负整数指数幂
零次幂和负整数指数幂课件
3.6×10-3
1
= 3.6×
103
= 3.6×0.001
= 0.0036.
新知探究
把0.0036表示成3.6×10-3，这是科学记数法. 关键是掌握下述公式：
0.00…01 =10-n.
n个0
科学计数法同样可以表示绝对值很小的数.
新知探究
绝对值小于1的数用科学记数法表示为a×10-n的情势，
1≤│a│<10，n为原数第1个不为0的数字前面所有0
的个数（包括小数点前面那个0）.
新知探究
例4
2010 年，国外科学家成功制造出世界上最小的晶体管，
它的长度只有 0.000 000 04 m ，请用科学记数法表示
它的长度，并在计算器上把它表示出来.
解： 0.000 000 04
= 4 × 0.000 000 01
=1+3-2
=1×1+2
=2.
=3.
课堂小测
3
时，
4
4.要使代数式(4x－5)0＋(2x－3)－2有意义，求x的取值范围，并求当x＝
代数式的值．
5
3
解：4x－5≠0且2x－3≠0时代数式才有意义，即要x≠ 且x≠ ，
4
2
5
3
所以x的取值范围是x≠ 且x≠ .
4
2
3
当x＝ 时,
4
0
−2
3
3
原式= 4 × − 5 + 2 × − 3
4 .
1
(-10)-3=____
1000
1
1000
10-3=____
.
1 2
( ) 9
.
零指数幂与负整数指数幂
数指数幂的运算规则实际上是零指数幂运算规则的一种扩展。
06
零指数幂与负整数指数 幂的实例
零指数幂的实例
定义
零指数幂定义为1的0次方等于1。
实例
例如，10^0 = 1，5^0 = 1，2^0 = 1等。
负整数指数幂的实例
定义
负整数指数幂定义为1除以正整数 指数幂。
实例
例如，2^(-3) = 1/8，5^(-2) = 1/25，10^(-1) = 1/10等。
应用
在解决实际问题时，我们 通常使用零指数幂的性质 来简化计算。
负整数指数幂的性质
定义
负整数指数幂定义为1除以正整数指数幂的倒数，即a^(-n) = 1 / (a^n)，其中a为底数， n为正整数。
性质
负整数指数幂的性质是底数不能为0，因为任何数的0次方都等于1，所以当底数为0时， 结果无意义。此外，当n为奇数时，负整数指数幂的结果为正数；当n为偶数时，负整数 指数幂的结果为负数。
应用
在解决实际问题时，我们通常使用负整数指数幂的性质来简化计算。例如，在物理学中， 我们经常使用负整数指数幂来表示单位不同的量，如速度和时间的关系v = t^-1等。
03
指数幂的运算规则
零指数幂的运算规则
定义
零指数幂定义为1的0次方 等于1，即任何非零数的0 次幂等于1，而0的0次幂 无定义。
计算方法
使用场景
在科学计算、工程领域中经常出现，用于计算逆运算情况。
04
指数幂的应用
零指数幂在生活中的应用
物理单位换算
在物理学科中，零指数幂被广泛应用于单位换算，例如在计算能 量转换时，需要用到零指数幂进行单位转换。
化学方程式配平
在化学学科中，零指数幂被用于配平化学方程式，确保反应前后的 原子数量相等。
初中数学中零指数幂与负整指数幂详解教案
初中数学中零指数幂与负整指数幂详解教案一、背景知识在数学中，指数是一种表示乘方的数学运算符号，它用于表示底数(基数)上幂次(指数)的运算。
一个数a的b次方，可以表示为ab，其中a是底数，b是指数。
但是，当底数为零或者负整数时，就会涉及到特殊的指数问题，这就是本次教案所要重点讲解的内容——零指数幂与负整指数幂。
对于初中学生来说，理解和掌握这些知识点是十分必要的。
二、知识点解析零指数幂：当底数为0时，幂为0，即0的任何次幂均为0。
例如：0³=0；0²=0；0¹=0；0⁰=1负整指数幂：当底数为非零实数a，指数为正整数n时，aⁿ表示a 的n次幂；当a≠0，n>0时，a−n称为a的负整数幂(倒数)，它表示乘以n个因数a的倒数。
即：a⁻ⁿ = 1/aⁿ。
例如：2³=8；2²=4；2¹=2；2⁰=1；2⁻¹=1/2；2⁻²=1/4；2⁻³=1/8。
三、教学设计Step1：引入新知通过提问或者演示，引入”零指数幂“和”负整指数幂“的概念，让学生打好基础。
Step2：讲解零指数幂通过课件或者白板展示，向学生解释零指数幂的概念和特性，可以采用如下的方式进行：将0的任意次幂和其他数字的幂的结果进行比较：0³=0；2³=8；0²=0；2²=4；0¹=0；2¹=2；0⁰=1；2⁰=1；让学生通过对比发现，无论是什么数的0次幂都等于1，而0的任何次幂都等于0，这就是零指数幂的特性。
Step3：讲解负整指数幂通过课件或者白板展示，向学生解释负整指数幂的概念和特性，可以采用如下的方式进行：将一个数的正整数幂和负整数幂的结果进行比较：2³=8；2⁻³=1/8；2²=4；2⁻²=1/4；2¹=2；2⁻¹=1/2；让学生发现，当n>0时，aⁿ表示a的n次幂；当a≠0，n>0时，a−n称为a的负整数幂(倒数)，它表示乘以n个因数a的倒数。
15.2.3负整数指数幂(教案)
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）理解负整数指数幂的概念：负整数指数幂是指数运算的一个重要部分，学生需要理解其含义，并与正整数指数幂进行对比，掌握其特点。
