2018北师大版高中数学必修五学案：第三章 2.2 一元二次不等式的应用

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高中数学北师大版必修5第三章不等式一元二次不等式的应用学案含解析

北师大版高中数学必修5学案含解析：2.2 一元二次不等式的应用内容标准学科素养 1.会用不等式求其他问题中的参数的取值范围. 2.会解分式不等式与高次不等式.3.能够运用不等式解决简单的实际问题.准确分类讨论规范等价转化提升数学运算授课提示：对应学生用书第57页[基础认识]知识点一一元二次不等式恒成立问题知识梳理解决不等式恒成立问题的关键是转化思想的应用，一元二次不等式恒成立问题还可以借助二次函数的图像求解．(1)一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集是全体实数(或恒成立)的等价条件是⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0Δ＜0；(2)不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集是全体实数(或恒成立)的等价条件是⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0b ＝0c ＞0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0Δ＜0；(3)不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集是全体实数(或恒成立)的等价条件是⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0b ＝0c ＜0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0Δ＜0；(4)不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集是全体实数(或恒成立)的等价条件是⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0b ＝0c ≥0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0Δ≤0；(5)f (x )≤a 恒成立，x ∈D [f (x )]max ≤a ，x ∈D ； (6)f (x )≥a 恒成立，x ∈D [f (x )]min ≥a ，x ∈D . 知识点二不等式的应用问题思考并完成以下问题1．分式不等式可转化为整式不等式解决吗？需要注意什么？提示：可以，需要注意的是分母中因式的根不能在解集中．2．若a ，b ∈R ，b a ＞0与ab ＞0，b a ＜0与ab ＜0是否等价？b a ≥0与ab ≥0，ba≤0与ab ≤0呢？提示：b a ＞0与ab ＞0，b a ＜0与ab ＜0等价；b a ≥0与ab ≥0，ba≤0与ab ≤0不等价．3．课本中讲到用“穿针引线法”解高次不等式时，要从数轴右上方依次过每个根画曲线，请问在对不等式的左边整理时应注意什么问题？提示：应注意把每个一次因式中x 的系数都化为正．知识梳理 1.分式不等式的解法对分子分母含x 的因式的不等式，先把不等式的右边化为0，再通过符号法则，把它转化成整式不等式来解，从而使问题化繁为简．大体情况如下： (1)f （x ）g （x ）＞0f (x )g (x )＞0； (2)f （x ）g （x ）＜0f (x )g (x )＜0；(3)f （x ）g （x ）≥0⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）g （x ）≥0，g （x ）≠0； (4)f （x ）g （x ）≤0⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）g （x ）≤0，g （x ）≠0. (5)（x －m ）（x －n ）x －p ≤0⎩⎪⎨⎪⎧（x －m ）（x －n ）（x －p ）≤0，x －p ≠0.2．形如(x －a )(x －b )(x －c )＞0的不等式解法设函数f (x )＝(x －a )(x －b )(x －c )，如果把函数f (x )图像与x 轴的交点(a ，0)，(b ，0)，(c ，0)，形象地看成“针眼”，函数f (x )的图像看成“线”，这种求解不等式(x －a )(x －b )(x －c )＞0的方法，称为穿针引线法．思考：1.利用图形计算器来解不等式应当注意什么？提示：借助图形计算器画函数图像解不等式很便捷，但这种方法解不等式是有局限的，因为图形计算器只能显示函数的局部图像，无法显示出无穷远处的情况． 2．你能用图形计算器解不等式2sin x ＞0吗？提示：可以借助图形计算器画出函数的局部图像，再根据函数的周期性写出不等式的解集．[自我检测]1．函数y ＝x 2＋mx ＋m2对一切x ∈R 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．m ＞2B ．m ＜2C ．m ＜0或m ＞2D ．0≤m ≤2解析：由题意知x 2＋mx ＋m2≥0对一切x ∈R 恒成立，∴Δ＝m 2－2m ≤0，∴0≤m ≤2.故选D. 答案：D2．不等式2－xx ＋4＞0的解集是________．解析：不等式2－xx ＋4＞0等价于(x －2)(x ＋4)＜0.解得－4＜x ＜2.故解集为{x |－4＜x ＜2}．答案：{x |－4＜x ＜2}授课提示：对应学生用书第58页探究一不等式的恒成立问题 [阅读教材P83，练习第2题]已知函数y ＝(a －2)x 2＋2(a －4)x －4的图像都在x 轴上方，求实数a 的取值的集合．解析：当a ＝2时，∵y ＝－4x －4的图像不都在x 轴上方，∴a ≠2. 当a ≠2时，∵y ＝(a －2)x 2＋2(a －4)x －4的图像都在x 轴上方， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a －2＞0 ①Δ＝[2（a －4）]2－4（a －2）×（－4）＜0 ② 解①得a ＞2.解②得(a －2)2＋4＜0，解集为∅. ∴a 的取值范围组成的集合为∅. [例1] 已知函数f (x )＝mx 2－mx －1.(1)若对于一切实数x ，不等式f (x )＜0恒成立，求实数m 的取值范围； (2)若对于一切实数x ，不等式f (x )≥－2恒成立，求实数m 的取值范围．[解题指南] (1)可由m ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，Δ＜0求解；(2)先将不等式化为f (x )＋2≥0，再由m ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，Δ≤0求解．[解析] (1)要使mx 2－mx －1＜0恒成立，若m ＝0，显然－1＜0.若m ≠0，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，Δ＝m 2＋4m ＜0，解得－4＜m ＜0.综上可知，m 的取值范围是(－4，0]． (2)不等式f (x )≥－2，即为mx 2－mx ＋1≥0. 若m ＝0，则不等式即为1≥0，显然恒成立；当m ≠0，则应有⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，m 2－4m ≤0，解得0＜m ≤4.综上，实数m 的取值范围是[0，4]．延伸探究 1.本例中，若将条件改为当x ∈[1，3]时，不等式f (x )＜－m ＋5恒成立，求实数m 的取值范围．解析：法一：要使f (x )＜－m ＋5在x ∈[1，3]上恒成立，就要使m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6＜0在x ∈[1，3]上恒成立．令g (x )＝m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6，x ∈[1，3]．当m ＞0时，g (x )在[1，3]上是增函数，∴g (x )max ＝g (3)＝7m －6＜0.∴0＜m ＜67.当m ＝0时，－6＜0恒成立．当m ＜0时，g (x )在[1，3]上是减函数，∴g (x )max ＝g (1)＝m －6＜0，即m ＜6，∴m ＜0.综上可知，m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，67. 法二：当x ∈[1，3]时，f (x )＜－m ＋5恒成立，即当x ∈[1，3]时，m (x 2－x ＋1)－6＜0恒成立．∵x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34＞0，且m (x 2－x ＋1)－6＜0，∴m ＜6x 2－x ＋1.∵函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝⎛⎭⎫x －122＋34在[1，3]上的最小值为67，∴m ＜67.故m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，67. 方法技巧一元二次不等式恒成立问题的解题方法 (1)判别式法①不等式ax 2＋bx ＋c ＞0恒成立⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0c ＞0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0Δ＜0. ②不等式ax 2＋bx ＋c ＜0恒成立⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0c ＜0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0Δ＜0. (2)分离参数法若不等式中的参数比较“孤单”，便可将参数分离出来，利用a ≥f (x )恒成立a ≥f (x )max ，a ≤f (x )恒成立a ≤f (x )min 求解． (3)参数变换位法构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围，列式求解，常见的是转化为一次函数f (x )＝ax ＋b (a ≠0)在[m ，n ]上恒成立问题，若f (x )＞0恒成立⎩⎪⎨⎪⎧f （m ）＞0，f （n ）＞0，若f (x )＜0恒成立⎩⎪⎨⎪⎧f （m ）＜0，f （n ）＜0. 跟踪探究 1.已知f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，若x ∈(－2，2)，f (x )≥2恒成立，求a 的取值范围．解析：函数f (x )＝x 2＋ax ＋3－a 的对称轴方程为x ＝－a 2，当－a2≤－2，即a ≥4时，f (x )min ＝f (－2)＝(－2)2－2a ＋3－a ＝7－3a ，由7－3a ≥2，解得a ＜53，与a ≥4矛盾；当－2＜－a2＜2，即－4＜a ＜4时，f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝⎝⎛⎭⎫－a 22－a 22＋3－a ＝3－a －a 24.由3－a －a24≥2，解得：－2－22≤a ≤－2＋22，∴－4＜a ≤－2＋22；当－a2≥2，即a ≤－4时，f (x )min ＝f (2)＝4＋2a ＋3－a ＝7＋a ，由7＋a ≥2，解得a ≥－5， ∴－5≤a ≤－4.综上，实数a 的取值范围是－5≤a ≤－2＋2 2.探究二简单分式不等式的求解 [阅读教材P82例10及解答]解下列不等式 (1)x ＋1x －3≥0；(2)5x ＋1x ＋1＜3. 题型：解简单的分式不等式方法步骤：①先把不等式右边化为0； ②通过符号法则转化为整式不等式； ③求整式不等式得原不等式的解集． [例2] 解下列不等式： (1)2x ＋3x －4＞0；(2)x －34x ＋5≤0； (3)2－x 2x ＋3＜2；(4)3x 2x 2＋1＜1. [解题指南] 对于(1)，可直接转化为整式不等式进行求解，对于(2)，可转化为整式不等式进行求解，但应注意分母不为零；对于(3)，可先移项后通分，再转化为整式不等式进行求解；(4)考虑到2x 2＋1＞0，可直接去分母，转化为整式不等式进行求解． [解析] (1)原不等式可化为(2x ＋3)(x －4)＞0，解得x ＞4或x ＜－32，所以不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＞4或x ＜－32.(2)原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧（x －3）（4x ＋5）≤0，4x ＋5≠0，解得－54＜x ≤3，所以不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－54＜x ≤3.(3)原不等式即为2－x 2x ＋3－2＜0，所以－4－5x2x ＋3＜0，因此5x ＋42x ＋3＞0，可化为(2x ＋3)(5x ＋4)＞0，解得x ＞－45或x ＜－32.故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＞－45或x ＜－32.(4)因为2x 2＋1＞0，所以去分母得3x ＜2x 2＋1，即2x 2－3x ＋1＞0，解得x ＞1或x ＜12.故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＞1或x ＜12.方法技巧 1.分式不等式的求解思路是把分式不等式转化为整式不等式，对于形如f （x ）g （x ）＞m的分式不等式，应遵循“移项—通分—化乘积”的原则进行求解．2．解不等式f （x ）g （x ）＞m ，不要直接在不等式两边同乘分母g (x )，以达到去分母的目的，化为整式不等式f (x )＞m ·g (x )的形式进行求解，因为g (x )的符号不确定，这种变形是不等价的．跟踪探究 2.解下列不等式： (1)x －1x≥0.(2)2x 2－4x －7－x 2＋2x －1≥－1. 解析：(1)x －1x ≥0可转化为⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x ＞0，或⎩⎪⎨⎪⎧x －1≤0，x ＜0，解得x ≥1或x ＜0，所以不等式x －1x≥0的解集为{x |x ＜0或x ≥1}．(2)原不等式可化为2x 2－4x －7x 2－2x ＋1－1≤0，即x 2－2x －8x 2－2x ＋1≤0. 由于x 2－2x ＋1＝(x －1)2≥0，所以原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －8≤0，x 2－2x ＋1≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤4，x ≠1，所以原不等式的解集为{}x |－2≤x ＜1或1＜x ≤4.探究三简单的高次不等式的求解[阅读教材P82例11及解答]解不等式：(x －1)(x －2)(x －3)＞0. 题型：解简单的高次不等式方法步骤：①设出函数f (x )＝(x －1)(x －2)(x －3)． ②找出函数y ＝f (x )的图像与x 轴交点的坐标． ③y ＝f (x )图像把x 轴分成四个不同区间． ④依次分析每个区间上的符号得解集．[例3] 解不等式x 2－4x ＋13x 2－7x ＋2＜1.[解题指南] 这是高次分式不等式，先移项通分，化成只有一边含未知数，另一边是0的不等式，再让分子分母分别因式分解，最后用数轴标根法来解即可．[解析] 移项，得x 2－4x ＋13x 2－7x ＋2－1＜0，即x 2－4x ＋1－（3x 2－7x ＋2）3x 2－7x ＋2＜0化简，得－2x 2＋3x －13x 2－7x ＋2＜0.∴（－2x ＋1）（x －1）（3x －1）（x －2）＜0，用数轴标根法，得，x ＜13或12＜x ＜1或x ＞2.∴不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜13或12＜x ＜1或x ＞2.方法技巧解简单的高次不等式用“穿针引线法”，应该注意 (1)各一次项因式中x 的系数必为正． (2)从最大的根的右上方开始穿．(3)对于偶次或奇次重根，注意“奇穿偶不穿”．跟踪探究 3.解不等式：(x ＋2)(x ＋1)2(x －1)3(x －2)≤0. 解析：如图，关于x 的不等式(x ＋2)(x ＋1)2(x －1)3(x －2)≤0，把各个因式的根－2，－1，1，2排列在数轴上，用穿根法求得它的解集为(－∞，－2]∪[1，2]．探究四一元二次不等式的简单应用[阅读教材P84例12及解答]题型：一元二次不等式的简单应用．方法步骤：①列出税率调低后的“税收总收入”； ②依据题意列出不等式． ③整理后求解． ④回扣实际问题．[例4] 行驶中的汽车，在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离s (单位：m)与汽车的车速v (单位：km/h)满足下列关系：s ＝n v 100＋v 2400(n 为常数，且n ∈N )，做了两次刹车实验，有关实验数据如图所示，其中⎩⎪⎨⎪⎧6＜s 1＜8，14＜s 2＜17.(1)求n 的值；(2)要使刹车距离不超过12.6 m ，则行驶的最大速度是多少？[解题指南] (1)根据两个刹车距离的范围建立不等式组，并结合n ∈N 求得n 的值；(2)由s ≤12.6解出v 的取值范围，从而得到行驶的最大速度．[解析] (1)由题意得⎩⎨⎧6＜40n 100＋1 600400＜8，14＜70n 100＋4 900400＜17，解得⎩⎪⎨⎪⎧5＜n ＜10，52＜n ＜9514.因为n ∈N ，所以n ＝6.(2)由于刹车距离不超过12.6 m ，即s ≤12.6，所以3v 50＋v 2400≤12.6，因此v 2＋24v －5 040≤0，解得－84≤v ≤60.因为v ≥0，所以0≤v ≤60，即行驶的最大速度为60 km/h.延伸探究 2.本例中，背景条件不变，若该型号的汽车在某一限速为80 km/h 的路段发生了交通事故，交警进行现场勘查，测得该车的刹车距离超过了25.65 m ，试问该车是否超速行驶？解析：由题意知s ≥25.65，即3v 50＋v 2400≥25.65，即v 2＋24v －10 260≥0，解得v ≥90或v ≤－114.由于v ≥0，所以速度v 的取值范围是v ≥90＞80，因此该车已经超速行驶．方法技巧解决实际应用问题(1)准确地将条件中的文字语言、符号语言转化为数学语言，建立数量关系，抽象为数学问题解决，要注意实际问题中变量的取值范围，保证符合实际意义． (2)建立一元二次不等式模型的基本步骤 ①理解题意，搞清量与量之间的关系；②建立相应的不等关系，把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题； ③解这个一元二次不等式，得到实际问题的解．跟踪探究 4.某校园内有一块长为800 m ，宽为600 m 的长方形地面，现要对该地面进行绿化，规划四周种花卉(花卉带的宽度相同)，中间种草坪，若要求草坪的面积不小于总面积的一半，求花卉带宽度的范围．解析：设花卉带的宽度为x m ，则中间草坪的长为(800－2x )m ，宽为(600－2x )m.根据题意可得(800－2x )(600－2x )≥12×800×600，整理得x 2－700x ＋600×100≥0，即(x －600)(x －100)≥0，所以0＜x ≤100或x ≥600，x ≥600不符合题意，舍去．故所求花卉带宽度的范围为(0，100] m.授课提示：对应学生用书第60页[课后小结](1)解决不等式恒成立问题实际是等价转化思想的应用，同时要结合二次函数的图像求解． (2)解决分式不等式问题的关键是等价转化为整式不等式．(3)解决简单的高次不等式的基本方法是穿针引线法，注意求解之前的准备工作：x 的系数化为正数．(4)解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，选择其中起关键作用的未知量为x ，用x 来表示其它未知量，根据题意，列出不等关系再求解，同时还应注意变量的实际意义．[素养培优]解一元二次不等式的易错点关于x 的不等式(1＋m )x 2＋mx ＋m ＜x 2＋1对x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围．易错分析当二次项系数含参数时，要严格分系数为正、系数为0、系数为负三种情况进行讨论，缺一不可．若认为当系数为0时，不等式为一元一次不等式，故不讨论，这是不可以的．只要题中没有明确说明为一元二次不等式，就必须讨论这种情况．自我纠正原不等式可化为mx 2＋mx ＋(m －1)＜0，若m ＝0，则不等式化为－1＜0，符合题意；若m ≠0，则应有⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，Δ＝m 2－4m （m －1）＜0⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，3m 2－4m ＞0⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，m ＜0或m ＞43m ＜0. 综上，m 的取值范围为m ≤0.。

