为( ) A ．10B ．8C ．5D ．45．设,x y 满足约束条件3002x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩, 则3z x y =+的最小值是 A ．5-B ．4C ．3-D ．116．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，1112n n a S a +＝，＝， 则n S ＝( )A ．12n -B ．13()2n -C ．12()3n - D ．112n - 7．设x ，y 满足约束条件33,1,0,x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩则z =x +y 的最大值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．38．已知等比数列{}n a 中，11a =，356a a +=，则57a a +=（ ） A ．12B ．10C．D．9．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，若3132312log log log 12a a a ++⋯+=，则67a a ＝（ ） A ．1B ．3C ．6D ．910．若x ，y 满足20400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则2z y x =-的最大值为（ ）．A ．8-B ．4-C ．1D ．211．若不等式1221m x x≤+-在()0,1x ∈时恒成立，则实数m 的最大值为（ ） A ．9B ．92C ．5D ．5212．已知数列{}n a 中，3=2a ，7=1a ．若数列1{}na 为等差数列，则9=a ( ) A ．12B ．54C ．45D ．45-二、填空题13．如果一个数列由有限个连续的正整数组成（数列的项数大于2），且所有项之和为N ，那么称该数列为N 型标准数列，例如，数列2，3，4，5，6为20型标准数列，则2668型标准数列的个数为______．14．已知数列{}n a 中，其中199199a =，11()an n a a -=，那么99100log a =________15．已知变量,x y 满足约束条件2{41y x y x y ≤+≥-≤，则3z x y =+的最大值为____________．16．已知x y 、满足约束条件1{1,22x y x y x y +≥-≥--≤若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为7，则34a b+的最小值为_______． 17．对一切实数x ，不等式2||10x a x ++≥恒成立，则实数a 的取值范围是_______ 18．在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c，cos2C =，且cos cos 2a B b A +=，则ABC ∆面积的最大值为 ．19．已知等比数列{}n a 的首项为1a ，前n 项和为n S ，若数列{}12n S a -为等比数列，则32a a =____. 20．若等比数列{}n a 的各项均为正数，且510119122a a a a e +=，则1220ln ln ln a a a +++L 等于__________．三、解答题21．已知在等比数列{}n a 中, 11a =,且2a 是1a 和31a -的等差中项. （1）求数列{}n a 的通项公式;（2）若数列{}n b 满足()*21n n b n a n N=-+∈,求{}nb 的前n 项和nS.22．已知各项均为正数的等比数列{}n a 的首项为12，且()3122123a a a-=+。
2020-2021高中三年级数学下期中一模试卷(含答案)
2020-2021高中三年级数学下期中一模试卷(含答案)一、选择题1．下列结论正确的是（ ） A ．若a b >，则22ac bc > B ．若22a b >，则a b > C ．若,0a b c ><，则a c b c +<+D ．若a b <，则a b <2．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n =，()1nn n b a =-则数列{}n b 的前n 项和n T 满足（ ） A ．()1nn T n =-⨯ B ．n T n = C ．n T n =-D ．,2,.n n n T n n ⎧=⎨-⎩为偶数，为奇数3．“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称，把干支顺序相配正好六十为一周，周而复始，循环记录，这就是俗称的“干支表”甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、癸等十个符号叫天干，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥等十二个符号叫地支，如公元1984年农历为甲子年，公元1985年农历为乙丑年，公元1986年农历为丙寅年，则公元2047年农历为 A ．乙丑年B ．丙寅年C ．丁卯年D ．戊辰年4．已知函数1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则不等式()24(3)f a f a ->的解集为( )A ．(4,1)-B ．(1,4)-C ．(1,4)D ．(0,4)5．在等差数列 {}n a 中， n S 表示 {}n a 的前 n 项和，若 363a a += ，则 8S 的值为（ ）A ．3B ．8C ．12D ．246．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若∠C=120°，c=a ，则A ．a ＞bB ．a ＜bC ．a ＝bD ．a 与b 的大小关系不能确定7．设{}n a 是首项为1a ，公差为-1的等差数列，n S 为其前n 项和，若124,,S S S 成等比数列，则1a =（ ） A ．2B ．-2C ．12D ．12-8．已知锐角三角形的边长分别为1，3，a ，则a 的取值范围是（ ） A ．()8,10B ．(22,10C ．()22,10D ．)10,89．设{}n a 是首项为1a ，公差为-2的等差数列，n S 为其前n 项和，若1S ，2S ，4S 成等比数列，则1a = ( )A ．8B ．-8C ．1D ．-110．,x y 满足约束条件362000x y x y x y -≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩,若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为12，则23a b+的最小值为 ( ) A ．256B ．25C ．253D ．511．在等比数列{}n a 中，21a a 2-=，且22a 为13a 和3a 的等差中项，则4a 为( ) A ．9B ．27C ．54D ．8112．已知数列{}n a 中，3=2a ，7=1a ．若数列1{}na 为等差数列，则9=a ( ) A ．12B ．54C ．45D ．45-二、填空题13．已知x y ，满足20030x y y x y -≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，，，，则222x y y ++的取值范围是__________.14．设x ，y 满足则220,220,20,x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪++≥⎩则3z x y =-的最小值是______.15．已知0,0a b >>，且20a b +=，则lg lg a b +的最大值为_____． 16．已知二次函数f （x ）=ax 2+2x+c （x ∈R ）的值域为[0，+∞），则11a c c a+++的最小值为_____．17．正项等比数列{}n a 满足2418-=a a ，6290-=a a ，则{}n a 前5项和为________. 18．设是定义在上恒不为零的函数，对任意，都有，若，，，则数列的前项和的取值范围是__________．19．已知函数()3af x x x=++，*x ∈N ，在5x =时取到最小值，则实数a 的所有取值的集合为______.20．数列{}n b 中，121,5b b ==且*21()n n n b b b n N ++=-∈，则2016b =___________.三、解答题21．某厂家拟在2020年举行促销活动，经调查测算，某产品的年销售量（即该厂的年产量）m 万件与年促销费用x 万元，满足31km x =-+（k 为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件，已知2020年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件，该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）.（1）将2020年该产品的利润y （万元）表示为年促销费用x （万元）的函数； （2）该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 22．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足sin cos 6b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（1）求角B 的大小；（2）若D 为AC 的中点，且1BD =，求ABC S ∆的最大值. 23．已知a ，b ，c 分别为ABC ∆内角A ，B ，C 的对边，222sin 2cos 22B Aa b b c +=+． （1）求B ；（2）若6c =，[2,6]a ∈，求sin C 的取值范围．24．如图，在平面四边形ABCD 中，42AB =，22BC =，4AC =.（1）求cos BAC ∠；（2）若45D ∠=︒，90BAD ∠=︒，求CD .25．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1，n a ，n S 成等差数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足12n n n a b na =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．26．在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c ，已知cos2A ﹣3cos （B+C ）=1． （1）求角A 的大小； （2）若△ABC 的面积S=5，b=5，求sinBsinC 的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D【解析】选项A 中，当c=0时不符，所以A 错．选项B 中，当2,1a b =-=-时，符合22a b >，不满足a b >，B 错．选项C 中, a c b c +>+,所以C 错．选项D中，因为0≤<，由不等式的平方法则，22<，即a b <．选D.2．A解析：A 【解析】 【分析】先根据2n S n =,求出数列{}n a 的通项公式,然后利用错位相减法求出{}n b 的前n 项和n T .【详解】解:∵2n S n =,∴当1n =时,111a S ==;当2n ≥时,()221121n n n a S S n n n -=-=--=-, 又当1n =时,11a =符合上式,∴21n a n =-, ∴()()()1121nnn n b a n =-=--,∴()()()()()123113151121nn T n =⨯-+⨯-+⨯-+⋅⋅⋅+--①,∴()()()()()2341113151121n n T n +-=⨯-+⨯-+⨯-+⋅⋅⋅+--②,①-②,得()()()()()()23412121111211n n n T n +⎡⎤=-+⨯-+-+-+⋅⋅⋅+---⨯-⎣⎦()()()()()()211111122112111n n n n n -+⎡⎤---⎣⎦=-+⨯--⨯-=---,∴()1nn T n =-,∴数列{}n b 的前n 项和()1nn T n =-.故选:A . 【点睛】本题考查了根据数列的前n 项和求通项公式和错位相减法求数列的前n 项和,考查了计算能力,属中档题.3．C解析：C 【解析】记公元1984年为第一年，公元2047年为第64年，即天干循环了十次，第四个为“丁”，地支循环了五次，第四个为“卯”,所以公元2047年农历为丁卯年. 故选C.4．B【解析】 【分析】先判断函数1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调性，把()24(3)f a f a ->转化为自变量的不等式求解.【详解】可知函数()f x 为减函数，由2(4)(3)f a f a ->，可得243a a -<，整理得2340a a --<，解得14a -<<，所以不等式的解集为(1,4)-． 故选B. 【点睛】本题考查函数不等式，通常根据函数的单调性转化求解，一般不代入解析式.5．C解析：C 【解析】 【分析】由题意可知，利用等差数列的性质，得18363a a a a +=+=，在利用等差数列的前n 项和公式，即可求解，得到答案。
2020-2021学年广东省东莞市市高中学高三数学理模拟试卷含解析
2020-2021学年广东省东莞市市高中学高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如图，在矩形ABCD中，，，两个圆的半径都是1，且圆心，均在对方的圆周上，在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）A．B． C．D．参考答案：D如图所示，分别连接，则分别为边长为的等边三角形，所以其面积分别为，其中拱形的面积为，所以阴影部分的面积为，所以概率为，故选D．2. 满足约束条件的目标函数的最大值是（）A．－6 B．e＋l C．０ D．e－l参考答案：C3. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是A． B．C． D．参考答案：A4. 已知函数f（x）＝, 那么在下列区间中含有函数f（x）零点的是A．（，1） B．（，） C．（，） D．（0，）参考答案：C5. 已知直线m，l，平面α，β，且m⊥α，l?β，给出下列命题：①若α∥β，则m⊥l；②若α⊥β，则m∥l；③若m⊥l，则α⊥β；④若m∥l，则α⊥β．其中正确的命题的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：B考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：根据有关定理中的诸多条件，对每一个命题进行逐一进行是否符合定理条件去判定，将由条件可能推出的其它的结论也列举出来．解答：解：若α∥β，且m⊥α?m⊥β，又l?β?m⊥l，所以①正确．若α⊥β，且m⊥α?m∥β，又l?β，则m与l可能平行，可能异面，所以②不正确．若m⊥l，且m⊥α，l?β?α与β可能平行，可能相交．所以③不正确．若m∥l，且m⊥α?l⊥α又l?β?α⊥β，∴④正确．故选：B．点评：本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，以及空间中直线与平面之间的位置关系，属于基础题．6. 某四棱锥的三视图如图1所示（单位：cm），则该四棱锥的体积是( )A．B．C．D．参考答案：D试题分析：从三视图可以得到该几何体为四棱锥,且该四棱锥的底面为正方形且边长为3,从侧视图可得该四棱锥的高为1,所以该四棱锥的体积为,故选D考点：三视图四棱锥体积7. 已知函数为奇函数，，则等于（）A．B． C． D．参考答案：C8. 下列命题中为真命题的是(A).命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题(B).命题“x>1，则x2>1”的否命题(C).命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题(D).命题“若x2>x，则x>1”的逆否命题参考答案：A9. 已知向量，若，则实数m的值是（）A. －1B. 1C. －2D. 2 参考答案：A 【分析】根据向量垂直得到关于的方程，求解得到结果.【详解】由题意：本题正确选项：A【点睛】本题考查向量数量积的坐标表示，属于基础题.10. 复数z=，则（ ） A ．|z|=2B ．z 的实部为1C ．z 的虚部为﹣iD ．z 的共轭复数为﹣1+i参考答案：D【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数的代数形式的混合运算，化简复数为a+bi 的形式，然后判断选项即可．【解答】解：复数z====﹣1﹣i ．显然A 、B 、C 都不正确，z 的共轭复数为﹣1+i ．正确． 故选：D ．二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知参考答案：略12. 圆上到直线的距离为的点的个数是 _ .参考答案：分析：圆方程化为标准式为，其圆心坐标，半径，由点到直线的距离公式得圆心到直线的距离，由图所示，圆上到直线的距离为的点有4个．13. 从一堆苹果中任取5个，称得它们的质量如下（单位：克）125，124，121，123，127， 则该样本标准差=___________参考答案：2 略 14. 已知，则▲ ．参考答案：试题分析：.15. 若非零向量，，满足+2+3=，且?=?=?，则与的夹角为 ．参考答案：【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；转化思想；向量法；平面向量及应用． 【分析】由+2+3=，把用含有的式子表示，结合?=?=?，可得，．然后代入数量积求夹角公式求解．【解答】解：由+2+3=，得， 代入?=?，得，即． 再代入?=?，得，即．∴cos===﹣．∴与的夹角为．故答案为：．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了数学转化思想方法，是中档题．16. 设g （x ）=，则g （g （））=．参考答案：【考点】对数的运算性质．【分析】根据分段函数的解析式，先求出g（）的值，再求g （g （））的值．【解答】解：∵g （x ）=，∴g （）=ln =﹣ln2＜0， ∴g （g （））=g （﹣ln2） =e﹣ln2==2﹣1 =．故答案为：．【点评】本题考查了求分段函数的函数值的问题，解题时应对自变量进行分析，是基础题．17. 如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，底面为直角三角形。
2020-2021东莞市高中三年级数学下期中试卷(附答案)
2020-2021东莞市高中三年级数学下期中试卷(附答案)一、选择题1．若,x y 满足1010330x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =+的最大值为( )A ．8B ．7C ．2D ．12．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,3)n n S +*()n N ∈在函数32xy =⨯的图象上，等比数列{}n b 满足1n n n b b a ++=*()n N ∈，其前n 项和为n T ，则下列结论正确的是（ ）A ．2n n S T =B ．21n n T b =+C ．n n T a >D ．1n n T b +<3．设数列{}n a 是以2为首项，1为公差的等差数列，{}n b 是以1为首项，2为公比的等比数列，则1210b b b a a a ++⋯+=（ ） A ．1033B ．1034C ．2057D ．20584．已知等差数列{}n a 满足244a a +=，3510a a +=，则它的前10项的和10S =（ ） A ．138B ．135C ．95D ．235．已知函数1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则不等式()24(3)f a f a ->的解集为( )A ．(4,1)-B ．(1,4)-C ．(1,4)D ．(0,4)6．设,x y 满足约束条件0,20,240,x y x y x y -≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩则2z x y =+的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．12D ．137．下列命题正确的是A ．若 a ＞b,则a 2＞b 2B ．若a ＞b ，则 ac ＞bcC ．若a ＞b ，则a 3＞b 3D ．若a>b ，则1a ＜1b8．已知实数x ，y 满足521802030x y x y x y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪+-≥⎩，若直线10kx y -+=经过该可行域，则实数k的最大值是（ ） A ．1B ．32C ．2D ．39．设x ，y 满足约束条件33,1,0,x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩则z =x +y 的最大值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．310．已知{}n a 为等比数列,472a a +=,568a a =-,则110a a +=（ ） A ．7B ．5C ．5-D ．7-11．已知4213332,3,25a b c ===，则 A ．b a c << B ．a b c << C ．b c a <<D ．c a b <<12．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若341118a a a ++=则11S =（ ） A ．9B ．22C ．36D ．66二、填空题13．等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，1lim 2n n S →∞=，则首项1a 的取值范围是____________．14．数列{}n a 满足11,a =前n 项和为n S ，且*2(2,)n n S a n n N =≥∈，则{}n a 的通项公式n a =____；15．如果一个数列由有限个连续的正整数组成（数列的项数大于2），且所有项之和为N ，那么称该数列为N 型标准数列，例如，数列2，3，4，5，6为20型标准数列，则2668型标准数列的个数为______．16．若ABC ∆的三个内角45A =︒，75B =︒，60C =︒，且面积623S =+，则该三角形的外接圆半径是______17．已知实数x ，y 满足不等式组203026x y x y x y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪+≤⎩，则2z x y =-的最小值为__________．18．设数列{}()1,n a n n N*≥∈满足122,6aa ==，且()()2112n n n n a a a a +++---=，若[]x 表示不超过x 的最大整数，则122019201920192019[]a a a +++=L ____________． 19．在ABC V 中，角A B C ，，所对的边分别为,,a b c ，且满足222sin sin sin sin sin A B C A B +=+，若ABC V 的面积为3，则ab =__20．已知数列是各项均不为的等差数列，为其前项和，且满足()221n n a S n *-=∈N．若不等式()()11181nn n n a nλ++-+⋅-≤对任意的n *∈N 恒成立，则实数的取值范围是 ．三、解答题21．在等差数列{}n a 中，2723a a +=-，3829a a +=-． （1）求数列{}n a 的通项公式．（2）若数列{}n n a b +的首项为1，公比为q 的等比数列，求{}n b 的前n 项和n S ．22．设ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若2cos cos cos c C a B b A =+. （1）求角C .（2）若ABC V 的面积为S ，且224()S b a c =--，2a =，求S .23．在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()sin 2sin 0b A a A C -+=． （1）求角A ；（2）若3a =，ABC △的面积为2，求11b c +的值．24．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()3cos cos 0a b C c B ++=. （1）求cos C 的值；（2）若c =ABC ∆的面积为4，求+a b 的值； 25．已知{a n }是等差数列，{b n }是各项均为正数的等比数列，且b 1＝a 1＝1，b 3＝a 4，b 1＋b 2＋b 3＝a 3＋a 4.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)设c n ＝a n b n ，求数列{c n }的前n 项和T n .26．首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为21200800002y x x =-+，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】试题分析：作出题设约束条件可行域，如图ABC ∆内部（含边界），作直线:20l x y +=，把直线l 向上平移，z 增加，当l 过点(3,2)B 时，3227z =+⨯=为最大值．故选B ．考点：简单的线性规划问题．2．D解析：D 【解析】 【分析】 【详解】由题意可得：332,323n nn n S S +=⨯=⨯- ，由等比数列前n 项和的特点可得数列{}n a 是首项为3，公比为2的等比数列，数列的通项公式：132n n a -=⨯ ，设11n nb b q -= ，则：111132n n n b q b q --+=⨯ ，解得：11,2b q == ，数列{}n b 的通项公式12n nb -= ，由等比数列求和公式有：21nn T =- ，考查所给的选项：13,21,,n n n n n n n n S T T b T a T b +==-<< .本题选择D 选项.3．A解析：A 【解析】 【分析】 【详解】首先根据数列{a n }是以2为首项，1为公差的等差数列，{b n }是以1为首项，2为公比的等比数列，求出等差数列和等比数列的通项公式，然后根据a b1+a b2+…+a b10=1+2+23+25+…+29+10进行求和． 解：∵数列{a n }是以2为首项，1为公差的等差数列， ∴a n =2+（n-1）×1=n+1， ∵{b n }是以1为首项，2为公比的等比数列， ∴b n =1×2n-1， 依题意有：a b1+a b2+…+a b10=1+2+22+23+25+…+29+10=1033， 故选A ．4．C解析：C 【解析】试题分析：∵24354{10a a a a +=+=，∴1122{35a d a d +=+=，∴14{3a d =-=， ∴1011091040135952S a d ⨯=+⨯=-+=． 考点：等差数列的通项公式和前n 项和公式．5．B解析：B 【解析】 【分析】先判断函数1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调性，把()24(3)f a f a ->转化为自变量的不等式求解.【详解】可知函数()f x 为减函数，由2(4)(3)f a f a ->，可得243a a -<，整理得2340a a --<，解得14a -<<，所以不等式的解集为(1,4)-． 故选B. 【点睛】本题考查函数不等式，通常根据函数的单调性转化求解，一般不代入解析式.6．C解析：C 【解析】 【分析】由约束条件可得可行域，将问题变成1122y x z =-+在y 轴截距最大问题的求解；通过平移直线可确定最大值取得的点，代入可得结果. 【详解】由约束条件可得可行域如下图所示：当2z x y =+取最大值时，1122y x z =-+在y 轴截距最大 平移直线12y x =-，可知当直线1122y x z =-+过图中A 点时，在y 轴截距最大由240y xx y =⎧⎨--=⎩得：()4,4A max 42412z ∴=+⨯=故选：C 【点睛】本题考查线性规划中最值问题的求解，关键是能够将问题转化为直线在y 轴截距最值问题的求解，属于常考题型.7．C解析：C 【解析】对于A ，若1a =，1b =-，则A 不成立；对于B ，若0c =，则B 不成立；对于C ，若a b >，则33a b >，则C 正确；对于D ，2a =，1b =-，则D 不成立.故选C8．B解析：B 【解析】 【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用直线20kx y -+=过定点()0,1，再利用k 的几何意义，只需求出直线10kx y -+=过点()2,4B 时，k 值即可． 【详解】直线20kx y -+=过定点()0,1， 作可行域如图所示，，由5218020x y x y +-=⎧⎨-=⎩，得()2,4B ．当定点()0,1和B 点连接时，斜率最大，此时413202k -==-， 则k 的最大值为：32故选：B ． 【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．9．D解析：D 【解析】如图，作出不等式组表示的可行域，则目标函数z x y =+经过(3,0)A 时z 取得最大值，故max 303z =+=，故选D ．点睛:本题主要考查线性规划问题，首先由不等式组作出相应的可行域，并明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数的最值取法或值域范围．10．D解析：D 【解析】 【分析】由条件可得47a a ，的值，进而由27104a a a =和2417a a a =可得解.【详解】56474747822,4a a a a a a a a ==-+=∴=-=Q 或474,2a a ==-.由等比数列性质可知2274101478,1a a a a a a ==-==或2274101471,8a a a a a a ====-1107a a ∴+=-故选D. 【点睛】本题主要考查了等比数列的下标的性质，属于中档题.11．A解析：A 【解析】 【分析】 【详解】因为422233332=4,3,5a b c ===，且幂函数23y x =在(0,)+∞ 上单调递增，所以b <a <c . 故选A.点睛：本题主要考查幂函数的单调性及比较大小问题，解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间()()(),0,0,1,1,-∞+∞ ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用；三是借助于中间变量比较大小.12．D解析：D 【解析】分析：由341118a a a ++=，可得156a d +=，则化简11S =()1115a d +，即可得结果. 详解：因为341118a a a ++=， 所以可得113151856a d a d +=⇒+=， 所以11S =()111511666a d +=⨯=，故选D.点睛：本题主要考查等差数列的通项公式与等差数列的求和公式， 意在考查等差数列基本量运算，解答过程注意避免计算错误.二、填空题13．【解析】【分析】由题得利用即可得解【详解】由题意知可得又因为所以可求得故答案为：【点睛】本题考查了等比数列的通项公式其前n 项和公式数列极限的运算法则考查了推理能力与计算能力属于中档题解析：110,,122⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U【解析】 【分析】 由题得11(1)2a q =-，利用(1,0)(0,1)q ∈-⋃即可得解 【详解】由题意知，1112a q =-，可得11(1)2a q =-，又因为(1,0)(0,1)q ∈-⋃，所以可求得1110,,122a ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U .故答案为：110,,122⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U【点睛】本题考查了等比数列的通项公式其前n 项和公式、数列极限的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．【解析】【分析】根据递推关系式可得两式相减得：即可知从第二项起数列是等比数列即可写出通项公式【详解】因为所以两式相减得：即所以从第二项起是等比数列又所以故又所以【点睛】本题主要考查了数列的递推关系式解析：21,12,2n n n a n -=⎧=⎨≥⎩【解析】 【分析】根据递推关系式()*22,n n S a n n N=≥∈可得()*1123,n n Sa n n N --=≥∈，两式相减得：122(3,)n n n a a a n n N *-=-≥∈，即12(3,)nn a n n N a *-=≥∈，可知从第二项起数列是等比数列，即可写出通项公式. 【详解】因为()*22,n n S a n n N=≥∈所以()*1123,n n S a n n N--=≥∈两式相减得：122(3,)n n n a a a n n N *-=-≥∈即12(3,)nn a n n N a *-=≥∈ 所以{}n a 从第二项起是等比数列， 又22221+S a a ==，所以21a =故22(2,n n a n -=≥ *)n N ∈，又11a =所以21,12,2n n n a n -=⎧=⎨≥⎩. 【点睛】本题主要考查了数列的递推关系式，等比数列，数列的通项公式，属于中档题.15．6【解析】【分析】由题意公差d=1na1+=2668∴n （2a1+n-1）=5336=23×23×29得出满足题意的组数即可得出结论【详解】由题意公差d=1na1+=2668∴n （2a1+n-1）=解析：6 【解析】 【分析】由题意，公差d=1，na 1+()12n n -=2668，∴n （2a 1+n-1）=5336=23×23×29，得出满足题意的组数，即可得出结论． 【详解】由题意，公差d=1，na 1+()12n n -=2668，∴n （2a 1+n-1）=5336=23×23×29， ∵n ＜2a 1+n-1，且二者一奇一偶，∴（n ，2a 1+n-1）=（8，667），（23，232），（29，184）共三组； 同理d=-1时，也有三组． 综上所述，共6组． 故答案为6． 【点睛】本题考查组合知识的运用，考查等差数列的求和公式，属于中档题．16．【解析】【分析】设三角形外接圆半径R 由三角形面积公式解方程即可得解【详解】由题：设三角形外接圆半径为R （）根据正弦定理和三角形面积公式：即解得：故答案为：【点睛】此题考查三角形面积公式和正弦定理的应解析：【解析】 【分析】设三角形外接圆半径R ，由三角形面积公式21sin 2sin sin sin 2S ab C R A B C ==解方程即可得解. 【详解】由题：1sin sin 75sin(4530)2B =︒=︒+︒==设三角形外接圆半径为R （0R >），根据正弦定理和三角形面积公式：211sin 2sin 2sin sin 2sin sin sin 22S ab C R A R B C R A B C ==⋅⋅=即262R +=，解得：R =故答案为：【点睛】此题考查三角形面积公式和正弦定理的应用，利用正弦定理对面积公式进行转化求出相关量，需要对相关公式十分熟练.17．-6【解析】由题得不等式组对应的平面区域为如图所示的△ABC 当直线经过点A(03)时直线的纵截距最大z 最小所以故填-6解析：-6【解析】由题得不等式组对应的平面区域为如图所示的△ABC,当直线122z y x =-经过点A(0，3)时，直线的纵截距2z -最大，z 最小.所以min 023 6.z =-⨯=-故填-6. 18．2018【解析】【分析】数列{an}满足a1＝2a2＝6且（an+2﹣an+1）﹣（an+1﹣an ）＝2利用等差数列的通项公式可得：an+1﹣an ＝2n+2再利用累加求和方法可得an ＝n （n+1）利解析：2018【解析】【分析】数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝6，且（a n +2﹣a n +1）﹣（a n +1﹣a n ）＝2，利用等差数列的通项公式可得：a n +1﹣a n ＝2n +2．再利用累加求和方法可得a n ＝n （n +1）．利用裂项求和方法即可得出．【详解】∵()()2112n n n n a a a a +++---=，∴数列{a n +1﹣a n }为等差数列，首项为4，公差为2．∴a n +1﹣a n ＝4+2（n ﹣1）＝2n +2．∴a n ＝（a n ﹣a n ﹣1）+（a n ﹣1﹣a n ﹣2）+…+（a 2﹣a 1）+a 1＝2n +2（n ﹣1）+…+2×2+2()122n n +=⨯=n （n +1）．∴12201911111111111223201920202020a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L ． ∴][][122019201920192019201912019201820202020a a a ⎡⎤+++=-=+⎢⎥⎣⎦L ＝2018． 故答案为：2018．【点睛】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、累加求和方法与裂项相消求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．4【解析】【分析】由正弦定理化简已知等式可得由余弦定理可得根据同角三角函数基本关系式可得进而利用三角形面积公式即可计算得解【详解】由正弦定理可得即：由余弦定理可得可得的面积为可得解得故答案为4【点睛 解析：4【解析】【分析】由正弦定理化简已知等式可得222a b c ab +-=，由余弦定理可得cos C ，根据同角三角函数基本关系式可得sin C ，进而利用三角形面积公式即可计算得解．【详解】222sin sin sin sin sin A B C A B +=+Q ，∴由正弦定理可得，222ab c a b +=+，即：222a b c ab +-=，∴由余弦定理可得，2221cos 222a b c ab C ab ab +-===，可得sin C ==， ABC QV1sin 24ab C ab ==， ∴解得4ab =，故答案为4．【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，属于中档题．解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．20．【解析】试题分析：由题意则当为偶数时由不等式得即是增函数当时取得最小值所以当为奇数时函数当时取得最小值为即所以综上的取值范围是考点：数列的通项公式数列与不等式恒成立的综合问题 解析：77,153⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【解析】试题分析：由题意，则，当为偶数时由不等式()()11181n n n n a n λ++-+⋅-≤得821n n n λ-≤+，即(8)(21)n n nλ-+≤， (8)(21)8215n n y n n n-+==--是增函数，当2n =时取得最小值15-，所以15;λ≤- 当为奇数时，(8)(21)8217n n n n n λ++-≤=++，函数8217y n n =++， 当3n =时取得最小值为773，即77,3λ-≤所以773λ≥-，综上， 的取值范围是77,153⎡⎤--⎢⎥⎣⎦． 考点：数列的通项公式，数列与不等式恒成立的综合问题．三、解答题21．（1）32n a n =-+；（2）见解析【解析】试题分析：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ．利用通项公式即可得出．（Ⅱ）由数列{}n n a b +是首项为1，公比为q 的等比数列，可得n b ．再利用等差数列与等比数列的通项公式与求和公式即可得出．试题解析：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，∵27382329a a a a +=-⎧⎨+=-⎩，∴1127232929a d a d +=-⎧⎨+=-⎩，解得113a d =-⎧⎨=-⎩， ∴数列{}n a 的通项公式为32n a n =-+．（2）由数列{}n n a b +是首项为1，公比为q 的等比数列得1n n n a b q -+=，即132n n n b q --++=，∴132n n b n q -=-+，∴()()21147321n n S n q q q -⎡⎤=++++-+++++⎣⎦L L()()213112n n n q q q --=+++++L ．∴当1q =时，()231322n n n n n S n -+=+=； 当1q ≠时，()31121nn n n q S q--=+-．22．（1）3C π=；（2）S =【解析】【分析】 （1）利用正弦定理与两角和正弦公式可得到结果；（2）由题意及三角形面积公式可得2cos 22sin ac B ac ac B -+=，结合特殊角的三角函数值得到2B π=，从而得到结果. 【详解】（1）由正弦定理得2sin cos sin cos sin cos C C A B B A =+，∴2sin cos sin()sin C C A B C =+=， ∴1cos 2C =，∵(0,)C π∈， ∴3C π=.（2）222224()22sin S b a c b a c ac ac B =--=--+=，∴由余弦定理得2cos 22sin ac B ac ac B -+=，∴sin cos 1B B +=，∴sin 42B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ∵20,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴2B π=，∴S =【点睛】本题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及三角恒等变换，考查计算能力与推理能力，属于中档题．23．（1）3π；（2【解析】【分析】（1）可通过化简()sin2sin 0b A a A C -+=计算出cos A 的值，然后解出A 的值。