举例：a^{-n}表示1除以a的n次方，即1/a^n。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了负整数指数幂的基本概念、运算规则以及在实际生活中的应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对负整数指数幂的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决实际问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
（2）掌握负整数指数幂的运算规则：包括负整数指数幂的乘除法、幂的倒数等运算规则。
举例：a^{-n} × a^m = a^{m-n}；(a^m)^{-n} = a^{-mn}。
（3）应用负整数指数幂解决实际问题：将负整数指数幂运用到实际情境中，如几何、物理等领域的计算。
举例：计算一个正方体的体积和表面积时，可以使用负整数指数幂表示长度单位。
（3）将负整数指数幂应用于实际问题：学生可能不知道在什么情况下可以使用负整数指数幂，需要通过实例分析来提高学生的应用能力。
难点举例：如何将负整数指数幂应用到几何、物理等领域的实际问题中？
针对以上教学难点与重点，教师在教学过程中应注重以下几点：
1.通过生活实例引入负整数指数幂的概念，让学生感受到其实际意义；
五、教学反思
在今天的课堂中，我们探讨了负整数指数幂的概念、运算规则以及在生活中的应用。回顾整个教学过程，我认为有几个地方值得反思。
分式零指数幂和负整数指数幂
第十七章 分式§17.4 零指数幂与负整指数幂一． 知识点：1.零指数幂：任何不等于零的数的零次幂都等于1。
2.负整指数幂：任何不等于零的数的－n （n 为正整数）次幂，等于这个数的n 次幂的倒数.3.科学记数法：可以利用10的负整数次幂，用科学记数法表示一些绝对值较小的数，即将它们表示成a ×10－n 的形式，其中n 是正整数，1≤∣a ∣＜10.二．自主学习类似地，我们可以利用10的负整数次幂，用科学记数法表示一些绝对值较小的数，即将它们表示成a ×10－n 的形式，其中n ．是正整数，．．．．．1．≤∣．．a ．∣＜．．10．．.．例如，0.000021可以表示成2.1×10－5.三．练习（一）基础1.计算（1）810÷810； （2）10－2； （3）（－0.1）0； （4）2－2；2.用科学记数法表示：（1）0.000 03； （2）－0.000 0064； （3）0.000 0314； （4）2013 000.3.用科学记数法填空：（1）1秒是1微秒的1000000倍，则1微秒＝_______秒；（2）1毫克＝_________千克； （3）1微米＝_________米； （4）1纳米＝_________微米；（5）1平方厘米＝_________平方米； （6）1毫升＝_________立方米.（二）巩固4.计算：（1）101)1)-+ （2）0221(()(2)2--+---（3）16÷（－2）3－（31）－1+（3－1）05.用小数表示下列各数：（1）10－4； （2）2.1×10－5.6.用小数表示下列各数：（1）－10－3×（－2） （2）（8×105）÷（－2×104）3（三）提高7.计算下列各式，并且把结果化为只含有正整数指数幂的形式：（1）(a －3)2(ab 2)－3； （2）(2mn 2)－2(m －2n －1)－3.8.计算)102.3()104(36⨯⨯⨯- 2125)103()103(--⨯÷⨯。
零指数幂与负整数指数幂课件
1. 因此，x的可能取值为0，6，4.
知1－讲
本题运用分类讨论思想解题．本题的解法紧扣幂为1 时，底数为±1，指数为0的三种情况进行分类，不要 只注意到指数为0的情形，而忽视底数为1或－1的情 形产生漏解．
1 (π－x)0＝1成立的条件是________．
知1－练
2 (202X·泰安)计算(－2)0＋9÷(－3)的结果是( ) A．－1 B．－2 C．－3 D．－4
猜一猜，下面的括号内该填入什么数？你是怎么想
的？
与同伴进行交流. 1 10 ( ) = 1 , 10 ( ) =10 ,
1
1
10 ( ) = 100 , 10 ( ) 1000
1
2 ( ) =1 , 2 ( ) = 2 ,
1
1
2( ) = 4 ,2( )= 8.
=.
知2－讲
负整数指数幂法则：
任何不等于零的数的－p( p为正整数)次幂，等于这个
(3) ( 1 )5 ( 1 )2;
22
(4) (－8)0÷ (－8)－2 .
只要m，n都是整数，就 有am ÷an=am－n成立！
知23－练 讲
在引进了零指数幂和负整数指数幂后，指数的范围已
经扩充到了全体整数，幂的运算性质仍然成立．即
有：
(1)am·an＝am＋n；(2)(am( ab)n)＝n amabnnn；(3)(ab)n＝anbn；
3 下列计算正确的是( A. (0.5 1 )0 ＝1
2
C．－30＝－1
) B．(－2)0＝－1 D．(－1)0＝0
知识点 2 负整数指数幂
知2－导
104 =10 000 , 10 ( ) =1 000, 10 ( ) =100 , 10 ( ) =10.