北师大版高中数学必修五教学案一元二次不等式的应用

教案、学案用纸
年级高二
学科数学
课题
一元二次不等式的应用
授课时间
撰写人
学习重点
熟练掌握一元二次不等式的解法
学习难点
理解一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系
学习目标
巩固一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系；进一步熟练解一元二次不等式的解法；
教学过程
一自主学习
一元二次不等式的解法步骤是
1.____________________ 2.________________
例2设不等式的解集为，求 ?
例3设，且，求的取值范围.
练习。设对于一的定义域是（）.
A．或 B．
C．或 D．
2.不等式的解集是（）.
A．[2，4] B．
C．RD．
3.集合A= ，
B= ，则 =（）.
A．或
B．且
C．{1，2，3，4}
D．或
3.____________________ 4._______________
复习2：解不等式.
（1）；（2） .
二师生互动
例1某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离s m和汽车的速度xkm/h有如下的关系：
.在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5m，那么这辆汽车刹车前的速度是多少？（精确到0.01km/h）
四课后反思
五课后巩固练习
1.若关于的不等式的解集为空集，求的取值范围.
2、已知二次不等式的解集为，求关于的不等式的解集.
3.设是关于的方程的两个实根，求的最小值；
4.不等式的解集为.
5已知关于的不等式的解集是，求实数之值．

北师大版高中数学必修5《三章不等式 2 一元二次不等式 2.1一元二次不等式的解法》赛课导学案_0

【课题】一元二次不等式的解法（第一课时）【教学时间】【教学目标】1、知识目标：熟练掌握一元二次不等式的解法，正确理解一元二次方程、一元二次函数和一元二次不等式三者的关系；2、能力目标：培养学生运用数形结合与等价转化等数学思想方法解决问题的能力，提高运算和作图能力；3、德育目标：通过对解不等式过程中等与不等对立统一关系的认识，向学生逐步渗透辨证唯物主义思想；4、情感目标：在教师的启发引导下，学生自主探究，交流讨论，培养学生的合作意识和创新精神。

【教学重点】从实际问题中抽象出一元二次不等式的模型，突出体现数形结合的思想，熟练地掌握一元二次不等式的解法。

【教学难点】深刻理解一元二次函数，一元二次方程和一元二次不等式之间的联系。

【教学用具】三角板、电脑【教学场所】多媒体教室【教学过程设计】【课堂小结】通过本节课的学习，让学生真正领会到通过一元二次函数图象解一元二次不等式的方法要领，理解在数学中利用数形结合法解决问题的方便性和准确性，最后强调不等式的解集写法要规范，可用集合或区间表示，区间是特殊数集的表示方式，要正确、熟练地使用区间表示不等式的解集。