2020-2021东莞市初三数学下期中第一次模拟试题附答案
2020-2021东莞市初三数学下期中第一次模拟试题附答案一、选择题1．若点A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）都在反比例函数1yx=-的图象上，并且x1＜0＜x2＜x3，则下列各式中正确的是（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y3＜y1C．y1＜y3＜y2D．y3＜y1＜y22．如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB．则cos∠AOB的值等于（）A．B．C．D．3．如图，D是△ABC的边BC上一点，已知AB=4，AD=2．∠DAC=∠B，若△ABD的面积为a，则△ACD的面积为（）A．a B．a C．a D．a4．如图，点D，E分别在△ABC的AB，AC边上，增加下列条件中的一个：①∠AED＝∠B，②∠ADE＝∠C，③AE DEAB BC=，④AD AEAC AB=，⑤AC2＝AD•AE，使△ADE与△ACB一定相似的有（）A．①②④B．②④⑤C．①②③④D．①②③⑤5．如图，△ABC 中，AD 是中线，BC=8，∠B=∠DAC，则线段AC 的长为（）A．3B．2C．6D．46．下列命题是真命题的是（）A．如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的周长比为2:3B．如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的周长比为4:9C．如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的面积比为2:3D．如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的面积比为4:97．已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞PB），AB=4，那么AP的长是（）A．252-B．25-C．251-D．52-8．在平面直角坐标系中，将点（2，l）向右平移3个单位长度，则所得的点的坐标是（）A．（0，5）B．（5，1）C．（2，4）D．（4，2）9．如图，在以O为原点的直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数kyx= (x＞0)与AB相交于点D，与BC相交于点E，若BD=3AD，且△ODE的面积是9,则k的值是( )A．92B．74C．245D．1210．制作一块3m×2m长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是（）A．360元B．720元C．1080元D．2160元11．下列四个几何体中，主视图与左视图相同的几何体有（）A．1个B．2个C．3个D．4个12．给出下列函数：①y=﹣3x+2；②y=3x；③y=2x2；④y=3x，上述函数中符合条作“当x＞1时，函数值y随自变量x增大而增大“的是（）A．①③B．③④C．②④D．②③二、填空题13．如图,在一段坡度为1∶2的山坡上种树,要求株距(即相邻两株树之间的水平距离)为6米,那么斜坡上相邻两株树之间的坡面距离为____米.14．利用标杆CD测量建筑物的高度的示意图如图所示，使标杆顶端的影子与建筑物顶端的影子恰好落在地面的同一点E．若标杆CD的高为1.5米，测得DE＝2米，BD＝16米，则建筑物的高AB为_____米．15．如图，在平面直角坐标系中，已知A（1，0），D（3，0），△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心，若AB=2，则DE=______.16．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝12，AD＝8，∠ABC的平分线交CD于点F，交AD的延长线于点E，CG⊥BE，垂足为G，若EF＝2，则线段CG的长为_____．17．如图，等腰直角三角形ABC中， AB=4 cm.点是BC边上的动点，以AD为直角边作等腰直角三角形ADE.在点D从点B移动至点C的过程中，点E移动的路线长为________cm.18．反比例函数y＝kx的图象经过点P(a、b)，其中a、b是一元二次方程x2＋k x＋4＝0的两根，那么点P的坐标是________．19．如图所示，将一副三角板摆放在一起，组成四边形ABCD，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠ADC ＝60°，∠ACB ＝45°，连接BD ，则tan ∠CBD 的值为_____．20．如图，已知AD AE =，请你添加一个条件，使得ADC AEB △≌△，你添加的条件是_____．（不添加任何字母和辅助线）三、解答题21．如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位的小正方形，点A 、B 、C 都是格点(每个小方格的顶点叫格点)，其中()A 1,8，()B 3,8，()C 4,7． ()1ABC V 外接圆的圆心坐标是______；()2ABC V 外接圆的半径是______；()3已知ABC V 与DEF(V 点D 、E 、F 都是格点)成位似图形，则位似中心M 的坐标是______；()4请在网格图中的空白处画一个格点111A B C V ，使111A B C V ∽ABC V ，且相似比为2：1．22．如图：一辆汽车在一个十字路口遇到红灯刹车停下，汽车里的驾驶员看地面的斑马线前后两端的视角分别是∠DCA=30°和∠DCB=60°，如果斑马线的宽度是AB=3米，驾驶员与车头的距离是0.8米，这时汽车车头与斑马线的距离x 是多少？23．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+b与双曲线y＝kx相交于A，B两点，已知A（2，5）．求：（1）b和k的值；（2）△OAB的面积．24．如图，平面直角坐标系xOy中，A（2，1），B（3，﹣1），C（﹣2，1），D（0，2）．已知线段AB绕着点P逆时针旋转得到线段CD，其中C是点A的对应点．（1）用尺规作图的方法确定旋转中心P，并直接写出点P的坐标；（要求保留作图痕迹，不写作法）（2）若以P为圆心的圆与直线CD相切，求⊙P的半径25．如图，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为60°，沿山坡向上走到P处再测得点C的仰角为45°，已知OA＝100米，山坡坡度(竖直高度与水平宽度的比)i＝1：2，且O、A、B在同一条直线上．求电视塔OC的高度以及此人所在位置点P的铅直高度．(测倾器高度忽略不计，结果保留根号形式)【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【解析】【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据x1＜0＜x2＜x3即可得出结论．【详解】∵反比例函数y=﹣1x中k=﹣1＜0，∴函数图象的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大．∵x1＜0＜x2＜x3，∴B、C两点在第四象限，A点在第二象限，∴y2＜y3＜y1．故选B．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．本题也可以通过图象法求解．2．B解析：B【解析】【分析】根据作图可以证明△AOB是等边三角形，则∠AOB=60°，据此即可求解．【详解】连接AB，由图可知：OA=0B ，AO=AB∴OA=AB=OB ，即三角形OAB 为等边三角形，∴∠AOB=60°，∴cos ∠AOB=cos60°=． 故选B ．【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，正确理解△ABC 是等边三角形是解题的关键．3．C解析：C【解析】【分析】【详解】解：∵∠DAC=∠B ，∠C=∠C ，∴△ACD ∽△BCA ，∵AB=4，AD=2，∴△ACD 的面积：△ABC 的面积为1：4，∴△ACD 的面积：△ABD 的面积=1：3，∵△ABD 的面积为a ，∴△ACD 的面积为a ，故选C ．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相关性质是本题的解题关键．4．A解析：A【解析】①AED B ∠=∠，且DAE CAB ∠=∠，∴ADE ACB V V ∽，成立．②ADE C ∠=∠且DAE CAB ∠=∠，∴ADE ACB V V ∽，成立． ③AE DE AB BC=，但AED V 比一定与B Ð相等，故ADE V 与ACD V 不一定相似． ④AD AE AC AB=且DAE CAB ∠=∠， ∴ADE ACB V V ∽，成立．⑤由2AC AD AE =⋅，得AC AE AD AC=无法确定出ADE V ， 故不能证明：ADE V 与ABC V 相似．故答案为A ．点睛：本题考查了相似三角形的判定定理:(1)两角对应相等的两个三角形相似;(2)两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似;(3)三边对应成比例的两个三角形相似;(4)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似.5．B解析：B【解析】【分析】由已知条件可得ABC DAC ~V V ,可得出AC BC DC AC =,可求出AC 的长． 【详解】解：由题意得：∠B =∠DAC ，∠ACB =∠ACD,所以ABC DAC ~V V ，根据“相似三角形对应边成比例”，得AC BC DC AC=，又AD 是中线，BC =8，得DC=4,代入可得AC= 故选B.【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质．灵活运用相似的性质可得出解答． 6．B解析：B【解析】【分析】根据相似三角形的性质分别对每一项进行分析即可．【详解】解：A 、如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的周长比为4:9，是假命题；B 、如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的周长比为4:9，是真命题；C 、如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的面积比为16:81，是假命题；D 、如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的面积比为16:81，是假命题；故选B ．【点睛】此题考查了命题与定理，用到的知识点是相似三角形的性质，关键是熟练掌握有关性质和定理．7．A解析：A【解析】根据黄金比的定义得：12AP AB = ，得1422AP =⨯= .故选A. 8．B解析：B【解析】【分析】在平面直角坐标系中，将点（2，l ）向右平移时，横坐标增加，纵坐标不变.【详解】将点（2，l ）向右平移3个单位长度，则所得的点的坐标是（5，1）.故选：B.【点睛】本题运用了点平移的坐标变化规律，关键是把握好规律.9．C解析：C【解析】【分析】设B 点的坐标为（a ，b ），由BD=3AD ，得D （4a ，b ），根据反比例函数定义求出关键点坐标，根据S △ODE =S 矩形OCBA -S △AOD -S △OCE -S △BDE = 9求出k.【详解】 ∵四边形OCBA 是矩形，∴AB=OC ，OA=BC ，设B 点的坐标为（a ，b ），∵BD=3AD ，∴D （4a ，b ）， ∵点D ，E 在反比例函数的图象上， ∴4ab =k ， ∴E （a ， k a）， ∵S △ODE =S 矩形OCBA -S △AOD -S △OCE -S △BDE =ab-12•4ab -12•4ab -12•34a •（b-k a ）=9， ∴k=245， 故选：C【点睛】 考核知识点：反比例函数系数k 的几何意义. 结合图形，分析图形面积关系是关键.10．C解析：C【解析】【分析】根据题意求出长方形广告牌每平方米的成本，根据相似多边形的性质求出扩大后长方形广告牌的面积，计算即可．【详解】3m×2m=6m2，∴长方形广告牌的成本是120÷6=20元/m2，将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，则面积扩大为原来的9倍，∴扩大后长方形广告牌的面积=9×6=54m2，∴扩大后长方形广告牌的成本是54×20=1080元，故选C．【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．11．D解析：D【解析】解：①正方体的主视图与左视图都是正方形；②球的主视图与左视图都是圆；③圆锥主视图与左视图都是三角形；④圆柱的主视图和左视图都是长方形；故选D．12．B解析：B【解析】分析：分别利用一次函数、正比例函数、反比例函数、二次函数的增减性分析得出答案．详解：①y=﹣3x+2，当x＞1时，函数值y随自变量x增大而减小，故此选项错误；②y=3x，当x＞1时，函数值y随自变量x增大而减小，故此选项错误；③y=2x2，当x＞1时，函数值y随自变量x增大而减小，故此选项正确；④y=3x，当x＞1时，函数值y随自变量x增大而减小，故此选项正确．故选B．点睛：本题主要考查了一次函数、正比例函数、反比例函数、二次函数的性质，正确把握相关性质是解题的关键．二、填空题13．3米【解析】【分析】利用垂直距离：水平宽度得到水平距离与斜坡的比把相应的数值代入即可【详解】解：∵坡度为1：2且株距为6米∴株距：坡面距离=2：∴坡面距离=株距×（米）【点睛】本题是将实际问题转化为解析：【解析】【分析】利用垂直距离：水平宽度得到水平距离与斜坡的比，把相应的数值代入即可．【详解】解：∵坡度为1：2=6米，∴株距：坡面距离=2∴坡面距离=株距×2=【点睛】本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可把条件和问题放到直角三角形中，进行解决．要注意坡度是坡角的正切函数．14．5【解析】【分析】根据同一时刻同一地点物高与影长成正比列式求得CD 的长即可【详解】解：∵AB∥CD∴△EBA∽△ECD∴即∴AB＝135（米）故答案为：135【点睛】此题主要考查相似三角形的性质解题解析：5【解析】【分析】根据同一时刻同一地点物高与影长成正比列式求得CD的长即可．【详解】解：∵AB∥CD，∴△EBA∽△ECD，∴CD EDAB EB=，即1.52216AB=+，∴AB＝13.5（米）．故答案为：13.5【点睛】此题主要考查相似三角形的性质，解题的关键是熟知相似三角形的判定与性质.15．6【解析】【分析】利用位似的性质得到AB：DE=OA：OD然后把OA=1OD=3 AB=2代入计算即可【详解】解：∵△ABC与△DEF位似原点O是位似中心∴AB：DE=OA：OD即2：DE=1：3∴D解析：6【解析】【分析】利用位似的性质得到AB：DE=OA：OD，然后把OA=1，OD=3，AB=2代入计算即可．【详解】解：∵△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心，∴AB：DE=OA：OD，即2：DE=1：3，∴DE=6．故答案是：6．【点睛】考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．16．2【解析】【分析】首先证明CF=BC=12利用相似三角形的性质求出BF再利用勾股定理即可解决问题【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形∴AB＝CD＝12AE∥BCAB∥CD∴∠CFB＝∠FBA∵B解析：【解析】【分析】首先证明CF=BC=12，利用相似三角形的性质求出BF，再利用勾股定理即可解决问题．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD＝12，AE∥BC，AB∥CD，∴∠CFB＝∠FBA，∵BE平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBF，∴∠CFB＝∠CBF，∴CB＝CF＝8，∴DF＝12﹣8＝4，∵DE∥CB，∴△DEF∽△CBF，∴EFBF＝DFCF，∴2BF＝48，∴BF＝4，∵CF＝CB，CG⊥BF，∴BG＝FG＝2，在Rt△BCG中，CG＝故答案为【点睛】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．17．【解析】试题解析：连接CE 如图：∵△ABC 和△ADE 为等腰直角三角形∴AC=ABAE=AD∠BAC=45°∠DAE=45°即∠1+∠2=45°∠2+∠3=45°∴∠1=∠3∵∴△ACE∽△ABD∴∠ 解析：42【解析】试题解析：连接CE ，如图：∵△ABC 和△ADE 为等腰直角三角形，∴2AB ，2AD ，∠BAC=45°，∠DAE=45°，即∠1+∠2=45°，∠2+∠3=45°， ∴∠1=∠3，∵2AC AE AB AD== ∴△ACE ∽△ABD ， ∴∠ACE=∠ABC=90°，∴点D 从点B 移动至点C 的过程中，总有CE ⊥AC ，即点E 运动的轨迹为过点C 与AC 垂直的线段，22， 当点D 运动到点C 时，2，∴点E 移动的路线长为2cm ．18．（-2-2）【解析】【分析】先根据点P （ab ）是反比例函数y=的图象上的点把点P 的坐标代入解析式得到关于abk 的等式ab=k ；又因为ab 是一元二次方程x2+kx+4=0的两根得到a+b=-kab=4解析：（-2，-2）．【解析】 【分析】先根据点P （a ，b ）是反比例函数y=k x的图象上的点，把点P 的坐标代入解析式，得到关于a 、b 、k 的等式ab=k ；又因为a 、b 是一元二次方程x 2+kx+4=0的两根，得到a+b=-k ，ab=4，根据以上关系式求出a 、b 的值即可． 【详解】把点P （a ，b ）代入y=k x得，ab=k ，因为a 、b 是一元二次方程x 2+kx+4=0的两根，根据根与系数的关系得：a+b=-k ，ab=4， 于是有：a b 4{ab 4+=-=， 解得a 2 {b 2=-=-， ∴点P 的坐标是（-2，-2）．19．【解析】【分析】如图所示连接BD 过点D 作DE 垂直于BC 的延长线于点E 构造直角三角形将∠CBD 置于直角三角形中设CE 为x 根据特殊直角三角形分别求得线段CDACBC 从而按正切函数的定义可解【详解】解：如 解析：312- 【解析】【分析】如图所示，连接BD ，过点D 作DE 垂直于BC 的延长线于点E ，构造直角三角形，将∠CBD 置于直角三角形中，设CE 为x ，根据特殊直角三角形分别求得线段CD 、AC 、BC ，从而按正切函数的定义可解．【详解】解：如图所示，连接BD ，过点D 作DE 垂直于BC 的延长线于点E,∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝45°，在Rt △ACD 中，∠ACD ＝90°∴∠DCE ＝45°，∵DE ⊥CE∴∠CEB ＝90°，∠CDE ＝45°∴设DE ＝CE ＝x ，则CD 2x ，在Rt △ACD 中，∵∠CAD ＝30°，∴tan ∠3CD AC ， 则AC 6x ，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝∠BCA ＝45°∴BC 3，∴在Rt △BED 中，tan ∠CBD ＝DEBE． 【点睛】 本题考查了用定义求三角函数，同时考查了特殊角的三角函数值，如何作辅助线，是解题的关键．20．或或【解析】【分析】根据图形可知证明已经具备了一个公共角和一对相等边因此可以利用ASASASAAS 证明两三角形全等【详解】∵∴可以添加此时满足SAS ；添加条件此时满足ASA ；添加条件此时满足AAS 故解析：AB AC =或ADC AEB ∠=∠或ABE ACD ∠=∠.【解析】【分析】根据图形可知证明ADC AEB V V ≌已经具备了一个公共角和一对相等边，因此可以利用ASA 、SAS 、AAS 证明两三角形全等．【详解】∵A A ∠∠= ，AD AE =，∴可以添加AB AC = ，此时满足SAS ；添加条件ADC AEB ∠∠= ，此时满足ASA ；添加条件ABE ACD ∠∠=，此时满足AAS ，故答案为：AB AC =或ADC AEB ∠∠=或ABE ACD ∠∠=；【点睛】本题考查了全等三角形的判定，是一道开放题，解题的关键是牢记全等三角形的判定方法．三、解答题21．（1）(2，6);（2（3）(3，6) ;（4）见解析.【解析】【分析】（1）根据作图,结合网格特点解答；（2）根据线段垂直平分线的性质和三角形的外接圆的概念解答；（3）根据位似变换和位似中心的概念解答；（4）根据相似三角形的对应边的比相等，都等于相似比解答.【详解】解：（1）如图1，由作图可知△ABC外接圆的圆心坐标是(2，6),故答案为(2，6)；（2）作AB、BC的垂直平分线交于G，连接AG，根据网格特点可知，点G的坐标为（2，6），则AG=22=5，12则△ABC外接圆的半径是5，故答案为5；（3）如图2，连接BE、FC，根据网格特点，BE与FC交于点M，点M的坐标为（3，6），根据位似中心的概念可知，位似中心M的坐标是（3，6），故答案为（3，6）；（4）由网格特点可知，AB=2，2，10，∵△A1B1C1∽△ABC2：1,∴A1B12，B1C1=2，A1C15所求的△A1B1C1如图3．【点睛】本题考查的是格点正方形、锐角三角函数的定义、位似变换与位似中心与相似三角形的性质，掌握如果两个图形不仅是相似图形，且对应点连线相交于一点，对应线段互相平行，这两个图形是位似图形是解题的关键.22．7【解析】【分析】根据已知角的度数，易求得∠BAC＝∠BCA＝30°，由此得BC＝AB＝3米；可在Rt△CBF中，根据BC的长和∠CBF的余弦值求出BF的长，进而由x＝BF−EF求得汽车车头与斑马线的距离．【详解】如图：延长AB．∵CD∥AB，∴∠CAB＝30°，∠CBF＝60°；∴∠BCA＝60°−30°＝30°，即∠BAC＝∠BCA；∴BC＝AB＝3米；Rt△BCF中，BC＝3米，∠CBF＝60°；∴BF＝12BC＝1.5米；故x＝BF−EF＝1.5−0.8＝0.7米．答：这时汽车车头与斑马线的距离x是0.7米．【点睛】本题考查俯角的定义，要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形．23．（1）b=3，k=10；（2）S △AOB =212． 【解析】（1）由直线y=x+b 与双曲线y=k x相交于A 、B 两点，A （2，5），即可得到结论； （2）过A 作AD⊥x 轴于D ，BE⊥x 轴于E ，根据y=x+3，y=10x，得到（-5，-2），C （-3，0）．求出OC=3，然后根据三角形的面积公式即可得到结论. 解：（1）把()2,5A 代入y x b =+．∴52b =+∴3b =．把()2,5A 代入k y x =，∴52k =， ∴10k =．（2）∵10y x =，3y x =+． ∴103x x=+时，2103x x =+， ∴12x =，25x =-．∴()5,2B --．又∵()3,0C -，∴AOB AOC BOC S S S =+V V V 353222⨯⨯=+ 10.5=． 24．（1）如图点P 即为所求．见解析；（2）以P 为圆心的圆与直线CD 相切，⊙P 的半【解析】【分析】（1）作相对AC ，BD 的垂直平分线，两条垂直平分线的交点P 即为所求．（2）作PE ⊥CD 于E ，求出点E 的坐标，利用相似三角形的性质求出PE 即可．【详解】（1）如图点P 即为所求．（2）作PE⊥CD于E，设AC交PD于K．∵∠CDO＝∠PDE，∠CKD＝∠PED＝90°，∴△COD∽△PED，∴COPE＝CDPD，∴2PE5∴PE 65，∵以P为圆心的圆与直线CD相切，∴⊙P 65．【点睛】本题考查作图，相似三角形的判定和性质，切线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．25．电视塔OC高为1003P的铅直高度为)100313（米）．【解析】【分析】过点P作PF⊥OC，垂足为F,在Rt△OAC中利用三角函数求出3,根据山坡坡度＝1：2表示出PB＝x， AB＝2x, 在Rt△PCF中利用三角函数即可求解.【详解】过点P作PF⊥OC，垂足为F．在Rt△OAC中，由∠OAC＝60°，OA＝100，得OC＝OA•tan∠OAC＝3（米），过点P作PB⊥OA，垂足为B．由i＝1：2，设PB＝x，则AB＝2x．∴PF＝OB＝100+2x，CF＝3x．在Rt△PCF中，由∠CPF＝45°，∴PF＝CF，即100+2x＝1003﹣x，∴x＝10031003-，即PB＝10031003-米．【点睛】本题考查了特殊的直角三角形,三角函数的实际应用,中等难度,作出辅助线构造直角三角形并熟练应用三角函数是解题关键.。
2020-2021高三数学下期中一模试题附答案
2020-2021高三数学下期中一模试题附答案一、选择题1．等差数列{}n a 中，已知70a >，390a a +<，则{}n a 的前n 项和n S 的最小值为（ ） A ．4SB ．5SC ．6SD ．7S2．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2b =，6B π=，4C π=，则ABC ∆的面积为（ ）A ．2+B 1C ．2D 13．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =-，数列{}n b 满足1sin2n n n b a π+=，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，则2017T =（ ） A ．2016B ．2017C ．2018D ．20194．已知数列{}n a 的通项公式是221sin2n n a n π+=（），则12310a a a a ++++=L A ．110B ．100C ．55D ．05．若n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，其首项10a >，991000a a +>，991000a a ⋅< ，则使0n S >成立的最大自然数n 是（ ） A ．198B ．199C ．200D ．2016．已知等差数列{}n a ,前n 项和为n S ,5628a a +=,则10S =( ) A ．140B ．280C ．168D ．567．数列{}n a 的前n 项和为21n S n n =++,()()1N*nn n b a n =-∈,则数列{}n b 的前50项和为（ ） A ．49B ．50C ．99D ．100 8．在等差数列{}n a 中，351024a a a ++=，则此数列的前13项的和等于（ ） A ．16B ．26C ．8D ．139．已知幂函数()y f x =过点(4,2)，令(1)()n a f n f n =++，n +∈N ，记数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则10n S =时，n 的值是（ ） A ．10B ．120C ．130D ．14010．已知{}n a 是等比数列，22a =，514a =，则12231n n a a a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ） A ．()1614n--B ．()1612n--C ．()32123n -- D ．()32143n -- 11．当()1,2x ∈时，不等式220x mx ++≥恒成立，则m 的取值范围是（ ）A ．()3,-+∞B ．()22,-+∞C ．[)3,-+∞D ．)22,⎡-+∞⎣12．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若sin 23sin 0b A a B +=，3b c =，则ca的值为（ ）A ．1B ．3 C ．5 D ．7 二、填空题13．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边为,,a b c ，若23sin c ab C =，则当b aa b+取最大值时，cos C =__________；14．已知数列{}n a 的前n 项和n s =23n -2n+1,则通项公式.n a =_________15．已知函数()2xf x =，等差数列{}n a 的公差为2，若()2468104f a a a a a ++++=，则()()()()212310log f a f a f a f a ⋅⋅⋅⋅=⎡⎤⎣⎦L ___________.16．已知是数列的前项和，若，则_____．17．已知数列{}n a 中，11a =，且1113()n nn N a a *+=+∈，则10a =__________.（用数字作答）18．已知关于x 的一元二次不等式ax 2+2x+b ＞0的解集为{x|x≠c}，则227a b a c+++（其中a+c≠0）的取值范围为_____． 19．设数列{a n }的首项a 1＝32，前n 项和为S n ，且满足2a n ＋1＋S n ＝3(n ∈N *)，则满足2188177n n S S <<的所有n 的和为________． 20．点D 在ABC V 的边AC 上，且3CD AD =，2BD =，3sin2ABC ∠=3AB BC +的最大值为______.三、解答题21．已知正项等比数列{}n a 满足26S =，314S =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若2log n n b a =，已知数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T 证明：1n T <．22．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 114=，公比q >0，S 1+a 1，S 3+a 3，S 2+a 2成等差数列.（1）求{a n }； （2）设b n ()()22212n n n n c n b b log a +==+，，求数列{c n }的前n 项和T n .23．在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知sin cos 6b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. （1）求角B 的大小；（2）设a =2，c =3，求b 和()sin 2A B -的值.24．在等差数列{}n a 中，2723a a +=-，3829a a +=-. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n n a b +是首项为1，公比为2的等比数列，求{}n b 的前n 项和n S .25．设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，满足：对任意的n ∈N *，都有a n +1+S n +1＝1，又a 112=． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）令b n ＝log 2a n ，求12231111n n b b b b b b L ++++（n ∈N *） 26．设a ，b ，c 均为正数，且a+b+c=1，证明： （Ⅰ）ab+bc+ac ≤13； （Ⅱ）2221a b c b c a++≥.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】先通过数列性质判断60a <，再通过数列的正负判断n S 的最小值. 【详解】∵等差数列{}n a 中，390a a +<，∴39620a a a +=<，即60a <.