15.2.3 第1课时 负整数指数幂
类型之二 整数指数幂的运算 计算：
(1)(－2)－3－2－3＋12－3－－12－3； (2)(－2 017)0÷(－2)－3×－12－1－3.
解： (1)原式＝－18－18＋8＋8＝643. (2)原式＝1÷－18×(－2)－3 ＝1×(－8)×(－2)－3 ＝13. 【点悟】 任何非 0 实数的 0 次幂等于 1，负整数指数幂等于正整数指数幂的 倒数．
D．c>a>b
【解析】 ∵a＝(－3)－2＝19，b＝(－3)－1＝－13，c＝(－3)0＝1，∴c>a>b.
1 6．计算：(1)(－2)－2＝ 4
； (2)(－2)－3＝ －18 ；
1 (3)0.1－1＝ 10 ； (4)(－ 2)－4＝ 4 .
z6 7．计算：x－2y3·(xy－2z3)2＝ y .
归类探 究
类型之一 求负整数指数幂
计算：(1)3－3；(2)12－2；(3)130×10－1. 解：(1)原式＝313＝217. (2)原式＝1212＝4. (3)原式＝1×110＝110.
【点悟】 正确理解 a－n＝a1n(a≠0，n 为正整数)的意义，这里的底数 a 是任 意非零实数．
第十五章 分式
15.2.3 第1课时 负整数指数幂
学习指 知 南识 管 归 理类 探 当 究堂 测 分 评层 作
业
教学目标
学习指 南
1．理解整数指数幂的运算性质，并能解决一些实际问题；
2．理解 0 指数幂和负整数指数幂的意义．
情景问题引入
一个氧原子约重 2.657×10－23g,20 000 个氧原子共重多少克？涉及负整数指数
8．计算：(1)x2y－3·(x－1y)3； (2)(2ab2c－3)－2÷(a－2b)3； (3)x－2y－3(－3x－1y2)2÷(2xy－2)3.
初中数学第1课时 负整数指数幂
15.2.3 整数指数幂第1课时负整数指数幂要点感知1 一般地，当n是正整数时，a-n=_______(a≠0).即a-n(a≠0)是a n的______.预习练习1-1 (2012·潍坊)计算2-2的结果是( )A. B.2 C.- D.4要点感知2整数指数幂的运算性质：当m，n均为整数时，(1)a m·a n=_____；(2)(a m)n=_____；(3)(ab)n=_______.预习练习2-1计算(a-1b2)3的结果是( )A.a3b6B.a-3b8C.-a3b6D.b6a3知识点1 负整数指数幂1.计算3-1的正确结果为( )A.3B.-3C.D.12.计算(1a)-2的正确结果为( )A.a-2B.a2C.D.3.计算：（π-3.14)0-|-3|+()-1-(-1)2 014.知识点2 整数指数幂的运算4.计算(a3)-2的结果是( )A.-a6B.a6C.D.-5.下列运算错误的是( )A.a-4+2a-4=B.3a-3·a-2=C.（-a-3）2=-D.a-7÷a-2=6.计算：x-2y·(xy-3)-2.7.将()-1、(-3)0、(-3)-2这三个数按从小到大的顺序排列为( )A.(-3)0<()-1<(-3)-2B.()-1<(-3)0<(-3)-2C.(-3)-2<(-3)0<()-1D.(-3)0<(-3)-2<()-18.计算x3y（x-1y）-2的结果为( )A. B. C. D.9.计算：(1)(a-3b)2·(a-2b)-3；(2)(2m2n-3)-2·(-mn2)3÷(m-3n)2. 10.已知式子+(x-2)0有意义，求x的取值范围.挑战自我11.已知x+x-1=3，求x2+x-2的值.参考答案课前预习要点感知1倒数预习练习1-1 A要点感知2 a m+n a mn a n b n预习练习2-1 D当堂训练1.C2.B3.原式=－1.4.C5.C6.原式=x-2y·x-2y6=x-4y7=.课后作业7.C 8.A9.(1）原式=a-6b2·a6b-3=b-1=.(2）原式=2-2m-4n6·(-m3n6）÷m-6n2=-2-2m-4+3-(-6）n6+6-2=-2-2m5n10=-m5n10.10.由题意得, 解得∴x≠且x≠2且x≠1.11.∵x+x-1=3，∴(x+x-1）2=9，∴x2+2x·x-1+x-2=9，∴x2+x-2=7.。
15.2.3.1+负整数指数幂教案2023-2024学年人教版数学八年级上册