【作业布置】1、预习课本相关知识2、思考课本习题3-2 A组6、7（1）（2）【板书设计】略【教学设计感想】本教学设计体现新课标理念，由于本节内容的工具性的特点，课堂上要鼓励学生思考交流与动手实践，让学生养成独立思考和勇于质疑的习惯，同时也应学会和他人交流合作、培养严谨的科学态度和不怕困难的顽强精神。

本教案设计突出二次函数的作用，充分体现了新课标的编写意图，一元二次不等式解集的得出是数形结合运用的典型范例，必须要求学生对这种方法有深刻的认识与体会，必要时，甚至让学生像当初学习平面几何时识图一样，去认识函数的图象，从图象上真正把握其内在本质。

北师大版高中数学必修5《三章不等式 2 一元二次不等式 2.1一元二次不等式的解法》赛课导学案_26

x-50 x)0(02≠=++acbxax课题：一元二次不等式的解法（1）教学目标1.知识与技能目标（1）熟练掌握一元二次不等式的两种解法；（2）理解一元二次方程、一元二次不等式和二次函数之间的关系.2.过程与方法目标培养学生运用等价转化和数形结合等数学思想解决数学问题的能力.3.情感态度价值观目标（1）通过等与不等的对立统一关系的认识，对学生进行辨证唯物主义教育.（2）经历从实际情景中抽象出一元二次方程的过程，体会学习本单元的意义，在自主探究与讨论交流过程中，培养学生的合作意识和创新精神。

教学重点、难点重点：一元二次不等式的解法，“三个二次”之间的关系难点：一元二次不等式的解法与数形结合思想教学过程一、情景引入一个水产养殖户想要挖一个周长为100m的矩形水池搞特种养殖，要求水池面积不小于600平方米，则该水池的一边长应在什么范围之间？析：设水池一边长为x米，则另一边长为x-50米，根据题意可得：600)50(≥-xx整理得：0600502≤+-xx（不等式）特点：1.只有一个未知数2.未知数的最高次数为2 （形如这样的不等式叫一元二次不等式）总结：形如)0(02≥>++cbxax或)0(02≤<++cbxax的不等式（其中0≠a），叫做一元二次不等式。

二、诱思联想思考：知道了什么是一元二次不等式，那么我们如何解一元二次不等式呢？联想：由这里的“二次”你还可以想到之前我们学习过哪些跟“二次”相关的知识呢？他们之间有什么联系？（一元二次方程、二次函数）一元二次方程二次函数)0(02≠>++a c bxax 0>y )0(02≠=++a c bx ax )0(2≠++=a c bx ax y一元二次不等式思路：可以利用二次函数来解一元二次不等式，即要解不等式)0(02≠>++a c bx ax ，只需在二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图像中找出0>y 时对应的x 的取值范围即可。

3.2.2一元二次不等式的应用教案(北师大版必修五)

高次不等式的解法【问题导思】对于函数 f(x)＝x(x－1)(x－2)有几个零点？分别是什么？若 x 分别属于下列区间，f(x)的符号怎样？ ①(－∞，0)；②(0，1)；③(1，2)；④(2，＋∞)．【提示】 ①f(x)<0 三个，0，1，2. ②f(x)>0 ③f(x)<0 ④f(x)>0
x＋1 将本例(1)变为“>”，(2)改为 ≤2. x－2 2x＋1 1 1 >0 得 <0 等价于(x＋2)(x－1)<0，解得－2<x<1. 1－x x－1 1 x＋2
【解】
(1)由
1 ∴原不等式的解集为{x|－2<x<1}． (2) x＋1 x－5 －2≤0 即 ≥0 等价于(x－5)(x－2)≥0 且 x≠2， x－2 x－2
创设问题，提出问题：分式不等式与高次不等式如何解？ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ 通过引导学生回答所提问题，让学生掌握分式不等式与高次不等式的解法通过例1及互动探究，使学生掌握分式不等式的解法通过例2及变式训练，使学生掌握简单高次不等式的解法通过例3及变式训练，使学生掌握一元二次不等式的实际应用归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识
解得 x<2 或 x≥5， ∴原不等式的解集为{x|x<2 或 x≥5}．
简单高次不等式的解法解不等式 3x2 －x>0. 2x－1 先把不等式通分化简，再用穿针引线法求解．原不等式可改写为 3x2－x（2x－1）＞0. 2x－1
【思路探究】【自主解答】即
x（x＋1）＞0， 2x－1
此不等式可转化成 x(x＋1)(2x－1)＞0，函数 f(x)＝x(x＋1)(2x－1)的函数值的符号如图所示．