又70a >，∴{}n a 的前n 项和n S 的最小值为6S . 故答案选C 【点睛】本题考查了数列和的最小值，将n S 的最小值转化为{}n a 的正负关系是解题的关键.2．B解析：B 【解析】试题分析：根据正弦定理，，解得，，并且，所以考点：1．正弦定理；2．面积公式．3．A解析：A 【解析】 【分析】由2n S n n =-得到22n a n =-，即n b =2(1)cos2n n π-，利用分组求和法即可得到结果. 【详解】由数列{}n a 的前n 项和为2n S n n =-，当1n =时，11110a S ==-=；当2n …时，1n n n a S S -=-22(1)(1)22n n n n n ⎡⎤=-----=-⎣⎦，上式对1n =时也成立， ∴22n a n =-， ∴cos2n n n b a π==2(1)cos 2n n π-， ∵函数cos 2n y π=的周期242T ππ==，∴()2017152013T b b b =++++L (26b b +)2014b ++L ()()3720154820162017b b b b b b b +++++++++L L02(152013)0=-+++++L 2(3+72015)045042016+++=⨯=L ，故选：A. 【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，利用分组法求数列的和，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于中档题．解析：C 【解析】 【分析】由已知条件得a n ＝n 2sin （2n 12+π）＝22,,n n n n ⎧-⎨⎩是奇数是偶数，所以a 1+a 2+a 3+…+a 10＝22﹣12+42﹣32+…+102﹣92，由此能求出结果． 【详解】∵2n 12+π =n π+2π，n ∈N *，∴a n ＝n 2sin （2n 12+π）＝22,,n n n n ⎧-⎨⎩是奇数是偶数，∴a 1+a 2+a 3+…+a 10＝22﹣12+42﹣32+…+102﹣92＝1+2+3+…+10＝()101+10=552故选C ． 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、分类讨论方法、三角函数的周期性，属于中档题．5．A解析：A 【解析】 【分析】先根据10a >，991000a a +>，991000a a ⋅<判断出991000,0a a ><；然后再根据等差数列前n 项和公式和等差中项的性质，即可求出结果． 【详解】∵991000a a ⋅<， ∴99a 和100a 异号； ∵1991000,0a a a >+>，991000,0a a ∴><， 有等差数列的性质可知，等差数列{}n a 的公差0d <， 当99,*n n N ≤∈时，0n a >；当100,*n n N ≥∈时，0n a <； 又()()119899100198198198022a a a a S +⨯+⨯==> ，()119919910019919902a a S a+⨯==<，由等差数列的前n 项和的性质可知，使前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是198. 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质．考查了学生的推理能力和运算能力．6．A【解析】由等差数列的性质得，5611028a a a a +==+，∴其前10项之和为()11010102814022a a +⨯==，故选A. 7．A解析：A 【解析】试题分析：当1n =时，113a S ==；当2n ≥时，()()()22111112n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=++--+-+=⎣⎦,把1n =代入上式可得123a =≠.综上可得3,1{2,2n n a n n ==≥.所以3,1{2,12,n n b n n n n n -==-≠为奇数且为偶数.数列{}n b 的前50项和为()()503235749224650S =--+++++++++L L ()()24349252503224922++=--⋅+⋅=.故A 正确.考点：1求数列的通项公式;2数列求和问题.8．D解析：D 【解析】 【详解】试题分析：∵351024a a a ++=，∴410224a a +=，∴4102a a +=，∴1134101313()13()1322a a a a S ++===，故选D. 考点：等差数列的通项公式、前n 项和公式.9．B解析：B 【解析】 【分析】根据幂函数所过点求得幂函数解析式，由此求得n a 的表达式，利用裂项求和法求得n S 的表达式，解方程10n S =求得n 的值. 【详解】设幂函数为()f x x α=，将()4,2代入得142,2αα==，所以()f x =所以n a =1na =1n S =L 1=，由110n S ==解得120n =，故选B. 【点睛】本小题主要考查幂函数解析式的求法，考查裂项求和法，考查方程的思想，属于基础题.10．D解析：D 【解析】 【分析】 先求出31()2n n a -=，再求出2511()2n n n a a -+=，即得解.【详解】由题得35211,82a q q a ==∴=. 所以2232112()()22n n n n a a q---==⨯=，所以32251111()()()222n n n n n a a ---+=⋅=. 所以1114n n n n a a a a +-=，所以数列1{}n n a a +是一个等比数列. 所以12231n n a a a a a a +++⋅⋅⋅+=18[1()]4114n --=()32143n --. 故选：D 【点睛】本题主要考查等比数列通项的求法和前n 项和的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11．D解析：D 【解析】由()1,2x ∈时，220x mx ++≥恒成立得2m x x ⎛⎫≥-+⎪⎝⎭对任意()1,2x ∈恒成立，即max 2,m x x ⎡⎤⎛⎫≥-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦Q当x 时，2x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭取得最大值m -∴≥-，m 的取值范围是)⎡-+∞⎣，故选D.【易错点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值以及不等式恒成立问题，属于中档题. 利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.12．D解析：D 【解析】分析：由正弦定理可将sin2sin 0b A B =化简得cosA =，由余弦定理可得222227a b c bccosA c =+-=，从而得解.详解：由正弦定理，sin2sin 0b A B +=，可得sin2sin 0sinB A B +=，即2sin sin 0sinB AcosA B = 由于：0sinBsinA ≠，所以cosA =：， 因为0＜A ＜π，所以5πA 6=．又b =，由余弦定理可得22222222337a b c bccosA c c c c =+-=++=.即227a c =，所以7c a =. 故选：D ．点睛：在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．二、填空题13．【解析】【分析】由余弦定理得结合条件将式子通分化简得再由辅助角公式得出当时取得最大值从而求出结果【详解】在中由余弦定理可得所以其中当取得最大值时∴故答案为：【点睛】本题考查解三角形及三角函数辅助角公【解析】 【分析】由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，结合条件23sin c ab C =，将式子b aa b+通分化简得3sin 2cos C C +，再由辅助角公式得出b aa b +()13sin C ϕ=+，当2C πϕ+=时，b aa b +取得最大值，从而求出结果. 【详解】在ABC ∆中由余弦定理可得2222cos c a b ab C =+-，所以2222cos 3sin 2cos 3sin 2cos b a a b c ab C ab C ab C C C a b ab ab ab++++====+()13sin C ϕ=+，其中213sin ϕ=，313cos ϕ=， 当b a a b +132C πϕ+=，∴213cos cos sin 213C πϕϕ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭．故答案为：21313. 【点睛】本题考查解三角形及三角函数辅助角公式，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.14．【解析】试题分析：n=1时a1=S1=2；当时-2n+1－-2（n-1）+1=6n-5a1=2不满足所以数列的通项公式为考点：1数列的前n 项和；2数列的通项公式解析：n a =2,1{65,2n n n =-≥ 【解析】试题分析：n=1时，a 1=S 1=2；当2n ≥时，1n n n a S S -=-=23n -2n+1－[23(1)n --2（n-1）+1]=6n-5, a 1=2不满足61n a n =-，所以数列{}n a 的通项公式为n a =2,1{65,2n n n =-≥.考点：1.数列的前n 项和；2.数列的通项公式.15．【解析】【分析】根据指数运算出再利用等差中项的性质得出并得出然后再利用等差数列的性质和指数对数的运算法则求出的值【详解】依题意有且则而因此故答案为【点睛】本题考查等差数列基本性质的计算同时也考查了等 解析：6-【解析】【分析】根据指数运算出2468102a a a a a ++++=，再利用等差中项的性质得出625a =，并得出56825a a =-=-，然后再利用等差数列的性质和指数、对数的运算法则求出()()()()212310log f a f a f a f a ⋅⋅⋅⋅⎡⎤⎣⎦L 的值.【详解】依题意有246810625a a a a a a ++++==，625a ∴=，且56282255a a =-=-=-. 则()()()110123101105610825556255a a a a a a a a a a +⎛⎫++++==+=+=⨯-+=- ⎪⎝⎭L ， 而()()()()1231061231022a a a a f a f a f a f a ++++-⋅⋅⋅⋅==L L ，因此，()()()()62123102log log 26f a f a f a f a -⋅⋅⋅⋅==-⎡⎤⎣⎦L .故答案为6-. 【点睛】本题考查等差数列基本性质的计算，同时也考查了等差数列的定义以及指数、对数的运算，解题时充分利用等差中项的性质，可简化计算，考查计算能力，属于中等题.16．4950【解析】【分析】由an+Sn ＝2nan+1+Sn+1＝2n+1两式相减可得2an+1﹣an ＝2n 即可计算【详解】解：∵an+Sn ＝2nan+1+Sn+1＝2n+1两式相减可得2an +1﹣an 解析：【解析】 【分析】由a n +S n ＝2n ，a n +1+S n +1＝2n +1，两式相减可得2a n +1﹣a n ＝2n ．即可计算． 【详解】解：∵a n +S n ＝2n ，a n +1+S n +1＝2n +1， 两式相减可得2a n +1﹣a n ＝2n ．则（2a 2﹣a 1）（2a 3﹣a 2）…（2a 100﹣a 99）＝21•22•23…299＝24950．【点睛】本题考查了数列的递推式，属于中档题．17．【解析】【分析】由得为等差数列求得通项公式则可求【详解】则为以首项为1公差为3的等差数列则故答案为：【点睛】本题考查等差数列的定义及通项公式意在考查计算能力是基础题解析：128【解析】【分析】 由1113()n n n N a a *+=+∈得1n a ⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎭⎩为等差数列，求得1n a ⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎭⎩通项公式，则10a 可求 【详解】1113()n n n N a a *+=+∈则1n a ⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎭⎩为以首项为1，公差为3的等差数列，则 ()10111313228n n n a a =+-=-∴= 故答案为：128【点睛】本题考查等差数列的定义及通项公式，意在考查计算能力，是基础题 18．（﹣∞﹣6∪6+∞）【解析】【分析】由条件利用二次函数的性质可得ac=﹣1ab=1即c=-b 将转为（a ﹣b ）+利用基本不等式求得它的范围【详解】因为一元二次不等式ax2+2x+b ＞0的解集为{x|x解析：（﹣∞，﹣6]∪[6，+∞）【解析】【分析】由条件利用二次函数的性质可得ac=﹣1，ab=1, 即c=-b 将227a b a c+++转为（a ﹣b ）+9a b-，利用基本不等式求得它的范围． 【详解】 因为一元二次不等式ax 2+2x+b ＞0的解集为{x|x≠c}，由二次函数图像的性质可得a ＞0，二次函数的对称轴为x=1a-=c ，△=4﹣4ab=0， ∴ac=﹣1，ab=1，∴c=1a -，b=1a ，即c=-b, 则227a b a c +++=()29a b a b-+-=（a ﹣b ）+9a b -， 当a ﹣b ＞0时，由基本不等式求得（a ﹣b ）+9a b-≥6， 当a ﹣b ＜0时，由基本不等式求得﹣（a ﹣b ）﹣9a b -≥6，即（a ﹣b ）+9a b -≤﹣6, 故227a b a c+++（其中a+c≠0）的取值范围为：（﹣∞，﹣6]∪[6，+∞），故答案为（﹣∞，﹣6]∪[6，+∞）．【点睛】本题主要考查二次函数图像的性质，考查利用基本不等式求最值.19．7【解析】由2an ＋1＋Sn ＝3得2an ＋Sn －1＝3(n≥2)两式相减得2an ＋1－2an ＋an ＝0化简得2an ＋1＝an(n≥2)即＝(n≥2)由已知求出a2＝易得＝所以数列{an}是首项为a1解析：7【解析】由2a n ＋1＋S n ＝3得2a n ＋S n －1＝3(n≥2)，两式相减，得2a n ＋1－2a n ＋a n ＝0，化简得2a n ＋1＝a n (n≥2)，即1n n a a +＝12(n≥2)，由已知求出a 2＝34，易得21a a ＝12，所以数列{a n }是首项为a 1＝32，公比为q ＝12的等比数列，所以S n ＝31122112n ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-=3[1－(12)n ]，S 2n ＝3[1－(12)2n ]代入1817<2n n S S <87，可得117<(12)n <17，解得n ＝3或4，所以所有n 的和为7. 20．【解析】【分析】根据条件可得利用余弦定理即可得到的关系再利用基本不等式即可得解【详解】设三角形的边为由由余弦定理得所以①又所以化简得②①②相除化简得故当且仅当成立所以所以的最大值为故答案为：【点睛】 解析：43【解析】【分析】根据条件可得1cos 3ABC ∠=， cos cos 0ADB BDC ∠+∠=，利用余弦定理即可得到AB 、AC 的关系，再利用基本不等式即可得解.【详解】设AD x =，3CD x =，三角形ABC 的边为a ，b ，c ，由21cos 12sin 23ABC ABC ∠∠=-=， 由余弦定理得222161cos 23a c x ABC ac +-∠==，所以2222163x a c ac =+-， ① 又cos cos 0ADB BDC ∠+∠=，2222=2221238x c a =+-， ② ①②相除化简得2232296ac a c ac -=+≥，故4ac ≤，当且仅当3a c =成立，所以()()2222339632448AB BC c a c a ac ac +=+=++=+≤，所以3AB BC +的最大值为故答案为：【点睛】本题考查了余弦定理和基本不等式的应用，考查了方程思想和运算能力，属于中档题. 三、解答题21．（1）2n n a =； （2）见解析.【解析】【分析】（1）由等比数列前n 项和公式求出公比q 和首项1a ，得通项公式；（2）用裂项相消法求出和n T ，可得结论．【详解】（1）设等比数列的首项及公比分别为10a >，0q >，26S =Q ，314S =，显然1q ≠，()()21311611141a q q a q q ⎧-⎪=-⎪∴⎨-⎪=⎪-⎩，解得122a q =⎧⎨=⎩， 2n n a ∴=；（2）证明：由（1）知，n b n =，则11111(1)1n n b b n n n n +==-++， 121n n n T b b b b -∴=++⋯⋯++1111111111223111n n n n n =-+-+⋯⋯+-+-=--++, *n N ∈Q ,1n T ∴<．【点睛】本题考查等比数列的前n 项和与通项公式，考查裂项相消法求数列的和．基本量法是解决等差数列和等比数列的常用方法．裂项相消法、错位相减法、分组（并项）求和法是数列求和的特殊方法，它们针对的是特殊的数列求和．22．（1）a n 11()2n +=；（2）T n 2211311436(2)(3)n n ⎡⎤=--⎢⎥++⎣⎦. 【解析】【分析】（1）根据等差中项的性质列方程，并转化为1,a q 的形式，由此求得q 的值，进而求得数列{}n a 的通项公式.（2）利用裂项求和法求得数列{}n c 的前n 项和n T .【详解】（1）由S 1+a 1，S 3+a 3，S 2+a 2成等差数列，可得2（S 3+a 3）=S 2+a 2+S 1+a 1，即有2a 1（1+q +2q 2）=3a 1+2a 1q ，化为4q 2=1，公比q >0，解得q 12=. 则a n 14= ⋅（12）n ﹣111()2n +=； （2）b n 212222111()(2)(1)n n log a log n --===+， c n =（n +2）b n b n +2=（n +2）⋅22221111(1)(3)4(1)(3)n n n n ⎡⎤=-⎢⎥++++⎣⎦， 则前n 项和T n =c 1+c 2+c 3+…+c n ﹣1+c n 14=[22222222221111111111243546(2)(1)(3)n n n n -+-+-++-+-+++L ] 2211111449(2)(3)n n ⎡⎤=+--⎢⎥++⎣⎦ 2211311436(2)(3)n n ⎡⎤=--⎢⎥++⎣⎦. 【点睛】本小题主要考查等差中项的性质，考查等比数列通项公式的基本量计算，考查裂项求和法，属于中档题.23．(Ⅰ)3π；(Ⅱ)b =【解析】分析：（Ⅰ）由题意结合正弦定理边化角结合同角三角函数基本关系可得tanB =，则B =π3．（Ⅱ）在△ABC 中，由余弦定理可得b ．结合二倍角公式和两角差的正弦公式可得()2sin A B -= 详解：（Ⅰ）在△ABC 中，由正弦定理a b sinA sinB =，可得bsinA asinB =， 又由π6bsinA acos B ⎛⎫=-⎪⎝⎭，得π6asinB acos B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即π6sinB cos B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，可得tanB = 又因为()0πB ∈，，可得B =π3． （Ⅱ）在△ABC 中，由余弦定理及a =2，c =3，B =π3，有22227b a c accosB =+-=，故b由π6bsinA acos B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，可得sinA =a <c ，故cosA =．因此22sin A sinAcosA ==，212217cos A cos A =-=．所以，()222sin A B sin AcosB cos AsinB -=-=11727214-⨯= 点睛：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．24．（1）32n a n =-+（2）n S 23212n n n -=+- 【解析】【分析】（1）依题意()()382726a a a a d +-+==-，从而3d =-.由此能求出数列{}n a 的通项公式；（2）由数列{}n n a b +是首项为1，公比为2的等比数列，求出112322n n n n b a n --=-=-+，再分组求和即可.【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差是d .由已知()()382726a a a a d +-+==-，∴3d =-，∴2712723a a a d +=+=-，得 11a =-，∴数列{}n a 的通项公式为32n a n =-+.（2）由数列{}n n a b +是首项为1，公比为2的等比数列，∴12n n n a b -+=，∴112322n n n n b a n --=-=-+，∴()()21147321222n n S n -=+++⋅⋅⋅+-++++⋅⋅⋅+⎡⎤⎣⎦()31212n n n -=+-， 23212n n n -=+-. 【点睛】本题考查数列的通项公式和前n 项和公式的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化.25．(1) a n 12n =；(2) 1n n +． 【解析】【分析】（1）利用公式1n n n a S S -=-化简得到112n n a a +=，计算112a =，得到答案. （2）计算得到nb n =-，()1111111n n b b n n n n +==-++，利用裂项求和计算得到答案. 【详解】（1）根据题意，由a n +1+S n +1＝1，①，则有a n +S n ＝1，②，（n ≥2）①﹣②得：2a n +1＝a n ，即a n +112=a n ，又由a 112=， 当n ＝1时，有a 2+S 2＝1，即a 2+（a 1+a 2）＝1，解可得a 214=， 则所以数列{a n }是首项和公比都为12的等比数列，故a n 12n =； （2）由（1）的结论，a n 12n=，则b n ＝log 2a n ＝﹣n ，则()()()()()()()122311111111111223112231n n b b b b b b n n n n ++++=+++=+++-⨯--⨯--⨯--⨯⨯⨯+L L L L L ＝（112-）+（1231-）+……+（111n n -+）＝1111n n n -=++．【点睛】本题考查了求通项公式，裂项求和法计算前n 项和，意在考查学生对于数列公式的综合应用.26．（Ⅰ）证明见解析；（II ）证明见解析.【解析】【分析】【详解】（Ⅰ）由222a b ab +≥，222c b bc +≥，222a c ac +≥得：222a b c ab bc ca ++≥++， 由题设得，即2222221a b c ab bc ca +++++=，所以3()1ab bc ca ++≤，即13ab bc ca ++≤. （Ⅱ）因为22a b a b+≥，22b c b c +≥，22c a c a +≥， 所以222()2()a b c a b c a b c b c a+++++≥++， 即222a b c a b c b c a++≥++， 所以2221a b c b c a++≥. 本题第（Ⅰ）（Ⅱ）两问，都可以由均值不等式,相加即得到.在应用均值不等式时,注意等号成立的条件:“一正二定三相等”.【考点定位】本小题主要考查不等式的证明,熟练基础知识是解答好本类题目的关键.。
2020-2021高三数学下期中一模试卷附答案(1)
2020-2021高三数学下期中一模试卷附答案(1)一、选择题1．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和.若2342S S S =+，12a =，则2a =（ ）A ．2B ．-4C ．2或-4D ．42．设,x y 满足约束条件3002x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩, 则3z x y =+的最小值是 A ．5-B ．4C ．3-D ．113．已知数列{}n a的首项110,1n n a a a +==+，则20a =（ ） A ．99B ．101C ．399D ．4014．若a 、b 、c >0且a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－，则2a ＋b ＋c 的最小值为( ) A．1 B．1 C ．＋2D ．25．已知数列{a n }满足331log 1log ()n n a a n N +++=∈且2469a a a ++=，则15793log ()a a a ++的值是( )A ．－5B ．－15C ．5D ．156．如果111A B C ∆的三个内角的余弦值分别等于222A B C ∆的三个内角的正弦值，则 A ．111A B C ∆和222A B C ∆都是锐角三角形 B ．111A B C ∆和222A B C ∆都是钝角三角形C ．111A B C ∆是钝角三角形，222A B C ∆是锐角三角形D ．111A B C ∆是锐角三角形，222A B C ∆是钝角三角形7．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足122n n S λ+=+，则λ的值是( )A ．4B ．2C ．2-D ．4-8．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*11n n nS S n N n +>∈+.若870a a +<，则（ ） A ．n S 的最大值是8S B ．n S 的最小值是8S C ．n S 的最大值是7SD ．n S 的最小值是7S9．已知AB AC ⊥u u u v u u u v ，1AB t=u u uv ，AC t =u u u v ，若P 点是ABC V 所在平面内一点，且4AB AC AP AB AC=+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，则·PB PC u u u v u u u v 的最大值等于（ ）. A ．13B ．15C ．19D ．2110．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，60A =︒，43a=，4b =，则B =（ ） A ．30B =︒或150B =︒ B ．150B =︒ C ．30B =︒D ．60B =︒11．已知x ，y 均为正实数，且111226x y +=++，则x y +的最小值为（ ） A ．20B ．24C ．28D ．3212．若0,0x y >>，且211x y+=，227x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(8,1)-B ．(,8)(1,)-∞-⋃+∞C ．(,1)(8,)-∞-⋃+∞D ．(1,8)-二、填空题13．设x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＝4，则(4)(2)x y xy++的最小值为_________.14．△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若acosB ＝5bcosA ，asinA ﹣bsinB ＝2sinC ，则边c 的值为_______．15．已知x ，y 满足3010510x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪-+≤⎩，则2z x y =+的最大值为______.16．在中，若，则__________．17．已知关于x 的一元二次不等式ax 2+2x+b ＞0的解集为{x|x≠c}，则227a b a c+++（其中a+c≠0）的取值范围为_____．18．数列{}n a 满足1(1)21nn n a a n ++-=-，则{}n a 的前60项和为_____．19．若等比数列{}n a 的各项均为正数，且510119122a a a a e +=，则1220ln ln ln a a a +++L 等于__________．20．若直线1(00)x ya b a b+=＞，＞过点（1,2）,则2a+b 的最小值为______. 三、解答题21．等差数列{}n a 中，71994,2a a a ==. (1)求{}n a 的通项公式； (2)设1n nb na =，求数列{}n b 的前n 项和n S . 22．已知等差数列{}n a 的所有项和为150，且该数列前10项和为10，最后10项的和为50.（1）求数列{}n a 的项数； （2）求212230a a a ++⋅⋅⋅+的值.23．在等差数列{}n a 中，2723a a +=-，3829a a +=-． （1）求数列{}n a 的通项公式．（2）若数列{}n n a b +的首项为1，公比为q 的等比数列，求{}n b 的前n 项和n S ． 24．在ABC ∆中，内角、、A B C 的对边分别为a b c ，，，()cos cos 0C a B b A c ++=.（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若2a b ==，求()sin 2B C -的值.25．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0d ≠，且3550S S +=，1a ，4a ，13a 成等比数列．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1公比为2的等比数列，求数列{}n b 前n 项和n T ．26．已知数列{}n a 是一个公差为()0d d ≠的等差数列，前n 项和为245,,,n S a a a 成等比数列，且515=-S ．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{nS n}的前10项和．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】利用等比数列的前n 项和公式求出公比，由此能求出结果． 【详解】∵n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，2342S S S =+，12a =，∴()()()34212122211q q q qq--+=+--，解得2q =-，∴214a a q ==-，故选B ． 【点睛】本题主要考查等比数列的性质以及其的前n 项和等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．C解析：C 【解析】画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示．由3z x y =+可得3y x z =-+．平移直线3y x z =-+，结合图形可得，当直线3y x z =-+经过可行域内的点A 时，直线在y 轴上的截距最小，此时z 也取得最小值．由300x y x y -+=⎧⎨+=⎩，解得3232x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故点A 的坐标为33(,)22-．∴min 333()322z =⨯-+=-．选C ． 3．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】由1211n n n a a a +=++，可得)211111111n n n n a a a a +++=+++=，，{}+1n a 是以1为公差，以1为首项的等差数列.21,1n n a n a n +==-，即220201399a =-=.故选C.4．D解析：D 【解析】由a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－23， 得(a ＋c )·(a ＋b )＝4－23. ∵a 、b 、c >0.∴(a ＋c )·(a ＋b )≤22b c 2a ++⎛⎫ ⎪⎝⎭(当且仅当a ＋c ＝b ＋a ，即b ＝c 时取“＝”)，∴2a ＋b ＋c ≥2423－＝2(3－1)＝23－2. 故选：D点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误5．A解析：A 【解析】试题分析：331313log 1log log log 1n n n n a a a a +++=∴-=Q 即13log 1n n a a +=13n naa +∴= ∴数列{}n a 是公比为3的等比数列335579246()393a a a q a a a ∴++=++=⨯=15793log ()5a a a ∴++=-．考点：1．等比数列的定义及基本量的计算；2．对数的运算性质．6．D解析：D 【解析】 【分析】 【详解】111A B C ∆的三个内角的余弦值均大于0，则111A B C ∆是锐角三角形，若222A B C ∆是锐角三角形，由，得2121212{22A AB BC C πππ=-=-=-，那么，2222A B C π++=，矛盾，所以222A B C ∆是钝角三角形，故选D.7．C解析：C【分析】利用n S 先求出n a ，然后计算出结果. 【详解】根据题意，当1n =时，11224S a λ==+,142a λ+∴=, 故当2n ≥时，112n n n n a S S --=-=,Q 数列{}n a 是等比数列,则11a =，故412λ+=, 解得2λ=-, 故选C . 【点睛】本题主要考查了等比数列前n 项和n S 的表达形式，只要求出数列中的项即可得到结果，较为基础.8．D解析：D 【解析】 【分析】将所给条件式变形，结合等差数列前n 项和公式即可证明数列的单调性，从而由870a a +<可得7a 和8a 的符号，即可判断n S 的最小值.【详解】由已知，得()11n n n S nS ++<， 所以11n n S S n n +<+， 所以()()()()1111221n n n a a n a a n n ++++<+， 所以1n n a a +<，所以等差数列{}n a 为递增数列. 又870a a +<，即871a a <-， 所以80a >，70a <，即数列{}n a 前7项均小于0，第8项大于零， 所以n S 的最小值为7S ， 故选D.本题考查了等差数列前n 项和公式的简单应用，等差数列单调性的证明和应用，前n 项和最值的判断，属于中档题.9．A解析：A 【解析】以A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则1(,0)B t，(0,)C t ，10)4(0,1)(1,4)AP =+=u u u r （，，即14)P （，，所以114)PB t=--u u u r （，，14)PC t =--u u u r （，，因此PB PC ⋅u u u r u u u r11416t t =--+117(4)t t =-+，因为114244t t t t+≥⋅=，所以PB PC ⋅u u u r u u u r 的最大值等于13，当14t t =，即12t =时取等号．考点：1、平面向量数量积；2、基本不等式．10．C解析：C 【解析】 【分析】将已知代入正弦定理可得1sin 2B =，根据a b >，由三角形中大边对大角可得：60B <︒，即可求得30B =︒. 【详解】解：60A =︒Q ，3a=4b =由正弦定理得：sin 1sin2b A B a === a b >Q60B ∴<︒ 30B ∴=︒故选C. 【点睛】本题考查了正弦定理、三角形的边角大小关系，考查了推理能力与计算能力.11．A解析：A 【解析】分析：由已知条件构造基本不等式模型()()224x y x y +=+++-即可得出. 详解：,x y Q 均为正实数，且111226x y +=++，则116122x y ⎛⎫+= ⎪++⎝⎭(2)(2)4x y x y ∴+=+++-116()[(2)(2)]422x y x y =++++-++226(2)46(242022y x x y ++=++-≥+-=++ 当且仅当10x y ==时取等号.x y ∴+的最小值为20. 故选A.点睛：本题考查了基本不等式的性质，“一正、二定、三相等”.12．A解析：A 【解析】 【分析】 将代数式21x y+与2x y +相乘，展开式利用基本不等式求出2x y +的最小值8，将问题转化为解不等式()2min 72m m x y +<+，解出即可. 【详解】由基本不等式得()21422448y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥= ⎪⎝⎭， 当且仅当()4,0y xx y x y=>，即当2x y =时，等号成立，所以，2x y +的最小值为8. 由题意可得()2min 728m m x y +<+=，即2780m m +-<，解得81m -<<.因此，实数m 的取值范围是(8,1)-，故选A. 【点睛】本题考查基本不等式的应用，考查不等式恒成立问题以及一元二次不等式的解法，对于不等式恒成立问题，常转化为最值来处理，考查计算能力，属于中等题．