15.2.3整数指数幂第1课时负整数指数幂教学步骤师生活动教学目标课题15.2.3第1课时负整数指数幂授课人素养目标1.知道负整数指数幂a－n＝1a n(a≠0，n是正整数).2.了解整数指数幂的意义和基本性质，会用文字和符号语言表述整数指数幂的基本性质，能根据整数指数幂的基本性质进行幂的运算.3.通过探索负整数指数幂的运算性质，让学生体会到从特殊到一般是研究数学的一个重要方法，培养学生抽象、归纳的能力.教学重点负整数指数幂的运算．教学难点运用整数指数幂的运算性质进行计算.教学活动教学步骤师生活动活动一：复习导入，引入新课设计意图温故知新，唤醒学生的知识体系，为本节课做知识的铺垫.【复习导入】温故知新，唤醒学生的知识体系，为本节课做知识的铺垫.我们知道，当n是正整数时，你能补全以下正整数指数幂的运算性质吗？(1)同底数幂的乘法：a m·a n＝a m＋n(m，n是正整数)；(2)幂的乘方：(a m)n＝a mn(m，n是正整数)；(3)积的乘方：(ab)n＝a n b n(n是正整数)；(4)同底数幂的除法：a m÷a n＝a m－n(a≠0，m，n是正整数，m>n)；(5)商的乘方：(ab)n＝a nb n(n是正整数)；(6)0指数幂：a0＝1(a≠0).思考a m中指数m 可以是负整数吗？如果可以，那么负整数指数幂a m表示什么？【教学建议】教师需待学生独立思考完成后再公布答案，激活学生原有的知识，体现学生的学习是在原有知识上自我生成的过程.活动二：实践探究、交流新知设计意图由问题引入，再从数到式，层层深入，通过可操作的数学活动让学生体验从特殊到一般的探究方法．并在探究中找到活动一的问题的答案，前后呼应.探究点1 负整数指数幂问题在a m÷a n中，当m＝n时，产生0次幂，那么当m<n时，会出现怎样的情况呢？我们先来看看具体的例子：53÷55＝53－5＝5－2，53÷55＝5355＝152，发现5－2＝152.同样地，将数字换成字母，算一算“a3÷a5＝？”，你发现了什么？⎭⎬⎫a3÷a5＝a3a5＝a3a3·a2＝1a2a3÷a5＝a3－5＝a－2――→（a≠0）a－2＝1a2所以，我们想到如果规定a－2＝1a2(a≠0)，就能使a m÷a n＝a m－n这条性质也适用于像a3÷a5这样的情形．为使上述运算性质适用范围更广，同时也可以更简便地表示分式，数学中规定：【教学建议】教学中，应注意不要让学生产生误解，以为a－n＝1a n(n是正整数)是证明出来的，而要使学生认识到这是一种规定，这种规定是合理的.这样可以扩大原有的指数运算法则的适用范围.设计意图例题的设计，底数由整数到负数再到分数，并让学生逐步掌握和理解底数符号与指数符号的差别.一般地，当n是正整数时，a－n＝1a n(a≠0)．这就是说，a－n(a≠0)是a n的倒数．引入负整数指数幂后，指数的取值范围就推广到全体整数．你现在能说出当m分别是正整数、0、负整数时，a m各表示什么意思吗？答：对于a m，设a≠0，则：⎩⎨⎧m为正整数时，a m＝a m；m为0时，a m＝1；m为负整数时，a m＝1a－m.例计算：6－2＝136；－2－2＝－14；(－2)－3＝－18；(13)－3＝27；(－32)－1＝－23；b－4＝1b4(b≠0)．解析：6－2＝162＝136；－2－2＝－122＝－14；(－2)－3＝1（－2）3＝－18；(13)－3＝1（13）3＝27；(－32)－1＝1－32＝－23；b－4＝1b4(b≠0)．【对应训练】教材P145上面练习第1题．【教学建议】教师需提醒学生数学中定义a－n＝1a n (n是正整数)，从这个意义上说a－n属于分式．若学生不好理解，教师可以结合具体的例子加以说明．设计意图随着指数的取值范围由正整数推广到全体整数，通过逐一验证的方式，将正整数指数幂的运算性质推广到整数指数幂．让学生体验自主探究获得结论的成就感和愉悦感，从而牢固地掌握所学知识．探究点2整数指数幂及其运算问题1引入负整数指数和0指数后，a m·a n＝a m＋n(m，n都是正整数)这条性质能否推广到m，n是任意整数的情形？a3·a－5＝a3a5＝1a2＝a－2＝a3＋(－5)，即a3·a－5＝a3＋(－5)．a－3·a－5＝1a3·1a5＝1a8＝a－8＝a(－3)＋(－5)，即a－3·a－5＝a(－3)＋(－5)．a0·a－5＝1·1a5＝1a5＝a－5＝a0＋(－5)，即a0·a－5＝a0＋(－5)．教师归纳a m·a n＝a m＋n这条性质对于m，n是任意整数的情形仍然适用．问题2不仅仅是上面这个性质，活动一中的另外4个性质也都限定了指数的范围为正整数，现在我们希望把指数的范围扩大到全体整数，原来适合于正整数指数幂的其他运算性质，是否适合于全体整数指数幂？大家试着验证看看！验证幂的乘方(a－3)2＝(1a3)2＝1a6＝a－6＝a(－3)×2，即(a－3)2＝a(－3)×2.归纳：(a m)n＝a mn这条性质，对于m，n是任意整数的情形仍适用．验证同底数幂的除法a－2÷a－4＝1a2÷1a4＝1a2·a4＝a2＝a(－2)－(－4)，即a－2÷a－4＝a(－2)－(－4)【教学建议】大部分学生会忘记附上对指数取值范围的规定，学生对幂的指数的理解并不透彻，所以可以此为契机，引发学生对幂的指数的思考．【教学建议】在这个探究过程中，学生可能存在三个问题，老师需要引导解决：1．有些学生可能会选取2个正整数来进行验证，需要引导学生认识到，当数域进行推广之后，只要验证新推广的数对于性质是成立的就可以了．2．在验证幂的乘方教学步骤师生活动通过例题巩固知识点，使学生掌握基本的数学语言，规范其解题书写格式.对应训练是为巩固整数指数运算性质而设计的.