高中数学第三章不等式 3.2.2 一元二次不等式的应用学案(含解析)北师大版必修5-北师大版高二

2．2 一元二次不等式的应用知识点一简单的分式不等式的解法[填一填][答一答]1．请写出分式不等式ax ＋b cx ＋d ≥0，ax ＋bcx ＋d≤0的同解不等式．提示：⎩⎪⎨⎪⎧(ax ＋b )(cx ＋d )≥0，cx ＋d ≠0，⎩⎪⎨⎪⎧(ax ＋b )(cx ＋d )≤0，cx ＋d ≠0.知识点二用穿针引线法解简单的一元高次不等式f(x)>0的步骤[填一填](1)将f(x)最高次项的系数化为正数；(2)将f(x)分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式之积；(3)将每一个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线(注意重根情况，偶次方根穿而不过，奇次方根既穿又过)；(4)根据曲线显现出的f(x)值的符号变化规律，写出不等式的解集．[答一答]2．“穿针引线法”解不等式所用的数学思想是什么？提示：数形结合的思想方法．解一般分式不等式的方法解分式不等式的关键是先把不等式的右边化为零，再通分把它化成f(x)g(x)>0(或≥0或<0或≤0)的形式，最后通过符号的运算法则，把它转化成整式不等式求解，其中：f(x) g(x)>0⇔f(x)·g(x)>0，f(x)g(x)>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f(x)>0g(x)>0或⎩⎪⎨⎪⎧f(x)<0g(x)<0，f(x) g(x)≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f(x)·g(x)≥0g(x)≠0⇔f(x)g(x)>0或f(x)＝0，f(x) g(x)≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f(x)≥0g(x)>0或⎩⎪⎨⎪⎧f(x)≤0g(x)<0.一般地，解分式不等式的过程，体现了分式不等式与整式不等式之间的转化，这种转化必须保证不等式前后的等价性．类型一根的分布问题【例1】已知关于x 的方程8x 2－(m －1)x ＋m －7＝0有两实根． (1)如果两实根都大于1，求实数m 的取值范围； (2)如果两实根都在区间(1,3)内，求实数m 的取值范围； (3)如果一个根大于2，另一个根小于2，求实数m 的取值范围．【思路探究】本题属于一元二次方程根的分布问题，一元二次方程的根就是相应的二次函数的零点，即二次函数与x 轴交点的横坐标．根据方程根的分布情况可知二次函数图像的大致情况，从而转化成不等式(组)的形式，求解即可．【解】 (1)方法一：设函数f (x )＝8x 2－(m －1)x ＋m －7，作其草图，如右图．若两实根均大于1，则⎩⎨⎧Δ＝[－(m －1)]2－32(m －7)≥0，f (1)＝2>0，m －116>1，即⎩⎨⎧m ≥25或m ≤9，m ∈R ，m >17.所以m ≥25.方法二：设方程的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝m －18，x 1x 2＝m －78，因为两根均大于1，所以x 1－1>0，x 2－1>0，故有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝[－(m －1)]2－32(m －7)≥0，(x 1－1)＋(x 2－1)>0，(x 1－1)(x 2－1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧[－(m －1)]2－32(m －7)≥0，m －18－2>0，m －78－m －18＋1>0.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥25或m ≤9，m >17，m ∈R .所以m ≥25.(2)设函数f (x )＝8x 2－(m －1)x ＋m －7.若方程的两根x 1，x 2∈(1,3)，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，f (1)>0，f (3)>0，1<m －116<3，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≥25或m ≤9，m ∈R ，m <34，17<m <49.所以25≤m <34.(3)若一根大于2，另一根小于2，则f (2)<0，即27－m <0，解得m >27.规律方法一元二次方程根的分布问题的处理方法1．若可转化为根的不等关系，则可直接运用根与系数的关系求解． 2．借助相应的二次函数图像，运用数形结合的思想求解，步骤如下： (1)根据题意画出符合条件的二次函数图像，标清交点所在区间； (2)运用判别式、对称轴及区间端点处的函数值的符号来确定图像的位置；(3)解不等式组，即得变量的取值范围．已知关于x 的方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0.(1)若方程的一个根大于2、一个根小于2，求实数m 的取值范围； (2)若方程的两个根都在(0,2)内，求实数m 的取值范围．解：(1)令f (x )＝x 2＋(m －3)x ＋m ，因为关于x 的方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0的一个根大于2、一个根小于2，所以f (2)＝4＋(m －3)·2＋m <0，解得m <23.(2)若关于x 的方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0的两个根都在(0,2)内，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(m －3)2－4m ≥0，0<3－m2<2，f (0)＝m >0，f (2)＝3m －2>0，解得23<m ≤1.类型二高次不等式的解法【例2】解下列不等式． (1)x 3－2x 2＋3<0； (2)(x ＋1)(1－x )(x －2)>0； (3)x (x －1)2(x ＋1)3(x ＋2)≥0.【思路探究】通过因式分解，把高次不等式化为一元一次不等式或一元二次不等式的积问题，然后再依据相关性质解答．【解】 (1)原不等式可化为(x ＋1)(x 2－3x ＋3)<0，而对任意实数x ，恒有x 2－3x ＋3>0(∵Δ＝(－3)2－12<0)．∴原不等式等价于x ＋1<0， ∴原不等式的解集为{x |x <－1}．(2)原不等式等价于(x －1)(x －2)(x ＋1)<0，令y ＝(x －1)(x －2)(x ＋1)，当y ＝0时，各因式的根分别为1,2，－1，如图所示．可得不等式的解集为{x|x<－1或1<x<2}．(3)∵方程x(x－1)2(x＋1)3(x＋2)＝0的根依次为0,1，－1，－2，其中1为双重根，－1为三重根(即1为偶次根，－1为奇次根)，如图所示，由“穿针引线法”可得不等式的解集为{x|－2≤x≤－1或x≥0}．规律方法解高次不等式用穿针引线法简捷明了，使用此法时一定要注意：①所标出的区间是否是所求解的范围，可取特值检验，以防不慎造成失误；②是否有多余的点，多余的点应去掉；③总结规律，“遇奇次方根一穿而过，遇偶次方根只穿，但不过”．解不等式(x＋4)(x＋5)2(2－x)3<0.解：原不等式等价于(x＋4)(x＋5)2(x－2)3>0.在数轴上标出－5，－4,2表示的点，如图所示，由图可知原不等式的解集为{x|x<－5或－5<x<－4或x>2}．类型三分式不等式的解法【例3】解不等式x2－4x＋13x2－7x＋2<1.【思路探究】解分式不等式一般首先要化为f(x)g(x)>0(或<0)的标准形式，再等价转化为整式不等式或化为一次因式积的形式来用“穿针引线法”，借助于数轴得解．【解】解法一：原不等式可化为2x 2－3x ＋13x 2－7x ＋2>0⇔(2x 2－3x ＋1)(3x 2－7x ＋2)>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 2－3x ＋1>0，3x 2－7x ＋2>0或⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－3x ＋1<0，3x 2－7x ＋2<0.解得原不等式的解集为{x |x <13或12<x <1或x >2}．解法二：原不等式移项，并因式分解得(2x －1)(x －1)(3x －1)(x －2)>0⇔(2x －1)(x －1)(3x －1)(x －2)>0，在数轴上标出(2x －1)(x －1)(3x －1)(x －2)＝0的根，并画出示意图，如图所示．可得原不等式的解集为{x |x <13或12<x <1或x >2}．规律方法解分式不等式的思路方法是等价转化为整式不等式，本题的两种解法在等价变形中主要运用了符号法则，故在求解分式不等式时，首先应将一边化为零，再行解决．解不等式x 2－6x ＋512＋4x －x 2<0.解：原不等式化为(x －1)(x －5)(x ＋2)(x －6)>0.画数轴，找因式根，分区间，定符号．在各个区间内，(x －1)(x －5)(x ＋2)(x －6)的符号如下：∴原不等式解集是{x |x <－2或1<x <5或x >6}．类型四一元二次不等式的应用【例4】当a 为何值时，不等式(a 2－1)x 2－(a －1)x －1<0的解是全体实数．【思路探究】利用函数与不等式之间的关系，问题可转化为函数y ＝(a 2－1)x 2－(a －1)x －1的图像恒在x 轴下方．【解】 ①当a 2－1≠0，即a ≠±1时，原不等式的解集为R 的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1<0，Δ＝[－(a －1)]2＋4(a 2－1)<0，解得－35<a <1.②当a 2－1＝0，即a ＝±1时，若a ＝1，则原不等式为－1<0，恒成立．若a ＝－1，则原不等式为2x －1<0，即x <12，不符合题目要求，舍去．综上所述，当－35<a ≤1时，原不等式的解为全体实数．规律方法此类问题主要考查二次函数与二次不等式之间关系的应用，可以借助二次函数图像的开口方向以及与x 轴的交点情况解决，一般地有如下结论：(1)不等式ax 2＋bx ＋c >0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a ＝0时，b ＝0，c >0；当a ≠0时，⎩⎨⎧a >0Δ<0；不等式ax 2＋bx ＋c <0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a ＝0时，b＝0，c <0；当a ≠0时，⎩⎨⎧a <0Δ<0.类似地，还有f (x )≤a 恒成立⇔[f (x )]max ≤a .f (x )≥a 恒成立⇔[f (x )]min ≥a .(2)讨论形如ax 2＋bx ＋c >0的不等式恒成立问题必须对a ＝0或a ≠0分类讨论，否则会造成漏解，切记！已知关于x 的一元二次不等式ax 2＋ax ＋a －1<0的解集为R ，求a 的取值范围．解：关于x 的一元二次不等式ax 2＋ax ＋a －1<0的解集为R ，所以有⎩⎨⎧a <0a 2－4a (a －1)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a <0a >43或a <0，所以a <0.【例5】有纯农药液一桶，倒出8 L 后用水补满，然后又倒出4 L 后再用水补满，此时桶中农药液的浓度不超过28%，则桶的容积最大为多少？【思路探究】如果桶的容积为x L ，那么第一次倒出8 L 纯农药液，桶内还有(x －8) L 纯农药液，用水补满后，桶中农药液的浓度为x －8x ×100%.第二次又倒出4 L 农药液，则倒出的纯农药液为4(x －8)x L ，此时桶内有纯农药液⎣⎡⎦⎤(x －8)－4(x －8)x L.【解】设桶的容积为x L. 依题意，得(x －8)－4(x －8)x≤28%·x .∵x >0，∴原不等式可化简为9x 2－150x ＋400≤0，即(3x －10)(3x －40)≤0，∴103≤x ≤403，又x >8，∴8<x ≤403，∴桶的最大容积为403L.规律方法对于一元二次不等式的实际应用问题，先要读懂题意，找出与实际问题对应的数学模型，转化为数学问题解决．同时，必须注意其定义域要有实际意义．某校园内有一块长为800 m，宽为600 m的长方形地面，现要对该地面进行绿化，规划四周种花卉(花卉带的宽度相同)，中间种草坪，如图，若要求草坪的面积不小于总面积的一半，求花卉带宽度的范围．解：设花卉带宽度为x m，则草坪的长为(800－2x) m，宽为(600－2x) m，根据题意，得(800－2x)(600－2x)≥12×800×600，整理，得x2－700x＋60 000≥0，解得x≥600(舍去)或x≤100，由题意知x>0，所以0<x≤100.即当花卉带的宽度在(0,100]内取值时，草坪的面积不小于总面积的一半.——易错警示系列——解不等式时同解变形出错解不等式的关键是利用不等式的性质进行同解变形，需要注意两个方面：一是注意不等式中所含式子有意义的条件，如解分式不等式、无理不等式、对数不等式时应该注意分母不为零、开偶次方根时被开方数非负、对数的真数大于零，这是转化为整式不等式的过程中进行同解变形容易忽视的问题；二是在解一次不等式的过程中要准确利用不等式的性质进行同解变形，主要是系数化为1的过程中，不等式两边要同时乘以或同时除以同一个数，要注意该数的符号对不等式符号的影响，如果是正数，不等号的方向不变，如果是负数，不等号的方向要改变．【例6】解不等式3x－5x2＋2x－3≥2.【错解】原不等式化为3x －5≥2(x 2＋2x －3)，∴2x 2＋x －1≤0，∴－1≤x ≤12. 【错解分析】错用不等式性质，直接将不等式化为3x －5≥2(x 2＋2x －3)，没有等价转化导致错误．【正解】原不等式化为3x －5x 2＋2x －3－2≥0，即－2x 2－x ＋1x 2＋2x －3≥0. 整理得(2x －1)(x ＋1)(x －1)(x ＋3)≤0，不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧(2x －1)(x ＋1)(x －1)(x ＋3)≤0，(x －1)(x ＋3)≠0，解得－3<x ≤－1或12≤x <1. 所以原不等式的解集为{x |－3<x ≤－1或12≤x <1}．不等式x ＋5(x －1)2≥2的解集是{x |－12≤x ≤3，且x ≠1}．一、选择题1．不等式x x －1<2的解集是( D ) A ．{x |x >1}B ．{x |x <2}C ．{x |1<x <2}D ．{x |x <1或x >2}解析：原不等式可化为x x －1－2<0，即x －2x －1>0，等价于(x －1)(x －2)>0，∴x >2或x <1. 2．不等式1x ＋1(x －1)(x －2)2(x －3)<0的解集是( B ) A ．(－1,1)∪(2,3)B ．(－∞，－1)∪(1,2)∪(2,3)C ．(－∞，－1)∪(1,3)D ．R解析：利用“穿针引线法”，如图所示．∴不等式的解集是(－∞，－1)∪(1,2)∪(2,3)．二、填空题3．方程(2m ＋1)x 2－2mx ＋(m －1)＝0有一正根和一负根，则实数m 的取值范围是－12<m <1. 解析：因为方程(2m ＋1)x 2－2mx ＋(m －1)＝0有一正根和一负根，所以判别式大于零，同时两根之积小于零，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋1≠0，4m 2－4(2m ＋1)(m －1)>0，m －12m ＋1<0，解得－12<m <1. 4．不等式2－x x ＋4>0的解集是(－4,2)．解析：不等式2－x x ＋4>0等价于(x －2)(x ＋4)<0， ∴－4<x <2.5．不等式(x －1)(x ＋2)(x ＋3)<0的解集是{x |x <－3或－2<x <1}．解析：画出数轴，如图，其解集为{x |x <－3或－2<x <1}．。

数学第三章不等式 3.2.2 一元二次不等式的应用教案北师大版必修5 教案

3.2.2一元二次不等式的应用1．有如图3-2-1所示的两种广告牌，其中图(1)是由两个等腰直角三角形构成的，图(2)是一个矩形，从图形上看，这两个广告牌面积的大小关系为________，并将这种大小关系用含字母a ，b 的不等式表示出来为________．图3-2-12．一辆汽车原来每天行驶x km ，如果这辆汽车每天行驶的路程比原来多19km ，那么在8天内它的行程超过2 200 km ，写成不等式为________；如果它每天行驶的路程比原来少12 km ，那么它原来行驶8天的路程就得花9天多的时间，用不等式表示为________． 3．现有含盐7%的食盐水200 g ，生产上需要含盐5%以上、6%以下的食盐水，设需要加入含盐4%的食盐水为x g ，则x 的取值范围是________．新知探究建立基本的一元二次不等式模型，并解出来。