二、填空题13．9【解析】【分析】将分式展开利用基本不等式求解即可【详解】又x ＋2y ＝4即当且仅当等号成立故原式故填9【点睛】本题考查基本不等式求最值考查等价变换思想与求解能力注意等号成立条件解析：9 【解析】 【分析】将分式展开，利用基本不等式求解即可 【详解】(4)(2)82416161x y xy x y xy xy xy xy xy++++++===+又x ＋2y ＝4≥即2xy ≤，当且仅当2,1x y ==等号成立，故原式9≥ 故填9 【点睛】本题考查基本不等式求最值，考查等价变换思想与求解能力，注意等号成立条件14．3【解析】【分析】由acosB ＝5bcosA 得由asinA ﹣bsinB ＝2sinC 得解方程得解【详解】由acosB ＝5bcosA 得由asinA ﹣bsinB ＝2sinC 得所以故答案：3【点睛】本题主要解析：3 【解析】 【分析】由acosB ＝5bcosA 得22223a b c -=，由asinA ﹣bsinB ＝2sinC 得222a b c -=，解方程得解. 【详解】由acosB ＝5bcosA 得22222222225,223a cb bc a a b a b c ac bc +-+-⋅=⋅∴-=.由asinA ﹣bsinB ＝2sinC 得222a b c -=，所以222,33c c c =∴=. 故答案：3 【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.15．5【解析】【分析】画出不等式表示的可行域利用目标函数的几何意义当截距最小时取z 取得最大值求解即可【详解】画出不等式组表示的平面区域(如图阴影所示)化直线为当直线平移过点A 时z 取得最大值联立直线得A （解析：5 【解析】 【分析】画出不等式表示的可行域，利用目标函数的几何意义当截距最小时取z 取得最大值求解即可 【详解】画出不等式组表示的平面区域(如图阴影所示)，化直线2z x y =+为122z y x =-+ 当直线平移过点A 时，z 取得最大值，联立直线3010x y x y +-=⎧⎨-+=⎩得A （1,2），故max 145z =+=故答案为：5【点睛】本题考查画不等式组表示的平面区域、考查数形结合求函数的最值，是基础题16．2π3【解析】∵由正弦定理可得sinA:sinB:si nC=7:8:13∴a：b ：c=7：8：13令a=7kb=8kc=13k （k>0）利用余弦定理有cosC=a2+b2-c22ab=49k2+64 解析：【解析】 ∵由正弦定理可得，∴，令，，（），利用余弦定理有，∵，∴，故答案为.17．（﹣∞﹣6∪6+∞）【解析】【分析】由条件利用二次函数的性质可得ac=﹣1ab=1即c=-b 将转为（a ﹣b ）+利用基本不等式求得它的范围【详解】因为一元二次不等式a x2+2x+b ＞0的解集为{x|x解析：（﹣∞，﹣6]∪[6，+∞） 【解析】 【分析】由条件利用二次函数的性质可得ac=﹣1，ab=1, 即c=-b 将227a b a c +++转为（a ﹣b ）+9a b -，利用基本不等式求得它的范围． 【详解】因为一元二次不等式ax 2+2x+b ＞0的解集为{x|x≠c}，由二次函数图像的性质可得a ＞0，二次函数的对称轴为x=1a-=c ，△=4﹣4ab=0， ∴ac=﹣1，ab=1，∴c=1a-，b=1a ，即c=-b,则227a b a c +++=()29a b a b-+-=（a ﹣b ）+9a b -，当a ﹣b ＞0时，由基本不等式求得（a ﹣b ）+9a b-≥6， 当a ﹣b ＜0时，由基本不等式求得﹣（a ﹣b ）﹣9a b -≥6，即（a ﹣b ）+9a b-≤﹣6, 故227a b a c+++（其中a+c≠0）的取值范围为：（﹣∞，﹣6]∪[6，+∞），故答案为（﹣∞，﹣6]∪[6，+∞）． 【点睛】本题主要考查二次函数图像的性质，考查利用基本不等式求最值.18．1830【解析】【分析】由题意可得…变形可得…利用数列的结构特征求出的前60项和【详解】解：∴…∴…从第一项开始依次取2个相邻奇数项的和都等于2从第二项开始依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项以1 解析：1830 【解析】 【分析】由题意可得211a a -=，323a a +=，435a a -=，547a a +=，659a a -=，7611a a +=，…，504997a a -=，变形可得312a a +=，428a a +=，752a a +=，8624a a +=，972a a +=，121040a a +=，13152a a +=，161456a a +=，…，利用数列的结构特征，求出{}n a 的前60项和． 【详解】解：1(1)n n a ++-Q 21n a n =-，∴211a a -=，323a a +=，435a a -=，547a a +=，659a a -=，7611a a +=，…，504997a a -=，∴312a a +=，428a a +=，752a a +=，8624a a +=，9112a a +=，121040a a +=，13112a a +=，161456a a +=，…，从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列，{}n a 的前60项和为1514152(15816)18302⨯⨯+⨯+⨯=， 故答案为：1830． 【点睛】本题主要考查递推公式的应用，考查利用构造等差数列求数列的前n 项和，属于中档题．19．50【解析】由题意可得=填50解析：50 【解析】由题意可得51011912a a a a e ==，1220ln ln ln a a a ++⋅⋅⋅+=1050121920110ln()ln()ln 50a a a a a a e ===L ，填50.20．【解析】当且仅当时取等号点睛：在利用基本不等式求最值时要特别注意拆拼凑等技巧使其满足基本不等式中正(即条件要求中字母为正数)定(不等式的另一边必须为定值)等(等号取得的条件)的条件才能应用否则会出现 解析：8【解析】1212412(2)()448b a a b a b a b a b a b +=∴+=++=++≥+=Q，当且仅当2b a = 时取等号.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.三、解答题21．（1）12n n a +=（2）2222222()()()122311n nS n n n =-+-++-=++L【分析】 【详解】(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d. 因为71994{2a a a ＝，＝，所以11164{1828a d a d a d +++＝，＝（）.解得a 1＝1，d ＝12.所以{a n }的通项公式为a n ＝12n +. (2)b n ＝1n na ＝22211n n n n -++＝（），所以S n ＝2222222()122311n n n n ⎛⎫⎛⎫++⋯+ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭－－－＝＋ 22．（1）50；（2）30 【解析】 【分析】(1)根据条件结合等差数列的性质可得16n a a +=,再根据{}n a 的所有项和为150,即可求出项数n 的值;(2)根据(1)求出{}n a 的首项1a 和公差d ,然后将212230a a a ++⋅⋅⋅+用1a 和d 表示,再求出其值. 【详解】解:(1)由题意,得1231010a a a a +++⋅⋅⋅+=,12950n n n n a a a a ---+++⋅⋅⋅+=, ∴()()()()1213210960n n n n a a a a a a a a ---++++++⋅⋅⋅++=, 根据等差数列性质,可知12132109n n n n a a a a a a a a ---+=+=+=⋅⋅⋅=+, ∴()11060n a a +=,∴16n a a +=, 又{}n a 的所有项和为150,∴()11502n n a a +=, ∴50n =,即数列{}n a 的项数为50.(2)由(1)知,1501610910102a a a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩,即112496292a d a d +=⎧⎨+=⎩,∴11120110a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩, ∴()2122233021305a a a a a a +++⋅⋅⋅+=+()15249a d =+11152492010⎛⎫=⨯+⨯ ⎪⎝⎭30=.【点睛】本题考查了等差数列的性质和前n 项和公式,考查了转化思想和方程思想,属基中档题. 23．（1）32n a n =-+；（2）见解析试题分析：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ．利用通项公式即可得出．（Ⅱ）由数列{}n n a b +是首项为1，公比为q 的等比数列，可得n b ．再利用等差数列与等比数列的通项公式与求和公式即可得出． 试题解析：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，∵27382329a a a a +=-⎧⎨+=-⎩，∴1127232929a d a d +=-⎧⎨+=-⎩，解得113a d =-⎧⎨=-⎩，∴数列{}n a 的通项公式为32n a n =-+．（2）由数列{}n n a b +是首项为1，公比为q 的等比数列得1n n n a b q -+=，即132n n n b q --++=，∴132n n b n q -=-+，∴()()21147321n n S n q q q-⎡⎤=++++-+++++⎣⎦L L()()213112n n n q q q --=+++++L ．∴当1q =时，()231322n n n n nS n -+=+=； 当1q ≠时，()31121nn n n q S q--=+-． 24．（Ⅰ）34C π=（Ⅱ） 【解析】 【分析】（I ）利用正弦定理化简已知条件，求得cos C 的值，由此求得C 的大小.（II ）根据余弦定理求得c ，利用正弦定理求得sin B ，利用同角三角函数关系式求得cos B ，由二倍角公式求得sin 2,cos 2B B 的值，再由两角差的正弦公式求得()sin 2B C -的值. 【详解】()sin cos sin cos sin 0C A B B A C ++=sin sin 0C C C +=，∴cos 2C =-，∵0C π<<，∴34C π=（Ⅱ）因为2a b ==，34C π=，由余弦定理得2222cos 2422102c a b ab C ⎛⎫=+-=+-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭，∴c =由sin sin sin 5c b B C B =⇒=，因为B为锐角，所以cos 5B =4sin 22555B =⨯=，223cos 2cos sin 5B B B =-=()43sin 2sin 2cos cos 2sin 525210B C B C B C ⎛-=-=⨯--⨯=- ⎝⎭【点睛】本小题主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，考查同角三角函数的基本关系式，考查二倍角公式以及两角差的正弦公式，属于中档题.25．（1）21n a n =+；（2）()1212n n +-⋅【解析】 【分析】()1由已知条件利用等差数列的前n 项和公式和通项公式以及等比数列的定义，求出首项和公差，由此能求出21n a n =+．(2()111)2,2212n n n nn n nb b a n a ---==⋅=+⋅，由此利用错位相减法能求出数列{}n b 前n 项和n T ． 【详解】解：(1)Q 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0d ≠， 且3550S S +=，1a ，4a ，13a 成等比数列．()()1121113254355022312a d a d a d a a d ⨯⨯⎧+++=⎪∴⎨⎪+=⋅+⎩，解得132a d =⎧⎨=⎩ ()()1132121n a a n d n n ∴=+-=+-=+，21n a n ∴=+(2)n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭Q 是首项为1公比为2的等比数列，()1112,2212n n n nn n nb b a n a ---∴==⋅=+⋅ ()0121325272212n n T n -∴=⨯+⨯+⨯+⋯++⋅...①()()12312325272212212n n n T n n -=⨯+⨯+⨯+⋯+-⋅++⋅...②两式相减得：()()12123221212n n n T n --=--⨯++⋅-()1212n n =+-⋅【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，考查等差数列的前n 项和，还考查了错位相减法求和，考查计算能力，属于中档题。
2020-2021学年广东省东莞市七校联考高一(下)期中数学试卷
2020-2021学年广东省东莞市七校联考高一（下）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 已知向量a ⃗ =(−1,2)，b ⃗ =(2,m)，若a ⃗ //b⃗ ，则m =( ) A. −4 B. −12 C. 12 D. 42. 已知复数z 满足(z −1)i =1+i ，则复数z 在复平面内对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知a =2bcosC ，则△ABC 的形状是( )A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形4. 在△ABC 中，C =90°，AC =4，BC =3，点P 是AB 的中点，则CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CP⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 94 B. 4 C. 92 D. 65. α、β是两个不重合的平面，在下列条件下，可判定α//β的是( )A. α、β都平行于直线l 、mB. α内有三个不共线的点到β的距离相等C. l 、m 是α内的两条直线且l//β，m//βD. l 、m 是两条异面直线且l//α，m//α，l//β，m//β6. 已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是( )A. 若m//α，n//α，则m//nB. 若m ⊥α，n ⊂α，则m ⊥nC. 若m ⊥α，m ⊥n ，则n//αD. 若m//α，m ⊥n ，则n ⊥α7. 如图，在透明塑料制成的长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1容器内灌进一些水，将容器底面一边BC 固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法：①水的部分始终呈棱柱状；②水面四边形EFGH 的面积不改变；③棱A 1D 1始终与水面EFGH 平行；④当E ∈AA 1时，AE +BF 是定值．其中正确说法的是( )A. ②③④B. ①②④C. ①③④D. ①②③8. 我国古代数学名著《九章算术》中记载的“刍甍”(cℎumeng)是指底面为矩形，顶部只有一条棱的五面体．如图，五面体ABCDEF 是一个刍甍，其中△BCF 是正三角形，AB =2BC =2EF ，则以下两个结论：①AB//EF ；②BF ⊥ED ，( )A. ①和②都不成立B. ①成立，但②不成立C. ①不成立，但②成立D. ①和②都成立二、多选题（本大题共4小题，共20.0分） 9. 如图，在同一平面内，两个斜边相等的直角三角形放置在一起，其中AB =1，∠ACB =π6，∠D =π4，则下列结论正确的是( )A. AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B. AE ⃗⃗⃗⃗⃗=13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C. AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =√6D. AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =310. 在日常生活中，我们会看到两人共提一个行李包的情境(如图)假设行李包所受重力均为G ⃗⃗ ，两个拉力分别为F 1⃗⃗⃗ ,F 2⃗⃗⃗⃗ ，若|F ⃗ 1|=|F ⃗ 2|,F ⃗ 1与F ⃗ 2的夹角为θ，则以下结论正确的是( )A. |F ⃗ 1|的最小值为12|G ⃗⃗ | B. θ的范围为[0,π] C. 当θ=π2时，|F ⃗ 1|=√22|G ⃗⃗ | D. 当θ=2π3时，|F⃗ 1|=|G ⃗⃗ | 11. 以长为8cm ，宽为6cm 的矩形的一边为旋转轴旋转而成的圆柱的底面面积为( )A. 64πcm 2B. 36πcm 2C. 54πcm 2D. 48πcm 212. 如图，长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的底面是正方形，AA 1=2AB ，E 是DD 1的中点，则( )A. △B 1EC 为直角三角形B. CE//A 1BC. 三棱锥C 1−B 1CE 的体积是长方体体积的16D. 三棱锥C1−B1CD1的外接球的表面积是正方形ABCD面积的6π倍三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.如图，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是平行直线的图是______ (填序号)．14.若复数z=m2−1+(m2−m−2)i为纯虚数，则实数m的值为______ ．15.如图所示为水平放置的正方形ABCO，在平面直角坐标系xOy中点B的坐标为(2,2)，用斜二测画法画出它的直观图A′B′C′O′，则四边形A′B′C′O′的面积为______ ．16.已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于√3akm，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为______ ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知复数z1=a+bi(a,b∈R)，z2=c+di(c,d∈R)．(1)当a=1，b=2，c=3，d=4时，求|z1|，|z2|，|z1⋅z2|；(2)根据(Ⅰ)的计算结果猜想|z1|⋅|z2|与|z1⋅z2|的关系，并证明该关系的一般性．18.已知向量a⃗=(−3,1)，b⃗ =(1,−2)，c⃗=(1,1)．(1)求向量a⃗与b⃗ 的夹角的大小；(2)若c⃗⊥(a⃗+k b⃗ )，求实数k的值．19.如图所示，在三棱柱ABC−A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D为AC的中点，AA1=AB=2，BC=3．(1)求证：AB1//平面BC1D；(2)求AB1与BD所成角的余弦值．20.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a(sinA−sinB)+bsinB=csinC．(1)求角C；(2)若c=3，a+b=6，求△ABC的面积．21. 如图，在直四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为2的菱形，且AA 1=3，E ，F 分别为CC 1，BD 1的中点．(1)证明：EF ⊥平面BB 1D 1D ；(2)若∠DAB =60°，求点D 1到面BED 的距离．22. 如图在△ABC 中，∠BAC =π3，满足AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． (1)若∠B =π3，求∠ACD 的余弦值；(2)点M 是线段CD 上一点，且满足AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =m AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，若△ABC 的面积为2√3，求|AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵向量a⃗=(−1,2)，b⃗ =(2,m)，若a⃗//b⃗ ，则−m−4=0，求得m=−4，故选：A．由题意利用两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，求得m的值．本题主要考查两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：由(z−1)i=1+i，得z−1=1+ii =(1+i)(−i)−i2=1−i，∴z=2−i，∴复数z在复平面内对应的点的坐标为(2,−1)，位于第四象限．故选：D．把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算，求出z的坐标得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.【答案】A【解析】解：a=2bcosC，由正弦定理可知，sinA=2sinBcosC，因为A+B+C=π，所以sin(B+C)=2sinBcosC，所以sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC，sin(B−C)=0，B−C=kπ，k∈Z，因为A、B、C是三角形内角，所以B=C．三角形是等腰三角形．故选：A．利用正弦定理以及三角形的内角和，两角和的正弦函数化简a=2bcosC，求出B与C的关系，即可判断三角形的形状．本题考查正弦定理、三角形的内角和、两角和的正弦函数的应用，考查计算能力，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：在△ABC 中，C =90°，则CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 因为点P 是AB 的中点，所以CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ )， 所以CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅[12(CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ )]=12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=12|CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=92． 故选：C ．利用向量的数量积以及向量的线性运算即可求解．本题主要考查平面向量数量积的运算，考查运算求解能力，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：对于A ，当α∩β=a ，l//m//a 时，不能推出α//β；对于B ，当α∩β=a ，且在α内同侧有两点，另一侧一个点，三点到β的距离相等时，不能推出α//β； 对于C ，当l 与m 平行时，不能推出α//β；对于D ，∵l ，m 是两条异面直线，且l//α，m//α，l//β，m//β，∴α内存在两条相交直线与平面β平行，根据面面平行的判定，可得α//β，故选：D ．A 、B 、C 列举反例：当α∩β=a ，l//m//a ；当α∩β=a ，且在α内同侧有两点，另一侧一个点，三点到β的距离相等；当l 与m 平行；先判断α内存在两条相交直线与平面β平行，再根据面面平行的判定，即可得到结论．本题考查面面平行的判定，解题时，不正确的结论列举反例，正确的结论要给出充分的理由．6.【答案】B【解析】【分析】本题考查空间直线与平面的位置关系，考查直线与平面的平行、垂直的判断与性质，记熟这些定理是迅速解题的关键，注意观察空间的直线与平面的模型，属于基础题．A.运用线面平行的性质，结合线线的位置关系，即可判断；B.运用线面垂直的性质，即可判断；C.运用线面垂直的性质，结合线线垂直和线面平行的位置即可判断；D.运用线面平行的性质和线面垂直的判定，即可判断．【解答】解：A.若m//α，n//α，则m，n相交或平行或异面，故A错；B.若m⊥α，n⊂α，则m⊥n，故B正确；C.若m⊥α，m⊥n，则n//α或n⊂α，故C错；D.若m//α，m⊥n，则n//α或n⊂α或n⊥α或n与α相交，故D错．故选B．7.【答案】C【解析】【分析】①水的部分始终呈棱柱状；从棱柱的特征平面判断即可；②水面四边形EFGH的面积改不改变；可以通过EF的变化EH不变判断正误；③棱A1D1始终与水面EFGH平行；利用直线与平面平行的判断定理，推出结论；④当E∈AA1时，AE+BF是定值．通过水的体积判断即可．本题属于中档题，考查棱柱的结构特征，直线与平面平行的判断，棱柱的体积等知识．【解答】解：①水的部分始终呈棱柱状；从棱柱的特征平面AA1B1B平行平面CC1D1D即可判断①正确；②水面四边形EFGH的面积不改变；EF是可以变化的，EH是不变的，所以面积是改变的，②是不正确的；③棱A1D1始终与水面EFGH平行；由直线与平面平行的判断定理，可知A1D1//EH，所以结论正确；④当E∈AA1时，AE+BF是定值．水的体积是定值，高不变，所以底面面积不变，所以正确．故选：C．8.【答案】B【解析】解：∵AB//CD ，CD 在平面CDEF 内，AB 不在平面CDEF 内，∴AB//平面CDEF ，又EF 在平面CDEF 内，由AB 在平面ABFE 内，且平面ABFE ∩平面CDEF =EF ，∴AB//EF ，故①对；如图，取CD 中点G ，连接BG ，FG ，由AB =CD =2EF ，易知DE//GF ，且DE =GF ，不妨设EF =1，则BG =√2BC =√2EF =√2， 假设BF ⊥ED ，则BF 2+FG 2=BG 2，即1+FG 2=2，即FG =1，但FG 的长度不定，故假设不一定成立，即②不一定成立．故选：B ．利用线面平行的性质及勾股定理即可判断．本题考查线面平行的判定及性质，考查垂直关系的判定，考查逻辑推理能力，属于基础题．9.【答案】AD【解析】解：对于A ，由AE ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，故A 正确； 对于B ，由AB =1,∠ACB =π6,∠D =π4，可得AC =√3,BC =DE =2,CE =DC =√2，所以CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =√22CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +√22CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +√22(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=√22AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−√22)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，故B 不正确； 对于C ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，因为AB =1,∠ACB =π6,∠D =π4，所以AC =√3,BC =CD =√2,<CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ >=π6， 所以AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =√3×2×(−√32)=−3,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =√3×√2×12=√62,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3−3+√62=√62，故C 不正确；对于D ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 3−0+√3×√2×12−√2×1×√32=3，故D 正确．故选：AD ．由向量的线性运算即可判断选项A ，B ；由向量的线性运算及数量积运算即可判断选项C ，D ．本题主要考查向量的线性运算与数量积运算，考查运算求解能力，属于中档题．10.【答案】ACD【解析】解：根据题意，依次分析选项：|G⃗⃗ |，A正确；对于A，当F1⃗⃗⃗ 、F2⃗⃗⃗⃗ 方向相同时，有F1⃗⃗⃗ +F2⃗⃗⃗⃗ =G⃗⃗ ，此时|F1⃗⃗⃗ |取得最小值，且|F⃗1|的最小值为12对于B，当θ=π时，有F1⃗⃗⃗ +F2⃗⃗⃗⃗ =0⃗，行李包不会处于平衡状态，即θ≠π，B错误；对于C，当行李包处于平衡状态时，F1⃗⃗⃗ +F2⃗⃗⃗⃗ =G⃗⃗ ，若θ=π，则有(F1⃗⃗⃗ +F2⃗⃗⃗⃗ )2=G⃗⃗ 2，变形可得F1⃗⃗⃗ 2+F2⃗⃗⃗⃗ 2=G⃗⃗ 2，2|G⃗⃗ |，C正确；即|F⃗1|=√22，则有(F1⃗⃗⃗ +F2⃗⃗⃗⃗ )2=G⃗⃗ 2，变形可得F1⃗⃗⃗ 2=G⃗⃗ 2，即|F⃗1|=|G⃗⃗ |，D正确；对于D，若θ=π2故选：ACD．根据题意，依次分析选项是否正确，即可得答案．本题考查向量数量积的计算，涉及向量加法的定义和性质，属于基础题．11.【答案】AB【解析】解：以长为8cm的边所在的直线为旋转轴，得到的圆柱底面圆的半径为6cm，面积为36πcm2；以宽为6cm的边所在的直线为旋转轴，得到的圆柱底面圆的半径为8cm，面积为64πcm2；所以可得到两种不同大小的圆柱，其底面面积分别为64πcm2，36πcm2．故选：AB．分别以长为8 cm，宽为6 cm的边所在的直线为旋转轴，即可得到两种不同大小的圆柱，再求底面圆的面积．本题考查了圆柱的结构特征与应用问题，是基础题．12.【答案】ACD【解析】解：令AA1=2AB=2a，在△B1EC中，B1E=√3a，EC=√2a，B1C=√5a，满足勾股定理，则△B1EC为直角三角形，故A正确；因为CE与A1B不平行，故B错误；棱锥C1−B1CE的体积为V C1−B1CE =V B1−C1CE=13×12×a×√2a×√2a=a33，所以V A BCD−A1B1C1D1=2a3，则三棱锥C1−B1CE的体积是长方体体积的16，故C正确；因为三棱锥C1−B1CD1的外接球就是长方体ABCD−A1B1C1D1的外接球，所以三棱锥C1−B1CD1的外接球半径R=√a2+a2+(2a)22=√6a2，三棱锥C1−B1CD1的外接球的表面积为S=4π×(√6a2)2=6a2π，S ABCD=a2，三棱锥C1−B1CD1的外接球的表面积是正方形ABCD面积的6π倍，故D正确，故选：ACD．令AA1=2AB=2a，在△B1EC中，B1E=√3a，EC=√2a，B1C=√5a，结合勾股定理，判断A；通过CE与A1B不平行，判断B；求出棱锥C1−B1CE的体积，长方体的体积，推出三棱锥C1−B1CE的体积与长方体体积比例，判断C；求出三棱锥C1−B1CD1的外接球的表面积，正方形ABCD面积，即可判断D．本题考查命题真假的判断，空间几何体的体积以及面积的求法，外接球的表面积的求法，异面直线的判断，是中档题．13.【答案】①②【解析】解：如图，①中，连接BD，B1D1，根据正方体的结构特征，可得BD//B1D1，再由三角形中位线定理及平行公理可得PQ//RS；②中，连接A1B，D1C，根据正方体的结构特征，可得A1B//D1C，再由三角形中位线定理及平行公理可得PQ//RS；③中，延长RS交CB的延长线于G，则G∉PQ，由异面直线定义可得RS和PQ是是异面直线；④中，连接PR，QS，可得PR//QS，且PR=12QS，则RS和PQ是相交直线．∴直线PQ与RS是平行直线的图是①②．故答案为：①②．由正方体的结构特征及三角形中位线定理、平行公理判断①②；由异面直线的定义判断③；由相交直线的定义判断④．本题考查空间中直线与直线的位置关系，考查异面直线的定义，考查数形结合思想，是中档题．14.【答案】1【解析】解：若复数z =m 2−1+(m 2−m −2)i 为纯虚数，则{m 2−1=0m 2−m −2≠0，解得：m =1， 故答案为：1．根据纯虚数的定义求出m 的值即可．本题考查了纯虚数的定义，考查不等式问题，是基础题．15.【答案】√2【解析】解：用斜二测画法画出正方形的直观图如图所示：其中O′C′=OC =2，O′A′=12OA =1，∠A′O′C′=π4，所以四边形A′B′C′O′的面积为S′=1×2×sin π4=√2．故答案为：√2．用斜二测画法画出正方形的直观图，结合图形求出直观图的面积．本题考查了平面图形的直观图画法与面积计算问题，是基础题．16.【答案】3akm【解析】解：如图所示，∠ACB=180°−20°−40°=120°，AC=BC=√3a，由余弦定理得AB2=3a2+3a2−2√3a×√3a×cos120°=9a2，解得AB=3a(km)．故答案为：3akm．根据题意画出图形，结合图形利用余弦定理求出AB的值．本题考查了方位角和余弦定理的应用问题，是基础题．17.【答案】解：(1)当a=1，b=2，c=3，d=4时，|z1|=|1+2i|=√5，|z2|=|3+4i|=5，|z1⋅z2|=|(1+2i)(3+4i)|=|−5+10i|=5√5；(2)由(1)猜测，|z1|⋅|z2|=|z1⋅z2|.证明如下：∵z1=a+bi(a,b∈R)，z2=c+di(c,d∈R)．∴|z1|=√a2+b2，|z2|=√c2+d2，|z1|⋅|z2|=√(a2+b2)(c2+d2)=√a2c2+b2d2+a2d2+b2c2；z1z2=(a+bi)(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc)i，∴|z1z2|=√(ac−bd)2+(ad+bc)2=√a2c2+b2d2+a2d2+b2c2．∴|z1|⋅|z2|=|z1⋅z2|.【解析】(1)把a=1，b=2，c=3，d=4分别代入，直接利用复数模的计算公式求解；(2)猜测|z1|⋅|z2|=|z1⋅z2|.然后分别计算等式两端证明．本题考查复数代数形式的运算，考查复数模的求法，是基础题．18.【答案】解：(1)根据题意，设向量a⃗与b⃗ 的夹角为θ，向量a⃗=(−3,1)，b⃗ =(1,−2)，则a⃗⋅b⃗ =−3−2=−5，|a⃗|=√9+1=√10，|b⃗ |=√1+4=√5，则cosθ=a ⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ ||b ⃗ |=−3−2√9+1×√1+4=−√22， 又因为θ∈[0,π]，故θ=3π4； (2)向量a ⃗ =(−3,1)，b ⃗ =(1,−2)，c ⃗ =(1,1)，则a ⃗ +k b ⃗ =(−3+k,1−2k)，因为c ⃗ ⊥(a ⃗ +k b ⃗ )，c ⃗ ⋅(a ⃗ +k b ⃗ )=(−3+k)+(1−2k)=−2−k =0，解可得k =−2；故k =−2；故答案为：(1)3π4；(2)−2．【解析】(1)根据题意，设向量a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为θ，由a ⃗ 、b ⃗ 的坐标可得|a ⃗ |、|b ⃗ |以及a ⃗ ⋅b ⃗ 的值，计算可得cosθ的值，结合θ的范围，分析可得答案；(2)根据题意，求出a ⃗ +k b ⃗ 的坐标，由向量垂直的判断方法可得c ⃗ ⋅(a ⃗ +k b ⃗ )=(−3+k)+(1−2k)=−2−k =0，解可得k 的值，即可得答案．本题考查向量数量积的计算，涉及向量的坐标计算以及数量积的坐标计算，属于基础题．19.【答案】解：(1)证明：如图，连接B 1C ，设B 1C 与BC 1相交于点O ，连接OD ．∵四边形BCC 1B 1是平行四边形．∴点O 为B 1C 的中点．∵D 为AC 的中点，∴OD 为△AB 1C 的中位线，∴OD//AB 1．∵OD ⊂平面BC 1D ，AB 1⊄平面BC 1D ，∴AB 1//平面BC 1D .(2)解：由(1)可知，∠ODB 为AB 1与BD 所成的角或其补角，∵AA 1=AB =2，∴AB 1=2√2，OD =√2，在Rt △ABC 中，D 为AC 的中点，则BD =AC 2=√132， 同理可得，OB =√132， 在△OBD 中，cos∠ODB =OD 2+BD 2−OB 22×OD×BD=√2613， ∴AB 1与BD 所成角的余弦值为√2613．【解析】【试题解析】本题考查线面平行的证明，考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．(1)连接B1C，设B1C与BC1相交于点O，连接OD.推导出点O为B1C的中点，则OD为△AB1C的中位线，从而OD//AB1.由此能应该和AB1//平面BC1D.