归纳：a m÷a n＝a m－n这条性质，对于m，n是任意整数的情形仍适用.验证分式的乘方(ab)－2＝(ba)2＝b2a2＝1a2·b2＝a－2·1b－2＝a－2b－2，即(ab)－2＝a－2b－2.归纳：(ab)n＝a nb n这条性质，对于n是任意整数的情形仍适用.教师归纳：指数的范围扩大到全体整数后，活动一中所列的性质仍适用.即，整数指数幂有以下运算性质：(1)a m·a n＝a m＋n (m，n是整数)；(2)(a m)n＝a mn (m，n是整数)；(3)(ab)n＝a n b n (n是整数)；(4)a m÷a n＝a m－n (a≠0，m，n是整数)；(5)(ab)n＝a nb n(n是整数)；(6)当a≠0时，a0＝1.由于负整数指数的出现，使得a m÷a n＝a m·a－n＝a m－n，(同底数幂的除法――→转化同底数幂的乘法)(ab)n＝(ab－1)n＝a n b－n.(分式的乘方――→转化积的乘方)于是，整数指数幂的前5条运算性质，实际上可以合并为3条，即(1)a m·a n＝a m＋n (m，n是整数)；(2)(a m)n＝a mn (m，n是整数)；(3)(ab)n＝a n b n (n是整数).例(教材P144例9)计算：(1)a－2÷a5；(2) (b3a2)－2；(3) (a－1b2)3；(4) a－2b2·(a2b－2)－3.解：(1) a－2÷a5＝a－2－5＝a－7＝1a7；(2)(b3a2)－2＝b－6a－4＝a4b－6＝a4b6；(3)(a－1b2)3＝a－3b6＝b6a3；(4)a－2b2·(a2b－2)－3＝a－2b2·a－6b6＝a－8b8＝b8a8.【对应训练】教材P145上面练习第2题.这条性质时，学生可能会列举出(a－2)3和(a2)－3这两种形式，要帮助学生理解符号和指数在这里的含义.3.在验证分式的乘方这条性质时，要用到a n＝1a－n这个公式，需要给学生讲解.【教学建议】解对应训练中的习题时应直接应用这些性质，而不要先急于转化为分式形式，具体解题过程可以参考例题．但最后的结果通常要转化为分式的形式.活动三：知识延伸，补充新知设计意图例题是为补充和强化0次幂、负整数指数幂有意义的条件而设计的.知识，学会规范答题，感悟几何计算的严谨性，明白学习本节知识点的意义.例若(x－3)0－2(3x－6)－2有意义，则x的取值范围是什么？思路分析：解：根据题意，若(x－3)0有意义，则x－3≠0，即x≠3.若(3x－6)－2有意义，则3x－6≠0，即x≠2.所以x≠3且x≠2.【对应训练】若(x－1)－1＋x0有意义，则x取值范围应是x≠0且x≠1.【教学建议】教师强调：若要原式有意义，则底数不能为0.教学步骤师生活动活动四：随堂训练，课堂总结【随堂训练】相应课时随堂训练.【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题： 1.负整数指数幂的运算性质是什么？ 2.an 的倒数是什么？3.整数指数幂的运算性质是什么？【知识结构】【作业布置】1.教材P 147习题15.2第7题.2.相应课时训练．板书设计15.2.3 整数指数幂 第1课时 负整数指数幂 1.负整数指数幂的运算性质.2.幂的运算性质的推广．教学反思本节课是在学生学习了分式的基本性质及运算之后的教学，在复习正整数指数幂的有关运算性质后精心设置问题让学生探究发现结论并学习如何描述，加深学生对结论的理解，让学生自己发现与前面所学知识的不同，逐步完善运算性质的限制条件，不但调动了学生学习的积极性，同时也达到了预期效果.解题大招一 含整数指数幂、0指数幂与绝对值的混合运算分别根据有理数的乘方、0指数幂、负整数指数幂及绝对值的性质计算出各数，再根据实数的运算法则进行计算．例1 计算：－22＋(－12)－2－(2 060－π)0－|－9|.解：－22＋(－12)－2－(2 060－π)0－|－9|＝－4＋4－1－3＝－4.解题大招二 负整数指数幂比较大小的方法 方法①：直接计算后进行比较．方法②：先转化为正整数指数幂，再将其化为底数或指数相同的幂进行比较． 例2 若a ＝(－23)－2，b ＝(－1)－1，c ＝(－32)0，则a ，b ，c 的大小关系是a ＞c ＞b .解析：∵a ＝(－23)－2＝(－32)2＝94，b ＝(－1)－1＝－1，c ＝(－32)0＝1，∴a ＞c ＞b.例3 比较大小：81－31＜27－41.解析：81－31＝18131＝134×31＝13124，27－41＝12741＝133×41＝13123.∵3124＞3123，∴13124＜13123，∴81－31＜27－41.培优点 运用负整数指数幂的性质求待定字母的值 例 已知3m ＝127，(12)n ＝16，求m n 的值．分析：将127变形为底数是3的幂，将16变形为底数是12的幂，确定m ，n 的值，最后代入求m n 的值．解：∵3m ＝127＝133＝3－3，∴m ＝－3.∵(12)n ＝16＝24＝12－4＝(12)－4，∴n ＝－4.∴m n ＝(－3)－4＝1（－3）4＝181. 方法总结：求解这类问题时，要运用负整数指数幂的性质将等式两边化为同底数或同指数的形式，然后构造方程，通过解方程确定指数或底数中字母的值．。