引入分式不等式，带领学生一起研究两种分式不等式的解法，并探讨规律。

1.商场购进某种商品m 件，每件按进价加价30元售出全部商品的65%，然后再降价10%，这样每件仍可获利18元，又售出全部商品的25%。

(1)试求该商品的进价和第一次的售价；(2)为了确保这批商品总的利润率不低于25%，剩余商品的售价应不低于多少元？2.水果店进了某中水果1t ，进价是7元/kg 。

售价定为10元/kg ，销售一半以后，为了尽快售完，准备打折出售。

如果要使总利润不低于2000元，那么余下的水果可以按原定价的几折出售？提出问题①回忆一元二次不等式、一元二次方程、二次函数的关系.②如何根据实数运算的符号法则转化分式不等式？练习完分式不等式之后，再将实际问题放出来，让学生再次练习。

当堂检测有效练习2.一次知识竞赛共有15道题。

竞赛规则是：答对1题记8分，答错1题扣4分，不答记0分。

结果神箭队有2道题没答，飞艇队答了所有的题，两队的成绩都超过了90分，两队分别至少答对了几道题？3.某公司需刻录一批光盘（总数不超过100张），若请专业公司刻录，每张需。

2018-2019学年北师大版必修五 3.2.2一元二次不等式的应用课件(29张)

价为 12 万元/辆，年销售量为 10 000 辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为 x(0 ＜x＜1)，则出厂价相应地提高比例为 0.75x，同时预计年销售量增加的比例为 0.6x，已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．
(1)写出本年度预计的年利润 y 与投入成本增加的比例 x 的关系式； (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例 x 应在什么范围内？
• 即x2－10x＋24≤0，得4≤x≤6.
• 最高定价：当x＝6 时，2＋0.2x＝3.2(元)；
• 最低定价：当x＝4时，2＋0.2x＝ 2.8(元)．
• 故杂志定价应在2.8元到3.2元之间．
• 令y＝(2＋0.2x)(100 000－5 000x)
• ＝－1 000(x2－10x)＋200 000
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一元二次不等式的实际应用练习某摩托车生产企业，上年度生产车的投入成本为 1 万元/辆，出厂价为 1.2 万元/辆，年销售量为 1 000 辆，本年度为适应市场需要，计划提高产品档次，适度增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为 x(0<x<1)，则出厂价相应提高的比例为 0.75x，同时预计年销量增加的比例为 0.6x，已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量． (1)写出本年度预计的年利润 y 与投入成本增加的比例 x 之间的关系式； (2)为使本年度的利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例 x 应在什么范围内？
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解：(1)由题意得 y＝[12(1＋0.75x)－10(1＋x)]×10 000×(1＋0.6x)(0 ＜x＜1)，
整理得 y＝－6 000x2＋2 000 x＋20 000(0＜x＜1)． (2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必须有 y－12－10×10 000＞0， 0＜x＜1，即－ 0＜6x0＜001x，2＋2 000x＞0，解得 0＜x＜13，所以投入成本增加的比例应在0，13范围内．

高中数学北师大版必修五3.2.2【教学设计】《一元二次不等式的应用》

《一元二次不等式的应用》一元二次不等式的应用非常广泛，它贯穿于整个高中数学的始终，诸如集合问题，方程解的讨论，函数定义域、值域的确定等，都与不等式有着密切的关系。

一元二次不等式在生产生活中也有广泛的应用。

一元二次不等式的应用在教材上共安排了4个例题。

前2个体现了一元二次不等式的解的情况与不等式的解之间的转化关系，以及分式不等式与整式不等式之间的转化。

这两个例题均体现了一种形式之间的转化。

由此向学生点明，在解数学题时转化的必要性，让学生体会转化的数学思想方法．第3个例题是简单的高次不等式，主要是试图让学生体会，如何将前面解一元二次不等式的数形结合的思想方法，用在解决一个没有见过的新的较复杂的不等式的求解中。

既是一种思维上的创新，同时也是一种挑战．教学时要注重分析过程，从分析所显示的函数的各种信息中，想象出函数图像的轮廓，从而得出不等式的解。

整个解题过程体现了一种方法的类比与转化，但在教学中应控制难度，只限于a ≠0时形如a (x －x 1)(x －x 2)(x －x 3)＞0(＜0)的不等式。

最后一个例题是一元二次不等式的应用题，有一定难度。

主要是问题叙述文字较长，条件较多，一时难以把握。

其关键是如何把文字语言转化成数学语言。

教学时可以告诉学生，这个问题的分析过程具有典型意义，在今后对此类问题的解决中应当注意把一个大问题化成若干小问题的思维习惯，化整为零。

在把实际问题中的文字语言转换成数学语言的同时，要注意问题答案的实际意义，还要增强解决问题的自信心，不要被问题的表面形式所吓倒。

【知识与能力目标】围绕一元二次不等式的解法展开，突出体现数形结合思想。

【过程与方法目标】根据实数运算的符号法则，会将分式不等式与简单的高次不等式转化为与其等价的两个或多个不等式，同时注意分式不等式的同解变形。

【情感态度价值观目标】通过一元二次不等式的应用的学习，体会转化与归纳、数形结合思想的运用，体验数学的奥妙与数学美，激发学生的学习兴趣。

高二数学北师大版必修5教学教案3-2-2一元二次不等式的应用(2)Word版含解析

简单分式不等式的解法【教学课题】简单分式不等式的解法【授课时数】1课时【教学设想】分式不等式解法新授时，注重学生的主动参与性，通过讨论练习，培养学生探究问题和解决问题的能力.本堂课的重点是让学生探究归纳总结分式不等式的解法.在讲授新课前,复习一元二次不等式和高次不等式的解法,引出分式不等式的定义.在教学中,和学生一起讨论、探究分式不等式的解法，给出解题方法.教材介绍了分式不等式的两种解法：（1）化为不等式组；（2）化为整式不等式.但是，由于学生的基础一般，学生的认知水平属中等.大部分的学生在学习上不够自信，如果两种方法都讲授，学生容易混淆，比较难接受.因此，这节课我仅讲授了一种方法：通过化商为积，将分式不等式化为整式不等式（即一元二次不等式或高次不等式）来求解.因为学生在上一课时就已经学过一元二次不等式和高次不等式的解法，所以，学生对这种方法容量理解，达到事半功倍的效果.通过大量的例题和练习，让学生掌握和巩固分式不等式的解法，特别注意计算易错处.【教材分析】所用的教材是北师大版《数学》必修五.分式不等式的解法是第三章第二节的内容，这个内容在教材的编排上与一元二次不等式及高次不等式的解法联贯，相辅相成.【学生分析】高一（6）班的学生认知水平属中等，数学基础一般，但他们乐于思考，学习积极性高，自学和探究能力不错，多加强调解分式不等式的过程及计算易错处.【教学目标】1.知识与技能：理解并掌握分式不等式的解法；2.过程与方法：通过学生探究总结出分式不等式的解法，体会数学化归思想方法；3.情感态度价值观：通过探究练习，学生勇于探索的精神的增强，思维的灵活性、知识的迁移以及分析解决问题能力得到提升，从而激发数学学习成功的喜悦和学习数学的兴趣．【教学重点】分式不等式的解法.【教学难点】等价变换.【教学方法】讲授法、引导探究法、练习法.【教学过程】后续【教学反思】学生总体上对各种类型分式不等式的解法掌握不错，学习的积极性比较高，学习兴趣得以激发。

2018版高中数学北师大版必修五学案：第三章不等式 2.2 一元二次不等式的应用 Word版含答案

2.2 一元二次不等式的应用[学习目标] 1.会解可化为一元二次不等式(组)的简单分式不等式.2.能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型，并加以解决．知识点一分式不等式的解法主导思想：化分式不等式为整式不等式类型同解不等式f (x )g (x )＞0(＜0) 法Ⅰ：⎩⎪⎨⎪⎧ f (x )＞0(＜0)g (x )＞0或⎩⎪⎨⎪⎧ f (x )＜0(＞0)g (x )＜0 法Ⅱ：f (x )·g (x )＞0(＜0)f (x )g (x )≥0(≤0) 法Ⅰ：⎩⎪⎨⎪⎧ f (x )≥0(≤0)g (x )＞0或⎩⎪⎨⎪⎧f (x )≤0(≥0)g (x )＜0 f (x )g (x )＞a ⎝ ⎛⎭⎪⎫＜a ≥a ≤a先移项转化为上述两种形式一元高次不等式f (x )＞0常用数轴穿针引线法(或称穿根法、根轴法、区间法)求解，其步骤是：(1)将f (x )最高次项的系数化为正数；(2)将f (x )分解为若干个一次因式或二次不可分解因式的积；(3)将每一个根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线(注意重根情况，偶重根穿而不过，奇重根既穿又过)；(4)根据曲线显现出的f (x )值的符号变化规律，写出不等式的解集．思考 (x －1)(x －2)(x －3)2(x －4)＞0的解集为______________．答案 {x |1＜x ＜2或x ＞4}解析利用数轴穿根法题型一解分式不等式例1 解下列不等式：(1)x ＋43－x ＜0；(2)x ＋1x －2≤2. 解 (1)由x ＋43－x ＜0，得x ＋4x －3＞0，此不等式等价于(x ＋4)(x －3)＞0，∴原不等式的解集为{x |x ＜－4或x ＞3}．(2)方法一移项得x ＋1x －2－2≤0，左边通分并化简有－x ＋5x －2≤0，即x －5x －2≥0，同解不等式为⎩⎪⎨⎪⎧(x －2)(x －5)≥0，x －2≠0，∴x ＜2或x ≥5.∴原不等式的解集为{x |x ＜2或x ≥5}．方法二原不等式可化为x －5x －2≥0，此不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x －5≥0，x －2＞0① 或⎩⎪⎨⎪⎧ x －5≤0，x －2＜0，② 解①得x ≥5，解②得x ＜2，∴原不等式的解集为{x |x ＜2或x ≥5}．反思与感悟分式不等式的解法：先通过移项、通分整理成标准型f (x )g (x )＞0(<0)或f (x )g (x )≥0(≤0)，再化成整式不等式来解．如果能判断出分母的正负，直接去分母也可．。