(2)推导出∠ODB为AB1与BD所成的角或其补角，AB1=2√2，OD=√2，从而BD=AC2=√132，OB=√132，由此能求出AB1与BD所成角的余弦值．20.【答案】解：(1)由正弦定理知，asinA =bsinB=csinC，∵a(sinA−sinB)+bsinB=csinC，∴a(a−b)+b2=c2，即a2+b2−c2=ab，由余弦定理知，cosC=a2+b2−c22ab =ab2ab=12，∵C∈(0,π)，∴C=π3．(2)由(1)知，a2+b2−c2=ab，即(a+b)2−2ab−c2=ab，∵c=3，a+b=6，∴36−9=3ab，解得ab=9，∴a=b=3，∴△ABC的面积S=12absinC=12×3×3×sinπ3=9√34．【解析】(1)利用正弦定理将已知等式中的角化边，再结合余弦定理，即可得解；(2)结合(1)中的a2+b2−c2=ab，可解得a=b=3，再由S=12absinC，得解．本题考查解三角形，涉及角化边的思想，熟练掌握正弦定理、三角形面积公式和余弦定理是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．21.【答案】(1)证明：连结AC与BD交于点O，连结OF，∵四边形ABCD是菱形，∴O为BD的中点，∵F为BD1的中点，∴OF//D1D且OF=12D1D，又∵E 为CC 1的中点，∴CE//D 1D 且CE =12D 1D ，∴OF//CE 且OF =CE ，则四边形OCEF 为平行四边形，∴EF//OC ，在直棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中，D 1D ⊥平面ABCD ，∵OC ⊂平面ABCD ，∴D 1D ⊥OC ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，即OC ⊥BD ，又DD 1∩BD =D ，D 1D ，BD ⊂平面BB 1D 1D ，∴OC ⊥平面BB 1D 1D ，∵EF//OC ，∴EF ⊥平面BB 1D 1D ；(2)解：∵∠DAB =60°，∴△BCD 是边长为2的正三角形，取CD 中点G ，连接BG ，则BG ⊥CD ，在直四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中，∵平面ABCD ⊥平面CC 1D 1D ，且平面ABCD ∩平面CC 1D 1D =CD ，∴BG ⊥平面CC 1D 1D ，S △DED 1=12×DD 1×DC =12×3×2=3，BG =√22−12=√3， ∴V B−DED 1=13×3×√3=√3，∵BE =DE =√22+(32)2=√4+94=52，BD =2， ∴S △BDE =12×2×√(52)2−12=√212，设点D 1到面BED 的距离为h ，由V B−DED 1=V D 1−BDE ，可得√3=13×√212×ℎ，得ℎ=6√77． 即点D 1到面BED 的距离为6√77．【解析】(1)连结AC 与BD 交于点O ，连结OF ，利用中位线定理证明四边形OCEF 为平行四边形，得到EF//OC ，然后利用线面垂直的判定定理证明OC ⊥平面BB 1D 1D ，从而证明EF ⊥平面BB 1D 1D ；(2)由已知求出B 到平面DD 1C 1C 的距离，再求出三角形DD 1E 与三角形BED 的面积，利用等体积法求点D 1到面BED 的距离．本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求点到平面的距离，是中档题．22.【答案】解：(1)由题意可设|DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=a ，则|AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=3a ， 在△ACD 中，有：AC 2=AD 2+CD 2−2AD ⋅CD ⋅cos∠ADC ，①在△BCD 中，有：BC 2=DB 2+CD 2−2DB ⋅CD ⋅cos∠BDC ，②①+3×②，可得CD 2=13a 2，在△ACD 中，有：AD 2=AC 2+CD 2−2AC ⋅CD ⋅cos∠ACD ，解得cos∠ACD =5√1326． (2)由于AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =m AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，且C ，M ，D 三点共线， 所以m =13，因为S △ABC =12|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅√32=2√3， 故|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=8， 可得AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=19AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =43+19|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+16|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2≥4， 当且仅当|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√3时， 所以|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |min =2．【解析】(1)由题意可设|DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=a ，则|AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=3a ，在△ACD 中，△BCD 中，利用余弦定理可得CD 2=13a 2，在△ACD 中利用余弦定理可求cos∠ACD 的值．(2)由已知可得AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =m AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，且C ，M ，D 三点共线，可求m =13，利用三角形的面积公式可求|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=8，将已知等式两边平方后利用平面向量的运算，基本不等式即可求解|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |min 的值．本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式，平面向量的运算，基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．。
2020-2021东莞市七年级数学下期中一模试题(含答案)
2020-2021东莞市七年级数学下期中一模试题(含答案)一、选择题1．已知点P(3a，a+2)在x轴上，则P点的坐标是（）A．(3，2)B．(6，0)C．(-6，0)D．(6，2)2．如图，将一张长方形纸条折叠，如果∠1=130°，则，∠2=（）A．100°B．130°C．150°D．80°3．已知∠A、∠B互余，∠A比∠B大30°，设∠A、∠B的度数分别为x°、y°，下列方程组中符合题意的是（）A．18030x yx y+=⎧⎨=-⎩B．180+30x yx y+=⎧⎨=⎩C．9030x yx y+=⎧⎨=-⎩D．90+30x yx y+=⎧⎨=⎩4．《九章算术》是中国古代的数学专著，下面这道题是《九章算术》中第七章的一道题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”译文：“几个人一起去购买某物品，如果每人出8钱，则多了3钱；如果每人出7钱，则少了4钱．问有多少人，物品的价格是多少？”设有x人，物品价格为y钱，可列方程组为A．8374x yx y+=⎧⎨+=⎩B．8374y xy x-=-⎧⎨-=-⎩C．8374x yx y-=⎧⎨-=-⎩D．8374x yx y+=⎧⎨-=⎩5．下列说法正确的是（）A．一个数的算术平方根一定是正数B．1的立方根是±1 C．255=±D．2是4的平方根6．若a＜b＜0，则在ab＜1、1a＞b1、ab＞0、ba＞1、-a＞-b中正确的有()A．2个B．3个C．4个D．5个7．不等式组213312xx+⎧⎨+≥-⎩＜的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．8．请你观察、思考下列计算过程：因为112=12112111：，因为1112=12321所以12321=111…12345678987654321（）A．111111B．1111111C．11111111D．1111111119．如图，下列条件中，能判断AB//CD的是( )A ．∠BAC=∠ACDB ．∠1=∠2C ．∠3=∠4D ．∠BAD=∠BCD10．如图，在Rt ABC △中，90,BAC ︒∠=3,AB cm =4AC cm =，把ABC 沿着直线BC 的方向平移2.5cm 后得到DEF ，连接AE ，AD ，有以下结论：①//AC DF ；②//AD BE ；③ 2.5CF cm =；④DE AC ⊥.其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．在平面直角坐标系中，将点(0,1)A 做如下的连续平移，第1次向右平移得到点1(1,1)A , 第2次向下平移得到点()21,1A -,第3次向右平移得到点()341A -，第4次向下平移得到点()44,5?·····A -按此规律平移下去，则15A 的点坐标是（ ）A ．()64,55-B ．()65,53-C ．()66,56-D ．()67,58-12．点P 为直线m 外一点,点A ,B ,C 为直线m 上三点,PA =4cm ,PB =5cm ,PC =2cm ,则点P 到直线m 的距离为( ) A ．4cmB ．2cm ;C ．小于2cmD ．不大于2cm二、填空题13．有下列命题：①无理数是无限不循环小数；②平方根与立方根相等的数有1和0；③若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥c ；④邻补角是互补的角；⑤无理数包括正无理数、零、负无理数．其中正确的有___个．14．如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OE 平分∠BOC ，OF ⊥CD ，若∠BOE =2∠BOD ，则∠AOF 的度数为______．15．如图4，将∆ABC 沿直线AB 向右平移后到达∆BDE 的位置，若∠CAB ＝50°，∠ABC ＝100°，则∠CBE 的度数为 ．16．一副直角三角尺叠放如图 1 所示，现将 45°的三角尺ADE 固定不动，将含 30°的三角尺 ABC 绕顶点 A 顺时针转动（旋转角不超过 180 度），使两块三角尺至少有一组边互相平行．如图 2：当∠BAD=15°时，BC ∥DE ．则∠BAD （0°＜∠BAD ＜180°）其它所有可能符合条件的度数为________．17．如图，数轴上表示1、3的对应点分别为点A 、点B ，若点A 是BC 的中点，则点C 表示的数为______．18．用反证法证明命题“三角形中至少有一个内角大于或等于60°”，第一步应假设_____． 19．已知方程组236x y x y +=⎧⎨-=⎩的解满足方程x ＋2y ＝k ，则k 的值是__________.20．若2(2)9x m x +-+是一个完全平方式，则m 的值是_______．三、解答题21．某校举行了“文明在我身边”摄影比赛．已知每幅参赛作品成绩记为x 分(60100x ≤≤)．校方从600幅参赛作品中随机抽取了部分参赛作品，统计了它们的成绩，并绘制了如下不完整的统计图表．根据以上信息解答下列问题： （1）统计表中c 的值为； （2）补全频数分布直方图；（3）若80分以上（含80分）的作品将被组织展评，试估计全校被展评的作品数量是多少？22．某体育用品专卖店销售7个篮球和9个排球的总利润为355元，销售10个篮球和20个排球的总利润为650元．（1）求每个篮球和每个排球的销售利润；（2）已知每个篮球的进价为200元，每个排球的进价为160元，若该专卖店计划用不超过17400元购进篮球和排球共100个，且要求篮球数量不少于排球数量的一半，请你为专卖店设计符合要求的进货方案．23．如图，点E 在DF 上，点B 在AC 上，12∠∠=，C D ∠∠=，试说明：AC//DF ，将过程补充完整． 解：12(∠∠=已知)13(∠∠=______)23(∠∠∴=等量代换)EC //DB(∴______) C ABD(∠∠∴=______)又C D(∠∠=已知)D ABD(∠∠∴=______) AC //DF(∴______)24．2018年5月12日是我国第十个全国防灾减灾日，也是汶川地震十周年．为了弘扬防灾减灾文化，普及防灾减灾知识和技能，郑州W 中学通过学校安全教育平台号召全校学生进行学习，并对学生学习成果进行了随机抽取，现对部分学生成绩（x 为整数，满分100分）进行统计．绘制了如图尚不完整的统计图表： 调查结果统计表 组别 分数段 频数 A 50≤x ＜60 a B 60≤x ＜70 80 C 70≤x ＜80 100 D 80≤x ＜90 150 E90≤x ＜100120合计b根据以上信息解答下列问题：（1）填空：a=，b=；（2）扇形统计图中，m的值为，“D”所对应的圆心角的度数是度；（3）本次调查测试成绩的中位数落在组内；（4）若参加学习的同学共有2000人，请你估计成绩在90分及以上的同学大约有多少人？25．某校为学生开展拓展性课程，拟在一块长比宽多6 m的长方形场地内建造由两个大棚组成的植物养殖区，如图（1），要求两个大棚之间有间隔4 m的路，设计方案如图（2），已知每个大棚的周长为44 m.(1)求每个大棚的长和宽各是多少？(2)现有两种大棚造价的方案，方案一是每平方米60元，超过100平方米优惠500元，方案二是每平方米70元，超过100平方米优惠总价的20%，试问选择哪种方案更优惠？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【解析】【分析】根据点P在x轴上，即y=0，可得出a的值，从而得出点P的坐标．【详解】∵点P（3a，a+2）在x轴上，即a+2=0， 解得a=-2， ∴3a=-6，∴点P 的坐标为（-6，0）． 故选C ． 【点睛】此题考查平面直角坐标系中点的坐标，明确点在x 轴上时纵坐标为0是解题的关键．2．A解析：A 【解析】1=1303=502=23=100∠︒∴∠︒∴∠∠︒ .故选A.3．D解析：D 【解析】试题解析：∠A 比∠B 大30°， 则有x=y+30， ∠A ，∠B 互余， 则有x+y=90． 故选D ．4．C解析：C 【解析】 【分析】设有x 人，物品价值y 钱，根据题意相等关系：（1）8×人数-3=物品价值；（2）7×人数+4=物品价值，据此可列方程组． 【详解】解：设有x 人，物品价格为y 钱，根据题意：8374x y x y -=⎧⎨-=-⎩故选C ． 【点睛】此题主要考查列方程组解应用题，找出题目中的等量关系，列出相应的方程组是解题的关键．解析：D【解析】【分析】根据平方根、算术平方根、立方根的定义，即可解答．【详解】A、一个数的算术平方根一定是正数，错误，例如0的算术平方根是0；B、1的立方根是1，错误；C5，错误；D、2是4的平方根，正确；故选：D【点睛】本题考查了立方根、平方根，解决本题的关键是熟记平方根、立方根的定义．6．B解析：B【解析】【分析】根据不等式的性质即可求出答案．【详解】解：①∵a＜b＜0，∴ab不一定小于1，故①错误；②∵a＜b＜0，∴1a＞b1，故②正确；③∵a＜b＜0，ab＞0，故③正确；④∵a＜b＜0，ba＜1，故④错误；⑤∵a＜b＜0，-a＞-b，故⑤正确，故选B.【点睛】此题考查不等式的性质，解题的关键是熟练运用不等式的性质，本题属于基础题型．7．A解析：A【解析】【分析】先求出不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可．213312x x +⎧⎨+≥-⎩＜①② ∵解不等式①得：x ＜1， 解不等式②得：x≥-1， ∴不等式组的解集为-1≤x ＜1， 在数轴上表示为：，故选A ． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键．8．D解析：D 【解析】分析：被开方数是从1到n 再到1（n≥1的连续自然数），算术平方根就等于几个1． 12112321=111…，…， 12345678987654321． 故选D ．点睛：本题主要考查的是算术平方根的性质，熟练掌握算术平方根的性质是解题的关键．9．A解析：A 【解析】 【分析】根据直线平行的判定：内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；同位角相等，两直线平行进行判断即可． 【详解】解：A. ∠BAC=∠ACD 能判断AB//CD （内错角相等，两直线平行），故A 正确； B. ∠1=∠2得到AD ∥BC ，不能判断AB//CD ，故B 错误； C. ∠3=∠4得到AD ∥BC ，不能判断AB//CD ，故C 错误； D. ∠BAD=∠BCD ，不能判断AB//CD ，故D 错误； 故选A ． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定的运用，解题时注意：内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；同位角相等，两直线平行．10．D解析：D 【解析】根据平移是某图形沿某一直线方向移动一定的距离，平移不改变图形的形状和大小可对①②③进行判断；根据∠BAC=90°及平移的性质可对④进行判断，综上即可得答案. 【详解】∵△ABC 沿着直线BC 的方向平移2.5cm 后得到△DEF ， ∴AB//DE ，AC//DF ，AD//CF ，CF=AD=2.5cm ，故①②③正确. ∵∠BAC=90°， ∴AB ⊥AC ， ∵AB//DEDE AC ∴⊥，故④正确.综上所述：之前的结论有：①②③④，共4个， 故选D. 【点睛】本题考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，学生易混淆图形的平移与旋转或翻转．11．A解析：A 【解析】 【分析】根据题中条件可得到奇数次时，平移的方向和单位长度；偶数次时，平移的方向和单位长度的规律，按照该规律即可得解． 【详解】解：由题意得第1次向右平移1个单位长度， 第2次向下平移2个单位长度， 第3次向右平移3个单位长度， 第4次向下平移4个单位长度， ……根据规律得第n 次移动的规律是：当n 为奇数时，向右平移n 个单位长度，当n 为偶数时，向下平移n 个单位长度，∴15A 的横坐标为0+1+3+5+7+9+11+13+15=64 纵坐标为1-(2+4+6+8+10+12+14)=-55 ∴15A ()64,55- 故选A ． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化——平移. 解题的关键是分析出题目的规律，找出题目中点的坐标的规律．12．D解析：D【分析】根据点到直线的距离是直线外的点与直线上垂足间的线段的长，再根据垂线段最短，可得答案．【详解】当PC⊥l时，PC是点P到直线l的距离，即点P到直线l的距离2cm，当PC不垂直直线l时，点P到直线l的距离小于PC的长，即点P到直线l的距离小于2cm，综上所述：点P到直线l的距离不大于2cm，故选：D．【点睛】考查了点到直线的距离，利用了垂线段最短的性质．二、填空题13．2【解析】【分析】根据无理数平方根和立方根的概念两直线的位置关系邻补角的概念分别判断后即可得到答案【详解】解：：①无理数是无限不循环小数本说法正确；②平方根与立方根相等的数是0本说法错误；③若a b解析：2【解析】【分析】根据无理数、平方根和立方根的概念、两直线的位置关系、邻补角的概念分别判断后即可得到答案．【详解】解：：①无理数是无限不循环小数，本说法正确；②平方根与立方根相等的数是0，本说法错误；a，本说法错误；③若a⊥b，b⊥c，则∥c④邻补角是互补的角，本说法正确；⑤无理数包括正无理数、负无理数，本说法错误；故答案为：2．【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题．14．54°【解析】【分析】设∠BOD=x∠BOE=2x；根据题意列出方程2x+2x+x=180°得出x=36°求出∠AOC=∠BOD=36°即可求出∠AOF=90°-36°=54°【详解】解：设∠BOD解析：54°【解析】【分析】设∠BOD=x，∠BOE=2x；根据题意列出方程2x+2x+x=180°，得出x=36°，求出∠AOC=∠BOD=36°，即可求出∠AOF=90°-36°=54°．【详解】解：设∠BOD=x，∠BOE=2x，∵OE平分∠BOC，∴∠COE=∠EOB=2x，则2x+2x+x=180°，解得：x=36°，∴∠BOD=36°，∴∠AOC=∠BOD=36°，∵OF⊥CD，∴∠AOF=90°-∠AOC=90°-36°=54°；故答案为：54°．【点睛】本题考查了垂线、对顶角、邻补角的知识；弄清各个角之间的数量关系是解题的关键．15．【解析】∵将△ABC沿直线AB向右平移后到达△BDE的位置∴AC∥BE∴∠CAB=∠EBD=50°∵∠ABC=100°∴∠CBE的度数为：180°-50°-100°=30°解析：30︒【解析】∵将△ABC沿直线AB向右平移后到达△BDE的位置，∴AC∥BE，∴∠CAB=∠EBD=50°，∵∠ABC=100°，∴∠CBE的度数为：180°-50°-100°=30°．16．45°60°105°135°【解析】分析：根据题意画出图形再由平行线的判定定理即可得出结论详解：如图当AC∥DE时∠BAD=∠DAE=45°；当BC∥AD时∠DAE=∠B=60°；当BC∥AE时∵∠解析：45°，60°，105°，135°．【解析】分析：根据题意画出图形，再由平行线的判定定理即可得出结论．详解：如图，当AC∥DE时,∠BAD=∠DAE=45°；当BC∥AD时,∠DAE=∠B=60°；当BC∥AE时,∵∠EAB=∠B=60°,∴∠BAD=∠DAE+∠EAB=45°+60°=105°；当AB∥DE时,∵∠E=∠EAB=90°,∴∠BAD=∠DAE+∠EAB=45°+90°=135°.故答案为：45°,60°,105°,135°.点睛：本题考查了平行线的判定与性质.要证明两直线平行，需使其所构成的同位角、内错角相等（或同旁内角是否互补）.17．2﹣【解析】【分析】设点C表示的数是x再根据中点坐标公式即可得出x的值【详解】解：设点C表示的数是x∵数轴上表示1的对应点分别为点A点B点A是BC的中点∴=1解得x=2﹣故答案为2﹣【点评】本题考查解析：2【解析】【分析】设点C表示的数是x，再根据中点坐标公式即可得出x的值．【详解】解：设点C表示的数是x，∵数轴上表示1的对应点分别为点A、点B，点A是BC的中点，=1，解得x=2故答案为2【点评】本题考查的是实数与数轴，熟知数轴上的点与实数是一一对应关系是解答此题的关键．18．三角形的三个内角都小于60°【解析】【分析】熟记反证法的步骤直接填空即可【详解】第一步应假设结论不成立即三角形的三个内角都小于60°故答案为三角形的三个内角都小于60°【点睛】反证法的步骤是：（1）解析：三角形的三个内角都小于60°【解析】【分析】熟记反证法的步骤，直接填空即可．【详解】第一步应假设结论不成立，即三角形的三个内角都小于60°．故答案为三角形的三个内角都小于60°．【点睛】反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时，要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．19．－3【解析】分析：解出已知方程组中xy的值代入方程x+2y=k即可详解：解方程组得代入方程x+2y=k得k=-3故本题答案为：-3点睛：本题的实质是考查三元一次方程组的解法需要对三元一次方程组的定义解析：－3【解析】分析：解出已知方程组中x，y的值代入方程x+2y=k即可．详解：解方程组236x yx y+=⎧⎨-=⎩，得33 xy⎧⎨-⎩＝＝，代入方程x+2y=k，得k=-3．故本题答案为：-3．点睛：本题的实质是考查三元一次方程组的解法．需要对三元一次方程组的定义有一个深刻的理解．方程组有三个未知数，每个方程的未知项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组，叫三元一次方程组．通过解方程组，了解把“三元”转化为“二元”、把“二元”转化为“一元”的消元的思想方法，从而进一步理解把“未知”转化为“已知”和把复杂问题转化为简单问题的思想方法．解三元一次方程组的关键是消元．解题之前先观察方程组中的方程的系数特点，认准易消的未知数，消去未知数，组成无该未知数的二元一次方程组．20．8或﹣4【解析】解：∵x2+（m-2）x+9是一个完全平方式∴x2+（m-2）x+9=（x±3）2而（x±3）2=x2±6x+9∴m-2=±6∴m=8或m=-4故答案为8或-4 解析：8或﹣4【解析】解：∵x2+（m-2）x+9是一个完全平方式，∴x2+（m-2）x+9=（x±3）2．而（x±3）2=x2±6x+9，∴m-2=±6，∴m=8或m=-4．故答案为8或-4．三、解答题21．（1）c=0.34；（2）补图见解析；（3）180幅【解析】【分析】（1）由60≤x<70频数和频率求得总数，根据频率=频数÷总数求得c的值．（2）根据频率=频数÷总数求得a，b的值，补全图形即可得；（3）总数乘以80分以上的频率即可．【详解】（1）本次调查的作品总数为18÷0.36=50(幅)，则c=17÷50=0.34，故答案为：0.34（2）a=50×0.24=12，b=50×0.06=3 补全图形如下：（3）600×(0.24+0.06)=180(幅)， 答：估计全校被展评作品数量是180幅．故答案为：180幅【点睛】本题考查了频数频率分布表及频数分布直方图，将频数频率分布表与频数分布直方图关联起来，获取有用信息进行解题．22．（1）每个篮球和每个排球的销售利润分别为25元，20元（2）购进篮球34个排球66个，或购进篮球35个排球65个两种购买方案．【解析】【分析】（1）设每个篮球和每个排球的销售利润分别为x 元，y 元，根据题意列方程组，解方程即可得到结果；（2）设购进篮球m 个，排球（100﹣m ）个，根据题意得不等式组即可得到结果．【详解】解：（1）设每个篮球和每个排球的销售利润分别为x 元，y 元，根据题意得：793551020650x y x y +=+=⎧⎨⎩，解得：2520x y ⎧⎨⎩==． 答：每个篮球和每个排球的销售利润分别为25元，20元；（2）设购进篮球m 个，排球（100﹣m ）个，根据题意得：200160(100)174001002m m m m ⎪+-≤-⎧⎪⎨⎩≥， 解得：100353m ≤≤， ∴m=34或m=35，∴购进篮球34个排球66个，或购进篮球35个排球65个两种购买方案．【点睛】本题考查一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用；方案型．23．见解析.【解析】【分析】由条件证明EC//DB ，可得到∠D=∠ABD ，再结合条件两直线平行的判定可证明AC//DF ，依次填空即可．【详解】12(∠∠=已知)13(∠∠=对顶角相等)23(∠∠∴=等量代换)EC //DB(∴同位角相等，两直线平行)C ABD(∠∠∴=两直线平行，同位角相等)又C D(∠∠=已知)D ABD(∠∠∴=等量代换)AC //DF(∴内错角相等，两直线平行)故答案为：对顶角相等； 同位角相等，两条直线平行； 两条直线平行，同位角相等； 等量代换； 内错角相等，两条直线平行．【点睛】本题主要考查两直线平行的判定和性质，掌握两直线平行⇔同位角相等、两直线平行⇔内错角相等是解题的关键．24．（1）50、500；（2）30、108；（3）D （4）480人【解析】【分析】（1）由B 组频数及其所占百分比可得总人数b 的值，再根据各分组人数之和等于总人数可得a 的值；（2）用D 组人数除以总人数可得m 的值，用360°乘以D 组人数所占百分比； （3）根据中位数的定义求解可得；（4）利用样本估计总体思想求解可得．【详解】（1）∵被调查的总人数b=80÷16%=500人， ∴a=500﹣（80+100+150+120）=50，故答案为：50、500；（2）m%=150500×100%=30%，即m=30， “D”所对应的圆心角的度数是360°×150500=108°， 故答案为：30、108；（3）本次调查测试成绩的中位数是第250、251个数据的平均数，而这2个数据均落在D组，∴本次调查测试成绩的中位数落在D 组，故答案为：D ．（4）估计成绩在90分及以上的同学大约有2000×24%=480人． 【点睛】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．25．（1）大棚的宽为14米，长为8米；（2）选择方案二更好．【解析】分析：（1）设大棚的宽为a 米，长为b 米，分别利用大棚的周长为44米，长比宽多6米，分别得出等式求出答案；（2）分别求出两种方案的造价进而得出答案．详解：(1)设大棚的宽为a 米，长为b 米，根据题意可得：22246a b a b +=⎧⎨+-=⎩，解得：814a b =⎧⎨=⎩， 答：大棚的宽为14米，长为8米；(2)大棚的面积为：2×14×8=224(平方米)，若按照方案一计算,大棚的造价为：224×60−500=12940(元)，若按照方案二计算,大棚的造价为：224×70(1−20%)=12544(元)显然：12544<12940，所以选择方案二更好．点睛：考查二元一次方程组的应用，解题的关键是找出题目中的等量关系.。
2020-2021东莞市高一数学上期中一模试题(含答案)
2020-2021东莞市高一数学上期中一模试题(含答案)一、选择题1．对于实数x ，规定[]x 表示不大于x 的最大整数，那么不等式[][]2436450x x -+<成立的x 的取值范围是（ ） A ．315,22⎛⎫⎪⎝⎭B ．[]28,C ．[)2,8D ．[]2,72．已知函数)25fx =+，则()f x 的解析式为( )A ．()21f x x =+ B ．()()212f x x x =+≥C ．()2f x x =D ．()()22f x xx =≥3．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－x －6≤0}，B ＝{x |14x x +-＞0}，那么集合A ∩(∁U B )＝( )A ．{x |－2≤x ＜4}B ．{x |x ≤3或x ≥4}C ．{x |－2≤x ＜－1}D ．{x |－1≤x ≤3}4．设奇函数()f x 在[1,1]-上是增函数，且(1)1f -=-，若函数2()21f x t at ≤-+对所有的[1,1]x ∈-都成立，当[1,1]a ∈-时，则t 的取值范围是（ ） A ．1122t -≤≤ B ．22t -≤≤C ．12t ≥或12t ≤-或0t = D ．2t ≥或2t ≤-或0t =5．已知函数2221,2,()2,2,x x x x f x x -⎧-++<=⎨≥⎩且存在三个不同的实数123,,x x x ，使得123()()()f x f x f x ==，则123x x x ++的取值范围为（ ）A ．(4,5)B ．[4,5)C ．(4,5]D ．[4,5]6．已知111,2,,3,23a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，若()a f x x =为奇函数，且在(0,)+∞上单调递增，则实数a 的值是( ) A ．1,3-B ．1,33C ．11,,33-D ．11,,3327．已知定义在R 上的函数()21()x mf x m -=-为实数为偶函数,记0.5(log 3),a f =2b (log 5),c (2)f f m ==,则,,a b c ,的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．c b a <<8．若函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---≤⎧=⎨>⎩单调递增,则实数a 的取值范围是( )A．9,34⎛⎫⎪⎝⎭B．9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭C．()1,3D．()2,39．已知集合{|20}A x x=-<，{|}B x x a=<，若A B A=I，则实数a的取值范围是( )A．(,2]-∞-B．[2,)+∞C．(,2]-∞D．[2,)-+∞10．已知函数21,0,()|log,0,x xf xx x⎧+≤⎪=⎨⎪⎩若函数()y f x a=-有四个零点1x，2x，3x，4x，且12x x<3x<4x<，则312342()x x xx x++的取值范围是（）A．(0,1)B．(1,0)-C．(0,1]D．[1,0)-11．已知()()2,11,1x xf xf x x⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，则()2log7f=（）A．7B．72C．74D．7812．已知函数()()()ln1ln1f x x x=+--，若实数a满足()()120f a f a+->，则a 的取值范围是（）A．()1,1-B．()0,1C．10,2⎛⎫⎪⎝⎭D．1,12⎛⎫⎪⎝⎭二、填空题13．若函数()24,43,x xf xx x xλλ-≥⎧=⎨-+<⎩恰有2个零点，则λ的取值范围是______. 14．设25a b m==,且112a b+=,则m=______.15．某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：如果顾客选购物品的总金额不超过600元，则不享受任何折扣优惠；如果顾客选购物品的总金额超过600元，则超过600元部分享受一定的折扣优惠，折扣优惠按下表累计计算.某人在此商场购物获得的折扣优惠金额为30元，则他实际所付金额为____元．16．设函数()f x是定义在R上的偶函数，记2()()g x f x x=-，且函数()g x在区间[0,)+∞上是增函数，则不等式2(2)(2)4f x f x x+->+的解集为_____17．函数的定义域为___．18．已知()21f x x -=，则()f x = ____.19．用{}min ,,a b c 表示,,a b c 三个数中最小值，则函数{}()min 41,4,8f x x x x =++-+的最大值是 ． 20．已知()2x a x af x ++-=，g(x)=ax+1 ，其中0a >，若()f x 与()g x 的图象有两个不同的交点，则a 的取值范围是______________.三、解答题21．一种放射性元素，最初的质量为500g ，按每年10﹪衰减. （Ⅰ）求t 年后，这种放射性元素质量ω的表达式；（Ⅱ）由求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期（剩留量为原来的一半所需要的时间）．（精确到0.1；参考数据：）22．求关于x 的方程2210ax x ++=至少有一个负根的充要条件.23．2019年，随着中国第一款5G 手机投入市场，5G 技术已经进入高速发展阶段.已知某5G 手机生产厂家通过数据分析，得到如下规律：每生产手机()010x x ≤≤万台，其总成本为()G x ，其中固定成本为800万元，并且每生产1万台的生产成本为1000万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入()R x 万元满足()24004200,05,20003800,510.x x x R x x x ⎧-+≤≤=⎨-<≤⎩（1）将利润()f x 表示为产量x 万台的函数；（2）当产量x 为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少万元？24．已知函数()()2210g x ax ax b a =-++>在区间[]2,3上有最大值4和最小值1，设()()g x f x x=. （1）求,a b 的值； （2）若不等式()220xxf k -⋅≥在区间[]1,1-上恒成立，求实数k 的取值范围.25．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0}，B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－4≤0，m ∈R ，x ∈R}． (1)若A ∩B ＝{x |0≤x ≤3}，求实数m 的值； (2)若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围．26．设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，tan a b A =，且B 为钝角. （1）证明：2B A π-=； （2）求sin sin A C +的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C 解析：C 【解析】 【分析】 【详解】分析：先解一元二次不等式得315[]22x <<，再根据[]x 定义求结果. 详解：因为[][]2436450x x -+<，所以315[]22x << 因为[][]2436450x x -+<，所以28x ≤<, 选C.点睛：本题考查一元二次不等式解法以及取整定义的理解，考查基本求解能力.2．B解析：B 【解析】 【分析】利用换元法求函数解析式，注意换元后自变量范围变化. 【详解】2t =,则2t ≥，所以()()()()2224t 251,2,f t t t t =-+-+=+≥即()21f x x =+ ()2x ≥.【点睛】本题考查函数解析式，考查基本求解能力.注意换元后自变量范围变化.3．D解析：D 【解析】依题意A ＝{x |－2≤x ≤3}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞4}，故∁U B ＝{x |－1≤x ≤4}，故A ∩(∁U B )＝{x |－1≤x ≤3}，故选D.4．D解析：D 【解析】试题分析：奇函数()f x 在[]1,1-上是增函数, 且()11f -=-,在[]1,1-最大值是21,121t at ∴≤-+,当0t ≠时, 则220t at -≥成立, 又[]1,1a ∈-,令()[]22,1,1r a ta t a =-+∈-, 当0t >时,()r a 是减函数, 故令()10r ≥解得2t ≥, 当0t <时,()r a 是增函数, 故令()10r -≥,解得2t ≤-,综上知，2t ≥或2t ≤-或0t =,故选D. 考点：1、函数的奇偶性与单调性能；2、不等式恒成立问题.【方法点晴】本题主要考查函数的奇偶性与单调性能、不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数()a f x ≤恒成立（min ()a f x ≤即可）或()a f x ≥恒成立（max ()a f x ≥即可）；②数形结合（()y f x =图象在()y g x =上方即可）；③讨论最值min ()0f x ≥或max ()0f x ≤恒成立；④讨论参数.本题是利用方法①求得t 的范围.5．A解析：A 【解析】不妨设123x x x <<，当2x <时，()()212f x x =--+，此时二次函数的对称轴为1x =，最大值为2，作出函数()f x 的图象如图，由222x -=得3x =，由()()()123f x f x f x ==，，且1212x x +=，即122x x +=，12332,x x x x ∴++=+ 由图可知3323,425x x <<∴<+<， 即123x x x ++的取值范围是()4,5，故选A.6．B解析：B 【解析】 【分析】先根据奇函数性质确定a 取法，再根据单调性进行取舍，进而确定选项. 【详解】因为()af x x =为奇函数，所以11,3,3a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭因为()()0,f x +∞在上单调递增，所以13,3a ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭因此选B. 【点睛】本题考查幂函数奇偶性与单调性，考查基本判断选择能力.7．B解析：B 【解析】由()f x 为偶函数得0m =,所以0,52log 3log 32121312,a =-=-=-=2log 521514b =-=-=,0210c =-=,所以c a b <<,故选B.考点：本题主要考查函数奇偶性及对数运算.8．B解析：B 【解析】 【分析】利用函数的单调性，判断指数函数底数的取值范围，以及一次函数的单调性，及端点处函数值的大小关系列出不等式求解即可 【详解】解：Q 函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---⎧=⎨>⎩…单调递增，()301373a a a a⎧->⎪∴>⎨⎪-⨯-≤⎩解得934a ≤<所以实数a 的取值范围是9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭． 故选：B ． 【点睛】本题考查分段函数的应用，指数函数的性质，考查学生的计算能力，属于中档题．9．B解析：B 【解析】由题意可得{}|2A x x =<，结合交集的定义可得实数a 的取值范围是[)2,+∞ 本题选择B 选项.10．C解析：C 【解析】作出函数函数()21,0,|log ,0,x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪⎩的图象如图所示，由图象可知，123442,1,12x x x x x +=-=<≤， ∴ ()312334422222x x x x x x x ++=-+=-+， ∵422y x =-+在412x <≤上单调递增， ∴41021x <-+≤，即所求范围为(]0,1。