【素材一】负整数指数幂的应用
负整数指数幂的应用学习了负整数指数幂的知识后，我们得到：任何不等于零的数的p -（p 是正整数）次幂，等于这个数的p由p p a a 1=-（a ≠0，p 是正整数），不难引申出：（2一、直接运用定义解题例1 .填空=-25.解：25151522==-. 例2..代数式2)32(--x 有意义的条件是 .解析：由题意知：032≠-x ，解得23≠x 注意底数不能为0．例3 计算2222111---⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+ 解：原式＝[]{}222211---+＝()22311-⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+ ＝2109⎪⎭⎫ ⎝⎛＝10081 评注：对于多重括号问题有两种处理方法：一种是由内而外，即先去小括号，再去中括号，最后去大括号；另一种方法是由外而内，与前面恰好相反．本题用前一种方法较好．例4 若5531-⎪⎭⎫ ⎝⎛=a ，4441-⎪⎭⎫ ⎝⎛=b ，3351-⎪⎭⎫ ⎝⎛=c ，则a 、b 、c 的大小关系是 ． 解：∵()111155524333===a ，()111144425644===b ，()111133312555===c ，且111111256243125<<∴c ＜a ＜b ．例5 化简1111----⋅+ba b a 解：原式()a b ba ab b a ab b a ab b a +=+=⋅⋅+=----00001111 例6. 已知41=+-aa ，求22-+a a 的值． 解：∵41=+-a a∴()2214=+-a a ∴16222=++-aa ∴21622-=+-aa 即1422=+-aa。
第十四讲 零指数幂与负整数指数幂(教师版)——班课
师：对于期末和中考的零指数幂和负整数指数幂都考哪些题型呢？生：回答师：法则比较简单，但是运算的比较复杂，容易出错，都会用到哪些方法呢？师：综合近两年的考题，那些题目考查频率高一些呢？生：回答师：我们发现通过计算题、出题频率相当高，今天我们就这一节的类型题进行详细的讲解。
1.零指数幂的意义任何不等于0的数的0次幂都等于1。
用公式表示为：______________.2.负整数指数幂的意义任何不等于0的数的-n(n是正整数)次幂，等于这个数的n次幂的倒数，用公式表示为1nnaa-=≠（a0,n是正整数）注意点：(1)底数a不能为0，若a为0，则除数为0，除法就没有意义了；(2)是法则的一部分，不要漏掉；（3）只要底数不为0，则任何数的零次方都等于1；（20-40分钟）()0,a m n m n≠>、是正整数，且零指数幂与负整数指数幂零指数幂【典题导入】【亮点题】【例1】（1）计算：|-3|+(-4)0= ．【答案】4【解析】原式=3+1=4． 故答案为：4．（2）计算(π-1)0+3= ．【答案】4【解析】原式=1+3=4． 故答案为：4．（3）计算：20150-|2|= ．【答案】-1 【解析】原式=1-2 =-1．故答案为：-1．（4）|-2|+(-2)0= ．【答案】3【解析】|-2|+(-2)0=2+1=3． 故答案为：3．【方法提炼】【小试牛刀】（1）如果整数x 满足(|x|−1)x2−9=1，则x 可能的值为 ．【答案】±2或±3【解析】根据非零数的零指数幂等于1可得：|x|-1≠0，x 2-9=0；解得x=±3． 由1的任何次幂等于1可得：|x|-1=1，解得x=±2．由-1的偶次幂等于1可得：|x|-1=-1，解得x=0，此时x 2-9=-9，不符合题意；因此x 可能的值为：x=±2或±3． 故答案为：±2或±3．（2）若实数m ，n 满足|m -2|+(n -2014)2=0，则m -1+n 0= ．【答案】32【解析】因为|m -2|+(n -2014)2=0，所以|m -2|=0，(n -2014)2=0，即得m=2，n=2014， 则m -1+n 0=(2)-1+(2014)0=12+1=32．故答案为：32．负整数指数幂【典题导入】【亮点题】【例1】把代数式3−2b −22−2a −3化成不含负指数的形式是（ ）A .9b 24a 3B .9a 34b C .3a 22ab 2D,4a 39b 2【答案】D【解析】运用负整数指数幂的意义将负整数指数幂转化为正整数指数幂．3−2b −22−2a −3=22a 332b 2=4a 39b 2．故选D 。
负整数指数幂--科学计数法
概念：
科学记数法：大于10的数记成a×10n的 形式，其中
1≤ a <10，n是正整数。
例如，864000可以写成8.64×105.