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2．2 一元二次不等式的应用学习目标 1.会解简单的分式不等式和高次不等式.2.能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型，并加以解决.3.掌握与一元二次不等式有关的恒成立问题的解法．知识点一分式不等式的解法思考x －3x ＋2>0与(x －3)(x ＋2)>0等价吗？将x －3x ＋2>0变形为(x －3)(x ＋2)>0，有什么好处？梳理一般的分式不等式的同解变形法则： (1)f (x )g (x )>0⇔________； (2)f (x )g (x )≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧，；(3)f (x )g (x )≥a ⇔f (x )－ag (x )g (x )≥0. 知识点二穿针引线法解高次不等式思考分别画出y ＝x －1，y ＝(x －1)(x －2)，y ＝(x －1)(x －2)(x －3)的图像，并观察它们与相应的x －1>0，(x －1)(x －2)>0，(x －1)(x －2)(x －3)>0的关系．梳理一般地f (x )＝(x －a )(x －b )(x －c )(a <b <c )的图像是一条连续不断的曲线，且f (x )的符号每顺次经过____________就会发生一次变化，从右到左在区间____________________上f (x )的符号正负相间．如图．故解不等式(x －a )(x －b )(x －c )>0(或<0)时，只需先在x 轴上标出“针眼”(a,0)，(b,0)，(c,0)．再从点(c,0)右上方开始穿针引线依次穿过(c,0)，(b,0)，(a,0)，然后根据需要拣取相应区间，如解(x －a )(x －b )(x －c )>0.则拣取区间(a ，b )∪(c ，＋∞)，即为所求解集．知识点三一元二次不等式恒成立问题思考 x －1>0在区间[2,3]上恒成立的几何意义是什么？区间[2,3]与不等式x －1>0的解集有什么关系？梳理一般地，“不等式f (x )>0在区间[a ，b ]上恒成立”的几何意义是函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图像全部在x 轴____方．区间[a ，b ] 是不等式f (x )>0的解集的________．恒成立的不等式问题通常转化为求最值问题，即：若f (x )有最大值，则k ≥f (x )恒成立⇔k ≥________；若f (x )有最小值，则k ≤f (x )恒成立⇔k ≤________.类型一一元二次不等式在生活中的应用例1 某种汽车在水泥路面上的刹车距离(刹车距离是指汽车刹车后由于惯性往前滑行的距离)s m 和汽车车速x km/h 有如下关系：s ＝120x ＋1180x 2.在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5 m ，那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少？(精确到0.01 km/h)反思与感悟一元二次不等式应用题常以二次函数为模型，解题时要弄清题意，准确找出其中的不等关系，再利用一元二次不等式求解，确定答案时应注意变量具有的“实际含义”．跟踪训练1 在一个限速40 km /h 的弯道上，甲，乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m ，乙车的刹车距离略超过10 m ．又知甲，乙两种车型的刹车距离S m 与车速x km/h 之间分别有如下关系：S 甲＝0.1x ＋0.01x 2，S 乙＝0.05x ＋0.005x 2.问谁应负超速行驶主要责任．类型二分式不等式和高次不等式的解法例2 解下列不等式： (1)x －3x ＋2<0； (2)x ＋12x －3≤1； (3)(3x －1)(x ＋3)(x ＋1)<0.反思与感悟分式不等式的解法：先通过移项、通分整理成标准型f (x )g (x )>0(<0)或f (x )g (x )≥0(≤0)，再化成整式不等式来解．如果能判断出分母的正负，直接去分母也可以．跟踪训练2 解下列不等式． (1)2x －13x ＋1≥0； (2)2－x x ＋3>1；(3)(2x －1)(1－x )3x ＋1≥0.类型三不等式的恒成立问题例3 设函数f (x )＝mx 2－mx －1.(1)若对于一切实数x ，f (x )<0恒成立，求m 的取值范围； (2)对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围．反思与感悟有关不等式恒成立求参数的取值范围，通常有两种处理方法(1)考虑能否进行参变量分离，若能，则构造关于变量的函数，转化为求函数的最大(小)值，从而建立参变量的不等式．(2)若参变量不能分离，则应构造关于变量的函数(如一次函数、二次函数)，并结合图像建立参变量的不等式求解．跟踪训练3 当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则m 的取值范围是________．1．若不等式x 2＋mx ＋1≥0的解集为R ，则实数m 的取值范围是( ) A ．m ≥2B ．m ≤－2C ．m ≤－2或m ≥2D ．－2≤m ≤22．若产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系式是y ＝3 000＋20x －0.1x 2(0<x <240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是( )A ．100台B ．120台C ．150台D ．180台 3．解不等式(1－2x )(x －1)x －2≥0.4．解下列不等式：(1)x －1x －2≥0； (2)2x －13－4x>1.1．解分式不等式时，一定要等价变形为一边为零的形式，再化归为一元二次不等式(组)求解．当不等式含有等号时，分母不为零．2．对于有的恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法．这是因为将参数予以分离后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决．当然这必须以参数容易分离作为前提．分离参数时，经常要用到下述简单结论：(1)a>f(x)恒成立⇔a>f(x)max；(2)a<f(x)恒成立⇔a<f(x)min. 3．解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，选择其中起关键作用的未知量为x，用x来表示其他未知量，根据题意，列出不等关系再求解．4．用穿针引线法解不等式时注意先把各因式中x的系数化为正数．答案精析问题导学知识点一思考等价；好处是将不熟悉的分式不等式化归为已经熟悉的一元二次不等式．梳理(1)f(x)·g(x)>0(2)f(x)·g(x)≤0g(x)≠0知识点二思考梳理x轴的一个交点(c，＋∞)，(b，c)，(a，b)，(－∞，a)知识点三思考x－1>0在区间[2,3]上恒成立的几何意义是函数y＝x－1在区间[2,3]上的图像恒在x 轴上方．区间[2,3]内的元素一定是不等式x－1>0的解，反之不一定成立，故区间[2,3]是不等式x－1>0的解集的子集．梳理上子集f(x)max f(x)min题型探究例1解设这辆汽车刹车前的车速至少为x km/h，根据题意，得120x＋1180x2>39.5.移项整理，得x2＋9x－7 110>0.显然Δ>0，x2＋9x－7 110＝0有两个实数根，即x1≈－88.94，x2≈79.94.然后，根据二次函数y＝x2＋9x－7 110的图像，得不等式的解集为{x|x<－88.94或x>79.94}．在这个实际问题中，x>0，所以这辆汽车刹车前的车速至少为79.94 km/h. 跟踪训练1解由题意列出不等式S甲＝0.1x甲＋0.01x2甲>12，S乙＝0.05x乙＋0.005x2乙>10.分别求解，得x 甲<－40或x 甲>30，x 乙<－50或x 乙>40. 由于x >0，从而得x 甲>30 km /h ，x 乙>40 km/h. 经比较知乙车超过限速，应负主要责任．例2 解 (1)x －3x ＋2<0⇔(x －3)(x ＋2)<0⇔－2<x <3，∴原不等式的解集为{x |－2<x <3}． (2)∵x ＋12x －3≤1，∴x ＋12x －3－1≤0，∴－x ＋42x －3≤0，即x －4x －32≥0.此不等式等价于(x －4)⎝⎛⎭⎫x －32≥0且x －32≠0，解得x <32或x ≥4.∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <32或x ≥4. (3)令(3x －1)(x ＋3)(x ＋1)＝0，得x 1＝－3，x 2＝－1，x 3＝13.如图穿针引线．(3x －1)(x ＋3)(x ＋1)<0的解集为(－∞，－3)∪(－1，13)．跟踪训练2 解 (1)原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧(2x －1)(3x ＋1)≥0，3x ＋1≠0.解得⎩⎨⎧x ≤－13或x ≥12，x ≠－13.∴x <－13或x ≥12，∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－13或x ≥12.(2)方法一原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3>0，2－x >x ＋3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3<0，2－x <x ＋3. 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x >－3，x <－12或⎩⎪⎨⎪⎧x <－3，x >－12.∴－3<x <－12，∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－3<x <－12.方法二原不等式可化为(2－x )－(x ＋3)x ＋3>0，化简得－2x －1x ＋3>0，即2x ＋1x ＋3<0，∴(2x ＋1)(x ＋3)<0，解得－3<x <－12.∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－3<x <－12.(3)原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧(3x ＋1)(2x －1)(x －1)≤0，3x ＋1≠0. 令(3x ＋1)(2x －1)(x －1)＝0，得x 1＝－13，x 2＝12，x 3＝1.如图穿针引线：由图知⎩⎪⎨⎪⎧(3x ＋1)(2x －1)(x －1)≤0，3x ＋1≠0的解集为(－∞，－13)∪[12，1]．例3 解 (1)要使mx 2－mx －1<0恒成立，若m ＝0，显然－1<0，满足题意；若m ≠0，⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝m 2＋4m <0⇒－4<m <0. ∴－4<m ≤0.(2)方法一要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立．就要使m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立．令g (x )＝m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]．当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数， ∴g (x )max ＝g (3)＝7m －6<0， ∴0<m <67；当m ＝0时，－6<0恒成立；当m <0时，g (x )是减函数，∴g (x )max ＝g (1)＝m －6<0，得m <6，∴m <0. 综上所述：m <67.方法二当x ∈[1,3]时，f (x )<－m ＋5恒成立，即当x ∈[1,3]时，m (x 2－x ＋1)－6<0恒成立． ∵x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34>0，又m (x 2－x ＋1)－6<0， ∴m <6x 2－x ＋1.∵函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝⎛⎭⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，∴只需m <67即可．跟踪训练3 (－∞，－5]解析构造函数f (x )＝x 2＋mx ＋4，x ∈[1,2]，则f (x )在[1,2]上的最大值为f (1)或f (2)．由于当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立．则有⎩⎪⎨⎪⎧f (1)≤0f (2)≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧1＋m ＋4≤04＋2m ＋4≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧m ≤－5m ≤－4⇔m ≤－5. 当堂训练 1．D 2.C3．解原不等式可化为 ⎩⎪⎨⎪⎧(x －12)(x －1)(x －2)≤0，x ≠2，令(x －12)(x －1)(x －2)＝0，得x 1＝12，x 2＝1，x 3＝2.穿针引线如图：由图知，解集为(－∞，12]∪[1,2)．4．解 (1)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)(x －2)≥0，x －2≠0.解得x ≤1或x >2，∴原不等式的解集为{x |x ≤1或x >2}．(2)原不等式可改写为2x －14x －3＋1<0，即6x －44x －3<0，∴(6x －4)(4x －3)<0， ∴23<x <34， ∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪23<x <34.。