2020-2021东莞市高一数学上期中第一次模拟试题(含答案)
2020-2021东莞市高一数学上期中第一次模拟试题(含答案)一、选择题1．设集合{1,2,3,4}A =，{}1,0,2,3B =-，{|12}C x R x =∈-≤<，则()A B C =U IA ．{1,1}-B ．{0,1}C ．{1,0,1}-D ．{2,3,4}2．已知函数f (x )＝23,0{log ,0x x x x ≤>那么f 1(())8f 的值为( )A ．27B ．127C ．－27D ．－1273．设()(),0121,1x x f x x x ⎧<<⎪=⎨-≥⎪⎩,若()()1f a f a =+,则1f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A ．2B ．4C ．6D ．84．1()xf x e x=-的零点所在的区间是（ ） A ．1(0,)2B ．1(,1)2C ．3(1,)2D ．3(,2)25．已知0.6log 0.5a =，ln0.5b =，0.50.6c =，则（ ） A ．a c b >>B ．a b c >>C ．c a b >>D ．c b a >>6．函数()1ln f x x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．7．函数2()ln(28)f x x x =--的单调递增区间是 A ．(,2)-∞- B ．(,1)-∞ C ．(1,)+∞D ．(4,)+∞8．已知函数e 0()ln 0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，，，，()()g x f x x a =++．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是A ．[–1，0）B ．[0，+∞）C ．[–1，+∞）D ．[1，+∞） 9．若a ＞b ＞0，0＜c ＜1，则A ．log a c ＜log b cB ．log c a ＜log c bC ．a c ＜b cD ．c a ＞c b10．已知集合{|20}A x x =-<，{|}B x x a =<，若A B A =I ，则实数a 的取值范围是( ) A ．(,2]-∞-B ．[2,)+∞C ．(,2]-∞D ．[2,)-+∞11．已知集合{}22(,)1A x y x y =+=，{}(,)B x y y x ==，则A B I 中元素的个数为（ ） A ．3B ．2C ．1D ．012．已知函数()f x 的定义域为R .当0x <时，3()1f x x =-；当11x -≤≤时，()()f x f x -=-；当12x >时，11()()22f x f x +=-.则(6)f =（ ） A ．2-B ．1-C ．0D ．2二、填空题13．方程组2040x y x +=⎧⎨-=⎩的解组成的集合为_________.14．已知函数()(0,1)x f x a b a a =+>≠的定义域和值域都是[]1,0-，则a b += .15．己知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，01x <<时，()4xf x =，5()(2019)2f f -+的值是____.16．某在校大学生提前创业,想开一家服装专卖店,经过预算,店面装修费为10000元,每天需要房租水电等费用100元,受营销方法、经营信誉度等因素的影响,专卖店销售总收入P 与店面经营天数x 的关系是P(x)=21300,0300245000,300x x x x ⎧-≤<⎪⎨⎪≥⎩则总利润最大时店面经营天数是___.17．已知偶函数()f x 满足3()8(0)f x x x =-≥，则(2)0f x ->的解集为___ ___18．已知2a =5b =m ,且11a b+=1,则m =____. 19．函数的定义域为______________．20．10343383log 27()()161255---+=__________．三、解答题21．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益()f x 与投资额x 成正比，且投资1万元时的收益为18万元，投资股票等风险型产品的收益()g x 与投资额x 的算术平方根成正比，且投资1万元时的收益为0.5万元， （1）分别写出两种产品的收益与投资额的函数关系；（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益为多少万元？22．已知函数f (x )＝4x －2·2x ＋1－6，其中x ∈[0,3]． (1)求函数f (x )的最大值和最小值；(2)若实数a 满足f (x )－a ≥0恒成立，求a 的取值范围． 23．已知函数2()(2)3f x x a x =+--．（1）若函数()f x 在[]2,4-上是单调函数，求实数a 的取值范围；（2）当5a =，[1,1]x ∈-时，不等式()24f x m x >+-恒成立，求实数m 的范围． 24．若()f x 是定义在(0,)+∞上的函数，且满足()()()xf f x f y y=-， 当1x >时，()0f x >. （1）判断并证明函数的单调性；（2）若(2)1f =，解不等式1(3)()2f x f x+-<.25．已知函数21()(,,)ax f x a b c Z bx c+=∈+是奇函数，且(1)2,(2)3f f =<（1）求a ，b ，c 的值；（2）判断函数()f x 在[1,)+∞上的单调性，并用定义证明你的结论； （3）解关于t 的不等式：2(1)(3)0f t f t --++>． 26．已知函数2()log (0,1)2axf x a a x-=>≠+. （Ⅰ）当a=3时，求函数()f x 在[1,1]x ∈-上的最大值和最小值；（Ⅱ）求函数()f x 的定义域，并求函数2()()(24)4f x g x ax x a=--++的值域．（用a 表示）【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】分析：由题意首先进行并集运算，然后进行交集运算即可求得最终结果.详解：由并集的定义可得：{}1,0,1,2,3,4A B ⋃=-， 结合交集的定义可知：(){}1,0,1A B C ⋃⋂=-. 本题选择C 选项.点睛：本题主要考查并集运算、交集运算等知识，意在考查学生的计算求解能力.2．B解析：B 【解析】 【分析】利用分段函数先求f （1)8）的值，然后在求出f 1(())8f 的值． 【详解】 f＝log 2＝log 22－3＝－3，f＝f (－3)＝3－3＝.【点睛】本题主要考查分段函数求值以及指数函数、对数函数的基本运算，属基础题．3．C解析：C 【解析】由1x ≥时()()21f x x =-是增函数可知,若1a ≥,则()()1f a f a ≠+,所以01a <<,由()(+1)f a f a =2(11)a a =+-,解得14a =,则1(4)2(41)6f f a ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭,故选C. 【名师点睛】求分段函数的函数值,首先要确定自变量的范围,然后选定相应关系式，代入求解；当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时,应根据每一段解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围．4．B解析：B 【解析】 函数f （x ）=e x ﹣1x 是（0，+∞）上的增函数，再根据f （12）e 2＜0，f （1）=e ﹣1＞0，可得f （12）f （1）＜0，∴函数f （x ）=e x ﹣1x 的零点所在的区间是（12，1），故选B ．点睛：判定函数的零点所在区间，只需计算区间端点处的函数值，并判断是否异号，只要异号，则区间内至少有一个零点存在.5．A解析：A 【解析】由0.50.6log 0.51,ln 0.50,00.61><<<，所以1,0,01a b c ><<<，所以a c b >>，故选A .6．B解析：B 【解析】 【分析】通过函数在2x =处函数有意义，在2x =-处函数无意义，可排除A 、D ；通过判断当1x >时，函数的单调性可排除C ，即可得结果. 【详解】当2x =时，110x x-=>，函数有意义，可排除A ； 当2x =-时，1302x x -=-<，函数无意义，可排除D ； 又∵当1x >时，函数1y x x=-单调递增， 结合对数函数的单调性可得函数()1ln f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增，可排除C ； 故选：B. 【点睛】本题主要考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合与分类讨论的思维能力，属于中档题.7．D解析：D 【解析】由228x x -->0得：x ∈(−∞,−2)∪(4,+∞)， 令t =228x x --，则y =ln t ，∵x ∈(−∞,−2)时,t =228x x --为减函数； x ∈(4,+∞)时,t =228x x --为增函数； y =ln t 为增函数，故函数f (x )=ln(228x x --)的单调递增区间是(4,+∞)， 故选D.点睛：形如()()y f g x =的函数为()y g x =,() y f x =的复合函数，() y g x =为内层函数,()y f x =为外层函数. 当内层函数()y g x =单增，外层函数()y f x =单增时，函数()()y f g x =也单增；当内层函数()y g x =单增，外层函数()y f x =单减时，函数()()y f g x =也单减； 当内层函数()y g x =单减，外层函数()y f x =单增时，函数()()y f g x =也单减；当内层函数()y g x =单减，外层函数()y f x =单减时，函数()()y f g x =也单增. 简称为“同增异减”.8．C解析：C 【解析】分析：首先根据g （x ）存在2个零点，得到方程()0f x x a ++=有两个解，将其转化为()f x x a =--有两个解，即直线y x a =--与曲线()y f x =有两个交点，根据题中所给的函数解析式，画出函数()f x 的图像（将(0)xe x >去掉），再画出直线y x =-，并将其上下移动，从图中可以发现，当1a -≤时，满足y x a =--与曲线()y f x =有两个交点，从而求得结果.详解：画出函数()f x 的图像，xy e =在y 轴右侧的去掉，再画出直线y x =-，之后上下移动，可以发现当直线过点A 时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点， 即方程()f x x a =--有两个解， 也就是函数()g x 有两个零点， 此时满足1a -≤，即1a ≥-，故选C.点睛：该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图像以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果.9．B解析：B 【解析】试题分析：对于选项A ，a b 1gc 1gclog c ,log c lg a lg b==，01c <<Q ，10gc ∴<，而0a b >>，所以lg lg a b >，但不能确定lg lg a b 、的正负，所以它们的大小不能确定;对于选项B ，c lg lg log ,log lg lg c a b a b c c ==,lg lg a b >，两边同乘以一个负数1lg c改变不等号方向，所以选项B 正确;对于选项C ，利用c y x =在第一象限内是增函数即可得到c c a b >，所以C 错误;对于选项D ，利用xy c =在R 上为减函数易得a b c c <，所以D 错误.所以本题选B.【考点】指数函数与对数函数的性质【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.10．B解析：B 【解析】由题意可得{}|2A x x =<，结合交集的定义可得实数a 的取值范围是[)2,+∞ 本题选择B 选项.11．B解析：B 【解析】试题分析：集合中的元素为点集，由题意，可知集合A 表示以()0,0为圆心，1为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合B 表示直线y x =上所有的点组成的集合，又圆221x y +=与直线y x =相交于两点22,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，22,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，则A B I 中有2个元素.故选B.【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.12．D解析：D 【解析】 试题分析：当时,11()()22f x f x +=-,所以当时,函数是周期为的周期函数,所以,又函数是奇函数,所以,故选D ．考点：函数的周期性和奇偶性．二、填空题13．【解析】【分析】解方程组求出结果即可得答案【详解】由解得或代入解得或所以方程组的解组成的集合为故答案为【点睛】该题考查的是有关方程组解集的问题需要注意的问题是解是二维的再者就是需要写成集合的形式属于 解析：()(){}2,2,2,2--【解析】 【分析】解方程组2040x y x +=⎧⎨-=⎩，求出结果即可得答案.【详解】由240x -=，解得2x =或2x =-，代入0x y +=，解得22x y =⎧⎨=-⎩或22x y =-⎧⎨=⎩， 所以方程组240x y x +=⎧⎨-=⎩的解组成的集合为{}(2,2),(2,2)--， 故答案为{}(2,2),(2,2)--. 【点睛】该题考查的是有关方程组解集的问题，需要注意的问题是解是二维的，再者就是需要写成集合的形式，属于简单题目.14．【解析】若则在上为增函数所以此方程组无解；若则在上为减函数所以解得所以考点：指数函数的性质解析：32-【解析】若1a >，则()f x 在[]1,0-上为增函数,所以11{10a b b -+=-+=，此方程组无解；若01a <<，则()f x 在[]1,0-上为减函数,所以10{11a b b -+=+=-，解得1{22a b ==-，所以32a b +=-.考点：指数函数的性质.15．【解析】【分析】根据题意由函数的奇偶性与周期性分析可得f （﹣）＝f （﹣）＝﹣f （）结合解析式求出f （）的值又因为f （2019）＝f （1+2×1009）＝f （1）＝0；据此分析可得答案【详解】解：根据 解析：2-【解析】 【分析】根据题意，由函数的奇偶性与周期性分析可得f（﹣52）＝f（﹣12）＝﹣f（12），结合解析式求出f（12）的值，又因为f（2019）＝f（1+2×1009）＝f（1）＝0；据此分析可得答案．【详解】解：根据题意，函数f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数，则f（﹣52）＝f（﹣12）＝﹣f（12），f（2019）＝f（1+2×1009）＝f（1），又由函数f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数，则有f（1）＝f（﹣1）且f（1）＝﹣f （﹣1），故f（1）＝0，则f（2019）＝0，又由0＜x＜l时，f（x）＝4x，则f（12）＝124＝2，则f（﹣52）＝﹣f（12）＝﹣2；则5f f(2019)2⎛⎫-+⎪⎝⎭＝﹣2；故答案为：﹣2【点睛】本题考查函数的周期性与函数值的计算，属于基础题．16．200【解析】【分析】根据题意列出总利润L(x)的分段函数然后在各个部分算出最大值比较大小就能确定函数的最大值进而可求出总利润最大时对应的店面经营天数【详解】设总利润为L(x)则L(x)=则L(x)解析：200【解析】【分析】根据题意，列出总利润L(x)的分段函数，然后在各个部分算出最大值，比较大小，就能确定函数的最大值，进而可求出总利润最大时对应的店面经营天数.【详解】设总利润为L(x),则L(x)=2120010000,0300 210035000,300x x xx x⎧-+-≤<⎪⎨⎪-+≥⎩则L(x)=21(200)10000,0300 210035000,300x xx x⎧--+≤<⎪⎨⎪-+≥⎩当0≤x<300时,L(x)max=10000,当x≥300时,L(x)max=5000,所以总利润最大时店面经营天数是200.【点睛】本题主要考查分段函数的实际应用，准确的写出各个部分的函数关系式是解决本题的关键.17．【解析】【分析】通过判断函数的奇偶性增减性就可以解不等式【详解】根据题意可知令则转化为由于偶函数在上为增函数则即即或即或【点睛】本题主要考查利用函数的性质（奇偶性增减性）解不等式意在考查学生的转化能 解析：{|40}x x x ><或【解析】 【分析】通过判断函数的奇偶性，增减性就可以解不等式. 【详解】根据题意可知(2)0f =，令2x t -=，则转化为()(2)f t f >，由于偶函数()f x 在()0,∞+上为增函数，则()(2)f t f >，即2t>，即22x -<-或22x ->，即0x <或4x >.【点睛】本题主要考查利用函数的性质（奇偶性，增减性）解不等式，意在考查学生的转化能力，分析能力及计算能力.18．10【解析】因为2a=5b=m 所以a=log2mb=log5m 由换底公式可得=logm2+logm 5=logm10=1则m=10点睛：(1)在对数运算中先利用幂的运算把底数或真数进行变形化成分数指数解析：10 【解析】因为2a =5b =m ,所以a =log 2m ,b =log 5m , 由换底公式可得11a b+=log m 2+log m 5=log m 10=1,则m =10. 点睛：(1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并，在运算中要注意化同底或指数与对数互化．(2)熟练地运用对数的三个运算性质并配以代数式的恒等变形是对数计算、化简、证明常用的技巧．19．-11【解析】【分析】根据定义域基本要求可得不等式组解不等式组取交集得到结果【详解】由题意得：1-x2≥02cosx -1>0⇒-1≤x≤1cosx>12cosx>12⇒x∈-π3+2kππ3+2kπ 解析：【解析】 【分析】根据定义域基本要求可得不等式组，解不等式组取交集得到结果. 【详解】由题意得：，函数定义域为：【点睛】本题考查具体函数定义域的求解问题，关键是根据定义域的基本要求得到不等式组.20．【解析】 三、解答题21．（1）()11,(),(0)82f x xg x x x ==≥；（2）投资债券等稳健型产品为16万元，投资股票等风险型产品为4万元，投资收益最大为3万元. 【解析】 【分析】（1）投资债券等稳健型产品的收益()f x 与投资额x 成正比，投资股票等风险型产品的收益()g x 与投资额x 的算术平方根成正比，用待定系数法求这两种产品的收益和投资的函数关系；（2）由（1）的结论，设投资股票等风险型产品为x 万元，则投资债券等稳健型产品为20x -万元，这时可构造出一个关于收益y 的函数，然后利用求函数最大值的方法进行求解. 【详解】（1）依题意设()1,()f x k x g x k x ==，1211(1),(1)82f k g k ====，()11,(),(0)82f x xg x x x ==≥；（2）设投资股票等风险型产品为x 万元，则投资债券等稳健型产品为20x -万元，11(20)()(20)82y f x g x x x =-+=-21(2)3,0208x x =-+≤≤Q ，2,4x x ==万元时，收益最大max 3y =万元， 20万元资金，投资债券等稳健型产品为16万元， 投资股票等风险型产品为4万元，投资收益最大为3万元. 【点睛】本题考查函数应用题，考查正比例函数、二次函数的最值、待定系数法等基础知识与基本方法，属于中档题.22．（1）f (x )min ＝－10，f (x )max ＝26；（2）(－∞，－10].【解析】试题分析：（1）由题意可得，f (x )＝4x －2·2x ＋1－6，令t=2x ，从而可转化为二次函数在区间[1，8]上的最值的求解（2）由题意可得，a≤f （x ）恒成立⇔a ≤f （x ）min 恒成立，结合（1）可求 试题解析：(1)f (x )＝(2x )2－4·2x －6(0≤x ≤3)． 令t ＝2x ，∵0≤x ≤3，∴1≤t ≤8.则h (t )＝t 2－4t －6＝(t －2)2－10(1≤t ≤8)．当t ∈[1,2]时，h (t )是减函数；当t ∈(2,8]时，h (t )是增函数． ∴f (x )min ＝h (2)＝－10，f (x )max ＝h (8)＝26. (2)∵f (x )－a ≥0恒成立，即a ≤f (x )恒成立， ∴a ≤f (x )min 恒成立．由(1)知f (x )min ＝－10，∴a ≤－10. 故a 的取值范围为(－∞，－10]． 23．（1）(,6][6,+)∞∞--U ；（2）3(,)4∞-． 【解析】 【分析】（1）首先求函数的对称轴22a x -=-，令242a --≥或 222a --≤-，求实数a 的取值范围；（2）不等式等价于21x x m ++>恒成立，令()21g x x x =++，转化为()min g x m >，[]1,1x ∈-恒成立，求m 的取值范围. 【详解】解：（1）函数()f x 的对称轴为22a x -=-， 又函数()f x 在[]2,4-上是单调函数，242a -∴-≥或 222a --≤-， 解得6a ≤-或6a ≥．∴实数a 的取值范围为(,6][6,)-∞-+∞U ；（2）当5a =，[]1,1x ∈-时，()24f x m x >+-恒成立，即21x x m ++>恒成立， 令()21g x x x =++，()min g x m >恒成立，函数()g x 的对称轴[]11,12x =-∈-，∴()min 1324g x g ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，即34m >， m ∴的范围为3(,)4-∞．本题考查二次函数单调性，恒成立的的综合问题，属于基础题型. 24．（1）增函数,证明见解析；（2）{|01}x x << 【解析】 试题分析：(1)由题意结合所给的抽象函数关系可由120x x >>时有()()120f x f x ->，即()f x 在定义域内为增函数；(2)原问题等价于x 的不等式组(3)43010x x x x⎧⎪+<⎪+>⎨⎪⎪>⎩，求解不等式组可得01x <<.试题解析： （1）增函数证明：令12,x x y x ==，且120x x >>，则121x x > 由题意知：1122()()()x f f x f x x =- 又∵当x >1时，()0f x > ∴12()0x f x > ∴()()120f x f x -> ∴()f x 在定义域内为增函数(2)令x =4,y =2 由题意知：4()(4)(2)2f f f =- ∴()()422122f f ==⨯=()13()((3))(4)f x f f x x f x+-=+<又∵()f x 是增函数，可得(3)43010x x x x⎧⎪+<⎪+>⎨⎪⎪>⎩ ∴01x <<.点睛：抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数．由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一.抽象性较强，灵活性大,解抽象函数重要的一点要抓住函数中的某些性质，通过局部性质或图象的局部特征，利用常规数学思想方法（如化归法、数形结合法等），这样就能突破“抽象”带来的困难，做到胸有成竹.另外还要通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想，寻找具体的函数模型，再由具体函数模型的图象和性质来指导我们解决抽象函数问题的方法． 25．⑴1,0a b c ===⑵增函数⑶22t -<< 【解析】【详解】（1）()f x Q 为奇函数，()()f x f x ∴-=-即2211ax ax bx c bx c++=--++ 得bx c bx c -+=--解得0c =又1(1)221a f b a b+==⇒=+Q 412(2)32021a a fb a +-=<⇒<+Q 解得1201a a Z a a -<<∈∴==Q 或 当0a =时12b =与b Z ∈矛盾舍，当1a =时1b =综上1,0a b c === ⑵函数()f x 在[1,)+∞上为增函数任取1212,[1,),x x x x ∈+∞<且则2212121212121211()(1)()()x x x x x x f x f x x x x x ++---=-= 1212,[1,),x x x x ∈+∞<Q 且1212(1,),0x x x x ∴⋅∈+∞-<且 1212()()0()()f x f x f x f x ∴-<<即得证函数()f x 在[1,)+∞上为增函数⑶222(1)(3)0(3)(1)(1)f t f t f t f t f t --++>∴+>---=+Q211,31t t +≥+>Q ，函数()f x 在[1,)+∞上为增函数 213(1)(2)0t t t t ∴+<+⇒+-<解得222t t <⇒-<<考点：函数奇偶性的性质；函数单调性的判断与证明26．（Ⅰ）max ()1f x =，min ()1f x =-；（Ⅱ）()f x 的定义域为(2,2)-，()g x 的值域为(4(1),4(1))a a -+-．【解析】 【分析】 【详解】试题分析：（Ⅰ）当3a =时，求函数()f x 在[1,1]x ∈-上的最大值和最小值，令()22xu x x-=+，变形得到该函数的单调性，求出其值域，再由()()log a f x u x =为增函数，从而求得函数()f x 在[1,1]x ∈-上的最大值和最小值；（Ⅱ）求函数()f x 的定义域，由对数函数的真数大于0求出函数()f x 的定义域，求函数()g x 的值域，函数()f x 的定义域，即()g x 的定义域，把()f x 的解析式代入()g x 后整理，化为关于x 的二次函数，对a 分类讨论，由二次函数的单调性求最值，从而得函数()g x 的值域． 试题解析：（Ⅰ）令24122x u x x -==-++，显然u 在[1,1]x ∈-上单调递减，故u ∈1[,3]3，故3log [1,1]y u =∈-，即当[1,1]x ∈-时，max ()1f x =，（在3u =即1x =-时取得）min ()1f x =-，（在13u =即1x =时取得） (II)由20()2xf x x->⇒+的定义域为(2,2)-，由题易得：2()2,(2,2)g x ax x x =-+∈-， 因为0,1a a >≠，故()g x 的开口向下，且对称轴10x a=>，于是： 1o当1(0,2)a ∈即1(,1)(1,)2a ∈+∞U 时，()g x 的值域为（11((2),()](4(1),]g g a aa-=-+；2o当12a ≥即1(0,]2a ∈时，()g x 的值域为((2),(2))(4(1),4(1))g g a a -=-+- 考点：复合函数的单调性；函数的值域．。
2020-2021东莞市高中必修一数学上期中第一次模拟试题附答案