你会把0.0000864用科学记数法表示吗？
会利用10的负整数幂 ，用科学计数法表示一些 绝对值较小的数。
你会用小数表示下列各数吗？
104
1 104
0.0001
1 2 0
0.1 10–1
1 2–1 2
0.01 10–2 0.001 10–3
1 2–2 4
我们规定： a0 1(a 0)
1 2–3 8
a0 — 零指数幂；
ap
1 ap
(a
0, p
0)
a–p — 负指数幂。
例题解阅读析 体验 ☞
2、把a×10－n还原成原数时，只需把 a的小数点向左移动n位。
n是正整数时, a-n 属于分式
计算:
(1) 950×(-5)-1
-1 5
(2) 3.6×10-3 0.0036
(3) a3÷(-10)0 a3
(4)
(-3)5÷36
-
1 3
计算:
(1) 22-2-2+(-2)-2 4
2、下列是用科学记数法表示的数，写出 原来的数。 （1）2×10－8 （2）7.001×10－6
单位换算
❖ 1米=10分米 ❖ 1分米=10厘米 ❖ 1厘米=10毫米 ❖ 1毫米=1000微米 ❖ 1微米=1000纳米
1毫米= 10-3 米 1微米= 10-6 米 1毫米= 10-9 米
例3：人体内一种细胞的直径为1微米， 多少个这种细胞并排起来能达到1毫 米？
15.2.3负整数指数幂的应用(教案)
此外，学生小组讨论环节，同学们表现出较强的思考能力和解决问题的能力。但在分享成果时，部分同学的表达能力仍有待提高。针对这个问题，我计划在今后的教学中，多给予学生表达的机会，并适时给予指导和鼓励，提高他们的自信心。
3.培养学生数学运算与数据分析能力，让他们在解决实际问题时，能够灵活运用负整数指数幂的运算规则，简化计算过程，提高解题效率；
4.培养学生的逻辑推理能力，通过负整数指数幂的学习，使他们能够理解数学知识之间的内在联系，形成严密的数学逻辑思维。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解负整数指数幂的定义：负整数指数幂表示分数的倒数，即a^{-p} = 1/(a^p)。这是本节课的核心内容，需要学生深刻理解。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了负整数指数幂的基本概念、运算规则以及它在实际问题中的应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对这一知识点的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
具体举例：
-教学重点举例：在讲解负整数指数幂的运算规则时，可以通过具体的数学题目，如2^{-3} * 2^5的计算，强调指数的加减法则。
负整数指数幂的运算法则教案
负整数指数幂的运算法则教案教案标题：负整数指数幂的运算法则教学目标：1. 理解负整数指数幂的概念及其运算法则。
2. 能够应用负整数指数幂的运算法则进行计算。
3. 培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
教学重点：1. 负整数指数幂的定义及其特点。
2. 负整数指数幂的运算法则。
教学难点：1. 理解负整数指数幂的概念及其运算法则。
2. 能够应用负整数指数幂的运算法则进行计算。
教学准备：1. 教师准备：教案、黑板、彩色粉笔、教学投影仪。
2. 学生准备：课本、笔记本。
教学过程：Step 1：导入新知识（5分钟）1. 教师出示一个数学问题：“2的3次方等于多少？”学生回答：“8”。
2. 教师再出示一个数学问题：“2的-3次方等于多少？”鼓励学生思考并回答。
3. 引导学生思考负整数指数幂的含义，解释负整数指数幂的概念。
Step 2：讲解负整数指数幂的运算法则（10分钟）1. 教师通过黑板和投影仪展示负整数指数幂的运算法则。
2. 解释负整数指数幂的运算法则，包括正整数幂的运算法则的推广。
3. 通过例题演示负整数指数幂的运算法则的应用。
Step 3：练习与讨论（15分钟）1. 学生在课本上完成相关练习题，教师巡回指导和解答疑惑。
2. 学生之间进行小组讨论，分享解题思路和答案。
Step 4：巩固与拓展（10分钟）1. 教师出示一些拓展题目，要求学生应用负整数指数幂的运算法则进行计算。
2. 学生上台展示解题过程和答案，教师进行点评和总结。
Step 5：课堂小结（5分钟）1. 教师对本节课的重点内容进行总结。
2. 强调负整数指数幂的概念和运算法则的应用。
3. 鼓励学生进行课后练习，巩固所学知识。
教学延伸：1. 学生可通过互联网搜索相关资料，了解负整数指数幂的应用领域。
2. 学生可以扩展讨论负数的幂的运算法则在实际问题中的应用。
教学评估：1. 教师通过课堂练习和小组讨论的表现来评估学生的掌握情况。
2. 教师可以布置课后作业，进一步评估学生的学习效果。
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【同底数幂的除法法则】
5 5 5
2 5
2 5
5
3
2
a a a37 a 4
3 7
……
3
1 1 4 …… 结论: 5 a 3 4 a 5
1 n a a n (a 0)
指数 底数 幂
a
n
1 ( a 0 ) n a
这就是说：a－n（a≠0)是an的倒数.