2018年秋新课堂高中数学北师大版必修五学案：第3章 §2 2.2 一元二次不等式的应用

2.2一元二次不等式的应用学习目标：1.会解简单的分式不等式和简单的高次不等式．(重点)2.会求解方程根的存在性问题和不等式恒成立问题．(重点、难点)[自主预习·探新知]1．分式不等式的解法阅读教材P82“例10”以上部分，完成下列问题．(1)f(x)g(x)＞0与f(x)·g(x)＞0同解．(2)f(x)g(x)＜0与f(x)·g(x)＜0同解．(3)f(x)g(x)≥0与f(x)·g(x)≥0且g(x)≠0同解．(4)f(x)g(x)≤0与f(x)·g(x)≤0且g(x)≠0同解．思考：(1)不等式f(x)g(x)≥0与f(x)·g(x)＞0或f(x)＝0同解吗？[提示] 同解．(2)解分式不等式的主导思想是什么？[提示] 化分式不等式为整式不等式．2．高次不等式的解法阅读教材P82“例10”以下至P83“练习1”以上部分，完成下列问题．如果把函数f(x)图像与x轴的交点形象地看成“针眼”，函数f(x)的图像看成“线”，那么这种求解不等式的方法，我们形象地把它称为穿针引线法．思考：(1)解一元二次不等式可以用穿针引线法吗？[提示] 可以(2)应用穿针引线法解高次不等式f(x)＞0，对f(x)的最高次项的系数有什么要求吗？[提示] 把f(x)最高次项的系数化为正数．[基础自测]1．判断正误 (1)不等式3x ＋5x ＋1＞2与3x ＋5＞2(x ＋1)同解．( ) (2)x －1x ＋2≤0与(x －1)(x ＋2)≤0同解．( ) (3)应用穿针引线法解不等式(x ＋2)2(x －3)＞0，可得其解集为(2,3)．( ) [解析] (1)错误，不等式3x ＋5x ＋1＞2与x ＋3x ＋1＞0同解；(2)错误，x －1x ＋2≤0与(x －1)(x ＋2)≤0且x ＋2≠0同解；(3)错误，(x ＋2)2(x －3)＞0的解集为(3，＋∞)． [答案] (1)× (2)× (2)× 2．函数f (x )＝x －1x 的定义域是________.【导学号：91022225】[解析] 由题意得x －1x ≥0，即x (x －1)≥0且x ≠0，解之得x ≥1或x ＜0，故其定义域是(－∞，0)∪[1，＋∞)．[答案] (－∞，0)∪[1，＋∞)3．不等式(x －1)(x ＋2)(x －3)＜0的解集为________． [解析] 如图所示：由图知原不等式的解集为(－∞，－2)∪(1,3)． [答案] (－∞，－2)∪(1,3)[合作探究·攻重难]【导学号：91022226】(1)x ＋43－x ＜0；(2)x ＋1x －2≤2；(3)(6x 2－17x ＋12)(2x 2－5x ＋2)＞0. [解] (1)由x ＋43－x ＜0，得x ＋4x －3＞0，此不等式等价于(x ＋4)(x －3)＞0，∴原不等式的解集为{x |x ＜－4或x ＞3}．(2)法一：移项得x ＋1x －2－2≤0，左边通分并化简有－x ＋5x －2≤0，即x －5x －2≥0，同解不等式为⎩⎪⎨⎪⎧(x －2)(x －5)≥0，x －2≠0，∴x ＜2或x ≥5.∴原不等式的解集为{x |x＜2或x ≥5}．法二：原不等式可化为x －5x －2≥0，此不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x －5≥0，x －2＞0 ①或⎩⎪⎨⎪⎧x －5≤0，x －2＜0，②解①得x ≥5，解②得x ＜2，∴原不等式的解集为{x |x ＜2或x ≥5}．(3)原不等式可化为(2x －3)(3x －4)(2x －1)(x －2)＞0，进一步化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32⎝ ⎛⎭⎪⎫x －43⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12(x －2)＞0，如图所示，得原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜12或43＜x ＜32或x ＞2.[规律方法]1．分式不等式的解法：先通过移项、通分整理成标准型f (x ) g (x )＞0(<0)或f (x )g (x )≥0(≤0)，再化成整式不等式来解．如果能判断出分母的正负，直接去分母也可．2．一元高次不等式f (x )＞0用穿针引线法求解，其步骤是： (1)将f (x )最高次项的系数化为正数；(2)将f (x )分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式之积；(3)将每一个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线(注意重根情况，偶次方根穿而不过，奇次方根既穿又过)；(4)根据曲线显现出的f (x )值的符号变化规律，写出不等式的解集． [跟踪训练]1．解下列不等式：(1)x ＋12x －3≥1；(2)x 4－2x 3－3x 2＜0. [解] (1)移项得x ＋12x －3－1≥0，即2－x 2x －3≥0，同解不等式为⎩⎪⎨⎪⎧(2－x )(2x －3)≥02x －3≠0，∴32＜x ≤2，故原不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤32，2.(2)原不等式可化为x 2(x －3)(x ＋1)＜0，当x ≠0时，x 2＞0，由(x －3)(x ＋1)＜0，得－1＜x ＜3；当x ＝0时，原不等式为0＜0，无解． ∴原不等式的解集为{x |－1＜x ＜3，且x ≠0}．每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a 万吨，政府为了鼓励个体多收购这种农产品，决定将征税率降低x(x≠0)个百分点，预测收购量可增加2x个百分点．(1)写出税收y(万元)与x的函数关系式；(2)要使此项税收在征税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围．[解](1)降低后的征税率为(10－x)%，农产品的收购量为a(1＋2x%)万吨，收购总金额为200a(1＋2x%)．依题意得，y＝200a(1＋2x%)(10－x)%＝150a(100＋2x)(10－x)(0＜x＜10)．(2)原计划税收为200a·10%＝20a(万元)．依题意得，150a(100＋2x)(10－x)≥20a×83.2%，化简得x2＋40x－84≤0，∴－42≤x≤2.又∵0＜x＜10，∴0＜x≤2.∴x的取值范围是{x|0＜x≤2}．[规律方法]解不等式应用题，一般可按以下四步进行：(1)阅读理解、认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系；(2)引进数学符号，用不等式表示不等关系；(3)解不等式；(4)回扣实际问题.[跟踪训练]2．在一个限速40 km/h以内的弯道上，甲，乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m．又知甲、乙两种车型的刹车距离S m与车速x km/h 之间分别有如下关系：S甲＝0.1x＋0.01x2，S乙＝0.05x＋0.005x2.问超速行驶谁应负主要责任.【导学号：91022227】[解] 由题意列出不等式S 甲＝0.1x ＋0.01x 2＞12，S 乙＝0.05x ＋0.005x 2>10. 分别求解，得x <－40或x >30. x <－50或x >40.由于x >0，从而得x 甲>30 km/h ，x 乙>40 km/h. 经比较知乙车超过限速，应负主要责任．[1．设f (x )＝mx 2＋2x ＋1，若f (x )＞0对任意的x ∈R 恒成立，f (x )的图像如何？求m 的范围．[提示] 由条件知m ＞0，即f (x )的图像开口向上，且和x 轴没有交点，故⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0Δ＝4－4m ＜0，解之得m ＞1. 2．设f (x )的值域是[1,2]，若f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围． [提示] a ≤13．设x ∈[3,4]，若存在x ∈[3,4]，使x ≥a ，求a 的取值范围． [提示] a ≤4设函数f (x )＝mx 2－mx －1.(1)若对于一切实数x ，f (x )＜0恒成立，求m 的取值范围； (2)对于任意x ∈[1,3]，f (x )＜－m ＋5恒成立，求m 的取值范围． [思路探究] (1)讨论m 的符号，结合函数f (x )的图像求解．(2)求f (x )的最大值，使其最大值小于－m ＋5；或分离参数m 后，转化为求函数的最值问题．[解] (1)要使mx 2－mx －1＜0恒成立，若m ＝0，显然－1＜0，满足题意；若m ≠0，⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，Δ＝m 2＋4m ＜0⇒－4＜m ＜0.∴－4＜m ≤0.(2)法一：要使f (x )＜－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立．就要使m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6＜0在x ∈[1,3]上恒成立．令g (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫m －122＋34m －6，x ∈[1,3]．当m ＞0时，g (x )在[1,3]上是增函数， ∴g (x )max ＝g (3)＝7m －6＜0， ∴0＜m ＜67；当m ＝0时，－6＜0恒成立；当m ＜0时，g (x )是减函数，∴g (x )max ＝g (1)＝m －6＜0，得m ＜6， ∴m ＜0.综上所述：m ＜67.法二：当x ∈[1,3]时，f (x )＜－m ＋5恒成立，即当x ∈[1,3]时，m (x 2－x ＋1)－6＜0恒成立． ∵x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34＞0，又m (x 2－x ＋1)－6＜0， ∴m ＜6x 2－x ＋1. ∵函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，∴只需m ＜67即可．母题探究：1.(变条件)把例3中的函数换为：f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋(5－2a )，若f (x )＞0对任意的x ∈R 都成立，求实数a 的取值范围．[解] 由题意可知，f (x )的图像开口向上，故要使f (x )＞0恒成立，只需Δ＜0即可，即(a －4)2－4(5－2a )＜0，解得－2＜a ＜2.母题探究：2.(变结论)例3的条件不变，若存在x ∈[1,3]，f (x )＜－m ＋5恒成立，求m 的取值范围．[解] 不等式f (x )＜－m ＋5可化为mx 2－mx －1＜－m ＋5，即m (x 2－x ＋1)＜6，由于x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34＞0，故原不等式等价于m ＜6x 2－x ＋1. 当x ∈[1,3]时，x 2－x ＋1∈[1,7]，故6x 2－x ＋1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤67，6，由题意可知m ＜6.[规律方法]有关不等式恒成立求参数的取值范围，通常有两种处理方法(1)考虑能否进行参变量分离，若能，则构造关于变量的函数，转化为求函数的最大(小)值，从而建立参变量的不等式.(2)若参变量不能分离，则应构造关于变量的函数(如一次函数、二次函数)，并结合图像建立参变量的不等式求解.[当堂达标·固双基]1．若集合A ＝{x |－1≤2x ＋1≤3}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x －2x ≤0，则A ∩B 等于( )A ．{x |－1≤x ＜0}B ．{x |0＜x ≤1}C ．{x |0≤x ＜2}D ．{x |0≤x ≤1}B [∵A ＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{x |0＜x ≤2}，∴A ∩B ＝{x |0＜x ≤1}．] 2．对任意的x ∈R ，x 2－ax ＋1＞0恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－2,2) B ．(－∞，2)∪(2，＋∞)C ．[－2,2]D ．(－∞，2]∪[2，＋∞)A [由题意可知Δ＝a 2－4＜0，解得－2＜a ＜2.] 3．不等式2x －1x ＋3≤－2的解集为________.【导学号：91022228】[解析] 原不等式可化为4x ＋5x ＋3≤0，故(4x ＋5)(x ＋3)≤0且x ≠－3，故解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－54，－3. [答案] ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－54，－34．不等式(x ＋1)(x ＋2)2(x ＋3)x ＋4＞0的解集为________________________．[解析] 原式可转化为(x ＋1)(x ＋2)2(x ＋3)(x ＋4)＞0，根据数轴穿根法，解集为－4＜x ＜－3或x ＞－1. [答案] {x |－4＜x ＜－3或x ＞－1}5．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏．为了使这批台灯每天能获得400元以上的销售收入，应怎样制定这批台灯的销售价格？[解] 设每盏台灯售价x 元，则x ≥15，并且日销售收入为x [30－2(x －15)]，由题意知，当x ≥15时，有x [30－2(x －15)]＞400，解得：15≤x ＜20.所以为了使这批台灯每天获得400元以上的销售收入，应当制定这批台灯的销售价格为x ∈[15,20)．。