2020-2021东莞市高中必修一数学上期中第一次模拟试题附答案一、选择题1．若集合{}|1,A x x x R =≤∈，{}2|,B y y x x R ==∈，则A B =IA ．{}|11x x -≤≤B ．{}|0x x ≥C ．{}|01x x ≤≤D ．∅2．三个数0.32，20.3，0.32log 的大小关系为（ ）.A ．20.30.3log 20.32<< B ．0.320.3log 220.3<<C ．20.30.30.3log 22<<D ．20.30.30.32log 2<<3．在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，则“cos cos a A b B =”是“ABC ∆是以A 、B 为底角的等腰三角形”的（ ）. A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件4．若函数()(),1231,1x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨-+≤⎪⎩是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．2,13⎛⎫⎪⎝⎭B ．3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．23,34⎛⎤⎥⎝⎦D ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭5．已知定义域为R 的函数()f x 在[1,)+∞单调递增，且(1)f x +为偶函数，若(3)1f =，则不等式(21)1f x +<的解集为（ ） A ．(1,1)- B ．(1,)-+∞ C ．(,1)-∞D ．(,1)(1,)-∞-+∞U6．已知函数y=f （x ）定义域是[-2，3]，则y=f （2x-1）的定义域是（ ） A ．50,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[]1,4-C ．1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[]5,5-7．已知()201911,02log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩，若存在三个不同实数a ，b ，c 使得()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围是（ ） A ．(0,1)B ．[-2,0)C ．(]2,0-D ．（0,1）8．已知函数2221,2,()2,2,x x x x f x x -⎧-++<=⎨≥⎩且存在三个不同的实数123,,x x x ，使得123()()()f x f x f x ==，则123x x x ++的取值范围为（ ）A ．(4,5)B ．[4,5)C ．(4,5]D ．[4,5]9．函数sin21cos xy x=-的部分图像大致为A ．B ．C ．D ．10．已知()lg(10)lg(10)f x x x =++-，则()f x 是（ ） A ．偶函数，且在(0,10)是增函数 B ．奇函数，且在(0,10)是增函数 C ．偶函数，且在(0,10)是减函数D ．奇函数，且在(0,10)是减函数11．已知定义在R 上的函数()21()x m f x m -=-为实数为偶函数,记0.5(log 3),a f =2b (log 5),c (2)f f m ==,则,,a b c ,的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．c b a <<12．若函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---≤⎧=⎨>⎩单调递增,则实数a 的取值范围是( ) A ．9,34⎛⎫⎪⎝⎭ B ．9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．()1,3D ．()2,3二、填空题13．如果定义在区间[3＋a ，5]上的函数f(x)为奇函数，那么a 的值为________. 14．幂函数y=x α,当α取不同的正数时,在区间[0,1]上它们的图像是一族美丽的曲线(如图).设点A (1,0),B (0,1),连接AB ,线段AB 恰好被其中的两个幂函数y=x α,y=x β的图像三等分,即有BM=MN=NA ,那么,αβ等于_____.15．方程组2040x y x +=⎧⎨-=⎩的解组成的集合为_________.16．已知函数2()121()f x ax x ax a R =+++-∈的最小值为0，则实数a =_________. 17．函数6()12log f x x =-__________． 18．已知2a =5b =m ,且11a b+=1,则m =____. 19．已知()f x 是定义在[)(]2,00,2-⋃上的奇函数，当0x >，()f x 的图象如图所示，那么()f x 的值域是______．20．若关于的方程有三个不相等的实数根，则实数的值为_______.三、解答题21．已知2256x ≤且21log 2x ≥，求函数22()log log 22x xf x =⋅的最大值和最小值． 22．一种放射性元素，最初的质量为500g ，按每年10﹪衰减. （Ⅰ）求t 年后，这种放射性元素质量ω的表达式；（Ⅱ）由求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期（剩留量为原来的一半所需要的时间）．（精确到0.1；参考数据：）23．一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元,此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元,年产量为x （x N *∈）件.当20x ≤时，年销售总收人为（233x x -）万元；当20x >时，年销售总收人为260万元.记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y 万元.(年利润=年销售总收入一年总投资) (1)求y (万元)与x (件)的函数关系式；(2)当该工厂的年产量为多少件时,所得年利润最大?最大年利润是多少?24．我校高一年级某研究小组经过调查发现：提高北环隧道的车辆通行能力可有效改善交通状况，在一般情况下，隧道内的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米，车流密度指每千米道路上车辆的数量）的函数.当隧道内的车流密度达到210辆/千米时，将造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过30辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当30210x ≤≤时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数. （1）求函数()v x 的表达式；（2）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过某观测点的车辆数，单位：辆/小时） ()()f x x v x =⋅可以达到最大，并求出最大值.25．设()()()log 1log (30,1)a a f x x x a a =++->≠,且()12f =. （1）求a 的值及()f x 的定义域； （2）求()f x 在区间30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值．26．国庆期间,某旅行社组团去风景区旅游,若旅行团人数在30人或30人以下,每人需交费用为900元；若旅行团人数多于30人,则给予优惠：每多1人,人均费用减少10元,直到达到规定人数75人为止．旅行社需支付各种费用共计15000元． （1）写出每人需交费用y 关于人数x 的函数； （2）旅行团人数为多少时,旅行社可获得最大利润？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】求出集合B 后可得A B I . 【详解】因为集合{}|1,{|11}A x x x R x x =≤∈=-≤≤，{}2|,{|0}B y y x x R y y ==∈=≥则A B =I {}|01x x ≤≤，选C【点睛】本题考查集合的交，注意集合意义的理解，如(){}|,x y f x x D =∈表示函数的定义域，而(){}|,y y f x x D =∈表示函数的值域，()(){},|,x y y f x x D =∈表示函数的图像.2．A解析：A 【解析】 【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出． 【详解】∵0＜0.32＜1，20.3＞1，log 0.32＜0， ∴20.3＞0.32＞log 0.32． 故选A ． 【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，属于基础题．3．B解析：B 【解析】 【分析】化简cos cos a A b B =得到A B =或2A B π+=，再判断充分必要性.【详解】cos cos a A b B =，根据正弦定理得到：sin cos sin cos sin 2sin 2A A B B A B =∴=故22A B A B =∴=或222A B A B ππ=-∴+=，ABC ∆为等腰或者直角三角形.所以“cos cos a A b B =”是“ABC ∆是以A 、B 为底角的等腰三角形”的必要非充分条件 故选B 【点睛】本题考查了必要非充分条件，化简得到A B =或2A B π+=是解题的关键，漏解是容易发生的错误.4．C解析：C 【解析】 【分析】由题意结合分段函数的解析式分类讨论即可求得实数a 的取值范围. 【详解】当1x >时，x a 为减函数，则01a <<，当1x ≤时，一次函数()231a x -+为减函数，则230a -<，解得：23a >， 且在1x =处，有：()12311a a -⨯+≥，解得：34a ≤， 综上可得，实数a 的取值范围是23,34⎛⎤ ⎥⎝⎦. 本题选择C 选项. 【点睛】对于分段函数的单调性，有两种基本的判断方法：一保证各段上同增(减)时，要注意上、下段间端点值间的大小关系；二是画出这个分段函数的图象，结合函数图象、性质进行直观的判断．5．A解析：A 【解析】 【分析】由函数y ＝f （x +1）是定义域为R 的偶函数，可知f （x ）的对称轴x ＝1，再利用函数的单调性，即可求出不等式的解集． 【详解】由函数y ＝f （x +1）是定义域为R 的偶函数，可知f （x ）的对称轴x ＝1，且在[1，+∞）上单调递增，所以不等式f （2x+1）＜1=f （3）⇔ |2x+1﹣1|）＜|3﹣1|， 即|2x |＜2⇔|x |＜1，解得-11x ＜＜ 所以所求不等式的解集为：()1,1-. 故选A ． 【点睛】本题考查了函数的平移及函数的奇偶性与单调性的应用，考查了含绝对值的不等式的求解，属于综合题．6．C解析：C【解析】∵函数y=f(x)定义域是[−2,3]，∴由−2⩽2x−1⩽3，解得−12⩽x⩽2，即函数的定义域为1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，本题选择C选项.7．C解析：C【解析】【分析】画出函数图像，根据图像得到20a-<≤，1bc=，得到答案.【详解】()201911,02log,0x xf xx x⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩，画出函数图像，如图所示：根据图像知：20a-<≤，20192019log logb c-=，故1bc=，故20abc-<≤.故选：C.【点睛】本题考查了分段函数的零点问题，画出函数图像是解题的关键.8．A解析：A【解析】不妨设123x x x <<，当2x <时，()()212f x x =--+，此时二次函数的对称轴为1x =，最大值为2，作出函数()f x 的图象如图，由222x -=得3x =，由()()()123f x f x f x ==，，且1212x x +=，即122x x +=，12332,x x x x ∴++=+ 由图可知3323,425x x <<∴<+<， 即123x x x ++的取值范围是()4,5，故选A.9．C解析：C 【解析】 由题意知，函数sin 21cos xy x =-为奇函数，故排除B ；当πx =时，0y =，故排除D ；当1x =时，sin 201cos 2y =>-，故排除A ．故选C ． 点睛:函数图像问题首先关注定义域，从图像的对称性，分析函数的奇偶性，根据函数的奇偶性排除部分选择项，从图像的最高点、最低点，分析函数的最值、极值，利用特值检验，较难的需要研究单调性、极值等，从图像的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．10．C解析：C 【解析】 【分析】先判断函数的定义域关于原点对称，再由奇偶性的定义判断奇偶性，根据复合函数的单调判断其单调性，从而可得结论. 【详解】由100100x x +>⎧⎨->⎩，得(10,10)x ∈-， 故函数()f x 的定义域为()10,10-，关于原点对称，又()()lg 10lg(10)()f x x x f x -=-++=，故函数()f x 为偶函数， 而()()2lg(10)lg(10)lg 100f x x x x=++-=-，因为函数2100y x =-在()0,10上单调递减，lg y x =在()0,∞+上单调递增， 故函数()f x 在()0,10上单调递减，故选C. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性，属于中档题. 判断函数的奇偶性首先要看函数的定义域是否关于原点对称，如果不对称，既不是奇函数又不是偶函数，如果对称常见方法有：（1）直接法， ()()f x f x -=±(正为偶函数，负为减函数)；（2）和差法，()()0f x f x -±=（和为零奇函数，差为零偶函数）；（3）作商法，()()1f x f x -=±（1 为偶函数，1- 为奇函数） .11．B解析：B 【解析】由()f x 为偶函数得0m =,所以0,52log 3log 32121312,a =-=-=-=2log 521514b =-=-=,0210c =-=,所以c a b <<,故选B.考点：本题主要考查函数奇偶性及对数运算.12．B解析：B 【解析】 【分析】利用函数的单调性，判断指数函数底数的取值范围，以及一次函数的单调性，及端点处函数值的大小关系列出不等式求解即可 【详解】解：Q 函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---⎧=⎨>⎩…单调递增，()301373a a a a⎧->⎪∴>⎨⎪-⨯-≤⎩解得934a ≤<所以实数a 的取值范围是9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭． 故选：B ． 【点睛】本题考查分段函数的应用，指数函数的性质，考查学生的计算能力，属于中档题．二、填空题13．－8【解析】∵f(x)定义域为3＋a5且为奇函数∴3＋a＝－5∴a＝－8点睛：利用奇偶性求值的类型及方法(1)求函数值：利用奇偶性将待求值转化到已知区间上的函数值进而得解(2)求参数值：在定义域关于解析：－8【解析】∵f(x)定义域为[3＋a，5]，且为奇函数，∴3＋a＝－5，∴a＝－8.点睛：利用奇偶性求值的类型及方法(1)求函数值：利用奇偶性将待求值转化到已知区间上的函数值，进而得解．(2)求参数值：在定义域关于原点对称的前提下，根据奇函数满足f(－x)＝－f(x)或偶函数满足f(－x)＝f(x)列等式，根据等式两侧对应相等确定参数的值．特别要注意的是：若能够确定奇函数的定义域中包含0，可以根据f(0)＝0列式求解，若不能确定则不可用此法．14．【解析】【分析】由条件得MN则结合对数的运算法则可得αβ=1【详解】由条件得MN可得即α=loβ=lo所以αβ=lo·lo=1【点睛】本题主要考查幂函数的性质对数的运算法则及其应用等知识意在考查学生解析：【解析】【分析】由条件,得M12,33⎛⎫⎪⎝⎭,N21,33⎛⎫⎪⎝⎭,则1221,3333αβ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,结合对数的运算法则可得αβ=1.【详解】由条件,得M12,33⎛⎫⎪⎝⎭,N21,33⎛⎫⎪⎝⎭,可得1221,3333αβ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即α=lo231 3g,β=lo132 3g.所以αβ=lo231 3g·lo1312 233·21 333lg lgglg lg==1.【点睛】本题主要考查幂函数的性质，对数的运算法则及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.15．【解析】【分析】解方程组求出结果即可得答案【详解】由解得或代入解得或所以方程组的解组成的集合为故答案为【点睛】该题考查的是有关方程组解集的问题需要注意的问题是解是二维的再者就是需要写成集合的形式属于解析：()(){}2,2,2,2--【解析】 【分析】解方程组2040x y x +=⎧⎨-=⎩，求出结果即可得答案.【详解】由240x -=，解得2x =或2x =-，代入0x y +=， 解得22x y =⎧⎨=-⎩或22x y =-⎧⎨=⎩，所以方程组2040x y x +=⎧⎨-=⎩的解组成的集合为{}(2,2),(2,2)--，故答案为{}(2,2),(2,2)--. 【点睛】该题考查的是有关方程组解集的问题，需要注意的问题是解是二维的，再者就是需要写成集合的形式，属于简单题目.16．【解析】【分析】设计算可得再结合图象即可求出答案【详解】解：设则则由于函数的最小值为0作出函数的大致图象结合图象得所以故答案为：【点睛】本题主要考查分段函数的图象与性质考查转化思想考查数形结合思想属解析：±1. 【解析】 【分析】设2()()1()()21g x h x ax g x h x x ax +=+⎧⎨-=+-⎩，计算可得2(),()()()2(),()()g x g x h x f x h x g x h x ≥⎧=⎨<⎩，再结合图象即可求出答案． 【详解】解：设2()()1()()21g x h x ax g x h x x ax +=+⎧⎨-=+-⎩，则22()()1g x x ax h x x ⎧=+⎨=-⎩， 则()()()()()f x g x h x g x h x =++-2(),()()2(),()()g x g x h x h x g x h x ≥⎧=⎨<⎩，由于函数()f x 的最小值为0，作出函数()g x ，()h x 的大致图象，结合图象，210x -=，得1x =±，所以1a =±，故答案为：±1．【点睛】本题主要考查分段函数的图象与性质，考查转化思想，考查数形结合思想，属于中档题．17．【解析】要使函数有意义则必须解得：故函数的定义域为：点睛：常见基本初等函数定义域的基本要求(1)分式函数中分母不等于零(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0(3)一次函数二次函数的定义域均为R(4 解析：(6⎤⎦【解析】要使函数()f x 有意义，则必须6012log 0x x >⎧⎨-≥⎩，解得：06x ≤< 故函数()f x 的定义域为：(6．点睛：常见基本初等函数定义域的基本要求(1)分式函数中分母不等于零．(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.(4)y ＝x0的定义域是{x|x≠0}．(5)y ＝ax(a>0且a≠1)，y ＝sin x ，y ＝cos x 的定义域均为R.(6)y ＝logax(a>0且a≠1)的定义域为(0，＋∞)．(7)y ＝tan x 的定义域为π{|π,}2x x k k ≠+∈Z . 18．10【解析】因为2a=5b=m 所以a=log2mb=log5m 由换底公式可得=logm2+logm 5=logm10=1则m=10点睛：(1)在对数运算中先利用幂的运算把底数或真数进行变形化成分数指数解析：10【解析】因为2a =5b =m ,所以a =log 2m ,b =log 5m ,由换底公式可得11a b+=log m 2+log m 5=log m 10=1,则m =10. 点睛：(1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并，在运算中要注意化同底或指数与对数互化．(2)熟练地运用对数的三个运算性质并配以代数式的恒等变形是对数计算、化简、证明常用的技巧．19．【解析】【分析】先根据函数的奇偶性作出函数在y 轴左侧的图象欲求的值域分两类讨论：；结合图象即可解决问题【详解】是定义在上的奇函数作出图象关于原点对称作出其在y 轴左侧的图象如图由图可知：的值域是故答案 解析：][()2,33,2⋃--【解析】【分析】先根据函数的奇偶性作出函数在y 轴左侧的图象，欲求()f x 的值域，分两类讨论：0x >①；0.x <②结合图象即可解决问题．【详解】()f x Q 是定义在(][2,00,2-⋃上的奇函数，∴作出图象关于原点对称作出其在y 轴左侧的图象，如图．由图可知：()f x 的值域是][()2,33,2⋃--．故答案为][()2,33,2⋃--．【点睛】本题考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力． 20．3【解析】令fx=x2-2x-2则由题意可得函数y=fx 与函数y=m 的图象有三个公共点画出函数fx=x2-2x-2的图象如图所示结合图象可得要使两函数的图象有三个公共点则m=3答案：3解析：3【解析】令，则由题意可得函数与函数的图象有三个公共点．画出函数的图象如图所示，结合图象可得，要使两函数的图象有三个公共点，则．答案：3 三、解答题21．最小值为14-，最大值为2. 【解析】【分析】 由已知条件化简得21log 32x ≤≤，然后化简()f x 求出函数的最值 【详解】由2256x ≤得8x ≤，2log 3x ≤即21log 32x ≤≤ ()()()222231log 1log 2log 24f x x x x ⎛⎫=-⋅-=-- ⎪⎝⎭. 当23log ,2x =()min 14f x =-，当2log 3,x = ()max 2f x =． 【点睛】熟练掌握对数的基本运算性质是转化本题的关键，将其转化为二次函数的值域问题，较为基础．22．（Ⅰ）ω=500×0.9t . （Ⅱ）6.6年【解析】【分析】【详解】试题分析：（Ⅰ）最初的质量为500g ，经过1年，ω=500（1-10﹪）=500×10.9，经过2年，ω=500×20.9，……，由此推出，t 年后，ω=500×0.9t ．（Ⅱ）解方程500×0.9t =250． 0.9t =0.5，lg 0.9lg 0.5t =，lg 0.5 6.6lg 0.9t =≈， 所以，这种放射性元素的半衰期约为6.6年．考点：指数函数应用题及只属于对数的互化点评：本题第一问由经过一年，二年……的剩余质量归纳出t 年后的剩余含量，第二问涉及到指数式与对数式的转化x a b =转化为log a x b =23．（1）232100,020160,20x x x y x x ⎧-+-<≤=⎨->⎩（x N *∈）；（2）当年产量为16件时，所得年利润最大，最大年利润为156万元.【解析】【分析】（1）根据已知条件，分当20x ≤时和当20x >时两种情况，分别求出年利润的表达式，综合可得答案；（2）根据（1）中函数的解析式，求出最大值点和最大值即可．【详解】（1）由题意得：当20x ≤时，()223310032100y x x x x x =---=-+-， 当20x >时，260100160y x x =--=-，故232100,020160,20x x x y x x ⎧-+-<≤=⎨->⎩（x N *∈）； （2）当020x <≤时，()223210016156y x x x =-+-=--+，当16x =时，156max y =，而当20x >时，160140x -<，故当年产量为16件时，所得年利润最大，最大年利润为156万元.【点睛】本题主要考查函数模型及最值的求法，正确建立函数关系是解题的关键，属于常考题. 24．(1) 60,030()170,302103x v x x x ≤≤⎧⎪=⎨-+≤≤⎪⎩;(2) 当车流密度为105辆/小时车流量达到最大值3675【解析】【分析】(1)根据题意可知, ()v x 为分段函数,且当030x ≤≤时()60v x =,再根据当30x =与210x =时()v x 的值,设()v x ax b =+代入求解即可.(2)根据(1)中的分段函数解析式,求出()()f x x v x =⋅的解析式,再分段求解函数的最大值分析即可.【详解】(1)由题意可知, 当030x ≤≤时()60v x =,当210x =时, ()0v x =,又当30210x ≤≤时,车流速度v 是车流密度x 的一次函数,故设()v x ax b =+,所以02106030a b a b =+⎧⎨=+⎩,解得1370a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ,故当30210x ≤≤时,1()703v x x =-+. 故60,030()170,302103x v x x x ≤≤⎧⎪=⎨-+≤≤⎪⎩. (2)由题, 260,030()()170,302103x x f x x v x x x x ≤≤⎧⎪=⋅=⎨-+≤≤⎪⎩,故 当030x ≤≤时,()f x 最大值为(30)1800f =.当30210x ≤≤时, 21703()f x x x -+=开口向下且对称轴为70105123x =-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭,故此时()f x 最大值为2(105)10517031053675f -⨯+⨯==. 综上,当车流密度为105辆/小时车流量达到最大值3675【点睛】本题主要考查了分段函数与二次函数在实际中的模型运用,需要根据题意设函数方程求解参数,再根据二次函数性质求最值,属于中档题.25．（1）2a =，定义域为()1,3-；（2）2【解析】【分析】（1）由()12f =,可求得a 的值,结合对数的性质,可求出()f x 的定义域;（2）先求得()f x 在区间30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性,进而可求得函数的最大值. 【详解】（1）()1log 2log l 242og a a a f =+==,解得2a =.故()()22log 1)g 3(lo f x x x =++-,则1030x x +>⎧⎨->⎩,解得13x -<<, 故()f x 的定义域为()1,3-.（2）函数()()()()()222log 1log 3log 31f x x x x x =++-=-+,定义域为()1,3-,()130,2,3⎡⎤⊆⎥-⎢⎣⎦, 由函数2log y x =在()0,∞+上单调递增,函数()()31y x x =-+在[)0,1上单调递增,在31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,可得函数()f x 在[)0,1上单调递增,在31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减. 故()f x 在区间30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为()21log 42f ==. 【点睛】本题考查了函数的定义域,考查了函数的单调性与最值,考查了学生的计算求解能力,属于基础题.26．（1）900,030,120010,3075,x x N y x x x N ++<≤∈⎧=⎨-<≤∈⎩；（2）当人数为60时，旅行社可获最大利润.【解析】【分析】（1）当030x <≤时，900y =；当3075x <≤，用900减去优惠费用，求得y 的表达.由此求得每人需交费用y 关于人数x 的分段函数解析式.（2）用收取的总费用，减去15000，求得旅行社获得利润的分段函数表达式，利用一次函数和二次函数最值的求法，求得当人数为60时，旅行社可获得最大利润.【详解】（1）当030x <≤时，900y =；当3075x <≤，90010(30)120010y x x =--=-即900,030,120010,3075,x x N y x x x N ++<≤∈⎧=⎨-<≤∈⎩； （2）设旅行社所获利润为S 元，则当030x <≤时，90015000S x =-；当3075x <≤时，2(120010)1500010120015000S x x x x =--=-+- 即290015000,030,10120015000,3075,x x x N S x x x x N ++-<≤∈⎧=⎨-+-<≤∈⎩Q 当030x <≤时，900 15000S x =-为增函数30x ∴=时，max 12000S =，当3075x <≤时，210(60)21000S x =--+， 60x =，max 2100012000S =>.当人数为60时，旅行社可获最大利润.【点睛】本小题主要考查分段函数模型在实际生活中的运用，考查一次函数、二次函数的值域的求法，属于中档题.。
[最新]广东省东莞市2021届高三模拟自测 数学(理)(含答案)(AA精品)
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2020年东莞市普通高中毕业班模拟自测理科数学一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.1. 已知集合{}{}2230,210A x x x B x x =+-<=->，则A I B=A 1)2(-3, B. (-3,1) C. 1(,1)2 D. 1(,3)22. 设复数z 满足1iz i =+， 则复数z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于 A.第一像限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3. 玫瑰花窗(如右图)是哥特式建筑的特色之一，镶嵌着彩色玻璃 的玫瑰花窗给人以瑰丽之感.构成花窗的图案有三叶形、四叶形、 五叶形、六叶形和八叶形等.右图是四个半圆构成的四叶形，半 圆的连接点构成正方形ABCD ，在整个图形中随机取一点，此 点取自正方形区域的概率为A.22π+ B. 11π+ C. 42π+ D. 21π+ 4. 己知定义在R 上的奇函数f (x )， 当x >0时，2()log xf x =;且f (m )=2，则m =A.14 B.4 C.4或14 D.4或14- 5. 已知平面向量a r 、b r 的夹角为135°， 且a r为单位向量，(1,1)b =r ，则a b +=r rA.5 B. 32. C.1 D. 326. 已知F 1、F 2分别为椭圆C: 2222+1(0)x y a b a b=>>的左、右焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，若∆AF 2B 是边长为4的等边三角形，则椭圆C 的方程为A. 22143x y += B. 22196x y += C. 221164x y += D. 221169x y += 7.定义运算a b *为执行如图所示的程序框图输出的S 值,则(cos)(sin)1212ππ*=A. 32-B. 32C.1D.-18。
2020-2021东莞市高一数学上期中一模试题及答案
2020-2021东莞市高一数学上期中一模试题及答案一、选择题1．已知函数f (x )＝23,0{log ,0x x x x ≤>那么f 1(())8f 的值为( )A ．27B ．127C ．－27D ．－1272．函数tan sin tan sin y x x x x =+--在区间（2π，32π）内的图象是( ) A ． B ．C ．D ．3．三个数0.32，20.3，0.32log 的大小关系为（ ）.A ．20.30.3log 20.32<< B ．0.320.3log 220.3<<C ．20.30.30.3log 22<<D ．20.30.30.32log 2<<4．设()(),0121,1x x f x x x ⎧<<⎪=⎨-≥⎪⎩,若()()1f a f a =+,则1f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A ．2B ．4C ．6D ．85．若函数()(),1231,1x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨-+≤⎪⎩是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．2,13⎛⎫⎪⎝⎭B ．3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．23,34⎛⎤⎥⎝⎦D ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭6．已知0.6log 0.5a =，ln0.5b =，0.50.6c =，则（ ） A ．a c b >>B ．a b c >>C ．c a b >>D ．c b a >>7．设x 、y 、z 为正数，且235x y z ==，则 A ．2x <3y <5z B ．5z <2x <3y C ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z8．设x ∈R ，若函数f （x ）为单调递增函数，且对任意实数x ，都有f （f （x ）-e x ）=e +1（e 是自然对数的底数），则f （ln1.5）的值等于（ ） A ．5.5B ．4.5C ．3.5D ．2.59．已知函数2()2f x ax bx a b =++-是定义在[3,2]a a -的偶函数,则()()f a f b +=（ ） A ．5B ．5-C ．0D ．201910．已知函数21(1)()2(1)a x x f x xx x x ⎧++>⎪=⎨⎪-+≤⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是 A ．[]0,1B ．(]0,1C ．[]1,1-D ．(]1,1-11．已知奇函数()f x 在R 上是增函数，若21log 5a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2log 4.1b f =，()0.82c f =，则,,a b c 的大小关系为( )A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c a b <<12．函数2xy x =⋅的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．已知函数241,0()3,0x x x x f x x ⎧--+≤=⎨>⎩，则函数(())3f f x =的零点的个数是________.14．已知函数()2()lg 2f x x ax =-+在区间(2,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是______.15．已知2a=5b=m ,且11a b+=1,则m =____. 16．已知集合{}{}1,1,2,4,1,0,2,A B =-=-则A B =I __________． 17．函数的定义域为___．18．已知函数()()212log 22f x mx m x m ⎡⎤=+-+-⎣⎦，若()f x 有最大值或最小值，则m的取值范围为______． 19．若关于的方程有三个不相等的实数根，则实数的值为_______.20．函数2()log 1f x x =-________．三、解答题21．已知函数()()log 1xa f x a =-（0a >，1a ≠）（1）当12a =时，求函数()f x 的定义域； （2）当1a >时，求关于x 的不等式()()1f x f <的解集；（3）当2a =时，若不等式()()2log 12xf x m -+>对任意实数[]1,3x ∈恒成立，求实数m 的取值范围.22．已知2256x ≤且21log 2x ≥，求函数22()log 22x xf x =⋅的最大值和最小值． 23．近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司“Mobike ”计划在甲、乙两座城市共投资160万元，根据行业规定，每个城市至少要投资30万元，由前期市场调研可知：甲城市收益P 与投入(a 单位：万元)满足426P a =，乙城市收益Q 与投入(b 单位：万元)满足124Q b =+，设甲城市的投入为(x 单位：万元)，两个城市的总收益为()(f x 单位：万元)．（1）写出两个城市的总收益()(f x 万元)关于甲城市的投入(x 万元)的函数解析式，并求出当甲城市投资72万元时公司的总收益；（2）试问如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使总收益最大？24．已知定义域为R 的函数()221x x af x -+=+是奇函数．()1求实数a 的值；()2判断函数()f x 在R 上的单调性，并利用函数单调性的定义加以证明．25．2019年某开发区一家汽车生产企业计划引进一批新能源汽车制造设备，通过市场分析，全年需投入固定成本3000万元，每生产x （百辆），需另投入成本()f x 万元，且210200,050()100006019000,50x x x f x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩，由市场调研知，每辆车售价6万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完.（1）求出2019年的利润()L x （万元）关于年产量x （百辆）的函数关系式；（利润=销售额-成本）（2）2019年产量为多少（百辆）时，企业所获利润最大？并求出最大利润. 26．已知()y f x =是定义域为R 的奇函数，当[)0,x ∈+∞时，()22f x x x =-.(1)写出函数()y f x =的解析式；(2)若方程()f x a =恰3有个不同的解，求a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】利用分段函数先求f （1)8）的值，然后在求出f 1(())8f 的值． 【详解】 f＝log 2＝log 22－3＝－3，f＝f (－3)＝3－3＝.【点睛】本题主要考查分段函数求值以及指数函数、对数函数的基本运算，属基础题．2．D解析：D 【解析】解：函数y=tanx+sinx-|tanx-sinx|=2tan ,tan sin {2sin ,tan sin x x xx x x<≥分段画出函数图象如D 图示， 故选D ．3．A解析：A 【解析】 【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出． 【详解】∵0＜0.32＜1，20.3＞1，log 0.32＜0， ∴20.3＞0.32＞log 0.32． 故选A ． 【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，属于基础题．4．C解析：C 【解析】由1x ≥时()()21f x x =-是增函数可知,若1a ≥,则()()1f a f a ≠+,所以01a <<,由()(+1)f a f a =2(11)a =+-,解得14a =,则1(4)2(41)6f f a ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭,故选C. 【名师点睛】求分段函数的函数值,首先要确定自变量的范围,然后选定相应关系式，代入求解；当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时,应根据每一段解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围．5．C解析：C 【解析】 【分析】由题意结合分段函数的解析式分类讨论即可求得实数a 的取值范围. 【详解】当1x >时，x a 为减函数，则01a <<，当1x ≤时，一次函数()231a x -+为减函数，则230a -<，解得：23a >， 且在1x =处，有：()12311a a -⨯+≥，解得：34a ≤， 综上可得，实数a 的取值范围是23,34⎛⎤ ⎥⎝⎦. 本题选择C 选项. 【点睛】对于分段函数的单调性，有两种基本的判断方法：一保证各段上同增(减)时，要注意上、下段间端点值间的大小关系；二是画出这个分段函数的图象，结合函数图象、性质进行直观的判断．6．A解析：A 【解析】由0.50.6log 0.51,ln 0.50,00.61><<<，所以1,0,01a b c ><<<，所以a c b >>，故选A .7．D解析：D 【解析】令235(1)x y zk k ===>，则2log x k =，3log =y k ，5log =z k∴22lg lg 3lg 913lg 23lg lg8x k y k =⋅=>，则23x y >， 22lg lg5lg 2515lg 25lg lg32x k z k =⋅=<，则25x z <，故选D. 点睛:对于连等问题，常规的方法是令该连等为同一个常数，再用这个常数表示出对应的,,x y z ，通过作差或作商进行比较大小.对数运算要记住对数运算中常见的运算法则，尤其是换底公式以及0与1的对数表示.8．D解析：D 【解析】 【分析】利用换元法 将函数转化为f （t ）=e+1，根据函数的对应关系求出t 的值，即可求出函数f （x ）的表达式，即可得到结论 【详解】 设t=f （x ）-e x ，则f （x ）=e x +t ，则条件等价为f （t ）=e+1， 令x=t ，则f （t ）=e t +t=e+1，∵函数f （x ）为单调递增函数， ∴t=1， ∴f （x ）=e x +1，即f （ln5）=e ln1.5+1=1.5+1=2.5， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查函数值的计算，利用换元法求出函数的解析式是解决本题的关键．9．A解析：A 【解析】 【分析】根据函数f （x ）＝ax 2+bx +a ﹣2b 是定义在[a ﹣3，2a ]上的偶函数，即可求出a ，b ，从而得出f （x ）的解析式，进而求出f （a ）+f （b ）的值． 