1 1 (底数a可以是数， 例如：a 2 1 3 2 = 8 3 2 a 2 单项式，多项式)
1 -2 （1） 4 = 16
1 2 16 (2)(4) _____
1 (3) 42 ___ 16
2 2 (4)( ) 3
32 ( ) 2
3 9 1 -8 ____ 4 （ 5） 2
事实上，正整数指数幂的所有运算性质用于指数是负 整数和零的幂的运算也是完全成立的
整数指数幂的性质： m
n . a a = am+n
m n a ÷a =
am-n
=amn (ab)n= anbn a n an ( ) = n b b
（注意：m , n 是任意 整 数 ）
n m (a )
例
计算：
1
（1）(a 解:（1）(a
bab
2
2
2 3
a 2b2 (a 6b6 ) a b
8 8
b8 a8
计算 (1) x y ( x y)
2 3 1 3
2 3 2 2 3 (2 ab c ) ( a b) (2)
解：原式 =x2 y 3 x 3 y 3
2 2 4 6 6 3 (2 a b c ) ( a b) 解：原式
x 1 y 0 1 x
22 a 4b 7 c 6 a 4c6 7 4b
• 负整数指数幂的意义 • 整数指数幂的运算性质
1 n a a n (a 0)
m n . (1)a a = m+n
a
（2）am÷an=am-n
n m （ 4 ） (a )
（3）(ab)n= anbn
-3 +(-2) -3 -2 . (3)a a =_____ -5 5 a a =____ a =____ 1 0 +(-2) -2 0 -2 . (4)a a =_____ a a =____ =____ a2
总结归纳：整数指数幂的运算性质
3 +2 3 2 . (1)a a =_____
5 a
1
m n . (1)a a =
12 b －4 6 －4 6 －8 12 解：原式＝a b ·a b ＝a b ＝ a8
(2)a b ·(－2a b ) ÷(a b )．
－2
2
2
－2 －2
－4
2
解：原式＝a b ·2 a b ÷(a b2)＝ 2 a
－2 －2－4＋4
－2
2
－2 －4
4
－4
b
2＋4－2
b ＝2 a b ＝4a2
－2 －2
°C
n
an
…
…-n……3 21 0 -1
-2 -3
a2 a a0 a -1 a -2
a 与a 猜想： 有什么关系？ (n为正整数)
-n
n
a -n
目标一：负整数指数幂的意义
am÷an=am-n
【除法的意义】
5 5 5
5 2
5 2
5
3
(a≠0,m,n是正整数,m>n)
2 5 5 2 5 1 5 5 5 2 3 3 5 5 5 5 3 3 1 a 3 7 a a a 7 3 4 4 a a a a ……
x 1 (4) x y x 2 2 y y
3 2
3
3
(5)2(m n)
2
2 1 2 2 2 ( m n) ( m n )
目标二：整数指数幂的性质及运用
根据所学填空，并猜想验证
a =____ 1 -3 +2 -1 a a =____ (2)a-3. a2=_____ =____ a
°C
n
an
…
…
-n
…
…
3 2
1 0 -1
-2 -3
a2 a a0 a -1 a -2
(n为正整数)
a -n
人教版八年级数学上册
15.2.3 负整数指数幂
学习目标 • 1．理解负整数指数幂的意义 • 2. 正确熟练地运用整数指数幂性质进行计算。 • 3. 培养抽象的数学思维能力; 在发展推理能力和有条理 的语言和符号表达能力的同时，进一步体会学习数学的 兴趣。
3
b)
2 3
2 3
1
b)
b （ 3） a b (2) a b a -2 6 b a-3 b6 = 3 a
3
2 2 2
2
2 3
b b-6 1 = = (2) -2 4 a a a4 b 6
（ 3） a
2
2
计算结果有负整数 指数幂时,要化成正 整数指数幂的形式.
(2)
3
a n b n ( ) ( ) a b
进行计算
当底数是整数时，直接用
a
n
1 n a
当底数是分数时，可以用
a n b n ( ) ( ) b a
进行计算
把下列各式转化为只含有正整数指数幂的形式
(1)a
3
1 3 a
1 3 3 (2)3x 2 2 x x
2
1 3 1 1 1 (3) x 3 3 3 3 x 3x
a n an （ 5） ( ) = n b b
=amn
（注意：m , n 是 整 数 ）
1．(2016· 济宁)下列计算正确的是( A ) 2 3 5 6 6 12 A．x ·x ＝x B．x ＋x ＝x C．(x ) ＝x
23 5
D．x ＝x
－1
2．(2016· 潍坊)计算 2 ·2 ＝( B ) 1 1 A．－8 B.8 C．0 D．8
0
－3
1 －2 3．计算(a) 的正确结果为( B ) A．a
－2
1 1 B．a C.a2 D.a
2
4．下列各式计算中正确的是( B ) 4 －1 4 1 －2 A．(－5) ＝5 B．(－3) ＝9 1 －3 1 －1 C．(－5) ＝125 D．2a ＝2a
5．计算： (1)(a2b－3)－2·(a－2b3)2；
m+n （m,n为任意整数） a
（1） a-2÷a-3= a-2-（-3） =a am÷an=am-n
(2)(a ) a-6
(3) (ab)-2= a-2b-2 a -2 a-2 (4) ( ) = b-2 b
2 3
n m (a )
=amn
(ab)n= anbn a n an ( ) = n b b
4
4
6 ． 当x
时，式子(x＋1)－2有意义．
7、计算：(π－3.14)0－|－4|＋(-2)－1＋(－1)2017.