高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学必修5 2.2一元二次不等式的应用》7

一元二次不等式的解法（第一课时）【教学目标】知识与技能:了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系，能借助函数图象解一元二次不等式。

过程与方法：通过学习一元二次不等式的解法，进一步培养学生的数形结合能力;通过一元二次不等式的应用，进一步培养学生合理转化的数学思想。

情感、态度与价值观：激发学习数学的热情，利用辩证统一的哲学观认识数学知识之间的联系与转化。

【教学重点】利用二次函数的图象解一元二次不等式【教学难点】一元二次不等式、一元二次方程及二次函数之间的关系【教学过程】【创设情境，课题导入】汽车在行驶过程中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，一般称这段距离为“刹车距”。

刹车距 m 与车速 m/h 之间具有确定的函数关系，不同车型的刹车距函数不同它是分析交通事故的一个重要数据甲,乙两辆汽车相向而行，在一个弯道上相遇，弯道限制车速在40m/h 以内，由于突发情况，两车相撞了。

交警在现场测得甲车的刹车距离接近但未超过12m,乙车的刹车距离刚刚超过了10m ，又知这两辆汽车的刹车距 m 与车速 m/h 之间分别有以下函数关系： 2=0.010.1s x x +甲谁的车速超过了40m/h ，谁就违章了。

试问：哪一辆车违章行驶？一元二次不等式的定义：2=0.0050.05s x x+乙【互动探究，发现规律】实例分析：如何解一元二次不等式?0322<--x x【典例解析，规范步骤】例题：解下列一元二次不等式⑴ 23520x x +-> ⑵ 29610x x -+> ⑶ 2450x x -+>[总结] 解一元二次不等式的一般步骤：【启发引导，形成结论】引导学生完成表格：设()220,4y ax bx c a b ac =++>∆=-解本节开头的两个不等式，并指出哪一辆车违章。

【当堂训练，巩固深化】练习：解下列不等式：⑴ 210x x --< ⑵ 27510x x ++< ⑶ 24410x x -+≤【课堂小结】1. 一元二次不等式的解法及其步骤;2利用一元二次不等式来解决实际问题。

北师大版高中数学必修5《三章不等式 2 一元二次不等式 2.2一元二次不等式的应用》赛课导学案_28

《一元二次不等式解法》教学设计一、教学目标【知识与技能】掌握一元二次不等式的概念和一元二次不等式的解法，并且会有函数图像帮助解题。

【过程与方法】通过独立思考和小组交流的方式，提高自身的独立解决问题和善于交流的能力。

【情感态度与价值观】通过公式的归纳、推断和图形结合等一系列过程，体验数学活动充满着探索性和创造性，增强学习数学的学习兴趣。

二、教学重难点【重点】从实际情景中抽象出一元二次不等式的模型，一元二次不等式的解法。

【难点】理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系。

三、教学过程(一)导入新课-温故知新导入新课师：在上节课我们学习了一元二次不等式的概念，同学们还记得什么是一元二次不等式吗?生：自由回答师：对，形如x2-2x-3<0,像这样含有一个未知数，并且未知数最高次数是二的不等式，叫做一元二次不等式。

大家都记得非常牢固，我们都是知道一元二次方程和相应的二次函数有着密切的联系，一元二次函数的根就是相应的二次函数的图形与X轴交点的横坐标，那么一元二次不等式与相应的二次函数是否也有相应的联系呢?今天我们就来一起探讨下二者之间的联系-一元二次不等式的解法。

(二)探究新知1.探究一元二次不等式对应的函数的图像与一元二次不等式得解的师生活动：教师引导学生分析问题解决的思路——带领学生一起去分析出一元二次不等式和相应函数的关系。

学生说出解析过程，教师板书。

:追问1：大家观察一下这个图，看看你发现了什么?生：观察图3-2-1，可以看出，一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)的解集就是二次函数y=ax2+bx+c的图像(抛物线)位于x轴上方的点所对应的x值的集合。

师：因此，求解一元二次不等式可以先求解相应的一元二次不等式的方程，确定抛物线与x轴的交点的横坐标，再根据图像写出不等式的解集。

追问2：下面我们来求解下不等式x2-2x-3<0,大家先思考下1分钟，然后前后四人为以小组，10分钟的时间讨论下这个问题，这道题我们要如何去做呢?说出详细的步骤?生：当X变化时，不等式的左边可以看作是X的函数，确定满足不等式x2-2x-3<0的X，实际上就是确定X的范围，也就是确定函数y= x2-2x-3的图像在X轴下方时，其X的取值范围。

2017_2018版高中数学第三章不等式2_1一元二次不等式的解法学案北师大版必修5

∴x1＝1－，x2＝1＋，
∴不等式－3x2＋6x>2的解集是
{x|1－ <x<1＋ }．
例3 解当a＜0时，不等式可化为
(x－ )(x－1)＞0，
∵a＜0，∴ ＜1，
∴不等式的解集为{x|x＜或x＞1}．
当a＝0时，不等式即－x＋1＜0，解集为{x|x＞1}．
当a＞0时，不等式可化为
(x－ )(x－1)＜0.
知识点三
试探先化为x2－3x＋2>0.
∵方程x2－3x＋2＝0的根x1＝1，x2＝2，
∴原不等式的解集为{x|x<1或x>2}．
题型探讨
例1 解因为Δ＝(－4)2－4×4×1＝0，
因此方程4x2－4x＋1＝0的解是x1＝x2＝，
因此原不等式的解集为 .
跟踪训练1 解 ∵2x2－3x－2＝0的两解为x1＝－，x2＝2，
跟踪训练4 已知不等式ax2－bx＋2<0的解集为{x|1<x<2}，求a，b的值．
1．不等式2x2－x－1>0的解集是( )
A. B．{x|x＞1}
C．{x|x＜1或x＞2}D.
2．不等式－6x2－x＋2≤0的解集是( )
A. B.
C. D.
3．假设不等式ax2＋8ax＋21<0的解集是{x|－7<x<－1}，那么a的值是( )
跟踪训练3 解当a＜0或a＞1时，有a＜a2，现在，不等式的解集为{x|a＜x＜a2}；
当0＜a＜1时，有a2＜a，现在，不等式的解集为{x|a2＜x＜a}；
当a＝0或a＝1时，原不等式无解．
综上，当a＜0或a＞1时，原不等式的解集为{x|a＜x＜a2}；
当0＜a＜1时，原不等式的解集为

2018北师大版高中数学必修五学案：第三章 2.2 一元二次不等式的应用

高中数学北师大版必修5第三章不等式一元二次不等式的应用学案含解析

北师大版高中数学必修五教学案一元二次不等式的应用

北师大版高中数学必修5《三章 不等式 2 一元二次不等式 2.1一元二次不等式的解法》赛课导学案_0

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3.2.2一元二次不等式的应用 教案(北师大版必修五)

高中数学 第三章 不等式 3.2.2 一元二次不等式的应用学案(含解析)北师大版必修5-北师大版高二

数学 第三章 不等式 3.2.2 一元二次不等式的应用教案 北师大版必修5 教案

2018-2019学年北师大版必修五 3.2.2一元二次不等式的应用 课件(29张)

高中数学北师大版必修五3.2.2【教学设计】《一元二次不等式的应用 》