【详解】∵f （x ）＝ax 2+bx +a ﹣2b 是定义在[a ﹣3，2a ]上的偶函数； ∴0320b a a =⎧⎨-+=⎩；∴a ＝1，b ＝0； ∴f （x ）＝x 2+2；∴f （a ）+f （b ）＝f （1）+f （0）＝3+2＝5． 故选：A ． 【点睛】本题考查偶函数的定义，偶函数定义域的对称性，已知函数求值的方法．10．C解析：C 【解析】x ⩽1时,f (x )=−(x −1)2+1⩽1，x >1时,()()21,10a af x x f x x x=++'=-…在(1,+∞)恒成立， 故a ⩽x 2在(1,+∞)恒成立， 故a ⩽1，而1+a +1⩾1，即a ⩾−1， 综上,a ∈[−1,1]， 本题选择C 选项.点睛：利用单调性求参数的一般方法：一是求出函数的单调区间，然后使所给区间是这个单调区间的子区间，建立关于参数的不等式组即可求得参数范围；二是直接利用函数单调性的定义：作差、变形，由f (x 1)－f (x 2)的符号确定参数的范围，另外也可分离参数转化为不等式恒成立问题．11．C解析：C 【解析】由题意：()221log log 55a f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 且：0.822log 5log 4.12,122>><<，据此：0.822log 5log 4.12>>，结合函数的单调性有：()()()0.822log 5log 4.12f f f >>，即,a b c c b a >><<. 本题选择C 选项.【考点】 指数、对数、函数的单调性【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式.12．A解析：A 【解析】 【分析】先根据奇偶性舍去C,D,再根据函数值确定选A. 【详解】因为2xy x =⋅为奇函数，所以舍去C,D; 因为0x >时0y >,所以舍去B ，选A. 【点睛】有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路(1)由解析式确定函数图象的判断技巧：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．(2)由实际情景探究函数图象．关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题．二、填空题13．4【解析】【分析】根据分段函数的解析式当时令则解得当时做出函数的图像即可求解【详解】当时令则解得当时令得作出函数的图像由图像可知与有两个交点与有一个交点则的零点的个数为4故答案为：4【点睛】本题考查解析：4 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式当0x ≤时，令()3f x =，则2413x x --+=，解得22x =-±，当0x >时，()31xf x =>，1x =，做出函数()f x ，1,22,22y y y ==-+=--的图像，即可求解.【详解】Q 241,0()3,0x x x x f x x ⎧--+≤=⎨>⎩，∴当0x ≤时，()()2241255f x x x x =--+=-++≤，令()3f x =，则2413x x --+=， 解得22x =-±，1220,4223,-<-+<-<--<-当0x >时，()31xf x =>，令()3f x =得1x =，作出函数()f x ，1,22,22y y y ==-=--由图像可知，()f x 与1y =有两个交点，与22y =-+ 则(())3f f x =的零点的个数为4. 故答案为：4 【点睛】本题考查了分段函数的零点个数，考查了数形结合的思想，属于基础题.14．【解析】【分析】根据复合函数单调性同增异减以及二次函数对称轴列不等式组解不等式组求得实数的取值范围【详解】要使在上递增根据复合函数单调性需二次函数对称轴在的左边并且在时二次函数的函数值为非负数即解得 解析：(],3-∞【解析】 【分析】根据复合函数单调性同增异减，以及二次函数对称轴列不等式组，解不等式组求得实数a 的取值范围. 【详解】要使()f x 在()2,+∞上递增，根据复合函数单调性，需二次函数22y x ax =-+对称轴在2x =的左边，并且在2x =时，二次函数的函数值为非负数，即2222220a a ⎧≤⎪⎨⎪-+≥⎩，解得3a ≤.即实数a 的取值范围是(],3-∞.【点睛】本小题主要考查复合函数的单调性，考查二次函数的性质，属于中档题.15．10【解析】因为2a=5b=m 所以a=log2mb=log5m 由换底公式可得=logm2+logm5=logm10=1则m=10点睛：(1)在对数运算中先利用幂的运算把底数或真数进行变形化成分数指数解析：10 【解析】因为2a =5b =m ,所以a =log 2m ,b =log 5m , 由换底公式可得11a b+=log m 2+log m 5=log m 10=1,则m =10. 点睛：(1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并，在运算中要注意化同底或指数与对数互化．(2)熟练地运用对数的三个运算性质并配以代数式的恒等变形是对数计算、化简、证明常用的技巧．16．【解析】【分析】直接利用集合交集的定义求解即可【详解】因为集合两个集合的公共元素为所以故答案为【点睛】研究集合问题一定要抓住元素看元素应满足的属性研究两集合的关系时关键是将两集合的关系转化为元素间的解析：{}12－，【解析】 【分析】直接利用集合交集的定义求解即可. 【详解】因为集合{}{}1,1,2,4,1,0,2,A B =-=-两个集合的公共元素为1,2-所以{}1,2A B =-I ．故答案为{}1,2-.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合A 且属于集合B 的元素的集合.17．(-12)∪(2+∞)【解析】【分析】根据式子成立的条件对数式要求真数大于零分式要求分母不等于零即可求得函数的定义域【详解】要使函数有意义则x+1>012-x≠0解得x>-1且x≠2所以函数的定义域 解析：【解析】【分析】根据式子成立的条件，对数式要求真数大于零，分式要求分母不等于零，即可求得函数的定义域.【详解】 要使函数有意义，则， 解得且， 所以函数的定义域为：， 故答案是：. 【点睛】该题考查的是有关函数的定义域的求解问题，在求解的过程中，注意对数式和分式成立的条件即可，属于简单题目.18．或【解析】【分析】分类讨论的范围利用对数函数二次函数的性质进一步求出的范围【详解】解：∵函数若有最大值或最小值则函数有最大值或最小值且取最值时当时由于没有最值故也没有最值不满足题意当时函数有最小值没 解析：{|2m m >或2}3m <-【解析】【分析】分类讨论m 的范围，利用对数函数、二次函数的性质，进一步求出m 的范围.【详解】解：∵函数()()212log 22f x mx m x m ⎡⎤=+-+-⎣⎦，若()f x 有最大值或最小值， 则函数2(2)2y mx m x m =+-+-有最大值或最小值，且y 取最值时，0y >. 当0m =时，22y x =--，由于y 没有最值，故()f x 也没有最值，不满足题意.当0m >时，函数y 有最小值，没有最大值，()f x 有最大值，没有最小值.故y 的最小值为24(2)(2)4m m m m ---，且 24(2)(2)04m m m m--->， 求得 2m >；当0m <时，函数y 有最大值，没有最小值，()f x 有最小值，没有最大值. 故y 的最大值为24(2)(2)4m m m m ---，且 24(2)(2)04m m m m--->， 求得23m <-. 综上，m 的取值范围为{|2m m >或2}3m <-. 故答案为：{|2m m >或2}3m <-. 【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，二次函数、对数函数的性质，二次函数的最值，属于中档题. 19．3【解析】令fx=x2-2x-2则由题意可得函数y=fx 与函数y=m 的图象有三个公共点画出函数fx=x2-2x-2的图象如图所示结合图象可得要使两函数的图象有三个公共点则m=3答案：3解析：3【解析】令，则由题意可得函数与函数的图象有三个公共点．画出函数的图象如图所示，结合图象可得，要使两函数的图象有三个公共点，则．答案：3 20．2+∞）【解析】分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式解对数不等式得函数定义域详解：要使函数有意义则解得即函数的定义域为点睛：求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题解析：[2，+∞）【解析】分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解对数不等式得函数定义域.详解：要使函数()f x 有意义，则2log 10x -≥，解得2x ≥，即函数()f x 的定义域为[2,)+∞.点睛：求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题.三、解答题21．（1）(),0-∞；（2）()0,1；（3）21,log 3⎛⎫⎛⎫-∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【解析】【分析】（1）由a x -1＞0，得a x ＞1 下面分类讨论：当a ＞1时，x ＞0；当0＜a ＜1时，x ＜0即可求得f （x ）的定义域（2）根据函数的单调性解答即可；（3）令()()()2221log 12log 21x xx g x f x ⎛⎫-=-+= ⎪+⎝⎭，[]1,3x ∈可知()g x 在[1，3]上是单调增函数，只需求出最小值即可．【详解】本题考查恒成立问题．（1）当12a =时，()121log 12x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故：1102x ->，解得：0x <，故函数()f x 的定义域为(),0-∞；（2）由题意知，()()log 1x a f x a =-（1a >），定义域为()0,x ∈+∞，用定义法易知()f x 为()0,x ∈+∞上的增函数，由()()1f x f <，知：01x x >⎧⎨<⎩，∴()0,1x ∈. （3）设()()()2221log 12log 21x xx g x f x ⎛⎫-=-+= ⎪+⎝⎭，[]1,3x ∈，设21212121x x x t -==-++，[]1,3x ∈， 故[]213,9x +∈，2171,2139x t ⎡⎤=-∈⎢⎥+⎣⎦，故：()min 211log 33g x g ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 又∵()()2log 12x f x m -+>对任意实数[]1,3x ∈恒成立，故：()min 21log 3m g x ⎛⎫<= ⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查对数函数有关的定义域、单调性、值域的问题，属于中档题．22．最小值为14-，最大值为2. 【解析】【分析】 由已知条件化简得21log 32x ≤≤，然后化简()f x 求出函数的最值 【详解】 由2256x ≤得8x ≤，2log 3x ≤即21log 32x ≤≤ ()()()222231log 1log 2log 24f x x x x ⎛⎫=-⋅-=-- ⎪⎝⎭. 当23log ,2x =()min 14f x =-，当2log 3,x = ()max 2f x =． 【点睛】熟练掌握对数的基本运算性质是转化本题的关键，将其转化为二次函数的值域问题，较为基础．23．（1）()1364f x x =-+，30130x ≤≤，66万元（2）甲城市投资128万元，乙城市投资32万元【解析】【分析】 () 1由题知，甲城市投资x 万元，乙城市投资160x -万元，求出函数的解析式，利用当甲城市投资72万元时公司的总收益；()()12364f x x =-+，30130x ≤≤，令t =，则t ∈，转化为求函数2,6143y t t ∈=-++最值，即可得出结论． 【详解】()1由题知，甲城市投资x 万元，乙城市投资160x -万元，所以()()11616023644f x x x =+-+=-+， 依题意得3016030x x ≥⎧⎨-≥⎩，解得30130x ≤≤，故()1364f x x =-+，30130x ≤≤， 当72x =时，此时甲城市投资72万元，乙城市投资88万元，所以总收益()136664f x x =-+=．()()12364f x x =-+，30130x ≤≤令t =t ∈．2,6143y t t ∈=-++当t =，即128x =万元时，y 的最大值为68万元，故当甲城市投资128万元，乙城市投资32万元时，总收益最大，且最大收益为68万元．【点睛】本题考查实际问题的应用，二次函数的性质以及换元法的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．24．（1）1；（2）减函数，证明见解析【解析】【分析】（1）奇函数在0x =处有定义时，()00f =，由此确定出a 的值，注意检验是否为奇函数；（2）先判断函数单调性，然后根据函数单调性的定义法完成单调性证明即可.【详解】()1根据题意，函数()221x x a f x -+=+是定义域为R 奇函数， 则()0020021a f -+==+，解可得1a =， 当1a =时，()()12121212x xx x f x f x -----=-==-++，为奇函数，符合题意； 故1a =；()2由()1的结论，()12121221x x x f x -==-++，在R 上为减函数； 证明：设12x x <，则()()()()()2212121222112221212121x x x x x x f x f x -⎛⎫⎛⎫-=---= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭， 又由12x x <，则()21220x x ->，()1210x +>，()2210x +>，则()()120f x f x ->，则函数()f x 在R 上为减函数．【点睛】本题考查函数奇偶性单调性的综合应用，难度一般.(1)定义法证明函数单调性的步骤：假设、作差、变形、判号、下结论；(2)当奇函数在0x =处有定义时，一定有()00f =.25．（1）()2104003000,050100006000,50x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨--+≥⎪⎩；（2）2019年年产量为100百辆时，企业所获利润最大，最大利润为5800万元.【解析】【分析】（1）先阅读题意，再分当050x <<时，当50x ≥时，求函数解析式即可；（2）当050x <<时，利用配方法求二次函数的最大值，当50x ≥时，利用均值不等式求函数的最大值，一定要注意取等的条件，再综合求分段函数的最大值即可.【详解】解：（1）由已知有当050x <<时，()22600(10200)3000104003000L x x x x x x =-+-=-+-当50x ≥时，()1000010000600(6019000)30006000L x x x x x x=-+--=--+， 即()2104003000,050100006000,50x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨--+≥⎪⎩， （2）当050x <<时，()2210400300010(20)1000L x x x x =-+-=--+， 当20x =时，()L x 取最大值1000，当50x ≥时，()10000600060005800L x x x =--+≤-+=， 当且仅当10000x x=，即100x =时取等号， 又58001000>故2019年年产量为100百辆时，企业所获利润最大，最大利润为5800万元.【点睛】本题考查了函数的综合应用，重点考查了分段函数最值的求法，属中档题.26．(1) ()222,02,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩ (2) ()1,1- 【解析】【分析】（1）由奇函数的定义求解析式，即设0x <，则有x -＞0，利用()f x -可求得()f x ，然后写出完整的函数式；（2）作出函数()f x 的图象，确定()f x 的极值和单调性，由图象与直线y a =有三个交点可得a 的范围．【详解】解：(1)当(),0x ∈-∞时，()0,x -∈+∞，()f x Q 是奇函数，()()f x f x ∴=--=-()()2222x x x x ⎡⎤---=--⎣⎦()222,02,0x x x f x x x x ⎧-≥∴=⎨--<⎩. (2)当[)0,x ∈+∞时，()()22211f x x x =-=--，最小值为1-； 当(),0x ∈-∞，()()22211f x x x x =--=-+，最大值为1. 据此可作出函数的图象，如图所示，根据图象得，若方程()f x a =恰有3个不同的解，则a 的取值范围是()1,1-.【点睛】本题考查函数奇偶性，考查函数零点与方程根的关系．在求函数零点个数（或方程解的个数）时，可把问题转化为一个的函数图象和一条直线的交点个数问题，这里函数通常是确定的函数，直线是动直线，由动直线的运动可得参数取值范围．。
2020-2021广东东莞市东莞中学期中全真试卷(含答案)
2020-2021广东东莞市东莞中学期中全真试卷（含答案）第Ⅰ卷选择题（共30分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1．如图，用剪刀沿直线将一片平整的长方形纸片剪掉一部分，发现剩下纸片的周长比原纸片的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是A．经过两点，有且仅有一条直线B．经过一点有无数条直线C．两点之间，线段最短D．垂线段最短2．某市一天的最高气温为2℃，最低气温为﹣8℃，那么这天的最高气温比最低气温高（）A．﹣10℃B．﹣6℃C．10℃D．6℃3．多项式x2﹣2xy3﹣y﹣1是( )A．三次四项式B．三次三项式C．四次四项式D．四次三项式5．2014年5月21日，中国石油天然气集团公司与俄罗斯天然气工业股份公司在上海签署了《中俄东线供气购销合同》，这份有效期为30年的合同规定，从2018年开始供气，每年的天然气供应量为380亿立方米，380亿立方米用科学记数法表示为（）A．3.8×1010m3 B．38×109m3 C．380×108m3 D．3.8×1011m35．若|a|＝7，|b|＝5，a＋b＞0，那么a－b的值是( ) A．2或12 B．2或－12 C．－2或－12 D．－2或126．一辆汽车匀速行驶，若在a秒内行驶m6米，则它在2分钟内可行驶………………（）A．m3米B．20ma米C．10ma米D．120ma米7．下列各组数中，数值相等的是（）A．34和43B．﹣42和（﹣4）2C．﹣23和（﹣2）3D．（﹣2×3）2和﹣22×328. 若 x 表示一个两位数， y 也表示一个两位数，小明想用 x、 y来组成一个四位数，且把x 放在 y 的右边．．，你认为下列表达式中哪一个是正确的 ( )A、 yxB、 x + yC、 100x + yD、 100y + x9．据报道，5月28日参观2010上海世博会的人数达35.6万﹒用科学记数法表示数35.6万是（）A．3.56×101B．3.56×104C．3.56×105D．35.6×10410．如图，下列表示不正确的是( )A．℃1+℃2=℃F B．EM=EC﹣MCC．℃E=℃3D．℃FME=180°﹣℃FMC第Ⅱ卷非选择题（共90分）二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）11、如果a与1互为相反数，则︱a+2︱= .12.光的传播速度大约是300 000 000米/秒，用科学记数法可表示为米/秒．13、一个两位数，十位上的数字是a，个位上的数字比十位上的数字的2倍大3，则这个两位数是_______．14．如图是每个面上都有一个汉字的正方体的一种展开图，那么在正方体的表面，与“明”相对的面上的汉字是（）15．按如下图示的程序计算，若开始输入的n值为2，则最后输出的结果是 .是输入n 大于200 输出结果三、解答题 （本大题共7个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（本题16分）计算：⑴ 7－(－3)＋(－4)－|－8| ⑵ －81÷32×(－23)÷3⑶ (79－116－718)÷(－136) ⑷ －14－(1－14)×[4－(－4)2]17． 解方程：（每小题4分，共8分）(1) 8x ＝12（x －2）； （2） 2x ＋13－5x －16＝118.已知||a －1＋||ab －2＝0，求代数式1ab ＋1(a ＋1)(b ＋1)＋1(a ＋2)(b ＋2)＋…＋1(a ＋2014)(b ＋2014)的值.19．下表为国外几个城市与北京的时差（正数表示同一时刻比北京时间早的时数，负数表示同一时刻比北京时间晚的时数）：城市东京巴黎伦敦纽约莫斯科悉尼时差（时）+1﹣7﹣8 ﹣13﹣5+2（1）北京6月11日20时是巴黎的什么时间？（2）北京6月11日20时是悉尼的什么时间？（3）小莹的爸爸于6月11日20时从北京乘飞机，经过16小时的航行到达纽约，到达纽约时北京时间是多少？20. 某人买了50 元的乘车月票卡，如果此人乘车的次数用m表示，则记录他每次乘车后的余额n元如下表．(12分)（1）写出此人乘车的次数m表示余额n的公式；（2）利用上述公式，计算乘了13次车还剩多少元？（3）此人最多能乘几次车？21．（本题满分5分）某商场购进一批西服，进价为每套250元，原定每套以290元的价格销售，这样每天可销售200套。
广东省东莞市中学2021年高三数学理联考试卷含解析
广东省东莞市中学2021年高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知实数，函数，若，则实数的取值范围是（）．．．参考答案：D略2. 以双曲线上一点M为圆心作圆，该圆与x轴相切于C的一个焦点F，与y轴交于P，Q两点，若，则双曲线C的离心率是（）A. B. C. 2 D.参考答案：A【分析】根据圆与轴相切于的一个焦点，且圆心在双曲线上，可确定圆心坐标和半径，再由弦长，即可求出结果.【详解】因为以双曲线上一点为圆心作圆，该圆与轴相切于的一个焦点，所以轴；不妨令在第一象限，所以易得，半径；取中点，连结，则垂直且平分，所以；又，所以，即，因此，解得.故答案为A 【点睛】本题主要考查双曲线的离心率，根据题意，结合双曲线的性质即可求解，属于常考题型.3. 已知变量满足约束条件则的最小值为()A. 11B. 12C. 8D. 3参考答案：C由约束条件作出可行域如图，联立，解得A(2, 2)，化目标函数z=3x+y为y= ?3x+z，由图可知，当直线y= ?3x+z过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为z=3×2+2=8．故选C.4. 已知f（x）=x﹣sinx，命题p：?x∈（0，），f（x）＜0，则（）A．p是假命题，￢p：?x∈（0，），f（x）≥0B．p是假命题，￢p：?x∈（0，），f（x）≥0C．p是真命题，￢p：?x∈（0，），f（x）≥0D．p是真命题，￢p：?x∈（0，），f（x）≥0参考答案：A【考点】命题的否定．【分析】利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解：f（x）=x﹣sinx，x∈（0，），f′（x）=1﹣cosx＞0，∴f（x）是（0，）上是增函数，∵f（0）=0，∴f（x）＞0，∴命题p：?x∈（0，），f（x）＜0是假命题，￢p：?x∈（0，），f（x）≥0，故选：A．5. 下列四个函数中，既是定义域上的奇函数又在区间内单调递增的是A．B．C．D．参考答案：D6. 已知α，β，γ为不同的平面，l，m为不同的直线．若α∩β=l，m?α，l∥γ，m⊥γ．则（）A．m∥βB．m⊥βC．l∥m D．l⊥m参考答案：D【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】由已知推导出m与β相交、平行或m?β，l⊥m．【解答】解：∵α，β，γ为不同的平面，l，m为不同的直线，α∩β=l，m?α，l∥γ，m⊥γ，∴m与β相交、平行或m?β，l⊥m．由此能排除选选项A、B、C，得到D正确．故选：D．【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．7. 在平面直角坐标系中，若P（x，y）满足，则x+2y的最大值是（）A．2 B．8 C．14 D．16参考答案：C【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．【解答】解：作出不等式对应的平面区域，由z=x+2y，得y=﹣，平移直线y=﹣，由图象可知当直线y=﹣经过点A时，直线y=﹣的截距最大，此时z最大．由，得，即A（2，6），此时z的最大值为z=2+2×6=14．故选：C．【点评】本小题主要考查二元一次不等式组所表示的可行域的获取以及目标函数的几何意义，是线性规划的一种简单应用，对学生的数形结合思想提出一定要求．8. 7．已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于A ．B ．C ．D ．参考答案： C9. 若正项递增等比数列满足（），则的最小值为（ ）A. －2B.－4C. 2D. 4参考答案：D10. 已知是偶函数，则函数图象的对称轴是（ ）A.B.C.D.参考答案： B二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若双曲线(a 〉0,b>0〉的渐近线与圆相切，则此双曲线的渐近线方程为_______ 参考答案：略12. 若（2x+）dx=3+ln2（a ＞1），则a的值是 ．参考答案：2【考点】微积分基本定理． 【专题】计算题．【分析】根据题意找出2x+的原函数，然后根据积分运算法则，两边进行计算，求出a 值； 【解答】解：=（x 2+lnx ）=a 2+lna ﹣（1+ln1）=3+ln2，a ＞1，∴a 2+lna=4+ln2=22+ln2，解得a=2， 故答案为：2；【点评】此题主要考查定积分的计算，解题的关键是找到被积函数的原函数，此题是一道基础题．13. 若正数满足，则的最小值为 ．参考答案：314. 已知抛物线上一点到其焦点的距离为，则___________．参考答案：2【分析】根据抛物线定义可构造方程求得结果. 【详解】由抛物线定义可知：，又，解得：本题正确结果：【点睛】本题考查抛物线定义的应用，属于基础题.15. 在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域为，则过点且与有公共点的直线倾斜角的变化范围为 .参考答案：略16. 已知方程有四个根，则实数的取值范围是 ▲.参考答案：17. 直线（t 为参数）与曲线（θ为参数）的公共点的坐标为 ．参考答案：（0，1），（，﹣2）【考点】参数方程化成普通方程．【分析】消去参数，点到直线和曲线的普通方程，联立方程组解方程即可． 【解答】解：先求参数t 得直线的普通方程为2x+y=1，即y=1﹣2x 消去参数θ得曲线的普通方程为y 2=1+2x ， 将y=1﹣2x 代入y2=1+2x ， 得（1﹣2x ）2=1+2x ， 即1﹣4x+4x 2=1+2x ， 则4x 2=6x ，得x=0或x=， 当x=0时，y=1，当x=时，y=1﹣2×=1﹣3=﹣2， 即公共点到 坐标为（0，1），（，﹣2） 故答案为：（0，1），（，﹣2）三、 解答题：本大题共5小题，共72分。
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x 1
x y 3 0, 19．设不等式组{x 2 y 3 0, 表示的平面区域为 1 ，平面区域 2 与 1 关于直线
x 1
2x y 0 对称，对于任意的 C 1, D 2 ，则 CD 的最小值为__________．
20．已知数列 an 满足 a1 1， an1 3an 2 ，则数列 an 的通项公式为________．
y (元)与月处理量 x (吨)之间的函数关系可近似地表示为 y 1 x2 200x 80000 ，且每处 2
理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为 100 元． （1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ （2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴 多少元才能使该单位不亏损？
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．D 解析：D 【解析】
设公比为 q ，由已知得 a1q2 a1q8 2 a1q4 2 ，即 q2 2 ，又因为等比数列 an 的公比为
正数，所以 q
2
，故 a1
a2 q
1 2
2 ，故选 D. 2
2．C
解析：C
【解析】
【详解】
因为直线 x y 1a 0,b 0 过点 1,1 ,所以 1 + 1 1 ,因此
8．C
解析：C 【解析】
【分析】
数列 an ，是等比数列，公比为 2，前 7 项和为 1016，由此可求得首项 a1 ，得通项公式，
从而得结论．
【详解】
最下层的“浮雕像”的数量为
a1 ，依题有：公比 q
2, n
7, S7
a1
1 27 1 2
1016 ，解
得 a1 8 ，则 an 8 2n1 2n2 1 n 7, n N* ， a3 25 , a5 27 ，从而
a3 a5 25 27 212,log2 a3 a5 log2 212 12 ，故选 C．
【点睛】
本题考查等比数列的应用．数列应用题求解时，关键是根据题设抽象出数列的条件，然后
利用数列的知识求解．
9．A
解析：A 【解析】
【分析】
先根据二倍角公式化简，再根据正弦定理化角，最后根据角的关系判断选择. 【详解】
【详解】
如下图所示，不妨设 BC CD 1，则 AB 2 ，过点 D 作 DE AB，垂足为点 D ， 易知四边形 BCDE 是正方形，则 BE CD 1，AE AB BE 1，
在 RtADE 中， AD AE2 DE2 2 ，同理可得 AC AB2 BC2 5 ，
在 ACD 中，由余弦定理得 cos DAC AC2 AD2 CD2 5 2 12 3 10 ，
D． 1 4
12．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度 的看台的某一列的正前
方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为 和 ，第一排和最后
一排的距离为 5 6 米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上．若国歌长度约
为 秒，要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为()（米 /秒）
因为 cos2 A b c ，所以 2 2c
1 cosA b c , ccosA b,sinCcosA sinB sin A C,sinAcosC 0 ,因此
2
2c
cosC 0，C ,选 A. 2
【点睛】
本题考查二倍角公式以及正弦定理，考查基本分析转化能力，属基础题.
10．D
A．140
B．280
C．168
D．56
5．设 Sn 为等差数列
an
的前 n
项和， (n 1)Sn＜nSn1(n N ) .若
a8 a7
1 ，则（
）
A． Sn 的最大值为 S8 B． Sn 的最小值为 S8 C． Sn 的最大值为 S7 D． Sn 的最小值为 S7
6．在直角梯形 ABCD中， AB//CD ， ABC 90 ， AB 2BC 2CD ，则
2020-2021 东莞市高三数学下期中一模试题及答案
一、选择题
1．已知等比数列 an 的公比为正数，且 a3 a9 2a52 , a2 1 ，则 a1 ( )
A． 1 2
B． 2
C． 2
D． 2 2
2．若直线 x y 1a 0,b 0 过点(1,1)，则 4a b 的最小值为（ ）
（2）若 b 2 ， ABC 的面积 S 3，求 a 的值．
26．首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题，某
单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可
利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为 400 吨，最多为 600 吨，月处理成本
cosDAC （ ）
A． 2 5 5
B． 5 5
C． 3 10 10
D． 10 10
7．数列an的前 n 项和为 Sn n2 n 1 , bn 1n an n N* ,则数列bn 的前 50 项
和为（ ）
A．49
B．50
C．99
D．100
8．河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高
∵
a8 a7
＜
1＜0
∴a7＜0，a8＞0
数列的前 7 项为负，
故数列{Sn}中最小值是 S7
故选 C．
【点睛】 本题考查等差数列中前 n 项和最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数 列的性质的灵活运用．
6．C
解析：C 【解析】 【分析】
设 BC CD 1，计算出 ACD 的三条边长，然后利用余弦定理计算出 cos DAC ．
1, a1
a42 a7
8
a1 a10 7
故选 D. 【点睛】
本题主要考查了等比数列的下标的性质，属于中档题.
11．A
解析：A 【解析】
【分析】
利用等比数列 an 的性质可得 a62＝a4a8 ，即可得出．
【详解】
设 a4 与 a8 的等比中项是 x ．
由等比数列 an 的性质可得 a62＝a4a8 ， x a6 ．
y2 16．若变量 x, y 满足约束条件{ x y 4 ，则 z 3x y 的最小值为_____．
x y 1
xy2 17．若变量 x，y 满足 2x 3y 9 ，则 z＝2x+y 的最大值是_____．
x 0
y x
18．设变量
x,
y
满足约束条件：
x
y
2
，则
z
x
3y
的最小值为__________．
ab
ab
(4a b)( 1 + 1) 5 b + 4a 5 2 b 4a 9 ,当且仅当 b 2a 3时取等号,所以选
ab
ab
ab
C.
点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不
等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、
24．已知数列{an}的前 n
项和 Sn
n2 2
n
．
（1）求数列 {an } 通项公式；
（2）令 bn
1 an an 1
，求数列
bn
的前 n 项和 Tn .
25．在△ABC 中，角 A, B,C 所对的边分别是 a,b, c ，且 cos A 4 ． 5
（1）求 sin2 B C cos 2A 的值； 2
三、解答题 21．如图，在四边形 ABCD中， AC 7 , CD 2AD , ADC 2 .
3
（1）求 CAD 的正弦值；
（2）若 BAC 2CAD ，且△ ABC 的面积是△ ACD 面积的 4 倍，求 AB 的长.
22．已知正项等比数列an满足 S2 6 ， S3 14 ． （1）求数列 an 的通项公式；
（2）若 bn
log2
an
，已知数列
1 bnbn
1
的前
n
项和为 Tn
证明： Tn
1．
23．已知函数 f(x)＝x2－2ax－1＋a，a∈R.
(1)若 a＝2，试求函数 y＝ f x (x>0)的最小值；
x
(2)对于任意的 x∈[0，2]，不等式 f(x)≤a 成立，试求 a 的取值范围．
窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟．现有一石窟的某处“浮雕像”共 7 层，每上
层的数量是下层的 2 倍，总共有 1016 个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若
从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列an，则 log2 a3 a5 的值为（ ）
A．8
B．10
C．12
D．16
9．在 ABC 中，角 A, B,C 的对边分别是 a,b, c ， cos2 A b c ，则 ABC 的形状为 2 2D．10
3．在 ABC 中，内角 A, B,C 所对的边分别为 a,b, c ，且 a cos B 4c bcos A，则
cos 2A （ ）
A． 7 8
B． 1 8
C． 7 8
D． 1 8
4．已知等差数列 an ,前 n 项和为 Sn , a5 a6 28,则 S10 ( )
∴1＝4cosA，即 cosA 1 ， 4
那么 cos2A 2cos2 A 1 7 ． 8
故选 C 【点睛】 本题考查了正弦定理及二倍角余弦公式的灵活运用，考查计算能力，属于基础题．
4．A
解析：A 【解析】
由等差数列的性质得， a5 a6 28 a1 a10 ，其前10 项之和为
10a1 a10 10 28 140 ，故选 A.